Stochastische Prozesse II: Stochastische Analysis

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1 Hns Ddun SS 7 Deprtment Mthemtik der Universität Hmburg Stochstische Prozesse II: Stochstische Anlysis 1 Einführende Beispiele 1.1 Anlysis: Differentilgleichungen Problem 1.1 Seien 1 stochstische Prozesse A = (A(t : (Ω, F, P (R, B : t, B = (B(t : (Ω, F, P (R, B : t, mit hinreichend gltten Pfden gegeben und eine Zufllsvrible c : (Ω, F, P (R, B. Dnn knn für lle ω Ω die Differentilgleichung mit zufälligen Koeffizienten Ẋ(t, ω = A(t, ωx(t, ω + B(t, ω, X(, ω = c(ω pfdweise gelöst werden und definiert wieder einen stochstischen Prozess X = (X(t : (Ω, F, P (R, B : t. Problem 1. Sei eine hinreichend gltte Funktion f : [, R R gegeben, sowie ein stochstischer Prozess A = (A(t : (Ω, F, P (R, B : t, mit hinreichend gltten Pfden und eine Zufllsvrible c : (Ω, F, P (R, B. ( Dnn knn für lle ω Ω die Differentilgleichung mit zufälliger Störung A Ẋ(t, ω = f(t, X(t, ω, A(t, ω, X(, ω = c(ω pfdweise gelöst werden und definiert wieder einen stochstischen Prozess X = (X(t : (Ω, F, P (R, B : t. (b Hängt A(t, ω nicht von t b, so spricht mn uch von einer Differentilgleichung mit zufälligem Prmeter. (c Forml knn uch Problem 1.1 hier subsummiert werden, wenn die Störung mehrdimensionl sein drf. 1 Der Text beruht in wesentlichen Teilen uf dem Buch von J. Michel Steele: Stochstic Clculus nd Finncil Applictions, Springer New York 1. Einige Beispiele sind übernommen us dem Buch von Arnold [Arn73]. Die vorliegende Version beruht uf im SS 6 ls Kursunterlgen erstellten hndschriftlichen Texten, welche von Dennis Pulin in LTeX gesetzt wurden. 1

2 Problem 1.3 ( Ds deterministische Anfngswertproblem ist für stetiges äquivlent zu einer Integrlgleichung ẋ(t = f(t, x(t, x( = c, t x(t = f : [, R R f(s, x(sds + c, t. Dbei ist ds Integrl ls Riemnn-Integrl zu interpretieren, ws bei hinreichend gltter Problemstellung äquivlent ist zur Berechnung von x(t = f(s, x(sλ 1 (ds + c, t. (b Forml knn die Aufgbenstellung us Problem 1.( hier eingeordnet werden: Sei ω Ω fixiert und f(s, := f(s,, A(s, ω mit der in Problem 1. definierten Funktion f(,,. Dnn ist mit dem hier definierten f(, eine entsprechende Äquivlenz zu finden. 1. Anlysis: Integrtion Eine völlig ndere Problemstellung ls mit den bisherigen Integrlgleichungen ergibt sich wie folgt. Problem 1.4 Seien stochstische Prozesse f = (f(t : (Ω, F, P (R, B : t, Y = (Y (t : (Ω, F, P (R, B : t, mit hinreichend gltten Pfden gegeben und eine Zufllsvrible c : (Ω, F, P (R, B. Dnn suchen wir eine Lösung des stochstischen Integrls bzw. pfdweise geschrieben X(t = f(tdy (t + c X(ω, t = f(ω, ty (ω, dt + c(ω, ω Ω. (1

3 Beispiel 1.5 Y sei ein Poisson-Prozess mit cdlg Pfden. Dnn ist für lle ω Ω Y (ω, : [, R, t Y (ω, t eine mßdefinierende Funktion, lso isoton und rechtsstetig. Sei S = (S i : i N der zu Y gehörige Erneuerungsprozess. Ht dnn der Prozess f messbre Pfde, so knn ds Integrl (1 ω-weise berechnet werden: X(ω, t = f(ω, ty (ω, dt = N(t,ω f(ω, S i (ω ω Ω. Interprettion: Ds von Y (ω, definierte Mß uf (R +, B + gewichtet ds Integrl bzw. die Summe der f(ω, t. Beispiel 1.6 Sei : (Ω, F, P (R, B eine Zufllsvrible und für ω Ω sei Y (ω, : R + R, t (ω t. Also ist Y (ω, für jedes ω wieder mßdefinierende Funktion und ds zu Y (ω, gehörige Mß ist dnn (ωλ 1 [,, bis uf den Fktor (ω, lso ds Lebesgue-Mß. Es ergibt sich X(ω, t = (ω f(ω, tλ 1 (dt, und wir sind wieder bei einem Problem, ds n Problem 1.3 erinnert. Problem 1.7 Welche Pfdeigenschften von Y liefern eine problemlose Adption des Verfhrens der üblichen Integrtion in (1 us Problem 1.4? Zunächst zwei offensichtliche Fälle: 1. Y (ω, ist für jedes ω Ω eine mßdefinierende Funktion, d.h. rechtsstetig, nicht fllend, f(ω, meßbr.. Es existiert für lle ω Ω eine Zerlegung Y (ω, = Y (+ (ω, Y ( (ω,, ω Ω, von Y wobei Y (+ (ω, und Y ( (ω, mßdefinierende Funktionen sind. Dnn ist für meßbre f(ω, problemlos zu berechnen X(ω, t = f(ω, ty (ω, dt := f(ω, ty (+ (ω, dt f(ω, ty ( (ω, dt, sofern nicht beide Summnden unendlich sind. Mn knn in den obigen Punkten 1. und. uf die Rechtsstetigkeit verzichten. Es gilt [Fic67][S. 76]: 1. Sei < < b <, dnn ist eine Funktion y : [, b] R von endlicher Schwnkung (uf [, b] genu dnn, wenn gilt: es gibt ein Pr von Funktionen y (+, y ( : [, b] R, welche monoton wchsend und beschränkt uf [, b] sind, und eine Zerlegung definieren: y(x = y (+ (x y ( (x, x [, b].. y : [, b] R ist von endlicher Schwnkung (uf [, b], wenn gilt: Sei Z[, b] die Menge der endlichen Zerlegungen von [, b], d.h. z Z genu dnn, wenn es N = N(z N und z = (x, x 1,..., x N mit = x < x 1 <... < x N 1 < x N = b gibt; v(z = N(z 1 i= y(x i+1 y(x i ist der bsolute Betrg der Zuwächse von y über z. y ht endliche Schwnkung (Vrition, flls sup z Z[,b] v(z =: b y( < gilt. b y( [, ] heißt Totlvrition von y uf [, b]. 3

4 3. f : [, b] R sei stetig und y : [, b] R uf [, b] von endlicher Schwnkung. Dnn existiert ds Stieltjes Integrl b f(xdy(x, uch geschrieben b f(xy(dx Problem 1.8 Sei f = (f(t : (Ω, F, P (R, B : t ein Auszhlungsprozess. Die in [, t] erfolgten kumultiven Auszhlungen sind bei Relisierung von ω Ω gerde X(ω, t = f(ω, tdt, t. Die Auszhlungen sollen noch in Abhängigkeit von einem Kursverluf gewichtet werden. Der Kursverluf werde beschrieben durch einen Prozess W = (W (t : (Ω, F, P (R, B : t. Dnn sind die ttsächlichen Auszhlungen (in den verschiedenen Versionen der Drstellung in der Litertur - nlog zu klssischen Integrlschreibweisen X(ω, t = = f(ω, tw (ω, dt = f(tdw (t = f(tdw t =... etc. ω Ω, t f(ω, tdw (ω, t Erfhrungsgemäß werden Kursverläufe häufig durch einen Wiener Prozess (Brownsche Bewegung gut modelliert. Dmit hben wir ds stochstische Integrl bzw. die stochstische Differentilgleichung Ẋ(t = f(tdw (t zu lösen, die hier ls ndere Schreibweise für die obige Integrlgleichung zu lesen ist. Dies ist ein neues Problem: W ht Pfde, deren Totlvrition uf jedem (endlichen Intervll unendlich ist. Problem 1.9 In Anlogie zu Problem 1.3 ( sind wir n der Lösung der Integrlgleichung X(t = c + f(s, X(sdW (s für einen Wiener Prozess W = (W (t : t interessiert, d.h. n der Lösung der Stochstischen Differentilgleichung oder n einer llgemeineren Aufgbe X(t = c + dx(t = f(t, X(tdW (t, X( = c g(s, X(sds + mit der äquivlenten (per Definition! Kurzschreibweise dx(t = g(t, X(tdt + f(t, X(tdW (t, X( = c. f(s, X(sdW (s, t (* 4

5 Dbei ist ds erste Integrl uf der RS von ( in der Regel ls normles Riemnn- oder Stieltjes-Integrl pfdweise berechnet worden. Für ds zweite Integrl der RS müssen ndere technische Möglichkeiten geschffen werden. Definition 1.1 (Stieltjes-Integrl 1,,... eine Folge von Zerlegungen, und λ (n = mx 1 i N(n (x (n i ξ (n i [x (n i 1. f, y : [, b] R beschränkt, = x (n < x (n 1 <... x (n N(n = b, n =, x (n i+1 ], i =, 1,..., N(n 1, x (n i 1, (n y(x (n i := y(x (n i+1 y(x(n i, i =, 1,..., N(n 1 σ (n := N(n 1 i= f(ξ (n i (n y(x (n i, n = 1,,.... Flls für λ (n die σ (n σ (, konvergieren, so heißt σ = b f(xy(dx = b f(xdy(x ds Stieltjes Integrl von f in Bezug uf y. Anmerkung: σ ist nch Definition unbhängig von der Whl der Zerlegungsfolge lim z(n:n N+,λ (n σ (n = σ und der Whl der Zwischenpunkte (ξ (n i.. Prtielle Integrtion: f, y : [, b] R beschränkt sofern eines der in folgender Formel uftretenden Integrle definiert ist (existiert!, so folgt die Existenz des nderen und es gilt: b b f(xy(dx = f(by(b f(y( y(xf(dx. Spezilfll: F, G : R R seien mßdefinierende Funktionen. Dnn gilt: F (xg(dx = F (bg(b F (G( F (x G(dx (,b] (,b] (BEHNEN/NEUHAUS[84], Beispiel Stochstisches Integrl Beispiel.1 Berechne: b W (sdw (s, < < b < +, wobei W = (W (t : t Stndrd Wiener Prozess ist. Als Stieltjes-Intgrl hätten wir pfdweise zu berechnen σ (n = W (ξ (n i (W (x (n i 1 W (x(n i, 5

6 wobei = x (n < x (n 1 < < x (n ñ = b eine Zerlegung von [, b] ist. Die Zerlegung ist dnn zu verfeinern: λ (n = mx 1 i n x (n i x (n i 1. Durch direktes Ausrechnen erhlten wir für vorgegebene Zerlegung und vorgegebene Zwischenpunkte ξ i [x i 1, x i ]: Für die Summe erhlten wir ( σ (n = 1 W (b 1 W ( 1 (W (x i W (x i 1 L b λ (n + (W (ξ i W (x i 1 L?( + λ (n (W (x i W (ξ i (W (ξ i W (x i 1 E[ (W (ξ i W (x i 1 ] = (ξ i x i 1 L λ (n V r[ (W (ξ i W (x i 1 ] = (ξ i x i 1 (b λ (n Wir erhlten lso im Sinne der L -Konvergenz: N(n lim λ (σ (n (ξ (n (n i t i 1 = 1 (W (b W ( 1 (b Folgerung: Die RS ist konstnt und unbhängig von den Zerlegungen und der Whl der Zwischenpunkte. Auf der LS ist die Summe (offensichtlich von der Whl der Zwischenpunkte bhängig. Also muß es uch (in der Grenze der (Limes der σ (n -Folge sein. Wählen wir zum Beispiel: ξ (n i = (1 αx i 1 + αx i, α [, 1], so ist die Summe uf der LS gerde α(b und somit σ (n L 1 λ (n (W (b W ( + (α 1 b (b =: ((α W (sdw (s, ein durch α [, 1] prmetrisiertes Integrl. Besonders ttrktiv für theoretische Untersuchungen und von besonderer Bedeutung in den Anwendungen sind die beiden folgenden Integrle: 1. α = 1 : (( 1 b W (sdw (s = 1 (W (b W ( (Strtonovich-Integrl Rechnen wir, ls ob Stieltjes-Integrtion möglich wäre und wenden prtielle Integrtion n, so erhlten wir: b b W (sdw (s = W (b W ( W (sdw (s, 6

7 lso mit b ds Ergebnis der Stieltjes -Integrtion.. α = : (( b W (sdw (s = 1 (W (b W (, W (sdw (s = 1 (W (b W ( 1 (b (Ito-Integrl In diesem Fll ist für X := (X(t = (( W (sdw (s : t nchrechenbr, dss X ein Mrtingl ist. 3 Ds Ito-Integrl Wir werden ein Integrl bezüglich des Wiener Prozesses definieren, in der üblichen Nottion: b f(sdw (s = b f(ω, sw (ω, ds, wobei die Konstruktion nicht mehr ω weise wie im Poisson Prozess getriebenen Integrl sein knn. Zur Vereinfchung der Nottion setzen wir =, b = T, und gehen ohne Probleme zu beliebigen endlichen Intervllen [, b] über. Festlegung 3.1 Der formle Rhmen: sei ein Stndrd Wiener Prozess. sei ein messbrer Prozess. Sei W = (W (t : t, W (t : (Ω, F, P (R, B f : (Ω [, T ], F B[, T ] (R, B (F t := σ(w (s : s t : t die von W erzeugte ntürliche Filtrierung. Der Prozess f ist (Ft -dptiert, wenn gilt: t ist f(, t Ft -messbr. Sofern nicht Anderes gesgt wird, bleiben die Vorussetzungen und Bezeichnungen des formlen Rhmens durchgehend gültig. Definition 3. Sei H = H [, T ] der Rum der F B[, T ]-messbren Funktionen (Prozesse, welche (F t : t T dptiert sind und qudrtintegrierbr sind, d.h. erfüllen. E[ f (ω, tdt] < 7

8 Anmerkung 3.3 H [, T ] ist ein bgeschlossener Unterrum des Hilbertrumes L (P λ 1 [,T ] (bzw. nchdem in H die entsprechenden Äquivlenzklssen P -f.s. gleicher Funktionen gebildet wurden. Definition 3.4 Eine Funktion sei vorgegeben. Wir wollen für T die Funktion definieren. f : (Ω [, T ], F B[, T ] (R, B H X(ω, T = X(ω, T (f = f(ω, sw (ω, ds, ω Ω, 1. Sei f(ω, t = α1 (,b] (t, ω Ω, < b T, α R. Dnn sei. Sei X(ω, T = X(ω, T (α1 (,b] = = (W (ω, b W (ω, α n 1 f(ω, t = α i (ω1 (xi,x i+1](t i= α1(, b](sw (ω, ds mit = x < x 1 < < x n 1 < x n = T, α i : (Ω, Fx i (R, B, i = 1,..., n, mit E[αi ] < ; dnn sei X(ω, T = α i (ω1 (xi,x i+1](sw (ω, ds n 1 ( t= n 1 = α i (w(w (ω, x i+1 W (ω, x i i= 3. Die Menge ller Funktionen f H, welche eine Drstellung wie in. hben, wird mit H H bezeichnet, Elemente us H uch ls Treppenfunktionen. Corollry 3.5 Gegeben sei f : (Ω R +, F B + (R, B, so dss f der Filtrierung (Ft : t dptiert ist. Dnn ist f Ω [,T ] der Filtrierung (Ft : t T dptiert. Gilt für jedes T : f Ω [,T ] H[, T ], so ist X = (X(T : T F B messbr und der Filtrierung (Ft : t dptiert. Die Aussge des Korollrs 3.5 führt zum Konzept des stochstischen Integrls ls stochstischer Prozess, zumindest für eine (noch sehr eingeschränkte Klsse von Integrnden. Wir fixieren zunächst weiterhin T < und setzen ds Integrl uf eine grössere Klsse von Integrnden (ls lineres Funktionl fort. In den folgenden Rechnungen identifizieren wir wieder Funktionen, welche fst sicher gleich sind, und nehmen eine derrtige Funktion ls Bezeichnung der Äquivlenzklssen fst sicher gleicher Funktionen. Zur Erinnerung: L (µ = {f : (Ω, F, µ (R, B : f dµ < }, und uf L (µ = L (Ω, F, µ ist f ( f dµ 1 eine Hlbnorm. 8

9 Sei N L (µ = {f L (µ : f dµ = }. Dnn ist L (µ = L (µ/n ein normierter Vektorrum, der vollständig ist unter der nun zur Norm gewonnenen Hlbnorm: f L (Ω, F, µ/n ( f dµ 1 =: f L (µ =: f (ds letzte schreiben wir, wenn µ klr ist. Lemm 3.6 (Ito-Isometrie Die Abbildung X(T : H = H [, T ] L (P f(, X(, T (f = f(, sw (, ds = X(, T ist eine linere Isometrie und dmit insbesondere injektiv. Es gilt lso insbesondere f L (P λ 1 = X(T L (P. Diese Abbildung wird ls Ito-Isometrie bezeichnet. Beweis: Linerität von X(T ist direkt us der Definition 3.4. nchrechenbr. Dss die Norm erhlten bleibt, zeigt ebenflls direktes Rechnen; sei f(ω, t = n 1 i= α i(ω1 (xi,x i+1](t mit = x < x 1 < < x n = T und α i Fx i, i =,..., n 1, E[αi ] <, gemäss Definition 3.4 (3,(. Dnn gilt: X(T L (P = n 1 f (ω, t = αi (ω1 (xi,x i+1](t und somit f L (P λ 1 = Ω i= Ω [,T ] = P (dω Ω (P λ 1 (dω, sf (ω, s = (Fubini [,T ] n 1 λ 1 (ds αi (ω1 (xi,x i+1](s i= n 1 = E[ αi (ω(x i+1 x i ] i= n 1 = E[αi ](x i+1 x i. Aber i= P (dωx(t, ω = Ω n 1 P (dω( α i (ω(w (ω, x i+t W (ω, x i i= n 1 = E[αi (W (x i+1 W (x i ] = i= = (die gemischten (W (, x (... -Terme werden = = n 1 = E[αi ](x i+1 x i, i= 9

10 ( es gilt α i F xi, V r(w (x i+1 W (x i = x i+1 x i, und unbhängige Zuwächse von W. Für die Injektivität zeige: Es gibt eine fst sicher eindeutige knonische Drstellung der f H. Nehmen wir dnn n, dss f g, mit f, g, gilt, so liefert die Isometrie sofort X(T (f X(T (g. Lemm 3.7 H [, T ] ist dicht in H [, T ], d.h. zu jedem f H [, T ] gibt es eine Folge von Treppenfunktionen (f n : n N, f n H [, T ], derrt, dss gilt: f n f L (P λ 1. Beweis: Folgt direkt us dem nschliessenden Approximtionstheorem. Theorem 3.8 Sei f H [, T ] und A n (f(ω, t = n 1 1 it (i 1T n n it n (i 1T n f(ω, sλ 1 (ds 1 ( it n (i+1t n ](t Dnn ist für jedes n 1, A n (f H [, T ], lso ist A n : H [, T ] H [, T ] ein beschränkter linerer Opertor mit den Eigenschften: 1. A n (f f, f H. A n (f L (P λ 1 f L (P λ 1 3. lim A n (f f L (P λ 1 = f H Wir bezeichnen A n ls Approximtionsopertor. Beweis: Wir fixieren n 1 und bezeichnen: x i := it n. x i 1. A n ist wohldefiniert, d die Integrle f(ω, sλ 1 (ds = α i (ω wegen der F B[, T ] Messbrkeit von x i 1 f erklärt sind; dptiert sieht mn wie folgt: Für t [, T = x n 1 ] gilt A n (t, ω =, ω Ω, und für t (x i, x i+1 ] gilt α i (ω = A n (f(ω, t F xi F t.. A n (f H, dzu müssen wir noch zeigen, dss gilt: T E[ (A n (f (ω, tdt] <. Wie im Beweis von Lemm 3.6 erhlten wir: A n (f L (P λ 1 = E[ n 1 αi (ω(x i+1 x i ] = (, us JENSENSs Ungleichung folgt α i (ω 1 x i x i x i 1 f (ω, sλ 1 1 (ds x i x i 1 f L (P λ 1, x i 1 sodss ( endlich ist 3. Die L -Abschätzung (1 folgt us den üblichen Vertuschungen von Integrtion und sup-bildung. 4. Setzt mn in ( die Jensensche Abschätzung ein, erhlten wir ( E[ n 1 d x i+1 x i = x i x i 1 ist. x i x i 1 f (ω, sds] = f L (P λ 1, 1

11 5. Die Approximtionseigenschft (3 findet sich bei STEELE(1 S.91-93, mit Benutzung einer zweiten Approximtionsfolge, welche ber nicht in H liegt, sondern in H. Auf diese neue Folge wird dnn nochmls der Approximtionsopertor A n ( ngewndt. Definition 3.9 Für f : (Ω [, T ], F B[, T ] (R, B H wollen wir die Funktion X(T, ω = X(T, ω(f = f(ω, sw (ω, ds, ω Ω, definieren. (1 Sei {f n : n N} H eine Folge von Treppenfunktionen, derrt dss gilt: f n f in L (P λ 1. Dnn ist {f n : n N} H H eine Cuchy-Folge, welche wegen der Ito-Isometrie uf die Cuchy-Folge {X n (T, ω := f n(ω, sw (ω, ds : n N} L (P bgebildet wird. ( D L (P vollständig ist, konvergiert die Folge der Zufllsvriblen {X n (T, ω : n N} gegen einen eindeutig bestimmten Grenzwert in L (P : lim f n (ω, sw (ω, ds =: f(ω, sw (ω, ds =: X(T, ω. Corollry 3.1 Die Definition 3.9 ist widerspruchsfrei. Beweis: Sei {f n : n N} H H eine weitere Folge, welche in L (P λ 1 gegen f H konvergiert. Dnn folgt us der Dreiecksungleichung in L (P λ 1 : f n f n L (P λ 1 f n f L (P λ 1 + f n f L (P λ 1 Dnn folgt ber us der Ito-Isometrie (immer noch uf H! schon: f n (ω, sw (ω, ds f n(ω, sw (ω, ds L (P.. Dmit schätzt mn die Differenz in L (P -Norm für die jeweils definierten Integrle X(T, ω, respektive X (T, ω wie üblich b. Die in Lemm 3.6 gezeigte Isometrie uf H knn jetzt uf H festgesetzt werden, d wir nun wissen, wie die Abbildungsvorschrift Stochstisches Ito-Integrl für die Isometrie festgelegt ist. Theorem 3.11 (Ito-Isometrie Die Abbildung X(T : H [, T ] L (P f(, ist eine linere Isometrie, d.h. es gilt: f L (P λ 1 = f(, sw (, ds = X(T, (f = X(T, f(, sw (, ds L (P. 11

12 Beweis: Sei f H, {f n : n N} H mit f n f L (P λ 1. Mit fn f + f L (P λ 1 f L (P λ 1 fn f L (P λ 1 folgt f n L (P λ 1 f. Nch Definition des Integrls gilt ber f n (ω, sw (ω, ds f(ω, sw (ω, ds L (P und nlog f n (ω, sw (ω, ds L (P f(ω, sw (ω, ds L (P. Lemm 3.6 sgt ber gerde f n L (P λ 1 = f n (ω, sw (ω, ds L (P λ 1 für lle n N. Also müssen uch die respektiven Grenzwerte gleich sein. Wir hben in Korollr 3.5 zu gegebenem f uf Ω [, mit der Restriktion f Ω [,T ] H gezeigt, dss X = (X(T : T ein F B-messbrer Prozess ist, welcher der ntürlichen Filtrierung des Wiener Prozesses dptiert ist. Für den llgemeinen Fll beschränken wir uns zunächst wieder uf den Fll endlicher Zeitskl. Theorem 3.1 Sei und für lle t [, T ] sei f : (Ω [, T ], F B[, T ] (R, B H m t : (Ω [, T ], F B[, T ] ({, 1}, P{, 1}, { 1 s [, T ] (ω, s m t (ω, s = sonst. Dnn gilt: m t f H für lle t [, T ] und es existiert ein Mrtingl Y = (Y t : t [, T ] mit stetigen Pfden (bezüglich der ntürlichen Filtrierung (Fs : s [, T ] des Wiener Prozesses (W (t : t [, T ] derrt, dss für lle t [, T ] gilt: ( P ω Ω : Y (t, ω = (m t f(ω, sw (ω, ds Beweis: Die Problemtik, die gegenüber ( Korollr 3.5 neu uftritt, ist, dss wir keine ω-weise Konstruktionsvorschrift ngegeben hben für T (m t f(ω, sw (ω, ds : t [, T ] - und dies wäre der erste Kndidt für ds stochstische Integrl ls stochstischer Prozess. Eindeutigkeit gb unsere Konstruktion in Definition 3.9 nur ls Elemente (m t f(, sw (, ds L (P = L (P /N. Es gibt lso für jedes t [, T ] möglicherweise eine ( P-Null-Ausnhmemenge A t, uf der die Konstruktion von X(T, (m t f nicht eindeutig ist. Dnn ist ber P t [,T ] t A > möglich, sofern A = t [,T ] A t F ist, oder es gibt eine Menge mit positivem P-Mß, die in A enthlten ist. Der Beweis benutzt die Approximtion von f durch Elemente us H, {f n : n N} H mit f n f L (P λ 1. = 1. 1

13 Es gilt zunächst f n m t H[, T ] für lle t [, T ] und lle n N, und über die explizite Konstruktion in Definition 3.4 für Integrle von Treppenfunktionen können wir definieren Ist f n (ω, s = n 1 i= Y (n (t, ω = (m t f n (ω, sw (ω, ds, ω Ω. α i (ω 1 (xi,x i+1](s, ω Ω, s [, T ], so erhlten wir für t (x k, x k+1 ], k n 1, Y (n (t, ω = X(T, ω(m t f n = k 1 α k (ω(w (ω, t W (ω, x k + α i (ω(w (ω, x i+1 W (ω, x i. i= D wir W (, mit stetigen Pfden wählen können, hben die Y (n (, ω ebenso diese Eigenschft. (W (s : s T ist ein Mrtingl, lso ist uch jedes Y (n := (Y (n (t : t T ein Mrtingl bezüglich (Ft : t T. Weiter ist dnn für jedes Pr m, n N uch (Y (n (t Y (m (t : t T ein Mrtingl, und mit Jensen s Ungleichung ( ist konvex ist M = ( Y (n (t Y (m (t =: M(t : t T ein Submrtingl. D ds Submrtingl M stetige Pfde ht, können die DOOBschen Mrtinglbschätzungen us dem diskreten Mrtinglkontext mit Approximtionsrgumenten in den vorliegenden zeitstetigen Fll übertrgen werden. DOOB s L -Mximlungleichung (Steele [Ste1], Th. 4. ergibt ( P Y (n (t Y (m (t ɛ 1 [ Y ɛ E (n (T Y (m (T ] sup t T 1 ɛ f n f m L (P λ 1 mit der Ito-Isometrie. D (f n : n N eine (gegen f konvergente Cuchy-Folge in L (P λ 1 ist, gibt es eine Teilfolge (f nk : k N derrt, dss gilt: mx f n f nk n n L (P λ 1 3k. k Mit ɛ := k erhlten wir für lle k 1: ( P sup Y (nk+1 (t Y (nk (t k t T } {{ } =:A k ( Ds Lemm von BOREL-CANTELLI liefert: P (A k < P ( Dmit gibt es für jedes ω Ω := k C(ω gilt: sup t T m= k=m k=1 k m= k=m A k =. A k C = ( lim k N A k C eine Zhl C(ω N derrt, dss für lle Y (nk+1 (t Y (nk (t k ω Ω. Dies heißt ber, dss für jedes ω Ω die Folge (Y n k (, ω : k N von Funktionen uf [, T ] (welche stetig sind eine Cuchy-Folge in der Supremumsnorm uf C[, T ] (uniforme Norm ist. Also gibt es eine stetige Funktion Y (, ω : [, T ] R, so dss Y (nk (, ω k Y (, ω gleichmäßig uf [, T ] konvergiert und Y (, ω dmit stetig ist für ω Ω. Zu zeigen ist, dss Y = (Y (t : t T ein Mrtingl ist: Neben der P-fst sicheren Konvergenz Y (nk (, ω k Y (, ω in C[, T ] (gleichmäßig, 13

14 hben wir nch Konstruktion der Y (n k ls Ito-Integrle uch Konvergenz in L (P Y (nk (, ω k Y (, ω. Mit dem Stz von der mjorisierten Konvergenz für bedingte Erwrtungen folgt für s < t T : E[Y (nk (, t Fs ] = Y (nk (, s P-fs mj. Konv. P-fs E[Y (, t Fs ] Y (, s. (Der Stz: Sei P (Z n Z = 1 und Z n < V 1 n <, E[V F]( < P-fs. Dnn gilt P-fs: E[ Z F ]( < und [ lim E[Z n F ]( = E lim Z n F ] ( = E[Z F ]( für F F. Zu zeigen bleibt: P (Y (t, = (m t f(, sw (, ds = 1. k Dies folgt us der Konvergenz m t f nk mt f in L (P λ 1 und (durch Ito-Isometrie drus folgend Wir hben ber gezeigt: (m t f nk (, sw (, ds Y (n k (, t = (m t f(, sw (, ds in L (P. (m t f nk (, sw (, ds k Y (, t in l (P. Die Eindeutigkeit von Limiten L (P liefert dmit für lle t [, T ] Y (, t (m t f(, sw (, ds L (P =. Drus folgt die P-fs Gleichheit der beiden Zufllsvriblen für lle t [, T ]. Corollry 3.13 Die Huptussge von Stz 3.1 knn formuliert werden ls: Ds Ito-Integrl einer Funktion f H [, T ] ist ( ein stochstischer Prozess mit Zeitskl [, T ], welcher eine Version mit stetigen Pfden besitzt, und (b ein Mrtingl. Außerdem gilt die Abschätzung ( [ P sup Y t ɛ 1ɛ T t T E f(, s ds Beweis: (, (b sind Umformulierungen von Stz 3.1 Die Abschätzung für (große Abweichungen ɛ > folgt wieder us der Doobschen L -Mximlungleichung, sowie der Ito-Isometrie. Theorem 3.14 (Eigenschften des Integrls Seien f, g H, c R und S < U < T. Dnn gilt: ]. T U T i f(ω, sw (ω, ds = f(ω, sw (ω, ds + f(ω, sw (ω, ds S S U P-fs. 14

15 T T T ii (c f(ω, s + g(ω, sw (ω, ds = c f(ω, sw (ω, ds + g(ω, sw (ω, ds S P-fs. iii T f(ω, sw (ω, ds ist FT -messbr. S iv E [ T S f(ω, sw (ω, ds ] =. Beweis: Für Treppenfunktionen us H[, T ] können die Aussgen direkt nchgerechnet werden. Die llgemeine Aussge folgt durch Grenzwertbildung. Anmerkung 3.15 Die Eigenschft us Stz 3.14(iv: E[ f(ω, sw (ω, ds] = folgt schon direkt us Stz S 3.1 D Y = (Y (t : t [, T ] ein Mrtingl ist, gilt E[Y (t] = E[Y (] für lle t [, T ]. Es gilt ber mit Whrscheinlichkeit 1 Y (, ω = (m f(ω, sw (ω, ds =. Anmerkung 3.16 Zur Berechnung des Integrls f(, sw (, ds H knn nch unseren Sätzen jede pproximierende Folge f n H, n N, verwendet werden. Wir hben lso konkret zu zeigen: E (f n(ω, s f(ω, s λ 1 (ds, um dnn in L (P zu hben: f n (, sw (, ds f(, sw (, ds. Beispiel 3.17 f : (Ω [, T ], F B[, T ] (R, B H, (w, s s = f(s ist keine Treppenfunktion. Sei x (n = < x (n 1 <... < x (n N(n = T eine Zerlegungsfolge mit λ (n = mx i=,...,n(n 1 x i+1 x i =. Dnn sei f n (ω, s = N(n 1 i= 1 (x (n i,x (n i+1 ](s x(n i, ω Ω, s T. Es gilt E [ ( N(n 1 i= 1 (n (x i,x (n i+1 ](s x(n i s }{{} x (n i+1 x(n i mx i=,...,n(n 1 xi+1 xi =λ(n [ ( E λ (n ] T, lso können wir berechnen: λ 1 (ds ] = lim sw (ω, ds = lim f n (ω, sw (ω, ds = ( N(n 1 i= 1 (x (n i,x (n i+1 ](s x(n i W (ω, ds = 15

16 N(n 1 = lim i= ( x (n i W (ω, x (n i+1 N(n = lim T W (ω, T + i= N(n 1 =T W (ω, T lim i= N(n 1 =T W (ω, T lim i= W (ω, x(n i = N(n 1 W (ω,, x (n i+1 x(n i i= N(n 1 W (ω, x (n i x (n i + ( W (ω, x (n i x (n i i= x (n i 1 = W (ω, x (n i x (n i = W (ω, x (n i x (n i 1 = =T W (ω, T W (ω, sds, denn für jedes ω ist W (ω, eine stetige Funktion. Ds Beispiel 3.17 ist unter der folgenden Regel zu subsumieren. Lemm 3.18 Sei f H [, T ] beschränkt in Ω [, T ] und für jedes ω Ω sei f(ω, stetig. Gegeben sei wieder eine Zerlegungsfolge = x (n < x (n 1 <... < x (n N(n = T mit λ(n. Dnn gilt: E [ ( N(n 1 i= f(ω, x (n i und die pproximierenden Funktionen sind in H. λ 1 (n (x i,x (n ](s f(ω, s 1 (ds i+1 ] Beweis: Dss die pproximierenden Funktionen Treppenfunktionen sind, ist klr. Aus der Stetigkeit von f(ω, folgt für jedes ω Ω ( N(n 1 i= f(ω, x (n i λ 1 (n (x i,x (n ](s f(ω, s 1 (ds. i+1 Mit mjorisierter Konvergenz folgt, dss uch die Erwrtungswertfolge gegen konvergiert. Beispiel 3.19 D die Pfde des Wiener Prozesses stetig sind, hben wir in Beispiel ls pproximierende Funktion für B(ω, s, s T, verwendet für α = : W (ω, x (n i 1 (x (n i und hben nch Lemm 3.18 uch L P λ 1 -Konvergenz. Bei dieser Whl wäre ds dortige σ (n gerde σ (n (ω = und wir hben dort ttsächlich ds Ito-Integrl,x (n i+1 ](s W (ω, s ( W (ω, x (n i W (ω, x (n i+1 W (ω, x(n i W (ω, sw (ω, ds = 1 W (ω, T 1 T usgerechnet. 16

17 Theorem 3. ( (Pfdweise Interprettion des Ito-Integrls Sei f H [, T ] beschränkt und ν : (Ω, F (R +, B + eine (F t -Stopzeit derrt, dss gilt: dnn gilt für P-fst lle ω {ω Ω : t ν(ω} f(ω, s = für P-fst lle ω {ω Ω : s ν(ω}; X(ω, t(f =: X(ω, t = f(ω, sw (ω, ds =. (b (Erhltung von Gleichheit bei Ito-Integrtion Seien f, g H [, T ] und ν : (Ω, F (R +, B + eine (F t -Stopzeit derrt, dss gilt: dnn sind die Ito-Integrle f(ω, s = g(ω, s für P-fst lle ω {ω Ω : s ν(ω}; f(ω, sw (ω, ds = X(ω, t und g(ω, sw (ω, ds = Y (ω, t P-fst sicher gleich uf {ω Ω : t ν(ω}. Beweise finden sich bei Steele [Ste1], S Dbei wird (b uf ( zurückgeführt, indem zunächst f n := f 1 ( f n, g n := f 1 ( g n betrchtet werden, die mit ( behndelt werden. Drus folgt mit Ito-Isometrie die Approximtion. Erstunlich ist, dss der Beweis der nscheinend einfchen Aussge ( technisch ufwändig ist. Die Kommentre Steele s dzu sind interessnt. 4 Ito-Integrl und Loklisierung Ds Ito-Integrl bzgl. der eindimensionlen Brownschen Bewegung für Funktionen us H [, T ] benötigt für viele Anwendungen eine verllgemeinernde Definition. Beispiele: Multidimensionle Prozesse, Die Fmilie der unterliegenden σ-algebren muss mehr Informtionen enthlten, ls die vom Wiener Prozess erzeugte, Die Klsse der zu integrierenden Funktionen muss über H [, T ] erweitert werden, W = (W (t : t muss verllgemeinert werden zu Semimrtinglen [CW9]. Die ersten drei Punkte werden in [Øks3], S. 34/35 gnz knpp, ber übersichtlich, skizziert und es werden dnn diese Erweiterungen bei der Herleitung der Ito-Formel benutzt. Für deren Beweis und insbesondere wesentliche Anwendungen muss die folgende Obermenge von H [, T ] von Prozessen integrierbr sein. Definition 4.1 Sei L LOC = L LOC [, T ] der Rum ller Prozesse welche messbr und der ntürlichen Filtrierung (Ft zusätzlich f : (Ω [, T ], F B[, T ] (R, B, P (ω Ω : : t von W = (W (t : t dptiert sind und f (ω, sds < = 1 erfüllen. 17

18 Anmerkung 4. ( Es gilt: H [, T ] L LOC [, T ]. (b Sei g : R R stetig. Dnn ist f(ω, t = g(w (ω, t L LOC [, T ], denn us der Stetigkeit der Pfde von W folgt, dss für jedes ω Ω die Funktion g(w (ω, uf [, T ] beschränkt ist. Definition 4.3 (Loklisierende Folgen von Stoppzeiten Eine nicht fllende Folge ν n : (Ω, F, P ([, ], B +, n N +, von (F t : t -Stoppzeiten heißt H [, T ]-loklisierende Folge für einen Prozess f : (Ω [, T ], F B[, T ] (R, B, wenn gilt: und P ( n=1 {ω Ω : ν n(ω = T } = 1. f n (ω, t := f(ω, t 1 t νn(ω H [, T ] für lle n N + Theorem 4.4 (Loklisierung in L LOC [, T ] Sei f L LOC [, T ] und { τ n (ω = inf t R + : Dnn ist (τ n : n 1 eine H [, T ]-loklisierende Folge für f. Beweis: Es gilt (ω-weise zu sehen: { {ω Ω : τ n (ω = T } = ω Ω : n=1 } f (ω, sds n t T, n 1. f (ω, sds < und für f L LOC [, T ] ht die rechte Seite nch Definition Whrscheinlichkeit 1. Außerdem gilt für f n(ω, t = f(ω, t 1 (t τn schon E[ f n(, sds] = f n L (P λ 1 n, so dss f n H ist und (τ n dmit eine H - loklisierende Folge für f. } Definition 4.5 Sei f : (Ω [, T ], F B[, T ] (R, B L LOC [, T ]. Wir wollen für t [, T ] die Funktion f(ω, sw (ω, ds =: X(ω, t(f =: X(ω, t, ω Ω, definieren in Anlogie zur Aussge von Theorem 3.1, derrt dss ein stochstischer Prozess Y = (Y (t : t [, T ] mit stetigen Pfden existiert, welcher einer Version von (X(t : t [, T ] ist. Sei (ν n : n N + eine H -loklisierende Folge von Stoppzeiten für f und sei für jedes n 1 (X n (t : t [, T ] = X n ds P-fs eindeutig bestimmte Mrtingl mit stetigen Pfden, welches nch Theorem 3.1 eine Version des Ito-Integrls ( T (m t (ω, s f(ω, s 1 s νn(ω W (ω, ds : t [, T ] ist. Dnn existiert ein P-fs eindeutiger Grenzprozess Y = (Y (t : t [, T ], so dss gilt: P (ω Ω : Y (ω, t = lim X n(ω, t = 1 für lle t [, T ]. Wir setzen dnn: Y (ω, t =: f(ω, sw (ω, ds, t [, T ]. Die Konsistenz der Definition 4.5 zeigen wir in einer Folge von Lemmt. 18

19 Lemm 4.6 Sei f L LOC [, T ] und (ν n : n N + eine H -loklisierende Folge. Sei (X n (ω, t : ω Ω, t [, T ] die Mrtinglversion mit stetigen Pfden der Ito-Integrle ( X n (ω, t = Dnn gilt für lle t [, T ] und für lle n m m t (ω, s f(ω, s 1 (s νn(ωw (ω, ds : ω Ω, t [, T ] X n (ω, t = X m (ω, t für P-fst lle ω {ω Ω : t ν m (ω}. Beweis: Es gilt ν m (ω ν n (ω, ω Ω, sodss die beiden H -Funktionen f m (ω, t = f(ω, t 1 (t νm(ω und f n (ω, t = f(ω, t 1 (t νn(ω uf der Menge {ω Ω : t ν m (ω} P-fs gleich sind. Nch Theorem 3. (b (Erhltung von Gleichheit bei Ito-Integrtion sind die respektiven Ito-Integrle uf der Menge {ω Ω : t ν m (ω} P-fs gleich. Also sind P-fs uf dieser Menge die stetigen Mrtinglversionen gleich.. Lemm 4.7 Mit den Annhmen und Bezeichnungen us Lemm 4.6 gilt: Es existiert ein Prozess Y = (Y (t : t [, T ] mit stetigen Pfden derrt, dss gilt: ( P ω Ω : Y (ω, t = lim X n(ω, t = 1 t [, T ]. Beweis: Sei N(ω = min(n N + : ν n (ω = T. Nch Definition der loklisierenden Folge (ν n gilt P (ω Ω : N(ω < = 1. Sei Ω = {ω Ω : X n (ω, ist stetig uf [, T ], n N + }, Ω F, und es gilt: P (Ω = 1. Dmit gilt uch P (Ω 1 = 1 für Ω 1 = Ω {N < } und wir setzen für ω Ω 1 : Y (ω, t := X N (ω, t, t [, T ]. Es gilt: t X N(ω (ω, t, t [, T ], ist stetig für lle ω Ω 1. (Ds müsste gezeigt werden. Ansonsten nch Lemm lemmloc1: ( P ω Ω : lim X n(ω, t = X N(ω (ω, t = 1 t [, T ]. Lemm 4.8 Mit den Annhmen und Bezeichnungen von Lemm 4.6 seien (ν n : n N + und (ˆν n : n N + zwei H -loklisierende Folgen für f L LOC und X n(ω, t bzw. ˆX n (ω, t, ω Ω, t [, T ], n N, die respektiven Mrtinglversionen der Ito-Integrle mit stetigen Pfden. Dnn gilt: ( P ω Ω : lim X n(ω, t = lim ˆX n (ω, t = 1 t [, T ]. Beweis: τ n := (min(ν n, ˆν n : n N ist eine nichtfllende Folge von Stoppzeiten bzgl. (Ft und es gilt: ( ( P {τ m = T } = P {ν m = T und ˆν m = T } = 1. ( m=1 Aus dem Stz von der Erhltung von Gleichheit (Theorem 3.(b erhlten wir für lle n m: m=1 X n (ω, t = ˆX n (ω, t P-fst sicher uf {t τ m }. Nch Lemm 4.7 konvergieren beide Prozesse X und ˆX P-fs. Also gilt für die jeweiligen Limiten nch (, dss sie uf {ω Ω : t τ m (ω} gleich sind. Dnn beendet ( den Beweis. Den Beweis des folgenden Korrolrs findet mn bei Steele [Ste1], S. 98, ls direkte Anwendung von Loklisierung. ( 19

20 Corollry 4.9 Theorem 3. gilt mit gleicher Formulierung für Funktionen f, g L LOC [, T ]. Nicht lle Funktionen g(w (ω, t, (ω, t Ω [, T ], die nch Anmerkung 4. in L LOC [, T ] liegen, sind Elemente us H. Mit Loklisierungsrgumenten knn mn jetzt prktisch bedeutsme Eigenschften von Ito-Integrlen derrtiger Funktionen beweisen, siehe Steele [Ste1], Kp. 7.. Theorem 4.1 f : R R sei stetig. Für ds Intervll [, T ] definiere die Folge von Prtitionen x (n, i n. Dnn gilt mit Konvergenz in Whrscheinlichkeit: it n lim f(w (ω, x (n i 1 Theorem 4.11 f : [, T ] R sei stetig. Dnn ist der Prozess X(ω, t = (W (ω, x(n i W (ω, x (n i 1 = f(w (ω, sw (ω, ds. f(sw (ω, ds, t [, T ], ω Ω, i = ein Guss-Prozess mit unbhängigen Zuwächsen, Mittelwertfunktion E(X(t =, t [, T ], und Covrinzfunktion Cov(X(s, X(t = Außerdem gilt mit Konvergenz in Whrscheinlichkeit: f(sw (ω, ds = lim wobei x (n i = it n, i n, ist und ξ(n i gewählt werden. [x (n i 1, x(n i f(ξ (n i s t f (udu. (W (ω, x (n i W (ω, x (n i 1 ] (d.h., die Stützstellen können wie bei Stieltjes-Integrtion In den Beweisen zur Konsistenz des Ito-Integrls für f L LOC hben wir duernd benutzt, dss ds Ito-Integrl für f n H ein Mrtingl ist (siehe Stz 3.1. Dies knn ls Erstz ngesehen werden für die fehlende Mrtingleigenschft von ( f(ω, sw (ω, ds : t T, wenn f / H ist. Definition 4.1 (Lokles Mrtingl Ein stochstischer Prozess M = (M(t : (Ω, F, P (R, B : t [,, welcher einer Filtrierung (F t : t dptiert ist, heißt lokles Mrtingl, wenn es eine nicht fllende Folge (τ n : n N + von (F t -Stoppzeiten gibt mit P (lim τ n = = 1, so dss gilt: Für jedes n N + ist der Prozess ist ein Mrtingl bzgl. (F t : t. M (n := (M(t τ n M( : (Ω, F, P (R, B : t [, Theorem 4.13 Sei f L LOC [, T ]. Dnn existiert ein lokles Mrtingl mit stetigen Pfden Y = (Y (t : t [, T ], so dss für lle t [, T ] gilt: P (ω Ω : Y (ω, t = f(ω, sw (ω, ds = 1. Dbei knn ls loklisierende Folge von Stoppzeiten gewählt werden: ( τ n (ω = inf t R + : f (ω, sds n t T, ω Ω.

21 Beweis: Wir htten us f n (ω, s := f(ω, s 1 (s τn(ω H die Mrtingleigenschften der zugehörigen Ito- Integrle erhlten. 5 Die Ito-Formel Die Ito-Formel behndelt ds Problem, zu einem geeignet definiertem stochstischen Ito-Integrl X(ω, t = (ω, sds + b(ω, sw (ω, ds für t [, T ] und einer hinreichend gltten Funktion f : R + R R ds Funktionl zu berechnen. Wenn lles gut geht, erhlten wir: f(t, X(ω, t = f(, (f(t, X(ω, t, t [, T ], ω Ω, f t (s, X(ω, sds + t f (s, X(ω, sx(ω, ds + x f x (s, X(ω, sb (ω, sds, ω Ω, t [, T ], und mit Y (ω, t := f(t, X(ω, t in differentieller Schreibweise dy (t = f t (t, X(tdt + f x (t, X(tdX(t + 1 f xx(t, X(tdX(t dx(t. Wir beginnen mit dem einfchsten Fll. Theorem 5.1 f : R R sei zweiml stetig differenzierbr. Dnn gilt für ω Ω und t : f(w (ω, t = f( + f (W (ω, sw (ω, ds + 1 f (W (ω, sds. Beweis: Wir nehmen zunächst n, dss f kompkten Träger ht. Mit Loklisierung wird dnn der llgemeine Fll behndelt. Wir definieren eine Folge von Prtitionen von [, t] x (n i unterdrücken, wenn kein Problem entsteht: x i = x (n i. Dnn gilt: f(w (ω, t f(w (ω, ( = f(w (ω, t f( = Wir mchen eine elementre Tylor-Entwicklung: ( = it n, i =, 1,..., n, wobei wir den Lufindex n {f(w (ω, x i f(w (ω, x i 1 }. f(y f(x = (y xf (x + 1 (y x f (x + (y u(f (u f (xdu. x }{{} =:r(x,y Dnn gibt es eine gleichmäßig stetige Funktion h : R R, derrt dss gilt: h(x, x = und r(x, y (y x h(x, y. y 1

22 Aus ( erhlten wir, indem wir die Tylorformel uf jede Differenz f(w (ω, x i f(w (ω, x i 1 nwenden und umsummieren: f(w (ω, t f( = f (W (ω, x i 1 (W (ω, x i W (ω, x i f (W (ω, x i 1 (W (ω, x i W (ω, x i 1 + xi Wir schätzen die Summen getrennt b: x i 1 (f (W (ω, u f (W (ω, x i 1 (W (ω, x i W (ω, udu. (i D f stetig ist, ist die erste Summe mit den Aussgen us Stz 4.1 (dessen Beweis einige Rechnungen erfordert in Whrscheinlichkeit konvergent für n gegen f (W (ω, sw (ω, ds. 1 (ii Die zweite Summe schreiben wir ls f (W (ω, x i 1 (x i x i 1 + n=1 + 1 f (W (ω, x i 1 {(W (ω, x i W (ω, x i 1 (x i x i 1 }, n=1 wobei wir den ersten Term ls Riemnn-Integrl drstellen: 1 f (W (ω, x i 1 (x i x i 1 n=1 } {{ } =:Z n f (W (ω, sds. Der zweite Term (Z n konvergiert in Whrscheinlichkeit gegen. Dies zeigen wir mit der Mrkov-Ungleichung P ( Z n > ɛ 1 ɛ E Z n, denn: E[Z n] = E[f (W (, x i 1 ((W (, x i W (, x i 1 (x i x i 1 ] f t f n E[((W (, x i W (, x i 1 (x i x i 1 ] }{{} N (, t n. (iii Auch für ds Restglied zeigen wir mit der Mrkov-Ungleichung die Konvergenz gegen in Whrscheinlichkeit. Wir setzen dzu die für r(x, y ngegebene obere Schrnke (y x h(x, y in jeden Summnden ein und schätzen den Erwrtungswert b mittels Cuchy-Schwrz-Ungleichung. E[V n ] := E (W (, x i W (, x i 1 h(w (, x i 1, W (, x i E[(W (, x i W (, x i 1 4 ] 1 E[h (W (, x i 1, W (, x i ] 1. }{{} N (, t n E[(... ]4 = 3t n

23 Für den zweiten Fktor nutzen wir die Eigenschften von h us: Gleichmäßige Stetigkeit von h und h(x, x = für lle x gibt uns zu jedem ɛ > ein δ = δ(ɛ >, so dss us x y δ schon h(x, y ɛ folgt, denn x y δ ergibt mx( x y, x x δ und somit h(x, y h(x, x ɛ. Dmit folgt: E[h (W (, x i 1, W (, x i ] = P (dωh (W (ω, x i 1, W (ω, x i + Es folgt (für beliebiges ɛ > : n + { W (x i W (x i 1 <δ} { W (x i W (x i 1 δ} ( 1 ( 3t E V n n ɛ + h = 3t ( ɛ + 1 P (dωh (W (ω, x i 1, W (ω, x i ɛ + h P ( W (, x i 1 W (, x i δ (Mrkov-Ungleichung ɛ + h E[ W (x i W (x i 1 1 ] δ = ɛ + h t δ n. h t n δ. t δ n 1 3t ( ( ɛ + h t δ n Dmit folgt lim sup E V n 3tɛ. D ɛ > beliebig wr, folgt lim E V n =. 1 = Dmit hben wir für die drei Summen einzeln Konvergenz in Whrscheinlichkeit gezeigt. Dnn konvergiert die Gesmtsumme in Whrscheinlichkeit gegen die Summe der Grenzwerte, lso gegen, und ds für jedes feste t. Dnn existiert ber eine P-fst sicher konvergente Teilfolge. Für jedes t [, gilt lso die Ito-Formel P-fs. Lsse t die rtionlen Zhlen durchlufen und wende dnch Stetigkeit der Pfde n, um zu zeigen, dss es Ω gibt mit P (Ω = 1, so dss für lle ω Ω gilt: Ito s Formel ist gültig für lle t R +. Wir hben bisher Ito s Formel für Funktionen f : R R mit kompktem Träger bewiesen. Der llgemeine Fll folgt mit Loklisierung. Sei f C (R, dem Rum der zweiml stetig-differenzierbren Funktionen. Dnn gibt es zu jedem M > ein f M C (R mit kompktem Träger, so dss gilt: f M (x = f(x x R mit x M. Also gilt die Ito-Formel: f M (W (ω, t f M ( = f M (W (ω, sw (ω, ds + 1 f M (W (ω, sds. ( Wir definieren die Stoppzeit für M > : τ M (ω = min(t [, : W (ω, t M. Dnn gilt nch Definition für lle ω {ω : s τ M (ω}: f (W (ω, s = f M (W (ω, s und nch Korollr 4.9 (Erhltung von Gleichheit in L LOC [, T ] somit sowie f (W (ω, sw (ω, ds = f M (W (ω, sw (ω, ds uf {ω Ω : t τ M (ω}, f(w (ω, t = f M (W (ω, t und f (W (ω, sds = f M (W (ω, sds uf {ω Ω : t τ M (ω}. 3

24 Dmit ist ( gerde uf {ω Ω : t τ M (ω} die gesuchte Ito-Formel für f C (R. Weiter geht für M uch P-fst sicher τ M, so dss die Ito-Formel uf Ω gilt. Der Beweis ist vollständig geführt. Anmerkung zur Argumenttion für die Ito-Formel für f C (R mit kompktem Träger: (i Wir hben die Endlichkeit von f benutzt. (ii die Abschätzung von r(x, y : r(x, y y x y x y u (f (u f (x du y x sup x u y f (u f (x du (y x h(x, y. } {{ } =:h(x,y Folgerung 5. g : R R sei stetig differenzierbr und besitze die Stmmfunktion G uf [, t]. Dnn gilt für s t und lle ω Ω: s g(w (ω, sw (ω, ds = G(W (ω, t G(W (ω, s 1 Beweis: Direkt us Stz 5.1 und Stz s g (W (ω, sds. Die Folgerung 5. ist erstunlich, weil wir uf der linken Seite ein Ito-Integrl hben, dessen Definition gerde nicht pfdweise möglich wr, uf der rechten Seite steht ber eine Anweisung, wie in diesem speziellen Fll dennoch pfdweise (lso für jedes ω Ω gerechnet werden knn. Den zweiten (Integrl-Term der rechten Seite knn mn ls Korrekturterm gegenüber der Riemnn- oder Stieltjes-Integrtion nsehen. Beispiel 5.3 Mit g(x = x und somit g (x = 1, sowie G(x = 1 x erhlten wir in der Folgerung 5.: b ws gerde unser Beispiel wr. W (ω, sw (ω, ds = 1 W (ω, b 1 W (ω, 1 (b, ω Ω, Die folgende Verllgemeinerung von Stz 5.1 ist (Beweisskizze Steele [Ste1], S.116 nch dem gleichen Schem wie Stz 5.1 zu beweisen. Sei dzu C m,n (R + R der Rum der Funktionen f : R + R R, (t, x f(t, x, welche m-fch stetig nch t bleitbr sind und nch x n-fch stetig bleitbr sind. Theorem 5.4 (Ito-Formel mit Vriblen in Zeit und Rum Sei f C 1, (R + R, dnn gilt für lle t, ω Ω: f(t, W (ω, t = t f(s, W (ω, sw (ω, ds + f(s, W (ω, sds + x t Folgerung 5.5 Sei f C 1, (R + R und erfülle die folgende Differentilgleichung: + 1 t f(t, x = 1 f(t, x t, x R. x 4 f(s, W (ω, sds + f(,. x

25 Dnn ist der Prozess (X(ω, t : t, ω Ω = (f(t, W (ω, t : t, ω Ω ein lokles Mrtingl. Gilt ußerdem [ ( E f(t, W (ω, t dt] <, x so ist (X(ω, t sogr ein Mrtingl. Beweis: Wenn f die PDE erfüllt, reduziert sich die Drstellung us Stz 5.4 direkt zu: f(t, W (ω, t = f(, + f(s, W (ω, sw (ω, ds, ω Ω, t. x D f C 1, (R + R ist, ist xf(t, x stetig und dmit x f(t, W (ω, t L LOC [, T ], t T, ω Ω. Dmit ist nch Stz 4.13 ds Ito-Integrl eine Version eines loklen Mrtingls. Unter der Zustzbedingung ist zusätzlich x f(t, W (ω, t H [, T ], t T, ω Ω, lso ds Ito- Integrl drüber nch Stz 3.1 ein Mrtingl. Die Bedingung us der Folgerung 5.5 wird ls Mrtingle PDE Condition bezeichnet. Beispiel 5.6 ( Ein häufig verwendetes Mrtingl ist der Prozess (M(t = exp(αw (t α t : t = M. Dzu setzen wir f(t, x = exp(αx α t, t, x R. Direkte Rechnung zeigt: f(t, x = α f(t, x und t x f(t, x = α f(t, x. Dmit ist die Mrtingle PDE Condition us Folgerung 5.5 erfüllt, somit M ein lokles Mrtingl. Außerdem ist direkt nchzurechnen, dss uch die dortige H -Bedingung erfüllt ist. Auf die gleiche Weise zeigt fru: (b mit f(t, x = x t wird M(t = W (t t ein Mrtingl, d uch f(t, W (, t H ist, (c mit f(t, x = x wird W (t ein Mrtingl, d W (t H gilt. Definition 5.7 (Differentielle Schreibweise der Ito-Formel Sei f C 1, (R + R und X(ω, t := f(t, (W (ω, t, ω Ω, t. Dnn ist dx(t = x f(t, W (tw (dt + t f(t, W (tdt + 1 f(t, W (tdt, t, x eine Kurzschreibweise für die Ito-Formel f(t, W (t = X(t = X( + t f(s, W (sw (ds + x f(s, W (sds + t + 1 f(s, W (sds, t, t us Stz 5.4, wobei diese Formel ω-weise lesbr ist; entsprechend ist uch die Differentielle Form zu interpretieren. (Hinweis: Oft schreibt mn dw (t = W (dt. Beispiel 5.8 Es ist f : R + R R, (t, x µt + σx, mit t R, s (, us C 1, (R + R. Dmit können wir über die Ito-Formel us Stz 5.4 mit x f(t, x = σ, tf(t, x = µ und x f(t, x = den Prozess X(t = f(t, W (t, t, berechnen: X(ω, t = + σw (ω, ds + µds = µt + σw (ω, t, ω Ω, t. 5

26 Es ist lso X = (X(t : t ein Wiener Prozess mit konstnter Drift µ und konstnter Vrinz σ. Nch Definition 5.7 können wir diesen Prozess uch differentiell chrkterisieren ls: dx(t = µdt + σw (dt = µdt + σdw (t. Fsst mn in der Ito-Formel die Riemnn-Integrle zusmmen, so hben wir in der Nottion us Definition 5.7: Sei f : R + R derrt, dss gilt: dx(t = dx(ω, t = X(ω, dt = (ω, tdt + b(ω, tw (ω, dt. f(ω, s (ω, s L 1 (λ 1 P-fst sicher für ω. f(ω, s b(ω, s L LOC. Dnn knn mittels Y (ω, t := := f(ω, sx(ω, ds := f(ω, s(ω, sds + ein Integrl bezüglich eines Ito-Prozesses definiert werden. f(ω, sb(ω, sw (ω, ds t, ω Ω, Als Folge der bisherigen Herleitungen gibt es sofort ds Problem: Sei g : R + R R hinreichend gltt. Knn dnn g(t, Y (ω, t wieder ls dx(t-integrl usgedrückt werden? Die Ito-Formel des Stzes 5.4 sgt gerde, dss dies im Flle der stndrdisierten Brownschen Bewegung der Fll ist. Beispiel 5.9 Sei X = (X(t : t ein Wiener Prozess mit Drift µ (konstnt und Vrinz σ (konstnt. Sei f : R + R R C 1, (R + R. Wir suchen eine Drstellung für Y (ω, t := f(t, X(ω, t. In diesem Fll hilft die Ito-Formel direkt weiter, denn wir hben Y (ω, t := f(t, µt + σw (ω, t, t, ω Ω. Setzen wir lso g(t, x := f(t, µt + σx, so folgt: Y (ω, t = g(t, W (ω, t und g C 1, (R + R. Die Ito-Formel (in der differentiellen Schreibweise us Definition 5.7 ergibt für Y (t: Direktes Rechnen ergibt: dy (t = g(t, W (tdt + g(t, W (tw (dt + g(t, W (tdt. t x x t g(t, x = f(t, µt + σx + f(t, µt + σx µ t x g(t, x = f(t, µt + σx σ x x g(t, x = x x f(t, µt + σx σ, und Einsetzen: dy (t = f(t, µt + σw (tdt + f(t, µt + σw (t (µdt + σ W (dt + t x + 1 x f(t, µt + σw (t σ dt = = f(t, X(tdt + t x f(t, X(tdX(t + 1 x f(t, X(t σ dt ( = f(t, X(t, 6

27 wobei ( = nur nochmls die Definition von Y (t wiederholt. In differentieller Form hben wir dmit die Ito- Formel für den nicht-stndrdisierten Wiener Prozess mit konstnten Koeffizienten hergeleitet. Diese Formel ist für llgemeine Prozesse herleitbr; hinreichend ist, dss Y (t = f(t, W (t gilt mit f C 1, (R + R. Beispiel 5.1 Sei X(t = exp(αt + σw (t, t, mit α R, σ >. Dnn ist X = (X(t : t die geometrische Brownsche Bewegung. Mit mehr Aufwnd beim Herleiten der prtiellen Ableitungen wird uch hier die differentielle Form der Ito- Formel nchgewiesen: dx(t = (α + 1 σ X(tdt + σx(tdw (t. Anmerkung 5.11 Der einzige Trick in der Herleitung der Ito-Formel für den llgemeinen Wiener Prozess wr die Zusmmenfssung der Linerfktoren bei xf(t, µt + σw (t und die nschließende Folgerung, dss dieser forml errechnete Term (µdt + σw (dt uch ttsächlich einen, sogr denselben Wiener Prozess bei einer Rückinterprettion drstellt. Ein entsprechender Klkül ist beweisbr: Seien α, β,, b dptierte Prozesse, dnn gilt: (dt + bw (dt(αdt + βw (dt = = αdt dt + βdt W (dt + bαw (dt dt + bβw (dt W (dt = bβdt, mit den Rechenregeln: dt dw (t dt dw (t dt Definition 5.1 Ein stochstischer Prozess X = (X(t : t T heißt Stndrd-Prozess, wenn er eine Integrldrstellung X(ω, t = x + (ω, sds + b(ω, sw (ω, ds, ω Ω, t [, T ], besitzt, wobei (ω, s, b(ω, s, ω Ω, s [, T ], dptierte, messbre Prozesse sind, welche den Integrbilitätsbedingungen ( ( P ω : (ω, s ds < = 1, P genügen, d.h. (ω, ist P-fs Riemnn-integrierbr und b L LOC [, T ]. ω : b (ω, sds < Die Beweise der beiden folgenden Sätze finden sich bei Steele [Ste1], S Theorem 5.13 Sei f C 1, (R + R und X = (X(t : t T ein Stndrd-Prozess mit Drstellung Dnn gilt die Ito-Formel: X(ω, t = (ω, sds + b(ω, sw (ω, ds, ω Ω, t T. t f(t, X(ω, t = f(, + f(s, X(ω, sds + f(s, X(ω, sx(ω, ds + t x + 1 x f(s, X(ω, sb (ω, sds, ω Ω, t T. = 1 7

28 Corollry 5.14 Unter den Vorussetzungen des Stzes hben wir für den Prozess Y (ω, t := f(t, X(ω, t, ω Ω, t T, die differentielle Drstellung dy (t = f(t, X(tdt + t x f(t, X(tdX(t + 1 Beweis: Der einzige nicht direkt sichtbre bergng ist: 1 t x f(s, X(ω, sb (ω, sds 1 f(t, X(tdX(t dx(t = x f(t, X(tdX(t dx(t x = 1 x f(t, X(tb (ω, tdt. Unsere Rechenregeln (Box-Klkül ergeben ber us der Drstellung von X ls dx(t = (tdt + b(tdw (t die Vereinfchung dx(t dx(t = ((tdt + b(tdw (t = b (tdt. Theorem 5.15 Sei f C, (R + R und X = (X(t : t T, Y = (Y (t : t T Stndrd-Prozesse mit den Drstellungen Dnn gilt: X(ω, t = Y (ω, t = (ω, sds + α(ω, sds + b(ω, sw (ω, ds, β(ω, sw (ω, ds. f(x(ω, t,y (ω, t = f(, f(x(ω, s, Y (ω, sy (ω, ds + y f(x(ω, s, Y (ω, sx(ω, ds + x x f(x(ω, s, Y (ω, sb (ω, sds + y f(x(ω, s, Y (ω, sβ (ω, sds + f(x(ω, s, Y (ω, sb(ω, sβ(ω, sds, t T, ω Ω. xy Corollry 5.16 Unter den Annhmen des Stzes 5.15 ht der Prozess Z(t = f(x(t, Y (t die folgende differentielle Drstellung: dz(t = x f(x(t, Y (tdx(t + f(x(t, Y (tdy (t + y + 1 f(x(t, Y (tdx(t dx(t + f(x(t, Y (tdx(t dy (t + x xy + 1 f(x(t, Y (tdy (t dx(t, t. x 8

29 In der einfchsten Ito-Formel (us Stz 5.4 hben wir für f C 1, (R + R eine Drstellung ( f(t, W (t = t f(s, W (s + 1 f(s, W (s ds + f(s, W (sw (ds = x x =: (s, W (sds + b(s, W (sw (ds, und wir wissen, dss gilt: E[ b(s, W (sw (ds] =. Also ist sämtliche Informtion über die Drift von f(t, W (t =: Y (t im ersten Integrl enthlten. Die Vribilität wird im Wesentlichen durch ds Ito-Integrl drgestellt. In der differentiellen Form dy (t = (t, W (tdt + b(t, W (tw (dt interpretiert mn in der Modellierung mit stoch. DGL entsprechend. Beispiel 5.17 Gegeben dx(t = µ(t, X(tdt+σ(t, X(tdW (t mit einer Anfngsbedingung X( = x. Dnn bestimmt µ(, die kurzfristigen (differentiellen Zuwächse und σ(, die entsprechende Vribilität von X. Wir untersuchen ein Beispiel: µ(b, x := µ x, µ R, σ(t, x = σ x, σ >. Drift und Vribilität sind lso proportionl zum ktuellen Zustnd und wir hben: dx(t = µ X(tdt + σ X(tdW (t, X( = x >. Zu einer Lösung dieser SDE mchen wir den Anstz X(t = f(t, W (t, t, mit hinreichend glttem f(, C 1, (R + R. Die Ito-Formel liefert dnn ds zugehörige Differentil und wir können Koeffizientenvergleich mchen: µ f(t, x = t f(t, x + 1 f(t, x x σ f(t, x = f(t, x, d.h.: x x f(t, x 1 f(t, x = σ. Die letzte Gleichung besitzt die Lösung f(t, x = exp(σx + g(t für eine frei wählbre gltte Funktion g(. Einsetzen in die erste Gleichung liefert: Dmit gilt insgesmt: d dt g(t = µ 1 σ. X(t = f(t, W (t = x exp ((µ 1 σ t + σw (t, es hndelt sich lso um die geometrische Brownsche Bewegung us Beispiel 5.1. Anmerkung: Für nicht llzu komplizierte SDE muss die Menge der zulässigen Anstzfunktionen noch vergrößert werden, siehe z. B.: [Ste1], S. 137ff. Litertur [Arn73] L. Arnold. Stochstische Differentilgleichungen: Theorie und Anwendungen. R. Oldenbourg Verlg, München Wien,

30 [CW9] K. L. Chung nd R. J. Willims. Introduction to Stochstic Integrtion. Birkhäuser, edition, 199. [Fic67] G.M. Fichtenholz. Differentil- und Integrlrechnung III. VEB Deutscher Verlg der Wissenschften, Berlin, edition, [Øks3] B. Øksendl. Stochstic Differentil Equtions. Springer, Berlin, 6 edition, 3. [Ste1] J.M. Steele. Stochstic Clculus nd Finncil Applictions, volume 45 of Applictions of Mthemtics - Stochstic Modelling nd Applied Probbility. Springer, New York, 1. 3