Statistischen Praktikum

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1 Insttut für Stochastk SS 2008 Unverstät Karlsruhe JProf. Dr. H. Holzmann Dpl.-Math. oec. D. Engel Übungen zum Statstschen Praktkum Aufgabe 1 (Zusatzaufgabe 1 zur logstschen Regresson) Am exploderte de amerkansche Raumfähre Challenger (OV-99) kurz nach dem Start der Msson STS-51-L mt seben Astronauten an Bord. Als Ursache der Katastrophe wurden Materalermüdungserschenungen an den Dchtungsrngen m Berech der Trebwerke, den so genannten O-Rngen, ausgemacht. Von desen O-Rngen bestzen de beden Raketentrebwerke nsgesamt sechs Stück. Zum Zetpunkt des Startes der Challenger herrschte ene Außentemperatur von nur 31 F (ca. 0 C). In der Nacht vor der Challenger Katastrophe fand ene mehrstündge Telefonkonferenz mt den Experten des Trebwerkherstellers Morton Thokol, des Marshall Space Flght Center der NASA und des Kennedy Space Center Raumflughafens statt. Im Wesentlchen gng es dabe um de Wettervorhersage von extrem nedrgen 31 F Außentemperatur für de Startzet am nächsten Morgen und den Effekt ener nedrgen Außentemperatur auf de Zuverlässgket der O-Rnge. Be deser Telefonkonferenz spelte der Datensatz challeng, den Se m R-Paket alr3 sowe unter challeng.txt auf der Sete zum Praktkum fnden, ene wchtge Rolle. Deser gbt n Fal für de vorhergen Flüge der NASA-Raumfähren an, we vele der O-Rnge Ermüdungserschenungen zegten. Außerdem gbt (u.a.) Temp de Außentemperatur n F zur jewelgen Startzet an. a) Laden Se zunächst das Paket alr3 mt Hlfe des Befehls lbrary(alr3) und anschleßend den Datensatz challeng mt data(challeng) oder lesen Se den Datensatz challeng.txt von der Sete zum Praktkum en. Bestmmen Se de mnmale und de maxmale Außentemperatur be den bshergen Starts sowe deren Mttelwert und Medan. Be welchen Temperaturen traten n der Vergangenhet Probleme mt den O-Rngen auf (Fal> 0)? Beurtelen Se, de auf deser Grundlage getroffene Entschedung, de Raumfähre am nächsten Morgen starten zu lassen. b) Nach der Katastrophe nahm ene von der U.S. Regerung engesetzte Expertenkommson (Rogers-Kommson) de Starttemperaturen der problemlos verlaufenen Flüge hnzu. Führen Se de Zelvarable y en, de 1 st, falls bem entsprechenden Flug en Problem mt den Dchtungsrngen aufgetreten war, das heßt Fal> 0, und de 0 st, falls ken Problem vorlag. Zechen Se nun en Streudagramm von y gegen Temp. Was beobachten Se? We würden Se auf deser Grundlage de Entschedung für enen Start be 31 F bewerten? c) Passen Se en lneares Modell der Form y = β 1 + β 2 Temp + ε an de Daten an. Ist der lneare Temp-Term zum 99% Nveau sgnfkant? Zechnen Se de Regressonsgerade n das Streudagramm aus Telaufgabe b) en. Warum lefert das lneare Modell kene gute Beschrebung der Daten? d) Beschreben Se nun de Wahrschenlchket p für den Ausfall enes Dchtungsrngs n Abhänggket von der Außentemperatur Temp zum Startzetpunkt durch en logstsches Modell (Logt-Lnk). Welche Schätzwerte erhalten Se für de Modellparameter?

2 e) Plotten Se de Ausfallwahrschenlchket enes Dchtungsrngs, de Se mt dem angepassten Modell aus Telaufgabe d) erhalten, n Abhänggket von der Außentemperatur. Geben Se de Wahrschenlchket an, mt welcher (unter desem Modell) be der prognostzerten Temperatur von 31 F mt enem Ausfall zu rechnen war. f) Wederholen Se de Telaufgaben d) und e) für () de Probt-Lnkfunkton () de komplementäre Log-log-Lnkfunkton anstatt der Logt-Lnkfunkton. R-Hnwes: Se erhalten de Probt-Lnkfunkton bzw. de komplementäre Log-log-Lnkfunkton mt Hlfe der Befehle glm(y Temp,famly=bnomal(lnk= probt )) bzw. glm(y Temp,famly=bnomal(lnk= cloglog )). Aufgabe 2 (Zusatzaufgabe 2 zur logstschen Regresson) Betrachten Se nochmals den challeng-datensatz aus dem Paket alr3, der berets n der Zusatzaufgabe 1 untersucht wurde. a) Fassen Se nun jewels de Gesamtanzahl der Flüge und dejengen mt Ermüdungserschenungen be den Dchtungsrngen für de Starttemperaturen 51 F bs (enschleßlch) 55 F, 56 F bs 60 F,...,81 F bs 85 F zusammen und verwenden Se den Mttelpunkt enes jeden Intervalls als erklärende Varable. b) Bestmmen Se de Wahrschenlchket p für de enzelnen Temperaturntervalle mt denen en Problem bezüglch der O-Rnge auftrat und passen Se für dese Wahrschenlchketen en logstsches Modell an. c) Erstellen Se en Streudagramm der Wahrschenlchket für en Problem mt den O-Rngen n Abhänggket der Mttelpunkte der entsprechneden Temperaturntervallen und zechnen Se de Kurve der angepassten Responsefunkton aus Telaufgabe b) en. d) Ersetzen Se Wahrschenlchketen p von 0 und 1 durch bezehungswese 0.999, so dass Se de Logt-Lnkfunkton für de Wahrschenlchketen berechnen können und berechnen Se dese, das heßt, bestmmen Se ( ) p Logt(p) = log 1 p für de enzelnen Temperaturntervalle. e) Passen Se en lneares Modell der Form ( ) p log = β 1 + β 2 Temp + ε =: η + ε 1 p an. Replzeren Se de Werte der enzelnen Temperaturntervalle dabe entsprechend der Anzahl der Beobachtungen n desen Intervallen. Welche Klenste-Quadrate Schätzer β 1 und β 2 erhalten Se für das lneare Modell? 1 f) Zechnen Se de Kurve 1 + e η mt η = β 1 + β 2 Temp ebenfalls n das Schaubld aus Telaufgabe c) en. Stmmt dese Kurve mt derjengen aus Telaufgabe c) überen? Erklären Se des kurz.

3 g) We groß st be den beden oben betrachteten Modellen de Wahrschenlchket enes Problems mt den O-Rngen be ener Starttemperatur von 31 F? h) Betrachten Se jetzt nur noch zwe Klassen (Gruppen) von Flügen, nämlch solche, be denen de Außentemperatur zum Startzetpunkt maxmal 67 F betrug, und solche mt ener Außentemperatur von über 67 F bem Start. Stellen Se de 23 Indvdualdaten aus dem ursprünglchen Datensatz nach deser Grupperung n Form ener so genannten Kontngenztabelle dar, das heßt bestmmen Se de Anzahl der Flüge a, b, c und d n der folgenden Tabelle Problem ken Problem Temp 67 a b Temp > 67 c d und stellen Se de Antele graphsch n enem so genannten Mosak-Plot dar. ) Passen Se an de grupperten Daten aus Telaufgabe h) auf de folgenden dre Arten jewels en logstsches Modell an: () drekt glm()-befehl auf bnäre Größen (Problem: ja/nen und Temperatur maxmal 67 F: ja/nen )anwenden. () mt dem Befehl glm(c(a/(a+b),c/(c+d)) c(1,0),famly=bnomal,weghts=c(a+b,c+d)). () mt dem Befehl glm(cbnd(c(a,c),c(b,d)) c(1,0),famly=bnomal). Verglechen Se de summary-outputs der dre oben angepassten Modelle. Aufgabe 3 (Zusatzaufgabe 3 zur logstschen Regresson) De Larve des tobacco budworms (Heloths vrescens) st für große Enbußen be der Baumwollernte n den Verengten Staaten sowe Mttel- und Südamerka verantwortlch. J.W. Holloway untersuchte daher 1989 n sener Dssertaton A comparson of the toxcty of the pyrethrod trans-cypermethrn, wth and wthout the synergst pperonyl butoxde, to adult moths from two strans of Heloths vrescens Resstenzlevels der erwachsenen Nachtfalter gegenüber dem Insektzd Cypermethrn aus der Gruppe der Pyrethrode. In desem Versuch wurden Pyrethrod-resstente Falter, nach Geschlecht getrennt, n Versuchsenheten zu je 20 Teren zwe Tage nach dem Schlüpfen verschedenen Mengen von Cypermethrn ausgesetzt. Das Zel deser Untersuchung war, den Effekt ener anstegenden Doss an Cypermethrn auf de Toxztät zu beurtelen. De Daten zu desem Experment fnden Se m Datensatz budworm.txt auf der Sete zum Praktkum. De Varable sex gbt an, ob be der entsprechenden Versuchsenhet männlche (sex=0) oder weblche (sex=1) Falter betrachtet wurden. De Varable dose gbt de Doss an Cypermethrn n Mllgramm an, der de Falter ausgesetzt waren und s st de Anzahl der Tere, de 72 Stunden nach der Behandlung mt dem Insektzd ken Lebenszechen mehr von sch gaben. Weter gbt n de Anzahl der Tere n den enzelnen Versuchsenheten weder (n = 20 ). a) Lesen Se den Datensatz n R en und verschaffen Se sch enen ersten Überblck über de Daten. b) Passen Se en logstsches Modell mt Hlfe des glm()-befehls an de Daten an und betrachten Se den summary-output für deses Modell.

4 Das Zel m weteren Verlauf deser Aufgabe st, de Werte, welche der summary-output lefert, enmal von Hand zu berechnen. c) Bestmmen Se zunächst teratv den Schätzer β = ( β 1, β 2, β 3 ) T für de Koeffzenten β 1, β 2 und β 3 be der logstschen Regresson, welcher Ihnen der summary()-befehl unter Estmate lefert. Se können herzu, we folgt, vorgehen: () Berechnen Se mt Hlfe ener lnearen Regresson Startwerte β (0) = ( β (0) (0) (0) 1, β 2, β 3 )T für de geschätzten Regressonskoeffzenten. () Berechnen Se den lnearen Prädktor η = X β (0), wobe X, we üblch, de Desgnmatrx st. () Bestmmen Se als nächstes p (0) = exp(η ) 1 + exp(η ). (v) Bestmmen Se nun de auf Grundlage der Wahrschenlchketen p (0) µ (0) = n p (0) von Treffern n der ten Gruppe. erwartete Anzahl (v) Berechnen Se den verbesserten Schätzer β (1) = ( β (1) (1) (1) 1, β 2, β 3 )T für de Regressonskoeffzenten be der logstschen Regresson mt Hlfe der Formel β (1) = β ( [ (0) + X T dag n p (0) [ ( )] wobe dag n p (0) der Dagonalen bezechnet. ( )] X) 1 X T (s µ (0) ), (1) ( de Dagonalmatrx mt den Enträgen n p (0) (v) Wederholen Se de obgen Schrtte () bs (v) so lange, bs β (1) = 1, 2, 3. Setzen Se dabe vor Begnn jedes Durchgangs β (0) = β (1). β (0) ) auf < 10 6 für alle d) Bestmmen Se als nächstes de Kovaranzmatrx der n Telaufgabe c) geschätzten Regressonskoeffzenten β = ( β 1, β 2, β 3 ) T be der logstschen Regresson gemäß der Formel Cov( β) = ( X T dag [n p (1 p )] X ) 1, wobe X weder de Desgnmatrx bezechnet und p = exp( β 1 + β 2 sex + β 3 dose ) 1 + exp( β 1 + β 2 sex + β 3 dose ) st. Berechnen Se damt de Standardabwechungen sd( β ) für de geschätzten Regressonskoeffzenten, de Se m summary-output unter Std. Error fnden. e) Telen Se nun de geschätzten Regressonskoeffzenten β durch hre Standardabwechungen sd( β ) um de Werte z der z Teststatstk (z value) zu erhalten. f) Bestmmen Se de entsprechenden p Werte (Pr (> z )) zu den z Werten aus Telaufgabe e), welche durch { 2(1 Φ(z)) falls z 0 2Φ(z) falls z < 0 gegeben snd, wobe Φ de Vertelungsfunkton der Standardnormalvertelung bezechnet. g) Geben Se de Nulldevanz (Null devance), das heßt de Devanz des Modells, welches nur den Intercept enthält, de gerade durch 2(L sat L null ) gegeben st, an.

5 h) De Devanz D des angepassten logstschen Modells (Resdual Devance) st durch D = 2(L sat L logt ) gegeben, dabe st L logt der Wert der Log-Lkelhood-Funkton für p = exp( β 1 + β 2 sex + β 3 dose ) 1 + exp( β 1 + β 2 sex + β 3 dose ). ) Berechnen Se de Devanzresduen r D. Nutzen Se dabe aus, dass rd gerade de Wurzel des Betrags der ten Beobachtung zur Devanz st, wobe das Vorzechen das gleche we das von s n p st. Se erhalten de Zusammenfassung der Devanzresduen, de Se m summary-output des logstschen Modells aus Telaufgabe b) unter Devance Resduals fnden, am enfachsten, wenn Se den summary()-befehl auf den Vektor der gerade berechneten Devanzresduen anwenden. j) Berechnen Se den Wert des AIC mt Hlfe der Formel AIC = 2L logt + 2p, wobe p de Anzahl der erklärenden Varablen (nklusve Intercept) angbt.