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1 ,6' 5)'5,+$%,/+-6&+/h7(5 ',/,5/8 hexqjvdxjdehq + KHUH6FKLVHVWLJNHLW Duisburg,. Dezember 999 can. arch. nav Chrisian Weißenborn

2 URÃ'U,QJÃKDELOÃ+Ã-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP nhalsverzeichnis BALKENTRAGWERKE.... SPANT UNTER HYDROSTATSCHEM DRUCK ().... SPANT UNTER HYDROSTATSCHEM DRUCK ()...7. DURCHLAUFTRÄGER AUF STARREN STÜTZEN...5. DURCHLAUFTRÄGER AUF ELASTSCHEN STÜTZEN....5 SCHFFSQUERSCHNTT UNTER STRECKENLASTEN TRÄGERROST UNTER STRECKENLAST... WÖLBUNBEHNDERTE TORSON.... TORSONSBELASTETER SCHFFSQUERSCHNTT... WÖLBBEHNDERTE TORSON...7. TORSONSBELASTETER ENZELLGER TRÄGER...7. WÖLBSPANNUNG ENES MEHRZELLGEN KASTENQUERSCHNTTES...56 QUERKRAFTBEGUNG BEGESPANNUNG M SCHFFSQUERSCHNTT QUERKRAFTSCHUBSPANNUNG M SCHFFSQUERSCHNTT EBENER SPANNUNGSZUSTAND KRAGSCHEBE MT ENDLAST (POTENZREHENANSATZ)...77 San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

3 URÃ'U,QJÃKDELOÃ+Ã-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilungsverzeichnis ABBLDUNG.-A: SPANTFORM UND -ABMESSUNGEN ()... ABBLDUNG.-B: STATSCH BESTMMTES HAUPTSYSTEM UND DEFNTON DER SCHNTTKRÄFTE... ABBLDUNG.-C: SCHNTTGRÖßENVERLÄUFE... ABBLDUNG.-D: BERECHNUNG DES WDERSTANDSMOMENTES...5 ABBLDUNG.-E: BEGEVERFORMUNG DES SPANTS...6 ABBLDUNG.-A: SPANTFORM UND -ABMESSUNGEN ()...7 ABBLDUNG.-B: STATSCH BESTMMTES HAUPTSYSTEM UND DEFNTON DER SCHNTTKRÄFTE...8 ABBLDUNG.-C: SCHNTTKRÄFTE M BERECH...9 ABBLDUNG.-D: SCHNTTGRÖßENVERLÄUFE... ABBLDUNG.-A: DURCHLAUFTRÄGER...5 ABBLDUNG.-B: BEGEMOMENTENVERLAUF...9 ABBLDUNG.-C: SUPERPOSTON VERSCHEDENER BELASTUNGS- UND LAGERUNGSFÄLLE... ABBLDUNG.-D: BEGELNE DES DURCHLAUFTRÄGERS (-FACH ÜBERHÖHT)... ABBLDUNG.-A: DURCHLAUFTRÄGER AUF ELASTSCHEN STÜTZEN... ABBLDUNG.-B: BEGEMOMENTENVERLAUF...5 ABBLDUNG.-C: SUPERPOSTON VERSCHEDENER BELASTUNGS- UND LAGERUNGSFÄLLE...6 ABBLDUNG.-D: BEGELNE DES DURCHLAUFTRÄGERS (5-FACH ÜBERHÖHT)...6 ABBLDUNG.5-A: SCHFFSQUERSCHNTT ALS BALKENTRAGWERK...7 ABBLDUNG.5-B: STATSCH BESTMMTES HAUPTSYSTEM...8 ABBLDUNG.5-C: BEGEMOMENTENVERLAUF M OBEREN DECK... ABBLDUNG.5-D: BEGEMOMENTENVERLAUF N DER OBEREN SETENWAND... ABBLDUNG.5-E: BEGEMOMENTENVERLAUF M MTTELDECK... ABBLDUNG.5-F: BEGEMOMENTENVERLAUF N DER UNTEREN SETENWAND... ABBLDUNG.5-G: DURCHBEGUNG DES SCHFFSQUERSCHNTT UNTER DEN STRECKENLASTEN... ABBLDUNG.6-A: TRÄGERROST... ABBLDUNG.6-B: FRESCHNTT DER LÄNGS- UND QUERTRÄGER...5 ABBLDUNG.6-C: MOMENTENVERLAUF M TRÄGER A...6 ABBLDUNG.6-D: MOMENTENVERLAUF M TRÄGER B...7 ABBLDUNG.6-E: MOMENTENVERLAUF M TRÄGER C...7 ABBLDUNG.6-F: MOMENTENVERLAUF M TRÄGER D...8 ABBLDUNG.6-G: MOMENTENVERLAUF M TRÄGER E...8 ABBLDUNG.6-H: DURCHBEGUNG TRÄGER A...9 ABBLDUNG.6-: DURCHBEGUNG TRÄGER B... ABBLDUNG.6-J: DURCHBEGUNG TRÄGER C... ABBLDUNG.6-K: DURCHBEGUNG TRÄGER D... ABBLDUNG.6-L: DURCHBEGUNG TRÄGER E... ABBLDUNG.6-M: DURCHBEGUNG DES GESAMTEN TRÄGERROSTES... ABBLDUNG.-A: MEHRZELLGER SCHFFSQUERSCHNTT... ABBLDUNG.-B: GRAFSCHE DARSTELLUNG DER TORSONSSPANNUNGEN τ (PROZENTUALEN WERTE)...6 ABBLDUNG.-A: ENZELLGER RECHTECKQUERSCHNTT...7 ABBLDUNG.-B: ENZELLGER KASTENQUERSCHNTT...8 ABBLDUNG.-C: RANDBEDNGUNGEN FÜR DE VERDRLLUNG...5 ABBLDUNG.-D: WÖLBSCHUB- UND WÖLBNORMALSPANNUNG...5 ABBLDUNG.-E: VERFORMUNG DES QUERSCHNTTES BE Z= L /...55 ABBLDUNG.-A: KASTENQUERSCHNTT...56 ABBLDUNG.-B: FLÄCHENTRÄGHETSMOMENT...57 ABBLDUNG.-C: BEZOGENE SCHUBFLÜSSE...58 ABBLDUNG.-D: WÖLBNORMALSPANNUNG M QUERSCHNTT Z=L...6 ABBLDUNG.-E: WÖLBSCHUBSPANNUNG M QUERSCHNTT Z=L...6 ABBLDUNG.-A: MEHRZELLGER SCHFFSQUERSCHNTT...65 ABBLDUNG.-B: BEGESPANNUNGEN M SCHFFSQUERSCHNTT...66 ABBLDUNG.-A: VERENFACHTER, DREZELLGER TANKERQUERSCHNTT...67 ABBLDUNG.-B: DREZELLGER QUERSCHNTT...68 San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

4 URÃ'U,QJÃKDELOÃ+Ã-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP ABBLDUNG.-C: BEGESPANNUNG...69 ABBLDUNG.-D: GRAFSCHE DARSTELLUNG DES SCHUBFLUßES NFOLGE Q X...7 ABBLDUNG.-E: GRAFSCHE DARSTELLUNG DES SCHUBFLUßES NFOLGE Q Y...7 ABBLDUNG.-F: AUSGEWÄHLTE PUNKTE DES QUERSCHNTTES...75 ABBLDUNG 5.-A: KRAGSCHEBE MT ENDLAST...77 ABBLDUNG 5.-B: SPANNUNGSVERLAUF σ XY...8 ABBLDUNG 5.-C: LNEN GLECHER VERGLECHSSPANNUNG...8 ABBLDUNG 5.-D: VERFORMUNGEN DER SCHEBE...85 San:..99 V Skrip_Schiffsfesigkei.oc

5 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Balkenragwerke. Span uner hyrosaischem Druck () Berechnen Sie für en im folgenen argesellen Schiffsquerschni ie geforeren Größen. Abbilung.-a: Spanform un -abmessungen () Werksoffaen: σ zul =5 N / mm Wasser: ρ= kg / m³ Geomerieaen: E = cons. Abmessungen: L =95 mm; L =6 mm; Spanabsan: a=8 mm; Außenhauicke = mm Belasungen: hyrosaischer Druck: p = ρ g z Aufgaben: Bereiche: s L un s L A) Wievielfach saisch unbesimm is as Sysem, wählen Sie ein saisch besimmes Haupsysem. B) Berechnen Sie ie Längskraf-, Querkraf- un Momenenverläufe infolge er äußeren Belasung im saisch besimmen Haupsysem. C) Berechnen Sie ie Längskraf-, Querkraf- un Momenenverläufe infolge er Einheisbelasung er saischen Unbekannen im saisch besimmen Haupsysem. D) Besimmen Sie ie saischen Unbekannen, berücksichigen Sie abei nur ie Biegeaneile. E) Sellen Sie ie Schnikrafverläufe grafisch ar. F) Ermieln Sie as erforerliche Wiersansmomen für en Span un wählen Sie ein geeignees Profil anhan er GL- Tabellen aus. G) Ermieln Sie ie Biegeverformung un sellen Sie iese grafisch ar. San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

6 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Lösung: zu A) Saisch besimmes Haupsysem 6 (Auflagerreakionen) - (Gleichgewichsbeingungen) = Das Sysem is reifach saisch unbesimm. Abbilung.-b: Saisch besimmes Haupsysem un Definiion er Schnikräfe Sreckenlas in er Tiefe z: qz ()= ρgza zu B) Schnigrößen infolge er äußeren Belasung: nervall L Q M s L q( s ) s q( s) 6 s s L ql ( ) L ql ( ) s 6 q( L ) L + q( L ) s Tabelle.-a: Längskraf-, Querkraf- un Biegemomenverläufe infolge er äußeren Belasungen San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

7 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP zu C) Schnigrößen infolge er saischen Unbekannen: nervall L L L s L s L - nervall Q Q Q s L s L nervall M M M s L s - s L s L - Tabelle.-b: Längskraf-, Querkraf- un Biegemomenverläufe infolge er Einheisbelasung er saischen Unbekannen zu D) Besimmung er saischen Unbekannen Leg man als Einhei er Kraf N un als Einhei er Länge cm zu Grung leg laue as Gleichungssysem zur Besimmung er saischen Unbekannen: sym. X X X = Gleichung.-a = M M s mi i = E i, j i j ( l) ij = E = 7 E = 5 E E = , E E = 55 E = E = 7655 E ji = 8 = 6, 5 = 77596,,, un j =,,, Gleichung.-b San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

8 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Die Lösung es Gleichungssysems liefer: X X X = 5, 858kN = 6, 6kN =, 55kNm Gleichung.-c (Hinweis: Die Lösung is unabhängig von er Biegeseifigkei E, a sie in allen nervallen gleich is.) zu E) Besimmung er Schnigrößen einschließlich grafischer Darsellung Ls ( ) = L( s) + X L( s) i= i i i Qs ( ) = Q( s) + X Q( s) i= i i i M( s ) = M ( s ) + X M ( s) i= i i i Gleichung.- Abbilung.-c: Schnigrößenverläufe San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

9 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP zu F) Berechnung es erforerlichen Wiersansmomens Das maximale Biegemomen ri in er Kimm auf un beräg M max = 5,9 knm. Daraus läß sich as erforerliche Wiersansmomen wie folg berechnen: W W erf M max = σ zul = 95cm erf., Aus er GL-Tabelle kann ann ein ensprechenes Profil auswählen. Z.B. HP x6 Gleichung.-e Nachrechnung es gewählen Profils: Dabei is p er Absan es Schwerpunkes es Profils alleine, un e er Absan es Schwerpunkes es Sysems besehen aus Blech un Profil (von er Unerkane es Profils). Für ie miragene Breie kann nach GL Kapiel Abschni E.. er Spanabsan gesez weren. Abbilung.-: Berechnung es Wiersansmomenes A p = 8,7 cm² p = 85, cm p = 58,7 mm h = mm e = Ai A i i a = + A a + A p p p W = = h e ( ) a + a e + p + Ap p e h e Gleichung.-f San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

10 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN e =, 8cm =, cm W = 6, 5cm URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Gleichung.-g zu G) Berechnung un grafische Darsellung er Biegeverformung Die Berechnung er Biegeverformung erfolg urch Überlagerung verschieener Biegefälle. ( ) vs 5 ( ) L s s s M ( ) L s s s ( ) ql = 6 E 7 L + L L + 6 E L + L L M L L + 6 E 5 ( ) L s s s M ( L ) L s s s ( ) ql ( ) = + vs + 6 E L L L 6 E + + M L L L L L 6 E s s L L s L s L Gleichung.-h [cm] 7,cm v max =9,mm 9,cm [cm] -fach überhöhe Darsellung [ - mm],8mm [mm] 998 Abbilung.-e: Biegeverformung es Spans Die Biegeverformung es Boens is im linken Teil er Abbilung.-e (-fache Überhöhung) nich zu erkennen, a sie um ein vielfaches kleiner is als in er Seie. Der reche Teil zeig ie Verformung es Boens eaillier. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

11 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP. Span uner hyrosaischem Druck () Abbilung.-a: Spanform un -abmessungen () Werksoffaen: σ zul. = 5 N / mm Wasser: ρ = kg / m³ Geomerieaen: E = cons. Abmessungen: L = mm; L = mm; R= mm; Spanabsan: a=6 mm; Außenhauicke: =, mm Belasungen: hyrosaischer Druck: p = ρ g z Aufgaben: Bereiche: s L ; s π R ; s L A) Wievielfach saisch unbesimm is as Sysem? Wählen Sie ein saisch besimmes Haupsysem. B) Berechnen Sie ie Längskraf-, Querkraf- un Momenenverläufe infolge er äußeren Belasung im saisch besimmen Haupsysem. C) Berechnen Sie ie Längskraf-, Querkraf- un Momenenverläufe infolge er Einheisbelasung er saischen Unbekannen im saisch besimmen Haupsysem. D) Besimmen Sie ie saischen Unbekannen. Berücksichigen Sie abei nur ie Biegeverformung. E) Sellen Sie ie Schnikrafverläufe graphisch ar. F) Ermieln Sie as erforerliche Wiersansmomen für en Span un wählen Sie ein geeignees Profil anhan er GL- Tabellen aus. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

12 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Lösung: zu A) Saisch besimmes Haupsysem 6 (Auflagerreakionen) - (Freiheisgrae) = Das Sysem is reifach saisch unbesimm. X X X s M i (s ) L i (s ) Q i (s ) α s M i (s ) Q i (s ) Q i (s ) L i (s ) M i (s ) L i (s ) 998 Abbilung.-b: Saisch besimmes Haupsysem un Definiion er Schnikräfe zu B) Berechnung er Schnikräfe infolge er äußeren Belasung Bereich : ( s L ) Die Schnikräfe im ersen Bereich lassen sich analog zu Aufgabe. berechnen. Die Ergebnisse können er Tabelle.-a ennommen weren. π Bereich : ( α ) m Bereich muß zur Berechnung er Schnikräfe (Q (α), L (α), M (α)) eine negraion über ie Querkraf in en Grenzen bis α urchgeführ weren. (siehe Abbilung.-c). Dazu müssen auch ie Schnikräfe Q (s =L ), L (s =L ), M (s =L ) berücksichig weren. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

13 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP L( s = L) ( = ) Q( s = L) M s L β α ( + sin( β) ) aρg L r α β M ( α) Q ( α) L ( α) Abbilung.-c: Schnikräfe im Bereich Für ie Querkraf kann man er Abbilung.-c ie folgene Beziehung ennehmen: Q ( α) = Q ( s = L ) cos( α) + aρg ( L + R sin( β) ) cos( α β) = Q α ( s = ) ( α) + ( ) ρ α β β + ρ ( β) ( α β) β L cos a g R L cos a g R sin cos α R β Die beien negrale lassen sich uner Verwenung er Aiionsheoreme aufeilen. Für as erse negral folg α cos ( α β) β= cos( α) cos( β) β+ sin( α) sin( β) = cos = cos = sin Das zweie negral kann man wie folg lösen. α sin α α ( α) [ sin( β) ] + sin( α) [ cos( β) ] ( α) sin( α) + sin( α) ( cos( α) ) ( α) ( β) cos( α β) β= cos( α) sin( β) cos( β) β+ sin( α) sin ( β) = cos = sin = sin α α α β ( α) sin ( β) + sin( α) sin( β) cos( β) ( β) cos( α) sin ( β) cos( α) + sin( α) ( α) α α α α β + β α α San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

14 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Nachem nun iese negrale gelös sin, kann man für Querkraf infolge er äußeren Belasung im Abschni α ) schreiben π ( Q [ α] ( α) = aρg L + RL sin( α) + R sin( α) Analog erkenn man für ie Längskraf im Abschni L ( α) = Q ( s = L ) sin( α) aρg ( L + R sin( β) ) sin( α β) = Q α ( s = ) ( α) ( ) ρ α β β ρ ( β) ( α β) β L sin a g R L sin a g R sin sin α R β Die Lösung er negrale erfolg nach em gleichen Prinzip wie bei er Querkraf. α sin α sin ( α β) β= sin( α) cos( β) β cos( α) sin( β) = sin = sin = cos α α ( α) [ sin( β) ] cos( α) [ cos( β) ] ( α) cos( α) ( cos( α) ) ( α) + cos ( α) cos( α) = sin ( α) ( β) sin( α β) β= sin( α) sin( β) cos( β) β cos( α) sin ( β) = sin = sin = sin α α α α β ( α) sin ( β) cos( α) sin( β) cos( β) ( β) sin( α) + cos ( β) sin( α) cos( α) ( α) cos( α) α π Dami folg für ie Längskraf infolge er äußeren Belasung im Abschni ( α ) L α α β + β [ ] ( α) = aρg L sin( α) + RL ( cos( α) ) + R ( cos( α) α sin( α) ) Schließlich bleib noch as Biegemomen zu berechnen. M ( α) = Q( s = L) R sin( α) + M ( s = L) + aρg ( L + R sin( β) ) sin( α β) = Q α ( s ) ( ) ( ) ( ) + ρ ( β) ( α β) β = L R sin α + M s = L + aρg R L sin α β β a g R sin sin α R β α α α San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

15 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Hierin sin nur noch negrale enhalen, ie wir bereis gelös haben, so aß man für as Biegemomen infolge π er äußeren Belasung im Abschni ( α ) schrieben kann M ( α) = aρg L + L R sin( α) + R L ( cos( α) ) + R ( sin( α) cos( α) α) Die Schnigrößen im Abschni finen sich auch in Tabelle.-a wieer. Bereich : ( s L ) π π π m Drien Bereich müssen ie Schnikräfe aus em Bereich ( Q ( α = ), L ( α = ) un M ( α = ) ) berücksichig weren; hinzu kommen ie Aneile aus er konsanen Sreckenlas. Ergebnisse fine man in Tabelle.-a. nervall s L Q (s) aρg s α Q s = L α + aρg L + R β α β R β α π ( ) ( ) cos ( sin( )) cos( ) s L nervall Q α π = + aρg ( L + R) s L (s) s L α π α Q( s = L) sin( α) aρg ( L + R sin( β) ) sin( α β) R β s L nervall L α = π M (s) s L aρg s 6 α Q s = L r sin α + M s = L + aρg L + R sin β sin α β R α π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s L Tabelle.-a: M α π = Q α π s aρg ( L R) s + = + + Schnikräfe infolge er äußeren Belasung San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

16 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP zu C) Schnikräfe infolge er saischen Unbekannen nervall L L L s L α π cos( α ) sin( α ) s L nervall Q Q Q s L - α π sin( α ) cos( α ) s L nervall M M M s L s α π R ( cos( α )) L ( ) R sin α s L R+ s L R Tabelle.-b: Schnikräfe infolge er saischen Unbekannen zu D) Besimmung er saischen Unbekannen Das Gleichungssysem zur Besimmung er saischen Unbekannen laue (Einhei er Kraf [N] un Einhei er Länge [cm]): O O O X X X = Gleichung.-a = MMsmi i =,, un j =,,, E i, j i j () l Gleichung.-b San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

17 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Die Lösung es Gleichungssysems liefer. E = 766, E E = 6, 7 E = 67579, 89 E = 576, 98 = 67, 87 E = 78, 8 E =, 769 E =, 8665 E =, 5985 X X X = 876. kn =, 55kN = 7, 56kNm Gleichung.-c zu E) Besimmung er Schnigrößen einschließlich grafischer Darsellung Ls ( ) = L( s) + X L( s) i= i i i Qs ( ) = Q( s) + X Q( s) i= i i i M( s ) = M ( s ) + X M ( s) i= i i i Gleichung.- San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

18 %DONHQWUDJZHUNH 6SDQWXQWHUK\GURVWDWLVFKHP'UXFN URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.-: Schnigrößenverläufe zu F) Berechnung es erforerlichen Wiersansmomens Das maximale Biegemomen ri in er Einspannung es Boens auf un beräg M läß sich as erforerliche Wiersansmomen wie folg berechnen: W erf M = σ max zul Werf = 5, 5cm = 88 knm. Daraus max, Aus er GL-Tabelle kann ann ein ensprechenes Profil auswählen (z.b. HP x8). Gleichung.-e Nachrechnung es gewählen Profils: Die Nachrechnung es gewählen Profils uner Berücksichigung, aß ie miragene Breie gleich em Spanabsan is, erfolg analog zu Aufgabe. un liefer folgenen Wer: W =5579, cm Gleichung.-f San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

19 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXVWDUUHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP. Durchlaufräger auf sarren Süzen Berechnen Sie für en im folgenen argesellen Durchlaufräger ie erforerlichen Größen. Abbilung.-a: Aufgaben: Werksoffaen: Abmessungen: Geomerieaen: Belasungen: Durchlaufräger σ zul =5 Nmm - ; E=. N/mm² L =5 mm; L =95 mm; L =5 mm e=75 mm (Lasbreie); =6 mm; =8 mm; =5 mm; b=5 mm; h=5 mm q =55 kn/m; q =85 kn/m A) Berechnen Sie ie miragenen Breien nach GL. B) Besimmen Sie ie Flächenrägheismomene. C) Wievielfach unbesimm is er Träger? D) Berechnen Sie ie saischen Unbekannen mi er Drei-Momenen-Gleichung. E) Berechnen Sie en Biegemomenenverlauf un sellen Sie iesen grafisch ar. F) Wo liegen ie Sellen er größen Beanspruchung, un wie groß sin iese or? G) Berechnen Sie mi Hilfe er Ergebnisse aus e) un mi Superposiion geeigneer Biegefälle ie Durchbiegung in en einzelnen Felern. Lösung: Da ie Srukur un ie Belasung es symmerisch sin, muß zur Lösung es Problems nur ie linke Hälfe es Trägers, besehen aus rei Abschnien, berache weren. zu A) Berechnung er miragenen Breien Die Berechnung er miragenen Breien erfolg nach GL Abschni.. Dor is as Verhälnis er miragenen Breie zur Lasbreie abhängig vom Quoien aus ununersüzer Länge un Lasbreie in zwei verschieenen Reihen aufgeragen. n iesem Fall muß ie erse Reihe verwene weren un as,6-fache er Länge l eingesez weren, a er Träger in allen Felern als annähern beiseiig eingespann berache weren kann. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

20 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXVWDUUHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Dies ergib folgene Were für ie rei Abschnie es Trägers: e e e m m m = 79,6mm = 65,6mm = 59,mm Gleichung.-a zu B) Flächenrägheismomene Die Flächenrägheismomene sin auf Grun er unerschielichen miragenen Plaenbreien in en rei Abschnien verschieen. Zunächs wir er Absan es Flächenschwerpunkes er Querschnisfläche von er Unerkane berechne: s,i A j = A j j = b + h b h + + e + h + e mi mi + h + Danach kann as Flächenrägheismomen wie folg berechne weren: Gleichung.-b s, i b = + b s, i h + + h h + s, i emi + + e mi + h + s, i =.5cm =.797cm =.cm W = 666,7cm W W = 66,cm = 69,6cm Gleichung.-c zu C) Saische Unbesimmhei Der Träger is eigenlich achfach unbesimm (in jeer Süz- bzw. Lagerselle ein Momen). Durch ie Symmerie müssen aber nur vier Unbekanne berechne weren. zu D) Berechnung er saischen Unbekannen (Drei-Momenen-Gleichung) Zunächs solle man en Flächenlasverlauf q(z) einführen: qz ()= q q q + L + L + L z Gleichung.- San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

21 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXVWDUUHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Dann kann man ie Biegemomene infolge er äußeren Belasung errechnen. Diese sin er Tabelle auf Seie. es Kurzskrips zur Schiffsfesigkei zu finen. Angewene auf iese Aufgabe fine man sie in Tabelle.-a. nervall M (s) ( q( ) L+ ( q L q ) ( L+ s) ) s ( L s) s L ( ) ( ) 6 L ( ql L + ( ql+ L ql ) ( L + s) ) s ( L s) s L ( ) ( ) ( ) 6 L ( q L+ L L + ( q L+ L + L q L+ L ) ( L+ s) ) s ( L s) s L ( ) ( ) ( ) 6 L Tabelle.-a: Biegemomene infolge er äußeren Belasung im saisch besimmen Haupsysem Das Gleichungssysem zur Besimmung er Unbekannen X i laue: X X sym. X X = Gleichung.-e Die Koeffizienen berechnen sich uner Vernachlässigung er Verformung urch Querkraf wie auf Seie. es Kurzskrips angeben. Dabei muß beache weren, aß ie Süze Symmeriesüze is. ij ii = ii ( ) i ji L L i i = + Ei Ei Li + = 6 E i i i = si M ( si ) si + ( Li si) M ( si) si E L E L i i L i i L Gleichung.-f Die arin enhalenen negrale können enweer mi Hilfe eines Programm (z.b. MAPLE) gelös weren oer er Tabelle auf Seie. es Kurzskrips ennommen weren. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

22 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXVWDUUHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Die Ergebnisse lauen wie folg (Einhei er Kraf is [N] un Einhei er Länge [cm]): =,8979 =, =, =,6897 =,895 =,96586 =, =,59 =, =, =, Die Lösung es Gleichungssysems liefer: Gleichung.-g X X X X = 6, knm = 57, 86kNm = 5, 65kNm = 8, knm Gleichung.-h zu E) Biegemomenenverlauf Der Biegemomenenverlauf in en einzelnen Felern läß sich nach folgener Formel besimmen: s i si Ms ( ) M( s) X L L X i = i + i + i+ i i Gleichung.-i San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

23 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXVWDUUHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP [knm],knm M(s) 6,kNm 8,9kNm [cm] 76,8cm 5,cm 767,cm -8,kNm -5,7kNm -6,kNm -57,9kNm Abbilung.-b: Biegemomenenverlauf zu F) Maximale Spannung Wie man in Abbilung.-b leich sehen kann, lieg ie Selle es größen Biegemomens in er Einspannung. Dies is auch ie Selle er größen Beanspruchung, a Schubspannungen infolge er Querkräfe in iesem schlanken Träger vernachlässig weren können. Die maximale Spannung is an ieser Selle: σ M max = max = 9, 5 s N mm Gleichung.-j zu G) Biegelinie Die Biegelinie kann urch Superposiion verschieener Belasungs- un Lagerungsfälle, für ie ie Biegelinie bereis bekann is ermiel weren. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

24 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXVWDUUHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.-c: Superposiion verschieener Belasungs- un Lagerungsfälle Abbilung.- zeig ie Biegelinie, für iesen speziellen Fall. Abbilung.-: Biegelinie es Durchlaufrägers (-fach überhöh) San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

25 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXHODVWLVFKHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP. Durchlaufräger auf elasischen Süzen Berechnen Sie für en im folgenen argesellen Durchlaufräger auf elasischen Süzen ie erforerlichen Größen. Abbilung.-a: Durchlaufräger auf elasischen Süzen Werksoffaen: σ zul =5 N/mm - Geomerieaen: e = 8 mm(lasbreie); =7 mm; =8 mm; = mm; h=5 mm Abmessungen: L = mm; L = mm; L =5 mm; b =5 mm Belasungen: q =5 kn/m; q =7 kn/m Feerseifigkeien: c= kn/cm; c = knm/ra Aufgaben: A) Berechnen Sie ie miragenen Breien nach GL. B) Besimmen Sie ie Flächenrägheismomene. C) Wievielfach unbesimm is er Träger? D) Sellen Sie as Gleichungssysem zur Besimmung er Süz- un Lagermomene mi Hilfe er Fünf- Momenen-Gleichung auf. E) Berechnen Sie en Biegemomenenverlauf un sellen Sie iesen grafisch ar. F) Wo liegen ie Sellen er größen Beanspruchung, un wie groß sin iese or? G) Berechnen Sie mi Hilfe er Ergebnisse aus e) un mi Superposiion geeigneer Biegefälle ie Durchbiegung in en einzelnen Felern. Lösung: Da ie Srukur un ie Belasung es Trägers symmerisch sin, muß zur Lösung es Problems nur ie linke Hälfe es Trägers, besehen aus rei Abschnien, berache weren. zu A) Miragene Breien Die Berechnung er miragenen Breien erfolg nach GL Abschni.. Dor is as Verhälnis er miragenen Breie zur Lasbreie abhängig vom Quoien aus ununersüzer Länge un Lasbreie in zwei verschieenen San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

26 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXHODVWLVFKHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Reihen aufgeragen. n iesem Fall muß ie erse Reihe verwene weren un as,6-fache er Länge l eingesez weren, a er Träger in allen Felern als beiseiig eingespann berache weren kann. Dies ergib folgene Were für ie rei Abschnie es Trägers: e e e m, m, m, = 75,mm = 69,7mm = 59,mm Gleichung.-a zu B) Flächenrägheismomene Die Flächenrägheismomene sin auf Grun er unerschielichen miragenen Plaenbreien in en rei Abschnien verschieen. Zunächs wir er Absan es Flächenschwerpunkes er Querschnisfläche von er Unerkane berechne: si, = A j A j j b = h h e h + + mi, b + h + e mi, Danach kann as Flächenrägheismomen wie folg berechne weren: Gleichung.-b i b = + b s, i h + + h h + s, i em, i + + e m, i + h + s, i Dies ergib folgene Were: Gleichung.-c = 5cm = 675cm = 9899cm Gleichung.- zu C) Saische Unbesimmhei Der Träger is eigenlich siebenfach unbesimm (in jeer Süz- bzw. Lagerselle ein Momen). Auf Grun er Symmerie müssen aber nur vier Unbekanne berechne weren. San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

27 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXHODVWLVFKHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP zu D) Berechnung er saischen Unbekannen (Fünf-Momenen-Gleichung) Zunächs solle man en Flächenlasverlauf q(z) einführen: qz ()= q q q + L + L + L z Gleichung.-e Dann kann man ie Biegemomene infolge er äußeren Belasung errechnen. Diese sin er Tabelle auf Seie. es Kurzskrips zur Schiffsfesigkei zu finen. Angewene auf iese Aufgabe fine man sie in Tabelle.-a. nervall M (s) ( q( ) L+ ( q L q ) ( L+ s) ) s ( L s) s L ( ) ( ) 6 L ( ql L + ( ql+ L ql ) ( L + s) ) s ( L s) s L ( ) ( ) ( ) 6 L ( q L+ L L + ( q L+ L + L q L+ L ) ( L+ s) ) s ( L s) s L ( ) ( ) ( ) 6 L Tabelle.-a: Biegemomene infolge er äußeren Belasung Das Gleichungssysem zur Besimmung er Unbekannen Xi laue: X X sym. X X = Gleichung.-f Die Koeffizienen berechnen sich uner Vernachlässigung er Verformung urch Querkraf wie folg (vgl. Seie.7f es Kurzskrips): ij = L h = + h + =, 8655 E L ji 7 L h = + =, E L L L h = L L =, 876 L L 9 + =,99 + h = + h + E E L L L 9 9 San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

28 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXHODVWLVFKHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP L 9 = h =, E L L L L h = L L =, 96 L L 8 + =, h h = + + h + E E L L L L L 8 =, = E L L L L 9 h L h = + E L =, 68 Gleichung.-g Zur Besimmung er Koeffizienen,i müssen zunächs ie Süzkräfe infolge er äußeren Belasung berechne weren: R ( q( ) q( L )) L R = + 6 L L R ( ( ) = q + q( L )) + ( ql ( ) + ql ( + L) ) 6 6 L L = ql ( ) + ql ( + L) + ql+ L + ql+ L+ L 6 6 L R = ( ql ( + L) + ql ( + L + L) ) Daraus ergeben sich ie Koeffizienen wie folg: ( ) ( ( ) ( ) ) L 8 h = ( L s ) M ( s ) s E L L R +, =, = s M E L E L L L L Gleichung.-h ( s ) s + ( L s ) M ( s ) s h + R + R =, 7679 = s M E L E L L ( s ) s + ( L s ) M ( s ) s h + R + R =, 5875 L L L L h L h L L h = s M( s) s ( R R ) 7997 E L + =, L Die Lösung es Gleichungssysems liefer: Gleichung.-i San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

29 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXHODVWLVFKHQ6W W]HQ X X X X =,68kNm = 7,kNm =,knm = 5,5kNm URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Gleichung.-j zu E) Biegemomenenverlauf Der Biegemomenenverlauf in en einzelnen Felern läß sich nach folgener Formel besimmen: s i si Ms ( ) M( s) X L L X i = i + i + i+ i i Gleichung.-k Abbilung.-b: Biegemomenenverlauf zu F) Maximale Spannung Wie man in Abbilung..b leich sehen kann, lieg ie Selle es größen Biegemomens ersen Abschni. Durch Null sezen er ersen Ableiung es Biegemomens erhäl man ie Selle es größen Biegemomenes. Dies is auch ie Selle er größen Beanspruchung, a Normalspannungen infolge er Querkräfe in iesem schlanken Träger vernachlässig weren können. Die maximale Spannung is an ieser Selle: σ max =, 9 N mm Gleichung.-l San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

30 %DONHQWUDJZHUNH 'XUFKODXWUlJHUDXHODVWLVFKHQ6W W]HQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP zu G) Biegelinie Die Biegelinie kann urch Superposiion verschieener Belasungs- un Lagerungsfälle, für ie ie Biegelinie bereis bekann is ermiel weren. Abbilung.-c: Superposiion verschieener Belasungs- un Lagerungsfälle Abbilung.. zeig ie Biegelinie, für iesen speziellen Fall. [cm] [cm] 998 Abbilung.-: Biegelinie es Durchlaufrägers (5-fach überhöh) Die maximale Absenkung ieses Durchlaufrägers befine sich bei s=6, m (rie Süze) un beräg or,69 cm. Die Absenkung in er Mie beräg,5 cm. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

31 %DONHQWUDJZHUNH 6FKLVTXHUVFKQLWWXQWHU6WUHFNHQODVWHQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP.5 Schiffsquerschni uner Sreckenlasen Ein Schiffsquerschni er zwecks Fesigkeisberechnung als Rahmenragwerk berache wir, sei wie folg gegeben: q s HP 8 x s HP 8 x q L s HP 8 x s HP x L q L Abbilung.5-a: Schiffsquerschni als Balkenragwerk Werksoffaen: E= Nmm - ; σ zul =5 Nmm - Geomerieaen: e m =8 mm (miragene Breie); =6, mm (Plaenicke) Abmessungen: L =8 mm; L =8 mm; L =6 mm Belasungen: q =5 kn/m; q = kn/m; q = kn/m Aufgaben: A) Besimmen Sie ie saische Unbesimmhei es Rahmenragwerkes. B) Berechnen Sie ie saischen Unbekannen (Berücksichigen Sie nur ie Biegeaneile). C) Berechnen Sie en Biegemomenenverlauf un sellen Sie ihn graphisch ar. D) Wo liegen ie Sellen er größen Beanspruchung? s er Rahmen ausreichen imensionier, is Maerialeinsparung möglich? E) Berechnen Sie ie Durchbiegung in en jeweiligen Felern. Lösung: 998 zu A) Saische Unbesimmhei 8 Lagerr. + 8 Säbe Schnigrößen - 8 Knoen Gleichgewichsbe. - Nebenbe. = 8-fach unbesimm Das Sysem is eigenlich 8-fach saisch unbesimm. Auf Grun er Symmerie müssen jeoch nur sechs Unbekanne berechne weren. zu B) Berechnung er saischen Unbekannen Die Momene weren posiiv gezähl, wenn sie en Träger nach unen bzw. nach innen urchbiegen. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

32 %DONHQWUDJZHUNH 6FKLVTXHUVFKQLWWXQWHU6WUHFNHQODVWHQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP X X X X X 5 X 6 Abbilung.5-b: Saisch besimmes Haupsysem Als erses müssen ie Trägheismomene in en vier Bereichen berechne weren. si, = A A + e + e pi, pi, m pi, m i ( ) e m = p, i + Ap, i p, i s, i + + em s, i = 65, cm = 65, cm = 65, cm = 588, cm Gleichung.5-a Gleichung.5-b Gleichung.5-c Danach weren ie Momenenverläufe in en einzelnen Bereichen ermiel, un zwar infolge er äußeren Belasung un infolge er saischen Unbekannen. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

33 %DONHQWUDJZHUNH 6FKLVTXHUVFKQLWWXQWHU6WUHFNHQODVWHQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Bereich s L s L s L s L ( q + q ) Tabelle.5-a: Bereich M (s) qs q L + s qs ( q q ) L q ( L + s) s 6 L Biegemomene infolge er äußeren Belasung s L s L M (z) z L s L s L L M (z) s ( L + ) M (z) M (z) s L M 5 (z) s M 6 (z) Tabelle.5-b. Biegemomene infolge er saischen Unbekannen Das Gleichungssysem zur Besimmung er Unbekannen laue: s L L L 6 X M X O M X sym. O M X X 5 X 66 6 = 5 6 Gleichung.5- San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

34 %DONHQWUDJZHUNH 6FKLVTXHUVFKQLWWXQWHU6WUHFNHQODVWHQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Die Koeffizienen berechnen sich wie folg: = MM z E ij i j () l mi i=,,, 6; j=,,, = 7,9578 = 8956,57657 = -6,69699 =,8 =,65 = -,768 = 655, =,65 = -5, = i, j j, i = 6,68 = -9,85555 = 66,796 =,8975 = -,65 = 57,6757 = -6, =, = -,768 = -6,77587 =, =,97556 Gleichung.5-e Gleichung.5-f Die Lösung es Gleichungssysems liefer: 5 6 X X X X X X = 89887, = 9998, = -68,99 = ,7 = 875,5 = -5, = 9, 9kN =, 7kN =, 9kNm = 7, kn = 69, 68kN =, 5kNm Gleichung.5-g Gleichung.5-h San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

35 %DONHQWUDJZHUNH 6FKLVTXHUVFKQLWWXQWHU6WUHFNHQODVWHQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP zu C) Biegemomenenverlauf Der Biegemomenenverlauf in en einzelnen Felern läß sich nach folgener Formel besimmen: ( ) ( ) ( ) Ms = M s + M s X j j i j i i= j =,,, Gleichung.5-i Abbilung.5-c: Biegemomenenverlauf im oberen Deck Abbilung.5-: Biegemomenenverlauf in er oberen Seienwan San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

36 %DONHQWUDJZHUNH 6FKLVTXHUVFKQLWWXQWHU6WUHFNHQODVWHQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.5-e: Biegemomenenverlauf im Mieleck Abbilung.5-f: Biegemomenenverlauf in er uneren Seienwan zu D) Maximale Belasung Wie man an Han er grafischen Darsellung erkennen kann, lieg ie maximale Beanspruchung mischiffs im Zwischeneck. Sie beräg or σ max = 9, Nmm - Der Rahmen is ausreichen imensionier (maximale Spannung is kleiner als zulässige Spannung)! Maerialeinsparungen sin möglich! San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

37 %DONHQWUDJZHUNH 6FKLVTXHUVFKQLWWXQWHU6WUHFNHQODVWHQ URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP zu E) Durchbiegung Die Biegelinie läß sich urch Superposiion verschieener Sanar-Biegelinien ermieln. Abbilung.5-g: Durchbiegung es Schiffsquerschni uner en Sreckenlasen San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

38 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP.6 Trägerros uner Sreckenlas Zur Berechnung er Fesigkei eines Decks is as Deck als Trägerros wie folg moellier: Alle Träger haben as gleich Profil; nur ie Querräger sin mi einer Sreckenlas belase. Abbilung.6-a: Trägerros Aufgaben: Werksoffaen: σ zul =5 Nmm -. Abmessungen: L =8 mm; L =7 mm; L = mm Decksbeplaung: = 6, mm Belasung: q= kn/m A) Berechnen Sie ie Süzkräfe in en Knoen. B) Berechnen Sie ie Momenenverläufe für ie einzelnen Träger un sellen Sie iese grafisch ar. C) Ermieln Sie aus em maximalen Momen as erforerliche Wiersansmomen un wählen Sie ein geeignees Profil nach GL. Berechnen Sie as Flächenrägheismomen er verseifen Plae un berücksichigen Sie abei für alle Träger eine miragene Breie von mm. D) Berechnen Sie ie Biegeverformung er einzelnen Längs- un Querräger un sellen Sie iese grafisch ar. Lösung: zu A) Berechnung er Süzkräfe in en Knoen Zunächs is in Abbilung.6-b er Freischni er einzelnen Träger argesell. Wie vorgegeben sin nur ie Querräger mi einer Sreckenlas beaufschlag. San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

39 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.6-b: Freischni er Längs- un Querräger Es reen hier sieben saische Unbekanne auf, von enen aus Symmeriegrünen aber nur vier berechne weren müssen. Es gil: X X X X = X = X = X = X Gleichung.6-a Es wir nun für jeen Knoenpunk eine Gleichung aufgesell, ie ie Beingung beschreib, aß ie Absenkung beier Balken, ie sich im Knoenpunk kreuzen gleich sein muß. = a + a + a + a = b + b ( ) + b ( ) = a + a + a + a = c + c ( ) = a + a + a + a = c + c ( ) + c ( ) = a + X + X + X = + ( X ) + ( X ) f X X X X X X 5 f X X X X X f X X X X X X 7 f X 8 Oer äquivalen umgeform zu: ( ) ( ) ( ) a a a a e e ( ) + + X + X + X + X = a b b a a a b 5 X + + X + X + X = a a c a a c X + X X + X = a a a a 7 X + X + X X = e 8 Gleichung.6-b Gleichung.6-c San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

40 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Die Koeffizienen lassen sich einfach nach er Tabelle auf S..9 f. er Kurzskripe zur Schiffsfesigkei berechnen, so aß as Gleichungssysem in Marizenschreibweise laue (Einhei er Kraf is [N] Einhei er Länge [cm]:, 877, 6, 56, 5 X 6, 6, 95, 56 X 5, 78695, 6 X sym., 876 X Die Lösung iese Gleichungssysems liefer: X X X X = 5, kn =, 85kN = 89, kn =, 8kN 9, 85 79, 887 = 998, , 9785 Gleichung.6- Gleichung.6-e zu B) Berechnung un grafische Darsellung er Momenenverläufe Die Biegemomene könne ebenfalls nach er Tabelle auf S..9 f. er Kurzskripe zur Schiffsfesigkei berechne weren. Dies ergib ie folgenen Verläufe Ncm Abbilung.6-c: Momenenverlauf im Träger a San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

41 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Ncm Abbilung.6-: Momenenverlauf im Träger b Ncm Abbilung.6-e: Momenenverlauf im Träger c San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

42 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Ncm Abbilung.6-f: Momenenverlauf im Träger Ncm Abbilung.6-g: Momenenverlauf im Träger e zu C) Berechnung es erforerlichen Wiersansmomenes Aus en Momenenverläufen kann as maximale Biegemomen ermiel weren: San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

43 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP M M M M M max, a max, b max, c max, max, e = 5, knm = 8, 77kNm = 8, 85kNm =, 5kNm = 6, knm Daraus läß sich as erforerliche Wiersansmomen wie folg berechnen: Gleichung.6-f W erf = M max = 68, cm σ zul Gleichung.6-g Gewähl wure ein Profil HP x. Rechne man nun as gewähl Profil uner Berücksichigung er miragenen Breie von mm nach, erhäl man ein vorhanenes Wiersansmomen bzw. Flächenrägheismomen: W = 87 vorh. cm = 79, cm Gleichung.6-h zu D) Berechnung er Durchbiegung Die Durchbiegung läß sich als Überlagerung verschieener Sanarbiegefälle errechnen. Die Durchbiegungen sin im folgenen argesell: Abbilung.6-h: Durchbiegung Träger a San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

44 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.6-i: Durchbiegung Träger b Abbilung.6-j: Durchbiegung Träger c San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

45 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.6-k: Durchbiegung Träger Abbilung.6-l: Durchbiegung Träger e San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

46 %DONHQWUDJZHUNH 7UlJHUURVWXQWHU6WUHFNHQODVW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.6-m: Durchbiegung es gesamen Trägerroses San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

47 : OEXQEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHU6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Wölbunbehinere Torsion. Torsionsbelaseer Schiffsquerschni Der im folgenen argeselle Schiffsquerschni is urch ein konsanes Torsionsmomen M z belase. L 8 =5 L 9 = L =95 L 7 = L 6 =5 5 6 L 5 = R= L = L = L = L = 998 Abbilung.-a: Mehrzelliger Schiffsquerschni Abmessungen: L = mm; L = mm; L = mm; L = mm; L 5 = mm; L 6 =5 mm; L 7 =75 mm; L 8 =5 mm; L 9 = mm; L =95 mm; R= mm Geomerieaen: =8, mm; =, mm; =, mm; =6, mm; 5 =, mm; 6 =, mm; 7 =, mm; 8 =, mm; 9 =8, mm; =, mm; =, mm; =8, mm; =, mm Längsseifen: Winkelprofil 8x8x Belasung: M z = knm Aufgaben: A) Berechnen Sie ie Schubflußverläufe q i. B) Besimmen Sie ie Torsionsflächenmomene uner Berücksichigung er Längsseifen. C) Berechnen Sie ie Torsionsspannungen τ un τ. Kann man ie Längsseifen bei er Berechnung er Torsionsspannungen vernachlässigen? D) Sellen Sie ie Torsionsspannungsverläufe im Schiffsquerschni grafisch ar. Beziehen Sie iese abei auf ie maximalen Spannungen. San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

48 : OEXQEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHU6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Lösung: zu A) zu A) Berechnung er bezogenen Schubflüsse q i Zur Berechnung er bezogenen Schubflüsse muß folgenes Gleichungssysem gelös weren: q k mk s s qk = j k j= k j A k k =,,.. n Dabei beeue negraion über en gesamen Ran er k-en Zelle un k k j Gleichung.-a beeue negraion über en gemeinsamen Ran er k-en un er j-en Zelle. Berechne man ie Koeffizienen, so sieh as Gleichungssysem in Marizenschreibweise wie folg aus:, 69 5 q 5 865, 8 5 q 5 855, 77 q 96, 95 7, 5 q 7, 5 96, 875 q Die Lösung es Sysem liefer ann: 5 =, m, 6, 95 Gleichung.-b q q q q q 5 =, 6598m =, 6567m =, 656m =, 6878m =, 96677m Gleichung.-c zu B) zu B) Besimmung er Torsionsrägheismomene = s=675 6cm, () l Gleichung.- Der Beirag er Längsspanen am Sain-Vernan-Torsionsrägheismomen beräg nur,5%. San:..99 Skrip_Schiffsfesigkei.oc

49 : OEXQEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHU6FKLVTXHUVFKQLWW n = qk Ak = 999, cm k= URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Gleichung.-e Da = + = 966, cm Gleichung.-f <<, is er Beirag er Längsspanen zum Gesamorsionsrägheismomen vernachlässigbar klein. zu C) zu C) Berechnung er Torsionsspannungen Die Torsionsspannung auf er Profilmiellinie berechne sich wie folg: Mz q τ = Gleichung.-g Die Spannung am Ran sez sich aus er Torsionsspannung auf er Profilmiellinie τ un em Aneil τ zusammen. τ = M z Gleichung.-h Mz qi τ = τ + τ = + Gleichung.-i Die Ergebnisse für ie einzelnen Abschnie es Schiffsquerschni fine man in Tabelle.-a. Die Were τ, i β i = % sin ie prozenualen Were er Torsionsspannungen τ bezogen auf en Maximalwer, er τ,max in er Tabelle urch Feruck hervorgehoben is. τ [kn/m²] β [%] τ [kn/m²].7,576 7,78 9,65.75,5 7,8 9,65.8,87 7,56 9,65.55,86 76,9 9, ,88 6,5 7, ,7, 7, ,7,96, ,9 6,9 6,88 San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

50 : OEXQEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHU6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP ,7,96,69.,5 8, 8,885.8,87 7,56 9,65.75,5 7,8 9,65.7,576 7,78 9,65 -,795 -,87 85,9 5 -,79 -,687 85,9 6-7,75 -,767 7, 7-7.5,8-5,8 85,9 Tabelle.-a: Schubspannungen infolge reiner Torsion Diese Ergebnisse sin in Abbilung.-c grafisch argesell., 68,75 +, β i + 5 +,5 5, + + 5, + + 7,5,65 +, , + + 5,,65 Abbilung.-b: Grafische Darsellung er Torsionsspannungen τ (prozenualen Were) zu D) zu D) Verrillung es Schiffsquerschni Mz ϑ = G =, 6 m Gleichung.-j San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

51 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Wölbbehinere Torsion. Torsionsbelaseer einzelliger Träger Der im folgenen argeselle Träger is an beien Enen fes eingespann un mi einem konsanen Torsionsmomen M z belase. Abbilung.-a: Einzelliger Recheckquerschni Abmessungen: b= mm; h== mm; Geomerieaen: =8, mm; =8, mm; =, mm L=5 mm Maerialaen: E=. Nmm - ; ν=, Belasung: M = Nm Aufgaben: A) Berechnen Sie Querschnisfläche, Schwerpunk, ie Flächenrägheismomene un ie Torsionsrägheismomene. B) Berechnen Sie ie Wölbfunkion Ω P, ie Koorinaen es Drehpols D un ie Wölbfunkion Ω D. C) Berechnen Sie as sekorielle Momen ~ S ω D un as Wölbrägheismomen ωω D. D) Berechnen Sie ie Verrillung ϑ! E) Besimmen Sie ie Wölbspannungen τ ω un σ ω F) Sellen Sie ie Spannungen un ie Verformung es Trägers grafisch ar. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

52 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Lösung: zu A) Querschnisfläche, Schwerpunk un Trägheismomene Als erses berechne man ie Querschnisfläche ( ) A= h + b + = 6cm. Gleichung.-a Abbilung.-b: Einzelliger Kasenquerschni Danach errechne man en Absan es Bezugspunkes P von er x-achse. y P = h h + b h =, cm A Gleichung.-b Die x-koorinae es Bezugspunkes is null ( x P = ) un, a ie Achsen Schwerpunksachsen sin gil x S = un y S =. Das Deviaionsmomen is gleich Null ( xy = ), a sich as Koorinaensysem auf er Symmerieachse befine. Die Flächenrägheismomene um ie beien Achsen lassen sich wie folg besimmen. b b h h = + b y + + b ( h y ) + + h y = 6, 9 b = h b yy ( + ) + + h m 6 = 5, 675 xx P P P m 6 Gleichung.-c San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

53 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Weierhin wir noch as Torsionsrägheismomen benöig, as sich aus em Sain-Venan- Trägheismomen un em Bre schen Trägheismomen zusammensez. Dazu berechne man vorher noch ie von er Profilmiellinie eingeschlossene Fläche. A = b m h =, m ( ) b h ( s) = s = + + =, 88 Am Am 6 = = = 8, 77 m s h s ( ) b + + = + = 8, 86 m 6 m 6 Gleichung.- Gleichung.-e zu B) Berechnung er Wölbfunkionen un er Drehpolkoorinaen Zur Berechnung er Wölbfunkion Ω P ( s ) weren er Absan r p (s)er Profilmiellinie vom gewählen Bezugspunk P (siehe Abbilung.-b) un ie Funkion ψ( s ), ie in iesem Fall konsan is, benöig. (siehe Kurzskripen zur Schiffsfesigkei S..5) ( ) ψ s Am = cons. = =, 66 h b + + m Gleichung.-f Die Absäne r P fine man in er Tabelle.-a, in er auch ie Wölbfunkion berechne wir. Zu beachen is, aß r P vorzeichenbehafe is. Dieser Wer is immer ann posiiv, wenn in Tangenenrichung gesehen er Bezugspunk P links lieg. Der Sarwer Ω P is gleich Null, weil sowohl er Bezugspunk P als auch er negraionssarpunk auf er Symmerieachse liegen. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

54 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP nervall x(s) y(s) r P Ω P (s) b b s s -(h-y P ) h ψ h s = 5, s s h b s -(h-y P ) b ψ b ψ b h + s =, 7 +, 5 s s b b s y P ψ b h ψ + + hb s = 8, + 6, s s h b y P -s b b h b ψ b ψ + + hb + s =, 8 +, 5 s Tabelle.-a: Berechnung er Wölbfunkion Ω P ( s) n Tabelle.-a sin alle Were mi folgenen Einheien [N], [m] un [s]berechne woren. Nun kann man ie sekoriellen Deviaionsmomene bezogen auf en Punk P berechnen. ΩP ΩP( ) ( ) ΩP( ) ( ) ΩP( ) ( ) ΩP( ) ( ) = x A = s x s s + s x s s + s x s s + s x s s ωxp ( A) ΩP ΩP( ) ( ) ΩP( ) ( ) ΩP( ) ( ) ΩP( ) ( ) = y A = s y s s + s y s s + s y s s ωyp ( A) b b b b h h b b h h + s y s s Besimm man iese negrale (vgl. auch Tabelle.-a) ergeben sich folgene Were ωxp ωyp =, = m 7 Gleichung.-g Da in iesem Fall er Bezugspunk P auf em Koorinaenursprung lieg un außerem as Deviaionsmomen xy Null is, kann man ie Koorinaen es Drehpols mi folgener, vereinfacher Formel berechnen. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

55 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP x y D D ω yp = = xx ω xp = = 6, cm yy Gleichung.-h Nun kann man ie Wölbfunkion mi er Transformaionsgleichung auf en Drehpol beziehen. Das Ergebnis ieser Transformaion fine man in Tabelle.-b Ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s = Ω s + x x y s y y x s D P D P D P x(s) y(s) Ω D (s) Gleichung.-i s -h ψ h yd s =, 8798 s b s-h ψ b ψ b h yd + s =, 6979+, s b s b h b ψ ψ + hb y D + + y, 886, s D s b -s b h b b ψ b ψ + + hb + y D + s, 886 +, s Tabelle.-b: Berechnung er Wölbfunkion Ω D ( s) zu C) Sekorielles saisches Momen, Wölbrägheismomen Mi Hilfe er eben gewonnen Wölbfunkion Ω D ( ) ~ ~ S = S + K wie in en folgenen Gleichungen beschrieben berechnen. ωd ωd s kann man as sekorielle saisch Momen San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

56 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP ~ Die Ergebnisse für S ( s) s ~ S ( s) ( s ) ( s ) ω D = Ω D s K = ~ S ( ) ωd s s s ( ) s s ( ) Gleichung.-j ω D in en einzelnen Bereichen fine man in Tabelle.-c wieer. Sie sin jeoch nich mehr in analyischer Form argesell, a iese Formeln zu aufwenig sin. Führ man iese Rechnung ohne Hilfe eines Compuerprogramms (z.b. MAPLE), solle man nach er Berechnung er Wölbfunkion nur noch mi Zahlenweren operieren. ~ S ~ S ωd ( s), s, , s, 8888 s 986 7, +, s, s ,, s, 8888 s Tabelle.-c: Aus Gleichung.-j ergib sich K ( s) ω D aier weren, um auf ~ S D Berechnung es sekoriellen saischen Momens = m ω zu kommen.,. Dieser Wer muß in allen vier Bereichen zu Das auf en Drehpol D bezogene sekorielle Trägheismomen berechne sich wie folg. ( l) () () 8 = s ωω D D s s = Ω, m Gleichung.-k zu D) Berechnung er Verrillung Die Differenialgleichung bezüglich er Verrillung ϑ laue: E ( z) G ( z) M ( z) ωωd ϑ ϑ = z Gleichung.-l Für ie homogene DGL finen wir mi λ = G E un E ωωd E = ν ie allgemeine Lösung. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

57 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP λ ϑ ( ) hom. z = C e z + C e λz Da er Träger hier urch ein konsanes Drehmomen belase wir ( ) Mz z = M = cons., erhalen wir ie parielle Lösung er inhomogenen DGL wie folg: ( z) ϑ par. = M G Gleichung.-m Die gesame Lösung is ann: Gleichung.-n λz λz M ϑ( z) = C e + C e + G Gleichung.-o Dabei können ie Konsanen C un C mi Hilfe er Ranbeingung (siehe Abbilung.-c) besimm weren. C C M = G + λl ( e ) M e = G + λl λl ( e ) Gleichung.-p Abbilung.-c: Ranbeingungen für ie Verrillung Der Drehwinkel ( ) ϕ z ergib sich urch negraion uner er Annahme, aß er Drehwinkel bei L= Null sein soll. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

58 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP ( ϕ ( ) = ϕ z = = ) ( ) ( ) ϕ z = ϕ + ϑ z z z Der Maximale Drehwinkel is bei z=l erreich un beräg or ϕ( L ) = 7,. Gleichung.-q zu E) Wölbspannungen Die Wölbspannungen (Wölbschubspannung un Wölbnormalspannung) ergeben sich aus er Gleichung σ τ ω ω ( sz,) = E Ω ( s) ϑ( z) ( ) ω sz E S ~ s D = ϑ ( z) s ( ) (,) Gleichung.-r Sie können somi einfach besimm weren. Abbilung.- zeig iese Spannungskomponenen bei z=l. D Abbilung.-: Wölbschub- un Wölbnormalspannung zu F) Darsellung er Verformung Die Verformung es Trägers sez sich aus er Verrehung un er Verwölbung zusammen. Die Verrehung fine um en Drehpol sa un is nur von er z-koorinae abhängig. Die Verwölbung is sowohl von er z als auch von s abhängig un is proporional er Wölbfunkion un er Verrillung. (, ) = Ω ( ) ϑ( ) V s z s z D Gleichung.-s San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

59 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ 7RUVLRQVEHODVWHWHUHLQ]HOOLJHU7UlJHU URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.-e zeig ie Verformung es Querschnis an er Selle z L =. Abbilung.-e: Verformung es Querschnies bei z= L / San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

60 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP. Wölbspannung eines mehrzelligen Kasenquerschnies Ein Träger (Länge L) mi em im folgenen argeselle ünnwanigen Kasenquerschni erfähr vollsänige Wölbbehinerung an en Trägerenen. Er is mi em konsanen Torsionsmomen M T belase. Abbilung.-a: Kasenquerschni Abmessungen: b =6 mm b = mm; b = mm; h= mm; L=5 mm Geomerieaen: = mm; = mm; = mm; = mm; 5 = mm Belasungen: M T = knm Aufgaben: A) Ermieln Sie ie Koorinaen es Drehpols D. B) Berechnen Sie ie Torsions- un Normalspannungen infolge er Wölbehinerung. C) Berechnen Sie ie Torsionsspannungen aus er reinen Torsion (wölbunbehinere Torsion). San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

61 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Lösung: zu A) Berechnung er Koorinaen es Drehpols Zunächs müssen ie Trägheismomene berechne weren. Dazu geh man analog zu Aufgabe. vor. Abbilung.-b: Flächenrägheismomen Eine kleine Besonerhei is er schräg zu en Achsen angeornee Recheckquerschni (siehe Abbilung.- b). Hier berechne man zunächs as Flächenrägheismomen um ie ξ-achse un um ie η-achse (Eigenrägheismomene) in folgener Weise: b = b + h =, 88m b α = arcan =, 69 h Gleichung.-a b b ξξ = s cos α { s= cos α =, 66m b b η A b ηη = s sin α { s= sin α =, 78m b ξ A Gleichung.-b San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

62 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Dami ergib sich für ie Flächenrägheismomene es gesamen Querschnis bezogen auf en Schwerpunk S: xx yy =, m =, 6577m Das Sain-Venan-Trägheismomen kann normal berechne weren un beräg hier =, 9 m Gleichung.-c Gleichung.- q q q q q q q q q q Abbilung.-c: Bezogene Schubflüsse Zur Ermilung es Bre schen Trägheismomenes müssen ers ie bezogenen Torsionsschlubflüsse (siehe Abbilung.-c) berechne weren, ie folgene Gleichung erfüllen müssen: s s s qk + qk + = s ( ) qk s ( ) s ( ) k k k+ A k Dies führ auf folgenes Gleichungssysem: Gleichung.-e 6, 7, q 9, 8,, 5, O = q m O O, q 5, Dabei is A nur ie halbe Fläche er Zelle (also nur bis zur Miellinie gerechne). Gleichung.-f San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

63 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Die Lösung iese Gleichungssysems liefer: q q q =, 6775 =, 58 = 85, m m m Gleichung.-g Dami kann nun auch as Bre sche Trägheismomen, un ann as Gesamorsionsrägheismomen, besimm weren. = Ak qk =, 669m = + =, 66m s weren am besen in einer Ta- Die weieren Berechnungsschrie zur Besimmung er Wölbfunkion Ω P ( ) belle erleig. Dabei gil aus Symmeriegrünen Ω P =. Ω s ψ( s ) ( s) = Ω r ( s ) s s ( ) P P p Gleichung.-h nervall ψ r P Ω P (s) Gleichung.-i s b q h, 98 s s b q h, 596, s s b q h, , s s b q b b + cosα, , s s b q 6, , 696 s 5 s b q, , s 6 s h ( q q ) s h ( ) b b + q q b Tabelle.-a: Besimmung er Wölbfunkion Ω P ( s), , 587 s 7, 596, 998 s 8 Aus er Kennnis er auf en Punk P bezogenen Wölbfunkion können ie sekoriellen Deviaionsmomene gewonnen weren. Hierbei muß ie Symmerie es Querschnis berücksichig weren: San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

64 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV r ψ = r = ψ Plinks, Prechs, links rechs x y links links Ω = x = y Plinks, Prechs, rechs rechs = Ω URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Gleichung.-j ( s) x( s) ω yp = ΩP A ( A) ( ) ( ) P ( ) = Ω ( s) x( s) A+ Ω ( s) x s A P ( links) = Ω ( s) x( s) A P ( links) =, 698m ( s) y( s) ω yp = ΩP A ( A) ( rechs) ( ) ( ) P = Ω ( s) y( s) A+ Ω ( s) y s A P ( links) = ( rechs) Un araus wieerum lassen sich ie Koorinaen es Drehpols besimmen. Gleichung.-k Gleichung.-l x y D D ω yp = = xx ω xp = =, 7m yy Gleichung.-m zu B) Wölbspannungen s benö- Zur Besimmung er Wölbnormalspannung wir ie auf en Drehpol bezogene Wölbfunkion Ω D ( ) ig. Diese gewinn man urch folgene Transformaionsgleichung aus Ω P ( s ) un en Drehpolkoorinaen. Ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s = Ω s + x x y s y y x s D P D P D P Tabelle.-b zeig ie Ergebnisse. Gleichung.-n San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

65 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP x(s) y(s) Ω D (s) s -(h-y P ), s 5 b + s b + b + s b+ b + b s cosα 6 7 b + b s 5 b + s 6 b + b 8 b -(h-y P ), , 787 s -(h-y P ), 86867, 568 s ( h y s ) P cosα, 78, s y P, 5959+, s 5 y P, , 9889 s 6 -(h- y P -s), 86867, 587 s 7 -(h- y P -s), 97979, 998 s Tabelle.-b: Besimmung er Wölbfunkion Ω D ( s) Des weieren brauch man zur Besimmung er Wölbschubspannung as sekorielle saische Momen ~ ( ) ~ S s = S ( s) + K. ωd ωd k ~ S ωd ( s) besimm man urch negraion er Wölbfunkion (siehe Tabelle.-c) s ~ S ( s) ( s ) ( s ) ω D = Ω D s ~ S ωd ( s), s, s +, s, s, 6678 s, , s, 65 s 5, , 5959 s +, s 5 5 6, 678, s +, s 6 6 7, 588+, 96 s, 5765 s 7 7 8, , 568 s, s Gleichung.-o Tabelle.-c: Sekorielles saische Momen San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

66 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Die Konsanen K k erhäl man als Lösung es Gleichungssysems K k k s + K K k k+ () s () s () s k s k+ s = k S ~ ω D() s () s Gleichung.-p Sie geben ie Sarwere in en Schnien an. Diese befinen im Ursprung er Laufvariablen s, s un s Die Lösung laue K K K =, m =, 6599 m =, m Gleichung.-q Des weieren muß zur Berechnung er Wölbspannungen noch as auf en Drehpol bezogene Wölbrägheismomen berechne weren. ωω () l Außerem muß noch ie Verrillung ( z) () s () s D = Ω D s =,97m s Gleichung.-r ϑ als Lösung er Differenialgleichung besimm weren. Dies geschieh wie in Aufgabe., a ie Ranbeingungen in beien Fällen ie gleichen sin. λz λz M ϑ( z) = C e + C e + G mi C C M = G + λl ( e ) M e = G + λl λl ( e ) Gleichung.-s Nun kann man ie Wölbnormalspannung wie folg berechnen. Sie is in Abbilung.- argesell. ( s, z) = E ΩD( s) ϑ ( z) σ ω Gleichung.- San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

67 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.-: Wölbnormalspannung im Querschni z=l Bei er Berechnung er Wölbschubspannung muß beache weren, aß zum sekoriellen saischen Momen ie Konsane K k em Umlaufsinn ensprechen hinzugezähl oer abgezogen weren muß. Z.B in Bereich 6: Allgemein gil: S ~ ~ ω D ( s6) = S ω D( s6) + K K ~ Sω τω ( s, z) = E ϑ D() s () s Abbilung.-e zeig ie Wölbschubspannung im Querschni z=l. ( z) Gleichung.-u San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

68 : OEEHKLQGHUWH7RUVLRQ : OEVSDQQXQJHLQHVPHKU]HOOLJHQ.DVWHQTXHUVFKQLWWHV URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.-e: Wölbschubspannung im Querschni z=l zu C) zu C) Spannungen aus reiner Torsion Die Schubspannung aus reiner Torsion auf er Profilmiellinie kann nach folgener Gleichung besimm weren. τ ( s, z) q = () s () s ϑ ( z) Die Schubspannung am Ran sez sich aus em gerae berechneen Aneil ( s, z) zusammen. Gleichung.-v τ un em folgenen Teil τ M () s = () s max Gleichung.-w San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

69 XHUNUDWELHJXQJ %LHJHVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Querkrafbiegung. Biegespannung im Schiffsquerschni L 8 =5 L 9 = L =95 L 7 = L 6 =5 5 6 L 5 = R= L = L = L = L = 998 Abbilung.-a: Mehrzelliger Schiffsquerschni Abmessungen: L = mm; L = mm; L = mm; L = mm; L 5 = mm; L 6 =5 mm; L 7 =75 mm; L 8 =5 mm; L 9 = mm; L =95 mm; R= mm Geomerieaen: =8, mm; =, mm; =, mm; =6, mm; 5 =, mm; 6 =, mm; 7 =, mm; 8 =, mm; 9 =8, mm; =, mm; =, mm; =8, mm; =, mm Längsseifen: Winkelprofil 8x65x Belasungen: M x = 8,5 knm ; M,5 y = knm Aufgaben: A) Berechnen Sie en Schwerpunk er Querschnisfläche! B) Berechnen Sie ie Flächenrägheismomene xx un yy! C) Besimmen Sie ie Biegespannungen σ B un sellen Sie iese grafisch ar! San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

70 XHUNUDWELHJXQJ %LHJHVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Lösung: zu A) Berechnung es Schwerpunkes er Querschnisfläche Ai s = Ai,8m =,5m i e =,6m Gleichung.-a zu B) Berechnung er Flächenrägheismomene xx yy = 6,57m = 79,9m zu C) Besimmung er Biegespannungen un grafische Darsellung σ B M M y x ( x,y) = x+ y yy xx Gleichung.-b -69,7 Nmm - -56,7 Nmm - -6,65 Nmm - -5,66 Nmm - Biegeachse, Nmm - 9,6 Nmm - 7,6 Nmm -,9 Nmm -,5 Nmm -,9 Nmm Abbilung.-b: Biegespannungen im Schiffsquerschni Anmerkung: Häufig wir bei solchen Berechnungen eine Vergleichsspannung σv = σ + τ besimm, wenn zusäzlich zu en Biegemomenen auch ein Torsionsmomen wie in Aufgabe. angreif. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

71 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP. Querkrafschubspannung im Schiffsquerschni Für en folgenen vereinfachen, reizelligen Tankerquerschni sin ie Biegespannungen un ie Querkrafschubspannungen zu ermieln. B a H Abbilung.-a: Vereinfacher, reizelliger Tankerquerschni Abmessungen: B= m; H= m; a=6 m Blechicken: =5 mm; =8 mm; =6 mm; = mm Maerialaen: E=. Nmm - ; ν=, Belasungen: M x =. knm; M y =7. knm; Q x =-. kn; Q y =. kn Aufgaben: A) Berechnen Sie ie Querschnisfläche, en Schwerpunksabsan un ie Flächenrägheismomene. B) Berechnen Sie ie Biegespannung C) Berechnen Sie ie Querkrafschubspannung D) Berechnen Sie ie Vergleichsspannung aus Biegenormal- un Querkrafschubspannung. Lösung: 998 zu A) Querschnisfläche, Schwerpunk un Trägheismomene Zur Definiion es Schwerpunksabsans e siehe Abbilung.-b. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

72 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.-b: Dreizelliger Querschni A =,8m Gleichung.-a e =, 6768m Das Deviaionsmomen is Null, a es sich hier um ein Haupachsensysem hanel. Gleichung.-b xx yy xy =,9855m = 6,5m = Gleichung.-c zu B) Biegespannung Für ein Haupachsensysem, inem keine Längskräfe wirken, gil: σ B σ B ( s, z) = M x xx ( z) y () s M y yy ( z) x() s ( s,z) = 96, knm y() s 86, knm x() s Gleichung. Die beragsmäßig größe Biegespannung ri im Querschnispunk mi em größen Absan vom Schwerpunk S auf (siehe Abbilung.-c). San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

73 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Abbilung.-c: Biegespannung Die Gleichung er Biegeachse laue: M xx y y = x yy M x y =,888 x Gleichung.- Der Punk mi er beragsmäßig größen Biegenormalspannung is jener mi em größen Absan zur Biegeachse. Das is in iesem Fall ie linke ober Ecke. Dor beräg ie Biegespannung σ B,max = 59,85 N mm zu C) Berechnung er Querkrafschubspannung Die Querkrafschubspannung berechne sich wie folg: τ Q = τ Qx = +τ ( q + q ) Qx Qy Qy Gleichung.-e San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

74 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Mi q q Qx Qy Q = Q = x yy y xx ( S ~ + K ) y ( S ~ + K ) x y x Gleichung.-f Das heiß es müssen ie Flächenmomene S ~ x un S ~ y sowie eren negraionskonsanen K x un K y berechne weren. S ~ x un S ~ y sin in iesem Fall gleich S ~ x un S ~ y, a man hier mi einem Haupachsensysem zu un ha. An en Schnisellen ha man urch as Öffnen er Zelle as Flächenmomen künslich zu Null gemach. Die negraionskonsanen K x un K y sin für jee Zelle zu berechnen un sellen en Wer an er Schniselle ar, wenn man nun ie Zelle wieer schließ. S ~ S ~ x y ( s) = ( s) = y( s ) ( s ) S ~ () s = () s = x( s ) ( s ) s S ~ x y s s Gleichung.-g Die Berechnung er negrale kann ers erfolgen, wenn ie Laufvariabeln s i efinier sin un jee Zelle einmal aufgeschnien wure. Die Definiion er Laufvariabeln un ie Plazierung er öffnenen Schnie kann B Abbilung.-b ennommen weren. Mi er Abkürzung b = a für ie halbe Breie er mileren Zelle, ergeben sich ie x- un y-koorinaen ensprechen Tabelle.-b un Tabelle.-c. s s b 5 5 nervall (s) x(s) y(s) s e H s H b ( e H) + s s a b+ s e H s H b ( e H) + s 6 s 6 b s a B s5 b s6 Tabelle.-a: Koorinaen x(s i ) un y(s i ) x s = ( s ) y( s ) s S ~ e e San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

75 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP x x s = S ~ x ( s ) ( s = b) + y( s ) s S ~ x x s = ( s ) y( s ) s S ~ s = S ~ x ( s ) ( s = a) + y( s ) s S ~ x s = S ~ x ( s ) ( s = H) + y( s ) s 5 S ~ 5 5 s = S ~ x S ~ x 5 ( s ) ( s = H) + ( s = a) + y( s ) s 6 S ~ 6 6 Gleichung.-h Analog kann man auch ie Flächenmomene um ie y-achse berechnen. Die Lösungen sin in Tabelle.-b un Tabelle.-c zu finen. ~ S x, 8785 s,79,85797 s +,8s,8785,8688,96576 s +,9s 5 s,5786 +, s Tabelle.-b:,75 +,9756 Flächenmomen um ie x-achse s 6 ~ S y,75 s, +,6 s,6 s +,75 s,6 +,8 s 5, +, s5, s 5 6, +,8 s6, s 6 Tabelle.-c: Flächenmomen um ie y-achse Die Gleichungssysem zur Besimmung er negraionskonsanen K xk (k=,) laue: San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

76 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP ~ S ( ) x s a Kx + a Kx = s s ( ) ~ S ( s) x a Kx + a Kx = s s ( ) Gleichung.-i Es vereinfach sich uner er Annahme, aß auf Grun er Symmerie K x Null is, zu einer einfachen Gleichung zur Besimmung von K x. () S ~ x s = a S ~ x K x H = () () S ~ x s s ( s ) s ( s ) s ( s ) s ( s ) a = () s S ~ = a x + + H a S ~ x + 5 Gleichung.-j Bei er Berechnung er Umlaufinegrale muß unbeing er Umlaufsinn beache weren. Wenn ie Laufvariable (z.b. s bei er Berechnung von Zelle ) em Umlaufsinn engegen geriche is, muß iese negral mi einem negaiven Vorzeichen versehen weren oer ie negraionsgrenzen müssen geausch weren. Analog läß sich auch as Gleichungssysem für ie beien K yi aufsellen. ~ S ( ) y s a Ky + a Ky = s s ( ) S ( s) y a Ky + a Ky = s s ( ) a a a s = = a () s s = a = =, s () s = b () s + H + H = + + ~ H + 5 H S ~ x s San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

77 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP () ( ) S ~ y S ~ y s = s = a a S ~ S ~ y y ( s ) s ( s ) s ( s ) s ( s ) H ( s ) s ( s ) s ( s ) H S ~ S ~ y y a a S ~ S ~ y y 6 5 s 5 6 H S ~ y s Daraus ergeben sich ie Konsanen: Gleichung.-k K K K K x x y y =, m = =,m =,8m Gleichung.-l Dami sin alle Größen bekann, um ie Querkrafschubflüsse zu berechnen. Sie sin in Abbilung.- un Abbilung.-e grafisch argesell. Die Konsanen sin ensprechen ihres Umlaufsinnes zu berücksichigen. n einer Wan zwischen zwei benachbaren Zellen sin emnach beie Konsanen zu berücksichigen. Tabelle.- zeig, wie as in iesem Fall anzuwenen is. 5 6 K q Qx q Qy K Qx ( S ~ y + K y) yy Qy ( S ~ + K ) K K Qx ( S ~ y + K y K y) yy Qy ( S ~ + K ) K Qx ( S ~ y + K y) yy Qy ( S ~ + K ) K Qx ( S ~ y + K y) yy Qy ( S ~ + K ) K Qx ( S ~ y + K y) yy Qy ( S ~ + K ) K Qx ( S ~ y + K y) yy Qy ( S ~ ) xx xx xx xx xx xx x x x x x x x x x x x Tabelle.-: Berechnung er Querkrafschubflüsse San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

78 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP q q Qx Qy Q = x yy Q = y xx ( S ~ + K ) y ( S ~ + K ) x y x 998 Abbilung.-: Grafische Darsellung es Schubflußes infolge Q x Abbilung.-e: Grafische Darsellung es Schubflußes infolge Q y Nun kann ie Schubspannung berechne weren. Zuvor solle man jeoch eine Konrolle urchführen. Der Schubfluß muß in en Knoen ie Knoenpunkregel erfüllen. Das beeue er Schubluß, er in ie Knoen hineinfließ, muß gleich en hinausfließenen Schubflüssen sein. z.b 998 San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

79 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP q q q q Qx Qy Qx Qy ( s = b) = qqx ( s = ) + qqx ( s = ) ( s = b) = q ( s = ) + q ( s = ) Qy Qy ( s5 = a) + qqx ( s = H) = qqx ( s6 = ) ( s = a) + q ( s = H) = q ( s = ) 5 Qy Gleichung.-m Die Schubspannung is jez leich zu berechnen τ Q () s q = Qx Qy () s+ q () s Gleichung.-n Hier sollen nur ie Spannungen in ausgewählen Punken berechne weren. (vgl Abbilung.-f). Die Pfeile in Abbilung.-f ie Richung er Schubspannung an. Qy ,55 m 6 5,88 m,887 m 6 7,7 m Abbilung.-f: Ausgewähle Punke es Querschnies Tabelle.-e gib ie Ergebnisse wieer. Dabei beeuen τ Q, σ B, σ V ie Spannung im jeweiligen Spiegelpunk. Z.B. is er Spiegelpunk zu Punk. Die Punke un 9 bzw. un 9 sin ie Punke er beragsmäßig größen Schubspannung in em jeweiligen Abschni. n en aneren Abschnien fallen ie Maxima bzw. Minima mi en Enpunken zusammen. 998 zu D) Berechnung er Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung berechne man wie folg: σ = σ + τ V B Q Gleichung.-o San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

80 XHUNUDWELHJXQJ XHUNUDWVFKXEVSDQQXQJLP6FKLVTXHUVFKQLWW URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Die Ergebnisse zeig ebenfalls Tabelle.-e. τ Q N mm N N τ σ Q mm B mm N N σ B mm σ V mm N σ V mm -8,9-8,9-8,99-8,99 5, 5,,7 -,6-5, -,65 5,9 56,68 5, -7, -5, -,65 59, 5,89,79 -,8 -,,,6,8 5 9,8-6,77 8, 6,7 5, 55, 6 -,5 -,58-5, -,65 56,96,7 7 9,8-7,9-59,85-8, 6, 8,8 8 8,8 -, -59,85-8, 6,5 5,9 9,5-9, -,86,86 7, 5, 7,8-9,58,5 5,, 55,76 5,8-8,6,5 5,,6 55,8,6, 8, 6,7 8, 9,96 8, -,9 8, 6,7 9, 7,5 8, 8,,7,7,58,58 Tabelle.-e: Spannungen in ausgewählen Punken es Querschnis Die größe Schubspannung ri im Punk mi N sich im Punk 7 mi σ V = 6,. mm N τ Q =,79 auf, ie größe Vergleichsspannung befine mm San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

81 (EHQHU6SDQQXQJV]XVWDQG.UDJVFKHLEHPLW(QGODVWRWHQ]UHLKHQDQVDW] URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP 5 Ebener Spannungszusan 5. Kragscheibe mi Enlas (Poenzreihenansaz) Zur Berechnung er Spannungen un er Verschiebungen soll für en im folgenen argesellen Fall einer Kragscheibe ie Theorie es ebenen Spannungszusans verwene weren. Abbilung 5.-a: Kragscheibe mi Enlas Maerialaen: E=. N/mm²; ν=, Dazu soll ein Poenzreihenansaz er folgenen Form benuz weren: (, ) i Fxy= a xy i+ j= ij j (, ) = [ ] + [ a x + a x y+ a xy + a y ] + [ a x + a xy+ a y ] F x y a x a x y a x y a xy a y Gleichung 5.-a Aufgaben: A) Wie lauen ie Ranbeingungen für ie Spannungen? B) Besimmen Sie ie Airy sche Spannungsfinkion F(x,y)! C) Ermieln Sie ie Spannungen σ xx, σ yy, σ xy un sellen Sie iese grafisch ar! D) Berechnen Sie ie Verschiebungen u(x,y) un v(x,y) un sellen Sie iese grafisch ar! San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

82 (EHQHU6SDQQXQJV]XVWDQG.UDJVFKHLEHPLW(QGODVWRWHQ]UHLKHQDQVDW] URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Lösungen: zu A) Ranbeingungen Die Ranbeingungen für en rechen Ran lauen: b h σ xyy = Fo ; x L b = ; Gleichung 5.-b σ xx = ; x = L; b y b Die Ranbeingungen für en oberen bzw. uneren Ran lauen: Gleichung 5.-c σ xy = ; y =± b; x L Gleichung 5.- σ yy = ; y =± b; x L Gleichung 5.-e zu B) Besimmung er Spannungsfunkion Es gil: F σ xx = = a x + 6a xy+ a y + a y x+ 6a y+ a F σyy = = a x + 6a xy+ a y + 6a x x+ a y+ a F σ xy = = a x a xy a y a xy x a y a Gleichung 5.-f Als erses soll ie Ranbeingung aus Gleichung 5.-c verwene weren. Einsezen von x=l in ie erse Gleichung von Gleichung 5.-f liefer georne nach Poenzen von y: ( a ) y ( a L a ) y ( a L a L a ) = Gleichung 5.-g Diese Gleichung kann nur ann für alle b y b (auf em gesamen Ran) erfüll weren, wenn ie Klammerausrücke Null sin. Daraus folg: San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

83 (EHQHU6SDQQXQJV]XVWDQG.UDJVFKHLEHPLW(QGODVWRWHQ]UHLKHQDQVDW] URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP a a L+ a = a L + a L+ a = Gleichung 5.-h Die Ranbeingung aus Gleichung 5.- bring uns zur folgenen Gleichung: = ( a ) x ( a b a ) x ( a b a b a ) + ± + + ± + = Gleichung 5.-i Da ie Klammerausrücke hier für beie Räner (y=±b) gleich Null sein müssen kann man folgenes folgern: a a a a a b + a = = = = = Auf ie gleiche Weise gelang man von er Ranbeingung in Gleichung 5.-e zu folgenem: Gleichung 5.-j a = a = a = a b + a = Gleichung 5.-k Faß man ie Gleichungen 5.-h, 5.-j un 5.-l zusammen kann man ie Koeffizienen. bis auf a un a besimmen: a a a a a = L a = = = =? Dami schreib sich ie Spannungsfunkion wie folg: a a a a = = = =? a = b a b a L a = a = L a Gleichung 5.-l F ( x, y )= a x y L a xy + a y b a x + b L a xy L a y Gleichung 5.-m Als nächses soll ie Spannungsfunkion ie Differenialgleichung F= erfüllen. San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

84 (EHQHU6SDQQXQJV]XVWDQG.UDJVFKHLEHPLW(QGODVWRWHQ]UHLKHQDQVDW] URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP F F F F = + + = 8 a = x x y x Daraus folg a =. Un ie Spannung σ xy läß sich mi Hilfe er Spannungsfunkion Gleichung 5.-n berechnen zu: F ( x, y )= L a xy + a y + b L a xy Gleichung 5.-o σ xy = F xy = L a y b L a Gleichung 5.-p Sez man ies in ie Gleichung 5.-b ein, kann auch ie leze noch offene Ranbeingung erfüll un er Koeffizien a besimm weren. h ( ) L a y b y= F Gleichung 5.-q Mi b H = un a F L = hb h H = vereinfach sich ie Gleichung noch zu: a F L = 6 Nun is ie Airy sche Spannungsfunkion engülig berechne: Gleichung 5.-r Gleichung 5.-s F L b Fxy (, ) = xy + y + xy 6 6 Gleichung 5.- San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

85 (EHQHU6SDQQXQJV]XVWDQG.UDJVFKHLEHPLW(QGODVWRWHQ]UHLKHQDQVDW] URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP zu C) Spannungen Die Spannungen können wie vorher urch zweimaliges ableien errechne weren: σ σ xy xx F y F ( xy, ) = = y ( L x) F σ yy ( xy, ) = = x xy, F F = = xy y b ( ) ( ) Gleichung 5.-u Die Spannung σ xx is sowohl in x als auch in y linear. Sie ha ihr Maximum in er linken oberen Ecke (x=; y=b). Die Spannung σ xy is unabhängig von x. hr Verlauf is in Abbilung 5.-b argesell. Abbilung 5.-b: Die Vergleichsspannung Spannungsverlauf σ xy σ = σ + σ σ σ + σ v xx yy xx yy xy beräg in iesem Fall: σ v F = y L x + y b ( ) ( ) Gleichung 5.-v Abbilung 5.-c zeig Linien gleicher Vergleichsspannung für eine Scheibe mi L H =. Die größe Vergleichsspannung fine man in en beien linken Ecken ( x = ; y =± b). San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc

86 (EHQHU6SDQQXQJV]XVWDQG.UDJVFKHLEHPLW(QGODVWRWHQ]UHLKHQDQVDW] F σv,max = σv(, ± b) = b L URÃ'U,QJÃKDELOÃ+-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP Gleichung 5.-w Auf er x-achse is ie Vergleichsspannung konsan un beräg σ v ( x,) rechen Ecken wir sie Null ( σ v ( L,± b) =) F = b, un in en beien Abbilung 5.-c: Linien gleicher Vergleichsspannung zu D) Verschiebungen Zur Berechnung er Verschiebung weren zunächs ie Dehnungen ε xx un ε yy sowie er Verzerrungswinkel γ xy berechne. F ( ) y ( L x) εxx = σxx ν σyy = E E F ε ( σ ν σ ) ν ( ) yy = yy xx = y L x E E u v ( + ν) F γ xy = + = σxy = y b y x G E ( ) Durch negraion besimm man u(x,y) un y(x,y) bis auf ie negraionskonsanen. Gleichung 5.-x San: Skrip_Schiffsfesigkei.oc