Echtzeit-Implementierung eines algebraischen Ableitungsschätzverfahrens

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1 TOOLS at 11/27 Echtzet-Implementerung ene algebrachen Abletungchätzverfahren Realtme Implementaton of an Algebrac Dervatve Etmaton Scheme Joef Zehetner, Johann Reger und artn Horn In der vorlegenden Arbet wrd de Echtzetmplementerung ene algebrachen Verfahren zur Schätzung von Zetabletungen gemeener Sgnale vorgetellt. Augehend von ener Taylorrehendartellung de betrachteten Sgnal werden mt ethoden der Operatorenrechnung Berechnungvorchrften für Zetabletungen belebger Ordnung hergeletet. Dee können effzent n Echtzet augewertet werden. Im vorlegenden Fall wrd atlab/smulnk al Werkzeug engeetzt. t Hlfe ene Codegenerator und ene Target-Compler können de Echtzetroutnen mühelo auf verchedene Zelplattformen übertragen werden. An Hand ene praktchen Anwendungbepel wrd de Letungfähgket de Anatze demontrert. In th artcle, a realtme mplementaton of an algebrac method for etmatng the tme dervatve of meaured tme gnal preented. Baed on a Taylor ere expanon of the tme gnal, elementary technque from operatonal calculu are ued for dervng etmator formula for tme dervatve of arbtrary order. Thee formula may be evaluated very effcently, n realtme. Th tak olved by atlab/smulnk by mean of whch reortng to code generaton lbrare and target lnk compler realtme routne can ealy be tranferred to dfferent target archtecture. A laboratory etup demontrate the applcablty and mpreng performance n practce. Schlagwörter: Operatorenrechnung, Echtzetytem, atlab, Smulnk, S-Functon Keyword: Operatonal calculu, realtme ytem, atlab, Smulnk, S-Functon 1 Enletung De Löung ener Velzahl von Problemen n der Regelungtechnk, Fehlerdagnoe, Sgnalverarbetung und Sgnalübertragung erfordert de zuverläge Schätzung von zetlchen Abletungen gemeener Sgnale, welche n der Prax oft tarkem Rauchen unterlegen. Häufg greft man dabe auf numerche ethoden der Dfferentaton zurück [4]. Bepele herfür nd da Savtzky-Golay-Dfferentatonchema [9], da Wavelet- Dfferentatonchema [2] und da Gemttelte-fnte-Dfferenzen-Verfahren [1]. Enge der genannten Verfahren wurden beret erfolgrech zur Zutandbeobachtung n nchtlnearen Sytemen engeetzt [3; 5; 13]. Ene neuere ethode, de m Weentlchen auf Operatorenrechnung beruht, wurde kürzlch auf nternatonalen Sommerchulen vorgetellt [17 19]. Erte Ergebne wurden n [6; 15] publzert. De vorlegende Arbet zegt de Echtzet-Implementerung deer ethode und betet omt de Grundlage für den praktchen Enatz de gezegten Abletungchätzverfahren. Dabe wrd beret n der Smulaton beondere Augenmerk auf de Überprüfbarket der Implementaton de Verfahren gelegt. De mathematchen Grundlagen de Verfahren nd n Abchntt 2 bechreben. De notwendge Adapton de Verfahren für den praktchen Enatz mt abgetateten Zetgnalen wrd n Abchntt 3 gezegt. En detallerter Überblck über de egentlche Implementerung owe möglche Erweterungen wrd n Abchntt 4 gegeben. Ergebne, de de Letungfähgket der ethode untertrechen, werden n Abchntt 5 gezegt. Ene Zuammenfaung owe enen Aublck auf wetere Anwendungen und Enatzmöglchketen enthält abchleßend Abchntt 6. at Automaterungtechnk 55 (27) 11 / DOI /auto Oldenbourg Wenchaftverlag 553 Th artcle protected by German copyrght law. You may copy and dtrbute th artcle for your peronal ue only. Other ue only allowed wth wrtten permon by the copyrght holder.

2 at 11/27 2 Algebrache Abletungchätzung Im Folgenden oll en algebrache Verfahren zur Schätzung zetlcher Abletungen von Sgnalen vorgetellt werden. De Bezechnung Algebrache Abletungchätzung orentert ch begrfflch an den Arbeten von Fle, Sra Ramírez et al. Grundlegende Vorarbeten fnden ch n [6; 7], Erweterungen wurden n [1; 14; 15] veröffentlcht. Gegeben e ene (reellwertge) Funkton y(t), von der ene zetlche Abletung belebger Ordnung ermttelt werden oll. E wrd voraugeetzt, da y(t) für t mt Hlfe ener Taylorrehe N t y(t) y N (t) = α (1)! = der Ordnung N angenähert werden kann. De Koeffzenten α = d y dt =: y () (t = ) (2) t= entprechen dabe den geuchten zetlchen Abletungen der Funkton y(t) zum Zetpunkt t =. Da Zel der folgenden Auführungen beteht darn, Berechnungvorchrften für dee Koeffzenten anzugeben. Deren Ermttlung getaltet ch m Bldberech beonder enfach. Dazu wrd de Funkton y N (t) m Bldberech betrachtet, d. h. y N (t) = N = α t! Y N () = N = α. (3) +1 De Idee beteht nun darn, augehend von (3) für enen belebgen Koeffzenten α j, j =, 1,...,N, enen explzten Audruck anzugeben, d. h. de j-te Abletung y ( j) () zu betmmen. De gelngt n enfacher Wee, denn n Glechung (3) treten de Koeffzenten lnear auf; e nd mt Hlfe von y N (t),,lnear dentfzerbar [8]. Nach engen gechckten anpulatonen von Glechung (3), de n Anhang A angeführt nd, und ener anchleßenden Rücktranformaton n den Zetberech erhält man folgenden Audruck für den geuchten Koeffzenten: t α j = Π j (t,τ)y N (τ) dτ. (4) De Funkton Π j (t,τ) hängt unter anderem von der Ordnung N der Taylorrehe (1) und ener weteren, vorgebbaren Kontante ν ab. Dee t ganzzahlg owe nchtnegatv. Se dent der Redukton der Empfndlchket de Verfahren gegenüber hochfrequentem erauchen. Au Gründen der Überchtlchket t Π j (t,τ) m Anhang A zu fnden (13). Be der praktchen Anwendung von (4) t y N (t) durch den gemeenen Wert y(t) zu eretzen. Al Zetfenterbrete, d. h. al obere Integratongrenze n (4), kann theoretch en belebg klener Wert t = T > gewählt werden. Be der Wahl der Fenterbrete T t en Komprom zwchen Rechenaufwand und Güte der Schätzung zu fnden. T ollte zwar eneret o klen gewählt werden, da der zetlche Aufwand zur Auwertung von (4) vertretbar blebt, 554 TOOLS andereret erhöht ene Vergrößerung von T de Qualtät der Schätzung be verrauchten egnalen y(t). De t darauf zurückzuführen, da her ene Tefpaflterung wrkam wrd (ehe auch Anhang A). an beachte, da Glechung (4) ledglch enen Schätzwert für de Abletungen von y(t) zum Zetpunkt t = lefert. Schätzwerte zu belebgen Zetpunkten t > kann man aber auf ehr enfache Wee betmmen: Antatt de ewerte von y(t) m Intervall [t, t + T] zur Ermttlung der Abletung y ( j) (t) zu verwenden, werden vergangene Werte von y(t) auf dem Intervall [t, t T], d.h. gepegelt, engeetzt. Somt kann erneut de Taylorrehe (1) herangezogen werden, wenn man wegen der Zetumkehr en negatve Vorzechen be ungeradzahlgen Abletungen enbezeht. Damt erhält man letztendlch für de j-te Zetabletung, j =, 1,...,N, de Abchätzung T y ( j) (t) = ( 1) j Π j (T,τ)y(t τ) dτ. (5) 3 Schätzung be abgetateten Sgnalen In deem Abchntt wrd der Tatache Rechnung getragen, da be praktchen Anwendungen en Sgnal y(t) ncht kontnuerlch erfat wrd, ondern typcherwee nur zu äqudtanten Zetpunkten t = T. Herbe t T de ogenannte Abtatzet (amplng tme). Da Sgnal, deen zetlche Abletungen ermttelt werden ollen, legt omt n Form ener Zahlenfolge (y ) = (y, y 1, y 2,...) mt y = y( T ), =, 1, 2,... vor. Zwchen zwe aufenander folgenden Abtatzetpunkten wrd y(t) al kontant angenommen, d. h. y(t) = kont. für T t <( + 1)T, =, 1, 2,... In Glechung (5) wrd de Fenterbrete T al ganzzahlge Velfache der Abtatzet T gewählt, d. h. e glt T = T wobe = 1, 2, 3,... Dee Wahl ermöglcht e, da Integral n Glechung (5) durch entprechende Summen zu eretzen und omt ene Approxmaton y ( j) y ( j) (t) der geuchten Abletung zu erhalten. Ene auführlche Dartellung der bechrebenen Vorgangwee t n Anhang B zu fnden. Für de geuchte j-te zetlche Abletung zum Zetpunkt t = T erhält man omt y ( j) = Π j,k y k+1 (6) für j =, 1, 2,...,N, wobe Π j,k analog zum zetkontnuerlchen Fall von N und ν owe von der Kontanten abhängt. Der Audruck für Π j,k t, wederum au Gründen der Überchtlchket, al (15) m Anhang B zu fnden. Interpretert man (6) al en zetdkrete Sytem mt der Engangfolge (y ) und der Augangfolge (y ( j) ), o erkennt man, da e ch herbe um en ogenannte Th artcle protected by German copyrght law. You may copy and dtrbute th artcle for your peronal ue only. Other ue only allowed wth wrtten permon by the copyrght holder.

3 J. Zehetner u. a.: Echtzet-Implementerung ene algebrachen Abletungchätzverfahren at 11/27 nchtrekurve Flter handelt. Da Element y ( j) errechnet ch nämlch auchleßlch au Elementen der Engangfolge (y ). an beachte auch, da de n (6) benötgten Größen Π j,1, Π j,2,...,π j, offlne au den gewählten Parametern N,ν, und j berechnet werden können. Ihre Ermttlung kotet omt n ener Echtzetanwendung kene kotbare Rechenzet. 4 Implementerung 4.1 otvaton De Ermttlung von Zetabletungen von Sgnalen n Echtzet-Anwendungen getaltet ch oft recht chwerg, da m Gegenatz zur offlne-schätzung de zur Verfügung tehende Rechenzet begrenzt t. In den folgenden Abchntten wrd gezegt, da da n Abchntt 3 vorgetellte Verfahren auch n Echtzet-Anwendungen enetzbar t. Zel t e, den vorgetellten Algorthmu möglcht allgemen und effzent zu mplementeren. Darunter vertehen wr, da de zur Auführung notwendgen Parameter vom Anwender vorgegeben werden können und dee auch während der Laufzet varert werden können. De Varaton der Parameter t beonder für Echtzetyteme relevant, da her de optmale Kombnaton der Parameter m Veruch ermttelt werden kann, ohne da Sytem neu ntaleren zu müen. De zur Schätzung der Abletungen notwendge Rechenzet mu nnerhalb vorgegebener Grenzen bleben. Darüber hnau müen de ertellten Funktonen owohl auf Smulaton- al auch auf Echtzetplattformen engeetzt werden können. De gewährletet, da de korrekte Funktonaltät der Software beret n der Smulaton überprüft werden kann. 4.2 Zelplattform Al Zelplattform nd prnzpell zwe Arten von Sytemen denkbar, eneret Smulatonen, de ncht zwngend n Echtzet ablaufen müen (offlne) und andereret n Echtzet ablaufende Syteme (onlne), ogenannte Realtme- Syteme. Al Smulatonumgebung etzen wr atlab/smulnk en. Al Echtzet-Anwendungen etzen wr Syteme en, für de von atlab/smulnk au entprechende Anwendungen generert werden können. Dabe werden Smulnk- odelle mttel ene Code-Generator n C-Sourcecode überetzt. Der genererte Sourcecode wrd mttel ene Target-Compler n ene auf der Zelplattform lauffähge Anwendung überetzt. De gecheht üblcherwee vollautomatch. 4.3 Smulnk S-Functon De unangenehme Egenchaft der vorgetellten Berechnung t de faltungähnlche Struktur der Integrale (5) bzw. Summen (6). Dee Struktur macht den Enatz von Schlefen zur Berechnung der Summen unumgänglch (ehe Abchntt 3). Da de Anwendung auf den n Abchntt 4.2 gewählten Plattformen ablaufen oll, betet ch der Enatz ener Smulnk S-Functon an. Ene S-Functon t de Bechrebung ene atlab/ Smulnk-Block mt Hlfe ener Programmerprache [11]. E tehen ene Rehe von möglchen Programmerprachen zur Verfügung, etwa de atlab-egene Skrptprache ATLAB, oder auch höhere Programmerprachen we z. B. C, C++, Ada und Fortran. Im technchen Berech hat ch, we auch n weten Berechen der Informatk, de Sprache C bzw. C++ etablert. De von un gewählten Realtme-Umgebungen etzen zwngend de Sprache C vorau, wehalb m Weteren ledglch auf ene Implementerung von S-Functon n C engegangen wrd. Der C-Code kann, we n Abchntt 4.1 gefordert, unabhängg von der engeetzten Zelplattform ertellt werden. De emantche Verfkaton der Implementerung de Verfahren kann omt beret mt der Smulatonumgebung vorgenommen werden, da en und derelbe Sourcecode für alle Zelplattformen engeetzt wrd. Durch Enatz von Compler-Drektven können pezelle Egenchaften der Syteme verwendet werden, z. B. Warn-/ Infofenter für de Smulatonumgebung, de für andere Syteme ncht zweckmäßg nd. 4.4 Datentruktur Der gewählte Algorthmu benötgt de m Abchntt 3 genannten Parameter. De m Zetfenter kontanter Brete T =[t ( 1) T, t ] legenden, vergangenen ewerte werden zur Berechnung de aktuellen Schätzwert y ( j) engeetzt, wobe t = T, =, 1, 2,..., glt (ehe Abchntt 3). Da Fenter gletet zu jedem Abtatchrtt um en Zetntervall weter, wobe der aktuelle ewert y angefügt und der ewert y entfernt wrd. De gepecherten Werte können äußert effzent n enem Rngbuffer abgelegt werden. E handelt ch herbe um enen Specherberech (Array) der Größe = T/T. Schreb- und Leezugrffe erfolgen mmer über modulo- Operatonen 1. Bem Enfügen ene neuen ewert n den Rngbuffer wrd der jewel letzte Wert 2 überchreben. 4.5 Softwaretruktur In Bld 1 t da Fludagramm der realerten Funkton dargetellt. E oll darauf hngeween werden, da dee Struktur für jeden Abtatzetchrtt durchlaufen werden mu. De notwendge Schlefe zur Berechnung der Summe, t der krtche Berech (Felder 5 und 6). In der Varable RB t der Rngbuffer abgelegt, BPo t de aktuelle Poton m Rngbuffer, d. h. der ewert zum Zetpunkt t wrd an deer Stelle mttel ener modulo-operaton abgelegt 1 Ene modulo-dvon ergbt den Ret der Dvon zweer Ganzzahlen, z. B. p = 96 modulo 8 = ewert zum Zetpunkt (t T ) = (t T ). 555 Th artcle protected by German copyrght law. You may copy and dtrbute th artcle for your peronal ue only. Other ue only allowed wth wrtten permon by the copyrght holder.

4 at 11/27 Bld 1: Fludagramm (ehe Text). (Felder 2 und 3). In Feld 4 wrd Π j,k entprechend der vom Benutzer engetellten Parameter augewählt (ehe Abchntt 3). Dee Auwahl gecheht zu jedem Zetchrtt, d. h. ncht nur während der Intalerung (ehe Abchntt 4.1). Für de Veruche tanden etwa 5 offlne berechnete Datenätze für Π j,k für unterchedlche Kombnatonen von j, N,ν und zur Verfügung. In Feld 5 wrd en au dem Rngbuffer mttel modulo-operaton augeleener Wert mt dem paenden Wert von Π j,k multplzert. In Feld 6 werden de Zwchenergebne aufummert. RB und BPo nd tatche Varablen, d. h. der Inhalt der Varablen mu auch bem Aufruf der Funkton zum Zetpunkt t = ( + 1) T zur Verfügung tehen (bem neuerlchen Aufruf ener Funkton werden m Allgemenen alle Varablen neu ntalert!). In atlab/smulnk tehen zu deem Zweck ogenannte Work Vector [11] zur Verfügung. Dee werden nnerhalb der zentralen SmStruct- Varable abgelegt und tehen be jedem Smulatonchrtt unverändert zur Verfügung, erfüllen alo de von un gewünchten Anforderungen. E teht jewel en Array fre wählbarer Größe für verchedene Datentypen zur Verfügung, unter anderem für de Typen nteger und double, wobe der Zugrff auf dee Specherbereche mttel pezeller C-Kontrukte erfolgt. 4.6 Anmerkungen 556 TOOLS Ene Beonderhet de präenterten Algorthmu t, da Abletungen unterchedlchen Grade zetglech mttel ener S-Functon berechnet werden können. Der zuätzlche Rechenaufwand t herbe ehr gerng, da der geamte Zuatzaufwand, welcher durch Enatz ener Schlefe entteht, nur enmal für alle Berechnungen notwendg t. De Parametrerung erfolgt dann über Vektoren antatt über Skalare, entprechend ergbt ch en mehrdmenonaler Augang. Weter können auch Abletungen für jede Komponente ener vektorellen Enganggröße berechnet werden, z. B. analog zum n Abchntt 5.2 gezegten Bepel, de jewel erte Abletung von ver Radgechwndgketen ene Fahrzeug. Be Echtzet-Sytemen mt hohen Abtatraten teht nur ene äußert bechränkte Anzahl an Schlefendurchläufen pro Zetchrtt zur Verfügung (z. B. be der m Abchntt 5.1 verwendeten croautobox: be ener Abtatzet von T =,1 ec tehen maxmal max 15 Schlefendurchläufe zur Verfügung wa ener maxmalen Fenterbrete T max,15 ec entprcht). Um auch unter deen Bedngungen ene aurechende Rauchunterdrückung zu gewährleten, kann etwa ledglch jeder L-te ewert (L 2) zur Berechnung herangezogen werden. Durch dee aßnahme wrd be glechblebender Anzahl an Schlefendurchläufen de Fenterbrete um den Faktor L vergrößert und glechzetg ene Vorflterung vorgenommen. Weter kann nur zu jedem P-ten Zetchrtt en neuer Augabewert berechnet werden (de entprcht ener Nachabtatung). De Schlefendurchläufe werden omt auf P Zetchrtte aufgetelt, wobe pro Zetchrtt omt = /P Berechnungen notwendg nd. De Zahlen Π j,k werden offlne für betmmte Kombnatonen der Parameter j, N,ν und berechnet. Ene Ermttlung der Werte n Echtzet wäre wünchenwert, um de Verwendung belebger Parameterkombnatonen zu ermöglchen. Be zetkrtchen Echtzetytemen recht herfür möglcherwee de zur Verfügung tehende Rechenzet ncht au. Dee Problem kann umgangen werden, ndem, be ener Änderung der Parameter zum Zetpunkt t = T, ken neuer Schätzwert y ( j) berechnet wrd, ondern tattdeen de Berechnung der Zahlen für Π j,k vorgenommen wrd. Für deen Abtatzetchrtt kann z. B. y ( j) = y ( j) 1 geetzt werden. Zum Zetpunkt t = ( + 1) T wrd der Schätzwert y ( j) +1 dann mt den neu ermttelten Zahlen Π j,k, d.h. mt den neuen Parametern, berechnet. 5 Ergebne In deem Abchntt wrd de Anwendung der entworfenen Toolbox n ener Echtzetanwendung bechreben. 5.1 dspace croautobox De croautobox (ABX) der Frma dspace t en Prototypenteuergerät, da pezell auf den Enatz m automotven Berech zugechntten t. E wrd en Target- Compler für Smulnk angeboten. Zum Enatz kommt da Th artcle protected by German copyrght law. You may copy and dtrbute th artcle for your peronal ue only. Other ue only allowed wth wrtten permon by the copyrght holder.

5 J. Zehetner u. a.: Echtzet-Implementerung ene algebrachen Abletungchätzverfahren at 11/27 Bld 2: Prüftand am Inttut für Regelung- und Automaterungtechnk. Sytem croautobox DS141/151. De genauen Spezfkatonen nd n [12] zu fnden. De Implementerung der S-Functon auf der ABX verlef problemlo. Zur Erprobung der Funktonaltät wurde de bechrebene Toolbox an enem Prüftand am Inttut für Regelung- und Automaterungtechnk der Technchen Unvertät Graz engeetzt (ehe Bld 2). Deer dent der Implementerung und Erprobung von Antchlupfregelungen (ASR) und Antblockerytemen (ABS) für Kraftfahrzeuge. De Anlage beteht au enem Refen, der mt Hlfe ene Elektromotor angetreben und mttel ener hydraulchen Breme gebremt werden kann owe ener drehbar gelagerten Walze. Durch de Kontaktkraft zwchen Rad und Walze wrd bem Bechleungen bzw. Bremen de Rade auch de Walze bechleungt bzw. gebremt. In Bld 3 t der Aufbau der Anlage chematch dargetellt. Größen, de ch auf de otorwelle bezehen, werden m Folgenden mt dem Index 1 verehen, Größen an der Walzenwelle mt dem Index 2. De Drehbewegungen von Rad und Walze können mt Hlfe de Drallatze bechreben werden. t J 1 wrd da aenträghetmoment von otor, Rad, Breme und Welle bezüglch der Rotatonache bezechnet, ω 1 t de Wnkelgechwndgket der Radwelle. Da Bld 3: Prnzpeller Aufbau der Veruchanlage. vom otor geleferte oment t a, b t da Bremmoment und R,1 repräentert alle wrkenden Rebmomente. Da oment F x r 1 t auf den Kontakt zwchen Rad und Walze zurückzuführen, wobe F x de übertragene Längkraft t und r 1 den Radu de Rade repräentert. De Dfferentalglechung zur Bechrebung der Radrotaton lautet damt: dω 1 J 1 = a b R,1 + F x r 1. (7) dt Analog dazu glt für de Drehbewegung der Walze: dω 2 J 2 = R,2 F x r 2. (8) dt Herbe t J 2 da aenträghetmoment bezüglch der Drehache, R,2 t da Rebungmoment und F x r 2 t da Drehmoment durch den Refenkontakt, wobe r 2 der Walzenradu t. 5.2 eergebne In Bld 4 nd de Rad- und Walzengechwndgket antelle der gemeenen Wnkelgechwndgketen dargetellt, wobe v 1 = ω 1 r 1 und v 2 = ω 2 r 2 glt. Da Steuergnal Antreb tellt den Berech der Volllatbechleungung de Sytem dar, wobe kene Antrebchlupfregelung vorgeehen t. Da Steuergnal Breme zegt den Berech der Bremung an, wobe her en Antblockerytem engeetzt wrd. Detal zur Funktonwee de ABS nd n [16] zu fnden. De Rad- bzw. Walzenbechleungung, a 1 = dv 1 dt bzw. a 2 = dv 2 dt wurde mt dem vorgetellten Verfahren gechätzt. Zum Verglech wurden geflterte Abletungen mttel de Flter P() =,5 + 1 berechnet. Dabe wurde de Zetkontante der pektralen Zuammenetzung de zu flternden Sgnal angepat. Bld 4: Gemeene Gechwndgketen und Steuergnale., 557 Th artcle protected by German copyrght law. You may copy and dtrbute th artcle for your peronal ue only. Other ue only allowed wth wrtten permon by the copyrght holder.

6 at 11/27 In Bld 5 t der Verlauf der Radbechleungung a 1 für den ABS-Bremvorgang dargetellt, wobe de gechätzte Bechleungung für den ABS-Regelvorgang, d. h. zur Anteuerung der ABS-Ventle, verwendet wurde. De geflterte Bechleungung t für deen Zweck auf Grund de hohen Rauchpegel ncht geegnet. De zur Schätzung verwendeten Parameter nd j = 1, N = 2, ν = und T =,4 ec. Bld 6 zegt den Verlauf für de Walzenbechleungung a 2 über den geamten Veruchzetraum. Im Berech I t de Bechleungung de Rade auf de Sollgechwndgket zu ehen, wobe be t 5,5 de maxmale Bechleungung errecht wrd (optmaler Schlupf). Für den Berech II t a =, de Verzögerung der Walze reultert au den Rebungmomenten. Während der ABS-Bremung m Berech III tellt ch ene annähernd kontante Verzögerung von a 2 2m/ 2 en. We m Verglech mt der geflterten Abletung zu erkennen t, konnte da Rauchen be der n Bld 5: Verglech der Bechleungung am Rad. Bld 6: Verglech der Bechleungung an der Walze. 558 TOOLS Echtzet gechätzten Bechleungung praktch volltändg elmnert werden. De engeetzten Parameter nd j = 1, N = 1, ν = und T =,2 ec. 6 Zuammenfaung und Aublck In deer Arbet wrd de Implementerung ene algebrachen Abletungchätzverfahren für Echzetanwendungen gezegt. Dazu wrd da Verfahren hergeletet und gezegt, we be abgetateten Sytemen ene Verenfachung der Schätzglechung n Form ener gewchteten Summe erzelt werden kann. De beondere Form der Berechnungen erfordert den Enatz von komplexen Werkzeugen. De ertellte Implementerung egnet ch owohl für Smulatonen al auch für Echtzetyteme. De Ergebne au Abchntt 5 zegen, da de Algorthmen be Anwendung mt tark verrauchten egnalen augezechnete Ergebne lefern. t den n deer Arbet gezegten Veruchen oll ledglch de korrekte Funktonwee der Implementerung verdeutlcht werden. En nächte Zel t de Verwendung der mttel der Dervatve Etmaton Toolbox ermttelten Abletungen zur Ermttlung von Parametern und Zutandgrößen, onlne und n Echtzet. De n Abchntt 4.6 bechrebene öglchket ener onlne-berechnung der Werte für Π j,k t derzet n Entwcklung. Anhang A E oll en explzter Audruck für den Koeffzenten α j der Taylorentwcklung (1) hergeletet werden. Dazu multplzert man Glechung (3) m Bldberech mt dem Operator N+1. Damt ergbt ch zunächt N N+1 Y N () = α N, = wa nun anchleßend N j mal bezüglch dfferenzert wrd. Auf dee Wee elmnert man alle Koeffzenten α j+1,...,α N,d.h.eergbtch d N j d N j ( N+1 Y N () ) = j = α (N )! ( j )! j. Im nächten Schrtt werden de Koeffzenten α,...,α j 1 zum Verchwnden gebracht. Zu deem Zweck multplzert man de letzte Bezehung von lnk mt dem Operator 1/ 1 d N j d N j ( N+1 Y N () ) = (N j)! j 1 α j + = α (N )! ( j )! j 1 und dfferenzert j mal nach, um de Summe auf der rechten Sete zu elmneren. Dee Schrtte ergeben d j ( 1 d N j ( N+1 Y d j d N j N () ) = ( 1) j j! (N j)! α j+1 j. (9) Der Audruck auf der lnken Sete von (9) enthält N al Operatormonom höchten Grade, wa m Zetberech ener Th artcle protected by German copyrght law. You may copy and dtrbute th artcle for your peronal ue only. Other ue only allowed wth wrtten permon by the copyrght holder.

7 J. Zehetner u. a.: Echtzet-Implementerung ene algebrachen Abletungchätzverfahren at 11/27 N-fachen Zetabletung glechkommt. Um dee Zetabletungen der Sgnale zu vermeden, multplzert man (9) mt 1/ N+ν+1, ν. Folglch wrd jede Zetgnal mndeten enmal ntegrert 3. Dee Vorgehen führt auf 1 d j N+ν+1 d j ( 1 d N j ( N+1 Y d N j N () ) ) = ( 1) j j! (N j)! N+ j+ν+2 α j. (1) Glechung (1) lät ch mt Hlfe der Formel von Lebnz zur mehrfachen Dfferentaton von Produkten auwerten. Dazu führt man bezüglch der lnken Sete folgende Rechenchrtte durch: 1 N+ν+1 ( d j d j d j d j ( 1 N j κ 1 = = 1 N j N+ν+1 d N j ( N+1 Y d N j N () ) N j κ 1 j κ 1 = κ 2 = )) (N+1)! d N j κ1y (N κ 1 +1)! N κ 1 N () d N j κ 1 N j κ 1 N κ 1 κ 2 d N κ N j 1 κ 2 Y N () d N κ = 1 κ 2 (N+1)! (N κ 1 κ 2 )! (N κ 1 +1) j (N+1)! (N κ 1 )! κ 2 (N κ 1 +1)! (N κ 1 κ 2 )! j κ 1 = κ 2 = 1 ν+κ 1+κ 2 +1 N j κ 1 Damt t Glechung (1) äquvalent zu 1 N+ j+ν+2 α j = ( 1) j N j j! (N j)! j κ 2 d N κ 1 κ 2 Y N () d N κ 1 κ 2. j κ 1 = κ 2 = N j κ 1 j κ 2 (N+1)! 1 d N κ 1 κ 2 Y N () (N κ 1 κ 2 )! (N κ 1 +1) ν+κ 1+κ 2 +1 d N κ. 1 κ 2 (11) Glechung (11) kann nun,,ohne Schwergketen n den Zetberech zurücktranformert werden: Der Audruck auf der lnken Sete entprcht enem onom der Zet, Audrücke n auf der rechten Sete entprechen Faltungntegralen. E ergbt ch t α j = Π j (t,τ)y N (τ) dτ (12) mt der Funkton (N + j + ν + 1)! (N + 1)! ( 1) j N j j Π j (t,τ)= t N+ j+ν+1 κ 1 = κ 2 = (t τ) ν+κ 1 +κ 2 ( τ) N κ 1 κ 2 κ 1!κ 2!(N j κ 1 )!( j κ 2 )!(N κ 1 κ 2 )!( )!(N κ 1 + 1). (13) 3 Antelle ener ehrfachntegraton t de Verwendung anderer Flter paender Ordnung natürlch ebeno möglch. Anhang B Im Folgenden oll au Glechung (5) ene ntegralfree Schätzung für de Abletungen y ( j) (t) hergeletet werden. Dazu etzt man τ = µ T und betmmt zunächt T (T τ) ν+κ 1+κ 2 ( τ) N κ 1 κ 2 y(t τ) dτ = = ( 1) N κ 1 κ 2 1 = ( 1) N κ 1 κ 2 T N+ν+1 1 ν+κ 1 +κ 2 = ν+κ 1 +κ 2 = (T µt ) ν+κ 1+κ 2(µT ) N κ 1 κ 2 y(t µt ) Tdµ 1 (1 µ) ν+κ 1+κ 2µ N κ 1 κ 2 y(t µt ) dµ ( 1) µ µ N κ 1 κ 2 y(t µ T ) dµ ( 1) 1 µ N+ κ 1 κ 2 y(t µ T ) dµ Kann nun da Intervall [t T, t] gemäß ener perodchen Abtatung n äqudtante Telntervalle mt kontanten Werten von y untertelt werden, d. h. y(t k 1 T ) = kont., k = 1,...,, o glt T (T τ) ν+κ 1+κ 2 ( τ) N κ 1 κ 2 y(t τ) dτ ν+κ 1 +κ 2 = ν+κ 1 +κ 2 = ν+κ 1 +κ 2 = ( 1) = ( 1) N κ 1 κ 2 T N+ν+1 ( 1) ( 1) ν+κ 1 +κ 2 = k k 1 µ N+ κ 1 κ 2 y ( t k 1 T) dµ y ( t k 1 T) k k 1 µ N+ κ 1 κ 2 dµ y ( t k 1 T) [ µ N+ κ 1 κ 2 +1 N+ κ 1 κ 2 +1 ( 1) N+ κ 1 κ 2 +1 y ( t k 1 T)( ( k ) N+ κ1 κ 2 +1 ( k 1 ) N+ κ1 κ 2 +1 ) ] k k 1 Dee Ergebn führt nun zuammen mt den Glechungen (5) und (13) auf da wchtge Reultat: De j-te Zetabletung ene Zetgnal y betmmt ch gemäß y ( j) (t) = Π j,k y(t (k 1)T ) (14) für j =, 1, 2,...,N und der Abkürzung Π j,k = (N + j + ν + 1)! (N + 1)! (T ) j N j j κ 1 = κ 2 = ν+κ 1 +κ 2 ( 1) N+ κ 1 κ ( ( ) 2 k N+ κ1 κ 2 +1 ( ) k 1 N+ κ1 κ 2 +1 ) κ 1!κ 2!!(N j κ 1 )!( j κ 2 )!(N κ 1 κ 2 )!(ν + κ 1 + κ 2 )!(N κ 1 + 1)(N + κ 1 κ 2 + 1) = (15) 559 Th artcle protected by German copyrght law. You may copy and dtrbute th artcle for your peronal ue only. Other ue only allowed wth wrtten permon by the copyrght holder.

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