Geoströmungstechnik. Lehrbrief und Übungen. Numerische Modellierung von Strömungs- und Transportprozessen im geologisch geschichteten Untergrund

Transkript

1 Lehrbref und Übungen Geoströmungstehnk Numershe Modellerung von Strömungs- und Transportprozessen m geologsh geshhteten Untergrund TU Bergakademe Freberg Insttut für Bohrtehnk und Fludbergbau Prof Dr St Wagner DM S Boy Dpl-Ing A Matwjenko Dpl-Phys Th Wagner Dpl-Geonformatkern E Bennewtz 07 / 006

2 Lehrbref "Geoströmungstehnk/Praktkumsanletung" für das Lehrgebet "Geoströmungstehnk" am Insttut für Bohrtehnk und Fludbergbau der Fakultät Geowssenshaften, Geotehnk und Bergbau an der TU Bergakademe Freberg Wagner, St / Boy, S / Matwjenko, A / Wagner, Th & Studenten Vorlesung und Übung Numershe Modellerung von Strömungs- und Transportprozessen m geologsh geshhteten Untergrund 0 Enletung und Aufgabenstellung Strömung/Dffuson - Transport -Parameterdentfkaton (Flterströmung) Symbolverzehns / Indzes Lösung der Strömungs- und Transportglehung Grundglehungen Transportmehansmen und hre mathematshe Beshrebung Allgemene Grundlagen, Modelle und Modellerungsaufgabe Transportershenungen, Transportprozesse 3 Mehrphasen-Strömung und Stofftransport 3 Analytshe Lösungen Laplaetransformaton - Rüktransformaton mttels Korrespondenzen - Numershe Rüktransformaton (Stehfest Algorthmus) Numershe Lösung von partellen Dfferentalglehungen Numershe Modellerung von Strömungs- und Transportprozessen - Dskretserung durh endlhe Dfferenzen oder fnte Elemente - Numershe Lösung von Dfferenzenglehungen - Eplzte und mplzte Lösungsverfahren Numershe Verfahren - Enfahe und erweterte Blanzmethode (CVM) - Fnte - Element- Methode - Methode der Charakterstken (MOC) - Random-Walk-Methode (RWM) - Randntegralglehungsmethode (BIEM) 3 Determnstshe und stohastshe Modellerung 3 Hydrodynamshe Dsperson n porösen Meden 3 Dsperson und Varanz der Geshwndgketswerte 33 Stohastshe Prozesse 34 De Grundprobleme der Transportmodellerung 35 Das Konzept der Makrodsperson

3 4 Verfahren zur optmalen Prozesssteuerung und Parameterdentfkaton - optmale Prozesssteuerung, numershe Suhverfahren (Gradenten, Gauß-Newton) 5 Programmsysteme zur Smulaton von Geofltraton und Geomgraton für den mehrdmensonalen Fall Lteraturverzehns 3 Anhang - Lösungsbespele - 3 Lösung der Grundglehung (homogene DGL Ordnung, parabolshen Typs, lnear mt konstanten Koeffzenten, endmensonal) - eplzte Lösungsmethode 3 Temperaturausbretung m Untergrund mt vershedenen Randbedngungen 33 Lösung der Strömungsglehung für de Grundwasserströmung mt prasrelevanten Parametern (eplztes Lösungsverfahren) 34 Strömungsglehung - mplztes Lösungsverfahren - sem-mplzte Lösung (CRANK-NICHOLSON) 35 Dffusonsglehung mt vershedenen Randbedngungen Laplae-Transformaton und numershe Rüktransformaton nah STEHFEST 36 Lösung der Transportglehung (endmensonal) - eplztes Lösungsverfahren - mplztes und sem-mplztes Lösungsverfahren - Gauß-Sedel-Iteraton - Gaußshes Elmnatonsverfahren 37 Lösung der Strömungsglehung für en nhtlneares Problem 38 Parameterbestmmung mt Suhverfahren am Bespel des Dffusonskoeffzenten - Gauß-Newton-Verfahren - Powell-Verfahren

4 0 Enletung und Aufgabenstellung Es st das Anlegen der vorlegenden Praktkumsanletung, ene Gruppe von physkalshen Bewegungs- und Transportvorgängen, de durh mathematsh ähnlhe Modellglehungen haraktersert snd, enhetlh darzustellen und für verenfahende Voraussetzungen numershe Lösungen aufzuzegen Dazu gehören: - de Wärmeletung n Festkörpern, - de Strömung von Flüssgketen und Gasen, - de sotherme Dffuson n Festkörpern, Flüssgketen und Gasen, - der konvektve Massentransport (Stofftransport) n Flüssgketen und Gasen, - Parameterdentfkaton (Lösung der nversen Aufgabe) In allen Bespelen wrd sh auf lamnare Strömungsvorgänge n porösen Meden ohne Träghetsenfluss m en- oder mehrdmensonalen Fall beshränkt Der vorlegende Programm- und Übungstel soll an de Bearbetung prasrelevanter numersher Smulatonsmodelle heranführen Voraussetzung für ene erfolgrehe Beshäftgung mt den n deser Anletung zusammengestellten Übungen und Programmen st, neben der Kenntns der mathematshen Grundglehungen, de Kenntns der Programmersprahe C bzw C++ De Programme und Übungen snd so enfah we möglh gehalten und sollen zu selbstständgen Erweterungen anregen Als Grundlage der Praktkumsanletung denten de Fahbüher von HÄFNER, SAMES & VOIGT "Wärme- und Stofftransport" //, KINZELBACH "Numershe Methoden zur Modellerung des Transportes von Shadstoffen m Grundwasser" // und RICHTER "Modelle für Prozesse m Boden" /3/ In der og Lteratur wrd jeder Nutzer weterführende und funderte Erläuterungen zu den spezellen Aufgabenstellungen fnden Frau Dpl Math S Boy, Herr Dpl Ing A Matwjenko und Dplomphysker Th Wagner erstellten und testeten de Übungsprogramme De Programme wurden m Rahmen von Lehrveranstaltungen durh Studenten (S Waage, A Klauke und E Bennewtz) ergänzt und snd auf jedem Personalomputer anwendbar Frau S Hengst fertgte de Abbldungen an Auflage, Aprl 997 korrgerte Auflage, Auflage, 006 3

5 Symbolverzehns (Alle Maßenheten gelten n SI-Bassenheten: m, s, kg,) A Flähe m a Temperatur-, Drukletfähgket m /s allg Letzahl C Volumenkonzentraton, Teldhte kg/m 3 C M Massenkonzentraton spezfshe Wärme J/kg K D allgemene Letfähgket hydrodynamsher Dspersonskoeffzent m /s D m molekularer Dffusonskoeffzent m /s D* mehansher Dspersonskoeffzent m /s erf() Gaußshe Fehlerfunkton erf() komplementäre Gaußshe Fehlerfunkton erf() - erf() g Erdbeshleungung : g 9,80665 m /s h Wasserspegelhöhe, Wasserstand k allgemener Abbaukoeffzent s - K, k (r) Durhlässgket, (relatve) m k f Durhlässgketsbewert m/s k d Vertelungskoeffzent m 3 /kg L Länge m M Mähtgket m m Masse kg m Massenstrom kg/s m flähenbezogener Massenstrom kg/s m A ṁ V n n volumenbezogener Massenstrom (Massenstromdhte) kg/s m 3 Porenantel, Porostät Normalenvektor p Druk Pa Q allgemener Stromterm q allgemener Quell/Senkenterm r Radus, allgemene Koordnatenrhtung m R Retardatonsfaktor bem Stofftransport S allgemener Speherkoeffzent T Temperatur K t Zet s u allgemene Lösungsfunkton V Volumen m 3 V Volumenstrom m 3 /s 4

6 V A flähenbezogener Volumenstrom m/s (Geshwndgket) V V Volumenstromdhte s - w Geshwndgket m/s z g Realgasfaktor α Wärmeübergangskoeffzent W/m K Kolmatonsfaktor s - Г Rand des Gebetes δ Dspersvtät m Ω zwe- oder dredmensonaler Transportraum /Gebet oder Raum) m oder m 3 ρ Dhte kg/m 3 η dynamshe Vskostät Pa s λ Wärmeletfähgket W/m K κ sotherme Kompressbltät Pa - Indzes Fl Flüssgketsphase f Feststoffphase g Gasphase L be L (Rand) R Rand oder be r R V auf das Volumen des Transportraumes bezogen 0 be 0 oder r r 0 t total, Gesamt,y,z Komponente enes Vektors n deser Koordnatenrhtung - kart Koordnaten r, ψ, θ - Kugelkoordnaten e Enhetsvektor 5

7 Lösung der Strömungs- und Transportglehung Lamnare Strömungs- und Transportvorgänge n homogenen und nhomogenen, porösen Meden Grundglehungen Fourer shes Gesetz der Wärmeletung Q A λ grad T λ T Q - Wärmestrom je Flähenenhet, W/m λ A - Wärmeletfähgket des Medums, W/m k De Wärmeletungsglehung Q V dv T t ( λ T ) ρ QV - Wärmestrom je Volumenenhet nfolge Quellen / Senken - spezfshe Wärme enes nkompressblen Medums, J / kg K 3 Das Dary-Gesetz der Flterströmung - Geoströmung n porösen Meden w K η ( grad p + ρ g grad z ) ρ - Fluddhte, kg/m 3 η - dynamshe Vskostät des Fluds, Pa s g - Erdbeshleungung, m/s p - Druk, Pa z - vertkale Koordnate, m K - Durhlässgket, m w - fktve Geshwndgket (Dary-Geshwndgket), m/s w V /A ; V - Volumenstrom, m 3 /s und A - Quershnttsflähe, m 6

8 4 De Dfferentalglehungen der Flterströmung Kontnutätsglehung dv m + ( ρ n) t A mv mt m A ρ w n - Porostät Strömung ener homogenen, kompressblen Flüssgket unter Vernahlässgung der örtlhen Dhteänderung (grad ρ 0) : κ - Gesamtkompressbltät, κ κ Fl + κ f, Pa - Isotherme Strömung enes realen Gases K p dv grad η z g p n κ p z g p t V 0 p 0 T 0 T (p o, T o ) - Bezugszustand z g - Realgasfaktor 5 Das Fk she Gesetz der Dffuson m A D m grad C D m - molekularer Dffusonskoeffzent, m /s Für Volumenkonzentraton ener Komponente : m A D m grad ρ 6 De Dffusonsglehung dv ( D grad C ) mv m C t ṁ V - Massenstrom je Volumenenhet (Quelle/Senke) 7

9 7 De Stofftransportglehung Allgemene Stofftransportglehung dv [( ) ] C * n D + D grad C w C n mv m D * - Dspersonskoeffzent, m /s Wärmetransportglehung dv t T * [( λ + ( ρ ) Fl D ) grad T ( ρ ) Fl w T ] ( ρ ) t QV (ρ ) Fl - spezfshe Wärmekapaztät des Fluds (ρ ) t - totale Wärmekapaztät (Flud/Feststoff) Tabelle : Allgemene Strömungsglehung Symbolbedeutung u dv grad u a t Strömungsvorgang u a q Flterströmung kompressble Flüssgket Grundwasser gespannt Grundwasser ungespannt Druk p Spegelhöhe h (Drukhöhe) Spegelhöhe h (Wasserstand) q D Wärmeletung Temperatur T Temperaturletfähgket, Dλ Drukletfähgket ak / nηκ Drukletfähgket a k f / S 0 a k f H / n Reales Gas Druk p Drukletfähgket ak / nηκ Isotherme Dffuson Volumenkonz C Dffusonskoeffzent ad, DD m, S t Wärmestrom je Volumenenhet Volumenstrom je Volumenenhet Volumenstrom je Volumenenhet Volumenstrom je Flähenenhet Quell-Senkenterm Realgasströmung Massenstrom je Volumenenhet 8

10 Tabelle : Dfferentalglehung der Strömung n dre Koordnatensystemen Lneare Strömung D q t u a u Radalsymmetrshe Strömung D q t u a r u r r u + Kugelsymmetrshe Strömung D q t u a r u r r u Kartesshe Koordnaten q t u S z u D z y u D y u D z y Zylnderkoordnaten q t u S z u D z u D r r u D r r r z r + Φ Φ + Φ Kugelkoordnaten q t u S u D r u D r r u D r r r r Θ Θ Θ + Φ Θ + Θ Φ sn sn sn

11 Tabelle 3 : Allgemene Transportglehung Symbolbedeutung (HÄFNER ua 99) dv u t ( D grad u wu) k u S q r Transportprozeß u D S k q Bemerkung : w v (ρ) Fl Temperatur T Wärmetransport Summarsher Wärmetransportkoeffzent λ+d * (ρ) Fl Spezfshe Wärmekapaztät (ρ) t Koeffzent abhängger Quellen und Senken Auf Volumenenhet bezogener Strom unabh Q/S C Stofftransport Volumenkonzentraton Hydrodynamsher Dspersonskoeffzent D m + D * Porenantel S n Koeffzent abhängger Quellen und Senken Auf Volumenenhet bezogener Strom unabh Q/S Transportmehansmen und hre mathematshe Beshrebung Allgemene Grundlagen, Modelle und Modellerungsmethode Geoströmungstehnk Grundaufgabe : gegeben: gesuht : Vorausberehnung (Smulaton) Geometre, Struktur, Parameter (zb Durhlässgket, Porostät) Dfferentalglehung ortsabhängge Anfangsbedngungen orts- und zetabhängge Randbedngungen Lösungsverfahren Strömungsgrößen als Funkton des Ortes und der Zet (Druk- bzw Standrohrspegelhöhenvertelung, Geshwndgketsvertelung, Dhtevertelung, Berehnung der bestmmten Randbedngungen zugeordneten Randwerte (zb Massenstrom oder Spegelhöhe/ Druk)) 0

12 Umkehraufgabe: Parameterbestmmung aus Betrebs- bzw Feldmessungen oder Labormessungen (Identfkaton) gegeben: gesuht: Geometre, Strömungsverhalten (orts- und zetabhängge Anfangs- und Randbedngungen (Potentale und Ströme) und Potentale m Strömungsbereh) Lösungsverfahren Parameter abh vom Ort u/o von der Zet (Porostät, Durhlässgket, Grundwasserneubldung), unbekannte Geometre, Stoffparameter, Randbedngungen Transportershenungen, Transportprozesse Ene Transportglehung besteht aus der Erhaltungsglehung (Erhaltungssatz) mt Speher-, Strom- und Quellsenkenterm, für de Ansätze mt bezogenen Zustandsvarablen (zb Dhte, Druk, Geshwndgket, Konzentraton und Temperatur) erforderlh snd Zu ergänzen st de Zustandsglehung, ene Bezehung zwshen allen auftretenden Varablen (außer Geshwndgket) Wr betrahten en ruhendes unveränderlhes (repräsentatves) Volumenelement (RVE) De zetlhe Änderung von Masse n enem RVE st m Zetbereh von t 0 bs t gleh der über de Flähe A des Elementes strömenden Massendfferenz und dem Element durh Quellen oder Senken zugeführten Masse Speherterm Stromterm + Quellsenkenterm Speherterm - Inhalt der Zustandsvarablen n V Stromterm - Konvekton + Dffuson Quellsenkenterm - Phasenwehsel, Sorpton, Reaktonen, Wrkung äußerer Felder (Gravtaton) De Konvektons-Dffusons-Glehung kann allgemen dargestellt werden n Dfferenzenform - als örtl-zetlhe Integraldarstellung - als Dfferentalglehung Modellbldung Modell Abbld des zu untersuhenden Orgnals (zur Modelltheore sehe z B: L Lukner ua97, 975) /4/, /5/ materelle Modelle - Abbld von Strukturen (Sandmodelle)

13 deelle Modelle - mathematshe u kybernetshe Modelle nah der Art des Orgnals : zb geoströmungsmehanshes Modell physkalshe Modelle (mt Analoge - funktons- oder verhaltensanalog) Elektro-Analoge : Ohm'shes Gesetz - Dary'shes Gesetz mathematshe Modelle - Wderspegelung der dynamshen Orgnalprozesse (deelle Modelle) Das mathematshe Modell dent sowohl der Größenberehnung (zb p(, t)) als auh der Parameterberehnung De mathematshen Modelle der Grund- und Umkehraufgabe untersheden sh vor allem m Lösungsverfahren Smulaton - wrklhketsgetreue Nahahmung enes Vorganges (Strömung n porösen Stoffen) Lagerstättenmodell Smulatonsmodell Das Smulatonsverfahren muss auf Smulatonsmodell anwendbar sen physkalshe Gesetze : Erhaltungssatz (Massenerhaltung) Dary-Gesetz Zustandsglehung Dfferentalglehung --- Dfferenzenglehung Lösungsmethoden / Smulatonsverfahren - mathematsh - analytshe Lösungen - analytsh - numershe Lösungen - dskrete numershe Smulatonsverfahren Smulatonsmodell -,, 3 - dmensonal Begrenzung - nnere u äußere Ränder RB, oder 3Art Bohrung,Vorfluter - Quelle/Senke Zetfunkton - nstatonär/quasstatonär/statonär Gtternetzstruktur - orthogonale Vereke, Dreeke Elementstruktur - Quaderelemente

14 Smulaton enes Strömungsvorganges Modellanpassung durh Parameterdentfkaton Messung, subjektve Parameterwahl, mathematshe Verfahren Parameter : Durhlässgket/Transmssbltät Porostät/Speherkoeffzent Spesung/GW-Neubldung/Querströmungsrate Stofftransport - Smulaton von Prognosezuständen /(Geshhte) - Ergebnsbewertung und Ergebnsauswertung Strömungsprozess- Transportprozess Wrken von Wärmeletung bzw Dffuson + Konvekton physkalshe Grundlage : Erhaltungssätze für de Energe bzw Masse Zwe Gründe für Trennung n Strömung u Transport : Glehungen mathematsh untershedlh Strömungsglehung - parabolsh Transportglehung parabolsh-hyperbolsh untershedlhe Lösungsmethoden deutlhe Trennung n den Anwendungen Prozesse der Strömung ( Wärmeletung, Dffuson und Flterströmung ) gekoppelte Wrkung (Transport) Konvekton und Dsperson konvektver oder advektver Transport - Transport von Masse oder Wärme durh ene Fludbewegung mt der mttleren Geshwndgket w Als Dsperson (Zerstreuung) bezehnen wr solhe Prozesse, de durh de statstshe Vertelung der Geshwndgket m Inneren des Strömungsraumes hervorgerufen werden Konvekton erzwungene Konvekton : Druk- oder Shweregradent (Potentalgradent) free Konvekton : Temperaturgradent erzwungene Konvekton: m w A C Mehanshe Dsperson : konfgurerter Strömungsraum (poröse Meden) mt statstsher Geshwndgketsvertelung 3

15 De mathematshe Beshrebung der Stoffdsperson st analog der Dffuson m A -D * grad C D * - mehansher Dspersonskoeffzent, m /s -- ken Stoffwert!! praktkable Näherung für de Defnton der Dspersvtät De Stofftransportglehung D * δ w υ allgem υ Komponente enes Stoffgemshes aus,,,n Komponenten w n < n m A Strömungsgeshwndgket des Stoffgemshes für porösen Strömungsraum für den freen Raum (zb Transport n enem Rohr) Summe der Antele von Konvekton, molekularer Dffuson und der mehanshen Dsperson Daraus ergbt sh de Kontnutätsglehung zu: dv [( ) ] C * n D + D grad C w C n mv m Im allgemenen Fall st zu beahten, dass der Dffusonskoeffzent D m und der Dspersonskoeffzent D * Tensorgrößen snd Für en zwedmensonales, orthogonales Koordnatensystem, n dem de -Ahse mt der Stromlne zusammenfällt (Hauptrhtungssystem), glt: t C C C * * ( n D + D ) w C + ( n D + D ) n mv m y m y yy y t D * XX D * L δ L w X longtudnaler Dspersonskoeffzent D * YY D * T δ T w Y transversaler Dspersonskoeffzent Quellen und Senken Zu - bzw Abführungen von Masse oder Wärme m betrahteten System Quellen / Senken Massen- oder Volumenströme Wärmeströme je Volumenenhet des Transportraumes 4

16 unabhängge Quellen und Senken zb Zustrom Shadstoffkomponente / Konzentraton Zuführung von Wärme / Temperatur, Injekton von Flud abhängge Quellen / Senken mv λz C zb radoaktver Stoffzerfall, λ Z - Zerfallskonstante der -ten Komponente lneare und nhtlneare Stoffsenken zb Dentrfkaton mathematshe Darstellung : m mv V V C mt V V ρ Q Wärmetransport : V ( ) Q V V Q V V V ρ t Stofftransport / Massenstrom Fl T - Volumenstrom der Quelle je Volumenenhet ṁv - Massenstrom, Ρ t - totale Dhte (Gemshdhte) T Q, C Q - Temperatur, Konzentraton der Quelle Lneartät: De Glehung st lnear, wenn de Lösungsfunkton u(, y, z, t) nur n der Potenz auftrtt, dh wenn de Koeffzenten D, S, a und q nht von u abhängen bzw q nur von u n der Potenz abhängg st Homogentät : q 0 statonär - nstatonär - quasstatonär Zetabletung u t 0 statonär 0 nstatonär M quasstatonär ( M <, M onst) Anfangs - und Randbedngungen Kenntns von Bedngungen zu Begnn des Prozesses und an den Rändern des betrahteten Raumes Anfangsbedngungen (AB) homogene AB: u(, y, z, t) u a onst für t0 durh Transformaton der Lösungsfunkton lässt sh de homogene AB stets n der Form shreben: u(, y, z, t) 0 für t0 nhomogene AB : u(, y, z, t) u a (, y, z) für t0 (ortsabhängge Vertelung ) 5

17 Randbedngungen (RB) - Randwerte RB stellen de Kenntns der Lösungsfunkton u bzw hrer Abletungen an den Rändern des betrahteten Raumes dar Als Randwerte (RW) bezehnet man de Lösung der jewelgen Aufgabe auf dem Rand Wr untersheden Randbedngungen, und 3Art RB Art: Lösungsfunkton u auf dem Rand für alle Zeten t bekannt: u (, y, z, t) u R (, y, z, t) be (,y,z) Rand st u R zetunabhängg, so nennt man de RB statonär RB Art: Im mathematshen Snne bekannte Normalenabletungen der Lösungsfunkton u (, y, z, t) n vorgegebene Funkton be [, y, z] Rand n - Normalenrhtung Im physkalshen Snne st der Strom (Wärmestrom, Massenstrom, Volumenstrom) über den Rand bekannt De RB Art für de allgemene Strömungsglehung lautet: (, y, z, t) u D QA, R n R (, y, z, t) be [, y z] Rand wobe Q A - allgemener flähenbezogener Strom De RB Art für de allgemene Transportglehung lautet: D u (, y, z, t) n R Q A (, y, z, t) w u [(, y, z, t) ] be [, y, z] Rand R R RB 3 Art: (gemshte RB) weder Lösungsfunkton noh Normalenabletung snd gegeben, jedoh ene Lnearkombnaton beder zb : Grenzshht mt Wärmeübergangswderstand, Wärmeübergangskoeffzent / Strömungswderstand dünner Shhten Kolmatonsshht De RB 3 Art für de allgem Strömungsglehung lautet: (, y, z, t) D u + u R R, α n R (, y, z, t) u (, y, z, t) be [, y z] Rand 6

18 α- Übergangskoeffzent De RB 3 Art für de allgem Transportglehung lautet: D u (, y, z, t) n R w u [(, y, z, t) ] Q (, y, z, t) be [, y, z] Rand R A R Q A als Gesamtstrom über den Rand bekannt (Strom je Flähe) Dskusson der Randbedngungswahl für Transportprozesse: RB Art snnvoll, wenn Konvektonsterm am Rand vernahlässgbar RB 3Art snnvoll, wenn Kondukton und Konvekton wrksam werden RB Art snnvoll, wenn konvektver Transport überwegt Am Ausströmungsrand st de Vorgabe enes physkalsh snnvollen Stromes Q m allgemenen nht möglh (Ausnahme m Unendlhen) Her wrd de so genannte Transmssons - Randbedngung vorgeshlagen (aus dem Inneren kommender Konduktons- Dffusonsstrom fleßt auh über den Rand aus) Randbedngungen m Unendlhen : Kenerle Enflüsse aus dem Inneren enes Gebetes errehen den äußeren Rand Für Strömungs- und Transportprozesse bedeutet es, dass der Strom über den äußeren Rand unveränderlh und gleh dem Wert m Anfangszustand st: Q A (, y, z, t) Q A (, y, z, t0) be (, y, z) Rand m Unendlhen, wobe der Strom endlh groß bleben muss Zur Erfüllung deser Bedngung genügt es, de Endlhket der Varablen u (RBArt), hrer Normalenabletung u n (RB Art) oder ener Lnearkombnaton (RB 3Art) zu verlangen Sowohl für Strömungs- als auh für Transportprobleme kann man für enen Rand m Unendlhen de folgenden RB als äquvalent betrahten: RB Art u (, y, z, t) u < R RB Art D u (, y, z, t) n Q A < RB 3 Art bzw D u α (, y, z, t) n u D + u (, y, z, t) n (, y, z, t) u < R (, y, z, t) Q (, y, z t) < + wn u A, 7

19 wobe u R und Q A belebge Konstanten snd, n der Regel 0 Randwert- und Anfangs-Randwertprobleme Unter enem Randwertproblem versteht man de entsprehende DGL mt den zugehörgen RB Randwertaufgaben snd mest statonäre Vorgänge, be denen ene Anfangsbedngung physkalsh ohne Enfluss st, zb en Strömungsvorgang nah unendlh langer Zet Bespel: Randwertproblem der endmensonalen, statonären Strömung mt RB Art RB: u u 0 be 0 u u L be L d u d q D Anfangs- und Randwertprobleme ergeben sh für nstatonäre Strömungs- und Transportprozesse Se bestehen aus der DGL und den de Aufgabe harakterserenden AB und RB Bespel : endmensonaler Transport mt RB Art u u u AB : u 0 für t 0 und > 0 w k u S q t RB : u u 0 be 0 und t > 0 u u L < be L, t > 0 Insgesamt besteht de Anfangsrandwertaufgabe aus 6 Glehungen mt 6 Varablen : Massentransport Kontnutätsglehung Impulstransport Daryshes Gesetz Zustandsglehung Flud Zustandsglehung Mshphase flud-fest Phasendrukglehung Gesamtdrukglehung den Materalglehungen für : dynamshe Vskostät Durhlässgket ρ w p n p eff p ges η k und den Anfangs- und Randbedngungen 8

20 3 Mehrphasen - Strömung und Stofftransport Sedmentgesten / Festgesten : porös, porös-klüftg, klüftg ungesättgte Zone / gesättgte Zone Grundfall : Erweterter Grundfall : Enkomponenten- Enphasen- Systeme, Traerfall Kopplung ungesättgter und gesättgter Bereh Kopplung von Grund- und Oberflähenwasser Erfassung von Temperaturenflüssen Dhteabhängge Strömung Geohemshe Prozesse, Zerfallsketten Mehanshe Deformaton Veränderlhe Fludegenshaften Modellerungsaufgaben Idealserung zum hydrogeologshen Modell Strukturerung zum mathematshen Modell Konzeptonelles Modell Ermttlung der hydraulshen Parameter Ermttlung der Mgratonsparameter Durhführung der Berehnung analytshes / numershes Modell Szenarountersuhungen genershes Smulatonsmodell Interpretaton der Berehnungsergebnsse Prognoserehnungen Strömungs- und Transportprozesse n der ungesättgten Zone Bassproblem / Grundfall der Mehrphasenhydraulk : Verskerndes Nedershlagswasser (Transport der gelösten Shadstoffkomponenten n der wässrgen Phase Bodenwasser m mt Luft telgesättgten Untergrund / Aeratonszone) Transport n ener nhtwässrgen flüssgen Phase (NAPL-nonaqueous phase lqud) kohärent vertelte Phasen 9

21 Mehrphasen - Mehrkomponenten-Systeme nhtmshbarer Flude ( RICHARDSON-Glehung für Infltratonsprozesse mt konstantem Druk (Luftdruk) der Gasphase-Luft : Grundfall der Gas Wasser-Strömung für ungesättgte Zone) Rhard s-glehung : p (Gas/Luft) 0, dh p nb (r,t) p nb,0 (t) p p nb - p b Kapllardruk θ ( p, t) t θ p p t C ( p ) p t C (p ) Parameterfunkton der (kapllaren) Speherkapaztät der benetzenden Phase (erste Abletung der Zustandsfunkton θ b f (p )) Mt p nb (t) onst glt dp -dp b und es ergbt sh: dv kr ρg grad p b p + grad z C ( pb) t b q De Gasphase st somt nur noh mplzt durh de Bezehung θ w + θ g gegeben Parameterfunktonen Sättgung Kapllardruk (LUCKNER et al, 989, VAN GENUCHTEN, 980, MUALEM,976, BROOKS & COREY, 964) Hysterese Unregelmäßge Porengeometre führt zu Untersheden n Dranage / Imbbton Kontaktwnkel zwshen Dranage und Imbbton snd untershedlh 0

22 Durhlässgket Sättgung Mobltät ener Phase k M spezf Permeabltät / dynamshe Vskostät k M k k f m n η ρ g Pa s Relatve Durhlässgket k r Verhältns der Durhlässgketsbewerte be Tel- und Vollsättgung Benetzende Phase : k r (θ b ) VAN GENUCHTEN (980) De Kurven für de relatven Permeabltäten und Sättgungen n Abhänggket von den Saugspannungen (Drukhöhen) nah VAN GENUCHTEN, MUALEM und BROOKS & COREY werden n den Smulatonsprogrammen n vershedener Form genutzt Strömung von nht mshbaren Flüssgketen Mshbar : Salz- und Süßwasser, warmes / kaltes Wasser Nht mshbar : Wasser / Öl, Wasser / Chlorkohlenwasserstoffe NAPL non aqueous phase lquds LNAPL lght-napl (gerngere Dhte als Wasser) DNAPL dense-napl (höhere Dhte als Wasser) Zwephasenströmung Gas-Wasser Blanzglehungen für de Wasser- und Gasphase : K w dv ηw ( θ ) w grad p w n θ t w q Wasserphase

23 Gasphase : K g dv ηg ( θ ) w grad p w + dp dθ ap w θ w grad θ w n t q p g p ap + p w und θ g + θ w n Porostät, K g,w relatve Permeabltäten n m k f,w K w ρ w g / η w (Korrelatonen nah Brooks & Corey, van Genuhten, Mualem, Lukner et al) 3D- Modellerung der Mehrphasen- und Mehrkomponentenströmung mt thermodynamshem Glehgewht mttels Programm MULTIF TWOPHASE (Nekrassov, TU Bergakademe, 00) 3D- Zwephasenmodell : Gas/Luft-Wasser mttels TWOPHASE n HOTH (003) De relatven Durhlässgketen zegen ene typshe Abhänggket vom Verhältns der Sättgung der (beden) Phasen Ene glehzetge Bewegung (beder) Phasen st demnah nur möglh, wenn de Wassersättgung größer als de rreduzble Sättgung (Haftwasser a 30%) und de Ölsättgung größer als de so genannte Rest- oder Resdualsättgung st (a 0% Ölsättgung) Fällt de Sättgung der nht benetzenden Phase auf den Wert der Restsättgung, geht de relatve Durhlässgket gegen Null De Phase legt praktsh fest Der Phasenkörper kann jedoh vom Wasser durhströmt werden, wobe ene sehr große Kontaktflähe entsteht Dabe bldet de nht mshbare Phase n Abhänggket hrer Löslhket n Wasser ene permanente Quelle für gelöste Inhaltsstoffe, de vom Grundwasser aufgenommen und weter transportert werden Zwe nhtmshbare moble Phasen snd n enem porösen Medum so vertelt, dass de besser benetzende Phase de kleneren und de shlehter benetzende Phase de größeren Poren ennehmen

24 Parameterbeshrebung und Ermttlung n der ungesättgten Zone Bestmmung des relatven K-Wertes als Funkton der Sättgung und de Bestmmung der Saugspannung als Funkton der Sättgung auf der Bass epermentell gewonnener Messwerte: Restwassergehalt / Sättgung / Anpassungsparameter Kapllarkraft : Tensometermessungen zur Bestmmung des Gradenten der Kapllarspannung Multstep-Flow-Test (Saugverfahren), Infltratonsepermente Optmerungsalgorthmen zb LEVENBERG-MARQUARDT-Verfahren Dhteabhängge Strömung Massenerhaltungsgesetz für das Flud : dv( ρ w) ( nρ) m& t r w w w w y z Nah Defnton der Gesamtkompressbltät χ χ + χ f F, und unter Voraussetzung der Boussnesq-Appromaton (nhtdeformerbares poröses Medum), ergbt sh: k p C dv grad p ggrad z ρ( + ρ ) nρ χ + nρ β m& 0 η t t Dabe st de Dhte ρ ( p, C ) näherungswese lnear mt: [ ] ρ( pc, ) ρ + χ ( p p) + β C β ρ o F o ( p, C ) o ρ 0 ma ρ( o,0) C ma p 3

25 Transportglehung aus der Massenblanz der jewelgen Komponente C : Parameterglehung: Konvekton / Dffuson-Dsperson / Sorpton / Stoffabbau r dv [ D grad C w C ] n R λ C n R C & t m C De Transportglehung berükshtgt m Retardatonsfaktor R de möglhe Adsorpton nah zwe Isothermenkonzepten Nah der HENRY-Isotherme st: n R + ρ M kd, nah der LANGMUIR-Isotherme: n n Fsat Fd RC ( ) + M n ρ ( F + C) d ρ Dhte, ML -3 p Druk, MT - L - k Permeabltät, L χ Kompressbltät des Fludporenraumes, M - T L m& Massenstromdhte der Quellen und Senken, ML -3 T - g Shwerebeshleungung, LT - z Koordnate, L F sat Sättgungskonzentraton am Feststoff, M L -3 F d dyn Langmuerkoeffzent, M L -3 k d R HENRY-Vertelungskoeffzent, L 3 / M Redardatonsfaktor η dyn Vskostät, M L - T - 4

26 3 Analytshe Lösungen Be HÄFNER u a //, van GENUCHTEN & ALVES (98) /0/ werden ene Velzahl analytsher Lösungen der Anfangs- und Randwertaufgabe für en- und zwedmensonale Strömung, Wärmeletung und Dffuson angeboten Analytshe Lösungen für den Wärmeund Stofftransport bleben nur für den endmensonalen Fall übershaubar In // werden deshalb für mehrdmensonale Transportprobleme nur Spezalfälle betrahtet (Geshwndgketsvektor parallel zu ener Koordnatenahse) Für Probleme der Wärmeletung und des Temperaturausglehes st be TAUTZ // en umfassendes Angebot analytsher Lösungen gegeben Auh für komplzerte numershe Smulatonsmodelle kann mttels analytsher Lösungen en physkalsh snnvoller Vergleh vorgenommen werden In ener Velzahl von Fällen wrd de analytshe Lösung der Problemstellung gereht und kann der numershen Lösung vorgezogen werden In den Übungsaufgaben wrd deshalb entweder auf de analytshe Lösung verwesen oder dese wrd selbst programmert Wel n den letzten Jahren m Ingeneurwesen verstärkt de Methode der Laplae-Transformaton angewendet wrd, da se auh für ene Rehe komplzerter Strömungs- und Transportprobleme relatv leht handhabbar st, soll der prnzpelle Lösungsweg m folgenden Abshntt verenfaht dargestellt werden Laplae-Transformaton De Methode wrd n // S7-9 ausführlh behandelt In enem ersten Shrtt wrd das gesamte Anfangs-Randwertproblem (partelle Dfferentalglehung mt Anfangs- und Randbedngungen) n den Laplae-Bereh transformert 0 st [ f () t ] f () t e dt f () s L s : Laplae- Varable [ f (, y, z, t) ] f (, y, z, s) L ( s) f(t) : Zet- oder Orgnalfunkton f : Laplae-Transformerte oder Bldfunkton Haben de mt deser Methode behandelten Probleme neben der Zet nur noh ene unabhängge Varable, so entsteht m Bldbereh aus der partellen Dfferentalglehung ene gewöhnlhe Dfferentalglehung mt enfaher Lösung Für de Rüktransformaton n den Zetbereh (nverse Laplae-Transformaton) glt ene komplee Umkehrformel f () t L f () s + [ ] π f e st ds Ihre Anwendung führt auf Integrale, de analytsh oder auf numershem Wege gelöst werden können De analytsh auswertbaren Integrale ergeben Korrespondenzen, von denen de whtgsten n // m Anhang C enthalten snd In den mesten Fällen st es jedoh ratoneller, de Rüktransformaton mttels numersher Verfahren auszuführen 5

27 3 Mathematshe Lösung von spezellen Transportmodellen Randbedngungen: Ensetg begrenztes Gebet ( Art be 0 ) RB m Unendlhen be Lösung der Transportglehung D w k S t (partelle DGL Ordnung parab - hyperbol Typs, nhomogen, nstatonär, lnear) AB : 0 für t 0, > 0 RB Art : 0 Χ < be 0, be, t > 0 t > 0 Laplae Transformaton Lösung : st Multplkaton mt und Integraton dt (damt alle Integranden für t gegen Null gehen) e 0 0 D e st d t st st w e d t k e d t S e t st d t Konstante Koeffzenten D t st st st st (, t) e d t w (, t) e d t k (, t) e d t S e dt

28 7 0 d t e t S k d d w d d D st Partelle Integraton v d u uv d uv Partelle Integraton des Speherterms führt auf: ( ) [ ] , t d e S s e t S t d e t S st st st Mt den Integratonsgrenzen und der Anfangsbedngung 0 be t 0 ergbt sh: ( ) ( ) [ ] S s e t e t S + 0 0,, 0 C Anfang 0 Transformerte DGL ( ) 0 + S s k d d w d d D bzw s S k d d w d d D Zur Verenfahung führen wr ene Zet t S t en (DGL würde lauten: t k d d w D ) und erhalten de transformerte Dgl ohne S: ( ) 0 + s k d d w d d D Transformaton der Randbedngungen: , s e s d t e st st

29 C X X s < Lösung der transformerten DGL mt e μ Ansatz : D μ e μ wμ e μ μ ( k + s) e 0 Dvson durh e μ führt auf de harakterstshe Glehung: D μ w μ ( k + s ) 0 Mt den Lösungen: μ / [ w ± w + D ( k + s )] 4 D μ > 0 μ < 0 Damt ergbt sh de allgemene Lösung: μ μ (, s ) B e + B e Ensetzten der RB zur Bestmmung der Koeffzenten: μ μ B e + B e mt der Bedngung: Lösung <! s 0 ( μ > 0 ) ( μ 0) < ergbt: BB 0 und für 0 B B 0 / s, s e s 0 μ Mt der Gesamtlösung : ( ) s 0 e w D e w + 4 D + 8 ( k s )

30 Rüktransformaton aus dem L-Bereh n den Orgnal-(Zet)-Bereh mttels Korrespondenzen (zb Häfner, Sames, Vogt, 99, S 59 ff, Bezehung 93) e s μ [ P0 (, t, v) + P0 (, t, v) ] P0 + v w + 4Dk P 0 + ( ) ( ), t, v ep w + v erf D 4 Dt + vt (Beahte : t t / S und erf komplementäre Fehlerfunkton) Lösung des Transportproblems m Zetbereh : C C, 0, s 0 ( t) P (, t v) mt v w + 4Dk C C 0 (, t) ep ( w v) erf + ep ( w + v) D v t s 4D t s D erf + v 4D t s t s 3 Numershe Verfahren zur Rüktransformaton Be enem m Wesentlhen monoton verlaufenden Funktonsverlauf hat sh das Verfahren von Stehfest als robust und shnell erwesen Der Stehfest-Algorthmus st für de Lösung von Strömungsproblemen sehr, für Transportprobleme nur bedngt geegnet (numershe Dsperson) Alternatve Methoden zur numershen Rüktransformaton snd de Verfahren nah Shapery, Zakan und Talbot // Im Lösungsbespel 5 wrd de Dffusonsglehung mttels Laplae-Transformaton gelöst und numersh mt STEHFEST n den Zetbereh rüktransformert 9

31 Numershe Lösung von partellen Dfferentalglehungen Formulerung von dskreten Anfangs-Randwertproblemen und deren numershe Lösung Dskrete Probleme bestehen aus ener Dfferenzenglehung mt hren Anfangs- und/oder Randbedngungen De Dfferenzenglehung st das dskrete Analogon zur Dfferentalglehung und kann durh folgende Betrahtungswesen gewonnen werden: - durh Taylor-Rehenentwklung der Dfferentalquotenten n der jewelgen Dfferentalglehung - durh Dskretserung der Integraldarstellung der Dfferentalglehung - durh Abletung am endlhen Element (Blanzmethode) - über das Varatonsprnzp De Lösung des Systems von Dfferenzenglehungen st das Kernstük aller numershen Smulatonsverfahren Für jedes Volumenelement (Gtterpunkt) entsteht ene Dfferenzenglehung mt 3, 5, oder 7 unbekannten Drukwerten (-, - oder 3-dmensonal) Dese Glehungen snd mtenander verkoppelt; das Gesamtsystem enthält so vele unbekannte Drukwerte, we es Gtterpunkte m Inneren des Strömungsraumes bestzt De enfahste Lösung erfolgt mt Hlfe des Gauß'shen Elmnatonsverfahrens, das aufgrund des hohen Berehnungsaufwandes durh ene Velzahl von Lösungsalgorthmen ersetzt wurde Numershe Modellerung von Strömungs- und Transportprozessen Dskretserung durh endlhe Dfferenzen oder fnte Elemente: Das Geshwndgketsfeld als stetge Funkton an jedem Punkt (, y) erhält man durh Interpolatonen zwshen den Zellen oder mttels Fnte - Elemente - Methode (- fleble Dskretserung durh belebg geformte Elemente) Spegelhöhe/Druk m Zentrum der Zelle - aus hnen kann rükwärts mt dem Dary-Gesetz und der effektven Porostät de Abstandsgeshwndgket auf der Grenze zwshen zwe Zellen bestmmt werden w, j kf ( ) y, j h h und w ( h h ), j +, j j y, j, j+ n Δ kf n Δy j Appromaton durh : Interpolatonsansatz/räumlhe Interpolatonsfunkton ω (, y) Daraus ergbt sh en Geshwndgketsfeld als Funkton von y und w n kf ( ) (, y), y, t h () t ω (, y) und w ( y, t) n y (, y) n kf, h ω n y () t (, y) Be lnearer Interpolaton auf Dreekselementen snd w und w y elementwese konstant De Geshwndgketsvektoren snd damt an den Elementgrenzen unstetg Für de zuverlässge Bestmmung des Geshwndgketsfeldes mt deser Art von Elementen muss ene hnrehend 30

32 fene räumlhe Dskretserung vorausgesetzt werden Alternatv snd Glättungsverfahren denkbar Probleme ergeben sh be der Interpolaton sowohl n Dfferenzenverfahren als auh n Fnte-Elemente-Verfahren an Sngulartäten des Strömungsfeldes (zb Brunnen) Her wrd ene Enbettung analytsher Lösungen n de numershen Lösungen empfohlen De Erstrekung des Strömungsfeldes st n der Regel größer als de des Transportmodells Das Transportmodell erfordert a ene fenere Dskretserung (Zoom-Tehnk, Interpolatonsknoten (Pnh-nodes) oder ehte lokale Netzverfenerung) En Strömungsmodell, das Grundlage für en Transportmodell st, sollte höheren Genaugketsanforderungen genügen als en Strömungsmodell für regonale Wasserblanzen Dspersonsfree Näherung Der konvektve Transport von Shadstoffen m Grundwasser stellt de mttlere Shadstoffbewegung dar Dese Betrahtungswese entsprht ener Vernahlässgung des Dspersonsterms Se st anwendbar, wenn n erster Lne de Rhtung des Shadstofftransports, de Bahnen von Fronten oder Shwerpunkten von Konzentratonsvertelungen und mttlere Ankunftszeten an bzw Laufzeten zu enem Entnahmebrunnen nteresseren (zb Shutzzonen, hydraulshe Abwehr- und Sanerungsmaßnahmen) Bahnlnen und Laufzeten De Transportglehung beshrebt de Entwklung der Shadstoffkonzentraton n enem Kontrollvolumen, das sh längs der Bahnlne ((t), y(t)) bewegt Aus der Integraton über de Bahnlne erhält man de Laufzet des Shadstoffes zwshen zwe belebgen Punkten Durhbruhskurven Be allen wasserwrtshaftlhen Betrahtungen von Grundwasservershmutzungen st ene wesentlhe Frage, n welher Stärke und zetlhen Abfolge ene Vershmutzung n Wasserfassungen, Quellen oder Vorflutern weder an de Oberflähe zurük gelangt Lösung der Transportglehung De hyperbolshen Egenshaften der Transportglehung bereten Probleme be der numershen Lösung Se snd Anlass, über de Standardverfahren der Dfferenzenmethode und Fnte-Elemente-Methode hnaus, wetere Lösungsverfahren anzuwenden, de sh an den Lösungsverfahren der ren hyperbolshen Wellenglehung orenteren Verfahrensklassen: - Dfferenzenverfahren (FDM) - Blanzmethode (Control-Volume-Method) - Fnte-Elemente-Verfahren (FEM) - Randntegralglehungsmethode (BIEM - Boundary Integral Equaton Method) - Charakterstkenverfahren (MOC - Method of Charatersts) - Random-Walk-Verfahren (RWM) (-Laplaetransformatonsverfahren (Lukner, Shestakow 985 /6/, Sudky,989 //, Häfner, Sames, Vogt //)) 3

33 Dfferenzenverfahren - enfahste Lösungsmethode, n Knoten, n Glehungen De Blanzglehungen können drekt durh Blanzerung an der Gtterzelle oder durh Ersetzen der Dfferentalquotenten durh Dfferenzenquotenten gewonnen werden Be überwegend konvektvem Massenfluss st es snnvoll, das Gewht be der oberstrom gelegenen Konzentraton zu wählen Man sprht von upwnd - Dfferenzen (Rükwärtsdfferenzen) Be überwegend dffusv/dspersvem Massenfluss snd zentrale Dfferenzen m Konvektonsterm geegneter De Maßzahl für das Verhältns zwshen konvektvem und dspersvem Massenfluss m Element (,j) st de Gtter- Peletzahl Pe * : Pe * w / D Pe * y w y y / D yy D und D yy hydrodynamshe Dspersonskoeffzenten Pe * < überwegend parabolsher Charakter des Transportproblems Pe * > überwegend hyperbolsher Charakter Statt ener Festlegung auf Rükwärts- bzw Zentraldfferenzen st auh ene Steuerung der Art der Dfferenzen durh de Peletzahl oder Flu-Lmter Tehnken möglh Eplztes Verfahren Jede Knotenglehung enthält nur enen Term mt der Unbekannten (Vorwärtsdfferenzen n der Zet) Das eplzte Verfahren hat den Nahtel, dass zu sener Stabltät enshränkende Bedngungen an de Länge des Zetshrttes erfüllt sen müssen (Bear, 979 /3/): - Courant - Krterum (garantert, dass n enem Zetshrtt de Konzentraton n enem Element nht größer werden kann als de Konzentraton n den konvektven Zuflüssen bzw, dass nht mehr Shadstoff de Zelle verlassen kann als n hr zu Begnn des Zetshrttes enthalten st) - Neumann - Krterum (es lässt sh physkalsh als de Forderung nterpreteren, dass während enes Zetshrttes Konzentratonsgradenten durh dspersve Massenflüsse allen nht umgekehrt werden können) - allg Stabltätskrterum (am Entnahmeknoten soll nht mehr Shadstoff das Element verlassen als ursprünglh vorhanden war Entsprehend darf an Zugabeknoten nht mehr Shadstoff engetragen werden als das Element, ohne ene Konzentratonserhöhung über de Zugabekonzentraton hnaus, aufnehmen kann) - Abbaukrterum (Adsorptons- und Reaktonsterme) (m Fall der Abbaureakton muss der Zetshrtt so klen gewählt werden, dass nht mehr Shadstoff abgebaut werden kann als n der Zelle vorhanden st) 3

34 Implztes Verfahren - fleblere Wahl des Zetshrttes, Rükwärtsdfferenz n der Zet oder zentrale Dfferenzen n der Zet (Crank, Nholson, 947 /63/) - n smultane lneare Glehungen für n unbekannte Konzentratonen Zur Lösung des Glehungssystems stehen drekte und teratve Methoden zur Verfügung Drekte Glehungslöser brauhen mehr Speherplatz als teratve Methoden Dafür st be letzteren, be shlehter Kondtonerung, der Zetaufwand größer Das allgemene Glehungssystem für den Transport st m Gegensatz zum Glehungssystem für de Strömung unsymmetrsh Damt können spezelle Löser für symmetrshe Matrzen zunähst kene Anwendung fnden (erst nah geegneter Transformaton - Lösung durh Matrzenzerlegung (Lower und Upper Dreeksmatr) Iteratve Glehungslöser : ADI- bzw IADI-Verfahren (Peaeman & Rahford, 955 /4/) Blokteratonsverfahren (regelmäßge Rehtekgtter); Punktteratonsverfahren (GAUSS-SEIDEL) mt Überrelaaton (Young, 954, /5/) Voraussetzung : gute Kondtonerung des Glehungssystems (Systemmatr dagonal domnant, Peletzahl < ); verallgemenerte konjugerte Gradentenverfahren PCG-Verfahren (Mnmerungsaufgabe) (Shmd, Braess 987 / 6/, Lesmann, Frnd 989 /7/) ORTHOMIN-Verfahren (Northrup, Woo 988 / 8/, Esenstatt et al 988 /9/) Behandlung nhtlnearer Probleme - Dhteeffekte, nhtlneare Adsorptonssotherme, Reaktonsterme Iteratve Lösungen - wenn de Massenblanz an jedem Knoten enen vorgegebenen ma Fehlerbetrag nht mehr übershretet, kann de Iteraton abgebrohen werden Numershe Lösung von Dfferenzenglehungen für Strömungsprozesse Zur enfaheren Shrebwese defneren wr de Koeffzenten der Dfferenzenglehung m Element nah (endmensonal): Speherkoeffzent S g ( κ + κ ) Fl f ρ n Δ Δy Δz Δt Letfähgketskoeffzent K + ρ k g η + Δy Δz ( Δ + Δ ) + Quell-/Senkenterm Q m V Δ Δy Δz 33

35 Man erhält de Dfferenzenglehung für endmensonale Strömung n enfaher Form: ( h h ) K ( h h ) K ( h h ), t Δt, t + Q + S +,,M- Daraus kann leht de Dfferenzenglehung für de dredmensonale Strömung abgeletet werden De Aufgabe besteht nun darn, Methoden zur numershen Lösung des Glehungssystems zu entwkeln Zetlhe Dskretserung Es st erforderlh zu entsheden, welhem der beden Zetpunkte t n bzw t n+ oder welhem Zwshenwert t n t t n+ de Spegelhöhen h der örtlhen Strömungsterme zugeordnet werden sollen Man geht dazu vom physkalshen Sahverhalt aus: Massenänderung m Element während des Zetntervalls t n n+ n ( h h ) S m Massenstrom über ene Elementoberflähe Deser Massenstrom st zetlh veränderlh m Intervall t n : K Δh m Abbldung : Zetlher Verlauf des Massenstromes über ene Elementoberflähe De Zuordnung des Massenstromes zu enem Zetpunkt st wllkürlh: zum Zetpunkt t n (alle Spegelwerte h bekannt) eplztes Lösungsverfahren zum Zetpunkt t n+ (alle Spegelwerte h unbekannt) mplztes Lösungsverfahren Mttelwert der Massenströme über de Elementoberflähe sem-mplztes Verfahren (t n+ + t n ) / (jewels halbe Antele nah CRANK-NICHOLSON) allgemen : m A ( α ) 3 m A α m A + 34

36 Mttelungsfaktor 0 α 0 eplztes Verfahren mplztes Verfahren sem-mplztes Verfahren Stabltät, Konsstenz, Konvergenz Nah SMITH (97) setzt sh der Gesamtfehler ener numershen Lösung zusammen aus: Gesamtfehler Dskretserungsfehler + Stabltätsfehler ( E - N ) ( E - U ) + ( U - N ) E - eakte Lösung der Dfferentalglehung U - numersh eakte Lösung des Dfferenzenglehungssystems (unendlh vele Dezmalstellen) N - numershe Lösung des Dfferenzenglehungssystems (endlh vele Dezmalstellen) Der Stabltätsfehler ergbt sh aus der summarshen Wrkung aller Rundungsfehler Stabltätsbedngungen : (vgl Abshntt ) Neumann-Bedngung : D Δt S Δ w Δt Courant-Bedngung : S Δ k Abbaukrterum : Δt S kombnerte Bedngung nah Bear (979, /3/) be "upwnd"-whtung (se kombnert og Bedngungen): D Δt * S Δ * Ze + Pe + Pe * - Gtter-Pelet-Zahl, Ze * - Zerfalls- oder Abbauzahl, auf de Gtterlänge enes ortsdskreten Gtternetzes bezogen: Ze * k / D D - hydrodynamsher Dspersonskoeffzent m /s, allg Letfähgket w - Geshwndgket m / s, S - Speherkoeffzent, k - Abbaukoeffzent s - Pe - Pelet - Zahl, auf de Gesamtlänge bezogen Pe w L / D, 35

37 L - Länge m Ene stable Lösung st konsstent, wenn se für klene Orts- und Zetshrtte gegen de Lösung E der Dfferentalglehung konvergert (durh numershe Testrehnungen aufzegbar) Konvergenz legt vor, wenn der Dskretserungsfehler (E-U) ener numershen Lösung für klener werdende Orts-und Zetshrtte gegen Null strebt Konsstenz + Stabltät Konvergenz (Äquvalenz - Theorem von LAX (967) /0/) Be der numershen Lösung von praktshen Aufgaben st es n der Regel relatv enfah, den Stabltätsfehler relatv klen zu halten Der Dskretserungsfehler (Konvergenz) muss durh Varaton der Zet- und Ortsshrttweten abgeshätzt werden; nur ene konvergente Lösung st physkalsh snnvoll und praktsh zu verwerten 36

38 Das eplzte Lösungsverfahren Mt der Zuordnung der Spegelwerte h n den Ausdrüken K h zum alten Zetpunkt t n sh: ergbt n+ n ( h h ) K ( h n h n ) K ( h n h n ) + + S Q n,,m- enzge Unbekannte st h n+, so dass de Dfferenzenglehung nah h n+ umgestellt werden kann LRE ZE ZE ZE RRE h L M- M h R Abbldung : Elementdskretserung (endmensonal) Für de Randelemente, M kann obge Glehung leht geändert werden Das eplzte Lösungsverfahren begnnt mt der Berehnung m Element für den ersten unbekannten Zetpunkt (n+), dabe snd m Anfangszetpunkt (n ) alle Spegelhöhen und Quellen durh de Anfangsbedngung gegeben De Berehnung shretet fort für,, M- und begnnt weder n für den nähsten Zetshrtt Das Stabltätskrterum für das eplzte Verfahren lautet K + S,, M-, dh für konstante Größen k, n, η, ρ, κ, k Δt n η κ Δ De Bezehung zegt anshaulh, dass das Verfahren zetshrttbegrenzt st, wobe en engmashges Gtternetz zu etrem klenen Zetshrtten zwngt Numershe Dskretserung (ohne Quell-/Senkenterm) D D - dmensonslose dskrete Dffusonskoeffzenten ( K +/ / S ) Lnkes Randelement, Rand ½ D D 05 mt s / Rehtes Randelement M, Rand be M+/ D D 05 mt s M M / Zentrale Elemente,, M- D D 05 mt s +M- ( s,m Abstand vom bzw letzten Element zum Randwert) 37

39 Daraus ergeben sh de dskreten Rehenglehungen : n+ n Lnkes Randelement, h + D ( h 3h + h ) n h D L n+ n Zentrale Elemente,,,M- h + D ( h h + h ) n h D + n+ n Rehtes Randelement, M h h + D ( h 3h + h ) n M M D M M R (dskreter Dffusonskoeffzent D D ¼, zentrale Elemente) Das mplzte Lösungsverfahren Das mplzte Verfahren ordnet de Terme K h dem jewels neuen, noh unbekanntem Zetpunkt t n+ zu, damt ergbt sh (endmensonal): n+ n n+ n+ n+ n+ n+ ( h h ) K ( h h ) K ( h + h ) Q S,,M - Dese Glehung enthält dre Unbekannte (h - n+, h n+,h + n+ ), so dass nur de Aufstellung des gesamten Systems für,, M ene Lösung erlaubt! (Randbedngungen notwendg! ) + Das Gesamtsystem besteht aus (M) Glehungen und enthält (M) unbekannte h-werte; es st endeutg lösbar De Koeffzentenmatr bestzt ene dagonale Bandstruktur, de Zelen,, M- bestzen je dre Elemente (endmensonal), man nennt dese Matr "trdagonal" Für deses Glehungssystem estert ene sehr effektve Form des Gauß'shen Elmnatonsverfahrens (PROGONKA) Elmnatonsverfahren für trdagonale Glehungssysteme Das Glehungssystem lautet abgekürzt: BB h - C h D, LRE -A h - + B h - C h + D M-, ZE - A M h M- + B M h M D M M, RRE Dabe bedeuten de Koeffzenten für,, M-: A K -/ BB K -/ + K +/ + S C K +/ D Q n+ + S h n 38

40 Der Lösungsalgorthmus st: Berehnung shrttwese für,m progressv w B w B - A f - f C B f C B g D B g (D + A q - ) W Berehnung shrttwese für (M-),, rekursv h n+ M g M h n+ g + f h + Lösung des Dfferenzenglehungssystems für mehrdmensonale Probleme Für zwe- und dredmensonale Probleme (flähenhafte und räumlhe Strömungsvorgänge) st de trdagonale Form des Glehungssystems nht mehr gegeben (5 bzw 7 Unbekannte n jeder Dfferenzenglehung) De Lösung solher Systeme könnte nah dem Gauß'shen Elmnatonsverfahren erfolgen Be M N L Gtterpunkten n den dre Koordnatenrhtungen bestzt de Matr des Systems also (M N L) - Elemente Das erfordert enen großen Speherplatzbedarf und lange Rehenzeten Ene effektve Lösung betet das Sparse- Matr-Verfahren mt "Geordneter Elmnaton" an, welhes de Tatsahe ausnutzt, dass nur wenge Elemente der Matr versheden von Null snd (Sames, 974, //) Stabltät und Konvergenz des mplzten Verfahrens De mplzte numershe Lösung st stabl be allen Zetshrttweten t Um Oszllatonen, dh physkalsh unsnnge Shwngungen der Lösung zu vermeden, st es notwendg, de Zetshrtte zu beshränken (a 000 fah größere Zetshrtte als bem eplzten Verfahren) Das sem-mplzte Lösungsverfahren S n+ n n n n n n+ n+ n+ n+ ( h h ) ( α ) K ( h h ) + K ( h h ) α K ( h h ) + K ( h h ) n n+ ( α ) Q + α Q + + (α ½, CRANK-NICHOLSON),,, M- De Umstellung ergbt en analoges Glehungssystem, es gelten de Ausführungen zur mplzten Lösung Das sem-mplzte Verfahren st stabl für alle Zetshrtte Der Dskretserungsfehler st gegenüber dem mplzten Verfahren gernger Demgegenüber steht ene stärkere Negung zu Oszllatonen, dh n der Regel erfordert es klenere Zetshrttweten als das mplzte Verfahren

41 Dskretserung der Randmassenströme m L und m R m L A D s ( h h ) L Δ / m R A D s ( h h ) M Δ / R h L,R - Spegelhöhen auf dem Rand D S - spezfsher Dffusons-/Letfähgketskoeffzent A y M Für de Randpunkte und M kann kene Glehung aufgestellt werden (V 0, 0 ) De RB u Art werden für de "ehten" nneren Randelemente und M- geshreben RB Art werden n Dfferenzenform eakt erfasst RB Art können nur näherungswese erfasst werden (kene Strömung zwshen den Randpunkten und bzw M und M-) Quellen m Strömungsraum - "nnere Ränder" Innere Ränder, deren Abmessung be der dskreten Betrahtungswese n endlher Dfferenzenform nht dargestellt werden können, snd zb Bohrungen n porösen Shhten, deren Durhmesser sehr vel klener als de Elementeabmessung st Zur näherungswesen Erfassung von nneren Rändern wrd m Element (, j) statonäre oder quasstatonäre radalsymmetrshe Strömung vorausgesetzt, so dass en enfaher Zusammenhang zwshen Druk (Spegelhöhe, Temperatur, Konzentraton) m Zentrum der Quelle und dem Mttelwert des Drukes (Spegelhöhe, Temperatur, Konzentraton) m Element hergestellt werden kann De typshe Form der Glehung st: V B onst k ln h re r B B h + S k F V B - Volumenstrom der Bohrung > 0 Injekton, < 0 Produkton h - Spegelhöhe m Gtterpunkt (Mttelwert des Volumenelementes) h B - Spegelhöhe m Bohrloh r E - Radus der Enzugskontur r E Δ + Δy π r B - Radus der Bohrung S K - Sknfaktor S K > 0 Verrngerung der Durhlässgket S K < 0 Erhöhung der Durhlässgket F - Korrekturfaktor für de Art des Strömungszustandes m Element 0 < F < (GW-Strömung ) onst π M GW - Strömung gespannt π h m ungespannt ( h m Mttelwert aus h B und h) π M / η Drukdarstellung der Flüssgketsströmung 40

42 Numershe Verfahren Enfahe und erweterte Blanzmethode (Elementeverfahren) (Control Volume Method (CVM)) Be der Blanzmethode wrd das betrahtete Gebet V n belebge Blanzelemente V untertelt und de partelle Dfferentalglehung ntegrert Dfferentalglehung des Transportes : dv ( D grad u wu) ku S u t q Blanzglehung für das -te Volumenelement : [ dv ( D gradu wu) ku ] dv ΔV ΔV ( S u t q) dv De Anwendung des Gaußshen Satzes führt zu enem Oberflähenntegral: ( D gradu wu) n da ku dv ΔA ΔV ΔV ( S u t q) dv Für den endmensonalen Transport hat de Blanzglehung m Kontrollvolumen V de folgende Form: u ( D w u) da +Δ / Δ / ΔA +Δ / Δ / ku d ΔA +Δ / Δ / ( S u t q) d De partellen Abletungen u / werden durh de zentralen örtlhen Dfferenzen ersetzt Für de Appromaton der Unbekannten u an den Grenzen zu den Nahbarelementen zur Berükshtgung des konvektven Transportes bestehen mehrere Möglhketen: u Δ ( +, t) δ u(, t) + ( δ, ) u(, t),

43 bzw u ( Δ, t) δ, u(, t) + ( δ, ) u(, t) mt δ ½ zentrale Whtung (+sgn(w))/ upwnd Whtung ( upstream/downstream ) Kombnaton bzw gewhtete Etrapolaton (Pelet-Zahl-Whtung, Flu-Lmter, Front-Lmtaton) Enfahe Blanzmethode : Alle Parameter und de Funkton u werden durh hren Mttelwert u m Volumenelement repräsentert (Subgebetskollokaton) Mt Hlfe numersher Standardverfahren st de Berehnung des DGL-Systems möglh In den mesten Fällen wrd das zetlhe Dfferental jedoh durh den zetlhen Dfferenzenquotenten ersetzt, und man bekommt en lneares System, das mt dem Gauß-Algorthmus gelöst werden kann Das Glehungssystem hat folgende allgemene Form: Δt S + A u n+ n n+ n Δt n S u (n, n+ Zetshrttnde, t n t n+ t n ) + b S-Spehermatr A-Letfähgketsmatr b-vektor der Quellen/Senken, RB Mt den Globalmatrzen A (Speher- und Letfähgketsterm) sowe b (Quellen/Senken, RB und Vorrat zur Zet t n ) ergbt sh de Standardshrebwese A b Erweterte Blanzmethode : zb durh genauere Abbldung der Integrale (zb Trapezregel) führt auf äquvalente Formen der FEM-Glehung und glehe Lösungsverfahren Für de Blanzmethode können folgende Empfehlungen gegeben werden: - Strömungsprobleme sollten aufgrund der langen Beobahtungszeten mplzt gelöst werden Besondere Beshränkungen für de Orts- und de Zetshrttwete müssen a nht beahtet werden De Gtterpunktanzahl muss n ausrehendem Maße der physkalshen Aufgabenstellung angepasst sen - Transportprobleme können eplzt gelöst werden (Beobahtungszet legt n der Größe des Zetntervalls t s ) Empfohlen wrd das sem-mplzte Crank-Nholson Shema mt zentraler zetlher und örtlher Whtung be Enhaltung des Stabltätskrterums und des Überwegens des dspersven Transportes Pe * < 4