Sensitivitätsbewertung adaptronischer Systeme bezüglich streuender Konstruktions- und Umgebungsparameter

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1 Senstvtätsbewertung adaptronscher Systeme bezüglch streuender Konstruktons- und Umgebungsparameter Senstvty Evaluaton of Adaptve Systems wth respect to scatterng Desgn and Envronment Parameters Soong-Oh Han, Dr.-Ing. Ka Wolf, Prof. Dr.-Ing. Holger Hanselka, Technsche Unverstät Darmstadt Dr.-Ing. Thlo Ben, Fraunhofer Insttut für Betrebsfestgket und Systemzuverlässgket LBF, Darmstadt Kurzfassung De quanttatve Analyse domnanter Umgebungs- und Konstruktonsparameter bezüglch der betrachteten Systemgröße st für de Bestmmung der Zuverlässgket komplexer adaptronscher Systeme unumgänglch. Herzu können sowohl smulatons- als auch expermentell baserte Verfahren der Senstvtätsanalyse engesetzt werden. In desem Betrag wrd en entsprechender Ansatz vorgestellt, wobe en besonderer Schwerpunkt auf verschedene Bewertungsmaße der smulatonsbaserten Senstvtätsanalyse gelegt wrd. Als Bespelstruktur wrd das dynamsche Verhalten enes Systems zur Schwngungssolaton bestehend aus passven und aktven Dämpfungselementen analysert und de spezfschen Anforderungen enes adaptronschen Systems m Rahmen ener Senstvtätsuntersuchung erläutert. 1. Enletung De Entwcklung adaptronscher Systeme, d.h. mechanscher Strukturen mt ntegrerten Aktoren, Sensoren und ener adaptven Regelstratege, st Bestandtel veler aktueller Forschungsarbeten mt dem Zel neue vel versprechende Ansätze zur Lösung technscher Fragestellungen we bspw. Schwngungsredukton, Nanopostonerung oder Health Montorng zu entwckeln. Herbe werden Umgebungsparameter we Temperatur, Feuchtgket, mechansche Lasten und Randbedngungen zumest als konstant betrachtet. Im Allgemenen kann allerdngs ncht ausgeschlossen werden, dass klene Varatonen n den Engangsgrößen ene große Veränderung des dynamschen Systemverhaltens und der mechanschen und elektrschen Lasten bewrken. Ene quanttatve Analyse zur Bestmmung der Enflüsse deser streuenden Parameter auf de geforderte Systemperformance st zur Bewertung der Zuverlässgket enes adaptronschen Systems unabdngbar.

2 Bld 1: Ablauf ener Enflussgrößenanalyse zur Bewertung der Zuverlässgket enes adaptronschen Systems Herzu egnen sch Verfahren der smulatonsbaserten und expermentellen Senstvtätsanalyse. Der grundsätzlche Ablauf ener derartgen Untersuchung der Enflussgrößen st n Bld 1 skzzert. Der Ensatz adaptronscher Strukturen egnet sch zur Lösung komplexer Systemanforderungen, bspw. der Redukton von Bautelschwngungen über enen breten Frequenzberech unter Berückschtgung stark streuender Randbedngungen. Des lässt enen adaptven Ansatz mt ntegrerter Sensork, Aktork und Regelung snnvoll erschenen. Heraus wrd en Desgn generert und deses als Smulatonsmodell sowe als Prüfstand realsert. Glechzetg wrd bedngt durch das Desgn und de Systemanforderungen en Raum potenteller Enflussgrößen aufgespannt. Deser wrd untertelt n Untermengen von Parametern, deren Enflüsse expermentell (Temperatur, Erregungsampltude) bzw. numersch (Geometren, Materalparameter) erfasst werden können. Gegebenenfalls exstert ene wetere Menge an Parametern, de sch ener systematschen Analyse entzehen. Zur Bewertung der expermentell mplementerbaren Engangsparameter werden Verfahren der statstschen Versuchsplanung (engl.: Desgn of Experments) herangezogen. Herbe können mt enem geegneten Regressonsmodell das Systemverhalten außerhalb der erfassten Parameterenstellungen und der Enfluss enzelner Engangsgrößen auf de Streuung des Gesamtsystems bestmmt werden. Da m Rahmen deser Arbet etablerte Methoden der statstschen Versuchsplanung verwendet wurden, wrd zur Erläuterung der zugehörgen Verfahren und Begrffe auf enschlägge Lteratur, z.b. [1], [2] verwesen.

3 Zur Untersuchung von Parametern, de nnerhalb ener Smulatonsumgebung abzublden snd, werden smulatonsbaserte Senstvtätsanalysen verwendet, wobe zumest Monte- Carlo-Samplng Technken zur Abbldung der Streuungen engesetzt werden. Der Zusammenhang zwschen En- und Ausgangsgrößen wrd über en zu bestmmendes Rechenmaß bewertet. Kombnert ermöglchen de expermentellen und numerschen Untersuchungen ene Bewertung der Zuverlässgket des Desgns (Bld 1) n dem bezüglch der Systemanforderungen unzulässge Wertebereche von Engangsgrößen dentfzert werden. Heraus lassen sch weterhn Materaltoleranzen, Wrkungsbereche und Optmerungspotentale ableten. Im folgenden Kaptel wrd der verwendete Ansatz ener smulatonsbaserten Senstvtätsanalyse vorgestellt, verschedene gängge Bewertungsmaße dskutert und spezfsche Anforderungen an das Modell enes adaptronschen Systems m Rahmen ener Senstvtätsuntersuchung erläutert. In Kaptel 3 wrd de Bespelstruktur bestehend aus enem System zur Schwngungssolaton empfndlcher Bautele vorgestellt und de Ergebnsse der durchgeführten Analysen präsentert. Abschleßend wrd neben ener Zusammenfassung en Ausblck auf zukünftge Forschungsarbeten zum Gebet der Enflussgrößenanalyse adaptver Systeme gegeben. 2. Smulatonsbaserte Senstvtätsanalyse De unterschedlchen Methoden und Verfahren, de unter dem Begrff Senstvtätsanalyse zusammengefasst werden, untersuchen m Allgemenen den Zusammenhang zwschen Enund Ausgangsgrößen enes Systems und werden m Rahmen von Optmerungen, Systemund Robusthetsbewertungen angewendet. Ene detallerte Überscht und Anwendungsbespele fnden sch n [3] und [4]. Bld 2: Ablauf ener Senstvtätsanalyse

4 Anhand des Ablaufplans (Bld 2) werden de prnzpellen Schrtte erläutert. Am Anfang steht de Defnton der Engangsgrößen. Dese setzen sch m Allgemenen aus gestreuten Größen mt zugehörgen Vertelungsdchtefunktonen zusammen. In Abhänggket von der Zelsetzung der Senstvtätsanalyse werden dese Streuungen n Form von Parametersets abgebldet. Für quanttatve Analysen st ene sehr genaue Modellerung der Dchtefunktonen erforderlch, was n der Regel mt Hlfe von Monte-Carlo-Technken bewältgt werden kann. Herbe werden Zufallszahlengeneratoren zur Festlegung ener großen Anzahl von Parametersets verwendet. Soll de Senstvtätsanalyse ledglch ene qualtatve Bewertung der Enflussgrößen lefern, genügt ene grobe Rasterung der zugehörgen Wertebereche. Herzu exsteren Methoden, bspw. Morrs Screenng [5], wobe alle potentell domnanten Parameter enes Modells dentfzert werden und herfür ene gernge Anzahl an Modellrechnungen benötgt wrd. Dese defnerten Wertekombnatonen der Engangsvarablen werden dem parametrserten Smulatonsmodell zur Berechnung übergeben. Dabe muss das zugrunde legende Modell n der Lage sen, ene gegebenenfalls kontnuerlche Enstellung der untersuchten Größen zuzulassen, was bspw. be Fnte Element Modellen mt dskreten Knotenpunkten zu ener Erhöhung des Modellerungsaufwands führen kann. De berechneten Ausgangsgrößen unterlegen entsprechend den Engangsparametern ener gewssen Streuung. Anhand der Smulatonsergebnsse und der zugehörgen statstschen Momente können verschedene Maße der Senstvtät berechnet werden, de ene Bewertung der Engangsparameter bezüglch hres Enflusses auf de betrachtete Ausgangsgröße ermöglchen. Bewertungsmaße De enfachsten Bewertungsmaße zur Beurtelung der Senstvtät ener Systemgröße baseren auf der Berechnung der Gradenten δy δ X mt den Bezechnungen Y : Ausgangsgröße, X : -ter Engangsparameter, = 1,..., n und n : Anzahl Engangsparameter. Der wesentlche Vortel deser Maße besteht n der lechten Berechenbarket. Herbe kann allerdngs ledglch en lokaler Berech nnerhalb des defnerten Parameterraums betrachtet werden. Ene globale Bewertung st bspw. über Korrelatonskoeffzenten der Form (1)

5 S P, = r r ( X, j E( X) )( Yj E( Y) ) j= 1 r 2 2 ( X, j E( X) ) ( Yj E( Y) ) j= 1 j= 1 (2) möglch mt den Bezechnungen X Wert von X be j-ter Durchrechnung,, j: EX ( ): Erwartungswert von X. Neben ener globalen Bewertung können her auch de Art der Streuungen n den Engangsparametern berückschtgt werden. Wetere Vortele bestehen n der Implementerung und somt enfachen Verfügbarket nnerhalb kommerzeller CAE Programme. Wesentlcher Nachtel neben der hohen benötgten Anzahl an Modelldurchrechnungen besteht n der Mehrdeutgket der ermttelten Werte. Bespelswese werden ren stochastsche oder quadratsche und andere nchtlneare Zusammenhänge ncht als solche dentfzert und können zu Fehlnterpretatonen führen [6]. Varanzbaserte Senstvtätsmaße hngegen erlauben ene endeutge quanttatve globale Bewertung lnearer (frst order effects) und nchtlnearer (hgher order effects) Enflüsse von Engangsparametern. Glechzetg können unter gegebenen Bedngungen de Anzahl der benötgten Berechnungen m Verglech zu ener Monte-Carlo-Analyse reduzert werden. De her verwendeten Maße snd we folgt defnert: S H Var[ E( Y X )] = und (3) Var[ Y ] mt den Bezechnungen S T Var[ E( Y X )] = 1, (4) Var[ Y ] S : Haupteffekt von X, H S : Totaleffekt von X, T X : alle Engangsparameter ohne X, Var[ Y ]: Varanz von Y. Der Ausdruck Var[Y X =x * ] bezechnet de bedngte Varanz von Y, unter der Voraussetzung dass dem Parameter X der Wert x * zugeordnet wrd. Berückschtgt man den gesamten möglchen Werteraum von x *, st en vom jewelgen Wert unabhängges Maß durch den Ausdruck E(Var[Y X ]) gegeben. Mt dem Gesetz der totalen Varanz ( ) Var[ Y ] = E Var[ Y X ] + Var[ E( Y X )] (5)

6 st zu erkennen, dass en klener Wert von E(Var[Y X ]) bzw. en großer Wert von Var[E(Y X )] enen großen Enfluss des Parameters X auf de Ausgangsgröße Y mplzert. Somt berechnet der Haupteffekt (Gl. (3)) de zu erwartende relatve Menge an Varanz, de be gegebenem Parameter X von der Gesamtvaranz Var[Y] subtrahert wrd. Der Ausdruck V = Var[ E( Y X )] (6) wrd auch als frst-order oder drekter Effekt bezechnet. Zur Betrachtung gekoppelter Effekte der Parameter X und X j wrd mttels ener Varanzdekomposton [7] (7) Var[ Y ] = V + V V j k j> der Term V j unter Verwendung der bedngten Varanz Var[E(Y X,X j )] we folgt defnert: V = Var[ E( Y X, X )] Var[ E( Y X )] Var[ E( Y X )] (8) j j j Entsprechend werden de Koppeleffekte höherer Ordnung beschreben. Der Totaleffekt (Gl. (4)) bezechnet den gesamten Betrag des Parameters X auf de Varanz der Ausgangsgröße n dem alle zugehörgen Effekte erster und höherer Ordnung summert werden. Zur Berechnung der Haupt- und Totaleffekte und der zugehörgen Integralterme können Monte-Carlo-Samplng Verfahren angewendet werden. Andere effzentere Algorthmen werden n [7] und [8] beschreben und n aktuellen Arbeten weterentwckelt (bspw. [9]). Ene Implementerung n Spezalsoftware [10] und [11] realsert. Ene Enschränkung deser Maße stellt de grundlegende Annahme dar, dass das gesamte Streuverhalten allen durch de Varanz der En- und Ausgangsgrößen bewertet wrd und statstsche Momente höherer Ordnung unberückschtgt bleben. Modellerung adaptver Systeme Im Zuge ener smulatonsbaserten Senstvtätsanalyse wrd en genaues Rechenmodell des zu untersuchenden Systems zugrunde gelegt. Daher sollen n desem Abschntt enge spezfsche Aspekte der Modellerung adaptronscher Systeme dargelegt werden. Detallertere Erläuterungen snd n [12] zu fnden. Das Smulatonsmodell muss de wesentlchen Elemente enes adaptronschen Systems, Struktur, Sensork, Aktork und Regelstratege, detallert abblden, so dass ene entsprechende Analyse durchgeführt werden kann. Herzu snd bspw. de konsttutven Glechungen der engesetzten multfunktonalen Materalen m Modell zu berückschtgen. Zudem darf das Strukturmodell ledglch über ene gernge Anzahl an Frehetsgraden verfügen, so dass ene Integraton n ene Softwareumgebung zur Regelungssmulaton möglch st. Wrd de Strukturdynamk unter Verwendung der Fnte Elemente Methode abgebldet, st ene Modellredukton erforderlch. Herbe egnen sch n velen CAE Programmen

7 ntegrerte Standardverfahren we z.b. Guyan-baserte Methoden [13] oder Modalzerlegung nur bedngt. De Approxmatonsgüte des dynamschen Verhaltens der reduzerten Modelle st mest ncht zufreden stellend, de Verfahren rechenaufwändg und schlecht n ene Smulatonsprozesskette ntegrerbar. Weterhn st ene Anwendung auf Dfferental- Algebrasche Glechungssysteme de be Betrachtung multphyskalscher Modelle entstehen können ncht möglch. Als vortelhaft haben sch Krylov-Unterraummethoden [14] erwesen. Hermt können stark reduzerte Modelle mt sehr hoher Approxmatonsgüte be glechzetg gernger Rechenzet generert werden. Entsprechende Algorthmen snd n [15] mplementert. En gemensamer Nachtel der oben genannten Verfahren besteht n der fehlenden Möglchket ener Fehlerabschätzung der reduzerten Modelle. Wrd en adaptronsches System unter Berückschtgung oben genannter Punkte modellert, so können m Zusammenhang mt der Varaton der Strukturparameter und aus der Regelung resulterenden Rückkopplungstermen nchtlneare Effekte der Enflussgrößen erwartet werden. Um dese m Rahmen ener quanttatven Senstvtätsanalyse zu berückschtgen, muss auf de Berechnung geegneter Größen, we z.b. de varanzbaserten Bewertungsmaße, zurückgegrffen werden. 3. Analyse enes Systems zur Schwngungssolaton empfndlcher Bautele Als Bespelsystem wrd en Demonstrator zur Schwngungssolaton empfndlcher Bautele betrachtet (Bld 3). Deser besteht aus ener Grundplatte zur Befestgung auf enem Shakerprüfstand, sechs passven Elastomerdämpfern, zwe Schenen auf denen ver aktve Lagerenheten mt ntegrerten Pezoaktoren befestgt snd und ener Platte zur Aufnahme enes Blocks, der zur Abbldung der Masse und des Schwerpunkts des zu solerenden Bautels verwendet wrd. Bld 3: CAD & FE Modell des Demonstrators zur Schwngungssolaton empfndlcher Bautele und Aufbau auf Shakerprüfstand

8 Im zugehörgen Fnte Elemente Modell snd de Dämpferenheten als masselose Elemente abgebldet. De Masse des zu solerenden Bautels wrd über ene vrtuelle Dchte und de Störgrößen über Fußpunktanregungen der Dämpferelemente realsert. Zweck der Untersuchungen anhand des Demonstrators st de Erarbetung ener Systematk, n der de Enflüsse varerender Umgebungs- und Konstruktonsparameter (Form und Ampltuden des Anregungsspektrums, Temperatur, Bautelmasse und -schwerpunkt, Materalen) auf de komplexe Zelgröße, ene geregelten Redukton der Bautelschwngungen, quanttatv erfasst werden können und somt ene Zuverlässgketsaussage des adaptronschen Systems erlauben. Herzu muss m ersten Schrtt ene detallerte Enflussgrößenanalyse der Strukturdynamk des passven Systems erfolgen, wobe zur Ermttelung der Enflüsse konstruktonsbedngter Parameter we bspw. Bautelgeometren sch de n Kaptel 2 beschrebene Methodk der varanzbaserten Senstvtätsanalyse anbetet. De Auswrkungen von Umgebungsparametern we z. B. Temperaturunterscheden, Erregungsampltuden können nnerhalb ener geegneten Prüfumgebung unter Verwendung der Verfahren der statstschen Versuchsplanung untersucht werden. Im Folgenden wrd de spezfsche Vorgehenswese erläutert und de gewonnenen Erkenntnsse werden dargestellt. Anwendung ener varanzbaserten Senstvtätsanalyse Zelsetzung der her beschrebenen Untersuchung war ene quanttatve Enflussgrößenanalyse geometrscher Parameter auf de Strukturdynamk des Systems. Herzu wurden 39 möglche Größen ausgewählt. Als Ausgangsparameter wurden Lage und Ampltuden der Resonanzfrequenzen bzw. -moden am Masseblock betrachtet. Zur Redukton der Anzahl an Varablen wurde zunächst en Morrs Screenng durchgeführt. Somt konnten 29 Parameter als rrelevant dentfzert werden. Um numersch konsstente Ergebnsse zu erzelen, musste ene Samplegröße von mndestens 2000 gewählt werden. Exemplarsch snd n Tabelle 1 de Ergebnsse ener Senstvtätsanalyse dargestellt, wobe der Enfluss auf de Schwngungsampltude be der zweten Egenfrequenz des Systems (Bld 4) betrachtet wurde. Erwartungsgemäß handelt es sch her be den zwe Varablen mt dem größten Enfluss um de Lagekoordnaten des Masseblocks. Als drtte domnante Engangsgröße wurde de Brete der Schenen dentfzert. Auffallend st, dass de Summe der Haupteffekte sehr vel klener als ens st. Des bedeutet, dass ledglch 28 Prozent der gesamten Varanz der Ausgangsgröße über lneare Enflüsse zu erklären und en Großtel durch Kopplungsterme höherer Ordnung bedngt st. Her st anzumerken, dass bspw. der Korrelatonskoeffzent als

9 Bewertungsmaß kenen Parameter als relevant dentfzert hätte, da herbe ledglch der lneare Zusammenhang zweer Größen bewertet wrd. Tabelle 1: Ergebnsse Senstvtätsanalyse Parameter Haupteffekt Totaleffekt 1 0,15 1,11 2 0,08 0,65 3 0,03 0, ,02 0,11 Bld 4: Schwngform be Resonanzfrequenz 257 Hz S 0,28 2,46 Anwendung ener DoE Analyse Zur expermentellen Bewertung der Enflussgrößen auf de Strukturdynamk wurden für den Entwurf und de Auswertung der Messrehen Verfahren der statstschen Versuchsplanung angewendet. Herbe wrd n enem ersten Schrtt en Ursache-Wrkungs-Dagramm aufgestellt und n unkontrollerbare, konstant gehaltene und Desgn Faktoren sortert. Letztere werden tatsächlch m Experment ntegrert und den defnerten Stufen entsprechend engestellt. Zur Analyse des Schwngungsverhaltens des passven Systems wurden ver Enflussgrößen bestmmt, de n Tabelle 2 mt den realserten Faktorstufen abgebldet snd. Tabelle 2: Faktoren des passven Systems und zugehörge Stufen Faktoren / Stufen A - Temperatur 22 C 32 C 42 C B - Masse 1kg 5kg 10kg C - Erregungsampltude 0,2g 1,6g 3g D - Poston der Masse lnks zentral rechts Als Ausgangsgröße wurden de Beschleungungsantworten an ausgewählten Punkten des Systems bezogen auf de Beschleungung der Fußpunkterregung betrachtet. Es wurde en fraktoneller faktoreller Versuchsplan der Auflösung IV mt zusätzlchen Zentralpunkten aufgestellt. Wesentlche Ergebnsse der Analyse waren, dass weder de Temperaturunterschede noch de Schwerpunktlage enen relevanten Enfluss auf de Strukturdynamk

10 ausüben. Sowohl de Masse des zu solerenden Bautels als auch de Erregungsampltude erwesen sch hngegen als domnant. Aufgrund der starken Temperaturabhänggket der Stefgkets- und Dämpfungsegenschaften der engesetzten Elastomerdämpfer, de m Vorfeld untersucht wurden, waren derartge Ergebnsse nur bedngt zu erwarten. 4. Zusammenfassung und Ausblck In desem Betrag wurde en Ansatz zur Identfzerung und Bewertung domnanter Enflussgrößen mt der Zelsetzung ener quanttatven Aussage über de Zuverlässgket und Robusthet des untersuchten Desgns enes adaptronschen Systems dargestellt. Herbe wurde en Schwerpunkt auf de Anwendung neuartger Verfahren der smulatonsbaserten Senstvtätsanalyse gelegt, da dese zur Untersuchung derartg komplexer Systeme notwendg erschenen. Als Bespelsystem wurde en aktves System zur Schwngungssolaton empfndlcher Bautele m passven Betreb betrachtet. Ähnlche Untersuchungen mt mplementerter adaptver Regelstratege snd Bestandtel laufender Arbeten. In zukünftgen Projekten snd Methoden zur Fehlerabschätzung der smulatonsbaserten Senstvtätsanalyse zu entwckeln. Herzu st es bspw. notwendg, Fehler des reduzerten Modells quantfzeren bzw. begrenzen zu können. Weterhn muss de Egnung und Übertragbarket der her verwendeten varanzbaserten Maße untersucht und dese gegebenenfalls weterentwckelt werden. Es könnten z.b. neue Maße unter Berückschtgung statstscher Momente höherer Ordnung engesetzt werden. 5. Danksagung De her beschrebenen Untersuchungen wurden m Rahmen des DFG Projekts Betrebslastenerfassung und -smulaton aktver Systeme durchgeführt. Für de Förderung und herfür beretgestellten Mttel glt der Deutschen Forschungsgemenschaft der Dank der Autoren. 6. Lteraturangaben [1] Montgomery, D.: Desgn and Analyss of Experments, Sxth Edton. USA: John Wley & Sons 2006 [2] Kleppmann, W.: Taschenbuch Versuchsplanung Produkte und Prozesse optmeren, 4. Auflage. München: Carl Hanser Verlag 2006 [3] Saltell, A. et al.: Global Senstvty Analyss The Prmer. Chchester, England: John Wley & Sons 2008

11 [4] Saltell, A. et al.: Senstvty Analyss n Practce. Chchester, England: John Wley & Sons 2004 [5] Morrs, M. D.: Factoral Samplng Plans for Prelmnary Computatonal Experments. Technometrcs 33 (1991), S [6] Anscombe, F. J.: Graphs n statstcal analyss. Amercan Statstcan 27 (1973), S [7] Sobol, I. M.: Senstvty estmates for nonlnear mathematcal models. Mathematcal Modelng and Computatonal Experments 1 (1993), S [8] Cuker, R. et al.: Nonlnear senstvty analyss of multparameter model systems. Journal of Computatonal Physcs 26 (1978), S [9] Tarantola, S. et al.: A new estmator for senstvty analyss of model output. Relablty Engneerng & System Safety 91 (2006), S [10] Jont Research Centre of the European Comsson: SmLab 3.1 Smulaton Envronment for Uncertanty and Senstvty Analyss, 2006 [11] OptY e.k.: OptY Vers Multdszplnäre Analyse und Optmerung, 2008 [12] Wolf, K. et al.: Performance Assessment of an Actve Nose Reducton System. ASME ESDA Conference 2008, ESDA [13] Guyan, J.: Reducton of stffness and mass matrces. AIAA Journal 3 (1965), S. 380 [14] Ba, Z.: Krylov subspace technques for reduced-order modellng of large-scale dynamcal systems. Appled Numercal Mathematcs 43 (2002), S [15] Rudny E. B., Korvnk J. G.: Model order reducton for large scale engneerng models developed n Ansys. Sprnger Lecture Notes n Computer Scence 3732 (2006), S