2. WELLEN (B) (C) 2.1 Wesentliche Eigenschaften von harmonischen Wellen Periodizität in Raum und Zeit

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1 Physik für Maschinenbauer Hinweis: diese Skripbläer erfassen nur das Gerüs der Vorlesung mi den eingeführen Formeln. Sie können als Grundgerüs für die Mischrif dienen, das während der Vorlesung, ergänz werden muss.. WELLEN Eine Kee mieinander elasisch gekoppeler Schwinger kann seine Schwingungsenergie von Nachbar zu Nachbar weiergeben. Der dabei sich ausbildende Schwingungszusand der Kee is eine WELLE. In Naur und Technik gib es eine Vielzahl von Sysemen, die sich wie gekoppele Schwinger verhalen, in denen sich also WELLEN ausbreien können, z.b. alle elasischen Werksoffe und Medien, Rohre, Träger, Flüssigkeien, Gase..1 Wesenliche Eigenschafen von harmonischen Wellen.1.1 Periodiziä in Raum und Zei Wird die Schwingerkee an ihrem Ende zu einer erzwungenen harmonischen Schwingung mi der Frequenz f angereg, beginnen alle anderen Schwinger, zeilich verzöger, mi der gleichen Frequenz zu schwingen. An jedem Or, den eine Welle erreich, erzeug die Welle demnach einen Schwingung = zeilich periodischen Vorgang. Aufgrund der zeilichen Verzögerung beim Energieransfer bilde sich enlang der Schwingerkee, d.h. von Or zu Or, ein räumlich periodisches Auslenkungsmuser der Schwinger aus, das sich enlang der Kee ausbreie. Bei einer Auslenkung der Schwinger QUER zur Kee sprich man von Querwellen = TRANSVERSALWELLEN; Fall (B). Bei einer Auslenkung der Schwinger LÄNGS zur Kee sprich man von Längswellen = LONGITUDINALWELLEN; Fall (C). Die Periodenlänge des räumlichen Auslenkungsmusers heiß WELLENLÄNGE λ (B) (C) - Inerneseie der LV: Bla 1

2 Physik für Maschinenbauer Bei einer Welle is die Auslenkung U der einzelnen Schwinger vom Or und von der Zei abhängig: U = U(. Zur Beschreibung der Periodiziä der Welle verwenden wir wieder Winkelfunkionen: U ( sin( ± k x ω (.1) Dabei bedeuen: AMPLITUDE der Welle :U ˆ =maximale Auslenkung π KREISFREQUENZ der Welle: ω = = π f T (f = Frequenz; T = Schwingungsdauer). WELLENZAHL der Welle: (.a) π k = (.b) λ (λ = Wellenlänge; +k Welle läuf nach rechs / k Welle läuf nach links) In einem Zeiinervall Δ = T leg eine Welle die Srecke Δx = λ zurück. Eine Welle beweg sich dami mi der Geschwindigkei: c Δx λ = Δ T = c = λ f (.3) Wichig: a) Die Ausbreiungsgeschwindigkei c einer Welle häng von der Wellenar und vom Medium ab, in dem sie sich ausbreie; s.u.. b) Bei der Wellenausbreiung wird Energie ransporier, kein Soff, denn die Schwinger verbleiben an ihrem Or. Experimene: Gekoppele Pendelreihe, Torsionswellenmaschine, Gummiseilwellen, Wellenwanne - Inerneseie der LV: Bla

3 Physik für Maschinenbauer.1. Überlagerung von Wellen.1..1 Konsrukive und desrukive Inerferenz Berache werden zwei Wellen gleicher Frequenz, gleicher Schwingungsrichung und gleicher Ausbreiungsrichung: A) Überlagerung ohne Gangunerschied d Wellenberg fäll auf Wellenberg: U U Beide Wellen versärken sich = Konsrukive Inerferenz k x ω ) k x ω ) 1( 1 ( = U ( ˆ ˆ 1 + U = U1 + U ) k x ω U konsr ( (.4) Relevaner Gangunerschied: d = 0, λ, λ, 3λ,..(.4a) B) Überlagerung mi Gangunerschied d, so dass Wellenberg auf Wellenal fäll: U U Beide Wellen schwächen sich = Desrukive Inerferenz. Sind beide Ampliuden gleich groß, löschen sich die beiden Wellen sogar aus! k x ω ) k ( x λ ) ω ) = U + U = ( Uˆ Uˆ ) k x ω 1( 1 ( U desr ( 1 1 (.5) Relevaner Gangunerschied: d = λ/, 3λ/, 5λ/, (.5a) ) - Inerneseie der LV: Bla 3

4 Physik für Maschinenbauer Vollsändige Auslöschung bei U ˆ 1 Eigenschaf von Wellen: Schall + Schall = Sille Lich + Lich = Dunkelhei : Typische Technische Anwendungen in der Vorlesung und den Übungen..1.. Sehende Wellen Berache werden zwei Wellen gleicher Frequenz, gleicher Schwingungsrichung aber engegengesezer Ausbreiungsrichung. Solche Wellen ensehen durch Reflexionen an Begrenzungen und Grenzflächen, z.b. in einem Sab, einem Träger oder einer eingespannen Giarrensaie. U U k x ω ) (.6) k x ω ) (.7) 1( 1 ( 1 = U ˆ 1 + U = U cos( k x) ω U seh ( 1 (.8) Im Gegensaz zur "normalen" Welle wander das Schwingungsmuser einer sehenden Welle nich, daher der Name. Gl. (.8) beschreib vielmehr eine Schwingung [wegen des sin(ω-terms] mi orsabhängiger Ampliude Uˆ 1 cos( k x). An den Nullsellen der Cosinusfunkion befinden sich die sog. Schwingungsknoen K, deren Absand beräg λ a =. (.8a) - Inerneseie der LV: a Bla 4

5 Physik für Maschinenbauer Gegeneinander laufende Wellen kommen durch Reflexion an "fesen" oder "losen" Enden zusande. Bei einer Reflexion am fesen Ende bilde sich auf der Grenzfläche ein Schwingungsknoen aus; bei einer Reflexion am losen Ende bilde sich auf der Grenzfläche ein Schwingungsbauch aus. Eigenschwingungen: Wird eine harmonische Welle mehrmals in sich reflekier, bilde sich eine sehende Welle nur dann aus, wenn der Absand l der reflekierenden Enden ein Vielfaches des Knoenabsands a = λ/ is: m λ = l m = 1,,3,... (.9) (lose Enden) (fese Enden) - Inerneseie der LV: Bla 5

6 Physik für Maschinenbauer Bei Kombinaion von fesem und losem Ende laue die Exisenzbedingung für sehende Wellen: λ ( m 1) = l m = 1,,3,... 4 (.9a) Aus Gl. (.9) bzw. (.9a) lassen sich die Wellenlängen bzw. Frequenzen berechnen, bei denen die Eigenschwingungen eines Körpers (Bauelemens, Insrumens) aufreen. Ihre Anregung führ zu analogen Resonanzerscheinungen wie im Abschni 1.4 behandel. Technische Anwendungen in der Vorlesung und den Übungen. Experimene: Gekoppele Pendelreihe, Torsionswellenmaschine, Gummiseilwellen; Sehende Wellen mi Sichsäge, KUNDTsches Rohr - Inerneseie der LV: Bla 6

7 Physik für Maschinenbauer. Wellenypen in Naur und Technik..1 Mechanische Wellen Mechanische Wellen ensehen in ausgedehnen elasischen Medien, die man sich aus vielen gekoppelen Schwingern aufgebau vorsellen kann. Die jeweilige Wellengeschwindigkei c häng von Gesal und Eigenschafen des Mediums ab: a) Longiudinalwellen in Säben: E c = (.10a) ρ E = Elasiziäsmodul; [E] = N/m² ρ = Diche des Mediums b) Longiudinalwellen in Flüssigkeien K c = (.10b) ρ K = Kompressionsmodul [K] = N/m² c) Longiudinalwellen in Gasen κ p c = (.10c) ρ κ = Isenropenkoeffizien (dimensionslos) p = Gasdruck Hinweis: In Flüssigkeien und Gasen gib es nur Longiudinalwellen. Mechanische Longiudinalwellen, deren Frequenz im Bereich 16 Hz < f < 0kHz lieg, sind hörbar und heißen SCHALLWELLEN, Nich hörbar, aber für echnische Anwendungen bedeusam sind: Infraschall: f < 16 Hz und Ulraschall: f > 0 khz. - Inerneseie der LV: Bla 7

8 Physik für Maschinenbauer Elekromagneische Wellen Elekromagneische Wellen werden von elekrischen und magneischen Kraffeldern gebilde, die von schwingenden elekrischen Ladungen ausgehen. Sie haben folgende wichige Eigenschafen: a) Elekromagneische Wellen sind ses ransversale Wellen; b) Im Gegensaz zu Schallwellen können sich elekromagneische Wellen auch im leeren Raum = Vakuum ausbreien. c) Im Vakuum breien sich elekromagneische Wellen mi der höchsen, bisher bekannen Geschwindigkei c aus: c = m/s (.11) d) Elekromagneische Wellen umfassen eine Vielzahl von Srahlungsaren; siehe Tabelle Elekromagneische Wellen, deren Wellenlänge im Bereich 380nm < λ < 780nm lieg, sind sichbar und heißen LICHT, - Inerneseie der LV: Bla 8

9 Physik für Maschinenbauer Übungsaufgaben zum Kapiel WELLEN.1 Welche Ausbreiungsgeschwindigkei besiz eine Wasserwelle, die durch einen Erreger der Frequenz f=6,0hz mi einer Wellenlänge λ=4,0cm ausgesand wird?. Ein Blizlich sende Lichwellen mi einer Frequenz f= 5x10 14 Hz und einer Gesamlänge von L = 3m in Luf aus. Der Brechungsindex von Luf beräg ziemlich genau n= 1,00. a) Berechnen Sie die Wellenlänge λ der Welle. b) Wie viele Schwingungsperioden enhäl die 3m lange Lichwelle ungefähr. c) Wie lange leuche ein solcher Lichbliz, wenn ihn ein Empfänger beobache?.3 Um die Wasseriefe mi Hilfe eines Echolos zu besimmen, wird durch ein unmielbar uner der Wasseroberfläche befindlichen ruhenden Schallerreger eine Schallwelle mi der Frequenz f=600hz erzeug. Nach =6s riff der am Boden reflekiere Schall an dem am gleichen Or befindlichen Echoempfänger ein. a) Wie groß is die Wasseriefe, wenn in Wasser von T=10 0 C die Schallgeschwindigkei c w =1450m/s beräg? b) Wie groß is die Wellenlänge der verwendeen Schallwellen in Luf und in Wasser? (In Luf von T=10 0 C beräg die Schallgeschwindigkei c L =338m/s.) - Inerneseie der LV: Bla 9

10 Physik für Maschinenbauer.4 Auf einem Seil werden nach rechs laufende Wellen erzeug, indem dieses an der Selle x = 0 mi einer Schwingung der Frequenz f = 4 Hz und der Ampliude Û = 6,0 cm erreg wird. Die Wellenlänge beräg λ = 3 cm. Zur Zei = 0 befinde sich bei x = 0 gerade ein Wellenal, siehe Skizze. Uˆ a) Wie laue die Auslenkung-Zei-Funkion U( eines Seileilchens, das sich am Or x = 0 befinde? b) Welche Maximalgeschwindigkei v max erreich dieses Teilchen? c) Man berechne zum Zeipunk 1 =, s folgende Parameer des Seileilchens: Dessen Auslenkung U( 1 ), dessen Auslenkungsgeschwindigkei v( 1 ), dessen Auslenkungsbeschleunigung a( 1 ). d) Wie laue die Funkion U(,x) für die gesame Welle? e) Wie groß is die Auslenkung U des Seils an den folgenden Raum-Zei-Punken: Zeipunk 1 = 0: Seilposiionen x 1 = 0 und x = λ/, Zeipunk = T/4: Seilposiionen x 3 = 0, x 4 = λ/4 und x 5 = 3 4 λ. Skizzieren Sie die beiden Momenbilder der Welle U(,x) (zum Zeipunk 1 und zum Zeipunk ) und kennzeichnen Sie die fünf U-Were. f) Welche Phasengeschwindigkei c ha die Welle?.5 Zwei Lausprecherboxen L 1 und L sind im Absand d = 4m aufgesell. Ein Hörer siz so, dass er von der Box L 1 den Absand a 1 = 4,m, von L den Absand a = 3,m ha. Für welche Frequenzen können sich die Schallwellen am Or des Hörers durch desrukive Inerferenz auslöschen? (Reflexionen, z.b. an den Wänden, seien vernachlässigbar; die Schallgeschwindigkei in Luf beräg 344m/s.) - Inerneseie der LV: Bla 10

11 Physik für Maschinenbauer.6 Ein Michelson-Inerferomeer kann zur präzisen Messung von Längenänderungen verwende werden und beseh aus einem 1:1Teilerspiegel und zwei Reflekorspiegeln A und B, die die senkrech einfallenden Lichwellen reflekieren. Die einfallende Lichwelle wird von einem Laser (λ=633nm) erzeug und am Teilerspiegel in zwei Teilwellen (roe und blaue Pfeile) zerleg. Die an den beiden Spiegeln A und B reflekieren Teilwellen vereinigen sich am Teilerspiegel wieder und inerferieren mieinander. Die Ar der Inerferenz (konsrukiv oder desrukiv) häng von der Differenz der Wege der beiden Teilwellen ab: ΔL = (L A L ). B MICHELSON-Inerferomeer Spiegel B L B B Einfallende Lichwelle Teilerspiegel U B U A L A A Verschiebbarer Spiegel Messgerä für Inerferenz a) Beschreiben Sie sichworarig die Änderung der Wellenampliude am Messgerä, wenn der Spiegel A parallel zu sich selbs verschoben wird, d.h. L A geänder wird; siehe Skizze. Welche Gesamampliude ri am Messgerä auf, wenn beide Inerferomeerarme gleich lang sind: L A = L B.B b) Um welche Srecke ΔL wurde der Spiegel A verschoben, wenn das Messgerä zunächs ein Ampliudenmaximum, dann ein Minimum und schließlich wieder ein Ampliudenmaximum miss?..7 Der sabförmige Quarzkrisall (Elasiziäsmodul E= N/m²; Diche ρ =,65kg/dm³) für eine Quarzuhr soll mi der Frequenz f = 1 MHz schwingen. Wie lang muss der Krisall sein, dami er Longiudinalschwingungen (sehende Wellen) mi 4 Schwingungsknoen (davon auf der Grenzfläche) ausführ? - Inerneseie der LV: Bla 11

12 Physik für Maschinenbauer.8 Ein Sahlsab der Diche ρ = 7,83kg/dm³ und der Länge L = 1m is an beiden Enden fes eingespann. Durch Reiben erzeug man eine Longiudinalschwingung mi der Grundfrequenz f 0 = 57Hz. (In der Grundfrequenz reen nur zwei Schwingungsknoen an den Sabenden auf.) a) Wie groß is die Schallgeschwindigkei im Sab? b) Besimmen Sie den Elasiziäsmmodul des Sahls. c) Welche Frequenzen haben die möglichen Oberöne = Schwingungen mi mehr als zwei Knoen? Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben der Kapiel "WELLEN" und "Elemene der OPTIK" Aufgabe.1: c = 0,4 m/s. Aufgabe.: a) λ = 600nm; b) N = Perioden; c) Δ = 10 ns = 10-8 s. Aufgabe.3: a) Wasseriefe A = 4350 m; b) λ Wasser =,417 m; λ = 0,563 m. Luf Aufgabe.4: a) U( = -û cos(π f, û = 6cm, ω = π f = 8 π 1/s; b) v max = 150,8cm/s c) U( 1 ) = 1,854cm; v( 1 ) = -143,4cm/s; a( 1 ) = 1171,cm/s² d) U( = -û cos(ω k x) e) U(x 1, 1 ) = --û; U(x, 1 ) = û; U(x 3, ) = 0;U(x 4, ) = --û; U(x 5, ) = û; f) c = 18cm/s. Aufgabe.5: f 0 = 17 Hz, f 1 = 516Hz, f 3 = 860Hz, f q = (q+0,5) 344Hz (q = 1,,3...) Aufgabe.6: b) ΔL = 316,5nm Aufgabe.7: L = 7,98mm Aufgabe.8: a) c = 5054m/s; b) E =,00 10 c) f q = q f 0 (q = 1,,3,...) 11 N/m²; - Inerneseie der LV: Bla 1