Hinweise. Tests und Trenderkennung

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1 Hwese emar zu atuelle Theme der öolosche Modellbldu (M 409): Der Klmawadel: wsseschaftlche Erets, esellschaftlche Dsusso, oltsche Bedeutu Ameldue bs emar: Forschuswerstatt Modellbldu ud mulato Wallefels , Vorbesr , 4:00 Uhr Dlomarbet: Etwclu multvarater Idatore der Grudwasserbeschaffehet Nordbayer Kooerato mt dem Bayersche Ladesamt für Umwelt (vorher: Bayersches Geolosches Ladesam Tests ud Tredereu (Of ewüschte oder eforderte Eeschafte vo Zetrehe: Eeschaft Normaltät Erodztät Leartät tatoartät Tredfrehet Amerue eeb. Trasformato der Date ramatsch: ättu der tatst tatoartät des Mttelwertes ( Tred.e..) tatoartät der Varaz (Homosedastztä alleme: Kostaz aller Momete Test Kolmoorov-mrov, haro-wls, χ -Test für emrsche Date cht testbar leare Modelle Ma-Kedall-Test Bartlett-Test, Levee-Test Wtt-Test

2 Ma-Kedall-Test Zel: Überrüfu auf Tred des Mttelwerts Motvato: vele statstsche Verfahre setze Tredfrehet voraus Prz: Verlech der Azahl der Koordaze (x(t ) > x(t ) für t > t ) ud der Dsordaze (x(t ) < x(t ) für t > t ) Erweteru: easoal Kedall Test (Tredaalyse etret z.b. für ezele Jahreszete) Bezehue zu adere Verfahre: Tredfrehet st Voraussetzu für vele adere Verfahre Kedall-Test cht-arametrscher (vertelusfreer) Test für bvarate Korrelatoe Prz: Verlech der Azahl der Koordaze c ( < > x < y ) bzw. der Dsordaze d, bzw. der Dfferez c d : c d + s( x y ) + s( x) 0 x > 0 x 0 x < 0 Kedalls τ: c d τ ( ) / ( ) / mt - < τ < (-)/ Azahl der Verleche

3 Korretur für verbudee Räe verbudee Räe (tes): detsche Werte, de dem leche Ra zueordet werde c d > erforder Korretur für Kedalls τ - (statt τ ): ( ) / τ ( ) / ) / ( ) / vrx vry vrx ( vrx mt vrx, vry : Gesamtzahl aller verbudee Räe für x bzw. y ud vrx, vry :Zahl der -te verbudee Räe c d vry ( vry ) / Der Ma-Kedall Test Awedu des Kedall-Tests auf Zetrehe (d.h., sortert ach Zet, ohe doelte Eträe) > Tredtest: + s( x( t ) x( t )) + s( y) 0 y > 0 y 0 y < 0 Für de H 0 -Hyothese ( "es bt ee Tred") lt da: E( ) 0 ( ) ( var( ) σ ( ) 8 > ormalvertelt + > Abletu der Teströße: Abwechu der beobachtete (ormerte) vo de laut H 0 erwartete 5) 3

4 Der Ma-Kedall Test beachte: Korretur für verbudee Räe (Ralechhe otwed > statt var( ) σ var( ) σ ( ) ( ( ) 8 + ( ) vr Azahl der Werte ewels lecher Räe, Azahl der Grue verbudeer Räe > Teststatst: τ (für roße aäherd ormalvertel, D wobe D maxmal mölche Azahl der Koordaze: 5) ( ) ( + 5) vr 8 ( vr ) ( vr + 5) D ( ( ) vr ( vr ) ( ) asoaler Ma-Kedall Test Beobachtue ro asotel (z.b. fester Ta m Jahr), m asotele ro aso (z.b. 365 Tae/Jahr) x -te Beobachtu m -te asotel m + s( x x ), σ, σ σ +, h h m cov( ( )( + 5) /8 Etmaseru vo Gesamttreds Treds ezele asotele (z.b. Moate) h ) 4

5 Tredbesetu Learer Tred des Mttelwertes: ~ x ( x( x ( t ) mt der Reressoserade x ( a + b x( asoaler Tred des Mttelwerts: stufewese: ~ x ( x( x mt,..., asos a s( b [ x( c ]) ~ x ( x( x ( t ) mt der Reresso x ( für f ausewählte Frequeze f Tests auf Homosedastztät Ee Zetrehe heßt homo-(hetero-)sedastsch, we hre Varaz festerwese ostat (varabel) st. Üblche Tests: Bartlett-Test Levee-Test... 5

6 Bartlett-Test Bartlett (937) Voraussetzu: x st (aäherd) ormalvertelt De Zetrehe wrd Fester aufetelt mt ewels Werte Bartlett-Teströße ( ) lσ ( ) lσ T + 3( ) T st mt σ ( ) σ χ -vertelt mt - Frehetsrade Levee-Test Levee (960) weer emfdlch ee Verstoß ee de Aahme der Normalvertelu De Zetrehe wrd Fester aufetelt mt ewels Werte Levee-Teströße W ( ) ( ) ( z z ). ( z.. z ). mt z x x (robuster: Meda statt arthm. Mttel) st F-vertelt mt (-, -) Frehetsrade. 6

7 tatoartätstest ach Wtt et al. (998) Zel: Überrüfu der Kostaz der Momete (Vertelu) erhalb der Zetrehe Motvato: Voraussetzu veler statstscher Verfahre Prz: Verlech der Hstoramme für Fester bestmmter Läe Voraussetzue: ee Bezehue zu adere Verfahre: tatoartät st Voraussetzu für vele adere Verfahre tatoartätstest ach Wtt et al. (998) Auftelu der Zetrehe Fester der ewels leche Läe l x τ + x( ) l τ,,..., ; τ,..., l Hstoramm der Werte edem Fester mt r Klasse (bs). Werte des -te Festers der -te Klasse: xρ, xρ,..., x ρ R (Bedu: > 0 Teststatst für Fester t A, l ( R r R R / ) σ ( R ) : Azahl der Elemete der Klasse R ( R R ) alle Bs) st asymtotsch χ -vertelt mt ( r )( ) Frehetsrade 7

8 Erforderlche Datemee Für ee verlässlche Abschätzu der χ -Vertelu 3 9 be Klasse lt für de mmale Festerläe: l > Aufabe. Bestmme e m eebee Datesatz de Treds der Mttelwerte ewels durch Reresso der Messwerte mt der Zetachse.. Führe e für ede Parameter ee Tredaalyse mttels des Kedall-Tests durch. 3. Tele e de Datesatz 5 Fester lecher Läe, erstelle für ee Parameter edem Fester e Hstoramm oder de umulatve Häufetsvertelu, ud stelle de Erebsse eer Graf dar. 8