Grundlagen der Elektrotechnik I

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1 Volesungsfolien Gundlagen de Elektotechnik I Lehstuhl fü Allgemeine Elektotechnik und Plasmatechnik Pof. D. P. Awakowicz Ruh Univesität Bochum WS 008/09

2 Die Volesung wid in Anlehnung an das Buch von Pof. D. Reinhold Pegla / Univ. Hagen gehalten: Reinhold Pegla, Gundlagen de Elektotechnik, Hüthig Velag Heidelbeg (49 ) altenativ zu empfehlen: Manfed Albach, Gundlagen de Elektotechnik, Peason Studium (9,95 )

3 Inhalt de Volesung Elektotechnik I im WS 008 (siehe auch R. Pegla, Gundlagen de Elektotechnik ) 0 Zu Bescheibung physikalische Vogänge Das statische elektische Feld. Die elektische Ladung und ihe Wikungen. Feldstäke und Coulombsches Gesetz.3 Feldlinien.4 Bewegung eine Ladung im elektischen Feld.5 Ungeladene Leite im statischen elektischen Feld.6 Elektische Veschiebungsdichte (Flussdichte).7 Kapazität.8 Enegie und Käfte im elektostatischen Feld.9 Mateie im elektischen Feld De elektische Stom. Elektische Stomstäke. Ohmsches Gesetz.3 Stömungsfelde.5 Tempeatuabhängigkeit des Widestandes.6 Enegieumsetzung im elektischen Stomkeis.7 Stömung im Vakuum: Raumladungsgesetz Halbleite, Dioden, Tansistoen Volesung Bauelemente Volesungsfolien GdE I 3

4 Fotsetzung Inhalt: 3 Gleichstomschaltungen 3. Stom und Spannung im einfachen Stomkeis 3. Zweipole 3.3 Die Kichhoff'schen Regeln 3.4 Seien- und Paallelschaltung von Wideständen Volesung Pof. D. Matin 4 Lineae Netze Volesung Pof. D. Matin Gundlagen de Infomationstechnik 5. Das magnetische Feld 5. Wikung und Dastellung des magnetischen Feldes 5. Kaft auf eine bewegte Ladung - magn. Flussdichte B 5.3 Kaft auf einen stomduchflossenen Daht 5.4 Dehmoment auf eine stomduchflossene Leiteschleife 5.5 Die Eegung des magnetischen Feldes 5.6 Kaft zwischen zwei stomduchflossenen Leiten 5.7 Volesung Elektische und magnetische Felde 5.8 Die magnetischen Eigenschaften de Mateie Volesungsfolien GdE I 4

5 Vobemekungen + Einfühung Technik: Anwendung de Natugesetze aus den veschiedenen Gebieten de Physik auf Dinge, die von Menschen vewendet weden können, die sie untestützen und den Lebensstandad vebessen. Ein sogfältige und nachhaltige Umgang mit Technik ist sinnvoll und geboten. Ohne Technik ist das modene Leben nicht denkba. Technik ist de entscheidende Rohstoff und zugleich wichtigste Expotatikel Deutschlands. Elektotechnik: Anwendung de Teilgebiete Elektizität und Magnetismus. Beide Gebiete hängen eng zusammen, auch wenn diese nacheinande geleht weden. Diese künstliche, aus didaktischen Günden sinnvolle Tennung existiet in de Natu nicht. In diese Volesung weden behandelt: Gundlegende physikalische Phänomene, auf denen die Elektotechnik und Infomationstechnik aufbaut. Ihe Bescheibung mit Hilfe de Mathematik ist notwendig. Gundkenntnisse in Diffeential- und Integalechnung sind ebenso unabdingba wie Funktionen mehee Veändeliche und die Vektoechnung. Volesungsfolien GdE I 5

6 0 Bescheibung physikalische Vogänge 0. Physikalische Gößen Aufgabe de Physik: Auffinden von Gesetzmäßigkeiten, die sich mit Fomeln bescheiben lassen. Beispiel: Feie Fall t 0, v(0) 0 Fallweg (s) / x Edbeschleunigung (g) x Quadat de Fallzeit (t) Fomel: s gt Die Begiffe Weg, Zeit und Beschleunigung bezeichnet man als physikalische Gößen. Die obige Gleichung als Gößengleichung. Beispiele f. andee physikalische Gößen: Mechanik: Geschwindigkeit, Kaft, Masse, Abeit Elektizitätslehe: Ladung, Spannung, Feldstäke, Stom Wämelehe: Tempeatu, Duck, Wämemenge, Entopie Die veschiedenen Gößen weden mit Zeichen in kusive Scheibweise dagestellt. Wichtig ist, fü gleiche Gößen imme gleiche Zeichen zu vewenden; leide klappt das oft nicht. Volesungsfolien GdE I 6

7 Einteilung de Gößen: Basisgößen + abgeleitete Gößen Veeinbaung: Basisgößen de Mechanik Länge, Zeit und Masse Gundgesetz de Mechanik : Abgeleitete Göße: Kaft Masse x Beschleunigung (Si Isaac Newton, , engl. Mathematike, Physike und Astonom) In Fomelzeichen: F m a Andee abgeleitete Gößen sind duch Definition festgelegt: z.b. die Geschwindigkeit: v lim t 0 s t ds dt Die Richtung de Geschwindigkeit bleibt zunächst unbeücksichtigt. Analog: Definition de Beschleunigung a lim t 0 v t dv dt Volesungsfolien GdE I 7

8 Fazit: Basisgößen sind voneinande unabhängig. Alle andeen Gößen müssen duch Basisgößen ausgedückt weden können 0. Einheiten und Einheitensysteme Zum Messen eine physikalische Göße notwendig: Festlegen eine Einheit Messen heißt: Vegleichen mit Bezugseinheit Also: Physikalische Göße Zahlenwet x Einheit Ist eine Einheit unpaktisch, können Teile ode Vielfache mit dem Fakto Zehn abgeküzt beschieben weden duch: 0 da (Deka) 0 h (Hekto) 0 3 k (Kilo) 0 6 M (Mega) 0 9 G (Giga) 0 T (Tea) 0 5 P (Peta) 0 8 E (Exa) 0 - d (Dezi) 0 - c (Zenti) 0-3 m (Milli) 0-6 µ (Miko) 0-9 n (Nano) 0 - p (Piko) 0-5 f (Femto) 0-8 a (Atto) Volesungsfolien GdE I 8

9 Fühe hatten viele Lände ih eigenes Einheitensystem: z.b. Längenangabe in Meilen, Fuß, Zoll, Mete, Seemeilen, Landmeilen,... Heute ist ein intenationales Einheitensystem gebäuchlich: SI-Einheiten (Standad Intenational) Definition: Mete ist die Länge, die Licht im Vakuum wähend de Daue von / Sekunden duchläuft. Definition: Sekunde ist das fache de Peiodendaue de Stahlung, die vom Übegang zwischen den zwei Hypefeinstuktuniveaus des Gundzustands des 33 Cs Atoms heüht. Definition: Kilogamm ist definiet duch Intenationalen Kilogamm-Pototyp aus Platin-Iidium, de im intenat. Büo f. Maße und Gewichte in Sevees bei Pais aufbewaht wid. Definition: Ampee ist die Stäke eines stationäen Stomes, de duch unendlich lange, unendlich dünne paallele Leite fließt, die im Vakuum in einem Abstand von Mete die Kaft von 0-7 Newton aufeinande ausüben. MKSA-System, ein Teilsystem des SI-Systems Volesungsfolien GdE I 9

10 Das SI-System enthält dei weitee Basisgößen: Die themodynamische Tempeatu T in Kelvin, die Lichtstäke in Candela und die Stoffmenge in Mol: Basisgöße Zeichen Basiseinheit Abküzung Länge l Mete m Masse m Kilogamm kg Zeit t Sekunde s el. Stomstäke I Ampee A absol. Tempeatu T Kelvin K Lichtstäke ) I v Candela cd Stoffmenge ) n Mol mol Fü Definition von Ampee wude das Newton vewendet. Abgeleitete Einheit: kgm [ F] [ m][ a] s N [] bedeutet Einheit von ) Candela ist die Lichtstäke eine Stahlungsquelle, die bei 555 nm /683 Watt/s abstahlt. ) mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Teilchen besteht, wie in g von C enthalten sind, d.h Teilchen. Volesungsfolien GdE I 0

11 Einige wichtige physikalische Gößen: Kaft F Newton (N) N kg m/s Enegie W Joule (J) J Nm kg m /s Leistung P Watt (W) W Nm/s kg m /s 3 Duck p Pascal (Pa) Pa N/m Ladung Q Coulomb (C) C A s Spannung U Volt (V) V W/A Widestand R Ohm (Ω) Ω V/A Kapazität C Faad (F) F A s/v C/V Induktivität L Heny (H) H V s/a magnet. Fluß Φ Webe (Wb) Wb V s mag. Flußdichte B Tesla (T) T V s/m Wb/m Bemekungen: Duck: hpa mba, 0 5 Pa Ba Kaft: kp 9.8 N (Kaft auf kg im Edschweefeld, alte Bezeichnung) Volesungsfolien GdE I

12 0.3 Dimension, Zahlenwetgleichung Dimension: Qualitative Dastellung diese Gößenat aus den Basisgößen Basisgößen und Basisdimensionen: Länge Zeit Masse Stomstäke dim[s] L dim[t] T dim[m] M dim[i] I Beispiel: Dimension f. Geschwindigkeit dim[ v] dim[ s] dim[ t] LT Dimensionslose Gößen: wenn Exponent 0 ist; z.b. Winkel dim[ Keisbogenlänge] dim[ α] dim[ Radiuslänge] α b Keisbogenlänge Radiuslänge Volesungsfolien GdE I

13 Dimensionsgleiche, physikalisch völlig unteschiedliche Gößen; z.b. Enegie und Dehmoment: dim[ W] dim[ T] ML T [ W] Nm [ T] mn Hilfsmittel Dimensionspüfung: Beispiel: Masse eines zylindischen Köpes de Dichte ρ m π l ρ Dimensionspobe: dim[ m ] dim[π l ρ ] M M L L 3 L M Volesungsfolien GdE I 3

14 Zahlenwetgleichung ode zugeschnittene Fomel: z.b. Geschwindigkeit v s t mit km 000 m, h 3600 s: Also z.b. 00 km/h: v 3,6 s / km t/h m s v 00 3,6 m s m 7,8 s Beispiel: Elekton (e As, m 9, 0-3 kg ) wid im el. Feld beschleunigt und duchläuft die Spannung U 00 V. Wie goß ist seine Geschwindigkeit? Enegiesatz: eu v m km v 594 U / V s mv eu km 5940 s Volesungsfolien GdE I 4

15 Das statische elektische Feld. Die elektische Ladung und ihe Wikung.. Zum Aufbau de Mateie Vo 500 Jahen: Leukipp und Demokit atomos (das Unteilbae) Zu Beginn des 9. Jahhundets: 90 veschiedene Gundbausteine (Atome) Heute: Atome sind nicht unteilba Atomken und Hülle Ken: Potonen, Neutonen; Potonen positive Ladung Hülle: Elektonen negative Ladung Ekenntnisse (Bild.a, b): Elektonen halten sich innehalb bestimmte Bahnen auf Mehee diese Bahnen bilden eine Schale, die nu eine bestimmte maximale Zahl von Elektonen aufnehmen kann Die Zahl de Potonen im Ken ist gleich de Zahl de Elektonen in de Hülle (nach außen neutal) Zwischen Elektonen und Potonen besteht elektische Wechselwikung Zwischen Potonen und Neutonen bestehen die Kenkäfte, die hie nicht nähe behandelt weden; sie bilden die Masse des Atoms (z.b. H, D, T) Wid ein Elekton de Hülle entzogen, ist das Atom (eigentlich Ion) positiv geladen Volesungsfolien GdE I 5

16 Bild.a Zum Aufbau de Mateie Volesungsfolien GdE I 6

17 Bild.b Zum Aufbau de Mateie Volesungsfolien GdE I 7

18 .. Gundvesuche zu Wikung de elektischen Ladung Weitee Ekenntnisse: Elektonen sind elativ schwach gebunden, können dahe isoliet weden, d.h. abgetennt weden Veschiedene Stoffe besitzen unteschiedliche Elektonenaffinität; d.h. bei Beühung entzieht dejenige mit de gößeen Elektonenaffinität dem andeen so lange Elektonen, bis ein enegetische Gleichgewichtszustand hescht Nach Tennung beide Stoffe hat de mit de gößeen El.- affinität Elektonenübeschuß, de andee Elektonenmangel Wi bezeichnen diesen Zustand beide Stoffe mit elektisch geladen Veeinbaung De Elektonenübeschuß wid mit minus, de Elektonenmangel mit plus bezeichnet Vesuch Reibt man einen Glasstab ode Hatgummistab mit einem Wolllappen ode Fell, so weden danach Papieschnitzel, Feden, Haae etc. angezogen. Beobachtung de alten Giechen mit Benstein (Elekton). Volesungsfolien GdE I 8

19 Ekläung De die geladenen Stäbe umgebende Raum ist duch Anwesenheit de Ladungen in einen bestimmten Zustand vesetzt woden. E hat die physikalische Eigenschaft, auf Köpe Käfte auszuüben. Einen Raum mit besondeen Eigenschaften bezeichnet man in de Physik als Feld. Fazit: Elektisch geladene Köpe sind von elektischen Felden umgeben. Vesuch An einem dünnen Faden wid ein metallisietes Kügelchen aufgehängt. Ein (positiv) geladene Glasstab (s.o.) wid in die Nähe gebacht.. Beobachtung: Die Kugel wid angezogen. Gleiches passiet mit einem (negativ) geladenen Hatgummistab (Bild.). Bild. Volesungsfolien GdE I 9

20 Vesuch Wi beühen das Kügelchen mit einem de geladenen Stäbe.. Beobachtung: Von dem Stab, von dem es beüht wude, wid es anschließend abgestoßen, vom jeweils andeen Stab wid es angezogen (Bild.3). Bild.3 Ekläung Die este Beobachtung kann est späte im Abschnitt Influenz eklät weden. Zweite Beobachtung: Bei Beühung fließt Ladung vom Stab auf die Kugel. Beide tagen anschließend die gleiche Ladung und stoßen sich ab. De jeweils andee Stab (entgegengesetzt geladen) zieht die Kugel an. Fazit: Ladungen unteschiedlichen Vozeichens ziehen sich an, bei gleichem Vozeichen stoßen sie sich ab. Volesungsfolien GdE I 0

21 ..3 Ladungsehaltung, Leite und Nichtleite Weitee deatige Vesuche zeigen, dass die Ladungen (auf Stab und Lappen) entgegengesetzt sind. Wi stellen fest, dass mit de einen Ladungsat auch gleichzeitig die andee ezeugt wid. Vesuch 3 Wi eiben einen Stab und umhüllen diesen anschließend mit dem Lappen. Beides zusammen wid in die Nähe des Kügelchens gebacht: Keine Wikung! Tennen wi beide Teile: Anziehung! Fazit: Die Summe de ezeugten positiven und negativen elektischen Ladungen ist stets gleich Null. Vesuch 4 Beüht man das geladene Kügelchen (Bild.3) mit dem Finge, stellt man fest, dass es danach völlig unelektisch ist. Beüht man dagegen den Stab, so wid diese nu an de Beühstelle unelektisch. Volesungsfolien GdE I

22 Ekläung Duch Beühung mit dem Finge wid elektische Ladung abgefüht. Beim metallischen Kügelchen bewegen sich offensichtlich alle Ladungen zu Beühstelle und fließen dot ab. Beim Glas- ode Gummistab dagegen kann nu die Ladung an de Beühstelle abfließen. Einteilung in Leite und Nichtleite de elektischen Ladung. Elektische Leite: Metalle, Schmelzen, Lösungen, Isolatoen: Glas, Gummi, Vakuum, Kunststoffe, Holz, Vesuch 5 Vesuch wid wiedeholt, alledings im Vakuum, d.h. in einem evakuieten Glasgefäß (Bild.4). Bingt man einen geladenen Stab in die Nähe des Gefäßes, ist die Kaftwikung ohne mekliche Unteschiede sichtba. Esetzt man jedoch das Glasgefäß duch ein Metallgehäuse, ist die Kaftwikung nicht beobachtba. Bild.4 Volesungsfolien GdE I

23 Ekläung Das Feld duchdingt die Glaswand und ist auch im Vakuum vohanden. Damit können zwischen Stab und Kugel auch andee Isolatoen gebacht weden, ohne die Kaftwikung zu vehinden. Esetzt man das Glasvakuumgefäß jedoch duch ein Metallgefäß, wid das Feld offensichtlich abgeschimt. Fazit: In Isolatoen kann ein elektisches Feld existieen, duch Leite wid ein elektostatisches Feld abgeschimt.. Feldstäke und Coulombsches Gesetz Die Kaftwikung des el. Feldes soll nun mathematisch efaßt weden. Dazu wid in jedem Raumpunkt dem Feld ein Vekto zugewiesen: elektische Feldstäke. E Bild.5 Volesungsfolien GdE I 3

24 Definition: Elektische Feldstäke F E F QE, (.) E 3 E Bild.6 E E 4 Feststellungen:. Kaft wikt in Richtung de Vebindungslinie. Um das gesamtes Feld zu efassen: Pobeköpe an jeden Ot bingen Bild.7 Volesungsfolien GdE I 4

25 Vesuch Das Q in Gl. (.) ist zunächst nu eine Popotionalitätskonstante. Zu Deutung wid folgende Vesuch gemacht: B: Feld ezeugende Ladung, A: Pobeladung, die an einem Faden hängt Faden wid um α ausgelenkt Bild.8 Weitee Vesuch Kügelchen A wid mit gleichem ungeladenen Kügelchen A` beüht: Ausschlag s halbiet sich bei gleich goßem Abstand Fazit: Kaft auf A hängt nicht nu vom Feld ab (hat sich nicht geändet!), sonden auch vom Ladungszustand. Volesungsfolien GdE I 5

26 Ekläung Duch Beühung von A mit A` ist am Ladungszustand von A eine Ändeung aufgeteten. Esetzt man nun A duch A`, ändet sich s nicht. Beide Kugeln haben folglich die gleiche Ladung. Daduch ging die Kaft auf die Hälfte zuück. Q bezeichnet also die Ladungsmenge. Maßeinheit von Q ist Coulomb [C] Coulomb ist eine abgeleitete Einheit, es gilt C As Elementaladung Ode: 9 e,60 0 C (.) C 6,4 0 8 e Bemekungen e hat kummen Wet, da A die Basiseinheit ist (MKSA) Das Elekton hat negative Ladung, dahe egibt sich die Kaftichtung entgegen de Feldstäkeichtung Volesungsfolien GdE I 6

27 Vesuch Wid die Ladung von Kugel B veändet, stellt man fest, dass die Kaft auch popotional zu Ladung von B ist. Wid de Abstand vedoppelt, sinkt die Kaft auf ein Vietel. Coulombsches Gesetz (785) F QAQ k B (.3) Coulomb, Chales Augustin de, , fanz. Physike Bemekungen: k: Popotionalitätskonstante analog zu Gavitationsgesetz Coulombsches Gesetz gilt auch im atomaen Beeich Umscheiben von (.3) Vegleich mit (.) F E Q B A Q k Q k Damit gilt allgemein fü die Feldstäke eine Punktladung Q im Abstand : B B (.4) (.5) Q E k (.6) Volesungsfolien GdE I 7

28 Übelageung von Felden Mehee Punktladungen: jede fü sich ezeugt elektisches Feld Teilfelde übelagen sich linea zu Gesamtfeld, da E Q Feldstäke in P fü dei Ladungen Q, Q und Q 3 mit den Abständen ip von Q i (i,,3) zu P: Bild.9 Damit wid E k i Q i ip fü i,,3 (.7) Volesungsfolien GdE I 8

29 Allgemein gilt also bei n Punktladungen: E E + E + K+ n E n E i i (.8) wobei die Addition vektoiell duchgefüht weden muß..3 Feldlinien, Feldlinienbilde In den Bilden.6 und.7 sind in einigen Punkten des Raumes um die Ladungen Feldstäkevektoen eingetagen: fü alle Punkte ist das nicht möglich besse Feldlinien! Bild.0a Man wandet z.b. von + nach - und ändet die Richtung stets gemäß de Richtung de Feldstäke, d.h. man bildet eine Linie aus allen Pfeil-Fußpunkten. Volesungsfolien GdE I 9

30 Geht man in veschiedene Richtungen von + nach -, ehält man ein Feldlinienbild: Bild.0b Die Tangente an eine Feldlinie zeigt die Richtung de Feldstäke Gaphische Näheung Feldliniendichte Maß f. Betag de Feldstäke Bild. Volesungsfolien GdE I 30

31 Veanschaulichung von Felden: Metallfolie auf eine Glasplatte + kleine Könchen von Gipspulve a) ungleichnamige Punktladungen b) gleichnamige Punktladungen c) Paallele Platten (teilweise homogen) Bild. a-c Volesungsfolien GdE I 3

32 d) Radialfeld in koaxiale Anodnung e) Metallische Rahmen zwischen zwei Platten f) Punktladung vo Platte Bild. d-f Volesungsfolien GdE I 3

33 Ekenntnisse. Feldlinien haben im el.statischen Fall stets einen Anfangsund einen Endpunkt.. Quellen und Senken de elektischen Feldlinien sind die positiven bzw. negativen Ladungen. 3. In Bild. liegen die Senken im Unendlichen. 4. Übeschneidungen von Feldlinien teten nicht auf, d.h. die Feldstäke hat stets eine eindeutige Richtung. 5. Beeiche eines Feldes, in dem Feldlinien geadlinig und paallel velaufen, weden homogen genannt ( Bild.c). 6. Andenfalls ist das Feld inhomogen. Dies ist meist de Fall. 7. Das Radialfeld ist ein spezielles inhomogenes Feld (Bild.d). Hie laufen die Linien stahlenfömig von einem gemeinsamen Mittelpunkt ausgehend. 8. Innehalb eine metallischen Abschimung existiet kein Feld (Bild.d, e) Abschimung von Felden duch Leite 9. Elektische Feldlinien münden auf metallischen Obeflächen stets senkecht (Bild.a - f). Andenfalls wüde eine Tangentialkaft die fei beweglichen Ladungen sofot ausichten. 0. Ladungen auf einem Leite befinden sich auf dessen Obefläche: Ändet man z.b. in Bild. e den inneen Rohduchmesse ode esetzt das Roh duch einen massiven Stab, ändet sich nichts. Da sich gleichatige Ladungstäge abstoßen, wollen diese möglichst weit voneinande weg. Volesungsfolien GdE I 33

34 .4 Bewegung eine Ladung im elektischen Feld- Abeit, Potential, Spannung Die Vesuche zeigten, dass im elektischen Feld auf eine Ladung Kaft ausgeübt wid: Veschiebt man eine positive Ladung in Gegenichtung zum Feld, muss entlang eines Weges Kaft aufgebacht weden, d.h. es wid Abeit veichtet, die von außen kommt. Efolgt die Bewegung in Feldstäkeichtung, dann veichtet das Feld Abeit. Veeinbaung Abeit wid als positiv bezeichnet, wenn diese vom Feld veichtet wid (d.h. Kaft zeigt in Wegichtung). Die Abeit ist eine skalae, d.h. ungeichtete Göße. Analog zu Mechanik, ist sie definiet als Podukt aus de längs des Weges wikenden Kaft (ode Kaftanteil) und dem zuückgelegten Weg. Einfachste Fall: Q wid um s im Feld veschoben. W F s. (.9) Volesungsfolien GdE I 34

35 Im allgemeinen sind Bewegungsichtung de Ladung und Richtung de Kaft unteschiedlich: a) b) Bild.3 In Bild.3b wikt längs des Weges von P nach P nu noch Fcosα, damit gilt: W F s cos(α) (.0) Einfachee Scheibweise: Wegstück s als Vekto dastellen und skala mit Vekto multiplizieen. F (.) W F s QE s Skalapodukt zweie Vektoen: Podukt de Betäge mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels Bishe: kleine geadlinige Weg, dahe ändete sich die Kaft längs des Weges nicht. Volesungsfolien GdE I 35

36 Jetzt soll längee Weg im Feld eine geladenen Kugel (Bild.4) gewählt weden, dann ändet sich die Feldstäke längs des Weges seh stak: Bild.4 Zu Beechnung de Gesamtabeit zwischen P und P wid de Weg in n kleine Geadenstücke mit den Vektoen s i zelegt. Die Feldstäke ändet sich längs des Abschnitts nicht, dahe gilt fü die Summe de Teilabeiten: W n i W i Q n i E i s i (.) Je feine die Unteteilung gewählt wid (d.h. je göße n), desto genaue das Egebnis. Läßt man n nach unendlich gehen, wid das Egebnis exakt: W limq n n i E i s i Q P P E ds (.3) Volesungsfolien GdE I 36

37 wobei aus s das infinitesimal kleine Wegelement gewoden ist. ds Die Integation ist längs des Weges von P nach P auszufühen. Man bezeichnet das Integal dahe als Linienintegal de Feldstäke übe den Weg. Fage: Hängt hie die Abeit vom Velauf des Weges zwischen P und P ab? Beispiel: Bild.5 Antwot: Zunächst ist kla W, - W, längs des Weges C, da fü die umgekehte Richtung nu das Wegelement ds, die Richtung bzw. das Vozeichen ändet. Wenn man nun von P nach P übe C und dann nach P übe C läuft, muss die Gesamtabeit Null weden, da P de Ausgangspunkt ist und sich das Feld nicht geändet hat. Damit ist kla: Die Abeit ist unabhängig vom Weg! Volesungsfolien GdE I 37

38 Allgemein fomuliet: Q P P E ds Q P P E ds (.4) ode: C C E ds 0 (.5) Das Linienintegal de elektischen Feldstäke im elektostatischen Feld längs eines geschlossenen Weges ist Null. Bemekungen: De Keis im Integal bezeichnet einen geschlossenen Weg. Ein solches Feld nennt man wibelfei. Dies bedeutet weitehin, dass die Feldlinien in sich nicht geschlossen sind. Fazit: Elektostatische Felde haben keine in sich geschlossenen Feldlinien. Sie sind wibelfei. Volesungsfolien GdE I 38

39 Mit Gl. (.4) soll nun zu Auswetung von Gl. (.3) ein möglichst einfache Integationsweg gewählt weden: Bild.6 Die Gesamtabeit fü das Bewegen eine Ladung Q von P nach P in einem zunächst beliebigen Feld E : Fü Teilabschnitt gilt: W W + + W W3 W x Q E ds Q E e x dx Q Exdx Q x () () () ds dxe x E E (x,y,z wobei gesetzt wude, mit als Einheitsvekto in Richtung x-koodinate und E e x x als Pojektion des Vektos auf die x-richtung. e x )dx, Volesungsfolien GdE I 39

40 Volesungsfolien GdE I 40 Analog geht man fü die Abschnitte und 3 vo. Mit den Pojektionen des Vektos auf die jeweilige Koodinatenachse ehält man f. d.. Gesamtabeit: z y x E E E,, E + + ),, ( ),, ( ),, ( y y z z z y x x x dz z y x E Q dy z y x E Q dx z y x E Q W (.6) Beispiel: Zu Anwendung de Gl. (.6) betachten wi die Abeit im Feld eine Punktladung Q, die im Uspung des Koodinatensystems von Bild.6 liegt. De Betag des Feldes von Q lautet: Q E k und veläuft in adiale Richtung. Die Pojektionen des Vektos auf die jeweiligen Teilstecken sind dann: z y x E E E,, E z E E y E E x E E z y x,, Die Abeit fü die este Teilstecke lautet: 3 ),, ( x x x x x x x dx x kqq dx x E Q dx z y x E Q W

41 Volesungsfolien GdE I 4 Mit gilt: z y x + +. ) ( 3 dx z y x x kqq W x x + + Egebnis f. Integation (s. Mathevolesung bzw. Integaltafel): ) ( x x z y x kqq W / ) ( ) ( z y x z y x kqq Analog ehält man fü die beiden andeen Teilstecken: / ) ( ) ( z y x z y x kqq W / 3 ) ( ) ( z y x z y x kqq W

42 Damit wid die Gesamtabeit: W W + W + W 3 kqq ( ) Fazit: Wie auch imme de Integationsweg gewählt wid, das Egebnis ist nu vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Aus diesem Gund ist es sinnvoll, jedem Punkt im Feld einen chaakteistischen Funktionswet zuzuodnen: Potential Φ(P) Definition: Potential Φ P P E ds ( Φ P ) Φ( P) ) ( (.7) Bemekungen: Minuszeichen: Wenn Feld- und Wegichtung übeeinstimmen, ist das Integal positiv (siehe Veeinbaung V3, S). Dann abe ist das Potential des Endpunktes P geinge als das des Anfangpunktes P! Volesungsfolien GdE I 4

43 Bemekungen (Fotsetzung): Zu Φ(P) kann eine beliebige Konstante addiet ode subtahiet weden: das Egebnis des Linienintegals ändet sich daduch nicht. Im allgemeinen wählt man das Potential de Ede ode des unendlich fenen Raumes zu Null. Ist das Potential in jedem Raumpunkt bekannt, dann ist auch das Feld eindeutig festgelegt. Anstelle des Vektos E kann auch die skalae Göße Φ vewendet weden. Sind die Punkte P und P seh nahe zusammen (infinitesimal), dann wid aus Gl. (.7): ode E ds dφ E dφ ds (a) (b) (.8) Gl. (.8) ist zunächst fomal, späte folgt genaue Fomulieung. Fü die Potentialdiffeenz in (.7) scheibt man abgeküzt: Φ( P ) Φ( P ) U P E P ds (.9) Volesungsfolien GdE I 43

44 U bezeichnet die elektische Spannung zwischen P und P. Diese ist also als Linienintegal de elektischen Feldstäke definiet. Fazit: Abeit und Spannung Die Abeit, die das Feld bei Veschiebung eine Ladung Q von P nach P veichtet, ist gleich dem Podukt aus Ladung und elektische Spannung zwischen P und P. Bemekungen: Das Potential ist demnach ein Maß fü die Enegie, die eine positive Pobeladung aufnimmt, wenn sie im Feld vom Potential Null auf ein höhees Potential veschoben wid. Diese Enegie bezeichnet man als potentielle Enegie. Fazit: Potentielle Enegie Die potentielle Enegie eine Ladung im Feld ist (bezogen auf den Nullpunkt) gleich dem Podukt aus Potential und Ladung. ode: W pot Q(Φ Φ ) QU 0 Volesungsfolien GdE I 44

45 Bemekungen: Elektische Spannung und Potential sind seh nützlich, da sie diekt angeben, welche Abeit das Feld po Ladungseinheit veichten kann. Die Einheit de Spannung ist das Volt (Volta, Gaf Alessando, , italienische Physike). Die Einheit Volt ist so festgelegt, dass gilt: also gilt: kg m VC VAs Nm s (.0) kg m V (.) 3 A s Die Einheit fü Abeit ist Joule J, und es ist J VAs Nm. In de Elektotechnik kommt selten die Masse diekt vo, dahe ist es üblich, die Einheiten Mete, Sekunde, Ampee und Volt zu benutzen. Die Dimension de Feldstäke ist nach Gln. (.7) und (.8) gleich de Dimension de Spannung dividiet duch die Dimension de Länge. Damit lautet die Einheit de Feldstäke: [E] V/m, die keine eigene Bezeichnung hat. Volesungsfolien GdE I 45

46 Felddastellung mit Potentialen: Man bezeichnet eine Fläche, auf de das Potential konstant ist, als Äquipotentialfläche. Gl. (.8a) zeigt, wie diese Flächen bestimmt weden können: Bild.7 Äquipotentialfläche: E ds mit E 0 dφ 0 folgt daaus: E ds da E ds E ds cos( 90 ) 0 Volesungsfolien GdE I 46

47 Bemekungen: Im Bild.7 sind Teile von vie Äquipotentialflächen dagestellt. Ändet sich das Potential von Fläche zu Fläche um denselben Wet, kann man aus dem Abstand auf die elative Göße de Feldstäke schließen. Die Feldstäke ist dot göße, wo de Abstand kleine ist. Fazit: Leiteobeflächen Da auf Leiteobeflächen die Feldlinien senkecht münden, sind diese imme Äquipotentialflächen. Beispiele:. Feld eine Punktladung mit Äquipotentialflächen Bild.8a Volesungsfolien GdE I 47

48 . Feld eine Paallelplattenanodnung mit Äquipotentialflächen 3. Beechnung des Potentials eine Punktladung Benutzt wid Gl. (.9). P liegt im Unendlichen, damit ist Φ(P ) 0. Integiet man von de Kugelfläche im Abstand bis, dann ist E E ds E d E d E d, ds ds d denn und haben die gleiche Richtung. Ebenso ist. Mit Gl. (.9) gilt: E ds E d Φ( ) Φ( ) Φ( ) Volesungsfolien GdE I 48

49 Fü E Gl. (.6) eingesetzt liefet: Q Φ( ) k d kq kq (.3) damit wid Q Φ ( ) k. (.4) De Potentialvelauf de Punktladung ist in Bild.9 dagestellt. Bild.9 Volesungsfolien GdE I 49

50 Bemekungen: Esetzt man eine Kugelfläche in Bild.8a duch eine metallische Hohlkugel und bingt die Ladung Q auf die Obefläche diese Kugel, dann veteilen sich diese an de Obefläche. Damit ändet sich am Feld außehalb de Kugel nichts. Das Innee de Kugel ist feldfei. Damit kann die Hohlkugel auch ausgefüllt weden. Wenn man die Ladung gleichmäßig veteilt, kann die Kugel aus beliebigem Mateial sein. Hat die Kugel den Radius a, dann gelten fü a die Gln. (.6) und (.4) Φ K in Bild.9 ist das konstante Potential de Kugel. Anstelle von Gl. (.4) kann auch geschieben weden: Φ( ) Φ K a Volesungsfolien GdE I 50

51 .5 Ungeladene Leite im statischen elektischen Feld.5. Influenz Vesuch Bingt man in das Feld eine positiv geladenen Kugel einen Metallstab (Bild.0), Bild.0 dann zeigt sich, dass de zunächst ungeladene Stab geladen ist: Auf de Kugel zugewandten Seite negativ, auf de abgewandten positiv. Diese Ladung wid als Influenzladung bezeichnet. (Das Vohandensein de influenzieten Ladung kann mit eine kleinen metallischen Pobekugel übepüft weden: siehe V). Ekläung: Die im Leite fei beweglichen Elektonen weden duch die positiv geladene Kugel angezogen, am andeen Ende bleibt positive Ladung zuück. Volesungsfolien GdE I 5

52 Influenzkaft Die Influenz eklät, waum die ungeladene metallisiete Kugel in Bild. von beiden geladenen Stäben angezogen wid: Die anziehende Kaft auf die influenziete Gegenladung ist göße als die abstoßende Kaft am gegenübeliegenden Ende, weil sich die Gegenladung im Beeich höhee Feldstäke befindet. Vesuch Nun soll die Göße de influenzieten Ladung bestimmt weden, indem die beiden gegennamig geladenen Teile (z.b. des Stabes) noch im Feld getennt weden. Dazu nimmt man besse zwei gleiche Metallscheiben mit isolieten Giffen (Bild.): Bild.a Ist die Doppelscheibe ode das Doppelplättchen genügend dünn, dann wid das homogene Feld nicht gestöt, solange die Scheiben zusammen sind und senkecht zum Feld liegen. Volesungsfolien GdE I 5

53 Anschließend weden die Scheiben im Feld getennt: Bild.b und aus dem Feld heausgebacht: Bild.c Zum Schluss wid die Ladung auf einem de Plättchen gemessen. Veändet man nun in diesem Vesuch einmal die Scheibenfläche A, zum zweiten die Feldstäke E, dann stellt man fest: Q i E, sowie Q i A Volesungsfolien GdE I 53

54 Zusammengefasst egibt dies: Q i ε 0 AE (.5) Die Popotionalitätskonstante ε 0 fü den leeen Raum (Index 0) hat den Wet: ε 8, As Vm (.6) Diese Wet de Pemittivität (Dielektizitätskonstante, Influenzkonstante, u.a.) gilt auch fü den luftgefüllten Raum. Aufgund de Vesuchsanodnung gilt Gl. (.5) zunächst nu im homogenen Feld. Fü den Fall eines inhomogenen Feldes machen wi A genügend klein: Q i ε E A (.7) 0 Weden beide Seiten duch A dividiet und de Genzwet A 0 gebildet: ρ E (.8) Fi ε 0 mit ρ Fi de Flächendichte de influenzieten (ode veschobenen) Ladung. Volesungsfolien GdE I 54

55 .5. De Faadaysche Bechevesuch Vesuch Ein ungeladene Metallkasten (Bild.), de auf einem isolieenden Fuß aufgestellt ist, besitzt auf seine Obeseite eine kleine Öffnung: Bild. Duch die Öffnung wid eine kleine positiv geladene Metallkugel in das Innee des Kastens gebacht, ohne die Wand zu beühen (Bild. a,b). Beobachtung: Es wid auf de Innenseite des Kastens eine negative und außen eine positive Ladung influenziet (veschoben) (Bild.b). Volesungsfolien GdE I 55

56 Nun wid das elektische Feld außehalb des Kastens (z.b. mit eine Pobeladung wie in Bild.8) gemessen. Beobachtung: Das Feld außehalb des Kastens ist unabhängig vom Ot de Kugel innehalb des Kastens. Jetzt soll die Kugel den Boden des Kastens beühen (.c). Beobachtung: Außehalb des Kastens ändet sich nichts. Die Kaftwikung bzw. das Feld bleibt gleich. Jetzt wid die Kugel heausgezogen (d): Das Feld ändet sich wiede nicht, alledings ist die Kugel nicht meh geladen. Ekläung: Beim Beühen gleichen sich die Ladungen de Kugel und des Kasteninneen aus. Die Ladung auf dem Kastenäußeen bleibt ehalten. D.h. sie kann sich nicht meh ausgleichen, da die Ladung innen veschwunden ist. Fazit: Die Göße de influenzieten Ladungen auf de Innenund Außenseite des Kastens ist betagsmäßig jeweils gleich de Göße de Ladung de Kugel. Volesungsfolien GdE I 56

57 Das Egebnis des Vesuchs kann auch so gedeutet weden: Die Kugel gibt bei Beühung im Kasten ihe ganze (hie: positive) Ladung ab. Die Ladung wandet (wg. gegenseitige Abstoßung) nach außen auf die Obefläche des Kastens. De Innenaum eines leitenden Hohlköpes ist feldfei. Modellvostellung: Positive Ladungstäge Anschließend wid de Vesuch wiedeholt (Bild.e), indem in den beeits geladenen Kasten eine eneut auf den gleichen Wet geladene Kugel eingefüht wid. Diese soll wiede den Boden (innen) beühen. Ihe gesamte Ladung fließt auf den Kasten ab. Die entladene Kugel kann wiede heausgenommen weden. Bei jedem eneuten Einfühen steigt die Ladung des Kastens an. Dieses Pinzip fühte zu Konstuktion des Hochspannungsgeneatos nach van de Gaf (van de Gaf, Robet, Jemison , ameikanische Physike) Bild.3 Volesungsfolien GdE I 57

58 .6 Die elektische Veschiebungsdichte.6. Fluss eines Vektofeldes Zunächst soll fü dei veschiedene Flächen A, A, A 3 de Fluss des Feldes zweie Punktladungen (Bild.4) betachtet weden: Bild.4 Die Flächen können offen ode geschlossen sein. De Fluss kann anschaulich duch die Zahl de Feldlinien, die duch die Fläche teten, angegeben weden. Volesungsfolien GdE I 58

59 Veeinbaung Bei eine geschlossenen Fläche wid de Fluss positiv gezählt, wenn die Feldlinien aus de Fläche heausteten. Beispiele: De Fluss duch A ist demnach positiv zu zählen. Wüde A um die negative Ladung gelegt, hätte de Fluss einen negativen Wet. Duch A 3 teten genau gleich viele Linien ein und aus. De Fluss duch diese Fläche ist somit Null. Fü offene Flächen muss ein Richtungspfeil Z ψ vogegeben weden, in dessen Richtung de Fluss positiv gezählt wid: Bild.5 Volesungsfolien GdE I 59

60 Zu Beechnung des Flusses ψ in einem homogenen Feld de Fluss duch die Fläche A gegeben duch (Bild.5): ψ B A, (.9) B ist denn die Zahl de Feldlinien duch eine senkechte Fläche ist bestimmt duch die Feldliniendichte x Fläche, da die Feldliniendichte ein Maß fü den Betag des Feldvektos, hie B, ist. Außedem ist die Zahl de Feldlinien duch A gleich de Zahl de Feldlinien duch die Fläche A. A Acos(α) Mit und Einfühung eines Flächenvektos gilt: A A B A ψ (.30) De Betag von ist gleich de Fläche A, die Richtung entspicht de Flächennomalen. Ist das Feld inhomogen, wie z.b. in Bild.4, dann zelegt man die Gesamtfläche in kleine Teilflächen A i mit den Flächenvektoen (i,,..., n). A i Im Beeich eine solchen Teilfläche sei das Feld homogen. Volesungsfolien GdE I 60

61 Duch Aufsummieen alle Teilflüsse ehält man: n i B i A i ψ (.3) Nun wid wiede de Genzwet fü n gegen unendlich gebildet und man ehält: da ψ da (.3) B ( A) Die Richtung von ist nach Veeinbaung bei geschlossenen Flächen stets die nach außen zeigende Nomalenichtung. da Bei offenen Flächen steht auf de Seite, aus de Z ψ heauszeigt (vgl. auf A 3 in Bild.4). A i Volesungsfolien GdE I 6

62 .6. De Fluss (Eegung) des elektischen Feldes Duch alle bisheigen Vesuche ist kla, dass zwischen dem Zustand des Raumes ( Feld) und den Ladungen ein usächliche Zusammenhang besteht. Doch die zunächst vemutete Fenwikung (Coulombsches Gesetz) ist tatsächlich eine Nahwikung von Raumpunkt zu Raumpunkt nach Faaday: Fazit: Nicht die Ladungen, sonden de Raum ist de Täge de elektischen Käfte. Diese pflanzen sich, beginnend bei den Ladungen, von Punkt zu Punkt im Raum fot. (Faaday, Michael, , engl. Physike und Chemike) Aus diese Nahwikungstheoie egeben sich einige Fagen: wie lange dauet es, bis die Kaftwikung von eine Ladung bis zu einem bestimmten Punkt im Raum gelangt? welche Bedeutung hat die sich in diesem Raum befindende Mateie? Fü die Beantwotung diese Fagen ist es noch zu füh, abe eine weitee Bescheibung fü das elektische Feld macht die Antwot voläufig noch nicht efodelich: die el. Eegung ode elektische Flussdichte ode elektische Veschiebungsdichte. Volesungsfolien GdE I 6

63 Dazu betachten wi nochmal Bild. a: Quellen Senken Quellen Senken Damit folgt, dass das Feld untehalb de Doppelscheibe, das uspünglich von de obeen Platte ausging, nun in de gleichen Fom von de Unteseite de unteen Scheibe ausgeht. Gl. (.7) beschieb die Göße eine deatigen kleinen Quelle (im inhomogenen Feld): ( A) ρ da Q Fi i ( A) ε E da 0, (.7*) wobei beide Seiten übe die gesamte Fläche, auf de die Ladungen sitzen, integiet weden. Volesungsfolien GdE I 63

64 Vegleicht man Gl. (.7) nun mit Gl. (.3): ψ B ( A) da, dann ekennt man, dass eine neue Göße D ε 0 E E (.33) als Fluss des Vektos gedeutet weden kann. Diesen neuen Vekto nennt man elektische Veschiebung(sdichte) ode elektische Eegung D, die in jedem Punkt des Raumes als Usache des elektischen Feldes angesehen weden kann. E De Betag de elektischen Veschiebung ist gleich de Flächenladungsdichte de influenzieten Ladung de Doppelscheibe: ρ Fi D Aus dem Faadayschen Bechevesuch wissen wi, dass die influenziete Gesamtladung auf de Außenseite eine geschlossenen Fläche gleich de eingeschlossenen Ladung Q ist (siehe Gl. (.7)) Volesungsfolien GdE I 64

65 ψ Fü den Gesamtfluss D des Vektos duch eine geschlossene Fläche gilt dann: ψ D D da Q, (.34) da wenn das Flächenelement beliebig zum Feld liegt. Gl. (.34) ist die mathematische Fomulieung des Satzes von Gauß. D Gaußsche Satz: Duch eine beliebige geschlossene Fläche ist de Gesamtfluss de elektischen Veschiebung (Eegung) gleich dem Wet de Ladung innehalb de Fläche. (Gauß, Cal Fiedich, , deutsche Mathematike, Astonom und Physike) Feldquellen: a) Einzelladungen Bild.6a Volesungsfolien GdE I 65

66 b) Raumladung Bild.6b Fü den Fall a) gilt: Q n i Q i (.35) Fü Fall b) gilt Q i Vi ρ dv V x y z ρ dzdydx ρ (.36) Ladungen außehalb de Fläche A düfen nicht beücksichtigt weden. Volesungsfolien GdE I 66

67 Beispiel: Bestimmung de Konstanten k im Coulombschen Gesetz. Dazu soll Gl. (.34) auf das Feld eine Punktladung ode eine geladenen Kugel mit de Ladung Q angewandt weden: Bild.7 Als geschlossene Fläche A um diesen Köpe wählen wi wegen de Kugelsymmetie eine konzentische Kugelschale. Auf so eine Schale haben die Vektoen E, D, da die gleiche Richtung. Mit dem Satz von Gauß gilt: Q D da ε E da ε EdA. 0 0 Weitehin ist de Betag des el. Feldes übeall auf de Kugelschale konstant, d.h. E ist keine Funktion von Θ und Φ (d.h. den beiden Winkel de Kugelkoodinaten). Volesungsfolien GdE I 67

68 Dahe: E kann vo das Integal gezogen weden! Damit gilt: Q ε π 0 E da ε 0 E 4 ode E Q 4πε 0 (.37) Duch Vegleich mit Gl. (.6) ehält man: k 4πε 0 Weitee Rechenbeispiele dazu weden in den Übungen gebacht! Volesungsfolien GdE I 68

69 .7 Die Kapazität.7. Begiff und Beechnungsgleichung Bei vielen Anodnungen, in denen ein elektisches Feld vohanden ist, inteessieen oftmals nu Gößen, die das Gesamtfeld von außen he chaakteisieen: z.b. die elektische Spannung und die elektische Ladung. Beides sind integale Gößen, d.h. sie weden duch Aufsummieen des Feldvehaltens längs eine Linie bzw. auf eine Geschlossenen Fläche emittelt. Welche Zusammenhang besteht zwischen U und Q am Beispiel zweie paallele Platten (Bild.33)? Bild.33 Annahmen: die Ladungen seien entgegensetzt gleich goß, das Feld zwischen den Platten sei homogen, Steufelde außehalb weden venachlässigt (Annahmen teffen zu, wenn d <<l). Volesungsfolien GdE I 69

70 Die Spannung zwischen den Platten betägt dann d U E ds E ds E d Linie und de Gaußsche Satz f. d. positiv geladene Platte egibt: 0 Q D da Q D A ε0 E A. Die Göße E eliminiet egibt: Q 0 A ε U. (.39) d De Popotionalitätsfakto zwischen Q und U wid mit C bezeichnet und Kapazität genannt. Definition de Kapazität: Q C U (.40) Bemekungen: Die Kapazität ist nu von de Geometie und von de Mateie im Feldaum abhängig. Ehöht man die Spannung, ehöht sich auch die Ladung. Bei vogegebene Spannung wid die Ladung umso göße, je göße die Kapazität ( Speichevemögen) ist. Volesungsfolien GdE I 70

71 Kapazität eine allgemeinen Anodnung aus leitenden Köpen im feien Raum: Bild.34 Die beiden Köpe haben die entgegengesetzt gleich goße Ladung Q. Dann beginnen und enden alle Feldlinien auf dem entspechenden Köpe. Die Kapazität ehält man nun aus Gl. (.40) duch Einsetzen de Gln. (.34) und (.9): Q A C b U a D da E ds (.4) Dies ist die allgemeine Bestimmungsgleichung de Kapazität. Volesungsfolien GdE I 7

72 Bemekungen: Legt man die geschlossenen Fläche A um den Köpe mit de positiven Ladung (Bild.34), dann ist das Linienintegal vom positiven zum negativen Köpe zu beechnen (von a nach b), damit sich fü C stets ein positive Wet egibt. Die Dimension de Kapazität ist gegeben duch: dim[ Q] dim[ C] dim[ U] I T ML 4 Die (abgeleitete) Einheit egibt sich zu: [ Q] [ C] [ U ] As V Da die Göße Kapazität seh oft gebaucht wid, besitzt sie eine eigene Einheit: das Faad (nach Faaday). F wid fü gewöhnlich nicht eeicht. Beispiel: d mm, A 0 cm C 3 A As 0 m ε 8, d Vm 0 m 0 8,85pF Liegt zwischen den Platten eine Spannung von 00 V an, dann tägt jede Platte eine Ladung von: Q CU 8,85 pf 00V 8, As Volesungsfolien GdE I 7

73 .7. Kondensatoen und Beispiele fü Kapazitätsbeechnungen siehe Übungen!.7.3 Zusammenschalten von Kondensatoen Paallelschaltung Kondensatoen weden unabhängig von ihe tatsächlichen Baufom symbolisch als Paallelplatten gezeichnet. Bei de Paallelschaltung (Bild.43) weden die Platten mit gleichnamigen Ladungen vebunden. Weitehin liegt an allen Kondensatoen C... C n stets die gleiche Spannung U an. Bild.43 Damit ist die Ladung de obeen Platte des i-ten Kondensato gegeben duch Q i U C i. Damit wid die Gesamtladung alle zusammengeschalteten Platten eine Seite: n Q ges Q U Ci U n i i i C ges Volesungsfolien GdE I 73

74 Daaus egibt sich fü die Gesamtkapazität de Paallelschaltung: (.46) In Woten: Bei de Paallelschaltung addieen sich die Kapazitäten de einzelnen Kondensatoen zu Gesamtkapazität. Reihenschaltung n C ges C i i Sind die Kondensatoen vo dem Zusammenschalten ungeladen, muss nach dem Zusammenschalten und nach Aufbingen eine Ladung übe die gemeinsame Zuleitung jede de Platten den gleichen Ladungsbetag aufweisen. Bild.44 Die jeweils miteinande vebundenen Platten tagen entgegengesetzt geichtete Ladungen. Die Feldstäke ist hie von links nach echts geichtet, d.h. die Spannungspfeile zeigen auch von links nach echts. Die Gesamtspannung ist die Summe de Einzelspannungen : U i Q C i Volesungsfolien GdE I 74

75 Damit egibt sich fü die Reihenschaltung: n n U Ui Q C Q C i i i ges. So wid die Gesamtkapazität fü die Reihenschaltung n Cges i C i (.47) In Woten: Bei de Reihenschaltung von Kondensatoen addieen sich die Kehwete de Kapazitäten de einzelnen Kondensatoen zum Kehwet de Gesamtkapazität. Bemekungen: Voaussetzung fü die Gln. (.46) und (.47) ist, dass sich die Feldfomen de Kondensatoen duch das Zusammenschalten nicht änden. Eine Ändeung kann efolgen, wenn sich die Steufelde gegenseitig beeinflussen. Beispiel: Bild.45 Volesungsfolien GdE I 75

76 .8 Enegie und Käfte im elektostatischen Feld.8. Enegie und Enegiedichte Voübelegungen: In de zweiten Volesung wuden duch Reiben Ladungen getennt. Da die entgegengesetzten Ladungen sich anziehen, muß mechanische Abeit zum Tennen de Ladungen aufgebacht weden. Nach dem Pinzip de Enegieehaltung entspicht diese mechanische Enegie de elektischen Feldenegie (die im elektischen Feld gespeichet ist). Enegie im Feld von Punktladungen Die Abeit, die veichtet weden muss, um eine Ladung Q aus dem Unendlichen auf den Abstand an eine Ladung Q heanzubingen entspicht de im Feld aufgenommenen Enegie W E : also W E + Q W Q E ds Q [ Φ ( ) Φ ( ) ], W E E d Q Q. (.48) πε 4 0 Man beachte, dass gemäß Veeinbaung die vom Feld veichtete Abeit positiv gewetet wid. Volesungsfolien GdE I 76

77 Wid nun eine weitee Ladung Q 3 aus dem Unendlichen in das Feld von Q und Q heangeholt, muss Abeit gegen die Gesamtkaft aufgebacht weden. Diese ehält man duch lineae Übelageung de Einzelkäfte. Die Gesamtabeit egibt sich duch Addition de Teilabeiten, wenn jeweils nu Q ode Q vohanden wäe. z.b. 4 Ladungen Q, Q, Q 3, Q 4 : W E QQ 4 πε0 QQ QQ QQ QQ Q3Q , damit gilt fü n Ladungen mit den Abständen ik zwischen Q i und Q k : W E 4πε 0 n n i k i+ QiQ ik k 4πε 0 n n i k k i QiQ ik k. (.49) De zweite Teil von Gl. (.49) beuht daauf, dass z.b. QQ Q Q gilt. Volesungsfolien GdE I 77

78 Fazit: Die elektostatische Gesamtenegie aus n Ladungen ist gleich de Summe de Enegie alle Ladungspaae. Damit spielt es auch keine Rolle, in welche Reihenfolge die Ladungen heangeholt weden. Enegie eines Kugelkondensatos Zunächst soll die Enegie des Feldes ohne die äußee Kugel beechnet weden. Dazu wid das Potential de inneen Kugel (Radius, Ladung q) benötigt: Φ( q) q 4π ε 0 Duch Vegößeung de Ladung q um eine kleine Ladung dq, die aus dem Unendlichen hebeigeschafft wid, wid die Enegie des Feldes um dw E ehöht: dw E Φ( q)dq q 4π ε 0 dq Die Gesamtenegie ehält man duch Aufsummieen alle dw E W E W E dw qdq E 4π ε Q Q π ε 0 (.50) Volesungsfolien GdE I 78

79 Die Enegie des Kugelkondensatos mit de äußeen Hohlkugel (Radius ) könnte nun beechnet weden duch Tanspot von Gegenladungen (-dq) aus dem Unendlichen an den Ot de Innenseite de äußeen Kugel. Duch Übelegen und Anwendung von Gl. (.50) geht es leichte. Zunächst wid die goße, ungeladene Kugel ( ) eingesetzt (Bild.47a): Bild.47a Diese bildet Influenzladungen und das Feld im Außenaum bleibt unveändet. Das Feld im Außenaum > wid duch Ladungen de Gesamtgöße Q auf de Außenfläche de äußeen Hohlkugel mit de Enegie (Gl. (.50)) ezeugt: W E Q 8π ε 0 Volesungsfolien GdE I 79

80 Beim Kugelkondensato ist jedoch das Feld im Außenaum Null. Dahe muss die Enegie des im Außenaum duch Influenz ezeugten Feldes abgezogen weden: W E Kugel Q 8πε 0 (.5) Damit ehält man die Anodnung in Bild.47b, Bild.47b wobei man sich vostellen kann, dass die Ladungen de Außenseite duch einen Daht zum Potential Null ( Masse ) geleitet weden. Mit de Spannung im Kugelkondensato (s. Übung) U Q 4π ε 0 (.4*) Volesungsfolien GdE I 80

81 wid damit Q W EK U CU Q C. (.5a) Enegiespeicheung im beliebigen Kondensato Es soll nun gezeigt weden, dass Gl. (.5a) fü beliebige Kondensatoanodnungen gilt. Dazu wid nochmals Bild.34 vewendet: + q - q Die Ladungen de Leite seien q bzw. -q. Dann hescht die Spannung U q C. Dem einen Leite wid dann die Ladung dq entzogen und zum andeen tanspotiet. De dazu efodeliche Enegieaufwand betägt: dw E U ( q)dq C q dq Volesungsfolien GdE I 8

82 De gesamte Enegie- ode Abeitsaufwand bis zum Aufladen auf die Ladung Q betägt: W E W E dw q dq E C 0 0 Q C Q Gespeichete Enegie im Kondensato W Q CU QU E C (.5) Bestimmung de Enegiedichte Felde sind im allgemeinen inhomogen. Damit ist auch die Feldenegie inhomogen veteilt. Die Enegiekonzentation kann duch die Enegiedichte beschieben weden. Zu Bestimmung sollen zwei dünne Metallscheiben senkecht zu den Feldlinien Bild.48 eingebacht weden. Volesungsfolien GdE I 8

83 Diese bilden einen kleinen Plattenkondensato mit dem Volumen V A l. Sind die Abmessungen klein genug, ist in ihm das Feld homogen. De Enegieinhalt ist mit den Gln. (.5), (.34) und (.9) gegeben: W E D A E l DE V Die Enegiedichte (Enegie po Volumen) egibt sich zu: w E W V E D E ε 0E (.53).8. Bestimmung von Käften aus de Enegie Zu Anwendung de elektostatischen Enegie soll die Kaft auf die Platten eines Plattenkondensatos beechnet weden, de die Kapazität C besitze und mit Q aufgeladen sei. Da die Platten entgegengesetzt aufgeladen sind, ziehen sie sich mit de Kaft F an. Pinzip de vituellen Vescheibung: Plattenabstand wid um dz vegößet, W F z wobei von außen die Abeit W veichtet weden muss. Volesungsfolien GdE I 83

84 Die Feldenegie vo de kleinen Veückung lautete (Gl. (.5)): Q W E C Da die Ladung auf den Platten gleich bleibt, die Kapazität sich jedoch ein wenig ändet, gilt fü die Zunahme de Feldenegie: W E Q ( ) C Gemäß dem Enegiesatz (aufgebachte Abeit Ehöhung de Feldenegie) mit gilt: W E W F Q ( C) z (*) Aus Gl. (.39) folgt d z C ε 0 A C ε 0A Setzt man dies in (*) ein, folgt fü die Kaft auf die Kondensatoplatten: F Q ε A 0 (.54).8.3 Elektostatische Spannungsmesse: nächste Volesung V7.8.4 De elektische Dipol: nächste Volesung V7 Volesungsfolien GdE I 84

85 .9 Mateie im elektischen Feld.9. Die Feldstäke im isolieenden Stoff Feld und Mateie beeinflussen sich gegenseitig. Im Fall von leitenden Köpen wude die Influenz beeits bespochen. Zu Betachtung von isolieenden Stoffen im Feld diene ein Plattenkondensato mit Spannungsmesse (Bild.5): Bild.5 a) b) c) Vesuch Zunächst (a) sei de Raum zwischen den Platten lee bzw. luftgefüllt. Die Spannung habe den Wet U a. Nun wid eine Isolatoplatte (Glas, Kunststoff) in das Feld geschoben (b), ohne eine de Kondensatoplatten zu beühen. Die Spannung sinkt auf den Wet U b. Zieht man die Isolatoplatte wiede heaus, Volesungsfolien GdE I 85

86 stellt sich de alte Zustand (Spannung U a ) wiede ein. Zum Vegleich wid nun eine Platte gleiche Stäke aus leitendem Mateial eingebacht (c). Es stellt sich eine Spannung U c ein, die noch kleine ist als U b. Damit gilt: U > U > U a b c In allen dei Fällen ist ein Zu- ode Abfluss von Ladungen nicht efolgt, d.h. die Ladung ode Ladungsdichte auf den Platten bleibt ehalten und ist somit gleich. Abgesehen von Randeffekten ist die elektische Feldstäke in den mateiefeien Räumen entspechend E ρ F ε 0 in allen Fällen gleich goß. Fü (a) und (c) kann man die Spannung sofot angeben weden, da im Leite kein Feld hescht: U a 0 E d E ( d ) U c 0 a Im Fall (b) muss gegenübe (c) noch duch den Isolato ein Beitag hinzukommen, da U b > U c ist: U b E ( 0 d a) + E a i Aufgund de festgestellten Reihenfolge gilt: E d > E d a) + Ei a > E ( d 0 0 ( 0 a ) Volesungsfolien GdE I 86

87 Daaus folgt unmittelba (linke Seite): und (echte Seite) E a > 0 > Eia E0 E i E i > 0 Fazit Bei gegebene Ladung ist die Feldstäke im mateieefüllten Raum stets kleine als im Vakuum. Da die Isolatoen im Gegensatz zu elektischen Leiten von einem elektischen Feld duchsetzt weden können, bezeichnet man diese als Dielektika. Im Fall de Leite ist bekannt, dass so viele Ladungen influenziet weden, dass das Feld im Leite zu Null wid. Im Fall des Dielektikums müssen auch Obeflächenladungen angenommen weden. Deen Dichte muss jedoch kleine sein, da ja noch ein Feld E i ehalten bleibt. Dieses Feld E i ist kleine als das Feld außehalb (s. Fazit). Die im Dielektikum ezeugten Ladungen heißen Polaisationsladungen mit de Dichte ρ Fpol : Bild.53 Volesungsfolien GdE I 87

88 De Gaußsche Satz wid nun angewandt auf den gauen Beeich in Bild.53 und man ehält fü das Feld im Dielektikum: D ε ρ ρ i 0 E i F F Pol (.58) Analog zu de bekannten Beziehung (V5) ρ F D setzt man: ρ F Pol Macht man den Übegang zu den entspechenden Vektoen, ehält man fü Gl. (.58): Bemekungen: D D P (.59) Aus Gl. (.59) geht hevo, dass sich de elektische Gesamtfluss, de von den Kondensatoplatten ausgeht, im Inneen des Dielektikums aufteilt in eine innee Flussdichte D i und die Polaisation. De Vekto P P hat die Richtung von den negativen zu den positiven Polaisationsladungen. Gl (.59) ist von allgemeine Gültigkeit. Die Polaisation P ist im einfachsten Fall popotional dem im Inneen des Dielektikums heschenden elektischen Feld: i + P P χ ε E i χ D i 0 (.60) Volesungsfolien GdE I 88

89 Die Konstante χ heißt elektische Suszeptibilität und bescheibt die Eigenschaften de Mateie des Dielektikums. Makoskopisch ist es oftmals einfache, das Vehalten des Dielektikums und des mateiefeien Raumes im Feld duch den Fluss D zu bescheiben. Die Veingeung de Feldstäke im Isolato wid daduch beücksichtigt, dass anstelle von D ε 0 geschieben wid nach Maxwell: E D ε E ε 0 ε E. (.6) (Maxwell, James Clek, , bitische Physike) Mit diese Gesamtflussdichte sind dielektische Ladungen veknüpft, die vowiegend auf Obeflächen von Leiten fei beweglich zu finden sind. Polaisationsladungen tauchen in diese Dastellung nicht auf, was ein goße Voteil ist. De Zusammenhang lautet: D D + P D + χ D D ( + χ) ε D i i i i i Damit wid: ε + χ (.6) Man bezeichnet ε als Pemittivität ode Dielektizität und ε als elative Pemittivität. Volesungsfolien GdE I 89

90 Einige elative Pemittivitäten sind Tab.. angegeben. Stoff ε Stoff ε Luft,00059 Quaz 3, Petoleum,0 Glas Polyäthylen,3 Keamik 9, Polystyol,6 Diamant 6,5 Gummi,5... 3,5 Nitobenzol 36,0 Benstein,8 dest. Wasse 8,0 Bemekungen: Wid ein Kondensato mit Dielektikum gefüllt, ehöht sich seine Kapazität um den Fakto ε gegenübe Luft; denn bei konstant gehaltenem Fluss D ε 0 ε E veinget sich die Feldstäke um denselben Fakto. Will man also kleine Kondensatoen mit goße Kapazität bauen, benötigt man ein Dielektikum mit goße elative DK. Gleichzeitig ist auch eine hohe Duchschlagfestigkeit nötig, um die Plattenabstände klein zu halten. Es gibt Stoffe, bei denen ε von de Richtung des Feldes abhängt. In diesen Fällen sind die Gln (.60) bis (.6) nicht anwendba. Volesungsfolien GdE I 90