Erweiterung der Johansen-Theorie auf gekreuzt geschichtete Holzwerkstoffe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Erweiterung der Johansen-Theorie auf gekreuzt geschichtete Holzwerkstoffe"

Transkript

1 Erweierung er Johansen-Theorie auf gekreuz geschichee Holzwerksoffe Diplomarbei eingereich am Insiu für Holzbau un Holzechnologie Fakulä für Bauingenieurwissenschafen er Technischen Universiä Graz von Thomas Hofer Bereuer: Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.echn. Gerhar Schickhofer Dipl.-Ing. Gerno Pirnbacher Dipl.-Ing. Gianluigi Traea Graz, im Juni 2006

2 Eierklärung Ich erkläre an Eies Sa, ass ich ie vorliegene Arbei selbssänig un ohne freme Hilfe verfass, anere als ie angegeben Quellen nich benuz un ie en benuzen Quellen wörlich oer inhallich ennommenen Sellen als solche erkennlich gemach habe. Ich versichere, ass ich ieses Diplomarbeishema weer im In- noch im Auslan einem Beureiler oer einer Beureilerin in irgen einer Form als Prüfungsarbei vorgeleg habe. Graz, im Juni Thomas Hofer

3 Mein besonerer Dank gil Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.echn. Gerhar Schickhofer für ie Bereuung un as engegengebrache Verrauen Dipl.-Ing. Gerno Pirnbacher für ie gue Zusammenarbei un ie bereichernen Ieen un Denkansöße Dipl.-Ing. Gianluigi Traea für ie Hilfsbereischaf un akräfige Unersüzung zu nächlicher Sune Meinen Elern ie mir iese schöne Suienzei ermöglich haben Meiner Freunin Kersin für ie of allzu selbsversänliche Unersüzung un Nachsich

4 Kurzfassung In er Holzverbinungsechnik kommen Verbinungen mi auf Abscheren beanspruchen sifförmigen Verbinungsmieln in vielfäliger Weise zum Einsaz. Zur Ermilung er Tragfähigkei solcher Verbinungen für Vollholzbaueile is in en akuellen Bemessungsnormen ein auf er Theorie von K.W. JOHANSEN basierenes Berechnungsverfahren angegeben. In er vorliegenen Arbei wir ein ensprechener Berechnungsansaz für sifförmige Verbinungsmiel in gekreuz geschicheen Holzwerksoffen hergeleie. Die grunsäzlichen Überlegungen aus er Theorie nach JOHANSEN weren auf geschichee Baueile angewan un EDV-unersüze Tragfähigkeisunersuchungen angesell. Das Ergebnis er Suien sellen Bemessungsiagramme für fünf grunlegene Verbinungskonfiguraionen ar. Zusäzlich wir eine vergleichene Berachung näherungsweiser Tragfähigkeisberechnungen urchgeführ. Ergänzen zu en heoreischen Ausführungen wir ein Versuchsplan für ie experimenelle Tragfähigkeisunersuchung ieser Themaik ausgearbeie. Absrac In imber consrucion, owel-ype faseners are applie in many variaions. To eermine he loa carrying capaciy of connecions in soli imber he curren esign sanars give a calculaion meho base on JOHANSEN's Theory. In he Thesis a han a calculaion meho for owel ype faseners in cross laminae proucs is compile. Basic consieraions of JOHANSEN's Theory are applie o laminae members an he bearing capaciy is numerically calculae. The resuls are imensioning-ables for five elemenary join configuraions. Furhermore comparaive consieraions for several approximae calculaions are conuce. Complemenary o he heoreical analysis a eaile scheule for loa bearing ess concerning his opic is elaborae.

5 Inhalsverzeichnis Inhalsverzeichnis 1 Einleiung Holzwerksoffe Eineilung von Holzwerksoffen Bresperrholz Verbinungsechnik Eineilung er Verbinungen Ingenieurmäßige Verbinungen 9 2 Grunlagen Wirkungsweise sifförmiger Verbinungsmiel Tragmoell nach er JOHANSEN-Theorie Allgemeines Annahmen in er JOHANSEN-Theorie Parameer bei er Tragfähigkeisermilung Versagensmechanismen für einschniige Verbinungen Tragfähigkeisgleichungen Herleiung einer Tragfähigkeisgleichung nach er JOHANSEN-Theorie 22 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Die klassische Theorie nach JOHANSEN un ihre Anwenung auf geschichee Holzwerksoffe Annahmen Einfluss er Schichung Nomenklaur Versagensmechanismen EDV-Berechnung Grunlegene Annahmen Übersich er Einflussgrößen Flussiagramm Berechnungsbeispiel Allgemeine Gleichungen für b 1 47 Seie I

6 Inhalsverzeichnis 4 Parameersuien Einschränkungen Übersich er Einflussgrößen Symmerie Maerialkennwere Tragfähigkeisiagramme R --Diagramme Erweiere R --Diagramme Rechenechnischer Hinergrun Schlankheisiagramme Schlankhei Zusammenhang zwischen Schlankhei un Versagensfall ξ-λ-diagramm Rechenechnischer Hinergrun Näherungslösungen Übersich Vergleichene Unersuchungen Rechenechnischer Hinergrun Zusammenfassung 88 5 Sahlblech Holzwerksoffverbinungen Allgemeines Dreischichige Plae außen liegenes Sahlblech Allgemeine Anpassungen Parameersuien Fünfschichige Plae außen liegenes Sahlblech Allgemeine Anpassungen Parameersuien Fünfschichige Plae innen liegenes Sahlblech Allgemeine Anpassungen Parameersuien Versuchechnische Unersuchungen Übersich er zu prüfenen Verbinungen Versuchsvorbereiung Maerial 126 Seie II

7 Inhalsverzeichnis Eineilung es Brees Lochleibungsfesigkei er Breware Fließmomen es Sabübels Plaenhersellung Lochleibungsfesigkei er Plae Druck-Abscherversuche Einschniige Verbinung von zwei reischichigen Plaen Fünfschichige Plae mi eingeschlizem Sahlblech Gesamübersich Schlussberachung-Ausblick Verzeichnisse Lieraurverzeichnis Verzeichnis er Daeien Abbilungsverzeichnis Tabellenverzeichnis 152 A Anhang 154 A.1 Versagensfälle für ie Verbinung 3s-BSP 3s-BSP 154 A.2 Schlankheisiagramme für en Lasangriff quer zur Faserrichung 158 A.1.1 Verbinung zweier reischichiger Plaen 158 A.1.2 Verbinung einer reischichigen Plae mi außen liegenem Sahlblech 159 A.1.3 Verbinung einer fünfschichigen Plae mi außen liegenem Sahlblech 160 A.1.4 Verbinung einer fünfschichigen Plae mi innen liegenem Sahlblech 161 A.3 Korrekurabelle für näherungsweise Berechnungen 162 Seie III

8 1 Einleiung 1 Einleiung 1.1 Holzwerksoffe Über Jahrhunere wure er Werksoff Holz nur als sabförmiges Elemen im Baubereich eingesez. Die in er Naur vorkommenen Abmessungen es Sammes ließen nur beschränke Querschnie zu. Ers mi er Weierenwicklung er Bearbeiungsmöglichkeien in er Holzinusrie wure ie Hersellung flächenförmiger Holzprouke möglich. Diese als Holzwerksoffe bezeichneen Prouke haben beim Einsaz im moernen Ingenieurholzbau zunehmen an Beeuung gewonnen. Sie zeichnen sich besoners urch ihre vielfäligen Möglichkeien er Lasabragung un ihre Dimensionssabiliä aus, was ihre Verwenung als ausseifene, nich ragene un ragene Bauelemene ermöglich Eineilung von Holzwerksoffen Eine Glieerung flächenförmiger Holzwerksoffe kann nach unerschielichen Gesichspunken erfolgen un unerlieg keiner allgemeingüligen Feslegung. Eine mögliche Eineilung, ie auch in [1] vorgeschlagen wir, erfolg anhan es Zerlegungsgraes es Ausgangsmaerials un er Annornung ieses Ausgangsmaerials im Holzwerksoff. Beie Krierien haben wesenlichen Einfluss auf ie Eigenschafen es Holzwerksoffes. Uner em Zerlegungsgra verseh man ie Größe es aufbereieen Ausgangsmaerials. Dabei kommen für ie unerschielichen Holzwerksoffe Holzfasern, Späne, Furniere un Breer zum Einsaz (vgl. Abb. 1.1). Je größer er Zerlegungsgra is, umso geringer sin ie Sreuungen er mechanischen Eigenschafen es Werksoffes. Es komm also zu einer Homogenisierung es sark inhomogenen un anisoropen Rohsoffes Holz. Allerings komm es mi zunehmenen Zerlegungsgra zu einer Sörung er naürlich opimieren Holzsrukur, was zu einer Abminerung er Werksoffkenngrößen führ. Seie 1

9 1 Einleiung Bre Furnier Späne Fasern Abb. 1.1 Zerlegungsgra es Ausgangsmaerials für Holzwerksoffe [3] Üblicherweise erfolg er Aufbau von Holzwerksoffen in Schichen ie zumeis symmerisch zur Mielebene angeorne sin. Die Verbinung er einzelnen Schichen bzw. Lagen unereinaner erfolg urch eine Verklebung mi beigemengen oer eilweise auch holzeigenen Klebsoffen. Je nach Anornung er Lagen zueinaner wir in geschichee un gesperre Holzwerksoffe unerschieen [1]. geschiche gesperr ranom Abb. 1.2 Orienierung es Ausgangsmaerials von flächenförmigen Holzwerksoffen [1] Seie 2

10 1 Einleiung - Geschichee Flächen Durch ie faserparallele Lage er aufbereieen Einzeleile zueinaner weren Eigenschafen erreich, ie em Vollholz sehr ähnlich sin aber geringeren Sreuungen unerliegen. Es is ein gewisser Homogenisierungseffek gegeben, as sarke Schwinun Quellverhalen un ie geringe Querzug- un Querbiegefesigkei normal zur Faser bleiben jeoch erhalen. - Gesperre Flächen Die Faserrichungen er aufbereieen Einzeleile in en verschieenen Schichen schließen eine Winkel zueinaner ein. Dieser Winkel kann einen angesreben Wer (üblicherweise 90 ) annehmen oer sich beliebig ( ranom ) einsellen. Aufgrun er krafschlüssigen Verbinung er Besaneile mieinaner weren Schwin- un Quellverformungen quer zur Faser von in ieser Richung orienieren Einzeleilen gesperr. Daurch erhäl man ein in beie Richungen formsabiles flächiges Elemen. In er Hauprichung zumeis enlang er Decklagenorienierung is eine Reukion er Tragfähigkei in Kauf zu nehmen. Gleichzeiig komm es zu eine Seigerung er Querragfähigkei. Seie 3

11 1 Einleiung Die Eineilung er am Mark befinlichen Holzwerksoffe nach en oben beschriebenen Krierien is in Abb. 1.3 argesell. Hare un mielhare Holzfaserplaen Faser ranom Mieliche Holzfaserplaen Poröse un weiche Holzfaserplae geschiche Spanschichholz Spansreifenholz Span Flachpressplae Holzwerksoffe Ausgangsmaerial Furnier gesperr geschiche Spansperrholz Furnierschichholz OSB Oriene Sran Boar Spansreifenholz Furnierschichholz Furniersreifenholz gesperr Furniersperrholz Furniersperrholz geschiche Breschichholz Breschichholz Bre gesperr Bresperrholz Bresperrholz Massivholzplaen Abb. 1.3 Glieerung er Holzwerksoffe nach Zerlegungsgra un Orienierung es Ausgangsmaerials [3] Bresperrholz In en im Zuge er vorliegenen Arbei angesellen Überlegungen komm em Werksoff Bresperrholz eine wichige Beeuung zu. Es wir nun ieser Holzwerksoff näher vorgesell. Seie 4

12 1 Einleiung Hersellung Das Ausgangsmaerial für Bresperrholz sellen Vollholzquerschnie mi einer Dicke von = 10 mm bis = 35 mm un einer Breie von b = 80 mm bis b = 240 mm ar. Einzelne Lagen, ie aus Breern gleicher Dicke besehen, weren in einem Winkel zueinaner meis 90 krafschlüssig verkleb. Durch en Einsaz einer ungeraen Lagenanzahl enseh ein gesperres flächenförmiges Elemen mi symmerischem Aufbau. Bresperrholzplaen weren bis zu einer Länge von maximal 30 m, einer Breie bis zu 4,5 m un einer Dicke bis zu 0,6 m hergesell, wobei ie einzelnen Breer, häufig aus en Ranzonen es Sammes eingeschnien (Seienware), urch Keilzinkenverbinungen zu Lamellen längenaier weren. Je nach Anforerung können ie Söße er Schmalseien nebeneinaner liegener Lamellen unerschielich ausgeführ sein. Es kommen Lamellen mi parallelem, profilierem oer konischem Kanenverlauf zum Einsaz, ie mi oer ohne Seienverklebung eine Plaenlage bilen. Ausgangsmaerial: Bre Abb. 1.4 Plaenhersellung mi un ohne Seienverklebung er Lamellen [3] Der Einsaz unerschielicher Sorierklassen un ie unerschieliche Kombinaionen von Längs- un Querlagen ermöglichen eine Vielzahl mehrschichiger Plaenaufbauen, wobei ie verschieenen Anforerungen hinsichlich Lasabragung, Branschuz, Winichhei un Sichqualiä berücksichig weren können. Seie 5

13 1 Einleiung In Abb. 1.5 sin Beispiele für verschieener Plaenaufbauen gegeben. Abb. 1.5 Verschieen Plaenaufbauen von Bresperrholz Seie 6

14 1 Einleiung Anwenungsbereich Durch ie kreuzweise Anornung er einzelnen Brelagen können Bresperrholzelemene Belasungen in ihrer Ebene (Scheibenragwirkung) aber auch quer azu (Plaenragwirkung) abragen. Die Laseinleiung is abei in jeem Punk möglich. Aus iesem Grun sell Bresperrholz ein vielfälig einsezbares Tragelemen für en Holzmassivbau ar. Abb. 1.6 Anwenung von Bresperrholz im Holzmassivbau [1] Der Haupanwenungsbereich lieg in er Kombinaion von großformaigen Wan un Deckenelemenen, ie uner Voraussezung einer krafschlüssigen Verbinungsechnik, ein reiimensionales Tragwerk bilen, as keine zusäzlichen Ausseifungsverbäne erforer. Bresperrholzelemene finen auch als Balkonplaen, Siegenläufe oer in Verbinung mi Breschichholzrägern (Holzrippenecke) als Fahrbahnplae im Holzbrückenbau Verwenung [1]. Abb. 1.7 Rippenplaen als Fahrbahnplae im Holzbrückenbau [1] Seie 7

15 1 Einleiung 1.2 Verbinungsechnik Im konsrukiven Holzbau komm er Verbinungsechnik aufgrun er naürlich vorgegebenen Ranbeingungen sabförmige Prouke un begrenze Querschnisabmessungen große Beeuung zu. Die Tragfähigkei un Seifigkei einer Holzkonsrukion wir meis nich urch ie Tragfähigkei er Holzbaueile sonern urch as Trag- un Verformungsverhalen er Verbinung zwischen en Baueilen besimm. Die Baueile sin urch ie im Anschlussbereich erforerlichen Querschnisabmessungen of überimensionier. Neben echnischer Aspeke wie Tragfähigkei, Seifigkei un Dukiliä beeinfluss ie Verbinungsechnik also auch wirschafliche Gesichspunke wie Maerial-, Hersellungs- un Monagekosen. Außerem wir ie archiekonische Qualiä eines Tragwerks von er gewählen Verbinungsechnik gepräg [1] Eineilung er Verbinungen Im Holzbau gib es eine Vielzahl unerschielicher Verbinungsmöglichkeien. Sie enwickelen sich großeils projekspezifisch aus en verschieenen Anforerungen un wuren urch folgene Ranbeingungen beeinfluss: - Beanspruchungsar (Zug, Druck, Biegung) - Holzar - Geomerie un Größe er zu fügenen Baueile - Bauablauf (Hersellung, Monage) Demensprechen gib es für eine Eineilung er unerschielichen Verbinungsaren verschieene Ansäze. Unerscheiungen sin möglich nach er Ar er Krafüberragung, er Hersellungsweise oer er Ar es Verbinungsmiels, wobei eine eineuige Zuornung of nich möglich is. Seie 8

16 1 Einleiung Im Skripum für Holzbau [1] wir folgene Eineilung vorgeschlagen: Eineilung er Verbinungen bzw. Verbinungsmiel Zimmermannsmäßige Verbinungen Ingenieurmäßige Verbinungen Verblaung Verzapfung Versazung Aufklauung Verkämmung zimmermannsmäßige Dübelverbinung Sifförmige mechanisch wirkene Verbinungsmiel Flächenförmig mechanisch wirkene Verbinungsmiel vorwiegen auf Abscheren beanspruch vorwiegen auf Herausziehen beanspruch Einlassübel Einpressübel Einlass-/ Einpressübel Klammern Nägel Bolzen Sabübel Holzschrauben eingeklebe Sahlsangen Klebeverbinungen Schäfungen Keilzinkensöße flächenhafe Verbinungen Sonsige ingenieurmäßige Verbinungen Nagelplaen Sahlformeile Sysemverbiner Sonersyseme Abb. 1.8 Eineilung er Verbinungen bzw. Verbinungsmiel [1] Ingenieurmäßige Verbinungen Traiionelle Holzverbinungen weren wegen ihrer hohen Hersellungskosen sowie er eingeschränken Leisungsfähigkei im moernen Holzbau nach un nach urch Verbinungen mi mechanischen Verbinungsmieln verräng [5]. Die aufreenen Kräfe weren hierbei im Gegensaz zu zimmermannsmäßigen Verbinungen nich über Konak sonern über as Verbinungsmiel in en zu fügenen Baueilen überragen. Als Maerial für iese Verbinungsmiel komm vorwiegen Sahl, in selenen Fällen auch Gusseisen un Kunssoff, zum Einsaz. Seie 9

17 1 Einleiung Die wirschaflich beeuense Unergruppe er mechanischen Verbinungsmiel sellen ie sifförmigen Verbinungsmiel ar. Gemäß ihrer Tragwirkung kann unerschieen weren in: - vorwiegen auf Abscheren beanspruche Verbinungsmiel (Klammern, Nägel, Bolzen, Sabübel) - vorwiegen auf herausziehen beanspruche Verbinungsmiel (selbsbohrene Holzschrauben, eingeklebe Gewinesangen) Die Tragwirkung von auf Abscheren beanspruchen sifförmigen Verbinungsmieln in verschieenen Verbinungskonfiguraionen sellen as Thema er folgenen Kapiel ar. Seie 10

18 2 Grunlagen 2 Grunlagen Wie in Kap.1.2 argesell, is bei sifförmigen Verbinungsmieln hinsichlich er Beanspruchungssiuaion zwischen Abscheren un Herausziehen zu unerscheien. In weierer Folge wir auf en heoreischen Hinergrun er Berechnung für eine Beanspruchung auf Abscheren näher eingegangen. 2.1 Wirkungsweise sifförmiger Verbinungsmiel In Abb. 2.1 sin für eine einschniige Holz-Holz-Verbinung as Verformungsbil un ie resulierenen Spannungsverläufe bei einer Abscherbelasung argesell. F F Einrückungen F 2 F 1 F 1 F 2 v Scherfuge F F Abb. 2.1 Grunlegene Wirkungsweise sifförmiger Verbinungsmiel [1] Die Krafüberragung erfolg hierbei folgenermaßen: In er Bohrung wir ie Kraf F über Konak,.h. urch Lochleibungsbeanspruchung auf as Verbinungsmiel überragen. Den Biegemomenen, ie urch ie veränerliche Größe er Lochleibungsspannungen enlang er Verbinungsmielachse ensehen, wir urch engegen geseze Lochleibungsspannungen im Außenbereich er Holzeile as Gleichgewich gehalen (F 2 ). Seie 11

19 2 Grunlagen Aus ieser Belasung heraus ergeben sich einerseis Biegebeanspruchungen für as Verbinungsmiel un Lochleibungsbeanspruchungen im Holz. Die aufreenen Verformungen sellen eine Kombinaion aus Biegeverformungen es Sifes un Einrückungen im Holze ar. Die Tragfähigkei un as Verformungsverhalen einer Verbinung wir emnach maßgeben vom Fließmomen es Sifes un er Lochleibungsfesigkei es Holzes beeinfluss [1]. 2.2 Tragmoell nach er JOHANSEN-Theorie Allgemeines In er Vergangenhei wuren ie zulässigen Beanspruchungen für Verbinungsaren mi auf Abscheren beanspruchen Verbinungsmieln auf Grunlage einer vergleichsweise geringen Anzahl von geprüfen Verbinungen urch Kurzzeiversuche besimm. Hierbei wuren beispielsweise er Mielwer er Tragfähigkeien mehrerer gleichariger Prüfkörper ermiel un ann mi einem Sicherheisbeiwer beaufschlag, um ie Einflüsse aus er Sreuung, Laseinwirkungsauer un unerschielicher Sorgfal bei er Hersellung er Verbinung zu erfassen [2]. Im Zuge er Enwicklung es Eurocoe 5 wuren aufgrun er relaiv geringen Anzahl verfügbarer Ergebnisse aus en genannen Versuchen heoreische Moelle zur Besimmung er Tragfähigkei unerschielicher Verbinungen gesuch. Die afür in er EN : 2004 [6] enhalenen Gleichungen gehen auf ie Arbei von JOHANSEN (1949) zurück. Die Tragfähigkei is emnach urch as Erreichen er Lochleibungsfesigkei in minesens einem er verbunenen Baueile un, in besimmen Fällen, em gleichzeiigen Aufreen von plasischen Gelenken im Sif begrenz [2]. Mihilfe er Theorie nach Johansen is es möglich mi er Kennnis gewisser Maerialeigenschafen un er Verbinungsgeomerie Tragfähigkeiswere für unerschieliche Verbinungskonfiguraionen zu berechnen Annahmen in er JOHANSEN-Theorie Bei er Ableiung er Traglasgleichungen nach er JOHANSEN-Theorie wir iealplasisches Maerialverhalen für en Sif un für as Holz vorausgesez. Die emensprechene Las-Einrückungs-Beziehung es Sifes im Holz vereinfach ie Berechnung, wirk sich jeoch kaum auf as Ergebnis aus [2]. Seie 12

20 2 Grunlagen F F F max F max u Abb. 2.2 Tasächliche (li) un vereinfache (re) Las-Einrückungs-Beziehung von sifförmigen Verbinungsmieln in Holz bzw. Holzwerksoffen [2] Eine weiere Vereinfachung sell ie Vernachlässigung es Seileffekes ar. Evenuell aufreene Zugkräfe im Verbinungsmiel, ie bei er Verformung urch Ankerkräfe oer Manelreibung eingeleie weren, verursachen raglaserhöhene Abriebskomponenen in Richung er äußeren Belasung. Solange iese Einflüsse gering gehalen weren, is eine gue Übereinsimmung von Rechen- un Versuchergebnissen gegeben [2] Parameer bei er Tragfähigkeisermilung Für ie Berechnung er Tragfähigkei mi Hilfe er JOHANSEN-Gleichungen sin folgene Eingangswere nowenig: - Moifikaionsbeiwer k mo Der Moifikaionsbeiwer k mo ermöglich ie Umrechnung von versuchsmäßig ermielen Tragwiersänen un Fesigkeien auf für Baueile un Verbinungen in er Praxis effekiv gelene Beingungen. Er riche sich nach er Nuzungsklasse un er Dauer er Beanspruchung. In er eurocoenahen Bemessungsrichlinie (enbr) [7] sin ie Were für k mo folgenermaßen angegeben: Seie 13

21 2 Grunlagen Kaegori Nuzungsklasse 1 Holzprouke Einwirkung KLED e 3) k mo k mo k mo Eigengewich sänig 0,60 0,60 0,50 (0,40) 2) (0,30) 2) 2 Runholz (RH) Vollholz (VH) Vollholz mi besoneren Eigenschafen (VH-B) Balkenschichholz (Duo/Trio) Breschichholz (BSH) Bresperrholz (BSP) 1) Furnierschichholz (FSH) Furniersperrholz (FSP) Spansperrholz (SSP) Verikale Nuzlasen Lagerflächen Verikale Nuzlasen Wohnflächen, Büroflächen, Lae- un Verkehrsflächen, Siegen Schnee- un Eislasen > 1000 m ü. NN Schnee- un Eislasen < 1000 m ü. NN Saische Winkräfe Horizonale Nuzlasen Veransalungsflächen (Personenansammlungen), Laneflächen, Balkone, Dächer, Terrassen, Tribünen, Poien Außergewöhnliche Einwirkungen Erbeben Horizonalsöße von Fahrzeugen (Anpralllasen) Hubschrauberlaneflächen auf Decken, Überrollschuz lang E 0,70 0,70 0,55 (0,50) 2) (0,40) 2) miel A, B, D, 0,80 0,80 0,65 J, (0,70) 2) (0,55) 2) kurz C, F, H, K, T, Z sehr kurz 0,90 0,90 0,70 (0,90) 2) (0,70) 2) 1,10 1,10 0,90 (1,10) 2) (0,90) 2) 1) Bresperrholz is auf ie Nuzungsklasse 1 un 2 beschränk. 2) Klammerwere gelen für Spansperrholz OSB/3 un OSB/4; OSB/2 gil nur für ie Nuzungsklasse 1. 3) Die Kaegorien ensprechen er Eineilung nach er ON EN Eurocoe 1: Einwirkungen auf Tragwerke Teil 1-1: Allgemeine Einwirkungen Wichen, Eigengewich un Nuzlasen im Hochbau Tab. 2.1 Moifikaionsbeiwere k mo [7] - Teilsicherheisbeiwer γ M Der Teilsicherheisbeiwer γ M berücksichig ie ungünsigen Abweichungen es Tragwiersanes vom charakerisischen Wer un Unschärfen im Wiersansmoell. In ie Berechnung gehen sowohl er Teilsicherheisbeiwer für as Verbinungsmiel als auch für as Holz ein. Sie sin lau enbr [7] folgenermaßen fesgeleg: Teilsicherheisbeiwer 2 Runholz, Vollholz, VH-B, Balkenschichholz γ M 1,30 3 Breschichholz, Bresperrholz, Furnierschichholz, Furniersperrholz, Spansperrholz γ M 1,25 4 Sahl in Verbinungen auf Biegung beanspruche sifförmige Verbinungsmiel γ M 1,10 auf Zug oer Scheren beanspruche Teile beim Nachweis gegen ie Fließgrenze im Neoquerschni γ M 1,25 Plaennachweis auf Tragfähigkei für Nagelplaen 5 Beon in Verbunkonsrukionen Beon γ M 1,50 Schubelemen zwischen Holz un Beon in Verbunbaueilen γ M 1,25 6 Vorgespanne Sahlelemene γ M,v 1,15 7 Bran γ M,fi 1,00 8 Ermüung γ M,fa 1,00 Tab. 2.2 Teilsicherheisbeiwere γ M [7] Seie 14

22 2 Grunlagen - Lochleibungsfesigkei es Holzes Bei Lochleibungsbeanspruchungen reen urch en Einsaz von Verbinungsmieln mi Kreisquerschni raial gerichee Spannungen auf. Das Holz wir emnach urch ie aufreenen Spreizkräfe nich nur in Belasungsrichung sonern auch quer azu beanspruch. Je nach Winkel zwischen Kraf- un Faserrichung kann ies zu einem Querzugversagen es Holzes führen. In Abb. 2.3 is ie Krafsiuaion un ie aurch ensehenen Verformungen für en Fall, ass Kraf un Faserrichung übereinsimmen, argesell. Druckfalen Aufspalen Abb. 2.3 Krafsiuaion un Verformungsbil bei einer Lochleibungsbeanspruchung in Faserrichung [1] Die Lochleibungsfesigkei es Holzes oer eines Holzwerksoffes is efinier als ie größe aufreene Spannung in einem urch EN 383: 1993 [9] geregelen Lochleibungsversuch. Sie gil als erreich, wenn ie Einrückung es Sifes im Holz einen Wer von w 0 = 5 mm aufweis oer er Bruch einri. Die Lochleibungsfesigkei sell keinen reinen Maerialkennwer ar. Der Einfluss verschieener Parameer wie Durchmesser un Oberflächenbeschaffenhei es Sifes, er Winkels zwischen Kraf- un Faserrichung sowie as Einreibverfahren vorgebohr oer nich machen ie Lochleibungsfesigkei vielmehr zu einem Sysemwer, er immer im Zusammenhang mi er jeweiligen Verbinungskonfiguraion seh [1]. Gemäß er enbr [7] is ie charakerisische Lochleibungsfesigkei für ie verschieenen Holzprouke un Verbinungsmiel folgenermaßen zu besimmen: Seie 15

23 2 Grunlagen Holzprouk Verbinungsmiel Lochleibungsfesigkei f h,0,k 1 Schniholz (SH) Sabübel, Passbolzen, Bolzen, eingeklebe Breschichholz (BSH) f Gewinesangen, Nägel vorgebohr h,0,k = 0,082 (1 0,01 ) ρ k Bresperrholz (BSP) 1) Furnierschichholz (FSH) Nägel nich vorgebohr, Klammern f h,0,k = 0,082-0,3 ρ k 2 Furniersperrholz (FSP) Sabübel, Passbolzen, Bolzen, eingeklebe Gewinesangen, Nägel vorgebohr f h,k = 0,11 (1 0,01 ) ρ k 3 Spansperrholz (SSP) Nägel nich vorgebohr, Klammern Sabübel, Passbolzen, Bolzen, eingeklebe Gewinesangen, Nägel vorgebohr f h,k = 0,11-0,3 ρ k f h,k = 50-0,6 0,2 1) Nägel nich vorgebohr, Klammern f h,k = 65-0,7 0,1 Bei er Ermilung es Bemessungsweres er Tragfähigkei R sin ie Schichen rechwinklig zu en Deckschichen nich in Rechnung zu sellen. ANMERKUNG: Schrauben sin je nach Nennurchmesser Sabübeln oer Nägeln zuzuornen. Schrauben mi einem? 8 mm sin als Nägel un mi > 8 mm als Sabübel zu berachen. ρ k charakerisischer Wer er Rohiche in kg/m 3 Verbinungsmielurchmesser in mm Dicke er Spansperrholzplae in mm Tab. 2.3 Charakerisische Were er Lochleibungsfesigkei f h,k in N/mm² [7] - Fließmomen es Sifes JOHANSEN geh bei seinen Überlegungen avon aus, ass urch ie Überschreiung es elasischen Bereichs er Lochleibungsbeanspruchung im Holz große Verformungen im Verbinungsmiel ensehen un sich Fließgelenke ausbilen. In Abhängigkei vom Verbinungsmielurchmesser un er Zugfesigkei gib ie enbr [7] folgene Zusammenhänge zur Besimmung es charakerisischen Fließmomenes er unerschielichen Verbinungsmiel an: 1 2 Verbinungsmiel Fließmomen M y,k Sabübel, Passbolzen, Bolzen, Schafeil von Holzschrauben, 2,6 1 M y, k = 0,3 fu,k rune Nägel, Klammern, eingeklebe Gewinesangen y, k = fu,k 1,1 0,3 2 Gewineeil von Holzschrauben ( ) 2,6 f u,k charakerisischer Wer er Zugfesigkei es Verbinungsmielwerksoffs in N/mm² Nennurchmesser es Verbinungmiels in mm Gk Gewinekernurchmesser von Holzschrauben in mm (= 0,7 bei ON M 1530) M Gk Tab. 2.4 Charakerisische Were es Fließmomens M y,k in Nmm [7] Lau EN 409: 1993 [8], er ensprechenen Prüfnorm zur Besimmung es Fließmomens von sifförmigen Verbinungsmieln, is as Fließmomen urch ie Höchslas ie ein Verbinungsmiel bei einem Vierpunk-Biegeversuch aufnehmen kann, bzw. urch as aufreene Biegemomen bei einer Verformung es Sifes von 45, erreich. Seie 16

24 2 Grunlagen Unersuchungen haben gezeig, ass sich im Versagensfall von Verbinungen mi bauprakisch üblichen Sabübeln er Biegewinkel zwischen α = 8 un α = 15 einsell, also signifikan uner 45 bleib [1]. Durch ie geringeren Verformungen is ie vollplasische Ausnuzung es Sabübels nich gegeben. Somi is eine Korrekur es nach EN 409: 1993 [8] besimmen Weres für as Fließmomen nowenig. Der Zusammenhang zwischen em Biegewinkel un em auf as asächlich aufreene normiere Fließmomen is in Abb. 2.4 argesell. Abb. 2.4 Zusammenhang zwischen Biegewinkel un normierem Fließmomen [1] In en in Tab. 2.4 angegebenen Gleichungen zur Besimmung es Fließmomens is ieser Einfluss es geringeren Biegewinkels berücksichig. - Geomerie er Verbinung Die Tragfähigkei einer Verbinung häng maßgeben von en Baueilabmessungen ab. Durch ie Wahl von Verbinungsmielurchmesser un Holzbaueilicken wir nich nur er Tragfähigkeiswer beeinfluss, sonern auch as Verformungsbil im Versagensfall. Diesbezüglich riff JOHANSEN eine Eineilung in grunlegene Versagensmechanismen. Seie 17

25 2 Grunlagen Versagensmechanismen für einschniige Verbinungen Die Eineilung in verschieene Versagensmechanismen, erfolg nach er resulierenen Verformung es Sifes im Holz. Für einschniige Holz-Holz-Verbinungen sin vier grunlegene Mechanismen zu unerscheien (vgl. Tab. 2.5). Diese Unereilung wir für ie weieren Unersuchungen beibehalen. Seie 18

26 2 Grunlagen Bezeichnung Skizze; Spannungsbil Beschreibung R Versagensmechanismus 1a f h,1, 1 2 f h,2, Schrägsellung es Verbinungsmiels im Holz. Der Sif bleib unverform. R R R Versagensmechanismus 1b f h,1, f h,2, Reines Lochleibungsversagen in einem er Holzbaueile. Der Sif bleib unverform. R R R R Versagensmechanismus Ausbilung eines Fließgelenks im Sif. f h,1, f h,2, f h,1, f h,2, R R R Versagensmechanismus 3 f h,1, 1 2 Ausbilung zweier Fließgelenke im Sif. f h,2, R Tab. 2.5 Grunlegene Versagensmechanismen für einschniige Holz-Holz-Verbinungen Seie 19

27 2 Grunlagen Seie Tragfähigkeisgleichungen Für ie verschieenen Versagensmechanismen ergeben sich uner Voraussezung es ieal plasischen Maerialverhalens ie in Tab. 2.5 argesellen Spannungsbiler. Durch Aufsellen es Gleichgewichs in verikaler Richung un Bilen er Momenensumme in er Scherfuge läss sich für jeen er Mechanismen eine zugehörige Tragfähigkeisgleichung herleien (vgl. Kap ). Eingangsgrößen für iese Gleichungen sin geomerische Größen, wie Baueilicken un Sifurchmesser un ie Maerialkenngrößen, Lochleibungsfesigkei un Fließmomen. Je nachem, in welchem Verhälnis iese Größen zueinaner sehen, bile sich uner Traglasniveau einer er beschriebenen Versagensmechanismen aus. Im Zuge er Bemessung einer besimmen Verbinung is ie Tragfähigkei für jeen er vier Mechanismen zu ermieln. Die geringse er errechneen Tragfähigkeien sell ie maßgebene Traglas ar. In Abb. 2.5 wir eine Übersich über ie Tragfähigkeisgleichungen für einschniige Holz- Holz-Verbinungen gegeben. Die Tragfähigkei R ergib sich für ie verschieenen Versagensmechanismen folgenermaßen: Abb. 2.5 Tragfähigkeisgleichungen für einschniige Holz-Holz-Verbinungen [7] ( ) ( ) ( ) ( ) = min h,1, y, h,1, y, 2 h,1, h,1, y, 1 h,1, 2 1 h,1, 2 h,2, 1 h,1, R f M R f M f R f M f f f f R Δ β β Δ β β β β β β Δ β β β β β β β β β β β

28 2 Grunlagen Es weren folgene Bezeichnungen benuz: 1, 2 f h,1,k Holzicke bzw. Einringiefe es Sifes charakerisischer Wer er Lochleibungsfesigkei es Baueils 1, wobei ie Bezeichnung nach folgenem Schema vorgenommen wir: f h, 1, k {f} Allgemeine Bezeichnung für einen Fesigkeiswer {h} Bezeichnung für ie Lochleibungsfesigkei {1} Bezeichnung es Baueils {k} Unerscheiung zwischen charakerisischem Wer (k) un Designwer () f h,2,k charakerisischer Wer er Lochleibungsfesigkei es Baueils 2 f h,1,, f h,2, Bemessungswer er Lochleibungsfesigkei es jeweiligen Baueils, wobei gil: f h, = f k hk, mo γ mholz, β Verhälniswer er beien Lochleibungsfesigkeien zueinaner: β = f h,2, f h,1, M y, Sifurchmesser Bemessungswer es Fließmomens M y, = γ M yk, msahl, Δ R Traglaserhöhene Krafkomponene aus Manelreibung oer Ankerkräfen ( Seilwirkung ) Seie 21

29 2 Grunlagen Herleiung einer Tragfähigkeisgleichung nach er JOHANSEN-Theorie Die Herleiung er Tragfähigkeisgleichungen nach er JOHANSEN-Theorie erfolg grunsäzlich auf Basis einfacher saischer Überlegungen. Alle Kräfe in Richung er äußeren Belasung müssen im Gleichgewich sein un ie Momene in er Scherfuge müssen sich aufheben. F V M A = 0 = 0 Nachfolgen soll am Beispiel es Versagensmechanismus 1a, eine Tragfähigkeisgleichung nach er JOHANSEN-Theorie hergeleie weren. Die Überlegungen gelen sinngemäß für alle übrigen Mechanismen. R 1 2 A f h,2, f h,1, a 1 a 1 b 1 b 2 a 2 a 2 R Abb. 2.6 Versagensmechanismus 1a Seie 22

30 2 Grunlagen Kräfegleichgewich in Belasungsrichung: R = f b = f b = β f b b h,1, 1 h,2, 2 h,1, 2 = β b 1 2 Biegemomen in er Scherfuge: b a a f b f a b f a a b h,1, 1 + h,1, h,1, = 0 f a b a a b b1 a1 a1 2 h,1, = 0 b1 ² fh,1, a1² = 2 b ² 2 2 = fh,2, a2² = = β fh,1, a2 ² b2 ² 2 b1 Gleichsezen un Ersezen von b 2 urch β ergib: 2 b1 2 2 b 1 fh,1, a1 =,1, β fh a 2 β b1 b + = a β β a2 b1 ² β + 1 = β a2² + a1² 2 β Subsiuion von a 1 un a2 liefer: Seie 23

31 2 Grunlagen a a 1 2 = b b β b = = 2 2 β β b1 + 2 b1 ( 1 + 2) ( 1² + β 2² ) = 0 β Auflösen nach b 1 ergib: b = β + 2 β² β³ β β Die Tragfähigkei ergib sich mi R = fh,1, b1 zu: R 2 2 fh,1, = β + 2 β² β³ β β Eine anere Möglichkei er Herleiung von JOHANSEN s Gleichungen führ nich, wie hier gezeig, über as Kräfe- un Momenengleichgewich, sonern über as Prinzip er viruellen Arbei. Diese Mehoe kann insbesonere bei mehrschniigen Verbinungen schneller zum Ziel führen. Seie 24

32 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe In Kap. 2 wir am Beispiel er einschniigen Holz-Holz-Verbinungen as Tragmoell von JOHANSEN näher erläuer. In weierführener Lieraur [2] sin Überlegungen zu aneren Verbinungsypen nachzulesen. So sin Tragfähigkeisgleichungen beispielsweise für mehrschniige Holz-Holz-, aber auch für Sahlblech-Holz-Verbinungen in en verschieenen Ausführungen bekann. Wenige Angaben fine man allerings über as Tragverhalen von sifförmigen Verbinungsmieln in geschicheen Holzwerksoffen. In en folgenen Kapieln wir nun auf iese Problemaik näher eingegangen. Am Beispiel er einschniigen Verbinung von zwei reischichigen Bresperrholzplaen (BSP) weren alle grunlegenen Überlegungen, ie im Zuge ieser Arbei angesell wuren, erläuer. In Kap. 5 weren weiere Verbinungskonfiguraionen vorgesell, für ie im Wesenlichen ie gleichen Überlegungen gelen. Auf evenuell nowenige Aapierungen un Ergänzungen wir an bereffener Selle näher eingegangen. R 1 2 1, 1,q 1, 2, 2,q 2, R Abb. 3.1 Einschniige Verbinung zweier reischichiger Bresperrholzplaen Seie 25

33 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe 3.1 Die klassische Theorie nach JOHANSEN un ihre Anwenung auf geschichee Holzwerksoffe Annahmen Die Vorgehensweise bei er Ermilung er Tragfähigkei von sifförmigen Verbinungsmieln in geschicheen Holzwerksoffen ensprich en Grunzügen er klassischen JOHANSEN-Theorie (vgl. Kap. 2.2). Somi gelen ie Annahmen: - Ieal plasisches Maerialverhalen für en Sif un für as Holz - Vernachlässigung es Seileffekes Einfluss er Schichung Der wesenliche Unerschie zwischen einer üblichen Holz-Holz-Verbinung un einer Verbinung von geschicheen Holzwerksoffen lieg arin, ass in einem geschicheen Werksoff ie verschieenen Maerialkennwere innerhalb eines Baueils in unerschielichen Größen aufreen. Für ie konkree Berachung sin in erser Linie ie unerschielichen Lochleibungsfesigkeien innerhalb einer Plae von Beeuung. R R f h,2,m, f h,2,, f h,1, f h,2, f h,1,, f h,1,m, R Vollholz-Vollholz R BSP-BSP Abb. 3.2 Gegenübersellung einer Verbinung von zwei Vollholzbaueilen un einer Holzwerksoff-Holzwerksoff-Verbinung für en Versagensmechanismus 1a In Abb. 3.2 wir er Einfluss er unerschielichen Lochleibungsfesigkeien innerhalb eines Baueils ersichlich. Die unerschieliche Faserrichung, beispielsweise innerhalb eines Bresperrholzelemens, verursach bei einer Decklagenorienierung in Seie 26

34 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Belasungsrichung geringere Fesigkeien in er Miellage. Um iesen wesenlichen Unerschie in er Berechnung zu berücksichigen, is es nowenig ie Nomenklaur er klassischen JOHANSEN-Theorie zu moifizieren Nomenklaur Um en Einfluss er Schichung in er Berechnung erfassen zu können weren ie Bezeichnungen er Geomerie- un Fesigkeisgrößen angepass. Für ie Benennung er unerschielichen Parameer innerhalb eines Baueils wir ein zusäzlicher Inex eingeführ. f h, 1,, k {} Bezeichnung er Plaenschich... Decklage q... Querlage {f} {h} {1} {k} Allgemeine Bezeichnung für ie Bezeichnung Unerscheiung zwischen Bezeichnung für Lochleibungsfesigkei es Baueils charakerisischem Wer (k) einen Fesigkeiswer un Designwer () Abb. 3.3 Angepasse Bezeichnung für geschichee Srukuren Zusäzlich zur Einführung es Inex für ie eineuige Zuornung einzelner Parameer zur ensprechenen Plaenschich weren neue Verhälniswere fesgeleg. Sie beschreiben ie Fesigkeien un ie Geomerie innerhalb eines Baueils. Seie 27

35 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe JOHANSEN uniirekional JOHANSEN gekreuz-geschiche 1 2 ξ 1 1,q 2 1, 1 1, 2, 2,q 2, ξ 2 f h,2, μ 1 f h,1,q, f h,2,, f h,1, f h,1,, μ 2 a 1 a 1 b 1 b 2 a 2 a 2 a 1 a 11 b 1 b 2 a 21 a 2 f h,2,q, β β = f h,2, f h,1, β = μ f h,2,, f h,1,, f β h,1, q, h,2, q, 1 = μ2 = fh,1,, fh,2,, f ξ 1, 1, 1 = ξ2 = 1 1 Abb. 3.4 Verhälniswere für uniirekionale un gekreuz geschichee Srukuren In en Tragfähigkeisgleichungen nach JOHANSEN weren ie Lochleibungsfesigkeien er beien Baueile über en Wer β = f h,2, f h,1, zueinaner ins Verhälnis gesez. Für ie Unersuchung er geschicheen Srukuren ienen ie Lochleibungsfesigkeien er Decklagen f h,1,, un f h,2,, als Bezugsgrößen für alle aufreenen Lochleibungsfesigkeien im ensprechenen Baueil. Seie 28

36 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Daraus ergib sich für ie Verbinung zweier reischichiger Plaen er bereis bekanne Wer β zu: β = f h,2,, f h,1,, Zusäzlich weren ie beien Fesigkeisverhälnisse innerhalb er Plaen μ 1 un μ 2 eingeführ. μ = 1 f h,1, q, f h,1,, μ = 2 f h,2, q, f h,2,, Hinsichlich er Geomerie er Verbinung wir ie Decklagenicke zur Gesamicke er jeweiligen Plae ins Verhälnis gesez. ξ = 1 1, 1 ξ = 2 2, Versagensmechanismen In er Theorie nach JOHANSEN sin für eine einschniige Holz-Holz-Verbinung vier grunlegene Versagensmechanismen, im Bezug auf ie Verformung es Verbinungsmiels, möglich (vgl. Kap ). Für jeen ieser Mechanismen sell sich ein charakerisisches Spannungsbil im Holz ein, aus em sich über ie Gleichgewichsbeingungen eine zugehörige Tragfähigkeisgleichung herleien läss. Für Verbinungen mi gekreuz geschicheen Baueilen bleiben iese grunlegenen Versagensmechanismen gleich, allerings komm es innerhalb jees Grunmechanismus zu einer zusäzlichen Unereilung in verschieene Versagensfälle. In Abb. 3.6 is iese Unereilung am Beispiel es Versagensmechanismus 3 Ausbilung zweier Seie 29

37 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Fließgelenke argesell. Zum Versännis er folgenen Ausführungen wir ausrücklich auf ie Unerscheiung in Versagensmechanismus un Versagensfall hingewiesen. Für ie Bezeichnung er verschieenen Fälle weren en Spannungsverläufen innerhalb es Baueils 1 römische un en Spannungsverläufen im Baueil 2 arabische Zahlen zugewiesen. Daurch is jeer Versagensfall eineuig bezeichne. Auf eine zusäzliche Benennung es übergeorneen Versagensmechanismus wir verziche. Fließgelenk in er inneren Decklage 1 2 Fließgelenk in er äußeren Decklage Bezeichnung es Spannungsbiles im Baueil 1: Bezeichnung es Spannungsbiles im Baueil 2: VI VI Abb. 3.5 Bezeichnung er verschieenen Versagensfälle Seie 30

38 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe In Abb. 3.6 sin ie möglichen Versagensfälle für en übergeorneen Mechanismus 3 argesell. VI-6 VI-7 VI VII-6 VII-7 VII VIII-6 VIII-7 VIII Abb. 3.6 Unereilung es Versagensmechanismus 3 in ie unergeorneen Versagensfälle Wie aus Abb. 3.6 ersichlich is, sin für en Mechanismus 3, je nach Lage es Fließgelenks, neun verschieene Spannungsbiler möglich. Demnach exisieren auch neun unerschieliche Momenengleichgewichsgleichungen aus enen ebenso viele Tragfähigkeisgleichungen abgeleie weren können. Besimm man iese Spannungsbiler auch für ie übrigen Versagensmechanismen, ergeben sich für ie einschniige Verbinung zweier Dreischichelemene insgesam 66 heoreisch mögliche Spannungsbiler bzw. Tragfähigkeisgleichungen. Eine Übersich aller Versagensfälle kann em Anhang A.1 ennommen weren. Seie 31

39 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe 3.2 EDV-Berechnung Für ie Ermilung er Tragfähigkei uniirekionaler Baueile nach er Theorie von JOHANSEN sehen für ie verschieenen Versagensmechanismen ie in Kap vorgesellen Tragfähigkeisgleichungen zur Verfügung. Es wir er ensprechene Tragfähigkeiswer für jee Gleichung errechne un er geringse er fünf Were sell en Bemessungswer er Tragfähigkei ar. Die Tragfähigkeisberechnung für eine allgemeine einschniige Verbinung zweier Bresperrholzplaen erforer ie Auswerung von 66 möglichen Versagensfällen. Der für eine Hanrechnung ensehene Rechenaufwan is berächlich. Aus iesem Grun wir eine EDV-unersüze Tragfähigkeisberechnung erarbeie, wobei auf as Programm Mahemaica 5.0 von Wolfram Research zurückgegriffen wir Grunlegene Annahmen Um eine leisungsfähige Tragfähigkeiberechnung für unerschielichse Verbinungskonfiguraionen zu gewährleisen, is eine möglichs uneingeschränke EDV- Berechnung nowenig. Trozem weren bereis im Vorfel einige grunlegene Ranbeingungen formulier, eren Kennnis für ie richige Anwenung er numerischen Tragfähigkeisberechnung nowenig is. Diese Einschränkungen sin für ie reischichige Plae wie folg fesgeleg: 1, 1,q 1, f h,1,, f h,1,, f h,1,q, DL QL DL DL Decklage QL Querlage - Die Dicken er beien Decklagen einer Plae sin gleich groß. - Die Lochleibungsfesigkeien er beien Decklagen einer Plae sin gleich groß. - Der Teilsicherheisbeiwer γ mholz, is für beie Plaen einer Verbinung gleich. Seie 32

40 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Übersich er Einflussgrößen Nach er Feslegung er grunlegenen Annahmen für eine allgemeine Tragfähigkeisberechnung wir nun eine Übersich aller in ie Berechnung eingehenen Größen gegeben. Geomerische Einflussgrößen Maerialspezifische Einflussgrößen Normaive Einflussgrößen Plae 1 1 f h,1,,k 1, f h,1,q,k k mo, γ M,Holz Plae 2 2 2, f h,2,,k f h,2,q,k Verbinungsmiel f u,k γ M,Sahl Tab. 3.1 Eingangsparameer für ie Tragfähigkeisberechnung Alle, er in Tab. 3.1 aufgeliseen Parameer, sellen für ie allgemeine Tragfähigkeisberechnung voneinaner unabhängige Größen ar. Die Änerung jees ieser Parameer beeinfluss ie Tragfähigkei er Verbinung. Aus iesem Grun ensprechen iese Größen zugleich ie Eingabevariablen er EDV-unersüzen Tragfähigkeisberechnung. Durch iese allgemein gehalene Eingabe is ie Berechnung unerschielichser Holz-Holz-Verbinungen möglich. Für späere Parameersuien wir urch ie Einführung besimmer Feslegungen un Zusammenhänge ie Anzahl ieser Eingangsgrößen verringer. Darauf wir an ensprechener Selle eaillier eingegangen. Seie 33

41 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Flussiagramm Wie bereis erwähn, wir für ie Berechnung er Tragfähigkeien er verschieenen Verbinungen as Programm Mahemaica 5.0 verwene. Innerhalb ieses Programms is es möglich, gewisse Rechenabläufe zu programmieren. Der für ie Tragfähigkeisberechnung enwickele Algorihmus is in en Abb. 3.7 bzw. Abb. 3.8 argesell. Die Rechensysemaik gil für eine allgemeine Tragfähigkeisberechnung einer einzelnen Verbinungskonfiguraion. Dabei sin leiglich ie in Kap formulieren Einschränkungen zu beachen. Für ie späer urchgeführen Parameersuien sin gewisse Moifikaionen am Rechenablauf nowenig, ie an bereffener Selle angesprochen weren. Alle numerisch aufbereieen Berechnungen sin in igialer Form auf einer er Arbei beigelegen CD verfügbar. Die Verweise in geschwungenen Klammern, ie in Verbinung mi en nachfolgen argesellen Srukogrammen angegeben weren, beziehen sich auf ie zugehörigen Daeien. Seie 34

42 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Variablenefiniion: Geomerie:, 1, 1,, 2, 2, Maerialeigenschafen: f u,k, f h,1,,k, f h,2,,k, f h,1,q,k, f h,2,q,k Bemessungsechnische Größen: γ M,Sahl, γ M,Holz, k mo Errechnen von: Bemessungsweren er Fesigkeien: f h,1,,, f h,1,q,, Verhälnisweren: β, μ 1, μ 2, ξ 1, ξ 2 Fließmomen: M y, Besimmen er Subsiuionen für jeen Versagensfall: a 1 = f(b 1 ), a 2 = f(b 1 ), b 2 = f(b 1 ) Gleichgewich für jeen Versagensfall: F = 0, M = 0 b 1,i Berechnung er vorausgesezen Subsiuionen mi bekannem b 1 : Ausscheien es bereffenen Versagensmechanismus Nein Konrolle: Simmen b 1, b 2, a 1, a 2 mi zugehörigem Spannungsbil überein? Ja Berechnen er Tragfähigkeien Minimalwerabfrage: Minimum aus R (1a), R (1b), R (2a), R (2b), R (3) Abb. 3.7 Flussiagramm er EDV-unersüzen Tragfähigkeisberechnung {1} Seie 35

43 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Eine alernaive Darsellungsform zum oben gezeigen Flussiagramm sell as sog. Srukogramm ar. Bei er Arbei mi Programmiersprachen ermöglich es eine übersichliche Darsellung es Algorihmus. Dabei sin besimme Symbole für ie unerschielichen Haupelemene wie Schleifen, Verzweigungen usw. fesgeleg. Das Srukogramm für en oben gezeigen Rechenablauf is in Abb. 3.8 gezeig. Der unkler hinerlege Bereich symbolisier eine Schleife. Die von ihr umschlossenen Anweisungen, weren für alle Versagensfälle urchlaufen. Eingabe:, 1, 1,, 2, 2, / f u,k, f h,1,,k, f h,1,q,k, f h,2,,k, f h,2,q,k / γ M,Sahl, γ M,Holz, k mo Berechnen von: f h,1,,, f h,1,q,, f h,2,,, f h,2,q, / β, μ 1, μ 2, ξ 1, ξ 2 / M y, [Versagensfall] [I-1]-[IX-0] Besimmung er Subsiuionen Berechnung von b 1 aus em Momenengleichgewich Berechnung er vorausgesezen Subsiuionen mi bekannem b 1 Konrolle: Ja Berechnung er Tragfähigkei Minimalwerabfrage über: R (1a), R (1b), R (2a), R (2b), R (3) Ensprechen b 1, a 1, b 2, a 2 em Spannungsbil? Nein Ausscheiung es Mechanismus Abb. 3.8 Srukogramm er EDV-unersüze Tragfähigkeisberechnung {1} Seie 36

44 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Für ie Unersuchungen im Zuge ieser Arbei wir keine eche Programmiersprache verwene, sonern innerhalb eines Programms Befehle in einer besimmen Abfolge angeorne, soass eine weigehen auomaisiere Tragfähigkeisberechnung enseh. Für späere Parameersuien weren of Ergebnisse aus einem Rechenurchlauf hänisch in anere Berechnungsabläufe eingefüg. Auch solche Arbeisschrie sin in en weiers argesellen Srukogrammen eingebunen. Alle in ieser Arbei angeführen Srukogramme beschreiben also nich en exaken Algorihmus im Zuge einer Programmierung, sie ienen einer überblicksmäßigen Darsellung aller angesellen Rechen- un Arbeisschrie Berechnungsbeispiel Der in en lezen Abbilungen argeselle Rechenablauf wir nun anhan eines Rechenbeispiels näher erläuer. 1. Variablenefiniion An erser Selle im Rechenablauf seh er Eingabeblock. Hier weren ie verschieenen Maerialkenngrößen un ie Geomerie er Verbinung eingegeben. Zusäzlich weren ie Teilsicherheisbeiwere für ie verweneen Maerialien un er Moifikaionsbeiwer fesgeleg. - Geomerie R 1, 1 2 1,q 2,q 2, 1, 2, Plae1: Plae 2: = 60 mm = 100 mm 1 2 = 20 mm = 25 mm 1, 2, = 12 mm R - Seie 37

45 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe - Maerial Holz: C 35 ρ k γ k mo = 400 kg / m³ mholz, = 0, 9... Nuzungsklasse 1, kurze Laseinwirkungsauer = 1, 3 Mi en aus er enbr [7] sammenen Zusammenhänge ergeben sich ie Lochleibungsfesigkeien für ie Deck- un Querlage folgenermaßen: f = 0, 082 (1 0, 01 ) ρ = f h,1,, k k h,2,, k f = 0, 082 (1 0, 01 12) 400 = f h,1,, k h,2,, k f = 28, 86 N/mm² f = 28, 86 N/mm² h,1,, k h,2,, k f 28, 86 1, , h,1,, k h,1, q, k = = = f 1 h,2, q, k f 1, , 015 f = 18, 86 N/mm² f = h,1, q, k h,2, q, k 18, 86 N/mm² 1 Der Wer k 90, er in er enbr [7] zur Erfassung es Einflusses es Kraf-Faserwinkels angegeben wir, is zu hinerfragen. Sahl: S 235 f uk, = 360 N/mm² γ msahl, = 1, 1 Seie 38

46 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe 2. Errechnen er abhängigen Größen: Im nächsen Schri weren alle irek von en Eingangsgrößen abhängigen Were berechne. Die Designwere er Lochleibungsfesigkeien un ie verschieenen Verhälniswere ergeben sich für ie beien Plaen folgenermaßen: Plae 1 PLae 2 f f k 28,86 0,9 = = = h,1,, k mo h,1,, h,2,, γ mholz, 1, 3 f k 28,86 0,9 h,1, q, k mo h,1, q, = = = fh,2, q, γ mholz, 1, 3 f f f = 19, 98 N/mm² f = 19, 98 N/mm² h,1,, h,2,, f = 13,05N/mm² f = h,1, q, h,2, q, 13,05N/mm² = 1, q 1 2 = 20 mm = 2 = 50 mm 1, 2, q 2 2, ξ = = 0, 33 ξ = = 0, 25 1, 2, f f μ = = 0, 65 = = 0, 65 h,1, q, h,2, q, 1 μ2 fh,1,, fh,2,, Für ie Berechnung es Fließmomenes wir er Zusammenhang aus er enbr [7] verwene. M = 0, 3 f = 0, yk, uk, 2,6 2,6 M yk, = Nmm M y, yk, = = γ M msahl, Nmm Seie 39

47 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe 3. Subsiuionen Aus er Herleiung einer Gleichung nach JOHANSEN in Kap wir ersichlich, ass er Haupeil er Rechenarbei er Ermilung von b 1 gil. Eine Möglichkei b 1 zu besimmen, führ über as Momenengleichgewich er einzelnen Spannungskomponenen bei einer besimmen Versagenssiuaion. Voraussezung afür is ie vorherige Subsiuion aller Unbekannen außer b 1. III-2 R 1 2 1, 1, 2, 1,q 2,q 2, f h,1,q, f h,2,, f h,1,, a 1 a 11 b 1 b 2 a 21 a 2 f h,2,q, R Abb. 3.9 Mögliches Spannungsbil für en Versagensmechanismus 1a Für en in Abb. 3.9 gezeigen Versagensfall sollen ie nöigen Subsiuionen hergeleie weren. Das Kräfegleichgewich in verikaler Richung sez ie Flächengleichhei er karieren Spannungsblöcke voraus: ( ) f + b f = b f 1, h,1,, 1 1, h,1, q, 2 h, 2,, Daraus ergib sich uner Berücksichigung aller in Abb. 3.4 gezeigen Verhälniswere un nach ensprechener Umformung b 2 folgenermaßen: Seie 40

48 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe f = f μ h,1, q, h,1,, 1 f = β f h,2,, h,1,, = ξ 1, 1 1 ( ) ( ) ξ f + b ξ f μ = b β f 1 1 h,1,, h,1,, 1 2 h,1,, b 2 = b ξ μ f + ξ f h,1,, 1 1 h,1,, β f h,1,, b = b μ ξ μ ξ β Außerem müssen ie beien schräg schraffieren Flächeneile innerhalb einer Plae gleich groß sein. Für ie Plae 1 beeue as: ( ) ( ) a f = a f + + b f 1 h,1,, 1, 1 h,1,, 1, q 1, 1 h,1, q, Mi en üblichen Verhälnisweren, ie man oben einsez bekomm man: f = f μ h,1, q, h,1,, 1 = ξ 1, 1 1 ( ξ ) = 2 = 2 ξ = 1 2 1, q 1 1, ( ) ( 1 2 ) a1 fh,1,, = 1 ξ1 a1 fh,1,, + 1 ξ1 1 ξ1 b1 fh,1,, μ1 1 a = + b 2 ( ξ μ 2 ξ μ ξ μ μ ) Un a 1 ergib sich zu: a = 1 b ( μ μ ξ μ ξ ) Seie 41

49 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Wene man ie gleichen Überlegungen für ie Plae 2 an bekomm man für a 2 : a 2 = b2 + 2 μ2 2 μ 2 Ersez man nun noch b 2 urch ie oben ermiele Subsiuion, erhäl man: a a 2 2 = = b μ + + ξ μ ξ β 2 μ b1 μ1 1 ξ1 1 μ1 ξ1 + β 2 μ2 2 β μ 2 2 μ a 2 = b1 μ1 + 2 β μ2 + 1 ( 1 + μ1) ξ1 2 β μ 2 Es wir arauf hingewiesen, ass ie hergeleieen Subsiuionen b 2, a 1 un a 2 nur für ieses Spannungsbil gelen. Für ie Verbinung zweier reischichiger Bresperrholzplaen müssen ie Subsiuionen für jees er 66 Spannungsbiler exra ermiel weren. 4. Momenengleichgewich Als nächser Schri im Rechenablauf wir ie Summe er Momene in er Scherfuge gebile. Es gehen ie resulierenen Kräfe er einzelnen Spannungsblöcke mi ihrem Absan zur Scherfuge ein. a1 1, a1 fh,1,, a1 1 + fh,1,, ( 1, a1 ) + 1, q + 1, , q 1, + fh,1, q, 1, q + 1, + fh,1,, 1, = 2 2 2, 2, + 2, q a 2 = fh, 2,, 2, + fh, 2, q, ( 2, + 2, q a2 ) + 2, a2 2, 2, fh,2, q, ( a2 2, ) 2, + 2, q fh,2,, 2, Seie 42

50 3 Die Johansen-Theorie für gekreuz geschichee Holzwerksoffe Einsezen er in Punk 3 ermielen Subsiuionen un auflösen nach b 1 ergib: b 1 = (1 ) 1 2 μ1 + β μ2 ( μ ( β ( + ( 2 + μ )) μ ( 1 + μ ) ( 1 + β μ ) ξ ) ( β μ μ (2 β μ (2 μ + 2 ( 1 + μ ) ξ ) 2 1 μ1 μ1 ξ1 β μ2 ξ1 μ1 ξ1 (2 + 2 ( 1 + ) ) ( 2 ( + ) + ( 1+ 2 )) β ( μ (2 + β μ ) μ ) (1+ β μ2) ξ ( 1 + μ ) (1 + β μ ) ξ )) )) 5. Konrolle In Punk 4 wir ie allgemeine Gleichung für b 1 für en beracheen Versagensfall ermiel. Durch Definiion er Geomerie un er Fesigkeien am Beginn es Rechenablaufs erhäl man b 1 als zahlenmäßige Größe. Der nächse wichige Schri is eine Konrollabfrage. Mi em nun bekannen b 1 weren ie in Punk 3 ermielen Rechensubsiuionen, ie von b 1 abhängen, errechne. Simmen ie errechneen Were b 1, b 2, a 1, a 2 mi en geomerischen Ranbeingungen un somi mi em Spannungsbil überein, sell b 1 eine gülige Lösung ar. Solle nur eine ieser Größen nich en Vorgaben aus em Spannungsbil ensprechen, is b 1 keine richige Lösung un wir ausgeschieen. Das beeue, ass bei er Tragfähigkeisberechnung für eine besimme Verbinung leiglich ein Spannungsbil für jeen er fünf übergeorneen Versagensmechanismen möglich is. Um welches es sich abei hanel, häng von en Eingangsparameern, Fesigkei un Geomerie, ab. 66 heoreisch mögliche Versagensfälle Geomerie Maerialkennwere Ein möglicher Versagensfall je übergeorneem Mechanismus R (1a), R (1b), R (2a), R (2b), R (3) R = Minimum aus R (1a), R (1b), R (2a), R (2b), R (3) Abb Der Weg von 66 möglichen Versagensfällen zu einer einzigen Tragfähigkei R Seie 43

Bemessung von stiftförmigen Verbindungsmitteln in Brettsperrholz -

Bemessung von stiftförmigen Verbindungsmitteln in Brettsperrholz - Bemessung von siörmigen Verbinungsmieln in Bresperrholz - Anwenung akueller Forschungsergebnisse Thomas Uibel, Dipl.-Ing. Universiä Karlsruhe, Lehrsuhl ür Ingenieurholzbau un Baukonsrukionen EINLEITUNG

Mehr

Berechnungen am Wankelmotor

Berechnungen am Wankelmotor HTL Saalfelen Wankelmoor Seie von 7 Schmihuber Heinrich heinrich_schmihuber@homail.com Berechnungen am Wankelmoor Link zur Beispielsübersich Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Linieninegral,

Mehr

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach)

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach) Übungen zur Einführung in ie Physik Nebenfach --- Muserlösung --- Aufgabe: Konensaorenlaung Ein mi Glimmer ε r = 8 gefüller Plaenkonensaor mi er Fläche A=6 cm un einem Plaenabsan = 5 μm enlä sich wegen

Mehr

FERMACELL Gipsfaser-Platten. Bemessung von Wandtafeln nach DIN 1052:2004-08. Mehr Vorteile und Möglichkeiten für den Holzbau durch die neue DIN 1052

FERMACELL Gipsfaser-Platten. Bemessung von Wandtafeln nach DIN 1052:2004-08. Mehr Vorteile und Möglichkeiten für den Holzbau durch die neue DIN 1052 FERMACELL Gipsaser-Plaen Bemessung von Wanaeln nach DIN 05:004-08 Mehr Voreile un Möglicheien ür en Holzbau urch ie neue DIN 05 Mehr Voreile un Möglicheien ür en Holzbau urch ie neue DIN 05 Grunsäzliche

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwere un Eigenvekoren Vorbemerkung: Is ie n n Marix inverierbar, so ha as lineare Gleichungssysem A x b für jees b genau eine Lösung, nämlich x A b. Grun: i A x A A b b, ii Is y eine weiere Lösung,

Mehr

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2)

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2) Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 In iesem Teil er Reihe wollen wir anhan eines Zahlenbeispiels en Deomaionsgraienen als zenrale Größe zur Beschreibung er Deormaion in er Kinemaik

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

Schnee- und Eislasten. EN Windlasten nach DIN EN Temperatureinwirkung Wasserdruck Baugrundsetzung

Schnee- und Eislasten. EN Windlasten nach DIN EN Temperatureinwirkung Wasserdruck Baugrundsetzung Arbeisbla 3 Ausgabe 1-6 Bewehren von Sahlbeonragwerken nach DIN EN 199-1-1:11-1 in Verbinung mi DIN EN 199-1-1/NA:11-1 Grunlagen er Bemessung nach em EC Sicherheiskonzep, Nachweisverfahren, Schnigrößenermilung

Mehr

Versuch Verweilzeit. Zielstellung: Untersuchung der Verweilzeitcharakteristik mikrofluidischer Bauteile.

Versuch Verweilzeit. Zielstellung: Untersuchung der Verweilzeitcharakteristik mikrofluidischer Bauteile. Versuch Verweilzei Zielsellung: Unersuchung er Verweilzeicharakerisik mikrofluiischer Baueile. Grunlagen: In mikrofluiischen Baueilen mi gergem Kanalurchmesser is ie lamare Srömung as vorherrschene Flussregime.

Mehr

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils

Mehr

Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur

Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Insiu für Mahemaik Winersemeser 0/3 Universiä Würzburg 0 Februar 03 Prof Dr Jörn Seuding Dr Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Aufgabe : (0 Punke) Zeigen

Mehr

24.1 Mindestzuverlässigkeit und Aussagewahrscheinlichkeit

24.1 Mindestzuverlässigkeit und Aussagewahrscheinlichkeit 24 Versuche ohne Ausfälle Success un 24. Mindeszuverlässigkei und Aussagewahrscheinlichkei Um eine Aussage üer die Zuverlässigkei eines Baueiles oder einer Baugruppe zu erhalen, werden vor der eigenlichen

Mehr

Lochbleche. Lochbleche werden aus feuerverzinkten Stahlblechen

Lochbleche. Lochbleche werden aus feuerverzinkten Stahlblechen 80 240 1,5 100 300 1,5 Allg. bauaufsichtliche Zulassung Z-9.1-629 für 1,5mm Bleche. Die 2,0 bis 3,0mm Bleche sin in er DIN geregelt. Lochbleche weren aus feuerverzinkten Stahlblechen un mit einem Lochmuster,

Mehr

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 3

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 3 Flugzeugaerodynam I Lösungsbla 3 Lösung Aufgabe 5 geg: dünnes Profil a) ges: A 1 mi m (1) f 0.01 () Annahme Amosphärendaen: Abschäzung der Ansrömmachzahl U 1 50m/s (3) ρ 1 1.kg/m 3 (4) α 1 10 o (5) dc

Mehr

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs Seie von 9 Unerlagen für die Lehrkraf Abiurprüfung 9 Mahemaik, Leisungskurs. Aufgabenar Lineare Algebra/Geomerie ohne Alernaive. Aufgabensellung siehe Prüfungsaufgabe. Maerialgrundlage 4. Bezüge zu den

Mehr

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und

Mehr

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) =

Mehr

Freie Schwingung - Lösungsfälle

Freie Schwingung - Lösungsfälle Freie Schwingungen Seie von 6 Peer Schüller peer.schueller@bbw.gv.a Freie Schwingung - Lösungsfälle Maheaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Differenialgleichung.Ornung i onsanen Koeffizienen, Schwingung

Mehr

7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasten

7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasten Einmassenschwinger eil I.7 Impulslasen 53 7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasen Impulslasen im echnischen Allag sind zum Beispiel Soß- oder Aufprallvorgänge oder Schläge. Die Las seig dabei in kurzer

Mehr

Name: Punkte: Note: Ø:

Name: Punkte: Note: Ø: Name: Punke: Noe: Ø: Kernfach Physik Abzüge für Darsellung: Rundung: 4. Klausur in K am 5. 5. 0 Ache auf die Darsellung und vergiss nich Geg., Ges., Formeln, Einheien, Rundung...! Angaben: e =,60 0-9 C

Mehr

Abscheren stiftförmiger Verbindungsmittel (Holz Holz)

Abscheren stiftförmiger Verbindungsmittel (Holz Holz) DIN 1052 Abscheren stiftförmiger Verbindungsmittel (Holz Holz) 2 Verbindungen mit stiftförmigen metallischen Verbindungsmitteln Stabdübel und Passbolzen (12.3) Bolzenverbindungen (12.4) Gewindestangen

Mehr

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen N.BORGHINI Version vom 5. November 14, 13:57 Kernphysik III. Radioakive Zerfallsreihen Das Produk eines radioakiven Zerfalls kann selbs insabil sein und späer zerfallen, und so weier, sodass ganze Zerfallsreihen

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes

Mehr

Medikamentendosierung A. M.

Medikamentendosierung A. M. Medikamenendosierung A M Inhalsverzeichnis 1 Einleiung 2 2 Ar der Einnahme 3 3 Tropfenweise Einnahme 4 31 Differenialgleichung 4 32 Exake Lösung 5 33 Näherungsweise Lösung 5 4 Periodische Einnahme 7 41

Mehr

Deutschsprachiger Wettbewerb 2009 / 2010 Mathematik Jahrgang 2 2. Runde

Deutschsprachiger Wettbewerb 2009 / 2010 Mathematik Jahrgang 2 2. Runde Deuschsprachiger Webewerb 009 / 00 Mahemaik Jahrgang. Rune Liebe Schülerin, lieber Schüler, iese Rune es Webewerbs ha 0 Fragen, Sie sollen von en vorgegebenen Lösungsmöglichkeien immer ie einzige richige

Mehr

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 2

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 2 Flugzeugaerodynamik I Lösungsbla 2 Lösung Aufgabe Bei der vorliegenden Aufgabe handel es sich um die Nachrechenaufgabe der Skele Theorie. a) Der Koeffizien A 1 is durch die Wölbung des gegebenen Skeles

Mehr

Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2010

Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2010 Prüfung Grunprinzipien er Versicherungs- un Finanzmahemaik Aufgabe : (5 Minuen a Gegeben sei ein einperioiger Sae Space-Mark mi rei Zusänen, er aus rei Werpapieren besehe, einer sicheren Anlage zu % sowie

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion

Mehr

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse:

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse: Masse, Kraf und Beschleunigung Masse: Sei 1889 is die Einhei der Masse wie folg fesgeleg: Das Kilogramm is die Einhei der Masse; es is gleich der Masse des Inernaionalen Kilogrammprooyps. Einzige Einhei

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 310 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II Fachbereich Mahemaik Prof. J. Bokowski Dennis Frisch, Nicole Nowak Sommersemeser 27 5., 8. und 2. Mai 5. Übungsbla zur Linearen Algebra II Gruppenübung Aufgabe G (Hüllen) In dieser Aufgabe soll es darum

Mehr

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R. Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(

Mehr

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion

Mehr

Universität Ulm Samstag,

Universität Ulm Samstag, Universiä Ulm Samsag, 5.6. Prof. Dr. W. Arend Robin Nika Sommersemeser Punkzahl: Lösungen Gewöhnliche Differenialgleichungen: Klausur. Besimmen Sie die Lösung (in möglichs einfacher Darsellung) folgender

Mehr

Strömung im Rohr. Versuch: Inhaltsverzeichnis. Fachrichtung Physik. Physikalisches Grundpraktikum. 1 Aufgabenstellung 2

Strömung im Rohr. Versuch: Inhaltsverzeichnis. Fachrichtung Physik. Physikalisches Grundpraktikum. 1 Aufgabenstellung 2 Fachrichung Physik Physikalisches Grundprakikum Ersell: Bearbeie: Versuch: L. Jahn SR M. Kreller J. Kelling F. Lemke S. Majewsky i. A. Dr. Escher Akualisier: am 29. 03. 2010 Srömung im Rohr Inhalsverzeichnis

Mehr

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h)

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h) Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen

Mehr

4. Erhaltungssätze für Masse und Impuls

4. Erhaltungssätze für Masse und Impuls 4. Erhalngssäze für Masse n Impls Wie ie klassische Mechanik basier ie Srömngsmechanik af er Erhalng von Masse Impls Energie Die Erhalngsgeseze gelen für as infiniesimal kleine Flielemen n für reiimensionale

Mehr

INSTITUT FÜR ANGEWANDTE PHYSIK Physikalisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Hamburg, Jungiusstraße 11

INSTITUT FÜR ANGEWANDTE PHYSIK Physikalisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Hamburg, Jungiusstraße 11 INSIU FÜR NGENDE HYSI hysikalisches rakikum für Suierene er Ingenieurswissenschafen Universiä Hamburg, Jungiussraße 11 elier-ärmepumpe 1 Ziel äleleisung, ärmeleisung un ie Leisungsziffer einer elier-ärmepumpe

Mehr

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen 58 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen 34 Syseme linearer Differenialgleichungen Die Unersuchung der Normalformen von Marizen soll nun auf die Lösung von Differenialgleichungssysemen angewende

Mehr

Zeitreihenökonometrie

Zeitreihenökonometrie Zeireihenökonomerie Kapiel 4 Schäzung univariaer Zeireihenmodelle Y = c+ α Y + + α Y + ε + βε + + β ε p p q q Problem: Direke Schäzung der Parameer α,, αp und β,, βq über OLS nich möglich, da die Residuen

Mehr

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

Mehr

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals 1/8 Grundidee der Inegralrechnung Inegralrechnung Die Inegralrechnung is neben der Differenialrechnung der wichigse Zweig der Analysis. Sie is aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung ensanden.

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 4

Lösungen zu Übungsblatt 4 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Lösungen zu Übungsbla 4 Aufgabe 2 Punke a Geben Sie eine Funkion f

Mehr

Raumzeigermodulation. Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik. Arcisstraße 21 D München

Raumzeigermodulation. Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik. Arcisstraße 21 D München Lehrsuhl für Elekrische Anriebssyseme und Leisungselekronik Technische Universiä München Arcissraße 1 D 80333 München Email: ea@ei.um.de Inerne: hp://www.ea.ei.um.de Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel Tel.: +49

Mehr

Zusammenfassung Das klassische dynamische Gleichgewichtsmodell Geldtheorie und Geldpolitik Wintersemester, 2011/12

Zusammenfassung Das klassische dynamische Gleichgewichtsmodell Geldtheorie und Geldpolitik Wintersemester, 2011/12 Zusammenfassung Das klassische dynamische Gleichgewichsmodell Geldheorie und Geldpoliik Winersemeser, 20/2 Haushale Wir nehmen an Haushale maximieren ihren ineremporalen Nuzen und leben unendlich lang

Mehr

Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten.

Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten. T1 I. Theorieeil a) Zur Zei wird ein Pake der Masse dm mi der Geschwindigkei aus der Rakee ausgesoÿen. Newon's zweies Gesez läss sich schreiben als dp d = F p( + ) p() = F d = Av2 d Der Impuls des Sysems

Mehr

Kapitel : Exponentielles Wachstum

Kapitel : Exponentielles Wachstum Wachsumsprozesse Kapiel : Exponenielles Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum 1.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden im Beispiel 2 auch fas die gleiche Angabe wie in Beispiel 1 - lediglich eine

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 151 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat Fachag Mahemaik: Kurvenscharen Ablauf: 1. Sunde Gemeinsame Einsiegsaufgabe. Sunde Sammgruppenaufgaben Sammgruppen (a bis 6 Schüler) Jedes Gruppenmiglied erhäl eine unerschiedliche Aufgabe A, B, C, D in

Mehr

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen Unersuchung von Gleienladungen und deren Modellierung durch Funkengeseze im Vergleich zu Gasenladungen Dipl.-Ing. Luz Müller, Prof. Dr.-Ing. Kur Feser Insiu für Energieüberragung und Hochspannungsechnik,

Mehr

Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten. Industriemeister Metall / Neu

Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten. Industriemeister Metall / Neu Fragen / Themen zur Vorbereiung auf die mündliche Prüfung in dem Fach Berücksichigung naurwissenschaflicher und echnischer Gesezmäßigkeien Indusriemeiser Meall / Neu Die hier zusammengesellen Fragen sollen

Mehr

Zeitreihenökonometrie

Zeitreihenökonometrie Zeireihenökonomerie Kapiel 1 - Grundlagen Einführung in die Verfahren der Zeireihenanalyse (1) Typischerweise beginn man mi einer Beschreibung der jeweils zu unersuchenden Zeireihe (graphisch) Trendverhalen,

Mehr

3.2 Festlegung der relevanten Brandszenarien

3.2 Festlegung der relevanten Brandszenarien B Anwendungsbeispiel Berechnungen Seie 70.2 Feslegung der relevanen Brandszenarien Eine der wichigsen Aufgaben beim Nachweis miels der Ingenieurmehoden im Brandschuz is die Auswahl und Definiion der relevanen

Mehr

Übungsaufgaben zu Kapitel 5: Erwartungen Die Grundlagen

Übungsaufgaben zu Kapitel 5: Erwartungen Die Grundlagen Kapiel 5 Übungsaufgaben zu Kapiel 5: Erwarungen Die Grundlagen Übungsaufgabe 5-1a 5-1a) Beschreiben Sie die heoreischen Überlegungen zum Realzins. Wie unerscheide sich der Realzins vom Nominalzins? Folie

Mehr

HTL Kapfenberg pc_reifeprüfungsaufgaben_ma_11_bsp.31.mcd Seite 1 von 7

HTL Kapfenberg pc_reifeprüfungsaufgaben_ma_11_bsp.31.mcd Seite 1 von 7 HTL Kapfenberg p_reifeprüfungsaufgaben_ma Bsp.3.m Seie von 7 Angaben zu Aufgabe 3: Ein shwingfähiges mehanishes Sysem is mi einem geshwinigeisproporionalem Dämpfer ausgesae. Folgene in iesem Zusammenhang

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K

Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe. Für jedes * is die Funkion f gegeben durch f (x) = x x + x +, x Ds Schubild von f is K. ( )( ).. (4 Punke) Zeichnen Sie K und K

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universiä München WS 11/1 Insiu für Informaik Prof. Dr. Hans-Joachim Bungarz Michael Lieb, M. Sc. Dipl.-Inf. Chrisoph Riesinger Dipl.-Inf. Marin Schreiber Numerisches Programmieren 4. Programmieraufgabe:

Mehr

INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB

INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB Sequenzanalyse Überblick Sh Schrie der Daenanalyse: Daenvorverarbeiung Problemanalyse Problemlösung Anwendung der Lösung Aggregaion und Selekion von Daen. Inegraion

Mehr

AVWL II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser. Kapitel 5 Die Phillipskurve

AVWL II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser. Kapitel 5 Die Phillipskurve AVWL II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser Kapiel 5 Die Phillipskurve Version: 22.11.2010 Der empirische Befund in den 60er Jahren Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 : 1931-1939 In

Mehr

Übungsblatt 4 Lösungsvorschläge

Übungsblatt 4 Lösungsvorschläge Insiu für Theoreische Informaik Lehrsuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsbla 4 Lösungsvorschläge Vorlesung Algorihmenechnik im WS 09/10 Problem 1: Flüsse [vgl. Kapiel 4.1 im Skrip] ** Gegeben sei ein Nezwerk

Mehr

Leseprobe. Ines Rennert, Bernhard Bundschuh. Signale und Systeme. Einführung in die Systemtheorie. ISBN (Buch):

Leseprobe. Ines Rennert, Bernhard Bundschuh. Signale und Systeme. Einführung in die Systemtheorie. ISBN (Buch): Leseprobe Ines Renner, Bernhard Bundschuh Signale und Syseme Einführung in die Sysemheorie ISBN (Buch): 978-3-446-43327-4 ISBN (E-Book): 978-3-446-43328- Weiere Informaionen oder Besellungen uner hp://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43327-4

Mehr

Demo-Text für Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel.

Demo-Text für  Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel. Funkionen und Kurven Differenialgeomerie Tex Nummer: 5 Sand: 9. März 6 Demo-Tex für www.mahe-cd.de INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mahe-cd.de 5 Differenialgeomerie Vorwor Das Thema Kurven is

Mehr

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion)

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion) R. Brinkmann hp://brinkmann-du.de Seie.. Tangene und Normale Tangenenseigung Die Seigung eines Funkionsgraphen in einem Punk P ( f ( ) ) is gleichbedeuend mi der Seigung der Tangene in diesem Punk. Nachfolgend

Mehr

Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012

Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012 Technische Universiä München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis für Physiker Lösung Monag SS 0 Aufgabe Gradien und Tangene ( ) Besimmen Sie zur Funkion f(x, y) = x y + xy + y die pariellen Ableiungen,

Mehr

Begriffe für Gesteinskörnungen

Begriffe für Gesteinskörnungen Nr. 17 D/10 Begriffe für Geseinskörnungen Merkbläer zum Devisieren Hochbau Tiefbau 1 Ausgangslage Mi der Einführung der Europäischen Normen (EN) für die Geseinskörnungen werden bisher gebräuchliche Begriffe

Mehr

4. Quadratische Funktionen.

4. Quadratische Funktionen. 4-1 Funkionen 4 Quadraische Funkionen 41 Skalierung, Nullsellen Eine quadraische Funkion is von der Form f() = c 2 + b + a mi reellen Zahlen a, b, c; is c 0, so sprechen wir von einer echen quadraischen

Mehr

Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-9: Multiplizieren mehrgliedriger Termee. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB

Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-9: Multiplizieren mehrgliedriger Termee. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Schule Thema Personen Bunesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-9: Multiplizieren mehrglieriger Termee 1F Wintersemester 01/013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Ein neues Problem

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser ARBEITSBLATT LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Nachdem wir die Lage weier Ebenen unersuch haben, wollen wir uns nun mi der Lage von drei Ebenen beschäfigen. Anders

Mehr

A.24 Funktionsscharen 1

A.24 Funktionsscharen 1 A.4 Funkionsscharen A.4 Funkionsscharen ( ) Bemerkung: Im Buch Kurvenprobleme gib es viel Aufgaben zu Funkionen, die einen Parameer enhalen. Falls Sie hier also nich genug kriegen... A.4.0 Orskurven (

Mehr

Leistungselektronik Grundlagen und Standardanwendungen. Übung 3: Kommutierung

Leistungselektronik Grundlagen und Standardanwendungen. Übung 3: Kommutierung Lehrsuhl für Elekrische Anriebssyseme und Leisungselekronik Technische Universiä München Arcissraße 1 D 8333 München Email: eal@ei.um.de Inerne: hp://www.eal.ei.um.de Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel Tel.:

Mehr

Multiple Regression: Übung 1

Multiple Regression: Übung 1 4. Muliple Regression Ökonomerie I - Peer Salder 1 Muliple Regression: Übung 1 Schäzung einer erweieren Konsumfunkion für die Schweiz Wir unersuchen die Abhängigkei der Konsumausgaben der Schweizer Haushale

Mehr

2.2 Rechnen mit Fourierreihen

2.2 Rechnen mit Fourierreihen 2.2 Rechnen mi Fourierreihen In diesem Abschni sollen alle Funkionen als sückweise seig und -periodisch vorausgesez werden. Ses sei ω 2π/. Wir sezen jez aus Funkionen neue Funkionen zusammen und schauen,

Mehr

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis www.mahe-aufgaben.com Analysis: Eponenialfunkionen Analysis Übungsaufgaben u Eponenialfunkionen Pflich- und Wahleil gesames Soffgebie (insbesondere Funkionsscharen) ohne Wachsum Gymnasium ab J Aleander

Mehr

Mathematik III. Vorlesung 87. Die äußere Ableitung

Mathematik III. Vorlesung 87. Die äußere Ableitung Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011 Mathematik III Vorlesung 87 Die äußere Ableitung In ieser Vorlesung weren wir ein neuartiges mathematisches Objekt kennenlernen, ie sogenannte äußere Ableitung.

Mehr

,QVWLWXWI U6FKLIIVWHFKQLN'XLVEXUJ,6' 6&+,))6)(67,*.(,7. hexqjvdxijdehq + KHUH6FKLIIVIHVWLJNHLW

,QVWLWXWI U6FKLIIVWHFKQLN'XLVEXUJ,6' 6&+,))6)(67,*.(,7. hexqjvdxijdehq + KHUH6FKLIIVIHVWLJNHLW ,6' 5)'5,+$%,/+-6&+/h7(5 ',/,5/8 hexqjvdxjdehq + KHUH6FKLVHVWLJNHLW Duisburg,. Dezember 999 can. arch. nav Chrisian Weißenborn URÃ'U,QJÃKDELOÃ+Ã-Ã6FKO WHU 'LSO,QJÃ5ÃOXP nhalsverzeichnis BALKENTRAGWERKE....

Mehr

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte www.mahe-aufgaben.com Analysis: Ganzraionale Funkionen Analysis Ganzraionale Funkionen Differenzialrechnung, Exrem- und Wendepunke Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mahe-aufgaben.com Juni 0 www.mahe-aufgaben.com

Mehr

Investitionsrechnung in der öffentlichen Verwaltung

Investitionsrechnung in der öffentlichen Verwaltung GablerPLUS Zusazinformaionen zu Medien des Gabler Verlags Invesiionsrechnung in der öffenlichen Verwalung Rechenmehoden zur prakischen Bewerung von Invesiionsvorhaben 2011 1. Auflage Kapiel 3 Saische und

Mehr

MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik Fachabiuiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichung Technik Diensag, 4. Juni 2013, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler

Mehr

Zeitreihenökonometrie

Zeitreihenökonometrie ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Zeireihenökonomerie Kapiel 6 Nichsaionäre univariae Zeireihenmodelle ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse

Mehr

Erste schriftliche Wettbewerbsrunde. Klasse 7

Erste schriftliche Wettbewerbsrunde. Klasse 7 Erste schriftliche Wettbewerbsrune Die hinter en Lösungen stehenen Prozentzahlen zeigen, wie viel Prozent er Wettbewerbsteilnehmer ie gegebene Lösung angekreuzt haben. Die richtigen Lösungen weren fettgeuckt

Mehr

Überblick. Beispielexperiment: Kugelfall Messwerte und Messfehler Auswertung physikalischer Größen Darstellung von Ergebnissen

Überblick. Beispielexperiment: Kugelfall Messwerte und Messfehler Auswertung physikalischer Größen Darstellung von Ergebnissen Überblick Beispielexperimen: Kugelfall Messwere und Messfehler Auswerung physikalischer Größen Darsellung von Ergebnissen Sicheres Arbeien im abor Beispielexperimen : Kugelfall Experimen: Aus der saionären

Mehr

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis E2 Kondensaor und Spule im Gleichsromkreis Es sollen experimenelle nersuchungen zu Ein- und Ausschalvorgängen bei Kapaziäen und ndukiviäen im Gleichsromkreis durchgeführ werden. Als Messgerä wird dabei

Mehr

Zwischenwerteigenschaft

Zwischenwerteigenschaft Zwischenwereigenschaf Markus Berberich Ausarbeiung zum Vorrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemeser 2009, Leiung PD Dr. Gudrun Thäer) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

GETE ELEKTRISCHES FELD: DER KONDENSATOR: Elektrische Feldstärke: E r. Hr. Houska Testtermine: und

GETE ELEKTRISCHES FELD: DER KONDENSATOR: Elektrische Feldstärke: E r. Hr. Houska Testtermine: und Schuljahr 22/23 GETE 3. ABN / 4. ABN GETE Tesermine: 22.1.22 und 17.12.2 Hr. Houska houska@aon.a EEKTRISCHES FED: Elekrisch geladene Körper üben aufeinander Kräfe aus. Gleichnamige geladene Körper sießen

Mehr

26 31 7 60 64 10. 16 6 12 32 33 9

26 31 7 60 64 10. 16 6 12 32 33 9 Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 4 Fruchsäfe in Berieb der Geränkeindusrie produzier in zwei Werken an verschiedenen Sandoren

Mehr

16.2 Wärmeleitung durch eine ebene Wand

16.2 Wärmeleitung durch eine ebene Wand 16 Wärmeüberragung 16.1 Aren der Wärmeüberragung Bei der Wärmeüberragung, die gemäß dem. Haupsaz der Wärmelehre nur bei Vorliegen einer Temperaurdifferenz safinde, sind drei Aren zu unerscheiden: 1. Wärmeleiung

Mehr

4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum

4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum .7. Prüfungsaufgaben zum beschränken Wachsum Aufgabe : Exponenielle Abnahme und beschränkes Wachsum In einem Raum befinden sich eine Million Radonaome. Duch radioakiven Zerfall verminder sich die Zahl

Mehr

Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 2008/09

Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 2008/09 1 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 Teil 1: Multiple Choice (1 Punkte Für ie ganze Klausur bezeichne K einen beliebigen Körper. 1. Welche er folgenen Aussagen sin ann un nur ann erfüllt,

Mehr

t,t Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase l von 6 Mathematik 'f(x) f '(x) zkm (mit CAS) \ ro Aufgabenstellung

t,t Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase l von 6 Mathematik 'f(x) f '(x) zkm (mit CAS) \ ro Aufgabenstellung zkm (mi CAS) Miniserium für Landes Nordrhein-Wesfalen Seie 'les l von 6 Zenrale Klausur am Ende der Einführungsphase 202 Mahemaik Aufgabensellung Aufgabe : Unersuchung ganzraionaler Funkionen Gegeben is

Mehr

HAW Hamburg Fakultät Life Sciences - Physiklabor Physikalisches Praktikum

HAW Hamburg Fakultät Life Sciences - Physiklabor Physikalisches Praktikum HAW Hamburg Fakulä Life Sciences - Physiklabor Physikalisches Prakikum Auf- und Enladungen von Kondensaoren in -Gliedern Messung von Kapaziäen Elekrische Schalungen mi -Gliedern finde man z. B. in Funkionsgeneraoren

Mehr

V1 - Poisson-Statistik

V1 - Poisson-Statistik V1 - Poisson-Saisik Michael Baron, Sven Pallus 03. Mai 2006 Inhalsverzeichnis 1 Aufgabensellung 1 2 Theoreischer Hinergrund 2 2.1 Geiger-Müller-Zählrohr...................... 2 2.2 Poisson-Vereilung........................

Mehr

Staatsexamen Didaktiken einer Fächergruppe der Hauptschule Herbst 2007 Thema 2

Staatsexamen Didaktiken einer Fächergruppe der Hauptschule Herbst 2007 Thema 2 Referenin: Chrisina Börger Dozen: Dr. Thomas Wilhelm Daum: 16. 01.2008 Saasexamen Didakiken einer Fächergruppe der Haupschule Herbs 2007 Thema 2 Geschwindigkei 1. Viele physikalische Geseze drücken eine

Mehr

Regelungstechnik. Steuerung. Regelung. Beim Steuern bewirkt eine Eingangsgröße eine gewünschte Ausgangsgröße (Die nicht auf den Eingang zurückwirkt.

Regelungstechnik. Steuerung. Regelung. Beim Steuern bewirkt eine Eingangsgröße eine gewünschte Ausgangsgröße (Die nicht auf den Eingang zurückwirkt. Regelungsechnik Seuerung Beim Seuern bewirk eine Eingangsgröße eine gewünsche Ausgangsgröße (Die nich auf den Eingang zurückwirk. Seuern is eine Wirkungskee Seuerkee (Eingahnsraße) Bsp. Boiler Regelung

Mehr

Laplacetransformation in der Technik

Laplacetransformation in der Technik Verallgemeinere Funkionen Laplaceransformaion in der echnik Fakulä Grundlagen Februar 26 Fakulä Grundlagen Laplaceransformaion in der echnik Übersich Verallgemeinere Funkionen Verallgemeinere Funkionen

Mehr

Näherung einer Wechselspannung

Näherung einer Wechselspannung HL Seyr Wechselsromparabel Seie 1 von 1 Nieros Bernhard bernhard.nieros@hl-seyr.ac.a Näherung einer Wechselspannung Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Polynomfunkion, allgemeine Sinusschwingung,

Mehr

Kommunikationstechnik I

Kommunikationstechnik I Kommunikaionsechnik I Prof. Dr. Sefan Weinzierl Muserlösung 5. Aufgabenbla 1. Moden 1.1 Erläuern Sie, was in der Raumakusik uner Raummoden versanden wird. Der Begriff einer sehenden Welle läss sich am

Mehr

Latente Wärme und Wärmeleitfähigkeit

Latente Wärme und Wärmeleitfähigkeit Versuch 5 Laene Wärme und Wärmeleifähigkei Aufgabe: Nehmen Sie für die Subsanz,6-Hexandiol Ersarrungskurven auf und ermieln Sie daraus die laene Wärme beim Phasenübergang flüssig-fes sowie den Wärmedurchgangskoeffizienen

Mehr

Versuch 1 Schaltungen der Messtechnik

Versuch 1 Schaltungen der Messtechnik Fachhochschule Merseburg FB Informaik und Angewande Naurwissenschafen Prakikum Messechnik Versuch 1 Schalungen der Messechnik Analog-Digial-Umsezer 1. Aufgaben 1. Sägezahn-Umsezer 1.1. Bauen Sie einen

Mehr

4. Kippschaltungen mit Komparatoren

4. Kippschaltungen mit Komparatoren 4. Kippschalungen mi Komparaoren 4. Komparaoren Wird der Operaionsversärker ohne Gegenkopplung berieben, so erhäl man einen Komparaor ohne Hserese. Seine Ausgangsspannung beräg: a max für > = a min für

Mehr

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2 Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung

Mehr