T E I L I I I M O D E L L V E R T E I L U N G E N

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1 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 1 T E I L I I I M O D E L L V E R T E I L U N G E N

2 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S W A H R S C H E I N L I C H K E I T S V E R T E I L U N G E N Themen - wahrscheinlichkeitsverteilungen - erwartungswert, varianz - bewertung von verteilungen: nutzen - korrelation - ungleichungen - barwert im modell 'verteilungen' Literatur Erwin Kreyszig Statistische methoden und ihre anwendungen Vandenhoeck & Ruprecht 1977 Morris H. DeGroot Probability and statistics Addison Wesley 1975 Ulrich Krengel Einführung in die wahrscheinlichkeitstheorie und statistik Vieweg 1998 H. U. Gerber Lebensversicherungsmathematik Springer 1986, seiten Bowers, Gerber, Hickman, Jones, Nesbit Actuarial mathematics The society of actuaries 1986 Zadeh L.A. Fuzzy sets Information and control 8, , 1965 Zadeh L. A. Probability measures of fuzzy events Journal of mathematical analysis and applications 23, 1968

3 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 3 ALLGEMEINES STOCHASTISCHES MODELL Modell 'personengesamtheit' Prinzip: berechnung einmalzahlung (barwert), die zu stochastischem zahlungsstrom äquivalent ist, mittels zinseszinsrechnung und gewichtung mit wahrscheinlichkeiten. Rechtfertigung: bei vielen policen ist die durchschnittlich bezahlte leistung annähernd gleich dem barwert (gesetz der grossen zahlen). Nachteil: keine information über bandbreite und wahrscheinlichkeit der möglichen leistungen. Bei vielen policen kann differenz zwischen summe der effektiven leistungen und summe der theoretischen barwerte sehr gross sein. Modell 'verteilungen' Prinzip: wahrscheinlichkeitsverteilung über allen möglichen diskontierten zahlungsbeträgen. Rechtfertigung: vollständige information. Nachteil: aufwändige mathematische modellierung

4 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 4 BEISPIEL TODESFALLVERSICHERUNG 2-jährige todesfallversicherung zins null Todesfallleistung 1. jahr: 1000 mit q 1 = 0.1 Todesfallleistung 2. jahr: 2000 mit q 2 = 0.2 Barwert: (1-0.1) = 460 Verteilung: Leistung 0 mit ws 0.72 = (1-0.1) (1-0.2) Leistung 1000 mit ws 0.10 Leistung 2000 mit ws 0.18 = (1-0.1) 0.2 Erwartungswert = Varianz = Kovarianz = Korrelation = wahrscheinl. 2. jahr tot 2. jahr lebend 1. jahr tot 1. jahr lebend leistung 2. jahr tot 2. jahr lebend 1. jahr tot 1. jahr lebend

5 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 5 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG Ereignisse e i e = {e 1,..., e m } Partition/zerlegung von e e 1... e m = e, e i e k = für i k Wahrscheinlichkeitsverteilung Partition von e mit W(e) = 1: W(e 1 ) W(e m ) = 1 W(e i e k ) = 0 i k Zufallsvariable z(e i ) = z i funktion von ereignissen in reele zahlen W(z i ) = W(e i ) Erwartungswert µ = E[z(e)] = z(e 1 )W(e 1 ) z(e m )W(e m ) Gesetz der grossen zahlen Wird ein zufallsprozess mit einer bestimmten wahrscheinlichkeitsverteilung unter gleichen voraussetzungen aber unabhängig voneinander wiederholt, dann strebt der durchschnitt Z n der n beobachteten zufallszahlen z in wahrscheinlichkeit gegen den erwartungswert der verteilung: lim W( µ-z n <ε) = 1 für n

6 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 6 ERWARTUNGSWERTE: 1-DIMENSIONALE VERTEILUNG Verkettung µ g z = E[g(z(e))] = g(z(e 1 ))W(e 1 ) g(z(e m ))W(e m ) Lineare transformation E[az(e)+b] = a E[z(e)]+b µ az+b = aµ z + b Varianz, streuung σ 2 = E[(z(e)-E[z(e)]) 2 ] E[(az(e)+b-E(az(e)+b)) 2 ] = a 2 E[(z(e)-E[z(e)]) 2 ] σ 2 az+b = a 2 σ 2 z Standardabweichung σ Verschiebungssatz σ 2 = E[z(e) 2 ] - µ 2

7 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 7 ERWARTUNGSWERT: 2-DIMENSIONALE VERTEILUNGEN 2-dimensionale wahrscheinlichkeits-verteilung W(e 1,d 1 ) W(e 1,d n ) +... W(e m,d 1 ) W(e m,d n ) = 1 Zufallsvariablen z(e,d), f(e), g(d) Erwartungswert µ z = E[z(e,d)] = z(e 1,d 1 )W(e 1,d 1 )+... +z(e m,d n )W(e m,d n ) Kovarianz COV(f,g) = E[(f-µ f )(g-µ g )] Korrelationskoeffizient ρ(f,g) = COV(f,g)/ σ f σ g COV(f,g) 2 σ 2 f σ 2 g -1 ρ(f,g) +1 e i und d j unabhängig => COV(f,g) = ρ(f,g) = 0 Korrelation ρ(f,g) </=/> 0: f und g sind negativ/nicht/positiv korreliert g = a f+b <=> ρ(f,g) = sgn(a) Addition von zufallsvariablen z(e,d) = f(e) + g(d) µ f+g = µ f + µ g σ 2 f+g = σ 2 f + σ 2 g + 2 COV(f,g) = σ 2 f + σ 2 g + 2 ρ(f,g) σ f σ g Multiplikation von zufallsvariablen z(e,d) = f(e) g(d) µ fg = µ f µ g + COV(f,g) = µ f µ g + ρ(f,g) σ f σ g

8 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 8 BEISPIEL ZU ERWARTUNGSWERT I 2-dimensionale wahrscheinlichkeitsverteilung W(X,Y) y1 y2 y3 X x x x Y Erwartungswert und varianz von X W X W*X (X-Mx)² W*(.)² x x x Mx = Vx = Erwartungswert und varianz von Y W Y W*Y (Y-My)² W(Y-My)² y y y My = Vy = Kovarianz und korrelation XundY X Y W (.)*(.) W*(.) x1,y x1,y x1,y x2,y x2,y x2,y x3,y x3,y x3,y Cov = Cor =

9 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 9 BEISPIEL ZU ERWARTUNGSWERT II Erwartungswert und varianz bei additiven zufallsvariablen X+Y W W*(X+Y)(X+Y-M)^2 W*(...) x1+y x1+y x1+y x2+y x2+y x2+y x3+y x3+y x3+y Mx+y = Vx+y = Mx+y = Vx+y = * Erwartungswert und kovarianz bei multiplikativen zufallsvariablen X*Y W W*X*Y (XY-M)^2 W*(...) x1*y x1*y x1*y x2*y x2*y x2*y x3*y x3*y x3*y Mx*y = Vx*y = Mx*y = 1.800*

10 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 10 VERTEILUNGSFUNKTION Verteilungsfunktion der zufallsvariablen z G(t) = W(z t) G(- ) = 0, G(+ ) = 1, G monton steigend Verteilungsfunktion der diskreten verteilung G(t) = Σ W(z i ), wobei z i t Stetige verteilungsfunktion G(t) = g(y) dy, wobei integriert wird von minus unendlich nach t mit dichtefunktion g(y) = G(y)' g(y) dy = 1, integration von minus nach plus unendlich Erwartungswert einer stetigen verteilung µ = y g(y) dy, integration von minus nach plus unendlich

11 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 11 UNGLEICHUNGEN MIT ERWARTUNGSWERTEN Beschränkte zufallsvariable a f(e) b: a E[f(e)] b Ungleichung von markov 0 f(e): W(f(e) t) E[f(e)]/t für t>0 Ungleichung von chebyshev W( f(e) - E[f(e)] t) σ 2 / t 2 für t>0 Ungleichung von jensen g(x) konvex: E[g(f(e))] g(e[f(e)]) g(x) konkav: E[g(f(e))] g(e[f(e)]) Schwarzsche ungleichung E[f g] 2 E[f 2 ] E[g 2 ] Ungleichung von Steffensen f,g 0, f' g' 0 => E[f g] E[f] E[g]

12 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 12 NUTZEN VON VERTEILUNGEN Nutzen Der wert, den eine person dem eintreffen eines ereignisses beimisst, werde als dessen nutzen bezeichnet (subjektiver begriff). Nutzenfunktion Eine funktion u von den ereignissen e i in die menge der reellen zahlen sei eine nutzenfunktion, wenn gilt: nutzen von e 1 grösser/gleich/kleiner nutzen von e 2, <=> u(e 1 ) >/=/< u(e 2 ). Ordnung von verteilungen Der nutzen einer verteilung F 1 ist grösser/gleich/kleiner als nutzen einer verteilung F 2 <=> U(F 1 ) >/=/< U(F 2 ) mit U(F) = Σ u(e i ) w(e i ) i=1,...,n Beweis anhand axiomensystem Äquivalente nutzenfunktionen Zwei nutzenfunktionen u 1 und u 2 erzeugen die gleiche ordnung auf den verteilungen dann und nur dann, wenn u 1 = a u 2 +b mit a>0 Eigenschaften der nutzenfunktion Ist die nutzenfunktion auf einer zufallsvariablen z(e i ) definiert, so ist die nutzenfunktion u(z) eine reelle funktion einer reellen variablen und es kann von den eigenschaften der nutzenfunktion gesprochen werden.

13 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 13 INTERPRETATION BARWERT ALS ERWARTUNGSWERT Barwert V(T,{K j,t j,w j }) = Σ j T w j v tj-t K j Zufallsvariable z j = v tj-t K j z j = 0 auf den zeitpunkt T diskontierte zahlung K j keine zahlung Partition Wahrscheinlichkeit im zeitpunkt T des eintreffens von z j : T w j Wahrscheinlichkeit im zeitpuntk T des nichteintreffens von z j : 1 - Tw j Erwartungswert des cashflows K j E[K j ] = T w j v tj-t K j + (1 - T w j ) 0 Erwartungswert des cashflows K E [K] = E[ j K j ] = j E[K j ] = V(T,{K j,t j,w j }) addition von zufallsvariablen!

14 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 14 FUZZY SETS Crisp set Menge der klassischen mengentheorie: X={x 1, x 2,..., x n } Fuzzy set (X,m) Crisp set X={x 1, x 2,..., x n } Abbildung m: A [0,1] m(x i ) = m i membershipgrade: {m 1, m 2,..., m n } Leere menge (X,m) ist eine leere menge m(x i ) = 0 für i=1,...,n Teilmenge (X,a) ist eine teilmenge von (X,b) a i (x i ) b i (x i ) für i=1,...,n Gleiche mengen (X,a) ist gleich (X,b) a i (x i ) = b i (x i ) für i=1,...,n Komplementmenge (X,a) ist das komplement von (X,b) a i (x i ) = 1-b i (x i ) für i=1,...,n Vereinigungsmenge (X,c) ist die vereinigungsmenge von (X,a) und (X,b) c i (x i ) = max(a i (x i ),b i (x i )) für i=1,...,n Schnittmenge (X,c) ist die schnittmenge von (X,a) und (X,b) c i (x i ) = min(a i (x i ),b i (x i )) für i=1,...,n

15 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 15 WAHRSCHEINLICHKEIT EINES FUZZY EREIGNISSES Wahrscheinlichkeit eines fuzzy ereignisses nach Zadeh Gegeben w(x 1 ), w(x 2 ),..., w(x n ) W((X,m)) = m(x 1 ) w(x 1 ) + m(x 2 ) w(x 2 ) m(x n ) w(x n ) Nutzenerwartungswert (u(x 1 ) m(x 1 ) w(x 1 ) + u(x 2 ) m(x 2 ) w(x 2 ) u(x n ) m(x n ) w(x n )) / W((X,m))

16 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 16 AUFGABEN 13 A) Todesfallversicherung über 2 jahre Man berechne die fehlenden grössen auf der folie 'beispiel todesfallversicherung' B * ) Gesetz der grossen zahlen Man modelliere auf dem computer einen würfel mit W(1)=0.1, W(2)=0.1, W(3)=0.1, W(4)=0.2, W(5)=0.2, W(6)=0.3 und simuliere mit hilfe von zufallszahlen 1000 würfe. Die ergebnisse sind graphisch darzustellen. Man berechne erwartungswert und varianz und vergleiche sie mit den theoretischen werten. Wie lassen sich zufallsergebnisse mit einer vorgegeben verteilung generieren? C) Erwartungswert Man vereinfache den ausdruck E[f(e)-E[f(e)]] D * ) Underwriting mit fuzzy logic Präsentation artikel Hannover Rück E) Unabhängigkeit Gegeben sei eine zweidimensionale wahrscheinlichkeitsverteilung mit den wahrscheinlichkeiten W(e i,d j ). Man gebe die notwendige und hinreichende bedingung für die unabhängigkeit der ereignisse e und d an. F * ) Korrelation Es sind zwei zufallsvariablen x und y gegeben: die varianz von x ist 9, die varianz von y ist 4, der korrelationskoeffizient ist -1/6. Bestimme die varianz von x+y und die varianz von x-3y+4.

17 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S L E I S T U N G S - V E R T E I L U N G E N Themen - verteilung lebensdauer - verteilung todesfallversicherung - verteilung erlebensfallversicherung - verteilung gemischte versicherung Literatur H. U. Gerber Lebensversicherungsmathematik Springer 1986 Seiten 24-34

18 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 18 DIE STOCHASTISCHE LEBENSDAUER Lebensdauer als zufallsvariable T(x) zukünftige lebensdauer einer person mit alter x zufallsvariable W(T t x) wahrscheinlichkeit für einen x-jährigen innert t jahren zu sterben bedingte wahrscheinlichkeit q(t x) = t 1 q x = d x+t /l x = W(T t+1 x) - W(T t x) wahrscheinlichkeit für einen x-jährigen als x+t-jähriger zu sterben q(t x) > 0 q(t x) = 0 für 0 t ω-x sonst q(0 ω) = 1 Verteilungsfunktion G x (t) = W(T t x) G x (t) = 0 für t 0 G x (t) = 1 für t ω-x+1 Dichtefunktion g für differenzierbare verteilungsfunktion G g x (t) = G x (t)'

19 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 19 VERTEILUNG VERBLEIBENDE LEBENSDAUER VERTEILUNG q(t,x) DER VERBLEIBENDEN LEBENSDAUER ALTER 20 WAHRSCHEINLICHKEIT MÄNNER FRAUEN VERBLEIBENDE LEBENSDAUER MÄNNER: ERWARTUNGSWERT = 53.3 STANDARDABWEICHUNG = 13.8 FRAUEN : ERWARTUNGSWERT = 59.6 STANDARDABWEICHUNG = 12.3 VERTEILUNGSFUNKTION G DER VERBLEIBENDEN LEBENSDAUER ALTER 20 WAHRSCHEINLICHKEIT MÄNNER FRAUEN VERBLEIBENDE LEBENSDAUER MÄNNER: ERWARTUNGSWERT = 53.3 STANDARDABWEICHUNG = 13.8 FRAUEN : ERWARTUNGSWERT = 59.6 STANDARDABWEICHUNG = 12.3

20 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 20 VERTEILUNGSFUNKTION UND WAHRSCHEINLICHKEITEN Zusammenhang teile II und III tq x = G x (t) t 0 = (l x -l x+t )/l x tp x s tq x = 1 - G x (t) = W(s < T s+t x) = G x (s+t) - G x (s) = s+t q x - s q x tp x+s = W(T > s+t T>s, x) = (1 - G x (s+t))/(1 - G x (s)) tq x+s = W(T s+t T>s, x) = (G x (s+t) - G x (s))/(1 - G x (s)) s+tp x s tq x = 1 - G x (s+t) = (1 - G x (s)) (1 - G x (s+t)) / (1 - G x (s)) = s p x t p x+s = (1 - G x (s)) (G x (s+t)- G x (s))/(1 - G x (s)) = s p x t q x+s

21 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 21 STERBE- UND ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN Wahrscheinlichkeit für einen x-jährigen als x+t-jähriger zu sterben q(t x), t = 0, 1,... t q(t x) = 1, t = 0, 1,... q(t x) = t 1 q x = d x+t /l x q(0 x) = q x q(t x) = p(0 x) p(0 x+1)... p(0 x+t-1) q(0 x+t) = p(t-1 x) q(0 x+t) q(t x) = q(x+t 0) / p(x-1 0) Wahrscheinlichkeit für einen x-jährigen das alter x+t zu überleben p(t x) t = 0, 1,... p(0 x) = 1 - q(0 x) p(t x) = t+1 p x = l x+t+1 /l x p(0 x) = p x p(t x) = p(0 x) p(0 x+1)... p(0 x+t) p(t x) = p(x+t 0) / p(x-1 0) p(t x) = p(t-1 x) - q(t x)

22 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 22 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ DER LEBENSDAUER Partition der lebensdauer q(0 x) + q(1 x) q(ω-x x) = 1 Mittlere vollständige lebenserwartung o e x = (½) q(0 x) + (1+½) q(1 x) (ω-x+½) q(ω-x x) Mittlere lebenserwartung e x = (0) q(0 x) + (1) q(1 x) (ω-x) q(ω-x x) e x = o e x - ½ Varianz der lebensdauer Übungsaufgabe

23 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 23 BERECHNUNG VERTEILUNG DIE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG DER ZUKÜNFTIGEN LEBENSDAUER x/y 35 VERTEILUNG µ SM 78/83 SF 78/83 1-j. todesfallws 1-j. überl'ws t-j. überl'ws 1-j. aufg. todesfallws t q(0 t) q(0 t) p(0 t) p(0 t) p(t x) p(t y) q(t x) q(t y)

24 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 24 LEISTUNGSVERTEILUNG Allgemeine versicherungsform x Eintrittsalter L x+j Leistung bei tod im alter x+j, j=0, 1,..., ω-x t j Alter bei auszahlung der leistung L x+j Z x+j Wert der leistung L x+j im zeitpunkt x Z x+j = L x+j v tj-x, j=0, 1,..., ω-x W x+j Wahrscheinlichkeit von Z x+j W x+j = q(j x), j=0, 1,..., ω-x Zufallsvariable Z i = f(t(x)) mit wahrscheinlichkeit W i Erwartungswert der leistungsverteilung µ = Σ j Z x+j W x+j = Σ j L x+j v tj-x q(j x) j=0, 1,..., ω-x Nettoeinmalprämie nach modell 'personengesamtheit' Varianz der leistungsverteilung σ 2 = Σ j (L x+j v tj-x - µ) 2 q(j x) j=0, 1,..., ω-x Gerber seite 24: Die nettoeinmalprämie wiederspiegelt das vom versicherer getragene risiko in keiner weise.

25 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 25 TODESFALLVERSICHERUNG Verteilung todesfallversicherung Eintrittsalter x, dauer n L x+j = L für j=0, 1,..., n-1 = 0 sonst t j = x+j+1 µ = j L v j+1 q(j x) j=0, 1,..., n-1 σ 2 = j (L v j+1 - µ) 2 q(j x) j=0, 1,..., n-1 Abhängigkeit von der Leistungshöhe µ(l) = L µ(1) σ 2 (L) = L 2 σ 2 (1)

26 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 26 TODESFALLVERSICHERUNG: DIAGRAMM I LEISTUNGSVERTEILUNG TODESFALLVERSICHERUNG: EINTRITTSALTER x = 30 DAUER n = MÄNNER FRAUEN WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTE LEISTUNG MANN: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG = FRAU: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG =

27 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 27 TODESFALLVERSICHERUNG: DIAGRAMM II LEISTUNGSVERTEILUNG TODESFALLVERSICHERUNG: EINTRITTSALTER x = 30 DAUER n = MÄNNER FRAUEN WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTE LEISTUNG MANN: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG = FRAU: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG =

28 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 28 ERLEBENSFALLVERSICHERUNG Leistungsverteilung L x+j t j = L für j=n, n+1,..., ω-x = 0 sonst = x+n LEISTUNGSVERTEILUNG ERLEBENSFALLVERSICHERUNG: EINTRITTSALTER x = 30 DAUER n = MÄNNER FRAUEN 0.80 WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTE LEISTUNG MANN: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG = FRAU: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG =

29 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 29 GEMISCHTE VERSICHERUNG I Leistungsverteilung L x+j = L für j=0, 1,..., ω-x t j = x+j+1 für j=0,1,..., n-1 = x+n sonst LEISTUNGSVERTEILUNG GEMISCHTE VERSICHERUNG: EINTRITTSALTER x = 30 DAUER n = MÄNNER FRAUEN 0.80 WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTE LEISTUNG MANN: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG = FRAU: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG =

30 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 30 GEMISCHTE VERSICHERUNG II LEISTUNGSVERTEILUNG GEMISCHTE VERSICHERUNG: EINTRITTSALTER x = 30 DAUER n = MÄNNER FRAUEN 0.03 WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTE LEISTUNG MANN: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG = FRAU: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG =

31 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 31 AUFGABEN 14 A) Mittlere lebenserwartung Man berechne die mittlere lebenserwartung als funktion der l x. B) Erwartungswert und standardabweichung lebensdauer In der graphik der folie 'verteilung verbleibende lebensdauer' ist der erwartungswert und die standardabweichung der verbleibenden lebensdauer angegeben. Man berechne den erwartungswert und die standardabweichung der verteilung des sterbealters. C * ) Vergleich leibrente und zeitrente Was gilt: a x </=/> a ex? a ex = v+v v h +(e x -h)v h+1, wobei h gleich dem abgerundeten wert von e x ist. D * ) Varianz gemischte versicherung Man leite formelmässig den zusammenhang der varianz der leistungsverteilung der gemischten versicherung aus den erwartungswerten und varianzen der erlebensfall- und todesfallversicherung her. Wie gross ist die korrelation zwischen todes- und erlebensfallversicherung bei den gezeigten beispielen? E) Einjährige sterbewahrscheinlichkeiten Die wahrscheinlichkeiten q(t x) = t 1 q x t=0,1,... seien gegeben. Man bestimme daraus die einjährigen sterbewahrscheinlichkeiten q x+t t=0,1,... F * ) Unterjährige sterbewahrscheinlichkeiten Präsentation artikel Gerber

32 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S R E N T E N U N D P R Ä M I E N Themen - die wahrscheinlichkeitsverteilung einer leibrente - die wahrscheinlichkeitsverteilung der nettoprämie - die wahrscheinlichkeitsverteilung des saldos - risikozuschlag - stochastischer zins Literatur Gerber, seiten Bezüglich 'nutzentheorie' siehe vorlesung B. Koller: risiko und versicherung

33 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 33 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG DER RENTE Vorschüssige temporäre sofort beginnenden leibrente der höhe 1 L x+j = ä j+1 für j=0, 1,..., n-1 = ä n sonst t j = x ä x:n = ä 1 q(0 x) + ä 2 q(1 x) ä n q(n-1 x) ä n q(ω-x x)

34 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 34 RENTE: DIAGRAMM I LEISTUNGSVERTEILUNG VORSCHÜSSIGE RENTE: EINTRITTSALTER x = 30 DAUER n = MÄNNER FRAUEN WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTE LEISTUNG MANN: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG = FRAU: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG =

35 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 35 RENTE: DIAGRAMM II LEISTUNGSVERTEILUNG VORSCHÜSSIGE RENTE: EINTRITTSALTER x = 30 DAUER n = MÄNNER FRAUEN WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTE LEISTUNG MANN: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG = FRAU: ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG =

36 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 36 PRÄMIENVERTEILUNG Jährliche konstante prämie P L x+j = P ä j+1 für j=0, 1,..., n-1 = P ä n sonst t j = x Berechnungsprinzip für nettoprämien (äquivalenzprinzip) Man berechne die prämien so, dass: erwartungswert der prämienverteilung = erwartungswert der leistungsverteilung Nettoeinmalprämie Degenerierte prämienverteilung

37 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 37 SALDOVERTEILUNG Wahrscheinlichkeitsverteilung saldo Differenz leistungen und prämien nach lebensdauer Konstante prämie gemäss äquivalenzprinzip Todesfallversicherung der höhe 1 gegen konstante jahresprämien x n P x Eintrittsalter Dauer Netto-jahresprämie (=erwartungswert leistungsvert.) Λ x+j = v j+1 für j=0, 1,..., n-1 = 0 sonst Π x+j = P x ä j+1 für j=0, 1,..., n-1 = P x ä n sonst Z x+j W x+j = Π x+j - Λ x+j = q(j x) Saldoverteilung Verteilung der ein- und ausgaben zu beginn der versicherung Verteilung deckungskapital mit T=0 Erwartungswert = 0 wegen äquivalenzprinzip Risikoprämie risikoprämie = netto/bedarfsprämie + risikozuschlag Risikozuschlag: wie weit muss saldoverteilung nach rechts verschoben werden, damit verteilung akzeptabel?

38 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 38 DER SALDO: DIAGRAMM SALDOVERTEILUNG TODESFALLVERS. GEGEN JAHRESPRÄMIEN: EINTRITTSALTER x = 30 DAUER n = 35 ZINS = 4.0% MÄNNER WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTER SALDO PRÄMIE = ERWARTUNGSWERT = STANDARDABWEICHUNG =

39 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 39 RISIKOZUSCHLAG Definition Der risikozuschlag ist diejenige prämienkomponente, die der versicherer für die übernahme des zufallsrisikos verlangt. Der risikozuschlag ist nicht dazu da, die kosten oder den gewinn zu decken. Risikozuschlag im modell 'personengesamtheiten' Nettoprämien-formel mit rechnungsgrundlagen 1. ordnung Nettoprämien-formel mit rechnungsgrundlagen 2. ordnung plus sicherheitszuschlag: P (1+b) µ, b>0 Berechnung risikozuschlag im modell 'personengesamtheiten' willkürlich - nur im modell 'verteilungen' exakt begründ- und berechenbar! Risikozuschlag im modell 'verteilungen' Varianzprinzip P[L] = E[L] + c σ 2, c>0 Standardabweichungsprinzip P[L] = E[L] + c σ, c>0

40 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 40 NUTZENÄQUIVALENZPRINZIP Nutzenfunktion des geldes u(x) mit u'(x)>0 und u"(x)<0 x zufallsvariable 'geld' Nutzenäquivalenzprinzip K eigenkapital der versicherungsgesellschaft L leistungsverteilung P[K;L] einmalprämie u(k) = E[u(K+P[K;L]-L)] Nullnutzenprinzip Nutzenäquivalenzprinzip mit K=0 u(0) = E[u(P[0;L]-L)]

41 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 41 BREAK-EVEN-PRÄMIE Entscheidung aus sicht versicherer Versicherungsabschluss nutzen von K+P[K;L]-L: Kein versicherungsabschluss nutzen von K: E[u(K+P[K;L]-L)] u(k) Mindestprämie P[K;L]: u(k) = E[u(K+P[K;L]-L)] Positiver risikozuschlag E[L] P[K;L] Beweis u(k) = E[u(K+P[K;L]-L)], u'>0 u''<0 Wegen ungleichung von Jensen u(k) = E[u(K+P[K;L]-L)] u(e[k+p[k;l]-l]) = u(k+p[k;l]-e[l]) Da u monoton steigend K K+P[K;L]-E[L]

42 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 42 SPEZIALFALL EXPONENTIALPRINZIP Exponentialprinzip Nutzenäquivalenzprinzip mit exponentieller nutzenfunktion u(x) = (1-e -Ax )/A, A risikoaversionmass Prämie P[L] = ln(e[e AL ])/A Wegen (1-e -AK )/A = E[(1-e -A(K+P-L) )/A -e -AK = E[-e -A(K+P-L) ] 1 = e -AP E[e AL ] e AP = E[e AL ] Beispiel gerber i=4%, q x gemäss De Moivre mit schlussalter 100 A =

43 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 43 STOCHASTISCHER ZINS Definition stochastischer zins Höhe des bewertungs-zinsfusses als zufallsvariable Probleme Bewertungszinsfuss dient der quantifizierung der zeitpräferenz des versicherers - deswegen konstanter zins plausibel. Bewertungszinsfuss nicht abhängig vom delkredere-risiko. langfristige zinsentwicklung kaum mit wahrscheinlichkeiten zu quantifizieren Zukünftige lebensdauer verschiedener personen sind annähernd unabhängige zufallsvariablen. Bei fixem zins daher gewinn/verlust aus verschiedenen versicherungen unabhängig voneinander. Dadurch verteilung gewinn/verlust eines portefeuilles relativ leicht berechenbar, insbesondere ergibt sich deren varianz aus der summe der einzelnen varianzen. Auch approximation der verteilung gut möglich (grenzwertsätze). Bei annahme stochastischer zins geht unabhängigkeit der risiken verloren. Vorgehen Keine modellierung mit stochastischem zins Sensitivitätsanalysen: berechnungen mit verschiedenen, ev. vom kalenderjahr abhängigen zinsfüssen (zinskurve)

44 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 44 AUFGABEN 15 A) Variable prämie Gegeben sei eine variable, jährliche prämienzahlung. Man bestimme L und t der prämienverteilung. B * ) Exponentialprinzip Man berechne für die gemischte versicherung aus kapitel 14 die prämie nach dem exponentialprinzip und zwar für verschiedene A. C * ) Internal rate of return Man berechne für eine gemischte versicherung gegen nettoeinmalprämie die wahrscheinlichkeitsverteilung der internal rate of return. D * ) Erwartungswert lebenslängliche todesfallversicherung Ist der erwartungswert der lebenslänglichen todesfallversicherung kleiner/gleich/grösser als v ex+1, (e x mittlere lebenserwartung)?

45 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S S T O C H A S T I S C H E S D E C K U N G S K A P I T A L Themen - verteilung deckungskapital todesfall-versicherung - Thiele differentialgleichung Literatur Gerber 64ff Bowers et al. 215ff

46 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 46 VERTEILUNG DECKUNGSKAPITAL Gemischte versicherung L x+j = v j+1 - P ä j+1 für j=0, 1,..., n-1 = v n - P ä n sonst t j = x Beispiel 15 V 20 VERTEILUNG DISKONTIERTE LEISTUNG Deckungskapital Gemischte Versicherung Mann, i=4%, x=20, n=45, T= MÄNNER WAHRSCHEINLICHKEIT DISKONTIERTE LEISTUNG EW = , STABW =

47 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 47 THIELESCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG TV kontinuierliches deckungskapital P T kontinuierliche prämie Q T kontinuierliche todesfallleistung L T kontinuierliche erlebensfallleistung l T kontinuierliche zahl der lebenden δ zinsintensität µ T sterbeintensität TV' = P T - µ T (Q T - T V) - L T + δ TV

48 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 48 AUFGABEN 16 A * ) Prämienrückgewähr Man leite die leistungsverteilung einer erlebensfallversicherung gegen jahresprämien mit prämienrückgewähr (ohne zinsen) im todesfall her. B * ) Survival distributions Präsentation kapitel 3 aus 'Actuarial Mathematics' von Bowers, Gerber, Hickman, Jones, Nesbitt

49 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S V E R S I C H E R U N G A U F V E R B U N D E N E L E B E N Themen - wahrscheinlichkeiten für verbundene leben - leistungsverteilungen für ausgewählte versicherungen - barwerte Literatur - Krengel - Bowers, Gerber, Hickman, Jones, Nesbit

50 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 50 VERSICHERUNG AUF VERBUNDENE LEBEN Versicherung auf verbundene leben Versicherung deren leistung von der kombination leben/tod eines paares oder einer personengruppe abhängt. Beispiele - Anwartschaftliche witwenrente - Anwartschaftliche waisenrente - Versicherung von ehepaaren - Teilhaberversicherung

51 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 51 ABGELEITETE WAHRSCHEINLICHKEITEN FÜR PAARE Wahrscheinlichkeit "auf das erste leben" nq xy stirbt np xy wahrscheinlichkeit, dass mindestes 1 person während n jahren wahrscheinlichkeit, dass beide n jahre überleben nq xy + n p xy = 1 Wahrscheinlichkeit "auf das letzte leben" nq^xy np^xy wahrscheinlichkeit, dass beide innert n jahren sterben wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 person n jahre überlebt nq^xy + n p^xy = 1 Annahme: unabhängige ereignisse nq xy = n q x + n q y - n q x n q y np xy = n p x n p y nq^xy = n q x n q y np^xy = n p x + n p y - n p x n p y

52 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 52 SPEZIELLE WAHRSCHEINLICHKEITEN FÜR PAARE Annahme: unabhängigkeit a) wahrscheinlichkeit, dass beide n jahre überleben. np xy = n p x n p y b) wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 person innert n jahren stirbt. nq xy = n q x + n q y - n q x n q y c) wahrscheinlichkeit, dass beide innert n jahren sterben. nq^xy = n q x n q y d) wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 person n jahre überlebt. np^xy = n p x + n p y - n p x n p y e) wahrscheinlichkeit, dass genau 1 person n jahre überlebt. np 1 xy f) wahrscheinlichkeit, dass x im n+1. jahr stirbt und zwar vor y g) wahrscheinlichkeit, dass x innert n jahren stirbt, nach y h) wahrscheinlichkeit, dass x innert n jahren stirbt, vor y

53 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 53 FUZZY MEMBERSHIP Indikator/charakteristische funktion o Menge A o A (x) = 1 wenn x A o A (x) = 0 wenn x A Fuzzy membership grade Grad mit dem das element x zur menge A gehört o A (x) [0,1] Rechenregeln B = A c : o B = 1 - o A B = A 1 A 2... A n : o B = min(o A1, o A2,..., o An ) B = A 1 A 2... A n : o B = max(o A1, o A2,..., o An ) W(A) = E[o A (x)]

54 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 54 TODESFALLWAHRSCHEINLICHKEIT FÜR VERBUNDENE LEBEN Grundwahrscheinlichkeit q(r,s x,y) Wahrscheinlichkeit, dass die x-jährige person als x+r-jährige und die y-jährige person als y+s-jährige stirbt. r s q(r,s x,y) = 1 r=0,1, s=0,1, Berechnung Bei unabhängigkeit der ereignisse 'tod von x' und 'tod von y' gilt: q(r,s x,y) = q(r x) q(s y) = r 1 q x s 1 q y Zusammengesetzte wahrscheinlichkeit o rs fuzzy membershipgrade W = r s o rs q(r,s x,y) r=0,1,... s=0,1,... Erwartungswert µ = r s o rs q(r,s x,y) v t(r,s) L x+r,y+s r=0,1,... s=0,1,...

55 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 55 VERTEILUNG LEBENSDAUER EINES PAARES y x LEBENSDAUER FÜR PAARE UNABHÄNGIGE RISIKEN WAHRSCHEINLICHKEIT

56 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 56 WAHRSCHEINLICHKEITEN FÜR PAARE: BEISPIELE I Annahme: unabhängige wahrscheinlichkeiten n = 2, x = 30, y = 20 q(r,s 30,20) x y q(1 x) a WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG EINES PAARES 0.25 WAHRSCHEINLICHKEIT

57 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 57 WAHRSCHEINLICHKEITEN FÜR PAARE: BEISPIELE II a b c d

58 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 58 WAHRSCHEINLICHKEITEN FÜR PAARE: BEISPIELE III e f g h

59 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 59 VERSICHERUNGEN AUF VERBUNDENE LEBEN Todesfallversicherung, zahlbar beim 1. tod Steigende 3-jährige todesfallversicherung, zahlbar beim 2. tod Erlebensfallversicherung, zahlbar wenn x lebt Erlebensfallversicherung, zahlbar wenn beide leben Gemischte versicherung, zahlbar beim 2. tod Vorschüssige leibrente, zahlbar solange beide leben Nachschüssige temporäre leibrente, zahlbar solange x lebt Anwartschaftliche lebenslängliche witwenrente siehe ODS-datei 17

60 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 60 MODELLIERUNG VERBUNDENE LEBEN Leistungsverteilung bei n verbundenen leben: n-dimensionale verteilung der diskontierten leistungen Erwartungswert, varianz, nutzenerwartungswert der diskontierten leistung

61 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 61 KOMMUTATIONSZAHLEN AUF MEHRERE LEBEN Definition l xy...z D xy...z N xy...z = l x l y... l z = v x l x l y... l z = t D x+t y+t... z+t

62 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 62 BARWERTE: RENTEN AUF VERBUNDENE LEBEN Verbindungsrente auf das erste leben, zahlbar wenn beide leben ä xy:n = (N xy - N x+n:y+n ) / D xy Verbindungsrente auf das letzte leben, zahlbar wenn mind. 1 person noch lebt ä^xy:n = ä x:n + ä y:n - ä xy:n Verbindungsrente auf drei leben, zahlbar wenn mindestens zwei personen noch leben ä xy:n + ä xz:n + ä yz:n - 2 ä xyz:n

63 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 63 ANWARTSCHAFTLICHE WITWENRENTE, INDIVIDUELLE METHODE Überlebensrente, rente fällig nach dem tod von x, zahlbar solange y lebt, jedoch längstens während n jahren ä x y:n = ä y:n - ä xy:n Beweis

64 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 64 ANWARTSCHAFTLICHE WITWENRENTE, KOLLEKTIVE METHODE Zivilstand unbekannt h x wahrscheinlichkeit des mannes, bei tod im alter x verheiratet zu sein y(x) durchschnittsalter der witwe bei tod des mannes im alter x t v x+t l x+t q x+t h x+t+½ a y(x+t+½) t=0, 1,..., ω-x a y(x+t+½) = (a y(x+t) + a y(x+t+1) ) / 2

65 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 65 WAHRSCHEINLICHKEIT BEIM TODE VERHEIRATET ZU SEIN x=y h(x) h(y)

66 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 66 BARWERTE: ERLEBENSFALL- UND TODESFALLVERSICHERUNG Erlebensfall-versicherung auf erstes leben, zahlbar, wenn beide personen nach n jahren noch leben: ne xy = v n n p xy = D x+n:y+n / D xy Erlebensfall-versicherung auf letztes leben, zahlbar wenn mindestens eine person nach n jahren noch lebt: ne^xy = v n n p^xy = n E x + n E y - n E xy Todesfall-versicherung auf erstes leben, zahlbar beim ersten tod na xy = v ä xy:n - a xy:n Todesfall-versicherung auf letztes leben, zahlbar beim letzten tod na^xy = n A x + n A y - n A xy

67 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 67 BARWERTE UND PRÄMIEN FÜR GEMISCHTE VERSICHERUNG Gemischte versicherung auf erstes leben A xy:n = n A xy + n E xy = 1 - d ä xy:n ä xy:n P xy:n = A xy:n P xy:n = 1 / (ä xy:n ) - d Gemischte versicherung auf letztes leben A^xy:n = n A^xy + n E^xy = 1 - d ä^xy:n ä^xy:n P^xy:n = A^xy:n P^xy:n = 1 / (ä^xy:n) - d

68 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 68 AUFGABEN 17 A * ) Wahrscheinlichkeiten für paare Im folgenden betrachte man ein paar mit den altern x=30 (mann) und y=20 (frau). Man bestimme anhand der sterbetafel SM78/83 die wahrscheinlichkeit, dass... unabhängigkeit vorausgesetzt. a) die erste person im 3. jahr stirbt (die erste person kann x oder y sein). b) die zuletzt sterbende person im 3. jahr stirbt. c) beide personen im 3. jahr sterben. d) mindestens eine person im 3. jahr stirbt. e) nur eine person im 3. jahr stirbt. f) keine person im 3. jahr stirbt. g) der erste todesfall in der zeit vom 3. bis zum 5. jahr eintritt. B * ) Wahrscheinlichkeiten für 3 personen Gesucht sind folgende wahrscheinlichkeiten für drei personen mit den altern x, y und z: a) Die wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine person nach n jahren aber innerhalb von n+m jahren stirbt. b) Die wahrscheinlichkeit, dass eine person innerhalb n jahren, eine zwischen n und n+1 jahren und eine nach n+1 jahren stirbt. C) Wahrscheinlichkeiten für 5 personen An einer bestimmten krankheit sterben 10% der davon befallenen personen. Wie gross ist die wahrscheinlichkeit, dass von 5 patienten a) alle geheilt werden b) genau 3 sterben c) wenigstens 2 sterben D * ) Multiple life Präsentation kapitel 9 aus 'Actuarial Mathematics' von Bowers, Gerber, Hickman, Jones, Nesbitt. E * ) Dependent life model Präsentation kapitel 9.6 aus 'Actuarial Mathematics' von Bowers, Gerber, Hickman, Jones, Nesbitt.

69 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S G E S A M T S C H A D E N V E R T E I L U N G Thema - gesamtschadenverteilung - erwartungswert und varianz - approximation durch theoretische verteilung Literatur Gerber S. 91ff 123-files 18gesamtshdnvrtlfaltung

70 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 70 GESAMTSCHADENVERTEILUNG Gesamtschadenverteilung Gesucht wahrscheinlichkeitsverteilung der leistungen eines portefeuilles, wenn verteilungen der einzelnen risiken gegeben. Portefeuille n S h E[S h ] VAR[S h ] versicherungen schaden eines jahres der versicherung h erwartungswert der versicherung h varianz der versicherung h Gesamtschaden des portefeuilles Zufallsvariable S = S 1 + S S n n-dimensionale verteilung E[S] = E[S 1 ] + E[S 2 ] E[S n ] Unabhängigkeit der s 1,s 2,...,s n W(S 1 +S S n ) = W(S 1 ) W(S 2 )... W(S n ) VAR[S] = VAR[S 1 ]+ VAR[S 2 ] VAR[S n ] Spezialfall S i = S j und unabhängigkeit E[S] = n E[S 1 ] VAR[S] = n VAR[S 1 ] σ S = n ½ σ 1 Problem Reduktion der n-dimensionalen wahrscheinlichkeitsverteilung auf eine 1-dimensionale verteilung => faltungsoperation

71 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 71 FALTUNG GESAMTSCHADENVERTEILUNG Beispiel

72 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 72 IDENTISCHE EINFACHE RISIKEN Einfaches risiko W(0) = 1-p W(S) = p Portefeuille n unabhängiger, identischer einfacher risiken Binomialverteilung W(mS) = n! / (m!(n-m)!) p m (1-p) n-m S µ = n p S σ 2 = n p (1-p) S 2 Variationskoeffizient σ / µ = n -½ (1-p) ½ p -½ Ausgleich im kollektiv

73 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 73 NORMALVERTEILTE RISIKEN Normalverteilteilung W(s) = 1 / σ (2π) ½ exp(-½ (s-µ) 2 /σ 2 )

74 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 74 BINOMIAL- UND NORMALVERTEILUNG Für grosse werte von n lässt sich die binomialverteilung durch die normalverteilung annähern, wobei der erwartungswert gleich n p und die varianz gleich n p (1-p) gesetzt wird. Beispiel APPROX. BINOMIAL- DURCH NORMALVERTEILUNG WAHRSCHEINLICHKEIT BINOMIALVERTEILUNG NORMALVERTEILUNG GESAMTSCHADEN n = 100 q = erwartungswert = 5.0 standardabweichung = 2.179

75 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 75 ZENTRALER GRENZWERTSATZ S 1... S n seien unabhängige zufallsvariablen, die alle die gleiche verteilung mit gleichem erwartungswert µ und gleicher varianz σ 2 haben. Es sei S = S S n. Dann ist die zufallsvariable Z(n) = (S(n) - n µ) / σ (n) ½ asymptotisch normalverteilt mit dem mittelwert 0 und der varianz 1.

76 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 76 AUFGABEN 18 A * ) Wahrscheinlichkeit und mehrdeutigkeit Man präsentieren den artikel von Martin Gardner B * ) Formeln zur beruflichen vorsorge Man präsentiere und kommentiere die formelsammlung C * ) Sterbegesetze Man wähle für die sterbegesetze von Makeham und Koller realistische parameter und bestimme grafisch die wahrscheinlichkeitsverteilung. Man variiere die parameter und zeige den einfluss auf die form der verteilung.

77 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 77 T E I L IV M O D E L L M A R K O V P R O Z E S S E

78 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S M A R K O V P R O Z E S S E Themen - Theorie der markovprozesse - Beispiele Literatur DeGroot Morris H. Probability and statistics Addison Wesley 1975 Krengel U. Einführung in die wahrscheinlichkeitstheorie und statistik Vieweg 1998 Gnedenko B. W. Lehrbuch der wahrscheinlichkeitsrechung Verlag Harri Deutsch, 1980

79 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 79 BEDINGTE VERTEILUNG 2-dimensionale wahrscheinlichkeitsverteilung w(x i,y j ) i = 1,..., m j = 1,...,n Grenzverteilung w(x i ) = w(x i,y 1 ) w(x i,y n ), i=1,...,m Bedingte wahrscheinlichkeit w(x i y j ) = w(x i,y j ) / w(y j ) Bedingte wahrscheinlichkeitsverteilungen w(x 1 y j ), w(x 2 y j ),...,w(x m y j ) j=1,...,n

80 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 80 BEDINGTER ERWARTUNGSWERT Zufallsvariable z(x): z(x 1 ), z(x 2 ),..., z(x m ) Bedingter erwartungswert E[z(X) y j ] = z(x 1 ) w(x 1 y j )+... +z(x m ) w(x m y j ) Additivität E[a z 1 (X)+b z 2 (X) y j ] = a E[z 1 (X) y j ] + b E[z 2 (X) y j ] Unabhängigkeit E[z(X) y j ] = E[z(X)], falls x und y unabhängig Satz vom iterierten erwartungswert E[z(X)] = E[E[z(X) y]] = E[z(X) y 1 ] W(y 1 )+...+E[z(X) y n ] W(y n ) Satz von der iterierten varianz VAR[z(X)] = E[VAR[z(X) Y]] + VAR[E[z(X) Y]] Beispiel UNI_LEBM_19-Koller-BedingterErwartungswert.ods

81 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 81 MATRIZENRECHNUNG (m,n)-matrix A m n zahlen a ij, angeordnet in m zeilen und n spalten: a a 1n A = (a ik ) = a m1... a mn Gleichheit Zwei matrizen A und B sind gleich, A = B, wenn sie gleiche spaltenund gleiche zeilenzahl haben und wenn für alle indizes gilt: a ij = b ij. Matrizenmultiplikation Das produkt C = A*B ist definiert, wenn die spaltenzahl von A gleich der zeilenzahl von B ist: c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k a in b nk Rechenregeln Assoziativgesetz: A*(B*C) = (A*B)*C Kommutativgesetz gilt nicht: A*B B*A Beispiel 4 5 (1,2,3) 6 7 = (40,46) 8 9

82 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 82 MODELLIERUNG DYNAMISCHER PROZESS Bestandsmodell zustände zu einem gewissen zeitpunkt bsp. l x zustandswahrscheinlichkeit primär Flussmodell veränderung über einen gewissen zeitraum bsp. d x ausgangslage muss bekannt sein (bsp. l 0 = 100'000) übergangswahrscheinlichkeit primär Exaktheit der modellierung zeitachse: abhängig von abständen t i, t i+1 zustände: präzise, vage Diskret, kontinuierlich zeitachse und/oder zustände diskret oder kontinuierlich keine eigenschaft der natur - eigenschaft des modells!

83 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 83 STOCHASTISCHER PROZESS Stochastischer prozess System, das zeitlich, zufallsbedingt eine folge von zuständen durchläuft. In jedem beobachteten zeitpunkt befindet sich das system in genau 1 zustand. Diskreter zeitparameter Die folge von zuständen wird nur in diskreten zeitabständen t=0, 1,... m beobachtet. Endlicher prozess Die anzahl der möglichen zustände j=1,..., n ist endlich. Zustandswahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit w(z t =j), dass sich das system im zeitpunkt t im zustand j befindet. w(z t =1) + w(z t =2) w(z t =n) = 1 Übergangswahrscheinlichkeiten Bedingte wahrscheinlichkeit w(z t+1 =j Z 0 =i 0, Z 1 =i 1,..., Z t =i t ) dafür, dass sich das system im zeitpunkt t+1 im zustand j befindet, unter der annahme, dass es die zustände i 0, i 1,..., i t durchlaufen hat. j w(z t+1 =j Z 0 =i 0, Z 1 =i 1,..., Z t =i t ) = 1 j=1,...,n Trajektorie Folge von zuständen (Z 0 =i 0, Z 1 =i 1,..., Z t =i t ) die das system durchlaufen hat. Punkt in einem t+1-dimensionalen raum, jede dimension mit n ausprägungen. Trajektorie klassische lebensversicherung

84 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 84 MARKOV-PROZESS Markov-prozess (markov-kette) Stochastischer prozess, wobei die übergangswahrscheinlichkeiten zwischen t und t+1 nur von den zuständen im zeitpunkt t abhängen und nicht von früheren zuständen: w(z t+1 =j Z 0 =i 0,Z 1 =i 1... Z t =i t ) = w(z t+1 =j Z t =i t ) j w(z t+1 =j Z t =i t ) = 1 j=1,...,n Matrix M(1 t) der einjährigen übergangswahrscheinlichkeiten w(z t+1 =1 Z t =1)... w(z t+1 =n Z t =1) w(z t+1 =1 Z t =n)... w(z t+1 =n Z t =n) Die summe der zeilen ist 1 Stochastische matrix Matrix M mit nichtnegativen elementen, deren zeilensummen gleich 1 sind.

85 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 85 M-STUFIGE ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEITEN Chapman-Kolmogorow-gleichung w(z t+m+s =j Z t =i) = k w(z t+m+s =j Z t+m =k) w(z t+m =k Z t =i) k=1,...,n 2-stufige übergangswahrscheinlichkeiten w(z t+2 =j Z t =i) = k w(z t+2 =j Z t+1 =k) w(z t+1 =k Z t =i) k=1,...,n Matrix der 2-stufigen übergangswahrscheinlichkeiten M(2 t) = M(1 t) * M(1 t+1) Berechnung r-stufiger übergangswahrscheinlichkeit M(r t) = M(s t) * M(r-s t+s) r>s (assoziativgesetz)

86 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 86 ZUSTANDSWAHRSCHEINLICHKEITEN Anfangszustand, (1,n)-matrix Wahrscheinlichkeiten der zustände im zeitpunkt 0 (verteilung) M(0) = ( w(z 0 =1), w(z 0 =2),..., w(z 0 =n) ) Endzustand, (1,n)-matrix Wahrscheinlichkeiten der zustände im zeitpunkt t (verteilung) M(t) = ( w(z t =1), w(z t =2),..., w(z t =n) ) w(z t =j) = k w(z t =j Z 0 =k) w(z 0 =k) j = 1,...,n M(t) = M(0) * M(t 0) Deterministischer anfangszustand i w(z 0 =i) = 1 w(z t =j) = w(z t =j Z 0 =i) j = 1,...,n

87 UNI BASEL VwA 2010 KOLLER: MATHEMATIK DER LEBENSVERSICHERUNG II S. 87 POISSONPROZESS Poissonprozess N(t) anzahl schäden im zeitraum 0,t N(0) = 0 W( N(t+h) - N(t) = k N(s), s t ) = e -λh (λh) k / k! Eigenschaften Stationärer prozess: die wahrscheinlichkeit für das auftreten von k schäden hängt nur von der länge des beobachteten intervalles h ab und nicht vom zeitpunkt t Unabhängigkeit: die anzahl schäden disjunkter zeitintervalle sind unabhängig voneinander Ordinarität: die wahrscheinlichkeit simultaner schäden ist null Exponentialverteilte zustands-verweildauer: die zeitintervalle zwischen 2 schäden sind unabhängig voneinander und exponentialverteilt mit parameter λ. Poissonprozess als markovprozess Zustände: anzahl schäden, kumuliert (zählprozess) Zeitintervall: h=1 (ohne beschränkung der allgemeinheit) Wahrscheinlichkeit anfangszustände: 'null schäden' mit wahrscheinlickeit 1, sonst 0 Übergangsmatrix: p 0 p 1 p 2 p p 0 p 1 p p 0 p p wobei p k = e -λ (λ) k / k! Zustände im zeitpunkt m: e -mλ (mλ) k / k!