KAPITEL 3: MEHRELEKTRONENSYSTEME

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1 3. pn 3. Identche Techen Pau Prnp 3.3 Heu 3.4 ater-deternanten 3.5 Paardchten KAPITEL 3: MEHRELEKTRONENYTEME Lteratur:.B: Atkn Fredan Moecuar Quantu Mechanc Oxford

2 3. pn tern-gerach Experent: trah von beratoen (eektrch neutra) wecher en nhoogene Magnetfed paert wrd n Rchtungen defektert Bd: Wkpeda ber Eektronenkonfguraton: [ p 6 3 3p 6 3d 4 4p 6 4d 5 ] In der äußeren Eektronenchae t en ungepaarte Eektron (5-Eektron)

3 3. pn tern-gerach-experent Meergebn: Anerkung: de urprüngche Erkärung de Experent war fächcherwee der Bahndrehpu de Eektron; de Erkärung da der pn dafür verantwortch t erfogte wenge Jahre päter. Orgnareferen: Wather Gerach Otto tern Der experentee Nachwe der Rchtungquanteung Magnetfed Zetchrft für Phyk (9)

4 3. pn tern-gerach-experent tern-gerach Experent: trah von beratoen (eektrch neutra) wecher en nhoogene Magnetfed paert wrd n Rchtungen defektert Ag- Eektronenkonfguraton: [Kr] 4 4p 6 4d 5 Eräuterung: Bahndrehpu für -Eektronen ; Quantenechanch erwartete Aufpatung Magnetfed aufgrund de Bahndrehpue: + (Abgechoene chaen haben weder pn- noch Bahndrehoent) Aufpatung der beratoe t ene drekte Beobachtung de Eektronenpn Bd: Wkpeda

5 3. pn tern-gerach-experent tern-gerach Experent: trah von beratoen (eektrch neutra) wecher en nhoogene Magnetfed paert wrd n Rchtungen defektert Ag- Eektronenkonfguraton: [Kr] 4 4p 6 4d 5 Wa paert? Da agnetche Moent der Ag-Atoe wrd hauptächch durch da ungepaarte 5-Eektron bett. e µ g µ µ Bg De Kraft de auf de Atoe wrkt t: B F µ Bg e Bd: Wkpeda Magnetche Moent n -Rchtung g - Landé-Faktor µ B -Bohrche Magneton - pnquantenah ±/ d.h. je nhoogener da Magnetfed deto größer de Kraft

6 3. pn n der Quantenechank Der Eektronenpn wurde 95 von Uhenbeck und Goudt ur Erkärung der Fentruktur von Atopektren engeführt: Eektronen haben enen ntrnchen Egendrehpu (kene kache Egenchaft) (Auch anoaer Zeean-Effekt Aufpatung n gerade Anah von pektranen konnte t (+)-chea ncht erkärt werden.) Der Eektronenpn taucht n der ncht-reatvtchen Quantenechank ncht auf. I Haton-Operator t ken pnte. 98: Drac verknüpft Reatvtättheore und Quantenechank her taucht der pn natürch auf.

7 3.. pn- und Bahndrehpue Zur Ernnerung: De Bahndrehpue L L x L y L L + L - gehorchen betten Koutatorbeehungen. De Egenwertgechungen de L und de L Operator: L Y L Y Y ( + ) Y + Drac-chrebwee: L ( + ) L +

8 3.. pn- und Bahndrehpue Zur Ernnerung: De Bahndrehpue L L x L y L L + L - gehorchen betten Koutatorbeehungen. De Egenwertgechungen de L und de L Operator: De pnoperatoren x y + - oen den gechen Koutatorbeehungen gehorchen: [ ] [ ] [ ] y x [ ] [ ] [ ] x y y x y x ( ) L L + +

9 3. pnquantenahen De Egenwertgechungen de und de Operator: ( + ) Für de pnquantenah gbt e egentch kene Bechränkung weche Werte annehen kann. Experente fndet an da ae Eektronen nur enen Wert haben: / Wetere Techen: Ae Feronen (Eektronen Protronen Neutronen Neutrno Quark ): / De eten Boonen (Photon Guon ): Gravton: Hgg-Boon: (höchtwahrchench)

10 3. pnquantenahen De Egenwertgechungen de und de Operator: ( ) + Da / gbt e auch für nur we Werte: +/ħ (pn up ) - /ħ β (pn down ) β β Und da [ ] nd und β auch Egenfunktonen von :

11 3.. pnfunkton Aufgrund der Koutatorbeehung der pnoperatoren x y + - [ ] [ ] [ ] x y y x y x nd und β kene Egenfunktonen von x y β β + x x Norerung der pnfunktonen: ( ) ( ) ( ) ( ) d d d * ω ω β ω β ω ω β β β ω ω

12 3. pn Matrx-Repräentaton Operatoren können a quadratche Matren gechreben werden Funktonen a patenvektoren (orthonorae Ba) β β x

13 3. Pau-Matren y x De 3 Pau-Matren (σ x σ y σ ) pannen uaen t der Enhetatrx den voen Vektorrau von Matren auf. De Pau Matren nd hertech und untär. y x σ σ σ ( ) Tr( ) det σ σ De Egenwerte der Pauatrten nd ±

14 3. Identche Techen Kache Mechank: dentche Techen nd unterchedbar (Bepe: Bardkuge) Quantenechank: dentche Techen nd ununterchedbar (Unchärfereaton eraubt ncht da de Poton genau bett werden kann) Weenfunkton für dentche Techen u peee Egenchaften beten; Bepe: -Eektronen-yte e - (x y ) e - (x y ) - uaengefat n Koordnate q (x y ) Geatweenfunkton: Ψ(q q ) De Wahrchenchketdchte ändert ch ncht wenn an de Eektronen unuerert Ψ ( q q ) Ψ( q q )

15 3. Identche Techen Weenfunkton für dentche Techen u peee Egenchaften beten; Bepe: -Eektronen-yte e - (x y ) e - (x y ) - uaengefat n Koordnate q (x y ) Geatweenfunkton: Ψ(q q ) De Wahrchenchketdchte ändert ch ncht wenn an de Eektronen unuerert Ψ ( q q ) Ψ( q q ) Wa pert de für de Weenfunkton? Ψ ( q q ) λψ( q q ) λ kann nur ene Phae der For e φ en. Anwendung de Perutatonoperator auf de Weenfunkton: Pˆ Pˆ Ψ Ψ ( q q ): Ψ( q q ) ( q q ) λψ( q q )

16 3. Identche Techen Weenfunkton für dentche Techen u peee Egenchaften beten; Bepe: -Eektronen-yte e - (x y ) e - (x y ) - uaengefat n Koordnate q (x y ) Geatweenfunkton: Ψ(q q ) Anwendung de Perutatonoperator auf de Weenfunkton: Pˆ Pˆ Ψ Ψ ( q q ): Ψ( q q ) ( q q ) λψ( q q ) Wrd P noch ena angewendet koen wr weder be der Urprungfunkton an: Pˆ ( q q ) λpˆ Ψ( q q ) λ Ψ( q q ) Ψ Ψ ( q q ) λ Ψ( q q ) λ ± P t der Enhetoperator

17 Ψ 3. Identche Techen Pau Prnp ( q q ) λ Ψ( q q ) λ ± Faunterchedung: λ + : Ψ(q q ) + Ψ(q q ) De Weenfunkton t yetrch beügch de Autauch weer Techen BOONEN (GANZZAHLIGER PIN) λ-: : Ψ(q q ) - Ψ(q q ) De Weenfunkton t ant-yetrch beügch de Autauch weer Techen FERMIONEN (HALBZAHLIGER PIN) Pau-Prnp: De Weenfunkton ene yte ehrerer Eektronen t antyetrch beügch de Autauch von je we Eektronen Für N-Eektronen: Pˆ ab Ψ ( q q q q q ) ( q q q q q ) a b N Ψ b a N

18 3. Pau Prnp Pau Verbot Faunterchedung: λ + : Ψ(q q ) + Ψ(q q ) De Weenfunkton t yetrch beügch de Autauch weer Techen BOONEN (GANZZAHLIGER PIN) λ-: : Ψ(q q ) - Ψ(q q ) De Weenfunkton t ant-yetrch beügch de Autauch weer Techen FERMIONEN (HALBZAHLIGER PIN) Pau-Prnp: De Weenfunkton ene yte ehrerer Eektronen t antyetrch beügch de Autauch von je we Eektronen ten we Eektronen n aen Koordnaten überen ao q a q b Pˆ ab Ψ ( q q q q q ) Ψ( q q q q q ) a a N a a N Pau-Verbot: Zwe Eektronen t geche pn können ncht gechen Rauorbta (geche Ortweenfunkton) en

19 3. Hartree-Produkt

20 3. Hartree-Produkt

21 3.3 Heu Ato angeregte Zutände Bepe: törungtheoretche Bechrebung der angeregten Zutände von Heu Erter angeregter Zutand von Heu: n n n Leve t 4-fach entartet ( + 3 p): ψ ψ ψ ψ () () () 3 () 4 p () ( ) ( ) ψ 5 ( ) py ( ) () ( ) ( ) ψ 5 py ( ) ( ) () ( ) px ( ) ψ 7 ( ) p ( ) () ( ) ( ) ψ p ( ) ( ) x 8 ORTWELLENFUNKTIONEN 8 orthonorae Funktonen; äkuardeternante enthät Eeente Überegungen: H t hertech. H j H j yetre: vee H j.b. yetre: vee H j da H H e' ' ( ) ( ) px dτ r ungerade gerade ( ) ( ) 3 gerade e' ' x p y τ r ( ) p ( ) ( ) ( ) d 35

22 3.3 Heu Ato angeregte Zutände J K E J K E E J K Für de Weenfunktonen üen noch de Koeffenten bett werden (Eneten von E n de Deternanten-Gechung + ancheßende Norerung) K c + Kc c c c φ φ () () () () [ ψ ψ ] ( ) ( ) ( ) ( ) () () [ ψ + ψ ] ( ) ( ) + ( ) ( ) [ ] [ ] ununterchedbar weche Eektron n bw. t Anaog für de Kobnatonen E J p K p p J Durch eektrotatche Abtoßung der p J Eektronen wrd de Entartung.T. aufgehoben E K p K

23 3.3 Heu Ato angeregte Zutände Bepe: törungtheoretche Bechrebung der angeregten Zutände von Heu Geatweenfunkton u antyetrch beügch de Autauch der Techen en daher Kobnaton au yetrcher Rauweenfunkton und antyetrcher pnfunkton oder vce vera. Ao: Ψ Ψ ORTWELLENFUNKTIONEN PINWELLENFUNKTIONEN ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] β ( ) β ( ) [ ( ) β ( ) + ( ) β ( ) ] [ ( ) ( ) + ( ) ( ) ] [ ( ) β ( ) ( ) β ( ) ] TRIPLETT (Ortho-Heu) INGULETT (Para-Heu)

24 3.4 ater-deternanten ater (99): Deternanten erfüen de Antyetrebedngungen für Mehreektronenytee Bepe: He-Grundutand ()() und ()β() Ψ ( ) ( ) ( ) β ( ) ( ) ( ) ( ) β ( ) ( ) ( ) [ ( ) β ( ) β ( ) ( ) ] yetrch antyetrch Geche pnorbta andere Techen Geche Techen andere Funkton LATER-DETERMINANTE

25 3.4 ater-deternante N-Eektronen: Ψ N! χ χ χ ( ) χ( ) χ N ( ) ( ) χ ( ) χ ( ) ( N ) χ ( N ) χ ( N ) N N ( r ) ( ) χ ( ) ϕ Ort pn pn-orbtae pn Orbta Egenchaften: Autauch er Techen Vertauchung er Zeen Deternante erhät negatve VZ Funktonen gech paten gech Deternante (Pau-Verbot)

26 3.4 ater-deternante Oft fndet an ene verkürende chrebwee: pnorbtae t β-pn bekoen enen waagerechten trch über da Rauorbta gechreben; be -pn fät der trch weg (nur da Rauorbta bebt) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oder det : Ψ Ψ β β β Bepe: Lthu Grundutand (nur -Deternante her)

27 3.4 ater-deternanten

28 3.4 ater-deternanten

29 3.4 Angeregte ater-deternanten

30 3.4 Angeregte Deternanten

31 3.5 Paardchten De Wahrchenchket en wete Eektron n der Nähe ene anderen Eektron u fnden t ao reduert. (Matheatch: de Paardchte u en Eektron t kener a da Produkt der Enedchten.) De Weenfunktonen /pnorbtae der Eektronen nd gegeben durch (her für en -Eektronenyte): ψ ψ ( q ) ϕ( r ) ( ) ( q ) ϕ ( r ) ( ) Geatweenfunkton: ( ) Ψ q q ( x y ) ( r ) q De Paardchte t de Wahrchenchket en Eektron n dr t pn d und gechetg da andere Eektron n dr t pn d u fnden: P ( q q ) Ψ( q q ) dqdq

32 3.5 Paardchten Couob-Loch Über den Anat der Weenfunkton a aterdeternante t de Wahrchenchket we Eektronen a gechen Ort t geche pn u fnden (Fer-Loch) P (r r ) Ncht korreert n dee Anat t de Bewegung von Eektronen unterchedchen pn: auch für Eektronen t unterchedche pn t de Wahrchenchket bede Eektronen a gechen Ort u fnden reduert (aber ) (Couob-Loch) P β (r r ) r r