Methodenwahl und Genauigkeit von Mortalitätsmessungen

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1 Methoenwahl un Genauikeit von Mortalitätsmessunen 1. Die Methoenwahl als Entscheiun er Sekunäraäquation Zur Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeiten stehen verschieene Methoen wie ie Geburtsjahr-, ie Sterbeziffern un ie Methoe er Extinct Generations zur Verfüun. Die Unterschiee er verschieenen Berechnunsmethoen für Sterbewahrscheinlichkeiten weren in er Reel in ihren Vor- un Nachteilen iskutiert oer in ihren berechneten Werten verlichen. Eine Methoenentscheiun kann so urch Geenüberstellun er Vor- un Nachteile er Anwenun er einzelnen Berechnunsvorschriften erfolen. Je nach Erhebunsziel ist eine vorteilhafte Methoe unter Berücksichtiun er verfübaren Daten anzustreben. In iesem Beitra aeen soll untersucht weren, welche Methoen bei er Berechnun von Sterbewahrscheinlichkeiten enauere Erebnisse erzielen. Dazu ist zunächst zu klären, was alles er Methoenwahl bei sekunärstatistischen Erhebunen zuzurechnen ist. Die Wahl er Berechnunsmethoe für Sterbewahrscheinlichkeiten ist bei sekunärstatistischer Erhebun eine er Entscheiunen, ie währen er Aäquationsphase es statistischen Arbeitsprozesses etroffen weren muss. Die Aäquation ist für jee Sterblichkeitsmessun as Bestreben, ie runsätzliche loische Diskrepanz zu minimieren, ie araus entsteht, ass as Phänomen Sterblichkeit emessen weren soll un in er Statistik nur attunsemäß Bestimmtes wie as Sterbealter in einer efinierten Altersklassierun ezählt weren kann (vl. [Fla62] S. 6). Damit eribt sich immer eine Abweichun zwischen Realität un Messun. Bei einer primärstatistischen Erhebun zur Sterblichkeitsmessun wir as Merkmal Sterbealter einer vorher efinierten Personenesamtheit beobachtet. Die Abrenzun ieser Untersuchunsesamtheit bestimmt ie zeitliche, örtliche un sachliche Abrenzun er später zu berechnenen Sterbewahrscheinlichkeiten. Bei er Nutzun vorhanener Daten mit en festeleten Abrenzunen einer Sekunärstatistik stellt sich aeen heraus, ass ie Datenverfübarkeit un ie Methoenwahl einaner beinen. Das Aäquationsproblem er sekunärstatistischer Sterblichkeitsmessun erscheint als Optimierunsaufabe, bei er Methoenwahl, Altersklassenwahl un Datenverfübarkeit aufeinaner abestimmt weren müssen (vl. Abbilun 1). Die Abrenzunen ieser Daten anerer Statistiken (Zählrößen für ie zu berechnenen Sterbewahrscheinlichkeiten) kann ie Methoenwahl soweit einschränken, ass eine Wahl nicht mölich ist. operable Altersklassierun verfübare Zählrößen in bestimmter Abrenzun Methoe zur Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeit Abbilun 1: Problem er Sekunäraäquation 1

2 Daher ist ie Methoenwahl nicht nur nach ihren Vor- un Nachteilen un eventuell nach ihrer erreichbaren Genauikeit zu bestimmen, sonern sie ist abhäni von en verfübaren Zählrößen fremer Statistiken in ihren zeitlichen, örtlichen un sachlichen Abrenzunen. Operable Altersklassierun Eine wichtie Aäquationsproblematik liet in er Festleun von Altersklassenbreiten un er amit mölichen Aussaefähikeit er in er Auswertunsphase berechneten Sterbewahrscheinlichkeiten. Bei er Erhebun er Sterbefallzahlen für ie Sterblichkeitsmessun sin einjährie, fünfjährie oer ab zehnjährie Altersklassenbreiten (für höchste Altersanaben offene Ranklassen) üblich. Bei er Sterblichkeitsmessun mittels sekunärstatistischer Erhebunen richtet sich ie Altersklassierun er Zählrößen nach en voreebenen Klassenbreiten er reistrierten Daten er staatlichen Aministration un er aneren benutzten Statistiken. Welche Altersabrenzunen er Zählrößen notweni sin, eribt sich aus en Berechnunsvorschriften er ewählten Methoe. Mit er Definition er operablen Altersklassenbreite sin in bestimmten Fällen leichzeiti Annahmen über ie Verteilun er Sterbefälle innerhalb ieser Klassen zu treffen. Für en Fall, ass Sterbewahrscheinlichkeiten esucht weren, eren Altersklassenabrenzun kleiner als ie er zu erhebenen Sterbefallzahlen ist, sin Annahmen über ie Verteilun er Sterbefälle innerhalb er für ie Sterbefallzahlen efinierten Altersklassen zu machen. Solche Fälle treten auf, wenn ie Sterbefälle z. B. eines Altersjahres ezählt weren un ie Sterbewahrscheinlichkeit halbjähri berechnet weren soll. In iesen Fällen kann ie Sterbewahrscheinlichkeit nicht ohne Annahme über ie Sterbefallverteilun im Altersintervall berechnet weren. Die halbjährien Sterbewahrscheinlichkeiten sin abhäni von er Entwicklun es Sterberisikos innerhalb er einjährien Altersklasse. Methoe zur Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeit Methoen ohne Berücksichtiun von Außenwanerunen Die Sterbeziffernmethoe wir in Deutschlan für ie Berechnun altersspezifischer Sterbewahrscheinlichkeiten Allemeiner Sterbetafeln seit 1970/71 (Alte Bunesläner) un für verkürzte Tafeln in en Perioen zwischen en Volkszählunen anewenet (vl. [Mey9 S. 371). Die Sterbewahrscheinlichkeit nach er Sterbeziffernmethoe wir eschätzt, inem ie altersspezifische Sterbeziffer in eine Sterbewahrscheinlichkeit unter er Annahme leichverteilter Sterbefälle über Alters- un Kalenerjahr umerechnet wir (vl. [Fla62] S. 366): q ksz k (1) n k 0,5 k q k SZ Sterbewahrscheinlichkeit er Altersklasse [x,x es Kalenerjahres k nach er Sterbeziffernmethoe Sterbefallzahl nach Altersklasse [x,x es Kalenerjahres k [ x,x k n jahresurchschnittliche Bevölkerun er Altersklasse [x,x es Kalenerjahres k [ x,x k Die Geburtsjahrmethoe wure in Deutschlan für ie Berechnun altersspezifischer Sterbewahrscheinlichkeiten Allemeiner Sterbetafeln von 1871/81, 1910/11, 1932/34 un 1949/51 anewenet (vl. [Mey9 S. 371). Mit Hilfe er Geburtsjahrmethoe weren ie altersspezifischen Sterbewahrscheinlichkeiten irekt un ausehen vom Wahrscheinlichkeitsberiff eschätzt, inem ie ezählten Sterbefälle nach Alters- un Geburtsjahr ins Verhältnis esetzt weren zum Umfan er Personenesamtheit er Überlebenen, aus er ie im Intervall estorbenen Personen wirklich stammen. Die Zahl er Überlebenen es exakten 2

3 Alters l x wir in aneren Statistiken nicht erfasst un kann nicht übernommen weren. Diese Zahlen weren mit Hilfe er Zahl er bis zu em Zeitpunkt t?1 Gestorbenen urch Rückrechnun vom Bevölkerunsstan zum Zeitpunkt t?1 bestimmt (vl. [Bec74] S. 43). q = (2) GJ = n l x t [ x,x k ν 1 für = [ t, t ] k ν ν 1 q GJ Sterbewahrscheinlichkeit er Altersklasse [x,x es Geburtsjahrans nach er Geburtsjahrmethoe Sterbefallzahl nach Altersklasse [x,x es Geburtsjahrans [ x,x Sterbefallzahl nach Altersklasse [x,x es Geburtsjahrans un es [ x,x k n Kalenerjahres k tν 1 Bevölkerunsbestan er Altersklasse [x,x am Ene es Kalenerjahres k l Zahl er Überlebenen es Geburtsjahrans es Alters x x 3

4 Die reistrierten Sterbehäufikeiten können bei er amtlichen Sterblichkeitsmessun irekt aus Stanesamtsreistern übernommen weren. Die Bevölkerunsstanswerte aeen sin forteschriebene, berechnete Werte aus ezählten Größen er entsprechenen Kohorte. Der Vorteil er Geburtsjahrmethoe liet arin, ass sie enau ie Sterbewahrscheinlichkeit entsprechen er Definition er Wahrscheinlichkeit liefert. Für eine eschlossene Bevölkerun ist ie Geburtsjahrmethoe soar ohne jee Annahme ülti (vl. [Bur4 S. 264). Diesem Vorteil steht eenüber, ass für ie Messun einer Perioensterblichkeit Sterbefälle fehlen un anererseits as aus em zweijährien Beobachtunszeitraum ewonnene Datenmaterial nicht ausenutzt wir (vl. [Mü50] S. 596). Die Sterbejahrmethoe kann als Sonerform er Geburtsjahrmethoe anesehen weren (vl. [Din98]). Die Sterbejahrmethoe wure in Deutschlan für ie Berechnun altersspezifischer Sterbewahrscheinlichkeiten Allemeiner Sterbetafeln von 1881/90, 1891/00, 1901/10, 1924/26 un 1960/62 (BRD) (vl. [Mey9 S. 371) sowie Allemeiner Sterbetafeln er DDR anewenet. Ziel er Anwenun er Sterbejahrmethoe ist es, Sterbefälle er beien Flüeljahre es Volkszählunsjahres vollstäni in ie Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeiten einzubeziehen. Diesem Vorteil er vollen Ausnutzun er reistrierten Sterbefälle es Beobachtunszeitraums un er Vermeiun fehlener Fälle bei er Perioenbetrachtun steht er Nachteil eenüber, ass bei er Anwenun er Sterbejahrmethoe Annahmen emacht weren müssen (vl. [Mü50] S. 598). Die Methoe er Extinct Generations wure urch Vincent (vl. [Vin5 S ) berünet. Der Unterschie zwischen er Geburtsjahrmethoe un er Methoe er Extinct Generations liet im Berechnunsansatz es Nenners er Wahrscheinlichkeit. Bei er Methoe er Extinct Generations weren ie Nennerrößen urch Rückrechnun er Überlebenen es letzten Altersjahres einer Kohorte ewonnen. In Abansmoellen sin ie estorbenen Personen im letzten Altersintervall er Lebenszeit einer Kohorte ie leichen Personen, ie zu Beinn ieses Altersintervalls noch lebten. Mit Hilfe er Fortschreibunsformel es Sterbetafelmoells un er Tatsache, ass ie Überlebenenzahl er letzten Altersklasse ientisch sein muss mit er Sterbefallzahl er letzten Klasse, lässt sich eine Rückrechnun er Zahlen er Überlebenen vollziehen. Die Sterbewahrscheinlichkeit nach er Methoe er Extinct Generations für eschlossene Bevölkerunen ist ann berechenbar nach: q = (3) GJ = l ω u= x x [ u,u q GJ Sterbewahrscheinlichkeit er Altersklasse [x,x es Geburtsjahrans nach er Methoe er Extinct Generations Um eine Rückschreibun exakt urchzuführen, ist analo er Fortschreibun bei er Geburtsjahrmethoe neben en Sterbefällen ie Außenwanerun zu berücksichtien. Die Gleichverteilun er Sterbefälle im Alters- un Kalenerjahr ist auch ann eine notwenie Annahme, wenn Kohortensterblichkeiten mit Hilfe von Sterbewahrscheinlichkeiten nach er Sterbeziffernmethoe arestellt weren sollen. Sterbewahrscheinlichkeiten nach er Sterbeziffernmethoe berücksichtien Sterbefallzahlen er Abrenzun nach Alters- un Kalenerjahr (vl. (1)). Mit ieser Abrenzun er in ie Sterbewahrscheinlichkeiten einehenen Sterbfallzahlen fehlen für eine aäquate Beschreibun einer Kohortensterblichkeit Sterbefälle er Kohorte. Sterbewahrscheinlichkeiten in ihrer Reihun für ie Perioenarstellun sowie Sterbeziffern für ie Kohortenarstellun können nur unter er Beinun richti bestimmt 4

5 weren, ass ie Sterbefallzahlen nach Alters- un Geburtsjahr un nach Alters- un Kalenerjahr ientisch sin,. h. bei Gleichverteilun er Sterbefälle über Alters- un Kalenerjahre. [ x,x k [x,x = (4) Analo können Sterbewahrscheinlichkeiten nach er Geburtsjahr- un er Methoe er Extinct Generations nicht ohne Annahme für Perioenarstellunen er Sterblichkeit verwenet weren. Für ie Bestimmun von Sterbewahrscheinlichkeiten nach iesen Methoen weren Sterbefälle nach Alters- un Geburtsjahr ezählt (vl. (2) un (3)). Bei Messun von Perioensterblichkeiten mit Hilfe er Sterbewahrscheinlichkeiten fehlen Fälle er betrachteten Perioe. Methoen unter Berücksichtiun von Außenwanerunen Untersuchunen zur Mortalität setzen Reionen als abrenzbare oer aberenzte Einheiten voraus (vl. [WB99] S. 51). Offene Untersuchunsesamtheiten efinierter Reionen sin abei solche, ie im Zeitraum er Beobachtun er Sterbeereinisse inhaltlichen Veränerunen urch Zuun/oer Abäne ausesetzt sin. Solche Zu- un Abäne sin in er Reel ie Zu- un Abwanerunsfälle über ie Grenze er Beobachtunsreion, für welche ie Sterblichkeit emessen weren soll. Weitere Zu- un Abanstypen sin enkbar bei einer sachlichen Zielabrenzun er Sterblichkeitsmessun nach Familienstan un Berufsruppe urch Statuswechsel oer nach Toesursachen urch Wechsel er Ursachensystematik (vl. [Ber92] S ). In er Aäquationsphase ist in iesen Fällen zu entscheien, wie iese Variabilität in Raum un Zeit einzubeziehen ist, um ie räumliche un zeitliche Verleichbarkeit er Erebnisse zu sichern (vl. [Wie82] S. 259). Keiner er mölichen Lösunsansätze ieses Aäquationsproblems kann Abweichunen zwischen Realität un Messun vermeien. In er Praxis wir er Lösunsansatz urch Berücksichtiun er Sterbefälle nach em Wohnortprinzip sowie urch ihre Berücksichtiun unter Ausschluss von Sterbefällen zuewanerter Personen enutzt. Die zu berücksichtienen Sterbefälle beim Wohnortprinzip sin ie von Personen mit einem letzten Wohnsitz in er Beobachtunsreion. Auseschlossen weren Sterbefälle von abewanerten Personen. Unabhäni von er so bestehenen sachlichen Abweichun zwischen Realität un Messun muss für Berechnunen von Sterbewahrscheinlichkeiten ie oriinäre Untersuchunsesamtheit näherunsweise bereinit weren, inem Fälle er Zu- un Abwanerunen einer Altersklasse entsprechen ihrer anteilien Verweilzeit an er Gesamtlebenszeit in er Altersklasse herauserechnet weren (vl. [Bat78] S.16-20). Die Schätzun ieser Anteile setzt Annahmen über ie Verteilunen er Wanerunsfallzahlen voraus. Die zu berücksichtienen Sterbefälle bei Ausschluss von Fällen zuewanerter Personen sin ie von nichtwanernen Personen mit einem letzten Wohnsitz in er Beobachtunsreion. Bei ieser Lösun ist ebenfalls eine sachliche Abweichun in Kauf zu nehmen, weil Sterbefälle von abwanernen Personen bei er Messun fehlen. Die oriinäre Untersuchunsesamtheit muss näherunsweise bereinit weren, inem Fälle er Abwanerunen einer Altersklasse entsprechen ihrer anteilien Verweilzeit eliminiert weren. Bei jeem mölichen Lösunsansatz für as Aäquationsproblem bei offenen Bevölkerunen sin zusätzlich Entscheiunen über ie Art er Abweichunen zwischen Realität un Messun (sachliche un/oer räumliche) un über Annahmen zu Wanerunsfallverteilunen innerhalb er Altersklassen zu treffen. Die Sterbeziffernmethoe nach (1) berücksichtit Außenwanerunen nach em Wohnortprinzip auf Grun er Tatsache, ass ie Sterbefälle auf ie jahresurchschnittliche Bevölkerun bezoen weren (vl. [Bun90] S. 4). Die Außenwanerunen weren aber nur z. T. richti einbezoen, weil ie Beziehun (1) auf er Grunlae es Zusammenhans zwischen Sterbeziffer un wahrscheinlichkeit bestimmt wir un ieser Zusammenhan nur für eschlossene Bevölkerunen nachewiesen woren ist (vl. [Fla62] S. 367 un [Chi84] S. 2). In er Literatur sin für ie Anwenun er Sterbeziffernmethoe Herleitunen zu finen, bei enen Außenwanerunsvoräne eliminiert weren (Ausschluss von Sterbefällen zuewanerter Personen). Um ie Sterbefälle er zuewanerten Bevölkerunsteile zu eliminieren, eribt sich mit 5

6 Hilfe es Zusammenhans zwischen Sterbeziffer un Sterbewahrscheinlichkeit un er Annahme leicher Sterblichkeit wanerner un nicht wanerner Bevölkerunsteile eine relativ unkomplizierte Formel (vl. [Sch89] S. 729): q * ksz k n k 0,5( k s k ) (5) * q k SZ wanerunskorriierte Sterbewahrscheinlichkeit er Altersklasse [x,x es Kalenerjahres k nach er Sterbeziffernmethoe s Außenwanerunsalo er Altersklasse [x,x es Kalenerjahres k [ x,x k Verfahren er Ausschaltun von Wanerunsvoränen bei offenen Untersuchunsesamtheiten schließen auch bei er Berechnun von Sterbewahrscheinlichkeiten nach er Geburtsjahrmethoe ie Annahme leicher Sterblichkeit er wanernen un nicht wanernen Bevölkerunsteile ein (vl. [Fla62] S. 359 un [Sch89] S. 29): q * GJ = n t k ν 1 0,5s für [ t, t ] k ν ν 1 = (6) * q GJ wanerunskorriierte Sterbewahrscheinlichkeit er Altersklasse [x,x es Geburtsjahrans nach er Geburtsjahrmethoe s Außenwanerunssalo er Altersklasse [x,x es Geburtsjahrans [ x,x Für ie Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeiten nach er Methoe er Extinct Generations unter Berücksichtiun er Außenwanerunen wir wie bei er Geburtsjahrmethoe er Nenner korriiert. Bei Annahme er soenannten Balucci-Hypothese (vl. [Bat78] S. 3-8) un Annahme leicher Sterblichkeit er wanernen un nicht wanernen Bevölkerunsteile ilt ann: * q GJ = (7) ω i= x ( s ) 0,5s [ i,i [ i,i * q GJ wanerunskorriierte Sterbewahrscheinlichkeit er Altersklasse [x,x es Geburtsjahrans nach er Methoe er Extinct Generations Verfübare Zählrößen Mit er Entscheiun er Sekunäraäquation sin ie Zählrößen er sekunärstatistischen Erhebunen mit ihren Abrenzunen festelet bzw. müssen für eine ewählte Methoe in fremen Statistiken verfübar sein (vl. rechte Seite er Gleichunen (1) bis (3) un (5) bis (7)). Diese schon erhobenen Daten sin immer fehlerbehaftet. Sie weichen in ihren beobachteten Werten von er Realität ab. 2. Genauikeit berechneter Sterbewahrscheinlichkeiten Zum Einen weren mit er Methoenwahl er Sekunäraäquation von vornherein Abweichunen zwischen Realität un Messun festelet, inem en Methoen zuehörie Annahmen emacht weren müssen. Zum aneren lieen schon mit er Aäquation Abweichunen fest, weil ie 6

7 verfübaren, schon erhobenen un von wahren Wert abweichenen Daten fremer Statistiken bei er Methoenentscheiun berücksichtit weren müssen. Für einen Methoenverleich nach em Kriterium er erreichbaren Genauikeit berechneter Sterbewahrscheinlichkeiten ist er bisher verwenete Beriff er Abweichun zwischen Realität un Messun etaillierter zu efinieren. Alle Abweichunen, für ie kein wahrer Wert existiert oer nicht operabel ist, sin im Geensatz zum Beriff eines statistischen Fehlers als Diskrepanzen zu bezeichnen (vl. [Str94] S. 104). Zum Verstännis eines Fehlers benötit man ie Vorstellun eines wahren Wertes. Diese Vorstellun ist bei en Annahmen, ie mit en Methoenanwenunen emacht weren müssen, nicht eeben. Sie sin Ausruck für Aäquationsiskrepanzen, ie zusätzlich zu er aufrun er Altersklassierun vorhanenen Aäquationsiskrepanz auftreten. Die eientlichen statistischen Fehler, für ie man sich einen wahren Wert es Erhebunsmerkmals vorstellen kann, weren entsprechen er Erhebunsart (Voll- oer Stichprobenerhebun) unterschieen nach stichprobenbeinten un nicht stichprobenbeinten Fehlern (vl. Tabelle 1). Abweichunen zwischen Realität un Messun Statistische Fehler Stichprobenbeinte Fehler nicht stichprobenbeinte Fehler (Stichprobenfehler) (Unenauikeiten) systematische zufällie nicht stichproben- stichprobenbeinte Fehler beinte Fehler zufällie stichprobenbeinte Fehler Schätzfehler Stichpobenverzerrun zufällie Unenauikeiten systematische nicht stichproben-beinte Fehler systematische Unenauikeiten Diskrepanzen Tabelle 1: Abweichunen nach Existenz eines wahren Wertes, nach Erhebunsart un nach zufällien un systematischen Fehlern Stichprobenbeinte Fehler oer Stichprobenfehler sin iejenien, welche sich araus ereben, ass nur ein Teil er Gesamtheit beobachtet wir. Sie beeinflussen ie Sicherheit er Erebnisaussaen. Nicht stichprobenbeinte Fehler treten bei Stichprobenerhebunen un auch bei Vollerhebunen auf. Sie bestimmen ie Genauikeit er Erebnisse un weren zur besseren Unterscheiun von stichprobenbeinten Fehlern als Unenauikeiten bezeichnet. Für en kritischen Statistiker ist es entscheien wichti zu wissen, wie sich ie verschieenen Unenauikeitsquellen auf ie Richtikeit er Zahlen auswirken. Unter iesem Gesichtspunkt unterscheiet man zufällie un systematische Unenauikeiten, Bezeichnunen, ie aus er mathematischen Fehlerrechnun stammen. Zur Definition er zufällien un systematischen Unenauikeit ist ie Einführun es Beriffs er Wieerholunserhebun notweni. Unter einer Wieerholunserhebun i wir eine zeitlich unmittelbar nach er eientlichen Orinalerhebun mit leichem Arbeitssystem un unter unefähr leichen Beinunen oer zuminest unter annähern leichem Arbeitssystem urcheführte zweite, ritte usw. Erhebun verstanen. Dabei ist eine Unenauikeit systematischer Art er Teil er Unenauikeit einer beliebien Erhebun i, er für alle Wieerholunserhebunen konstant ist. Eine zufällie Unenauikeit ist er Teil er Unenauikeit, er für alle Wieerholunserhebunen variabel ist. Die systematischen un zufällien Unenauikeiten pflanzen sich bei en nachfolenen Phasen er statistischen Arbeit fort. Sie können sich abei eenseiti ausleichen oer verstärken. Die Varianz er zufällien Unenauikeiten berechneter Sterbewahrscheinlichkeiten ist aufrun er Fehlerfortpflanzun eine Funktion er Varianzen zufällier Erhebunsunenauikeiten. 7

8 Die Varianzen er zufällien Unenauikeiten er Zählrößen y, y&,... können empirisch bestimmt weren mit Hilfe von k unabhänien Wieerholunserhebunen nach einem leichen Arbeitssystem (vl. [Stre94] S. 13): 1 1 y j (8) k k V( Y ) = yi k i= 1 k j= 1 y i beobachteter Wert einer Zählröße y er Erhebun i zufällie Unenauikeit einer Zählröße y er Erhebun i y i Y Zufallsröße er Unenauikeit er Zählröße y V( Y ) Varianz er Zufallsröße Y Bei linearer Abhänikeit er Zufallsvariablen er Erhebunsunenauikeiten ist ie Varianz er Unenauikeit er Sterbewahrscheinlichkeit exakt bestimmbar (Linearkombinationen von Zufallsvariablen). Für alle Sterbewahrscheinlichkeiten q, ie nichtlineare Funktionen einer oer mehrerer Erhebunsrößen sin, können auch bei eenseitier Unabhänikeit nur Näherunen urch eine nach en Glieern erster Ornun abebrochenen Taylorreihe aneeben weren (vl. [Ras76] S. 172): 2 V( Q δ q ) δ y i i 2 V δ q δ y& i ( Y ) V( Y& )... i 2 (9) zufällie Unenauikeit einer auf er Grunlae beobachteter Zählrößen y, y&,... er q i Erhebun i berechneten Sterbewahrscheinlichkeit q Q Zufallsröße er Unenauikeit einer auf er Grunlae beobachteter Zählrößen y, y,... & berechneten Sterbewahrscheinlichkeit q V( Q ) Varianz er Zufallsröße Q y& i zufällie Unenauikeit einer Zählröße y& er Erhebun i Y & Zufallsröße er Unenauikeit er Zählröße y& V( Y& ) Varianz er Zufallsröße Y & Die systematische Unenauikeit er Sterbewahrscheinlichkeiten ist ebenfalls eine Funktion er Erhebunsunenauikeiten. Systematische Erhebunsunenauikeiten lassen sich nur über eine Kontrollerhebun mit Hilfe eines weitehen unverfälschten Arbeitssystems messen oer auf er Grunlae ähnlicher oer früherer Messunen schätzen: y wahrer Wert einer Zählröße y beobachteter Wert einer Zählröße y SF systematische Unenauikeit einer Zählröße y y SF = y y (10) Für ie Definition fortepflanzter systematischer Unenauikeiten er Sterbewahscheinlichkeiten?q SF weren ie Fehlerfortpflanzunsesetze er einzelnen Grunrechenarten (vl. [Rin97] S. 24) so nacheinaner anewenet, ass er esamte Rechenwe bei er Bestimmun er Sterbewahrscheinlichkeit verfolt wir. 8

9 Die so hereleiteten Unenauikeitsformeln für systematische un zufällie Unenauikeiten berechneter Sterbewahrscheinlichkeiten nach er Geburtsjahr-, Sterbeziffern- un nach er Methoe er Extinct Generations mit un ohne Berücksichtiun er Außenwanerunen sollen hier nicht im Einzelnen aufeführt weren. Die Unenauikeitsformeln er Sterbewahrscheinlichkeiten zeien, ass alle Unenauikeiten Funktionen sin er Zählrößenunenauikeiten, er Zählrößen un er Berechnunsmethoe. Da unterschieliche Rechenwee Fehlerfortpflanzun, -ausleich oer -verstärkun mitbestimmen un Sterbewahrscheinlichkeiten nach verschieenen Methoen eschätzt weren können, ist ie Methoenentscheiun ein Einflussfaktor für ie erreichbare Genauikeit. 3. Verleich er Berechnunsmethoen nach ihrer erreichbaren Genauikeit Weren ie Unenauikeitsformeln für Sterbewahrscheinlichkeiten nach en einzelnen Methoen eenüberestellt, so können allemeinültie Beinunen benannt weren, unter enen eine bestimmte Methoe enauere Erebnisse liefert. Diese Verleichserebnisse sin in Tabelle 2 zusammenefasst. Die freien Feler er Tabelle kennzeichnen Verleiche, ie zu keinem allemeinültien Erebnis führen. Verleich er Unenauikeiten er Sterbewahrscheinlichkeiten nach Geburtsjahrun Sterbeziffernmethoe Geburtsjahrun Methoe er Extinct Generations Geburtsjahr- un Sterbeziffernmethoe unter Berücksichtiun er Außenwanerunen Geburtsjahr- un Methoe er Extinct Generations unter Berücksichtiun er Außenwanerunen erinere zufällie Unenauikeit bei Anwenun er Sterbeziffernmethoe * Geburtsjahrmethoe, wenn Bestansunenauikeit er Altersklasse kleiner als Unenauikeit er Überlebenenzahl Methoe er Extinct Generations bei umekehrten Beinunen Methoe er Extinct Generations, wenn Verleich zwischen Geburtsjahr- un Methoe er Extinct Generations zuununsten er Geburtsjahrmethoe ausfällt erinere systematische Unenauikeit bei Anwenun er Sterbeziffernmethoe bei Zunahme er Unenauikeit forteschriebener Bestäne im Kalenerjahr Geburtsjahrmethoe bei umekehrten Beinunen ** Geburtsjahrmethoe, wenn relative Unenauikeit er Überlebenenzahl bei Fortschreibun kleiner als bei Rückschreibun Methoe er Extinct Generations bei umekehrten Beinunen Geburtsjahrmethoe, wenn relative Unenauikeit er Überlebenenzahl bei Fortschreibun kleiner als bei Rückschreibun Methoe er Extinct Generations bei umekehrten Beinunen * bei leichen Varianzen er Unenauikeiten für Sterbefall- un Bestanszahlen sowie leichen Sterbewahrscheinlichkeiten ** bei leichen systematischen Sterbefallzahlunenauikeiten, leichen Sterbewahrscheinlichkeiten un Sterbefallzahlen Tabelle 2: Allemeinültie Aussaen zum Methoenverleich 9

10 Die Methoenverleiche bezülich er Unenauikeit er Sterbewahrscheinlichkeiten ereben, ass bei abnehmenen Bestanszahlen pro Altersklasse un amit vermutlich abnehmenen systematischen Unenauikeiten er Bestäne ie Sterbeziffernmethoe zu erineren systematischen Unenauikeiten er Sterbewahrscheinlichkeiten führt als ie Geburtsjahrmethoe. Herkömmliche Methoen er Berechnun von Sterbewahrscheinlichkeiten (Geburtsjahr- un Sterbeziffernmethoe) sin für jünere Altersklassen ünstier als ie Methoe er Extinct Generations. Die Unterschiee er systematischen Unenauikeiten bei er Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeiten nach en verschieenen Methoen unter Berücksichtiun er Außenwanerunen leichen enen bei er Berechnun ohne Berücksichtiun er Wanerunen. Die Nennerröße er Sterbewahrscheinlichkeiten wir bei Anwenun er Sterbeziffern- un Geburtsjahrmethoe mit Hilfe er Bestansfortschreibun un bei Anwenun er Methoe er Extinct Generations mit Hilfe er Rückschreibun er Überlebenenzahlen berechnet. Mit er Fort- bzw. Rückschreibun spielt er Zeitabstan zwischen Beobachtunsjahr un em Jahr er letzten Volkszählun bzw. em Jahr es vollstänien Absterbens er Kohorte eine Rolle. Mit em Einfluss ieses Zeitabstanes wirkt sich auch ie Veränerun er o.. Einflussrößen auf ie Unenauikeit er Sterblichkeitsmaße aus. Unenauikeiten er Sterbewahrscheinlichkeiten sin follich Funktionen er Zählrößen un eren Unenauikeiten in ihrer Entwicklun seit er letzten Volkszählun un er Berechnunsmethoe. Die Auswirkunen einzelner Zählrößen in ihrer Entwicklun lassen sich mit Hilfe er efunenen Unenauikeitsformeln nicht allemeinülti ableiten, weil eine konkrete Bevölkerunsynamik zuruneelet weren muss. Solche Bevölkerunsmoelle lassen sich aber nur nach Bevölkerunstypen (stabil wachsene, stabil stationäre oer stabil schrumpfene) unterscheien. Zu jeem Typ ibt es eine anze Reihe von Altersstrukturen, ie sich auch unterschielich auf ie Unenauikeit er Sterbewahrscheinlichkeiten auswirken. Die Auswirkunen einzelner Zählrößenunenauikeiten in ihrer Entwicklun können ebenfalls aufrun er vielen mölichen Entwicklunen nicht allemeinülti beschrieben un untereinaner verlichen weren. Auswirkunen einzelner Zählrößenunenauikeiten auf Unenauikeiten er Sterbewahrscheinlichkeiten unter em Gesichtspunkt erinster Unenauikeiten sin aber insofern von Interesse, a bestimmte Zählrößenunenauikeiten in er Praxis überwieen können. Derarti überwieene Einflüsse einzelner Zählrößenunenauikeiten können für bestimmte Anwenunsfälle berünet weren. So überwieen ie Unenauikeiten er Sterbefallzahlen im Fall, ass Unenauikeiten von toesursachenspezifischen Sterbewahrscheinlichkeiten interessieren. Erhobene Sterbefallzahlen nach Toesursachen sin stark verfälscht. Deren Wirkun auf Unenauikeiten er Sterbewahrscheinlichkeiten ist bei bekannten systematischen Sterbefallzahlunenauikeiten quantifizierbar. Zur Schätzun von Unenauikeiten toesursachenspezifischer Sterbefallzahlen ibt es eine Reihe von Ansätzen. Die in Tabelle 3 folenen Aussaen weren mit Hilfe einer quantitativen Analyse auf er Grunlae einer konstruierten offenen stationären Bevölkerun emacht. Es weren nur ie Verleichserebnisse für systematische Unenauikeiten aufeführt, a ie Auswirkunen zufällier Unenauikeiten er einzelnen Zählrößen bei er Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeiten kaum eine Rolle spielen. 10

11 Verleich er Unenauikeiten er Sterbewahrscheinlichkeiten nach Geburtsjahrun Sterbeziffernmethoe mit un ohne Berücksichtiun er Außenwanerunen Geburtsjahrun Methoe er Extinct Generations mit un ohne Berücksichtiun er Außenwanerunen * erinere systematische Unenauikeiten bei Anwenun er Sterbeziffernmethoe Geburtsjahrun Sterbeziffernmethoe Methoe er Extinct Generations Geburtsjahrmethoe bei überwieen unenauen Sterbefallzahlen bei überwieen unenauen Volkszählunsbestänen bei allen Fällen überwieener Unenauikeiten bei überwieen unenauen Sterbefallzahlen bei überwieen unenauen Zuoer Abwanerunsfallzahlen bei überwieen unenauen Sterbefallzahlen bei überwieen unenauen Zuoer Abwanerunsfallzahlen Unterschie zur erreichbaren Genauikeit nach alternativer Methoe sehr erin ab Altersklasse 75* (90) ab Altersklasse 80 Altersklassen 0 bis 80 ab Altersklasse 55* (85) ab Altersklasse 85 Altersklassen 0 bis 55 Altersklassen 0 bis 85 ab 10 Jahre nach Volkszählun ab 5 Jahre nach Volkszählun alle Perioen alle Kohorten alle Kohorten alle Kohorten alle Kohorten Tabelle 3: Quantitative Aussaen zum Methoenverleich Unter en Beinunen leichbleibener Bestanszahlen pro Altersklasse,. h. unter stationären Beinunen, weren bis unefähr zum Alter 80 mit Anwenun er Geburtsjahr- un er Sterbeziffernmethoe unabhäni vom zeitlichen Abstan er Beobachtunsperioe zur letzten Volkszählun ähnliche relative Unenauikeiten von Sterbewahrscheinlichkeiten er Altersklassen erreicht. Bei überwieen unenauen Volkszählunsbestänen ist ab fünf Jahre nach er letzten Volkszählun für ie Berechnun von Sterbewahrscheinlichkeiten ab Altersklasse 80 ie Sterbeziffernmethoe zu wählen. Bei überwieen unenauen Sterbefallzahlen ist ab zehn Jahre nach er Volkszählun ie Berechnun von Sterbewahrscheinlichkeiten ab Altersklasse 90 mit Hilfe er Sterbeziffernmethoe ünstier als mit Hilfe er Geburtsjahrmethoe. Herkömmliche Methoen (Geburtsjahr- un Sterbeziffernmethoe) sin bei überwieenen systematischen Sterbefallzahlunenauikeiten für ie Berechnun von Sterbewahrscheinlichkeiten jünerer Altersklassen bis 55 Jahre eutlich ünstier als ie Anwenun er Methoe er Extinct Generations. Ab Alter 85 sin iese herkömmlichen Methoen bei überwieenen systematischen Sterbefallzahlunenauikeiten eineuti nicht mehr ie ünstieren. Die Anwenun er Geburtsjahr- oer er Sterbeziffernmethoe ist bei überwieen systematischen Unenauikeiten er Zu- oer er Abwanerunsfallzahlen für jünere Altersklassen bis unefähr 85 Jahre ünstier als ie Anwenun er Methoe er Extinct Generations. Diese Verleichserebnisse lassen sich vereinfachen zu Faustreeln zusammenfassen: Unter em Kriterium kleinster Unenauikeiten er berechneten Sterbewahrscheinlichkeiten sin Berechnunen nach er Geburtsjahr- un Sterbeziffernmethoe bis fünf Jahre nach er letzten Volkszählun unefähr leich enau. Ab fünf Jahre nach er Volkszählun ist ie Sterbeziffernmethoe bis zur Altersklasse 85 anzuwenen. Da ie Anwenun er Methoe er 11

12 Extinct Generations aufrun er verfübaren Daten stark eineschränkt ist, ilt mit einem Entscheiunskriterium kleinster Unenauikeiten er Sterbewahrscheinlichkeiten als Faustreel: Ist ie Methoe er Extinct Generations anwenbar, sollte sie zur Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeiten heranezoen weren. Ist sie nicht anwenbar, so ist ie Sterbeziffernmethoe ie enauere. 4. Schlussfolerunen Bei er Untersuchun von Auswirkunen er Methoenwahl auf möliche Abweichunen zwischen Realität un Messun von Sterbewahrscheinlichkeiten ist zu unterscheien zwischen er erreichbaren Genauikeit er Methoe un en Annahmen sowie Entscheiunen, welche ie Methoenanwenun impliziert (Verteilunsannahme über Sterbe- un Wanerunsfälle im Altersintervall, Annahme leicher Sterblichkeit wanerner un nicht wanerner Bevölkerunsteile, Stationaritätsannahme, Entscheiun über eine sachliche oer räumliche Aäquationsiskrepanz bei Lösun es Variabilitätsproblems). Die Annahmen un Entscheiunen rücken sich als Abweichunen zwischen Realität un Messun aus, ie nicht mit einer Vorstellun eines operablen wahren Wertes verbunen sin. Sie weren zur besseren Unterscheiun von en eientlichen statistischen Fehlern als Diskrepanzen bezeichnet. Da ein wahrer Wert nicht existiert oer nicht operabel ist, ist auch eine Korrektur im Sinne er Verrinerun er Abweichunen nicht mölich. Diese Aäquationsiskrepanzen manifestieren sich in en Vor- un Nachteilen er einzelnen Methoen un sin somit bei er Optimierunsaufabe er Aäquation (vl. Abbilun 1) einbezoen. Die erreichbare Genauikeit einer Methoe ist ebenfalls eine Entscheiun er Aäquationsphase, wenn es sich bei er Untersuchun um eine sekunärstatistische Erhebun hanelt. Bei einer sekunärstatitischen Erhebun zur Messun von Sterbewahrscheinlichkeiten weren mit er Methoenentscheiun ie verfübaren Zählrößen fremer Statistiken einbezoen (vl. Abbilun 1). Damit sin eren schon eebene Erhebunsunenauikeiten impliziert, ie sich bei er Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeiten in en weiteren Phasen er statistischen Arbeit fortpflanzen. Welche Annahmen emacht weren müssen un wie enau eine berechnete Sterbewahrscheinlichkeit berechnet weren kann, kann urch ie Methoenwahl beeinflusst weren. Das Optimierunsproblem er Sekunäraäquation muss in iesem Sinne weiter esehen weren (vl. Abbilun 2). operable Altersklassierun verfübare Zählrößen in bestimmter Abrenzun un Genauikeit Methoe zur Berechnun er Sterbewahrscheinlichkeit Abbilun 2: Problem er Sekunäraäquation mit Berücksichtiun er Genauikeit 12

13 Diskrepanzen un Unenauikeiten bei er Sterblichkeitsmessun sin follich zwei verschieene Entscheiunskriterien er Aäquation. So manifestiert sich ie Wanerunsproblematik bei er Sterblichkeitsmessun offener Bevölkerunen nicht als Genauikeitsproblem einer Methoe, sonern ein Entscheiunsproblem zwischen Methoen mit em Problem einer sachlichen un/oer räumlichen Aäquationsiskrepanz. Die Messun reionaler Sterblichkeit bei offenen Bevölkerunen ist somit ebenfalls kein Problem er Genauikeit. Unter er (theoretischen) Voraussetzun enau erhobener Zählrößen (mit er berechtiten Vorstellun wahrer Erhebunswerte) können auch für extrem kleine Bevölkerunen efinierter Reionen Sterbewahrscheinlichkeiten enau emessen weren. Aufrun er Variabilität offener Personenesamtheiten über en Beobachtunszeitraum kann eine wahre Sterbewahrscheinlichkeit ebenso weni für eine efinierte Reion mit einer kleinen wie mit einer roßen Bevölkerun emessen weren. Die Beobachtunszeiträume bzw. ie Altersklassen er zu messenen Wahrscheinlichkeiten müsste azu unenlich klein ehalten weren. Bei offenen Bevölkerunen kann nur von enau berechneten, aber niemals von wahren Sterbewahrscheinlichkeiten esprochen weren. Die Frae lautet nicht, welche Methoe berücksichtit ie Außenwanerunen am enauesten, sonern welche Methoenanwenun kann - bezoen auf as jeweilie Untersuchunsziel - als mölichst aäquat bezeichnet weren. Wir für eine Methoenwahl ausschließlich as Entscheiunskriterium er Genauikeit zu berechnener Sterbewahrscheinlichkeiten heranezoen, ann ist ie von er amtlichen Statistik in Deutschlan anewenete Sterbeziffernmethoe von roßer Beeutun. Mit er heutien emoraphischen Situation in Deutschlan interessieren aber in zunehmenem Maße ie Sterbewahrscheinlichkeiten höherer un höchster Altersklassen. Die Erfahrunen un auch ie vorlieenen Untersuchunen beleen ie Genauikeitsproblematik berechneter Sterbewahrscheinlichkeiten höherer Altersklassen, insbesonere wenn ie Nenner er Wahrscheinlichkeiten mit zunehmenem Abstan von er letzten Volkszählun mittels länerer Fortschreibun berechnet weren müssen. Für iese Altersklassen ab em Alter 85 sin herkömmliche Methoen wie ie Sterbeziffernmethoe eutlich wenier enau als ie Methoe er Extinct Generations. Die Genauikeit berechneter Sterbewahrscheinlichkeiten lässt sich nachweislich urch ie Wahl ihrer Berechnunsmethoen beeinflussen. Trotzem ist ie erreichbare Genauikeit berechneter Sterbewahrscheinlichkeiten im Zusammenhan mit en unvermeibaren Aäquationsiskrepanzen jeer Anwenun kritisch zu betrachten. Mölicherweise können Diskrepanzen zu einer Verzerrun führen, ie Verbesserunen er Genauikeit überflüssi machen. Zusammenfassun Jee Mölichkeit zur Schätzun von Sterbewahrscheinlichkeiten hat Vor- un Nachteile, ie in er Literatur ausführlich beschrieben sin un eientlich unterschieliche Lösunsansätze es Aäquationsproblems arstellen. Eine Methoe zur Messun er wahren Sterblichkeit kann es nicht eben. Die Wahl er Methoe erfolt im Zusammenhan mit en für eine Sekunärstatistik verfübaren Erhebunsrößen, ie fehlerbehaftet sin. Diese Erhebunsfehler pflanzen sich bei en nachfolenen Phasen er statistischen Arbeit fort. Sie können sich abei eenseiti ausleichen oer verstärken. Da unterschieliche Rechenwee Fehlerfortpflanzun, -ausleich oer -verstärkun mitbestimmen un Sterbewahrscheinlichkeiten nach verschieenen Methoen eschätzt weren können, ist ie Methoenwahl ein Einflussfaktor für ie erreichbare Genauikeit. Die Genauikeit von Sterbewahrscheinlichkeiten ist mit en aktuellen Tenenzen er emoraphischen Entwicklun in Deutschlan insbesonere für höhere un höchste Altersklassen von Interesse. In iesem Beitra wir untersucht, unter welchen Beinunen ie Methoen nach em Kriterium mölichst enauer Messunen ausewählt weren sollten. Summery Different moes of calculation to estimate probabilities of eath have their assets an rawbacks, which are escribe in etail in literature. They are in fact ifferent solutions 13

14 of the problems of aequate representation. There is no metho to measure the real mortality. The metho is selecte in conjunction with the available sizes of surveys, which are incorrect. These errors in surveys propaate in followin phases of statistical work. They can equalize or concentrate. The choice of metho is one factor of accessible accuracy, because ifferent moes of calculation eterminate error propaation, error equalizin or concentration. The accuracy of probability of eath of hiher an hihest aes is one of the interests in current emoraphic situation of Germany. In this article, analysis has been one on the conitions, in which the methos shoul be selecte, with the criterion of accurate measurements. Literatur [Bat78] Batten,R. W.: Mortality Table Construction. Prentence-Hall, Inc., New jersey, 1978 [Bec74] Becker, K.: Zur Berechnun von Sterbetafeln an ie Bevölkerunsstatistik zu stellene Anforerunen Gutachten über ie Frae: Welche Unterlaen hat ie Statistik zu beschaffen, um richtie Mortalitätstafeln zu ewinnen?. Verla es Könilichen Statistischen Bureaus Berlin, Berlin, 1874 [Ber92] Bermann, K.; Baier, W.; Casper, R. un Wiesner, G. (Hrs.): Entwicklun er Mortalität in Deutschlan von in: ba-schriften. Nomos Verla, Baen- Baen,1992 [Bun60] Statistisches Bunesamt: Stichproben in er amtlichen Statistik. W. Kohlhammer GmbH, Stuttart [u.a.], 1960 [Bun90] Statistisches Bunesamt: Erebnisbericht über ie Sitzun er Arbeitsruppe Sterbetafeln am 24. Oktober 1990 in Wiesbaen. November 1990 [Bur4 Burhart, F.: Statistische Fraen bei er Aufstellun un Auswertun von Volkssterbetafeln. in: Veröffentlichunen es Deutschen Vereins für Versicherunswissenschaft; Heft 68 (Sammelban Entwicklunslinien un Gruneanken eutscher Versicherun). Mittler & Sohn Verla, Berlin, 1941 [Chi84] Chian, C. L.: The Life Table an its Applications. Krieer Publishin Company, Malabar Floria, 1984 [Din98] Dinkel, R. H.: Mortalität. Unveröffentlichtes Vorlesunsmanuskript, 1998 [Fla62] Flaskämper, P: Bevölkerunsstatistik. Meiner Verla, Hambur, 1962 [Mey9 Meyer, K. un Paul, C.: Allemeine Sterbetafel 1986/88. in: Wirtschaft un Statistik, Nr. 6, 1991 [Mü50] Münzner, H.: Zur allemeinen Sterbetafel für ie Bunesrepublik Deutschlan 1960/62. Deutsche Gesellschaft für Versicherunsmathematik, 1950 [Ras76] Rasch, D.: Einführun in ie mathematische Statistik. VEB Deutscher Verla er Wissenschaften, Berlin, 1976 [Rin97] Rinne, H.: Taschenbuch er Statistik. Deutscher Verla, Frankfurt a. M.; 2. überarb. un erw. Auflae, 1997 [Sch89] Scholz, R. un Schott, J.: Zur Berücksichtiun er Wanerun bei er Abschätzun altersspezifischer Ereiniswahrscheinlichkeiten am Beispiel er Sterbewahrscheinlichkeiten. in: Zeitschrift für ie esamte Hyiene, J. 35, Heft 12, 1989 [Str94] Strecker, H. un Wieert, R.: Praktische Schätzunen von Antwortvariabilitäten, Theoretische Grunlaen un Anwenunen.. in: Anewante Statistik un Ökonometrie; Heft 36, Vanehoeck & Ruprecht, Göttinen, 1994 [Vin5 Vincent, P.: La Mortalité es Vieellar. Population, Nr. 6, 1951 [WB99] Wittwer-Backofen, U.: Disparitäten er Alterssterblichkeit im reionalen Verleich, Bioloische versus sozioökonomische Determinanten. Bunesamt für Bevölkerunsforschun beim Statistischen Bunesamt, Ban 95, 1999 [Wie82] Wieert, R.: Überleunen zum Aäquations- un Fehlerberiff in er Statistik un Ökonometrie. in: Anewante Statistik un Wirtschaftsforschun heute; Vanehoeck & Ruprecht, Göttinen,