3.2. Strömungstechnische Auslegung der PELTON Turbine

Transkript

1 3.. Srömngsehnishe Aslegng der PELTON Trbine 3... Geshindigkeisdreiek Legende: Indies: a - Axiale Rihng Umfangsrihng - Absolgeshindigkei des Srahls nah der Düse vor Lafrad - Umfangsgeshindigkei des Lafrades - Relaivgeshindigkei des Srahls β - Absröminkel - nah der Düse b. vor dem Lafrad - nah dem Lafrad a Axialkomonene - Umfangskomonene Abbildng 3.-:Geshindigkeislan im Beher einer Pelonrbine

2 3... Ideale Düsenasrisgeshindigkei In einem Leiaara, der as mehreren Düsen beseh, ird ein Wassersrahl mi hoher Geshindigkei ereg, der drh seine Imlsänderng beim Afreen af die Shafeln eine raf asüb nd das Lafrad in Beegng verse. Nah dem Energiesa für offene Syseme bei Vernahlässigng von Verlsen (nd Höhennershieden in der Düse bei einem Düsenasrisdrk, der gleih dem Umgebngsdrk is, folg: g max g (3.- - Düseneinrisgeshindigkei - Drk am Düseneinri - geodäishe Höhe des Düseneinris max Düsenasrisgeshindigkei (ideal - Drk am Düsenasri - geodäishe Höhe des Düsenasris - Dihe des Medims g - Erdbeshlenigng Dami ergib sih für eine ideale Düsenasrisgeshindigkei ner den Vorassengen eines adiabaen offenen Sysems (q ; Temerar ons nd eines inkomressiblen Medims ( folgende Gleihng: g( ideal ( Düsenasrisgeshindigkei In Wirklihkei reen beim Drhsrömen der Düse Reibngsverlse af ( Φ - Seifishe Dissiaionsarbei in der Düse, die einer Srahlasrisgeshindigkei real real < ideal führen nd die am einfahsen drh den Düsenirkngsgrad ηd oder die seifishe Dissiaion erfass erden. Die seifishen Verlse in der Düse lassen sih in die verlsberahende Bernolligleihng ishen Düsenein- nd -asri einbeiehen:

3 g g Φ (3.-3 Daras folg: g( Φ real (3.-4 Φ - Seifishe Dissiaionsarbei in der Düse Seifishe Dissiaionarbei Φ in der Düse Dissiaion is die Umandlng einer Energieform in Wärmeenergie, d.h. in diesem Fall die Umandlng der kineishen Energie in Reibngsärme an der Wandng der Düse. Für den Wirkngsgrad der Düse ergib sih nah der allgemeinen Wirkngsgradgleihng: Nen η (3.-5 Afand η- Wirkngsgrad, allgemein Die Afgabe der Düse bei der Pelonrbine beseh darin das vorhandene Gefälle möglihs vollsändig in Geshindigkei mseen. Das heiß die Geshindigkeisdifferen ensrih dem Nen. Da noh einmal die Bernolligleihng ishen Düsenein- nd -asri ohne Verlsberahng mi ideal : g g (3.-6 Beim Wirkngsgrad η ürde folgende Beiehng ensehen: ideal g ( (3.-7 Für einen realen Wirkngsgrad ergib sih der Qoien: 3

4 real Nen η D... (3.-8 g ( Afand Wenn η D - Wirkngsgrad der Düse Hieras kann real berehne erden Nen η D Afand is, dann folg daras für die Verlse in der Düse: Verls ( η D Afand Für die seifishe Dissiaion in der Düse heiß dies: ( g( η D (3.-9 Φ Umfangsgeshindigkei Uner der Umfangsgeshindigkei verseh man die Pnkgeshindigkei af dem Srahlkreisdrhmesser am Lafrad. r ω π r n (3.- ω - Winkelgeshindigkei r - Srahlkreisradis n Drehahl Relaive Lafradeinrisgeshindigkei, Für einen Beobaher, der sih af dem Lafrad befinde, ha der Wassersrahl eine Relaivgeshindigkei. Weil sih das Lafrad mi der Umfangsgeshindigkei in die gleihe Rihng ie der Wassersrahl beeg, riff der Wassersrahl af die Lafshafeln nr mi der Relaivgeshindigkei. Die relaive Lafradeinrisgeshindigkei is die Differen der Absolgeshindigkei des Srahls nd der Umfangsgeshindigkei, d.h. sie is der Teil der Absolgeshindigkei der "shneller" is als das Lafrad nd den eigenlihen Imls (die Umfangskomonene ereg. (3.- - Relaive Lafradeinrisgeshindigkei des Srahles - Absole Lafradeinrisgeshindigkei des Srahles - Umfangsgeshindigkei des Lafrades 4

5 3..7. Relaive Lafradasrisgeshindigkei, Die Shafeln sind af der Fronseie so geform, dass der Wassersrahl nah beiden Seien mgelenk ird nd das Lafrad mi der Geshindigkei verläss. Versändlihereise reen bei dieser Umlenkng Verlse af, so dass egen des gleihen Drkes die Geshindigkei eas kleiner als is. Dieses Geshindigkeisverhälnis ird mi dem Beier ξ erfass. Der Drk is im Lafradeinri gleih dem Drk im Lafradasri. Die relaive Geshindigkei nah dem Lafrad is gleih: ξ (3.- - Relaive Lafradasrisgeshindigkei des Srahles ξ - Geshindigkeisverhälnis Umfangskomonene der relaiven Lafradasrisgeshindigkei Mi dieser Geshindigkeiskomonene ird der Teil der relaiven Lafradgeshindigkei erfass, der af dem Umfang engegen der Lafradbeegngsrihng irk. Die rigonomerishe Beiehng ird as dem Geshindigkeislan (Abbildng 3.3. ersihlih. os β os β ( Umfangskomonene der relaiven Asrisgeshindigkei des Srahles. Mins bedee eine Gegenrihng β - Lafradabsröminkel Axiale omonene der absolen Lafradasrisgeshindigkei Geshindigkeiskomonene die sih drh Symmerie des Lafradbehers gegeneinander afheben nd somi ah keine Axialkraf eregen. Drh die Geshindigkei a ird das Wasser von der Shafel abgeführ. sin β sin β a a a a sin β sin β (3.-4 a - Axialkomonene der absolen Lafradasrisgeshindigkei 5

6 3... Umfangskomonene der absolen Lafradasrisgeshindigkei Es gil allgemein: ( ( Umfangskomonene der absolen Lafradasrisgeshindigkei 3... Absole Lafradasrisgeshindigkei Die absole Lafradasrisgeshindigkei des Srahls errehne sih mi dem Sa des PYTHAGORAS as dem Geshindigkeislan: a ( Absole Lafradasrisgeshindigkei 3... Seifishe Dissiaionsarbei im Lafrad nd Lafrad- Verlsbeier Die seifishe Dissiaionsarbei im Lafrad kann eneder als Differen der kineishen Energie der Relaivgeshindigkeien oder miels eines Verlsfakors beshrieben erden. Da lae die Bernolli-Gleihng ishen Lafradein- nd - asri ner Beahng der Verlse: g g Φ (3.-7 mi nd folg daras: Φ (3.-8 Φ - Seifishe Dissiaionsarbei im Lafrad Als Aneil an der kineishen Energie ergib sih iederm für die seifishe Dissiaionsarbei im Lafrad mi dem Lafrad-Verlsbeier ζ: Φ ζ (3.-9 ζ- Lafrad-Verlsbeier 6

7 Mi den Gleihngen (3.-, (3.-8 nd (3.-9 erhäl man ein Gleihngssysem: ξ (3.- Φ (3.-8 Φ ζ (3.-9 Φ ξ (3.- nd nah dem Einseen von (9 in (8, erhäl man: ζ ξ (3.- nd Division drh / lae die Beiehng ishen ζ nd ξ: ζ ξ ( Seifishe Dissiaionsarbei nah dem Lafrad Die Differen ( Ws ensrih dem Absand ishen Unerassersiegel nd dem Asri des Wassers as dem Lafrad. Sie sell ein asgefallenes Ngefälle dar nd mss deshalb so klein ie möglih gehalen erden. Die Herleing der seifishen Dissiaionsarbei nah dem Lafrad as der Bernolli- Gleihng: Ws Ws g g Ws Φ (3.-3 7

8 - Absole Lafradasrisgeshindigkei - Drk am Lafradasri - geodäishe Höhe des Lafradasris Ws - Geshindigkei des Unerassersiegels Ws - Drk am Unerassersiegel Ws - geodäishe Höhe des Unerassersiegels Φ - Seifishe Dissiaionsarbei nah dem Lafrad mi Ws nd Ws folg daras: Φ g ( Ws ( Umfangskraf am Lafrad Der Freisrahl as der Düse riff mi der Relaivgeshindigkei af das Lafrad nd ird enlang der Shafelkonr abgelenk. Die Rihngsänderng der Geshindigkei im Lafrad von af beirk eine Änderng des Imlses nd ereg eine raf in Umfangsrihng. Die Anendng des Imlssaes in Axialrihng a: a a I & asa I& eina FaS m& m& F dami as F a FaS (3.-5 I & a - Imlssrom in axialer Rihng mi der Bedingng, dass der einreende Imls in Axialer Rihng Nll is. F a - Axialkraf, hervorgerfen drh Imls a - Axialkomonenen der relaiven Geshindigkei des Srahles Dabei gil das oordinaensysem, dass die Rihng der beiden omonenen engegengese is. m& - Massensrom Desgleihen für die Umfangsrihng : I & AsU I & EinU Fex F mi S F F S I& F m& m& m& (3.-6 I & - Imlssrom in Umfangsrihng F - Umfangskraf, hervorgerfen drh Imls Es ird die raf vom Flid af die Shafel angenommen nd nih die raf von der Shafel af das Flid nah dem Sükrafkone 8

9 - Umfangskomonenen der relaiven Geshindigkei des Srahles F m& m& (Wihig: Rihng von berüksihig Es folg für F : F m& ( (3.-7 As der Elergleihng (3.- As der Elergleihng r v v as der formalen Lösng (3.-5 nd dami ird Umfangskraf in die osiive Drehrihng osiiv nd ereg dami die raf an dem Lafrad die r Eregng des Drehmomenes führ. F F m ( & m& ( ( Seifishe Shafelarbei Allgemein lae die Gleihng r Besimmng der seifishen Shafelarbei: P (3.-9 m & - Seifishe ehnishe Arbei P - Trbinenleisng Für die Leisng folg nah den Grndgeseen der Mehanik: P M ω (3.-3 mi T [Nm] Drehmomen ω [/s] - Winkelgeshindigkei 9

10 ω π r n (3.-3 r nd M F r (3.-3 F m& ( (3.-8 ird P M ω F r ω F r r F P m& ( (3.-33 Nah dem Einseen in die Gleihng der seifishen Shafelarbei: ( (3.-34 Dabei gil es beahen das die Arbei as der Umfangsgeshindigkei als osiive Arbei angesehen ird. Bei der Elergleihng gil die Beiehng das die seifish ehnishe Arbei bei rafmashinen negaiv angenommen ird nd bei Arbeismashinen osiiv. An dem Berag der Arbei änder sih nihs, da es nr mi dem Voreihen in dem Energieerhalngssa berüksihig ird Toale Drkänderngsarbei Die oale Drkänderngsarbei is die einer Trbine ishen Eingangs- nd Asgangssen enogene seifishe ehnishe Arbei. Der "Eingangssen" der PELTON-Trbine is der Düseneinri, als "Asgangssen" is der Unerassersiegel im raferkshas sehen. ( UWS

11 Ws Ws g Y g Ws (3.-35 Y - Toale Drkänderngsarbei Y Ws g ( Ws ( Massensrom m (3.-37 V Af die Zei beogener Massensrom: m V (3.-38 m - Masse V - Volmen - Zei m & V & (3.-39 V & - Volmensrom Trbinenleisng P m& (3.-4 T lngsleisng P m& η (3.-4 m P - lngsleisng η m - Mehanisher Wirkngsgrad 3... Exergeisher Wirkngsgrad Der exergeishe Wirkngsgrad drük as, elher Aneil der r Verfügng sehenden Exergie asählih in nbare Arbei mgeandel erden kann.

12 Dabei siel die seifishe Arbei as eine Rolle. Der exergeishe Wirkngsgrad ird in diesem Fall osiiv enn die seifish ehnishe Arbei osiiv angenommen ird. ( Exergie xt η (3.-4 xt η - Exergeisher Wirkngsgrad mi m m P η & (3.-43 ( (3.-44 lae ird xt η : ideal xt ( η (3.-45 nd für ideal folg as der Bernolli-Gleihng ishen Düseneinri nd Lafradeinri: ( ( g g ideal (3.-46 ( g ideal (3.-47 ( ( g xt η (3.-48

13 3... Oimale Umfangsgeshindigkei Die Umfangsgeshindigkei is dann imal, enn der exergeishe Wirkngsgrad am größen is. Mahemaish heiß das, dass die Fnkion η XT f ( in der. Ableing gleih seen is, m ein Maximm ermieln: η XT (3.-49 In Formel ( erden je die Variablen nd onsanen fesgeleg. Man kann fessellen, dass der gesame Nenner von ( nabhängig is. Deshalb ird der gesame Nenner als onsane definier. xt g ( η ( (3.-5 Der Zähler is eine Fnkion von ( da ( von ( abhäng. η XT ( [ ( ] (3.-5 Der Asdrk [ ( - ] ird im Folgenden mgesell. Für die Geshindigkei gil: (3.-5 os β (3.-3 η η XT XT [ ( ( os β ] [ ( os β ] (3.-5 Drh eieres Einseen von: ζ (3.- 3

14 (3.- ξ (3.-53 ( erhäl man: os β ξ ( os β ξ os β ξ (3.-54 ( os β ξ os β ξ Dies bedee für den Zähler in der Gleihng (4 [ ( ]: [ ( os β ξ β ξ ] ( os ( os β ξ os β ξ ( os β ξ ( os β ξ (3.-55 ( os β ξ ( dami rük in Formel (3.-5 für den exergeishen Wirkngsgrad. Der Term ( os β ξ kann als onsane asgeklammer erden. Es verbleib nnmehr r eigenlihen Differenierng nr: η ( os ( XT β ξ ( os β ξ ( (3.-56 dami folg für die Ableing: η nd η XT XT ( os β ξ ( 4

15 ( os β ξ ( ( os β ξ ( Oimale Umfangsgeshindigkei Aserng: Die imale Umfangsgeshindigkei lieg bei der halben reellen Düsenasrisgeshindigkei. Beim Abeihen von der imalen Umfangsgeshindigkei sink der exergeishe Wirkngsgrad. Da die Umfangsgeshindigkei aber in die Umfangskraf eingeh, sind ihr as Fesigkeisgründen Grenen gese Toaler Wirkngsgrad Der oale Wirkngsgrad berüksihig vor allem die in der Trbine afreenden Reibngsverlse der Srömng. Dabei gil als Beg die ehnishe Arbei. So is der oale Wirkngsgrad sehr g m Vergleih der vershiedenen Trbinen geeigne, da nr die srömngsehnishen Verlse einbeogen erden. Bei inkomressiblen Flüssigkeien, gil mi der BeiehngY / : η x η T η T Φ Y P m& Y (3.-58 η T ( Φ Φ Φ η T - Toaler Wirkngsgrad Y oale Srömngsarbei (oale Drkänderngsarbei lngsirkngsgrad Der lngsirkngsgrad beinhale die mehanishen nd srömngsehnishen Verlse nd beinhale den Teil der Leisng die an einem angeshlossenen Generaor direk r Verfügng sehen. η η η (3.-59 m T η - lngsirkngsgrad 5