Mathematische Strömungslehre I + II. Prof. Dr.-Ing. D. H ä n e l Aerodynamisches Institut RWTH Aachen

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1 Mathematische Strömungslehre I + II Prof. Dr.-Ing. D. H ä n e l Aerodynamisches Institut RWTH Aachen

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundgleichungen der Strömungsmechanik Allgemeine Formulierung der Erhaltungsgleichungen Integrale Formulierung der Erhaltungsgleichungen Differentielle Formulierung der Erhaltungsgleichungen Thermische und kalorische Zustandsgleichungen Transportkoeffizienten Erhaltungsgleichungen in kartesischen Koordinaten (x,y,t) Vereinbarungen für kartesische Koordinaten Erhaltungsgleichungen für kompressible Strömungen Erhaltungsgleichungen für inkompressible Strömungen Anfangs- und Randbedingungen Klassifizierung und Charakteristiken partieller Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung Charakteristikenbedingung Charakteristik und Gleichung der charakteristischen Grundkurve Charakteristische Lösung Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Kanonische bzw. Normalform von Gleichungen 2. Ordnung Vereinfachte Berechnung der Charakteristiken Grundlagen der numerischen Lösung Entwicklung von konsistenten Differenzenausdrücken Differenzenausdrücke für Ableitungen 1. und 2. Ordnung Differenzenschemata Konsistenz von Differenzenschemata Numerische Stabilität Einführung Diskrete Störtheorie der Stabilität von Neumann sche Stabilitätsanalyse Hirtsche Stabilitätsanalyse Konvergenz Iterationsverfahren für elliptische Differentialgleichungen Einführung Diskretisierung der Poissongleichung Prinzip der Iterationsverfahren Konsistenz und Stabilität der Iterationsverfahren Darstellung wichtiger Iterationsverfahren Jacobi Iterationsverfahren Gauß-Seidel Punktiterationsverfahren Beschleunigtes Gauß-Seidel Punktiterationsverfahren

3 4.5.4 Beschleunigtes Gauß-Seidel Linieniterationsverfahren Linieniteration in alternierender Richtung Konvergenz von Iterationsverfahren Definitionen Berechnung des diskreten Eigenwertproblemes Konvergenz der Jacobi Iteration Vergleich der Konvergenzraten von Iterationsverfahren Numerische Lösung parabolischer, partieller Differentialgleichungen Einführung Lösung der Fourier-Gleichung Grenzschichtgleichungen Numerische Lösung skalarer hyperbolischer Differentialgleichungen Einführung Courant Friedrichs Lewy (CFL) Bedingung Numerische Dämpfung Wichtige Differenzenschemata für die skalare Konvektionsgleichung Zentrale Schemata Upwindschemata Skalare, hyperbolische Gleichungen 2. Ordnung Formulierung eines Strömungsproblemes der Störpotentialgleichung Numerische Lösung der Störpotentialgleichung Formulierung der Euler Gleichungen Einführung Formen der Euler Gleichungen Integrale Form Divergenzform Quasi-konservative Form und Jacobi-Matrizen Nichtkonservative Formen Charakteristische Form Diskontinuierliche Lösungen der Euler Gleichungen Numerische Lösung der Euler Gleichungen Formulierung der eindimensionalen Euler Gleichungen Ortsdiskretisierung der Flüsse Konservative Diskretisierung Numerische Flußfunktion Zentrale Schemata Upwindschemata Zeitdiskretisierung (Lösungsmethoden) Prädiktor-Korrektor-Schema nach Mac Cormack, Runge-Kutta Mehrschrittschema

4 8.3.3 Implizite Schemata für die Euler-Gleichungen Berechnung eines eindimensionalen Strömungsproblemes Stoßrohrströmung Ortsdiskretisierung in mehreren Dimensionen Ortsdiskretisierung in 2-D, kartesischen Gittern Ortsdiskretisierung in krummlinigen Gittern

5 5 Einleitung Die numerische Fluiddynamik ein Teilgebiet der Strömungsmechanik, in dem die Strömungsgleichungen, meist partielle Differentialgleichungen, numerisch mit Hilfe von Digitalrechnern gelöst werden. Dadurch ist man in der Lage, Lösungen von Strömungsproblemen zu ermitteln, für die auf Grund mathematischer Schwierigkeiten keine analytischen Lösungen zu erhalten sind. Durch ständig verbesserte Lösungsmethoden und wachsende Rechnerkapazitäten ist die numerische Strömungsmechanik zu einem sehr wichtiger Bereich in Forschung und Industrie geworden. Anwendungsbereiche sind überall dort gegeben, wo Strömungsprobleme dominieren, wie z.b in der Luft- und Raumfahrtindustrie und in der Automobilindustrie, aber auch in grundlegenden Untersuchungen von Strömungsproblemen, wie z.b in der Turbulenzforschung. Die numerische Strömungsmechanik basiert auf Näherungen der zugrunde liegenden Differentialprobleme, z.b. durch Überführen von Differentialen in Differenzen an diskreten Punkten eines Integrationsbereiches. Durch die Näherungen werden Fehler verursacht, durch die die numerische Lösung von der exakten Lösung des Strömungsproblemes abweichen kann. Wichtigste Aufgabe der numerischen Strömungsmechanik ist es deshalb Näherungen so zu formulieren, daß die Fehler begrenzt bleiben und, daß die numerische Lösung mit feiner werdender Auflösung, d.h. kleineren Schrittweiten, gegen die exakte Lösung strebt (Konvergenz des numerischen Problemes). Die Grundkenntnisse zur numerischen Formulierung der Strömungsgleichungen mittels Differenzenapproximationen sollen in dieser Vorlesung vermittelt werden. Im 1. Kapitel dieser Vorlesung werden zunächst die Strömungsgleichungen mit ihren wichtigsten Formen und Näherungen vorgestellt. Eine mathematische Einordnung dieser Gleichungen mit Hilfe der Charakteristiken wird im 2. Kapitel gegeben. Die Grundlagen der numerischen Formulierung von partiellen Differentialgleichungen werden im 3. Kapitel behandelt. Es werden die Herleitung konsistenter Differenzenapproximationen und Bedingungen für numerische Stabilität und Konvergenz von Anfangswertproblemen aufgeführt. Die iterative Lösungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen vom Typ der Poisson- und Laplacegleichung werden im 4. Kapitel behandelt. Es werden hierfür die wichtigsten Iterationsverfahren und ihre Grundlagen behandelt. Im zweiten Teil der Vorlesung wird auf wichtige Systeme von Strömungsgleichungen eingegangen. Im ersten Kapitel wird die numerische Integration der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen diskutiert und ein Lösungsverfahren hierfür entwickelt. Im weiteren Teil der Vorlesung wird die numerische Lösung der Eulergleichungen für kompressible, instationäre Strömungen behandelt. Die Lösung dieses hyperbolischen, nichtlinearen Systemes ist eine wichtigsten Aufgaben der numerischen Strömungsmechanik, nicht nur zur Berechnung reibungsfreier Strömungen, sondern auch als Grundlage für die Lösung der Navier-Stokes Gleichungen (die in dieser Vorlesung nicht behandelt werden können). Für die Eulergleichungen werden die Lösungseigenschaften diskutiert. Diese beinhalten sowohl stetige als auch unstetige Lösungen (Verdichtungsstöße). Um beide Lösungen numerisch zu erfassen, ist sogennante konservative Diskretisierung nötig. Hierzu werden die wichtigsten Differenzenschemata diskutiert.

6 Mathematische Strömungslehre Grundgleichungen der Strömungsmechanik Die Strömung eines Kontinuums (Gas, Flüssigkeit) wird durch die Erhaltungssätze von Masse, Impuls und Energie beschrieben. Zur Lösung dieser Erhaltungsgleichungen sind zusätzliche Beziehungen nötig: Kalorische Zustandsgleichung z.b. e = c v T Thermische Zustandsgleichung z.b. p = ρr T Ansätze für Transportkoeffizienten z.b. η = η(t ), λ = λ(t ) Die Anfangs- und Randbedingungen legen das Strömungsproblem fest. 1.1 Allgemeine Formulierung der Erhaltungsgleichungen Integrale Formulierung der Erhaltungsgleichungen Die Integralform der Erhaltungsgleichungen ergibt sich direkt aus dem fundamentalen Erhaltungsprinzip der klassischen Physik. Dieses Prinzip wird angewendet auf ein durchströmtes Kontrollvolumen τ mit der Oberfläche A. Jedem Oberflächenelement da von τ ist ein Normalenvektor n zugeordnet. Das Erhaltungsprinzip für das Volumen τ läßt sich in gemeinsamer Form für die spezifischen Größen Masse, Impuls und Energie pro Volumeneinheit formulieren: Zeitliche Änderung der Erhaltungsgrößen U im Volumen τ + verallgemeinerter Fluß H (Flüsse, Spannungen) normal zu der Oberfläche A = Wirkung der Volumenkräfte F vol in τ Mathematisch formuliert ergibt dies die Integralform der Erhaltungsgleichungen: τ da n A v τ U t dτ + A H n da = τ F vol dτ

7 Mathematische Strömungslehre 1 2 Hierbei ist U der Vektor der Erhaltungsgrößen mit Masse/Volumen (ρ), Impuls/Volumen (ρ v) und Energie/Volumen (ρ E = ρ (e + 1 v 2 )) als Komponenten. 2 U = Der verallgemeinerte Flußvektor H faßt die Wirkung der Flüsse und Spannungen zusammen. Die erste Komponente von H beschreibt den Massenfluß ρ v, die zweite Komponente enthält den Impulsstrom ρ v v und den Spannungstensor σ, die dritte Komponente setzt sich zusammen aus dem Energiefluß ρ v E, der Leistung der Spannungsanteile σ v und dem Wärmestrom q : H = ρ ρ v ρe ρ v ρ v v + σ ρe v + σ v + q Die Volumenkräfte werden durch den Vektor F vol repräsentiert, der die Volumenkraft f vol, z.b. die Schwerkraft f vol = ρ g, und die Leistung der Volumenkräfte f vol v enthält : F vol = 0 f vol f vol v Komponentenweise ergeben sich somit die Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie zu: τ ρ τ t A dτ + [ρ v ] n da = 0 ρ v τ t A dτ + [ρ v v + σ] n da = τ ρ E t A dτ + [ρe v + σ v + q ] n da = τ f vol dτ f vol v dτ Auf Grund der einheitlichen Gestalt der Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie und infolge der direkten Anwendbarkeit auf durch Gitternetze definierte Kontrollvolumina ist die Integralform der Erhaltungsgleichungen ein wichtiger Ausgangspunkt für numerische Diskretisierungsschemata (z.b. Finite-Volumen Methode).

8 Mathematische Strömungslehre Differentielle Formulierung der Erhaltungsgleichungen Die integrale Form der Erhaltungsgleichungen läßt sich mittels Integralsätze in ein System partieller Differentialgleichungen überführen. Dies führt direkt zu der konservativen bzw. Divergenzform der Erhaltungsgleichungen. Diese Form ist gleichfalls ein wichtiges Ausgangssystem für die numerische Diskretisierung. Weitere differentielle Formen der Erhaltungsgleichungen lassen sich durch Einführung von anderen abhängigen Variablen anstelle der Erhaltungsgrößen U herleiten. Diese werden meist nichtkonservative Formen genannt. Diese Formen haben jedoch bis auf Ausnahmen (z.b. die Grenzschichtgleichungen) eine geringere Bedeutung für die numerische Diskretisierung. Sie lassen sich jedoch oft besser als die konservativen Formen zur Analyse des Lösungsverhalten heranziehen. a) Konservative (Divergenz-) Form: Unter Voraussetzung stetiger und genügend oft differenzierbarer Funktionen in Ort und Zeit läßt sich aus der Integralform: τ U t dτ + A mit Hilfe des Gauß schen Integralsatzes: A H n d A = H n d A = τ τ H d τ F vol d τ durch Differentiation nach dem Volumen τ eine Diffentialform bestimmen: U t + H = F vol Dieses System partieller Differentialgleichungen wird allgemein als konservative Form oder als Divergenzform (wegen H) der Erhaltungsgleichungen bezeichnet. Die Divergenzform der Erhaltungsgleichungen ist, wie die Integralform, eine wichtige Ausgangsform für die numerische Lösung. Mit den Komponenten des Vektors der spezifischen Erhaltungsgrößen U, des verallgemeinerten Flußvektors H = H ( U) und des Vektors der Volumenkräfte F vol (f vol ) ergibt sich das System der Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie: ρe t ρ t + ρ v = 0 ρ v t + (ρ v v + σ) = f vol + (ρe v + σ v + q ) = f vol v

9 Mathematische Strömungslehre 1 4 b) Nichtkonservative Formen Wählt man statt der Erhaltungsgrößen U einen Satz anderer Größen (z.b. ρ, v, E) als abhängige Variable so erhält man sogenannte nichtkonservative Formen der Erhaltungsgleichungen. In diesem Falle kann die Divergenzform nicht aufrecht erhalten werden, als Kennzeichen der nichtkonservativen Form treten dann Variable als Koeffizienten vor den Differentialen auf. Eine nichtkonservative Form erhält man z.b. für ein mit v mitbewegtes Bezugssystem (Lagrangsche Formulierung). Hierbei ergibt sich die zeitliche Änderung als substantielle Ableitung im mitbewegten System: D Dt = t + v Damit schreiben sich Erhaltungsgleichungen in der folgenden Form: Dρ Dt + ρ v = 0 D v Dt + 1 ρ σ = 1 f ρ vol DE Dt + 1 ρ (σ v + q ) = 1 f ρ vol v Dieses System stellt nur eine mögliche nichtkonservative Formulierung dar. Insbesondere für den Energiesatz sind noch verschiedene andere Formen möglich, z.b.: ρ De Dt + σ v + q = Thermische und kalorische Zustandsgleichungen Die Beschreibung kompressibler Strömungen erfordert zur Schließung der Erhaltungsgleichungen zusätzliche Beziehungen zwischen den thermischen und kalorischen Zustandsgrößen. Für ein thermisch und kalorisch ideales Gas (z.b. Luft für Temperaturen bis ca. 800 K) gelten folgende Beziehungen: Thermische Zustandsgleichung: Kalorische Zustandsgleichung: p = ρ R T e = c v T h = e + p/ρ = c p T mit c p = const. und c v = const. Der Zusmmenhang zwischen Druck p und innerer Energie e ergibt sich somit zu: p = (γ 1) ρ e mit γ = c p c v

10 Mathematische Strömungslehre Transportkoeffizienten Zur Berechnung der Schubspannungen und des Wärmestromes in sind Schließungsansätze nötig, die diese Größen mit den Strömungsvariablen verknüpfen. Man unterscheidet hierbei zwischen laminarer und turbulenter Stömung. In laminarer Strömung kann für die meisten Gase und Flüssigkeiten in einem weiten Gültigkeitsbereich die Näherung eines Newton schen Fluids verwendet werden, nach der die Schubspannung linear vom Geschwindigkeitsgradient abhängt, z.b. in der Form τ = η du. Analog dazu gilt das Fourier sche Gesetz für einen linearen Zusammenhang zwischen Wärme- dy strom und Temperaturgradient, d.h. q = λ T. Die Proportionalitätsfaktoren sind die die Transportkoeffizienten für den molekularen Impulsaustausch (Viskosität η) und für den Energieaustausch (Wärmeleitfähigkeit λ). Diese sind Materialkonstanten und hängen nur noch vom thermodynamischen Zustand des Fluids ab. Für Gase ist die Viskosität im wesentlichen eine Funktion der Temperatur, die näherungsweise durch ein Potenzgesetz ausgedrückt werden kann: ( ) η T ω = mit.5 < ω < 1 (Luft ω =.72 ) η 0 T 0 Die Wärmeleitfähigkeit ist unter der Voraussetzung konstanter Prandtl-Zahl P r = cp η und λ konstantem c p Wert proportional zur Viskosität. Für turbulente Strömungen, bei denen der Impuls- und Energieaustausch über stochastische Schwankungsbewegungen erfolgt, ist die mathematische Formulierung der Vorgänge wesentlich schwieriger und noch nicht eindeutig gelöst. Im allgemeinen bauen die Ansätze turbulenter Strömung auf der Mittelung nach Reynolds auf (siehe z.b. Vorlesung Strömungslehre II). Hierbei wird eine augenblickliche Strömungsgröße f in einen zeitlichen Mittelwert f und einen Schwankungsanteil f aufgespalten. Nach Einführen dieser Ansätze in die Erhaltungsgleichungen und zeitlicher Mittelung erhält man die sogenannten zeitlich gemittelten Gleichungen, die sich von den ursprünglichen Gleichungen durch zusätzliche Spannungs- und Wärmestromanteile (Schein- oder Reynoldsspannungen) unterscheiden. Solche Anteile, wie z.b. das Kreuzprodukt der Geschwindigkeitsschwankung u v, sind zusätzliche Unbekannte, die durch Schließungsannahmen mit den zeitlich gemittelten Größen verknüpft werden müssen. Hierfür existieren eine Anzahl von Schließungsansätzen vom Mehrgleichungsmodell (z.b. k ɛ Modell) bis zum einfacheren algebraischen Modell. Einer der einfachsten algebraischen Schließungsansätze ist die Prandtlsche Mischungsweghypothese u v = l 2 ū y ū y = η ū turb y Mit einem solchen sogenannten Wirbelviskositätsansatz kann der Ansatz für ein Newton sches Fluid beibehalten werden, indem die Viskosität η durch die effektive Viskosität aus der Summe von laminarer und turbulenter Viskosität, d.h. η eff = η lam + η turb, ersetzt wird. Somit ändert sich die prinzipielle Struktur der Erhaltungsgleichungen nicht.

11 Mathematische Strömungslehre Erhaltungsgleichungen in kartesischen Koordinaten (x,y,t) In diesem Abschnitt werden die Erhaltungsgleichungen in kartesischen Koordinaten hergeleitet und die Navier-Stokes Gleichungen und ihre wichtigsten Näherungen für kompressible und inkompressible Strömungen angegeben. Die Navier-Stokes Gleichungen, die die Strömung mit Reibung und Wärmeleitung beschreiben, stellen die vollständigste Beschreibung von Kontinuumsströmungen dar. Ihre Lösungen sind jedoch sehr komplex und erfordern einen hohen Rechenaufwand. Aus diesem Grunde werden dort, wo es physikalisch sinnvoll erscheint, Näherungen dieser Gleichungen verwendet. Eines der wichtigsten Näherungskonzepte ist die Grenzschichttheorie nach Prandtl. Diese Theorie gilt für große Reynoldszahlen und anliegende Strömung. Nach dieser Theorie kann das Strömungsfeld um einen Körper zerlegt werden in eine dünne reibungsbehaftete Grenzschicht an der Körperberandung und in eine reibungsfreie Außenströmung. Innerhalb der Grenzschicht ist der Druck normal zur Berandung konstant, er wird somit durch die reibungsfreie Außenströmung bestimmt. Entsprechend dieser Aufteilung der Strömung können auch die Navier-Stokes Gleichungen in einfachere Syteme von Gleichungen aufgespalten werden. Für die Grenzschichtströmung ergeben sich die Grenzschichtgleichungen, während die reibungsfreie Außenströmung durch die Eulergleichungen, bzw. deren Näherung, die Potentialgleichung, bestimmt wird. Im folgenden wird die Wirkung der Volumenkräfte vernachlässigt ( F vol = 0) Vereinbarungen für kartesische Koordinaten Zur Darstellung in kartesischen Koordinaten sind einige Vereinbarungen nötig: ) Hinweis: Es gilt f = ( f1 f 2 = (f 1, f 2 ) T Flächennormale: nda = (dy, dx) T Volumen: τ = τ(x, y) Nabla-Operator: = ( / x, / y) T dyadisches Produkt zweier Vektoren a b z.b. für Impulsfluß ρ v v ( ) ( ) ( ) a ax bx ax b b = = x a x b y a y b y a y b x a y b y inneres Vektorprodukt von Tensor mit Vektor T a, z.b. für σ v oder σ n ( ) ( ) ( ) t11 t T a = 12 ax t11 a = x + t 12 a y t 21 t 22 a y t 21 a x + t 22 a y Geschwindigkeit: v = (u, v) T Erhaltungsgrößen: U = (ρ, ρu, ρv, ρe) T mit E = c v T (u2 + v 2 )

12 Mathematische Strömungslehre 1 7 Spannungstensor mit Druckanteil und Reibungsanteil ( ) σxx σ mit σ = xy und σ xy σ yy σ xx = η (2u x 2 (u 3 x + v y )) σ yy = η (2v y 2 (u 3 x + v y )) σ xy = η (u y + v x ) σ = p I + σ Wärmestrom: q = (q x, q y ) T = λ (T x, T y ) T verallgemeinerter Flußvektor mit reibungsfreiem und Reibungsanteil H = Hinv + H vis in kartesischen Komponenten: H inv = (E inv, F inv ) T Hvis = (E vis, F vis ) T mit E inv = (ρu, ρu 2 + p, ρuv, ρue + up) T F inv = (ρv, ρuv, ρv 2 + p, ρve + vp) T E vis = (0, σ xx, σ xy, uσ xx + vσ xy + q x ) T F vis = (0, σ xy, σ yy, uσ xy + vσ yy + q y ) T Erhaltungsgleichungen für kompressible Strömungen Navier-Stokes Gleichungen Die Navier-Stokes Gleichungen beschreiben die Kontinuumsströmung mit Reibung und Wärmeleitung. Unter dem Begriff Navier-Stokes Gleichungen wird hier das vollständige System der Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie verstanden. a) Integralform Mit obigen Vereinbarungen ergibt sich die Integralform nach Ausführung des Skalarproduktes H n da τ U t A dτ + (E inv + E vis ) dy A (F inv + F vis ) dx = 0 Die Anteile E dy F dx entsprechen der Normalprojektion des Flusses H = (E, F ) T auf ein Oberflächenelement da = dx 2 + dy 2, multipliziert mit da. b) Konservative Form (Divergenz-Form) Mit den kartesischen Komponenten von und H ergibt sich die Divergenzform zu: U t + x (E inv + E vis ) + y (F inv + F vis ) = 0

13 Mathematische Strömungslehre 1 8 In komponentenweiser Darstellung ergeben sich die Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie: t x + (ρv) y = 0 t x (ρu2 + p + σ xx ) + (ρuv + σ y xy) = 0 t x xy) + y (ρv2 + p + σ yy ) = 0 t x xx + vσ xy + q x ) + (ρve + vp + vσ y yy + uσ xy + q y ) = 0 c) Nichtkonservative Form Für die vorn aufgeführte, nichtkonservative Form mit den Variablen V = (ρ, u, v, E) T und der substantiellen Ableitung D + u + v ergibt sich folgendes System in Dt t x y kartesischen Koordinaten: D Dt ρ + ρ x u + ρ y v = 0 D Dt u + 1 ρ D Dt v + 1 ρ D Dt E + 1 ρ x (p + σ xx) + 1 ρ x σ xy + 1 ρ x (up + uσ xx + vσ xy + q x ) + 1 ρ σ y xy = 0 (p + σ y yy) = 0 y (vp + uσ xy + vσ yy + q y ) = 0 Eulergleichungen Die Eulergleichungen erhält man aus den Navier-Stokes Gleichungen durch Vernachlässigung der Reibungsterme (σ = 0) und der Wärmeleitungsterme ( q = 0). Durch diese Vereinfachung ändert sich jedoch auch der Typ und das Lösungsverhalten der Erhaltungsgleichungen. Die Eulergleichungen werden ausführlich im Teil II der Vorlesung behandelt. Analog zu den Navier-Stokes Gleichungen können folgende Formen dargestellt werden: a) Integralform τ U t A dτ + (E inv ) dy A (F inv ) dx = 0 Die Anteile E dy F dx entsprechen der Normalprojektion des Flusses H = (E, F ) T auf ein Oberflächenelement da = (dx 2 + dy 2 ), multipliziert mit da. b) Konservative Form (Divergenz-Form) Mit den kartesischen Komponenten von und H ergibt sich die Divergenzform zu: U t + x E inv + y F inv = 0

14 Mathematische Strömungslehre 1 9 In komponentenweiser Darstellung ergeben sich die Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie: t x + (ρv) y = 0 t x (ρu2 + p) + (ρuv) y = 0 t x + y (ρv2 + p) = 0 t x + (ρve + vp) y = 0 c) Nichtkonservative Form Für die vorn aufgeführte nichtkonservative Form mit den Variablen V = (ρ, u, v, E) T und der substantiellen Ableitung D + u + v ergibt sich folgendes System in Dt t x y kartesischen Koordinaten: D Dt ρ + ρ x u + ρ y v = 0 D Dt u + 1 ρ p + 0 = 0 x D Dt v ρ D Dt E + 1 ρ x (up) + 1 ρ p = 0 y (vp) = 0 y Potentialgleichung Potentialströmung erfordert drehungsfreie, isoenergetische Strömung. Die Annahmen sind: drehungsfreie Strömung v = 0, identisch erfüllt durch das Potential φ, wenn v = φ bzw. u = φ x v = φ y stationäre Strömung = 0 t isoenergetische Strömung H t = h (u2 + v 2 ) = const. daraus T/T 0 = 1/(1 + γ 1 2 Ma 2 ) isentrope Strömung folgt aus Croccoschem Wirbelsatz ( v ( v) = H t T S), daraus S = 0 und somit T/T 0 = (ρ/ρ 0 ) γ 1 = (p/p 0 ) γ 1 γ Die Dichte ρ und die Schallgeschwindigkeit a sind hierbei Funktionen, die noch vom Potential φ abhängen. Man berechnet sie mittels der Isentropenbeziehung und dem Energiesatz als Funktion von v = φ. Damit reduzieren sich die Eulergleichungen zu der Potentialgleichung. Auch für die Potentialgleichung lassen sich verschiedene Formen angeben.

15 Mathematische Strömungslehre 1 10 a) Konservative Form Diese Form erhält man aus der Kontinuitätsgleichung und der Definition des Potentials (ρ φ x ) x + (ρ φ y ) y = 0 c) Nichtkonservative Form Sie ergibt sich aus den Eulergleichungen mit dp = a 2 dρ für s = const. (u 2 a 2 ) 2 φ x u v 2 φ x y + (v2 a 2 ) 2 φ y 2 = 0 Grenzschichtgleichungen Die Grenzschichtgleichungen werden aus den Navier-Stokes Gleichungen mit Hilfe der Prandtl schen Grenzschichttheorie hergeleitet (siehe dort, z.b.: H. Schlichting: Grenzschichttheorie ). Die wichtigsten Annahmen hierfür sind große Reynoldszahlen Re 1 und anliegende Strömung. Die Reibung ist dann nur in einer dünnen körpernahen Grenzschicht der Dicke δ wirksam mit den Größenordnungen δ L v U 1 Re. ρu u x ρu h x ρu x + ρv y u + ρv y + p x p y + ρv h y u p x = 0 = y = 0 ( η u ) y = ( λ T ) + η y y ( ) 2 u y Erhaltungsgleichungen für inkompressible Strömungen Viele Fluide, z.b. Flüssigkeiten, können in weiten Bereichen als inkompressibel betrachtet werden, d.h. die Dichte ρ ist konstant. Als Konsequenz hieraus reduziert sich die Kontinuitätsgleichung zu div v = 0, was zu veränderten Lösungseigenschaften führt, da keine Zeitableitung in dieser Gleichung auftritt. Weiterhin ist der Druck nicht mehr über eine Zustandsgleichung an Dichte und Temperatur gekoppelt. Eine Folge davon ist, daß die Energiegleichung von den übrigen Gleichungen entkoppelt ist (eine gewisse Kopplung besteht über die Transportkoeffizienten, z.b. die Viskosität η(t ), die hier vernachlässigt wird). Deswegen reicht für die Berechnung der Strömung die Lösung der Kontinuitäts- und Impulsgleichung.

16 Mathematische Strömungslehre 1 11 Als weitere Konsequenz der Entkopplung des Druckes läßt sich für den Druck keine explizite Bestimmungsgleichung herleiten, die gleichzeitig die Kontinuitätsgleichung erfüllt (divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld). Aus diesem Grunde wird in Lösungsverfahren, die auf den Gleichungen mit Druck und Geschwindigkeit als Variable aufbauen, der Druck als Parameter so iteriert, daß zu jeder Zeit die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist. Diese Druckiteration wird durch die Formulierung der Gleichungen mit der Stromfunktion und dem Wirbelvektor als Variable vermieden, da hierbei der Druck eliminiert wird. Diese Formulierung ist für zweidimensionale Strömung sehr geeignet, ihre Erweiterung auf drei Dimensionen ist jedoch sehr aufwendig. Beide Formulierungen der Navier-Stokes Gleichungen werden im folgenden aufgeführt. Navier-Stokes Gleichungen a) v, p Formulierung Für konstante Dichte ergibt sich folgendes System von Kontinuitäts- und Impulsgleichung mit Geschwindigkeit und Druck als abhängige Variable: u x + v y u t + u u x + v u y + 1 p ρ x v t + u v x + v v y + 1 p ρ y = 0 = ν 2 u = ν 2 v mit dem Laplace-Operator und der kinematischen Viskosität 2 = 2 x y 2 ν = η/ρ b) ψ ζ Formulierung (Stromfunktions- und Wirbeltransportgleichung) Die Druckterme werden durch Anwendung des Rotationsoperators auf die Impulsgleichungen eliminiert ( Impulssatz). Hierdurch erhält man die Wirbeltransportgleichung mit der z-komponente des Wirbelvektors ζ als Variable. ζ = v x u y Die Kontinuitätsgleichung wird durch die Definition der Stromfunktion identisch erfüllt. ψ y = u, ψ x = v Die Poissongleichung für die Bestimmung der Stromfunktion ψ ergibt sich durch Einsetzen der Stromfunktion in die Definition von ζ.

17 Mathematische Strömungslehre 1 12 Somit lassen sich die Navier-Stokes Gleichungen als Stromfunktions- und Wirbeltransportgleichung schreiben: 2 ψ x + 2 ψ = ζ Poissongleichung für ψ 2 y2 ζ t + u ζ x + v ζ y = ν 2 ζ Wirbeltransportgleichung Der Druck p kann nachträglich aus der Poisson-Gleichung für den Druck bestimmt werden, die durch Bildung der Divergenz der Impulssätze hergeleitet wird: Eulergleichungen ( ) 2 2 p = ρ u + x ( ) 2 v + 2 u y y v x Die Eulergleichungen für inkompressible Strömungen erhält man für verschwindende Viskosität (ν = 0). Wie für die Navier-Stokes Gleichungen gibt es die zwei Formulierungen: a) v, p Formulierung u x + v y u t + u u x + v u y + 1 p ρ x v t + u v x + v v y + 1 p ρ y = 0 = 0 = 0 b) ψ ζ Formulierung (Stromfunktions- und Wirbeltransportgleichung) 2 ψ x + 2 ψ = ζ Poissongleichung für ψ 2 y2 ζ t + u ζ x + v ζ y = 0 Wirbeltransportgleichung Der Druck p kann nachträglich aus der Poisson-Gleichung für den Druck bestimmt werden.

18 Mathematische Strömungslehre 1 13 Potentialgleichung Die Potentialgleichung erhält man aus den Eulergleichungen für drehungsfreie (ζ = v u y = 0) und stationäre ( t = 0) Strömung. Je nach abhängiger Variable unterscheidet man: Geschwindigkeitsformulierung (Chauchy-Riemansche Gleichungen) x Die Bedingung der Drehungsfreiheit ersetzt die Impulssätze, die Kontinuitätsgleichung bleibt erhalten. Stromfunktionsformulierung u x + v y v x u y = 0 = 0 Die Definition der Stromfunktion (erfüllt die Kontinuitätsgleichung), in die Gleichung der Drehungsfreiheit eingesetzt, ergibt die Laplace-Gleichung für die Stromfunktion: Potentialformulierung 2 ψ x ψ y 2 = 0 Die Definition des Potentiales, v = Φ, in die Kontinuitätsgleichung eingesetzt, ergibt die Laplace-Gleichung für die Potentialfunktion: 2 φ x + 2 φ 2 y = 0 2 Die Integration der Impulsgleichungen unter Berücksichtung der Drehungsfreiheit ergibt die Bernoulli-Gleichung zur Berechnung des Druckes: p 0 = p + ρ 2 (u2 + v 2 ) = const. Grenzschichtgleichungen Die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen einer inkompressiblen Strömung lauten: u x + v y u u x + v u y + 1 p ρ x p y = 0 = y = 0 ( ν u ) y

19 Mathematische Strömungslehre Anfangs- und Randbedingungen Die Anfangs- und Randbedingungen defininieren das Strömungsproblem, welches durch Lösung der Erhaltungsgleichungen bestimmt werden soll. Die Anzahl der vorzuschreibenden Bedingungen ist durch die höchste Ableitung einer unabhängigen Variablen gegeben. Ihre Aufteilung in Anfangs- und Randbedingungen wird durch den Typ der partiellen Differentialgleichungen bestimmt. Elliptische partielle Differentialgleichungen führen auf Randwertprobleme, d.h. dort sind auf allen Rändern Randbedingungen vorzuschreiben. Hyperbolische und parabolische partielle Differentialgleichungen haben reelle Charakteristiken, und somit einen begrenzten Einflußbereich, für den auf einer nichtcharakteristischen Berandung Anfangsbedingungen vorgeschrieben werden (Anfangswertproblem). Ist der Einflußbereich zusätzlich durch Ränder begrenzt, müssen dort noch Randbedingungen vorgeschrieben werden (Anfangs-Randwertproblem). Die Art der Randbedingungen werden durch das zu lösende physikalische Problem festgelegt. Die wesentlichen Arten der Randbedingungen sind: 1. Art 2. Art 3. Art 4. Art (Dirichlet sche Randbedingung) U = g 1 (x, y) Wert der Variable ist auf Rand gegeben z.b. Haftbedingung u = 0, v = 0 (Neumann sche Randbedingung) U = g n 2(x, y) Normalgradient der Variablen ist auf Rand gegeben z.b. adiabate Wand q n = λ T = 0 n (Linearkombination aus 1. und 2. Art) αu + β U = g n 3(x, y) Normalgradient und Wert sind kombiniert z.b. slip Strömung auf Wand bei verdünnten Gasen a u + u = 0 n Periodische Randbedingung U(x 1, y 1 ) = U(x 2, y 2 ) z.b.: Turbinengitter Randwerte zweier Integrationsgrenzen C 1 und C 2 gleich Wichtigste Voraussetzung für die Lösung ist die Formulierung eines sachgemäßen Problemes, d.h. kleine Änderungen der Anfangs-oder Randwerte von O(ε) dürfen auch nur kleine Änderung der Lösung von O(ε) bewirken!

20 Mathematische Strömungslehre 1 15 Typische Randbedingungen der Strömungsmechanik Integrationsbereich: symmetry line inflow boundary C B outflow boundary v n v t A D A. Randbedingung Wand: wall reibungsfrei: bzw. v n = 0 undurchlässige Wand v = v t Tangentenbedingung Randbedingung für Eulergleichungen und Potentialgleichung. reibungsbehaftet: RB wie reibungsfrei v n = 0 + zusätzlich Haftbedingung: v t = 0 + zusätzlich thermische RB: T = T w isotherme Wand oder q n = λ T n = 0 adiabate Wand } Wand ist Stromlinie B. Randbedingung Symmetrielinie: f n = 0 f = ρ, p, T, v t v n = 0 C.+D. Randbedingungen Ein- und Ausströmrand: Problemabhängig, da meist Schnitt durch unbekanntes Strömungsfeld Anzahl der Randbedingungen (d.h. vorzugebende Variable) oft aus (reibungsfreier) Charakteristikentheorie bestimmt z.b. für 2-D Strömung ist vorzugeben: Ma < 1 Einströmung 3 Variable (z.b. T o, p o, u) M a > 1 Einströmung 4 (alle) Variable M a < 1 Ausströmung 1 Variable (z.b. p) Ma > 1 Ausströmung keine

21 Mathematische Strömungslehre Klassifizierung und Charakteristiken partieller Differentialgleichungen Charakteristische Lösungen sind ausgezeichnete Lösungen von partiellen Differentialgleichungen. Diese Lösungen sind dadurch gekennzeichnet, daß sie unabhängig von der benachbarten Lösung sind, d.h. das Anfangswertproblem kann von einer solchen Lösungskurve aus nicht eindeutig fortgesetzt werden. Mathematisch bedeutet dies, daß Ableitungen der Lösung quer zur Lösungskurve unbestimmt sind. Die Steigung der entsprechenden Grundkurve der charakteristischen Lösung wird i.a. als Charakteristik bezeichnet. Die Charakteristiken sind unabhängig vom Koordinatensystem und damit,,charakteristische Eigenschaft einer partiellen Differentialgleichung. Der Wert der Charakteristik, reell oder komplex, bestimmt die Lösungsverhalten der partiellen Differentialgleichungen und dient der Klassifizierung der Gleichungen in elliptische, parabolische und hyperbolische partielle Differentialgleichungen. Die Charakteristiken legen den physikalischen Einflußbereich fest. Reelle Charakteristiken (hyperbolische und parabolische Gleichungen) führen auf Anfangswertproblem mit einem begrenzten Einflußbereich (z.b. Machkegel). Komplexe Charakteristiken bei elliptischen Gleichungen führen auf Randwertprobleme ohne bevorzugte Einflußrichtung. Für die numerischen Lösungsverfahren sind die Charakteristiken notwendig z.b. für die Entwicklung stabiler und genauer Differenzenschemata und zur Darstellung von Randbedingungen. 2.1 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung Die einfachste Herleitung und Interpretation der Charakteristiken ist für skalare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung möglich. Diese Gleichungen führen zu reellen Charakteristiken und sind somit von hyperbolischem Typ Charakteristikenbedingung Für die Herleitung der Charakteristik wird die folgende Gleichung betrachtet: a u x + b u y = c Über der Grundkurve C 0, gegeben durch Ω(x, y) = const., sei die Lösung u(x, y) auf der Lösungskurve C bekannt (Anfangsbedingung). Zur Darstellung der Charakteristiken muß zunächst untersucht werden, für welche Grundkurven die Querableitungen der Lösung unbestimmt werden. Hierzu transformiert man die Differentialgleichung in ein Koordinatensystem (S, Ω), mit S tangential zu C 0 und Ω quer zu C 0

22 Mathematische Strömungslehre 2 2 u C y Lösungsfläche u(x, y) Ω S C 0 C : char. Lösungskurve C 0 : char. Grundkurve Ω = const. dy : char. Richtungsableitung dx C o x Für die Transformation (x, y) (S, Ω) erhält man mit den Ableitungen u x = S x u S + Ω x u Ω ; u y = S y u S + Ω y u Ω die Differentialgleichung au x + bu y = c im neuen Koordinatensystem: (a Ω x + b Ω y ) u Ω + (as x + bs y ) u S = c Für die Untersuchung des Verhaltens der Querableitung u Ω ist der Wert des ersten Klammerausdruckes Q a Ω x + b Ω y entscheidend: a) Der Wert von Q ist ungleich Null. Q = aω x + bω y 0 In diesem Falle ist die Querableitung u Ω eindeutig durch die Lösung bestimmt. Die Nachbarlösung auf einer Kurve Ω + Ω kann eindeutig aus der Lösung u(x,y) auf Ω = const. fortgesetzt werden. u(ω + Ω) = u(ω) + u Ω (Ω) Ω + Das Anfangswertproblem ist eindeutig! b) Der Wert von Q ist Null. Q = a Ω x + b Ω y = 0 In diesem Falle ist die Querableitung u Ω unbestimmt (0 u Ω =...). Die Lösung hängt somit nur von Ableitungen u S tangential zur Lösungskurve ab. Das Anfangswertproblem kann nicht eindeutig zu einer Nachbarlösung fortgesetzt werden. Man bezeichnet dann u(x, y) als charakteristische Lösung und die Kurve Ω = const. als charakteristische Grundkurve C 0, deren Ableitung dy die Charakteristik bildet. dx Die Bedingung Q = 0 nennt man danach die Charakteristikenbedingung.

23 Mathematische Strömungslehre Charakteristik und Gleichung der charakteristischen Grundkurve Aus der Charakteristikenbedingung Q = 0 und der Gleichung der Grundkurve Ω = const. Q = a Ω x + b Ω y = 0 dω = Ω x dx + Ω y dy = 0 erhält man die Steigung der charakteristischen Grundkurve (= Charakteristik) dy = Ω x = b dx C o Ω y a Die Gleichung der Grundkurve C 0 ergibt sich durch Integration von dω = dy dx dy = b dx dy = 0 dx C o a mit vorgebenen Anfangswerten x 0, y 0 der Grundkurve zu: y = y 0 + b a (x x 0) Die charakteristischen Grundkurven der Gleichung au x + bu y von Geraden mit der Steigung b/a. y = c bilden somit eine Schar Ω=const C 0 x Charakteristische Lösung Die charakteristische Lösung (Verträglichkeitsbedingung) ist die Lösung längs der charakteristischen Grundkurve. Zur Darstellung dieser speziellen Lösung der Ausgangsgleichung wird diese in ein neues Koordinatensystem ξ(x, y), τ(x, y) transformiert. Eine Koordinate, hier ξ = const., repräsentiert die charakteristische Grundkurve Ω = const. (der Allgemeinheit halber hier ξ = const. genannt), die andere Koordinate ist (für Gleichungen 1. Ordnung) frei wählbar, hier z.b. τ = x. dξ = b dx dy a dτ = dx

24 Mathematische Strömungslehre 2 4 Aus der Gleichung a u x + b u y = c folgt mit der Kettenregel u x = ξ x u ξ + τ x u τ = b a u ξ + u τ, u y = ξ y u ξ + τ y u τ = u ξ die transformierte Gleichung (Normalform der Gleichung) u τ = c ξ=const. a Die charakteristische Lösung über der Grundkurve ξ = b x y = const. ergibt sich durch a Integration über τ: u(τ, ξ) = c a τ + k (ξ) Für den Anfangswert u 0 (x 0, y 0 ) auf der charakteristischen Grundkurve ξ = ξ 0 = b a x 0 y 0 = const. und mit τ = x erhält man die Lösung: u(x, y) = c a (x x 0) + u 0 (x 0, y 0 ) Im Spezialfall c = 0 bleibt die Anfangslösung längs der charakteristischen Linie konstant, d.h. u(x, y) = u(ξ) = const. Lösungen dieser Art treten in der Gasdynamik öfter auf, z.b. für die Prandtl-Meyer Expansion. u( x 1, y 1 ) y u y 1 x 1 u( x 0, y 0 ) c ( =const) ξ 0 y 0 x 0 x

25 Mathematische Strömungslehre Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Die Herleitung der Charakteristiken erfolgt analog zu den Gleichungen 1. Ordnung. Als Ausgangsgleichung wird folgende Gleichung betrachtet: L (u) = a u xx + 2 b u xy + c u yy + d (x, y, u, u x, u y ) = 0 Über der Grundkurve C 0, gegeben durch Ω(x, y) = const., seien die Lösung u(x, y) und die niederen Ableitungen u x und u y bekannt. Zur Darstellung der Charakteristiken (höchste Querableitungen unbestimmt) transformiert man die Differentialgleichung in ein Koordinatensystem (S, Ω), mit S tangential zu C 0 und Ω quer zu C 0 Für die Transformation (x, y) (S, Ω) erhält man die Ableitungen u xx = u ΩΩ Ω 2 x + 2 u SΩ Ω x S x + u SS S 2 x + u Ω Ω xx + u S S xx u yy = u ΩΩ Ω 2 y + u xy = u ΩΩ Ω x Ω y + Alle Ableitungen, außer der zweiten Querableitung u ΩΩ, sind auf der Lösungskurve bekannt. Damit erhält man die Differentialgleichung im neuen Koordinatensystem: mit L (u) = Q u ΩΩ + [ ] u ΩS + [ ] u SS + [ ] = 0 Q = a Ω x b Ω x Ω y + c Ω y 2 Für die Darstellung des Charakteristikenproblems ist entscheidend, daß die höchste Querableitung, hier u ΩΩ, unbestimmt ist. Dies ist dann der Fall, wenn die Charakteristikenbedingung Q = 0 gilt. Mit Q=0 und der Grundkurve Ω = const. Q = a Ω x b Ω x Ω y + c Ω y 2 = 0 dω = Ω x dx + Ω y dy = 0 erhält man das charakteristische Polynom ( ) 2 dy a 2b dy dx dx + c = 0 Die Charakteristiken ergeben sich als Wurzeln dieses Polynomes zu dy = 1 dx 1,2 a ( b ± b2 ac ) Entscheidend für das Lösungsverhalten ist, ob die Charakteristiken reell oder komplex sind. Dieses wird durch das Vorzeichen der Diskriminante bestimmt = b 2 a c Je nach Vorzeichen der Diskriminante erfolgt die Klassifizierung der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung in hyperbolischen, parabolischen und elliptischen Typ (in Analogie zur Kegelschnittgleichung a y 2 2b xy + c x 2 = 0).

26 Mathematische Strömungslehre 2 6 hyperbolisch > 0 parabolisch = 0 elliptisch < 0 dy dx dy dx dy dx 1 dy dx 1 = dy dx 1 dy dx reelle Charakteristiken reelle Doppelcharakteristik komplexe Charakteristiken Für Systeme partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung (z.b. Eulergleichungen) gilt die gleiche Klassifizierung wie für Gleichungen 2. Ordnung Kanonische bzw. Normalform von Gleichungen 2. Ordnung Ähnlich wie bei der Herleitung der charakteristischen Lösung von Gleichungen 1. Ordnung lassen sich die partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung durch Transformation auf charakteristische Koordinaten (bzw. Kombinationen) auf eine typische Form (Normalform) bringen, bei der die höchsten Ableitungen koeffizientenfrei sind. Für die Gleichung mit den Charakteristiken a u xx + 2 b u xy + c u yy + F (u x, u y, u, x, y) = 0 lassen sich mit den Abkürzungen α = b und β = 1 a a neue Koordinaten einführen: dy dx = b a ± 1 b2 ac a b 2 ac dξ 1 = α dx dy dη 1 = β dx Die Transformation der Gleichung ergibt die folgenden Normalformen: 2 u 2 2 u ξ 1 η = 0 hyperbolische PDGl. 2 u u ξ 1 η = 0 elliptische PDGl. 2 u η = 0 parabolische PDGl. Für hyperbolische Gleichungen existiert eine weitere Normalform mit den charakteristischen Koordinaten dξ = dξ 1 + dη 1 = dy dx dy dx 1 dη = dξ 1 dη 1 = dy dx dy dx 2 Diese Normalform lautet: 2 u ξ η + = 0 Viele Gleichungen der Strömungsmechanik, insbesondere in kartesischen Koordinaten, treten in ihrer Normalform auf und sind durch Vergleich mit den Normalformen einzuordnen.

27 Mathematische Strömungslehre Vereinfachte Berechnung der Charakteristiken Aus der ausführlichen Herleitung läßt sich erkennen, daß zur Bestimmung der Charakteristiken die Bedingung Q = 0 genügt, wobei Q sich aus der Transformation der führenden Ableitungen nach Ω ergibt. Für eine vereinfachte Berechnung kann man deshalb eine Variable u(x, y) als Funktion von Ω allein betrachten, d.h. u(x, y) = u(ω(x, y)). Die Ableitungen, z.b. nach x, ersetzt man durch u x = Ω x u Ω, u xx = (Ω x ) 2 u ΩΩ + Die Charakteristiken ergeben sich dann aus der Charakteristikenbedingung Q = 0 und aus Ω = const. 1. Beispiel: Gleichung 1. Ordnung a u x + b u y = c (a Ω x + b Ω y ) u Ω = c Q = a Ω x + b Ω y = 0 dω = Ω x dx + Ω y dy = 0 dy dx 1 = b a hyperbolisch 2. Beispiel: System von Gleichungen (Chauchy-Riemannsche Gleichungen) } ( u x + v y = 0 ) ( ) x y u = 0 u y v x = 0 v Q = det Ω x Ω y Ω y Ω x dy dx y x = Ω x 2 Ω 2 y = 0 Ωx 1,2 Ω y = ± 1 = ±I 1,2 = ± I elliptisch 3. Beispiel: Wellengleichung u tt a o 2 u xx = 0 1. Weg: Q = Ω 2 t a 2 o Ω 2 x = 0 Ωt 1,2 Ω x = ± a o dx = ± a o hyperbolisch 1,2 dt 2. Weg: Substitution q = u t, p = u x q x = p t q t a 2 o p x = 0 q x p t = 0 Q = det Ω t Ω x a 2 o Ω x Ω t = Ω t 2 + a 2 o Ω 2 x = 0 Ωt 1,2 Ω x = ± a o

28 Mathematische Strömungslehre Grundlagen der numerischen Lösung Zur numerischen Lösung der partiellen Differentialgleichungen unterteilt man den Integrationsbereich in ein Gitternetz diskreter Punkte in der Ebene der unabhängigen Variablen (Raum, Zeit). Auf den diskreten Punkten sind die geometrischen Koordinaten und die abhängigen Variablen (Erhaltungsgrößen) definiert. Für jeden Gitterpunkt werden die Differentialgleichungen durch Differenzengleichungen approximiert. Diese Gleichungen und die diskretisierten Rand- und Anfangsbedingungen ergeben ein System von gekoppelten, algebraischen Gleichungen, das auf einem digitalen Rechner gelöst werden kann. Die numerische Lösung ist auf Grund der Differenzenbildung eine Näherung. Das Ziel der numerischen Lösung ist es, sich der exakten Lösung des Differentialproblems zu nähern, d.h. die numerische Lösung soll konvergent sein. Eine Lösung heißt konvergent, wenn mit kleiner werdenden Schrittweiten die numerische in die exakte Lösung übergeht. Um konvergente Lösungen zu erreichen, müssen einige notwendige Voraussetzungen bei der Diskretisierung erfüllt werden, nämlich Konsistenz und numerische Stabilität des Differenzenschema. Die Grundlagen hierzu werden in diesem Kapitel behandelt. 3.1 Entwicklung von konsistenten Differenzenausdrücken Bei der numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen stehen nur an den diskreten Punkten Informationen zur Verfügung. Die Differenzenausdrücke, die die Differentiale an einem bestimmten Punkt (Aufpunkt) approximieren, sind Funktionen der umgebenden Nachbarwerte. Die Entwicklung von Differenzenausdrücken für die abhängige Variable erfolgt mit Hilfe von Taylorreihen um den Aufpunkt. Wichtige Voraussetzung hierfür ist: Alle abhängigen Variablen besitzen lokal eine Reihenentwicklung, d.h. ihr Verlauf sei stetig und genügend oft differenzierbar. Durch die Reihenentwicklung wird das Differential ersetzt durch eine Differenzenapproximation plus einem Abbruchfehler τ, der die nicht berücksichtigten Terme der Reihe repräsentiert. f x f x + τ Der Abbruchfehler ist die Differenz zwischen Differentialform und der entsprechenden Differenzenapproximation. τ f x f x Er ist eine wichtige Größe zur Beurteilung der Konsistenz, der Genauigkeit und der Lösungseigenschaften von Differenzenapproximationen. Man bezeichnet die Differenzenapproximation als konsistent, wenn mit kleiner werdenden Schrittweiten, x 0, diese gegen das Differential strebt. Damit muß auch der Abbruchfehler verschwinden. lim τ = x 0 lim x 0 ( f x f ) x = 0

29 Mathematische Strömungslehre 3 2 Der Abbruchfehler enthält die nicht berücksichtigten höheren Ableitungen der Taylorreihenentwicklung, multipliziert mit Potenzen der Schrittweiten. Bei geeigneter Normierung haben die Variablen und ihre Ableitungen die Größenordnung O(1). Für die Schrittweiten x gilt x 1. Somit wird die Größenordnung von τ und damit der Disketisierungsfehler durch die kleinste Potenz der Schrittweite bestimmt, d.h. τ = O( x k ) k > 0 Durch unterschiedliche Wahl der berücksichtigten Stützstellen und Glieder der Reihenentwicklung ändert sich der Abbruchfehler und somit die Lösungseigenschaften der Differenzennäherung. Das bedeutet, daß der Übergang von Differential zu Differenz nicht eindeutig ist. Es existieren somit für einen Differentialausdruck unterschiedliche Differenzenapproximationen. Dies wird im folgenden für die wichtigen ersten und zweiten Ableitungen gezeigt Differenzenausdrücke für Ableitungen 1. und 2. Ordnung Gesucht sind Differenzenausdrücke für f oder 2 f einer Variablen f(x), die an diskreten x x 2 Punkten x i gegeben ist (f(x i ) = f i ). Die maximale Zahl der Stützpunkte sei drei. Die Schrittweiten h i = x i x i 1 können variabel sein. f f i f i+1 f i 1 h 1 h 2 x i 1 x i x i+1 x Taylorreihenentwicklung von f i±1 um f i : (1) f i+1 = f i + f h x f i h f i h f i h2 4 i x 2 2! x 3 3! x 4 4! + (2) f i 1 = f i f h x f i h1 2 3 f i h f i h1 4 i x 2 2! x 3 3! x 4 4! + Approximationen für f x (durch Kombination von (1) und (2) ) : a) Vorwärtsdifferenz f = f i+1 f i x i h 2 + ( 2 f b) Rückwärtsdifferenz f = f i f i 1 x i h 1 + ( 2 f h 2 3 f 2 h 2 x 2 2! x 3 h 1 x f 2 h 1 x 3 3! + ) τ = O (h 2 ) 3! + ) τ = O (h 1 )

30 Mathematische Strömungslehre 3 3 c) Zentraldifferenz = f i+1 f i 1 i f x h 1 + h 2 + ( 2 f h 1 h f h h 2 x x 3 h 1 + h 2 + ) τ = O (h 1 h 2 ) d) Zentraldifferenz ( 2 f eliminiert, genauer als c) für h x 2 2 h 1 ) f = h2 1 (f i+1 f i ) + h 2 2 (f i f i 1 ) x i h 1 h 2 (h 1 + h 2 + ( 1 h ) 6 1 h 3 f 2 + ) τ = O (h x 3 1 h 2 ) e) Zentraldifferenz für konst. Schrittweiten h = h 1 = h 2 f = f i+1 f i 1 ( 1 x i 2 h 6 h2 3 f + ) τ = O (h 2 ) x 3 Approximationen für 2 f x 2 a) Zentraldifferenz 2 f i = 2[(f i+1 f i ) h 1 (f i f i 1 ) h 2 ] x 2 h 1 h 2 (h 1 + h 2 + ( h 1 h 2 3 f + ) τ = O(h ) 3 x 3 1 h 2 ) b) Zentraldifferenz für konst. Schrittweiten h = h 1 = h 2 2 f i = f i+1 2 f i + f i 1 ( h2 4 f + ) τ = O (h 2 ) x 2 h 2 12 x 4 Einseitige (3-Punkt) Approximationen für f und 2 f mit h x x 2 3 = h 1 + h 2 f f i+1 f i+2 f i h 3 h 1 h 2 x i x i+1 x i+2 x Taylorreihenentwicklung von f i+1, f i+2 um f i f i+1 = f i + f h x f i h f i h f i h1 4 + i x 2 2! x 3 3! x 4 4! f i+2 = f i + f x i h f i h3 2 x 2 2! + 3 f i h3 3 x 3 3! + 4 f i h3 4 + x 4 4! a) Einseitige Differenz für f x f = (f i+2 f i ) h (f i+1 f i ) h 3 x i h 2 h 3 (h 3 h 2 + ( h 2 h 3 3 f + ) τ = O (h ) 6 x 3 2 h 3 ) Konstante Schrittweiten : h = h 2 = h 3 / 2 f = f i f i 4 f i+1 + ( h2 3 f + ) τ = O (h 2 ) x i 2 h 3 x 3

31 Mathematische Strömungslehre 3 4 b) Einseitige Differenz für 2 f x 2 2 f i = 2 [(f i+2 f i ) h 2 (f i+1 f i ) h 3 ] x 2 h 2 h 3 (h 3 h 2 + ( h 3 + h 2 3 f + ) τ = O (h ) 3 x h 3 ) Konstante Schrittweiten : h = h 2 = h 3 / Differenzenschemata 2 f x 2 i = f i+2 2 f i+1 + f i h 2 + ( h 3 f x 3 + ) τ = O (h) Die Lösung einer Differentialgleichung erfolgt numerisch durch Ersetzen der Differentiale durch Differenzen. Hierdurch erhält man für jeden Gitterpunkt eine Differenzengleichung, die i.a. für jeden Punkt gleich ist und deshalb als Differenzenschema bezeichnet wird. Die Differenzengleichungen aller Gitterpunkte bilden ein System algebraischer Gleichungen, das zu lösen ist. Entsprechend der verschiedenen Differenzenbildungen für eine Ableitung können unterschiedlich starke Kopplungen der Unbekannten zwischen den Gitterpunkten auftreten. Im wesentlichen unterscheidet man hierbei zwischen expliziten und impliziten Differenzenschemata. Explizite Differenzenschemata führen auf Verfahren, bei denen die Unbekannte an einem Gitterpunkt direkt aus bekannten Werten ermittelt werden kann, da keine Kopplung zu den Nachbarpunkten besteht (Lösungsmatrix ist eine Einheitsmatrix). Der Vorteil ist die einfache, und somit schnelle Auflösung des Gleichungssystems. Der Nachteil ist jedoch eine Beschränkung der Schrittweiten durch numerische Stabilität. In impliziten Differenzenschemata sind die Unbekannten zwischen den Nachbarpunkten gekoppelt (Lösungsmatrix mit Bandstruktur). Infolge der Kopplung ist i.a. keine Schrittweitenbegrenzung aus Stabilitätsgründen nötig, jedoch ist die Lösung des Gleichungssystems wesentlich aufwendiger, da sie rekursiv erfolgt. Beispiele für implizites und explizites Schema: Diskretisierung der parabolischen Fouriergleichung Diskrete Variable: u t = ν 2 u x 2 ν = const. > 0 t n = n t x i = i x u n i = u (x i, t n ) Explizites Schema : Zeitableitung vorwärts und Ortsabl. zentral für Punkt t n, x i. u n+1 i u n i t = ν un i+1 2 un i + un i 1 x 2 + O ( t, x 2 ) Auflösung nach Unbekannter u n+1 i u n+1 i = u n i + σ(u n i+1 2 un i + u n t i 1 ) mit σ = ν x 2 Implizites Schema: Zeitableitung rückwärts und Ortsabl. zentral für Punkt t n+1, x i. u n+1 i u n i t = ν un+1 i+1 2 un+1 i + u n+1 i 1 + O ( t, x 2 ) x 2 Auflösung nach den Unbekannten u n+1 i 1, u n+1 i, u n+1 i+1

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