Anfängerpraktikum IV Adiabatenexponent / Freiheitsgrade von CO 2

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1 Anfängerpraktikum IV Adiabatenexponent / Freiheitsgrade von CO 2 Praktikumsbericht René Sedlak, Simon Hönl, Philipp Landgraf Tutor: Yves Patrick Botchak Mouafi Durchgeführt am 6.5./

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundlagen Hauptsatz der Thermodynamik Zustandsgrößen Reales Gas Zustandsänderungen Spezifische Wärmekapazität C p und C V Poisson-Gleichung und Adiabatenexponent Freiheitsgrade Ungedämpfte Schwingungen Stehende Wellen Schallgeschwindigkeit Versuchsaufbau und Durchführung Freiheitsgrade von CO Aufbau Durchführung Adiabatenexponent Aufbau Durchführung Auswertung Freiheitsgrade Adiabatenexponent Verfahren nach Rüchardt und Flammersfeld Verfahren nach Clément und Desormes Messunsicherheitsanalyse Freiheitsgrade Adiabatenexponent Fragen und Aufgaben 27 7 Quellen 28 2

3 1 Einleitung 1 Einleitung Das Ziel des Experiments ist es, adiabatische Prozesse besser kennenzulernen, wobei im einen Teil der Adiabatenexponent verschiedener Gase und im zweiten Teil die Temperaturabhängigkeit der Freiheitsgrade von CO 2 ebenfalls durch Bestimmung des Adiabatenexponenten gemessen werden. 2 Grundlagen Im folgenden Kapitel sollen die wichtigsten Grundlagen für den Versuch hergeleitet werden Hauptsatz der Thermodynamik Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet in einer Formulierung: Die Summe der einem System von außen zugeführten Wärme und der zugeführten Arbeit ist gleich der Zunahme der inneren Energie (Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (2006)) Es gilt also: U = Q + W (1) Wobei U die innere Energie des Systems und Q bzw. W die zugeführte Wärme bzw. die zugeführte Arbeit ist. Bei einem idealen Gas manifestiert sich die verrichtete Arbeit durch Volumenarbeit, die an einem Gasvolumen dv gegen einen Außendruck p verrichtet werden muss. Es gilt: Setzt man dies in (1) ein, so erhält man: dw = p dv (2) du = dq p dv (3) Die Gesamtenergie eines thermischen Systems bleibt also immer konstant. 2.2 Zustandsgrößen Das folgende Kapitel wird aus unserem Protokoll zu dem Versuch Heißluftmotor/Kritischer Punkt ( ) übernommen In der Thermodynamik wird vor allem die Umwandlung von verschiedenen Energieformen ineinander beschrieben; insbesondere der Übergang von mechanischer in thermische Energie und umgekehrt. Um solche thermodynamischen Prozesse beschreiben zu können, leitet man sich Zustandsgleichungen her, welche den Zusammenhang zwischen 3

4 2 Grundlagen Zustandsgrößen wie Druck, Volumen oder Temperatur eines Stoffes beschreiben.. Die Zustandsgleichung des idealen Gases ist die allgemeine Gasgleichung, die den Zusammenhang zwischen dem Druck p, dem Molvolumen V M, der Temperatur T ([K]) und der Stoffmenge n des idealen Gases (eines Gases, bei dem zwischen den punktförmigen Gasteilchen keine Wechselwirkung angenommen wird) beschreibt: p V M = R T (4) Wobei R = 8, J die molare Gaskonstante ist. Aus diesen Größen lässt sich die molk innere Energie des Stoffes berechnen. Diese beschreibt die kinetische Energie aller sich im Stoff bewegenden Teilchen. Für die innere Energie U i gilt: U i = E kin = n R f T 2 Dabei ist f die Anzahl der Freiheitsgrade des Stoffes (im Falle eines einatomigen Gases gilt f = 3) und n die Stoffmenge. Oberhalb des Siedepunktes können Gase über diese Zustandsgleichungen meistens hinreichend gut beschrieben werden, betrachtet man jedoch einen Phasenwechsel, so muss ein reales Gas betrachtet werden. 2.3 Reales Gas Im Gegensatz zu einem idealen Gas wechselwirken in einem realen Gas die Teilchen miteinander, so dass sie in verschiedenen Phasen (fest, flüssig, gasförmig) vorliegen können. Die Zustandsgleichungen oben gelten für ideale Gase, also Gase, bei denen die Teilchen keine Ausdehnung haben und keine Kräfte zwischen ihnen wirken. In der Natur kommt ein solches Gas nicht vor, weshalb abhängig von der Art des Gases eine sog. Vander-Waals Korrektur durchgeführt werden muss, in der mit den empirisch bestimmten Konstanten a und b die Kräfte zwischen den Teilchen bzw. das Eigenvolumen der Gasteilchen charakterisiert wird. Es gilt: ( ( n ) ) 2 p + a (V n b) = n R T (6) V Auch die Van-der-Waals Gleichung ist eine Näherung, die nur in einem bestimmten Rahmen gilt. (5) 2.4 Zustandsänderungen Als Zustandsänderung bezeichnet man in der Thermodynamik einen Vorgang, in dem sich der Wert der Gasgleichung bzw. der thermodynamischen Potentiale ändert. Man unterscheidet hierbei zwischen verschiedenen Prozessarten abhängig von den bei dem Vorgang konstant gehaltenen Größen. 4

5 2 Grundlagen Isotherm Bei einem isothermen Prozess bleiben die Temperatur und die innere Energie des Gases konstant. T = const (7) pv = const (8) Isobar Bei diesem Prozess bleibt der Druck des Gases konstant, so dass eine Enthalpiezunahme der zugeführten Wärme entspricht. p = const (9) V = const T (10) dh = dq (11) Isochor Hierbei bleibt das Volumen des Gases konstant, so dass eine Änderung der inneren Energie der zugeführten Wärme entspricht. V = const (12) p = const T (13) Adiabatisch In einem adiabatischen Prozess findet kein Wärmeaustausch des Systems mit der Umgebung statt. Technisch sind solche Prozesse sehr schwer zu realisieren, da in thermodynamischen Prozessen fast immer ein Temperaturgradient entsteht. Näherungsweise kann ein Prozess als adiabatisch angesehn werden, wenn die Temperaturänderung sehr schnell erfolgt. Es gilt dann: dq = const (14) T V κ 1 = const (15) 5

6 2 Grundlagen Abbildung 1: Angestrebte Zustandsänderung im Experiment Quelle: Runge, Bernd-Uwe: Skript zum AP (2012) 2.5 Spezifische Wärmekapazität C p und C V Erhitzt man einen Stoff, so verhält sich die zugeführte Wärme proportional zur Temperaturerhöhung mit dem Faktor c m, wobei c die spezifische Wärme und m die Masse des erhitzten Stoffes ist. Q = c m T (16) c m wird auch Wärmekapazität genannt, sie charakterisiert, wie viel Wärme einem Stoff zugeführt werden muss, um ihn um 1K zu erhitzen. Man unterscheidet, ob man die Temperatur bei konstantem Druck oder bei konstantem Volumen erhöht. Der Index der Wärmekapazität C gibt an, welche Größe konstant gehalten wird: C V = f 2 R (17) C p = C V + R = f + 2 R (18) 2 Mit der Gaskonstante R und der Anzahl der Freiheitsgrade f. Man sieht sofort aus den Gleichungen (17) und (18), dass für die selbe Temperaturdifferenz weniger Wärme zugeführt werden muss, wenn das Volumen konstant gehalten wird. 2.6 Poisson-Gleichung und Adiabatenexponent Die Poisson-Gleichung beschreibt das Verhalten eines Gases bei einer adiabatischen Zustandsänderung. 6

7 2 Grundlagen Betrachten wir (3) in einer adiabatischen Zustandsänderung (dq = 0) und du mit: du = C V dt (19) Dann erhält man: p dv = C V dt (20) Die ideale Gaslgeichung nach p aufgelöst und in (20) liefert: R dv V = C V dt T (21) Integration auf beiden Seiten liefert dann: Schreibt man nun für R = C p C V, so ergibt sich die n? R ln V + const = C V ln T (22) ln(t CV V R ) = const (23) T CV V R = const (24) T CV V Cp C V = const (25) T V Cp C V 1 = const (26) Dabei ist Cp C V =: κ der Adiabatenkoeffizient. Es gilt: κ = C p C V = Es ergeben sich die Poisson-Gleichungen: f+2 R 2 f R = f + 2 f 2 (27) 1 eingesetzt in (4) umgeformt nach T : T V κ 1 = const (28) 2 eingesetzt in (4) umgeformt nach V : p V κ = const (29) 3 p 1 κ T κ = const (30) In der Natur treten Adiabatische Prozesse meistens dann auf, wenn der Prozess sehr schnell abläuft, wie beispielsweise Zustandsänderungen in einer Schallwelle. 7

8 2 Grundlagen 2.7 Freiheitsgrade Die Freiheitsgrade eines thermodynamischen Systems, insbesondere von Gasen, charakterisieren die Möglichkeit eines Teilchens Energie in Form von potentieller und kinetischer Energie zu speichern. Da jedes Teilchen diese Freiheitsgrade besitzt und ein Gas in der Regel aus sehr vielen Teilchen besteht, besitzt es entsprechend sehr viele Freiheitsgrade; da man jedoch davon ausgehen kann, dass bei einem Gas, welches beispielsweise nur aus CO 2 Molekülen besteht, für jedes Teilchen Teilchen die selbe Zahl an Freiheitsgraden vorliegt, kann man mit einem statistischen Ansatz die Freiheitsgrade des gesamten Systems durch die sog. effektiven Freiheitsgrade eines einzigen Teilchens beschreiben. Diese unterscheidet man in folgende Typen: 1 Translation: In einem dreidimensionalen Raum kann ein Teilchen maximal drei Translationsfreiheitsgrade besitzen. Da wir in unserem Versuch von einem idealen Gas ausgehen, gehen wir entsprechend auch von drei Translationsfreiheitsgraden aus. 2 Rotation: Mehratomige Gase können abhängig von ihrer Komplexität zusätzlich bis zu drei Rotationsfreiheitsgraden um die drei Raumachsen verfügen. 3 Schwingung: In mehratomigen Gasen können zusätzlich noch die Atome gegeneinander schwingen, wie beispielsweise CO 2 entlang der kovalenten Doppelbindungen; da eine Schwingung sowohl kinetische wie auch potentielle Energie birgt, werden Schwingungsfreiheitsgrade bei der Berechnung der inneren Energie doppelt gewertet. Diese Freiheitsgrade gelten im Rahmen unseres Messaufbaus. 2.8 Ungedämpfte Schwingungen Als Schwingung bezeichnet man einen Vorgang, bei dem ein Körper um eine Ruhelage schwingt oder oszilliert. Diese Schwingung entsteht durch eine rücktreibende Kraft zur Ruhelage des Systems, die von einem Potential erzeugt wird (beispielsweise durch eine Feder). Verhält sich die Kraft proportional zu der Auslenkung aus der Ruhelage, so spricht man von einem harmonischen Oszillator. Bei einer ungedämpften Schwingung treten keine äußeren Kräfte und Reibungsverluste auf; es ist also ein idealisierter Vorgang, der in der Natur nur näherungsweise vorkommt. Betrachtet man nun die Auslenkung aus der Ruhelage ϕ als generalisierte Koordinate, so ergibt sich eine homogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung: ϕ(t) + ω 2 0 ϕ(t) = 0 (31) dabei ist ω 0 die Eigenkreisfrequenz des Oszillators, die abhängig von dessen Art ist. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ergibt sich durch: ϕ(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) (32) 8

9 2 Grundlagen Wobei die Amplituden der Oszillation A und B abhängig von den Anfangsbedingungen sind. Wird dem Oszillator durch eine äußere Quelle genau so viel Energie zugeführt wie durch Reibung verloren geht, dann bezeichnet man das als erzwungene ungedämpfte Schwingung. 2.9 Stehende Wellen Interferieren zwei gegenläufige Wellen gleicher Amplitude und Wellenlänge miteinander, wie es beispielsweise in dem mit CO 2 gefüllten Rohr im Versuch der Fall ist, so bildet sich eine stehende Welle aus. Nach dem Superpositionsprinzip können für so einen Fall die beiden Wellenfunktionen ψ 1, ψ 2 addiert werden, so dass gilt: ψ 1 (x, t) = ψ(x, t) = A sin(kx ωt) (33) ψ 1 (x, t) = ψ(x, t) = A sin(kx ωt) (34) ψ r (x, t) = A sin(kx ωt) + A sin(kx + ωt) (35) = 2A cos(ωt) sin(kx) (36) Die stehende Welle besteht also aus einem ortsfesten zeitlich oszillierenden Term, der von einem zeitlich festen entlang der x-achse oszillierendem Term moduliert wird. Es befinden sich also immer in einem Abstand von λ feste Punkte auf der Welle, die als 2 Knoten bezeichnet werden, außerdem dazu um λ Phasenverschobene Punkte maximaler 4 Amplitude, die als Wellenbäuche bezeichnet werden. Abhängig davon ob die Endpunkte der Welle feste oder offene Enden sind, sprich ob die Ableitung Wellenfunktion am Ende der des Wellenträgers 0 sein muss oder nicht, sind an diesen Enden Knoten, bzw. Bäuche vorhanden. Die Länge des Trägers L entspricht also immer L = k λ bei zwei geschlossenen bzw. zwei offenen Enden und L = (k + 1) λ bei einem geschlossenen und einem geöffneten Ende. Aus diesem Umstand lässt sich ableiten, dass bei der Reflexion einer Welle an einem geschlossenen Ende ein Phasensprung von π auftritt und entsprechend kein Phasensprung bei der Reflexion am offenen Ende Schallgeschwindigkeit Die Ausbreitung einer Schallwelle in einem Medium ist eine longitudinale Welle, bei der sich Zonen mit hohem Druck und Zonen mit niedrigem Druck im Medium ausbreiten. Logischerweise braucht eine Longitudinalwelle deshalb immer ein Medium, um sich ausbreiten zu können. Abgesehen von Reibungsverlusten innerhalb des Mediums kommt es daher wegen der großen Geschwindigkeit, mit der der Prozess abläuft nicht zu einem Wärmeübertrag, weshalb die Ausbreitung einer Longitudinalwelle näherungsweise als adiabatischer Prozess beschrieben werden kann. 9

10 3 Versuchsaufbau und Durchführung Für die Schallgeschwindigkeit c 0 gilt: c 0 = κ p ϱ = κ RT M Mit dem Adiabatenkoeffizient κ, dem Druck p, der Dichte des Mediums ϱ, der Gaskonstante R, der Temperatur T und der molaren Masse M. Da bei diesem Versuch die Schallausbreitung in einem engen Rohr betrachtet wird, muss zu der Gleichung von c 0 noch ein Korrekturfaktor hinzugefügt werden, der die Wärmeleitfähigkeit des Rohrs und dessen Ausdehnung berücksichtigt. Es gilt dann: c = c 0 (1 a 2r π ν Dabei ist r der Radius des Rohres, ν die Frequenz des Schalls und a die Kirchhoff- Konstante. 3 Versuchsaufbau und Durchführung 3.1 Freiheitsgrade von CO Aufbau Zur Messung des Adiabatenkoeffizients wird hier ein mit CO 2 gefülltes Messingrohr verwendet, das sich in einem wasserdichten Styroporbehälter befindet, durch den sich die Temperatur des Versuchsaufbaus kontrollieren lässt. Das Messingrohr besitzt eine Einlassöffnung, durch die das CO 2 einströmen kann und eine Auslassöffnung, an der sich ein Mikrofon zur Abnahme der Resonanzsignale befindet. Die Abmessungen des Messingrohres sind wie folgt gegeben: ) (37) (38) Länge des Rohres: L = 1m (39) Außendurchmesser: d außen = 18.5mm (40) Wandstärke: d W and = 1.5mm (41) Innendurchmesser: d innen = 15.5mm (42) Über das LabView Programm SpectrumGUI.vi kann nun mit den in der Versuchsanleitung vorgegebenen Einstellungen das Mikrofonsignal aus dem Messingrohr ausgewertet werden Durchführung Um zu gewährleisten, dass sich möglichst nur CO 2 im Rohr befindet, wird dieses zunächst für ca. fünf Minuten mit dem Gas durchgespült. Anschließend wird mithilfe des Druckminderers an der Gasflasche die Durchflussrate des CO 2 auf einen möglichst geringen (43) 10

11 3 Versuchsaufbau und Durchführung Abbildung 2: Versuchsaufbau nach Rüchardt und Flammersfeld Quelle: Runge, Bernd- Uwe: Skript zum AP (2012) Wert gesetzt, so dass am Ende des Rohrs nur noch ein leises Zischen zu hören ist. Nun wird in den Styroporbehälter heißes Wasser gegossen, so dass während des Abkühlvorgangs die Resonanzfreuqenzen bestimmt werden können, dafür werden die Messwerte über 200 Messungen gemittelt, damit die Nebengeräusche im Mittel wegfallen, und anschließend die drei niedrigsten Resonanzpeaks herausgesucht. Bei einer Näherung der Temperatur an die Raumtemperatur, muss zum Wasserbad zusätzlich Eis hinzugegeben werden, so dass die Messung bis 0 C fortgesetzt werden kann. 3.2 Adiabatenexponent Aufbau In diesem Versuch wird der Adiabatenexponent von Argon, Stickstoff und Kohlenstoffdioxid mit den beiden unten dargestellten Versuchsaufbauten von Rüchardt und Flammersfeld bzw. Clément und Desormes gemessen. Aufbau nach Rüchardt und Flammersfeld Wie oben dargestellt besteht de Versuchsaufbau aus einem Kolben und einem Rohr, in dem sich ein Schwingkörper befindet. Eine erzwungene entdämpfte Schwingung wird hier durch ein permanentes Zuführen von Gas realisiert, das durch die 11

12 3 Versuchsaufbau und Durchführung Abbildung 3: Versuchsaufbau nach Clément und Desormes Quelle: Runge, Bernd-Uwe: Skript zum AP (2012) Ausströmöffnung im Rohr wieder entweichen kann. Bei einer richtigen Kalibrierung kann so der Schwingkörper solange schwingen, bis kein Gas mehr nachströmt. Aufbau nach Clément und Desormes Der Aufbau besteht aus einer großen Glasflasche, in der nach Bedarf durch einen Hahn der Druck erhöht werden kann bzw. durch einen zweiten Hahn wieder Druck abgelassen werden kann. Ferner ist an der Flasche ein U-Rohr-Manometer angeschlossen, mit dem der Druck in der Flasche gemessen werden kann Durchführung Aufbau nach Rüchardt und Flammersfeld Vor der Durchführung des Versuchs werden die Umgebungsbedingungen gemessen mit: zu Beginn des Versuchs: p = 961, 3hP a (44) T = 23, 1 C (45) nach Abschluss des Versuchs: P = 960, 0hP a (46) T = 23, 9 C (47) 12

13 4 Auswertung Die technischen Daten des Aufbaus sind im AP-Skript gegeben durch: V = 2182cm 3 ± 0, 1cm 3 (48) L = 60cm (49) r = 4, 96mm ± 0, 01mm (50) m = 9, 75g ± 0, 15g (51) Wobei V das effektive Volumen des Glaskolbens, L die Länge des Rohrs bis zur Ausströmöffnung, r der Radius des Schwingkörpers und m dessen Masse sind. Für die Messung wird nun der Aufbau mit einem der drei Gase durchgespült und anschließend der Druckminderer an der Gasflasche so eingestellt, dass der Schwingkörper eine harmonische Schwingung durchführt. Nach dem Einpendeln der Schwingung wird nun die Periodendauer bestimmt, indem mit der angebrachten Lichtschranke 700 Durchgänge, also 350 Perioden gemessen werden. Der Vorgang wird für jedes der drei Gase durchgeführt. Aufbau von Clément und Desormes Auch hier wird der Aufbau zunächst mit einem beliebigen der drei Gase durchgespült; anschließend wird der Auslasshahn der Flasche verschlossen und der Druck erhöht, bis sich dem Manometer eine deutliche Druckerhöhung abzeichnet. Danach wird der Einlasshahn geschlossen und gewartet, bis das eingefüllte Gas die Umgebungstemperatur angenommen hat. Nachdem das Gas im Kolben die Temperatur der Umgebung angenommen hat, wird die Höhe h 1 der Wassersäule im Manometer abgelesen. Anschließend der Überdruck über den Auslasshahn aus der Flasche abgelassen, welcher direkt im Anschluss wieder geschlossen wird. Nachdem das Gas abermals die Umgebungstemperatur angenommen hat, wird erneut die Höhe h 2 der Wassersäule notiert. 4 Auswertung 4.1 Freiheitsgrade Zur Bestimmung der effektiven Freiheitsgrade f und des Adiabatenkoeffizients κ machen wir uns der im Grundlagenteil hergeleiteten Zusammenhänge zwischen der Schallgeschwindigkeit c und dem Adiabatenkoeffizient κ zunutze. In der Tabelle oben sind die Ergibnisse der Messung aus dem Versuch Freiheitsgrade dargestellt, die Temperatur ist dabei ein Mittelwert aus jeweils sechs gemssenen Werten. Aus der Resonanzbedingung im Rohr folgt für die Wellenlänge λ: L = n λ 2 λ = 2L n (52) 13

14 Adiabatenexp-Freiheitsgr. 4 Auswertung Abbildung 4: Exemplarische Darstellung des aufgezeichneten Frequenzspektrums Tabelle 1: Messergebnisse aus dem Versuch Freiheitsgrade mit gemittelten Werten fu r T 14

15 4 Auswertung Tabelle 2: Ergebnisse für c n abhängig von der Temperatur T und damit gilt für die Schallgeschwindigkeit im Rohr: c = λ ν n (53) c = 2L n ν n (54) Dabei gilt für den Fehler von c: δc = c ν n δν n = 2L n δν n (55) Dabei wird davon ausgegangen, dass L nicht fehlerbehaftet ist. Es ergeben sich somit die Werte für c n aus Tabelle 2. Es fällt auf, dass sich in der Messung von T 2 für c 1 und c 2 sehr große Fehler ergeben, die nicht innerhalb der Fehlertoleranz liegen; Dies liegt wahrscheinlich an einem Messfehler, da dies erst die zweite Messreihe war ist es möglich, dass hier aus dem Programm die falschen Daten übertragen wurden. Im Sinne der Genauigkeit des Ergebnisses werden diese beiden Werte deshalb im Folgenden vernachlässigt. c n,0 kann nun durch die im Grundlagenteil angegebene Korrektur bestimmt werden. c n,0 = c n 1 1 a 2r πν n (56) mit der Kirchhoff-Konstante a = 0, 004 m s und dem Fehler: δc 0 = c 0 c δc + c 0 ν n δν n (57) Es ergeben sich also somit die Werte für c 0,n aus Tabelle 3. Es ergeben sich für den Mittelwert der Schallgeschwindigkeit in CO 2 die Werte aus 15

16 4 Auswertung Tabelle 3: Mittelwerte für c 0 abhängig von der Temperatur T Tabelle 4: Mittelwerte für c 0 abhängig von der Temperatur T 16

17 4 Auswertung Abbildung 5: Adiabatenkoeffizient κ CO2 abhängig von der Temperatur T Tabelle 4. Aus c 0 kann nun κ über folgende Formel berechnet werden: κ = c 2 0 MCO 2 RT Mit der molaren Masse M CO2 = 44, 009 g, der Gaskonstante R und der Temperatur T. mol Die Unsicherheit von κ kann berechnet werden mit: δκ = κ c 0 δc 0 + κ T δt Die Anzahl der Freiheitsgrade f ergibt sich nun aus der Gleichung f = 2 κ 1 (58) mit der Unsicherheit δf = f κ δκ In Abbildung 6-9 sind die Messergebnisse in einem Diagramm in Abhängigkeit von T dargestellt. 4.2 Adiabatenexponent Die Auswertung zu den beiden verwendeten Methoden zur Messung des Adiabatenexponents werden hier nacheinander abgehandelt. 17

18 4 Auswertung Tabelle 5: Die Anzahl der Freiheitsgrade f abhängig von der Temperatur T Abbildung 6: tatsächliche Schallgeschwindigkeit c abhängig von der Temperatur T 18

19 4 Auswertung Abbildung 7: korrigierte Schallgeschwindigkeit c 0 abhängig von der Temperatur T 19

20 4 Auswertung Abbildung 8: Adiabatenexponent κ abhängig von der Temperatur T 20

21 4 Auswertung Abbildung 9: Freiheitsgrade f abhängig von der Temperatur T 21

22 4 Auswertung Verfahren nach Rüchardt und Flammersfeld Wie auch schon bei der Bestimmung der Freiheitsgrade von CO 2 liegt auch bei dieser Messung eine Schwingung zugrunde, welche so schnell abläuft, dass sie als adiabatischer Prozess betrachtet werden kann. Wie oben bereits beschrieben handelt es sich hierbei um eine erzwungen entdämpfte Schwingung, so dass sie als harmonisch ungedämpfter Oszillator behandelt werden kann. Zunächst gilt für die Gleichgewichtsbedingung des Oszillators: p = p 0 + m s g π r 2 (59) Dabei ist p 0 der äußere Luftdruck, m s die Masse des Schwingkörpers, r der Innenradius des Glasrohres und g die Erdbeschleunigung. Es muss also für ein Kräftegleichgewicht gelten, dass der von unten durch das einströmende Gas wirkende Druck gerade gleich dem von außen wirkenden Druck ist, das heißt der Summe aus dem äußeren Luftdruck und dem durch die Gewichtskraft des Schwingkörpers erzeugten Drucks. Die Volumenänderung des Aufbaus ändert sich bei dem Bewegen des Körpers aus der Gleichgewichtslage um dv = π r 2 x (60) Da der Prozess als adiabatisch angenommen wird, gilt für die Druckänderung dp: p V κ = const (61) p = V κ const (62) dp dv = κ 1 V V κ const (63) dp dv = κ 1 V p (64) dp = κ p V π r2 x (65) Und damit gilt für die Differenzialgleichung des Oszillators mit der rücktreibenden Kraft dp: m s ẍ = π r 2 dp (66) m s ẍ πr 2 κ p V πr2 x = 0 (67) ẍ κ p π2 r 4 m s V x = 0 (68) 22

23 4 Auswertung Es gilt also für das Quadrat der Kreisfrequenz ω 2 und der Periodendauer T 2 : ω 2 = κ p π2 r 4 m s V T 2 = 4π2 ω 2 (69) = 4m s V pt 2 r 4 (70) Es muss außerdem noch die Masse der mit dem Schwingkörper schwingenden Gassäule m G dem Gewicht des Schwingkörpers hinzuaddiert werden. Mit der Annahme eines idealen Gases gilt dann: pv = nrt 0 (71) pv = m G M RT 0 (72) m G = pv M R T 0 (73) = p πr2 L M R T 0 (74) Dabei ist L 0, 6m die Länge der Schwingenden Gassäule, M die molare Masse des verwendeten Gases und T 0 = 296, 65K ± 0, 4K die mittlere Raumtemperatur. Die molaren Massen der Gase sind in der Literatur angegeben mit: Es gilt also für den Adiabatenexponent: M N2 = g mol M Ar = g mol M CO2 = 44, 01 g mol κ = 4(m s + m G )V T 2 pr 2 (75) (76) (77) = 4mV T 2 pr 2 (78) Für die Fehlerfortpflanzung gilt: δκ = κ m δm + κ T δt + κ p δp (79) mit den Fehlern δp = p p 0 δp 0 + p m s δm s (80) δm = δm s + δm G = δm s + m G p δp + p p 0 δp 0 + m G T 0 δt 0 (81) 23

24 4 Auswertung Tabelle 6: Adiabatenexponent κ der Gase Argon, CO 2 und Stickstoff abhängig T Für den mittleren Luftdruck am Versuchstag haben wir p 0 = 960, 65hP a ± 0, 1hP a gemessen, also gilt womit sich mit m s = 9, 75g ± 0, 15g und r = 4, 96mm für p folgender Wert ergibt: Und damit die Werte aus Tabelle Verfahren nach Clément und Desormes p = 4mV = 973, 02hP a ± 0, 16hP a (82) T 2 pr4 Im zweiten Versuchsteil wird der Adiabatenexponent mittels eines Expansionsverfahrens wie oben beschrieben gemessen. Bei der Messung wird zunächst ein Überdruck im Volumen V 1 erzeugt, welches anschließend der Raumtemperatur T 1 = T 0 angepasst wird. Nach dieser Anpassung wird die Druckdifferenz p gemessen wobei gilt: p = p 1 p 0 = ϱ g h (83) Wobei ϱ die Dichte des Wassers im Manometer ist. Anschließend wird das Auslassventil kurz geöffnet, so dass ein adiabatischer Druckausgleich stattfinden kann. Es gilt also für die Abkühlung: p 1 κ T κ = const (84) Nachdem das Gas nun auf die Temperatur T 2 abgekühlt ist gilt: T 2 = T 1 ( p1 p 2 ) 1 κ κ (85) Die Temperatur passt sich nun wieder der Raumtemperatur an, so dass gilt T 3 = T 0 wodurch sich der Druck im Volumen wieder erhöht, dabei gilt: p T = const (86) 24

25 5 Messunsicherheitsanalyse Durch eine weitere Druckmessung erhält man p 3 = p 0 + p 3. Damit ergibt sich die Druckänderung durch: Mit (85) folgt nun: p 3 = p 2 T3 T 2 (87) p 3 = p 2 T 1 T 3 ( ) 1 κ p κ 1 p 2 (88) Mit T 1 = T 3 = T 0, p 2 = p 0 und p 1 = p 0 + p 1 folgt nun Mit p 3 = p 0 + p 3 folgt: T 0 p 3 = p 0 ( T 0 ( = p p 1 p 0 + p 1 p 0 p 0 ) 1 κ κ ) 1 κ κ ( p p 1 κ 1 ) p 0 κ = p 0 + p 1 κ 1 κ (89) (90) (91) (92) p 3 p 1 κ 1 κ (93) κ h 1 h 1 h 3 (94) Für den Fehler gilt bei der Annahme δh 1 = δh 2 : δκ = κ h 1 δh 1 + κ h 3 δh 3 = h 1 + h 3 δh (95) (h 1 h 3 ) 2 Es ergibt sich: 5 Messunsicherheitsanalyse 5.1 Freiheitsgrade Die Messung der effektiven Freiheitsgrade von CO 2 hat ein für den Messaufbau zufriedenstellendes Ergebnis geliefert, denn der Vergleich von dem gemessenen Wert für 25

26 5 Messunsicherheitsanalyse Tabelle 7: Adiabatenexponent κ der Gase Argon, CO 2 und Stickstoff abhängig T κ(293, 15K) = 1, 32 mit dem Literaturwert κ L (293, 15K) = 1, 29 zeigt, dass der Literaturwert gut innerhalb der Messtoleranz von κ (δκ(293, 15K) = 0, 074) liegt. Dennoch ist die gewünschte Größe f mit einem relativ großen Fehler behaftet. Dies kann beispielsweise an der Tatsache liegen, dass die Temperatur nicht optimal kontrolliert werden konnte, da die Wärme im Wasserbad nicht gänzlich homogen verteilt war und der Aufbau auch während der Messung seine Temperatur stetig änderte und sich deshalb eine relativ große Toleranz bei der Temperaturmessung ergab. Außerdem giengen wir in unserer Herleitung davon aus, dass CO 2 ein ideales Gas ist, was tatsächlich nicht der Fall ist. 5.2 Adiabatenexponent Es fällt bei den Messergebnissen aus beiden Versuchsteilen auf, dass der Adiabatenexponent grundsätzlich zu hoch ist; diese systematische Abweichung vom Literaturwert kann einerseits an einem systematischen Messfehler liegen, jedoch sind wir bei der Berechnung der Exponenten auch von einatomigen idealen Gasen ausgegangen, so dass eine geringere Abweichung plausibel erscheint. Zudem drang bei dem Aufbau nach Clément und Desormes in unseren Messaufbau Wasser durch das Manometer ein, was wahrscheinlich zusätzlich zu einer Verfälschung der Messergebnisse führen kann. Leider ist die Abweichung der von uns gemessenen Werte von den Literaturwerten nicht innerhalb der von uns berechneten Messunsicherheit, was daran liegt, dass wir wahrscheinlich einen zu optimistischen Fehler angegeben haben. Letztendlich ist jedoch im Versuchsteil qualitativ das Verhalten der Gase bei adiabatischen Prozessen klar geworden und auch wenn unsere Ergebnisse quantitativ nicht verwertbar sind, so stellen sie qualitativ doch den erwarteten Effekt dar. 26

27 6 Fragen und Aufgaben 6 Fragen und Aufgaben Erklären Sie den Zusammenhang zwischen dem Adiabatenexponenten κ und der Zahl f der Freiheitsgrade eines Gases. Die innere Energie ist U = f Nk 2 bt = f nrt 2 für n Mol eines Gases der Temperatur T. Damit folgen für isochore Wärmekapazität c V = U T V,N = f R. Weiterhin ist der Zusammenhang c 2 p = c V + R = f+2 R bekannt, 2 sodass für κ = cp c V = f+2 folgt. f Altprotokollen erklärt... Zeigen Sie, dass die drei Poisson-Gleichungen für adiabatische Zustandsänderungen unter Verwendung der idealen Gasgleichung ineinander umgeformt werden können. mit id. Gas-Gl mit id. Gas-Gl T V κ 1 = const T (p, V ) = pv R pv κ = const V (p, T ) = RT p p 1 κ T κ = const 1. Poisson-Gleichung 2. Poisson-Gleichung 3. Poisson-Gleichung Was hat der am Bodensee oft für sonniges Wetter sorgende Föhn mit adiabatischen Zustandsänderungen zu tun? Südwind wird durch die Alpen nach oben gedrängt und kühlt dadurch zunächst trockenadiabatisch (1 C/100m) ab, bis die Sättigungstemperatur unterschritten wird und Luftfeuchtigkeit abgeregnet wird. Mit geringerer Luftfeuchtigkeit geht die Abkühlung feuchtadiabatisch weiter (0.5 C/100m), bis die Luft auf der anderen Seite des Kamms trockenadiabatisch (1 C/100m) absinken kann und sich dabei zu einer insgesamt höheren Temperatur erwärmt. Dieser Fallwind enthält weniger Feuchtigkeit und ist relativ warm, daher bedeutet er gutes Wetter. 27

28 7 Quellen 7 Quellen Runge, Bernd-Uwe: Skript zum AP (2012) Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (2006) wikipedia.org/wiki/isentropenexponent ( ) Kliebisch; Budweg: Adiabatenexponent und Temperaturabhängigkeit der effektiven Freiheitsgrade von CO 2 (2011) Abbildungsverzeichnis 1 Angestrebte Zustandsänderung im Experiment Quelle: Runge, Bernd- Uwe: Skript zum AP (2012) Versuchsaufbau nach Rüchardt und Flammersfeld Quelle: Runge, Bernd- Uwe: Skript zum AP (2012) Versuchsaufbau nach Clément und Desormes Quelle: Runge, Bernd-Uwe: Skript zum AP (2012) Exemplarische Darstellung des aufgezeichneten Frequenzspektrums Adiabatenkoeffizient κ CO2 abhängig von der Temperatur T tatsächliche Schallgeschwindigkeit c abhängig von der Temperatur T korrigierte Schallgeschwindigkeit c 0 abhängig von der Temperatur T Adiabatenexponent κ abhängig von der Temperatur T Freiheitsgrade f abhängig von der Temperatur T Tabellenverzeichnis 1 Messergebnisse aus dem Versuch Freiheitsgrade mit gemittelten Werten für T Ergebnisse für c n abhängig von der Temperatur T Mittelwerte für c 0 abhängig von der Temperatur T Mittelwerte für c 0 abhängig von der Temperatur T Die Anzahl der Freiheitsgrade f abhängig von der Temperatur T Adiabatenexponent κ der Gase Argon, CO 2 und Stickstoff abhängig T Adiabatenexponent κ der Gase Argon, CO 2 und Stickstoff abhängig T