Semi-analytische CVA Berechnung

Transkript

1 Semi-analytische CVA Berechnung Dr. Christian Bree PRMIA CVA Kongress, Köln,

2 CVA zeitdiskret Unter der Annahme, dass der zukünftige Portfoliowert, die Diskontierungssätze und der Zeitpunkt des Ausfalls stochastisch unabhängig sind, lässt sich der CVA in einem zeitdiskreten Modell definieren als wobei: pt i Pt i1 ti t 0 Ausfallwahrscheinlichkeit des Vertragspartners zwischen t i-1 und t i * CVA ( t ) : (1 ) p B( t, t ) V ( t ) 0 t i * V ( ti ) E V ( ti ) Ft 0 der Erwartungswert der positiven Portfoliowerte zum Zeitpunkt wobei die zugrundeliegende Portfoliowertfunktion für den Zeitpunkt t i aus Sicht t 0 gebildet wird t i 0 i i Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 2

3 Semi-analytische Berechnungsidee Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 3

4 Schritt 1: Bilde "Netting Sets" Gegeben sei ein Kontrahent Gegebenenfalls sind verschiedenste Geschäftstypen unter verschiedenen Basisverträgen mit diesem Kontrahenten abgeschlossen worden Beispiel Commodity Handel: Gas-Deals werden in der Regel unter dem EFET Vertragswerk abgeschlossen, Kohle-Deals unter dem SCOTA Vertragswerk Aufgabe: Klassifiziere alle Geschäfte bezüglich der vertraglichen Rahmenbedingungen Sind Settlement-Exposures miteinander verrechenbar? Sind Wiedereindeckungs-Exposures miteinander verrechenbar? Sind Settlement- und Wiedereindeckungs-Exposures miteinander verrechenbar? Diese Basis ist absolut wesentlich für die Berechnung eines CVA Beispiel Long-Short Portfolio: Mit einem Kontrahenten sind exakt gegenläufige Geschäfte abgeschlossen worden. Ohne Nettingvereinbarungen ist Exposure vorhanden, mit Nettingvereinbarungen nicht. Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 4

5 Schritt 2: Bestimmung Portfoliowertänderung für einen Zeitpunkt in der Zukunft (1/4) * Hauptproblem: Bestimme V ( ti ) E V ( ti ) Ft 0 Basis: Portfoliowert als "Funktion von verschiedenen Variablen" t V ( t) P( X 1,..., X t n ). t t X 1,..., X n sind die "Risikofaktoren" wie z.b. Zinssätze, Aktienkurse, Volatilitäten, Commodity Preise, etc. Uns interessiert die potentielle Wertänderung "aus heutiger Sicht" P t t t t0 t0 : P ( X,..., X ) P ( X,..., X ) 0, t 1 n 1 Es ist V ( t) MtM ( t t0) Pt 0, t wobei MtM ( t t ) E( V ) den Marktwert (unter Berücksichtigung des 0 t Ft 0 Settlement Exposures) des Portfolios aus heutiger Sicht definiert n Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 5

6 Schritt 2: Bestimmung Portfoliowertänderung für einen Zeitpunkt in der Zukunft (2/4) Annahme 1: Taylor-Approximation der Portfoliowertänderung P, t t 0 X X X 1 2 X X T X X X Annahme 2: Die Renditen der Risikofaktoren sind multivariat normalverteilt X X N( 0, ) Ergebnis: Mit diesen Annahmen sind die ersten vier Momente m 1 bis m 4 der Portfoliowertfunktion V(t) explizit berechenbar (m 1 =Erwartungswert, m 2 =Varianz, m 3 =Schiefe, m 4 =Kurtosis) Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 6

7 Schritt 2: Bestimmung Portfoliowertänderung für einen Zeitpunkt in der Zukunft (3/4) Es verbleibt: Bestimmung der Verteilungsfunktion der Portfoliowertänderung Einfachste Annahme: Die Portfoliowertänderung selbst ist normalverteilt Diese Annahme ist umso "richtiger" (bei Beachtung der Normalverteilungsannahme der Risikofaktoren) je "linearer" das Portfolio selbst ist Stark derivative Portfolien haben einen hohen "Gamma-Anteil" (einen hohen quadratischen Term in der Portfoliowertänderung) Für "Vanilla-Portfolien" (Standardswaps (Zins, Fx), Lineare Commodity-Transaktionen...) ist die Normalverteilungsannahme für die Portfoliowertänderung akzeptabel Als Maß für die Abweichung können das dritte und vierte Moment dienen: Je mehr dies von 0 und 3 (Schiefe und Kurtosis einer normalverteilten Zufallsgröße) abweicht, umso "falscher" ist die Normalverteilungsannahme V ( t) m 1 m2, Mit dieser Annahme folgt: standard-normalverteilt und damit E( V ( t) ) m 1 m 1 m 2 m2 e m 1 m 2 2 Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 7

8 Schritt 2: Bestimmung Portfoliowertänderung für einen Zeitpunkt in der Zukunft (4/4) Falls Normalverteilungsannahme nicht adäquat: "Moment-Fitting" via Johnson Transformation Suche eine Verteilungsfunktion deren ersten vier Momente mit den berechneten Übereinstimmen Eine große Auswahlklasse ist die Familie der Johnson-Transformierten (vergleiche Hill, I., Hill, R. und Holder, R. (1976). Fitting Johnson Curves by Moments, Applied Statistic, 25(2): ) Für "normalverteilungsähnliche" der dort angegebenen Klassen von Verteilungsfunktionen ist der benötigte Erwartungswert der positiven Marktwerte (gleich Wert einer Call Option auf den Marktwert mit Strike 0) explizit bestimmbar, siehe: Ponser, S. und Milevsky, M. (1998). Valuing Exotic Options by Approximating the SPD with Higher Moments, The Journal of Financial Engineering 7(2): ) Vorteil: Man erreicht eine genauere Approximation der Portfoliowertfunktion und damit des erwarteten positiven Exposures Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 8

9 Schritt 3: Bestimmung Ausfallwahrscheinlichkeiten Ausfallwahrscheinlichkeiten sind historisch "ablesbar" für die Zukunft "schätzbar" aus Credit-Märkten ableitbar (siehe z.b. Gregory, Jon. Counterparty Credit Risk: The New Challenge for Global Financial Markets. John Wiley & Sons, 2009) Diskussion, welches das "richtige" Verfahren ist, ist unabhängig von der Methode der CVA-Kalkulation Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 9

10 Schritt 4: Bestimmung (zeitabhängige) Wiedergewinnungsquote Äußerst schwierig Häufig: Annahme einer konstanten Wiedergewinnungsquote in Abhängigkeit von Stammsitzland und Branche des Kontrahenten auf Basis historischer Beobachtungen Oder: Der Standard-Satz des CDS-Marktes: Wiedergewinnungsquote gleich 40% für Non-Sovereigns und 25% für Sovereigns Ebenfalls: Diskussion, welches das "richtige" Verfahren ist, ist unabhängig von der Methode der CVA-Kalkulation Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 10

11 Zusammenfassung Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 11

12 CVA-Steuerung und Value at Risk auf CVA Betrachtet man einen CVA als eigene Position (CVA als Position ist ein Contigent CDS) benötigt man für eine Risikosteuerung "Deltas auf den CVA" Wie ändert sich mein CVA wenn sich ein Risikofaktor marginal bewegt? CVA-Deltas sind mittels des Semi-Analytischen Ansatzes leicht berechenbar (unter Berücksichtigung der benötigten IT-Ressourcen) Berechne CVA mit dem Wert des Risikofaktors und mit dem Wert des Risikofaktors plus marginaler Zuwachs Ein Value at Risk auf das "CVA-Portfolio" als Gesamt-CVA-Risikomessgröße ist anschließend mittels eines VaR Delta-Ansatzes berechenbar Basel 3: CVA-Eigenkapitalanforderung im Advanced Approach auf Basis CVA-VaR in Höhe des 99% VaR, 10 Tage, (Tzf. 99, 1 Absatz) zu hinterlegen Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 12

13 Fazit Pro Ansatz ohne Monte Carlo Simulation (geringerer IT-Aufwand) Bei adäquater IT-Leistung bis zu tägliche Granularität möglich Speziell Commodity Markt benötigt tägliche Granularität bei Settlement Exposures. Für Marktwert ist gröbere Granularität vertretbar Modifikation auf Collateralisierte Verträge möglich (Berücksichtigung einer Close Out Periode z.b. 14 Tage statt "voller Stochastik") Kalkulation eines DVA (Adjustierung des Marktwertes unter Berücksichtigung des eigenen Kreditrisikos) analog möglich und unmittelbar implementierbar CVA-Sensitivitäten berechenbar Intraday CVA-Neuberechnung über Netting Sets möglich (Neugeschäftskalkulation) Weiterentwicklung/Kombination mit Simulation möglich Sensitivitäten können bei Simulation zwecks approximativer Berechnung des Portfoliowertes in einem Simulationsschritt als Alternative zur sehr zeitaufwändigen "Full Valuation" verwendet werden Ansatz vermittelbar Ggfs. konsistent zu analytischen Potential Future Exposure Berechnungen Stresstest sind leicht berechenbar (auch Ad Hoc) "CVA-Risikomanagement-Modell", "Einstiegsmodell", "Vergleichsmodell", "Ad Hoc Modell", "Intraday-Modell" Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 13

14 Fazit Contra Alle Problemfelder des parametrischen VaR-Ansatzes Delta-Gamma bei z.b. pfadabhängigen Produkten Normalverteilungsproblematik bei den Risikofaktoren ("Fat Tails") Taylor Approximation ohne gemischte Terme... Portfoliowertprozess nicht notwendigerweise ein Martingal (quadratischer Term in Taylor Approximation liefert gegebenenfalls Driftterm für Portfoliowertänderung) "Starre Modellierung": Neue Produktkategorien ggfs. nicht mit diesem Ansatz berechenbar. Für explizites Einzelgeschäft Credit-Pricing bei bestimmten Produkttypen (z.b. pfadabhängig) gegebenenfalls zu ungenau. Untersuchungen notwendig. Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 14

15 Weiterentwicklungen Prüfung der Annahmen auf mögliche Variationen z.b. für welche Risikofaktor-Verteilungen kann man Momente berechnen? Optimierung der Moment Fitting Prozedur Ausdehnung der analytischen Berechnung auch auf die sog. "unbeschränkte" Klasse der Johnson Transformierten andere Ansätze als Johnson Transformation Analyse problematischer Produktkategorien Optimierung der Zeitdiskretisierung (Netting-Set individuell) Dialog mit den Aufsichtsbehörden Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 15

16 Literatur Momentenbestimmung Deutsch, Hans Peter. Derivate und interne Modelle. Stuttgart: Schaeffler-Poeschel Verlag, CDS und Ausfallwahrscheinlichkeiten (und überhaupt) Frey, Rüdiger, Paul Embrechts, und Alexander J. McNeil. Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools. New Jersey: Princeton University Press, CVA allgemein Gregory, Jon. Counterparty Credit Risk: The New Challenge for Global Financial Markets. John Wiley & Sons, Johnson Algorithmus Hill, I., Hill, R. und Holder, R. (1976). Fitting Johnson Curves by Moments, Applied Statistic, 25(2): Bestimmung erwartetes positives Exposure für Johnson Familien Ponser, S. und Milevsky, M. (1998). Valuing Exotic Options by Approximating the SPD with Higher Moments, The Journal of Financial Engineering 7(2): Dr. Christian Bree, PRMIA CVA Kongress, Seite 16