Mechanik. 1. Bewegungen und deren Beschreibungen Eine Charakterisierung einer Bewegung ist durch einen Ortswechsel gegeben. Wir können daher sagen:

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1 Mechanik Bewegungen und deren Bechreibungen Eine Charakeriierung einer Bewegung i durch einen Orwechel gegeben Wir können daher agen: Mi einer Bewegung i ein Orwechel verbunden Mi eine Orwechel i eine Bewegung verbunden U einen Bewegungablauf bechreiben zu können, genüg e den Weg de Orwechel anzugeben Doch Vorich! Wir fahren einen Weg von A-Or nach B-Or und haben unere Tache dabei Für un beweg ich die Tache nich, denn ie bleib an derelben Selle auf de Rücken Für einen Beobacher, der un vorbeifahren ieh, beweg ich die Tache, denn die Tache fähr an de Beobacher vorbei Noch draicher wird e, wenn für beide eine Bewegung afinde Srobokopaufnahe einer Kugel, die au einer Verikalen Spielzeugkanone abgechoen wird Die Blizrae beräg Blize pro Sekunde I linken Bild ind die Kanone und die Kaera in Ruhe I ileren Bild beweg ich die Kanone nach rech, die Kaera i in Ruhe I rechen Bild beweg ich die Kaera nach link, die Kanone i in Ruhe Inerpreaion der Bilder Wir izen i fahrenden Zug, in de ein Kind einen Ball enkrech nach oben wirf und wieder auffäng Wir bechreiben die Bewegung de Balle wie folg: Der Ball beweg ich enkrech nach oben und fäll enkrech wieder zurück Die Bechreibung der Bewegung enprich de linken Bild Der außen ehende Beobacher bechreib die Bewegung de Balle wie folg: Der Ball beweg ich auf einer gekrüen Bahn in Fahrrichung de Zuge und wird wieder aufgefangen Die Bechreibung enprich de ileren Bild Der i Zug an eine Bahneig vorbeifahrende Beobacher bechreib die Bewegung eine Balle, der auf de Bahneig von eine Kind enkrech nach oben geworfen wird, wie i rechen Bild Alle Beobacher bechreiben dieelbe Bewegung ehr genau und haben Rech E ko alo auf den Sandor de Beobacher an Selbverändlich ko e auch auf die Uhrzei an, wann da Ereigni agefunden ha Welchen Sandor ni ein Auofahrer an, wenn er ag, er i von Minden nach Bielefeld gefahren? Welchen Sandor ein Ballonfahrer, der bei arken Wind ag, der Ballon ei von Minden nach Hannover gefahren? Faen wir zuaen U einen Bewegungablauf zu bechreiben, üen der Weg de Orwechel, der Sandor de Beobacher und 3 die Uhrzei angegeben werden

2 Ein weiere wichige Beipiel Gegebene Daen: Die Scheibe dreh ich u in einer Sekunde Dabei leg der Ball einen geradlinigen Weg von,5 c zurück Konruiere den Weg de Balle vo ibewegen Werfer Anleiung: Zeichne, beginnend an DW, die Winkel in -Schrie in Bewegungrichung und die Kreibewegung de Werfer Überrage die Lage de Balle nach jeder Sekunde zurück auf den ibewegen Werfer (Punk W) Verbinde (ohne Lineal) die Schnipunke zu einer Kurve Drehrichung der Scheibe Ein Ball wird von W in Richung X geworfen und ich elb überlaen W Drehpunk X außen ehender Beobacher Der außen ehende Beobacher ieh den Ball geradlinig (blauer Srahl) auf ich zukoen Der ich auf der Scheibe befindliche Beobacher ieh den Ball in einer Linkkurve (grün) hiner ich verchwinden

3 Fazi: Da ich die Erde u eine Nord-Süd-Ache dreh, beweg ich ein zwichen zwei Peronen geworfener Ball nieal in einer Parabelebene! Bei kleinen Enfernungen und Gechwindigkeien i jedoch die Abweichung von einer Ebene exre vernachläigbar klein Sellen Sie dazu einen aßabgereuen Vergleich i der Erde an! Diee Berachungen gehen übrigen auf Corioli zurück! Vergleichen von Bewegungen A X Y B Zwei Bewegungen können verglichen werden, wenn die Poiionen der Körper bekann ind Zu Beipiel befinde ich der Körper an Or X, der Körper a Or Y Eine genauere Bechreibung i durch die un ändige begleiende Zei gegeben Alo befinde ich der Körper zu der Zei X a Or X, der Körper zu derelben Zei X= Y a Or Y Die ach e auch einfacher die Poiion eine Körper fezulegen Dazu ruh der Körper, eien a Anfang de Wege I da der Fall, o benöigen wir den Körper nich ehr, ondern nur den Oranfang de Wege U Bewegungen präzie bechreiben zu können, wird die Zei al wichiger Indikaor herangezogen Dabei i Zei durch die Anzeige der Aouhr fegeleg Gechwindigkeien U einfache Bewegungen bechreiben zu können, benöig an wenigen drei Angaben: a) Die Länge de Wege, b) die Zei, die ein Körper für dieen Weg benöig und c) den Sandor de Beobacher Die Durchchnigechwindigkei Uner ubjekive Epfinden reich alo nich au, u die Schnelligkei eine Körper zu bechreiben I Vergleich zweier Körper oll der chnellere Körper die größere Gechwindigkei haben Der Phyiker leg nun fe: Die Durchchnigechwindigkei eine Körper i durch den Quoienen gebilde au der Länge de zurückgelegen Wege = de Körper und die dazu benöige Zei = definier Hierbei bedeue die iefgeelle null den Anfang und die ein einen weieren Zwichenpunk oder den Endpunk Hier den Endpunk, da keine weieren Punke folgen Forel: vd= Wir chreiben dehalb und, u klarzuellen, da hierbei auch Längen von Wegdifferenzen und die hierzu gehörigen Zeidifferenzen berache werden können Beipiel: Auf der Auobahn wird die Zei zwichen zwei Kiloeereinen geopp Die i nur ein Teil de geaen Wege und nur ein Teil der für den geaen Weg benöigen Zei Längen von Wegen werden in µ,, c, d,, k, Lichjahre uw geeen hp://enwikipediaorg/wiki/corioli_effec und hp://dewikipediaorg/wiki/coriolikraf 3

4 Die Baieinhei der Länge in der Phyik i da Meer Wir chreiben: [ ] = Zeien werden in,, in, h, Jahre uw geeen Die Baieinhei der Zei in der Phyik i die Sekunde Wir chreiben: [ ] = Darau erhalen wir die phyikaliche Einhei der Gechwindigkei: [ v ] D [ ] [ ] = = = Felegung: Gechwindigkei i ier auf die ruhende Erdoberfläche bezogen, wenn nich andere geag i In den eien Fällen i der Bezug aber offenichlich! Einige inereane Gechwindigkeien: Haarwachen, / Schnecke / Fußgänger,5 / Radfahrer 5,5 / Rennpferd 7 / Schwalbe 9 / Flugzeug 5 / Düenflugzeug 8 / Schall in Luf bei 5 C 3 / Schall i Waer,5 k/ Erdaelli 8 k/ Erdbebenwelle 5 k/ Lich i Vakuu 3 k/ Lich in Gla k/ Wir wollen nun überlegen, wie eine Bewegungaufnahe afinden kann Ein Körper (PKW, LKW, Moorrad, ec) beweg ich auf der Erde i einer gewien Gechwindigkei Die Srecke wird fegeleg und die dafür benöige Zei wird geeen Beipiel: Bei Blizer ind 5 c Konakabände i Boden eingelaen Der ere Konak lö die Soppuhr au, der zweie Konak opp die Uhr Gleichzeiig wird ein Foo erell Verbeerung der Meaufnahe: Bei der Laereung wird die Laufzeidifferenz zwichen zwei hinlaufenden und rücklaufenden Srahlen benuz, u zu berechnen Die Zei zwichen den beiden Srahlen i Da Megerä i auf eine Richung fixier Ein fliegende Objek kann nich i Laerrahlen geeen werden Sadeen wird hier Radar eingeez Da Meverfahren i de Laerverfahren enprechend Geradlinig gleichförige Bewegung Eine olche Bewegung i näherungweie nur i Labor öglich Sie wird i einer Lufkienbahn durchgeführ Die Gechwindigkei i zu jeder Zei gleich Sie i konan! v=con Zunäch ellen wir die Bewegunggleichungen in der allgeeinen For auf Dazu verwenden wir die Punk-Seigungforen für Funkionen Schauen wir un die Siuaion in den Schaubildern an

5 Berachen wir eine gleichäßig gradlinige Bewegung i Inervall [ ] = 3 und = 5 owie v v Dafür chreiben wir ( ) v( τ) dτ 3; 5 R Alo I die Gechwindigkei konan, o werden in gleichen Zeiinervallen gleiche Sreckenlängen zurückgeleg Die Gechwindigkei i oi die Proporionaliäkonane (Seigung der Geraden de Wege), alo = v( ) Dieer Zuaenhang oll nun funkional augedrück werden Nun i der Anfangweg zu der Zei Dafür chreiben wir ( ) = Enprechend chreiben wir ( ) = oder allgeein = Folglich gil = v( ) bzw = v( ) +, wobei bzw ; Da i die geuche Funkion [ ] =, wobei für die Sue aller Flächenückchen eh Funkion ( ) elb heiß Inegralfunkion In unere Beipiel i = ( 3) + 8 Für die Seigung der Tangene (i hier i der der Geraden überein) chreiben wir d v : = ɺ d Beache: bezeichne die Sekaneneigung und d die Tangeneneigung, d geleen d nach d Wir berechnen den Flächeninhal zwichen der Ache und der Gechwindigkeikurve heiß Inegral und vτ der Inegrand Die Da Inegral berechne folglich nur den Zuwach der Srecke ( ) u daher bekann ein, kann alo nich berechne werden In unere Fall v τ d τ d τ τ 5 5 = = 3= 5 3 = Geradlinig und gleichäßig bechleunige Bewegung Auch diee Bewegung i näherungweie nur i Labor öglich und wird wieder i einer Lufkienbahn durchgeführ Die Bechleunigung i zu jeder Zei gleich Sie i konan! a=con Mae 5

6 Sellen wir die Bewegunggleichungen in der allgeeinen For auf Dazu verwenden wir wieder die Punk-Seigungfor für Funkionen Wie ieh nun die Siuaion in den Schaubildern au? Nehen wir zuer in [,5;,5] R, alo =,5 und =,5 owie allgeein eine poiive Bechleunigung in Augenchein a a v v Gechwindigkei: v = (,5) + Hier können wir chneller arguenieren, da ich die Begründungen wiederholen I die Bechleunigung konan, o i der Zuwach der Gechwindigkei in gleichen Zeiinervallen gleich groß Die Bechleunigung i oi die Proporionaliäkonane (Seigung der Geraden der Gechwindigkei), alo v v = a( ) Der funkionale Zuaenhang i nun v = a( ) + v( ) bzw allgeein v v( ) a( τ) dτ = Ugekehr i die Seigung der Tangene durch dv a : = vɺ d gegeben Berechnen wir nun den Flächeninhal zwichen der Kurve (hier Geraden) und der Ache i Inervall i =,5 und =,5, o erhalen wir bzw Weg: ( ) v( τ) dτ = ( ) = v v( ) v( ) ( ) + ( ) = a + v = a( ) + v ( ) Folglich gil = a( ) + v( )( ) + ( ) Auch hier üen v( ) und ( ) bekann ein, da nur Zuwäche berechne werden können Konkre erhalen wir i a = : ( ) =,5 +,5 + 8,5 = + 6

7 Wie lauen die Foreln v( ) bzw ( v ) Dafür erezen wir v v = a durch au = ( v v )( ) + v ( ) und ugekehr Wir erhalen i = ( ( ) ) ( ) v v + v = ( v + v )( ) (Trapez) die Foreln ( v ) ( v ) a v v v v a v v in = + = und v a( ) v = + Zuaenfaung Gleichäßig geradlinige Bewegung ( v= con ) v( ) ( ) = +, wobei bzw [ ; ] Geradlinige, gleichäßig bechleunige Bewegung ( a= con ) a v( ) ( ) = ( ) + ( ) +, wobei bzw [ ; ] ; v a v( ) = +, wobei ( v) v v ( v ) a bzw [ ; ] = +, wobei v v v v a v = +, wobei ; bzw v [ v ; v] ; bzw [ ; ] Allgeein gelen die Foreln Tangeneneigung: v =ɺ, a = vɺ = ɺɺ Inegralfunkionen: v( τ) dτ =, = v v( ) a( τ) dτ Negaive Bechleunigungen a=con Mae Mae Tich Tich Zunäch bechleunig die Mae den Wagen auf der Lufkienbahn o lange poiiv, bi ich die Mae auf de Tich abez Der Wagen fähr nun i konaner Gechwindigkei, bi der Faden an Mae gepann i Der Wagen heb jez die Mae an und wird dadurch negaiv bechleunig 7

8 a a v Berachen wir nur den Augenblick der negaiven Bechleunigung i Inervall [ ; ] R Der allgeeine Fall der Bewegung wird eine Übungaufgabe ein Die Diagrae ehen nun wie folg au Wie wir ehen werden, verändern ich die Foreln nich Die Bechleunigung beräg a= (Ugangprachlich Breen) v = a + v( ) = +! Hier: v ( ) Die Gechwindigkei ni ab Außerde i v (3) = Für 3< i die Gechwindigkei negaiv Inerpreieren Sie die Bedeuung an der Fahrbahn? Auch die Sreckenfunkion änder ich nich = a( ) + v ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) + 7 Aufgaben Sellen Sie die Funkionen ( v) ( v v) ( v) v = a + v a owie die Scheielpunkforen für obige poiive owie negaive Bechleunigungen auf = + und = a + v + ( ) Enwickeln Sie die Scheielpunkfor für Löungen = ( ) + = +, ( v ) v 8 8,5 v 8 8 ( v ) = v + 7 = v + 8 v = 8 ( 8,5) + = 8, v = ( 7 ) + = + 3 = ( ) 8, = ( 3) + 8, Scheielpunkforen ( v) = v v + ( v ) = v + ( v ) v a a a = a( ) + v( ) + = a ( ) a a ( ) + + = + a + a v v = a ( ) a + a v v v 8

9 Die Moenangechwindigkei In diee Abchni oll die Moenangechwindigkei noch einal genauer berache werden Soll die Gechwindigkei zu eine genauen Zeipunk bei werden, o i die phyikalich unöglich Jedoch haben wir die Möglichkei die Gechwindigkei zu eine beien Zeipunk o genau wie nöig zu beien Wir üen nur verhindern, da ich die Gechwindigkei in während der Zei änder Wir legen daher fe: v i definier durch Die phyikaliche Moenangechwindigkei : v =, und o klein wie nöig Hierbei ind bzw die Punke de Wege zur Zei bzw zur Zei Die phyikaliche Moenangechwindigkei ell folglich eine Sekaneneigung i --Diagra dar Maheaich kann daher die aheaiche Moenangechwindigkei v( ) durch die Tangeneneigung i --Diagra definier werden v : = li, Aufgabe I folgenden --Diagra ind Mepunke eingezeichne Verbinde die Mepunke in eine Zug vo Urprung beginnend Beie dann die Durchchnigechwindigkei der eren 8 Sekunden und die Moenangechwindigkei zu Zeipunk = 8 / Löung: / 8 T/ Hier i die Vorgabe zu erfüllen Daher werden nich alle Punke geroffen Hier werden ögliche Fehler augeglichen Die nöigen Daen werden au de Diagra ennoen Durchchnigechwindigkei: Mi = 8 = 8 und = 8 = 8 folg v 8 D= = 8 T/ Moenangechwindigkei: Mi =,8 = 7,8 und = 9 7= folg 7,8 v = = 3,9 9

10 Soll der Urprung nich audrücklich eingechloen werden, o ergib ich folgende Diagra Hier i die Durchchnigechwindigkei zwichen und 8 dargeell Die aheaiche Moenangechwindigkei (Tangeneneigung) zu Zeipunk wird durch v =ɺ fegeleg Hierbei i ɺ ( ) die Tangeneneigung i --Diagra Naürlich wird nich ier geradeau gefahren Denken wir an einen Rier, der ier eine Lanze dabei ha Seine Lanze i Anchlag zeig daher ier in die Richung, in der ich ein Pferd beweg Die Bewegungrichung i alo auch wichig Wir legen die Bewegungrichung durch einen Pfeil fe Der Weg und die Gechwindigkei ind Vekoren, wie der Maheaiker ag Die Gechwindigkei v i vo laeinichen Wor velocia abgeleie I zweidienionalen Koordinaenye wird ein Punk de Wege durch () = ( ) dargeell Der Vekor, der auf den Punk ( ( )) zeig, heiß Orvekor Der Vekor, der an v den Punk ( ( )) angehefe i und die Gechwindigkei darell, wird durch v = v dargeell Die Länge de Vekor ell die Größe der Gechwindigkei dar Sie wird nach Pyhagora berechne, alo v() ( v ) ( v ) = + Vekoren dürfen nur dann addier werden, wenn ie in denelben Raupunk angreifen / T/ In diee Diagra ind der Weg blau und der Vekor der Gechwindigkei grün dargeell Die Größe der Gechwindigkei (Tachoeer) berechne ich zu ( 8) ( 9 8 ) (,5 8 ) = + 3,5 = 3,6 v = +

11 Die Vekoreigenchaf der Gechwindigkei wird durch v oder v dargeell Maheaich i v = ɺ 5 Die Relaivgechwindigkei Beziehen wir die Bewegung eine Körper auf einen anderen Körper, o prechen wir von der Relaivbewegung eine Körper Beipiele: Zwei Fahrzeuge fahren hinereinander her Die Gechwindigkeien beider Fahrzeuge haben ein poiive Vorzeichen, da die Richungen übereinien Die Relaivgechwindigkei ergib ich au der Differenz der Einzelgechwindigkeien rel () = () () v v v Zwei Fahrzeuge fahren aufeinander zu Die Gechwindigkeien beider Fahrzeuge haben ein unerchiedliche Vorzeichen, da die Richungen engegengeez ind Die Relaivgechwindigkei ergib ich au der Sue der Einzelgechwindigkeien v () = v() + v() rel I Folgenden prechen wir nur noch von der Gechwindigkei, da au de Konex erichlich i, u welche Gechwindigkei e ich handel Bechleunigung Veränder ich die Gechwindigkei während der Bewegung, o nenn der Phyiker diee Veränderung Bechleunigung Sie wird genau wie die Gechwindigkei berechne v v v a : = = Auch hier gil wieder: Die Sekane bei die Durchchnibechleunigung und die Tangeneneigung die Moenanbechleunigung Wir unercheiden da in der Forel aber nich ehr, da au de Konex zu encheiden i, u welche Bechleunigung e ich handel Die Bechleunigung a i vo laeinichen Wor accelerāre abgeleie Moenangechwindigkei: v Moenanbechleunigung: a Die Einhei der Bechleunigung i [ ] : = = v v v : = = Bedingung: Die Differenzen ollen o klein wie nöig ein! a : = =

12 3 Zuwäche, nueriche Differenzieren und nueriche Inegrieren Wir wollen nun au () die Gechwindigkei v() und anchließend die Bechleunigung a() beien Dazu üen wir aber wien, da ( ) = () gil Die wollen wir jez einehen Berachen wir ewa allgeeiner ein Recheck i den Längen x und y y x Variieren wir die Längen u ehr kleine Sück, o erhalen wir neue Seienlängen x+ x, y+ y y+ y Der Zuwach de Flächeninhal wird durch die Differenz ( )( ) Andererei i die auch ( xy) Folglich gil ( xy) = x+ x y+ y+ y x x y = x y+ x y+ y x+ y x x y = x y+ y x+ x y x+ x y+ y xy berechne Da wir x und y al ehr klein voraugeez haben, kann x y in der Näherung vernachläig werden ( x y ) In der Maheaik chreiben wir wieder d a, alo d( xy) = xdy+ ydx 3 Beipiel: x= und y= liefer Nachkoaelle x y 5 = Die i ein Fehler in der 5 In der Phyik gil oi uner Beachung de exre kleinen Fehler x y die Gleichung Sezen wir nun für x und y die Variable ein, o erhalen wir = Beweien Sie: ( x+ y) = x+ y und ( cx) = c x owie ( c) = für eine reelle Zahl c R = + + an Wir erhalen Wenden wir diee Erkennnie auf, ( 5) ( 5) ( 5) ( ) (, ( 5) ) ( ( 5) ) ( ( 5) ) (( ) ) ( ) =, = + + =, =, ( ) ( ) ( ) (, ( 5) ) ( 5) (, ( 5) ) = + = + x+ x ( xy) = x y+ y x

13 = =, 5 + Da Ergebni i die Gechwindigkei v ( ) Au der Gechwindigkei erhalen wir nun ( ( ) ) ( ) v =, 5 + =, 5+ =, ( 5) =, Da Ergebni i die Bechleunigung v a = =, Löungen E darf auch i ( z) = z z gerechne werden ( x+ y) = x+ y : ( x+ y) = x+ ( x) + y+ ( y) x+ y= x+ y x+ y+ ( x) + ( y) = ( x) + ( y) E i oder ( x+ y) = x+ y x+ y = x x+ y y = ( x) + ( y) c R ( cx) = c ( x) : E i ( cx) = cx cx = c x x = c ( x) c R ( c) = : (Differenz eine Punke i null) Folg au () c = c c= c c= Oder zunäch () = : Folg au ( x ) x ( x) = i x=, alo ( c) = ( c ) = c () = c = ( xy) = x ( y) + y ( x) + ( x) ( y) : = = und au ( cx) = c ( x) i x=, alo () () () ( xy) = x y x y = x y y + y x x = x + ( x) ( y) + y ( x) = x+ ( x) ( y) + y ( x) = x ( y) + ( x) ( y) + y ( x) = x ( y) + y ( x) + ( x) ( y) Beerkung Leen wir die Foreln von rech nach link, alo rückwär, o heiß dieer Vorgang nueriche Inegrieren Maheaiche Foreln E ei c R und e eien x und y variabel dc= d( x+ y) = dx+ dy 3 d( cx) = cdx d( xy) = xdy+ ydx 3

14 Die Fallbechleunigung a v v = v v Begeben wir un auf die Spuren von Galileo Galilei uner Beachung von ( ) Mi dieer Gleichung wollen wir auf der chiefen Ebene die Fallbechleunigung g beien Geben Sie dazu einen Zuaenhang zwichen der Höhe h und der Länge owie a und g an h( v ) ( v ) v a v α n g Sellen Sie nun eine Verknüpfung zwichen der obigen Gleichung und der Zeichnung her Löung E gil = und ( ( v) ( v )) in α= h( v ) h( v) Alo folg au v v = a( ( v) ( v )) a g inα nun α v v = a ( v) ( v ) = g in ( v) ( v ) = g h( v ) h( v) = g h( v) h( v ) Die Höhe in Abhängigkei der Gechwindigkei berechne ich folglich nach der Forel h( v) = v v + h( v ) g v g v( ) Zeigen Sie nun uner Berückichigung von Äquivalenz der Foreln Zu Veruch = +, wobei v = g( ) + v( ) h ( ) = g( ) + v( ) + h ( ) h ( v ) = v v + h g ( v ) die Wir wählen α= 5, und een eine Srecke ab, z B c, 6 c, 8 c, c Jede Mal een wir die Gechwindigkeien v und v Dazu ferigen wir eine Mewereabelle an α= 5 Srecke in c 6 8 Gechwindigkei v Gechwindigkei v v v a,85 g 9,8 v( ) v( ) = g( ) h = g ( ) vg( ) h h( v) ( v v) v( v v g + = + g ) + h v( ) v( ) = g( ) h( v) = ( v v) + h( v ) g

15 α= Srecke in c 6 8 Gechwindigkei v Gechwindigkei v v v a,7 g 9,8 Auwerung: Die Graviaionbechleunigung beräg g= 9,8 Al Vekor zeig g gegen den Höhenzuwach, u alo negaiv ein, da die Höhenabnahe eine negaive Gechwindigkei und oi auch eine negaive Bechleunigung zur Folge ha Ferner i g( h( v) h( v )) = v v v + gh( v) = v + gh( v ) Die Forel v + gh= v + gh gib nun einen Zuaenhang zwichen den Anfangbedingungen (reche Seie) und den oenanen Bedingungen (linke Seie) an Hierbei i e unerheblich, in welcher Abhängigkei die Höhe berechne wird Naürlich werden in dieer Forel keine herichen Verlue durch Reibung berückichig Beerkung Solle die Bechleunigung nur g= 9, beragen, o beräg die Abweichung nur ca %, ein für die Schule guer Mewer Die Energie Biher haben wir eine Bewegung, die i der Gechwindigkei und Bechleunigung bechrieben wird Laen wir einen Körper au einer gewien Höhe über de Erdboden lo, o wird er bechleunig Geuch i daher ein Zuaenhang zwichen der Höhe de Körper und einer Gechwindigkei Dabei gehen wir von einer konanen Graviaionbechleunigung g= 9,8 au Der geuche Zuaenhang wird durch die Energiegleichung bechrieben Saren wir i eine Experien Ein Körper befinde ich in der Höhe h Der Körper habe die Mae Die Graviaionbechleunigung beräg g Der Körper der Mae befinde ich in der Höhe h und wird i g bechleunig Den Körper aufzuhalen, i bei größerer Mae chwieriger Folglich i die Mae zu berückichigen, da wir päer die Reibung i der Luf zu berückichigen haben Nun wien wir, da die konane Bechleunigung g eine Gechwindigkei- und eine Weglängenänderung zur Folge ha Der Zuaenhang i un bekann E i die Gleichung v + gh( v) = v + gh( v ) Muliplizieren wir die Gleichung i der Mae, o folg uner Aulaung der Abhängigkei v + gh= v + gh 5

16 Die reche Seie i eine Konane E= v+ gh ; ie bechreib eine Anfangbedingung Die linke Seie ez ich au zwei Teren zuaen Den eren Ter v, er i unabhängig von der Bewegungrichung, nennen wir die kineiche Energie E kin Der zweie Ter i von der Bewegungrichung abhängig Die Höhe h ni i de Aband von der Erdoberfläche zu, während die Bechleunigung zur Erdoberfläche hin zuni Beide ind engegengeez Den Ter nennen wir die poenielle Energie E po gh Die Sue au kineicher und poenieller Energie i ier konan, wobei die konane Zahl ich au der Anfangbedingung der Sue beider Energien berechne Faen wir zuaen E kin= v und Epo = gh E gil der Energieerhalungaz der Mechanik Ein Arbeibeipiel Ekin+ Epo= E Eine Eienkugel i einer Mae von fallen laen Rechne i g= a) Welche Gechwindigkei ha ie in Höhe? b) Mi welcher Gechwindigkei riff ie auf die Erde? v + gh= v + gh = kg wird au einer Höhe von über der Erdoberfläche c) Welche Zei i bi zur Höhe h= bzw h= vergangen? Löung de Proble Die Anfangbedingung i durch gegeben v+ gh = kg + kg = kg = J a) Mi de Energieerhalungaz v gh J + = erhalen wir kg v kg kg + = Löen wir nach v auf, o folg v= = b) Auch hier liefer der Energieerhalungaz kg v kg kg + = die Löung v= = c) Die Zei berechnen wir durch v = g ( ) = zu = = 6

17 Ipul, Kraf und Arbei Zunäch können wir un die Änderung der echanichen Energie anchauen Wir wenden un der Energiegleichung Ekin Epo E konan E + E = E = kin po + = = zu Wir erhalen kin po E + E = oder, wenn wir e al alernierende Differenialfor forulieren: dekin+ depo= Hier i chon zu erkennen, da ein Energieauauch nur zwichen wir einen Schri weier Wir erhalen Die Größe heiß Linearer Ipul Ferner heiß kin : = und E g ( h ) E v v p : = v E : = v p po = E kin und E po afinde Gehen Fundaenalgleichung der klaichen Mechanik Sie gil für alle Energien der Mechanik Die zeiliche Änderung de Ipule heiß Kraf oder Ipulro p dp F : = oder F= : d Welche Energie (Arbei) W (Work ou) u aufgebrach werden, u eine Mae über die Srecke zu bewegen? Mi der Fundaenalgleichung W= v p, der Gechwindigkei v= und de Ipulro p (Kraf) F= finden wir durch Einezen: p W= v p= p= = F I nun der Ipulro F konan, o folg W ( F) ( W F) = = =, alo W= F+ W Hierbei i W die Ruheenergie für F= Wir ezen wieder W = Fließ ein Ipulro F läng de Wege, o wird Energie W auf einen anderen Träger geladen In der alen Sprache wird die Energieüberragung ei i folgenden Zuaenhang verwende Wirk eine Kraf F läng eine Wege auf einen Körper (Sye), o wird Arbei W verriche Die Spannenergie einer Feder Wird eine Feder gedehn oder zuaengedrück, o i dazu ein Energiero nöig Hierbei i der Bereich zu beachen, in de die Feder in den urprünglichen Zuand zurückkehren kann, alo nich plaich deforier wird Dieer Bereich i nach Hooke benann, der die uner anderen uneruch ha Er heiß dehalb hookecher Bereich In diee Bereich gil: Fr= D Hierbei ind F r die Rückellkraf und der au der Ruhelage der Feder augelenke Weg owie D die Federkonane Da Minuzeichen gib an, da der augelenke Weg und die Kraf verchiedene Richungen haben Welche Energie eck nun in der Feder? Dazu lenken wir die Feder au der Ruhelage i der Kraf F= D au und beühen die Fundaenalgleichung der Mechanik Wir fanden chon (vgl oben) E= F Sezen wir ein, o erhalen wir E D D D ( ) ( D ) berechne = = = = Alo, wie chon 7

18 Die Spannenergie beräg folglich E D = E D = E D = E E p= D + E E ezen wir wieder null, fall ich die Feder in der Ruhelage befinde Berachen wir ein Beipiel Federpiole Die Feder ( D = N ) einer verikal gehalenen Federpiole wird u =,5 zuaengedrück und rae ein Anchließend leg an eine Kugel ( = g ) auf die Feder und chieß ie nach oben a) Wo ha die Kugel bei der Aufwärbewegung ihre größe Gechwindigkei? b) Wie groß i die axiale Gechwindigkei? c) Welche Höhe über der Piolenündung erreich die Kugel? Reibung und Mae der Feder ind zu vernachläigen Rechne i g= 9,8! Löung Die Einzelenergien ind: E owie Epo= g h und die Energieerhalung ag: Ep+ Ekin+ Epo= E p= D (auch poenielle Feder-Mae-Energie genann), E kin = v Die Daen der Bedingung ind durch h= und =,5 fegeleg Hier i v= Folglich u E D( h ) p= ein! Die Probleaik dieer Schreibweie i, da für h nich zu null wird Diee Dilea kann aber aheaich behoben werden Dazu berachen wir folgende Funkion: Für h h, alo Für h> h > und dai Der gechloene Energieaz laue volländig: Alo, da poiiv i, f ( h) : = ( h ) h ( h ) f ( h) = ( h ) h ( h ) = ( h ) f ( h) = ( h ) h ( h ) = Ep ( h) + E kin ( h) + Epo ( h) = D ( h ) h ( h ) v gh + + > die Spannenergie D ( h ) h ( h ) v gh D ( ) ( ) + + = = D + = D N = 5 (,5) =,5 J Hieri berechnen wir auch die Energieröungen Dazu leien wir nach der Zei ab und beachen: h ɺ = v und vɺ ( ) = a ( ) Diee liefer i der Konanen-, Suen-, Produk- und Keenregel die zeiliche Ableiung 8

19 d d Ep ( h) Ekin ( h) E po ( h) D ( h ) h ( h ) v gh d + + = d + + h = D ( h ) hɺ hɺ ( h ) h hɺ + vvɺ+ ghɺ h = D ( h ) h h hɺ+ vvɺ + ghɺ = D ( h ) h hɺ + vvɺ + ghɺ = D ( h ) h v+ va+ gv = D ( h ) h + a+ g v Die Energieröung beräg folglich Zu a) J D ( h ) h a g + + v= Die axiale Gechwindigkei kann nur dann erreich werden, wenn die Bechleunigung ( a zeig nach oben) null ergib Folglich i Da v, u J D ( h ) h g + v= J D ( h ) h + g= ein, da nur eine Richung vorhanden i Dai i aber auch h<, alo,kg 9,8 J g D N D ( h ) + g= h= h=,5 =,3 Die axiale Gechwindigkei wird in,3 Höhe erreich Zu b) Wir ezen diee Höhe in die Energiegleichung D ( h ) h ( h ) + v + gh=,5j ein und beachen D ( h ) h ( h ) = D( h ) Die liefer N + + =, 5 (, ),kg v, kg 9,8,3,5J N,kg v =,5 J 5 (, ), kg 9,8,3 =,899 J, alo v= 8, 99 =,9 Zu c) Beache: Die axiale Höhe wird bei v = erreich Die geae Energie i in E po ugeladen, alo gh=,5j E folg h=,57 Über der Mündung der Piole folglich h =, 3 Der Energiero (Leiung) Fließ Energie E von eine Sye zu eine anderen Sye oder von eine Körper zu eine anderen Körper, o nennen wir die den Energiero Die Energieroärke P i definier durch 9

20 P : = E Die Energieroärke heiß in der Phyik auch Leiung Genauer gil: P : = E ɺ Mi anderen Woren: Der Energiero i die zeiliche Ableiung nach der Zei I ein Sye abgechloen, o kann nur Energie innerhalb de Sye röen Dieer Saz gil nich nur für echaniche Syee Er gil für alle abgechloenen Syee Berachen wir ein Beipiel Aufgabe Ein Radfahrer fähr i einer Gechwindigkei von 8 und ko an einen Abhang i 3 % Gefälle Der zu fahrende Weg beräg 5 Die Graviaionbechleunigung berage Der Radfahrer wirk während der Abfahr nich auf ein Fahrrad ein Löung Skizze A) a) Mi welcher Gechwindigkei ko er a Fuß de Abhang an, wenn keine Reibung wirk? b) Berechne den Energiero P( ) und gib die Sröungrichung an B) a) Nun reen zuäzlich Reibungverlue auf Der geae Reibungverlu berage a Fuß de Abhang % der kineichen Anfangenergie Wie groß i die Gechwindigkei nun a Fuß de Abhang? b) Geben Sie auch hier die Energierorichungen an C) a) Nehen Sie nun an, da die Reibung durch eine konane Bechleunigung a läng der 5 aufri Berechnen Sie die Bechleunigung a k h b) Nun wien wir, da die Lufreibung von der Gechwindigkei abhäng Nehen Sie daher an, da die Reibungenergie 5, und 5 v beräg Wie groß ind die Gechwindigkeien nach A) a) Der Energieerhalungaz liefer ergib v gh 57,5 v gh 5 5 Wegen inα= anα= α für kleine Winkel, erhalen wir h= 5 3 =,5 + = + Diviion durch + = A Fuß de Abhang h= alo v = 5 Die Gechwindigkei a Fuß de Abhang beräg v=,7 b) Der Energiero P = Eɺ = Eɺ kin+ Eɺ po liefer P = v vɺ + g h ɺ Wegen ɺ erhalen wir P = v ( vɺ + g ) h = v v =8 k h Da da Sye abgechloen i, wird nur Energie zwichen der kineichen und der poeniellen Energie augeauch Die folg au P = Eɺ J kin+ Eɺ po= Nach a) ni die Gechwindigkei zu Folglich rö Energie au v vɺ + g = folg i de poeniellen Sye in da kineiche Sye Wegen J kg v in x- und y-richung die Gleichung v = ( vx, vy ), o erhalen wir ( vx vy + g) = Mi den Anfangbedingungen 3 x, 5 co 3 3 vx ( ) = 5 co und v 5 y = g α 5 h h= + g= Schreiben wir vɺ x = vɺ y + g= vɺ ɺ, ɺ (,), alo 3 v = und v, 5 y = folg

21 B) a) In diee Fall kann die Gleichung der Energieerhalung durch h+ + = 57,5 E v gh forulier werden Da keine Inforaion für jeden Zeipunk, ondern nur für den Fuß de Abhang bekann i, kann die Gleichung auch nur dor augewere werden Wir finden v, 5 + = 57,5 Löen wir nach v auf, o erhalen wir v= 5 b) Den Energiero erhalen wir durch P = E ɺ h + v v ɺ + g h ɺ Da E ( ) h unbekann i, können nur die Srorichungen angegeben werden E + E + E = E h kin po P P Zunäch rö Energie au de poeniellen Sye in da kineiche Sye Gleichzeiig rö Energie vo kineichen Sye in die Ugebung, die ich erwär C) a) Die geuche Bechleunigung erhalen wir wie folg: Die Gechwindigkei ohne Reibung beräg a Fuß de Abhang v = 5, i Reibung v 5 = Wenn wir eine konane v v Bechleunigung, naürlich negaiv, annehen, o erhalen wir i a= und = die,7 Gleichung a= Diee negaive Bechleunigung wirk auf der Srecke 5 Die Energie folglich W= F = a Diee Energie rö nun in die Ugebung Wir erhalen:,7 E = W, v = 5 v = 35, 6 h Mi v = 5 ergib ich die Zei zu =,6 Die Bechleunigung alo a= b) Der Energieerhalung laue nun v v gh 57,5 + + = Hierbei gehen wir davon au, da bi zu Abhang durch Energiezufuhr au de Körper die Reibungenergie augeglichen wird Anchließend wird keine Energie ehr zugeführ Wir 3 erhalen v + v + h= 5 Berechnen wir die Gechwindigkeien 5 : 3 3 v + v +,5 5 = 5 v + v 55 = v = 8,98 : 3 v=,36 v + v +,5 = 5 v + v 85 = v =,58 v=,96 5 : v + v = 5 v + v 5 = v = 9,8 v= 5, Der Energiero i jez zu jede Zeipunk beibar Er laue P = v vɺ+ v vɺ+ g hɺ ( 5 ) = v + v vɺ+ g hɺ = 5 v + v vɺ+ g hɺ

22 Energie rö nur innerhalb de Sye, da e abgechloen i Folglich kann, da die Höhe abni, nur Energie au der poeniellen zur kineichen und Reibungenergie owie von der kineichen zur Reibungenergie röen Beache h ɺ = v! Diee Gleichung zu löen i chwierig Zunäch u die biquadraiche Energiegleichung fakoriier werden y ( ) 3 v v h = 3 3 ( v ) h v h = Nur die ere Klaer liefer eine poiive Löung, alo v = h Dai gil h P = 7 v vɺ + g hɺ Einfacher wäre da Energiegefälle in Abhängigkei der Höhe zu beien Ich koe päer darauf zurück Abchließende Beerkung Leie an den Energieaz nach de Weg (hier Höhe) ab, auf der ich der Körper beweg, o prechen wir von eine Energiegefälle Die enprich einer verallgeeineren Kraf (Ipulro), die auf den bewegen Körper wirk Au Ep ( h) + E kin ( h) + Epo ( h) = D ( h ) h ( h ) v gh + + folg der Zuaenhang de Energiegefälle zu Energiero in unere Fall wegen der Energiero de dh = + + Ep ( h) Ekin ( h) Epo ( h) = D ( h ) h vv + + g P = Eɺ = E ( h) ihɺ = E ( h) ihɺ + E ( h) ihɺ + E ( h) i hɺ Mi h ɺ = v alo p kin po P = D ( h ) h iv+ pɺ iv+ gi v Der dicke Punk gib an, da wir wie folg zu rechnen haben: x v x v = xv + xv+ x3v3 x v 3 3 Diee Produk heiß Skalarproduk