Fachbereich Mathematik

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1 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Oerstufenzentrum Krftfhrzeugtechnik Berufsschule, Berufsfchschule, Fchoerschule und Berufsoerschule Berlin, Bezirk Chrlottenurg-Wilmersdorf Fchereich Mthemtik Areits- und Informtionslätter zum Fch Mthemtik in der Berufsoerschule 1. Klsse (Teil 3) Lehnen Stnd 5.005

2 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Integrlrechnung

3 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Informtionsltt: Integrlrechnung Rechenregeln für estimmte Integrle: f sei eine stetige Funktion. Dnn gilt: 1. Stimmen oere und untere Grenze üerein, so ist ds Integrl 0.. Intervlldditivität. f ( x) dx = 0 c + = f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx c 3. Vertuschung der Grenzen ändert ds Vorzeichen. f ( x) dx= f ( x) dx 4. Fktorregel. ( ) ( ) k f x dx= k f x dx 5. Summenregel. ( f ( x) + g( x)) dx = f ( x) dx + g( x) dx

4 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Anwendungen der Integrlrechnung Berechnen Sie den Inhlt der geildeten Fläche. f( x) = 4x 4 ; x [ 01 ; ] gx ( ) = 05, x 05, ; x [; 13 ] 1 hx ( ) = x + ; x [ 03 ; ] 9

5 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Them: Stmmfunktionen Funktion Stmmfunktion x ½ x x - 3 4x + 1 x - 3x x + x 81x + x 7x 3 + x - 3x + 10x x 3 + 5x - 3x 16x 3-6x 4x 4 - x 3-1/7 x 3-1x + 1/ - 3/7 x 4-6x + 1/ x /3 x 5-100x 1/9 x 6-50x (x - 1)(x + )(x-3) 1/4 x 4 - /3 x 3-5/ x + 6x (x - 5) 4 1/5 (x - 5) 5 (x - 5) 4 1/10 (x - 5) 5 (1-3x) 3-1/4 (1 - x) 4 Funktion Stmmfunktion - 4 / x (x + 4) / x 1 / (3x + 1) - 1 / 3(3x+1) x / (x + 1) 3-1 / 4(x + 1) (x + ) / (x + 1) 3 - (x + ) / (x + 1) x / (x + 1) 3-1 / (x + 1) (x + 1) / (x + x + 1) ln (x + x + 1) x / (x + 1) ln (x + 1) x / (x 3 + 1) - 1 / 3(x 3 + 1) (x - 3)(x + 5) / (x + 1) (x - 3) / (x+1)

6 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Grundintegrle und weitere unestimmte Integrle 0 dx = C 1 tn ( ( 1), ) cos x dx = x + C x k + π k Z dx= x+ C ( 0 ) 3 xdx= x + C 3 n x dx = n+ 1 x C n n n + + ( 1 IR, 1) 1 x dx = log x C + ln 1 0 x dx = ln x + C ( x ) sinxdx= cosx+ C cosxdx= sin x+ C x x dx = + C ( 1 ) ln sin xdx= ( x sin xcos x) + C 1 cos xdx= ( x+ sinxcos x) + C 1 dx = ln x+ x ± + C x ± x x e dx = e + C... Und ziehe schon n die zehen Jhr Heruf, her und quer und krumm Meine Schüler n der Nse herum- Und sehe, dß wir nichts wissen können! Ds will mir schier ds Herz verrennen. (us: Fust - Der Trgödie erster Teil, J.W. VON GOETHE)

7 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Technisch-physiklische Bedeutung des Integrlegriffs Der Wert des estimmten Integrls f ( x) dx git für den Fll f ( x) > 0 den Flächeninhlt der Fläche n, die vom Grphen der Funktion f, von der x-achse und von den Gerden zu x = und x = egrenzt wird. Dieser Flächeninhlt ht ei einigen physiklischen Prolemen eine estimmte Bedeutung. Ds Integrl knn deshl wie die Aleitung in verschiedenem Sinne physiklisch interpretiert werden. Beispiele enthält die folgende Telle. Ausgngsfunktion Integrl Skizze Zusmmenhng Geschwindigkeit t v (t) s = v( t) dt t 1 Der Flächeninhlt entspricht dem im Zeitintervll [ t ; t 1 ] zurückgelegten Weg. Beschleunigung t (t) v = ( t) dt t 1 Der Flächeninhlt entspricht der im Zeitintervll [ t ; t 1 ] erreichten Geschwindigkeit. Krft s F (s) W = s 1 F( s) ds Der Flächeninhlt entspricht der im Wegintervll [ s1; s] verrichteten mechnischen Areit. Stromstärke t i (t) Q = i( t) dt t 1 Der Flächeninhlt entspricht der im Zeitintervll [ t ; t 1 ] durch den Strom trnsportierten elektrischen Ldung.

8 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Areitsltt im Fch Mthemtik Flächen zwischen Funktionsgrphen Aus einem Stück Schumgummi sollen Schulterpolster zugeschnitten werden. Die 1 Form der Polster läßt sich eschreien durch die Funktionen f mit f () x = x ; x IR und g 3 mit g() x = 1; x IR. Wieviel Schumgummi (Flächeneinheiten) enötigt mn für ein Polster ohne Berücksichtigung des Verschnitts? 1. Schnittstellen der Funktionen estimmen, setze f () x = g() x.. Intervllgrenzen und festlegen. 3. f () x g() x erechnen. 4. Ds estimmte Integrl erechnen.

9 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Them: Flächen unter Funktionsgrphen Gegeen ist der Grph der Funktion f mit: 1+ x, flls x < 0 f ( x) = x, flls x 0 1. Schrffieren Sie die Fläche, die vom Grphen der Funktion f, der x-achse und den Prllelen zur y-achse n den Stellen x 1 = und x = 1 egrenzt wird.. Berechnen Sie den Flächeninhlt des Flächenstückes. Intervllgrenzen festlegen: Funktionsgleichung einer Stmmfunktion F von f: Ds estimmte Integrl:

10 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Alufpln zum Lösen von Üungs- zw. Anwendungsufgen im Stoffgeiet Integrlrechnung 1. Erkennen der Aufgenstellung Gegeenes und Gesuchtes? Informtive Figur, Funktionsgrph!. Erfssen der Lge des mthemtischen Ojektes im Koordintensystem Ist ds Koordintensystem gegeen? j nein Bestimmen der Lge des Koordintensystems 3. Aufstellen der Funktionsgleichung Ist die Funktionsgleichung gegeen? j nein Funktionstyp/llgemeine Funktionsgleichung estimmen Rekonstruktion von Funktionen 4. Bestimmen der Integrtionsgrenzen Sind Integrtionsgrenzen gegeen? j nein Alesen us der informtiven Figur/us dem Grphen Berechnung der Nullstellen/Schnittstellen 5. Bestimmen des Integrtionsnstzes Fläche oerhl der x-achse Fläche unterhl der x-achse Fläche teilweise oerhl, teilweise unterhl der x-achse* Fläche von den Grphen zweier Funktionen** eingeschlossen w f(x)dx w f(x)dx w f(x)dx + w f(x)dx w (f(x)-g(x))dx c 6. Berechnung der Mßzhl 7. Ergenisdiskussion * ist ein Nullstelle im Intervll [;c] ** und sind enchrte Schnittstellen der Funktionen f und g

11 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Üungsklusur zur 3. Klusur im Fch Mthemtik (Le) Them: Integrlrechnung 1. Gegeen sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen: f ( x) = 3x ; x IR und 3 gx ( ) = 3x + 6x; x IR Bestimme den Inhlt A 1 der Fläche, die der Grph der Funktion g mit der x-achse einschließt. 1.. Bestimme die Schnittpunkte der Grphen der Funktionen f und g Skizziere die Grphen von f und g im Intervll [-;] Bestimme den Flächeninhlt A des von den Grphen von f und g eingeschlossenen Flächenstückes im Intervll [-;] Bestimme ds Verhältnis der Flächeninhlte A 1 und A.. Gegeen sind die Funktionen j und k mit: jx ( ) = x ; x IR k( x) = c ; x, c IR..1. Welche Zhl ist in c einzusetzen, dmit die Grphen der eiden Funktionen eine Fläche vom Inhlt 5FE einschließen?.. Berechne ds estimmte Integrl in Ahängigkeit vom Prmeter k (k>0): 3 k 1 x k dx o 4

12 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Vektorrechnung

13 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik 1. Krtesische Koordintensysteme: Them: Vektorrechnung z y P(4/3/4) x. Der Astnd zweier Punkte im Rum: P(p 1 /p /p 3 ) und Q(q 1 /q /q 3 ) seien elieige Punkte im Rum. Dnn gilt für ihren Astnd: PQ = ( p q ) ( p q ) + ( p q ) Vektoren ls Pfeilklssen: Eine Verschieung, die lle Punkte des Rumes (der Eene) in die gleiche Richtung um den gleichen Betrg verschiet, ezeichnet mn ls Vektor v. Ein Vektor v lässt sich ls Klsse von gleichgerichteten, gleichorientierten und gleichlngen Pfeilen uffssen. Vektoren werden in Spltenschreiweise drgestellt. 1 Rum: v = Eene: v = Nullvektoren/Einheitsvektoren: Als Nullvektor 0 ezeichnet mn denjenigen Vektor, der jeden Punkt des Rumes (der Eene) in sich selst verschiet. 0 0 Rum: 0 = 0 Eene: 0 = 0 0 Den Verschieungspfeilen des Nullvektors lässt sich wohl die Länge 0, er keine estimmte Richtung zuordnen. Ein Vektor, dessen Verschieungspfeile die Länge 1 esitzen, wird ls Einheitsvektor ezeichnet. 5. Der Betrg eines Vektors: Als Betrg v eines Vektors v ezeichnet mn die Länge der zugehörigen Verschieungspfeile.

14 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik v1 Rum: v = v, v = v1 + v + v v 3 v Eene: v =, v v v 1 = 1 + v 3 6. Die Summe zweier Vektoren: Führt mn die zwei Vektoren und entsprechenden Verschieungen hintereinnder us, so erhält mn eine Gesmtverschieung. Den Vektor, dem diese Verschieung zugeordnet ist, ezeichnet mn ls Summe + von und. Geometrisch nschulich knn + nch der geildeten Prllelogrmmregel konstruiert werden Die Differenz zweier Vektoren: Als Differenz zweier Vektoren und ezeichnet mn die Summe des Vektors und des Gegenvektors von : = + ( ). Geometrisch nschulich knn mn die Differenz nch der geildeten Prllelogrmmregel konstruieren Der Gegenvektor eines Vektors: Der Gegenvektor des Vektors wird mit - ezeichnet. Der Gegenvektor wird uch ls inverses Element ezeichnet. Schreiweise: :. 9. Rechnen mit Vektoren: Mit Vektoren knn mn lgerisch rechnen. Mn knn Vektoren ddieren, sutrhieren und mit einer reellen Zhl multiplizieren. Für Spltenvektoren gilt:

15 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik + = = 3 3 r r = r r 1 + = 3 1 = Rechengesetze für Vektoren: + = + ( + ) + c = + ( + c) rs ( ) = ( rs ) r ( + ) = r+ r ( r + s) = r + s 11.Linerkomintion von Vektoren: v = r r r n n wird ls Linerkomintion der Vektoren 1,,, n ezeichnet.

16 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Vektorrechnung 1 Gegeen sind die Vektoren: 1 = 4 = 5 c = Zeichne die Repräsentnten der Vektoren. 1. Berechne die Vektorterme +, + + c. 1.3 Berechne die Beträge der Vektoren,, c. 10 Gegeen sind die Vektoren = 6 und = Üerprüfe die eiden Vektoren uf Kollinerität. 3 Gegeen sind die Punkte P(1;;3) und Q( 456 ; ; ). 3.1 Bestimme die Gleichung der Gerden durch die Punkte P und Q. Üerprüfe, o der Punkt R(;3;4) uf der Gerden liegt. 4 Ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordintenursprung liegt ht den Rdius Liegt der Punkt N (;) 36 innerhl, uf oder ußerhl des Kreises? 5 Erläutere die Begriffe Tngente, Seknte und Pssnte nhnd einer Skizze. Welchen Anforderungen müssen jeweils die vektorielle Gerdengleichung zw. vektorielle Kreisgleichung erfüllen.

17 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik 1. Gegeen sind die Vektoren: Vektorrechnung 1 = 4 = 5 c = Zeichnen Sie die Repräsentnten der Vektoren. 1. Berechnen Sie die Vektorterme +, + + c. 1.3 Berechnen Sie die Beträge der Vektoren c,,.. Gegeen sind die Vektoren = und 10 6 = Üerprüfen Sie die eiden Vektoren uf Kollinerität. 3. Gegeen sind die Punkte P( 13 ; ;) und Q( 456 ; ; ). 3.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden durch die Punkte P und Q. Üerprüfen Sie, o der Punkt R( 34 ; ; ) uf der Gerden liegt. 4. Ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordintenursprung liegt ht den Rdius Liegt der Punkt N (;) 36 innerhl, uf oder ußerhl des Kreises? 5. Erläuteren Sie die Begriffe Tngente, Seknte und Pssnte nhnd einer Skizze. Welchen Anforderungen müssen jeweils die vektorielle Gerdengleichung zw. vektorielle Kreisgleichung erfüllen. 6. Gegeen ist die Gerde g mit: x = + t Üerprüfen Sie, o der Punkt A(;5) uf der Gerden liegt. 6. Üerprüfen Sie, o der Punkt B(-7;-5;8) uf der Gerden f: 3 5 x = t liegt Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden durch die Punkte P 1 (;;) 11 und P (;; 05 1). Durch Vertuschen der Punkte erhält mn eine ndere Gleichung. Klären Sie, o es sich hierei um diesele Gerde hndelt.

18 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik Prüfungsvorereitung

19 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik 1) Führen Sie für die Funktion f mit f(x) = x x eine Kurvendiskussion durch. Ermitteln Sie ) ds Verhlten des Grphen von f im Unendlichen, ) die Schnittpunkte mit den Koordintenchsen, c) die Extrempunkte und d) die Wende- zw. Sttelpunkte. e) Hndelt es sich um eine symmetrische Funktion? (Begründung) f) Zeichnen Sie den Grphen. ) Gegeen ist eine Funktion f mit f(x) = x 3 4x + 5x. Bestimmen Sie: ) ds Verhlten des Grphen von f im Unendlichen, ) die Nullstellen, c) die Extrem mit Minimum/Mximum-Entscheidung und d) die Wende- zw. Sttelpunkte. e) Erstellen Sie eine Skizze von dem Grphen ) Führen Sie die Kurvendiskussion der Funktion f mit f ( x) = x x durch Bestimmen Sie ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen, ) die Schnittpunkte mit der x- und y-achse, c) die Extrem und d) die Wende- zw. Sttelpunkte. e) Stellen Sie die ngegeene Funktion mit llen ermittelten Punkten grphisch dr. 4) Bestimmen Sie die gnzrtionle Funktion 3. Grdes, deren Grph im Punkt P(0 0) einen Extrempunkt ht und n der Wendestelle x w = 1 die Wendetngente y = x 1 / 3 nliegt. x + 8x + 7 5) Gegeen ist die gerochen rtionle Funktion f mit f ( x) = 1 x Ermitteln Sie ) ds Verhlten des Grphen der Funktion f im Unendlichen sowie die Asymptoten, ) die Koordinten der Nullstellen, c) die Polstellen, d) die Extrempunkte mit Minimum/Mximum-Entscheidung und e) den Definitions- und Werteereich. f) Fertigen Sie eine Skizze vom Grphen der Funktion f n. x 9 6) Für die Funktion f mit f ( x) = sind zu erechnen: x 1 ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen, sowie die Asymptoten, ) die Koordinten der Nullpunkte, c) die Pole, d) die Extrem (uf die. Aleitung wird verzichtet). e) Skizzieren Sie den Grphen der Funktion mit Asymptoten und Polstellen. 7) Der Grph einer Funktion 3.Ordnung ht seinen Wendepunkt in W(0 1) und im Punkt P( 3) eine horizontle Tngente. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

20 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik 8) In einem hlkreisförmigen Bogen mit einem Rdius von r = 4 m soll ein rechteckiges Fenster mit möglichst großer Fensterfläche eingesetzt werden. Bestimmen Sie die Breite x, die Höhe y und den mximlen Fensterflächeninhlt. 9) Für eine Neuusiedlung sollen Wsser-, Awsser- und Telekomschcht in einem Dreikmmerknl zusmmengefsst werden. Der Gesmtflächeninhlt des Querschnitts soll 4 m etrgen. Wie groß müssen die Länge und die Breite gewählt werden, dmit der Mterilverruch miniml ist? 10) Gesucht ist eine gnzrtionle Funktion, die ei x = 0 eine Nullstelle esitzt und ihr Grph im Wendepunkt W(4-4 / 3 ) den Anstieg m = 1 ht. x + x ) Für die gerochen rtionle Funktion f mit f ( x) = x 1 sind zu estimmen: ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen sowie die Asymptoten, ) die Koordinten der Nullstellen, c) die Polstellen und Lücken, d) die Extrempunkte und e) Wendepunkte. f) Skizzieren Sie die Funktion. 1) Ein Flugzeug wird durch die Schukrft F s = 4,8 kn in konstnter Flughöhe gerdlinig ngetrieen. Der Wind üt eine gleichleiende Krft F w = 3 kn in einem Winkel von etw 70 zur Flugrichtung us. ) Welche Krft wirkt insgesmt uf ds Flugzeug? ) Unter welchem Winkel zur gewünschten Flugroute muss Kurs gehlten werden, um n den Zielort zu gelngen? Lösen Sie die Aufge grphisch und rechnerisch (lgerisch).

21 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik 13) Welches gleichschenkliges Dreieck mit gegeenem Schenkel = 10 cm ht den größten Flächeninhlt (uf die Minimum/Mximum-Entscheidung wird verzichtet)? Fertigen Sie eine Skizze n. 14) Gegeen ist die Funktion f mit f (x) = x. Bestimmen Sie den Punkt P( f()) uf der Prel so, dss der Inhlt der gekennzeichneten Fläche A = 4 FE eträgt. 15) Von einer Rdrsttion werden zwei Flugzeuge geortet. Im rechtwinkligen räumlichen Koordintensystem {0;i;j;k}, in dessen Ursprung die Rdrsttion liegt, hen die Flugzeuge die Koordinten P 1 (10 4 1) und P ( ). Beide Flugzeuge fliegen uf den Punkt P 3 ( 8 5) zu (Ange der Koordinten in km). ) Berechnen Sie den Astnd der Flugzeuge voneinnder zum Zeitpunkt der Ortung. ) Berechnen Sie den Winkel, der von den eiden ls gerdlinig ngenommenen Flugkurven geildet wird. 16) Die Punkte A (1 0 ), B (6 0 ) und C (6 4 1) sind Punkte eines Dreiecks. Sie werden durch den Punkt D zu einem Rechteck ergänzt. Berechnen Sie: ) die Koordinten des Punktes D ) die Längen der Mittelsenkrechten des Rechtecks und c) den Mittelpunkt. d) Welche Form ht ds Rechteck? 17) Ein Trnsportcontiner ht die Mße,5 m x 1, m x 1,0 m. Bestimmen Sie unter Beiehltung des Volumens und der Länge l =,5 m die Mße für die Breite und Höhe h eines zweiten Continers. Für dessen Herstellung soll der Mterilverruch möglichst gering sein. x 1 18) Für die gerochen rtionle Funktion f mit f ( x) = werden gesucht: x + ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen sowie die Asymptoten, ) die Koordinten der Nullpunkte, c) die Pole und eventuelle Lücken, d) die Extrempunkte mit Minimum/Mximum-Entscheidung, e) die Wendepunkte (ohne 3. Aleitung) und f) der Definitions- und Werteereich. g) Ist die Funktion n der Stelle x = stetig? Antwort mit Begründung. h) Fertigen Sie eine Skizze des Grphen der Funktion f im Intervll I = [ 5;4] n. 19) Gegeen sind die im Bereich IR definierten Funktionsschren 1 1 f ( x) = x + 1 und g ( x) = x + mit 0 < < 1

22 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik ) Skizzieren Sie die zugehörigen Grphen der Funktionen f und g für = 0,5. ) Berechnen sie den von den Grphen zu f und g eingeschlossenen Flächeninhlt A() in Ahängigkeit von. c) Für welchen Wert von wird der Flächeninhlt A() mximl? 0) Eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 5. Grdes ht ei N 1 ( 10 0) und N ( 10 0) je eine Nullstelle und geht durch den Punkt P 1 (1 0.9). Die Wendetngente im Punkt P (0 0) ht den Anstieg m = 0. Betimmen Sie die Funktion. 1) Gegeen ist die Kurvenschr mit f (x) = x 3 + x mi t x IR und > 1. Der Grph der Funktion schließt mit der x-achse ein Flächenstück ein, ds von der Gerden x = 1 in zwei Teilflächen A 1 und A geteilt wird. Bestimmen Sie so, dss gilt: A 1 = A. ) In einem räumlichen Koordintensystem liegen die Gerden g 1 und g. g 1 : x 10 + y = 1 s 1 z 15 4 x 4 1 mit s IR g : + y = 0 t 0,5 mit t IR und IR z 9 ) Bestimmen Sie den Spurpunkt S der Gerden g 1 mit der xy-eene. ) Geen Sie eine Gleichung der Gerden h n, die durch den Spurpunkt S geht und prllel zur z-achse verläuft. c) Beschreien Sie die Lge der Gerden g für = 0. d) Bestimmen Sie so, dss die Gerden g 1 und g prllel zueinnder sind. e) Für welchen Wert von schneiden sich die Gerden g 1 und g im Punkt B (6 1/ 7 )? 3) Die Seite des drgestellten gleichschenkligen Trpezes ist 10 LE. ) Zeigen Sie, dss der mximle Flächeninhlt des Trpezes in Ahängigkeit von x x + 10 A( x) = x x ist. 4 ) Wie groß muss die Seite x des Trpezes gewählt werden, dmit der Flächeninhlt mximl wird? Hinweis: Auf A (x) knn verzichtet werden. 4) Bestimmen Sie für die Funktion f mit f (x) = x 3 x +18 x + 9 ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen, ) die Koordinten der Nullstellen, c) die Extrempunkte und d) die Wendepunkte. e) Skizzieren Sie die Funktion.

23 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik 5) Gesucht ist eine gnzrtionle Funktion 3. Grdes, deren Grph im Koordintenursprung eine Nullstelle und n der Stelle x E = 1 ein Extrem ht. Der Anstieg der Wendetngente n der Stelle x W = 1 ist m W = ) Für die gerochen rtionle Funktion f mit f ( x) = werden gesucht: x 1 ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen sowie die Asymptoten, ) die Koordinten der Nullstellen, c) die Pole und eventuelle Lücken, d) die Extrempunkte mit Minimum/Mximum-Entscheidung, e) die Wendepunkte und f) der Definitions- und Werteereich. g) Fertigen Sie eine Skizze des Grphen der Funktion f im Intervll I = [ 4;4] n. Hinweis: Erstellen Sie nur die Aleitungen, die enötigt werden. 7) Eine gnzrtionle Funktion f ist gegeen durch f (x) = x 3 x +. Ermitteln Sie: ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen ) die Nullstellen im Intervll I = [ 3;3] mit dem Newtonschen Näherungsverfhren mit einer Genuigkeit von f(x) 0,005. c) Die Extrem und d) die Wendepunkte zw. Sttelpunkte. e) Zeichnen Sie den Grph der Funktion f mit llen ermittelten Punkten. 8) In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A (1 1 ), B (3 0 ) und C ( 1 0) gegeen, sowie der Punkt D ( +1) mit IR ) Die Punkte A und B, sowie C und D legen jeweils eine Gerde fest. Ermitteln Sie die Gleichungen g und h dieser Gerden. ) Zeigen Sie, dss keine dieser Gerden h prllel zur Gerden g verläuft. c) Bestimmen Sie den Wert der Zhl so, dss die zugehörige Gerde h die Gerde g schneidet, und erechnen Sie für dieses ( IR) die Koordinten des Schnittpunktes von g und h. d) Geen Sie mit Hilfe Ihres ermittelten Wertes für die Gerdengleichung für h n. e) Ermitteln Sie den Schnittwinkel zwischen g und h. 9) Der Grph einer Funktion vierter Ordnung ht im Ursprung eine wgerechte Tngente und im Punkt W( ) einen Wendepunkt mit wgerechter Tngente. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion. 30) Im räumlichen Koordintensystem {0;i;j;k}sind die Punkte A ( 8 ) und B ( ) gegeen. ) Stellen Sie die Gerdengleichung für die Gerde g, die durch A und B geht, uf. ) Liegt der Punkt P o ( 8) uf der Gerden g? c) Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren A0 und OP 0! d) Die Gerde g durchstößt die yz-eene im Spurpunkt P yz und die xz-eene in P xz. Berechnen Sie die Koordinten der eiden Spurpunkte.

24 OSZ Kfz-Technik Berufsoerschule Mthemtik 31) Ein Grundstück ht einen rechteckigen Flächeninhlt von 300 m und wird n einer Stelle durch eine Muer gegrenzt. Bestimmen Sie die Seiten so, dss sein Umfng möglichst klein wird. x 8 3) Gegeen ist die Funktion f mit f ( x) = x 1 Ermitteln Sie ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen sowie die Asymptote, ) die Koordinten der Nullpunkte, c) die Polstellen, die Extrempunkte ohne Minimum/Mximum-Entscheidung, Skizze vom Grphen der Funktion f.