Formelsammlung für das berufliche Gymnasium Niedersachsen Mathematik

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1 Bohner Ott Deusch Formelsmmlung ür ds eruliche Gymnsium Niederschsen Mthemtik Merkur M Verlg Rinteln

2 irtschtswissenschtliche Bücherei ür Schule und Pris Begründet von Hndelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkp Die Versser: Kurt Bohner Lehrutrg Mthemtik m Berulichen Schulzentrum ngen (BS) Studium der Mthemtik und Physik n der Universität Konstnz Rolnd Ott Studium der Mthemtik n der Universität Tüingen Ronld Deusch Lehrutrg Mthemtik m BSZ Bietigheim-Bissingen Studium der Mthemtik n der Universität Tüingen Ds erk und seine Teile sind urheerrechtlich geschützt. Jede Nutzung in nderen ls den gesetzlich zugelssenen Fällen edr der vorherigen schritlichen Einwilligung des Verlges. Hinweis zu 5 UrhG: eder ds erk noch seine Teile düren ohne eine solche Einwilligung eingescnnt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt uch ür Intrnets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Umschlg: Kreis oen: Syd Productions - * * * * * * * * * *. Aulge 8 8 y MERKUR VERLAG RINTELN Gesmtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkp GmH & Co. KG, 75 Rinteln E-Mil: ino@merkur-verlg.de Internet: ISBN

3 Formelsmmlung zur Mthemtik Gnzrtionle Funktion höheren Grdes Gnzrtionle Funktionen (Polynomunktionen). Grdes (kuische Funktion): mit () = + + c + d;. Grdes: mit () = + + c + d + e; n-ten Grdes: mit () = n n + n n + n n ; n ; R. Grdes: ht höchstens drei Nullstellen Verlu vom III. in den I. Qudrnten vom II. in den IV. Qudrnten 5 () > 5 () <. Grdes: ht höchstens vier Nullstellen Verlu vom II. in den I. Qudrnten > () vom III. in den IV. Qudrnten () < Symmetrie zum Ursprung O: Symmetrie zur Ordintenchse: Bedingung: ( ) = () Bedingung: ( ) = () Grph einer gnzrtionlen Funktion. Grdes mit () = + c. Grdes mit () = + c + e nur ungerde Hochzhlen nur gerde Hochzhlen () ()

4 Formelsmmlung zur Mthemtik Polynomgleichung Polynomgleichung: n n + n n + n n = Gleichungstyp linere Gleichung qudrtische Gleichung ( ) Lösungsverhren + = ; ulösen nch + c = ulösen nch. urzel ziehen + p + q = pq-formel = p ± p ( ) q + = usklmmern Stz vom Nullprodukt + + c = ; c-formel = ± c Gleichung. Grdes ( ) + d = Aulösen nch. urzel ziehen + + c = + = Höchste gemeinsme Potenz von usklmmern Stz vom Nullprodukt Gleichung. Grdes ( ) + d = Aulösen nch. urzel ziehen + + c + d = + + c = + = Höchste gemeinsme Potenz von usklmmern Stz vom Nullprodukt + c + e = Sustitution = u u + c u + e = Aulösen nch u Rücksustitution ergit Polynomzerlegungsstz Ist Pn () ein Polynom vom Grd n und eine Lösung der Gleichung P ( ) =, dnn git es n ein Polynom P n vom Grd (n ), so dss gilt: P n () = ( ) P n (). ( ) heißt Linerktor.

5 Formelsmmlung zur Mthemtik Dierenzilrechnung Änderungsrte Durchschnittliche (mittlere) Änderungsrte Δy von u [; ]: Δ = () () (Dierenzenquotient; Steigung der Seknte; Steigung der Strecke PQ) Durchschnittliche (mittlere) Änderungsrte u [ ; + h]: Δy Δ = ( + h) ( ) h Momentne Änderungsrte: Grenzwert des Dierenzenquotienten Dierentilquotient ( ) = lim Δy Δ Δ = lim ( + h) ( ) h h oder ( ) = lim () ( ) y = P( ()) y P( ( )) Q( ()) Tngente = h Seknte y = () () Seknte y + h Aleitungsregel Funktion Aleitungsunktion Fktorregel () = k g() () = k g () Summenregel () = g() ± h() () = g () ± h () Potenzregel () = n () = n n Kettenregel () = g(u()) () = g (u()) u () Produktregel () = u() v() () = u () v() + u() v () Quotientenregel () = u() v() u() v () v() () = u () v () Spezielle () = e () = e Aleitungen () = e () = e () = e k + c () = k e k + c () = e () = e () = () = () = =,5 () =,5,5 = () = sin(k) () = k cos(k) () = cos(k) () = k sin(k) () = ln() () =

6 Formelsmmlung zur Mthemtik 5 Stetigkeit und Dierenzierrkeit Eine Funktion ist stetig u einem Deinitionsereich D, wenn mn ds Schuild ohne Asetzen durchzeichnen knn. Eine Funktion ist n einer Stelle D stetig, wenn lim () = ( ) ist stetig in ist nicht stetig in ist nicht stetig in () () 8 () Eine Funktion ist dierenzierr u einem Deinitionereich, wenn mn n ds Schuild von n jeder Stelle des Deinitionsereichs eine Tngente nlegen knn. Ds Schuild einer dierenzierren Funktion ht keinen Knick. Eine Funktion ist n einer Stelle dierenzierr, wenn ( ) = lim () ( ) eistiert. heißt dnn in = dierenzierr. ist dierenzierr in () 8 Näherungsverhren ist nicht dierenzierr in () Näherungsweise Lösung von Gleichungen mit dem Newtonverhren: Gleichung in Nullorm ringen: = Austellen der Funktion h: h() = Rekursionsormel: n + = n h( ) n h ( n ) ; n =,,,,... ; h ( ) n Anwendung der Rekursionsormel is die verlngte Genuigkeit erreicht ist. Hinweis: h muss u [; ] stetig und dierenzierr sein. Der Strtwert sollte nhe ei der vermuteten Nullstelle von h liegen.

7 Formelsmmlung zur Mthemtik Tngente und Normle Tngente n den Grphen von im Punkt P(u (u)): Tngentensteigung: (u) Tngentengleichung: y = (u) + oder y = (u) ( u) + (u) Normlengleichung: y = ( u) + (u) (u) () Tngente Normle P 5 Kurvenuntersuchung Monotonie Gilt ür lle I = (; ) (), so ist monoton wchsend, (), so ist monoton llend u I. () H T wchsend llend wchsend Etrempunkte Hochpunkt H( ( )) ( ) = ( ) < oder VZ von () von + nch in Tiepunkt T( ( )) ( ) = ( ) > oder VZ von () von nch + in Reltive und solute Etrem () Mögliche Miml-(Miniml-)stellen von mit Deinitionereich D() = [ ; ]: solutes Mimum Rndstellen, von D Stellen mit () = reltives Minimum reltives Mimum D solutes Minimum Rndwert

8 Formelsmmlung zur Mthemtik 7 Krümmung Der Grph von ist linksgekrümmt u I = (; ), wenn () > ür lle I. Der Grph von ist rechtsgekrümmt u I = (; ), wenn () < ür lle I. endepunkte endepunkt ( ( )) ( ) = ( ) oder VZ von () in Links-Rechts-endepunkt: ( ) = ( ) < () p N () p N Linkskrümmung Rechtskrümmung Linkskrümmung Rechtskrümmung Zuwchs m stärksten in Rückgng m geringsten in Rechts-Links-endepunkt: ( ) = ( ) > K() K () Rechtskrümmung Linkskrümmung Rechtskrümmung Linkskrümmung Zuwchs m geringsten in Rückgng m stärksten in endetngente: Tngente n den Grphen von im () endetngente endepunkt Sttelpunkt: endepunkt mit wgrechter Tngente

9 8 Formelsmmlung zur Mthemtik Integrlrechnung Stmmunktion: Eine Funktion F heißt Stmmunktion von u dem Intervll I, wenn u I gilt: F () = (). Unestimmtes Integrl: () d = F() + C; C R Menge ller Stmmunktionen von Grundintegrle: d = + C d = + C n d = n + n + + C (n ) ( )d = C e d = e + C e + d = e + + C; sin() d = cos() + C; cos() d = sin() + C d = ln + C Bestimmtes Integrl: Integrtionsregeln: Fktorregel: ()d = [ F()] = F() F() F ist eine Stmmunktion von (k ()) d = k ()d; k R Summenregel: c () d ± g() d = (() ± g()) d Änderung der Grenzen: () d = () d + () d Prtielle Integrtion () d = () d c u() v () d = u() v() u () v() d (Produktintegrtion) u () v() d = u() v() u() v () d Spezielle Aleitungen/Stmmunktionen mit C R () = k k () = k F() = k + k + + C; k () = e k () = k e k F() = k e k + C; k