Zusammengesetzte Ordnung mit h Ausscheideursachen, wobei die ( i) q (i= 1, 2,..., h) die abhängigen einjährigen Ausscheidewahrscheinlichkeiten sind.

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1 5. Die versicerungstecnisce eserve Zusaengesetzte Ordnung it Aussceideursacen, wobei die ( i) q (, 2,..., ) die abängigen einjärigen Aussceidewarsceinliceiten sind. ( i) p q einjärige Bestandsverbleibewarsceinliceit prospetive eserve V pro Betrag, der nac Jaren voranden sein uß, u die zuünftigen Leistungen unter Berücsictigung der zuünftigen Präien recnungsäßig leisten zu önnen. V + B B V B B (,,...) pro P pro P pro V v p + ( + L + P) B B V (individuelles Äquivalenzprinzip) P pro retrospetive eserve V (bei Anfangsapital K) retro ecnungsäßiges aldo von Einnaen und Ausgaben nac Jaren bei Anfangsapital K. retro r V K+ v p ( P L) (,,...) p retro : V K eingesetztes Kapital atz: r pro retro pro retro V V V V p Folgerung: r B B V V K (,,...) p P pro retro Beweis: retro retro v p V V + v p ( P L) Micael Frölic 4

2 retro V + v p ( P L ) v p P L retro pro V V v p v p+ ( P L) retro pro j V V v p v jp+ ( j+ P j+ L) j V V v p V retro pro pro also v p V V V V retro pro retro pro owol für die pro- als auc retrospetive eserve gilt + v + p + V V + v p ( P L) V + v p ( P L ) + v p P L v p V ( ) v p v p V v p V + v p P L + + Dait eralten wir die versicerungsateatisce Bilanzgleicung V + P L+ v p V ( ) + + Daraus ergibt sic unittelbar die Tielsce Gleicung ( i) V V i V + r ( P L ) + q V ( ) I Folgenden setzen wir ˆP f P ( ) it Präienzalungsfatoren f und jf >. Dann folgt aus de Äquivalenzprinzip P j B v p f j j j Dait gilt der folgende atz. j Micael Frölic 42

3 atz: (Cantelli) Für zwei Versicerungen V und V it identiscen Daten Eintrittsalter, Versicerungsdauer n, Anzal der Aussceideursacen und ecnungszins i sei f f (,,..., n ) (ii) V V und nv nv (iii) (iv) (v) q ( +η ) q (,,..., n ;, 2,..., ) + i + it geeigneten ηi (, 2,..., ) L L (,,..., n ) () () L L +η ( L v V ) (,,..., n ;, 2,..., ) i + Dann gilt: P P und V V (, 2,..., n ) Beweis: Nac der Tielscen Gleicung gilt für alle, 2,..., n ( i) r V V r P + (r L q V ) ( ) ( i) + V r P+ r L + q + (r L + V ) ( ) ( i) + V r P+ r L + q + (r( +ηi ) L ( + ηi ) + V + + V + V ) ( ) ( i) + V r P+ r L + q + (r L + V ) + q + ( + V + V ) V r P + (r L q V ) + q ( V V ) V r ˆ P + (r V V + r P ) + q ( V V ) Dait folgt r( V V ) ( q )( V V ) r( P ˆ P ) (,,..., n ) Mit : V V (,,..., n) und : P ˆ P (,,..., n ) lässt sic die obige Gleicung auf die For v p (,,..., n ) bringen. + + Wegen n ann diese Gleicung reursiv gelöst werden n j j j + j v p (,,..., n ). Micael Frölic 43

4 Wegen folgt n n j j j j + j j + j j v p (P P ) f v p (,,..., n ) also P P, d.. (,,..., n ) und dait (,,..., n) > pezialfall: ei it. Es gelte (, 2,..., ) (i,..., ) η i + Das bedeutet: q + (, 2,..., ) q + (,,..., n ) ( +,..., ) L (, 2,..., ) v + V (i +,..., ) L (,,..., n ) Wird als Leistung bei den Aussceidegründen +, + 2,..., die Zalung der a Ende des Aussceidejares vorandenen ücstellung zugesagt, so ann die Versicerung, was die Berecnung der Präie und der Decungsrücstellung anbelangt, durc eine Versicerung it Aussceidegründen ersetzt werden. Anwendung (iplizit definierte Leistungen): - bei Invalidität wird die eserve zu Ende des Wirtscaftsjares + V a Ende des Wirtscaftsjares geleistet - bei Tod wird die eserve zu Ende des Wirtscaftsjares + V a Ende des Wirtscaftsjares geleistet - bei Erreicen der Altersgrenze wird der Barwert B z einer zugesagten lebenslänglic laufenden ente gestellt L aa v i+ + V + v q+ + V für < n B z für n Dait gilt V + P v V,,..., n V B + n z reiner parvorgang! (siee atz von Cantelli) Micael Frölic 44

5 par- und isiopräien ( ) ( i) ( i) L L + q L + + P : v V V,,... parpräie P : P P,,... isiopräie (für alle Ursacen) v q V V P L + + P P v V V + P L v q V + + ( ) ( i) ( i) P L + q+ L v + V ( i : ) P ( i) ( i) P : q L v V,,... isiopräie nac der i-ten Ursace + + ( ) () P : L,,... isiopräie für das Verbleiben i Bestand (Jaresleistung) Wie aus der Lebensversicerungsateati beannt, gilt: V r V + r P,, V V P + d V,,... pezialfälle:. natürlice Präie P : L (,,... ) Dann gilt: V v p V (,,... ) also + + V V, P, P L,, Verrentung der eserve + L v V,,...,n ;,..., ( ) ( i) L L + q L + Micael Frölic ( ) ( ) L + q v V L + q v V

6 ( ) P L v q V L + + ( ) ( ) L P, P P,,...,n 3. Wartezeiten L P L v q V v q V P : P P P+ v q V > P falls V > P > P falls V > + Die eserve für fortfallende Verpflictungen wird von der Versicertengeeinscaft geerbt: 4. laufende enten () L L (järlic vorscüssig zalbare ente vo Jaresbetrag ) V ä + + [ ] [ ] P v V V v ä ä v (p+ + q + ) ä + + (+ v p+ ä + + ) [ ] + v q ä [ ] P L v q V v q ä P also P + P Pˆ und [ ] P (v V V ) v q ä also ( V v + V ) + v q+ ä + + Die Jaresrente setzt sic zusaen aus der Auflösung der eserve und de Vererbungsbetrag der wegfallenden Verpflictungen. Wegen ( ) P L und () ( i) ( i) L gilt: P q v V q v ä < d.. der Berectigte erbt seinen Anteil an wegfallenden Verpflictungen. Micael Frölic 46