Gleichverteilung modulo Eins im Zusammenhang mit den Lösungen der Gleichung ζ(s) = a

Transkript

1 Bayerische Julius-Maximilians-Universität Würzburg Gleichverteilung modulo Eins im Zusammenhang mit den Lösungen der Gleichung ζs) = a Masterarbeit von Katharina Schmid Betreuer: Prof. Dr. Jörn Steuding 7. März 5

2 Inhaltsverzeichnis Notation 3 Einführung 4. Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl Grundlegende Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion 8. Die Funktionalgleichung und die Nullstellen von ζs) Die Funktion s) Riemanns explizite Formeln a-stellen von ζs) Werteverteilung der Nullstellen von ζs) 5 3. Die Imaginärteile der Nullstellen sind gleichverteilt modulo Eins Allgemeine Verteilung der Nullstellen Verallgemeinerung von Landaus Satz 9 4. Landaus explizite Formel für a-stellen Folgerungen Die Dedekindsche Zetafunktion ζ K s) 6 5. Algebraische Grundlagen Zahlkörper und Ideale Charaktere und die Dirichlet L-Funktion Definition und grundlegende Eigenschaften von ζ K s) Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζ K s) und Dirichlet L- Funktionen Ausblick 35 Literaturverzeichnis 37

3 Notation Wir gebrauchen s als Standardvariable in der komplexen Ebene C und schreiben wie üblich s = σ + it mit Realteil σ und Imaginärteil t. Mit args) bezeichnen wir das Argument der Punkte in der komplexen Ebene. In den Kapiteln.) und 4.) verwenden wir die abkürzende Schreibweise e ξ) = e πiξ. Die Landau Symbole werden in folgender Weise verwendet. Seien fs) und gs) Funktionen, D f der Definitionsbereich von f, C eine Konstante und s, s D f. Dann ist fs) = Ogs)) oder fs) gs) : C> s s s fs) C gs). fs) = ogs)) : C> s s s fs) C gs). fs) = Ωgs)) oder fs) gs) : C> {sn} n N fs n ) C gs n ). 3

4 Einführung Aufbauend auf die im Jahr 9 von Landau [9] gezeigte Formel <γ<t x ρ = Λx) T π + Olog T ) wollen wir in dieser Arbeit die Theorie der Gleichverteilung modulo Eins auf die a-stellen der Riemannschen Zetafunktion anwenden. Zu Beginn fassen wir ausgehend von den Untersuchungen von H. Weyl [33] die wichtigsten Eigenschaften modulo gleichverteilter Folgen zusammen und in Kapitel sammeln wir die wichtigsten Hilfsmittel und Definitionen über die Riemannsche Zetafunktion. Anhand Landaus expliziter Formel zeigen wir in Kapitel 3, dass die Imaginärteile der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion gleichverteilt modulo Eins sind. Im darauf folgenden Kapitel befassen wir uns mit der von Steuding in [9] entwickelten Verallgemeinerung von Landaus Formel <γ a<t x ρa = )) T αx) xλ x π + O T /+ɛ). Es wird sich zeigen, dass sich der Fehlerterm hier verbessern lässt. Mit Hilfe der verallgemeinerten Formel beweisen wir analog zum Fall der Nullstellen, dass die Imaginärteile der a-stellen von ζs) gleichverteilt sind. Abschließend werden wir aufbauend auf einer Arbeit von Akbary und Murty [] diese Aussagen für Dirichlet-L-Funktionen und die Dedekindsche Zetafunktion zeigen.. Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl Sei x eine reelle Zahl. Dann lässt sich x schreiben als x = x + {x}, wobei x die größte ganze Zahl x ist und {x} der gebrochene Anteil. Eine Folge x n ) reeller Zahlen heißt gleichverteilt modulo, wenn lim N N # { n N : {x n} [α, β)} = β α für alle α, β mit α < β. Das heißt die Proportion der gebrochenen Anteile der Folgenglieder x n in einem beliebigen Intervall entspricht der Länge des Intervalls. Offensichtlich genügt es nur Intervalle der Form [, β) mit geeignetem β, ) zu betrachten. 4

5 .. Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl Diese Definition von Gleichverteilung lässt sich oft nur schwer nachweisen. Wir führen zwei Charakterisierungen für modulo gleichverteile Folgen ein, die auf H. Weyl [33] zurück gehen. Satz.. Eine Folge x n ) reeller Zahlen ist genau dann gleichverteilt modulo, wenn für alle Riemann integrierbaren Funktionen f : [, ] C gilt: lim N N Beweis. Ein Beweis findet sich in [4],. N f {x n }) = fx)dx..) n= Satz.. Weyl Kriterium) Eine Folge x n ) reeller Zahlen ist genau dann gleichverteilt modulo, wenn für jede ganze Zahl m gilt: lim N N N e mx n ) =.) n= Beweis. Sei x n ) gleichverteilt modulo. Mit Satz. folgt für fx) = emx) lim N N N e mx n ) = emx)dx = n= für alle m Z. Für die andere Richtung gelte nun.) für alle m, m Z. Sei P x) = M m= M ein trigonometrisches Polynom. Dann ist N +M lim P {x n }) = N n= m=m a m emx), mit a m C = a = a m lim N N N e mx n ) n= P x)dx..3) Nach dem Approximationssatz von Weierstrass vgl.[7], 7) existiert nun für jedes Riemann integrierbare f und jedes ɛ > ein trigonometrisches Polynom P x) mit N f {x n }) fx)dx N n= N f {x n }) P {x n })) N + N P {x n }) P x)dx n= N + P x) fx)) dx n= N < ɛ + P {x n }) P x)dx N n= 5

6 .. Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl für hinreichend große N N. Wegen.3) ist auch der letzte Term kleiner als ɛ für alle genügend großen N. Also gilt.) für alle stetigen, -periodischen Funktionen f. Zu α, β [, ) sei für α x < β χ [α,β) x) := sonst die Indikatorfunktion des Intervalls [α, β). Dann gibt es zu jedem ɛ > Funktionen f, f + mit Periode, für die f x) χ [α,β) x) f + x) für alle x < gilt, sowie Daraus folgt f + x) f x)) dx < ɛ. und N f + x)dx ɛ < f x)dx χ [α,β) x)dx N χ [α,β) {x n }) χ [α,β) x)dx N f + {x n }) f + x)dx + ɛ n= N n= < ɛ für genügend große N. Analog erhält man die untere Schranke Also gilt N N χ [α,β) {x n }) χ [α,β) x)dx > ɛ. n= lim N N N χ [α,β) {x n }) = χ [α,β) x)dx. n= Betrachtet man nun spezielle Folgen der Form nα) mit einer beliebigen reellen Zahl α, so erhält man eine wichtige Anwendung von Satz.: Ist α irrational, dann ist emnα) für jedes ganzzahlige m und mit der geometrischen Summenformel erhält man N lim e mnα) N N = lim emnα) e mα) N n= N emα) lim N emα), 6

7 .. Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl also gilt.). Ist α hingegen rational, also α = a für gewisse a, b Z, b. Dann ist der Grenzwert b ungleich Null für alle ganzzahligen Vielfachen m von b. 7

8 Grundlegende Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion. Die Funktionalgleichung und die Nullstellen von ζs) Definition.. Für σ > ist ζs) definiert als eine Dirichletreihe der Form ζs) = Mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung erhält man eine äquivalente Darstellung von ζs) als Eulerprodukt ζs) = p n= n s. p s )..) Dabei durchläuft p alle Primzahlen. Sowohl die Dirichletreihe als auch das Eulerprodukt konvergieren absolut für alle s C. Riemann [7] war wohl der Erste, der ζs) als komplexe Funktion untersucht hat und zeigte Satz.. Funktionalgleichung) Die Zetafunktion ζs) lässt sich auf C \ {} holomorph fortsetzen mit einem einfachen Pol bei s = und es gilt ζs) = s)ζ s),.) mit Γs) := Γ ) s s) = π s Γ ). s u z exp u)du ist dabei die Gammafunktion. Beweis. Substitution von u = πn x in Γz) = u z exp u)du Re z > ) 8

9 .. Die Funktionalgleichung und die Nullstellen von ζs) und Summation über alle n N liefert s Γ π ) s ζs) = x s exp πn x ) dx. n= Sei s = σ + it, dann rechtfertigt die Konvergenz von x σ exp πn x ) dx n= das Vertauschen von Integral und Summation und man erhält s Γ π ) s ζs) = x s ωx)dx = x s ωx)dx + x s ωx)dx, mit ωx) := θx) ) und der Thetafunktion θx) := n= exp πn x). Für die Thetafunktion gilt die Funktionalgleichung θ = x) xθx), ein Beweis findet sich in [7]. Zusammen mit der Substitution x x s Γ π ) s ζs) = ss ) + erhält man x s+ + x s ) ωx)dx..3) Man sieht sofort ωx) = O e πx ), also konvergiert das Integral und.3) gilt für alle s C. Außerdem bleibt die rechte Seite unter der Abbildung s s unverändert. Die Funktionalgleichung liefert wesentliche Aussagen über das analytische Verhalten der Zetafunktion. So ist ζs) für σ >, da das Eulerprodukt.) dort nicht verschwindet. Γ ) s hat genau bei den Punkten s = n mit n N Polstellen. Die rechte Seite von.3) ist an diesen Stellen holomorph, also muss die Zetafunktion dort Nullstellen haben. Wir bezeichnen diese als triviale Nullstellen. Im sogenannten kritischen Streifen σ besitzt ζs) unendlich viele weitere Nullstellen, diese nennen wir nicht-triviale Nullstellen und bezeichnen sie mit ρ = β + iγ. Sei NT ) die Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen ρ = β +iγ mit < γ < unter Berücksichtigung ihrer jeweiligen Vielfachheiten. Riemann vermutete den Zusammenhang NT ) = T π log T + Olog T ),.4) πe welcher später von von Mangoldt gezeigt wurde. Ein Beweis findet sich in [4]. Wegen der Funktionalgleichung.) und der Symmetrie ζ s) = ζs) liegen die nicht-trivialen Nullstellen symmetrisch zur reellen Achse und zur kritischen Geraden Re s =. Nach Riemanns Vermutung liegen alle nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden: 9

10 .. Die Funktion s) Riemannsche Vermutung RH): ζs) für Re s >.. Die Funktion s) Wir wollen nun ein paar grundlegende Informationen über den Faktor s) aus der Funktionalgleichung.) angeben, welche wir später benötigen werden. Sämtliche benötigten Resultate über die Gammafunktion finden sich in [3] und [5]. Aus der Funktionalgleichung ζs) = s)ζ s) folgt durch logarithmisches Ableiten ζ ζ s) = ζ s) s)..5) ζ Weiter erhält man aus der Definition von s) sofort s) s) =. Mit Legendres Verdoppelungsformel Γs)Γ s + ) = s πγs) und der Eulerschen Reflexionsformel ergibt sich die Darstellung Γs)Γ s) = s) = s π s sin π sinπs) Weiter gilt Γ Γ s) = log s + O s ) für arg s) π δ mit δ >. Damit erhalten wir mit s = σ+it ) πs Γ s)..6) ) t s) = log π + O,.7) t für t und σ beschränkt. Der folgende Satz gibt das Wachstumsverhalten der Zetafunktion außerhalb des kritischen Streifens an. Satz.3. Sei ɛ >. Dann gilt ζσ + it) t µσ)+ɛ, mit für σ >, µσ) = σ für σ <.

11 .3. Riemanns explizite Formeln Beweis. Für σ = Res > gilt die Aussage wegen ζs) = O). Im Fall σ < erhalten wir aus.6) und der Stirlingschen Formel dass bzw. log Γσ + it) = s) = σ + it ) logσ + it) σ + it) + ) logπ + O, t ) t σ π exp i π 4 tlog t )) )) + O πe t s) = ) t σ )) + O..8) π t Wegen ζ s) = O) für ein festes σ < und ζs) = s)ζ s) folgt dann ζσ + it) = O t σ+ɛ). Die Funktion µσ) = inf { ξ R ζσ + it) = O t ξ)} ist eine Funktion in σ. Des Weiteren ist µσ) konvex siehe [3], 9.4) und daher auch stetig. Damit gilt Satz.3 auch für σ = bzw. σ =..3 Riemanns explizite Formeln Riemann vermutete auch ) s s ss )π Γ ζs) = e A+Bs ρ ) s e s,.9) ρ mit geeigneten Konstanten A und B. Dies wurde später von Hadamard gezeigt. Ein Beweis findet sich in [5]. Hierbei geht das Produkt auf der rechten Seite über alle nicht-trivialen Nullstellen ρ. Mit dem Eulerprodukt.) und dem Hadamardprodukt.9) sieht man den Zusammenhang zwischen den Primzahlen und den Nullstellen der Zetafunktion in aller Deutlichkeit. Diese Beziehung führt zu Riemanns expliziter Formel πx) + n= π ) n n = lix) + x ρ=β+iγ, γ> li x ρ ) + li x p)) du uu )log u log

12 .3. Riemanns explizite Formeln mit dem Integrallogarithmus li x β+iγ) = β+iγ)logx +iγ)logx e z z + δiγ dz, + für γ > wobei δ = sonst vgl. [5]). Aus technischen Gründen arbeiten wir mit der logarithmischen Ableitung der Zetafunktion, welche für Res > gegeben ist durch ζ s) ζs) = mit der von Mangoldtschen Λ-Funktion log p für n = p k mit k N, Λn) = sonst. n= Λn) n s,.) Weiter ist für uns die summatorische Funktion der von Mangoldt-Funktion ψx) := Λn) = log p + O x /) n x p x von Interesse. Mit ihr ergeben sich wichtige Informationen bezüglich der Primzahlfunktion πx), denn es ergibt sich der Zusammenhang πx) ψx) log x für x. Mit dieser asymptotischen Formel lässt sich zeigen, dass der Primzahlsatz äquivalent ist zu ψx) lim x x =. Beide Resultate finden sich in [9]. Wir benötigen noch Lemma.4. Perronsche Formel) Seien x, y, T R > und für < y <, δy) := für y =, für y >. Ferner sei Dann gilt I y, T ) = πi c+it c it y s ds s.

13 .4. a-stellen von ζs) y c min, T log y ) für y, I y, T ) δy) < ct für y =. Beweis. Ein Beweis findet sich in [3],. Aus der Perronschen Formel ergibt sich bei festem c, y für T der Spezialfall angewandt auf ζ s) liefert dies ζ πi c+i c i ψx) = πi y s ds = δy) s c+i c i ζ s) ζs) x s s ds. Verschiebt man nun den Integrationspfad nach links, so entspricht das Integral der Summe der entsprechenden Residuen. Daraus ergibt sich die exakte explizite Formel ψx) = x ρ für alle x / Z. Ein Beweis hierzu findet sich in [3]. x ρ ρ log x ) ζ ζ ),.4 a-stellen von ζs) Landau [] beschäftigte sich mit der Frage, wann die Zetafunktion einen bestimmten Wert a annimmt, also mit Lösungen der Gleichung ζs) = a, mit a C. Wir nennen diese Lösungen a-stellen und schreiben dafür ρ a = β a + iγ a. Für genügend große n N existiert eine a-stelle in der Nähe von jeder trivialen Nullstelle s = n. Wir bezeichnen die a-stellen in der Halbebene Re s als triviale a-stellen und alle anderen a-stellen als nicht-triviale a-stellen. Es lässt sich zeigen, dass die trivialen a-stellen nicht gleichverteilt modulo Eins sind, da sie zu nahe an den trivialen Nullstellen n liegen. Analog zum Fall a = erhielt Landau eine zur Riemann-von Mangoldt Formel.4) äquivalente Darstellung für die Anzahl N a T ) von nicht-trivialen a-stellen mit Imaginärteil γ a, T ] N a T ) = T π log T + Olog T ),.) πec a 3

14 .4. a-stellen von ζs) für T, mit c a = für a und c =. Man sieht sofort, dass der Hauptterm unabhängig von a ist. Levinson [] wies nach, dass für alle bis auf ON a T )/loglog T ) viele a-stellen mit Imaginärteil γ a T, T ] β a < loglog T ) log T gilt. Folglich liegen fast alle a-stellen beliebig nah an der kritischen Gerade. Unter der Annahme der RH war diese Tatsache bereits Landau[] bekannt. Die logarithmische Ableitung hat für σ, mit T > die Partialbruchzerlegung ζ s) ζs) a = T γ a s ρ a + Olog T ),.) mit s = σ + it vgl.[8]). Hierbei geht die Summation über alle a-stellen ρ a = β a + iγ a mit T γ a. 4

15 3 Werteverteilung der Nullstellen von ζs) 3. Die Imaginärteile der Nullstellen sind gleichverteilt modulo Eins Die trivialen Nullstellen von ζs) sind ganze Zahlen und als solche nicht gleichverteilt modulo Eins. Jedoch lässt sich zeigen, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen gleichverteilt modulo Eins sind. Allgemeiner bewies Hlawka [] Satz 3.. Sei α eine reelle Zahl. Dann ist die Folge αγ) wobei γ die positiven Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen von ζs) durchläuft, gleichverteilt modulo Eins. Beweis. Im Folgenden seien die auftretenden Konstanten abhängig von x. Wir verwenden ein Resultat von Landau [9], welcher für x > zeigte <γ<t x ρ = Λx) T π + Olog T ). 3.) Die Summe auf der linken Seite geht hierbei über alle nicht-trivialen Nullstellen ρ = β +iγ. Wir geben später einen Beweis einer allgemeineren Aussage von 3.) an. Für x, ) gilt ρ ρ = x x) ρ x) x ρ = ρ ρ ) ) T = x Λ + Olog T ). x π Also kann man Λx) im Fall x, ) durch xλ ) ersetzen. Sei nun x >. Es folgt mit x der Riemann-von Mangoldt Formel.4) und 3.) NT ) <γ<t x ρ = Λx) T + Olog T ) π T log ) T π π T + Olog T ) log T. 3.) π 5

16 3.. Die Imaginärteile der Nullstellen sind gleichverteilt modulo Eins Wir wollen die Annahme der RH vermeiden. Hierfür beachte man für x > und β [, ] die Abschätzung x /+iγ x β+iγ ) ) x β exp β log x Daraus folgt NT ) <γ<t x β log x β. x /+iγ x β+iγ x β log x NT ) x log x NT ) β <γ<t β. 3.3) <γ<t Bezeichnet Nσ, T ) die Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen ρ = β + iγ mit β > σ und < γ T, also Nσ, T ) =. <γ T, β>σ Dann ist Nσ, T ) eine nicht-wachsende Funktion in σ und β = β dσ = Nσ, T )dσ. <γ T <γ T, β>/ / Es sind mehrere Resultate für Summen über Terme der Form β bekannt, u.a. zeigte Littlewood β T loglog T ; 3.4) <γ T ein Beweis findet sich in [3]. Eingesetzt in 3.3) ergibt dies mit der Riemann-von Mangoldt Formel.4) x /+iγ x β+iγ) NT ) NT ) β loglog T log T. <γ T Also erhalten wir mit 3.) NT ) <γ T / <γ T x /+iγ loglog T log T. Setze nun x = z m, mit < z R und m Z, so folgt NT ) <γ T z iγm = NT ) <γ T expimγ log z) loglog T log T für T. 6

17 3.. Allgemeine Verteilung der Nullstellen Mit dem Weyl Kriterium Satz.) folgt nun, dass die Folge γ log z gleichverteilt π modulo Eins ist. 3. Allgemeine Verteilung der Nullstellen Seit Langem besteht die Vermutung, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen linear unabhängig über Q sind. Ingham [] beobachtete eine Auswirkung dieser Vermutung auf die Möbiussche µ-funktion ) k n quadratfrei, k Anzahl der Primfaktoren µn) := sonst und die Funktion Mx) := n x µn). Man kann leicht zeigen, dass µn) multiplikativ ist und sich mit Hilfe der Riemannschen Zetafunktion ausdrücken lässt ζs) = p ) = µn)n s Re s > ). p s n= Ingham wies nach, dass falls die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen linear unabhängig über Q sind, dann gilt ) ) lim sup Mx)x = + und lim inf x x Mx)x = vgl. []). Wegen µn) {, ±} lässt sich Mx) als Zufallsweg in Z interpretieren. Die Folgenden Überlegungen gehen auf Denjoy [6] zurück: Sei {X n } eine Folge von Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung PX n = +) = PX n = ) =. Definiere n S := und S n := X j, dann ist {S n } ein Zufallsweg in Z mit Anfangspunkt. Eine Anwendung des Satzes von Moivre-Laplace vgl. [8]) liefert π lim P{ S n < cn n } = c c j= exp x Die rechte Seite der obigen Gleichung geht gegen für c, also erhalten wir lim P{ S n n +ɛ } = n für alle ɛ >. Damit lässt sich die obige Gleichung als Modell der Werteverteilung der µ-funktion betrachten. Mit dem Gesetz des iterierten Logarithmus vgl.[6]) lässt sich sogar die bessere Abschätzung lim P{ S n n loglog n) } = n ) dx. 7

18 3.. Allgemeine Verteilung der Nullstellen zeigen, womit die obere Grenze x loglog x) von Mx) angedeutet wird. Diese Abschätzung kommt der sogenannten schwachen Vermutung von Mertens X ) Mx) dx log X x sehr nahe. Man beachte, dass diese Schranke die RH und die Einfachheit der Nullstellen impliziert. Die ursprüngliche Mertens-Vermutung wurde widerlegt durch den Nachweis von Mx) < x x > ) lim inf x Mx) x <.9 und lim sup x Mx) x >.6 vgl. [6]). 8

19 4 Verallgemeinerung von Landaus Satz 4. Landaus explizite Formel für a-stellen Wir wollen nun Landaus Satz 3. für beliebige a-stellen beweisen. Hierfür benötigen wir noch Lemma 4.. Seien σ und t. Dann ist Beweis. Es gilt ζσ + it) t/ σ log t. ζ σ it) log t vgl. [3], 3). Zusammen mit der Funktionalgleichung und.8) liefert dies Daraus folgt ζσ + it) = σ + it) ζ σ it) ) t σ / )) + O log t. π t ζσ + it) log t t / σ. Der folgende Satz gibt eine explizite Formel für a-stellen anstelle von Nullstellen. Die hier auftretenden Konstanten dürfen wie im Beweis von Satz 3. von x abhängen. Die Aussage findet sich auch in [9], jedoch mit einem Fehlerterm T /. Wir geben hier eine Verbesserung des Fehlerterms an. Satz 4.. Sei x positiv und reell. Dann gilt für T <γ a<t x ρa = )) T αx) xλ x π + O log T ) ), 4.) hierbei entsprechen αx) und Λx) den Koeffizienten der Dirichletreihen aus 4.) bzw..) für x = n oder x = mit n Z, ansonsten sind sie gleich Null. n 9

20 4.. Landaus explizite Formel für a-stellen Beweis. Sei a, der Fall a = soll später behandelt werden. Die Funktion ζs) a lässt sich für genügend große Re s als konvergente Dirichletreihe schreiben. Wir nehmen an, dass σ := Re s > und schätzen ab: damit erhalten wir ζs) n n σ < u σ du = σ ; ζs) a für σ > + a. Also existiert eine Halbebene Re s > B, welche frei von a-stellen ist. Landau [] wies nach, dass mit ζs) a auch ζs) a) eine konvergente Dirichletreihe in derselben Halbebene besitzt. Für die Ableitung der Zetafunktion gilt ζ s) = n= log n n s. Multiplikation mit der Dirichletreihe von ζs) a) liefert ζ s) ζs) a = n αn) n s, 4.) mit einer geeigneten Koeffizientenfolge αn). Im Fall a = gilt αn) = Λn) und wir erhalten Gleichung.) für die logarithmische Ableitung. Für gewöhnliche Dirlichletreihen lässt sich mit Abelscher Teilsummation zeigen, dass sich die Konvergenzabszisse und die absolute Konvergenzabszisse höchstens um unterscheiden. Damit ist die Konvergenzabszisse der Dirichletreihe in 4.) kleiner oder gleich B := +. a Wegen.) ist N a T + ) N a T ) = Olog T ). Daher lässt sich für jedes T nun ein T [T, T + ) finden, sodass min ρ a T γ a log T. Sei t positiv und reell. Setzt man b := + logt ), dann liegen für T t nur endlich viele nicht-triviale a-stellen links von der Geraden Res = b. Die Funktion einen einfachen Pol an jeder a-stelle, dessen Residuum gleich der Ordnung der a-stelle ist. Mit dem Residuensatz folgt <γ a<t x ρa = πi R x s ζ s) ds + O), ζs) a ζ s) ζs) a hat wobei R das gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Rechteck mit den Eckpunkten B + i, B + it, b + it, b + i ist. Der Fehlerterm entsteht durch die höchstens endlich vielen nicht-trivialen a-stellen mit Imaginärteil < T und Realteil > b. Wir erhalten R x s ζ s) ζs) a ds = B+iT B+i + b)+it B+iT + b)+i b)+it + B+i xs b)+i ζ s) 4 ζs) a ds =: I j. j=

21 Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von 4.. Landaus explizite Formel für a-stellen n Integration und Summation erlaubt und wir erhalten I = B+iT B+i x s = iαx)t + O). ζ s) ζs) a ds = αn) n B+iT B+i αn)n s auf R ist das Vertauschen von x n) s ds = n T αn)i x n ) B+it dt Hierbei entspricht αx) dem Koeffizienten αn) der Dirichletreihe von 4.) im Falle x = n und null sonst. Nun betrachten wir das horizontale Integral I. Aus der Riemann-von Mangoldt Formel.) folgt, dass die Anzahl der Summanden der Partialbruchzerlegung.) beschränkt ist durch log T. Weiter gilt für jeden Summanden s ρ a Ims ρ a ) = T γ a log T, also erhalten wir ζ s) log T ) auf s = σ + it, σ [ b, B], und es folgt ζs) a B I = x σ+it ζ σ + it ) ζσ + it ) a dσ log T ). log)) Nun schätzen wir das Integral längs der Geraden Res = b ab, dazu teilen wir die Integrationsgrenzen auf: I 3 = b)+it o b)+i x s b)+it ζ s) ζs) a ds x s ζ s) ζs) a ds b)+it b)+it = O) x s ζ s) ζs) a ds. b)+it Steuding [9] erhielt hier mit Lemma 4. einen Fehlerterm T. Wir werden sehen, dass sich dieser noch verbessern lässt. Mit dem Cauchyschen Integralsatz lässt sich der Integrationsweg umlegen, wie in Abbildung 4. dargestellt. Es liegen keine Residuen im Inneren oder auf dem Rand des Rechtecks mit den Eckpunkten b + it, + it, + it, b + it, da die Zetafunktion dort keine a-stellen besitzt und sich deshalb sämtliche Residuen von x s ζ s) außerhalb des Rechtecks befinden. Damit gilt ζs) a b)+it b)+it x s ζ s) ζs) a ds = +it b)+it x s ζ s) ζs) a ds +it b)+it + x s ζ s) ζs) a ds + x s ζ s) ζs) a ds. +it +it } {{ } =: J +J

22 4.. Landaus explizite Formel für a-stellen Im it it b Re Abbildung 4.: neuer Integrationsweg Wir beginnen mit dem zweiten horizontalen Integral. Hier ergibt sich analog zu I J = b)+it +it x s ζ s) ζs) a ds = logt ) x σ+it ζ σ + it ) ζσ + it ) a dσ log T ). Wegen Lemma 4. existiert ein t, sodass a < für s = + it für alle t t ζs). Damit lässt sich die logarithmische Ableitung in eine geometrische Reihe entwickeln und wir erhalten +it ζ s) ζs) a = ζ ζ s) a ζs) J = x s ζ s) ζs) a ds = +it =: l + l. +it = ζ +it x s ζ ζ s)ds + ζ s) + k Für das erste Integral gilt wegen.5),.7) und.) l = T = i t +it +it x s x +it = ix n= ζ n= ζ ) s) s) ds = Λn) dt i n it T Λn)n T t t xn) it dt ix +it +it x s ζ ζ +it +it x s ζ x +it log t π + O t )) dt T t a ζs) ) k ζ s) k s)ds + x it log t ) π + Ot ) dt. ) k a ds ζs) +it +it x s s)ds

23 4.. Folgerungen Der erste Summand ist gleich ixλ ) x T + O) und mittels Partieller Integration ist der zweite Summand beschränkt durch log T ). Also ist l = ixλ + log T. x) Lemma 4. liefert für das zweite Integral die Abschätzung l = +it +it x s ζ ζ s) k T / log T ). ) k a ds T log T ) ) k log T ζs) k T 3/ Das noch fehlende horizontale Integral ist unabhängig von T, also I 4 = O). Wir erhalten somit )) T x ρa = αx) xλ x π + O log T ) ). <γ a<t Damit ist Satz 4. gezeigt für a. Für a = betrachte man fs) := s ζs) ). Aus der Dirichletreihe n) s s ζs) ) = + n 3 folgt fs) in einer rechten Halbebene. Dann gilt für die logarithmische Ableitung f s) = log + ζ s) f ζs). Integration dieser logarithmischen Ableitung über das entsprechende Rechteck R zeigt dann Gleichung 4.) für a =. Landau [9] erhielt in seiner expliziten Formel einen Fehlerterm log T. In unserem Beweis entstehen die Fehlerterme, die größer als log T sind aus den Integralen I und J. Eine interessante Fragestellung wäre, ob man diese noch weiter verbessern kann und sich somit ein Fehler in derselben Größenordnung wie in Landaus Formel 3.) erzielen ließe. 4. Folgerungen Mit Hilfe von Satz 4. können wir nun auch Satz 3. für allgemeine a-stellen angeben. 3

24 4.. Folgerungen Satz 4.3. Bezeichne γ a die Imaginärteile der a-stellen von ζs). Dann ist für jede komplexe Zahl a und jedes reelle α die Folge der Zahlen αγ a gleichverteilt modulo Eins. Beweis. Wir erinnern uns an einen Satz von Levinson aus Kapitel.4. Demnach liegen alle bis auf ON a T )/loglog T ) der a-stellen ρ a = β a + iγ a mit Imaginärteil γ a T, T ) im Streifen loglog T ) log T < β a < loglog T ) +. log T Sei δt ) = loglog T ) /log T. Genauer zeigte Levinson [] dann, dass die Anzahl der a-stellen mit β a > δt ) und T < γ a < T beschränkt ist durch T log T. Dies liefert loglog T β a = β a + β a + β a T <γ a<t Wir erhalten Wegen gilt für x T <γ a<t, β a >δ β a δ T log T loglog T + T loglog T ). β a T log T <γ a<t loglog T = on at )). expy) = y expt)dt y max{, expy)} T <γ a<t, β a < δ x /+iγa x βa+iγa x β a exp β a)log x) β a max{xβa, x / } log x. Sei nun B die obere Schranke der Realteile der a-stellen. Dann erhalten wir mit X = max{x B, } logx X x /+iγa x βa+iγa N a T ) N a T ) β a X loglog T. Mit Satz 4. folgt also ergibt sich <γ a T N a T ) <γ a T <γ a T x βa+iγa T, Sei x = z m, mit z R und m N, dann folgt lim T N a T ) <γ a T <γ a T x /+iγa loglog T. expimγ a log z) =. Mit dem Weyl Kriterium, Satz. ist die Folge π γ alog z gleichverteilt modulo Eins. 4

25 4.. Folgerungen Wir geben nun zwei Anwendungen von Satz 4.3 an. Sie werden sich bei der Untersuchung von Dedekindschen Zetafunktionen auf Gleichverteilung als hilfreich erweisen. Korollar 4.4. Seien a := a n ) n und b := b k ) k zwei monoton wachsende Folgen reeller Zahlen und a b := a n, b k ) n,k deren Vereinigung. Die Folge a n, b k ) n,k sei entsprechend der Absolutbeträge ihrer Elemente geordnet. Sind a und b gleichverteilt modulo Eins, so ist auch a b gleichverteilt modulo Eins. Beweis. Für x > bezeichne N a b x) die Anzahl der Elemente aus a b mit a n, b k ) x. Dann ist N a b x) = N a x) + N b x) und es gilt N a b x) e m a n, b k )) = e ma n ) + e mb k ) a n,b k ) x N a x) + N b x) a n x b k x e ma n ) N a x) + e mb k ) a n x N b x). b k x Die Aussage folgt nun mit dem Weyl Kriterium, Satz.. Korollar 4.5. Seien M N, α,..., α M beliebige positive reelle Zahlen und a,.., a M beliebige komplexe Zahlen. Dann ist die Folge m M α m γ am ) = {α γ a,..., α M γ am } gleichvertelit modulo Eins. Insbesondere sind für ein nicht-konstantes Polynom P mit komplexen Koeffizienten die Imaginärteile der Nullstellen von P ζs)) gleichverteilt modulo Eins. Beweis. Der Erste Teil der Aussage folgt sofort aus Satz 4.3 und Korollar 4.4. Für den Zweiten Teil betrachtet man die Faktoriesierung M P ζs)) = ζs) a j ). j= Mit dem Fundamentalsatz der Algebra und Satz 4.3 folgt die Gleichverteilung der Imaginärteile der a j -Stellen von ζs), damit gilt auch die Anwendung auf P ζs)). 5

26 5 Die Dedekindsche Zetafunktion ζ K s) Wir wollen nun die gewonnen Resultate aus den vorherigen Kapiteln auf allgemeine Zahlkörper K ausweiten. Wir beginnen zunächst mit einem Überblick über wichtige Begriffe aus der algebraischen Zahlentheorie, welche wir später benötigen werden. Für konkrete Beweise bietet sich ein Blick in die Standardliteratur z.b. [4]) an. 5. Algebraische Grundlagen 5.. Zahlkörper und Ideale Wir nennen eine Zahl algebraisch, wenn sie Nullstelle eines nicht identisch verschwindenden Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, und ganz-algebraisch, wenn sie Nullstelle eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Die Menge der ganzalgebraischen Zahlen bildet einen Ring, welchen wir mit O bezeichnen. Ist K ein Teilkörper eines Körpers L, so spricht man von einer Körpererweiterung L K. Dann ist L ein K-Vektorraum und man nennt [L : K] := dim K L den Grad von L K. Eine Körpererweiterung heißt endlich, falls [L : K] endlich ist und quadratisch falls [L : K] =. Eine endliche Körpererweiterung K von Q nennen wir Zahlkörper. Quadratische Zahlkörper sind die einfachsten Zahlkörper, sie entstehen aus den rationalen Zahlen durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Im Folgenden beschäftigen wir uns hauptsächlich mit quadratischen Zahlkörpern und bezeichnen diese mit K = Q d ) = { α + β d : α, β Q, d Z \ {, } quadratfrei }. Sei nun K ein Zahlkörper und O der Ring der ganzen algebraischen Zahlen. Dann heißt O K := K O der Ring der ganzen Zahlen oder Ganzheitsring von K. Seien α, β O K. Man sagt, dass β durch α teilbar ist, wenn ein γ O K existiert mit β = αγ und schreibt α β. Die Teiler des Einselements heißen Einheiten. In O K haben wir im Allgemeinen keine eindeutige Primfaktorzerlegung mehr und an 6

27 5.. Algebraische Grundlagen diesem Punkt unterscheiden sich Ganzheitsringe von Z. Der Ganzheitsring zu Q 5) ist Z[ 5] = { a + b 5 : a, b Z }. Hier sind z.b. 3 = + 5) 5) zwei verschiedene Zerlegungen der Zahl 6. Um dieses Problem zu umgehen führte E. Kummer in der Mitte des 9. Jahrhunderts den Begriff ideale Zahl ein, welcher später Grundbaustein der von Dedekind eingeführten Idealtheorie wurde. Definition 5.. Eine nichtleere Teilmenge a von O K heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: i) a ist eine additive Untergruppe von O K ii) für α O und a a ist auch αa a. Ideale, welche von einem einzigen Element erzeugt werden, also die Form a = a) := ao K haben, heißen Hauptideale. Summe und Produkt von Idealen a, b sind erklärt mittels a + b := {a + b : a a, b b}, ab := α j β j : α j a, β j b j und damit also selbst wieder Ideale. Zwei Ideale a, b heißen assoziiert, falls a = ɛb mit einer Einheit ɛ. Weiter heißt ein Ideal p O K Primideal, wenn aus ab p stets a p oder b p folgt. Wir definieren die Norm eines Ideals a ), a O d als die Ordnung der Restklassengruppe O d /a, sowie N) =. Die Norm ist multiplikativ, d.h. es gilt Nab) = Na)Nb). Nun können wir ein Analogon zum Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung angeben. Satz 5.. Eindeutige Primidealzerlegung, Dedekind) Jedes von ) und ) verschiedene Ideal a besitzt eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Primidealzerlegung, das heißt, es lässt sich schreiben als mit v j Z und Primidealen p j. a = n j= p v j j Beweis. Eind Beweis findet sich in [3], Kapitel 6. 7

28 5.. Algebraische Grundlagen 5.. Charaktere und die Dirichlet L-Funktion Um mit der Dirichletschen L-Funktion arbeiten zu können, beschäftigen wir uns zunächst mit Dirichlet-)Charakteren, welche wir der Einfachheit halber als Charaktere bezeichnen werden. Definition 5.3. Ein Dirichlet-)Charakter modulo q N ist ein Homomorphismus χ : Z/qZ) C, d.h. eine komplexwertige Funktion auf Z/qZ) mit mit m, n Z. χn) = χ n) falls n Z/qZ) χn) = sonst χ ) = χ n m) = χ n)χ m), Für ggtn, q) = gilt dann nach dem Satz von Euler = χ ) = χ n ϕq)) = χn) ϕq), 5.) mit der Eulerschen ϕ-funktion ϕq) := #{ a q ggta, q) = }. Ein Beispiel für einen Charakter ist das Kronecker-Symbol siehe Definition 5.7). Auf der Menge {n : ggtn, q) = } hat χ die Periode q, jedoch kann es noch kürzere Perioden q geben. Wir bezeichnen χ als primitiven Charakter, falls q = q gilt. Jedem Charakter χ lässt sich eine Dirichlet-L- Reihe Ls, χ) = χn)n s 5.) n= zuordnen. Wegen χn) vgl.5.)) konvergiert die Reihe für Re s > absolut und wir erhalten die Dirichlet-L-Funktion zu χ. Für den trivialen Charakter χ n) ergibt sich die Riemannsche Zetafunktion. Eine Dirichlet-L-Reihe besitzt eine Darstellung als Eulerprodukt, sie folgt aus der strengen Multiplikativität von χn) und ist gegeben durch Ls, χ) = χp)p. s p prim Anhand der Produktdarstellung sieht man leicht ein, dass Ls, χ) für σ >. 8

29 5.. Definition und grundlegende Eigenschaften von ζ K s) 5. Definition und grundlegende Eigenschaften von ζ K s) Im Falle allgemeiner Zahlkörper benötigen wir eine verallgemeinerte Form der Riemannschen Zetafunktion. Definition 5.4. Sei K ein Zahlkörper. Die Dedekindsche Zetafunktion von K ist dann für σ > definiert über die Dirichletreihe ζ K s) := a Na s. Dabei wird die Summe über alle von Null verschiedenen ganzen Ideale a von O K gebildet. Man sieht leicht ein, dass im Fall K = Q die Dedekindsche Zetafunktion und die Riemannsche Zetafunktion übereinstimmen. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung vgl. Satz 5.) und der Multiplikativität der Norm ergibt sich die Produktdarstellung ζ K s) = ) Np s p für Res >. Hierbei läuft das Produkt über alle Primideale p. Ein Beweis findet sich in [4]. Im Folgenden betrachten wir stets quadratische Zahlkörper, also K = Q d). Wir wollen die Dedekindsche Zetafunktion als Produkt der Riemannschen Zetafunktion mit einer Dririchlet-L-Funktion darstellen. Dafür untersuchen wir zunächst, wie sich Primzahlen in Q d) in Primideale zerlegen lassen. Definition 5.5. Eine Primzahl p heißt in Q d) i) zerlegt, d.h. p) = pp mit zwei nicht assoziierten Primidealen p, p und Np = Np = p ii) verzweigt, d.h. p) = p für ein Primideal p mit Np = p iii) träge, d.h. p) = p für ein Primideal p mit Np = p. Der jeweilige Zerlegungstyp lässt sich mit Hilfe des Legendre-Symbols berechnen. Vorher führen wir noch den Begriff der Diskriminante und das Kronecker-Symbol ein. Definition 5.6. Die Zahl 4d, falls d, 3 mod 4, D = d, falls d mod 4 heißt die Diskriminante des quadratischen Zahlkörpers Q d). 9

30 5.. Definition und grundlegende Eigenschaften von ζ K s) Definition 5.7. Sei m N und D eine Fundamentaldiskriminante, d.h. eine ganze Zahl mit oder D mod 4, D quadratfrei D mod 4, D 4 quadratfrei, D 4, 3 mod 4. Für eine Fundamentaldiskriminante D definieren wir das Kronecker-Symbol als einen Charakter χ D : N Z mit i) χ D p) = ) ) D p für p und D p das Jacobi-Symbol ii) für D mod 4 χ D ) = für D mod 8 für D 5 mod 8 iii) χ D m) = ) D ) νm;p) m := D p m p mit m = p p νm;p). Das Produkt in iii) geht über alle Primteiler p von m. Es gilt genau dann ) D m =, wenn m und D nicht teilerfremd sind, des Weiteren ist χ D streng multplikativ. Satz 5.8. Zerlegungsgesetz für Primzahlen) i) Für eine ungerade Primzahl p gilt p ist träge zerlegt verzweigt ) D = p +, ii) für die Primzahl gilt ist träge zerlegt verzweigt D 5 mod 8 mod 8. mod Beweis. Ein Beweis findet sich in [3]. 3

31 5.3. Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζ K s) und Dirichlet L-Funktionen Damit lässt sich die Dedekindsche Zetafunktion in quadratischen Zahlkörpern wie folgt faktorisieren: ζ Q d)s) = ) Np s p = ) p s ) p s p D p: D p )=+ p: D p )= p s ) = ζs)ls, χ D ); 5.3) χ D ist ein Charakter und entspricht dem Kronecker-Symbol aus Definition Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζ K s) und Dirichlet L-Funktionen Korollar 4.5 und Gleichung 5.3) legen nahe, Dirichlet L-Funktionen auf Gleichverteilung zu untersuchen. Hierbei gehen wir wie im Beweis zu Satz 3. vor, da die dort gezeigten Resultate auch in allgemeiner Form für Dirichlet L-Funktionen gelten. Sei χ im Folgenden stets ein primitiver Charakter mod q. Bezeichne N χ T ) die Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen ρ χ = β χ + iγ χ entsprechend der Vielfachheiten) von Ls, χ) mit γ χ T. Dann ergibt sich eine zur Riemann-von Mangoldt Formel.4) für ζs) analoge Darstellung für Dirichlet L-Funktionen N χ T ) = T qt log + Olog qt ), 5.4) π πe vgl.[8]. Hierbei werden auch die Nullstellen in der unteren Halbebene mitgezählt, da die Nullstellen von Ls, χ) im Falle eines nicht reellen Charakters nicht symmetrisch zur reellen Achse liegen. Wir wollen zeigen, dass die Imaginärteile der Nullstellen von Ls, χ) gleichverteilt modulo Eins sind. Hierfür benötigen wir eine Abschätzung für γ T, β> β ) = / N χ σ, T )dσ, wobei N χ σ, T ) die Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen ρ χ = β χ + iγ χ von Ls, χ) mit γ χ T, β σ bezeichnet. Dies führt uns zu Lemma 5.9. Für T ist N χ σ, T )dσ = T log π Beweis. Siehe Lemma 5 in []. ) L + it, χ dt + Olog T ). 3

32 5.3. Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζ K s) und Dirichlet L-Funktionen Akbary und Murty [] zeigten, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen von L- Funktionen gleichverteilt modulo Eins sind falls ein k > existiert, sodass T T F + it ) k dt expψt )), 5.5) mit einer beliebigen positiven reellen Funktion ψt ) mit ψt ) = olog T ). In diesem Kapitel zeigen wir 5.5) für den Spezialfall F s) = Ls, χ). Tatsächlich werden solche Ls, χ) insbesondere von Akbary und Murty [] behandelt. Für Integrale der Form T L + it, χ) k dt existieren einige Abschätzungen, u.a. zeigte Motohashi [] Hiermit folgt T T Satz 5.. Für die Nullstellen ρ = β + iγ von Ls, χ) gilt L + it, χ ) dt = Olog T ). 5.6) γ T, β> β ) = on χ T )) T loglog T. Beweis. Mit Lemma 5.9 und der Jensenschen Ungleichung vgl. [7]) erhalten wir γ T, β> b b a a β ) = / log ft)dt log N χ σ, T )dσ = T log π = πk T b a b a ft)dt L + it, χ) dt + Olog T ) log T 4kπ log T k L + it, χ) dt + Olog T ) T L k + it, χ) dt + Olog T ). 3

33 5.3. Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζ K s) und Dirichlet L-Funktionen Mit 5.6) erhalten wir γ T, β> β ) T loglog T. Aus 5.4) folgt dann die Aussage. M. R. Murty und V. K. Murty [3] zeigten eine Verallgemeinerung von Landaus Formel 3.) für Dirichlet L-Funktionen, nämlich γ T x ρ = T π Λ Lx) + Olog T ) für x > 5.7) bzw. x ρ = T γ T π xλ L + Olog T ) für < x <. 5.8) x) Hierbei gilt Λ L x) = λx)χx), ein Beweis dazu findet sich in [5]. Damit kommen wir nun zum Hauptresultat dieses Abschnitts. Satz 5.. Sei α R, α. Dann ist die Folge αγ), wobei γ die Imaginärteile der dem Betrage nach geordneten Nullstellen von Ls, χ) durchläuft, gleichverteilt modulo Eins. Beweis. Sei x = e πmα, dann ist N χ T ) γ T x iγ = x / NT, χ) Für x > ergibt sich wie in 3.3) γ T γ T x β+iγ + γ T x /+iγ x β+iγ) xlog x γ T β> x /+iγ x β+iγ). 5.9) β ). Zusammen mit Landaus Formel für L-Funktionen 5.7) und 5.9) erhalten wir N χ T ) γ T x iγ N χ T ) T + γ T β> β ) 33

34 5.3. Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζ K s) und Dirichlet L-Funktionen und mit 3.4) und 5.4) folgt N χ T ) γ T x iγ loglog T log T für T. Analog ergibt sich diese Abschätzung für x < unter Verwendung von 5.8) anstelle von 5.7). Die Aussage folgt dann mit dem Weyl Kriterium. Als Folgerung ergibt sich wie gewünscht Korollar 5.. Sei K ein quadratischer Zahlkörper und α reell. Dann ist die Folge αγ n ), wobei γ n die Imaginärteile der dem Betrage nach geordneten nicht-trivialen Nullstellen von ζ K s) durchläuft, gleichverteilt modulo Eins. Beweis. Die Aussage folgt aus Satz 3., Korollar 4.5 und Satz

35 6 Ausblick Wir konnten zeigen, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen der Dedekindschen Zetafunktion ζ K s) für einen quadratischen Zahlkörper gleichverteilt modulo Eins sind, da ζ K s) in diesem Fall in ein Produkt aus der Riemannschen Zetafunktion und einer Dirichlet L-Funtion zerfällt. Es bestehen allgemeinere Resultate zu dieser Fragestellung. Akbary und Murty [] wiesen nach, dass Korollar 5. gilt falls K ein abelscher Zahlkörper ist, denn ζ K s) lässt sich in diesem Fall als Produkt von Dirichlet L-Funktionen schreiben ζ K s) = Ls, χ). χ Allgemeiner zeigten sie, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen von ζ K gleichverteilt sind für den Fall, dass K eine endliche abelsche Erweiterung eines quadratischen Zahlkörpers ist. Zentraler Punkt für unsere Untersuchungen war Landaus Formel 4.). Jakhlouti et al. [3] wiesen eine Verallgemeinerung dieser Formel für Dirichlet L-Funktionen F, die eine Darstellung als polyomielles Eulerprodukt besitzen nach ρ a=β a+iγ a <γ<t x ρa = { )} df T α F x) xλ F x π + OT /+ɛ ). Darauf aufbauend zeigten sie, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen a-stellen gleichverteilt modulo Eins sind, falls für F ein Analogon zur Lindelöf Vermutung siehe [3] für eine Definition) gilt ) F + it t ɛ für t. Eine interessante Fragestellung wäre, ob sich der Fehlerterm in ihrer expliziten Formel mit einer ähnlichen Idee wie im Beweis zu Satz 4. verbessern lässt. 35

36 Danksagung Mein besonderer Dank gilt an dieser Stelle Herrn Professor Steuding für seine ausgezeichnete Betreuung und seine hilfreichen Anregungen. Bedanken möchte ich mich auch bei meinem Freund, der mich in jeglicher Hinsicht während der Dauer meiner Masterarbeit unterstützt hat. 36

37 Literaturverzeichnis [] A. Akbary, M. R. Murty, Uniform distribution of zeros of Dirichlet series, in: Anatomy of integers, De Koninck, Jean-Marie ed.) et al., CRM workshop, Montreal, Canada, March 37, 6, CRM Proceedings and Lecture Notes 46 8), [] H. Bohr, E. Landau, J.E. Littlewood, Sur la fonction ζs) dans le voisinage de la droite σ =, Bull. de l Acad. royale de Belgique 93), 3-35 [3] J. Brüdern, Einführung in die Analytische Zahlentheorie, Springer, New York- Berlin-Heidelberg, 995 [4] W. A. Coppel, Number Theory, Springer, Dordrecht-Heidelberg-New York- London, 9 [5] H. Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 967 [6] A. Denjoy, L Hypothèse de Riemann sur la distribution des zéros de ζs), relieé à la théorie des probabilités, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 9 93), [7] E. Freitag, R. Busam, Funktionentheorie, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 6, 4. Auflage [8] R. Garunk stis, J. Steuding, On the roots of the equation ζs) = a, Abh. Math. Sem. Univ. Hambg. 84 4), -5 [9] G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 8 [] E. Hlawka, Über die Gleichverteilung gewisser Folgen, welche mit den Nullstellen der Zetafunktion zusammenhängen, Österr. Akad. Wiss., Math.-Naturw. Kl. Abt. II ), [] A. E. Ingham, On two conjectures in the theory of numbers, Am. J. Math ), [] A. Ivić, The Riemann Zeta-Function, John Wiley & Sons 986 [3] M-T. Jakhlouti, K. Mazhouda, J. Steuding, Distribution unifrom modulo one of the a-points of L-Functions in the Selberg class, to appear in Arch. Math. 37

38 Literaturverzeichnis [4] A. A. Karatsuba, Complex Analysis in Number Theory, CRC Press, London- Tokyo,994 [5] A.A. Karatsuba, S.M. Voronin, The Riemann Zeta-Function, de Gruyter, 99 [6] A. Klenke, Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, Berlin-Heidelberg, 3, 3. Auflage [7] K. Königsberger, Analysis I. Springer, Berlin-Heidelberg, 99,. Auflage [8] U. Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg, 5, 8. Auflage [9] E. Landau, Über die Nullstellen der Zetafunktion, Math. Ann. 7 9), [] E. Landau, Über den Wertevorrat von ζs) in der Halbebene σ >, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen ), 8-9 [] N. Levinson, Almost all roots of ζs) = a are arbitrarily close to σ =, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.7 975), 3-34 [] Y. Motohashi, A note on the mean value of the zeta and L-functions. II, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 6 985), [3] M. R. Murty and V. K. Murty, Strong multiplicity one for Selberg s class, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., ), 35 3 [4] J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer, 99 [5] N. Nielsen, Die Gammafunktion, Chelsea Publishing Company, New York, 965 [6] A. M. Odlyzko, H. J. J. Te Riele, Disproof of Mertens conjecture, J. reine angew. Math ), 38-6 [7] B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Größe, Monatsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 859), [8] J. Steuding, On the value-distribution of L-functions, Fiz. Mat. Fak. Moksl. Semin. Darb. 6 3), 87-9 [9] J. Steuding, One Hundred Years Uniform Distribution Modulo One and Recent Applications to Riemann s Zeta Function, Topics in Mathematical Analysis and Applications 4), [3] A. Schmidt, Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Springer, Berlin- Heidelberg, 7 [3] E. C. Titchmarsh, The theory of functions. Oxford University Press 949, nd edition [3] E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta Function, Oxford University Press 986, nd edition 38

39 Literaturverzeichnis [33] H. Weyl, Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann ),

40 Erklärung Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Würzburg, den 7. März 5 Katharina Schmid 4