Deskriptive Statistik

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1 PD Dr. Thomas Beßger Deskrptve Statstk Sommersemester 003 Glederug. Eführug.. Vorbemerkuge.. Begrff ud Aufgabe der Statstk.3. Statstsche Grudbegrffe.3.. Statstsche Ehet, Grudgesamthet ud Stchprobe.3.. Statstsche Merkmale.3.3. Skaletpe.4. Dateerhebug.4.. Forme der Dateerhebug.4.. Datequelle. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date.. Häufgketsverteluge ud hre Darstelluge... Häufgkete... Tabellarsche Darstelluge..3. Graphsche Darstelluge..4. Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto.. Beschrebug vo Verteluge... Lagemaße... Quatle ud Bo-Plot..3. Stadardabwechug, Varaz ud Varazkoeffzet..4. Maßzahle für Schefe ud Wölbug.3. Kozetratosmaße.3.. Lorezkurve ud G-Koeffzet.3.. Alteratve Kozetratosmaße.4. Dchtekurve ud Normalvertelug.4.. Dchtekurve.4.. Normalverteluge.4.3. Appromato vo Dchtekurve 3. Multvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date 3.. Dskrete ud grupperte Merkmale 3... Zwedmesoale Date: De Kotgeztabelle 3... Bedgte Häufgkete 3.. Zusammehagaalse Kotgeztabelle 3... Chace ud relatve Chace 3... Kotgez ud -Koeffzet 3.3. Graphsche Darstelluge quattatver Merkmale Streudagramm Zwedmesoale Hstogramme ud Dchte Mehrdmesoale Darstelluge 3.4. Zusammehagmaße be metrsche Merkmale Korrelatoskoeffzet ach Bravas-Pearso Spearmas Korrelatoskoeffzet Ivarazegeschafte 3.5. Korrelato ud Kausaltät 3.6. Regresso Das leare Regressosmodell De Berechug der Ausglechsgerade Bestmmthetsmaß ud Resdualaalse Nchtleare Regresso

2 4. Zetreheaalse 4.. Grudlage 4... Gegestad 4... Graphsche Darstellug Kompoete vo Zetrehe ud hre Verküpfug Emprsche Autokorrelato 4.. Kompoetemodelle 4... Bestmmug der glatte Kompoete bzw. des Treds 4... Bestmmug der Sasokompoete Wetere Verfahre 5. Idezahle 5.. Grudlage 5.. Presdzes 5... Grudgedake 5... Presde ach Lasperes Presde ach Paasche Verglech der Presdzes 5.3. Megedzes 5.4. Wertdzes 5.5. Idezahlprobleme Probleme der Idekostrukto Ideumrechuge 5.6. Bespele für Idezahle Idzes aus dem Berech der Produkto Idzes aus dem Berech des Verbrauchs Idzes aus dem Berech der Außewrtschaft Deskrptve Statstk PD Dr. Thomas Beßger Uverstät Kaserslauter Sommersemester 003

3 A basc lterac statstcs wll oe da be as ecessar for effcet ctzeshp as the ablt to read ad wrte H. G. Wells Ma hat behauptet, de Welt werde durch Zahle regert: das aber weß ch, dass de Zahle us belehre, ob se gut oder schlecht regert werde. Goethe, Gespräche mt Eckerma Hwese zur Verastaltug Uterlage zur Vorlesug fde sch m Iteret uter: http// Emal: bessger@sozw.u-kl.de Sprechstude: Do, 4-5 Uhr Telefo Sekretarat: 063/ Übug vo Dpl.-Kauffrau Karola Schmtt am Fr, PD Dr. Thomas Beßger 3

4 Lteratur Bourer, G., Beschrebede Statstk, Prasoreterte Eführug, 4. Auflage, Wesbade: Gabler, 00. Fahrmer, L., Küstler, R., Pgeot, I. ud Tutz, G., Statstk, Der Weg zur Dateaalse, 4. Auflage, Berl, Hedelberg: Sprger, 003. Pekamp, H.-J. ud Segma, F., Deskrptve Statstk, 4. Auflage, Müche, We: Oldebourg, 00. Schulze, P.M., Beschrebede Statstk, 4. Auflage, Müche, We: Oldebourg, 000. Schwarze, J., Grudlage der Statstk I, Beschrebede Verfahre, 9. Auflage, Here/Berl: Verlag Neue Wrtschafts-Brefe, 00 PD Dr. Thomas Beßger 4. Eführug. Vorbemerkuge: Mssbrauch der Statstk Es gbt de Notlüge, es gbt de gemee Lüge ud es gbt de Statstk Wr beutze de Statstk ur zu oft we e Betrukeer ee Laterepfahl: vor allem zur Stütze useres Stadpukts ud weger zum Beleuchte ees Sachverhalts Ich glaube keer Statstk außer der, de ch selbst gefälscht habe Methode der Statstk werde bewusst oder ubewusst oft falsch agewedet. PD Dr. Thomas Beßger 5

5 . Vorbemerkuge Bespel für möglche Fehlerquelle: Schekorrelato: Fehlterpretato eer Korrelato Mssachtug eer drtte Eflussgröße Bespel: Je mehr Feuerwehrleute ee Brad bekämpfe, desto größer wrd der Bradschade Azahl Feuerwehrleute + Schekorrelato + Größe des Brades + Bradschade PD Dr. Thomas Beßger 6. Vorbemerkuge Weteres Bespel für Schekorrelato: Es lässt sch für ege Läder Korrelato zw. Zahl der Störche ud Geburterate achwese: # Störche # Geburte PD Dr. Thomas Beßger 7

6 . Vorbemerkuge Weteres Bespel für Schekorrelato: Es gbt ee hohe postve Korrelato zwsche der Azahl der Krche ud der Azahl der Verbreche eem Ort Schleßug der Krche als Mttel zur Verbrechesbekämpfug? Bede Varable werde durch ee wetere Varable, ämlch de Größe der Stadt, beeflusst. PD Dr. Thomas Beßger 8. Vorbemerkuge De Iterpretato vo Ergebsse wrd oft durch de Wahl des Bezugsmaßes beeflusst. Bespel: Ist das Flugzeug das scherste Verkehrsmttel? Ja: Bah: 9 Todesopfer pro 0 Mllarde Passagerklometer Flugzeug: 3 Todesopfer pro 0 Mllarde Passagerklometer Aber: Falls de Zet m Verkehrsmttel zugrudegelegt wrd: Bah: 7 Todesopfer pro 0 Mlloe Passagerstude Flugzeug: 4 Todesopfer pro 0 Mlloe Passagerstude PD Dr. Thomas Beßger 9

7 . Vorbemerkuge Selektoseffekte: Schüler aus öffetlche Schule schede Prüfuge m Mttel schlechter ab als Schüler aus Prvatschule Folgerug: Öffetlche Schule sd schlechter Aber: - Gute Schüler werde eher Prvatschule geschckt - Elter vo Prvatschüler habe e größeres Iteresse a de Schullestuge hrer Kder Fazt: Data-aalss s a ad to thought, ot a substtute Gree ud Hall, 984, S. 5 PD Dr. Thomas Beßger 0. Begrff ud Aufgabe der Statstk Bedeutuge des Begrffs Statstk: a Zusammestellug vo Zahle oder Date z.b. Umsatzstatstk eer Uterehmug Bevölkerugsstatstk der BRD Zulassugsstatstk vo Kraftfahrzeuge b Etwcklug ud Awedug vo Methode zur Erhebug, Aufberetug, Aalse ud Iterpretato vo Date z.b. Datemateral aus eer Volkszählug wrd mttels statstscher Verfahre komprmert ud aalsert. Zel sd z.b. Aussage über de Bevölkerugsstruktur PD Dr. Thomas Beßger

8 . Begrff ud Aufgabe der Statstk Telgebete der Statstk a Deskrptve oder beschrebede Statstk Statstsche Methode zur Beschrebug ud Zusammefassug vo Date Form vo Graphke, Tabelle oder ezele Kegröße statstsche Maßzahle. De Ergebsse bezehe sch ausschleßlch auf de utersuchte Objekte. b Iduktve oder schleßede Statstk Schätzug vo Parameter ud Überprüfug vo Hpothese. Vo de Verhältsse der utersuchte Telmege wrd mttels wahrschelchketstheoretscher Methode auf de Verhältsse der Grudgesamthet geschlosse. PD Dr. Thomas Beßger. Begrff ud Aufgabe der Statstk Ablauf eer statstsche Utersuchug Plaug Erhebug Utersuchugszweck; Abgrezug der Utersuchug orgasatorsche Vorberetug; Auswahl statstscher Verfahre Gewug des statstsche Zahlematerals Aufberetug Auswertug Iterpretato Ordug ud Verdchtug des Datematerals; Utersuchug auf Datefehler; Zusammefassug Tabelle ud/oder graphsche Darstelluge Wetere Aalse des aufberetete Datematerals durch Awedug statstscher Methode, z.b. Kozetratosmessug, Regressos- ud Korrelatosaalse etc. Zusammefassug der Ergebsse; Schlussfolgeruge PD Dr. Thomas Beßger 3

9 .3 Statstsche Grudbegrffe.3. Statstsche Ehet, Grudgesamthet ud Stchprobe Statstsche Ehet Merkmalsträger Ezelobjekt eer statstsche Utersuchug; Träger der Iformatoe, für de ma sch be der Utersuchug teressert. Bespele für statstsche Ehete: Uterehme bem IFO-Kojukturtest Bäume be Waldschadeserhebug Bakkude be Kredtwürdgketsüberprüfug Wohuge m Metspegel PD Dr. Thomas Beßger 4.3 Statstsche Grudbegrffe Grudgesamthet statstsche Masse Mege aller statstsche Ehete mt überestmmede Idetfkatoskrtere. De sachlche, räumlche ud zetlche Idetfkatoskrtere ergebe sch aus der Zelsetzug der statstsche Utersuchug De rchtge Abgrezug der Grudgesamthet st für de Erfolg der Utersuchug etscheded ud vele Fälle alles adere als trval. PD Dr. Thomas Beßger 5

10 .3 Statstsche Grudbegrffe Bespel: Arbetslose der Budesrepublk Deutschlad Zetlche Abgrezug: z.b. am Räumlche Abgrezug: Budesgebet Sachlche Abgrezug: st keeswegs edeutg Abgrezug der amtlche Statstk: Arbetslos st, wer be Arbetsamt als arbetssuched regstrert st mehr als 8 Stude der Woche für ee Zetraum vo mehr als 3 Moate arbete wll älter als 5 ud jüger als 65 Jahre st dem Arbetsmarkt sofort zur Verfügug steht Somt sd z.b. cht als arbetslos erfasst: Persoe, de cht regstrert sd Persoe ABM-Maßahme oder Umschulugsmaßahme Persoe, de weger als 8 Stude arbete wolle usw. I adere Läder: adere Abgrezug teratoale Verglech schwerg PD Dr. Thomas Beßger 6.3 Statstsche Grudbegrffe Be der zetlche Abgrezug eer statstsche Masse uterschedet ma: Bestadsmasse: bezehe sch auf ee Zetpukt Bespele: - Wohbevölkerug ees Lades zum Stchtag eer Volkszählug - Blazerugsgröße eer Uterehmug zum 3.. ees Jahres - Flaschebervorrat vo Peter am 3.. Bewegugsmasse Eregsmasse: bezehe sch auf ee Zetraum Bespele: - Sterbefälle der BRD eem bestmmte Jahr - Höhe der prvate Ivesttoe der BRD erhalb ees Jahres PD Dr. Thomas Beßger 7

11 .3 Statstsche Grudbegrffe Korrespoderede Masse: ee Bestadsmasse ud de Bewegugsmasse, de de Veräderuge der Bestadsmasse beschrebe Fortschrebug: de fortlaufede Ergäzug der Bestadsmasse durch hre korrespoderede Bewegugsmasse Bespel für Fortschrebug: Bestadsmasse: Lagerbestad des Produkts A m Uterehme Y am 3..00, 4.00 h Afagsbestad korrespoderede Lagerzugäge des Prod. A m Ut. Y m Jahr 00 Bewegugsmasse: Lagerabgäge des Prod. A m Ut. Y m Jahr 00 Bestadsmasse: Lagerbestad des Produkts A um Uterehme Y am 3..00, 4.00 h Edbestad PD Dr. Thomas Beßger 8.3 Statstsche Grudbegrffe Wrd be eer statstsche Utersuchug ur e Tel der teresserede Masse erfasst, da heßt deser Tel Stchprobe. Achtug: De Ergebsse, de der Deskrptve Statstk gewoe werde, bezehe sch mmer ur auf de tatsächlch utersuchte Masse Stchprobe oder Grudgesamthet. Ee Verallgemeerug oder Übertragug auf ee übergeordete Masse st uzulässg. PD Dr. Thomas Beßger 9

12 .3 Statstsche Grudbegrffe Deskrptve Statstk Grudgesamthet best. Auswahlverfahre Iduktve Statstk Stchprobe Deskrptve Statstk PD Dr. Thomas Beßger 0.3 Statstsche Grudbegrffe.3. Statstsche Merkmale Ee be eer statstsche Utersuchug teresserede Egeschaft eer statstsche Ehet heßt Merkmal. De möglche Werte Kategore, de e Merkmal aehme ka, heße Merkmalsauspräguge. De a eer bestmmte statstsche Ehet hschtlch ees bestmmte Merkmals festgestellte Merkmalsausprägug heßt Beobachtugswert oder Merkmalswert. PD Dr. Thomas Beßger

13 .3 Statstsche Grudbegrffe Statstsche Ehet Merkmale Merkmalsauspräguge Geschlecht weblch, mälch Alter 0J., 4J., 88J.,... Haarfarbe Bldugsabschluss Körpergröße blod, schwarz, weß,... Abtur, Realschule,... 37cm, 56cm,... Beobachtugswerte für ee statstsche Ehet: Frau Maer, weblch, 90 Jahre, Abtur,... PD Dr. Thomas Beßger.3 Statstsche Grudbegrffe De statstsche Ehet =,..., wrd m Datesatz repräsetert durch Skalar : Beobachtugswert für statstsche Ehet, d.h. de am Merkmalsträger erhobee Ausprägug des Merkmals X uvarat bzw. edmesoal m-tupel,,... m: Auspräguge, de be statstscher Ehet hschtlch der Merkmale X, X,..., Xm realsert wurde multvarat bzw. mehrdmesoal PD Dr. Thomas Beßger 3

14 .3 Statstsche Grudbegrffe Der gesamte Datebestad st da folgeder Matr zusammegefasst: Merkmalsträger j m j m j m Merkmal j PD Dr. Thomas Beßger 4.3 Statstsche Grudbegrffe Merkmalarte Numersche Qualtät Qualtatve kategorale Merkmale Quattatve metrsche Merkmale artmäßge Merkmale testätsmäßge Merkmale dskrete Merkmale Azahl stetge Merkmale feststelle vergleche zähle messe Beruf, Geschlecht Schulote, Wegüte Kderzahl, Kfz-Bestad Körpergröße, Geschwdgket I Lteratur auch: testätsmäßge Merkmale als egee Gruppe zwsche qualtatve ud quattatve Merkmale. PD Dr. Thomas Beßger 5

15 .3 Statstsche Grudbegrffe Zwscheforme be quattatve Merkmale: Quas-stetges Merkmal: ka m Przp ur dskret gemesse werde; wrd aber aufgrud sehr feer Abstufug we stetges Merkmal behadelt Bespel: moetäre Größe we Ekomme, Umsatz etc. E stetges Merkmal ka durch Klasserug Grupperug als dskretes Merkmal behadelt werde, d.h. durch Zusammefassug der Merkmalsauspräguge zu Klasse Gruppe Bespel: Körpergröße vo mdestes 0 cm ud uter 40 cm, mdestes 40 cm ud uter 60 cm usw. Ee Klasserug ka auch be quas-stetge ud dskrete Merkmale vorgeomme werde. PD Dr. Thomas Beßger 6.3 Statstsche Grudbegrffe Häufbares Merkmal: E Merkmal heßt häufbar, we a derselbe statstsche Ehet mehrere Auspräguge des betreffede Merkmals vorkomme köe Be eem häufbare Merkmal muß ma be der Dateerhebug Mehrfacheuge zulasse Bespele: Erlerter Beruf: Koch ud Istallateur Ufallursache: überhöhte Geschwdgket ud Trukehet am Steuer Krakhet: Lugeetzüdug ud Kreslaufschwäche PD Dr. Thomas Beßger 7

16 .3 Statstsche Grudbegrffe.3.3 Skaletpe Je ach Art des betrachtete Merkmals köe see Auspräguge ach bestmmte Regel Zahle ausgedrückt werde. Dese Messug gescheht ahad verschedeer Skale. De Uterschedug solcher Skale st deshalb vo Bedeutug, wel davo de Art der azuwedede statstsche Verfahre abhägt. PD Dr. Thomas Beßger 8.3 Statstsche Grudbegrffe I. Nomalskala Wrd be artmäßge Merkmale verwedet. Merkmalsauspräguge drücke ledglch Verschedeartgket aus Nomalskalerte Merkmale ud ur dese! sd u.u. häufbar De Merkmalsauspräguge köe durch belebge Smbole umersch ud chtumersch bezechet werde z.b. Autoummer, Steuerklasse, Postletzahle etc. Koderug: Zuordug vo Zahle zu Auspräguge, z.b. =weblch, 0=mälch Jede Zahlezuordug ka durch ee eedeutge Trasformato ee adere Zahlezuordug übergeführt werde, z.b. = mälch, 0=weblch Ke Reche mt Zahle möglch; kee Ordug der Auspräguge PD Dr. Thomas Beßger 9

17 .3 Statstsche Grudbegrffe II. Ordalskala Ragskala Wrd be testätsmäßge Merkmale verwedet. Merkmalsauspräguge drücke Verschedeartgket aus ud köe ee Ragfolge gebracht werde Aber: Abstäde zwsche Zahle sd cht terpreterbar De Smbole, de de Merkmalsauspräguge bezeche, köe belebger Art se, sofer ur de Ragfolge zwsche he defert st, z.b. Lebesmttelgüteklasse, Zeugsote etc. Werde de Merkmalsauspräguge Zahle zugewese, so glt: jede streg mooto stegede Trasformato führt zu eer eue zulässge Zahlezuordug PD Dr. Thomas Beßger 30.3 Statstsche Grudbegrffe III. Kardalskala metrsche Skala Wrd be quattatve Merkmale verwedet. Merkmalsauspräguge drücke Verschedeartgket aus ud köe ee Ragfolge gebracht werde. Zusätzlch köe auf jede Fall auch de Abstäde zwsche Auspräguge verglche werde. Bespele sd alle Werte mt eer Dmeso kg, cm, kwh, C, usw. Je achdem, ob atürlcher Nullpukt ud atürlche Ehet vorlegt, uterschedet ma: Itervallskala Verhältsskala Absolutskala PD Dr. Thomas Beßger 3

18 .3 Statstsche Grudbegrffe a Itervallskala Es hadelt sch um ee metrsche Skala ohe atürlche Nullpukt ud ohe atürlche Ehet Dffereze zwsche Auspräguge lasse sch vergleche; de Bldug vo Quotete Verhältsse vo Skalewerte st aber cht zulässg Zulässge Zahletrasformatoe: Y ax b, a 0, b belebg PD Dr. Thomas Beßger 3.3 Statstsche Grudbegrffe Bespel: Temperatur zwe Behälter A, B mt Wasser Behälter A: 60 C; Behälter B: 30 C Aussage Behälter A st doppelt so warm we B st falsch Grud: Nullpukt wllkürlch be Gefrerpukt ree Wassers Dagege be Fahrehet: Nullpukt be Gefrerpukt vo Salzwasser Behälter A: 40 F; Behälter B: 86 F Quotet uterschedet sch offeschtlch vo Celsusskala Falls drtter Behälter C mt 5 C = 59 F: Temperaturtervall A-B st doppelt so groß we B-C: 60 C-30 C =30 C st doppelt so groß we 30 C-5 C=5 C 40 F-86 F=54 F st doppelt so groß we 86 F-59 F =7 F Fazt: Abstäde lasse sch vergleche PD Dr. Thomas Beßger 33

19 .3 Statstsche Grudbegrffe Weteres Bespel: Zet Jahre Zwsche 940 ud 990 st geauso vel Zet vergage we zwsche 840 ud 890. De Festlegug des Jahres Null st aber wllkürlch. I adere Kulture: Zet ebefalls oft Jahre gemesse Aber z.b. jüdscher Kaleder: Jahr Null = 376 v. Ch. Mohammedascher Kaleder: Jahr Null = 6. Ch. PD Dr. Thomas Beßger 34.3 Statstsche Grudbegrffe b Verhältsskala Es hadelt sch um ee metrsche Skala mt atürlche Nullpukt, aber ohe atürlche Ehet Zusätzlch zum Verglech vo Dffereze st be deser Skala de Bldug vo Quotete Verhältsse vo Skalewerte zulässg Etferuge, Voluma, Gewchte usw. werde auf eer Verhältsskala gemesse Zulässge Zahletrasformato: Y ax, a 0 Bespel: Das Verhälts der Etferuge 6 km ud 3 km st das gleche we das vo 8 km ud 4 km, aber größer als das vo 35 km ud 0 km. Msst ma de Etferuge Mele, da blebe de Verhältsse glech. PD Dr. Thomas Beßger 35

20 .3 Statstsche Grudbegrffe c Absolutskala Ee metrsche Skala mt atürlche Nullpukt ud atürlcher Ehet heßt Absolutskala Bespele: Stückzahle, Azahl der Kder Zulässge Trasformato: Y X PD Dr. Thomas Beßger 36.3 Statstsche Grudbegrffe Skaleherarche Absolutskala Verhältsskala Itervallskala Ordalskala Nomalskala abehmedes Iformatosveau Höherskalerte Merkmale lasse sch edrger skalerte Merkmale überführe Nveauregresso Bespel: Das verhältsskalerte Merkmal Körpergröße 65 cm, 8 cm etc. wrd ordal-skalert formulert kle, mttel, groß, sehr groß PD Dr. Thomas Beßger 37

21 .4 Dateerhebug.4. Forme der Dateerhebug Befragug a schrftlch durch Frageboge b persölch durch Itervewer Beobachtug a Zählug Verkehrszählug, Zählug der Kude vor Kasse etc. b Messug Messug des Durchmessers vo Werkstücke etc. Epermet z.b. Regstrerug des Verhaltes vo Testpersoe hpothetsche Etschedugsstuatoe automatsche Erfassug Erhebug erfolgt automatsch mt Hlfe vo Messgeräte z.b. Strom- ud Wasserverbrauch; Telefoehete etc. PD Dr. Thomas Beßger 38.4 Dateerhebug We st Ihr Famlestad? - Mserabel! Etomme aus: Becker, B. 993, Statstk, Müche, We: Oldebourg, S. 75 PD Dr. Thomas Beßger 39

22 .4 Dateerhebug.4. Datequelle a Prmärerhebug: Date werde eges für Utersuchug erhobe Vollerhebug: alle Elemete der Grudgesamthet werde de Erhebug mtebezoge Telerhebug: Nur e Tel der Grudgesamthet wrd Erhebug ebezoge Stchprobe b Sekudärerhebug: Verwedug vo Date, de berets für adere Zwecke erhobe wurde Vortel vo a gegeüber b: Größere Flebltät; Erhebug ka geau dem Utersuchugszweck agepasst werde Nachtel vo a gegeüber b: Hoher Arbetsaufwad; hohe Koste PD Dr. Thomas Beßger 40 Lteraturhwese zu Kaptel Als Ergäzug ud Vertefug köe bespelswese folgede Bücher hzugezoge werde: Bourer 00, S Fahrmer et al. 003, S. -5. Pekamp ud Segma 00, S. -. Schulze 000, S. -6. Schwarze 00, S. -4. PD Dr. Thomas Beßger 4

23 . Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date. Häufgketsverteluge ud hre Darstelluge.. Häufgkete A statstsche Ehete wrd e cht-häufbares Merkmal X beobachtet, bzw. gemesse Urlste Rohdate, Prmärdate:,..., De verschedee Merkmalsauspräguge der Urlste see a, a,... a, k Es wrd ageomme, dass de Werte der Größe ach geordet sd: a a... ak be Nomalskala kee haltlche Bedeutug! Be qualtatve Merkmale st k häufg sehr vel kleer als Be quattatve Merkmale st k häufg fast oder ebeso groß we k PD Dr. Thomas Beßger.. Häufgkete ha h absolute Häufgket der Ausprägug a, j,..., k, j j j d.h. Azahl der aus,..., mt a fa fh/ relatve Häufgket vo a p j j j j j j f 00 relatve Häufgket Prozet j De tabellarsche oder grafsche Darstellug der geordete Merkmalsauspräguge mt de he zugeordete absolute oder relatve Häufgkete heßt absolute oder relatve Häufgketsvertelug des Merkmals. PD Dr. Thomas Beßger

24 .. Häufgkete Für cht-häufbare Merkmale glt: k h mt 0 h ud f mt 0 f j j j j j j Für häufbare Merkmale glt: k h mt 0 h ud f mt 0 f j j j j j j Bespel: I eem Uterehme werde 00 Karossere mt Lackerfehler auf de Fehlerart h utersucht. Es gbt zwe Fehlerarte, de auch glechzetg a eer Karossere auftrete köe Merkmal X: Lackerfehler Statstsche Masse: =00 Läufer a : h a 85 f a 0,85 Blase a : h a 35 f a 0,35 k k h j 0 f, j PD Dr. Thomas Beßger 3. Häufgkete Ve-Dagramm: Läufer Blase Ma gelagt zu eem cht-häufbare Merkmal, dem ma de Fehlerarte eu defert: b "ur Läufer" b "ur Blase" b "Läufer ud Blase" 3 Es wrd ageomme, dass ee derartge Trasformato mmer durchgeführt wrd, d.h. m folgede werde ur cht-häufbare Merkmale betrachtet! PD Dr. Thomas Beßger 4

25 .. Tabellarsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug De Häufgketstabelle ka horzotal oder vertkal aufgebaut se Merkmalsausprägug absolute Häufgket ha ha a a relatve Häufgket fa fa fa k a k ha k Merkmalsausprägug absolute Häufgket relatve Häufgket a a ak ha ha ha k fa fa fa k PD Dr. Thomas Beßger.. Tabellarsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Häufgketstabelle für grupperte Date: Isbesodere für metrsche stetge oder für quas-stetge Merkmale st es oft cht möglch, de Urlste zu eer deutlch kleere Mege a, a,..., ak zu komprmere. Es st da zweckmäßg, de Date der Urlste durch Bldug geegeter Klasse zu gruppere ud ee Häufgketstabelle für de grupperte Date zu erstelle Vortel: Größere Überschtlchket Nachtel: Iformatosverlust PD Dr. Thomas Beßger

26 .. Tabellarsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Klasserug Grupperug De Beobachtugswerte,,..., werde auf M Klasse m,..., M vertelt. a a m m m m m : Utergreze der Klasse m : Obergreze der Klasse m b a a : Klassebrete der Klasse m h m : Absolute Klassehäufgket, d.h. Azahl der statstsche Ehete mt Beobachtugswert m m m m, wobe: a a oder a a f h / : Relatve Klassehäufgket m m PD Dr. Thomas Beßger 3.. Tabellarsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug a Azahl der Klasse Es gbt kee geerell akzepterte Vorgeheswese zur Bestmmug der Klassezahl M. Vorschläge der Lteratur z.b.: 55,60,00, zur ächste gaze Zahl gerudet b Klassebrete Nach Möglchket sollte alle Klasse glech bret se, d.h. b b für alle m,..., M m Aber: Ugleche Klassebrete sd svoll, we sehr vele Beobachtugswerte eem klee Berech der Merkmalsauspräguge lege ud e Rest eem wete Berech. Im klee Berech: fe klassert. Klassemtte sollte tpscher Stellvertreter für de gaze Klasse se, z.b. sollte sch cht de Mehrhet der Beobachtugswerte der Klasse eem Radberech der Klasse befde PD Dr. Thomas Beßger 4

27 .. Tabellarsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Bespel für uterschedlche Klassebrete: Ekommesklasse für moatlches Ekomme: vo bs uter vo bs uter ud mehr Letzte Klasse m Bespel: offee Radklasse c Edeutge Zuordug der Merkmalswerte Ee Klassegreze utere oder obere der betreffede Klasse wrd mtgerechet, währed de adere Klassegreze zur etsprechede Nachbarklasse gehört PD Dr. Thomas Beßger 5.. Tabellarsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Dskret Stetg. Varate Falsch Fehler 5 ud 50 sd cht edeutg zugeordet Rchtg bs uter bs Wo wrd z.b. 5,5 egeordet? 5 bs uter bs 75. Varate 5 ud 50 sd cht edeutg zugeordet Über 5 bs Über 50 bs PD Dr. Thomas Beßger 6

28 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug a be qualtatve oder dskrete, cht-klassfzerte, Merkmale mt wege uterschedlche Merkmalsauspräguge Stabdagramm: Trage über a,..., ak jewels ee zur Abszsse sekrechte Strch Stab mt Höhe h,..., hk oder f,..., f ab. k Säuledagramm: we Stabdagramm, aber mt Rechtecke statt Strche Balkedagramm: um 90 gedrehtes Säuledagramm Kresdagramm: Fläche der Kressektore sd proportoal zu de absolute oder relatve Häufgkete. Wkel des Kressektors j st: f 360 Pktogramm: j j Darstellug der Häufgkete durch uterschedlch große Bldsmbole oder durch uterschedlche Azahl vo Smbole PD Dr. Thomas Beßger..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Bespel: Studeafäger/-e der Budesrepublk Deutschlad m Wtersemester 00/0 ach Fächergruppe Fächergruppe p f *00 Rechts-, Wrtschafts- ud Sozalwsseschafte RWS Sprach- ud Kulturwsseschafte SK Mathematk, Naturwsseschafte MN Igeeurwsseschafte Ig Humamedz Med Sostge Sost Zusamme Quelle: Statststsches Budesamt, Statstsches Jahrbuch 00 für de Budesrepublk Deutschlad, S. 377 ud egee Berechuge h j j j 33,9 0,0 9,07 7,57 3,08 6,98 00 PD Dr. Thomas Beßger

29 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Stabdagramm Studeafäger/-e m Wtersemester 00/0 ach Fächergruppe Relatve Häufgket Proz RWS SK MN Ig Med Sost PD Dr. Thomas Beßger 3..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Säuledagramm Studeafäger/-e m Wtersemester 00/0 ach Fächergruppe Relatve Häufgket Proz , 0 9, 7,6 7 3, RWS SK MN Ig Med Sost PD Dr. Thomas Beßger 4

30 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Balkedagramm Studeafäger/-e m Wtersemester 00/0 ach Fächergruppe Sost 7 Fächergruppe Med Ig MN SK 3, 7,6 9, 0 RWS 33, Relatve Häufgket Prozet PD Dr. Thomas Beßger 5..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Kresdagramm Studeafäger/-e m Wtersemester 00/0 ach Fächergruppe Ig 8% Med 3% Sost 7% RWS 33% MN 9% SK 0% PD Dr. Thomas Beßger 6

31 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Pktogramm etomme aus: Krämer, W. 003, Statstk verstehe, 3. Auflage, Müche: Pper Verlag, S. 6. PD Dr. Thomas Beßger 7..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug b Graphsche Darstellug metrscher Merkmale Stamm-Blatt-Dagramm Stem-leaf dspla : Semgraphsche Darstellugsform für metrsche Merkmale mt mttlerem Dateumfag Schrtt : Tele de Dateberech Itervalle glecher Brete d=0.5 oder mal eer Potez vo 0 e. Trage de erste Zffer der Werte m jewelge Itervall lks vo eer sekrechte Le der Größe ach geordet e. Des ergbt de Stamm. Schrtt : Rude de beobachtete Werte auf de Stelle, de ach de Zffer des Stamms kommt. De resulterede Zffer ergebe de Blätter. Dese werde zelewese ud der Größe ach geordet rechts vom Stamm egetrage PD Dr. Thomas Beßger 8

32 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Bespel: Ausschtt aus dem Metspegel für Müche 994 Wohuge ohe zetrale Warmwasserversorgug ud mt eer Wohfläche vo höchstes 50qm Fahrmer et al. 003, S. 34, S.37 f. ud S. 3 f. Nettomete vo =6 Wohuge 7,06 7,00 94,0 7,30 6,74 8,74 38,04 48,86 7,06 337,74 347,94 349,57 349,85 373,8 375,74 378,40 383,05 394,97 46,9 443,40 466,84 467,88 533, 539,8 560, 676,74 Streche der Stelle ach dem Komma führt zur gerudete Urlste: PD Dr. Thomas Beßger 9..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Als Klasse werde Itervalle der Brete 00 mt de Klassegreze 00, 00,...,600,700 gewählt. Der Stamm ethält da de Zffer,...,6. Um de Blätter des Stammes zu erhalte, rudet ma de Beobachtuge auf de Stelle, de ach de Zffer des Stammes folgt. Im Bespel: 7 zu 30, 7 zu 70, 676 zu 680 Ehet 3 = Stamm-Blatt-Dagramm der Nettomete vo 6 klee Wohuge ohe Warmwasserversorgug PD Dr. Thomas Beßger 0

33 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Hstogramm Ist de Zahl der statstsche Ehete groß, wrd de Darstellug ees metrsche Merkmals mt dem Stamm-Blatt-Dagramm uüberschtlch. I desem Fall st es zweckmäßg, de Date zu gruppere ud de resulterede Häufgketstabelle durch e Hstogramm zu vsualsere. Für de Grupperug wählt ma als Klasse beachbarte Itervalle: [ a, a,[ a, a,...,[ a, a * * * * * * 0 M M Astelle rechtsoffeer Itervalle ka ma auch lksoffee Itervalle verwede PD Dr. Thomas Beßger..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Im Przp köte ma u über de Klasse de absolute oder relatve Häufgket der Form ees Säuledagramms abtrage. Dabe trete aber uerwüschte Effekte auf. Verdoppelt ma bespelswese de Brete des rechte Radtervalls durch Hzuahme der rechts davo legede Werte, so blebt de absolute oder relatve Häufgket desem Itervall uverädert. Problem: Der optsche Edruck be eem bretere Radtervall suggerert ee größere Häufgket, da de Fläche der über dem Itervall legede Säule größer st. Das Hstogramm wrd deshalb so kostruert, dass de Fläche über de Itervalle glech oder proportoal zu de absolute bzw. relatve Häufgkete st. PD Dr. Thomas Beßger

34 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Es glt: "Fläche=Brete Höhe" Klassebrete: * * bm am am Des führt zu folgedem Kostruktosprzp für Hstogramme: Hstogramm: Zeche über de Klasse [ a, a,...,[ a, a Rechtecke mt * * * * 0 M M * * Brete: bm= am-am Höhe: glech oder proportoal zu h / b bzw. f / b Fläche: glech oder proportoal zu h bzw. f m m m m m m Das Hstogramm folgt somt dem Przp der Flächetreue PD Dr. Thomas Beßger 3..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Falls möglch ud svoll, sollte de Klassebrete glech groß se. Da ka ma als Höhe der Rechtecke auch de absolute oder relatve Häufgkete wähle. b m De resulterede Darstellug wrd durch de Wahl der Klassebrete ud damt de Azahl der Itervalle ud de Afagspukt bestmmt. * a 0 Be sehr kleer Klassebrete geht durch de Grupperug weg vo der ursprüglche Iformato verlore. Nachtel: Ma erhält da sehr uruhge Hstogramme Für de optmale Klassezahl: Faustregel ud optscher Edruck PD Dr. Thomas Beßger 4

35 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Bespel: Hstogramm der Nettomete vo 6 klee Wohuge ohe Warmwasserversorgug 40% 30% Atele Prozet 0% 0% 0% 00,00 300,00 500,00 700,00 Nettomete DM PD Dr. Thomas Beßger 5..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Hstogramm der Nettomete aller 08 Wohuge der Telstchprobe des Mücher Metspegels % 30% Prozet 0% Atele 0% 0% Nettomete DM Klassebrete = 6 Klasse 00 DM PD Dr. Thomas Beßger 6

36 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Hstogramm der Nettomete aller 08 Wohuge der Telstchprobe des Mücher Metspegels 994 5% Atele Prozet 0% 5% 0% Nettomete DM Klassebrete = 40 Klasse PD Dr. Thomas Beßger 7..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Polgozug Häufgketspolgo De grafsche Darstellug der Häufgkete ees klasserte, metrsche Merkmals durch geradlge Verbdug der Mttelpukte der Flächeoberkate ees Hstogramms heßt Polgozug. De Koordate des zu Klasse m gehörge Puktes des Polgozugs: * * * * am a h j f m am am j, oder, * * * * am am am am Be glecher Klassebrete ka als Ordatewert we bem Hstogramm de absolute oder relatve Klassehäufgket gewählt werde PD Dr. Thomas Beßger 8

37 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Bespel: Jahresekomme vo 00 Mtarbeter eer Frma 000 Jahresekommesklasse Klassemtte hm f m PD Dr. Thomas Beßger 9..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Hstogramm ud Häufgketspolgo der Häufgketsvertelug Jahresekomme etomme aus: Schulze, P.M., Beschrebede Statstk, 4. Auflage, S. 7 PD Dr. Thomas Beßger 0

38 Ekurs: Mapulato durch graphsche Darstelluge De rechte Abbldug mapulert auf zwefache Wese:. De Säule sd ach ute abgeschtte. De Skala zeht sch ach obe de Läge etomme aus: Krämer, W., We lügt ma mt Statstk, 4. Auflage, 003, S. 45. PD Dr. Thomas Beßger Ekurs: Mapulato durch graphsche Darstelluge E Arbeter verdet Lad A 7 Euro, Lad B 4 Euro. Des lässt sch bespelswese mt eem Pktogramm darstelle: etomme aus: Krämer, W., We lügt ma mt Statstk, 4. Auflage, 003, S.. PD Dr. Thomas Beßger

39 Ekurs: Mapulato durch graphsche Darstelluge Mt Pktogramme lasse sch Botschafte sehr lecht verzerre. Falls bespelswese der Vorsprug vo Lad B betot werde soll: De Räder der Geldschee verhalte sch zwar korrekt we zu, der Betrachter verglecht jedoch automatsch de Fläche. De Fläche vo B s Bakote st aber vermal so groß we de vo A. etomme aus: Krämer, W., We lügt ma mt Statstk, 4. Auflage, 003, S.. PD Dr. Thomas Beßger 3 Ekurs: Mapulato durch graphsche Darstelluge De Verzerrug lässt sch durch ee räumlche Darstellug och steger: Irreführed: Das Volume des rechte Goldbarres st achtmal so groß we das des lke etomme aus: Krämer, W., We lügt ma mt Statstk, 4. Auflage, 003, S. 3. PD Dr. Thomas Beßger 4

40 ..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Be vele Probleme st cht ur teressat, we vele Beobachtugswerte glech sd oder eer Klasse agehöre, soder auch, we vele Werte ee bestmmte vorgegebee Greze cht überschrete z.b. we vele Haushalte verdee cht mehr als 000 Euro usw.. De Fragestellug st ur svoll, we de Relatoe kleer, bzw. kleer/glech vorlege, d.h. we zumdest Ordalskaleveau gegebe st. De Atwort erfordert de Kumulerug vo Ezelhäufgkete. Summehäufgkete: Summe aller Häufgkete der Merkmalsauspräguge, de ee vorgegebee Wert cht überschrete PD Dr. Thomas Beßger..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto. X st ee mdestes ordalskalerte, cht klasserte Varable Absolute Summehäufgket: H a j : Azahl der Beobachtugswerte, de kleer oder glech der Merkmalsausprägug a j st, j =,,k H a j h a... h a j h a : a a j De tabellarsche Darstellug der geordete Merkmalsauspräguge ud der zugehörge absolute Summehäufgkete heßt absolute kumulerte Häufgketsvertelug. PD Dr. Thomas Beßger

41 ..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Absolute Häufgketssummefukto Ka jede Wert der reelle Zahle aehme, so erhält ma de absolute Häufgketssummefukto: H 0 H a j für für a j a a, j j,... k für a k PD Dr. Thomas Beßger 3..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Relatve Summehäufgket: F a j : Atel der Beobachtugswerte, der kleer oder glech der Merkmalsausprägug a j st, j =,,k H a j F a j f a... f a j f a : a a j De tabellarsche Darstellug der geordete Merkmalsauspräguge ud der zugehörge relatve Summehäufgkete heßt relatve kumulerte Häufgketsvertelug. PD Dr. Thomas Beßger 4

42 ..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Emprsche Vertelugsfukto Ka jede Wert der reelle Zahle aehme, so erhält ma de emprsche Vertelugsfukto: F 0 F a j für für a j a a, j j,...k für a k Das Adjektv emprsch verdeutlcht, dass dese Vertelugsfukto aus kokrete Date berechet wrd m Utersched zum Begrff Vertelugsfukto be Zufallsvarable. PD Dr. Thomas Beßger 5..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Bespel aus Bourer 00, S. 40 mt agepasster Notato: Azahl der Kder der Beschäftgte der Frma Maer KG a j h j f j H j F j 0 7 0,35 7 0,35 6 0,30 3 0,65 4 0,0 7 0,85 3 0,0 9 0,95 4 0,05 0,00 Summe 0,00 H = 3, d.h. 3 Beschäftgte habe höchstes Kd F = 0,65, d.h. 65% der Beschäftgte habe höchstes Kd PD Dr. Thomas Beßger 6

43 ..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto De Resthäufgket st das Komplemet zu der kumulerte Häufgket, d.h. de Resthäufgket gbt de Azahl HR j bzw. de Atel FR j der statstsche Ehete mt eem Merkmalswert a, der größer als der Merkmalswert a j st. Im Bespel: HR FR j j H F j j HR H 0 3 7, d.h. 7 Beschäftgte habe mehr als Kd PD Dr. Thomas Beßger 7..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Graphsche Darstellug der kumulerte Häufgketsvertelug als Treppefukto De absolute Häufgketssummefukto ud de emprsche Vertelugsfukto sd mooto wachsede Treppefuktoe, de a de Auspräguge a,,a k um de etsprechede absolute oder relatve Häufgket ach obe sprge. Dabe st a de Sprugstelle der obere Wert de Treppekate der zugehörge Fuktoswert ud de Fukto somt rechtssetg stetg. PD Dr. Thomas Beßger 8

44 ..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Bespel aus Schwarze 00, S. 60: A eer Prüfug, be der mamal 0 Pukte errecht werde kote, ahme 50 Studete tel. Es wurde folgedes Ergebs erzelt: Puktzahl a j Absolute Häufgket ha j Relatve Häufgket Prozet [fa j * 00] Absolute Summehäufgk. Ha j Relatve Summehäufgk. Prozet [Fa j * 00] PD Dr. Thomas Beßger 9..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto PD Dr. Thomas Beßger 0

45 ..3 Graphsche Darstelluge eer Häufgketsvertelug Weteres Bespel berets für Stamm-Blatt-Dagramm verwedet: Ausschtt aus dem Metspegel für Müche 994 Wohuge ohe zetrale Warmwasserversorgug ud mt eer Wohfläche vo höchstes 50qm Fahrmer et al. 003, S. 34 ud S. 5 Nettomete vo =6 Wohuge 7,06 7,00 94,0 7,30 6,74 8,74 38,04 48,86 7,06 337,74 347,94 349,57 349,85 373,8 375,74 378,40 383,05 394,97 46,9 443,40 466,84 467,88 533, 539,8 560, 676,74 PD Dr. Thomas Beßger..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Emprsche Vertelugsfukto der Nettomete vo 6 klee Wohuge ohe Warmwasserversorgug PD Dr. Thomas Beßger

46 ..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Emprsche Vertelugsfukto der Nettomete aller 08 Wohuge PD Dr. Thomas Beßger 3..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto. X st ee metrsche, klasserte Varable Be klasserte Date werde Klassehäufgkete addert. Kumulerte Häufgkete estere egetlch ur für de Klasseobergreze deshalb st ee rechtsgeschlossee Klassebldug svoll. Um H, bzw. F auch für Werte erhalb der Klasse eakt bereche zu köe, muss de Urlste heragezoge werde. Führt ma jedoch de Aahme e, dass de Beobachtuge erhalb der Klasse glechvertelt sd, lasse sch auch ohe Rückgrff auf de Urlste kumulerte Häufgkete für Werte erhalb der Klasse appromatv agebe. PD Dr. Thomas Beßger 4

47 ..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Graphsche Darstellug der kumulerte Häufgketsvertelug für klasserte Date als Summepolgo Kostrukto: Auf der Abszsse ees rechtwklge Koordatesstems werde de Klasseobergreze ud für de erste Klasse auch de Klasseutergreze abgetrage, auf der Ordate de zugehörge kumulerte Häufgkete H m ud/oder F m. Aschleßed werde beachbarte Pukte lear verbude. Mt der leare Verbdug bzw. dem glechmäßge Asteg wrd ee Glechvertelug jeder Klasse uterstellt. PD Dr. Thomas Beßger 5..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Bespel aus Bourer 00, S. 63: Forderugsbestad eer Frma zum 3.. ees Jahres PD Dr. Thomas Beßger 6

48 ..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Summepolgo: PD Dr. Thomas Beßger 7..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Aus der Abbldug ka uter Aahme der Glechvertelug de Zuordug vo Merkmalsauspräguge ud kumulerte Häufgkete äherugswese abgelese werde. z.b. für de Wert 550 ka etwa de Häufgket 0,88 abgelese werde, d.h. auf ee Forderugswert vo uter 550 etfalle ca. 88% der Forderuge. Für de Häufgket 0,5 ka etwa der Wert 70 abgelese werde, d.h. 50% der Forderuge habe ee Wert vo weger als zrka 70 DM. PD Dr. Thomas Beßger 8

49 PD Dr. Thomas Beßger 9..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto * a m * a m Ausschtt aus Summepolgo: * a m F * m a F F b m : Es st * * * m m m m a b a f a F F * m a f PD Dr. Thomas Beßger 0..4 Kumulerte Häufgketsvertelug ud emprsche Vertelugsfukto Absolute Häufgketssummefukto be klasserte Date: H * * * * für,..., für für 0 M m m * m- m * m m a M m a a -a b a h a H a Emprsche Vertelugsfukto be klasserte Date: * * * * für,..., für für 0 M m m * m- m * m m a M m a a -a b a f a F a F

50 Lteraturhwese zu Abschtt. Als Ergäzug ud Vertefug köe bespelswese folgede Bücher hzugezoge werde: Bourer 00, S Fahrmer et al. 003, S Schulze 000, S Schwarze 00, S PD Dr. Thomas Beßger.. Beschrebug vo Verteluge I eer erste Phase der Iformatosverdchtug werde emprsche Datesätze mttels tabellarscher ud graphscher Darstelluge der Häufgketsvertelug zusammefassed aufberetet. I eer zwete Phase der Iformatosverdchtug charaktersere statstsche Maßzahle = Kewerte, Parameter de emprsche Datebestad komprmert eer ezge Zahl. Herdurch wrd bespelswese de verglechede Aalse der Vertelug ees Merkmals X zwe oder mehrere statstsche Masse ermöglcht. PD Dr Thomas Beßger

51 .. Lagemaße Maßzahle zur Lage beschrebe das Zetrum eer Vertelug durch ee umersche Wert. Welches Lagemaß eer bestmmte Fragestellug svoll st, hägt ab vom Kotet vo der Datestuato vom Skaleveau des Merkmals PD Dr Thomas Beßger.. Lagemaße. Modus Modalwert; häufgster Wert; dchtester Wert Modus Mod : Merkmalsausprägug mt größter Häufgket Der Modus st edeutg, falls de Häufgketsvertelug e edeutges Mamum bestzt. Da für de Bestmmug des Modus alle de Häufgkete der Merkmalsauspräguge maßgebed sd, werde a de Skalerug der Merkmale kee Voraussetzuge gestellt, d.h. der Modus st berets auf Nomalskaleveau svoll für omalskalerte Merkmale st das ezgste Lagemaß. Mod PD Dr Thomas Beßger 3

52 .. Lagemaße Beurtelug: Der der Vertelug vorherrschede Wert wrd als Mtte ud damt als Repräsetat für de Lage der Häufgketsvertelug agesehe. Der Modus st also e tpscher, e ormaler Wert. Der Modus st e geegeter Mttelwert, we see Häufgket de adere Häufgkete domert, d.h. de Vertelug muss sch auf h zusptze, se muss ee deutlche Gpfel bestze. PD Dr Thomas Beßger 4.. Lagemaße Bespel aus Bourer 00, S. 69: Vertelug der Überstude der Maer KG Vertelug der Überstude der Schulte GmbH Überstude h Überstude h Der Modus beträgt be bede Frme Überstude. Aber für de Maer KG st de Berechug des Modus cht besoders svoll, da sch de größte Häufgket cht deutlch geug vo de adere Häufgkete abhebt. PD Dr Thomas Beßger 5

53 .. Lagemaße Als Lagemaß st be egpflge umodale Verteluge svoll. Im Falle mehrgpflger Verteluge gehe de Aschte über de Egug auseader. Mache halte ee Bestmmug für uzulässg, adere befürworte de Bestmmug der Mod für alle Gpfel, selbst we de Häufgkete Sptze cht glechauf lege relatve Modalwerte. Bespel: Stude über Schuh- ud Kofektosgröße Vortel des Modalwertes: es hadelt sch um ee vo Ausreßer ubeeflusste Mttelwert sehe m vorhergehede Bespel: be der Schulte GmbH wrd cht durch de aus dem Rahme fallede Überstudezahl beeflusst. Mod Mod PD Dr Thomas Beßger 6.. Lagemaße Be klassfzerte Häufgketsverteluge ka der Modus cht mehr abgelese werde. Der Modalwert wrd desem Fall der Klasse vermutet, de de höchste Klassehäufgket aufwest. Der Modalwert wrd äherugswese als Klassemtte der Klasse mt der größte Häufgket festgelegt PD Dr Thomas Beßger 7

54 .. Lagemaße. Meda Der Meda st der Wert, der eer der Größe ach geordete Rehe geau der Mtte legt, d.h. 50 Prozet der Merkmalswerte sd kleer oder glech bzw. größer oder glech Ausgagspukt st de geordete Urlste Med Für ugerades st Med de mttlere Beobachtug der geordete Urlste ud für gerades st Med das arthmetsche Mttel der bede der Mtte legede Beobachtuge, d.h. Med / / / für ugerade für gerade PD Dr Thomas Beßger 8.. Lagemaße Beachte: Der Meda ka ur bestmmt werde, we das Merkmal mdestes ordalskalert st. Bespel aus Bourer 00, S : st ugerade: Für de 3 Beschäftgte der Schulte GmbH wurde de Fehlzete Tage für das letzte Halbjahr festgestellt Fehltage h H Der Beschäftgte, der de Mttelposto der Ragordug emmt, hat de Postoszffer 3+/ =. Mt der kumulerte Häufgket H seht ma sofort, dass der Beschäftgte mt der Postoszffer geau 8 Tage gefehlt hat. 50 % habe 8 oder weger Tage ud 50 % habe 8 oder mehr Tage gefehlt. PD Dr Thomas Beßger 9

55 .. Lagemaße st gerade: Für de 0 Beschäftgte der Maer KG wurde de Fehlzete Tage für das letzte Halbjahr festgestellt Fehltage h H Med / / ,5 Tage 50% der Beschäftgte habe weger, 50% habe mehr als 6,5 Tage gefehlt Wäre das Merkmal ordalskalert gewese, hätte der Meda cht festgestellt werde köe, da zwsche uterschedlche Merkmalswerte de Mtte cht bestmmt werde ka. PD Dr Thomas Beßger 0.. Lagemaße Beurtelug: Der Meda st ubeeflusst vo Ausreßer, da er alle vo der Azahl der Merkmalwerte abhägg st. m Bespel der Schulte GmbH wrd der Meda cht durch de aus dem Rahme fallede Fehlzet vo 59 Tage beeflusst Der Meda st e geegeter Mttelwert für schefe Verteluge. Be schefe Verteluge kozetrere sch de Merkmalträger m utere oder obere Merkmalsberech. Be eer Durchschttsbldug würde de relatv wege statstsche Ehete mt hohe edrge Merkmalswerte de Durchschtt ach obe ute verzerre. De Zerlegug der Gesamthet zwe Hälfte vermttelt her ee bessere Eblck de Mtte. Der Meda st wchtgster Lageparameter für ordalskalerte Merkmale; aber wege obger Begrüdug auch für metrsche Merkmale svoll. PD Dr Thomas Beßger

56 .. Lagemaße aus: Krämer, W. 003, So lügt ma mt Statstk, S. 65. PD Dr Thomas Beßger.. Lagemaße Meda be klasserte Date Be klasserte Date ka der Meda cht mehr eakt abgelese werde Er lässt sch ur äherugswese bestmme. Vorgeheswese:. Bestmmug der Medaklasse De Medaklasse st de Klasse, der der Merkmalsträger mt der Postoszffer +/ oder verefacht / legt. De m-te Klasse st de Medaklasse, falls bzw. H a F a * m 0,5 ud H am 0, 5 * m 0,5 ud F am 0,5 * * PD Dr Thomas Beßger 3

57 PD Dr Thomas Beßger 4.. Lagemaße. Lokalserug des Medas der Medaklasse Es wrd ageomme, dass der Medaklasse ee Glechvertelug vorlegt. Zur Utergreze der Medaklasse st de Strecke zu addere, wobe we folgt durch Awedug des Strahlesatzes ermttelt werde ka: * a m * a m * m a H * a m H * m a h / Med PD Dr Thomas Beßger 5.. Lagemaße / * * * * * m m m m m a H a H a H a a / * * * * m m m m a a a h a H Damt ergbt sch als Berechugsformel für de Meda: / * * * * * m m m m m Med a a a h a H a

58 .. Lagemaße Bespel aus Bourer 00, S. 76: Forderugsbestad eer Frma zum 3.. ees Jahres Medaklasse m = 3 PD Dr Thomas Beßger 6.. Lagemaße Schrtt : Medaklasse st de Klasse 3, da de Postoszffer 45/=,5 de drtte Klasse fällt Schrtt : Med, , ,90 50 % der Forderuge habe ee Wert vo weger, 50 % vo mehr als 7,90 DM. Auf de Agabe oder glech 7,90 DM wrd verzchtet, da das Auftrete deses Wertes uwahrschelch st. PD Dr Thomas Beßger 7

59 .. Lagemaße Bestmmug des Medas aus der Emprsche Vertelugsfukto Falls F = 0,5 auf eer Treppestufe legt, st der mttlere -Wert deser Stufe der Meda. PD Dr Thomas Beßger 8.. Lagemaße Falls F de Wert 0,5 cht ammt, st der Meda glech dem kleste -Wert, be dem F größer als 0,5 st. PD Dr Thomas Beßger 9

60 .. Lagemaße Egeschafte des Medas. Mmumegeschaft Durch de Meda wrd jeer Datewert bestmmt, vo dem aus de Summe der Etferuge absolut geomme zu de adere Werte der Häufgketsvertelug e Mmum ergbt, d.h. Med m. Leartrasformato Für Trasformatoe der Form glt: a b,..., ; mt, a Med b Med a b PD Dr Thomas Beßger 0.. Lagemaße Ekurs: Quatle Ausgagspukt : Geordete Urlste Jeder Wert p, mt 0 p, für de mdestes e Atel p der Date kleer/glech p ud mdestes e Atel p größer/glech p st, hesst p Quatl. Es muss also gelte : Azahl - Werte p p ud Azahl - Werte p p. Damt glt für das p Quatl : p [ p], we p cht gazzahlg, we p gazzahlg. p p Dabe st [ p] de zu p ächste kleere gaze Zahl PD Dr Thomas Beßger

61 .. Lagemaße Bespel: Gegebe st de geordete Urlste: Gesucht: 33%-Perzetl 8 p 0,33 p 0,33 8,64 [ p] 3 3 Mdestes 33% der beobachtete Werte sd kleer oder glech. Hwes: Für de Berechug der Quatle st mdestes Ordalskaleveau otwedg. PD Dr Thomas Beßger.. Lagemaße Der Meda st das 50%-Quatl; er zerlegt de Gesamthet zwe Hälfte De Quartle zerlege de Gesamthet ver Vertel, de Dezle zeh Zehtel, de Perzetle 00 Hudertstel etc. Uteres Quartl. Quartl Oberes Quartl 3. Quartl 5% - Quatl 75% - Quatl Be de Dezle ud Perzetle teressere.d.r. ur de am Rad legede Werte we z.b. das 5. Perzetl, das de Gesamthet de Tele 5% : 95% zerlegt. Auf dese Wese werde wetere Iformatoe über de Lage ud Struktur der Vertelug gewoe. De Ermttlug der Quatle erfolgt aalog zu de Berechuge für de Meda; Detals sehe bespelswese Assemacher 998, Deskrptve Statstk,. Auflage, S PD Dr Thomas Beßger 3

62 .. Lagemaße Quatle lasse sch auch graphsch aus der emprsche Vertelugsfukto bestmme Fahrmer 003, S. 65: Nettomete vo =6 klee Wohuge PD Dr Thomas Beßger 4.. Lagemaße 3. Arthmetsches Mttel Das arthmetsche Mttel charaktersert de mttlere =durchschttlche Wert eer Rehe vo Beobachtugswerte. Das arthmetsche Mttel st für metrsche Merkmale svoll defert. Lege de Date als Urlste alle Beobachtugswerte vor, berechet ma das efache arthmetsche Mttel:... PD Dr Thomas Beßger 5

63 .. Lagemaße Lege de Date Form eer Häufgketstabelle vor, berechet ma das gewogee arthmetsche Mttel: k a j j h a j k a j f a j j Klassertes arthmetsches Mttel Lege de Date ur als klasserte grupperte Date vor, ka das arthmetsche Mttel cht mehr eakt bestmmt werde; desem Fall werde de Klassemtte mt de relatve Klassehäufgkete gewchtet ud aufaddert. Dadurch erhält ma ee Näherugswert für de tatsächlche Mttelwert. PD Dr Thomas Beßger 6.. Lagemaße Egeschafte des arthmetsche Mttels. Berechug der Merkmalssumme X wobe X de Merkmalssumme Summe der Beobachtugswerte bezechet. Schwerpuktegeschaft 0 bzw. k, a j j f a j 0 d.h. de Summe der Abwechuge zw. ud verschwdet. Würde ma a de Stelle jeder Beobachtug ee Müze oder e Ehetsgewcht lege, so wäre de Zahlegerade geau am Pukt, dem Schwerpukt, m Glechgewcht. PD Dr Thomas Beßger 7

64 .. Lagemaße Das arthmetsche Mttel vo 5, 5 ud 0 st 0: de Stelle, de de Balke balacert. aus: Krämer, W. 003, Statstk verstehe, S. 7 PD Dr Thomas Beßger 8.. Lagemaße 3. Mmumegeschaft M für alle M d.h. das arthmetsche Mttel mmert de Summe der quadrerte Abwechuge. 4. Leartrasformato Für Trasformatoe der Form glt: a b mt,..., ; a, b a b PD Dr Thomas Beßger 9

65 .. Lagemaße 5. Gesamt- ud Telmttel Veregt ma mehrere verschedee Messrehe mt de Umfäge,,..., r ud de arthmetsche Telmttel, gemesame Messrehe, de de Umfag r erhält ma als arthmetsches Gesamtmttel: r ges,..., hat, r zu eer Das arthmetsche Mttel eer Gesamtrehe st glech dem gewogee Mttel der arthmetsche Telmttel der r Telrehe; als Gewcht fugert de Azahl der statstsche Ehete de Telrehe. Nur we alle Telrehe de gleche Umfag habe... r, st glech dem arthmetsche Mttel der ezele Mttelwerte. ges PD Dr Thomas Beßger 0.. Lagemaße Das getrmmte arthmetsche Mttel Das arthmetsche Mttel reagert empfdlch auf Ausreßer oder Etremwerte. E ressteteres Lagemaß st das getrmmte arthmetsche Mttel, be dem e Tel der Raddate, z.b. 0%, weggelasse ud da das arthmetsche Mttel aus de restlche Date berechet wrd. PD Dr Thomas Beßger

66 .. Lagemaße 4. Geometrsches Mttel Relevat be Wachstums- oder Aufzsugsfaktore Zetrehe vo Bestadsdate für de Perode 0,,,: B0, B,..., B B0 : Afagsbestad -ter Wachstumsfaktor: -te Wachstumsrate: Es glt: r B B B B B B B bzw. B / B0 PD Dr Thomas Beßger.. Lagemaße Der durchschttlche Wachstumsfaktor st derjege Faktor geom, der über alle Perode kostat blebt ud B 0 auf B awachse lässt. Es st: geom B B0 geom B 0... / B Fazt: Das geometrsche Mttel zu de Faktore geom.,..., st De durchschttlche Wachstumsrate st da geom. PD Dr Thomas Beßger 3

67 .. Lagemaße Bespel aus Assemacher 998, S.77: Im Zetraum 950 bs 965 etwckelte sch das reale Bruttosozalprodukt der Budesrepublk Deutschlad Prese vo 980 mt de folgede Wachstumsrate Prozet: 9,5 8,9 8, 7,4,0 7,3 5,7 3,7 7,3 9, 4,4 4,7,8 6,6 5,4 Um de durchschttlche Wachstumsrate zu ermttel, müsse de Wachstumsrate Wachstumsfaktore umgewadelt werde, z.b. =,095 etc. Als durchschttlche Wachstumsfaktor erhält ma geom,0685. De durchschttlche Wachstumsrate beträgt somt 6,85%. PD Dr Thomas Beßger 4 Lteraturhwese zu Abschtt.. Als Ergäzug ud Vertefug köe bespelswese folgede Bücher hzugezoge werde: Bourer 00, S Fahrmer et al. 003, S Schulze 000, S Schwarze 00, S PD Dr Thomas Beßger 5

68 .. Streuugsmaße E Mesch, der vo Statstk hört, dekt dabe ur a Mttelwert. Er glaubt cht dra ud st dagege, e Bespel soll es glech belege E Jäger auf der Etejagd hat ee erste Schuss gewagt. Der Schuss, zu hastg aus dem Rohr, lag ee gute Hadbret vor. Der zwete Schuss mt lautem Krach lag ee gute Hadbret ach. Der Jäger sprcht gaz ubeschwert: statstsch st de Ete tot. Doch wär er klug ud ähme Schrot des se gesagt, h zu bekehre er würde see Chace mehre: Der Schuss geht ab, de Ete stürzt, wel Streuug hr das Lebe kürzt P. H. Lst PD Dr Thomas Beßger.. Streuugsmaße De Streuug der Merkmalswerte st ach der Lage de zwete wesetlche Egeschaft eer Häufgketsvertelug. Ma möchte wsse, ob de Merkmalswerte ahe am Mttelwert Zetrum lege oder cht. Bespel: Häufgketsverteluge mt glechem arthmetsche Mttel, aber uterschedlcher Streuug; aus: Schwarze 00, S. 84. PD Dr Thomas Beßger