KAPITEL VII GRAVITATION

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1 KAPITL VII RAVITATION

2 . KRATLDR Die expeientellen fahungen haben gezeigt, dass Köpe anscheinend auf zwei veschiedene Weisen Käfte aufeinande ausüben können, und zwa duch die Veittlung eh ode wenige stae Vebindungen, ohne jeden ekennbaen Übetagungsechanisus duch den leeen Rau hinduch. ARADAY nah an, dass die Anwesenheit eines elektisch geladenen Köpes ode eines Magnets in de ugebenden Rau gewisse Veändeungen veusacht, auch wenn diese völlig lee ist. Diese Veändeungen des Raues üben dann auf einen zweiten Köpe bestite Wikungen aus. Dait weden de leeen Rau physikalische igenschaften zugeschieben, die ihn befähigen, auf Köpe Käfte auszuüben. Wi setzen fest : Unte eine Kaftfeld ode eine eld vesteht de Physike einen it bestiten physikalischen igenschaften ausgestatteten Rau, in de auf Köpe it den entspechenden, fü das eld chaakteistischen physikalischen igenschaften Käfte und Dehoente ausgeübt weden. Die Kaftfelde spielen in de Physik eine goße Rolle. Wi untescheiden vo alle die vie folgenden Aten von Kaftfelden : In de Ugebung eines Magneten ode eines stoduchflossenen Leitestückes ist ein agnetisches eld vohanden. In jede seine Punkte wid auf einen andeen Magneten ein Dehoent ausgeübt. In de Ugebung eine elektischen Ladung befindet sich ein elektisches eld, duch das auf eine andee elektische Ladung innehalb dieses eldes eine Kaft ausgeübt wid. In de Ugebung eines ateiellen Köpes befindet sich das Schwee- ode avitationsfeld. In jede Raupunkt wid auf einen andeen ateiellen Köpe eine Kaft ausgeübt, die ihe Usache in de Vohandensein des esten Köpes hat. I Beeich de Atokene wikt das Kenfeld. Dieses ist fü die Übetagung de Käfte zwischen den Kenbausteinen veantwotlich. RAVITATION

3 . PLANTNBWUN. OZNTRISCHS WLTBILD Man hat sich beeits i Altetu beüht, eine kläung fü die Bewegung de Hielköpe zu geben und die zugunde liegenden esetze aufzufinden. Das gesate astonoische Wissen jene Zeit wude von CL. PTOLMÄUS (85 65 n. Ch.) in de Buche Alagest zusaengefasst. Dieses Buch blieb 4 Jahe fü die Hielskunde aßgebend. De Lehe des Ptoleäus liegen folgende beide Annahen zugunde : Die de steht i Mittelpunkt de Welt. Die Hielsköpe bewegen sich it konstanten Bahngeschwindigkeiten auf keisföigen Bahnen. Diese beiden undannahen sind duch die Astonoen des Altetus einal aus den Beobachtungen de täglichen estinbewegungen, die den induck ewecken, als ob die de uhend i Mittelpunkt de Welt stünde, abgeleitet woden. Zu andeen sind sie abe auch ein Ausduck ythische Vostellungen, nach denen an in den Hielsköpen göttliche Wesen sah, denen nu die vollkoenste alle Bewegungen angeessen sein sollte. Als vollkoenste Bewegung betachtete an daals die Keisbewegung. Wenn nun bei bestiten Hielsköpen, wie den Planeten, Abweichungen von de Keisbahn beobachtet wuden, so kobiniete an ehee Keisbewegungen iteinande, inde an sich vostellte, dass de Planet P eine keisföige Bahn u einen gewissen Punkt bescheibt, de sich seineseits wiede auf eine Keisbahn u die de bewegt. Die so entstandenen Kuven bezeichnet an als pizykloiden.. HLIOZNTRISCHS WLTBILD ine neue Vostellung de Planetenbewegungen bahnte sich an, als N. KOPRNIKUS (47-54) i Jahe 54 sein Wek De evolutionibus obiu coelestiu veöffentlichte. De gundlegende Unteschied gegenübe de Lehe von Ptoleäus besteht dain, dass die de ihe bevozugte Stellung als uhende Mittelpunkt de Welt veliet und sich ebenso wie die andeen Planeten u die Sonne bewegt. De Lehe des Kopenikus liegen die beiden folgenden Annahen zugunde : Die de deht sich täglich einal u ihe eigene Achse. Die de und die Planeten bewegen sich auf Keisbahnen u die Sonne. Man bezeichnet die Lehe von Kopenikus nach de die Sonne de Mittelpunkt de Welt und insbesondee des Planetensystes sein sollte als heliozentisches Weltbild. Abe auch Kopenikus selbst konnte sich noch nicht völlig von den übeliefeten Anschauungen fei achen. hielt nach wie vo an de Vostellung fest, dass allein die Keisbewegung als die vollkoenste Bewegung fü die Hielsköpe in age kot. RAVITATION

4 Duch J. KPLR (57-6) wude die Lehe von Kopenikus zu allgeeinen Anekennung gebacht. Sich auf das ufangeiche Beobachtungsateial von T. BRAH stützend, konnte Keple nachweisen, dass die Planeten sich nicht auf Keisen u die Sonne bewegen. Schließlich fand Keple nach sechsjähigen Beechnungen die dei folgenden nach ih benannten esetze... KPLR-STZ Die Planeten bewegen sich auf llipsen, die einen geeinsaen Bennpunkt haben, in de die Sonne steht. Die llipse ist die Menge alle Punkte P it de igenschaft P + P = const., dabei sind die Punkte und die Bennpunkte de llipse. Die Stecke MA=MB ist die goße Halbachse a de llipse; MC=MD entspechend die kleine Halbachse b. Unte de lineaen xzentizität vesteht an die Längen M= M=e, wähend die nueische xzentizität de Quotient aus e und a ist. ü ellipsenföige Bahnen liegt zwischen und. ü = ist e = und dait = = M. Die Bahn ist dann ein Keis. Die Bahnen von Venus, Neptun und de weichen nu seh wenig von de Keisbahn ab ( < %), wähend die Bahnen von Meku und Pluto ausgepägte llipsen sind ( > %)..4. KPLR-STZ De Radiusvekto, das heißt die Vebindungslinie Sonne-Planet, übesteicht in gleichen Zeiten gleich goße lächen. Das. Keple-esetz wid auch als lächensatz bezeichnet. Wenn an die an veschiedenen Stellen de Planetenbahn in eine bestiten Zeitintevall t zuückgelegten Wege s, s und s eittelt, so zeigt sich, dass diese veschieden lang sind; sie sind so beschaffen, dass die entspechenden lächen A, A und A gleich sind. Man bezeichnet den sonnen-nächsten Punkt eines Planeten auf seine elliptischen Bahn als Peihel und den sonnenfensten Punkt als Aphel. Die de eeicht den sonnennächsten Punkt Anfang Janua und den sonnenfensten Punkt i Juli. De lächensatz, de von Keple aus den Beobachtungen de Planetenbewegungen entwickelt woden ist, stellt nicht andees als den uns bekannten Dehipulsehaltungssatz da. U diesen Zusaenhang zu ekennen, betachten wi einen Massenpunkt it de Masse, de sich zunächst in eine Punkt P in de Nähe des Peihel befindet. bewegt sich in de Zeitintevall t it de Winkelgeschwindigkeit nach Q, wobei de Radiusvekto den Winkel übesteicht. Nach einige Zeit befindet sich de Massenpunkt in de Nähe des Aphels i Punkt P. bewegt sich in de Zeitintevall t it de Winkelgeschwindigkeit nach Q, wobei de Radiusvekto den Winkel übesteicht. Nach de lächensatz von Keple heißt es : A A Da allgeein fü die vo Radiusvekto übestichene läche A die oel gilt, egibt sich A RAVITATION 4

5 t t t Aufgund fühee gebnisse gilt fü die Tägheitsoente J und und fü die Winkelgeschwindigkeiten und t J. t Setzt an diese Ausdücke oben ein, so ehält an J J L L wobei L und L die Dehipulse des Massenpunktes i Peihel und i Aphel dastellen. Beekenswet ist dabei, dass diese Ableitung keine bestite Voaussetzung übe die öße de wikenden Kaft efodet. s genügt allein die Tatsache, dass die auf den bewegten Massenpunkt ausgeübte Kaft stets auf ein bestites Zentu geichtet ist. De lächensatz und de Satz de haltung des Dehipulses gelten deshalb nicht nu fü die Planetenbewegung, sonden fü alle Zentalbewegungen. Diese Bewegungen gehöen zu den ungleichföigen Bewegungen..5. KPLR-STZ Die Quadate de Ulaufzeiten T und T zweie Planeten vehalten sich wie die ditten Potenzen de goßen Halbachsen a und a de Bahnellipsen. T a T T ode k T a a a Die Konstante k hat also fü alle Planeten des Sonnensystes den gleichen Wet. Man kann diesen Wet beechnen, inde an die Ulaufzeit T und die Länge de goßen Halbachse a fü igendeinen Planeten einsetzt. Aus den Weten de de egibt sich fü unse Sonnensyste k k k T a,6,5, s T a a,5 65,5 d 7,6 s ü ein andees Planetensyste, das anstatt de Sonne ein Zentalgestin it andee Masse besitzt, egibt sich ein andee Wet de Konstanten k. Das. Keple-esetz gilt auch fü die Bewegung künstliche Satelliten u die de. Auch hie gehöt zu jede Ulaufzeit T ein ganz bestite Bahnadius bzw. eine ganz bestite goße Halbachse a. s ist dahe unöglich bei eine Satelliten die Ulaufzeit als auch den Bahnadius bzw. die goße Halbachse willkülich zu wählen. Wenn an das eine Bestiungsstück fei gewählt hat, dann ist das andee dait zwangsläufig gegeben. RAVITATION 5

6 . NWTONSCHS RAVITATIONSSTZ Obwohl die Keple-esetze die Bewegung de Planeten ichtig wiedegeben, achen sie keine Aussage übe die fü das Zustandekoen de Planetenbewegung efodelichen Käfte. Newton hat als este ekannt, dass die Kaft, die fü das allen eines Apfels zu de veantwotlich ist, auch den Mond auf seine bahn u die de und die Planeten auf ihe Bahnen u die Sonne zwingt und dass wi es schließlich bei de Anziehung, die zwei beliebige Massen aufeinande ausüben, ebenfalls it de gleichen Kaft, de avitationskaft, zu tun haben. Zu Beechnung de avitationskaft stützte Newton sich auf die Zentipetalkaft, die dei Kepleschen esetze und das von ih entdeckte Wechselwikungsgesetz actio=eactio. In Abweichung zu den Keple-esetzen nah Newton veeinfachend an : - Die Planeten bewegen sich auf Keisbahnen. - Auf diesen Keisbahnen bewegen sich die Planeten it gleich bleibende eschwindigkeit. Zunächst beechnete e die Zentipetalkaft, die nötig ist u einen Planeten auf seine Bahn zu halten: Z Z Z Z Z 4 T 4 k 4 k 4 k T.Keple esetz T k Aus diese leichung folgt: Die avitationskaft ist de Masse des Planeten diekt und de Quadat seines Abstandes von de Sonne ugekeht popotional. Als Popotionalität ehält an ~ [A] Hiean schloss Newton einen neuen edanken an: Alle Köpe ziehen sich aufgund ihe Masse gegenseitig an. Wenn also die Sonne it de Masse M auf einen Planeten it de Masse die avitationskaft S ausübt, uss auch de Planet auf die Sonne die avitationskaft Pl ausüben. Die Popotionalität [A] ehält dann fü beide avitationskäfte die syetischen Ausdücke M S ~ [B] und ~ Pl [C] Nun zog Newton zusätzlich das Wechselwikungsgesetz hean, nach de die beiden avitationskäfte S und Pl gleich goß sind. Denach lassen sich die beiden Popotionalitäten [B] und [C] veeinen zu ~ M RAVITATION 6

7 Unte infügung eine Popotionalitätsfaktos egibt sich schließlich das avitationsgesetz M Dain bedeuten M die Masse de Sonne, die Masse des Planeten und de Abstand zwischen den Mittelpunkten beide Hielsköpe. Die Popotionalitätskonstante heißt avitationskonstante. ist eine Natukonstante, sie hat stets und übeall den gleichen Wet = 6,67 - kg - s - Wenn an das avitationsgesetz nicht auf die Bewegung de Planeten u die Sonne anwendet, sonden die avitation zwischen zwei beliebigen Köpen it den Massen und untesucht, dann scheibt sich das avitationsgesetz allgeein : RAVITATION 7

8 4. RAVITATIONSLD 4. RAVITATIONSLD DR RD In de leichung fü die avitationskäfte gehen beide Massen und in völlig syetische Weise ein. Man kann sich abe auch auf einen andeen Standpunkt stellen. Diese ist dann nützlich, wenn die Masse des einen Köpe (zu Beispiel de de) gegenübe de Masse des zweiten Köpes (zu Beispiel des Apfels a Bau) so goß ist, dass von den zwei entgegengesetzt geichteten und gleich goßen Käften nu eine avitationswikung (de all des Apfels) beobachtba ist, wähend die zweite Wikung (de all de de zu Apfel) nu eine theoetische öteung dastellt. Diesen Standpunkt nehen wi jetzt fü die de an. Dann können wi an jede Stelle i ednahen Rau des Weltalls die avitationskaft de de auf einen Köpe nachweisen. inen Rau it solchen igenschaften nennt an in de Physik ein Kaftfeld ode eld. Da die Kaft allein aufgund de Masse des in dieses eld gebachten Köpe ausgeübt wid, nennt an dieses eld avitationsfeld. Die avitationskaft de de auf Köpe de Masse in ihe avitationsfeld ist von dei physikalischen ößen abhängig : - de feldezeugenden Masse de de, - de Masse des Köpes i eld, - de Abstand des Köpes zu dittelpunkt. Die leichung fü die avitationskaft enthält also eineseits ößen, die zu de und dait zu avitationsfeld gehöen, andeeseits die öße, die zu Köpe i eld gehöt. De Ausduck bescheibt dabei atheatisch die igenschaften eines von de Masse ezeugten avitationsfeldes a Ot it de Abstand zu dittelpunkt. Man bezeichnet diesen Ausduck als avitationsfeldstäke g. Die avitationsfeldstäke g an eine bestiten Ot des avitationsfeldes ist de Quotient aus de avitationskaft, die ein Köpe aufgund seine Masse an diese Ot efäht, und seine Masse. g Die inheit de avitationsfeldstäke ist N/kg. Die Richtung de avitationsfeldstäke entspicht de Richtung de Kaft auf den Köpe. Kennt an an eine Ot i avitationsfeld die avitationsfeldstäke g, so kann an die an diese Ot auf einen Köpe it de Masse ausgeübte avitationskaft beechnen it g Diese leichung einnet an die leichung fü die ewichtskaft. Die avitationsfeldstäke g de de und die Schweebeschleunigung g de de stien in ihen Betägen übeein. RAVITATION 8

9 Sie weden entspechend ihen unteschiedlichen physikalischen Bedeutungen nu in veschiedenen inheiten angegeben. So betägt die avitationsfeldstäke in den geogafischen Beiten Mitteleuopas 9,8 N kg -, wähend die Schweebeschleunigung 9,8 s - betägt. Zu Veanschaulichung des avitationsfeldes benutzt an eldlinien. Als Richtung de eldlinien wählt an die Richtung de avitationsfeldstäke. Das avitationsfeld de de ist annähend kugelsyetisch. In zweidiensionale Dastellung escheint es als Radialfeld. 4. POTNTILL NRI IM RAVITATIONSLD Die i Kapitel III aufgestellte oel fü die potentielle negie POT g h setzt voaus, dass die avitationskaft konstant ist. Dies ist in de Nähe de dobefläche annähend gegeben. Beschänken wi das Anheben eines Pobeköpes jedoch nicht eh auf ednahe Beeiche, sonden weiten es auf goße Höhen aus, kann die avitationskaft nicht eh als konstant gelten. ü die auf einen Pobeköpe it de Masse avitationsgesetz von Newton Zu Heben des Pobeköpe uss gegen diese von de Abstand abhängende Kaft negie aufgebacht weden. wikende avitationskaft gilt dann das zu dittelpunkt De Pobeköpe öge sich zunächst auf de dobefläche befinden und vo Zentu de de den Abstand haben. soll in de Vetikalen, also paallel zu den eldlinien, nach oben bewegt weden, bis e vo dittelpunkt den Abstand besitzt. U die fü diese Anheben efodeliche negie zu beechnen, denkt an sich den esatweg in eine goße Anzahl kleinee Wegintevalle zelegt, die so beschaffen sind, dass die avitationskaft fü jedes diese Intevalle als konstant betachtet weden kann. ü das este von nach eichende Intevall betägt die avitationskaft a Anfang de Intevalls A a nde des Intevalls. RAVITATION 9

10 RAVITATION Man vewendet nun einen Mittelwet, inde an als ittlee ntfenung i das geoetische Mittel von und einsetzt : i. Dann egibt sich fü die ittlee avitationskaft i esten Intevall i. Diese Mittelwet kann fü das ganze este Intevall als konstant angesehen weden, so dass zu Anheben des Köpes i esten Intevall die negie aufgebacht weden uss it. In analoge Weise egibt sich fü die als konstant zu betachtende ittlee avitationskaft des zweiten, von bis eichenden Intevalls. Die in diese Intevall aufzuwendende negie ist dann. ü ein dittes, von bis eichendes Intevall, ehält an entspechend Diese Vefahen kann dann auf alle übigen Intevalle ausgedehnt weden. U die esatenegie zu bestien, die zu Anheben des Köpes bis auf den Abstand efodelich ist üssen alle Teilenegien addiet weden. Dabei egibt sich n n... n n n... Das hie gefundene gebnis gilt natülich nicht nu fü den all, dass die de die feldezeugende Masse ist, sonden es handelt sich u eine fü alle feldezeugenden Massen gültige kenntnis, die allgeein so fouliet weden kann. U einen kleinen Pobeköpe de Masse in eine von de kugelföigen Masse M ezeugten avitationsfeld gegen die ewichtskaft von de Punkt P it de Abstand vo Zentu de feldezeugenden Masse Zentalköpe nach eine Punkt P it de Abstand zu bingen, uss die negie, M aufgewendet weden.

11 Wid de Pobeköpe, z.b. ein Satellit, vo Zentalköpe, z.b. de de, wegbewegt ( > ), dann ist die negie göße als Null und de avitationsfeld wid negie zugefüht. Ugekeht wid de avitationsfeld negie entzogen, wenn sich de Satellit de de nähet, denn nun gilt <. Diese negie ist als potentielle negie i avitationsfeld gespeichet. ü die potentielle negie POT kann de Ausgangspunkt ode Bezugspunkt P beliebig gewählt weden. So könnte an i all des dfeldes die dobefläche wählen it = = R. s ist abe üblich in de Physik fü die potentiellen negien in Kaftfelden den Bezugspunkt P ins Unendliche zu legen it. Die potentielle negie eines Köpes de Masse i adialen avitationsfeld eines Köpes de Masse M ist in eine Punkt P ( ) gegenübe de Bezugspunkt i Unendlichen POT, M I Unendlichen ( ) ist die potentielle negie POT, =. Da dies de höchste Wet ist, den die potentielle negie i Kaftfeld annehen kann, sind die potentiellen negien alle endlichen Abstände stets negativ. RAVITATION