GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK

Transkript

1 Volesungsskipt GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK Pof. D. Fank Richte Skipt angefetigt von cand. phys. Stefan Welzel Technische Univesität Chemnitz Fakultät fü Natuwissenschaften Institut fü Physik

2 Vowot VORWORT Das voliegende Skipt basiet auf de Volesung in Expeimentalphysik fü Studenten des. und. Semestes des Diplomstudiengangs Physik. Die Volesung ist, anschließend an eine Einleitung, in vie goße Teilbeeiche gegliedet: Mechanik Themodynamik Elektizitätslehe Optik Zu besseen Oientieung finden sich am Rand folgende Symbole: Definitionen/Meksätze Beispiele SI Kommentae/Intepetationen/Diskussionen Definition von Einheiten nach dem SI-System (..) Gleichungsnummeieung Nebenechnung Wid im Rahmen de Eläuteungen auf eine Gleichung aus einem voangegangenen Kapitel Bezug genommen, so geschieht dies duch Voanstellen de jeweiligen Kapitelnumme vo die entspechende Gleichungsnumme (z.b. veweist die Angabe ( - 6) auf Gl. (6) in Kapitel ) Desweiteen weden im Text wichtige physikalische Gundbegiffe gesondet hevogehoben, die dann auch im Sachegiste aufgelistet sind. Weitee im Text vewendete Symbole sind: Schlussfolgeungen <..> Veweis auf andee Kapitel {..} Quellenangabe I

3 Inhaltsvezeichnis INHALTSVERZEICHNIS VORWORT...I INHALTSVERZEICHNIS...II D. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Elektostatik Elektische Ladungen Elektisches Feld Spannung und Potential De elektische Dipol Gleichstom Stomstäke OHMsches Gesetz und einfache Stomkeise Leitungsmechanismus Enegie und Leistung elektische Stöme Leite im elektischen Feld Gundsätzliches Influenz Kapazität Kondensato im Stomkeis Enegie von Ladungsveteilungen Isolatoen im elektischen Feld Die Veschiebungsdichte Einige gundlegende Expeimente Intepetation de Egebnisse Mechanismen de dielektischen Polaisation Enegiedichte des elektischen Feldes im Dielektikum Piezoelektizität und Elektostiktion; Feoelektizität Gundlegendes zu Magnetfelden Die LORENTZ-Kaft Käfte auf Stöme im Magnetfeld Magnetfeld eines geaden Leites Einige allgemeine Eigenschaften des Magnetfeldes Die magnetische Feldgöße H Usachen von Magnetfelden De Satz von BIOT-SAVART Bewegte Bezugssysteme II

4 Inhaltsvezeichnis 3. Induktion Gundlegende Expeimente Rolle de LORENTZ-Kaft, LENZsche Regel und andees Induktivität; Spule im Stomkeis Enegiedichte im Magnetfeld Magnetische Mateialien Magnetisieung Diamagnetismus und Paamagnetismus Feomagnetismus Eisenjoche und Elektomagnete Stuktu de Feomagnetika Antifeo- und Feimagnetismus Wechselstom I Ezeugung von Wechselstömen Effektivwete von Stom und Spannung Wechselstomwidestände Beispiel: R und L in Reihe Wechselstomkeise und komplexe Zahlen Blind-, Schein- und Wikleistung Skineffekt Wechselstom II Siebkette und Spekeis Dehstom De Tansfomato Elektische Maschinen Elektomagnetische Wellen Die MAXWELLschen Gleichungen Elektomagnetische Wellen: Einfühung Ebene Elektomagnetische Wellen Enegiedichte und Enegiestömung De Dipoloszillato Wellengleichung... 8 LITERATURLISTE...IV QUELLENVERZEICHNIS... V PHYSIKALISCHES BEGRIFFSSYSTEM...VI SACHREGISTER... VII III

5 D. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Wämelehe

6 Elektizitätslehe Elektostatik 5. Elektostatik 5.. Elektische Ladungen Es gibt zwei Aten elektische Ladung: positive und negative Ladung ist gequantelt. Kleinste Einheit ist die Elementaladung e e,6 9 C () Maßeinheit fü die elektische Ladung Q ist das Coulomb: [ Q] A s C SI Beispiele: Elementateilchen Elekton, negativ q e Poton, positiv q P Quaks (bishe nicht als einzelne Teilchen qq isolieba) e + e e bzw. e 3 3 Ladung bleibt im abgeschlossenen System stets ehalten. Geladene Teilchen behalten ihe Ladung (tivial). Bei Elementateilcheneaktionen entstehen imme paaweise x (+e) und x (-e), z.b. (hochenegetisch) Elekton Positon sogenannte Paabildung: γ e + e + Gesamtladung: + Die elektische Kaft zwischen zwei geladenen Teilchen ist ca. 4 -mal göße als die Gavitationskaft. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab: Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an: Kaft zwischen zwei Ladungen Q und Q (COULOMBsches Gesetz): QQ F 4πε ε... Influenzkonstante (ε 8,854 - As V - m - ) () Daaus folgt sofot, dass auch elektisch aufgeladene Köpe nu eine elativ geinge Nettoladung besitzen.

7 Elektizitätslehe Elektostatik Kommenta: Gl. () ist zunächst die Kaft auf Q. Die Kaft auf Q ist dem entgegengesetzt (actio eactio). gleichnamige Ladungen F ~ Abstoßung ungleichnamige Ladungen F ~ Anziehung analog zu Gavitation (Gl. (5-4)) ist: F ~ Q Q F ~ F ~ De Popotionalitätsfakto (analog zu Gavitationskonstanten γ) egibt sich aus den vewendeten Maßeinheiten. 4πε Bei Fomeln im cgs-system fehlt das, dafü wid Q in elektostatischen Einheiten gemessen (teilweise in ameikanische 4πε Liteatu). 5.. Elektisches Feld Wiedeum analog zu Gavitation (vgl. <5..>) ist es oft zweckmäßig, die Feldstäke zu betachten. Wenn auf die Ladung Q am Ot die Kaft F( ) wikt, heißt das, dass dot die elektische Feldstäke E( ) hescht. F() E() Q Mit andeen Woten: Die Kaft auf eine Ladung Q egibt sich dann aus F() Q E() (3) (4) In diesem Sinne ehält man duch Vegleich mit Gl. (): E () Q E() 4πε 3 ist das Feld de Ladung Q am Ot. E() Q ist dann die Kaft auf Q. (5) 3

8 Elektizitätslehe Elektostatik De Feldbegiff ist natülich vo allem dann nützlich, wenn man nicht zwei einzelne Ladungen hat, sonden eine (Punkt-)Ladung im Feld eine komplizieten Ladungskonfiguation: Dann beechnet man ein fü allemal die Feldveteilung im Raum R und ehält an jedem Punkt die Kaft auf q, ohne jedesmal die veschiedenen Käfte übelagen zu müssen. Setzt man in Gl. (3) die SI-Einheiten ein, so zeigt sich fü die Maßeinheit: N V [ E] C m N m J [W] V SI, (6) C C [Q] Die Maßeinheit Volt hat also etwas mit Enegie po Ladung zu tun Beispiel: 3 Ladungen (+3e, -e, -e) Konvention: Feldlinien gehen von + nach -. De elektische Fluss Φ duch eine Fläche bescheibt die Anzahl de Feldlinien, die diese Fläche duchdingen. a) Feld senkecht zu Fläche A: dφ Φ E da E da (7) Fläche 4

9 Elektizitätslehe Elektostatik b) Feld schäg zu Fläche A (jedoch gleiche Feldliniendichte wie im Fall a)): Duch die Neigung eduziet sich die Dichte de Duchstoßpunkte in de Fläche d Φ E da cosα (8) Dabei ist α de Winkel zwischen de Obeflächennomale A und de Richtung des elektischen Feldes E. Es gibt zwei Genzfälle: α Gl. (7) α 9 es titt kein Feld duch die Fläche Gl. (8) können wi auch als Skalapodukt scheiben, wenn wi da als Vekto da betachten: Richtung v da Obeflächennomale Betag von da Göße des Flächenelementes ( da da) Damit wid Gl. (8) zu: dφ Φ E da E da (9) Fläche Wi betachten nun eine geschlossene Fläche um ein bestimmtes Volumen und es zeigt sich, dass fü geschlossene Flächen gilt: Φ geschl. Fläche Fläche E da ε geschlossene Fläche um das Volumen V Q ges,im Volumen... Ladungsdichte ρ dv ε Volumen Volumen, dass von de Fläche umschlossen wid () Mathematisch ist dies de Integalsatz von GAUß-OSTROGRADSKI. Diskussion: Anhand des Feldlinienbildes zu Beginn dieses Beispiels wid plausibel, dass sich die elektischen Flüsse Φ(A I ), Φ(A II ) und Φ(A III ) wie -:+3:- vehalten, also wie die Ladungen. Geschlossene Flächen, die keine Ladung enthalten, fühen lt. Gl. () auf Φ. Dies ist plausibel, da jede Feldlinie, die in das Volumen hineinfließt, auch wiede heausgeht, d.h. Φ(A ). 5

10 Elektizitätslehe Elektostatik 5.3. Spannung und Potential Ein elektostatisches System (d.h. igendeine Anodnung von Ladungen im Raum) ist also chaakteisiet duch ein elektisches Feld E( ). E() E x () i + E y () j + E z () k d.h. fü jeden Punkt gibt es einen Feldstäkevekto E( ), de, falls sich bei eine Ladung q befindet, gemäß Gl. (4) die Kaft auf diese Ladung festlegt. () Wi wollen jetzt - analog zum Gavitationspotential, das gleichzeitig mit dem Gavitationsfeld existiet und die potentielle Enegie festlegt (vgl. <5.3.>) - das elektostatische Potential heleiten. Das Veschieben de Ladung q im Feld E( ) um d efodet den Abeitsaufwand Abeit Kaft Weg dw - F d q E d F () Kommenta (zum Vozeichen): Wenn F in die Richtung wikt, in die man bewegt, also F d ( F ~ d ), baucht man nicht zu schieben, sonden die Ladung bewegt sich von allein. es muss negative Abeit aufgebacht weden, d.h. es wid Abeit fei. Fü Bewegung gegen Widestand, also F d, wid F d < also dw >, d.h., man muss Abeit aufwenden. Betachtung eine makoskopischen Bewegung von nach : aus Gl. () folgt: W F d q E d Es zeigt sich, dass E d - wie beim Gavitationspotential - unabhängig vom Weg ist, also nu von Anfangs- und Endpunkt abhängt. (3) Wi definieen die (elektostatische) Potentialdiffeenz U zwischen und. Diese Potentialdiffeenz heißt auch Spannung zwischen den Punkten und. Das elektostatische Feld ist auch ein Zentalfeld (vgl. <4..>) 6

11 Elektizitätslehe Elektostatik U E d Die aufzuwendende Abeit fü die Veschiebung folgt also einfach zu Abeit E pot q U W (4) (5) Gl. (4) liefet die Gestalt des Potentialgebiges U( ) im ganzen Raum, wenn man z.b. festhält und übe den ganzen Raum vaiiet. Die absolute Höhe des Potentials ehält man nicht und diese ist auch physikalisch uneheblich und fei wählba. In de Regel wid das Potential so gewählt, dass es fü unendlich weit entfente Punkte gleich Null wid. Beispiel: Wi sehen uns das Potential eine Punktladung an. Hie ist (in skalae Scheibweise) E() Q 4 πε (5 ) Jetzt echnen wi fü diesen Fall Gl. (4) aus U ( ) U( ) U Q 4 πε 4πε Q Q 4πε Also zunächst ist d d C Q Q C Q Q C + + 4πε 4πε 4πε 4πε U( ) ( ) Q U() + C 4πε U d wegen C d 7

12 Elektizitätslehe Elektostatik Wi setzen abe C, damit sich fü U egibt. Das Potential eine Punktladung Q betägt somit U() Q 4πε (6) Zwischen U() und E() besteht de Zusammenhang du d du d Q 4πε d d Q 4πε Q E 4πε (7) Im allgemeinen Fall egibt sich anstelle von Gl. (7) E gad U (8) Wi betachten Flächen konstanten U s (Äquipotentialflächen) gad U ist ein Vekto, de die Richtung des Anstiegs von U angibt. E steht senkecht auf den Äquipotentialflächen und zeigt in Richtung fallenden U s Egänzung fü die Spezialisten Wi betachten Gl. () fü den Fall, dass das Volumen, um das heum integiet wid, nu noch ein kleines dv ist. Fü diesen Genzfall gilt: "um dvwüfel heum" E da div E dv 8

13 Mit de so definieten Divegenz des E -Feldes folgt aus Gl. () Elektizitätslehe Elektostatik div E dv dq ρ ε ε dq ρ... Ladungsdichte dv Aus Gl. (8) folgt zunächst div E div gad U U dv (9a) (9b) Dabei ist de sogenannte Laplace-Opeato, eine Abküzung fü div gad x + y + z Aus Gl. (9a) und Gl. (9b) ehält man U ρ ε () Gl. () heißt POISSON-Gleichung De elektische Dipol... ist ein Paa gleichgoß-entgegengesetzte, miteinande vebundene Ladungen. Man definiet das Dipolmoment p als p l q l... Vekto von -q nach +q (Konvention) () Das Dipolmoment ist also umso göße, je göße ±q ist und je weite die Ladungen voneinande entfent sind. De elektische Dipol ist eine Abstaktion. Dipole gibt es abe auch in de Realität, z.b. das HF- Molekül (Wegen dessen gößee Elektonegativität veschiebt sich de Schwepunkt de Elektonenwolke zum Fluoatom hin, woduch das Molekül Dipolchaakte ehält.) 9

14 Elektizitätslehe Elektostatik Das elektische Feld eines Dipols ist die vektoielle Übelageung de Felde von -q und +q zum esultieende Feld E dip Insgesamt sieht das Dipolfeld etwa so aus (otationssymmetisch um l ): Befindet sich de Dipol in einem äußeen Feld so egibt sich folgende Konstellation: Die dagestellten Käfte egeben sich mit Gl. (4) bzw. leiten sich aus de Vostellung ab, dass das E -Feld von extenen Ladungen heühen könnte, die anziehen ode abstoßen. Die beiden Käfte vesuchen den Dipol E zu dehen: Im homogenen Feld ist F F + und die beiden Käfte bilden ein Dehmoment: M l F (9-5)

15 Elektizitätslehe Elektostatik l titt hiebei an die Stelle von SP Mit F q E folgt dann in Gl. (9-5). M M l q E q l E p p E () Wenn das Feld inhomogen ist, efahen die Ladungen unteschiedliche Käfte, d.h. F + und F bilden ein Dehmoment M und eine esultieende Kaft. Dehung (Ausichtung) und Bewegung des Dipols Beispiel: Dipol im Feld eine (goßen) Punktladung nach de Ausichtung Wegen Gl. (5) mit E ~ wid die negative Ladung (-) stäke angezogen als die positive (+) abgestoßen wid De Dipol bewegt sich nach echts

16 Elektizitätslehe Gleichstom 6. Gleichstom 6.. Stomstäke Wähend de Zeit dt fließe duch den Queschnitt eines Leites die Ladung dq es hescht die Stomstäke dq I dt () Maßeinheit: As C [ I] A SI s s Die Maßeinheit Ampee entspicht also dimensionsmäßig Ladung po Zeit. Wenn man bedenkt, dass Stöme fließende Ladungen sind und Ladungen ehalten bleiben, egibt sich egelecht tivial die KIRCHHOFFsche Knotenegel: An jedem Knoten eine Schaltung muss ebensoviel Ladung zu- wie abfließen. Die Summe alle Stöme ist Null. Ii i () Wi wissen, dass die elektostatische Potentialdiffeenz unabhängig vom Weg ist (vgl. <5.3.>). Dies gilt auch in eine elektischen Schaltung UAB (Weg I) UAB(Weg II) (3) damit folgt sofot U (Weg I) U (Weg II) (4) AB AB Dies ist die Summe de Spannungsabfälle längs eine geschlossenen Masche Gl. (4) ist eine Fom de KIRCHHOFFschen Maschenegel: Die Summe alle Spannungsabfälle längs eine geschlossenen Masche ( um eine Masche vollständig heum ) ist Null. Dies gilt auch, wenn Spannungsquellen in de Masche enthalten sind i U i (5)

17 Stom hat eine magnetische Wikung, d.h., um einen stomduchflossenen Leite heum existiet ein Magnetfeld. Und es gilt: Magnete ziehen sich an ode stoßen sich ab. Elektizitätslehe Gleichstom Stomduchflossene Leite üben anziehende ode abstoßende Käfte aufeinande aus. Pinzipdastellung: a) b) Übe diese Kaft ist das Ampee definiet: Wenn bei Anodnung a) mit einem Dahtabstand von m eine Kaft von -7 N po m Dahtlänge hescht, entspicht dies de Stomstäke von A. 6.. OHMsches Gesetz und einfache Stomkeise Bei vielen wichtigen Leiten (Metalle, Elektolytlösungen) wid Popotionalität zwischen Stom und angelegte Spannung beobachtet: I ~ U De Popotionalitätsfakto ist de sogenannte Leitwet, sein Kehwet heißt Widestand R. Leitwet I U R U I R U R (6a) (6b) Dies ist das OHMsche Gesetz. Betachtungsweisen: Bei gegebenem R uft U (entspicht U q in nachfolgende Abbildung) den Stom I hevo. Bei Einspeisung eines bestimmten Stomes I ( Aufpägung ) in den Widestand R fällt an diesem die Spannung U (entspicht U R de nachfolgenden Abbildung) ab. Diese Tatsache wid ab <9.> weite vetieft 3

18 Elektizitätslehe Gleichstom aus den KIRCHHOFFschen Gesetzen folgt Uq + UR U q U R De Widestand eines homogenen Mateials beechnet sich nach l R ρ (7) A ρ... spezifische Widestand (mateialabhängig) A... Queschnittsfläche Maßeinheit: [U] V [ R] Ω [I] A... Ohm Maßeinheit: [ρ] [A] m [R] Ω [l] m SI Beispiele: Mateial in W m (bei 8 C) Ag,6-8 Cu,7-8 Al,7-8 seh gute Leite Fe 9,8-8 a-sio 5, 6 seh gute Isolato Kombination von Wideständen a) Reihenschaltung (Spannungen addieen sich) U U i i mit Gl. (6b) folgt U I R i I i i R i I R ges R ges i R i (8) Oft wid auch die Einheit Ω cm vewendet 4

19 Elektizitätslehe Gleichstom b) Paallelschaltung (Stöme addieen sich) I I i i mit Gl. (6a) folgt I U U R U i R i i i R ges R ges i R i (9) Also: R ges ist kleine als de kleinste R i. Hie addieen sich die Leitwete R. Konsequenzen beim Messen: a) Stommessung In einen gegebenen Stomkeis wid nachtäglich ein Ampeemete eingebaut. R : R + R Amp aus dem OHMschen Gesetz folgt sofot I U R U R + R Amp Also: Stommesse müssen möglichst niedeohmig sein. b) Spannungsmessung Spannungsquellen gehen nomaleweise in die Knie, d.h., sobald man ih einen Stom entnimmt, sinkt ihe Klemmenspannung etwas unte den Wet U, de sogenannten Leelaufspannung. Vostellung: Spannungsquelle hat in sich einen sogenannten Innenwidestand, an dem auch Spannung abfällt, sobald Stom fließt. Aus den KIRCHHOFFschen Regeln ehält man U + I R i U bzw. U U I R i U... Klemmenspannung 5

20 Elektizitätslehe Gleichstom Mit diese Reduzieung kann man leben, wenn sie konstant ist. Abe jetzt wollen wi die Spannung messen Wegen de Paallelschaltung des Voltmetes mit R V egibt sich mit Gl. (9) R : R + R V Dies bedeutet nu dann keine Ändeung, wenn R V >> R ist Also: Spannungsmesse müssen möglichst hochohmig sein. Wi betachten den Spannungsabfall übe einem homogenen Mateial: Dieses kann als Reihenschaltung seh viele kleine Widestände aufgefasst weden. Wegen de Homogenität des Mateials hescht im Innen eine konstante Feldstäke. Somit liefen Gl. (5-4) bzw. (5-8) einen lineaen Spannungsabfall Leitungsmechanismus In Metallen ist ein Teil de Elektonen nicht an die Atomkene gebunden, sonden im gesamten Metallköpe fei beweglich (ca. e - /Atom). Vesuch von TOLMAN feie Elektonen weden nach außen getieben (Zentifugalkaft im otieenden Bezugssystem) Aufbau eines E -Feldes, das dem entgegenwikt Gleichgewichtszustand, in dem Elektonen außen angeeichet sind. De Vesuch liefet das Vehältnis e/m, wegen des Wechselspiels zwischen elektische Kaft (~ Ladung e) und Tägheitskaft (~ m). Leitung in Metallen wid duch Bewegung de Elektonen bewekstelligt. Wi beschänken uns hie auf die wichtigsten Leite, die Metalle 6

21 Elektizitätslehe Gleichstom Oft ist es günstige, die Stomdichte j (Stom/Queschnittsfläche) zu nehmen. (Gegebenenfalls kann man integieen und ehält wiede den Stom I.) j di da j n v e n... Ladungstägedichte (Dichte de fei beweglichen e - ) po Volumen, v... mittlee Diftgeschwindigkeit de Ladungstäge, e... Ladung po Ladungstäge () Wi betachten den Stomfluss duch einen Köpe (A, l): U I R (6a) mit Gl. (7) ehält man j j I I A A U : A ρ l U U E l ρ l E E () ρ Gleichsetzung von Gl. () und () mit n, e, ρ als gegebenen Konstanten liefet v ~ E De Popotionalitätsfakto heißt Beweglichkeit de Ladungstäge, µ. v µ E () Bei gegebenem µ (d.h. gegebenem Mateial) egibt sich fü bestimmte Feldstäken E jeweils eine bestimmte Diftgeschwindigkeit v. Dies escheint zunächst ungewöhnlich, da eine konstante Feldstäke E, d.h. konstante Kaft, eine konstante Beschleunigung, und damit eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit v ~ t bewiken müsste Ekläung: Die Ladungstäge unteliegen eine Reibungskaft, woduch die Geschwindigkeit v in eine Sättigung übegeht (analog zum Kugelfall-Viskosimete). Übepüfung de Dimension: Teilchen m C C Stom [ j], q.e.d.. m 3 s Teilchen m s Fläche 7

22 Elektizitätslehe Gleichstom Eine Abschätzung fü ein eales Metall (Cu) mit e - /Atom, gegebenem µ und "nomale" Feldstäke E liefet v,4 mm s -. Also: Die Diftgeschwindigkeit de Elektonen im Metall ist elativ niedig. Jedoch: Das E -Feld beitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und damit auch die Signale (vgl. schlagatiges Anucken eine Maschkolonne ) Einflüsse auf µ: Tempeatu (Widestandsthemomete, Supaleitung) Duck (Dehnungsmesssteifen) 6.4. Enegie und Leistung elektische Stöme Wi veschieben eine Ladung zwischen zwei Oten mit dem Potentialunteschied U (also eine Spannung U zwischen diesen Oten). Dabei wid Enegie fei, und zwa (vgl. Gl. (5-5)) W Q U (3) Im Vakuum wüde diese Enegie zu Beschleunigung de Ladung benutzt. (So funktionieen Teilchenbeschleunige ode Elektonenmikoskope) Beim Stomfluss in Leiten ist abe v µ E, also bei gegebenen Bedingungen konstant. Gund: Reibungskaft (vgl. <6.3.>) Die Enegie, die die Ladungen feisetzen, wenn sie den Potentialbeg hinuntegleiten, wid übe Reibung in Wämeenegie umgewandelt. Die in Wäme umgewandelte Leistung P egibt sich mit Hilfe von Gl. (3) P W& U Q& mit Gl. () folgt: P U I (4) Also: Stom duch einen Leite Spannungsabfall übe ihn im Leite umgesetzte Leistung. Bei OHMschen Leiten kann man scheiben P U I I R (mit Gl. (6b)) (5) bzw. U P U I (mit Gl. (6a)) (6) R 8

23 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld 7. Leite im elektischen Feld 7.. Gundsätzliches Die POISSON-Gleichung U x + y + z U bescheibt den Zusammenhang zwischen Ladungsveteilung ρ ( ) im Raum eineseits und Potentialveteilung U( ) andeeseits. ρ ε (5- ) Mit U( ) ist wegen E() gad U() i + j + k U() x y z gleichzeitig die Feldstäke E( ) gegeben. (5-8) Die POISSON-Gleichung hat unte gegebenen Randbedingungen stets eine eindeutige Lösung. Mitunte kann diese Lösung schon eaten weden. Beispiel: Feld eine beliebigen kugelsymmetischen Ladungsveteilung Feldstäke E auf Außenkugel ist übeall gleich Fü den Fluss folgt damit Φ() 4π E() (Kugelobefläche) () Andeeseits ist Φ geschl. Fläche Q ε (5- ) Gleichsetzen von Gl. () und (5-) liefet Q ε 4π E() Das kann auch etwas seh veücktes sein - einzige Bedingung ist Kugelsymmetie 9

24 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld Bei weitee Umfomung ehält man eine schon bekannte Gleichung E() Q 4 πε (5-5) Das Feld um eine beliebige kugelsymmetische Ladungsveteilung ist also gleich dem eine Punktladung mit Q Q ges. Ladungsveteilung im Mittelpunkt. Wi untesuchen nun elektische Felde in einem Leite. Solange im Leite ein elektisches Feld hescht, weden die Ladungstäge dem folgen, bis E ist. Das Leiteinnee ist feldfei (E ) und liegt damit auf ein und demselben Potential (U const.) De Leite besitze jetzt einen leeen Hohlaum: Das Leiteinnee ist feldfei (s.o.) und im Hohlaum existieen keine Ladungen ( lee ), also keine Quellen und Senken fü E. Leee, leiteumschlossene Hohläume sind feldfei. (E ) Wi wissen jetzt, dass das Innee eines Leites und auch leee Hohläume in ihm imme feldfei sind, auch bei Existenz äußee elektische Felde. Ein Metallkasten ode Netzkäfig schimt E -Felde ab und wid als FARADAYsche Käfig bezeichnet. Jetzt sei de Leite geladenen: Die (Übeschuss-)Ladung setzt sich an die (äußee) Obefläche, egal, ob ein Hohlaum existiet ode nicht, und bildet dot eine Flächenladungsdichte. Dies ist enegetisch günstige als die Ansammlung an de inneen Obefläche ( Ladungen auf maximalem Abstand ) Nach außen hat de geladene Leite ein Feld, das jedoch imme genau senkecht auf de Obefläche steht: Feldkomponenten in de Obefläche wüden zu Stömen fühen, solange, bis diese Komponente veschwunden ist. (koekte: Es weden solange Ladungen veschoben, bis das duch sie aufgebaute Gegenfeld das uspüngliche E -Feld vollständig kompensiet.)

25 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld Mit einem Ladungslöffel kann man leicht Ladungen auf de inneen Obefläche eines FARADAY-Beches abladen, da die Ladungen sofot nach außen fließen; gegebenenfalls bis zu Entstehung goße Potentialunteschiede zwischen Außen-Obefläche und Umgebung (Pinzip des Bandgeneatos, Ezeugung von Megavolt) Betachten wi nun eine geladene Kugel: Wi haben am Anfang des Kapitels gesehen, dass das Feld um eine geladene Kugel (die ja auch eine beliebige kugelsymmetische Ladungsveteilung ist) gleich dem eine Punktladung ist. Innehalb ist es, wie wi jetzt wissen, Null. Analog das Potential: es ist außen und bis einschließlich de Obefläche selbst gleich dem eine Punktladung, und zwa Q U() (5-6) 4πε Innen ist das Potential dann konstant. Dot, wo die Ladung sitzt (am Kugeladius R) gilt Q U() () 4πε R Zwei Kugeln (R, Q ), (R, Q ) haben also dann gleiches U, wenn Q R Q R ( ) ist (vgl. auch Gl. ()). Da die Ladungen auf den Obeflächen veteilt sind, betachten wi jetzt die Flächenladungsdichten. σ Q 4πR (3) Q Wenn konstant ist (in Gl. ( )), muss σ ~ sein R R Kleine Kugeln efoden also goße Flächenladungsdichten und umgekeht, wenn ein bestimmtes konstantes U eingehalten weden soll. Dies gilt auch fü unteschiedlich gekümmte Stellen de Obefläche eines unegelmäßig gefomten Leites:

26 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld Damit die Obefläche wiklich eine Äquipotentialfläche ist und die Feldlinien senkecht austeten, muss σ je nach Kümmungsadius unteschiedlich sein, so dass σ ~ R - ist. wegen R >> R gilt E << E (d.h. hohe Feldliniendichte bei R ) An Spitzen kommt es bevozugt zu spontanen elektischen Entladungen. 7.. Influenz Wi bingen eine Metallköpe in ein einigemaßen homogenes E -Feld. Es kommt zu Ladungstennung im Köpe, so lange, bis das Köpeinnee feldfei ist. Betachtung: Die getennten Ladungen bauen ein Feld E ' auf, das sich mit dem äußeen Feld E zu Null egänzt. Diese Ladungstennung heißt Influenz. Wi untesuchen nun ein inhomogenes Feld: Eine gegebenen Punktladung Q wid plötzlich eine leitende Platte gegenübegestellt: Es wikt eine Kaft F auf (z.b.) eine kleine Ladung -q in de Obefläche, die daduch veschoben wid ( ), so lange, bis die entspechende Feldlinie senkecht auf de Obefläche steht.

27 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld Letztlich ist in de Obefläche eine negative Ladungsmenge angesammelt, die de Ladung Q betagsmäßig entspicht. Diese Ladung -Q ist duch Ladungstennung entstanden, insgesamt ist de Plattenköpe neutal. Wo sitzt nun abe +Q? Theoetisch unendlich weit weg, sonst wüde Gl. (5- ) (s.u.) nicht gelten Übigens: Das Feldlinienbild sieht so aus, als ob im Innen des Metallköpes eine Spiegelladung/Bildladung -Q säße. Die Ladung Q wid von de selbst induzieten negativen Ladungsveteilung in de Platten- Obefläche genauso angezogen, wie sie von de Spiegelladung angezogen weden wüde: F Q Q (5- ) 4πε Unte den hie gegebenen Bedingungen Q Q Q, d folgt fü die Kaft F zwischen de Ladung Q und de Wand Q F (5- ) 4πε 4d 7.3. Kapazität Bishe haben wi eine bestimmte Ladungsveteilung betachtet (z.b. Ladung Q auf de Obefläche eine Kugel mit dem Radius R) und daaus abgeleitet, wie goß innehalb und außehalb de Kugel das Potential U und damit die Feldstäke E sind. 3

28 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld Dabei hatte z.b. die Obefläche de geladenen leitfähigen Kugel ein Potential Q U, (5-6) 4πε R wobei wi geneell das Potential so nomiet hatten, dass U( ) ist (vgl. <5.3.>). Man kann die Sache auch andes heum betachten: Wi haben eine zunächst ungeladene Kugel vom Radius R, geben ih eine Spannung U gegenübe de unendlich entfenten Umgebung und weden finden, dass genau die Ladung Q U 4πεR (4) auf sie fließt. Eine metallische Kugel vom Radius R ist also in de Lage, po Spannungseinheit eine Ladung Q U 4πε R (5) aufzunehmen. Die Kugel hat also die Kapazität Q U 4πε C R (6) Maßeinheit: C [ C] F... Faad SI V Diskussion: Bei eine Vegößeung von R passt meh Ladung Q bei gleiche Spannung auf die Kugel, da sich die Ladungen besse aus dem Weg gehen können. Die Kapazität ist eine allgemeine Eigenschaft. Jede leitfähige Anodnung, auf die Ladungen fließen können, hat eine Kapazität de Göße Q C U (7) Eine Anodnung, bei de es in este Linie auf die Eigenschaft Kapazität ankommt, heißt Kondensato. 4

29 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld Paadebeispiel: Plattenkondensato (Fläche A, Abstand d) Anschluss de Platten an eine Spannungsquelle U auf eine Platte fließt die Ladung +Q, auf die andee -Q. Wie goß ist die Kapazität C? Zu Beantwotung nutzen wi Gl. (5-) E da geschl. Fläche Qges, innehalb d. Fläche ε (5- ) Offensichtlich sitzen die Ladungen auf den inneen Obeflächen de Platten und das Feld befindet sich im Wesentlichen im Zwischenaum. Integation übe die Fläche A* liefet E da E A ε Q (8) Da das E -Feld homogen ist, gilt E U / d, (d.h. ein lineae Anstieg des Potentials von eine Platte zu andeen) und liefet, eingesetzt in Gl. (8) U A d ε Q Umgefomt egibt sich die Kapazität eines Plattenkondensatos zu Q C U A ε d (9) Kommenta: Fü eine besondes goße Kapazität benötigt man goße Flächen A bzw. einen kleinen Plattenabstand d. 5

30 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld 7.4. Kondensato im Stomkeis Paallelschaltung Die Ladungen addieen sich, auf jeden Kondensato fließt eine bestimmte Ladung ±Q i Q ges Q i i mit C Q / U lt. Gl. (7) folgt Qges U Ci U i i C i U C ges Cges i C i () Reihenschaltung Die Spannungen addieen sich, auf jeden Kondensato fließt die gleiche Ladung, da diese nu übe Influenz hin- und hegeschoben weden können. U U ges U i i mit U Q / C lt. Gl. (7 ) folgt U ges Q i Q i Ci i C i U C ges C ges i C i () Ladevogang eines Kondensatos: Nach de KIRCHHOFFschen Maschenegel ist U U + U R C () Wi esetzen jetzt UR I R (6-6b) und UC Q C (7) 6

31 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld In Gl. () eingesetzt egibt sich bei Beachtung de Zeitabhängigkeit von I und Q U I (t) R + Q(t) C (3) Wenn man bedenkt, dass I und Q vekoppelt sind, und zwa übe I(t) dq(t) dt kann man Gl. (3) leicht lösen und ehält fü den Ladestom des Kondensatos I(t) t e R C U R I I(t ) (4) Daaus folgt duch Integation die zeitabhängige Kondensatoladung Q(t) t C U R C e (5) Kommenta: Die Kondensatoladung geht asymptotisch gegen Q C U, de Stom entspechend gegen Null. Die Geschwindigkeit, mit de sich de Endzustand einstellt, hängt von R C ab. Eine Betachtung de Dimension von R C zeigt V As [ R C] Ω F s [t] A V SI Kommenta: R C τ... chaakteistische Zeitkonstante Das Laden dauet lange, wenn die Kapazität C goß ist ( Ladungsmenge Q goß) und/ode ein goße Widestand R das Laden stak behindet. 7

32 7.5. Enegie von Ladungsveteilungen Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld Auf einem Leite befinde sich beeits eine Ladung q, so dass e daduch das folgende Potential (d.h. eine Spannungsdiffeenz gegenübe de unendlich entfenten Umgebung) besitzt q U C (7 ) Wenn wi eine weitee Teilladung dq gegen diese Spannung U heanfühen wollen, müssen wi Abeit veichten, die sich aus den Gl. (5-5 ) und (7 ) egibt: dw U dq q dq C (6) Die Gesamtabeit folgt duch Integation von Gl. (6) W Q q dq Q C C (7) Die Abeit ist als potentielle Enegie im geladenen Leite gespeichet. Man kann Gl. (7) auch mittels Q C U umfomen und ehält W C U (7 ) Diskussion: Wo steckt die elektostatische Enegie? Man kann sagen: In den vegewaltigten Ladungen, die (wenn ungleichnamig) zwangsweise getennt sind und eigentlich zueinande wollen ode (wenn gleichnamig) eigentlich voneinande flüchten wollen, abe z.b. auf dem selben Leite sitzen müssen. Man kann abe auch sagen: Die Enegie ist im Feld vegegenständlicht. Natülich sind beide Deutungen zwei Seiten deselben Medaille: Mit de Vegewaltigung de Ladungen entsteht das Feld und umgekeht. Wi sehen uns die Feldenegie am Beispiel des Plattenkondensatos an. Die potentielle Enegie ist Epot W C U A ε (lt. Gl. (9)) (7 ) d C W A ε d U U homogenes Feld: E d U E d 8

33 Elektizitätslehe Leite im elektischen Feld W A ε E d V A d ε W E V V... Volumen des feldefüllten Raumes W ε w E V w... Enegiedichte Kommenta Gl. (8) zu Beechnung de Enegiedichte des elektischen Feldes gilt allgemein, auch wenn sie hie nu fü den Plattenkondensato hegeleitet wude. (8) Als weitees Beispiel betachten wi eine leitfähige Kugel mit eine Ladung Q und dem Radius R. Die potentielle Enegie de sich abstoßenden Ladungen betägt Q W C 4πεR (7) C Q W 4πε R (9) Wenn man das Feld de geladenen Kugel E Q 4πε fü < R fü > R in Gl. (8) einsetzt und übe den gesamten Außenaum (von R bis ) integiet, ehält man als Feldenegie das schon aus Gl. (9) bekannte Egebnis W Feld Q 4πε R 9

34 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld 8. Isolatoen im elektischen Feld 8.. Die Veschiebungsdichte Es existieen zwei Aten de Beziehung elektisches Feld Ladung: a) Das Feld wid von Ladungen ezeugt. Die Ladungen sind Quellen/Senken des Feldes ( Feldlinien kommen aus Ladungen heaus bzw. gehen hinein ). Die Quelldichte des Feldes wid duch die Divegenz chaakteisiet: div E ρ ε dq ρ... Ladungsdichte dv (5- ) b) Das Feld übt auf Ladungen Käfte aus: F Q E (5-4) In b) ist E diekt enthalten, in a) mit de Popotionalitätskonstante ε. Es ist zweckmäßig, eine weitee elektische Feldgöße zu definieen, die in a) ohne Popotionalitätskonstante auskommt und dafü eine in b) hätte. Dies ist die sogenannte Veschiebungsdichte D mit div D ρ () D ist ein Vektofeld wie E, an jedem Punkt ist E() ~ D() Offenba gilt (zumindest im Vakuum ) ε D Kommenta: E Feldstäke und Veschiebungsdichte sind zwei Gößen zu Bescheibung des elektischen Feldes. De Voteil de neuen Göße wid est beim Isolato im elektischen Feld deutlich weden. Mit elektischen Felden in Stoffen haben wi uns ja bishe nicht befasst. Das Poblem Leite und elektisches Feld (vgl. <7.>) bingt in diese Hinsicht noch nichts, denn wi haben gesehen, dass in Leiten E ist. () 3

35 8.. Einige gundlegende Expeimente Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld a) Aufladen eines (z.b.) Bensteinstabes duch Reiben mit (z.b.) Katzenfell und Heanbingen von Holundemakkügelchen in die Nähe des Stabes Bildung eines induzieten Dipolmomentes im Kügelchen Anziehung des Dipols im inhomogenen Feld des Stabes (vgl. <5.4.>) b) Aufstellen eine geedeten Metallplatte zwischen Stab und Kügelchen Ansammlung positive Ladungen an de Metall-Obefläche (Influenz) de Raum hinte de Platte ist feldfei; de Leite schimt das Feld ab Es efolgt keine Anziehung des Kügelchens meh c) Aufstellen eine Isolatoplatte zwischen Stab und Kügelchen Das Kügelchen wi angezogen Das elektische Feld geift duch den Isolato duch. Ein Isolato wid auch als Dielektikum bezeichnet. d) Isolato im Plattenkondensato.) De Plattenkondensato wid lee (d.h. mit Luft zwischen den Platten) mittels eine äußeen Spannung aufgeladen. Es fließt die Ladung A ε Q C U d U (7-9) auf ihn. dia... (in Zusammensetzungen) - hinduch (giech.) 3

36 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld.) De Kondensato wid von de Spannungsquelle getennt 3.) Es wid ein Dielektikum in den Zwischenaum gebacht. Die Spannung U veinget sich auf U ε (ε > ) An de Ladungsbelegung de Platten (± Q) hat sich jedoch nichts geändet, denn bei Entfenen des Dielektikums steigt U wiede auf den alten Wet Die Definition de Kapazität C Q / U lt. Gl. (7-7) gilt allgemein. Wenn also U bei konstantem Q sinkt, muss sich C ehöht haben: ohne Dielektikum ( Vakuum ) U U ε C ε C mit Dielektikum Technische Kondensatoen haben ein Dielektikum mit goßem ε. Man benutzt die Ändeung de Kondensatokapazität, um die Mateialkonstante ε zu definieen: Die Dielektizitätskonstante ε eines Mateials ist das Vehältnis de Kapazität eines Kondensatos mit diesem Mateial im Zwischenaum bzw. ohne: ε C C Vak (3) Aufgund diese Definition ist die Dielektizitätskonstante dimensionslos. Beispiele: Mateial Dielektizitätskonstante Glas 5 - Gummi,5-3,5 Ethylalkohol 5,8 ( C) Wasse 8, (8 C) Luft,6 ( C, atm) Vakuum 3

37 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld Schlussfolgeung: Wenn de Kondensato est nach dem Einschieben des Isolatos von de Spannungsquelle getennt wid, fließt eine gößee Ladung auf die Platten: Q ε Q C vak U C U C Vak U 8.3. Intepetation de Egebnisse Wenn in Expeiment d) die Spannung sinkt, muss sich die elektische Feldstäke eduziet haben, denn im homogenen Feld des Plattenkondensatos gilt ja (vgl. <7.3.>) U E d d... Plattenabstand (4) Wegen Gl. (4) eduziet sich E genauso wie U. Vakuum... E E ε... mit Dielektikum (ε) Die Feldstäke im Plattenkondensato ohne Dielektikum ( Vakuum ) betägt lt. Gl. (7-8): E Vak Q ε A ( Flächenladungsdichte σ) (5) Mit Dielektikum eduziet sich die Feldstäke E um ε : E Diel ε ε Q A (6) Wi einnen uns, wie wi in <7.3.> E Vak lt. Gl. (5) emittelt hatten: E da Q ε geschl. Fläche A* ges, innehalb d. Fläche A* (5- ) Dies muss natülich auch jetzt noch gelten Abe das Integal übe A* mit Q ges Q auf de Kondensatoplatte hatte eben in <7.3.> das E Vak lt. Gl. (5) egeben und nicht E Diel lt. Gl. (6). 33

38 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld Innehalb von A* müssen weitee Ladungen sitzen, und zwa eine entgegengesetzte (hie: negative) Ladung Q P (Polaisationsladung) auf de Obefläche des Dielektikums. Diese eduzieen das E -Feld im Isolato, das von Q - Q P bestimmt wid. Bescheibung des (eduzieten) E -Feldes E Diel im Innen des Dielektikums: Es ist gleichwetig, ob man von Q ausgeht und übe ε eduziet gemäß Gl. (6), ode Gl. (5) nimmt (ohne ε ), abe mit de effektiven Ladung Q - QP E Diel ε ε Gl. (6) Q A ε Q QP A Gl. (5) mit effektive Ladung (7) Umgefomt aus Gl. (7) ehält man: Q p ε Q ε (8) Wi definieen die dielektische Polaisation P : P QP A (9) Die Richtung von P geht von -Q P nach +Q P, also dem E -Feld paallel geichtet. Man kann P als Dipolmoment po Volumen deuten. 34

39 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld Das Dipolmoment des polaisieten Dielektikums egibt sich zu p d Q P Dieses Dipolmoment geteilt duch das Volumen liefet: Dipolmoment p d QP V A d QP A P Polaisation (5- ) Einsetzen von Gl. (8) in Gl. (9) liefet P ε ε Q A mit folgt: Q A ε ε E Diel P ( ε ) ε χ E Diel P EDiel χ P... dielektische Suszeptibilität (Mateialkonstante, gelegentlich genutzt) (6 ) () Wi bilden nun mit Gl. () P + ε E Diel ( ε ) ε E Diel + ε E Diel E ε ε Diel ε E Diel EVak ε E Vak D () Gl. () ist die Veallgemeineung von Gl. (). Es gilt also: Wenn ein Dielektikum existiet, entsteht eine dielektische Polaisation P und das elektische Feld E eduziet sich zu E. Im Vakuum gibt es keine Polaisation und das elektische Feld E ist entspechend göße. Diel Wi können allgemein scheiben: P + ε E D () 35

40 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld Veanschaulichung: Kommenta: P zeigt von - nach + (entspechend de Definition des Dipolmomentes). E muss mit ε geeicht weden. D geht duch den Isolato hinduch, je nach ε ändet sich nu das Vehältnis von E zu P. Wichtig: Käfte auf bzw. zwischen Ladungen hängen vom E -Feld ab, sie sind dahe in Dielektika geschwächt. Beispiel: Wasse Die Wechselwikung de Ionen in Wasse (ε 8,) ist nu /ε, % so goß wie wenn die Ionen den gleichen Abstand im Vakuum hätten. Daduch wid die Dissoziation von Vebindungen in Wasse seh eleichtet, die themische Enegie eicht schon 8.4. Mechanismen de dielektischen Polaisation Fage danach, wie die Obeflächenladungen ±Q P auf dem Dielektikum zu Stande kommen können Es gibt zwei Möglichkeiten de Entstehung, die beide unte dem Einfluss eines äußeen elektischen Feldes stattfinden: Ausichtung vohandene (pemanente) Dipole, ode Schaffung (Induzieung) von Dipolen a) Induzieung von Dipolen (sogenannte Veschiebungspolaisation) Es kommt zu Tennung de Ladungsschwepunkte und Bildung eines Dipolmomentes p. Dies gilt steng nu fü die Komponente senkecht zu Obefläche 36

41 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld einfache Modellvostellung: das äußee elektische Feld E übt eine Kaft aus F Q E es existiet eine elastische (lineae) Rückstellkaft F k x x Q E k die Auslenkung x bingt ein Dipolmoment zustande p p x Q Q E k p α E α... Polaisiebakeit (Eigenschaft des Atoms) Die Polaisation P wa Dipolmoment po Volumen, so dass mit de Teilchenzahldichte n N / V (Teilchen po Volumen) aus Gl. (3) folgt n p n α E P Dipolmoment Polaisation eines Atoms (3) (4) Vegleich von Gl. (4) mit Gl. () egibt ( ε ) ε n α (5) Gl. (5) stellt eine Veknüpfung makoskopische mit atomaen Gößen da Eine dielektische Substanz haben wi uns etwa so vozustellen: Im Innen ist die Veschiebungspolaisation nicht zu spüen ( was A nach links geht, geht B nach echts ). Was insgesamt bleibt, ist die Aufladung de Obeflächen (±Q P ) 37

42 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld b) Ausichtung vohandene Dipole (sogenannte Oientieungspolaisation) Manche Moleküle besitzen ein pemanentes Dipolmoment, z.b. HF, HCl, ode H O: Im Allgemeinen sind die Dipolmomente infolge de Wämebewegung egellos ausgeichtet. Duch ein äußees elektisches Feld kann eine Ausichtung efolgen. Kommenta: Die themische Bewegung wikt de Ausichtung entgegen. Eine einigemaßen vollständige Ausichtung ist nu bei goßen Betägen de elektischen Feldstäke bzw. bei kleinen Tempeatuen zu ewaten. Bei einem E -Wechselfeld kann es duch ständiges Umoientieen zu Reibung und Wämeentwicklung kommen (ehe bei Flüssigkeiten, wenige bei Gasen) dielektische Veluste. Beispiel: Wasse im Mikowellenhed Es kann auch passieen, dass bei hohen Fequenzen die Moleküle dem Feld infolge ihe Tägheit nicht so schnell folgen können Enegiedichte des elektischen Feldes im Dielektikum Die Enegiedichte des elektischen Feldes wa im Vakuum w W V ε E (7-8) Mit D ε E gemäß Gl. () können wi scheiben w E D (6) In diese Fom gilt die Gleichung ganz allgemein, auch in Dielektika. Wi müssen nu fü D die beeits bekannte Fom vewenden: D ε ε E () Solche Mateialien weden als pa(a)elektisch bezeichnet. 38

43 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld Bei de Betachtung de Enegiedichte muss man sogfältig die konketen physikalischen Bedingungen beücksichtigen, wie an folgenden Beispielen deutlich wid: a) Wi einnen uns an das Expeiment, in dem de aufgeladene Kondensato von Spannungsquelle abgeklemmt wa und ein Dielektikum hinein- und heausgeschoben wude. Dabei blieben die Ladungen auf den Platten unveändet (Q const.), d.h. D const.: Die Enegiedichte mit Luft ( Vakuum ) ist: w E Vak D Mit Dielektikum eduziet sich bei konstantem D die Feldstäke E auf E Vak ε Fü die Enegiedichte mit Dielektikum folgt: w E ε Vak D Die Enegiedichte w wid auf /ε eduziet, was einem Übegang in einen enegieämeen Zustand entspicht. b) De Kondensato bleibt an Spannungsquelle angeschlossen. Auch hie sinkt zunächst duch das Einschieben des Dielektikums die Feldstäke E auf ε - E Vak. Dann abe fließen solange Ladungen nach, bis Spannung und Feldstäke wiede den alten Wet eeicht haben. E bleibt unveändet, abe D ist duch zusätzliche Ladungen auf das ε-fache angestiegen, da das Vehältnis E D lt. Gl. () auch hie wiede stimmen muss. Die Enegiedichte mit Luft ( Vakuum ) ist wiedeum: w E Vak D Fü die Enegiedichte mit Dielektikum folgt: w E ε Vak D Die Enegiedichte w wid bei gleiche Ladespannung des Kondensatos auf das ε-fache ehöht In technischen Kondensatoen weden Dielektika mit goßem ε vewendet. 39

44 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld Schlussbemekung: Alle bisheigen Dalegungen gelten fü den voll mit Dielektikum efüllten (Platten-)Kondensato. Wenn man beliebig gefomte dielektische Köpe in einen Kondensato hängt, kann es spezielle Effekte geben. Plausibilitätsekläung: dielektische Stab in einem Luftkondensato: Das E -Feld zwischen den Polaisationsladungen wikt voll E -Feldschwächend. Das E -Feld zwischen den Polaisationsladungen veläuft außehalb und wikt dem E -Feld im Mateial paktisch nicht entgegen Piezoelektizität und Elektostiktion; Feoelektizität Bishe haben wi die Polaisation infolge eines äußeen elektischen Feldes betachtet. Jedoch: Es existieen Festköpe, bei denen Polaisation duch elastische Vefomung ezeugt weden kann (sogenannte Piezoelektizität). Paadebeispiel: Quaz (kistallines SiO ) ({}, S. 88) 4

45 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld Kommenta: Usache ist die sogenannte polae Achse im Kistall (in den Abbildungen vetikal gezeichnet, d.h. X -Achse) Duck/Zug paallel zu polaen Achse bewikt, dass positive (+) ode negative (-) Ladungen nähe an die Obefläche ücken als im Nomalfall Duck/Zug senkecht zu polaen Achse bewikt den analogen Effekt wegen de Quekontaktion (vgl. <..>) Umgekeht füht das Anlegen eine äußeen Spannung an einen solchen Kistall dazu, dass sich diese entspechend vefomt Elektostiktion l l Piezoelektizität Elektostiktion P U (Spannungsdiffeenz zwischen den Obeflächen) geneell: l ist elativ klein ( %) l U ist elativ goß ( kv) Beispiel: Das Anlegen eine Wechselspannung entspechende Fequenz bewikt eine Schallemission des Quazes. Vielfältige Anwendungen: piezoelektische Gasanzünde (Duck Funken) piezoelektisches Stellglied (elektische Spannung elastische Vefomung, die zum Vestellen im Sub-Å-Beeich genutzt wid; seh definiet, uck- und spielfei) Raste-Tunnel-Mikoskopie (STM) emöglicht. elektomechanische Schwinge ( Schwingesonanz ) De elektomechanische Schwinge ist das Analogon zum mechanischen Schwinge mit seinem Wechselspiel zwischen kinetische und potentielle Enegie (E kin /E pot ). Beim schwingenden Quazkistall ist dies ebenso, abe gleichzeitig kommt es dabei zu einem peiodischen Umladen de Obefläche So ist die Kopplung eines Schwingquazes mit einem elektischen Schwingkeis möglich. Maßgebend ist die mechanische Eigenfequenz des Quazes, analog de eines Pependikels). Anwendung: Quazuh Feoelektizität: Manche Piezoelektika haben auch im unvefomten Zustand schon eine Polaisation, d.h. aufgeladene Obeflächen. fomale Analogie zum Feomagneten ( ohne äußee Einwikung beeits... ) Quaz ist steng genommen auch ein Feoelektikum, wid jedoch unte ealen Umweltbedingungen (adsobiete Luftfeuchte) als solches nicht wiksam. 4

46 Elektizitätslehe Isolatoen im elektischen Feld Paadebeispiel: Baiumtitanat (BaTiO 3 ) Ba +, Ti 4+, O - ; T C C Ekläung: Fü das elativ kleine Ti 4+ -Ion ist die Gittelücke zu goß. Es kann nicht in de Mitte schweben und lehnt sich an eines de 6 Sauestoff-Ionen, das sich seineseits disloziet. ({3}, S. 69) Kommenta: Eigentlich existieen 6 gleichwetige Möglichkeiten de Otsvelageung des Ti-Ions. Dies füht abe nicht dazu, dass sich die veschiedenen Velageungen egellos mischen und makoskopisch nichts wahgenommen wid, sonden es besteht die Tendenz de Fotpflanzung de Polaisation übe einen gößeen Beeich (feoelektische Domäne). Obehalb eine bestimmten Tempeatu T C (CURIE-Tempeatu) geht die Odnung veloen. 4

47 Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden 9. Gundlegendes zu Magnetfelden 9.. Die LORENTZ-Kaft Ladungen weden nicht nu von elektischen Felden beeinflusst (COULOMB- Kaft, Gl. (5-4)), sonden auch von magnetischen Felden. Expeimente zeigen: Kaft wikt nu auf bewegte Ladungen F ~ v Kaft wikt imme senkecht zu v, also keine Ändeung des Betages von v bzw. de kinetischen Enegie E kin, sonden nu Richtungsändeung Bei homogenen Magnetfelden sieht man, dass die Kaft von de Richtung von v elativ zum Magnetfeld B abhängt positive und negative Ladungen q/-q weden entgegengesetzt abgelenkt Letztlich zeigt sich, dass fü die LORENTZ-Kaft gilt: F q v B B... magnetische Feldstäke () Es gilt die Rechte-Hand-Regel: Mit Gl. () ist eine Päzisieung de expeimentellen Egebnisse möglich: F q v B sin(v,b) F wid minimal (F ) fü v B. F wid maximal fü v B. Damit ist B analog zu E übe die Kaftwikung auf elektische Ladungen definiet. Maßeinheit: [B] [F] N [q] [v] C m s Nm J C m s m J Am SI mit: P I U (6-4) 43

48 Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden [P] J A V SI s J V, damit egibt sich fü B As Maßeinheit: Vs [ B] T m... Tesla SI Eine vealtete Nicht-SI-Einheit ist das Gauß ( Tesla 4 Gauß). 9.. Käfte auf Stöme im Magnetfeld Stom in einem Leite I q n v A n... Zahl de Ladungstäge po Volumen q... Ladung po Ladungstäge v... mittlee Diftgeschwindigkeit () vgl. hiezu auch Gl. (6 - ), alledings ist in Gl. () noch die koekte Richtungsbeziehung enthalten mit: N n wobei N die Zahl de Ladungstäge im Dahtstück ist, A l folgt aus Gl. () I I B N q v A A l N q v B N F l T l B (3) F T bescheibt die LORENTZ-Kaft auf einen Ladungstäge. Die gesamte Gl. (3) hingegen dückt die Kaft auf alle Ladungstäge po Längeneinheit im Dahtstück aus. Die esultieende Kaft auf alle Ladungstäge im Dahtstück egibt sich zu F l I B bzw. F I l B (4a) (4b) dabei gilt: l I I l I l e e... Einheitsvekto in Daht-/Stomichtung l... Dahtlänge mit Vektochaakte I 44

49 Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Kommenta: Die Kaft ist unabhängig davon, wie de Stom zu Stande kommt (viele/wenige Ladungstäge, viel/wenig Ladung po Ladungstäge, goße/kleine Diftgeschwindigkeit) Entscheidend ist nu de Stom, also Ladung po Zeit. Einschub zu Richtungskonvention fü positive Ladungstäge (q > ) gilt: I E ~ v ~ I ~ j A v... Diftgeschwindigkeit de Ladungstäge In Metallen sind die fei beweglichen Ladungstäge die Elektonen (q -e), sie bewegen sich natülich entgegengesetzt. Die Fomeln gelten natülich auch dot, wi müssen nu q -e einsetzen. Wi betachten eine stomduchflossene Leiteschleife im Magnetfeld: Nu die Leitestücke AB und CD fühen zu eine Dehung. Die Käfte auf BC und D/A kompensieen einande Nun untesuchen wi den Schnitt duch diese Leiteschleife: Zu Dehung tagen nu die Kaftkomponenten senkecht zu Leiteschleife bei ( F n ). Die Kaftkomponenten tangential dazu ( F t ) kompensieen sich. Letztendlich zeigt sich, dass fü das Dehmoment M gilt: M I A sin ϑ B (5) 45

50 Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Kommenta: Das Dehmoment ist popotional zu A, d.h. entscheidend ist die Fläche ( Leitestück AB bingt die Kaft, Leitestück BC bingt den Hebelam ) Außedem ist das Dehmoment winkelabhängig (~ sin θ). Es vesucht, die Schleife senkecht zum Magnetfeld zu stellen ( maximale Wechselwikung zwischen I und B ). So funktionieen Messgeäte und Motoen Tick: Einfühung eines Vektos A mit A A, Richtung senkecht zu Leiteschleifenfläche und Beücksichtigung de Rechten-Hand-Regel bezüglich des Stomes I: aus Gl. (5) folgt damit M I A B Mitunte weden I und A zum magnetischen Moment µ de Stomschleife zusammengefasst µ I A (6) (7) M µ B (6 ) Kommenta: Das magnetische Moment µ bestimmt, wie wi noch vetiefen weden, die Stäke de magnetischen Wikung de stomduchflossenen Leiteschleife. Es steigt mit de Fläche A und/ode dem Stom I. Die stomduchflossene Leiteschleife ist das magnetische Analogon zum elektischen Dipol, das magnetische Moment entspicht dem (elektischen Dipolmoment). Das Vehalten, d.h. die Wechselwikung mit einem äußeen Feld, ist völlig analog. 46

51 9.3. Magnetfeld eines geaden Leites Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Wi betachten das Magnetfeld eines stomduchflossenen Leites Eine genaue Untesuchung (z.b. duch Messung de Kaft auf eine bewegte Pobeladung q in Dahtnähe) liefet B µ π I (8) mit de Richtung von B lt. de Rechten-Hand-Regel. Dabei ist µ die magnetische Feldkonstante ode Induktionskonstante. µ π Vs,6 Am Vs Am µ ist uspünglich einmal gemessen woden, inzwischen abe duch die Definition des Ampee in seinem Zahlenwet festgelegt. Multipliziet man die Influenz- und Induktionskonstante, folgt ε µ 8,85... As Vm, Vs Am, 8 s m Diese Wet entspicht c - (c...lichtgeschwindigkeit im Vakuum) c ε µ (9) Dies ist kein Zufall, sonden wid auch duch komplexee Betachtungen bestätigt Einige allgemeine Eigenschaften des Magnetfeldes Wi vegleichen dazu mit dem E -Feld:.) Fü das elektische Feld E wa E d U unabhängig vom Weg, d.h. E d Dies ist die aus <6..> bekannte KIRCHHOFFsche Maschenegel. (5-4) 47

52 Elektizitätslehe Gundlegendes zu Magnetfelden Wenn wi obigen Ausduck analog fü das magnetische Feld B mittels Integation längs R const. um den Daht bilden, ehalten wi B d R const. µ π µ I I R πr Es lässt sich leicht zeigen, dass allgemein gilt: B d µ geschlossene Kuve I ges, innehalb d. Kuve ().) Fü das elektische Feld E wa außedem div E ρ ε (5- ) Will man diesen Sachvehalt in integale Scheibweise ausdücken benötigt man die Beziehung da geschl. Fläche E div E dv Volumen in de Fläche Dies ist de allgemein gültige mathematische Satz von GAUß- OSTROGRADSKI, aus dem mit Gl. (5 - ) folgt E da geschl. Fläche ρ ε dv Qges,in de Fläche Vol. in ε (5- ) d. Fläche Fü das magnetische Feld B gilt wegen de selben Mathematik da geschl. Fläche B div B dv () Volumen in de Fläche Da es abe keine magnetischen Ladungen gibt, die Quellen ode Senken von Feldlinien sind, sonden magnetischen Feldlinien imme in sich geschlossen sind, gilt: div B () 48