Mathematische Kontinuumsmechanik

Transkript

1 1 Technische Universität München 2015 Vorlesung über Mathematische Kontinuumsmechanik Prof. Dr. H.W. Alt Version: Letzte wesentliche Änderung: Copyright Prof. Dr. H.W. Alt Die Verteilung dieses Dokuments in elektronischer oder gedruckter Form ist gestattet, solange die Autoren- und Copyright-Angabe, sowie dieser Text unverändert bleiben und exakt in allen Versionen dieses Dokuments wiedergegeben werden, die Verteilung ferner kostenlos erfolgt abgesehen von einer Gebühr für den Datenträger, den Kopiervorgang usw. und dafür Sorge getragen wird, dass jeder, an den dieses Dokument verteilt wird, die hier spezifizierten Rechte seinerseits wahrnehmen kann. Diese Version ist nicht endgültig, sie kann nichtrichtige Aussagen enthalten, die noch korrigiert werden. Dieses Skript wird parallel zu der Vorlesung erstellt. Diese aktuelle Version ist für Studenten der Vorlesung gedacht.

2 2 To my parents

3 Contents I Masse und Impuls 8 1 Erhaltungsgleichungen Distributionen Impulserhaltung Oberflächen Koordinatentransformation Referenzkoordinaten Übungen II Objektivität Klassische Beobachtertransformationen Lorentz Transformationen Objektivität von Differentialgleichungen Konstitutive Beziehungen Übungen III Energie und Entropie Entropieungleichung Energiegleichung Dissipationsungleichung Übungen IV Modellgleichungen Ebbe und Flut Flüssigkeitsgleichung Euler Gleichungen Schallausbreitung Nichtlineare Elastizität Wachstum fester Körper Navier-Stokes Gleichung Reaktions-Diffusionsgleichungen Temperaturabhängige Diffusion Biologische Reaktionen

4 CONTENTS 4 11 Chemische Reaktionen Prandtl sche Grenzschicht Wirbel Selbstgravitation Mischungstheorie Übungen V Höhere Momente Cattaneo s 8-Momente Gleichung Boltzmann Gleichung Die Chapman-Enskog Hierarchie Grad s 13-Momente Gleichung VI Lichtgeschwindigkeit 373

5 CONTENTS 5 Einführung Die Naturwissenschaft beschreibt und erklärt die Natur nicht einfach, sie ist Teil des Wechselspiels zwischen der Natur und uns selbst. Werner Heisenberg ( ) Die mathematische Modellierung physikalischer Phänomene führt zu Erhaltungsgleichungen, die von allen Beobachtern gleich formuliert werden müssen. Daher stellen wir in der Vorlesung folgende Prinzipien auf: die Formulierung mit Erhaltungssätzen, die Objektivität bei Beobachtertransformationen, das Entropieprinzip bzw. die freie Energieungleichung, wobei das letzte Prinzip ausdrückt, dass wir es mit irreversiblen Prozessen zu tun haben. Diese Prinzipien haben Auswirkungen auf die Behandlung physikalischer Effekte, sie haben Konsequenzen was die mathematische Existenztheorie betrifft, als auch für die Entwicklung von numerischen Algorithmen. Es soll in dieser Vorlesung dargestellt werden, wie diese Prinzipien in Standardsituationen aussehen und welche Konsequenzen zu ziehen sind. Die abstrakten Formulierungen als partielle Differentialgleichung werden so in Zusammenhang mit alltäglichen Gleichungen gebracht. Die Idee zu dieser Vorlesung ist aus meiner Veröffentlichung [12] entstanden und ich hoffe sehr, dass dieses Skript dazu beiträgt zu verstehen, wie die physikalische Theorie auf ein einfaches System von Axiomen aufgebaut ist. Es sei bemerkt, dass die allgemeinen Prinzipien in einem strengen Sinne zu verstehen sind, obwohl das im Text nicht immer so zum Ausdruck kommt. Das gilt in Standardsituationen als auch bei speziellen Theorien, sie sind allgemeine physikalische Prinzipien. Dies bestimmt im wesentlichen den Aufbau des Skriptes. Im ersten Abschnitt werden Erhaltungssätze vorgestellt, und zwar geben wir diese in der üblichen Differentialschreibweise an. Eine Formulierung mit Hilfe von Testvolumina wird als Einführung in das Kapitel I angegeben. Da viele physikalische Vorgänge nichtklassische Lösungen

6 CONTENTS 6 beinhalten, wird danach, also möglichst früh, der Begriff der Distribution eingeführt. Nichtklassische Lösungen sind etwa bei der Selbstgravitation und bei der Temperaturmessung der Standardfall. Es werden in dieser Vorlesung jedoch nur solche Beweise über Distributionslösungen gebracht, bei denen keine Größen auf der Fläche auftreten, obwohl dies häufig der Fall wäre. Das heißt, der Gauß sche Satz im Raum ist hinreichend für die Beweise, bei denen die Flächen von der Zeit nicht abhängen. Das Kapitel I enthält auch die Darstellung der Erhaltungssätze in Lagrange Koordinaten. Dazu wird eine allgemeine Transformationsformel bewiesen, die auch später bei der Beobachterunabhängigkeit sowohl im klassischen Newton schen Fall, als auch bei den Lorentztransformationen benutzt wird. Damit sind in diesem Kapitel I alle mathematischen Hilfsmittel zusammengestellt. Das Kapitel II enthält alle Aussagen über die Objektivität, wobei bei diesem Begriff gemeint ist, dass physikalische Aussagen unabhängig vom Beobachter getroffen werden müssen. Dies ist notwendig, da sonst eine Kommunikation zwischen beteiligten Wissenschaftlern unnötig verkompliziert wird, bzw. eine phsikalische Beschreibung in Büchern bzw. elektronisch unmöglich wird. Große Teile dieses Skripts basieren auf klassischen Newton Transformationen, die in Abschnitt II.1 behandelt werden. Um die Abhängigkeit der Theorie von den Transformationen zu verdeutlichen, geben wir in diesem Kapitel auch Lorentz Transformationen an, die allerdings erst im Kapitel VI benötigt werden. Das nächste Kapitel III handelt von der Energie und Entropie. Es ist eines der herausragenden Ergebnisse des 19. und 20. Jahrhunderts, die Irreversibilität von Prozessen mit einem Anstieg der Entropiedichte und des Entropieflusses in Verbindung zu setzen. Dabei wird hier der Standpunkt vertreten, dass diese Größen an sich von vornherein unbekannt sind. Erst durch die Anwendung des Prinzips wird deutlich, welche Bedingungen das Entropieprinzip an die konstitutiven Funktionen stellt. Die Aufgabe besteht also darin, das Entropieprinzip mit zu berücksichtigen und so zu einem tragfähigen Modell zu kommen. Das ist nun Aufgabe des Kapitels IV, in dem aus den verschiedensten Bereichen Modellgleichungen dargestellt werden, und zwar unter Benutzung des Entropieprinzips bzw. der Energieungleichung. Es wird klar, dass alle in den Beispielgleichungen gemachten Ungleichungen auf dieses Prinzip zurückzuführen sind. Das wird klar insbesondere bei der mathematischen Voraussetzungen der Parabolizität. Es zählen aber auch Gleichungen zu den Voraussetzungen, die keine Entropie erzeugen, aber durch das Entropieprinzip erzwungen werden.

7 CONTENTS 7 Hinweise für die Lehrenden Die Anwendung der Distributionstheorie ist wesentlich für dieses Skript, und wird gleich im zweiten Paragraphen eingeführt, wobei es zur Darstellung der Punktmechanik gebraucht wird. In den weiteren Kapiteln werden sie auf eindimensionalen Kurven und zweidimensionalen Flächen im R n angewandt. Es wird, bei gleicher Definition, auch zwischen Distributionen in D (R n ) und Distributionen in D (R n R n ) unterschieden, in dieser Vorlesung ist jede Dimension vertreten. Die erste Vorlesung wurde ein Semester im Umfang von 4Std/Woche gehalten (im Wintersemester 2011). Dies umfasste die grundlegenden Kapitel I- III, und insgesamt fünf Abschnitte aus Kapitel IV. Die Wahl der Abschnitte kann nach der besonderen Situation der Universität oder nach den speziellen Wünschen des Lehrenden gewählt werden. Im Skript wurden oft mehrere Beweise gegeben, obwohl in der Vorlesung jeweils nur ein Beweis dargestellt wurde. Zum Teil sind auch Beweise aufgeschrieben, die in der Vorlesung garnicht gebracht wurden. Dies ist bei der Auswahl des Stoffes zu berücksichtigen. Der Text ist z.z. noch im Entwicklungsstadium und wird ständig verbessert und erweitert. Die vorhandenen Paragraphen werden aber mit Sicherheit bleiben.

8 I Masse und Impuls Die Gleichungen der Kontinuumsphysik basieren auf Systemen von Erhaltungsgleichungen. In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf das einfachste System, und zwar ist dies die Erhaltung von Masse und Impuls. Mathematisch werden wir Erhaltungssätze und Distributionen einführen, die wesentlichen Hilfsmittel für dieses Kapitel. Abb. 1: Gas und fester Körper Für Ingenieure wird der Begriff der Erhaltungsgleichung mit Hilfe von Testvolumina V R n eingeführt. Dazu schreibt man die Änderung einer physikalische Größe, deren Dichte u ist, als 1 d u(t,x)dx = q(t,x) ν V (x)dh n 1 + r(t,x)dx. dt V V V Dabei bedeutet q den Fluss über den Rand des Testvolumens, und r die Rate mit der im Volumen eine Änderung der Größe u hervorgerufen wird. Das Testvolumen V ist dabei von der Zeit unabhängig, und ν V bezeichnet die äußere Normale auf dem Rand V von V. Die Tatsache, dass keine anderen Terme auftreten, ist das Charakteristikum von Kontinuumsphysik. 1 Wir verwenden die Bezeichnung H m für das m-dimensionale Hausdorffmaß in jedem R n und L n für das n-dimensionale Lebesguemaß. 8

9 CHAPTER I. MASSE UND IMPULS 9 Wir werden die Erhaltungsgleichungen zunächst für C 1 -Funktionen betrachten, also in der Version t u+divq = r. (I0.1) Dies folgt aus der Formulierung für Testvolumina mit Hilfe des Gauß schen Satzes, was man aus folgender Rechnung sieht: t u(t,x)dx = d u(t,x)dx V dt V = q(t,x) ν V (x)dh n 1 (x)+ r(t,x)dx V V = ( divq(t,x)+r(t,x))dx, also V V ( t u(t,x)+divq(t,x) r(t,x))dx = 0. Da das Gaußgebiet V beliebig ist, erhalten wir die Differentialgleichung (I0.1). Übrigens folgt die Formulierung mit Testvolumina auch aus der starken Differentialgleichung durch Umkehrung der Schlüsse. Abb. 2: Bedeutung der Distributionen (aus [45])

10 CHAPTER I. MASSE UND IMPULS 10 Viele konkrete Funktionen sind aber keine klassischen Lösungen der Differentialgleichung, so zum Beipiel das Schwerefeld der Erde an der Erdoberfläche. In diesem Falle kann die Formulierung mit Testvolumina sehr aufwändig werden. Deshalb verwenden wir hier Testfunktionen statt Testvolumina. Auf dem Raum der Testfunktionen D(U) := {ζ C (U); ζ hat kompakten Träger in U}, wobei U R R n eine offene Menge, betrachten wir hier also Distributionen U, Q und R in D (U) (siehe den Abschnitt 2), so dass t U +divq = R in D (U). (I0.2) Diese Formulierung von (I0.1) mit Testfunktionen bietet den Vorteil, dass sie allgemeiner und viel einfacher ist. Dies wird insbesondere dann deutlich, wenn man zu Beschreibungen von Erhaltungssätzen auf Flächen übergeht. Der Unterschied von Testfunktionen im Gegensatz zu Testvolumina sieht man, wenn man, rein formal (und auch durch rigorose Approximation), die charakteristische Funktionen X V durch glatte Funktionen ζ ersetzt. Es sind beide Darstellungen üblich, die Darstellung eines Erhaltungssatzes mit Hilfe von Testvolumina findet man in der Regel in Physikbüchern.

11 I.1 Erhaltungsgleichungen 11 1 Erhaltungsgleichungen Wir betrachten skalare Erhaltungsgleichungen der Form: Erhaltungsgleichung: t u+divq = r u physikalische Größe, q zugehöriger Flußvektor, r Quellterm oder Reaktionsterm. (I1.1) Also haben wir reellwertige Funktionen u, r und q i für i = 1,...,n. Hierbei ist n die Raumdimension, in der physikalischen Realität ist dies 3, kann aber auch 1 und 2 sein, wenn die Größen von den übrigen raumfüllenden Koordinaten nicht abhängen. Mathematisch kann n beliebig sein. Die Funktionen hängen von der Zeit t R und dem Ort x R n ab. Wir schreiben (t,x) U R R n, d.h. U ist der betrachtete Bereich. Diese Definition der Erhaltungsgleichung ist zunächst natürlich nur definiert, wenn u, q und r regulär genug sind, genauer wenn u und q differenzierbar sind, und r stetig ist. Definition der Ableitung: Für eine stetig differenzierbare Funktion g:r N R M und einen Vektor e R N ist die Richtungsableitung gegeben durch eg(y) = lim (g(y +he) g(y)). h h 0 1 Ist nun speziell R N = R R n, also N = n+1, und M = 1, so ist die Standardorthonormalbasis des R n {e 1,...,e n} und es ergeben sich die folgenden Formeln für g:r R n R: xi g(t,x) = (0,ei )g(t,x) (als Abbildung auf R R n ) = ei g(t,x) (als Abbildung g(t, ):R n R) 1 = lim h 0 h (g(t,x+hei) g(t,x)), 1 tg(t,x) = (1,0) g(t,x) = lim h 0 h (g(t+h,x) g(t,x)). Für eine stetig differenzierbare Abbildung g:r R n R ist der Gradient von g gegeben durch 1 g g = ( xi g) i=1,...,n =., n g

12 I.1 Erhaltungsgleichungen 12 also ist g(t,x) R n ein Vektorfeld. Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld q:r R n R n schreiben wir q = (q i ) i=1,...,n = (q 1,...,q n ) =., q n wir identifizieren also Vektoren mit Spaltenmatrizen. Die Ableitung von q ist 1 q 1 n q 1 Dq = ( xi q k ) k,i=1,...,n =.., 1 q n n q n und die Divergenz von q ist gegeben durch divq := n xi q i = tracedq. i=1 Oft wird auch der Gradient q des Vektorfeldes q benutzt, wir definieren ihn in Übereinstimmung mit dem Gradienten einer Funktion als 2 1 q 1 1 q n q = ( xi q k ) i,k=1,...,n =(Dq) T =... n q 1 n q n Man beachte diese Definitionen. Gewisse Identitäten für Ableitungen finden sich in Darstellung der Divergenz. Für ein differenzierbares Vektorfeld q und für Orthonormalbasen {e 1 (t,x),...,e n (t,x)} des Euklidischen Raumes R n gilt 3 divq = n xi q i = n e i ei q. (I1.2) i=1 Hierbei können die Basisvektoren beliebig von (t, x) abhängen. i=1 q 1 Es sei bemerkt, dass im Allgemeinen divq n ei (e i q) = n e i ei q i=1 i=1 } {{ } = divq ( n + ei e i i=1 } {{ } i.a. 0 ) q, 2 Für eine Matrix M = (M ij) i,j wird die transponierte Matrix mit M T = (M ji) i,j, der symmetrische Anteil mit M S = 1 2 (M+MT ), und der antisymmetrische Anteil mit M A = 1 (M 2 MT ) bezeichnet. 3 Das Euklidische Skalarprodukt ist gegeben durch x y := n i=1xiyi für x,y R n und analog definieren wir das Skalarprodukt für Matrizen durch R S := n m i=1 j=1 RijSij für R,S Rn m. Die reellen n m-matrizen werden mit R n m bezeichnet. Während (x,y) x y = x T y das skalare Produkt zweier Vektoren bezeichnet, wird das äußere Produkt oder Tensorprodukt durch (x,y) x y T = x y ausgedrückt.

13 I.1 Erhaltungsgleichungen 13 falls e i variabel sind. Die Tatsache, dass die Divergenz die Eigenschaft (I1.2) hat, beinhaltet die Isotropie des leeren Raumes. Beweis. Die Orthonormalität von {e 1,...,e n } bedeutet, dass Mit 4 heißt dies oder in Matrixschreibweise e i e j = δ ij für i,j = 1,...,n. e i = (e ik ) k=1,...,n also e ik = e i e k n e ik e jk = δ ij k=1 EE T = Id wenn E = (e ik ) i,k=1,...,n. (I1.3) Dasbesagt, dasse T dierechtsinversevone ist, wasabergleichderlinksinversen ist, eine Aussage für endliche Matrizen, denn (E T E Id)E T = E T (EE T Id) = 0, und da E T injektiv ist (folgt aus (I1.3)), somit surjektiv ist, folgt E T E Id = 0, also und damit Dann ist n e i ei q = n e i (Dq)e i i=1 = n k,l=1 = n k,l=1 E T E = Id δ kl = (E T E) kl = n e ik e il. i=1 i=1 n e k (Dq)e } {{ } l ( e i e k )( e i=1 }{{} i e l ) }{{} = l q k = e ik = e il n l q k e ik e il = n l q k δ kl = n i=1 k,l=1 k=1 k q k = divq. Wir geben nun einige Beispiele zur Berechnung von div q. 1.2 Beispiel. Sei eine Matrix (t,r) A(t,r) R n n gegeben und q(t,x) = A(t, x )x. 4 Wir definieren e k := (0,...,0,1,0,...,0) mit der 1 an der k-ten Stelle, so dass also {e 1,...,e n} die Standardorthonormalbasis des R n ist.

14 I.1 Erhaltungsgleichungen 14 (1) Wenn A konstant ist, so gilt divq = tracea. (2) Für stetig differenzierbares A wie angegeben gilt für x R n \{0} divq(t,x) = tracea(t, x )+ 1 x x ( ra(t, x ))x. (3) Ist n = 2 und a stetig differenzierbar mit A(t,r) = a(t,r) [ ] 0 1, 1 0 dann ist q(t,x) = a(t, x )ix und divq = 0. Beweis. Siehe den Abschnitt Übungen Polarvektoren in der Ebene. Es sei n = 2 und für x R 2 \{0} sei e r (x) := x x, e θ(x) := ix x = ( x 2,x 1 ). (I1.4) x Dann ist {e r (x),e θ (x)} ein Orthonormalsystem von R 2 und es gilt er e r (x) = 0, eθ e r (x) = 1 x e θ(x), er e θ (x) = 0, eθ e θ (x) = 1 x e r(x). (I1.5) Abb. 3: The orthonormal system {e r (x),e θ (x)} for x R 2 \{0} Beweis. Auf R 2 sind Polarkoordinaten gegeben durch x = τ(r,θ) = re iθ und dann gilt e r τ = e iθ, e θ τ = ie iθ.

15 I.1 Erhaltungsgleichungen 15 Es folgt für jede Funktion g denn ( er g) τ = r (g τ), ( eθ g) τ = 1 r θ(g τ), 1 ( er g) τ(r,θ) = lim h 0 h (g(reiθ +he iθ ) g(re iθ )) 1 = lim h 0 h (g((r +h)eiθ ) g(re iθ )) = r (g τ), 1 ( eθ g) τ(r,θ) = lim h 0 h (g(reiθ +hie iθ ) g(re iθ )) Dann ist 1 = lim h 0 h (g(r (1+ h r i)eiθ } {{ } = e i(θ+h r ) +O(h 2 ) ) g(re iθ )) 1 = lim (g(rei(θ+ h) +O( h 2 )) g(re iθ )) = 1 h 0 r h r θ(g τ). ( er e r ) τ = r (e r τ) = r (e iθ ) = 0, ( eθ e r ) τ = 1 r θ(e r τ) = 1 r θ(e iθ ) = 1 r ieiθ = 1 r e θ τ, ( er e θ ) τ = r (e θ τ) = r (ie iθ ) = 0, ( eθ e θ ) τ = 1 r θ(e θ τ) = 1 r θ(ie iθ ) = 1 r eiθ = 1 r e r τ. Wir benutzen dies um die Divergenz eines Vektofeldes q:r R 2 R 2 zu berechnen. 1.4 Divergenz in der Ebene. Jedes Vektorfeld q :R R 2 R 2 hat in R (R 2 \{0}) eine eindeutige Darstellung q = s 1 e r +s 2 e θ, wobei s 1 = q e r, s 2 = q e θ, mit s 1,s 2 :R (R 2 \ {0}) R, wobei das Orthonormalsystem wie in 1.3 gewählt sei. Es gilt in R (R 2 \{0}) divq(t,x) = er s 1 (t,x)+ s 1(t,x) x + eθ s 2 (t,x). Ist das Vektorfeld q vom Ursprung nach außen gerichtet, so ist s 1 0 und s 2 = 0, wenn sich das Vektorfeld q um den Ursprung herum dreht, so ist s 1 = 0 und s 2 beliebig.

16 I.1 Erhaltungsgleichungen 16 Beweis 1.Version. Es ist nach 1.1 divq = e r er q +e θ eθ q = e r er (s 1 e r +s 2 e θ )+e θ eθ (s 1 e r +s 2 e θ ) = er s 1 + eθ s 2 +s 1 (e r er e r +e θ eθ e r )+s 2 (e r er e θ +e θ eθ e θ ). Unter Benutzung der Regeln (I1.5) folgt mir r = x, dass dies = er s 1 + eθ s r s 1, also folgt die Behauptung. Beweis 2.Version. Es ist nach 1.1 divq = e r er q +e θ eθ q = er (e r q)+ eθ (e θ q) ( er e r + eθ e θ ) q = er s 1 + eθ s 2 ( er e r + eθ e θ ) q. Unter Benutzung der Regeln (I1.5) folgt, dass dies = er s 1 + eθ s r e r q = er s 1 + eθ s r s 1, also folgt die Behauptung. 1.5 Bemerkung. Die Erhaltungsgleichung tu+divq = r in t und x kann auch aufgefasst werden als Divergenzgleichung div(u,q) = r in (t,x), wobei div := ( t,div). Als Beispiel für einen Erhaltungssatz betrachte die 5 Allgemeine Massenerhaltung: t +div x ( v +J) = r > 0 die Volumendichte der Masse, q = v +J der Massenfluss, v = (v i ) i=1,...,n die Geschwindigkeit, J = (J i ) i=1,...,n der Diffusionsterm der Masse, r der Quellterm oder Reaktionsterm der Masse, (I1.6) 5 We write div x instead of div in order focus on the variables (t,x).

17 I.1 Erhaltungsgleichungen 17 was man auch schreiben kann als t +div( v) = } {{ } } r divj {{ }. Transport Änderung der Masse Der J-Term hat also eine zweifache Bedeutung. Er kann einerseits als div J auf der rechten Seite geschrieben werden, er ist dann ein externer Term, oder er wird als J in den Flussterm geschrieben, er ist dann ein interner Term. Die Massenerhaltung für die Gesamtmasse ist gewöhnlich ohne Änderungsterme erfüllt, also mit r = 0, J = 0. Sie lautet dann Massenerhaltung: t +div x ( v) = 0 > 0 die Volumendichte der Masse, q = v der Massenfluss, v = (v i ) i=1,...,n die Geschwindigkeit. (I1.7) 1.6 Relativität der Geschwindigkeit. Es erfülle (, v) die Massenerhaltung (I1.7). Wir verschieben die Masse mit Geschwindigkeit v 0 R n durch (t,x) := (t,x+tv 0 ). Gibt es ein v, so dass (I1.7) für (,v ) erfüllt ist? Ja, für v (t,x) = v(t,x+tv 0 ) v 0. Also erfüllen (,v ) und (,v) dieselbe Gleichung, die Lösungen von (I1.7) korrespondieren zueinander. Der Beweis zeigt, dass dies aus einem Koordinatenwechsel folgt. Beweis (1.Version). Wir transformieren Koordinaten (t,x ) in die Koordinaten (t,x) durch Wir fragen, was die Eigenschaft t = t, x = X(t,x ) := x +t v 0, [ (t,x) = Y(t,x t ] ) = X(t,x. ) t +div x ( v ) = 0 (I1.8) für ein v bedeuted. Wegen t = t und (t,x ) = Y(t,x ) = (t,x +tv 0 )

18 I.1 Erhaltungsgleichungen 18 gilt t = t ( Y) = ( t ) Y +v 0 ( ) Y, div x ( v ) = div x ( ( (v Y 1 )) Y ). Nun ist für jedes Vektorfeld q div x (q Y) = i x i (q i Y) = i ( xi q i ) Y = (div x q) Y, also somit div x ( ( (v Y 1 )) Y ) = ( div x ( (v Y 1 )) ) Y, 0 = ( t +div x ( v )) Y 1 = t +v 0 ( )+div x ( (v Y 1 )). Nun ist t = div x ( v), da die Massenerhaltung für gilt, und, da v 0 konstant ist, v 0 ( ) = div x ( v 0 ), also ist der Ausdruck = div x ( v)+div x ( v 0 )+div x ( (v Y 1 )) = div x ( ((v 0 v)+v Y 1 )). Dies ist 0, falls v erfüllt v 0 v +v Y 1 = 0, also v = v 0 +v Y, was äquivalent zu der angegebenen Darstellung von v ist. Beweis (2.Version). Wir transformieren Koordinaten (t,x ) in die Koordinaten (t,x) durch [ ] t = Y x t = t, x = X(t,x ) := x +t v 0, ([ ]) [ t t ] [ x = X(t,x = ) Then is given by (t,x ) = (t,x) or so that = Y t = ( t +v 0 x ) Y. t x +t v 0 Now t = div x ( v) by the mass conservation for, and since v 0 is a constant we have v 0 ( x ) = div x ( v 0 ). Therefore the above term becomes ]. = ( div x ( v)+div x ( v 0 )) Y = ( div x ( (v v 0 )) ) ( Y = div x ( (v v0 )) Y ) = div x ( (v v 0 ) Y ) = div x ( v ), if v = (v v 0 ) Y = v Y v 0.

19 I.1 Erhaltungsgleichungen Beispiel. Es sei t +div( v) = 0. Wir bewegen uns mit der Flüssigkeit mit, d.h. wir nehmen zum Zeitpunkt t den Ort ξ(t) R n ein, wobei wir uns von der Geschwindigkeit v treiben lassen, d.h. ξ ist gegeben durch die Differentialgleichung ξ(t) = v(t,ξ(t)). Hier ist ξ die Zeitableitung der Funktion t ξ(t). Dann ist, wenn (t) := (t, ξ(t)) die Massendichte an der Stelle ist, an der wir uns aufhalten, = a, a(t) := (divv)(t,ξ(t)). Die Massendichte an unserem Ort ändert sich mit der Rate a(t). Beweis. (t) = d dt ( (t,ξ(t))) = ( t )(t,ξ(t))+ n i=1 ( xi )(t,ξ(t)) ξi (t) }{{} = v i (t,ξ(t)) = ( t +( ) v)(t,ξ(t)) = ( divv)(t,ξ(t)) = (divv)(t,ξ(t)) (t). 1.8 Beispiel. Betrachte die Erhaltungsgleichung tu+divq = 0 mit q = uv +J. (1) Falls u = die Massendichte, haben wir es mit der Massenerhaltung zu tun, wobei der Massenfluss q = v+j dann besteht aus einem Transportterm v und der durch den Massegradienten bestimmten Diffusionsfluß J = d( ), also ist t +div( v d( ) ) = 0. Die Größe d = d( ) > 0 ist der Diffusionskoeffizient. (2) Falls u die innere Energie in einem starren Körper (engl. rigid body) ist (zum starren Körper siehe 6.5), so bedeutet J = a(u) u den Wärmefluss und v ist die Geschwindigkeit des starren Körpers, also tu+div(uv a(u) u) = 0. Man spricht daher auch von der Wärmediffusion. In einem Kooordinatensystem, das sich mit dem starren Körper mitbewegt (vgl. 1.6), erhalten wir die Wärmeleitungsgleichung tu div(a(u) u) = 0, wobei der Fall a = const eine lineare Wärmeleitungsgleichung ist.

20 I.1 Erhaltungsgleichungen 20 Betrachtet man Polarkoordinaten (r,θ) für n = 2, so kann dies auch aufgefasst werden als der Fall, dass im Raum, das heißt für n = 3 die Funktionen nicht von x 3 abhängen. Wir betrachten nun den Fall n = 3 und Zylinderkoordinaten (r,θ,z), d.h. x 3 = z, und von allen Koordinaten abhängige Funktionen. 1.9 Zylinderkoordinaten. Im R R 3 betrachten wir die Transformation gegeben durch (t,x) = (t,x 1,x 2,x 3 ) = τ(t,r,θ,z) t = τ 0 (t,r,θ,z) := t, x 1 = τ 1 (t,r,θ,z) := rcosθ, x 2 = τ 2 (t,r,θ,z) := rsinθ, x 3 = τ 3 (t,r,θ,z) := z. Wir wollen den Erhaltungssatz (I1.1) t u+divq = r in Zylinderkoordinaten schreiben. Dazu zerlegen wir den Flussvektor q bezüglich Zylinderkoordinaten als q = q r e r +q θ e θ +q z e z, (I1.9) wobei e r, e θ, e z gegeben sind durch (vergleiche (I1.5)) 6 τ r = (0,cosθ,sinθ,0) = (0,e r τ), e r := (x 2 1 +x 2 2) 1 2 (x1,x 2,0), 1 r τ θ = (0, sinθ,cosθ,0) = (0,e θ τ), e θ := (x 2 1 +x 2 2) 1 2 ( x2,x 1,0), τ z = (0,0,0,1) = (0,e z τ), e z := (0,0,1), {e r (x),e θ (x),e z (x)} für x 0 ist eine Orthonormalbasis des R 3. Definieren wir weiter u = u τ, r = r τ, q = q τ (und damit q r = q r τ, q θ = q θ τ, q z = q z τ) so folgt t u+ z q z + r q r + 1 r q r } {{ } = 1 r r(rq r ) + 1 r θq θ = r. (I1.10) 6 Notation für die partielle Ableitung: Wir bezeichnen partielle Ableitungen auch durch nachgestellte Ableitung, so z.b. in der Aussage τ r(t,r,θ,z) := rτ(t,r,θ,z) für τ. Wir werden diese neue Bezeichnung verwenden bei Koeffizientenfunktionen, um dadurch die Beschreibung von partiellen Differentialgleichungen übersichtlicher zu gestalten.

21 I.1 Erhaltungsgleichungen 21 Multiplizieren wir die Gleichung mit r, so erhalten wir t (r u)+ z (r q z )+ r (r q r )+ θ q θ = r r, (I1.11) die Divergenzstruktur bleibt also in den neuen Koordinaten erhalten (siehe das Resultat 5.1). Beweis (1.Version). We compute where r = x 2 1 +x2 2, since divq = e r er q +e θ eθ q +e z ez q = er (e r q)+ eθ (e θ q)+ ez (e z q) ( er e r + eθ e θ + ez e z ) q = er q r + eθ q θ + ez q z + 1 r q r er e r = 0, eθ e θ = 1 r e r, ez e z = 0 (see (I1.5)). Then, since for any function g we obtain the assertion. ( er g) τ = r (g τ), ( eθ g) τ = 1 r θ(g τ), ( ez g) τ = r (g τ), (divq) τ = r (q r τ)+ 1 r θ(q θ τ)+ z (q z τ)+ 1 r q r τ, Beweis (2.Version). We compute, since e z is constant, divq = e r er q +e θ eθ q +e z ez q = e r er (q r e r +q θ e θ +q z e z ) +e θ eθ (q r e r +q θ e θ +q z e z ) +e z ez (q r e r +q θ e θ +q z e z ) = er q r + eθ q θ + ez q z +q r (e r er e r +e θ eθ e r +e z ez e r ) +q θ (e r er e θ +e θ eθ e θ +e z ez e θ ) = er q r + eθ q θ + ez q z + 1 r q r,

22 I.1 Erhaltungsgleichungen 22 since er e r = 0, eθ e r = 1 r e θ, ez e r = 0, er e θ = 0, eθ e θ = 1 r e r, ez e θ = 0. (see (I1.5)). Then, since for any function g ( er g) τ = r (g τ), ( eθ g) τ = 1 r θ(g τ), ( ez g) τ = r (g τ), we obtain (divq) τ = r (q r τ)+ 1 r θ(q θ τ)+ z (q z τ)+ 1 r q r τ, the assertion.

23 I.2 Distributionen 23 2 Distributionen Wir multiplizieren die skalare Erhaltungsgleichung für C 1 -Funktionen t u+divq = r in U R R n (I2.1) mit einer Testfunktion ζ C0 (U) und erhalten 0 = ζ( t u divq +r)dl n+1 U = ( t ζ u+ ζ q +ζ r)dl n+1 U nach partieller Integration, wobei im letzten Integral nur noch gebraucht wird, dass die Funktionen u, q i und r in L 1 loc (U) sind. Der Erhaltungssatz enthält also die folgenden drei Bestandteile ζ t ζ udl n+1, U ζ ζ qdl n+1, U ζ ζ rdl n+1, U die linear in ζ sind. Deshalb definieren wir in einem beliebigen Raum R N 2.1 Distributionen. Ist U R N eine offene Menge, so bezeichnen wir mit D(U) := C 0 (U) den Raum der Testfunktionen. Wir betrachten Abbildungen T :D(U) R linear und nennen sie Distributionen und schreiben T D (U), wenn sie die Abschätzung 2.3(1) erfüllen. Wir schreiben für den Wert T(ζ) ζ, T D(U) := T(ζ), oft einfach auch ζ, T = ζ, T D(U), wenn klar ist, welches Gebiet U wir meinen. Für eine Distribution T D (U) definieren wir die (1) Ableitung einer Distribution. Für j {1,...,N} ist eine lineare Abbildung j T :D(U) R definiert durch ζ, j T D(U) := j ζ, T D(U).

24 I.2 Distributionen 24 Merke: Entsprechend sind höhere Ableitungen definiert, siehe 2.4(2). Definition in Raumzeit: Ist N = n+1 mit n 1, so ist U R R n und j läuft von 0 bis n. Es ist 0 = t sowie i = xi für i = 1,...,n. (2) Multiplikation mit einer Funktion. Füra C loc (U)isteinelineare Abbildung at :D(U) R definiert durch ζ, at D(U) := aζ, T D(U). Dies sind die wesentlichen Definitionen und 2.3 zeigt, dass j T und at wieder Distributionen sind. Für unsere drei Terme aus der Differentialgleichung ist also noch zu definieren 2.2 Funktionen als Distributionen. Wir betrachten nun spezielle Abbildungen T = [g], wobei g L 1 loc (U). Diese Abbildungen sind für Testfunktionen ζ D(U) definiert durch ζ, [g] D(U) := ζ gdl N. Bemerkung: Die messbare Funktion g lässt sich aus [g] rekonstruieren (siehe dazu Aufgabe 7.9). Die Aussage besagt, dass g nur fast überall aus seiner Distribution wieder hervorgeholt werden kann. Auch die Ableitung i [g], wenn sie von einer Funktion dargestellt wird, ist nur fast überall definiert, was für die Anwendung Vorteile aufweist (siehe auch Abb. 4). Es ist zum Beispiel, wenn g Lipschitz-stetig ist, i [g] = [g i ] mit einer L -Funktion g i. Mit dieser Definition für N = n+1 wird obiges Integral zu 0 = ζ( t u divq +r)dl n+1 U = ( t ζ u+ ζ q +ζ r)dl n+1 U = t ζ udl n+1 + ζ qdl n+1 + ζ rdl n+1 U U U = t ζ, [u] D(U) + ζ, [q] D(U) + ζ, [r] D(U) = ζ, t [u] div[q]+[r] D(U). Somit heißt der Erhaltungssatz (I2.1) für Funktionen u, r, q j für j = 1,...,n in L 1 loc (U) t [u]+div[q] = [r] in D (U), (I2.2) U

25 I.2 Distributionen 25 Abb. 4: Funktionen als Funktionale (aus [45]) und für allgemeine Distributonen, also lineare Abbildungen U,Q j,r : D(U) R, lautet die Formulierung der distributionellen Gleichung: Distributionelle Erhaltungsgleichung: t U +divq = R in D (U), U,Q j,r D (U) für j = 1,...,n. (I2.3) Das sagt aus, dass für ζ D(U) gilt 0 = ζ, t U divq+r D(U) = t ζ, U D(U) + ζ, Q D(U) + ζ, R D(U). Wir geben noch eine Vervollständigung der Eigenschaften von Distributionen an. Referenzen: Zu Distributionen siehe[wikipedia: Distribution (Mathematik)], und zur Geschichte der Distributionen siehe [46]. Mathematische Einführungen werden für N = 1 in [45], für beliebiges N in [41, in Abschnitt 3], [42, Kapitel I-II], [43, Kapitel 1-9], [44, Kapitel 1-2] gegeben. Ich habe auch ein eigenes Skript [40] dazu angefertigt.

26 I.2 Distributionen Definition von Distributionen. Sei U R N eine offene Menge. Die Menge der Distributionen D (U) besteht aus linearen Abbildungen T :D(U) R, die durch eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften definiert sind: (1) Die lineare Abbildung T :D(U) R erfüllt 7 U U : k U N {0} und C U 0 : ζ D(U) mit suppζ U : ζ, T D(U) CU ζ C k U(U). (2) D (U) ist die Menge der linearen stetigen Abbildungen, also der Dualraum von D(U), wenn D(U) mit folgender Topologie T versehen wird: T := {V C 0 (U); ζ V : ε : ζ +V ε V}. Dabei ist ε = (ε j ) j N und ( ) V ε := conv {ζ C0 (U); supp(ζ) U j und p(ζ) < ε j }, j N (U j ) j N eine offene Überdeckung von U mit U j U kompakt, p(ζ) := k=0 2 k ζ C k (U) 1+ ζ C k (U) für supp(ζ) U, U kompakt in U. Resultat: Damit wird D(U) ein lokal konvexer topologischer Vektorraum (siehe [41, 3.19] und [40, section 6]). Beweis der Äquivalenz. For example [41, 3.21 Der Dualraum von D(U)]. Die mathematische Definition der Distributionen zeigt im Wesentlichen, dass Funktionen (als Distributionen) dicht im gesamten Raum der Distributionen liegen(siehe[40, End of section 2]). Diese Definition wird in dieser Vorlesung nicht gebraucht, außer in der Aussage 2.7. Es ist effektiv mit der Eigenschaft 2.3(1) zu arbeiten, so wie das in [40] dargestellt wird. Wir geben hier noch einige wichtige Eigenschaften der Distributionen an. 2.4 Einige Eigenschaften. 7 U U heißt U U und U kompakt in U, in Worten: U relativ kompakt in U.

27 I.2 Distributionen 27 (1) Ableitung von Funktionen. Für g C 1 (U) gilt j [g] = [ j g] wegen der Regel der partiellen Integration. Man definiert W 1,p loc (U) := {g Lp loc (U); i : g i L p loc (U) : i[g] = [g i ]}. Hierbei ist 1 p. (Entsprechend ist W k,p loc (U) definiert.) (2) Höhere Ableitungen. Für alle Multiindizes s = (s 1,...,s N ) ist die Distributionsableitung s T := s 1 1 s N N T definiert und es gilt ζ, s T D(U) = ( 1) s s ζ, T D(U) für ζ D(U). Es gilt s T = r 1 ( r 2 T) für alle r 1,r 2 mit r 1 +r 2 = s. (3) Vektorwertige Distributionen. Analog ist die Definition von [g] für vektorwertiges g:u R M, es ist dann 8 für ζ D(U;R M ) = C0 (U;RM ) ζ, [g] D(U) := ζ gdl N. Also ist D (U;R M ) der Dualraum von D(U;R M ). (4) Ordnung einer Distribution. Eine Distribution T ist von der Ordnung k, falls die Eigenschaft 2.3(1) immer mit k U = k erfüllt ist. Es gilt: Ist T eine Distribution der Ordnung k, so ist s T eine Distribution der Ordnung k + s. (5) Fortsetzung von Distributionen. Ist T eine Distribution der Ordnung k, so kann T eindeutig fortgesetzt werden zu einer linearen Abbildung auf C0 k(u). Es ist also ζ, T := T(ζ) für ζ Ck 0 (U) als Fortsetzung definiert. Es folgt, dass at als Distribution definiert ist für a C k (U), es ist ζ, at := aζ, T für ζ D(U) mit Indices U ζ, at D(U) := aζ, T C k 0 (U) für ζ D(U). (Entsprechend wird T auf W k,p loc (U) erweitert.) 8 Es bezeichnet das Skalarprodukt im Euklid ischen Raum.

28 I.2 Distributionen 28 (6) Distributionen in Zeit und Raum. Sei N = n+1 mit n 1 und U R R n. Dann erfüllt für g L 1 loc (U) die Distribution [g] D(U) ζ, [g] D(U) = ζ gdl n+1 = ζ(t,x)g(t,x)dxdt U R U t wobei U t := {x R n ; (t,x) U}. Wir werden nun die Erhaltungssätze im Rahmen der Distributionen schreiben, wobei wir N = n+1 setzen, d.h. es ist U R R n und die Distributionen, die wir betrachten, leben in der Raumzeit. Das erste Beispiel zeigt, dass die Bewegung eines Massepunktes Lösung der distributionellen Massenerhaltung ist. Im Rahmen der Impulserhaltung kommen wir auf dieses Beispiel zurück. 2.5 Massepunkt. Wir denken uns jetzt einen sich bewegenden Massepunkt mit Masse m > 0, der sich vermöge einer Abbildung t ξ(t) R n bewegt, d.h. in Zeit und Raum ist t (t,ξ(t)) R R n die Trajektorie. Es sei auf der Trajektorie v(t,x) := ξ(t) für x = ξ(t) (I2.4) die Geschwindigkeit des Massepunktes (wobei ξ stetig differenzierbar sei). Behauptung: Es gilt die distributionelle Massenerhaltung t (mµ ξ )+div(mvµ ξ ) = 0 (I2.5) in D (R R n ), wobei die Distribution µ ξ D (R R n ) gegeben ist durch ζ, µξ := R ζ(t,ξ(t))dt für ζ D(R R n ). (I2.6) Also ist die Massenerhaltung erfüllt, wobei die Massenverteilung mµ ξ ist, d.h. zum Zeitpunkt t ist die Masse m im Punkte ξ(t) konzentriert. Die Distribution µ ξ beschreibt die Trajektorie der Bewegung. Es ist also die Definition (I2.4) für die Geschwindigkeit v äquivalent zur distributionellen Massenerhaltung (I2.5). Beweis. Es sind µ ξ und v i µ ξ Distributionen, da ξ stetig differenzierbar ist.

29 I.2 Distributionen 29 Es gilt ζ, t (mµ ξ )+div(mvµ ξ ) = m n t ζ, µ ξ +m xi ζ, v i µ ξ i=1 = m (( t ζ)(t,ξ(t))+ n ( xi ζ)(t,ξ(t)) v i (t,ξ(t)) R i=1 } {{ } = ξ i (t) = m R da ζ kompakten Träger hat. d ( ) ζ(t,ξ(t)) dt = 0, dt ) dt Wir nehmen jetzt an, dass die Masse m von der Zeit abhängt. Einzig und allein aus der distributionellen Massenerhaltung (I2.5) folgt dann die Konstanz der Masse. Das beweist, dass das distributionelle Gesetz das richtige Gesetz ist. 2.6 Lemma. Sei µ ξ wie in 2.5, d.h. ξ stetig differenzierbar, und Γ := {(t,x); x = ξ(t)}, m:γ R stetig und positiv, v:γ R n stetig mit t (mµ ξ )+div(mvµ ξ ) = 0. Dann folgt m ist eine Konstante, v(t,ξ(t)) = ξ(t). Also ist die Masse des Punktes konstant. (I2.7) Beweis. Sei ζ D(R R n ). Dann ist 0 = ζ, t (mµ ξ ) div(mvµ ξ ) = (m t ζ +mv ζ)(t,ξ(t))dt. R Indem man die Geschwindigkeit von Γ betrachtet, v Γ (t,x) = ξ(t) für x = ξ(t),

30 I.2 Distributionen 30 kann man das Integral schreiben als = (m( t ζ +v Γ ζ))(t,ξ(t))dt+ (m(v v Γ ) ζ)(t,ξ(t))dt R R = m(t,ξ(t)) d R dt (ζ(t,ξ(t)))dt+ (m(v v Γ ) ζ)(t,ξ(t))dt R d = dt (m(t,ξ(t)))ζ(t,ξ(t))dt+ (m(v v Γ ) ζ)(t,ξ(t))dt R mittels partieller Integration. Dies gilt für alle ζ C0 (Ω), durch Approximation auch für alle ζ C0 1 (Ω) (vgl. 2.4(5)). Nun setze R ζ(t,x) = η 0 (t)χ(t,x)+η 1 (t,x), η 0 C 1 0(R), η 1 C 1 0(R R n ), χ C 1 (R R n ), η 1 = 0 auf Γ, d.h. η 1 (t,ξ(t)) = 0 für alle t, χ = 1, χ = 0 auf Γ, χ = 0 away from Γ. Dann ist obiges Integral d = dt (m(t,ξ(t)))η 0(t)dt+ (m(v v Γ )(t,ξ(t)) η 1 (t,ξ(t))dt. R Wenn wir nun η 1 = 0 wählen, so folgt, dass das erste Integral gleich 0 ist für alle η 0 und damit d (m(t,ξ(t))) = 0. (I2.8) dt Also muss obiges zweite Integral gleich 0 sein, d.h. 0 = (m(v v Γ )(t,ξ(t)) η 1 (t,ξ(t))dt. R R Setzen wir nun z.b. η 1 (t,x) = (x ξ(t)) w(t) mit gegebenem w C0 1 (R), so verschwindet η 1 auf der Trajektorie Γ, und es ist η 1 (t,x) = w(t), also 0 = (m(v v Γ )(t,ξ(t)) w(t)dt. R (Hier muss noch η 1 außerhalb Γ auf 0 heruntergebogen werden.) Da w beliebig war, folgt daraus, dass (m(v v Γ ))(t,ξ(t)) = 0, also v(t,ξ(t)) = v Γ (t,ξ(t)) = ξ(t). (I2.9) Die Aussagen (I2.8) und (I2.9) sind die Behauptung. Als weiteres Beispiel betrachten wir die Schwerkraft, die zugehörige Feldgleichung hat im allgemeinen Fall, dass die Dichte einen Sprung macht, eine Distributionslösung, ist also keine glatte Funktion. Die Feldgleichung lautet

31 I.2 Distributionen 31 Newton sches Gravitationsgesetz: div( [ φ]) = [ ] die vorhandene Gesamtmasse, φ das differenzierbare Feld, φ(t,x) 0 für x (falls n = 3), (I2.10) G = m3 die Gravitationskonstante, kgs 2 φ Literatur = 4πGφ Potential in der Literatur (n = 3). In der Literatur lautet die Gleichung daher φ Literatur = 4πG. Man kann sich das Newton sche Feld auch vorstellen als Erhaltungsgleichung t 0+div( [ φ]) = [ ], also als die allgemeine Massenerhaltung ohne irgendeine Masse. Man kann auch schreiben div Φ = Φ mit Φ = [φ], also [φ] = [ ]. Im Allgemeinen können die Masseverteilung und das Feld φ auch Distributionen R und Φ sein mit der Gleichung Allgemeines Gravitationsgesetz: div( Φ) = R in D (R R n ) R die vorhandene Gesamtmasse als Distribution, Φ das Feld als Distribution. (I2.11) Im Gravitationsgesetz tritt die Zeit t nur als Parameter auf (in der hier betrachteten Newton schen Physik), es wird keine Ableitung nach der Zeit gebildet. Deshalb ist das allgemeine Gravitationsgesetz verwandt mit der distributionellen Poisson-Gleichung, die lautet: Distributionelle Poissongleichung : Φ = R in D (R n ) R der Quellterm als Distribution, Φ die Lösung als Distribution. der Laplace-Operator im R n. (I2.12) Im Folgenden wenden wir die Poisson-Gleichung für den Raum R n an, wobei die Zeit nur einen Parameter bildet. Das Newton sche Gesetzt ist jedolch in Raumzeit R R n formuliert.

32 I.2 Distributionen Bemerkung. Sind U t,r t D (R n ) für t R Distributionen von der Ordnung k, genauer ζ, U t D(R n ) + ζ, R t D(R n ) C(t) ζ C k (R n ) mit C L 1 (R), und erfüllen die distributionelle Poissongleichung div U t = R t in D (R n ) für fast alle t, so definieren (unter Messbarkeitsvoraussetzung an t R t, t U t ) ζ, R D(R R n ) := ζ(t, ), R t D(R n ) dt, R ζ, U D(R R n ) := ζ(t, ), U t D(R n ) dt R Distributionen U,R D (R R n ) und erfüllen das allgemeine Gravitationsgesetz div U = R in D (R R n ). Beachte: Nicht jede Distribution R D (R R n ) lässt sich wie angegeben darstellen (siehe z.b. Übung 7.12, aber beachte 2.8). Beweis. Es sind U und R Distributionen und es gilt ζ, U +R D(R R n ) = ζ, U D(R R n ) + ζ, R D(R R n ) ( ) = ζ(t, ), U t D(R n ) + ζ(t, ), R t D(R n ) dt R = ζ(t, ), U t +R t D(R n ) dt. R Als Beispiel wählen wir einen sich bewegenden Massepunkt. 2.8 Beispiel. Ist R D (R R n ) die Distribution, die zu einem Massepunkt mitdertrajektorie{(t,ξ(t)); t R}gehört, sosagtdiedefinitionr = mµ ξ, dass ζ, R D(R R n ) = m ζ(t,ξ(t))dt = ζ(t, ), R t D(R n ) dt, wobei also R t = mδ ξ(t), d.h. R η, R t D(R n ) := m η(ξ(t)) für η D(Rn ), also ist R t durch die Dirac-Distribution gegeben. R

33 I.2 Distributionen 33 Wir konzentrieren uns jetzt zunächst auf die Poissongleichung. Hier können wir als Spezialfall R = δ x0 für x 0 R n betrachten, dabei ist δ x0 D (R n ) die Dirac Distribution im Punkte y 0 definiert durch ζ, δ x0 := ζ(x 0 ) für ζ D(R n ). Die Lösung Φ = [φ] zu R = δ 0 mit φ L 1 loc (Rn ) ist dann die negative (I2.13) 2.9 Fundamentallösung für den Laplace Operator. Ist n 3, so ist eine Lösung φ L 1 loc (Rn ) von gegeben durch φ(x) := [φ] = δ 0 in D (R n ) 1 σ n (n 2) y 2 n für x > 0. (I2.14) Remark: Es ist φ die Fundamentallösung für, dem negativen Laplace- Operator. Definition: Es ist σ n := H n 1 ( B 1 (0)) = nκ n die Oberfläche der Einheitssphäre im R n, und κ n := L n ( B 1 (0)) das Volumen der Einheitskugel im R n. n beliebig κ n 2 π 4 3 π Ln (B 1 (0)) σ n 2 2π 4π nκ n = H n 1 ( B 1 (0)) (I2.15) Beweis. Es ist für ζ D(R n ) 1 dx ζ, i [φ] = i ζ, [φ] = i ζ(x) σ n (n 2) R n x n 2 1 = σ n (n 2) lim dx i ζ(x) ε 0 R n \B ε(0) x n 2 1 = lim ζ(x)e i ν dx ε 0 σ n (n 2) Bε(0)(x) ε n 2 dhn 1 (x) 1 lim ε 0 σ n (n 2) ζ(x) x i R n x n dx = 1 σ n = ζ, [F i ] B ε(0) R n \B ε(0) 1 ζ(x) i dx x n 2

34 I.2 Distributionen 34 mit F(x) := 1 σ n x x n, also [φ] = [F] in D (R n ;R n ). Nun gilt ζ, div[f] = ζ, [F] = 1 σ n = 1 σ n lim ε 0 B ε(0) 1 +lim ε 0 σ n R n \B ε(0) = ζ(0) = ζ, δ 0, R n ζ(x) x x n dx ζ(x) ν Bε(0)(x) x x n } {{ } = 1 ε n 1 ζ(x) div x x n } {{ } = 0 also ist F die Fundamentallösung des Divergenzoperators. Es gibt auch im Falle N = 1, 2 Fundamentallösungen des Laplaceoperators, diese sind für uns nur interessant in kleinen Umgebungen. Sie lauten 1 log x im Falle N = 2, φ(x) = 2π 1 x im Falle N = 1, 2 und es ist dx [φ] = [F] in D (R N ;R N ) F(x) := 1 x für alle N 1. σ N x N Im Falle N = n = 3 ist die Fundamentallösung gerade die Lösung des allgemeinen Gravitationsgesetzes, modulo der Aussage Gravitationsfeld eines punktförmigen Sternes. Sei n = 3. Ist m > 0 die Masse und R := mµ ξ die Dichte eines Massepunktes t ξ(t), so ist die Lösung, d.h. die Distribution Φ, des allgemeinen Gravitationsgesetzes div( Φ) = R := mµ ξ in D (R R 3 ) dx gegeben durch Φ = [φ], φ(t,x) := m 4π x ξ(t) für x ξ(t). (I2.16) Die Lösung ist eindeutig bestimmt mit der Bedingung, dass φ(t,x) 0 für x.

35 I.2 Distributionen 35 Beweis. This follows essentially in the same way as the proof of 2.9, the difference is that one deals with integrals over R R n. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus dem Folgenden Eindeutigkeit. Sei n 3 und R D (R R n ). Dann gibt höchstens ein φ L 1 loc (R Rn ) mit div( [φ]) = R in D (R R n ), φ(t,x) 0 für x für fast alle t. Beweis. Denn sind φ 1 und φ 2 Lösungen zu R, so folgt mit φ := φ 1 φ 2, dass [φ] = 0 in D (R R n ), φ(t,x) 0 für x für fast alle t. Es folgt für ζ(t,x) = η 0 (t)η 1 (x) 0 = ζ, [φ] = ζ, [φ] = Da dies für alle η 0 gilt, folgt für fast alle t 0 = η 1 (x)φ(t,x)dx, R n R η 0 (t) η 1 (x)φ(t,x)dxdt R n d.h. φ(t, ), oder besser [φ(t, )], ist eine harmonische Distribution, [φ(t, )] = 0, und für solche gilt die Mittelwerteigenschaft auf Sphären [PDG], d.h. 1 φ(t,x 0 ) = σ n r n 1 φ(t,x)dh n 1 (x) 0 für r. Also ist φ = 0. B r(x 0 ) Wir werden nun die Schwerkraft für einen Planeten berechnen. Die Lösung ist eine Distribution beim Übergang von einem festen Körper zu Vakuum, da hier die Dichte einen Sprung macht. (Also ist φ L, und das beste was die Regularitätstheorie zeigen könnte ist dass φ C 1,1, denn es gilt die scharfe Aussage φ L p impliziert φ W 2,p für p <.) Dies ist konsistent mit dem folgenden Theorem Satz. Es sei Γ D R N eine C 1 -Fläche und D = D + Γ D mit disjunkten offenen Mengen D + und D (so, dass Γ keinen Rand in D besitzt) und = { + in D +, + C 0 (D + ), in D, C 0 (D ), φ = { φ+ in D +, φ + C 2 (D + ), φ in D, φ C 2 (D ).

36 I.2 Distributionen 36 Ist dann so folgt Φ = R in D (D), Φ = [φ], R = [ ], φ + = φ ν φ + = ν φ d.h. φ C 1 (D), wobei ν = ν D+ = ν D. } auf Γ, Beachte: Für das Resultat in 2.12 ist die Voraussetzung R = [ ] mit L (D) wesentlich. Ist z.b. 9 so ist φ nur stetig mit R = +[L N D + ]+ [L N D ]+ 0[H N 1 Γ], auf Γ. Wir verweisen auf ν φ + = ν φ + 0 Beweis. Für Testfunktionen ζ D(D) gilt Die rechte Seite ist ζ, R = D ζ, [φ] = ζ, R. ζ dl N = ζ +dl N ζ dl N. D + D Die linke Seite ist ζ, [φ] = ζ, [φ] = ζφdl N D = ζφ + dl N + ζφ dl N D + D = ζ φ + dl N ζ φ dl N D + D + ζ ( ) φ + ν D+ +φ ν D dh N 1 Γ = ζ φ + dl N + ζ φ dl N D + D ( ( ) ( )) + ζ φ+ ν D+ +φ ν D ζ φ+ ν D+ + φ ν D dh N 1. Γ Wählen wir nun ζ in D(D + ), so folgt ζ φ + dl N = ζ dl N D + D + 9 Ist µ ein Maß, so ist das Maß µ S definiert durch (µ S)(E) := µ(s E).

37 I.2 Distributionen 37 für alle solche Testfunktionen, also φ + = + in D +. Entsprechend folgt, indem wir ζ in D(D ) wählen, φ = in D. Indem wir diese Identitäten in obige Gleichung einsetzen, erhalten wir ( ( ) ( )) 0 = ζ φ+ ν D+ +φ ν D ζ φ+ ν D+ + φ ν D dh N 1. Γ Nun erweitern wir durch ein Approximationsargument dies von ζ C 0 (D) auf ζ C 1 0 (D). Sei η C1 (D) eine Funktion, welche auf Γ verschwindet, und für die η 0 auf Γ. Setze ζ = ζ 0 η, wobei ζ 0 C 0 (D), so dass auf Γ Es folgt ζ = 0, ζ = ζ 0 η. 0 = ζ 0 η ( ) φ + ν D+ +φ ν D dh N 1 Γ und da ζ 0 beliebig ist, 0 = η ( ) φ + ν D+ +φ ν D auf Γ und daher φ + = φ auf Γ, d.h. φ ist stetig fortsetzbar auf Γ. Die Identität wird nun also zu 0 = ζ ( ) φ + ν D+ + φ ν D dh N 1. Γ Daraus folgt nach bekanntem Schluß φ + ν D+ + φ ν D = 0 auf Γ, d.h. die Differenzierbarkeit von φ. Beweis der Bemerkung. Wir betrachten nur den Fall R = 0[H N 1 Γ]. Der Beweis ist derselbe bis auf die Tatsache, dass nun ζ, R = ζ 0dH N 1 Γ

38 I.2 Distributionen 38 und der Term auf Γ ζ 0dH N 1 = Γ Γ ( ζ ( φ + ν D+ +φ ν D ) ζ ( φ + ν D+ + φ ν D ) ) dh N 1 ist. Mit dergleichen Argumentation wie oben ist dann φ = φ + auf Γ und daher 0 = ζ ( 0 ) φ + ν D+ φ ν D dh N 1 Γ für alle ζ, weswegen φ + ν D+ + φ ν D = 0. Die Situation in 2.12 ist zum Beispiel die Situation bei der Schwerkraft, wenn der Körper in unserer Näherung eine glatte Oberfläche aufweist. Das ist z.b. für die Kugel der Fall Schwerkraftfeld einer Kugel. Es sei n 3 (physikalisch n = 3), m > 0 und t ξ(t) die Bewegung des Zentrums des Planeten. Dann ist (t,x) = m L n (B R (ξ(t))) X B R (ξ(t))(x) die Massenverteilung des Planeten idealisiert als homogene Massendichte auf einer Kugel mit Radius R (siehe dazu auch 3.8). Die Gesamtmasse des Planeten ist m = (t,x)dx. R n Wir suchen eine Lösung φ der Differentialgleichung div( [ φ]) = [ ] in D (R R n ) mit φ(t,x) 0 falls x, welche C 1 in den Raumvariablen ist (siehe die Aussage 2.12). Behauptung: Die Lösung, welche (für n 3) im Unendlichen verschwindet, ist 10 φ(t,x) := ( ) m 1 R 2 2κ n R n n 2 x ξ(t) 2 für x ξ(t) R, n m 1 für x ξ(t) R. nκ n (n 2) x ξ(t) n 2 (I2.17) Beweis. Ohne Einschränkung sei ξ(t) = 0. Da κ n R n = L n (B R (0)), ist (t,x) = m κ n R nx B R (0)(x) = m R X BR (0)(x) wenn m R := m κ n R n. 10 Es ist κ n := L n (B 1(0)), siehe (I2.15).

39 I.2 Distributionen 39 Es sei wobei Dies ist erfüllt, wenn φ(t,x) := { φ (t,x) für x < R, φ + (t,x) für x > R, φ (t,x) = m R für x < R, φ + (t,x) = 0 für x > R. φ (t,x) = c 0 m R 2n x 2, φ + (t,x) = c 1 x n 2. Dann ist φ stetig im Raum genau dann, wenn φ (t,x) = φ + (t,x) für x B R (0) d.h. c 0 m R 2n R2 = c R 2 n. (I2.18) Weiter gilt dass φ stetig differenzierbar im Raume ist genau dann, wenn ν φ (t,x) = ν φ + (t,x) für x B R (0), d.h. m R n R = (n 2)c R 1 n. (I2.19) Aus (I2.18) und (I2.19) folgt, dass φ stetig differenzierbar im Raume ist, und dass c = m R n(n 2) Rn = c 0 = m R ( 1 2n + 1 n(n 2) m nκ n (n 2), ) R 2 = Die Bedingungen in (I2.20) ergeben (I2.17). m 2κ n (n 2) R2 n. Entartet der Planet zu einem Punkt der Masse m, so gilt: (I2.20) 2.14 Konvergenz zum Massepunkt. Sei m > 0. Für R 0 konvergiert die Schwerkraftlösung aus 2.13 in L 1 loc (R Rn ) zu einer Lösung φ von div([ φ]) = mµ ξ in D (R R n ), φ(t,x) 0 für x. Diese Lösung ist gegeben durch 11 φ(t,x) := m σ n (n 2) x ξ(t) 2 n für x ξ(t) > 0. (I2.21) 11 Wir definieren σ n := H n 1 ( B 1(0)), B 1(0)) R n, und es ist σ n = nκ n.

40 I.2 Distributionen 40 Beweis der Konvergenz. Die Schwerkraftlösung φ R aus 2.13 erfüllt φ R (t,x) = φ(t,x) für x ξ(t) R, φ R (t,x) C n (m)r 2 n für x ξ(t) < R. Also gilt φ R φ in L 1 loc (R Rn ). Es stimmt also außerhalb eines Sterns die Lösung mit der Lösung überein, die man erhält, wenn man den Stern als Punktmasse ansetzt. Im nächsten Abschnitt 3 werden wir die Impulserhaltung betrachten und auch dort Sterne im inkompressiblen Fall betrachten (siehe 3.8). Im kompressiblen Fall sei auf Abschnitt IV.14 verwiesen. Dass die Lösung der Schwerkraftgleichung C 1 ist, trifft nicht zu, wenn die Masse auf einer Fläche verteilt ist. Für eine C 0 -Lösung betrachte folgendes Beispiel einer Masse, die auf einer Schale konzentriert ist Beispiel. Es sei n 3, m > 0 und t ξ(t) die Bewegung des Zentrums einer Kugelschale, und B R (ξ(t))) sein Träger. Sei dann µ D (R R n ) gegeben durch ζ, µ := 1 H n 1 ( B R (ξ(t))) B R (ξ(t)) für ζ D(R R n ). Dann ist die Lösung φ von gegeben durch φ(t,x) = div( [φ]) = mµ in D (R R n ) ζ(t,x)dh n 1 (x) m σ n (n 2) x ξ(t) 2 n wenn x ξ(t) R, mr 2 n σ n (n 2) wenn x ξ(t) R. Die Lösung φ ist also nur von der Klasse C 0. Beweis. Wenn φ wie in der Formel gegeben ist, dann ist m x ξ(t) φ(t,x) = σ n x ξ(t) n wenn x Rn \B R (ξ(t)), 0 wenn x B R (ξ(t)), wobei φ = div φ = 0 in R n \B R (ξ(t)). Also ist für ζ D(R R n ;R n ) ζ, [φ] = divζ, [φ] = divζ(t,x) φ(t,x)dxdt R R n = ζ(t,x) φ(t,x)dxdt, R R n \B R (ξ(t))

41 I.2 Distributionen 41 da φ stetig ist. Damit gilt für η D(R R n ;R) η, div( [φ]) = η, [φ] = η(t,x) φ(t,x)dxdt R = R R n \B R (ξ(t)) R n \B R (ξ(t))) η(t,x) φ(t,x) } {{ } = 0 dxdt + η(t,x) φ(t,x) ν R n \B R (ξ(t)) R B R (ξ(t))) } {{ } = η, mµ, = m σ n x ξ(t) n 1 dh n 1 (x)dt wobei im letzten Integral φ(t, x) von außen genommen wird, d.h. φ(t,x) = lim hց0 φ(t,x+hν BR (ξ(t)))

42 I.3 Impulserhaltung 42 3 Impulserhaltung Die Impulserhaltung braucht für ihre Formulierung eine Massenerhaltung, sie ist also nur formulierbar mit Hilfe der Massenerhaltung, was sich aus den Beobachtertransformationen in Abschnitt II.3 ergibt. Das System Massen- Impuls-Erhaltung lautet Allgemeine Masse-Impuls-Erhaltung: t +div( v +J) = r, t ( v)+div( vv T +vj T +Π) = f wobei neben den schon bekannten Größen aus (I1.6) Π = (Π ij ) i,j=1,...,n Drucktensor, (I3.1) f = ( fi )i=1,...,n allgemeine Kraft. Dabei sind zunächst (,J,r) und (v,π, f) beliebige Terme, also haben wir allgemein die Erhaltungsgleichungen hingeschrieben. Der f-term beinhaltet sowohl äußere Kräfte als auch innere Kräfte wie z.b. die Selbstgravitation. Es besteht eine Korrespondenz zwischen dem Druckterm Π und dem Kraftterm f, ähnlich wie zwischen J und r (vgl. die Bemerkung im Anschluss an (I1.6)). Teile der Kraft können auch als Term in dem Drucktensor umgeschrieben werden und werden dann auch als interne Kraft bezeichnet. Die v-terme in den Flüssen ergeben sich aus Objektivitätsgründen (siehe Abschnitt II.3, auf diesen Abschnitt verweisen wir auch zur genauen Definition von f). Entsprechend zu 1.1 ist die Divergenz einer Matrix dadurch definiert, dass sie auf dem letzten Index wirkt, es gilt folgende Definition: Ist M = (M ij) i,j=1,...,n = M 11. M n1... M 1n.... M nn eine matrixwertige Funktion, so ist die Divergenz der Matrix definiert durch ( ) n divm := xj M ij. j=1 i=1,...,n Weiter ist in obiger Gleichung v 1 v 1 v 1... v 1 v n vv T =. [v 1... v n ] =.. = (v i v j ) i,j=1,...,n, v n v n v 1... v n v n v 1 v 1 J 1... v 1 J n vj T =. [J 1... J n ] =.. = (v i J j ) i,j=1,...,n. v n v n J 1... v n J n

43 I.3 Impulserhaltung 43 Also ist vv T +vj T +Π = ( v i v j +v i J j +Π ij ) i,j=1,...,n und die Differentialgleichungen in (I3.1) können als n + 1 reelle Gleichungen n t + j ( v j +J j ) = r, j=1 t ( v k )+ n j ( v k v j +v k J j +Π kj ) = f k für k = 1,...,n j=1 (I3.2) geschrieben werden. Ist wieder die Gesamtmasse, wird gewöhnlich J = 0 und r = 0 gesetzt, die allgemeine Kraft f wird dann zur Kraft f (zur Information siehe die Masse-Impuls Gleichung im Abschnitt II.3). Die Differentialgleichungen werden zur Masse-Impuls-Erhaltung: t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +Π) = f Π = (Π ij ) i,j=1,...,n Drucktensor, f = (f i ) i=1,...,n Kraft. (I3.3) Wir behandeln zunächst den Fall, dass der Drucktensor 0 ist, dafür aber der Kraftterm beliebig ist. Impuls von Massepunkten Dies ist der Fall bei der Bewegung eines Massepunktes, bei dem die Trajektorie wieder mit t ξ(t) R n bezeichnet wird (siehe 2.5) und die Masse-Impuls-Erhaltung eine distributionelle Formulierung hat. In der Tat, die Masse-Impuls-Erhaltung besagt dass man den Punkt ξ(t) als Limes eines Körpers mit kleiner Ausdehnung aufzufassen hat. Für diesen Körper gilt die Masse-Impuls-Erhaltung. Wir zeigen, dass diese Erhaltungssätze äquivalent sind zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung für ξ. 3.1 Massepunkt. Wir betrachten den Massepunkt aus 2.6, dessen Masse t m(t) > 0 sich mit t ξ(t) R n bewegt. Es gilt m ist konstant, v(t,ξ(t)) = ξ(t) (Geschwindigkeit), (I3.4) und die gewöhnliche Differentialgleichung m ξ = f (I3.5)

44 I.3 Impulserhaltung 44 genau dann, wenn die Distributionsgleichungen t (mµ ξ )+div(mvµ ξ ) = 0, t (mvµ ξ )+div(mvv T µ ξ ) = fµ ξ (I3.6) erfüllt sind, wobei die Distribution µ ξ gegeben ist durch (I2.6). Beweis. Die erste Differentialgleichung in (I3.6), d.h. die Massenerhaltung, behandelt man wie in 2.6. Daraus ergeben sich auch die Gleichungen (I3.4). Für die zweite Gleichung gilt für ζ D(R R n ;R n ) ζ, t (mvµ ξ ) div x (mvv T µ ξ )+fµ ξ ζk, t (mv k µ ξ ) div x (mv k vµ ξ )+f k µ ξ = k ( t ζ k, mv k µ ξ + ζk, mv k vµ ξ + ζk, f k µ ξ ) = k = k = k + k R m v k (t,ξ(t)) } {{ } = ξ k (t) R (ζ k f k )(t,ξ(t))dt Daraus folgt die Behauptung. R ( t ζ k +v ζ k )(t,ξ(t)) } {{ } = d dt ζ k(t,ξ(t)) ( d dt (m ξ k (t))+f k (t,ξ(t)) dt ) ζ k (t,ξ(t))dt. 3.2 Kollision von Massepunkten. Es seien zwei Massepunkte wie in 2.5 t ξ α (t) R n stetig, α = 1,2, gegeben, deren Trajektorien sich genau im Punkte x 0 = ξ 1 (t 0 ) = ξ 2 (t 0 ) treffen. Wir bezeichnen die Distributionen µ ξ α wie in (I2.6). Die Massen seien gegeben durch stetige beschränkte Funktionen t m α (t,ξ α (t)) > 0 für t t 0, also ist die distributionelle Gesamtmasse des Systems gegeben durch α=1,2 m α µ ξ α D (R R n ).

45 I.3 Impulserhaltung 45 Behauptung: Es mögen die Distributionsgleichungen ( ) ( ) t m α µ ξ α +div m α v α µ ξ α = 0, α α ( ) ( ) t m α v α µ ξ α +div m α v α v αt µ ξ α = α α α f α µ ξ α (I3.7) gelten, wobei v α (t,ξ(t)) := ξ α (t) die Geschwindigkeiten sind. Die Ableitungen ξ α (t) für t t 0 seien stückweise stetig bis in den Punkt t 0 hinein, ebenfalls die Vektorfelder f α. Es folgt } m α ξα = f α, für t t0 m α lokal konstant in t und α = 1,2, m 1 +m 2 = m 1 + +m 2 + (Massenerhalt in t 0 ), m 1 v 1 +m 2 v 2 = m 1 +v+ 1 +m 2 +v+ 2 (Impulserhalt in t 0 ), (I3.8) wobei m α := lim tրt0 m α (t,ξ α (t)), m α + := lim tցt0 m α (t,ξ α (t)) und entsprechend v α und v α +. Es wird hier also nicht beschrieben, was beim Zusammenstoß passiert, es wird aber eine Gesamtmassenbilanz und eine Gesamtimpulsebilanz aufgestellt. Verallgemeinerung: Es können sich auch mehrere Massen nach dem Zusammenstoß bilden (siehe z.b. Abb. 5), was zu entsprechenden Formeln führt. Beweis. AußerhalbdesPunktes(t 0,x 0 )sinddietrajektorienξ α verschieden. Sei t t 0. In einer kleinen Umgebung des Punktes (t,ξ α (t)) haben wir nur die α-phase zu betrachten, d.h. in dieser Umgebung gilt ( t m α ( µ ξ α) +div m α v α µ ξ α) = 0, ( t m α v α ) ( ) µ ξ α +div m α v α v αt µ ξ α = f α µ ξ α. Nach 3.1 und 2.6 folgt dann, dass m α in diesem Bereich konstant ist, dass v α (t,ξ α (t)) = ξ α (t) und dass m α ξα (t) = f(t,ξ α (t)) für t t 0. Wir haben also die Massen- und Impulsbilanz nahe dem Punkte (t 0,x 0 ) aufzustellen. Wir schreiben die Massenerhaltung und die Komponenten der Impulserhaltung von (I3.7) in einer Gleichung ( ) ( ) t g α µ ξ α +div g α v α µ ξ α = f α µ ξ α α α α

46 I.3 Impulserhaltung 46 Abb. 5: Particle tracks from the collision of an accelerated nucleus of a niobium atom with another niobium nucleus. The single line on the left is the track of the incoming projectile nucleus, and the other tracks are fragments from the collision. (Courtesy of the Department of Physics and Astronomy, Michigan State University) auf, wobei g α := m α, f α := 0 für die Massenerhaltung, g α := m α vk α, fα := fk α, k = 1,...,n für die Impulserhaltung. Indem wir jetzt Testfunktionen ζ D(R R n ;R) wählen, die Träger in einer

47 I.3 Impulserhaltung 47 Umgebung von (t 0,x 0 ) haben, berechnen wir ( ) ( ) 0 = ζ, t g α µ ξ α div g α v α µ ξ α + f α µ ξ α α α α = t ζ, g α µ ξ α + ζ, g α v α µ ξ α + ζ, f α µ ξ α α α α = ( ( t ζ)(t,ξ α (t))g α (t,ξ(t))dt α R + ( ζ)(t,ξ α (t)) (g α v α )(t,ξ α (t)) dt R\{t 0 } } {{ } = g α (t,ξ α (t)) ξ α (t) ) + ζ(t,ξ α (t))f α (t,ξ α (t))dt R\{t 0 } = d ( ζ(t,ξ α R\{t 0 }( α (t)) ) g α (t,ξ α (t))+ζ(t,ξ α (t))f α (t,ξ (t))) α dt dt (wir integrieren jetzt partiell) wobei = α = α + α R\{t 0 } ( ζ(t,ξ α (t)) dt( d g α (t,ξ α (t)) ) ) +f α (t,ξ α (t)) dt d ( ) ζ(t,ξ α (t))g α (t,ξ α (t)) dt R\{t 0 } dt } {{ } = ζ(t 0,ξ α (t 0 ))(g α g+) α R\{t 0 } = ζ(t 0,x 0 )(g α g+) α ( ζ(t,ξ α (t)) dt( d g α (t,ξ α (t)) ) ) +f α (t,ξ α (t)) dt +ζ(t 0,x 0 ) (g α g+), α α g α := lim tրt0 g α (t,ξ α (t)), g α + := lim tցt0 g α (t,ξ α (t)). Da die Testfunktion ζ beliebig gewählt werden kann, folgt d ( g α (t,ξ(t)) ) = f α (t,ξ(t)) für t t 0 und α = 1,2, dt g+ α = g. α α α Dies ergibt alle Gleichungen in (I3.8). Wir betrachten nun eine Kollektion von Massenpunkten, auf die gegenseitige Kräfte wirken. Wir erhalten so in der Impulsbilanz eine Matrix Π, d.h. die

48 I.3 Impulserhaltung 48 Kräfte haben zum Teil eine Gestalt, welche es erlaubt sie unter der Divergenz auszudrücken (siehe [11, 2.2, 2.4] und [12, section 7]). 3.3 Mehrere Massenpunkte. Wir betrachten N Massenpunkte mit Masse m α > 0 und Ort t ξ α (t) für α = 1,...,N. Sie mögen die gewöhnliche Differentialgleichungen m α ξα (t) = ( F αβ ξ α (t) ξ β (t) ) +f α (t) (I3.9) β:β α in t erfüllen, wobei F αβ :R n \{0} R n für α β Abbildungen sind mit F αβ (z) = F βα ( z). (I3.10) Wir betrachten einen t-bereich, in dem sich die Massenpunkte nicht treffen (siehe dazu REFenergy.??). Mit den Geschwindigkeiten v α (t,ξ α (t)) = ξ α (t) gelten dann die Massen- und Impulsbilanz ( ) ( ) t m α µ ξ α +div x m α v α µ ξ α = 0, α α ( ) ( t m α v α µ ξ α +div x m α v α v T α µ ξ α α α 1 F αβ (ξ α ξ β ) ( ξ α ξ β) ) T µξ 2 α,ξ β = f α µ ξ α. α α,β:α α Here the distributions µ ξ α and µ ξ α,ξβ are given for test functions ζ by ζ, µξ α := ζ(t,ξ α (t))dt (as in (I2.6)), R ζ, µξ α,ξ β := R 1 Wir sehen also, dass der Kraftterm 0 f α := β:β α ζ(t,(1 s)ξ α (t)+sξ β (t))dsdt. F αβ ( ξ α ξ β) +f α in der gewöhnlichen Differentialgleichung (m α ξα = f α ) einen Term besitzt, der als interner Term 1 2 α,β:α α F αβ (ξ α ξ β ) ( ξ α ξ β) T µξ α,ξ β unter den Flussterm in der Impulserhaltung geschrieben werden kann. Deshalb bezeichnen wir ( F αβ ξ α ξ β) auch als interne Kraft. β:β α

49 I.3 Impulserhaltung 49 Beweis. Für einen einzelnen Massepunkt ist die Masse m α konstant und m α ξα = f α := ( F αβ ξ α ξ β) +f α. β:β α Daher folgt wie in 3.1, dass dies äquivalent ist zu t (m α µ ξ α)+div x (m α v α µ ξ α) = 0, t (m α v α µ ξ α)+div x (m α v α v α T µ ξ α) = f α µ ξ α. Indem wir die Summe bilden, folgt daraus natürlich ( ) ( ) t m α µ ξ α +div x m α v α µ ξ α = 0, α α ( ) ( ) t m α v α µ ξ α +div x m α v α v T α µ ξ α = f α µ ξ α. α α α Es bleibt also der Kraftterm umzuschreiben. (Diese Manipulation ist in der Literatur nicht so offensichtlich.) Nun gilt f α µ ξα = F α µ ξα + f α µ ξα α α α wobei F α := β:β α F αβ (ξ α ξ β ). We show that the F α -expressions can be written as term under the divergence, hence we call it an internal force term. Thus we have to show that for ζ D(R R n ;R n ) ζ, Fα µ ξ α α = 1 2 α,β:α β Dζ, F α,β (ξ α ξ β ) ( ξ α ξ β) T µξ α,ξ β. (I3.11) To prove this, we let F αα := 0 and F αβ := F αβ (ξ α ξ β ) for α β, so that by assumption (I3.10) F αβ (ξ α ξ β ) = F βα (ξ β ξ α ) for α β, or F αβ = F βα for all α and β. Thus we obtain ζ, Fα µ ξ α = ζ, F α,β µ ξ α = ζ(t,ξ α (t)) F α,β (t)dt α α,β α,β R = 1 α,β R 2 (ζ(t,ξα (t)) ζ(t,ξ β (t))) F α,β (t)dt = 1 1 Dζ(t,(1 s)ξ β (t)+sξ α (t)) ( Fα,β (t)(ξ α (t) ξ β (t)) T ) dsdt 2 α,β R 0 = 1 Dζ, 2 F α,β (ξ α ξ β ) T µ ξ α,ξ β. α,β

50 I.3 Impulserhaltung 50 Bewegung von Planeten Wir betrachten nun die Bewegung eines einzelnen Planeten um die Sonne und zwar unter dem Einfluss der Gravitation. Da die Hauptmasse die Masse der Sonne ist, werden die Einzelmassen der Planeten bei der Berechnung des Gravitationsfeldes nicht berücksichtigt, d.h. vernachlässigt. Denn die Gleichung des Gravitationsfeldes ist zunächst div( [φ(t, )]) = m 0 δ 0 + α m α δ ξ α (t), wenn 0 die Position der Sonne mit Masse m 0 ist, und die Planeten mit Abb. 6: Fotomontage zum Größenvergleich zwischen Erde (links) und Sonne. Das Kerngebiet (Umbra) des großen Sonnenflecks hat etwa 5-fachen Erddurchmesser. aus [Wikipedia: Sonne] Massen m α die Positionen ξ α (t) zur Zeit t haben. Da m α << m 0 (see Abb. 6) werden die Terme mit Planetenmassen in der Gravitationsgleichung nicht berücksichtigt. (Dies obwohl die Gravitation nahe eines Planeten groß ist. Das hat auf den Planeten als Massenpunkt selbst keine Auswirkung und die anderen Planeten sind weit genug entfernt. Es sei diesbezüglich auf Abschnitt IV.14 über Selbstgravitation hingewiesen.) Das Verhältnis von Volumen der Erde zur Sonne wird veranschaulicht in Abb. 6 und durch das Verhältnis des Mondes Io zum Jupiter (siehe Abb. 7). Da wir die Bewegung eines einzelnen Planeten betrachten, der im Laufe der Zeit nicht mit einem anderen Körper zusammenstößt(das ist auch recht unwahrscheinlich), ergibt sich die Kepler sche Formel. Die gewöhnliche Differentialgleichung ist nach 3.1 äquivalent zu der Erhaltung von Masse und Impuls. 3.4 Kepler sche Bewegung. Ein Planet bewege sich mit t ξ(t) in einem zentralen Gravitationsfeld. Also ist der Planet als Punkt {ξ(t)} modelliert und erfülle m ξ = f, f(t) = mg φ(t,ξ(t)),

51 I.3 Impulserhaltung 51 wobei φ das Gravitationspotential der Sonne ist. Die Masse der Sonne m 0 werde in einem Punkt konzentriert, und zwar in {0}. Also ist x φ(t,x) gegeben durch div( [φ(t, )]) = m 0 δ 0. Es sei vorausgesetzt, dass ξ(t) 0. Dann gelten (bis auf Ausnahmen von eindimensionalen Bewegungen in positiver oder negativer Richtung zur Sonne) die Gleichungen der Kepler schen Bewegung, d.h. die Bewegung liegt in einer Ebene und mit der Darstellung ξ(t) = r(ϕ(t))e iϕ(t) ist p r(ϕ) = 1+e cosϕ, ϕ = d r(ϕ) 2, d2 = pgm 0 0. Die unabhängigen Variablen sind also p > 0 und e. Ist e < 1 macht der Planet eine periodische Bewegung. (Siehe auch Aufgabe 7.15.) Abb. 7: Left: Sun at 7 Jun 1992 from [Wikipedia: Sonne]. Right: Jupiter and Io at 2 Jan 2013 from SuW (Photo by Thorsten Edelmann). Bemerkung: Es sei n = 3. In Physikbüchern ist G = g 4π, wobei 11 m3 G = kgs 2 (I3.12) die Gravitationskonstante. Das Gravitationspotential φ Literatur ist in der Literatur gleich φ Literatur = 4πGφ = gφ.

52 I.3 Impulserhaltung 52 Nach 3.1 ist die gewöhnliche Differentialgleichung in 3.4 äquivalent zum Masse-Impuls-Gesetz in einer distributionellen Version. Die Distributionsgleichungen für die Kepler sche Bewegung eines Planeten sind also insgesamt t (mµ ξ )+div(mvµ ξ ) = 0, t (mvµ ξ )+div(mvv T µ ξ ) = mg φµ ξ, div( [φ]) = m 0 µ 0. (I3.13) Dabei ist v(t,ξ(t)) = ξ(t) die Geschwindigkeit des Planeten, was aus der Massenerhaltung nach 2.6 folgt. Zu dem Produkt im Kraftterm sei gesagt, dass φ analytisch ist in einer Umgebung des Trägers von µ ξ. Beweis. Das System (I3.13) ist nach 2.6 äquivalent zu m = const und v(t,ξ(t)) = ξ(t) und der Differentialgleichung ξ(t) = g φ(t,ξ(t)). Außerdem ist die Lösung der Gravitationsgleichung (mit φ(t, x) 0 für x ) gegeben durch φ(t,x) = m 0 4π x d.h. es gilt mit g = 4πG also φ(t,x) = m 0 x 4π x 3, ξ(t) = Gm 0 ξ(t) ξ(t) 3. (I3.14) Es ist ξ(t) Nichtnull nach Vorassetzung. Aus der Differentialgleichung folgt, dass ξ(t) höchstens Null zu endlich vielen Zeiten sein kann. Also können wir annehmen, dass ξ(0) 0 und ξ(0) Schritt. Wir zeigen, dass wir nur den zweidimensionalen Fall behandeln müssen. Wie bezeichnen dazu mit H den Unterraum, der 0, ξ(0) und ξ(0) enthält. Wir zerlegen ξ(t) = x(t) }{{} H + y(t). }{{} H Dann erfüllt y die Differentialgleichung y(t) ÿ(t) = Gm 0, y(0) = 0, ẏ(0) = 0 ξ(t) 3 (im Nenner steht ξ(t) 3 ). Daraus folgt y = 0, also ξ(t) H. Dann ist H eine Hyperebene, falls ξ(0) von ξ(0) linear unabhängig ist. Falls ξ(0) von ξ(0) linear abhängig ist, so ist H eindimensional. Dann stürzt ξ(t) nach endlicher Zeit auf 0, oder geht auf einem Strahl gegen unendlich.

53 I.3 Impulserhaltung Schritt. Wir nehmen also an, dass (I3.14) gilt mit t ξ(t) R 2. Da es sich um eine zweidimensionale Bewegung handelt, können wir lokal in der Zeit den Polarkoordinatenansatz ξ(t) = r(ϕ(t))e iϕ(t) machen, d.h. es ist r eine Funktion von ϕ. Mit erhält man und damit c := Gm 0 c2 r 2eiϕ = c 2 ξ(t) ξ(t) 3 = ξ = d2 dt 2(reiϕ ) = d dt ( ϕ(r ϕ +ir)e iϕ ) = ( ϕ(r ϕ +ir)+ ϕ 2 (r ϕϕ r+2ir ϕ))e iϕ ϕ(r ϕ +ir)+ ϕ 2 (r ϕϕ r +2ir ϕ) = c2 r 2. Realteil und Imaginärteil ergeben die zwei Gleichungen ϕr +2 ϕ 2 r ϕ = 0, ϕr ϕ + ϕ 2 (r ϕϕ r) = c2 r 2. (I3.15) Abb. 8: All planets move in elliptical orbits, with the sun at one focus from hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kepler.html 3. Schritt. Lösung der ersten Gleichung in (I3.15). Die erste Gleichung kann, wenn ϕ 0, geschrieben werden als also ϕ ϕ ϕ ϕ +2r = 0, r d (log ϕ +2logr(ϕ)) = 0, dt

54 I.3 Impulserhaltung 54 weshalb mit einer Konstanten d 0 ϕ = d r(ϕ) 2. (I3.16) 4. Schritt. Lösung der zweiten Gleichung in (I3.15). Wir bekommen aus (I3.16) ϕ = 2d ϕ(ϕ) ϕ = 2r ϕ r(ϕ) 3r r Setzten wir dies in die zweite Gleichung ein, so erhalten wir c2 r 2 = ϕr ϕ + ϕ 2 (r ϕϕ r) = ϕ 2( ) 2r2 ϕ r +r ϕϕ r, das heißt mit (I3.16) c2 d 2r2 = r ϕϕ 2r2 ϕ r. r ϕ 2 (I3.17) Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Funktion ϕ r(ϕ). Setzen wir nun mit p 0 und e R so ist und damit wird (I3.17) zu r(ϕ) = p 1+e cosϕ, pesinϕ r ϕ = (1+ecosϕ) 2 = esinϕ r 2 p r ϕϕ = ecosϕ r 2 + 2esinϕ p p rr ϕ ( p ) r 2 = r 1 p + 2e2 sin 2 ϕ p 2 r 3 Das ist äquivalent zu der Bedingung = r r2 p + 2e2 sin 2 ϕ p 2 r 3 = r r2 p + 2r2 ϕ r c2 d 2r2 = r ϕϕ 2r2 ϕ r = r2 r p. (I3.18) p = d2 c 2. (I3.19) Die Gleichungen (I3.16), (I3.18) und (I3.19) sind die Kepler Bewegung.

55 I.3 Impulserhaltung 55 Navier-Stokes Gleichung Wir kommen nun zurück auf das allgemeine System von Erhaltungsgleichungen, die Massen- und Impulserhaltung in (I3.3). Dieses System modelliert die Bewegung von Flüssigkeiten, wobei jetzt Π = pid S ist mit einem Druck p und einem Spannungstensor S, der linear in Dv angenommen wird. Der Kraftterm f ist jetzt meistens eine äußere Kraft. (Diese Eigenschaften werden wir in Kapitel II noch herleiten, auch die in(i3.20) gemachten Vorzeichenregeln folgen aus dem in Kapitel III geforderten Entropieprinzip.) Bei einer einzigen Flüssigkeit ist keine distributionelle Formulierung des Masse- Impuls-Gesetzes erforderlich. Wir setzen J = 0, r = 0 und erhalten (Kompressible) Navier-Stokes Gleichungen: t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +Π) = f, wobei: Π = pid S der Drucktensor, p Druck, S = µ(dv +(Dv) T )+λ(divv)id = 2µ(Dv) S +λ(divv)id Spannungstensor, (I3.20) µ > 0 und λ+ 2µ n 0 Lamé Koeffizienten, und: f Kraft. Es sei bemerkt, dass S = 2µ(Dv) S +λ(divv)id = 2µ( (Dv) S 1 n div(v)id } {{ } spurfrei )+(λ+ 2µ n )div(v)id, was die Positivität der Koeffizienten erläutert(siehe III.2.5 und auch II.4.15). Der Druck p hängt dabei unter Anderem von ab, falls es sich um eine kompressible Flüssigkeit handelt (siehe auch Abschnitt IV.2). Oft wird die Navier-Stokes Gleichung auch in anderer Form geschrieben. Es gilt allgemein t ( v)+div( vv T ) = ( t +div( v)) } {{ } = 0 v + ( t v +v v), und divπ = div(pid S) = p divs.

56 I.3 Impulserhaltung 56 Also sind die (kompressiblen) Navier-Stokes-Gleichungen äquivalent zu (Kompressible) Navier-Stokes Gleichungen: t +div( v) = 0, ( t v +v v)+ p divs = f p Druck (ggf. eine Funktion von ), S = µ(dv +(Dv) T )+λ(divv)id, f Kraft. (I3.21) Wir testen die Gleichungen an einer Zentrifuge. 3.5 Zentrifuge. Wir modellieren eine Zentrifuge durch ein unendlich langes Rohr in n = 3, etwa {x R 3 ; (x 1,x 2 ) < R} und wir bezeichnen mit r den Abstand von der Achse r = x 2 1 +x2 2. Wir betrachten stationäre Lösungen, d.h. solche, die nicht von der Zeitvariablen abhängen. 12 Wir machen den Ansatz = (r), p = p(r), f = 0, v(x) = ω ( x 2,x 1,0). (I3.22) Dann ist die kompressible Navier-Stokes-Gleichung (siehe (I3.21)) im stationären Fall äquivalent zu der Differentialgleichung r p = ω 2 r. (I3.23) Das heißt, dass der Druck mit dem Radius r ansteigt. Beweis. Die (stationären) Gleichungen sind Es ist x 2 v = ω x 1 0 div( v) = 0, v v +div(pid S) = also Dv = ω 1 0 0, und damit (Dv) S = 0 also auch divv = 0, daher S = 0. Außerdem gilt Es folgt (p(r)) = r p r = rp r (x 1,x 2,0). div( v) = divv +( ) v = ω r r (x 1,x 2,0) ( x 2,x 1,0) = 0 12 Diese Definition gilt für die gesamte Vorlesung. (I3.24)

57 I.3 Impulserhaltung 57 und es ist 13 v v = 3 v i xi v i=1 = ω 2 ( x 2 e 2 x 1 e 1 ) = ω 2 (x 1,x 2,0). Zusammen ergibt sich, dass also 0 = v v + p = ( ω 2 + rp r )(x 1,x 2,0), 1 r rp = ω Verschiedene Materialien. Wir diskutieren verschiedene konstitutive Beziehungen für p und deren Auswirkung in (I3.23). (1) Es sei = const > 0 und p eine freie Variable. Dann folgt aus (I3.23) p = ω2 2 r2 +const. (2) Es sei p = c γ mit γ > 1. Dann lautet (I3.23) ( ) 1 (γ 1)ω 2 = r 2 γ 1 +const 2cγ (3) Es sei p = c. Dann lautet (I3.23) ( ) ω 2 = exp 2c r2 +const. (4) Es sei p = f ( ) f( ) mit einer gegebenen Funktion f. Dann lautet (I3.23) f ( ) = ω2 2 r2 +const. 13 Es ist e i = (δ ij) j=1,...,n der i-te Basisvektor des R n.

58 I.3 Impulserhaltung 58 (5) Es sei p = c 0 +c 1 +c 2 γ mit γ > 1. Dann ist (I3.23) äquivalent zur Formel (4), wobei f ( ) = c 1 log + c 2γ γ 1 γ 1 +const. Remark: Die Funktion f ist die interne freie Energie, siehe Abschnitt III.3. Beweis (1). Dies folgt durch Integration von (I3.23). Beweis (2). Es ist wenn somit ω 2 r = c r( γ) = cγ γ 2 r = r (h( )), h ( ) = cγ γ 2 γ also h( ) = c 1 γ 1 +const, γ ( ) r h( ) ω2 2 r2 = 0, das heißt cγ 1 γ 1 +const = h( ) = ω2 γ 2 r2 +const. Daraus folgt das Resultat. Beweis (3). Es ist und daher das heißt ω 2 r = c r = c r (log ) ( ) r clog ω2 2 r2 = 0, log = ω2 2c r2 +const. Beweis (4). Es ist p = f, daher und da r p = ω 2 r das heißt und daraus folgt die Behauptung. r p = p r = f ( ) r f ( ) r = ω 2 r, ( ) r f ( ) ω2 2 r2 = 0,

59 I.3 Impulserhaltung 59 In vielen Beispielen wird angenommen, dass die Flüssigkeit inkompressibel ist, d.h. = 0 = const > 0 gilt. In diesem Fall wird die Massenerhaltung zu 0 = t +div( v) = divv, also ist divv = 0 und und t ( v)+div( vv T ) = ( t v +div(vv T )), S = 2µ(Dv) S +λ divv }{{} = 0 Id = 2µ(Dv) S. Damit erhalten wir die Standardform der inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen. Inkompressible Navier-Stokes Gleichung: divv = 0, 0( t v +div(vv T ))+divπ = f, wobei: = 0 = const Dichte, Π = pid S der Drucktensor, p Druck, S = 2µ(Dv) S Spannungstensor, µ > 0 Lamé Koeffizient, und: f Kraft. (I3.25) Mit (I3.21) sind die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen äquivalent zu Inkompressible Navier-Stokes Gleichung: divv = 0, 0( t v +v v)+ p div(µ(dv +(Dv) T )) = f v Geschwindigkeit, p Druck, 0 > 0 konstant, µ > 0 Lamé Koeffizient, f Kraft. (I3.26) Wenn zusätzlich µ = const, dann ist div(µ(dv) S ) = µdiv((dv) S ) und ( ) n 2div((Dv) S ) = j ( j v k + k v j ) = v + ( j=1 ) n k j v j j=1 k=1,...,n k=1,...,n = v + (divv).

60 I.3 Impulserhaltung 60 Also, wenn µ = const, ist (I3.26) äquivalent zu Spezielle Navier-Stokes Gleichung: divv = 0, 0( t v +v v)+ p µ v = f quantities as in (I3.26), µ = const > 0 Lamé Koeffizient. (I3.27) In dieser Version wird die Navier-Stokes Gleichung oft angegeben. Wir geben nun die Poiseuille Strömung als Beispiel für eine inkompressible zähe Strömung an (siehe auch [7, 5.1 Laminare Rohrströmung], wo beliebige Rohrquerschnitte behandelt werden). 3.7 Poiseuille-Strömung durch ein Rohr. Wir betrachten die stationäre inkompressible Navier-Stokes Gleichung ohne äußere Kraft, d.h. f = 0. Die inkompressiblen stationären Gleichungen lauten divv = 0, v v +divπ = 0, Π = pid S, (I3.28) mit Druck und Spannungstensor wie in (I3.27). Das Rohr ist gegeben durch D := {x R 3 ; x 2 1 +x2 2 < R}. Wir betrachten Strömungen mit konstanter Viskosität und der Randbedingung v = 0 auf D. (I3.29) Eine stationäre Lösung der Massen- und Impulserhaltung mit dieser Randbedingung ist gegeben durch v(x) = c 4 (R 2 (x 2 1 +x 2 2) ) e 3, p(x) = cµx 3 +const, wobei c eine Konstante ist und µ der konstante Viskositätskoeffizient. Ist also µ > 0 und strömt die Flüssigkeit in Richtung e 3, d.h. c > 0, so fällt der Druck p in Strömungsrichtung. Also muss bei einem langen Rohr die Flüssigkeit mit hohem Druck eingeführt werden, um eine stationäre Strömung zu erreichen.

61 I.3 Impulserhaltung 61 Abb. 9: Aus hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/ppois.html Beweis. Sei (v,p) eine Lösung von (I3.28) in D mit der Randbedingung (I3.29), und für die v(x) = v 3 (x 1,x 2 )e 3. Es gilt für die Massenerhaltung wegen = const div( v) = divv = x3 v 3 = 0, und es folgt S = 2µ(Dv) S, d.h. der Divergenzterm verschwindet. Für die Impulserhaltung folgt daher 0 = v v + p divs = v 3 x3 v } {{ } = 0 = p 2µdiv (Dv) S. + p divs Nun ist Dv = 0 0 0, (Dv) S = v v 3, 2 1 v 3 2 v v 3 2 v 3 0 also gilt somit div (Dv) S = 1 2 ( (x 1,x 2 )v 3 )e 3 p = 2µdiv (Dv) S = µ( (x1,x 2 )v 3 )e 3. Daraus schließen wir zunächst, dass 1 p = 0 und 2 p = 0, also ist p = p(x 3 ). Dann wird die Impulserhaltung 3 p = µ }{{} (x1,x2)v 3 } {{ } Funktion von x 3 Funktion von (x 1,x 2 ),

62 I.3 Impulserhaltung 62 also gilt mit einer Konstanten c 3 p = cµ und (x1,x 2 )v 3 = c. Daraus ergibt sich p = cµx 3 +const, und wegen der Randbedingung an v die quadratische Darstellung von v 3, d.h. v 3 = c 4 (R2 (x 2 1 +x2 2 )). Beweis der Formel in Abb. 9. The flow rate F is the total flow through a cross section to the pipe, that is, F := B R (0)v(x ) e 3 dl 2 (x ) = c (R 2 x 2 )dl 2 (x ) 4 B R (0) = c R 4 2π r(r 2 r 2 )dr = cπ 8 R4. 0 The pressure difference for a pipe of length L is hence [ P 1 P 2 = cµx 3 +const ] x3 =0 x 3 =L = cµl, F = cπ 8 R4 = π(p 1 P 2 ) R 4 = πr4 (P 1 P 2 ) = P 1 P 2 8µL 8µL R, so that for the resistance R := P 1 P 2 F = 8µL πr 4, where µ is the Lamé coefficient. In Abb. 9 we have η = µ. Diese Lösung der Navier-Stokes Gleichung ist stabil für kleine Geschwindigkeiten bzw. große Viskositäten. In der Regel hat die stationäre Navier-Stokes Gleichung mehrere Lösungen. Für große Geschwindigkeiten bzw. kleine Viskositäten bildet sich eine Randschicht aus, die in der Regel nicht stationär ist. Also existiert noch eine weitere instationäre stabile Lösung. Bei einer numerischen Behandlung ist also auf eine genügend feine Diskretisierung nahe des Randes zu achten, und ggf. eine Randschicht zu benutzen (siehe zum Beispiel die Prandtl sche Randschicht in Abschnitt IV.12). Schwerkraft Als weiteres Beispiel für eine stationäre Lösung betrachten wir das Schwerkraftfeld eines inkompressiblen Planeten. Hierbei machen wir von der distributionellen Schreibweise der Navier-Stokes Gleichungen Gebrauch.

63 I.3 Impulserhaltung Schwerkraftfeld eines inkompressiblen Planeten. Wir betrachten die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen im R 3 und eine stationäre Lösung mit v = 0. Ein inkompressibler Planet werde modelliert durch eine Kugel mit homogener Massenverteilung = 0X BR (0), wobei 0 > 0 eine Konstante sei. Dann erfüllen das Schwerefeld φ in 2.13 und der Druck p die Gleichungen Behauptung: Hierbei ist div( [ φ]) = [ ], [px BR (0)] = g[ φ]. p = g 0(φ φ 0 ) und φ 0 der konstante Wert von φ auf B R (0). Hinweis: Falls der Planet rotiert, wird er durch die Rotation zu einem Spheroid. Dies wurde von Newton gezeigt und dessen Beweis wird in IV.14.1 präsentiert. Es handelt sich hier also um die Massen- und Impulserhaltung mit v = 0 und mit der Gravitationsgleichung. Beweis. Die Impulserhaltung schreibt sich auch als (p g 0φ) = 0 in B R (0) mitp = 0auf B R (0). Daφ = φ 0 = constauf B R (0), folgtdiebehauptung. Die Schwerkraft der Erde auf einen Körper mit Massendichte ist f = g φ Erde, wobei nach 2.13 für Punkte x außerhalb des Erdinnneren (wenn der Erdmittelpunkt zu 0 normiert wird) φ Erde (x) = M Erde 4π x x 3, (I3.30) also erhält man für x auf dem Rande der Erde, wenn e(x) = x x φ Erde (x) = M Erde 4πRErde 2 e(x) Hierbei ist die Erde mit einer Kugelapproximation mit Radius R Erde beschrieben, was natürlich eine grobe Vereinfachung

64 I.3 Impulserhaltung 64 darstellt, siehe [Wikipedia: Erdradius], [Wikipedia: Erdmasse] und [Wikipedia: Gewichtskraft], zumal wir auch von einer Gleichverteilung der Masse ausgehen (siehe 3.8, wo die Schwerkraft innerhalb eines inkompressiblen Planeten betrachtet wurde, was zu einer Abplattung führte, siehe auch IV.14.1). Es ist 11 m3 G = kgs 2 M Erde = kg R Erde = 6370km. Nun folgt für x auf der Erdoberfläche g φ Erde (x) = gm Erde 4πRErde 2 e(x) = G M Erde RErde 2 e(x) = g 0 e(x) mit g 0 = m s 2, was dem Wert g Erde = 9.81 m s 2 (= m s 2) bis auf 0.153% genau nahe kommt. Hierbei muss berücksichtigt werden, dass alleine die Abplattung der Erde 0.335% betrifft(siehe die Abplattung in 3.8). Es sei bemerkt, dass die hier gemachten Vereinfachungen nicht bezüglich der physikalischen Gesetze Massen- und Impulsbilanz getroffen wurden, sondern in Hinsicht auf eine geometrische Vereinfachung zur einfacheren Berechnung der Lösung.

65 I.4 Oberflächen 65 4 Oberflächen Es begegnet uns täglich (siehe Abb. 10), dass wir verschiedene Medien haben, die sich berühren, etwa ein Schiff im Wasser, ein Wassertropfen oder ein Blatt in der Luft. Diese Situation wird mathematisch beschrieben durch eine Oberfläche, die das Medium 1 und das Medium 2 trennt. Es gilt die Massenerhaltung und die Impulserhaltung auch in diesem Fall. Wir haben es hier also mit dem zweiten wichtigen Fall zu tun, dass wir den Begriff der Distributionen verwenden können. Nur mit Hilfe von Distributionen sind die Erhaltungsgleichungen effektiv schreibbar, und sind gleichzeitig übersichtlich und leicht verständlich. Wir geben in diesem Abschnitt nur Beispiele an, die keine eigene Differentialgleichung auf der Oberfläche aufweisen (dazu siehe [13], wo auch Oberflächenspannung und Surfactants behandelt werden). Dies ist etwa bei den hyperbolischen Gleichungen der Fall, die im Abschnitt über die Eulergleichungen IV.3 behandelt werden. Wir nehmen einmal an, dass die Abb. 10: Interface von Wasser und Luft beiden Medien Flüssikeiten oder Gase sind. Es gilt also U = Ω 1 Γ Ω 2 R R n, wobeiu R R n eineoffenetestmengeistunddieoffenenraumzeitmengen Ω m die Flüssigkeit m enthalten und der Rest Γ die gemeinsame Trennfläche ist. Es ist also t Ω m t := {x R n ; (t,x) Ω m } R n die Menge, die von der Flüssigkeit m zu einem gegebenen Zeitpunkt t eingenommen wird, und die Trennfläche oder das Interface t Γ t := {x R n ; (t,x) Γ} R n zum Zeitpunkt t. Wir behandeln hier den einfachsten Fall, dass Γ t eine C 2 - Fläche ist und kein Massenaustausch auf der Fläche Γ t stattfindet. Auch sonstwirkenkeinezusätzlicheneffekteaufγ. Wichtigistjedoch,dasst Γ t

66 I.4 Oberflächen 66 veränderlich ist, d.h. von der Zeit abhängig ist. Der Ausgleich zwischen den beiden Medien wird in der Impulserhaltung gegeben und der wesentliche Teil ist der Anteil des Drucktensors. Dies wird durch die Formulierung als Erhaltungsgleichung deutlich. Sind also die Flüssigkeiten bzw. Gase in Ω m R R n durch die Größen ( m,v m,π m ) gegeben, so haben sie folgende Version im Raum der Distributionen D (U): t ( mµ Ω m)+div( mv m µ Ω m) = 0 für jedes m, t ( mv m µ Ω m)+div( ( mv m v mt +Π m )µ Ω m) m=1,2 m=1,2 = m=1,2 f m µ Ω m, (I4.1) wobei die Distributionen µ Ω m gegeben sind durch Ω 1 t = Medium 1 Ω 2 t = Medium 2 տ Γt = Interface Abb. 11: Zwei aneinanderstoßende Medien ζ, µ Ω m D(U) := = ζ(t,x)dl n+1 (t,x) Ω m ( ) ζ(t,x)dx dt, R Ω m t wobei ζ D(U). Hier ist wie oben definiert Ω m t = {x R n ; (t,x) Ω m }. Es wird hier von einer gemeinsamen Impulsbilanz ausgegangen. Wir werden in den folgenden Beispielen die distributionellen Differentialgleichungen (I4.1) betrachten. Hierbei machen wir (teilweise) folgende Annahme einer stationären Strömung, also ist u.a. t Γ t zeitlich konstant (in Beispiel 4.1 und 4.2). 14 einer Navier-Stokes Flüssigkeit in Ω 1, also Π 1 = p 1 Id S 1 (siehe Beispiel 4.2). eines dünnen Gases, also approximativ ein Vakuum, also keine Dichte und Kraft (in Beispiel 4.4 und 4.2). 14 Das heißt nicht, dass v = 0 sein muss (v = 0 ist der statische Fall).

67 Also ist in Ω w p w = divπ w = f w = wg = wge 3 I.4 Oberflächen 67 Als erstes Beispiel behandeln wir einen Körper in Wasser. Es ist jetzt Ω b = Ω 1 der Körper und Ω w = Ω 2 das Wasser. Dies modelliert den Fall, dass der Körper ganz in die Flüssigkeit eingetaucht ist. 4.1 Auftriebsgesetz von Archimedes. Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums. Aus [Wikipedia: Archimedisches Prinzip]. Die folgenden Beweise sollen zeigen, welche Voraussetzungen für diesen Satz notwendig sind, insbesondere, wie die Impulserhaltung in dieser Situation aussieht. Beweis falls der Körper ganz untergetaucht ist. Wir betrachten den statischen Zustand, d.h. den stationären Zustand mit Geschwindigkeit 0 15 und es sei n = 3. Der Körper, repräsentiert durch Ω 1 = Ω b, sei ganz eingetaucht in Wasser Ω 2 = Ω w, und der Rand dazwischen sei Γ. Die Massenerhaltungen sind dann trivial und die Impulserhaltung in (I4.1) lautet Dies ist äquivalent zu div( m=1,2 Π m µ Ω m) = m=1,2 divπ m = f m in Ω m, (Π 2 Π 1 )ν = 0 auf Γ, f m µ Ω m. wobei ν eine Normale an Γ sei. Wir schreiben dies mit Testfunktionen ζ D(R R 3 ;R 3 ) 16 0 = ζ, div( m=1,2 Π m µ Ω m)+ m=1,2 f m µ Ω m D(R R 3 ) = (Dζ Π b +ζ f b )dl 4 + (Dζ Π w +ζ f w )dl 4. Ω b Ω w Wir beweisen dies nun. Im statischen Zustand ist für das Wasser Π w = p w Id mit dem Druck p w und für die Kräfte nehmen wir nur die Schwerkraft und diese approximieren wir linear, d.h. f w = wg sowie f b = bg mit g = ge 3, wobei g die Gravitationskonstante auf der Erdoberfläche sei. Hier sind w und b die Dichten, wobei wir annehmen, dass w = = const. 15 das heißt, wir betrachten ein Equilibrium 16 It is a T b = a b and ( a T M k ) k = Ma for a matrix M if M k := (M kj ) j.

68 I.4 Oberflächen 68 und daher (bis auf eine Additionskonstante, die dann auch beim Körper addiert werden müsste) p w = wgx 3. Da w = = const, können wir eine globale Funktion p := gx 3 definieren. Es ist also p = p w auf Ω w. Wir erhalten (Dζ Π w +ζ f w )dl 4 = (Dζ (p w Id)+ζ p w )dl 4 Ω w Ω w = (divζ p w +ζ p w )dl 4 = div(p w ζ)dl 4 Ω w Ω w = p w ζ ν Ω w dh 3 = pζ ν Ω w dh 3 = pζ ν Ω b dh 3 Γ Γ Γ = div(pζ)dl 4 = Dζ (pid)dl 4 + ζ ( p )dl Ω b Ω b Ω b = ge 3 4, und somit oder 0 = (Dζ (Π b pid)+ζ (f b + ge 3 ))dl 4, Ω b div((π b pid)µ Ω b) = (f b + ge 3 )µ Ω b in D(R R 3 ). (I4.2) Das ist jetzt die Gleichung für den Körper, wobei (Π b pid) ν Ω b = 0 auf Γ und ge 3 die Auftriebskraft ist. Integrieren wir diese Gleichung über den R 3 auf (d.h. wir nehmen eine Testfunktion ζ(t,x) = η(t)χ(x), wobei χ = 1 ist in einer Umgebung von Ω b ), so erhalten wir für alle t 0 = f b dl 3 + ge 3 dl 3 = ( b)ge 3 dl 3. Ω b t Ω b t = ( ) Dabei ist ( ) die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Beweis falls der Körper auf dem Wasser schwimmt. Der Körper, repräsentiert durch Ω 1 = Ω b, befinde sich nur teilweise im Wasser. Dann ist Ω b t Γ 0 := {(t,x); x 3 = 0}\Ω b das Interface zwischen Wasser Ω w und Luft Ω a Ω 2 = Ω w Γ 0 Ω a.

69 I.4 Oberflächen 69 Also besteht Γ := Ω b aus zwei Teilen, dem Rand zur Luft Γ + := Γ Ω a und dem Rand zum Wasser Γ := Γ Ω w. Die beiden Mengen werden getrennt durch Γ Γ 0. Es ist dann (wir nehmen dasselbe wir im vorigen Beweis an, aber jetzt für die drei Gebiete Ω b, Ω w, and Ω a ). (Dζ Π w +ζ f w )dl 4 + (Dζ Π a +ζ f a )dl 4 Ω w Ω a = div(p w ζ)dl 4 + div(p a ζ)dl 4 Ω w Ω a = p w ζ ν Ω w dh 2 dl 1 + p a ζ ν Ω a dh 2 dl 1 R Γ R Γ + und das erste Integral ist gleich pζ ν Ω b dh 2 dl 1 R Γ = div(pζ)dl 3 dl 1 + = R R Ω b t {x 3<0} Ω b t {x 3<0} R {x 3 =0} Ω b t ( Dζ ( pid)+ζ ( ge3 ) ) dl 3 dl 1. pζ e 3 dh 2 dl 1 (es ist p = 0 auf {x 3 = 0}) Also erhalten wir insgesamt für den Körper in D (R R 3 ) Abb. 12: Ein teilweise untergetauchter Körper 0 = (Dζ (Π b X {x3 <0}pId)+ζ (f b +X {x3 <0} ge 3 ))dl 4 Ω b p a ζ ν Ω b dh 3. Γ + Man lässt jetzt a 0 und auch p a 0 gehen oder man formt auch das zweite Randintegral um. Auf jeden Fall wird die Gewichtskraft der

70 I.4 Oberflächen 70 verdrängten Flüssigkeit nun Ω b t {x 3<0} ge 3 dl 3 für alle t. Das ist der Bereich des Körpers, der im Wasser ist. Als zweites Beispiel wollen wir den Spezialfall einer rotierenden, stationären Flüssigkeit mit freier Oberfläche behandeln. Das heißt, es ist U = Ω f Γ Ω g, Ω f = R D f, Ω g = R D g, wobei das Wasser Ω f und das Gas Ω g ausfüllt. 4.2 Stationäre Flüssigkeit mit Oberfläche. Wir betrachten eine stationäre Lösung einer (in)kompressiblen Flüssigkeit mit freiem Rand zu einem Gas wie gerade beschrieben. Es finde kein Massenaustausch zwischen den beiden Phasen statt (keine Evaporation oder Kondensation). Behauptung: Die Differentialgleichungen lauten } div( v) = 0, div( vv T in Ω f = R D f, +pid S) = f p g = const lokal in Ω g = R D g, } v ν = 0, auf Γ = R Σ, (p p g )ν = Sν where ν is a normal unit vector of Σ. Beweis. Die Massenerhaltung lautet für die Flüssigkeit (kein Massenaustausch mit dem Gas) div( vµ Ωf ) = 0 in D (U), also ist für Testfunktionen ζ D(U;R), wenn Ω f = R D f, ( ) 0 = ζ, div( vµ Ωf ) = ζ(t,x) ( v)(t,x)dx dt R D f ( = ζ(t,x)ν Df (x) ( v)(t,x)dh n 1 (x) R D f ) ζ(t,x)div x ( v)(t,x)dx dt. D f Hieraus folgt div( v) = 0 in D f und ν Df v = 0 auf D f,

71 I.4 Oberflächen 71 Für die Impulserhaltung gilt für vektorwertige Testfunktionen ζ D(Ω;R n ) 0 = ζ, div (( vv T +pid S)µ Ωf +p g Idµ Ωg )+fµ Ωf = Dζ, ( vv T +pid S)µ Ωf + Dζ, p g Idµ Ωg + ζ, fµ Ωf = Dζ ( vv T +pid S)dL n dl 1 R D f + Dζ (p g Id)dL n dl 1 + ζ f dl n dl 1, R D g R D f wobei Ω g = R D g. Da ν Dg = ν Df, ist dies = ζ ( div( vv T +pid S)+f ) dl n dl 1 R D f + ζ ( vv T +(p p g )Id S)ν Df dh n 1 dl 1, R D f R D g ζ p g dl n dl 1 woraus die restlichen Differentialgleichungen in Ω f und Ω g und die Interfacegleichung folgen, d.h. div( vv T +pid S) = f auf R D f, p g = 0 auf R D g, ( vv T +(p p g )Id S)ν Df = 0 auf R D f. Da wir schon v ν Df = 0 gezeigt 17 haben, ist die Gleichung auf R D f zu äquivalent. (p p g )ν Df Sν Df = Die Parabelform der Oberfläche. Betrachte das Problem in 4.2 mit einer inkompressiblen Flüssigkeit, die Spannungstensor S wie in (I3.21) hat, und v(x) = ω( x 2,x 1,0) (rotierende Flüssigkeit), f(x) = g Erde (0,0, 1) (Schwerkraft der Erde), es ist = 0 = const, g Erde = 9.81 m s 2 (= m s 2). Dies ist genau dann eine Lösung von 4.2, wenn v ν = 0, p = p g = const auf Γ, Γ wird durch einen Paraboloid gegeben in Vertikalrichtung. Hinweis: Es ist Γ = R Σ und ν ist eine Normale an Σ. 17 Es ist a T b = a b und für eine Matrix M gilt ( a T M k ) k = Ma if M k := (M kj ) j.

72 I.4 Oberflächen 72 Z= ω 2 r Z = Zentrifugalkraft S = (linearisierte) Schwerkraft ω = Winkelgeschwindigkeit S Abb. 13: Die Parabelform der Oberfläche Also: Die Form des Randes wird durch die Rotation der Flüssigkeit in Zusammenhang mit der Schwerkraft gegeben, und zwar durch die distributionelle Massen- und Impulsbilanz. (Zum Vergleich siehe die Veröffentlichung [65].) Beweis. Wir betrachten zunächst allgemein eikne kompressible Strömung. Es gelten die Gleichungen in 4.2. Für das speziell gegebene v ist (Dv) S = 0 (siehe den Beweis von 3.5), und damit divv = trace (Dv) S = 0 und daher auch S = 0. Der Rand Γ ist orthogonal zu der Strömungsrichtung (v ν Γ = 0 auf Γ), er muss wegen der Massenerhaltung an die Flüssigkeit rotationssymmetrisch sein. Wegen div( vv T ) = v v+v div( v) sind die zu lösenden Gleichungen also v v + p = f in Ω f, p p g = 0 auf Γ, wobei p g eine Konstante ist. Wir berechnen also p aus der Differentialgleichung und setzen dann p = p g auf Γ (der Druck des Gases). Nun ist die

73 I.4 Oberflächen 73 Abb. 14: Rotation von Wasser mit Oberfläche Schwerkraft f = ge 3 mit g = g Erde (als Approximation), also v v + p = ge 3. Wegen v v = ω 2 (x 1,x 2,0) (siehe den Beweis von 3.5) erhalten wir ω 2 x 1 p = ω 2 x 2. (I4.3) g Im inkompressiblen Fall = const ist daher ( ) ω 2 p(x) = 2 (x2 1 +x 2 2) gx 3 +const, also für x Γ gx 3 = ω2 2 (x2 1 +x 2 2) p g const. Die Konstante dient zur Festlegung der Höhe von Γ im Zentrum. Bei einer kompressiblen Flüssigkeit werden die letzten Gleichungen andere sein, also ist die beschriebene Analysis nochmal zu machen (siehe Übungsaufgabe 7.19). Als letztes Beispiel nehmen wir einen Planeten, den wir als Kugel modellieren. Einen Planeten hatten wir schon betrachtet und z.b. die Schwerkraft der Erde auf deren Oberfläche behandelt. Es ist also Ω 1 der Planet und Ω 2 der Weltraum. 4.4 Kugel (Beispiel). Es sei (wie auch schon in 3.8 und 2.13) Ω 1 t = B R (ξ(t)), Ω 2 t = R n \B R (ξ(t)), Γ t = B R (ξ(t)),

74 I.4 Oberflächen 74 also U = R R n, n = 3. Dabei ist t ξ(t) die Bewegung der Kugel mit Masse m > 0. Let m 1 = L n (B R (0)) in Ω1, 2 = 0 in Ω 2, v 1 (t,x) := ξ(t) for (t,x) Ω 1, f 1 (t,x) := 1 ξ(t) for (t,x) Ω 1, Π 2 (t,x) := p 0 Id for (t,x) Ω 2. Es ist p 0 = const der Außendruck. Die Massen und Impulserhaltung sind dann t ( 1µ Ω 1)+div( 1v 1 µ Ω 1) = 0, t ( 1v 1 µ Ω 1)+div(( 1v 1 v 1 T +Π 1 )µ Ω 1 +Π 2 µ Ω 2) = f 1 µ Ω 1 (I4.4) und äquivalent zu divπ 1 = 0 in Ω 1, Π 1 ν Ω 1 = p 0 ν Ω 1 auf Γ. Remark: Als Beispiel sei Π 1 = pid, so that p = p 0. Hinweis: v 2 braucht nicht definiert zu werden, da 2 = 0. Beweis. Es ist L n (Ω 1 t) = R n L n (B 1 (0)), also für die Massenerhaltung ζ, t ( 1µ Ω 1)+div( 1v 1 µ Ω 1) D(U) = t ζ, 1µ Ω 1 D(U) + ζ, 1v 1 µ Ω 1 m = R n L n ( t ζ +v 1 ζ)dl n+1. (B 1 (0)) Ω 1 Since, with v 1 := (1,v 1 ) and div := ( t,div), t ζ +v 1 ζ = v 1 ζ = div(ζv 1 ) ζdivv 1, D(U) and since div v 1 = t 1 + divv 1 = 0, we obtain that the above integral is equal to ( t ζ +v 1 ζ)dl n+1 = v 1 ζdl n+1 Ω 1 Ω 1 = (div(ζv 1 ) ζdiv v 1 )dl n+1 Ω 1 = ζv 1 ν Ω 1 dh n = 0, Ω 1 because v 1 is a tangential vector and ν Ω 1 the unit normal of Γ := Ω 1 in spacetime.

75 I.4 Oberflächen 75 For the momentum equation we conclude for ζ D(U;R n ) ( ) ζ, t ( 1v 1 µ Ω 1) div ( 1v 1 (v 1 ) T +Π 1 )µ Ω 1 +Π 2 µ Ω 2 +f 1 µ Ω 1 D(U) = t ζ, 1v 1 µ Ω 1 + Dζ, ( 1v 1 (v 1 ) T +Π 1 )µ Ω 1 +Π 2 µ Ω 2 + ζ, f 1 µ Ω 1 = ( ) ( t ζ k +v 1 ζ k ) 1v k 1 dln+1 + ζ k fk 1 dln+1 k Ω 1 Ω 1 + Dζ Π 1 dl n+1 + Dζ Π 2 dl n+1. Ω 1 Ω 2 Now ( t ζ k +v 1 ζ k ) 1v k 1 dln+1 + ζ k fk 1 dln+1 Ω 1 Ω ( ) 1 = (v 1 ζ k ) 1v k 1 +ζ kfk 1 dl n+1 Ω 1 = ( v 1 ν Ω 1 )ζ Ω 1 } {{ } k 1v k 1 dhn + ζ k ( div( 1v k 1 v1 )+fk 1 )dl Ω 1 } {{ } = 0 = t ( 1v k 1 )+f1 k = 0 n+1, and Dζ Π 1 dl n+1 + Dζ Π 2 dl n+1 Ω 1 Ω ( 2 = Dζ Π 1 dl n + Dζ Π 2 dl n) dt = R R Ω 1 t Ω 2 t ( ζ (Π 1 ν Ω 1 t +Π 2 ν Ω 2 t )dh n 1 Γ t Ω 1 t ζ (divπ 1 )dl n) dt. Hence the result follows.

76 I.5 Koordinatentransformation 76 5 Koordinatentransformation We describe a coordinate transform which can be used for the transformation of physical coordinates into e.g. polar coordinates (see 5.4) reference coordinates into physical coordinates (see section 6) observer coordinates in section II.1 and chapter VI where the last two are motivated by physical reasons, and the first one only by mathematical reasons. We consider a spacetime domain U R 1+n with coordinates y U and we consider L 1 loc -solutions qk i, i = 0,...,n, and L 1 loc -functions hk of a so-called divergence system in the domain U n yi [qi] k = [h k ] for k = 1,...,N i=0 (I5.1) in D (U). We suppose a C 1 -transformation Y of the coordinates y U into the given coordinates y U is given by y = Y(y ) with positive Jacobian. (I5.2) Further, we suppose that a matrix Z = (Z kl ) k,l=1,...,n is invertible and in C 1 (U ;R N N ) (I5.3) is given, and that quantities q l j and h l are defined by q l j and hl in the following way qi k Y = 1 J jl Y i jz kl qj l, J := detd y Y > 0, ( ) h k Y = 1 J jl Z kl jqj l + l Z klh l, for all i = 0,...,n and k = 1,...,N, where j runs from 0 to n, and l from 1 to N. (I5.4) Then the following is true. 5.1 Theorem. The system (I5.1) is invariant under the transformation of quantities described in (I5.4). Hence, if (I5.1) in D (U) is satisfied, the quantities q l j and h l for j = 0,...,n and l = 1,...,N fullfil in D (U ). n j=0 y j [q k j ] = [h k ] for k = 1,...,N (I5.5)

77 I.5 Koordinatentransformation 77 This follows from the following statement, which also shows, that the transformation of the differential equation is due to a transformation rule for test functions. This transformation rule involves a matrix Z, which is so fare an arbitrary varying invertible matrix. 5.2 Property. If ζ C 1 0 (U;RN ) and ζ C 1 0 (U ;R N ) are test functions which correspond by ζ =Z T ζ Y (that is ζ Y =Z T ζ ) (I5.6) then the transformation rule (I5.4) implies N ζl, n y j [qj l ]+[h l ] l=1 = N k=1 j=0 ζ k, n i=0 yi [qi]+[h k k ] D(U ) D(U) (I5.7) The expressions concerning distributions are defined for C0 1 -functions, since the distributions which appear are at most of order 0. Note, that the transformation rule (I5.4) gives a bijektive correspondence between ( q k i )ik and ( Note also, that the last transformation rule in (I5.4) involves derivatives of the matrix Z. Beweis. The test functions satisfy (I5.6), that is for l = 1,...,N q l j ) jl. ζ l = N k=1 Z klζ k Y. Taking the derivative with respect to yj, j = 0,...,n, we obtain y j ζ l = N k=1 y j (Z klζ k Y) = N k=1 n i=0 Z kly i y j ( y i ζ k ) Y + N k=1 Z kl y j ζ k Y. With this we obtain ζl, j l = lj = klj y j [q l j ]+[h l ] y j ζl, [q l j ] + l + kl ζl, [h l ] Z kl Y i yj ( y i ζ k ) Y +Z kl yj ζ k Y, [qj l ] i Z kl ζ k Y, [h l ]

78 I.5 Koordinatentransformation 78 = ki + k ( yi ζ k ) Y, ζ k Y, Z kl Y i y j [qj l ] lj } {{ } = [J qi k Y] Z kl y [q l j j ]+ Z kl [h l ] lj l } {{ } = [J h k Y] using (I5.4), and this is = ( yi ζ k ) Y, [J qi k Y] + ζ k Y, [J h k Y] ki k = ( yi ζ k ) Y qi k Y J dl n+1 + ζ k Y h k Y J dl n+1 ki U k U = yi ζ k )qi ki U( k dl n+1 + ζ k h k dl n+1 k U = yi ζ k, [qi] k + ζ k, [h k ] ki k = ζ k, yi [qi]+[h k k ]. k i We have seen, that the factor J enters because of the transformation of an L n+1 -integral. References: This theorem one finds in [12, 5 Objectivity of Differential Equations]. Wir schreiben das Resultat nochmal im allgemeinen Fall als Merkregel Invarianz des Divergenzgleichungssystems bzgl. Z: n yi [qi] k = [h k ] for k = 1,...,N i=0 unter der Transformation ζ =Z T ζ Y falls die folgenden Transformationsregeln gelten: qi k Y = 1 n N J j=0l=1 h k Y = 1 ( n N J j=0l=1 Y i jz kl q l j, J := detd y Y > 0 Z kl jq l j + N l=1 Z kl h l) (I5.8) In diesem Abschnitt haben wir es zu tun mit klassischer Physik, d.h. mit Koordinaten y = (t,x) U R R n. Speziell ist damit, dass die Zeitkomauthor: H.W. Alt title: Kontinuumsmechanik time: 2015 Apr 24

79 I.5 Koordinatentransformation 79 ponente der Transformation nur eine Translation in der Zeit ist, [ ] ([ ]) [ t t = y = Y(y x t ) = Y x = ] +a X(t,x ) (I5.9) mit einer Konstanten a R, wobei die Koordinaten y = (t,x ) U in die Koordinaten y = (t,x) U transformiert werden mit einer positiven Jacobi schen Determinante, also J = detd x X > 0. Die Funktion q k 0 nennen wir nun auch u k := q k 0 und das System ist gegeben durch L1 loc -Lösungen uk, q k i, i = 1,...,n, und L1 loc -Funktionen hk der folgenden Erhaltungsgleichungen t [u k ]+ n xi [qi] k = [h k ] for k = 1,...,N in D (U). i=1 (I5.10) Wir werden dies in diesem Kapitel anwenden für N = 1, Z = 1 auf Zylinderkoordinaten in 5.4, [ ] 1 0 N = n+1, Z = auf die rotierende Erde in 5.5, Ẋ DX N = n+1, Z = 1 auf die Elastizitätstheorie in Abschnitt 6, und in Abschnitt II.3 für N = 1 auf die Massenbilanz mit Z = 1, N = n+1 auf die Masse-Impuls-Bilanz mit [ ] 1 0 Z =, Ẋ DX N = n+2 auf die Masse-Impuls-Energie-Bilanz mit Z = Ẋ DX Ẋ 2 Ẋ T Q 1 Die Matrix Z in (I5.3) ist eine beliebige invertierbare Matrix. Im konkreten Fall ist entweder Z gegeben oder Z muss so gewählt werden, dass die Gleichung (I5.7) für (u,q,r ) die gewünschte Gleichung in (t,x ) ist. Dann liest sich die Transformation (I5.4) (beachte, dass jetzt i und j von 1 bis n

80 I.5 Koordinatentransformation 80 laufen) Invarianz des Divergenzgleichungssystems bzgl. Z: t [u k ]+ n i=1 x i [q k i ] = [hk ] for k = 1,...,N unter der Transformation ζ =Z T ζ Y wobei Y wie in (I5.9) falls die folgenden Transformationsregeln gelten: u k Y = 1 J l Z klu l, J := detd x X > 0 ( lẋiz kl u l + ) jl X i jz kl q l q k i Y = 1 J h k Y = 1 J ( lżklu l + lj Z kl jq l j + l Z klh l ) für alle i = 1,...,n und k = 1,...,N wobei j von 1,...,n und l von 1,...,N läuft j (I5.11) We mention that if we write the terms with u k, k = 1 N, as u = (u 1,...,u N ), the transformation rule for u is u Y = 1 J Zu, that is, in classical physics the matrix Z can be considered as the transformation rule for u. 5.3 Hinweis. Zur Transformationsformel sei Folgendes gesagt. Da nun im regulären Fall die Differentialgleichung in (I5.3) n yi qi k = h k für k = 1,...,N i=0 lautet, ergibt sich die natürliche Frage, ob die Transformationsformel (I5.3) für h k nicht durch diese Differentialgleichung und die Transformationsformel (I5.3) für die q k i direkt hergeleitet werden kann. Die Antwort ist: Natürlich ist dies so, siehe den Beweis 1. Es wird dabei auch klar, warum der Beweis mit Testfunktionen, siehe auch den Beweis 2, dem anderen Beweis vorgezogen wurde. Beweis 1. Die Transformationsformel für die q k i in (I5.3) war q k i Y = 1 J n N j=0 l=1 Y i jz kl q l j. Aus jeder Transformationsformel kann eine Formel für die Ableitung hergeleitet werden, man braucht die Formel nur zu differenzieren. Also ist für j = 0,...,n n ī=0q k i ī YY ī j = (qi k Y) j = 1 n N J + n N ( Z kl q j l 1 j) J Y i + 1 n N j J j=0 l=1 j=0 l=1 j=0 l=1 Z kl jq l j Y i j Z kl Y i jq l j j.

81 I.5 Koordinatentransformation 81 Wir schreiben dies in Matrixform Dq k YDY = 1 J + n N j=0 l=1 Z kl q l j D n N j, j=0 l=1 ( Y j J Z kl jq l j (DYe j) e j ) + 1 J n j=0 l=1 N Z kl DYDq l, so dass also Dq k Y = 1 J + n N j=0 l=1 n N j, j=0 l=1 Z kl q l j D ( Y j J Z kl jq l j DYe j e jdy 1 ) DY J n j=0 l=1 N Z kl DYDq l DY 1. Dies ist also die Transformationsformel für die Ableitung Dq. Uns interessiert die Spur dieser Identität tracedq k = n q k i i. Dies ergibt Nun gilt: tracedq k Y = 1 J + n N j=0 l=1 n N j, j=0 l=1 Z kl q l j trace ( D ( Y j J i=1 Z kl jq l j trace ( DYe j e jdy 1) ) DY 1) + 1 J n j=0 l=1 (1) Für jede Matrix M ist trace ( DYMDY 1) = tracem. (2) Für j = 0,...,n ist trace ( ( ) D Y j DY 1) = 0. Somit reduziert sich die Formel zu tracedq k Y = 1 J n J N j=0 l=1 Z kl jq l j + 1 J N Z kl trace ( DYDq l DY 1). n j=0 l=1 N Z kl tracedq l, was die Formel in (I5.3) für h k = tracedq k ist. Hier meint trace die Spur in den y Koordinaten (in der klassischen Physik ist y = (t, x)). Beweis der Identität (1). Es ist trace ( DYMDY 1) = n e i (DYMDY 1 e i) = n k,l,i=0 = n k,l,i=0 = n k,l=0 was tracem ist. i=0 M kl e i (DYe k e l DY 1 )e i = n k,l,i=0 M kl e i (DYe k ) (DY T e l ) e i = n M kl (DY 1 DYe k ) e l = n k,l=0 k,l=0 M kl e i (DYe k ) e l (DY 1 e i) M kl (DYe k ) (DY T e l ) M kl e k e l = n M kk = n e k (Me k ), Beweis der Identität (2). Wir setzen A = DY also J = deta. Die Adjunkte von A erfüllt Aadj(A) = (deta)id k=0 k=0

82 I.5 Koordinatentransformation 82 und die Jacobi sche Formel ist Damit folgt ( ( Y i trace D J = 1 J 2 kl was zu beweisen war. ) ) adj(dy) = kl ideta = trace(adj(a) ia). ( Yk i J ( ) 1 ( JAkl iadj(dy) lk J la k iadj(dy) lk = JJ J 2 i l ) l(adj(dy)) lk J ljδ li ) = 0, Beweis 2. DiesisteineandereVersiondesBeweisesmitTestfunktionenζ D(R R n ;R N ). Es ist n J(ζ k q k i i) Y = n J( i(ζ k qi)) Y k n J( iζ k qi) Y k. i=0 i=0 Unter Benutzung der Formel (I5.3) für q k i ist der zweite Summand gleich n J( iζ k qi) Y k = N i=0 n k=1 i, j=0 = N n k=1 j=0 i=0 iζ k Y Y i jz k kq k j = N j(ζ k Y Z k kq k j ) N n k=1 j=0 n k=1 j=0 j(ζ k Y)Z k kq k j ζ k Y j(z k kq k j ). Indem wir die Testfunktionen definieren, erhalten wir insgesamt ζ k := N Z k kζ k Y k=1 N k=1 i=0 n J(ζ k q k i i) Y = N + N k=1 i=0 n k, k=1 j=0 n J( i(ζ k qi)) Y k + N ζ k Y j(z k kq k j ) n k=1 j=0 k j(ζ kq j ). Wir integrieren nun und sehen dass die letzten beiden Terme verschwinden. Also bleiben die Gleichungen n Jq k i i Y = N i=0 n k=1 j=0 j(z k kq k j ) = N n k=1 j=0 was die zu zeigende Identität in (I5.3) für h k = n i=0 qk i i ist. ( Zk k jq k j +Z k kq k j j), Als Beispiel nehmen wir zunächst die Zylinderkoordinaten von Beispiel (Zylinderkoordinaten). Wir betrachten eine Transformation der Koordinaten (r, θ, z) in die physikalischen Koordinaten x gegeben durch x 1 rcosθ x = x 2 = X(t,r,θ,z) := rsinθ, x 3 z wobei die Zeit invariant bleibt. Ist dann t u+div x q = h

83 I.5 Koordinatentransformation 83 Sind die transformierten Größen von u und q wie in 1.9 definiert, so gilt t (r u)+ r (r q r )+ θ q θ + z (r q z ) = r h, d.h. es folgt die Differentialgleichung (I1.11). Beweis. Es ist Y = τ nach 1.9, und es gilt in Zylinderkoordinaten t u +div (r,θ,z) q = h, wenn (u,q,h ) nach (I5.11) mit N = 1 und Z = 1 (es ist u = q 0 ) die Gleichungen u Y = 1 J u, J = r, q Y = 1 J DXq (es ist Ẋ = 0), h Y = 1 J h erfüllt, wobei wir ausgenutzt haben, dass X von t unabhängig ist. Die Transformation der Flusswerte ergibt nun wegen cosθ rsinθ 0 DX = [X r X θ X z] = sinθ rcosθ , dass cosθ sinθ 0 e r = sinθ, e θ = cosθ, e z = 0, q r Ye r +q θ Ye θ +q z Ye z = q Y und damit = 1 r DXq = 1 r( q 1 e r +rq 2e θ +q 3e z ), q 1 = r q r Y, q 2 = q θ Y, q 3 = r q z Y. Wir erhalten, wobei ( 1, 2, 3 ) := ( r, θ, z ), divq = 1 q q q 3 = 1 (r q r Y)+ 2 (q θ Y)+ 3 (r q z Y). Da weiter u = r u Y sowie h = r h Y folgt die Behauptung. Analog kann man auch Polarkoordinaten im R n betrachten, wobei die Funktionaldeterminante dann J = r n 1 ist. Wir geben nun ein weiteres Beispiel. Wir betrachten eine Koordinatentransformation, welche eine Beobachtertransformation ist (zu diesem Begriff siehe II.1).

84 I.5 Koordinatentransformation Strömung auf der Erde. Wir betrachten das äußere der festen Erde, modelliert als eine Kugel, D := {x R 3 ; x > R} und dort, d.h. in R D, eine Massen-Impuls-Bilanz t +div( v ) = 0, t ( v )+div( v v T +Π ) = f. Hier ist zum Beispiel der Drucktensor Π = p Id S mit p und S wie in (I3.20) gesetzt, und die Kraft f kann gleich der Gravitationskraft der Erde sein. Da wir davon ausgehen, dass wir die Erde von außen sehen, haben wir nichttriviale Randbedingungen v (t,x ) = v0(x ) für x D, x v0(x 1 x ) = ω x 2 2 = ω x x 1, 3 0 vorzuschreiben, wobei ω > 0 die Winkelgeschwindgkeit der Erde ist, wenn die x 3 -Achse nach Norden zeigt (bzw. ω ist negativ, wenn die x 3 -Achse nach Süden zeigt). Wir führen nun x als die Raumkoordinaten der Erde ein in einem System, das sich mit der Erde mitdreht, Behauptung: Definiere, v, Π durch t = t, x = Q(t )x, cos(ωt ) sin(ωt ) 0 Q(t ) = sin(ωt ) cos(ωt ) (t,x) = (t,x ), so gelten nun die Randbedingungen v(t,x) = Q(t )x +Q(t )v (t,x ), Π(t,x) = Q(t )Π (t,x )Q(t ) T, v(t,x) = 0 für x D und es gilt derselbe Satz von Erhaltungsgleichungen t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +Π) = f,

85 I.5 Koordinatentransformation 85 in R D allerdings mit dem Unterschied, dass nun f(t,x) = (t,x) ( ω}{{} 2 Ix Zentrifugalkraft wobei I = 0 1 0, A = ωAv(t, x) } {{ } Coriolis-Kraft , )+f 0 (t,x), d.h. f enthält zusätzlich eine Zentrifugalkraft und eine Coriolis-Kraft. Der Zusammenhang zwischen den (t,x) und den (t,x ) Koordinaten ist gegeben durch (t,x) = Y(t,x ) = (t,q(t)x ), oder t = t, x = X(t,x ) = Q(t )x, (I5.12) d.h. eine Transformation wie in (I5.9). Zum Beispiel ist f 0 := Qf Y 1 die Schwerkraft der Erde, eine Funktion, die nur vom Abstand x vom Erdmittelpunkt 0 abhängt. Es sei bemerkt, dass wir hier keine Bedingung an v beziehungsweise an v im Unendlichen behandeln, obwohl dies nötig wäre. Es ist vielmehr so, dass die Erdatmosphäre in der Höhe aus wohldefinierten Schichten besteht, und wir nur die unterste Schicht betrachtet haben, die mit der festen Erde in Kontakt steht. Beweis der Differentialgleichung. Die n + 1 Differentialgleichungen sind t +div( v ) = 0, t ( v )+div( v v T +Π ) = f, die wir in Vektorform schreiben können [ ] [ v ] t v +div v v T +Π = oder t [ ] v } {{ } =: u + j [ v ] j x j v jv + ( Π ) lj } {{ l } =: qj [ ] 0 f, = [ ] 0 f }{{} =: h d.h. in einer Version, die (I5.1) entspricht. Wir wissen von Theorem 5.1, dass die Gleichung t u+ xi q i = h (I5.13) i gilt, wenn die Größen (u,q 1,...,q n,h) die Transformationsformel (I5.11) erfüllen, wobei wir setzen [ ] 1 0 Z =. Ẋ Q,

86 I.5 Koordinatentransformation 86 Wir erhalten u Y = Zu = [ ][ ] [ ] 1 0 Ẋ Q v = (Ẋ +Qv ) q i Y = ẊiZu + X i jzqj j [ ] ( [ ] 1 0 = Ẋ Ẋ Q i v + [ v ] ) j Q ij j v jv + ( Π ) lj l (Ẋi + Q ij v j) = j (Ẋi + Q ij vj)(ẋ +Qv )+ Q ij Q ( Π ). lj l j j Definieren wir nun und v durch, := Y 1, v := (Ẋ +Qv ) Y 1, (I5.14) erhalten wir If we define Π by we end up with or u = [ ]. v ( ) Π ki := Q ij Q kl Π lj Y 1, lj [ ] v q i = i, v i v +(Π ki ) k [ ] v q = vv T. +Π This says that (u,q) has the same structure as (u,q ). We have to compute h. From (I5.11) we obtain h Y = Żu + Z jqj +Zh j [ ][ ] 0 0 = Ẍ Q v + j [ ][ ] Ẋ Q f [ ] 0 = (Ẍ +2 Qv )+Qf, [ ][ 0 0 Ẋ j 0 v j ] v jv + ( Π ) lj l

87 I.5 Koordinatentransformation 87 ( ) since Ẋ j = Q kj k is a consequence of (I5.12). Hence h = [ ] 0, f if the force f is defined by (see also (II3.16)) f Y = (Ẍ +2 Qv )+Qf. (I5.15) We see that f is nonzero, even if f is zero. Then the equation (I5.13), which has the form t u+divq = h, becomes now [ ] [ ] v t +div v vv T +Π = [ ] 0, f where f is given by (I5.15). We have to compute f. Let us define f 0 by then f 0 := (Qf ) Y 1, f = ( (Ẍ +2 Qv )) Y 1 +f 0. If we use the formulas in (I5.14), we get and therefore = Y, v =Q T v Y Q T Ẋ, (Ẍ +2 Qv ) = Y(Ẍ 2 QQ T Ẋ +2 QQ T v Y), where QQ T is an antisymmetric matrix. Thus we have f Y = Y(Ẍ 2 QQ T Ẋ +2 QQ T v Y)+Qf. (I5.16)

88 I.5 Koordinatentransformation 88 We now compute for our special transformation x = X(t,x ) = Q(t)x The result follows. Ẋ = Qx = QQ T x, Ẍ = Qx = QQ T x Ẍ 2 QQ T Ẋ = ( QQ T 2( QQ T ) 2 )x, cos(ωt) sin(ωt) 0 Q(t) = sin(ωt) cos(ωt) 0, sin(ωt) cos(ωt) 0 Q(t) = ω cos(ωt) sin(ωt) 0, cos(ωt) sin(ωt) 0 Q(t) T = sin(ωt) cos(ωt) 0, QQ T = ω = ωa, cos(ωt) sin(ωt) 0 Q = ω 2 sin(ωt) cos(ωt) 0, QQ T = ω = ω 2 I, QQ T 2( QQ T ) 2 = ω 2 I 2(ωA) 2 = ω 2 I. Beweis der Randbedingung. Für x D, also auch x D, falls x und x zusammenhängen wie in (I5.12), gilt v(t,x) = Q(t )x +Q(t )v (t,x ) = Q(t )x +Q(t )v0(x ) sin(ωt ) cos(ωt ) 0 = ω cos(ωt ) sin(ωt ) cos(ωt ) sin(ωt ) 0 +ω sin(ωt ) cos(ωt ) x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 0 = 0. Dass x die Koordinaten der Erde sind, lässt sich auch wie folgt einsehen: Im (x 1,x 2 )-System definiere [ e 1(t cos(ωt ] [ ) ) := e iωt = sin(ωt, e ) 2(t ) := ie 1(t sin(ωt ] ) ) = cos(ωt. )

89 I.5 Koordinatentransformation 89 Dann ist {e 1,e 2 } ein Orthonormalsystem, das sich mit der Erde mitdreht, und es ist (x 1,x 2 ) = x 1e 1 +x 2e 2 mit [ ] [ ] [ x1 x e := 1 e1 e 1 e = 2 e ][ ] 1 x 1, x 2 x e 2 [ e1 e 1 e 2 e ] 1 e 1 e 2 e 2 e = 2 e 1 e 2 e 2 e 2 x 2 [ cos(ωt ) sin(ωt ) sin(ωt ) cos(ωt ) ]. Die Physik ist für unterschiedliche Geschwindigkeiten dieselbe, wenn diese verschiedenen Geschwindigkeiten durch eine Beobachtertransformation auseinander hervorgehen, oder anders ausgedrückt, die Physik hängt nicht vom Beobachter ab. Wenn wir v durch v ersetzen, muss f durch f ersetzt werden, und die Transformation zwischen f und f enthält sowohl als auch v bzw. und v. Bei einem Beobachterwechsel müssen alle physikalischen Größen angepasst werden. Das gilt insbesondere für die rotierende Erde, bei der je nach Wahl der Koordinaten die Kraft unterschiedlich ausfällt, insbesondere ist die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft da oder nicht, je nachdem, welchen Beobachter man darstellt. Was bei einem mit der Erde rotierenden Koordinatensystem die Corioliskraft tut, ist bei einem von außen gegebenen Koordinatensystem durch die Randbedingung für v auf einer gekrümmten Fläche, hier die Oberfläche der Kugel, gegeben. Die Transformation, die wir hier behandelt haben, ist eine physikalische, und solche Transformationen nennen wir auch Beobachtertransformationen. Diese werden im Abschnitt II.1 noch systematisch untersucht. Nicht alle in diesem Abschnitt behandelten Transformationen kommen von verschiedenen Beobachtern her, wie wir schon bei dem Beispiel 5.4 gesehen hatten. Das gilt auch für die Transformationen auf Referenzkoordinaten, die wir im nächsten Abschnitt 6 behandeln werden.

90 I.6 Referenzkoordinaten 90 6 Referenzkoordinaten Die Massen- und Impulserhaltung für elastische Körper gilt (zunächst) im physikalischen Raum, und in diesen Koordinaten lauten die Erhaltungssätze t +div( v) = r, t ( v)+div( vv T +Π) = f. (I6.1) Dies ist die Massen- und die Impulsbilanz, wobei die Dichte ist und r und f wie immer definiert sind. Wir haben also dieselben Grundgleichungen wie bei Flüssigkeiten in Abschnitt 3, jedoch ist hier v keine unabhängige Variable, sondern durch die Bewegung eines Körpers gegeben. Die Geschwindigkeit wird durch die Referenzabbildung ϕ gegeben, und Π wird als konstitutive Funktion von den Verformungen des Körpers abhängig gemacht. Der Körper ist also durch Referenzkoordinaten beschrieben, die gegeben sind durch Referenzkoordinaten: ϕ:]t 1,t 2 [ B R n, x x = ϕ(t,x) ein Isomorphismus mit detd x ϕ > 0, (t,x) (t,x) = τ(t,x) := (t,ϕ(t,x)) B R n der ungestörte Körper, v(t,x) := t ϕ(t,x) für x = ϕ(t,x), v die Geschwindigkeit. (I6.2) Das Bild im physikalischen Raum ist Ω t = {ϕ(t,x) ; x B}, wobei Ω t := {x R n ; (t,x) Ω}. Es ist B der ungestörte Körper und v die Geschwindigkeit, die behandelt werden kann wie die Geschwindigkeit eines einzelnen Partikels, obwohl die physikalischen Atome und Moleküle eine thermische Bewegung vollführen. Es wird hier vorausgesetzt, dass diese thermische Bewegung die Anordnnung der Moleküle unverändert lässt. 6.1 Lemma. Under the transformation τ a if system of equations t u k +div x q k = r k for k = 1,...,N in Ω is transformed to t u k +div x q k = r k for k = 1,...,N in B, u k = J u k τ, r k = J r k τ, q k = JF 1 (q k τ u k τ V) for k = 1,...,N, where V := t ϕ is the velocity, F := D x ϕ the deformation gradient, and J := detf > 0.

91 I.6 Referenzkoordinaten 91 Beweis. We use the system for (u,q,r) in (I5.11) with transformation Y = τ (hence X = ϕ) and matrix Z = Id. Then it transforms to t u k +div x q k = r k for k = 1,...,N, where the functions in the transformed system are called (u,q,r) and by (I5.11) they are defined by u k τ = 1 J uk, J := detd x ϕ > 0, q k i τ = 1 J ( t ϕ i u k + j xj ϕ i q k j), r k τ = 1 J rk ) for k = 1,...,N. With V := ( t ϕ i ) i and F := ( xj ϕ i J u k τ = u k, J r k τ = r k, and J q k τ = u k V +Fq k. ij one obtains Abb. 15: Die Abbildung x ϕ(t,x) (Bild vom Buch [30]) Referenzen: Wir verweisen auf Ciarlet [18] und Marsden & Hughes [30] für einen Vergleich mit der Literatur. Wir erhalten folgenden Satz. 6.2 Theorem. Die Differentialgleichungen (I6.1) lauten t = r, t ( V) divp = f (I6.3) in Referenzkoordinaten (I6.2), wobei die transformierten Größen in (I6.4) definiert sind.

92 I.6 Referenzkoordinaten 92 Masse-Impuls in Referenzkoordinaten: t = r, t ( V) divp = f V := t ϕ = ( t ϕ i ) i Geschwindigkeit, ) F := D x ϕ = ( xj ϕ i Deformationsgradient, ij J := detf > 0 Determinante, P := J ( Π τ)f T (erster) Piola-Kirchhoff Spannungstensor, := J ( τ) Dichte in Referenzkoordinaten, r := J (r τ) Rate in Referenzkoordinaten, f := J ( f τ) allgemeine Kraft in Referenzkoordinaten. (I6.4) Beweis (First Version using 6.1).... The second version is an explicit computation, where the general statements in section 5 are not used. Beweis (Second Version). The first equation in (I6.1) in its weak form reads ( t η + η ( v)+η r) dl n+1 = 0 Ω for η C 0 (Ω;R). We transform this into an integral over ]t 1,t 2 [ B = τ 1 (Ω). Defining we obtain η(t,x) = η(t,ϕ(t,x)), τ(t,x) = (t,ϕ(t,x)), t η = ( t η) τ +( η) τ t ϕ = ( t η +v η) τ, and the weak equation becomes, since J = detd x ϕ = detd (t,x) τ, t2 t 1 In its strong version this is B ( t η J τ + η Jr τ) dl n dl 1 = 0. t (J τ) = Jr τ.

93 I.6 Referenzkoordinaten 93 The second equation in (I6.1) is for ζ C0 (Ω;Rn ) ( ) t ζ ( v)+ n j ζ i ( v i v j +Π ij )+ζ f dl n+1 = 0. Ω i,j=1 Transforming this via ζ(t,x) = ζ(t,ϕ(t,x)), so that t ζ = ( t ζ +v ζ) τ, D x ζ = (Dx ζ) τd x ϕ, we see that the above integral equals ( ) = ( t ζ + n v j j ζ) ( v)+(d x ζ) Π+ζ f = = Ω t2 t 1 t2 t 1 B B j=1 dl n+1 ( t ζ (J( v) τ)+j (Dx ζ(dx ϕ) 1 ) (Π τ)+ ζ (J f τ) ) dl n dl 1 ( t ζ (J( τ)v)+(dx ζ) (J(Π τ)(dx ϕ) T )+ ζ (J f τ) ) In its strong version this is t (J( τ)v)+div x (J(Π τ)(d x ϕ) T ) = J f τ. dl n dl 1. As we see, the pressure tensor in the reference coordinates is Π τ = 1 J PFT. (I6.5) Thus if the Piola-Kirchhoff tensor P depends only on the first derivatives F of the deformation so also does Π τ. If r = 0 then the first equation of (I6.3) says that is independent of time. Then we have the standard version of an elastic body. Nonlinear Elasticity: t ( V) divp = f in ]t 1,t 2 [ B, = (x) reference density (if r = 0), V = t ϕ velocity, where ϕ as in (I6.2), P first Piola-Kirchhoff stress tensor. (I6.6) Das einfachste Beispiel für einen elastischen Körper ist, dass F T F konstant ist, oder allgemeiner nicht von der Zeit abhängt. Dazu zeigen wir:

94 I.6 Referenzkoordinaten Lemma. Das Folgende ist äquivalent: (1) Für den Deformationsgradienten giltf(t,x) T F(t,x) = C(x) mit einem von t unabhängigen C(x). (2) Für den Geschwindigkeitsgradienten gilt Dv +(Dv) T = 0, d.h. er ist antisymmetric. (3) Für den Geschwindigkeitsvektor gilt v(t, x) = A(t)x + b(t) mit einer antisymmetrischen Matrixfunktion A und einer Vektorfunktion b. Beweis (1) (2). Die Eigenschaft, dass C nicht von t abhängt, ist äquivalent zu 0 = t (F T F) =( t F) T F +F T t F =F T (M T +M)F mit M := ( t F)F 1, so dass also M T +M = 0, d.h. M ist antisymmetrisch. Nun ist ( ) t F = ( t xj ϕ i )ij = xj ( t ϕ i ) ( )ij = xj V i = DV ij und wegen V(t,x) = v(t,ϕ(t,x)) xj V i = k xk v i xj ϕ k = k xk v i F kj, also (es ist τ(t,x) = (t,ϕ(t,x))) t F = DV = ((Dv) τ)f. Deswegen ist M = ( t F)F 1 = (Dv) τ. Beweis (2) (3). Unter mehrmaliger Benutzung der Antisymmetrie von Dv erhalten wir ij v k = i ( j v k ) = i ( k v j )+ i ( j v k + k v j ) } {{ } = 0 = i ( k v j ) = k ( i v j ) = k ( j v i ) k ( i v j + j v i ) } {{ } = 0 = k ( j v i ) = j ( k v i ) = j ( i v k )+ j ( k v i + i v k ) } {{ } = 0 = j ( i v k ) = i ( j v k ) = ij v k,

95 I.6 Referenzkoordinaten 95 also haben wir gezeigt, dass ij v k = 0 für alle (i,j,k). Da das Gebiet, das wir betrachten, einfach zusammenhängend ist, folgt aus D 2 v = 0, dass v affin linear in x ist, also v(t,x) = M(t)x+b(t) mit einer Matrix M und einem Vektor b. Dann ist aber M = Dv antisymmetrisch. Ebenso folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass v affin linear in x mit einer antisymmetrischen Matrix ist, die Aussage (2). Ein Körper, für den C nur von x abhängt, kann auf einen transformiert werden, bei dem diese Matrix die Identität Id ist. Abb. 16: Verschiedene Referenzkoordinaten 6.4 Transformation von B. Sei C eine nur von x abhängige Matrix. Es gebe eine Transformation ϕ 0 mit ( ) F 0 := xj ϕ 0 i, x = ij ϕ0 (x), F 0 T F 0 = C. Ist dann ϕ eine Deformation, so definiere ϕ ϕ(t, x) := ϕ(t,(ϕ 0 ) 1 ( x)). Es folgt, dass der Deformationsgradient von ϕ F(t, x) = F(t,x)F 0 (x) 1 (I6.7) ist. Ist dann ϕ eine Deformation wie in 6.3, also F(t,x) T F(t,x) = C(x) für alle t, so gilt C := F T F = Id.

96 I.6 Referenzkoordinaten 96 Beweis. Using (I6.7) one has C = F T F =(FF 0 1 ) T FF 0 1 =F 0 T F T FF 0 1 =F 0 T CF 0 1 = Id. Also definieren wir 6.5 Starrer Körper. Ein starrer Körper ist dadurch gegeben, dass für den Deformationsgradienten gilt F T F = Id, x F(t 0,x) ist konstant für ein t 0. (I6.8) Ein starrer Körper bewegt sich im physikalischen Raum fort mittels einer Translation und Drehung, d.h es gibt einen Ort ξ(t) und ein Orthonormalsystem {e i (t); i = 1,...,n} mit ϕ(t,x) = ξ(t)+ n x i e i (t). i=1 (I6.9) Zusatz: The orthonormal system t {e i (t); i = 1,...,n} is also called a moving frame, since it depends on time. Beweis. Wir zeigen, dass die beiden Charakterisierungen äquivalent sind. Das Orthonormalsystem definiert eine Matrix Q(t) durch so dass also Q(t)z = n z i e i (t) für z R n, i=1 (Q(t) T Q(t)) ij = e i (Q(t) T Q(t)e j ) = (Q(t)e i ) (Q(t)e j ) = e i e j = δ ij, das heißt Q(t) T Q(t) = Id. Also ist Q(t) eine orthonormale Transformation und die Gleichung (I6.9) wird zu ϕ(t,x) = Q(t)x+ξ(t). (I6.10) Wir zeigen, dass dies für jedes gegebene t 0 äquivalent ist zu t ϕ(t,x) = A(t)ϕ(t,x)+b(t) wobei A(t) antisymmetrisch, ϕ(t 0,x) = Q 0 x+ξ 0 für ein ξ 0 und ein orthonormales Q 0. (I6.11) In der Tat, es folgt aus (I6.10), dass t ϕ(t,x) = Q(t)x+ ξ(t) = Q(t)Q(t) T ϕ(t,x)+ ξ(t) Q(t)Q(t) T ξ(t),

97 I.6 Referenzkoordinaten 97 also (I6.11) mit b = ξ QQ T ξ und A = QQ T, was antisymmetrisch ist, da Q orthonormal ist. Umgekehrt, wenn (I6.11) gilt, folgt für jede Matrix M(t) und jeden Vektor ξ(t) t (ϕ Mx ξ) = t ϕ Ṁx ξ = Aϕ+b Ṁx ξ = A(ϕ Mx ξ) (Ṁ AM)x ( ξ Aξ b). Nun bestimme M und ξ aus den gewöhnlichen Differentialgleichungen so dass dann also Ṁ = AM mit M(t 0 ) = Q 0, ξ = Aξ +b mit ξ(t 0 ) = ξ 0, t (ϕ Mx ξ) = A(ϕ Mx ξ), ϕ(t 0,x) M(t 0 )x ξ(t 0 ) = 0, und daher ϕ(t,x) = M(t)x + ξ(t) für alle t, das ist (I6.10), wenn M(t) eine orthonormale Transformation ist. Um dies zu zeigen, realisiere dass M(t 0 ) = Q 0 orthonormal ist, daher M(t 0 ) T M(t 0 ) Id = 0 und (M T M Id) =ṀT M +M T Ṁ =(AM) T M +M T AM =M T A T M +M T AM =M T ( A+A T } {{ } = 0 )M. Daraus folgt M(t) T M(t) Id = 0 und damit, dass M(t) orthonormal ist. Damit ist also gezeigt, dass die Formulierung für ϕ im Satz äquivalent zu (I6.11) ist. Wir zeigen, dass (I6.11) äquivalent zur ersten Darstellung starrer Körper im Satz ist. Die erste Zeile in (I6.11) ist äquivalent zu v(t,ϕ(t,x)) = A(t)ϕ(t,x)+b(t) oder zu v(t,x) = A(t)x+b(t). Nun folgt aus 6.3, dass dies äquivalent ist zu F(t,x) T F(t,x) = C(x), und die zweite Zeile in (I6.11) ist äquivalent zu F(t 0,x) = Dϕ(t 0,x) = Q 0, was unabhängig von x ist. Diese Matrix muss eine orthonormale Transformation sein, da F(t 0,x) T F(t 0,x) = Id nach der Aussage in 6.3. Desweiteren siehe den Abschnitt IV.5 über Elastizitätstheorie.

98 I.7 Übungen 98 7 Übungen 7.1 Definition der Ableitung. Die Ableitung einer Funktion f auf R N mit Werten in R M wird in der Regel als lineare Abbildung Df(x):R N R M mit definiert. Es ist dann für z R N 1f 1 Nf 1 Df(x)z =.. 1f M Nf M f(y) = f(x)+df(x)(y x)+o(y x) z 1.. z N, f = f 1.. f M, z = DasistinÜbereinstimmungmitderDefinitionDf(x)alsMatrixinAbschnitt1. Vergleiche dies mit der Definition des Gradienten f(x). z 1.. z N. 7.2 Identitäten für Ableitungen. Für ein Vektorfeld q im R n gilt xi q = (Dq)e i für i = 1,...,n, eq = (Dq)e für e R n, xi q k = e k (Dq)e i für k,i = 1,...,n. 7.3 Übung. Sei {e 1(x),...,e n(x)} eine Orthonormalbasis des R n, die von x abhängt. Zeige, dass für stetig differenzierbares (1) p:r n R gilt p = n ( ei p)e i, i=1 (2) v:r n R n gilt Dv = n ( ei v)e T i = n (e i ej v)e ie T j. i=1 i,j=1 Hinweis: Benutze die entsprechende Aussage für die Divergenz. 7.4 Übung. Sei {e 1(x),...,e n(x)} eine Orthonormalbasis des R n, die von x abhängt. Zeige, dass für ein Vektorfeld q C 1 (R n ) für jede Funktion ζ C0 (R n ) gilt n ei ζ q e idl n = n ζe i ei qdl n. i=1 R n i=1 R n Bemerkung: Es gilt im Allgemeinen R n ei (ζ q e i)dl n Übung. Sei σ,ω C 1 (R) und mit n = 2 (R 2 = C) Zeige t +div( v) = 0 in R (R 2 \{0}). (t,x) = σ( x ), v(t,x) = iω( x )x.

99 I.7 Übungen Übung. Beweise die Gleichungen in Beispiel. Es sei v(t,x) = s(t,x)x, d.h. die Geschwindigkeit zeigt Ist dann vom Ursprung weg, falls s 0. in Richtung Ursprung, falls s 0. t +div( v) = 0 und 0, so folgt für die (bis auf eine Konstante) mittlere Gesamtmasse in B ε(0) m ε(t) := 1 (t,x)dx ε n B ε(0) (I7.1) dass (es sei ṁ ε die Ableitung von m ε) nach dem Gauß schen Satz ṁ ε(t) = 1 t (t,x)dx = 1 div( (t,x)v(t,x))dx ε n B ε(0) ε n B ε(0) = 1 (t,x)v(t,x) ν Bε(0)(t,x)dx ε n B ε(0) = 1 (t, x)s(t, x) dx, ε n 1 B ε(0) } {{ } hat Vorzeichen deshalb ṁ ε(t) 0, falls s 0, und ṁ ε(t) 0, falls s Distributionsableitung. Ist u C 1 (U), so ist i[u] = [ iu]. 7.9 Distribution und Funktion. (Siehe Abb. 4.) Sei (ϕ ε) ε>0 eine Dirac-Folge, d.h. ϕ ε C0 (R N ), ϕ ε 0, ϕ εdl N = 1 R N und [ϕ ε] δ 0 für ε 0, wobei δ 0 die Dirac-Distribution ist. Zeige: Ist g eine lokal integrierbare Funktion, so gilt für fast alle y g(y) = lim ε 0 ϕ ε( y), [g] D(R N ). Hinweis: Es ist ϕ ε( y), [g] D g(y) = ϕ ε(y y)(g(y ) g(y))dy. R N 7.10 Übung. Sei ξ wie in 2.5 und ε(t,x) := η ε(x ξ(t)), v(t,x) := ξ(t). Zeige: (1) t ε +div( εv) = 0

100 I.7 Übungen 100 (2) Für ε 0 konvergiert dies im Distributionssinn zu einem Massepunkt ξ mit Masse m = lim η ε 0 ε(y)dy. R n 7.11 Übung. Sei µ ξ wie in (I2.6). Weiter seien differenzierbare t m(t) R, t r(t) R und t v(t) R n gegeben, welche die distributionelle Massenerhaltung t(mµ ξ )+div(mvµ ξ ) = rµ ξ erfüllen. Zeige, dass dann ṁ = r, v = ξ Wärmeleitungsoperator. Es sei F(t,x) := 1 (4πt) n/2exp ) ( x 2 4t für t > 0, 0 sonst. (1) Es gilt [F(t, )] δ 0 für t ց 0 punktweise in D (R n ). (2) Es ist F die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung t[f] [F] = δ (0,0) in D (R R n ). Bemerkung: Es ist [F] = δ (0,0) t[f] nicht von der Gestalt in 2.7. Hinweis: Die physikalische Bedeutung des Begriffes Wärmeleitungsgleichung findet sich in IV Kollision von Massepunkten. Seien ξ α, α = 1,2, zwei Massepunkte, die wie in 3.2 kollidieren. Es sei v 1 + = av 1 +bv 2, v 2 + = cv 1 +dv 2. Gebe den Bereich der Koeffizienten an, der generisch für eine Kollision erlaubt ist, und berechne die Massen m α +, m α aus diesen Koeffizienten bei vorgegebener Gesamtmasse m Nachlesen. Vergleiche die Herleitung der Kepler-Bewegung in 3.4 mit der Herleitung in [Wikipedia: Kepler Gesetze] Kepler sche Gesetze. Leite aus den Differentialgleichungen in 3.4 die drei Kepler schen Gesetze her: 1. Kepler-Gesetz. Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Kepler-Gesetz. Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen. 3. Kepler-Gesetz. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen (Kuben) der großen Bahnhalbachsen. (Genommen aus [Wikipedia: Kepler Gesetze].)

101 I.7 Übungen 101 Abb. 17: Illustration of Kepler s three laws with two planetary orbits from Wikipedia Freie Energie. Für den Druck nimm an Zeige, dass dann p( ) = f ( ) f( ). p 2 = Berechne die innere freie Energie f, wenn (1) p = c γ mit γ > 1. (2) p = c. ( ) f( ). Definition: Es ist f die innere freie Energie und die spezifische freie innere Energie. f Lösung. Es ist ( ) f( ) f( ) = f( ) = f( ) f( ) = p Zum Beweis von (1) nehmen wir c = 1 an. Es ist ( ) f = γ 2 = f = 1 γ 1 1 +const = f = 1 +const. γ γ 1 γ Auch in (2) nehmen wir c = 1 an. Es ist ( ) f = 1 = = log +const = f = log +const. f 7.17 Erdatmosphäre. Die Erdatmosphäre sei modelliert als Masse-Impulserhaltung in R 3 \ B R(0), wobei als Kraftterm die Gravitation der Erde diene, deren Masse M Erde gleichmäßig in B R(0) verteilt sei. (1) Es gelte Π = pid S und p = p( ) = f ( ) f( ) mit der inneren freien Energie f, S = Ŝ(,(Dv)S ), Ŝ(,0) = 0. Stelle die Gleichungen für Masse und Impuls auf.

102 I.7 Übungen 102 (2) Zeige, dass für eine stationäre Lösung mit v = 0, die nur von r = x abhängt, gilt, dass µ(r) = µ( )+ GM Erde, R wobei µ(r) = f ( (x)) ist. Definition: Die Variable µ heißt chemisches Potential (siehe IV.8.7). Lösung (2). Ist zeitunabhängig und v = 0, so ist die Massenerhaltung trivial erfüllt und die Impulserhaltung lautet p = g φ Erde. Es ist nach (I3.30) p = g φ Erde = g MErde σ n Wegen p( ) = f ( ) f( ), ist p = f, d.h. x x n. p = f = f = µ wenn µ := f, und damit µ = gm Erde x σ n x. n Da die Funktionen nur von r abhängen, ist µ = µ r x, also x µ r = gm Erde σ n 1 r n 1. Die Behauptung folgt durch Integration. Es ist n = 3, beachte dass dann g σ n(n 2) = G. Aus der Darstellung (I7.2) folgt, dass µ( ) existiert. (I7.2) 7.18 Fluchtgeschwindigkeit. Wie groß muss die Geschwindigkeit mindestens sein, um ein Schwerefeld (eines Punktes in {0} mit der Masse m) zu verlassen? 7.19 Parabelform der Oberfläche. Es sei p = p( ) := c γ mit Konstanten γ > 1 und c > 0. Weiter seien v und f wie in 4.3 gegeben. Zeige, dass dann die Konklusion von 4.3 richtig ist, d.h. die Oberfläche der kompressiblen Flüssigkeit ist ein Paraboloid. Lösung. By (I4.3) ω 2 x 1 p = ω 2 x 2. g This has been shown for general compressible fluids. Since p( ) = f ( ) f( ) and then p ( ) = f ( ) we compute ( ω 2 2 (x2 1 +x 2 ) ω 2 x 1 2) gx 3 = ω 2 x 2 p ( ) = 1 p = = f ( ) = (f ( )). g Hence f ( ) = ω2 2 (x2 1 +x 2 2) gx 3 +const. On the surface Γ we have p( ) = p g = const. Therefore we conclude = 0 = const, if p > 0, and gx 3 = ω2 2 (x2 1 +x 2 2) f ( 0)+const.

103 I.7 Übungen 103 This holds also in the special case p = p( ) = c γ, in which case f( ) = c γ 1 γ.

104 II Objektivität Restrictions for the description of of physical processes come from the principle of objectivity (also called frame indifference). It consists of the following: The value of physical quantities depend on the observer. The type of a physical quantity is given by a transformation rule. The description of a physical process has to be independent of the observer. The last property is objectivity and states, that the description of physical processes has to be the same for all observers. This applies to formulations with differential equations, see section 3, as well as to formulations with constitutive relations or constraints, see section 4. The first property is the well known relativity, an classical example being the Doppler effect. The second property is rationality saying, that is is possible to describe analytically, how quantities change under observer transformations. Therefore the description of any situation in classical continuum physics has to be frame indifferent, and this description includes everything like differential equations, constitutive relations, the domain of definition, positivity of functions, et cetera. In order to formulate the principle of objectivity, one has to specify how coordinates transform. Eine generelle Beobachtertransformation beschreiben wir als eine Abbildung y = Y(y ), welche bijektiv die Raumzeit-Koordinaten y R n+1 des einen Beobachters als Bild der Abbildung Y der Raumzeit-Koordinaten y R n+1 des anderen Beobachters ausdrückt. In dieser Vorlesung beschränken wir uns im wesentlichen, anders als in Kapitel VI, auf klassische Beobachtertransformationen. Zur Vollständigkeit werden wir hier in Abschnitt 2 die Lorentz-Transformationen angeben. Wir haben es für einen Beobachter mit Raumzeit-Koordinaten y = (t,x) 104

105 CHAPTER II. OBJEKTIVITÄT 105 Abb. 1: Physikalische Raumzeit R R n zu tun, die für einen anderen Beobachter y = (t,x ) R R n sind, also ist die Abbildung Y gegeben durch [ ] t ( [ t = Y ] ) [ T(t x x =,x ] ) X(t,x. (II0.1) ) Esistdabeiso, dasst(t,x )inderklassischentheorienichtvonx abhängt im Gegensatz zu den Lorentz-Transformationen, bei denen T(t,x ) linear von x abhängt. Die Objektivität wird in den folgenden Abschnitten in diesem Kapitel ausführlich beschrieben. Was die bisher gemachten Aussagen betrifft, sei bemerkt, dass alles bisher getroffene unter die Objektivität fällt, d.h. alle Aussagen lassen sich nachträglich als mit dem Prinzip der Beobachterunabhängigkeit verträglich nachweisen. Die Formulierung einer Klasse von physikalischen Prozessen muss unabhängig vom Beobachter sein. Dies betrifft die ganze Bandbreite der Darstellung von physikalischen Prozessen. Insbesondere gilt die Beobachterunabhängigkeit für die folgenden Aussagen: Erhaltungssätze (siehe Abschnitt 3). Sie wurden in I.1 eingeführt und sie sind die Grundlage für die physikalische Theorie. Konstitutive Funktionen (siehe Abschnitt 4). Sie sind bei der Behandlung verschiedenster Materien von Bedeutung und treten etwa bei der Formulierung von Erhaltungssätzen auf. Die Objektivität von Erhaltungsgleichungen hat Konsequenzen für die beteiligten physikalischen Größen, d.h. physikalische Größen sind dadurch definiert, wie sie in welchen Erhaltungssätzen auftreten. Dies bestimmt die Struktur der konstitutiven Funktionen, eine Herangehensweise, die hier also anders ist als in der bisherigen Standardliteratur.

106 II.1 Klassische Beobachtertransformationen Klassische Beobachtertransformationen Die klassischen Beobachtertransformationen haben die wesentliche Eigenschaft, dass T(t,x ) nur von t abhängt, und das linear mit dem Faktor 1. Hier ist als einfachster Unterschied zwischen zwei Beobachtern eine Galilei Abb. 2: Klassische Beobachterdefinition Transformation zu nennen. Eine Galilei sche Matrix ist gegeben durch [ ] 1 0 G(V,Q) :=, (II1.1) V Q wobei V R n die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Beobachtern ist und Q eine orthonormale Transformation des R n mit positiver Determinante, d.h. eine Transformation mit Q T Q = Id und detq > 0. Dies gibt an, wie die Koordinatensysteme gegeneinander verdreht sind. Es gilt dann detq = 1. Die Menge dieser Matrizen bezeichnen wir mit G Galilei. Jede Matrix definiert eine lineare Transformation. 1.1 Galilei Transformation. Sei G(V,Q) G Galilei eine Galilei Matrix wie in (II1.1). Eine Galilei Transformation in T Galilei ist eine Abbildung Y zwischen den Vektoren (t,x ) R n+1 und (t,x) R n+1 definiert durch die Gleichung [ t x ] ([ ]) [ t t0 = Y x := x 0 [ t +(t = 0 t 0) Qx +(t t 0)V +x 0 Qx 0 ] t +G(V,Q)[ t 0 x x 0 ] ] (II1.2) mit zwei gegebenen Punkten (t 0,x 0 ) und (t 0,x 0 ). Die Abbildung Y ist also bestimmt durch die Matrix G(V,Q) und die zwei Vektoren (t 0,x 0 ) und (t 0,x 0 ).

107 II.1 Klassische Beobachtertransformationen Gruppeneigenschaft. DieMengederGalileiMatrizenG Galilei in(ii1.1) hat bezüglich der Matrixmultiplikation die Gruppeneigenschaft. Die Identität ist durch G(0,Id) gegeben, und die Inverse ist G(V,Q) 1 = G( Q T V,Q T ). Ebenso ist die Menge T Galilei der Galilei Transformationen in (II1.2) bezüglich der Hintereinanderschaltung eine Gruppe. Beweis. Sind G(V 1,Q 1 ) und G(V 2,Q 2 ) zwei Matrizen, so ist die Matrixmultiplikation gegeben durch wenn G(V 1,Q 1 )G(V 2,Q 2 ) = [ ][ ] [ ] = = = V 1 Q 1 V 2 Q 2 V 1 +Q 1 V 2 Q 1 Q 2 = G(V,Q), V = V 1 +Q 1 V 2 und Q = Q 1 Q 2, [ ] 1 0 V Q eine Matrix Q, welche auch eine orthogonale Transformation mit Determinante 1 ist. Setzen wir speziell G(V,Q) = G(0,Id) = Id, also V 1 +Q 1 V 2 = V = 0 und Q 1 Q 2 = Q = Id, so gilt V 2 = Q 1 T V 1 und Q 2 =Q 1 T. Also ist G( Q T 1 V 1,Q T 1 ) die Rechtsinverse von G(V 1,Q 1 ). Ebenso folgt dass G( Q T 2 V 2,Q T 2 ) die Linksinverse von G(V 2,Q 2 ) ist. Bemerkung: Das führt auch zu der Gruppeneigenschaft für die Galilei Transformationen (siehe Übung 5.1). Wir betrachten nun nichtlineare Transformationen, die auch beschleunigte Bewegungen und Drehungen zulassen. 1.3 Newton Transformation. Wir bezeichnen diese Menge mit T Newton. Ein Element Y dieser Menge, d.h. eine Newton Transformation der Koordinaten y = (t,x ) in die Koordinaten y = (t,x), ist von der Gestalt Newton Transformation: [ ] t ( [ t = Y ] ) [ T(t x x = ] [ ) t X(t,x = ] +a ) Q(t )x +b(t ) (t, x) Koordinaten eines Beobachters, (t,x ) Koordinaten eines anderen Beobachters, t Q(t ) orthonormal mit detq = 1. (II1.3)

108 II.1 Klassische Beobachtertransformationen 108 mit einer Zahl a R und glatten Funktionen b:r R n und Q:R R n n, welche Q T Q = Id und detq = 1 erfüllt. Erläuterung: Mit glatt meinen wir im allgemeinen C 2. Die Ableitung einer Newton-Transformation Y ist [ ] 1 0 D (t,x )Y = (Y k l) k,l=0,...,n =, Ẋ Q wobei Ẋ die Zeitableitung Ẋ(t,x ) := t X(t,x ) = Q(t )x +ḃ(t ) ist, und Q und ḃ bezeichnen ebenfalls die Zeitableitung. Offensichtlich gilt 1.4 Lemma. If Y is a Newton transformation, then for (t 0,x 0 ) the linear approximation of Y, [ ] t x [ t x ] = Y(t 0,x 0)+D (t,x )Y(t 0,x0)[ t t ] 0 x x 0 is a Galilei an transformation. Every Galilei transformation is a Newton transformation. Beweis. The derivative of a Newton transformation at (t 0,x 0 ) is [ ] D (t,x )Y(t 0,x 1 0 0) = Q(t 0)x 0 +ḃ(t 0) Q(t 0 ), which for fixed (t 0,x 0 ) is a Galilei an matrix, since Q(t 0 ) is an orthonormal transformation with determinant 1. Also this class of nonlinear transformations satifies the 1.5 Group property. The set T Newton of Newton transformations in 1.3 satifies the group property. The inverse of the function Y in 1.3 is given by [ ] t x =Y 1([ ] t ) [ ] t a = x Q(t a) T, (x b(t a)) that is, Y =Y 1 with a = a, Q (t) =Q(t a) T, b (t) = Q(t a) T b(t a). Beweis. If two mappings (t 1,x 1 ) = N 12 (t 2,x 2 ) and (t 2,x 2 ) = N 23 (t 3,x 3 ) of Newton type, [ ] t1 ( [ ] t ) [ ] = N 2 t x 12 = 2 +a 12, 1 x 2 Q 12 (t 2 )x 2 +b 12 (t 2 ) [ ] t2 ( [ ] t ) [ ] = N 3 t 23 = 3 +a 23, x 3 Q 23 (t 3 )x 3 +b 23 (t 3 ) x 2

109 II.1 Klassische Beobachtertransformationen 109 are given, then ] [ t1 x 1 ( [ ] t ) = N 12 N 3 23 x 3 [ ] t = 3 +a 23 +a 12 Q 12 (t 2 )(Q 23 (t 3 )x 3 +b 23 (t 3 ))+b 12 (t 3 +a 23 ) [ ] t = 3 +a 13, Q 13 (t 3 )x 3 +b 13 (t 3 ) where a 13 := a 23 +a 12 Q 13 (t 3 ) := Q 12 (t 3 +a 23 )Q 23 (t 3 ) b 13 (t 3 ) := Q 12 (t 3 +a 23 )b 23 (t 3 )+b 12 (t 3 +a 23 ). NowQ 13 againisanorthonormaltransformationwithdeterminant1. Therefore N 13 := N 12 N 23 is a Newton transformation. And N 13 = Id, if [ ] [ ] t 3 +a 23 +a 12 t3 =, Q 12 (t 2 )(Q 23 (t 3 )x 3 +b 23 (t 3 ))+b 12 (t 3 +a 23 ) that is a 23 +a 12 = 0, Q 12 (t 2 )b 23 (t 3 )+b 12 (t 3 +a 23 ) = 0, Q 12 (t 2 )Q 23 (t 3 ) = Id, which is equivalent to the assertion. We have seen that linear approximations of Newtonian transformations are Galilei transformations. And this is indeed a characterization of Newtonian transformations. 1.6 Theorem. If a C 1 -transformation Y : R n+1 R n+1 at every point (t 0,x 0 ) has a derivative DY(t 0,x 0 ), which is a Galilei an Matrix, then Y is a Newton transformation. Beweis. We consider transformations Y :R R n R R n, whose derivative is given by D (t,x )Y(t,x ) = G(V(t,x ),Q(t,x )). (II1.4) If we write we see that (II1.4) means D (t,x )Y = Y(t,x ) = [ T(t,x ] ) X(t,x, ) [ T t (D ] [ ] x T)T 1 0 X t D x X =, V Q x 3

110 II.1 Klassische Beobachtertransformationen 110 that is T t = 1, D x T = 0, X t = V, D x X = Q. (II1.5) Here Q is an orthonormal transformation with Q T Q = Id, that is Q ik Q il = δ kl i 1 for k,l = 1,...,n. It follows, that A mkl := i 1X i kmx i l for k,l,m = 1,...,n satisfies A mkl +A mlk = X i kmx i l + i i 1 i 1X kx i lm ( ) ( = X i kx i l i 1 m = ) Q ik Q il = (δ kl ) m = 0, i 1 m that is, A mkl is antisymmetric in k and l. Since A mkl is symmetric in m and k, it follows from a known lemma (see Lemma 1.7 below), that the matric C = (A kji ) i,j,k=1,...,n is zero. Hence, since also QQ T = Id as shown in the proof of I.1.1, that is we derive 0 = l Q il Q jl = δ ij l 1 A mkl Q jl = l for i,j = 1,...,n, X i kmq il Q jl = X j km, i that is D 2 x X = 0. Therefore (t,x ) X(t,x ) is (affin) linear in x, that is X(t,x ) = b(t )+ Q(t )x with a vector b(t ) and a matrix Q(t ). Then (II1.5) says Q(t,x ) = D x X(t,x ) = Q(t ) is an orthonormal matrix, and (II1.5) also says that T(t,x ) = t +ā with a constant ā. This results in [ Y(t,x t ] +ā ) = b(t )+ Q(t )x, from which the result follows. It is clear, that every Newton transformation has derivatives which at each point is a Galilei transformation.

111 II.2 Lorentz Transformationen Fundamental lemma. Suppose C = (C ijk ) i,j,k=1,...,n is a 3-matrix in R N with N 1, which is antisymmetric in the first two indices, and symmetric in the last two indices. Then C = 0. Beweis. It is Hence C jkl = 0. C lkj = C klj = C kjl = C jkl, C lkj = C ljk = C jlk = C jkl. 2 Lorentz Transformationen References: For the history see[wikipedia: History of Lorentz transformations] and also the paper by Lorentz [63]. Zur relativistischen Physik siehe den Abschnitt VI. A Lorentz transformation is a linear transformation given by a Lorentz matrix. A Lorentz matrix is defined for c > 0 and for V R n with V < c by γ L c (V,Q) := γ := γ γv c 2 VT Q ( γ 2 Id+ c 2 (γ +1) V VT 1 > 1. 1 V 2 c 2 ), Q (II2.1) Here Q R n n is an orthonormal transformation with positive determinant, that is Q T Q = Id and detq = 1. The matrix has the decomposition [ ] 1 0 L c (V,Q) = L c (V,Id)L c (0,Q) = L c (V,Id) 0 Q into a velocity part and a rotation. In components the velocity part has the form γ γ γ γ c 2V 1 c 2V 2 c 2V 3 γ 2 γv 1 1+ c 2 (γ +1) V 2 γ 2 1 c 2 (γ +1) V γ 2 1V 2 c 2 (γ +1) V 1V 3 L c (V,Id) = γ 2 γv 2 c 2 (γ +1) V γ 2 1V 2 1+ c 2 (γ +1) V 2 2 γ 2 c 2 (γ +1) V 2V 3 γ 2 γv 3 c 2 (γ +1) V γ 2 1V 3 c 2 (γ +1) V γ 2 2V 3 1+ c 2 (γ +1) V 3 2

112 II.2 Lorentz Transformationen 112 and we can also write γ γ c L c (V,Q) = 2 VT Q γv (Id+(γ 1) V ) VT for 0 < V < c. (II2.2) V 2 Q This is because γ 1 V 2 = γ2 1 (γ +1) V 2 = γ 2 c 2 (γ +1). The Lorentz matrix has a so-called boost in the direction of 1 the velocity V, that is [ ] [ γ ] [ 0 L c (V,Id) = c V 2 V 2 γ 1 ] = γ, (1+(γ 1))V γv [ ] [ ] [ ] [ ] (II2.3) 1 γ 0 0 L c (V,Id) =, L 0 γv c (V,Id) = for e V = 0. e e But still detl c (V,Q) = 1 (see 5.2). There are also different forms of a Lorentz matrix, which are valid for all vectors Ṽ Rn and V R n. 2.1 Remark. For V R n with V < c we used 1 γ := > 1. 1 V 2 c 2 Then Ṽ Rn runs over all of R n, defined by Ṽ := 1 1 = γv. V 2V c Also V R n runs over all of R n, defined by (II2.4) V := 1 cṽ = γ c V. (1) With the definition of Ṽ 1 V = 1+ Ṽ c c 2Ṽ = 1 γṽ, γ = Ṽ 1+ c and it follows, that for all orthonormal Q R n n 1 ( L c (Ṽ,Q) := L Ṽ ) γ c 1+ Ṽ 2,Q = c 2 ṼT Q ( ) 1. Ṽ Id+ c 2 (γ +1)Ṽ ṼT Q 2 1 Here V is called velocity. This notion will be discussed in Chapter VI

113 II.2 Lorentz Transformationen 113 (2) With the definition of V V = c V = c 1+ V 2 γ V, γ = 1+ V 2 and it follows, that for all orthonormal Q R n n ( c V ) L c,q 1+ V 2 L( V) := I a := γ = c V 1 c V T Q ( Id+ 1 ) T V V Q γ +1 ], [ 1 0 = I1L( V)I c c 0 Q [ γ VT V Id+ 1 γ +1 [ ] a 0, γ = 0 Id V V T ], 1+ V 2 = γ. Beweis (1). With Ṽ = γv we compute γ γ c L c (V,Q) = 2 VT Q γv (Id+(γ 1) V ) VT V 2 Q 1 γ c = 2 ṼT Q ) Ṽ (Id+(γ 1)Ṽ ṼT Q Ṽ 2 and γ 1 Ṽ 2 = 1 c 2 (γ +1) since γ2 = 1+ Ṽ 2 c 2. Beweis (2). With V = γ cv we compute γ γ c L c (V,Q) = 2 VT Q γv (Id+(γ 1) V ) VT V 2 Q 1 γ c V T Q = ( ) T V V c V Id+(γ 1) V 2 Q

114 II.2 Lorentz Transformationen 114 and γ 1 V 2 = 1 γ +1 since γ2 = 1+ V 2. The linear coordinate transformations given by Lorentz transformations converge towards Galilei transformations, if c tends to infinity, see lemma 2.2. There are also cases, where a Lorentz matrix coincides with a Galilei matrix, this is the case when only a rotation is applied: [ ] 1 0 L c (0,Q) = = G(0,Q). 0 Q 2.2 Lemma. For every V, Ṽ, and Q it holds Beweis. This follows immediately. L c (V,Q) G(V,Q) as c, L c (Ṽ,Q) G(Ṽ,Q) as c. The class of Lorentz matrices give rise to linear observer transformations (this is the analogon to 1.2). 2.3 Lorentz Transformation. Sei L c (V,Q) L Lorentz eine Lorentz Matrix wiein(ii2.1). EineLorentz TransformationinT Lorentz isteineabbildung Y zwischen den Koordinaten (t,x ) R n+1 und (t,x) R n+1 definiert durch die Gleichung [ t x ] ([ ]) t = Y := x [ t0 x 0 ] t +L c (V,Q)[ t ] 0 x x 0 (II2.5) mit zwei gegebenen Punkten (t 0,x 0 ) und (t 0,x 0 ). Die Abbildung Y ist also bestimmt durch die Matrix L c (V,Q) und zwei Vektoren (t 0,x 0 ) und (t 0,x 0 ). Den Definitionen könnte man entnehmen, dass die Lorentz-Transformationen das relatvistische Analogon der Galilei-Transformationen darstellen. Dem ist aber nicht so, denn die Lorentz-Transformationen generieren keine nichtlineare Transformation (siehe [14,???]), wie das die Galilei- Transformationen tun, siehe die Charakterisierung der Newton Transformationen in Gruppeneigenschaft. Die Menge der Lorentz-Matrizen G Lorentz in (II2.1) hat bezüglich der Matrixmultiplikation die Gruppeneigenschaft. Die Identität ist durch L c (0,Id) gegeben und die Inverse von L c (V,Q) ist L c (V,Q) 1 = L c ( Q T V,Q T ). Ebenso ist die Menge T Lorentz der Lorentz Transformationen in (II2.5) bezüglich der Hintereinanderschaltung eine Gruppe. Hinweis: Ein anderer (nichtexpliziter) Beweis wird in [14, I.1.3] gegeben.

115 II.2 Lorentz Transformationen 115 Beweis. We show the result by explicit computation. It is elementary to see that L c (V,Q) = L c (V,Id)L c (0,Q), L c (V,Q) = L c (0,Q)L c (Q T V,Id), L c (0,Q 1 )L c (0,Q 2 ) = L c (0,Q 1 Q 2 ). After the essential Thomas-identity in (II2.6) is shown, this completes the axioms of a semigroup. In particular this implies, denoting B = Id+ γ 2 c 2 (γ +1)Ṽ ṼT, that (note, that γ is the same value for V and V) L c (V,Q)L c ( Q T V,Q T ) = L c (V,Id) L c (0,Q)L c (0,Q T ) L c ( V,Id) since = Id = L c (V,Id)L c ( V,Id) [ γ ][ γ = c 2 VT γ γv B γv γ 2( 1 V 2 ) γ = c 2 c γ(γv BV) γ ] c 2 VT B ( γv +BV)T 2 = Id, BB γ2 VT c2v γ 2( 1 V 2 ) c 2 = 1, BV = γv, ( γ 2 ) 2 BB = Id+ c 2 (γ +1) V VT γ 2 = Id+ (2+ V 2 γ 2 )V c 2 (γ +1) c 2 V T = Id+ γ2 (γ +1) c 2V VT, since 2+ V 2 γ 2 (1 c 2 (γ +1) = 2+ 1γ ) γ 2 2 γ +1 = γ +1. Thus we have shown, that L c ( Q T V,Q T ) is the right inverse. It is also the

116 II.2 Lorentz Transformationen 116 left inverse, since L c ( Q T V,Q T )L c (V,Q) = L c (0,Q T ) L c (V,Id)L c ( V,Id) L c (0,Q) = Id siehe oben = L c (0,Q T )L c (0,Q) = L c (0,Q T Q) = Id. Therefore L c (V,Q) 1 = L c ( Q T V,Q T ). Now the nontrivial step is to show that L c (U,Id)L c (V,Id) = L c (W,Id) [ ] 1 0, (II2.6) 0 T(U,V) wherew dependsonu andv andt(u,v)isthethomas rotation(1926), which can be found in [38], ( ) V U W = γ V + c 2 U +V, (γ U +1) T(U,V) = Q with Q orthonormal. We prove this identity by using the Lorentz transformation with arbitrary vectors in R 3. The assertion (II2.6) then reads ] L c (Ũ,Id) L c (Ṽ,Id) = L 1 0 c ( W,Id)[ 0 T( Ũ,Ṽ), W := γṽũ +B(Ũ)Ṽ, T(Ũ,Ṽ) :=B( W) 1( B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 c 2ŨṼT), γũ := 1+ Ũ 2 c 2 and similar γṽ, γ W, B(Ũ) := Id+ 1 +1)ŨŨT c 2 and similar B(Ṽ), B( W). (γũ (II2.7) Inserting the definition of the Lorentz matrix in 2.1(1) we have to prove the identity [ ][ ] γũ γṽ 1 c 2 ŨT Ũ B(Ũ) 1 c 2 ṼT Ṽ B(Ṽ) = [ γ W 1 c 2 W T W B( W) ] [1 ] 0, 0 M where M denotes a certain matrix which has to be shown to be the Thomas rotation. Performing the matrix multiplication on both sides this identity becomes γ Ũ γ Ṽ + Ũ Ṽ 1 ( ) T c 2 c 2 γũṽ +B(Ṽ)Ũ γṽũ +B(Ũ)Ṽ B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 = 2ŨṼT c [ γ W 1 c 2 W T M W B( W)M ].

117 II.2 Lorentz Transformationen 117 The last row we take as definition for W and M W := γṽũ +B(Ũ)Ṽ M :=B( W) 1( B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 c 2ŨṼT). (II2.8) Here the inverse of B( W) exists, since this matrix is positive definite. Therefore it remains to show that γũγṽ + Ũ Ṽ c 2 = γ W, M(γŨṼ +B(Ṽ)Ũ) = W, M is an orthogonal transformation with detm = 1. (II2.9) In fact, the second statement gives with the fact that M is an orthogonal transformation, that is M T =M 1, M T W = γũṽ +B(Ṽ)Ũ. Altogether this would complete the proof. Hier ist ein Beweis der Aussagen in (II2.9). Beweis 1. Aussage. Zu zeigen ist Da die linke Seite positiv ist, es gilt reicht es Ũ Ṽ c 2 = Ũ c γũγṽ + Ũ Ṽ c 2 = ( Ṽ c 1+ W 2 c 2. ( 1+ Ũ 2 c 2 )( 1+ Ṽ 2 c 2 ) = γũγṽ, γũγṽ + Ũ Ṽ c 2 ) 2 = 1+ W 2 c 2. zu zeigen. Nach der Definition von W und B(Ũ) ist 1+ W 2 = 1+ 1 γṽũ +B(Ũ)Ṽ 2 c 2 c 2 = Ũ Ṽ (γṽ + )Ũ + Ṽ c 2 c 2 (γũ +1) = 1+ Ṽ ( Ũ Ṽ ( c 2 c 2 γṽ + )Ũ Ṽ + Ũ 2 c 2 (γũ +1) c 2 = γ Ũ Ṽ ( (γṽ + )Ũ Ṽ +(γ 2Ũ Ṽ c 2 c 2 (γũ +1) 1) γṽ + γṽ + ) 2 Ũ Ṽ c 2 (γũ +1) Ũ Ṽ ) 2. c 2 (γũ +1)

118 II.2 Lorentz Transformationen 118 Dies ist das gewünschte Ergebnis, denn nach Umformungen gilt, dass dies = γ 2 Ṽ + 2γ Ṽ c 2 Ũ Ṽ + 2 c 4 (γũ +1) (Ũ Ṽ)2 +(γ 2 Ũ 1)γ2 Ṽ + 2(γ2 Ũ 1)γ Ṽ c 2 (γũ +1) Ũ Ṽ + 2(γ2 Ũ 1) c 4 (γũ +1) (Ũ Ṽ)2 = γ 2 Ũ γ2 Ṽ + 2γ Ṽ c 2 (1+γ Ũ 1)Ũ Ṽ + 1 c 4 ( γũ 1 γũ γũ +1 )Ũ Ṽ 2 ( = γũγṽ + Ũ Ṽ ) 2. c 2 = 1 Beweis 2. Aussage. Es muss M(γŨṼ +B(Ṽ)Ũ) = W ( M :=B( W) 1 B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 ) T c 2ŨṼ, gezeigt werden, also ( B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 ) ( ) T c 2ŨṼ γũṽ +B(Ṽ)Ũ = B( W) W. (II2.10) Nun gilt für die rechte Seite B( W) W = ( = 1+ ( 1 T) Id+ W c +1) W 2 (γ W W 2 c 2 (γ W +1) ) W = γ W W, = γ W und genauso B(Ũ)Ũ = γ ŨŨ und B(Ṽ)Ṽ = γṽṽ. Und die linke Seite von (II2.10) ist gleich = γũb(ũ) B(Ṽ)Ṽ +B(Ũ)B(Ṽ)2 Ũ = γṽṽ Wir berechnen +γũ Ṽ 2 c 2 = γ 2 Ṽ 1 Ũ + 1 c 2(Ṽ (B(Ṽ)Ũ))Ũ. Ṽ (B(Ṽ)Ũ) = (B(Ṽ)T Ṽ) Ũ = (B(Ṽ)Ṽ) Ũ = γ ṼṼ Ũ = γ ṼŨ Ṽ, und da B(Ṽ)2 = (Id+aṼ Ṽ T ) 2 (wobei a := 1 c 2 (γṽ +1) ) = Id+(2a+ Ṽ 2 a 2 )Ṽ Ṽ T (wegen Ṽ 2 = c 2 (γ 2 Ṽ 1)) (II2.11) = Id+ 1 c 2Ṽ Ṽ T,

119 II.2 Lorentz Transformationen 119 ist B(Ũ)B(Ṽ)2 Ũ = B(Ũ) (Id+ 1 c 2Ṽ Ṽ T) Ũ = B(Ũ)Ũ + Ũ Ṽ B(Ũ)Ṽ c = γ 2 ŨŨ + Ũ Ṽ B(Ũ)Ṽ c, 2 und daher wird die linke Seite von (II2.10) gleich = γũγṽb(ũ)ṽ +B(Ũ)B(Ṽ)2 Ũ +γũ(γ 2 Ṽ 1)Ũ + 1 c 2(Ṽ (B(Ṽ)Ũ))Ũ = γũγṽb(ũ)ṽ +γ ŨŨ + Ũ Ṽ B(Ũ)Ṽ c ( 2 + γũ(γ 2 1)+ 1 Ṽ c 2γ ṼŨ Ṽ)Ũ ( = γũγṽ + Ũ Ṽ ) B(Ũ)Ṽ (γũγ c Ṽ c 2γ ṼŨ Ṽ)Ũ ( = γũγṽ + Ũ Ṽ )( ) ( ) B(Ũ)Ṽ c +γ 2 ṼŨ = B(Ũ)Ṽ γ W +γ ṼŨ = γ W W. Beweis 3. Aussage. Wir haben zu zeigen, dass M eine orthogonale Transformation mit Determinante 1 ist, d.h. (Mx 1) (Mx 2) = x 1 x 2 ist, oder dazu äquivalent M T M = Id. Dazu äquivalent ist (siehe Beweis von I.1.1) MM T = Id. Mit (II2.8) muss also gelten Id =B( W) 1 ( B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 c 2ŨṼ T )( B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 c 2ŨṼ T ) T B( W) T oder B( W)B( W) T = (B(Ũ)B(Ṽ)+ 1c 2ŨṼ T )( B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 c 2ŨṼ T ) T. (II2.12) Die linke Seite ist (wie (II2.11) für Ṽ) B( W)B( W) T = B( W) 2 = Id+ 1 c 2 W W T. Da W = γṽũ +B(Ũ)Ṽ = ( γṽ + Ũ Ṽ c 2 (γũ +1) )Ũ + Ṽ, ist Mit B( W)B( W) T = Id+ 1 T c2 W W = Id+ 1 c 2(bŨ +Ṽ)(bŨT +ṼT ) =: b = Id+ 1 c 2 (b 2 ŨŨT +bũṽ T +bṽ ŨT +Ṽ Ṽ T). aũ := 1 γũ +1, a Ṽ := 1 γṽ +1 (II2.13)

120 II.2 Lorentz Transformationen 120 ist B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 T c ( 2ŨṼ = Id+ a Ũ c ŨŨT)( Id+ a Ṽ 2 c Ṽ Ṽ T) + 1 T 2 c 2ŨṼ = Id+ 1 (aũũũt ( +aṽṽ c Ṽ T Ũ Ṽ + 2 c 2 aũaṽ +1 Also ist die rechte Seite von (II2.12) =: d )ŨṼ T). (B(Ũ)B(Ṽ)+ = 1 T)( c 2ŨṼ B(Ũ)B(Ṽ)+ 1 c = (Id+ 1 (aũũũt +aṽṽ c Ṽ T +dũṽ T)) (Id+ 2 1 (aũũũt +aṽṽ c Ṽ T +dṽ ŨT)) 2 2ŨṼ T)T = Id + 1 ( c 2 2aŨ + Ũ 2 c 2 a2 +2Ũ Ṽ Ũ c 2 daũ +d )ŨŨ 2 Ṽ 2 T c c 2 ( 2aṼ + Ṽ 2 c 2 a2 Ṽ )Ṽ Ṽ T + 1 c 2 ( d+ Ũ Ṽ c 2 aũaṽ + Ṽ 2 c 2 da Ṽ Dies ist derselbe Ausdruck wie in (II2.13), wenn wir zeigen 1 = 2aṼ + Ṽ 2 c 2 a2 Ṽ, b = d+ Ũ Ṽ c 2 aũaṽ + Ṽ 2 c 2 da Ṽ, Indem wir die Definitionen einsetzen, ist )(ŨṼ T +Ṽ ŨT). b 2 = 2aŨ + Ũ 2 c 2 a2 Ũ +2Ũ Ṽ c 2 daũ +d 2 Ṽ 2 c 2. und 2aṼ + Ṽ 2 c 2 a2 Ṽ = 2a Ṽ +(γ2 Ṽ 1)a2 Ṽ = 1, d+ Ũ Ṽ c 2 aũaṽ + Ṽ 2 c 2 da Ṽ = 1+2Ũ Ṽ c 2 aũaṽ +(γ 2 1)a Ṽ Ṽ = 1+(γṼ 1)+ Ũ Ṽ c 2 aũaṽ 2aŨ + Ũ 2 c 2 a2 +2Ũ Ṽ Ũ c 2 daũ +d 2 Ṽ 2 c 2 = 2aŨ +(γ 2 Ũ 1)a2 Ũ +d ( 2Ũ Ṽ ( Ũ Ṽ = 1+d = 1+ c 2 aũ + ( 1+ Ũ Ṽ ( 2+(γṼ 1) ) aũ(2+aṽ(γ 2 c 2 Ṽ 1))+(γ2 1) Ṽ ( Ũ Ṽ )( Ũ Ṽ c 2 aũaṽ +1 c 2 aũaṽ ) = b ( Ũ Ṽ ) c 2 aũaṽ +1 )(γ 2Ṽ 1) ) c 2 aũ(γṽ +1))+(γ 2 1) = b 2. Ṽ )

121 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen Objektivität von Differentialgleichungen Die Formulierung einer Klasse von physikalischen Prozessen muss unabhängig von Beobachtertransformationen in einer gegebenen Gruppe T sein. Das heißt, sie muss unabhängig von Beobachtern sein, die sich durch ein Element in T transformieren. Insbesondere gilt dies für die folgenden Aussagen: Erhaltungssätze Konstitutive Funktionen Wir betrachten zunächst einige spezielle Erhaltungssätze, wobei wir uns auf klassische Lösungen beschränken. Mit N N betrachten wir (siehe (I5.1)) in U die folgenden Differentialgleichungen oder in Vektorschreibweise t u k +div x q k = r k für k = 1,...,N, t u+ n xi q i = r, i=1 (II3.1) wobei u k, qi k und r k gegebene Funktionen für k = 1,...,N seien. Es gilt also für Testfunktionen ζ C0 (U;RN ) N ( t ζ k u k + x ζ k q k +ζ k r k )dl n+1 = 0. (II3.2) k=1 U Die Objektivität dieser Erhaltungssätze wird durch ein Transformationsgesetz für Testfunktionen definiert: Ist das Koordinatensystem eines Beobachters y = (t, x) und werden die Koordinaten eines anderen Beobachters y = (t,x ) vermöge der Abbildung y = Y(y ) transformiert, und sind y ζ(y) C 0 (U;RN ) die Testfunktionen des einen Beobachters und y ζ (y ) C 0 (U ;R N ) die Testfunktionen des anderen Beobachters, so bestimmt die Transformationsregel für die Testfunktion von Erhaltungssystemen: ζ =Z T ζ Y (oder ζ Y =Z T ζ ), Z = (Z kl ) k,l=1,...,n invertierbar (II3.3) für Testfunktionen den Typ der Erhaltungssätze. Wir nehmen immer an dass Z C 1 (U ;R N N ), und in diesem Teil der Vorlesung 2 werden wir 2 WewerdenhieralsGruppedieNewtonTransformationenwählen. Daherstimmenwir nicht mit mancher Literatur überein, die nur die Objektivität bezüglich Galilei Transformationen verlangt. Unsere Definition verlangt mehr Bedingungen an die physikalischen Größen, was aber klar ist, wie die Corioliskraft und der Stresstensor, der nur von dem symmetrischen Teil des Geschwindigkeitsgradienten abhängt, zeigt.

122 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 122 immer die Gruppe T Newton der Newton Transformationen (II3.4) betrachten. 3.1 Eigenschaften der Transformationen. Zur Transformation Y sind X und Q wie in (II1.3) definiert. Es folgt Y i j = X i j = Q ij for i,j 1, und für die Funktionaldeterminante von Y gilt J = detd (t,x )Y = detd x X = 1. Beweis. Die Formel für J gilt nach 1.4, da für eine Galilei-Matrix [ ] 1 0 detg(v,q) = det = detq = 1. V Q Diese Resultate heben Konsequenzen, denn die Objektivität der Erhaltungssätze (II3.1) bezüglich einer Matrix Z ist erfüllt (siehe (I5.11)), falls nun folgende Identitäten gelten: Transformationsformel: u k Y = l Z klu l, q k i Y = lẋiz kl u l + jl Q ijz kl q l j, r k Y = lżklu l + lj Z kl jq l j + l Z klr l, für alle i = 1,...,n und k = 1,...,N, wobei j von 1,...,n und l von 1,...,N läuft. (II3.5) Wir haben also nur die Matrix Z richtig zu wählen, um Aussagen über gewisse physikalische Erhaltungssysteme zu erlangen.

123 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 123 Skalare Gleichung Wir wenden dies an zunächst auf eine skalare Gleichung t u+divq = r. (II3.6) 3.2 Skalare Gleichung. Die Gleichung (II3.6) heißt skalare Gleichung, wenn sie sich für eine Koordinatentransformation (t,x) = Y(t,x ) nach dem Gesetz ζ = ζ Y für reellwertige Testfunktionen transformiert. Dies der Fall, wenn u Y = u, q Y = u Ẋ +Qq, r Y = r. (II3.7) Beweis. Nach (II3.5) erhalten wir für N = 1 und Z = 1, dass u Y = u, q i Y = Ẋiu + j Q ijq j, r Y = r. Dies ist Anlass für folgende Definition, die wir auch im folgenden Satz brauchen werden. 3.3 Objektive Tensoren. (1) Eine reelle Größe (t,x) u(t,x) R heißt objektiver Skalar, falls u Y = u, wobei (t,x ) u (t,x ) R diese reelle Funktion für einen weiteren Beobachter ist, der mittels der Transfomation (t,x) = Y(t,x ) mit dem ersten Beobachter in Verbindung steht. (2) Eine vektorielle Größe (t,x) q(t,x) R n heißt objektiver Vektor, falls q Y = Qq, wobei (t,x ) q (t,x ) R n der Wert für einen weiteren Beobachter ist. (3) Eine tensorielle Größe (t,x) M(t,x) R n n heißt objektiver Tensor, falls M Y = QM Q T, wobei (t,x ) M (t,x ) R n n der Wert für einen weiteren Beobachter ist.

124 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 124 (4) Allgemein, wenn (t,x) T i1,...,i m (t,x) R für i 1,...,i m {1,...,n} die Komponenten eines m-tensors sind, dann heißt T ein objektiver m- Tensor, falls T i1,...,i m Y = n j 1,...,j m=1 ( m Q ik j k )Tj 1,...,j m für i 1,...,i m = 1,...,n, k=1 wobei (t,x ) T (t,x ) der m-tensor für einen weiteren Beobachter ist. Also sind bei einer skalaren Gleichung u und r objektive Skalare. Bleibt also noch der Flussterm zu interpretieren. Nun ist eine spezielle skalare Gleichung die allgemeine Massenerhaltung t +div( v +J) = r, (II3.8) wobei v eine Geschindigkeit ist, was wie folgt definiert wird Geschwindigkeit (Definition). Eine vektorielle Größe v heißt Geschwindigkeit, falls v Y = Ẋ +Qv erfüllt ist für verschiedene Beobachter, die sich mit (t,x) = Y(t,x ) transformieren. Hinweis: Dies schließt den Doppler-Effekt mit ein. Ist die Gleichung (II3.8) eine skalare Erhaltungsgleichung wie in Definition 3.2, so ist ein objektiver Skalar. Ist nun v eine Geschwindigkeit, so ergibt sich, dass v die Transformationsregel ( v) Y = ( Y)(v Y) = (Ẋ +Qv ) = Ẋ +Q( v ), d.h. dieselbe Transformationsregel wie q in 3.2, erfüllt. Mit q := v + J bilden wir nun die Differenz der Transformationsregel von q und der von v und erhalten J Y = q Y ( v) Y = Q(q v ) = QJ, d.h. J ist ein objektiver Vektor. Also haben wir gezeigt: 3 Wir geben hier die Definition einer Geschwindigkeit mit Hilfe einer Transformationsformel. Es ist klar, dass wir nicht mit der Bemerkung in mancher Literatur übereinstimmen, dass die Geschwindigkeit nicht objektiv sei. Dies liegt dort an einem nicht vollständigen Gebrauch vom Begriff der Objektivität.

125 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen Massengleichung. Die allgemeine Massengleichung ist eine skalare Gleichung, falls gilt: t +div( v +J) = r und r sind objektive Skalare (Definition 3.3(1)), v ist eine Geschwindigkeit (Definition 3.4), J ist ein objektiver Vektor (Definition 3.3(2)). Eine weitere skalare Gleichung ist die 3.6 Schwerkraftgleichung. Die Schwerkraftleichung div( φ) = ist eine skalare Gleichung. Das ist konsistent damit, dass die Massendichte ein objektiver Skalar ist. Außerdem gilt φ ist objektiver Skalar, eine Definition, die hier gemacht wird. Beweis. Die Differentialgleichung ist t 0 }{{} u := +div ( φ) } {{ } q := = }{{} r := Since u = 0 one has to show that q = φ is an objective vector. Since φ is an objective scalar, that is, φ Y = φ one computes the derivative of this equation. It is x j φ = x j (φ Y) = n ( xi φ) Y x j Y i, i=1 and since x j Y i = Y i j = Q ij one obtains x j φ = n Q ij ( xi φ) Y i=1 or (φ ) =Q T (( φ) Y). Since Q T = Q 1 this is equivalent to φ Y = Q φ. (Dieser Schluss geht für jeden objektiven Skalar.)

126 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 126 Masse-Impuls Gleichung Als weiteres Beispiel betrachten wir Masse und Impuls. 3.7 Masse-Impuls-Gleichung (Definition). Dieses Gleichungssystem hat die allgemeine Form t +div J = r, t ( v)+div Π = f, und heißt objektiv, falls es sich zwischen zwei Beobachtern, die durch eine Koordinatentransformation (t,x) = Y(t,x ) aufeinander bezogen sind, nach dem allgemeinen Gesetz ζ =Z T ζ Y für Testfunktionen ζ:r R n R 1+n transformiert, wobei die Matrix [ ] 1 0 Z := D (t,x )Y = (II3.9) Ẋ Q ist. Hinweis: Das System in 3.7 ist ein beliebiges System von 1+n Gleichungen, was nur durch das Gesetz für Testfunktionen eingeschränkt ist. Die Matrix Z in (II3.9) definiert dieses System als Masse-Impulse-System. Alles andere ist eine Folgerung aus dieser Definition. Das System lässt sich auch schreiben als [ ] [ ] t + n J i ) v xi i=1 ( Πki } {{ } k } {{ } =: u =: q i v [ J i ) ( Πki [ ] = r f und dieses System ist objektiv, falls mit der klassischen Koordinatentransformation (t,x) = Y(t,x ) gilt (siehe (II3.5)) [ ] [ ] Y = Z, [ r f k ] v Y = ẊiZ ] Y = Z t [ v [ ] v + n j=1 ] [ + n Z x j j=1 Q ij Z J j ( Π lj ) [ l J j ( Π lj ) l ] ] [ r +Z f für i = 1,...,n, ].

127 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 127 Da Z = [ ] [ ] [ , Ẋ Q Z t = Ẍ Q, Z x = j erhalten wir für die erste Identität Y =, ( v) Y = Ẋ +Q( v ). ( 0 ) 0 Q kj 0 Dies ergibt, dass die Masse > 0 ein objektiver Skalar ist, und dann dass v Y = Ẋ +Qv, d.h. v eine Geschwindigkeit ist. Für die zweite Identität erhalten wir für k,i = 1,...,n J i Y = Ẋ i + n Q ij J j, Π ki Y = Ẋi j=1 ( Ẋ k + n Q kl v l l=1 ) + n j=1 k Q ij ( Ẋ k J j + n l=1 ], ) Q kl Π lj. Die erste Gleichung kam schon bei der Massenerhaltung vor, was klar ist, da die ersten Gleichungen mit denen der Massenerhaltung identisch sind. Setzen wir J := J v, so folgt aus der ersten Gleichung und aus den gerade bewiesenen Transformationsregeln für und v (wie im Beweis von 3.5), dass J ein objektiver Vektor ist. Die zweite Gleichung ist n Π ki Y = Ẋ k Ẋ i + Ẋ i Q kl vl +Ẋk oder in Matrizenschreibweise l=1 n Q ij J j + n j=1 j=1l=1 n Q kl Q ij Π lj, Π Y = ẊẊT + (Qv )ẊT +Ẋ(Q J ) T +Q Π Q T = (Ẋ +Qv )( Ẋ) T +Ẋ(Q J ) T +Q Π Q T. (II3.10) Wir vergleichen dies mit dem bekannten Transformationsverhalten von v J T, (v J T ) Y = (Ẋ +Qv )( Ẋ +Q J ) T = (Ẋ +Qv )( Ẋ) T +Ẋ(Q J ) T + (Qv )(Q J ) T } {{ } = Q(v J T )Q T. Ziehen wir die von (II3.10) ab, so erhalten wir ( Π v J T ) Y = Q( Π v J T )Q T, d.h. Π := Π v J T = Π v( v +J) T

128 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 128 ist ein objektiver Tensor. Wir haben noch den Quellterm zu betrachten. Unter Benutzung der obigen Ableitungen von Z ergibt dies [ ] [ ][ ] r Y 0 0 = f Y Ẍ Q v + n [ ] ( 0 0 [ ] [ ][ ] ) J j ) 1 0 r j=1 Q kj 0 + ( Π k lj Ẋ Q f [ ] [ l [ 0 0 = (Ẍ + Qv r + ]+ ] ) Q J r Ẋ +Q f, d.h. r Y = r, und f Y = (Ẍ + Qv )+ Q J +r Ẋ +Q f = (Ẍ +2 Qv )+ QJ +r Ẋ +Q f. also f Y = (Ẍ +2 Qv )+ QJ +r Ẋ +Q f Damit erhalten wir den folgenden Satz. (II3.11) 3.8 Theorem. Das Masse-Impuls-System, also das System in 3.7 mit also beliebigem J und Π, ist J = v +J, Π = vv T +vj T +Π, t +div( v +J) = r, t ( v)+div( vv T +vj T +Π) = f. (II3.12) Es ist objektiv (siehe Definition 3.7), falls und r objektive Skalare sind, v eine Geschwindigkeit ist, J ein objektiver Vektor ist, Π ein objektiver Tensor ist, und f eine allgemeine Kraft ist, d.h. die Transformationsregel (II3.11) erfüllt (was r und J enthält, für die (klassische) Kraft siehe 3.9). The transformation rule (II3.11) does not allow a vanishing force for all observers, even for the special case that r and J vanish, since then the inhomogeneous term is (Ẍ + 2 Qv ) containing centrifugal and Coriolis forces (see example I.5.5). These forces are also called fictitious forces (de: Scheinkräfte ). The equation (II3.11) can also be written by reordering the terms of the right-hand side as f Y = Ẍ + Q(2 v +J )+r Ẋ +Q f. (II3.13)

129 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 129 Here the term 2 v +J is the sum of the term under the time derivative of the momentum equation and the term under the space derivative of the mass equation. Es ist auch DvJ =(J v) T = (J )v, also rv+dvj = (r+j )v, somit ist die klassische Kraft gegeben durch f := f (r+j )v. 3.9 Klassische Kraft (Definition). Das Masse-Impuls System (II3.12) (äquivalent zu 3.7) ist äquivalent zu t +div( v) = r divj, v +divπ = f, (II3.14) wobei die klassische Kraft f gegeben ist durch f := f (rv +DvJ). (II3.15) Es gilt die Transformationsformel f Y = (Ẍ +2 Qv )+Qf. (II3.16) Notation: Hierbei ist v := t v +v v. 4 Beweis. Die Äquivalenz der Massenerhaltungen ist klar. Die Impulserhaltung schreibt sich als f = t ( v)+div( vv T +vj T +Π) = ( t +div( v +J))v + ( t v +v v)+dvj+divπ = rv +DvJ+ ( t v +v v)+divπ = rv +DvJ+ v +divπ. This gives the equivalence of the momentum equations by defining the force as in the statement. To show the transformation rule for the force realize that, using the formula Dv YQ = Q+QDv for the derivative of the velocity and using the fact that J is an objective vector, (rv +DvJ) Y = r (Ẋ +Qv )+Dv YQJ = r (Ẋ +Qv )+( Q+QDv )J = r Ẋ + QJ +Q(r v +Dv J ). Subtracting this from the transformation rule (II3.11) for f gives the result. 4 Esist h := th+v hfürjedefunktionh. Eswirdfür hinderliteraturüblicherweise ḣ geschrieben. Wenn Sie der Unterschied zur anderen Definition der Punktableitung nicht stört, können Sie auch ḣ verwenden.

130 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 130 Usually one considers the system (II3.12) in the case J = 0. Then this system and the system (II3.14) becomes t +div( v) = r, t ( v)+div( vv T +Π) = rv +f, where f is the classical force in 3.9. If one considers the total mass then in addition r = 0, and in this case the total mass is conserved Inertialsysteme. Ein Koordinatensystem heißt Inertialsystem, wenn in dem Impulsgesetz für die gesamte Masse die rechte Seite bei der Abwesenheit von externen Kräften gleich Null ist. Es ist nie klar, ob solche Systeme existieren, deshalb ist Vorsicht geboten. Inertialsysteme, wie definiert, existieren nur als Approximation, der Fehler kann natürlich sehr klein sein. Es ist zum Beispiel immer das Schwerefeld von (unbekannten) Himmelskörpern gegenwärtig. (Siehe auch die Bemerkungen in [12, Section 9 Force]). Hinweis: Es sei auf Abschnitt IV.1 verwiesen. In (II3.14) haben wir den Term divj auf die rechte Seite geschrieben, die dann zu r divj wird. Genauso können wir in der Impulserhaltung div Π auf die rechte Seite bringen, die dann f divπ wird, oder wir können das für Teile der Terme tun. Das letztere hatten wir schon in Abschnitt I.3 bei der Behandlung von Massenpunkten kennengelernt, siehe I.3.1 für einen einzelnen Massenpunkt und I.3.3 für eine Kollektion von Massenpunkten. Die Terme, die auf der rechten Seite stehen, nennen wir eher äußere Kraft und die Terme, die als Divergenz geschrieben werden können, nennen wir interne Kraft. Entsprechend ist die Situation bei der Massenerhaltung. Es gibt aber bisher kein zwingendes Argument für den einen oder den anderen Fall (siehe auch???... ). Deshalb machen wir für den Produktionsterm r und die allgemeine Kraft f die folgende Bemerkung The term J. The differential system is (II3.12), which is equivalent to t +div( v) = r, t( v)+div( vv T +Π) = f, (II3.17) if r := r divj and f := f div(vj T ). Show by a direct calculation, that f fulfils the transformation rule f Y = (Ẍ +2 Qv )+r Ẋ +Qf. (II3.18) Beweis. The last formula given here in (II3.18) is the transformation rule as in definition 3.7, if we consider(ii3.17) as mass-momentum system. The purpose is to show this formula independently from the mass-momentum system (II3.11) and from the definitions in the statement. The transformation rules for system (II3.11) include r Y = r and Subtracting (II3.18) gives f Y = (Ẍ +2 Qv )+ QJ +r Ẋ +Q f ( f f) Y = QJ +r Ẋ r Ẋ +Q( f f ). Using the definition f f = div(vj T ) and r r = divj in the statement, this equation reads (div(vj T )) Y = QJ +(divj )Ẋ +Qdiv(v J T ).

131 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 131 Since div(vj T ) = (divj)v +(J )v = (divj)v +DvJ, this is ((divj)v +DvJ) Y = QJ +(divj )Ẋ +Q((divJ )v +Dv J ). Now, divj is an objective scalar, i.e. (divj) Y = divj, and v Y = Ẋ +Qv. Therefore the equation reduces to (DvJ) Y = QJ +QDv J. Since J is an objective vector, i.e. J Y = QJ, the equation becomes or ((Dv) Y)QJ = QJ +QDv J ((Dv) Y)Q = Q+QDv. This is the transformation rule for the derivative of v. Masse-Impuls-Energie Gleichung Als weiteres Beispiel betrachten wir Masse, Impuls und Energie (die Energie wird in Abschnitt III.2 eingeführt). Zur Motivation berechnen wir das Transformationverhalten von vv T, was sich aus dem Transformationsverhalten von und v ergibt. Es ist ( vv T ) Y = ( Y)(v Y)(v Y) T = (Ẋ +Qv )(Ẋ +Qv ) T = ẊẊT + ( ) Ẋ(Qv ) T +(Qv )ẊT + (Qv )(Qv ) T } {{ } = Q(v v T )Q T = ẊẊT + (Ẋ(Q( v )) T +Q( v )ẊT) +Q( v v T )Q T und daraus folgt für die kinetische Energie dass 2 v 2 = 1 2 trace( vvt ), ( 2 v 2 ) Y = 1 2 Ẋ 2 +(Q T Ẋ) ( v )+ 2 v 2. (II3.19) Dies ergibt die zusätzliche Zeile [ 1 2 Ẋ 2 Ẋ T Q 1] in der Matrix Z für die Energie. Dies wird in der folgenden Aussage benutzt Masse-Impuls-Energie-Gleichung (Definition). Wir betrachten ein Differentialgleichungssystem t +div J = r, t ( v)+div Π = f, t e+div q = g,

132 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 132 wobei e die gesamte Energie(totale Energie), q der gesamte Energiefluss und g die gesamte Energieproduktion ist. Dieses System heißt objektiv, falls es sich zwischen zwei Beobachtern, zwischen denen eine Koordinatentransformation (t,x) = Y(t,x ) besteht, nach dem allgemeinen Gesetz ζ =Z T ζ Y für Testfunktionen ζ :R R n R 2+n transformiert, wobei die (n + 2) (n+2)-matrix Z durch Z := Ẋ Q 0 (II3.20) 1 2 Ẋ 2 Ẋ T Q 1 gegeben ist. Hinweis: Hierbei handelt es sich wieder um ein beliebiges System von jetzt 1 + n + 1 Gleichungen, was nur durch das Gesetz für Testfunktionen eingeschränkt ist. Die Matrix Z in (II3.5) definiert dieses System als Masse-Impulse-Energie-System. Alles andere ist eine Folgerung aus dieser Definition. Das System kann auch geschrieben werden als n + 2 einzelne skalare Gleichungen oder mit Π ) i := ( Πki n t + xi Ji = r, i=1 t ( v k )+ n xi ( Π ki ) = f k i=1 t e+ n xi ( q i ) = g, i=1 k=1,...,n t für k = 1,...,n, als System für Vektoren v + n e i=1 xi J i r Π i = f. q i g Dies ist von der Gestalt in Also ist das System objektiv, falls die Transformationsformeln (II3.5) gelten, wobei hier als Matrix Z dient Z := Ẋ Q 0, 1 2 Ẋ 2 Ẋ T Q Z 0 = Ẍ Q 0, Z j = Ẋ j 0 0 Ẍ Ẋ ẌTQ+ẊT Q 0 jt Ẋ Q 0 Ẋ Ẋ j

133 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 133 für j = 1,...,n, wobei Ẋ k j = Q kj. Die Gleichungen (II3.5) lauten v Y = Z v, e e J i Π i Y = ẊiZ v + J j n q i e j=1 Q ijz Π for i = 1,...,n, j q j r f Y = Z 0 v + J j r n g e j=1 Z j Π +Z f. j g Due to the structure of the matrix Z (die letzte Spalte der ersten beiden Zeilen ist Null), the properties of the quantities in the mass and momentum part follow as in 3.8. Therefore, we have to evaluate the energy part of the above transformation rule. The first identity gives q j e Y = 1 2 Ẋ 2 + Ẋ (Qv )+e. (II3.21) Comparing this with the rule in (II3.19) and defining the internal energy (inner energy) ε by e = ε+ 2 v 2, we obtain ε Y = e Y ( 2 v 2 ) Y = e 2 v 2 = ε, that is, ε is an objective scalar. The energy part of the second identity is ( ) 1 q i Y = Ẋi Ẋ 2 + Ẋ T Qv +e 2 + n ( ) 1 Q ij 2 Ẋ 2 J j +ẊT Q Π j + q j, j=1 which in vector notation reads q Y = ( 2 Ẋ 2 + Ẋ T Qv +e )Ẋ Ẋ 2 Q J +(Q Π Q T ) T Ẋ +Q q. (II3.22) The energy part of the third identity is g Y = Ẍ Ẋ + (ẌT Q+ẊT Q)v + n (Ẋ Ẋ j J ) j jt +Ẋ Q Π j j= Ẋ 2 r +ẊT Q f + g,

134 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 134 that is g Y = Ẍ (Ẋ +Qv )+( Q T Ẋ) ( v + J )+(Q T Q) Π Ẋ 2 r +Ẋ Q f + g. (II3.23) Defining J, Π, and q by J = v +J, Π = vv T +vj T +Π, (II3.24) q = ev v 2 J+Π T v +q, we derive from (II3.21), (II3.22), and (II3.23) the following lemma Theorem. It follows that the mass-momentum-energy system 3.12, written with arbitrary terms J, Π, and q as in (II3.24), t +div( v +J) = r, t ( v)+div(v( v +J) T +Π) = f, t e+div(ev v 2 J+Π T v +q) = g, (II3.25) is objective (siehe Definition 3.12), if e = ε+ 2 v 2, ε is the internal energy,, ε, r are objective scalars, v is a velocity, J, q are objective vectors, Π is an objective tensor, (II3.26) and f = (r+j )v +f, f is a (classical) force (see 3.9), g = r 2 v 2 +v f +v DvJ+Dv Π A +g, g is an objective scalar. (II3.27) One can also write g = v ( r 2 v +f) +Dv (vj T +Π A )+g The equations (II3.27) do not mean that f is independent of r and J (also in equation (II3.16)) or that g is independent of r, J, and f. Beweis. For the properties of, v, J, r, Π, and f see 3.8 and 3.9. That ε is an objective scalar, has already been shown. Next, insert J and Π, as defined in (II3.24), in rule (II3.22). Since 1 2 Ẋ 2 Q J = 2 Ẋ 2 Qv Ẋ 2 QJ

135 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 135 and this gives (Q Π Q T ) T Ẋ = Q( v +J )v T Q T Ẋ +(QΠ Q T ) T Ẋ = Ẋ Qv ( Qv +QJ )+(QΠ Q T ) T Ẋ, q Y = ( 2 Ẋ 2 + Ẋ Qv +e )Ẋ +( 1 2 Ẋ 2 +Ẋ Qv )( Qv +QJ ) +(QΠ Q T ) T Ẋ +Q q. = ( 2 Ẋ 2 + Ẋ Qv )(Ẋ +Qv )+e Ẋ +( 1 2 Ẋ 2 +Ẋ Qv )QJ +(QΠ Q T ) T Ẋ +Q q. (II3.28) From known rules one computes (Π T v) Y =(QΠ Q T ) T (Ẋ +Qv ) =(QΠ Q T ) T Ẋ +Q(Π T v ), ( 1 2 v 2 J) Y = ( 1 2 Ẋ 2 +Ẋ Qv v 2 )QJ = ( 1 2 Ẋ 2 +Ẋ Qv )QJ +Q( 1 2 v 2 J ), (II3.29) (II3.30) (ev) Y = ( 2 Ẋ 2 + Ẋ (Qv )+e )(Ẋ +Qv ) = ( 2 Ẋ 2 + Ẋ (Qv ))(Ẋ +Qv )+e Ẋ +Q(e v ). (II3.31) Subtraction of (II3.29), (II3.30), (II3.31) from (II3.28) gives q Y = Qq. Finally the rule (II3.23) becomes by again inserting J and Π and using the formula f = f +r v +Dv J g Y = Ẍ (Ẋ +Qv )+( Q T Ẋ) ( v + J )+(Q T Q) Π Ẋ 2 r +Ẋ Q f + g = Ẍ (Ẋ +Qv )+( Q T Ẋ) (2 v +J )+(Q T Q) (v ( v +J ) T ) + r 2 Ẋ 2 +Ẋ Q(f +r v +Dv J )+(Q T Q) Π + g. Subtracting (v DvJ) Y = (Ẋ +Qv ) (Dv Y)QJ = (Ẋ +Qv ) ( Q+QDv )J = (Ẋ +Qv ) QJ +Ẋ QDv J +v Dv J

136 II.3 Objektivität von Differentialgleichungen 136 one gets ( g v DvJ) Y = Ẍ (Ẋ +Qv ) +( Q T Ẋ) (2 v )+ (Q T Q) (v ( v ) T ) } {{ } = 0 + r 2 Ẋ 2 +Ẋ Q(f +r v )+(Q T Q) Π +( g v Dv J ). Then subtracting (v f) Y = (Ẋ +Qv ) ( (Ẍ +2 Qv )+Qf ) = (Ẋ +Qv ) (Ẍ +2 Qv )+Ẋ Qf +v f, since (Qv ) ( Qv ) = v (Q T Qv ) = 0, one is lead to and therefore ( g v f v DvJ) Y = r 2 Ẋ 2 +r Ẋ Qv +(Q T Q) Π +( g v f v Dv J ) Finally, subtracting ( g r 2 v 2 v f v DvJ) Y = (Q T Q) Π +( g r 2 v 2 v f v Dv J ). ((Dv) A Π) Y = ( QQ T +Q(Dv ) A Q T ) (QΠ Q T ) = (Q T Q) Π +(Dv ) A Π we derive that g := g r 2 v 2 v f v DvJ (Dv) A Π is an objective scalar and (Dv) A Π = Dv Π A. We finish this section by proving, that if Π is symmetric, it is related to the conservation of the moment of momentum Remark. If the pressure tensor Π is symmetric, then the conservation of moment of momentum it satisfied. Beweis of Remark. We take the conservation of moment of momentum from [5, Section XII 1. Viscous Flow in an Isotropic Fluid]....wird nachgetragen...

137 II.4 Konstitutive Beziehungen Konstitutive Beziehungen Eine konstitutive Beziehung beschreibt die Abhängigkeit einer Größe von anderen. Eine konstitutive Funktion ist eine Vorschrift, wie der Wert einer physikalischen Größe aus den Werten anderer, also in der Regel unabhängigen, Größen zu berechnen ist. Die physikalische Größe, die durch eine Funktion beschrieben wird, wird damit zu einer abhängigen Größe. Konstitutive Beziehungen beschreiben verschiedene konkrete Materialien, sie dienen daher der Kommunikation zwischen Beobachtern. So sei z.b. w eine physikalische Größe, die von Größen u 1,...,u N abhängt, und die darstellende Funktion sei ŵ, also was bedeutet w = ŵ(u 1,...,u N ), w(t,x) = ŵ(u 1 (t,x),...,u N (t,x)). Dann nennen wir ŵ eine konstitutive Funktion. Bezüglich der Funktion ŵ machen wir folgende Aussage. 4.1 Definition. Eine konstitutive Funktion heißt objektiv, falls sie diegleiche Funktion für alle Beobachter ist. Das heißt zum Beispiel, wenn zwei Beobachter sich mit (t,x) = Y(t,x ) transformieren, und w, u 1,..., u N Größen des einen Beobachters sind, die w, u 1,..., u N für den anderen Beobachter heißen, die Gleichung w(t,x) = ŵ(u 1 (t,x),...,u N (t,x)) für den einen Beobachter gleichbedeutend ist mit der Gleichung für den anderen Beobachter. w (t,x ) = ŵ(u 1(t,x ),...,u N(t,x )) Diese Definition ist für die physikalische Behandlung von Problemen ganz wesentlich. Die physikalischen Größen haben unterschiedliche Werte für unterschiedliche Beobachter, aber Beziehungen zwischen diesen sind dieselbe, d.h. konstitutive Funktionen, die diese Beziehungen ausdrücken, sind objektiv. d.h. sie müssen unabhängig vom Beobachter sein. Referenzen: Für Aussagen zur Beobachterunabhängigkeit von konstitutiven Funktionen siehe Eck & Garcke & Knabner [3, 5.8 Beobachterunabhängigkeit], Greve [4, 1.4 Transformationseigenschaften], REF -.

138 II.4 Konstitutive Beziehungen 138 Objektive Skalare Als einfachstes Beispiel nehmen wir objektive Skalare, hierunter fallen zum Beispiel die Produktion einer skalaren Gleichung. 4.2 Beispiel. Ist p ein objektiver Skalar und ebenso u 1,...,u N, dann ist jede konstitutive Relation zwischen p und (u 1,...,u N ) objektiv. Also, eine konstitutive Funktion p, gegeben durch ist die Gleiche für alle Beobachter. p = p(u 1,u 2,...,u N ) (II4.1) Beweis. Sind p, u 1,...,u N die Größen bezüglich eines Beobachters, dessen Koordinaten mit (t,x) = Y(t,y ) transformiert werden, so gilt p Y = p, u j Y = u j. Aus der konsitutiven Beziehung (II4.1), die besagt p(t,x) = p(u 1 (t,x),u 2 (t,x),...,u N (t,x)), folgt also (setze (t,x) = Y(t,x )) p Y(t,x ) = p(u 1 Y(t,x ),u 2 Y(t,x ),...,u N Y(t,x )), und damit unter Ausnutzung von (II4.2) p (t,x ) = p(u 1(t,x ),u 2(t,x ),...,u N(t,x )), d.h. p ist dieselbe Funktion geblieben. (II4.2) 4.3 Beispiel. Seien p und u 1,...,u N objektive Skalare und es für p gelte p(t,x) = p(t,x,u 1 (t,x),u 2 (t,x),...,u N (t,x)). (II4.3) Dann ist p eine objektive Funktion genau dann, wenn sie von t und x unabhängig ist. Beachte: Aber es gilt Beweis. Wie im vorigen Beweis folgt aus der Objektivität, dass p(y(t,x ),u (t,x )) = p(t,x,u (t,x )), wobei u = (u 1,u 2,...,u N ). Wegen Y(t,x ) = (t + a,q(t )x + b(t )) folgt also p(t +a,q(t )x +b(t ),u (t,x )) = p(t,x,u (t,x )). Indem wir nun bei gegebenem (t,x ) den Wert a beliebig wählen, folgt dass p unabhängig von t ist. Wenn wir dann Q(t ) = Id und b(t ) beliebig wählen, folgt die Unabhängigkeit von p von x.

139 II.4 Konstitutive Beziehungen 139 Auch Ungleichungen fallen unter das Prinzip der Objektivität. 4.4 Ungleichung. Ist u ein objektiver Skalar, so ist u > 0 eine objektive Ungleichung. Beachte: Die Ungleichung u > 0 heißt eigentlich (t,x) R R n : u(t,x) > 0. Bemerkung: Transformiert sich u (affin) linear u Y = Au +B, so ist die Ungleichung objektiv nur falls B = 0 und A > 0. Beweis. Ist Y eine Beobachtertransformation, so ist u = u Y > 0, also ist die Ungleichung objektiv. Objektive Vektoren Jetzt ein Beispiel für einen objektiver Vektor, wobei ein Beispiel der Flussterm J in der Massenerhaltung ist. 4.5 Lemma. Es sei J = Ĵ( ), wobei eine objektiver Skalar und J ein objektiver Vektor sei. Dann ist Ĵ objektiv, d.h. dieselbe Funktion für alle Beobachter, falls Ĵ(Qq) = QĴ(q) für alle q R n und alle orthogonalen Transformationen Q R n n mit Determinante 1. Zusatz: Unter diesen Voraussetzungen ist also die konstitutive Funktion Ĵ(q) := a( q )q for all q R n objektiv, wenn a eine reelle Funktion ist. Beweis Zusatz. Für alle orthonormalen Q erfüllt q die Identität Qq = q. Also ist Ĵ(Qq) = a( Qq )Qq = Q( a( Qq )q) = Q( a( q )q) = QĴ(q).

140 II.4 Konstitutive Beziehungen 140 Beweis. Ist Y die Beobachtertransformation, so gilt Y =, J Y = QJ. Wir berechnen den Gradienten (da die Zeitkomponente von Y nicht von x abhängt) als x j = x j ( Y) = ( t ) Y Y 0 x + n ( j xi ) Y Y i x j i=1 = n ( xi ) Y Q ij i=1 und damit in Vektorschreibweise =Q T ( Y) oder ( ) Y = Q, (II4.4) also ist ein objektiver Vektor. Die Gleichung J(t,x) = Ĵ( (t,x)) impliziert somit J Y = Ĵ(( ) Y) und für den -Beobachter, wenn Ĵ objektiv ist, und somit J (t,x ) = Ĵ( (t,x )) QĴ( ) = QJ = J Y = Ĵ(( ) Y) = Ĵ(Q ). Dabei ist q = (t,x ) ein beliebiger Vektor 5 in R n. Altogether we are lead to the following 4.6 Beispiel einer Diffusion. Sei ein objektiver Skalar, v eine Geschwindigkeit und a eine skalare Funktion. Dann ist die skalare Differentialgleichung t +div ( v a( ) ) = 0 objektiv, also die gleiche für alle Beobachter. 4.7 Remark. You can also assume that a is an objective scalar with a constitutive function a = â( ) and then say t +div ( v a ) = 0, a = â( ), where, of course by 4.2, â is an objective function. 5 Dies ist natürlich eine Annahme, da wir nicht wissen, wie die Funktionen aussehen. Wir verzichten auf die etwas längere Argumentation. Eine kurze Antwort ist, dass in einer Umgebung jede positive Funktion sein kann.

141 II.4 Konstitutive Beziehungen 141 Beweis. It is an objective scalar and therefore â is a function depending on an objective scalar, therefore â is the same for all observers by 4.2. The rest follows from 3.2 and 3.4. Wie geben nun ein Beispiel zum Zusammenhang zwischen objektiven Vektoren und objektiven Tensoren an. Wie wir sehen werden, werden um so mehr Größen bei konstitutiven Funktionen benötigt, je detaillierter wir in die Beschreibung von physikalischen Vorgängen einsteigen. (Siehe auch Übungsaufgabe 5.11.) 4.8 Lemma. Es sei (t,x) {e 1 (t,x),...,e n (t,x)} ein Orthonormalsystem des R n, also e i e j = δ i,j für i,j = 1,...,n (II4.5) und e i seien objektive Vektoren. Weiter seien λ ij objektive Skalare. Ist dann Π ein objektiver Tensor, so ist Π = ij λ ij e i e j T eine objektive Darstellung von Π. Bemerkung: Dass die e i objektive Vektoren sind, ist konsistent mit der Aussage (II4.5). Beispiel: Die Matrix Π = pid mit einem objektiven Skalar p hat diese Darstellung. Allgemeiner: Man kann natürlich auch andere Größen durch ein objektives Orthonormalsystem, d.h. ein Orthonormalsystem aus objektiven Vektoren, darstellen. So ist für einen objektiven Vektor J J = i λ i e i eine objektive Darstellung, falls λ i objektive Skalare sind. Es gilt e i (Πe j ) = λ ij für alle i und j, d.h. bezüglich der Basis {e 1,...,e n } hat Π die Darstellung λ 11 λ 1n (e i (Πe j )) i,j=1,...,n =.. λ n1 λ nn Beweis. Es ist Π Y = QΠ Q T, e i Y = Qe i und λ Y = λ. Wegen e i e j = (Q T e i Y) (Q T e j Y) = e i Y e j Y = δ i,j

142 II.4 Konstitutive Beziehungen 142 ist das System auch für den neuen Beobachter ein Orthonormalsystem. Daraus ergibt sich λ ije i e j T =Q T λ ijqe i (Qe j) T Q ij ij ) =Q T ( ij λ ij e i e j T YQ =Q T Π YQ =Q T QΠ Q T Q = Π. Also ist die Darstellung objektiv. Mit diesem objektiven Tensor, der durch ein Orthonormalsystem gegeben ist, lassen sich inhomogene Materialien angeben. Take for example an Abb. 3: Geschichtetes Material (aus dem Buch [3]) objective vector J of the form J = D (II4.6) with a matrix function D (conditions will be derived) and an objective scalar. What are the conditions on D so that equation (II4.6) is the same for all observers? For a -observer we have J = D. Since is an objective vector, we get J Y = (D ) Y = D Y Q. On the other hand, since J is an objective vector, hence we obtain This is satisfied, if D Y Q = QD or J Y = QJ = QD, D Y Q = QD. D Y = QD Q T, (II4.7)

143 II.4 Konstitutive Beziehungen 143 that is, the transformation rule of an objective tensor. (If D = const and the constant is the same constant for all observers, it follows (if n 3) that D = aid, a a scalar, see 4.17(4). The same holds if D depends on a finite number of objective scalars, see exercise 5.8.) Now, if n = 2, take D as a matrix [ ] a 0 D =, 0 1 see Abb. 3. This is for an observer with (x 1,x 2 )-coordinates. If we consider another observer with (x 1,x 2 )-coordinates we have to use the matrix D with the property in (II4.7), that is, [ D acos 2 ϑ+sin 2 ] [ ] ϑ (a 1)cosϑsinϑ cosϑ sinϑ = (a 1)cosϑsinϑ asin 2 ϑ+cos 2 if Q =, ϑ sinϑ cosϑ and D = [ ] a if Q = ± [ ] This is because the material stays at the same physical place but the coordinates differ. So we can say 4.9 Lemma. Let be an objective scalar and J an objective vector. If D satisfies the transformation rule (II4.7) then the equation J = D is objective, that is, is the same for all observers. Beweis. If J +D = 0 we compute Hence 0 = J +D. 0 = (J +D ) Y = J Y +D Y( ) Y = QJ +(QD Q T )Q = Q(J +D ). Therefore, the vector J depends on D and, where D is an objective tensor and is an objective vector. Hence, in the general case the matrix D has to be made public in order to have an objective formulation for all observers. We get 4.10 Lemma. Let be an objective scalar, J an objective vector, and D an objective tensor. Assume J = Ĵ(D, ). Then the function (M,q) Ĵ(M,q) is objective, that is the same function for all observers, if for all orthonormal matrices Q with positive determinant and all M and q Ĵ(QMQ T,Qq) = QĴ(M,q). (II4.8)

144 II.4 Konstitutive Beziehungen 144 Example: Ĵ(M,q) = Mq. We see that in order to have the same function Ĵ for all observers it is neccessary to add the matrix as argument to the function. Beweis. If we have an observer transformation Y, we take Q from this transformation and M = D and q =. We get Ĵ(QD Q T,Q ) = QĴ(D, ). (II4.9) If we use the transformation rules QD Q T = D Y and Q = ( ) Y, we obtain Ĵ(D, ) Y = QĴ(D, ). This is consistent with the fact, that J is an objective vector and the identities J = Ĵ(D, ) and J = Ĵ(D, ). Remark: For the reverse direction of the assertion, if Ĵ is the same function for all observers, then (II4.9) follows. Now, if for the process in consideration D can be any matrix and any vector, the equation (II4.8) follows. A formulation with an orthonormal system is also possible: Let n = 2 and realize, that for the observer with (t, x)-coordinates [ ] a 0 D = = ae e T 1 +e 2 e T 2 (II4.10) (this is of the form in 4.8 for Π), if {e 1,e 2 } is the standard orthonormal system with respect to the(t, x)-coordinates. If we consider another observer with (x 1,x 2 )-coordinates we have to use e 1 = [ ] cosϑ, e 2 = sinϑ D = ae 1e 1 T +e 2e 2 T, [ ] sinϑ, if Q = cosϑ [ ] cosϑ sinϑ, sinϑ cosϑ which is the same matrix D as above. So in general one considers (II4.10) with objective vectors e i, i = 1,2. Also lemma 4.10 can be adopted to orthogonal systems. So, for example, if {e 1,e 2 } is an orthonormal system of objective vectors, the objective representation J = D, a = â( ), D = ae 1 e 1 T +e 2 e 2 T, defines an objective vector J. The considerations are relevant, if one has, for example, several bodies in a fluid.

145 II.4 Konstitutive Beziehungen 145 Objektive Tensoren Die Objektivitätsbetrachtungen übertragen sich auch auf Tensoren. Hier ein Beispiel aus der Elastizitätstheorie Objektivität für elastische Körper. In der Elastizitätstheorie von Abschnitt I.6 definiere S :=F 1 P den zweiten Piola-Kirchhoff Spannungstensor, C :=F T F den symmetrischen Deformationsgradient. Dann gilt für den Drucktensor (mit τ(t,x) = (t,ϕ(t,x))) Π τ = 1 J FSFT oder S = JF 1 Π τf T. Dies führt zu folgenden Beobachterabhängigkeiten S(t,x) = S (t,x), C(t,x) = C (t,x). Beachte: Der Tensor S ist somit symmetrisch genau dann, wenn der Drucktensor Π symmetrisch ist. Bemerkung: Die Koordinatenfunktionen ξ i, definiert durch sind objektive Skalare. ξ i (t,x) := x i für x = ϕ(t,x) Es sei bemerkt, dass das Ganze nur in der Newton schen Physik geht, denn relativistisch gibt es keine Referenzkoordinaten. Beweis der Bemerkung. Ist [ ] ([ ]) t t = Y = x x [ t ] +a X(t,x ) eine Newton sche Beobachtertransformation, so ist x = ϕ(t, x) und für den anderen Beobachter x = ϕ (t,x), wenn beide Beobachter dieselbe Referenzkonfiguration wählen, was äquivalent ist zu ξ i (t,x) = x i = ξ i (t,x ). (II4.11) (Hierbei gehört zur Voraussetzung, dass verschiedene Beobachter dieselbe Referenzkonfiguration wählen.) Beweis. Aus x = ϕ(t,x) und x = ϕ (t,x) folgt

146 II.4 Konstitutive Beziehungen 146 und daraus durch Differenzieren also für t = t +a ϕ(t,x) = X(t,ϕ (t,x)) mit t = t +a F ij (t,x) = xj ϕ i (t,x) = xj X i (t,ϕ (t,x)) = k x j (Q ik (t )ϕ k (t,x)) = k Q ik(t ) xj ϕ k (t,x) = k Q ik(t )F kj (t,x), F(t,x) = Q(t )F (t,x), also F 1 (t,x) =F 1 (t,x)q(t ). Daraus folgt, wobei wir im Folgenden die Argumente weglassen, Da C =F T F =(QF ) T QF =F T Q T QF =F T F = C. J = detf = det(qf ) = detq detf = detf = J, und da Π nach 3.8 ein objektiver Tensor ist, d.h. Π Y = QΠ Q T, erhalten wir FSF T = JΠ = J QΠ Q T und daraus S = S. = Q(F S F T )Q T = QF S (QF ) T = FS F T, 4.12 Konstitutive Funktion für elastische Körper. Ist S der zweite Piola-Kirchhoff Spannungstensor, so definiert jede konstitutive Beziehung S(t,x) = Ŝ(x,C(t,x)) (II4.12) eine objektive Funktion Ŝ. Beweis. In 4.11 hatten wir bewiesen, dass C(t,x) = C (t,x) und dass S(t,x) = S (t,x). SetzenwirdiesindiekonstitutiveBeziehung(II4.12)ein, so erhalten wir S (t,x) = Ŝ(x,C (t,x)), also ist die Funktion Ŝ dieselbe für verschiedene Beobachter Beispiel. The simplest example for Ŝ is λ 1 (x) 0 Ŝ(x) =... = n λ k (x)e k e T k. Then S(t,x) = Ŝ(x) implies 0 λ n (x) Π τ = 1 J FSFT = 1 J F n k=1 k=1λ k e k e k T F T = 1 J n λ k e k τ (e k τ) T with e k τ := Fe k. It is {e 1 (t,x),...,e n (t,x)} a basis in physical space. k=1

147 II.4 Konstitutive Beziehungen 147 Zum Schluss ein Beispiel aus der Flüssigkeitstheorie Lemma. Seien und ε objektive Skalare. Es sei Π ein objektiver Tensor und es gelte Π = Π(,ε,v,, ε,dv) mit einer objektiven Funktion Π. Dann ist Π von v unabhängig und hängt nur vom symmetrischen Anteil von Dv ab. Es kann also Π gewählt werden als Π = Π(,ε,, ε,(dv) S ). Bemerkung: Es gelten näturlich auch noch mehr Folgerungen. Beweis. Für die Geschwindigkeit v gilt v i Y = Ẋi + j Q ij v j. Berechnen wir Raumableitungen bezüglich x k, so erhalten wir, wenn wir berücksichtigen, dass X j k = Q jk und Ẋi k = Q jk, n ( j v i ) YQ jk = k (v i Y) j=1 = Ẋi k + k (Q ij vj) = Q ik + j j Q ij k v j, und daher ( j v i ) Y = k=1q n jk Q ik + Q jk Q ij k vj, jk d.h. in Matrixschreibweise (Dv) Y = QQ T +QDv Q T (II4.13) mit einer antisymmetrichen Matrix QQ T. Setzen wir dies ein in Π Y = QΠ Q T, so ist, unter Ausnutzung dass Π objektiv ist, Q Π(,ε,v,, ε,dv )Q T = Π( Y,ε Y,v Y,( ) Y,( ε) Y,(Dv) Y) = Π(,ε,Ẋ +Qv,Q,Q ε, QQ T +QDv Q T ). Wir können nun an einer bestimmten Stelle (t 0,x 0 ) die Transformation Y so wählen, dass der Wert von c = Ẋ in dem Punkt beliebig sein kann und dass die Matrix A = QQ T eine beliebige antisymmetrische Matrix ist, bei gleichzeitiger Wahl von Q = Id in diesem Punkt. (Wähle zunächst Q(t 0 ) = Id und dann Q für t t 0 so, dass Q(t 0 ) = A. Dann wähle

148 II.4 Konstitutive Beziehungen 148 Ẋ(t,x ) = Q(t )x + b(t ) für alle (t,x ) so, dass Ẋ(t 0,x 0 ) = c.) Wir erhalten dann im Punkte (t 0,x 0 ) Π(,ε,v,, ε,dv ) = Π(,ε,c+v,, ε,a+dv ) für alle c im R n und alle antisymmetrischen Matrizen A. Wahlen wir nun speziell c = v und A = (Dv ) A so erhalten wir wegen Dv = (Dv ) S + (Dv ) A, dass Π(,ε,v,, ε,dv ) = Π(,ε,0,, ε,(dv ) S ) =: Π(,ε,, ε,(dv ) S ) (mit einer neuen konstitutiven Funktion Π). Es folgt die Behauptung Konstitutive Funktion für Flüssigkeiten. Für den Drucktensor ist folgende Darstellung objektiv: Π = pid S, S = a 2( Dv +(Dv) T ) +bdiv(v)id = a (Dv) S +bdiv(v)id = 2η ( (Dv) S 1 n div(v)id } {{ } spurfrei ) +ζdiv(v)id, a := 2η, b := ζ 2 n η ( = ζ 2 3 η for n = 3 ), wobei p, η und ζ von (,ε, (Dv) S ) abhängen. 6 Hierbei sind p der Druck der Flüssigkeit, η, ζ die Zähigkeitskoeffizienten (Lamé Koeffizienten). Beweis. Nach (II4.13) ist Dv Y = QQ T }{{} schiefsymmetrisch +QDv Q T und damit gilt für den symmetrischen Anteil (Dv) S von Dv (Dv) S Y = Q(Dv ) S Q T, 6 Definition: Für Matrizen M, N ist M N := i,j MijNij, also M 2 := i,j Mij 2. Dieses Skalarprodukt wird in der Regel mit : bezeichnet, also M : N := M N.

149 II.4 Konstitutive Beziehungen 149 d.h. (Dv) S ist ein objektiver Tensor. Nun gilt für die eukldische Norm von Matrizen M,N R n n, welche einen objektiven Tensor darstellen, also M Y = QM Q T und N Y = QN Q T, (M N) Y = (QM Q T ) (QN Q T ) = (QM Q T ) ij (QN Q T ) ij ij = ijklpq und damit auch Q ik M kl Q jlq ip N pqq jq M Y = M M = M M = M. Daher ist die eukldische Norm von (Dv) S ein objektiver Skalar, (Dv) S Y = (Dv ) S, genauso wie und ε. Daher fallen die konstitutiven Funktionen von a und b, bzw. von η und ζ, und die von p unter die Objektivität in 4.2. Also können wir im Folgenden so tun, als seien diese Funktionen konstant. Nunist(Dv) S einobjektivertensor, unddamitfürjedesorthonormalsystem {e 1 (t,x),...,e n (t,x)} divv = e i (Dv) S e i, i und damit (divv) Y = i (e i Y) ((Dv) S Y)(e i Y) = i = i (e i Y) (Q(Dv ) S Q T )(e i Y) (Q T e i Y) (Dv ) S (Q T e i Y) = divv, denn {Q(t ) T e 1 (t,x),...,q(t ) T e n (t,x)} ist ebenfalls ein Orthonormalsystem. Also ist divv ein objektiver Skalar. Da Id ein objektiver Tensor ist, folgt somit, dass S ein objektiver Tensor ist, und damit auch Π. Ersetzt man eine konstitutive Funktion für eine physikalische Größe durch eine, die von mehr Parametern abhängt, so ändert sich die Situation, und zwar in der Regel grundlegend. Wir zeigen nun, dass unter Linearitätsvoraussetzungen eine Darstellung wie in 4.15 auch notwendig ist (siehe auch III.2.5) Theorem. Sei Π = Π(,ε,v,Dv) mit einer objektiven Funktion Π, die symmetrisch ist, d.h. Π ji = Π ij für i,j = 1,...,n. Ist Π (affin) linear in Dv, so hat Π die Darstellung in 4.15.

150 II.4 Konstitutive Beziehungen 150 Beweis. 7 For Π one obtains independence of v and the antisymmetric part of Dv in the same manner as in Then Π(,ε,0,0,0) = Q Π(,ε,0,0,0)Q T for all orthogonal matrices Q. This implies that Π(,ε,0,0,0) (for fixed values of and ε ) is a constant objective tensor, and therefore, by 4.17(4) for n 3, is a multiple of the identity, that is, Π(,ε,0,0,0) = p(,ε )Id. Then Π = pid S and S has a representation S ij = n â ijk (,ε) k ε+ n bijk (,ε) k k=1 + n k,l=1 k=1 ĉ ijkl (,ε) kv l + l v k, 2 where we can assume that c ijkl = c ijlk for all i,j,k,l = 1,...,n. Now Π and then also S is an objective tensor, that is S ij Y = n ĩ, j=1 Q iĩ Q j js ĩ, j. This leads, with the above notation, to the identities n k=1 a ijkq k k = ñ Q Q i, j=1 iĩ j jaĩ j k n k=1 b ijkq k k = ñ Q Q i, j=1 iĩ j jbĩ j k n k,l=1 c ijklq k kq l l = ñ Q Q i, j=1 iĩ j jcĩ j k l for all i,j, k, for all i,j, k, for all i,j, k, l. Again we rewrite this so that we have Q-terms only on the right-hand side. This gives, that (a ijk ) i,j,k=1,...,n behaves like a constant objective 3-tensor. This implies that it is antisymmetric in each pair of indices (for n = 3, for n 4 it follows that a ijk = 0), hence a ijk +a jik = 0. Therefore this term gives no contribution to the symmetric part of S. The same follows for the b-term. The third identity gives that (c ijkl ) i,j,k,l=1,...,n is a constant objective 4-tensor, which is symmetric in the last two indices. Since S is symmetric, this implies that the symmetric part with respect to the first two indices is of the form with two scalars a, b (see 4.17(6)). c ijkl = a 2 (δ k,iδ l,j +δ l,i δ k,j )+bδ k,l δ i,j Hier jetzt die benutzte Identität für konstante Tensoren Lemma. We consider a constant objective m-tensor C = (c i1,...,i m ) i1,...,i m=1,...,n. This means (as consequence of definition 3.3(4)), that for all orthogonal matrices Q in R n with detq = 1 the following identity is satisfied: c i1,...,i m = n ī 1,...,ī m=1 We assume n 2 (for n = 1 there is only Q = Id). Q i1 ī 1 Q im ī m c ī1,...,ī m. (II4.14) 7 Ein Beweis befindet sich in [9, 15], er entspricht aber nicht der hier gemeinten mathematischen Rigorosität, deshalb der folgende Beweis.

151 II.4 Konstitutive Beziehungen 151 (1) Property (II4.14) is equivalent to n 0 = A i1 ī 1 c ī1,i 2,...,i m + n A i2 ī 2 c i1,ī 2,i 3,...,i m ī 1 =1 ī 2 =1 + + n A im ī m c i1,...,i m 1,ī m. ī m=1 (II4.15) (2) Property (II4.14) is equivalent to δ i1,rc s,i2,...,i m +δ i2,rc i1,s,i 3,...,i m + +δ im,rc i1,...,i m 1,s is symmetric in r,s {1,...,n} (II4.16) for all i 1,...,i m = 1,...,n. (3) If m = 1 then C = 0. (4) If m = 2 then, if n 3, the matrix C is a multiple of the identity. For n = 2 it can have an additional antisymmetric part (see (II4.19)). (5) If m = 3 then C satisfies (II4.14) if and only if C is antisymmetric in every pair of indices. If n = 3, then C satisfies for vectors ξ R 3 for some a R C(ξ) := ( 0 ξ 3 ξ 2 3 k=1 c ijkξ k )i,j=1,...,n = a ξ 3 0 ξ 1. (II4.17) ξ 2 ξ 1 0 If n 4, then C = 0. (6) If m = 4 we consider only the case n 3. Then if C is symmetric in the last two arguments and C is symmetric in the first two arguments it has the form ( n ) C(M) := k,l=1 c i,j,k,lm k,l = a (M +M T )+b trace(m) Id. (II4.18) i,j=1,...,n (Dieses Resultat ist aus dem Anhang von [12].) Beweis (1). Assume (II4.14) holds. Setting Q = exp(sa) with an antisymmetric matrix A, and taking the derivative with respect to s in (II4.14) at s = 0 one obtains (II4.15). Now assume (II4.15) holds. Denote the right-hand side of (II4.14) by F i(q) := n ī 1,...,ī m=1 Q i1 ī 1 Q im ī m c ī1,...,ī m for i = (i 1,...,i m). Consider a smooth curve s Q(s) with Q(0) = Id. Then with A(s) := Q(s)Q T (s) one computes d ds Fi(Q(s)) = n k=1 A i1 kf k,i2,...,i m (Q(s))+ n A i2 kf i1,k,i 3,...,i m (Q(s)) k=1 + + n A imkf i1,,...,i m 1,k(Q(s)). k=1 Using (II4.15), we see that the same differential equation holds for the function s F i(q(s)) c i. Since F i(q(0)) c i = 0 for all i, we obtain F i(q(s)) c i = 0 for all s and i. Since the set of orthogonal matrices with positive determinant is a connected manifold, we can reach any such matrix with a curve starting at the identity. Beweis (2). Varying over all antisymmetric matrices one sees that (II4.15) is equivalent to the fact, that the identity (II4.16) holds.

152 II.4 Konstitutive Beziehungen 152 We consider property (II4.16) in the subsequent argumentations. We do not claim that this is the most efficient way to derive these conclusions, but at least there is a unified background. Beweis (3): Case m = 1. Then (II4.16) reads δ i,rc s = δ i,sc r for all i and r s. Setting i = r we get c s = 0, and this for all s, hence the result follows. Beweis (4): Case m = 2. Then (II4.16) reads Setting i = r, j = s we get hence for some number a δ i,rc s,j +δ j,rc i,s = δ i,sc r,j +δ j,sc i,r for all i,j and r s. c s,s = c r,r for all r s, c i,i = a for all i. If n 3 set i = r and let j r,s. This gives c s,j = 0 for all j s. Thus For n = 2 set i = j = r and obtain C = aid. c s,r +c r,s = 0 for s r, hence for some number b C = a [ ] [ ] b. (II4.19) Beweis (5): Case m = 3. Then (II4.16) reads δ i,rc s,j,k +δ j,rc i,s,k +δ k,r c i,j,s = δ i,sc r,j,k +δ j,sc i,r,k +δ k,s c i,j,r for all i,j,k and r s. (II4.20) We consider the case n 3. For r = k = j, and three different i, k, and s this gives c i,s,k +c i,k,s = 0 for all s,k i with s k. For i = j, r = k, and three different i, k, and s the identity gives c i,i,s = 0 for all s i, and for j = k, r = i, and different i, k, and s this gives c s,j,j = 0 for all s j. For k = i j and s = i, r = j this gives c i,i,i = c j,j,i +c i,j,j, which is 0 by the previous results, thus c i,i,i = 0 for all i. Therefore we have seen that c i,j,k is antisymmetric in j,k.

153 II.4 Konstitutive Beziehungen 153 Interchanging two indices leads to a tensor, which again is objective, hence the above antisymmetry applies to the new tensor. It follows that C is antisymmetric in every pair of indices. Every such 3-tensor is objective. For n 4 obtain for empty set {r,s} {i,j} and then for k = s r δ k,r c i,j,s = δ k,s c i,j,r c i,j,r = 0 for all r i,j. Together with the above antisymmetry it follows that C = 0. For n = 3 we have a := c 1,2,3 = c 1,3,2 = c 3,1,2 = c 3,2,1 = c 2,3,1 = c 2,1,3, and all other components vanish. Hence for vectors ξ R 3 equation (II4.17) holds. Beweis (6): Case m = 4. Let C be any constant objective 4-tensor. We consider the case n 3. Equation (II4.16) reads δ i,rc s,j,k,l +δ j,rc i,s,k,l +δ k,r c i,j,s,l +δ l,r c i,j,k,s = δ i,sc r,j,k,l +δ j,sc i,r,k,l +δ k,s c i,j,r,l +δ l,s c i,j,k,r for all i,j,k,l and r s. (II4.21) Let us assume, that C is symmetric in the last two indices, that is c i,j,k,l = c i,j,l,k for all i,j,k,l. Set i = j in (II4.21). Then δ i,r(c s,i,k,l +c i,s,k,l )+δ k,r c i,i,s,l +δ l,r c i,i,k,s = δ i,s(c r,i,k,l +c i,r,k,l )+δ k,s c i,i,r,l +δ l,s c i,i,k,r for r s and all i,k,l. (II4.22) For k,l,r,s i with r s one obtains δ k,r c i,i,s,l +δ l,r c i,i,k,s = δ k,s c i,i,r,l +δ l,s c i,i,k,r. This is the characterization of the objective 2-tensor (c i,i,k,l ) k,l=1,...,n in n 1 dimensions. Since n 1 2 and symmetry is assumed, the above result (4) implies with a real number b i c i,i,k,l = b iδ k,l for all k,l i. (II4.23) For r,s i with r s and k = r, l = i one obtains c i,i,s,i = 0 for all s i. (II4.24) Now, in (II4.22), set k = i and let l,r,s i with r s. One obtains δ l,r c i,i,i,s = δ l,s c i,i,i,r for all i and l,r,s i with r s. For l = r this gives c i,i,i,s = 0 for all s i. Together with (II4.23) this gives c i,i,k,l = 0 for all k l, c i,i,k,k = b i for all k i, c i,i,i,i so far undetermined. (II4.25) Now, in (II4.22), set r = i and let k,l,s i (then r s). One obtains c s,i,k,l +c i,s,k,l = δ k,s c i,i,i,l +δ l,s c i,i,k,i.

154 II.4 Konstitutive Beziehungen 154 The right-hand side vanishes by the first identity in (II4.25), hence c s,i,k,l +c i,s,k,l = 0 for all k,l,s i, or relabeled c j,i,k,l +c i,j,k,l = 0 for all i j and all k,l i or k,l j. Denoting the symmetrization with respect to the first two indices by c i,j,k,l := 1 2 (c i,j,k,l +c j,i,k,l ) for all i,j,k,l (II4.26) we obtain c i,j,k,l = c j,i,k,l = 0 for all i j and all k,l i or k,l j, that is c i,j,k,l = 0 for all i j and k,l with {k,l} {i,j}. (II4.27) For {k,l} = {i,j} we get a i,j := c i,j,i,j = c i,j,j,i = c j,i,i,j = c j,i,j,i = a j,i. Now let i j in (II4.21). Then for r = i and s i this identity becomes c s,j,k,l +δ k,i c i,j,s,l +δ l,i c i,j,k,s = δ j,sc i,i,k,l +δ k,s c i,j,i,l +δ l,s c i,j,k,i for i j, and s i, and all k,l. (II4.28) As first case in (II4.28) let s = j. Then c j,j,k,l +δ k,i c i,j,j,l +δ l,i c i,j,k,j = c i,i,k,l +δ k,j c i,j,i,l +δ l,j c i,j,k,i for all k,l. For k = l i,j this gives c j,j,k,k = c i,i,k,k for all i j and k i,j, thus in the second identity in (II4.25) for some number b b i = b for all i. For k = l = i we obtain c j,j,i,i +c i,j,j,i +c i,j,i,j = c i,i,i,i, which by definition of b becomes c i,i,i,i = b+c i,j,j,i +c i,j,i,j, and for k = l = j we obtain c j,j,j,j = c i,i,j,j +c i,j,i,j +c i,j,j,i = b+c i,j,i,j +c i,j,j,i, and interchanging i, j c i,i,i,i = b+c j,i,j,i +c j,i,i,j. Adding up both equations for c i,i,i,i we arrive at c i,i,i,i = b+c i,j,j,i +c i,j,i,j = b+2a i,j (II4.29) by definition of a i,j. As second case in (II4.28) let s i,j. Then c s,j,k,l +δ k,i c i,j,s,l +δ l,i c i,j,k,s = δ k,s c i,j,i,l +δ l,s c i,j,k,i for i j and s i,j, and all k,l.

155 II.4 Konstitutive Beziehungen 155 For k = s and l = j this gives c s,j,s,j = c i,j,i,j for all i j and s i,j. From now on let us consider only C := ( ) c i,j,k,l given by (II4.26), that is the i,j,k,l=1,...,n symmetric part of C with respect to the first two indices. Since also C is a constant objective 4-tensor (the same for the corresponding antisymmetric part), we can apply all results also to C. In particular, the last identity becomes c s,j,s,j = c i,j,i,j for all i j and s i,j, which by symmetry means that c ĩ, j,ĩ, j = c i,j,i,j for all i j and ĩ j. Hence for some number a a i,j = a for all i j. Therefore c i,i,i,i = b + 2a from (II4.29). Summing up, we have shown that C has the following structure: c i,j,k,l = 0 except that c i,i,k,k = b for all k i, c i,i,i,i = b+2a for all i, c i,j,i,j = c i,j,j,i = c j,i,i,j = c j,i,j,i = a for all j i. (II4.30) This means that c i,j,k,l = a(δ k,i δ l,j +δ l,i δ k,j )+bδ k,l δ i,j for all i,j,k,l. (II4.31) Or equivalently, for all matrices M = (M i,j) i,j=1,...,n n k,l=1 c i,j,k,lm k,l = a (M i,j +M j,i)+b trace(m) δ i,j, that is, C satisfies (II4.18).

156 II.5 Übungen Übungen 5.1 Gruppeneigenschaft. Zeige: Eine Menge G von Matrizen hat die Gruppeneigenschaft bzgl. der Matrixmultiplikation genau dann, wenn die zugehörige Menge der Transformationen T (wie in 1.1) die Gruppeneigenschaft bzgl. der Hintereinanderschaltung hat. 5.2 Lorentz Transformation. Zeige, dass die Lorentz Transformation L c(v,q) die Determinante 1 hat. Lösung. Bezüglich der Vektoren [ ] 1 0 und [ 0 V V ] hat die Lorentz Transformation nach (II2.3) die Matrix [ ] ( γ ) γ V 1 γ 1, γ V γ deren Determinante gleich 1 ist. Auf dem zu den beiden Vektoren senkrechten Raum ist die Transformation die Identität (siehe (II2.3)). 5.3 Übung. Let = const > 0 and ω R and x 2 x 1 cos(ωt) sin(ωt) 0 v(t,x) = x 1, f = x 2, Q(t) = sin(ωt) cos(ωt) Then (1) The mass and momentum equations are satisfied. t +div( v) = 0, t( v)+div( vv T ) = f (2) If we define new variables (t,x ) by t = t, x = Q(t )x, then with respect to these variables the physical quantities are =, v = 0, f = 0. They fulfil also the mass-momentum system. Reminder: is an objective scalar, v a velocity, f a (classical) force. Lösung (1). The only nontrivial terms are x 2 div( v) = div x 1 = 0, 0 x 2 div( vv T 2 x 1x 2 0 x 1 ) = div x 1x 2 x = x 2 = f

157 II.5 Übungen 157 Lösung (2). The definitions of the physical quantities imply Qv = v Y Ẋ = v Y Qx = (v QQ T x) Y = 0 and Qf = f Y (Ẍ +2 Qv ) = f Y Ẍ = (f QQ T x) Y = Konstitutive Beziehung. Sei u ein objektiver Skalar sowie a und a objektive Vektoren. Zeige: (1) Die Beziehung u = û(a,b) ist objektiv, d.h. û ist dieselbe Funktion für verschiedene Beobachter, falls û(qa,qb) = û(a,b) für alle Werte von a und b und alle orthogonalen Matrizen Q mit positiver Determinante. (2) Dies ist erfüllt, falls es eine Funktion ũ gibt mit û(a,b) = ũ(a b). 5.5 Objektive Gleichung und Ungleichung. Es seien a und b objektive Vektoren. Dann ist a b 0 eine objektive Ungleichung. Ebenso die Gleichung a b = 1. Lösung. Ist (t,x) = Y(t,x ) eine Newton sche Beobachtertransformation, so gilt a Y = Qa und b Y = Qb, also a b = (Qa ) (Qb ) = a b. Also ist u := a b ein objektiver Skalar, somit u 0 dieselbe Ungleichung für alle Beobachter und u = 1 dieselbe Gleichung für alle Beobachter. 5.6 Substantielle Ableitung. Ist v eine Geschwindigkeit und g ein objektiver Skalar, so ist auch ġ := tg +v g ein objektiver Skalar. 5.7 Transformationsformel. Es sei w ein objektiver Vektor und ẇ definiert wie in 5.6 mit einer Geschwindigkeit v. Zeige: Dann gilt die Transformationsformel ẇ Y = Qw +Qẇ Beachte: ẇ benötigt v zu Definition, während ẇ = (w ). mit v definiert ist. Lösung. Es gilt nach der Kettenregel t (w Y) = ( tw) Y + i Ẋ i( xi w) Y, x j (w Y) = i Q ij( xi w) Y.

158 II.5 Übungen 158 Wegen w Y = Qw gilt x j (w Y) = Q x j w, t (w Y) = Qw +Q t w, also wegen v Y = Ẋ +Qv ẇ Y = ( tw +v w) Y = ( tw) Y +v Y ( w) Y = ( tw) Y + (Ẋi + Q ijvj)( xi w) Y i j = t (w Y)+ j v j x j (w Y) = Qw +Q t w + j v jq x j w = Qw +Qẇ. 5.8 Objektiver Tensor. Sei n 3 and Π ein objektiver Tensor, der nur von objektiven Skalaren abhängt. Dann gibt es ein p R, so dass Π = pid, und p hängt von jenen objektiven Skalaren ab. 5.9 Objektiver Tensor. Sei S ein objektiver Tensor, q ein objektiver Vektor. Zeige: Die Gleichung S = Ŝ(q) mit Ŝ( q) := q qt für alle q R n definiert eine objektive Funktion Ŝ, d.h. sie ist dieselbe Funktion für alle Beobachter Objektiver Tensor. Sei S ein Tensor. Es gelte, dass Sn für jeden objektiven Vektor n einen objektiven Vektor ergibt. Zeige, dass dann S ein objektiver Tensor ist. Hinweis: n kann jeden Vektor annehmen Darstellung bzgl. einer Basis. Es seien D = (d ij) ij und E = (e ij) ij Matrizen mit d ij = λ k e ki e kj, e k = (e ki ) i, k wobei λ k R Zahlen seien. Zeige: (1) Es gilt D = n λ k e k e T k = E k=1 λ λ n E T. (2) Sindλ k objektiveskalareunde k objektivevektoren, alsoλ k Y = λ k unde k Y = Qe k, so gelten die Transformationsformeln E Y = QE, D Y = QD Q T Entropie. Es sei η ein objektiver Skalar und es seien (,v,e) Größen, die sich wie die Dichte, die Geschwindigkeit und die Energie verhalten. Es gelte mit einer objektiven Funktion η η = η(,v,e)

159 II.5 Übungen 159 Dann folgt mit einer neuen konstitutiven Funktion η η = η(,ε), ε := e 2 v 2. Bemerkung: Es ist also η(,v,e) = η (,e 2 v 2) Deformationsgradient. Sei η eine objektiver Skalar und F transformiere bei Beobachterwechsel wie der Deformationsgradient, d.h. Es sei F Y = QF für alle orthonormalen Q mit Determinante 1. η = η(f) mit einer objektiven Funktion η. Zeige dann: (1) Es ist η F F T symmetrisch. (2) Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn η = η(f T F) mit einer Funktion η. Beachte: Es ist η F F T = ( k η F ik F jk )ij.

160 III Energie und Entropie Als wesentlicher Beitrag zur Kontinuumsphysik wird das Entropieprinzip gesehen. Das Entropieprinzip wurde im 19. Jahrhundert formuliert bei der Entwicklung und Optimierung von Maschinen 1, d.h. bei der Übertragung von Wärme auf Bewegung [ Die Wärme wurde in Kohleöfen produziert und später durch flüssige fossile Brennstoffe teilweise ersetzt. Diese Grundlagen der Thermodynamik werden auch heute in einer axiomatischen Weise formuliert und als Hauptsätze der Thermodynamik den Studenten vermittelt. Hier ein Beispiel: [MIT, Lecture on Thermodynamics (Spakovszky, Fall 2008)]: Zeroth Law. There exists for every thermodynamic system in equilibrium a property called temperature. Equality of temperature is a necessary and sufficient condition for thermal equilibrium. First Law. There exists for every thermodynamic system a property called theenergy. Thechangeofenergyofasystemisequaltothemechanicalwork done on the system in an adiabatic process. In a non-adiabatic process, the change in energy is equal to the heat added to the system minus the mechanical work done by the system. Second Law. There exists for every thermodynamic system in equilibrium an extensive scalar property called the entropy, S, such that in an infinitesimal reversible change of state of the system, ds = dq/t, where T is the absolute temperature and dq is the amount of heat received by the system. The entropy of a thermally insulated system cannot decrease and is constant if and only if all processes are reversible. (This is the so-called axiomatic formulation ) Das Nullte Gesetz der Thermodynamik besagt, dass es überhaupt eine Temperatur gibt, die für das physikalische Verhalten des Systems von Bedeutung ist, und dass diese mit der Energie und Entropie in Zusammenhang steht. Das Erste Gesetz der Thermodynamik postuliert, dass wir das System von Erhaltungssätzen, gemeint ist hier die Massen- und Impulsbilanz, durch 1 nach Jahrhunderten mit Windkraft (Mühlen) und Wasserkraft (durch Höhendifferenz mittels Schaufelrädern) 160

161 CHAPTER III. ENERGIE UND ENTROPIE 161 eine Erhaltungsgleichung t e+div q = g abschließen, wobei wir hier nur den Fall von glatten Funktionen diskutieren. Es ist e die Energie (totale Energie, gesamte Energie) des Systems, das Vektorfeld q der zugehörige Energiefluss und g die Energieproduktion. Diese Größen sind Funktionen von (t, x). Der Energiefluss q enthält die Wärme, die den System zugefügt wird. Die Energie e enthält die kinetische Energie, was wir schon in II.3.13 studiert hatten. Das Zweite Gesetz der Thermodynamik postuliert die Existenz einer Größe Entropie. Die Eigenschaft, dass the entropy of a thermally insulated system cannot decrease, ist in obigem Text nicht quantifiziert, deswegen entnehmen wir deren weitere Eigenschaften dem Buch von De Groot & Mazur [5]: [De Groot & Mazur (1962), Chapter III page 20]: According to the principles of thermodynamics one can introduce for any macroscopic system a state function S, the entropy of the system, which has the following properties. The variation of the entropy ds may be written as the sum of to terms (1) ds = d e S + d i S, (2) d i S 0 ( The Second Law of Thermodynamics ), (4) d e S = dq T ( Theorem of Carnot-Clausius ), (III0.1) where d e S is the entropy supplied to the system by its surroundings, and d i S the entropy produced inside the system. After a remark, with reference to the next pages of the book, it is said: [De Groot & Mazur (1962), Chapter III page 21]: We may remark at this point that thermodynamics in the customary sense is concerned with the study of the reversible transformations for which the equality (2) holds. In thermodynamics of irreversible processes, however, one of the important objektives is to relate the quantity d i S, the entropy production, to the various irreversible phenomena which may occur inside the system. Before calculating the entropy production in terms of quantities which characterize the irreversible phenomena, we shall rewrite (1) and (2) in a form which is more suitable for the description of systems in which the densities of the extensive properties (such as mass and energy...) are

162 CHAPTER III. ENERGIE UND ENTROPIE 162 continuous functions of space coordinates. Let us write (6) S = sdl n ds, V dt = d sdl n, dt V d e S (7) = J s,tot ν V dh n 1, dt V d i S (8) dt = σdl n, V where s is the entropy per unit mass, J s,tot the total energy flow per unit area and unit time, and σ the entropy source strength or entropy production per unit volume and unit time. (The notations of measures are changed compared with the original, and one has to set n = 3.) Here V is the test volume and ν V the outer unit normal on V. It is meant, that the equation d dt V sdl n = V holds. The text continuous as follows: J s,tot νdh n 1 + V σdl n [De Groot & Mazur (1962), Chapter III page 22]: With (6), (7) and (8), formula (1) may be rewritten, using also Gauss theorem, in the form ( t ( s)+divj s,tot σ ) dl n = 0. V From this relation it follows, since (1) and (2) must hold for an arbitrary volume V, that (10) t ( s)+divj s,tot = σ, (11) σ 0. These two formulae are the local forms of (1) and (2), i.e. the local mathematical expression for the second law of thermodynamics. Die Kenntnis des Entropieprinzips hat sich also im Laufe der Entwicklung sehr verfeinert. Deshalb geht man heutzutage davon aus, dass das Zweite Gesetz der Thermodynamik in dieser lokalen Version erfüllt ist, das heißt es gilt t η +divψ = σ 0, (III0.2) wobei wir also η setzen für die Entropie (in obiger Schreibweise s bezeichnet s die spezifische Entropy, d.h. die Entropy pro Masseneinheit) und ψ für den Entropiefluss (in obiger Notation J s,tot ). An dieser Stelle ist es wichtig zu sagen, dass es für das Weitere wesentlich ist, dass die Größen

163 CHAPTER III. ENERGIE UND ENTROPIE 163 Entropie und Entropiefluss in ihrer speziellen Gestalt nicht von vorneherein gegeben sind, so wie es noch bei dem Theorem von Carnot-Clausius (siehe dazu (III0.1)) der Fall ist, es ist vielmehr so, dass diese Größen sich aus dem Zusammenhang erschließen. Sie ergeben sich also aus der speziellen physikalische Situation. Referenzen: Das Entropieprinzip findet sich in DeGroot & Mazur [5, Chapter III Entropy law and entropy balance], in I.Müller [51, 5 Entropy principles], und in Wilmanski [10, 6 Entropy principle]. Es sei noch auf Hutter [7, 6.1 Grundsätzliches sowie geschichtliche Bemerkungen] verwiesen. Wegen der weiten Verbreitung sei auch auf die historischen Anmerkungen in der statistischen Physik [50, Kap. II Die thermodynamischen Größen] hingewiesen. Die Ungleichung (III0.2) ist die Entropieungleichung, die wir im Folgenden betrachten werden. Und diese Entropieungleichung ist ein Prinzip, das unangefochten gilt.

164 III.1 Entropieungleichung Entropieungleichung Was ist Entropie? Die Entropie η ist eine Größe, die sich für zwei Beobachter, die durch eine Koordinatentransformation (t,x) = Y(t,x ) definiert sind, mit η Y = η transformiert. Die Entropie ist also ein objektiver Skalar. Darüberhinaus gilt für sie das 1.1 Entropieprinzip. Ist P eine Klasse von physikalischen Prozessen, so existieren für jeden Prozess in P Größen η, die Entropie, und ψ, der Entropiefluss, so dass gilt σ := t η +divψ 0 (III1.1) in dem Gebiet U R R n, in dem der Prozess definiert ist. Hier ist σ die Entropieproduktion. 2 Von der Differentialgleichung t η + divψ = σ verlangen wir, dass sie eine skalare Gleichung ist. Diese Gleichung heißt auch Entropiegleichung oder Entropieidentität. Die Eigenschaft dass die Entropieidentität eine skalare Gleichung ist, ist durch die Entropieungleichung σ 0 motiviert, denn diese Ungleichung muss für alle Beobachter gelten (siehe II.4.4). 1.2 Eigenschaft. Nach II.3.2 ist (III1.1) eine skalare Gleichung, falls η Y = η, ψ Y = η Ẋ +Qψ, σ Y = σ, das heißt insbesondere, dass η ein objektiver Skalar ist. Da σ ein objektiver Skalar ist, ist die Ungleichung σ 0 objektiv. Bemerkung: Dass die Entropie nichttrivial (z.b. nicht null) ist, ist in der Definition nicht gesagt, es gilt aber, dass die gemeinte Entropy mit ihren physikalischen Eigenschaften diese Eigenschaft erfüllt. Die Entropiegleichung ist also objektiv, wenn ihre distributionelle Version ( t ζη + ζ ψ +ζσ)dl n+1 = 0 für ζ C0 (U) (III1.2) U sich mit ζ Y = ζ transformiert, wobei Y die Beobachtertransformation ist. Dies sagt, dass das Gleichungssystem und die konstitutiven Gesetze irgendwie sein können, nur dass am Ende die Entropieungleichung als skalare Differentialgleichung existieren muss. Auf der anderen Seite ist natürlich 2 Die Notation σ stammt von dem Buch DeGroot & Mazur [5]. Sie kollidiert nicht mit der Notation S für den Stresstensor

165 III.1 Entropieungleichung 165 klar, dass eine Entropieungleichung für die Klasse P nur erfüllt ist, wenn das Gleichungssystem und die konstitutiven Gesetze, welche P chrakterisieren, beim Beweis der Entropieungleichung benutzt werden. (Aus diesem Grund ist eine mathematisch genaue Definition schwierig.) It is not a big deal to generalise the entropy principle to the case of distributions: There exists an entropy H and an entropy flux Ψ such that th +divψ 0 in D (U), (III1.3) if U is the domain of consideration. This distributional entropy principle applies to cases, where one has different media touching each other. In diesem Fall sind die Distributionen H und Ψ gegeben durch Anteile in den Medien und ggf. Beiträge auf den Interfaces. Diese Distributionen können Limes von Standardfunktionen sein, man betrachtet also Limiten. Geht man zu gewissen Limiten über, so kann es sein, dass diese distributionelle Ungleichung in dieser Form im Limes nicht gilt, obwohl die Entropieungleichung für die Folge erfüllt ist. Wir haben also gewisse Sonderfälle zu berücksichtigen, wo im Limes sich das Entropieprinzip aufsplitten kann (bei gewissen Phasenfeldapproximationen). ein Term der Folge als Entropieproduktion auftritt (Wärmestrahlung). Es sei bemerkt, dass in der Folge, die zu einem solchen Limes führt, das Entropieprinzip in der Form (III1.3) erfüllt ist. Es ist die Aufgabe, in konkreten Beispielen die Entropieproduktion σ zu berechnen und deren Positivität in Voraussetzungen an die konstitutiven Gleichungen umzumünzen. Das heißt, dass für konkrete Materialien die konstitutiven Beziehungen so gewählt werden müssen, dass das Entropieprinzip gilt, wobei seinerseits die Entropieungleichung σ 0 die spezielle Kenntnis der Entropie bzw. des Entropieflusses verlangt. Somit gehört die Wahl der Entropie, obwohl diese nicht bei den Gleichungen, welche eben dieses Material beschreiben, benutzt werden, zur Beschreibung eines konkreten Materials. Die Entropie geht also in die konstitutiven Funktionen ein. Wir tun dies hier als Beispiel in einem Spezialfall, wenn auch an einem wichtigen. 1.3 Beispiel aus der Gastheorie. Die Menge der physikalischen Prozesse P sei bestimmt durch Lösungen der Gleichungen t +div( v) = 0, t ε+div(εv +q) = pdivv, (III1.4) wobei, ε und p objektive Skalare seien, sowie v eine Geschwindigkeit und q ein objektiver Vektor sei. Weiter mögen für P noch Bedingungen gelten, die mit dem Entropieprinzip zusammenhängen. σ = t η +divψ 0

166 III.1 Entropieungleichung 166 Behauptung: Dieses Prinzip ist für P erfüllt ist, wenn gilt: η = η(,ε), p = p(,ε), η = η +(ε+p)η ε (Gibbs Relation), ψ = ηv +η εq (Clausius-Duhem Fluss), σ = η ε q 0 (Residualungleichung). Die Darstellung von (η, ψ) haben die allgemein verlangte objektive Eigenschaft (siehe 1.2). Zum Gas: Die Differentialgleichungen (III1.4) sind die Massenerhaltung und die Gleichung für die interne Energie. Dies gilt für ein Gas, d.h. für Flüssigkeiten ohne Viskosität (siehe II.3.13 und (III2.5)). Beweis. Es folgt, wenn η = η(,ε) ist, σ = t η +divψ (wenn ψ = ηv +ψ 0 ist) = t η +v η +ηdivv +divψ 0 = η +ηdivv +divψ 0, wenn h := ( t +v )h 3 für jede Funktion h ist. Da η = η(,ε) folgt η = η +η εε. Nun folgt aus den Differentialgleichungen für und ε erhalten wir + divv = 0, ε+(ε+p)divv +divq = 0, σ = η +ηdivv +divψ 0 = η +η ε ε+ηdivv +divψ 0 = (η η η ε(ε+p))divv η εdivq +divψ 0 = (η η η ε(ε+p))divv + η ε q +div(ψ 0 η εq). Die Wahl von ψ lässt den letzten Term verschwinden, und der erste divv- Term verschwindet, wenn der Druck p gemäß der Gibbs-Relation gewählt wird. Daraus folgt die Behauptung. 3 Es handelt sich um eine partielle Ableitung in (t,x), nämlich (1,v) = (1,v) ( t, ). Beachte: In den üblichen Notationen dh, ḣ, D dt t h, h für diese Ableitung kommt die Geschwindigkeit v nicht vor.

167 III.1 Entropieungleichung 167 Wann ist also das Entropieprinzip in diesem konkreten Fall erfüllt? Dann, wenn der Druck p durch die Gibbs-Relation gegeben ist und wenn für den Wärmefluss q der zweite Hauptsatz gilt, also die beiden Größen durch konstitutive Gleichungen an die neue Funktion η gebunden sind. Das heißt (wenn η ε 0), der Druck p erfüllt p = 1 η ε (η η εη ε), (III1.5) und q ist zum Beispiel gegeben durch das Fick sche Gesetz q = q(,ε, η ε) = ĉ(,ε, η ε ) η ε mit einem Skalar c = ĉ(,ε, η ε ) 0, (III1.6) siehe II.4.2 und II.4.5 (siehe auch II.4.6 und (III1.10)). Es ist dann η ε q = c η ε 2 0. Also a term q = M η ε with a positive semidefinite matrix M leads to the entropy inequality η ε q = η ε M η ε 0, and if M is an objective matrix, q stays to be an objective vector (see II.4.9). Es ist also eine Gleichung und eine Ungleichung, was das Entropieprinzip ausmacht. Beide Bedingungen sind gekoppelt durch die Entropiefunktion η. Die Ungleichung ist σ = η ε q 0. Es gibt auch Sätze, die bei gewissen konstitutiven Funktionen ψ sagen, wie Π und q auszusehen haben, wenn die Entropieungleichung erfüllt ist. Solche hinreichenden Bedingungen finden sich etwa in [62] und [12, Section 15]. Wir stellen nun den Zusammenhang mit der etwas älteren Literatur her, in der das Entropieprinzip auf Differentialformen basierte. Dies hat nur eine beschränkte Gültigkeit, da es das Entropieprinzip nur in speziellen Situationen beschreibt, so wie hier bei der Beschreibung von Gasen. 1.4 Gibbs Relation. Es seien p und η wie in 1.3 mit η ε > 0 und definiere θ = 1 η ε die absolute Temperatur, f = ε θη die innere freie Energie. Wenn wir weiter mit Index sp die zugehörigen spezifischen Größen, in einem Gebiet, in dem > 0 ist, bezeichnen, ε sp := ε, psp := p, ηsp := η, fsp := f, v sp := 1 das spezifische Volumen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

168 III.1 Entropieungleichung 168 (1) η = η +(ε+p)η ε (Gibbs Relation in 1.3). (2) η sp +(εsp +p sp )η sp ε = 0. (3) dη sp = 1 θ dεsp + p θ dvsp (vergleiche die Einleitung zum Kapitel). (4) df sp = η sp dθ pdv sp. (5) d(ε sp +p sp ) = θdη sp +v sp dp (ε sp +p sp ist die Enthalpie). (6) d(f sp +p sp ) = η sp dθ+v sp dp (f sp +p sp ist die freie Enthalpie). In den Aussagen 1.4(3) 1.4(6) handelt es sich um Identitäten im Raum der Differentialformen mit (,ε) als unabhängige Variable. Hat η εε ein Vorzeichen, so können auch (, θ) als unabhängige Variablen gewählt werden (siehe 1.5 unten). Mit f = f(,θ) folgt dann aus 1.4(4) (siehe auch die letzte Aussage in 1.6) θ fsp = η sp, fsp = p 2. (III1.7) Mit dem spezifischen Volumen v sp kann man auch schreiben θ fsp = η sp, v spfsp = p Beweis. Es ist ηsp +(ε sp +p sp ) ε ηsp = 1 2 ( η η +(ε+p) ) ε η und damit (2) äquivalent zu (1). Aussage (3) kann geschrieben werden als ( ) 1 dη sp η εdε sp η εpd = 0. Die ε-ableitung auf der linken Seite ist gleich und die -Ableitung ist ε ηsp η ε ε εsp = 0 ηsp η ε εsp η εp 1 = η ε+p +η ε 2 ( = 1 2 η ) η +η ε(ε+p),

169 III.1 Entropieungleichung 169 was wiederum die linke Seite von (1) ist. Daher ist (3) äquivalent zu (1). Die Aussage (4) ist wegen f sp = ε sp θη sp was äquivalent ist zu der Aussage (3). Die Aussage (5) ist dε sp θdη sp = pdv sp, dε sp +pdv sp = θdη sp, θdη sp = d(ε sp +p sp ) v sp dp = dε sp + d(pv sp ) v sp dp = dε sp +pdv sp, was (3) ist. Die Aussage (6) ist was (5) ist. df sp = dp sp η sp dθ +v sp dp = η sp dθ pdv sp, Die Aussagen dieses Satzes ändern sich, wenn sich die Parameter ändern, von denen die Entropie abhängt insbesondere, wenn die Entropie von Gradienten abhängt. Aus diesem Grund machen wir keinen Gebrauch von Differentialformen. Wir geben jetzt eine Definition der absoluten Temperatur, ohne die Gibbs Relation zu benutzen. Sie geht davon aus, dass die Entropie als Funktion der inneren Energie gegeben ist, wobei η εε 0 vorausgesetzt wird. Die inverse absolute Temperatur wird als duale Variable zur inneren Energie eingeführt. 1.5 Energie und Temperatur. Es sei η eine Entropie, die eine Funktion von ε und anderen Variablen ist (diese werden hier nicht geschrieben, sondern als Parameter aufgefasst). Es sei vorausgesetzt, dass η εε 0. Dann kann statt ε auch β := η ε(ε) die inverse absolute Temperatur als unabhängige Variable genommen werden (ein ε-intervall wird auf ein β-intervall abgebildet). Definiert man ϕ als duale Funktion zu η, also η(ε)+ϕ(β) = βε (III1.8) für β = η ε(ε), so gilt β = η ε(ε), ε = ϕ β(β), ϕ β =(η ε) 1, η ε =(ϕ β) 1, 1 = η εε(ε)ϕ ββ(β) für ε und β wie oben, und η gegeben: ϕ(β) = εη ε(ε) η(ε) für β = η ε(ε), ϕ gegeben: η(ε) = βϕ β(β) ϕ(β) für ε = ϕ β(β).

170 III.1 Entropieungleichung 170 Beachte: Die Funktionen hängen in der Regel noch von anderen Variablen ab, aber so, dass die Betrachtung sich nicht ändert. Das gilt, falls die Variablen (ε,u 1,...,u N ) und (β,u 1,...,u N ) sind, und die Transformation mittels gegeben ist. β = β(ε,u 1,...,u N ) und ε = ε(β,u 1,...,u N ) Es sind nicht nur ε und β duale Variablen, auch lässt sich ϕ aus der Entropie η berechnen und umgekehrt die Entropie η aus ϕ. Beweis. Die Gleichung (III1.8), geschrieben für β = η ε(ε), ist η(ε)+ϕ(η ε(ε)) = η ε(ε)ε. Die Ableitung nach ε dieser Identität ist η ε(ε)+ϕ β(η ε(ε))η εε(ε) = η εε(ε)ε+η ε(ε), was wegen der Voraussetzung η εε(ε) 0 äquivalent ist zu ϕ β(η ε(ε)) = ε, was ϕ β =(η ε) 1 beweist. Die übrigen Aussagen sind unmittelbare Folgerungen und die letzte Aussage folgt, indem wir β = η ε(ϕ β(β)) nach β ableiten, was das Folgende ergibt 1 = η εε(ϕ β(β))ϕ ββ(β). Dieses Resultat legt die Versuchung nahe, die inverse Temperatur statt der Temperatur selbst zu benutzen, traditionell ist aber die Temperatur die Variable, die betrachtet wird. Dass diese physikalische Größe von Bedeutung ist, sieht man daran, dass die Temperatur eine Messgröße (siehe 2.6) ist. Die inverse Temperatur ist ein Lagrange-Parameter (vgl. auch (III1.11)). Wir werden nun die absolute Temperatur θ als unabhängige Variable einführen und die innere freie Energie f wird die Rolle von ϕ übernehmen. Daher lässt sich f aus der Entropie η berechnen und umgekehrt die Entropie η aus der inneren freien Energie f. 1.6 Absolute Temperatur. In 1.5 werde ε ]ε min,ε max [ auf β ]0, [ abgebildet (es ist η ε > 0 und η ε bildet ]ε min,ε max [ auf ]0, [ ab, und

171 III.1 Entropieungleichung 171 normalerweise ist η εε < 0, also ist die Abbildung monoton fallend). Dann ist mit ϕ wie in 1.5 θ := 1 β die absolute Temperatur, so dass also Es ist und es gilt f(θ) := θϕ ( 1) die innere freie Energie, θ f = ε θη. 0 < 1 θ 3 = f θθ(θ)η εε(ε) für θ = 1 η ε(ε) η gegeben: f(θ) = ε θη(ε) für θ = 1 η ε(ε), f gegeben: η(ε) = f θ(θ) für ε = f(θ) θf θ(θ) = θ 2( f θ ) θ. In dieser Aussage wird die Gibbs-Relation nicht benutzt. Beweis. Es folgt alles aus der Identität η +ϕ = βε (III1.9) in 1.5. Aus (III1.9) folgt und daraus was zu zeigen war. Weiter gilt η + 1 θ f = 1 θ ε θη +f = ε, θ = 1 β = 1 η ε und ( f ε = ϕ β = θ) θ θ β = θ 2( f ) θ = f θ θf θ. Daraus folgt mit (III1.9) η = βε ϕ = 1 θ (f θf θ) f θ = f θ. Die Aussage über die zweiten Ableitungen folgt, indem ( 1 ) η(ε) = f θ η ε(ε)

172 III.1 Entropieungleichung 172 nach ε abgeleitet wird, η ε(ε) = f θθ(θ) ( 1 η ε(ε) ) ε = f θθ(θ) η εε(ε) η ε(ε) 2, was die angegebene Formel ergibt. Als Alternative leite die Gleichung ϕ(β) = βf ( 1) β nach β ab ϕ β(β) = f(θ)+βf θ(θ)θ β = f(θ) θf θ(θ) und erhalte nach einer weiteren Ableitung ϕ ββ(β) = (f θf θ) θθ β = θf θθ(θ) ( θ 2 ) = θ 3 f θθ(θ), was nun in die Gleichung 1 = η εε ϕ ββ eingesetzt werde. 1.7 Beispiel. Als Beispiel nehmen wir die Entropiefunktion η(ε) = clogε. Dann ist (1) β = η ε(ε) = c ε, ϕ(β) = βε η = 1 clogε = 1+clog β c. (2) θ = 1 β = ε c, f(θ) = ε θη = cθ (1 log(cθ)). Also ist ε = cθ. Die konstitutiven Gleichungen werden üblicherweise in den Variablen (, θ) angegeben. So lautet das Fick sche Gesetz (vgl. (III1.6)) für den Wärmefluss q q = q(,θ, θ) = â(,θ, θ ) θ (III1.10) mit einem Skalar a = â(,θ, θ ) 0, wobei die Aussage a 0 durch die Entropieungleichung begründet ist. Zum Schluss dieses Abschnittes sei noch folgende allgemeine Prozedur genannt. 1.8 Hinweis (Lagrange Multiplikatoren). Das Entropieprinzip ist z.b. erfüllt, wenn die Menge der physikalischen Prozesse P gegeben ist durch die Erfüllung von Erhaltungsgleichungen tu k +divq k = r k für k = 1,...,N mit konstitutiven Beziehungen, und wenn (η, ψ) konstitutive Funktionen der Größen in P sind, die die folgende Ungleichung tη +divψ N Λ k ( tu k +divq k r k ) 0 k=1 (III1.11)

173 III.1 Entropieungleichung 173 für alle Funktionen (!) erfüllen, wobei die Λ k irgendwelche Multiplikatoren sind (siehe I. Müller [51, 5.4.3], I-Shih Liu [62], und auch Wilmanski [10, Theorem in 6.2. Entropy Inequality]). Dies ist eine hinreichende Bedingung für die Entropieungleichung. Ist die N-te Gleichung die Energieidentität, also u N = e, so ist dieselbe Gleichung wie in 1.6. Λ N = 1 θ, Allerdings lässt sich diese Prozedur nicht anwenden, wenn man distributionelle Erhaltungsgleichungen hat. Aus diesem Grund verzichten wir auf diese sehr effiziente Methode. Sie hat jedoch die folgende nichttriviale Anwendung: 1.9 Bemerkung. Sei eine Klasse von physikalischen Prozesse P gegeben durch die Erhaltungsgleichungen (incl. konstitutiven Beziehungen) t u k +divq k = r k für k = 1,...,N. Weiter seien ( η, ψ, σ) konstitutive Funktionen der Größen in P, so dass die folgende Identität t η +div ψ σ = N Λ k ( t u k +divq k r k ) k=1 (III1.12) für alle Funktionen gilt, wobei Λ k gewisse Funktionen (Lagrange Multiplikatoren) sind. Es folgt, dass die physikalischen Prozesse P äquivalent dadurch gegeben sind, dass t u k +divq k = r k für k = 1,...,N 1, t η +div ψ = σ, (III1.13) falls überall Λ N 0, und falls die konstitutiven Beziehungen in diesen Gleichungen umgeschrieben werden können. Das ist zum Beispiel für das Masse-Impuls-Energie System der Fall. Dieses kann dann also auch als Masse-Impuls-Entropie System geschrieben werden. Dies ist wieder ein Fall, wo die Äquivalenz der inneren Energie ε und der Temperatur θ als unabhängige Variable von Bedeutung ist. Man findet die Schreibweise mit Entropieidentität gelegentlich in der Elastizitätstheorie und in der Astronomie.

174 III.2 Energiegleichung Energiegleichung Was ist Energie? In der Einleitung dieses Kapitels es ist klar geworden, dass die Existenz der Energie der Inhalt vom Ersten Hauptsatz der Thermodynamik ist. Die totale Energie e hat verschiedene Aspekte, sie ist eine Größe, welche die kinetische Energie enthält, e = e int +e kin. die von der Temperatur abhängt, und so die Interaktion zwischen Bewegungsenergie und Temperatur beschreibt. deren Transformationsverhalten das von e kin ist. die nach dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik mit ihrer Gleichung das bestehende Massen- und Impuls-Differentialgleichungssystem abschließt. Für glatte Funktionen ist die Energiebilanz, also die Energieidentität, gegeben durch die letzte Gleichung des 2.1 Energiesystem. Im Abschnitt II.3 hatten wir die Energie schon kennengelernt, und zwar hatten wir in II.3.12 das allgemeine System t +div J = r, t ( v)+div Π = f, t e+div q = g (III2.1) betrachtet und es als Energiesystem definiert, falls dieses Gleichungssystem sich mit der Matrix (wir benutzen die Notation aus (II1.3)) Z := Ẋ Q 0 (III2.2) 1 2 Ẋ 2 Ẋ T Q 1 von Beobachter zu Beobachter transformiert. Hier ist e die(totale) Energie, also die gesamte Energie, das Vektorfeld q der zugehörige Energiefluss und g die gesamte Energieproduktion. Insbesondere transformiert sich die Energie durch die Gleichung e Y = 1 2 Ẋ 2 + Ẋ (Qv )+e. (III2.3) Dies besagt, dass zur Energie eine Dichte und eine Geschwindgkeit v gehört. Wir hatten dann in II.3.12 gezeigt, dass mit J = v +J, Π = vv T +vj T +Π, q = ev v 2 J+Π T v +q, (III2.4)

175 III.2 Energiegleichung 175 sich das allgemeine Masse-Impuls-Energie-System schreiben lässt als Masse-Impuls-Energie System: t +div( v +J) = r, t ( v)+div( vv T +vj T +Π) = f, t e+div(ev v 2 J+Π T v +q) = g, see the properties below in (III2.6) and (III2.7). (III2.5) Hierbei, siehe (II3.26), e = ε+ 2 v 2, ε innere Energie,, ε, r objektive Skalare, v eine Geschwindigkeit, d.h. v Y = Ẋ +Qv J, q objektive Vektoren, Π objektiver Tensor, (III2.6) und für die rechten Seiten in der Impuls- und Energiegleichung, siehe(ii3.27) and (II3.26), f = (r+j )v +f, f klassische Kraft, d.h. f Y = (Ẍ +2 Qv )+Qf, g = r 2 v 2 +v f +Dv (vj T +Π A )+g, g objektiver Skalar. (III2.7) Wegen der Definition der inneren Energie ε ist es wichtig, die Differentialgleichung für die kinetische Energie herzuleiten (analog zu (I3.20)). 2.2 Lemma. Aus der Massen- und Impulsbilanz folgt ( ( 1 t 2 v 2) +div 2 v 2 ( v +J)+Π v) T = v f v 2 r+dv (Π+vJ T ). Beweis. DieersteGleichungvon(III2.5)ist (mit h := ( t +v )h = (1,v) h) + divv = t +v + divv = t +div( v) = r divj. Daraus folgt wie beim Beweis von (I3.20), dass t ( v)+div( vv T ) = ( t +div( v) = r divj )v + ( t v +v v = v ),

176 III.2 Energiegleichung 176 also wird die zweite Gleichung in (III2.5) zu 4 v +divπ = ( t v +v v)+divπ = (r divj)v + t ( v)+div( vv T +Π) = rv DvJ+ t ( v)+div( vv T +vj T +Π) = f rv DvJ = f. Hieraus sehen wir die ersten beiden Gleichungen in 2.3. Für die kinetische Energie gilt nun (( 2 v 2)) = 1 2 v 2 +v ( v) = 1 2 v 2( r divj divv ) +v ( f divπ ) ( = 2 v 2) divv v 2 (r divj)+v f v divπ ( ( = 2 v 2) divv div Π T v + 1 ) 2 v 2 J +v f v 2 r+dv (Π+vJ T ). also ( ( 1 t 2 v 2) +div 2 v 2 ( v +J)+Π v) T = v f v 2 r+dv (Π+vJ T ). Wir leiten jetzt noch eine oft benutzte Darstellung her. 2.3 Lemma. Das allgemeine Masse-Impuls-Energie System (III2.5) ist äquivalent zu 5 t +div( v +J) = r, ( t v +v v)+divπ = f, t ε+div(εv +q) = (Dv) Π S +g. Reminder: Die erste und dritte Gleichung wurden in 1.3 genommen, und zwar für den speziellen Fall J = 0, r = 0, Π = pid, f = 0, g = 0. Die Annahme f = 0 kann nur für bestimmte Beobachter richtig sein. 4 Es ist v v = (v )v = j vj x v = (Dv)v 5 j Das innere Produkt von Matrizen ist M N := ijmijnij und das von Vektoren v w := i viwi

177 III.2 Energiegleichung 177 Beweis. Die zweite Gleichung der Behauptung wurde schon im vorigen Beweis gezeigt. Ziehen wir die Gleichung für die kinetische Energie 2.2 von der Energiegleichung ab, so erhalten wir wegen e = 2 v 2 +ε t ε+div(εv +q) = g v f 1 2 v 2 r Dv ( } {{ Π } +vj T ) =Π S +Π A = g Dv Π S Die Energiegleichung für die innere Energie wird häufig gebraucht, weswegen wir sie hergeleitet haben. Wir verlangen vom System (III2.5), dass das Entropieprinzip erfüllt ist. Es gilt folgendes 2.4 Theorem. Für Lösungen von(iii2.5) ist die Entropieungleichung erfüllt mit η = η(,ε), ψ = ηv +η J+η εq, wenn in den Differentialgleichungen (es sei η ε > 0) Π = pid S, η = η (ε+p)η ε, gilt und folgende Residualungleichung übrigbleibt. σ = η εdv S +η r+ η J+η εg + η ε q 0 Beweis. Das Differentialgleichungssystem (III2.5) ist äquivalent zu dem System in 2.3, was sich mit h = t h+v h für jede Funktion h auch schreiben lässt als + divv +divj = r, Nun ist v +divπ = f (Dv)J, ε+εdivv +divq = g (Dv) Π. η = η +η εε (III2.8)

178 III.2 Energiegleichung 178 und daher 0 σ = t η +divψ = t η +v η +ηdivv +div(ψ ηv) = η +ηdivv +div(ψ ηv) = η +η εε+ηdivv +div(ψ ηv) = η ( divv divj+r)+η ε( εdivv divq (Dv) Π+g) +ηdivv +div(ψ ηv) = Dv ( (η η εη ε)id η επ ) +η ( divj+r)+η ε( divq +g)+div(ψ ηv) = Dv ( (η η εη ε)id η επ ) +η r+ η J+η εg + η ε q +div(ψ ηv η J η εq). Daraus folgt die Aussage. Für die Gleichung eines Gases oder einer Flüssigkeit gibt es keine Massenproduktion r, sowie keine Massendiffusion J, und außerdem gilt die Energieerhaltung, d.h. es gibt keinen volumetrischen Wärmeterm, es ist g = 0, so dass sich also insgesamt die Residualungleichung auf σ = η εdv S + η ε q 0 bemisst. Verschiedene Beispiele für konstitutive Gleichungen für die freie Energie und die Entropie, die für verschiedene Materialien gültig sind, finden sich in den Übungen zu diesem Kapitel in Abschnitt 4. Nun noch eine Aussage über konstitutive Gleichungen, welche die Residualungleichung in 1.3 erfüllen. Wir zeigen, dass der Stresstensor S und der Wärmefluss q keine Kreuzterme aufweisen, falls beide linear in ((Dv) S, θ) vorausgesetzt werden. Diese Aussage ist zur Vervollständigung der Aussage in II.4.16 gedacht (siehe auch [12, Proposition 11.5]). 2.5 Proposition. Nimm an, der objektive Tensor Π und der objektive Vektor q hängen (affin) linear von (, θ,(dv) S ) ab, und Π sei symmetrisch, und ansonsten können sie von und θ abhängen. Dann folgt für n 3 aus Objektivität und Entropieprinzip, dass Π = pid S, p = p(,θ), S = â(,θ)(dv) S + b(,θ)div(v)id, q = ĉ(,θ) θ mit objektiven Skalaren p, a, b und c. Darüberhinaus gilt a 0, b+ a n 0, c 0.

179 III.2 Energiegleichung 179 Beweis (Objectivity of q). For q we have a constitutive equation q = q(,v,θ,,dv, θ). Then, since the function q is objective, also for another observer q = q(,v,θ,,dv, θ ). Since q Y = Qq, we obtain, applying known transformation rules (the rules for and v and their space derivatives), q(,ẋ +Qv,θ,Q, QQ T +QDv Q T,Q θ ) = Q q(,v,θ,,dv, θ ). For a given (t,x ) we can choose an observer transformation, such that at this given point Q(t ) = Id, and such that Ẋ(t ) is a given vector and Q(t )Q T (t ) a given antisymmetric matrix. This implies that q has to be independent of the v-variables and the antisymmetric part of the Dv-variable. Thus with a new constitutive function q = q(,θ,,(dv) S, θ), andsince(dv) S isanobjectivetensor(followsfromtheabovetransformation rule), the above identity now becomes q(,θ,q,q(dv ) S Q T,Q θ ) = Q q(,θ,,(dv ) S, θ ). For zero value of the derivatives, that is for vanishing value of (t,x ), (Dv ) S (t,x ), θ (t,x ) (for example choose a constant solution) we obtain q(,θ,0,0,0) = Q q(,θ,0,0,0). Since Q(t ) can be any orthogonal matrix independent of the values of (,θ ), this implies q(,θ,0,0,0) = 0. (III2.9) We reduce further objectivity properties to constant objective tensors. Using (III2.9) and since q is (affine) linear in the variables j, j θ, and j v, we have a representation q i = n â ij (,θ) j θ + n bij (,θ) j j=1 + n k,l=1 j=1 ĉ ikl (,θ) kv l + l v k 2 with coefficients a ij, b ij, and c ijk, where we can assume that c ikl = c ilk for all i,k,l = 1,...,n. Using that, θ are objective scalars, that q,, θ

180 III.2 Energiegleichung 180 are objective vectors, and that (Dv) S is an objective tensor, the identity q Y = Qq, that is q i Y = n Q iĩ q ĩ, we obtain n j, j=1 ĩ=1 â ij (,θ )Q j j j θ + n + n = n k,l, k, l=1 ĩ, j=1 + n j, j=1 bij (,θ )Q j j j ĉ ikl (,θ )Q k kq l l kv l + lv k 2 Q iĩâĩ j (,θ ) j θ + n ĩ, k, l=1 ĩ, j=1 Q (,θ iĩĉĩ k l ) kv l + lv k. 2 Q iĩ bĩ j (,θ ) j Now fix (t,x ). There is a process (,v,θ ) with given values and space derivatives at (t,x ). Thus fixing (t,x ) and θ (t,x ), varying over all space derivatives at (t 0,x 0 ), we see that the following identities have to be satisfied at (t 0,x 0 ): n j=1âij(,θ )Q = ñ j j i=1 Q (,θ iĩâĩ j ) for all i, j, n j=1 b ij (,θ )Q = ñ j j i=1 Q (,θ iĩ bĩ j ) for all i, j, n k,l=1ĉikl(,θ )Q k kq l l = ñ i=1 Q (,θ iĩĉĩ k l ) for all i, k, l. Note, that for the last identity we have used the symmetry of c ikl in k and l. The first identity is equivalent to â ij (,θ ) = ñ i, j=1 Q iĩ Q j jâĩ j (,θ ) for all i,j and all orthogonal matrices Q with positive determinant. This says, that (for fixed values of (t,x ) and θ (t,x )) the tensor (â ij (,θ )) i,j=1,...,n behaves like a constant objective tensor, which implies that it is a multiple of the identity (see II.4.17). The same follows for the b-term. The third identity is equivalent to ĉ ikl (,θ ) = ñ i, k, l=1 Q iĩ Q k k Q l lĉĩ k l (,θ ) for all i,k,l, and all orthogonal matrices Q with positive determinant. This says, that(for fixed values of (t,x ) and θ (t,x )) the 3-tensor (ĉ ikl (,θ )) i,k,l=1,...,n behaves like a constant objective 3-tensor, which is symmetric in the last two indices. This implies that it has to vanish. Thus it follows that q i = α i θ +β i (III2.10) with two objektive scalars α and β depending on (,θ).

181 III.2 Energiegleichung 181 Beweis (Objectivity of Π). For Π one obtains independence of v and the antisymmetric part of Dv in the same manner as for q. Then Π(,θ,0,0,0) = Q Π(,θ,0,0,0)Q T for all orthogonal matrices Q. This implies that Π(,θ,0,0,0) (for fixed values of and θ ) is a constant objective tensor, and therefore, for n 3, is a multiple of the identity, that is, Π(,θ,0,0,0) = p(,θ )Id. Then Π = pid S and S has a representation S ij = n â ijk (,θ) k θ + n bijk (,θ) k k=1 + n k,l=1 k=1 ĉ ijkl (,θ) kv l + l v k, 2 where we can assume that c ijkl = c ijlk for all i,j,k,l = 1,...,n. Now Π and then also S is an objective tensor, that is S ij Y = n ĩ, j=1 Q iĩ Q j j S ĩ, j. This leads, with the above notation, to the identities n k=1 a ijkq k k = ñ i, j=1 Q iĩ Q j j a for all i,j, k, ĩ j k n k=1 b ijkq k k = ñ i, j=1 Q iĩ Q j j b for all i,j, k, ĩ j k n k,l=1 c ijklq k kq l l = ñ i, j=1 Q iĩ Q j j c for all i,j, k, l. ĩ j k l Again we rewrite this so that we have Q-terms only on the right-hand side. This gives, that (a ijk ) i,j,k=1,...,n behaves like a constant objective 3-tensor. This implies that it is antisymmetric in each pair of indices (for n = 3, for n 4 it follows that a ijk = 0), hence a ijk +a jik = 0. Therefore this term gives no contribution to the symmetric part of S. The same follows for the b-term. The third identity gives that (c ijkl ) i,j,k,l=1,...,n is a constant objective 4-tensor, which is symmetric in the last two indices. Since S is symmetric, which is assumed, this implies that the symmetric part with respect to the first two indices is of the form c ijkl = a 2 (δ k,iδ l,j +δ l,i δ k,j )+bδ k,l δ i,j with two scalars a, b (see II.4.17 for this statement). Thus it follows that S ij = a 2 ( iv j + j v i )+bdivv δ i,j (III2.11) with two objektive scalars a and b depending on (,θ).

182 III.2 Energiegleichung 182 Beweis (Entropieungleichung). Es gilt ( 1 0 θσ = Dv S +θ q = Dv S θ) 1 θ θ q = a (Dv) S 2 +b(divv) 2 α θ θ 2 β θ θ indem wir die spezielle Darstellungen (III2.10) und (III2.11) eingesetzt und die Symmetrie von S ausgenutzt haben. Wir fassen dies jetzt auf als quadratische Gleichung in ((Dv) S, θ, ). Hierzu muss gezeigt werden, dass es lokale Lösungen gibt, wo an einem Punkte (t,x) die Gradienten (Dv) S (t,x), θ(t,x)und (t,x)beliebigvorgegebenewerteerreichen. Als quadratische Ungleichung ist dies nichtnegativ genau dann, wenn 6 a 0, b+ 1 a 0, α 0, β = 0. n Zum Schluss noch eine wichtige Aussage über die Messung der Temperatur, die auf der Tatsache beruht, dass η ε = 1 θ, also die inverse absolute Temperatur ein Multiplikator ist. Allerdings benötigen wir hierzu die Energieidentität für den Fall von Distributionen (was jedoch keine Schwierigkeit ist): Es gibt eine Energie E D (U) und ein Energiefluss Q D (U), so dass t E +div Q = G in D (U). (III2.12) Diese Definition der Energie wird in Fällen benötigt, in denen sich zwei Materialien treffen. Es sei bemerkt, dass die Transformation von Testfunktionen mit der Matrix Z in (III2.2) auch für den Fall von Distributionen das System, welches (III2.12) enthält, als Energiesystem definiert. Wir betrachten dies hier für den Fall, dass die Distributionen L 1 -Funktionen sind. Es ist dann in D (U) t [ ]+div[ J] = [r], t [ v]+div[ Π] = [f], t [e]+div[ q] = [g]. (III2.13) Es ist dabei offensichtlich, wie die Matrix Z in (III2.2) für Testfunktionen zu verwenden ist. Das elementare Beispiel hier ist das 2.6 Thermometer. Wir wollen die Temperatur messen, und zwar sei U = R (D Γ D m ), wobei R D das zu vermessende Gebiet ist und R D m die Position des Meßgeräts sei. Wir geben eine Situation vor, in der keine Geschwindigkeit 6 Für jede n n-matrix ist M 2 = M 1 n (tracem)id n (tracem)2.

183 III.2 Energiegleichung 183 auftritt, also gleich 0 ist, und auch die äußeren Kräfte seien 0. Dann lauten die Impuls- und die Energiegleichung in D (U) 7 divp = 0, P = pidµ R D +p m Idµ R Dm, t E +divq = 0, E = εµ R D +ε m µ R Dm, Q = qµ R D +q m µ R Dm. Unter der Voraussetzung, dass auf dem Rande keine Entropie auftritt, und durch den Rand Wärme fließt, folgt unter der Clausius-Duhem Annahme θ = θ m auf R Γ. Hinweis: Dies besagt, dass die absolute Temperatur im Berührungsbereich Γ zwischen dem Gebiet und Messstab gleich ist. Ist die Temperatur im Gebiet höher als im Messstab, so wird q ν D > 0 sein. Die Messung beeinflusst also die Temperatur im Gebiet. Wartet man lange genug, so wird θ m im ganzen Messstab gleich sein und dann als Messung die Temperatur des Gebietes anzeigen. Abb. 1: Temperature in Fahrenheit, Réaumur, Celsius and Kelvin (Absolute temperature). It is 0 C = K, see [Wikipedia: Kelvin]. Die gebräuchlichen Quecksilberthermometer mit ihren Fundamentalpunkten from Grimsehl s Lehrbuch der Physik. 7 Es ist µ G(A) := L 4 (A G) für G R R 3.

184 III.2 Energiegleichung 184 Beweis. Zunächst gilt die Entropieungleichung t H +divψ = Σ 0 in D (U). (III2.14) Die Voraussetzung, dass die Clausius-Duhem Identität außerhalb R Γ gilt, bedeutet die Entropieidentitäten ( q t η +div = σ 0 in R D, ( θ) qm ) t η m +div = σ m 0 in R D m, θ m und die Tatsache, dass auf R Γ keine Entropie auftritt (d.h. die Entropie nur von D und D m stammt), bedeutet H = ηµ R D +η m µ R Dm, Ψ = q θ µ R D + q m θ m µ R Dm, Σ = σµ R D +σ m µ R Dm. Die distributionellen Differentialgleichungen und die Entropieungleichung (III2.14) bedeuten also für Testfunktionen ζ D(Ω) ( ) xj ζpdl 3 + xj ζp m dl 3 dl 1 = 0 für j = 1,...,3, R D D m ( ) ( t ζe+ ζ q)dl 3 + ( t ζe m + ζ q m )dl 3 dl 1 = 0, R D D m ( ( t ζη + ζ ( 1 R D θ q)+ζσ)dl3 + ( t ζη m + ζ ( 1 ) D m θ q m)+ζσ m )dl 3 dl 1 = 0. Das führt unter anderem zu den folgenden Gleichungen auf R Γ p m = p, q m ν D = q ν D, ( 1 θ q 1 θmq m ) ν D = 0. Da während des Messvorgangs q ν D 0, folgt daraus Das ist die Behauptung. θ m = θ auf R Γ.

185 III.3 Dissipationsungleichung Dissipationsungleichung Was ist freie Energie? Die innere freie Energie f ist eine Größe, die sich aus der inneren Energie und der Entropy berechnet durch die Formel f = ε θη. (III3.1) (Diese Identität kommt davon, dass 1/θ die duale Variable zu ε ist, ein Umstand, der nicht von der Gibbs-Gleichung abhing, siehe 1.6) Die gesamte innere Energie enthält dann wie die gesamte Energie noch den kinetischen Term, das heißt f + 2 v 2 = e θη. Wir betrachten nur den Fall einer glatten Größe f in einem Gemisch von Materialien, d.h. es ist hier nicht der Fall von Distributionen berücksichtigt. Die Gleichung (III3.1) hatten wir in 1.6 kennengelernt bei der Einführung der Temperatur. Wir werden hier am Ende des Paragraphen im isothermen Fall eine Definition bringen, die auf die Dissipationsungleichung zurückgeht. Dazu gehen wir aus von dem allgemeinen Masse-Impuls-Energie-System t +div( v +J) = r, t ( v)+div( vv T +vj T +Π) = f, t e+div(ev v 2 J+Π T v +q) = g, f = (r+j )v +f, (III3.2) g = r 2 v 2 +v f +v DvJ+Dv Π A +g, wobei sich die rechten Seiten f und g verhalten wie in (II3.27), d.h. f ist eine klassische Kraft und g ist ein objektiver Skalar. Das System ist nach 2.3 äquivalent zu t +div( v +J) = r, ( t v +v v)+divπ = f, t ε+div(εv +q) = (Dv) Π S +g. (III3.3) Wir beweisen 3.1 Dissipationsungleichung. Es gelte die Entropieungleichung in 1.1 für die Entropie η und den Entropiefluß ψ = ηv + q θ } {{ } Clausius-Duhem + ψ.

186 III.3 Dissipationsungleichung 186 IstdannΠsymmetrisch, sofolgtausdergleichungfürdieenergiein(iii3.3) L v ε θl v η +Π Dv + 1 θ θ q θdiv ψ g = θσ 0. Definition: Hier ist L v h := t h+div(hv). Beweis. Die beiden relevanten Gleichungen sind die Energiegleichung von (III3.3) und die Entropieidentität in 1.1 t ε+div(εv +q)+π Dv g = 0, t η +divψ = σ 0, was wir schreiben als (die zweite Gleichung multiplizieren wir mit θ 0) L v ε+divq +Π Dv g = 0, θ(l v η +div( q θ + ψ)) = θσ 0. Indem wir die Differenz bilden, erhalten wir was die Behauptung ist. 0 θσ = L v ε θl v η +Π Dv +divq θdiv( q θ + ψ) g ( 1 = L v ε θl v η +Π Dv θ q θdiv θ) ψ g, Für die innere freie Energie schreibt sich die Dissipationsungleichung als 3.2 Lemma. Die Dissipationsungleichung ist äquivalent zu t f +div(fv θ ψ)+π Dv g +R θ = θσ 0 mit einem Temperaturterm R θ := η( t +v )θ + θ ( 1 θ q + ψ ). (III3.4) Beweis. Wegen f = ε θη schreiben wir und weiter Daraus ergibt sich die Behauptung. L v ε θl v η = L v f +L v (θη) θl v η = t f +div(fv)+η( t θ +v θ), div(θ ψ) θdiv ψ = θ ψ.

187 III.3 Dissipationsungleichung 187 Referenzen: Siehe z.b. [28, The Dissipation Inequality] zur Dissipationsungleichung. Die Entropieungleichung findet sich dort in [28, (4.4.15)]. Siehe auch die Dissipationsungleichung in [Wikipedia: Clausius-Duhem inequality]. Addiert man nun zur Gleichung in 3.2 die Gleichung in 2.2 für die kinetische Energie ( ( 1 t 2 v 2) +div 2 v 2 ( v +J)+Π v) T 1 (III3.5) 2 v 2 r v f Dv (Π+vJ T ) = 0, so erhält man 3.3 Freie Energieungleichung (θ variabel). Sei Π symmetrisch, f = ε θη, ψ = ψ 1 θ q. Ist dann für (η, ψ) das Entropieprinzip erfüllt, so gilt ( t f + ( 2 v 2) +div (f + 2 v 2 )v + 1 ) 2 v 2 J+Π T v θ ψ g +R θ = θσ 0. Dabei hat g die Eigenschaft in (III3.2) und R θ ist definiert wie in (III3.4). Es heißt f tot = f + 2 v 2 die (totale) freie Energie. Diese Identität ist auch äquivalent zum Entropieprinzip, d.h. zur Entropieungleichung. Das sieht man leicht, wenn die Schlüsse umgekehrt ausgeführt werden. 3.4 Hinweis. Lässt man nun θ const gehen, so erwartet man, dass R θ 0. Dies zu zeigen, ist nicht ganz offensichtlich. Beim Limes θ const betrachtet man nämlich eine Folge von Lösungen mit q. Das Entropieprinzip gibt, dass ( 1 θ) q im L 1 -Raum über die Raumzeit ist, was eine natürliche Beschränkung an die Lösungen der Folge ist. Aber es ist nicht klar, dass diese Funktion gegen 0 konvergiert. Man kann diese Schwierigkeit auch vermeiden, indem man voraussetzt (was meistens erfüllt ist). θσ 1 θ θ q 0

188 III.4 Übungen 188 Es ist nun klar, dass die freie Energieungleichung eine Konsequenz des Entropieprinzips ist und zwar im isothermen Falle, d.h. wenn θ = const > 0 und dann auch kein Wärmefluß in den Gleichungen vorhanden ist. In diesem Fall formuliert man also 3.5 Freie Energieungleichung (θ = const). Für alle physikalischen Prozesse in P gibt es eine (totale) freie Energie f tot und einen zugehörigen Fluß ϕ tot, so dass σ f := t f tot +divϕ tot g tot 0. Hierbei ist die Funktion g tot auf der linken Seite so zu wählen, dass die linke Seite dieser Ungleichung ein objektiver Skalar ist. Nur dann ist die Ungleichung beobachterunabhängig. Bemerkung: Im Falle von 3.3 gilt σ f = θσ. Es gelten analoge Bemerkungen wie zum Entropieprinzip. Die freie Energieungleichung wird oft ohne Kenntnis der Temperatur angewandt. Es ist im glatten Fall, wenn die Gesamtmasse ist, und v die Gesamtgeschwindigkeit, die (totale) freie Energie gegeben durch f tot = f + 2 v 2 mit der inneren freien Energie f. DiefreieEnergiehat das gleichetransformationsverhalten wie die Energie, d.h. im Falle dass die freie Energieungleichung gilt, ist keine Energiegleichung vorhanden, was die notwendige Konsequenz aus der Konstanz der Temperatur ist. Die Temperatur war ja die duale Variable zur inneren Energie. Es sei noch die distributionelle freie Energieungleichung erwähnt. Sie lautet: Für alle physikalischen Prozesse in P gibt es eine totale freie Energie F tot D (U) und einen zugehörigen Fluß Φ tot D (U;R n ), so dass tf tot +divφ tot G 0, wobei G D (U) ist, so dass die linke Seite ein objektiver Skalar ist. Wir werden im nächsten Kapitel noch Beispiele kennenlernen. 4 Übungen 4.1 Ideales Gas. Wende 4.2 an auf ε = c v θ, p+ε = c p θ, mit c p > c v. Zeige: η = c v log p γ +const, γ := cp c v.

189 III.4 Übungen Übung. Der Druck sei als Funktion p = p(,θ) gegeben, ebenso die innere freie Energie ε = ε(, θ). Berechne daraus die Entropie, wenn die Gibbs Relation erfüllt ist. 4.3 Lemma. Gegeben sei eine Entropie der Gestalt η = η(ε,u 1,...,u N) mit beliebigen Größen u 1,...,u n. Es sei η ε > 0 und η εε 0. Sei Dann ist θ(ε,u 1,...,u N) := 1 η ε(ε,u 1,...,u N), f(θ,u 1,...,u N) := ε θη(ε,u 1,...,u N) für θ = θ(ε,u 1,...,u N). für i = 1,...,N und außerdem gilt f θ = η, f u i = θη u i f θθη εε = θ 3 > 0. Lösung. Aus f = ε θη folgt, wenn man bezüglich ε ableitet, f θθ ε = 1 θη ε θ εη = θ εη, also Die Ableitung bezüglich u i ergibt f θ = η. f θθ u i +f u i = θη u i θ u i η, also wegen f θ = η f u i = θη u i. 4.4 Energieerhaltung. Sei µ ξ wie in I.3.1 Lösung der Impulsgleichung wie dort. Zeige, dass dann für die kinetische Energie die Gleichung im Raum der Distributionen gilt. t( m 2 v 2 µ ξ )+div( m 2 v 2 vµ ξ ) = v fµ ξ

190 IV Modellgleichungen Nachdem wir die wesentlichen Prinzipien eingeführt haben, werden wir nun einige ausgewählte Beispiele angeben, bei denen die Objektivität und das Entropieprinzip bzw. die freie Energieungleichung benutzt werden. Wir werden darüberhinaus einige explizite Lösungen kennenlernen, die einen Einblick in die verschiedenen Anwendungen geben. 1 Ebbe und Flut Wir hatten in II.3.10 schon darauf hingewiesen, dass der Begriff Inertialsystem nur approximativ zu verwenden ist. Wegen der physikalischen Bedeutung dieses Begriffes geben wir hier ein Beispiel. Bei diesem Beispiel wird nur die Massen- und Impulserhaltung benutzt, wobei als zusätzliche Gleichung die Gravitation der beteiligten Körper verwandt wird. We study the effect of gravity on the system of earth and moon. This is an important usage for the notion of inertial frames defined in II As observer with coordinates (t,x ) we see the two celestial bodies (de: Himmelskörper) from the outside, that is, B (t ) R 3 is the domain occupied by the earth and B (t ) R 3 the one occupied by the moon. The mass densities are (t,x ) (t,x ), which is positive in B (t ) and 0 outside B (t ), and (t,x ) (t,x ), which is positive in B (t ) and 0 outside B (t ). The center of mass of the system (de: Schwerpunkt des Systems) we denote by x 0 which is defined by ( ) 0 = (t,x )+ (t,x ) (x x 0)dx. (IV1.1) R 3 The purpose of this definition is that we let the observer be located at the center of mass, therefore x 0 = 0. The total mass distribution of earth and moon is +, and for this system the mass and momentum equations 190

191 IV.1 Ebbe und Flut 191 are (in the sense of distributions we use the formulation for L -functions) t [ + ]+div x [( + )v ] = 0, t [( + )v ]+div x [( + )v v T +Π ] = [g( + ) φ ], div x ( [ x φ ]) = [ + ], (IV1.2) where the last equation is the equation for the gravity field φ. Since the gravity of moon and earth is the only force term f := g( + ) φ, this coordinate system is considered as inertial system, that is, other effects like the gravity of the sun are neglected (this has an effect mainly when earth, moon, and sun are positioned on a line, which gives rise to a spring tide (de: Springflut)). Therefore besides the gravity of the two celestical objects there is no other source which influences the system. Doing so we show that the main effects of this system are a combination of the centrifugal force (de: Fliehkraft) and the attractive force (de: Anziehungskraft). (Hierzu siehe Abb. 1 und [Wikipedia: Tide] sowie [67].) Both forces are in fact related to each other, which is in some sense obvious since in the equations (IV1.2) there is only the g-term. Abb. 1: Ebbe und Flut (von Wikipedia) To come out with argumentations which are simpler, we make some special assumptions. We assume ( that ) earth and moon are ( both) approximated by balls B (t ) = B R x (t ) and B (t ) = B R x (t ), where the mass densities and are constant in B (t ) resp. B (t ). The total masses are given by M := (t,x )dx, M := (t,x )dx. R 3 R 3

192 IV.1 Ebbe und Flut 192 It is assumed that both masses M and M are constant. It is assumed that v and Π is located in B (t ) resp. B (t ), where the bodies are rotating around themselves. It is shown in 14.1 that a rotation changes the shape of a celestial body. These rotations results in a small change (of around 3% of the ball for the earth), therefore we do not consider this error here (or we assume that there is no rotation, which is not realistic). To make things concrete, here is a list of constants: R = km (mean radius), M = kg, R = km = 0.273R, M = kg = M, x x = km (semi-major axis). The potential φ can be split into φ = φ +φ with First we show div( φ ) =, div( φ ) =. (IV1.3) 1.1 Lemma. Under the assumptions the equations (IV1.2) imply that the centers x and x satify and fulfil the differential equations It is M ẍ +M ẍ = 0. 0 = M x (t )+M x (t ) (IV1.4) ẍ = g φ (,x ), ẍ = g φ (,x ). Beweis. Define := +. The equations (IV1.2) in the weak sense are for η D(R 3 ;R) 0 = ( t η +v η) d(t,x ) R 4 and for ζ D(R 3 ;R 3 ) 0 = ( t ζ ( v )+Dζ ( v v T +Π ))d(t,x ) R 4 + ζ (g φ )d(t,x ). R 4

193 IV.1 Ebbe und Flut 193 Let us first look at the earth. The mass equation we write with η(t,y) := η(t,y +x (t )) as 0 = ( t η +(v ẋ (t )) η ) d(t,y). R 4 Here y (t,y +x (t )) is equal to R in B R (0) = {y R3 ; y +x (t ) B (t )} and R further outside. We now choose η such that it is independent of y in a neigbourhoood of B R (0) and zero further outside. With this the integral becomes 0 = t ηd(t,y) = t η (t,y +x (t ))dydt, R 4 R R 3 from which it follows, that M is constant. Next we let a C0 (R,R3 ) and choose η = a(t ) y in a neigbourhoood of B R (0) and zero further outside. Then the integral becomes ( 0 = t η +(v ẋ ) a) d(t,y) = M πr 3 +M R 4 since a is arbitrary we conclude t a(t ) yd(t,y) R B R (0) } {{ } = 0 ( 1 ) πr 3 v dy ẋ B R (0) a(t )dt. R ẋ (t ) = v (t ) := 1 πr 3 B v (t,x )dx. Similar we obtain by looking at the moon that M is constant and ẋ (t ) = v (t ) := 1 πr 3 v (t,x )dx. In these integrals an arbitrary rotation of earth and moon is included. We now come to the conservation of momentum. Accordiing to the support write Π = Π +Π and near the earth choose ζ(t,y) := ζ(t,y +x (t )) in a neighbourhood of B R (0). We obtain for the momentum equation 0 = + ζ (g R φ )d(t,y). 4 B R 4 ( t ζ ( v )+D ζ ( v (v x )T +Π )) d(t,y)

194 IV.1 Ebbe und Flut 194 Choose now ζ independent of y in a neigbourhoood of B R (0) and zero further outside. With this the integral becomes and 0 = R t ζ R 3 v dydt + R 3 v dy = M πr 3 so that ( ). M ẋ = R 3 g φ dy = gm ( πr 3 φ B R (0) dy } {{ } = 0 by I.2.13 R ζ R 3 g φ dydt B R (0) v dy = M ẋ, ) + φ dy. B R (0) ( ) Since x φ (t,x ) is harmonic in B R x (t ) hence also the components of x φ (t,x ) we conclude from the mean value property of harmonic functions 1 πr 3 ( ) φ (t,x )dx = φ (t,x (t )), x (t ) B R therefore ( M ẋ ). (t ) = gm φ (t,x (t )). In the same way it follows near the moon ( M ). ẋ (t ) = gm φ (t,x (t )), and the sum of both terms is g ( M φ (t,x (t ))+M φ (t,x (t )) ) ( x = gm M (t ) x (t ) 4π x (t ) x (t ) 3 + x (t ) x (t ) ) 4π x (t ) x (t ) 3 = 0. Thus the two centers perform a movement in a two dimensional plane, which we assume to be the (x 1,x 2 )-plane. We do here not consider the general case (as in I.3.4) of an elliptic movement, rather we assume that x (t ) x (t ) has constant length and moves on a circular line in the (x 1,x 2 )-plane.

195 IV.1 Ebbe und Flut Lemma. For a circular movement of x (t ) x (t ) in the (x 1,x 2 )- plane we consider different variables with the transformation t = t, x = Q(t )x, cos(ωt ) sin(ωt ) 0 Q(t ) = sin(ωt ) cos(ωt ) 0, (IV1.5) ω 2 = GM D 3, M := M +M, where D is the (constant) distance of moon and earth. Then are constant vectors with x := Q(t )x (t ), x := Q(t )x (t ) 0 = M x +M x, D := x x. We can choose the coordinates so, that both points x and x ly on the x 1 -axis with negative value of x and positive value of x. Beweis. From (IV1.4) it follows that M M x (t ) = x (t ) x (t ) = M M x (t ) where M is the sum of the masses. The differential equations are ẍ = g φ (,x ) x = GM x x = GM M x 3 x x 3 M x, hence ẍ = GM x x 3x, and similarly ẍ = g φ (,x ) x = GM x x = GM M x 3 x x x 3 M, hence ẍ = GM x x 3x.

196 IV.1 Ebbe und Flut 196 Since x x by assumption is constant, ω 2 = GM x x 3 defines a constant ω and the differential equations are satisfied for x (t ) = Q x, x (t ) = Q x, cos(ωt ) sin(ωt ) 0 Q = sin(ωt ) cos(ωt ) 0, with constant vectors x and x if the coordinate x 3 is chosen appropriate. In fact, ẍ = ω2 x and ẍ = ω2 x. If we let Q(t ) :=Q 1 we have proved the assertion and x x = x x. Thus in the new coordinates we turn with the same speed as the moon surrounds the earth, it is a period of approximately 27.3 days, ω = 2π P, P = d ( sidereal period ). However our ω is defined in a different way, so that ω = (GM)1 2 D m3 with G = kgs 2, M = M +M = ( )kg, D := x x = km = m, ω = ( ( )) ( ) 3 2 s = ( ) s = s = 2π d ω. We now have to look more at the momentum equation near the earth, which tells us more about the tidal period, in particular it answers the question of two high waters during a tidal day, which is do to a combination of centrifugal force and force of attraction, both induced by gravity.

197 IV.1 Ebbe und Flut 197 Abb. 2: Zeitlicher Ablauf von Ebbe und Flut (von Wikipedia) 1.3 Theorem. Let d < 0 < d, where x = d e 1 and x = d e 1. More precisely M d + M d = 0. Then the momentum equation in (IV1.2) near the earth B R ( x ) becomes t ( v)+div x ( vv T +Π ) = f, f = f tide +g φ +2ω ( v 2,v 1,0), f tide = ω 2 (x 1,x 2,0)+g φ, ω 2 = GM D 3, M = M +M, D = d d, where f tide is the force induced by the gravity between moon and earth. Remark: For f tide we show 1.4. Beweis. The momentum equation in(iv1.2) in a neighbourhood of the earth reads t ( v )+div x ( v v T +Π ) = f := g φ,

198 IV.1 Ebbe und Flut 198 where φ = φ +φ is the gravity potential of earth and moon. We transform the coordinates to (t,x) = Y(t,x ) = (t,q(t )x ), where Q(t ) is defined in 1.2. Then the quantities are transformed by Y =, φ Y = φ, to give the transformed equation v Y = Ẋ +Qv, Π Y = QΠ Q T, t ( v)+div x ( vv T +Π ) = f, where f is given by (not writing arguments) f Y = (Ẍ +2 Qv )+Qf, (Ẍ +2 Qv ) = (Ẍ +2 QQ T (v Y Ẋ)) = (( Q 2 QQ T Q)x +2 QQ T v) = (( QQ T 2( QQ T ) 2 )x+2 QQ T v), Qf = g Q φ = g φ = g φ +g φ, hence where Since we obtain f = (( QQ T 2( QQ T ) 2 )x+2 QQ T v) +g φ +g φ = f tide +2 QQ T v +g φ, f tide := ( QQ T 2( QQ T ) 2 )x+g φ. QQ T 2( QQ T ) 2 = ω 2 I, 2 QQ T = 2ωA, I := 0 1 0, A := 1 0 0, x 1 v 2 Ix = x 2, Av = v 1, 0 0 f = f tide +2ω ( v 2,v 1,0)+g φ, f tide = ω 2 (x 1,x 2,0)+g φ.

199 IV.1 Ebbe und Flut 199 On the surface of the earth f tide has besides a term which shows in the direction of the normal two terms, which are directed towards the two vectors (R,0,0) and ( R,0,0) in an almost symmetric way. 1.4 Lemma. With x = x +R ξ the tidal force f tide satisfies the following identity: f ( ) tide x x = M G x x 3 M x x MR x x ξ 3 ( M +R x x 3 M ) x x 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3. Beweis. Writing x = x +R ξ with ξ 1 one obtains f tide = ω 2 (x 1,x 2,0)+g φ GM = x x 3(x 1,x 2,0)+ GM x x 3(x x), hence Since f tide GM = M M x x 3 x 1 x x x 3 d x 1 x 2. x 3 x 1 d +R ξ 1 x 2 = R ξ 2 and M x 3 R ξ 3 M d = d d

200 IV.1 Ebbe und Flut 200 this is = = M M x x 3 d +R ξ 1 R ξ d d R ξ 1 + x x 3 R ξ 2 R ξ 3 ( 1 x x 3 1 ) x x 3 0 M M x x 3 0 R ξ 3 ( M + M x x 3 1 ) x x 3 d d 0 0 R ξ 1 R ξ 2. R ξ 3

201 IV.2 Flüssigkeitsgleichung Flüssigkeitsgleichung In diesem Abschnitt werden die Gleichungen für eine Flüssigkeit oder Gas, d.h. die Gleichugen für Masse, Impuls und Energie behandelt. Wir hatten diese Gleichungen schon in (III2.5) betrachtet und sie hatten für J = 0, r = 0, Π symmetrisch, g = 0 (dies ist möglich aufgrund der Objektivität dieser Größen und nach den Restriktionen durch das Entropieprinzip) folgende Gestalt: Masse-Impuls-Energie System: t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +Π) = f, t e+div(ev +Π T v +q) = v f Masse, v Geschwindigkeit, ε innere Energie, e = ε+ 2 v 2 gesamte Energie, Π Drucktensor, q Wärmefluss, f Kraft. (IV2.1) Es sind (,v,ε) die gesuchten Variablen, und für Π und q setzen wir konstitutive Gleichungen an, die Beschränkungen unterworfen sind aufgrund des Entropieprinzips. Um klarzustellen, wie diese Restriktionen auf dem Entropieprinzip beruhen, betrachten wir das System (IV2.1) und zeigen nochmal: 2.1 Entropietheorem. Für das System(IV2.1) ist die Entropieungleichung σ := t η +divψ 0 erfüllt, wenn f = f(,θ) mit f θθ < 0 und Π = pid S, S symmetrisch, p = f f, ε = f θf θ, η = f θ, ψ = ηv + 1 θ q, und wenn für die Entropieproduktion gilt σ = 1 θ Dv S + ( 1 θ ) q 0. (IV2.2)

202 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 202 Beweis (mit ε-variabler). Es ist (wie im Beweis von III.1.3) σ = t η +divψ (wenn ψ = ηv +ψ 0 ist) = t η +v η +ηdivv +divψ 0 = η +ηdivv +divψ 0 (wenn h := ( t +v )h ist). Aus III.1.6 folgt, dass wir annehmen können, dass (, ε) die unabhängigen Variablen sind, und dass η = η(,ε). Dann ist η = η +η εε und da aus den Differentialgleichungen für und ε folgt (siehe III.2.3) erhalten wir + divv = 0, ε+εdivv +divq = Dv Π, σ = η +ηdivv +divψ 0 = η +η εε+ηdivv +divψ 0 ( ) = Dv (η η η εε)id η επ η εdivq +divψ 0 = Dv S + η ε q +div(ψ 0 η εq), wenn S := (η η η εε)id η επ, und wenn ψ 0 = η εq. Wenn also (IV2.3) η = η(,ε), ψ = ηv +η εq, so ist das Entropieprinzip σ 0 erfüllt, falls σ = Dv S + η ε q 0. Aus III.1.6 folgt, dass Daher definieren wir und haben deshalb η ε > 0, θ = 1 S := θ S = 1 η ε η ε S. das heißt es gilt die Gibbs-Relation Π = pid S, η εp = η η η εε, η = η +η ε (ε+p). (IV2.4)

203 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 203 Wir haben diese Identität noch in die (, θ)-variablen zu transformieren, d.h. wir haben zu zeigen, dass dies äquivalent ist zu ) p = f f = 2( f. (IV2.5) Das wurde in III.1.4 schon gezeigt, wo III.1.4(1) und III.1.4(4) als äquivalente Aussagen nachgewiesen wurden. Hier eine Version dieses Beweises: Die Gibbs-Relation in (IV2.4) ist in den (, ε)-variablen äquivalent zu ( ) ( ( ) ( )) 0 = (,ε) η η ε (,ε) +p ε (,ε), 1 also Da gilt ) ( ) ( ) (,ε) p ε (,ε) 1 ( 1 0 = 1 ( (,ε) ε η η ( ( 1 = (,ε) ε η 1 )) η (,ε) f(,θ) = ε η ε η ε ) ( ) p (,ε). 1 1 η ε(,ε) η(,ε)für θ = 1 η ε(,ε), folgt, dass dies auch 0 ist in den (,θ)-koordinaten, d.h. ( ) 0 = (,θ) f η (,θ)θ ( ) p (,θ). 1 Aber dies ist äquivalent zu ( f ) 0 = + p 2 ( ) f, 0 = η. θ Die erste Gleichung ist (IV2.5), und die zweite ist η = f θ. Der nun folgende Beweis argumentiert nur mit der Variablen θ. Beweis (mit θ-variabler). Es gilt zunächst wie im ersten Beweis σ = tη +divψ (wenn ψ = ηv +ψ 0 ist) = tη +v η +ηdivv +divψ 0 = η +ηdivv +divψ 0 (wenn h := ( t +v )h ist). Die Darstellung η = f θ bedeutet η = η(,θ) := f θ(,θ), weshalb nun η = η +η θθ. Aus den Differentialgleichungen für und ε folgt wieder + divv = 0, ε+εdivv +divq = Dv Π. Da ε = ε(,θ) := f(,θ) θf θ(,θ) ist jetzt ε = ε +ε θθ

204 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 204 und wegen η = η(,θ) := f θ(,θ) ist daher Nun ist Also gilt und es folgt wie im obigen Beweis falls η = η + η θ ε θ ( η = η ε θ ε θ ( ε ε ) ) η + θ η = f θ, η θ = f θθ, ε. ε θ ε = f θf θ, ε θ = θf θθ. η = f + 1 ε θ θ σ = η +ηdivv +divψ 0 = f θ = Dv ( (η + f θ + 1 θ ε+ηdivv +divψ 0 1 θ ε)id 1 ) θ Π 1 divq +divψ0 θ = 1 θ Dv S + ( 1 θ) q +div(ψ0 1 θ q) = 1 θ Dv S + ( 1 θ) q, wobei die letzte Identität gleich Π = pid S, ψ 0 = 1 θ q, p θ = η + f 1 θ θ ε, p = θη +f ε = f f ist. Hinweis: Es sei bemerkt, dass wir verschiedene Abhängigkeiten in der Entropie η = η(,ε) = η(,θ) hatten, also ist η = η (,ε) von η = η (,θ) verschieden (eigentlich müssten diese Ableitungen mit η und η bezeichnet werden), obwohl wir beides in verschiedenem Zusammenhang gleich bezeichnet hatten. In der Physikliteratur sorgt die folgende Definition für eine eindeutige Interpretation: ( η ) ε := η und ( ) η := η. θ Es werden als Index die Variablen genannt, die Konstant gehalten werden. Dies definiert in eindeutiger Weise das Koordinatensystem (das sind diese Variablen plus die Variable, bezüglich der die Ableitung genommen wird), welches zur Grundlage genommen wird. Die Entropieungleichung hat jetzt noch weitere Konsequenzen. Wir führen dies hier nochmal aus. Es besteht also die Möglichkeit alles mit Hilfe der Temperatur (siehe III.1.4) θ = 1 η ε(,ε) (η ε > 0)

205 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 205 statt ε auszudrücken. Es sind also statt (,v,ε) nun (,v,θ) die unbekannten Variablen. Wir setzen die Bijektivität dieser Transformation voraus. Außerdem definieren wir die innere freie Energie f in den neuen Variablen (,θ), also f = f(,θ), durch (siehe ebenfalls III.1.4) f = ε θη. (IV2.6) Zur Vollständigkeit wir zeigen für die Gibbs sche Gleichung: 2.2 Lemma. Die Gleichungen η η (ε+p)η ε = 0, θ = 1 η ε (IV2.7) sind mit Hilfe der Formel für die freie Energie (IV2.6) äquivalent zu ε = f θf θ, p = f f. (IV2.8) Hierbei ist η = η(,ε) und f = f(,θ). Es gilt η = f θ. Beweis (IV2.7) (IV2.8). Wir schreiben zunächst die Gleichung (IV2.7) für η mit Hilfe von η ε = 1 θ um We first write the equation (IV2.7) for η, due to η ε = 1 θ, into θ(η η ) (ε+p) = 0 oder p = θ(η η ) ε = θη f wobei wir die Definition von f benutzt haben, aus der auch ε = f +θη folgt. Wir haben also in den Gleichungen für p und ε nur noch and obtain η = f θ, θη = f einzusetzen. Diese beiden Gleichungen erhalten wir, wenn wir die Definition f(,θ) = ε(,θ) θη(,ε(,θ)) von f ableiten, denn dann gilt f θ = ε θ θη εε θ η = (1 θη ε)ε θ η = η, f = ε θη θη εε = (1 θη ε)ε θη = θη, also die beiden Gleichungen.

206 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 206 Beweis (IV2.8) (IV2.7). Wir benutzen die Gleichung für die freie Energie und die Gleichung für ε θη = ε f = θf θ um η = f θ zu erhalten. Dann schreiben wir die Gleichung für die freie Energie in der Form und berechnen die Ableitung nach ε f(,θ(,ε)) = ε θ(,ε)η(,ε) f θθ ε = 1 θ εη θη ε, was wegen η = f θ die Identität 1 = θη ε ergibt. Bilden wir die Ableitung nach f +f θθ = θ η θη, so erhalten wir analog f = θη. Die Darstellung von p ergibt darum wieder unter Benutzung der Gleichung für die freie Energie Also haben wir gezeigt was zu beweisen war. p = f f = f +θη ε = θ(η η ) ε. θη ε = 1, θ(η η ) (p+ε) = 0, In diesen neuen Variablen ist die Entropie und der Entropiefluss η = f θ, ψ = ηv + 1 θ q und die Entropieungleichung (in section III.1) impliziert, dass für Lösungen von (IV2.1) nach 2.2 in den Differentialgleichungen Π = pid S, p = f f, ε = f θf θ (IV2.9) gilt mit einem Stresstensor S, und dass für die Entropieproduktion σ := t η +divψ = 1 θ Dv S + ( 1 θ ) q 0 (IV2.10) gilt. Die konstitutiven Gleichungen in (IV2.9) lauten ausführlich (wir betrachten jetzt ε = ε(,θ)) p = p(,θ) = f (,θ) f(,θ), ε = ε(,θ) = f(,θ) θf θ(,θ).

207 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 207 Es bleibt also in (IV2.10) der Stresstensor S und die Wärmeleitung q so zu wählen, dass σ 0, was zum Beispiel erfüllt ist, wenn ( 1 Dv S 0, q 0. θ) Der einfachste Fall ist dabei, siehe III.2.5, dass S = â(,θ)(dv) S + b(,θ)div(v)id, a 0, b+ a n 0, q = ĉ(,θ) θ, c 0. (IV2.11) Mit dieser Wahl von S und q lauten die Differentialgleichungen Flüssigkeitsgleichungen: t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +pid S) = f, t e+div((e+p)v S T v +q) = v f p = f f, e = f θf θ + 2 v 2, f = f(,θ), S und q erfüllen (IV2.11). (IV2.12) Oder anders geschrieben, mit h = t h+v h für jede Funktion h, Flüssigkeitsgleichungen: + divv = 0, v + p divs = f, ε+(ε+p)divv +divq = Dv S p = f f, ε = f θf θ, f = f(,θ) internal free energy, ε internal energy. (IV2.13) Es sei bemerkt, dass v = t v +v v ein quadratischer Term in v ist. 2.3 Lemma. Beweise die Aussagen (IV2.12) und (IV2.13). Beweis (IV2.12). Siehe den obigen Text. Beweis (IV2.13). Siehe III.2.3. Wir wiederholen: Für die kinetische Energie haben wir (siehe III.2.2) für Lösungen der Massen- und Impulserhaltung ) ( ( t 2 )+div v 2 2 v 2 v +Π T v = v f +Dv Π S. (IV2.14)

208 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 208 Ziehen wir dies von der Energiegleichung für e = ε + 2 v 2 ab, so erhalten wir t ε+div(εv +q) = Dv Π S und da ε = t ε+v ε ε+εdivv +divq = Dv Π S. Da Π = pid S wird diese Gleichung zu Das ist die Behauptung. ε+εdivv +divq = pdivv +Dv S. Die Wahl der Entropie η bzw. der freien Energie f ist entscheidend für die Art der Flüssigkeit oder des Gases, welches wir in Betracht ziehen wollen. Der einfachste Fall ist das ideale Gasgesetz (siehe [Wikipedia: Ideal gas]) P V = RT, P = p, V = 1, T = θ, U = c V T, U = ε, R = c P c V > 0, (IV2.15) wobei c V und c P positive Konstanten sind. Die Konstante R ist die Gaskonstante, wobei wir folgende Bemerkung machen. 2.4 Gaskonstante. Die universelle Gaskonstante R ist R = J K mol (siehe [Wikipedia: Universelle Gaskonstante]). Die in dem Gasgesetz vorkommende spezifische Gaskonstante R ist R = R M mol, Mmol die molare Masse (Molmasse). Der Zahlenwert der molaren Masse einer chemischen Verbindung ergibt sich durch die Summe der mittleren Atommassen der an der Verbindung beteiligten chemischen Elemente von einem Mol (rd ) Teilchen bzw. von einem Mol der Strukturelemente der Verbindung (aus [Wikipedia: Molare Masse], siehe auch [Wikipedia: Mittlere Molmasse]). So ist z.b. (aus [36]) MN mol 2 = kg mol, Mmol O 2 = kg mol, Mmol Ar = kg mol, MLuft mol = 78%Mmol N 2 +21%MO mol 2 +1%MAr mol = ( ) kg kg = mol mol.

209 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 209 Es gilt 2.5 Lemma. Seien c V und c P positive Konstanten und R = c P c V > 0. Es gelte die Gibbs Relation, genauer (IV2.7) oder (IV2.8), und für die innere Energie ε sei ε = c V θ. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. (1) P V = RT. (2) p = Rθ. (3) η = c V logε c P log +c für ein c R. (4) f = c V θ logθ +Rθ log +d θ für ein d R. Hinweis: Dieses Lemma kann auch mit Hilfe der spezifischen Größen ε sp, η sp und f sp formuliert werden. Beweis (1) (2). Nach Definition der Größen in (IV2.15). Beweis (2) (3). Zunächst gilt η ε = 1 θ = c V ε. Durch Integration erhält man mit einer Funktion d( ) Die Gibbs Relation liefert η = c V logε+d( ). 0 = η η +(ε+p)η ε = d d+(c V +R) = 2 wegen c V +R = c P. Also ist für eine Konstante c Daraus folgt (3). d = c Plog +c. ( ) d +c P Beweis (2) (4). Die Gleichung (IV2.6) ist ε = f +θη = f θf θ, also ( ) f = θf θ f θ θ 2 = ε θ 2 = c V θ. Außerdem folgt aus der Gibbs Relation ( ) f = f f 2 θ = p 2 = Rθ.

210 IV.2 Flüssigkeitsgleichung 210 Somit gilt woraus folgt und also ( ) f = c V θ θ θ, ( ) f = Rθ, f θ = c V logθ +d 1 ( ) f = Rθlog +d 2(θ), f = Rθ log +d 2 (θ) = c V θ logθ +d 1 ( )θ. Diese beiden Gleichungen für f schreiben wir als d 2 (θ) θ +c V logθ = d 1( ) Rlog = d, wobei d natürlich eine Konstante ist. Wir erhalten d 1 ( ) = R log +d, d 2 (θ) = c V θlogθ +dθ, und deshalb f = c V θ logθ +Rθ log +d θ. Beweis (4) (3). Da η = f θ, erhält man η = c V (logθ +1) (c P c V ) log d = c V (log(θ )+1) c P log d = c V logε c P log +c V ( logc V +1) d, also hat man c = c V (1 logc V ) d zu wählen. Beweis (3) (4). Es ist f = ε θη = ε c V θ logε+c P θ log cθ = c V θ logθ +(c P c V )θ log +c V θ (1 logc V ) cθ also hat man d = c V (1 logc V ) c zu wählen. Beweis (4) (2). By (IV2.8) we have p = f f. Then using f from (4) gives (2). Unter diesen klassischen Gleichungen des idealen Gasgesetzes gilt das

211 IV.2 Flüssigkeitsgleichung Theorem. Für das ideale Gasgesetz ist das System (IV2.12) zu nehmen mit Π = pid S, p = Rθ, e = c V θ + 2 v 2. (IV2.16) Für S und q wird im Allgemeinen der Ansatz (IV2.11) genommen. Unter diesen Voraussetzungen ist das System (IV2.12) äquivalent zu Ideale Flüssigkeit: t +div( v) = 0, ( t v +v v)+divπ = f, c V ( t θ +v θ)+divq = Dv Π Unabhängige Variablen: Dichte, v Geschwindigkeit, θ Temperatur. (IV2.17) Die letzte Gleichung ist die Wärmeleitungsgleichung und die ersten beiden Gleichungen sind das Navier-Stokes System. Bemerkung: Das System hängt nicht von den c und d Termen in 2.5 ab. Beweis. Wir definieren die spezifischen Größen so dass also e sp = e, εsp = ε, e sp = c V θ + v 2 2, εsp = c V θ. Wenn wir von der Energiegleichung die Gleichung für die kinetische Energie (siehe (IV2.14)) abziehen, erhalten wir Nun ist wegen der Massenerhaltung t ε+div(εv +q) = Dv Π. t ε+div(εv) = ( t ε sp +v ε sp ). Andere konstitutive Gleichungen folgen noch Isotherme Strömung Wird noch nachgeliefert

212 IV.3 Euler Gleichungen Euler Gleichungen The temperature dependent, but inviscid fluid equations (IV2.1), that is without viscosity or S = 0, are the equations in this section. Compressible case Usually it concerns the compressible case and it contains the conservation laws for mass, momentum and energy: (Kompressible) Euler-Gleichungen: t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +pid) = f, t e+div((e+p)v +q) = v f Masse, v Geschwindigkeit, p Druck, ε innere Energie, e = ε+ 2 v 2 gesamte Energie, q Wärmefluss, f Kraft. (IV3.1) Abb. 3: Transient phase for the forward-facing step in 2D from Kröner [29, Example 5.3.9]. In particular, the grid had to be refined and to be corsened after the shock has passed through.

213 IV.3 Euler Gleichungen 213 Thus the entropy principle by (IV2.2) reduces to the residual inequality ( 1 σ = q 0, θ) that means only q has to be chosen appropiately. The other equality, which comes from the entropy principle, is Gibbs relation where f is the internal free energy. p = f (,θ) f(,θ), Abb. 4: Flow around a double ellipsoid from Kröner [29, Example 5.3.7]. For numerics one writes this system in a contracted form y = t y +divf(y) = h, v v, F(y) = vv T +p(y)id, h = e (e+p(y))v 0 f v f. (IV3.2) This is a hyperbolic system, which in general has L -solutions, thus solutions in the sense of distributions, but without any term on the surface of discontinuity. The introduction of the variable y requires that > 0 for the solution, orwhatwouldbebetter, that isboundedfrombelowbyapositive constant. In the energy equation instead of the temperature the total energy is treated as independent variable, the other variables on which it usually depends, are also components of y. Numerical schemes of this type you will find in Kröner [29] (Das Bild Abb. 3 ist von T. Geßner: Zeitabhängige

214 IV.3 Euler Gleichungen 214 Adaption für Finite Volume Verfahren höherer Ordnung am Beispiel der Euler-Gleichungen der Gasdynamik, Diplomthesis IAM Univ. Bonn Und das Bild Abb. 4 ist von J. Becker: Finite Volume Verfahren in 2-D für Systeme von hyperbolischen Differentialgleichungen mit Flußfunktion von Osher und Solomon, Diplomthesis IAM Univ. Bonn 1995). Incompressible case Let us consider the isothermal incompressible case, that is θ = θ 0 = const and = 0 = const, so that there is no energy equation for the system. That p is a function of, which in the compressible case is a consequence of the entropy principle, is now replaced by the fact, that the pressure p is an independent variable (see example 7.3), hence there is no restriction at all for the pressure. We obtain Inkompressible Euler-Gleichungen: divv = 0, 0( t v +v v)+ p = f p Druck, v Geschwindigkeit, 0 > 0 konstante Masse, f Kraft. (IV3.3) References: [Wikipedia: Euler equations], see Acheson [1, 1.3 Equation of motion of an ideal fluid], [1, 1.4 Vorticity: irrotational flow], [1, 1.5 The vorticity equation], [1, 4. Classical aerofoil theory], and see Rill [32, Reibungsfreie, inkompressible Strömung]. We describe now parts of the classical theory. We define the 3.1 Vorticity. Let n = 3. The vorticity is defined as ω := rotv := ( 2 v 3 3 v 2, 3 v 1 1 v 3, 1 v 2 2 v 1 ). The Rotation von v is also defined for any orthonormal system {e 1,e 2,e 3 }, where(e 1,e 2,e 3 )hasthesameorientationasthestandardsystem(e 1,e 2,e 3 ). It then follows 1 rotv = v = j e j ej v = 3 i,j,k=1 ǫ i,j,k := det(e i,e j,e k ) { 1,0,1}. ǫ i,j,k (e k ej v)e i, 1 By we denote the 3-dimensional vector product.

215 IV.3 Euler Gleichungen 215 Beweis. It is = j e j ej (see the statement in I.7.3(1)), hence v = j e j ej v = jk(e k ej v)e j e k = ijk(e i (e j e k )) (e k ej v)e i, and e i (e j e k ) = det(e i,e j,e k ). We now assume that the fluid is under gravity from an outside body with a potential φ, defined in (I2.10), therefore f = 0g φ+f 0, (IV3.4) where f 0 is a classical force, which for certain observers is zero. With this we rewrite the incompressible Euler equation. 3.2 Lemma. If (IV3.4) for the force is used, the incompressible Euler equation is equivalent to divv = 0, t v +ω v + ( 1 2 v 2 + p 0 gφ ) = f 0. 0 Beweis. With (IV3.4) the momentum equation of the Euler system reads t v +v v + ( p 0 gφ ) = f 0. 0 Now it is ( ) v v = v j j v i = therefore j i ( ) ( j v i i v j )v j j = 2(Dv) A v t v +2(Dv) A v + ( 1 2 v 2 + p 0 gφ ) = f 0. 0 What is left is to show the formal identity i + ( ) i v j v j j = ( 1 2 v 2) i, 2(Dv) A v = ω v.

216 IV.3 Euler Gleichungen 216 This follows from v 1 1 v 1 2 v 1 3 Dv = v 2 1 v 2 2 v 2 3, v 3 1 v 3 2 v v 1 2(Dv) A 2 v 2 1 v 1 3 v ω 3 ω 2 = v 2 1 v v 2 3 v 3 2 = ω 3 0 ω 1, v 3 1 v 1 3 v 3 2 v ω 2 ω ω 3 ω 2 v 1 ω 3 0 ω 1 v 2 = ω v. ω 2 ω 1 0 v 3 From this the vorticity equation can be derived. 3.3 Vorticity equation. It follows from 3.2 that ( t +v )ω = (ω )v + f 0 0 with ω = rotv. Beweis. We take the curl of the momentum equation and use the fact that rot = 0. This gives t ω +rot(ω v) = rot ( f 0 ). Now, since a ( b c) = ( a c) b ( a b) c, we obtain rot(ω v) = (ω v) = e j j (ω v) j = ( ) e j (( j ω) v)+e j (ω j v) j = ( ) (e j v) j ω (e j j ω)v +(e j j v)ω (e j ω) j v j = (v )ω ( ω)v +( v)ω (ω )v. Since ω = 0 by divrot = 0 and v = 0 by the mass conservation in 3.2, we infer rot(ω v) = (v )ω (ω )v and hence t ω +rot(ω v) = ( t +v )ω (ω )v. 3.4 Bernoulli equation. If the incompressible flow is stationary (steady) and irrotational, that is rot v = 0, the mass-momentum system reads divv = 0, 0 ( 1 2 v 2 + p 0 gφ ) = f 0. 0

217 IV.3 Euler Gleichungen 217 If in addition the force f 0 = 0 it follows that in a connected component of the fluid 1 2 v 2 + p 0 gφ = const (IV3.5) Bemerkung: Eine physikalische Begründung für einen rotationsfreien Fluss finden sie in 3.8. Beweis. The Euler equations in the form 3.2 hold: Because the flow is stationary, it is t v = 0. And ω = 0 because the flow is irrotational. 3.5 Boundary to air. Let a stationary incompressible flow have a (connected) boundary Σ Ω to the air. Then v ν Ω = 0 on Σ and, if the flow is irrotational, the distributional Euler equation says (without surface tension and f 0 = 0) that 1 2 v 2 = gφ+const on Σ. (IV3.6) (1) If the gravity term vanishes the modulus of the velocity is constant. (2) With the gravity on the surface of the earth v(x) 2 = 2gMx 3 +const, where M is the mass of the earth and e 3 points to the center of earth. In general there is surface tension between water and air. This will effect the flow in 3.5(2) in a way that if the flow is going downwards, then it becomes unstable if the velocity is large enough, which certainly will occur by Bernoulli s law (IV3.6). Beweis. Since the flow is stationary, we have in an open set G R 3 the distributional mass law div[ 0vX Ω ] = 0 in D (G), where Ω is the domain occupied by water, and the distributional momentum law (without terms on Σ) div[( 0vv T +pid)x Ω +p 0 IdX R 3 \Ω] = f 0 X Ω in D (G). This gives the Euler equations in Ω and the following on the boundary Σ v ν Ω = 0, ( 0vv T +(p p 0 )Id)ν Ω = 0, which reduces to p p 0 = 0 on Σ. In Ω the Bernoulli equation reads 1 2 v 2 = gφ p 0 +const,

218 IV.3 Euler Gleichungen 218 so that 1 2 v 2 = gφ p 0 +const 0 at the boundary Σ. For (2) the gravity potential on the surface of the earth is given by (linear approximation) φ(x) = Mx 3 +const. 3.6 Boundary to a rigid body. Let a stationary incompressible flow have a boundary Σ Ω to a rigid body. Then v ν Ω = 0 on Σ and the force on the rigid body is pν Ω on Σ. Here f 0 = 0 is assumed. Remark: This result is consistent with the distributional approach, considering the rigid body without any performance on the surface. Vortices Vorticesof fluid flows arenatural effects in nature and alsonatural effectsfor the mass-momentum equations. They consist in essence of a line in space, and in the neighbourhood the velocity v times the distance to the line r goes to a limit as approching the line. Therefore these vortices are so called vr-vortices (see section 13). Here an example. 3.7 Rankine Wirbel (Beispiel). Let a > 0 and Ω R. Consider v(x) := Ωr a 2 e θ if r a Ω r e θ if r a, e θ := sinθ cosθ, 0 where x = (x 1,x 2,x 3 ) and (x 1,x 2 ) = re iθ. If a 0 this converges to a vr-vortex. The center of the vortex is {(0,0,s); s R}. This v satisfies Bernoulli s equations in 3.4 (without gravity and with f 0 = 0). In the set {x R 3 ; (x 1,x 2 ) r} the velocity is the velocity of a rigid body. Beweis. We have v(x) = η(r)e θ, hence therefore eθ v = η (r)e θ, r v = η(r) r e r, divv = e r r v +e θ θ v = ( η (r) η(r) ) eθ e r = 0 r in the entire space. Since in the outer region (R 2 \B a (0)) R η(r) = Ω r,

219 IV.3 Euler Gleichungen 219 we compute rotv = ( e θ r v e r θ v ) e x3 = ( η (r)+ η(r) ) ex3 = 0. r In the inner region (ein unendlicher Stab) which is a movement of a rigid body. v(x) = Ω a 2re θ = Ω a 2( x 2,x 1,0), Classical aerofoil theory Abb. 5: The behaviour of a small vorticity meter placed in the steady flow past a fixed wing at small angle of attack. The flow is clearly irrotational. Vom Buch von Acheson [1, Fig. 1.8]. We are an observer in the wing. Since we consider a constant velocity at infinity, this condition will stay unchanged, since the wing is not turning. We consider an instationary flow in 2D, that is, It follows that v(t,x 1,x 2,x 3 ) = (v 1 (t,x 1,x 2 ),v 2 (t,x 1,x 2 ),0). ω = (0,0,ω) with ω = 1 v 2 2 v 1. Hence (ω )v = ω x3 v = 0. Therefore we conclude, if the force f 0 = 0, that ( t +v )ω = 0. From this it follows 3.8 Lemma. Let f 0 = 0. If the incompressible flow is 2D and stationary as in Abb. 5 and if it has constant velocity v when x 1 then the flow is irrotational, that is ω = 0 in the flow region.

220 IV.3 Euler Gleichungen 220 Beweis. Since as just shown v ω = 0, hence ω is constant on streamlines. Since by Abb. 5 each streamline goes to the region where the flow gradient approches zero, it follows that ω = 0 on each streamline, hence in the entire flow region. We consider now a stationary incompressible flow in 2D, which is irrotational, that is, Bernoulli s equation 3.4 holds, and we assume f 0 = Definition. If the flow is as in 3.4, since divv = 0 there exists locally a stream function ψ, and since rotv = 0 there exists locally a velocity potential ϕ, that is, v 1 = x2 ψ, v 2 = x1 ψ, v 1 = x1 ϕ, v 2 = x2 ϕ. Also ist w = ϕ+iψ eine holomorphe Funktion, genauer Beweis. It is z w = 0, z w = v 1 iv 2. 2 z w = 1 w +i 2 w = 1 ϕ 2 ψ +i( 1 ψ + 2 ϕ) = 0, 2 z w = 1 w i 2 w = 1 ϕ+ 2 ψ +i( 1 ψ 2 ϕ) = 2(v 1 iv 2 ). We use the special multivalued complex function W(Z) := U ( Ze iα + R2 Z eiα) iγ 2π logz for {Z C; Z 0} (IV3.7) with U,α,R,Γ R, where R > 0, U > 0, and preferably 0 < α < π 2. This function is multivalued, since the logarithm is multivalued. If we set w(z) = W(z), z = x 1 +ix 2, (IV3.8) we compute the velocity v 1 iv 2 = z w = U ( e iα R2 z 2 eiα) iγ 2πz, (IV3.9) hence v = (v 1,v 2,0) with v 1 + iv 2 = Ue iα as z. That is, at infinity we have a velocity of magnitude U in direction e iα. The multivalued term is a vortex flow of strength Γ R (a positive Γ means a flow in positive direction), since iγ 2πz = iγ 2π z 2z = Γ 2πr ie iθ,

221 IV.3 Euler Gleichungen 221 Abb. 6: Typical pressure distribution on a wing in steady flow aus dem Buch von Acheson [1, Fig. 1.9]. The pressures on the upper surface are substantially lower than the free-stream value p, while those on the lower surface are a little higher than p. In fact, then, the wing gets most of its lift from a suction effect on its upper surface. that is, with e θ = ie iθ, v 1 +iv 2 = U ( e iα R2 z 2 e iα) + Γ 2πr e θ around the vortex {(0,0,s); s R} (see 3.7 with Ω = Γ 2π ) Flow around a circular cylinder (Lemma). The velocity given in (IV3.9), which is v = (v 1,v 2,0), is a solution of Bernoulli s equation 3.4 (with vanishing gravity and f 0 = 0) in the domain Ω := (R 2 \B R (0)) R R 3. Moreover, we have v ν Ω = 0 on Ω. The total force F on the boundary is F = pν Ω dh 1 = 0UΓ R ieiα, B R (0) where Ue iα is the velocity at infinity. This is a lift theorem. Hinweis: See [Hyperphysics: Kutta-Joukowski Lift Theorem] and Acheson [1, Fig. 4.4]. And compare the pressure distribution in Abb. 6.

222 IV.3 Euler Gleichungen 222 Beweis. The velocity v is given by (IV3.9) that is v 1 iv 2 = z w with a multivalued holomorphic function w, that is z w = 0, see (IV3.8). Hence divv = 0. If z = x 1 +ix 2 = Re iθ B R (0) then ν BR (0)(z) = z z = z R, hence (v ν Ω )(z) = (v 1 +iv 2 )(z) ν BR (0)(z) = U ( e iα R2 z 2 e iα) ν BR (0)(z)+ Γ 2πr e θ ν BR (0)(z) = 0 = U ( e iα R2 z 2 e iα) z ( (e R = URe iα R2 z 2 e iα) z ) R = URe( z R eiα R z e iα) = 0. By Bernoulli s law p in the flow region p = const 0 2 v 2. And on the boundary of Ω, that is z = Re iθ, by (IV3.9) one computes from which it follows that 1 2πR v 1 +iv 2 = U ( e iα e 2iθ e iα) + Γ 2πR ieiθ ( = U(1 e 2i(θ α) )+ iγ 2πR ei(θ α)) e iα, B R (0) (v 1 +iv 2 )dh 1 = Ue iα, that is, the velocity of the fluid on the obstacle Ω in the mean is its value at infinity. We also compute v 1 +iv 2 2 = U Ue 2i(θ α) + iγ 2πR ei(θ α) 2 = U 2 2URe(Ue 2i(θ α) iγ 2πR ei(θ α) )+ Ue 2i(θ α) iγ 2πR ei(θ α) 2 = U iγ 2πR e i(θ α) 2 = 2U 2 2URe(Ue 2i(θ α) )+ UΓ ( Γ ) 2 πr Re(iei(θ α) ie i(θ α) )+ 2πR = 2U 2 2U 2 cos(2(θ α)) 2UΓ ( Γ ) 2. πr sin(θ α)+ 2πR Since B R (0) ν BR (0)dH 1 = 0

223 IV.3 Euler Gleichungen 223 this gives B R (0) = = 0 = 0 pν R 2 \B R (0)dH 1 = 0 B R (0) 2π 0 2π 0 UΓ = 0 πr B R (0) 2 v 1 +iv 2 2 ν BR (0)dH 1 ( U 2 cos(2(θ α))+ UΓ ( U 2 cos(2(θ α))+ UΓ 2π v 2 ν BR (0)dH 1 ) πr sin(θ α) e iθ dθ ) πr sin(θ α) e i(θ α) dθ e iα sin(θ α)e i(θ α) dθ e iα = 0UΓ R ieiα. We want to describe the flow around a wing and for this we have to change the situation. We do this using a simple transformation, which keeps the situation at large z Joukowski transformation. Let C > 0. (1) We consider a transformation from ζ C\{0} to z C by z = J(ζ) := ζ + C2 ζ. The multivalued inverse transformation is ζ = J 1 (z) = z 2 + ( z 2 4 C2 )1 2 = z 2 + z 2 ( 1 )1 ( ) 2C 2 2, z where one has to use the correct value of the square root, exactly one chooses the branch around 1 for z large, and continues this branch as far as possible, which will be enough for our purpose. Note: In the book of Acheson [1, 4.8 Irrotational flow past a finite flat plate] the variable z is called Z and ζ is called z. (2) Choose ζ 1 C and define further Z = ζ ζ 1, z = J(ζ). Here we use in dependence of R only certain values of C and certain ζ 1, that is, they satisfy ±C B R (ζ 1 ), a special choice is C ζ 1 B R (0), C ζ 1 B R (0), (IV3.10) hence 0 < C < R, in order to model a wing as in Abb. 8. Bemerkung: In Abb. 8 is a := R. See also [16 Class JoukowskiMapping.pdf] from [20].

224 IV.3 Euler Gleichungen 224 Beweis (1). It is z = J(ζ) if and only if ζ 0 and 0 = ζ 2 +C 2 zζ = ( ζ z 2 ) 2 z 2 that is ( z) 2 z 2 ζ = 2 4 C2 = z2 ( ( 2C 1 4 z for z 0, which is the formula. 4 +C2, ) 2 ) Abb. 7: Irrotational flow past a finit flat plate aus Acheson [1, Fig. 4.6.]. We now set, with the function W given in (IV3.7), w(z) = W(J 1 (z) ζ 1 ), z = x 1 +ix 2, (IV3.11) that is, w(z) = W(Z) if z and Z are connected as in 3.11(2) Flow around an aerofoil (Lemma). The velocity v = (v 1,v 2,0), given by v 1 iv 2 = z w(z), where w is defined in (IV3.11), is a solution of Bernoulli s equation 3.4 (with vanishing gravity and f 0 = 0) in the domain Ω := (R 2 \D) R R 3 with R 2 \D = J(R 2 \B R (ζ 1 )). Moreover, we have v 1 +iv 2 Ue iα for z, and v satisfies the boundary condition v ν Ω = 0 on Ω. The total force F on the boundary is F = pν Ω dh 1 = 0 Z W(ζ ζ 1 ) 2 ζ ζ 1 2 R ζ J(ζ) dh1 (ζ). D B R (ζ 1 ) Remark: In the case described in (IV3.10) one has C = ζ 1 +Re iθ 1 for some θ 1 R. TheaboveintegralisthenCauchy sprincipalvalueatζ = ζ 1 +Re iθ 1, see In the special case that ζ 1 = 0 and C = R one has the situation in Abb. 7.

225 IV.3 Euler Gleichungen 225 Beweis. It is w = W h in Ω, where h(z) := J 1 (z) ζ 1 defines a holomorphic map with nonzero derivative (therefore its a conformal transformation), and the holomorphic function W satisfies The domain Ω is defined in such a way, that Ω by the map h will be mapped into B R (0), that is, a tangential vector τ Ω at z of Ω will be mapped by the derivative Dh at z into a multiple of the tangential vector τ R 2 \B R (0) at Z := h(z) of B R (0). Therefore we have with λ = z h the formulas z hτ Ω = Dhτ Ω = λτ R 2 \B R (0), z hν Ω = Dhν Ω = λν R 2 \B R (0). Now, for Z = h(z), v 1 (z) iv 2 (z) = z w(z) = z (W h)(z) = z h(z) Z W(Z) = z h(z)(v 1 (Z) iv 2 (Z)) (IV3.12) if V is defined by V 1 iv 2 := Z W, which is the velocity used in Since by 3.10 we know that V ν R 2 \B R (0) = 0, it follows using (IV3.12) 0 = λv ν R 2 \B R (0) = (V 1 +iv 2 ) (λν R 2 \B R (0)) = (V 1 +iv 2 ) ( z hν Ω ) = Re((V 1 iv 2 ) z hν Ω ) = Re((v 1 iv 2 )ν Ω ) = (v 1 +iv 2 ) ν Ω = v ν Ω. This implies that v is tangential at the boundary of the wing Ω, that is, v ν Ω = 0 on Ω, as indicated in Abb. 8. Abb. 8: The cambered airfoil aus [16 Class JoukowskiMapping.pdf], Reζ 1 controls thickness, Imζ 1 controls camber.

226 IV.3 Euler Gleichungen 226 We now compute the total force F on the boundary on a cross section, that is, F = (F 1,F 2,0). By Bernoulli s law p in the flow region is p = const 0 2 v 2 = const 0 2 z w 2. Therefore F = = 0 2 = 0 2 D D pν Ω dh 1 = 0 2 D z w(z) 2 ν D (z)dh 1 (z) B R (ζ 1 ) z w 2 ν R 2 \DdH 1 (z) z w(j(ζ)) 2 ν D (J(ζ)) ζ J(ζ) dh 1 (ζ) since z = J(ζ) and therefore because J is a holomorphic function The normal satisfies dh 1 D = ζ J dh 1 B R (ζ 1 ). ν D = ζj ζ J ν B R (ζ 1 ), and w(z) = W(h(z)) = W(J 1 (z) ζ 1 ) gives z w(z) = Z W(h(z)) z h(z) = ZW(ζ ζ 1 ) ζ J(ζ) for z = J(ζ). Thus it is F = 0 2 = 0 2 = 0 2 B R (ζ 1 ) B R (ζ 1 ) B R (ζ 1 ) z w(j(ζ)) 2 ν D (J(ζ)) ζ J(ζ) dh 1 (ζ) Z W(ζ ζ 1 ) 2 ζ J(ζ) 2 ζ J(ζ)ν BR (ζ 1 )(ζ)dh 1 (ζ) Z W(ζ ζ 1 ) 2ν B R (ζ 1 )(ζ) ζ J(ζ) dh 1 (ζ), was zu zeigen war The case of a sharp trailing edge. This is the case in (IV3.10), hence C = ζ 1 +Re iθ 1 for some θ 1 R. (1) The total force on the wing is finite, since the integral in 3.12 has a Cauchy principle value at the angle θ 1 for every Γ. (2) The Kutta-Joukowski condition is, that the force at the trailing edge stays finite. This means Γ = 4πRU sin(α θ 1 ). Then the integrand in 3.12 is integrable.

227 IV.3 Euler Gleichungen 227 Abb. 9: Entwicklung von auftriebsbehafteter Profilumströmung aus Rill [32, Die Kutta Bedingung]. Hinweis: See the pictures in Rill [32, Die Kutta Bedingung], which shows that in certain situations this case is stable. Rill writes in [32] zu den Bildern in Abb. 9: Das Bild 1 zeigt die Strömung unmittelbar nach dem Start der Strömung. Wir sehen, daß die Strömung an der Hinterkante versucht diese zu umströmen und damit den Ansatz eines Wirbels formt. Aus der Theorie der reibungsfreien Strömung resultiert, dass bei der Umströmung einer scharfen Ecke, wie der Hinterkante, unendlich große Geschwindigkeiten auftreten. Dies wird aber von der realen, reibungsbehafteten Strömung im Experiment nicht toleriert. Als Folge davon wandert der Staupunkt auf der Oberseite während des Anfahrvorganges in Richtung Hinterkante. Das Bild 2 zeigt diesen Übergangszustand. Schließlich stellt sich dann die endgültige, stationäre Strömung ein, die wir im Bild 3 beobachten. Wir sehen, daß die Strömung in diesem Fall die Ober- und Unterseite an der Hinterkante glatt verlässt.

228 IV.3 Euler Gleichungen 228 Beweis (1). We start with J(ζ) = ζ + C2 ζ and ( C ) 2 ( ζ J(ζ) = 1 = 1+ C )( 1 C ) = ζ +C ζ ζ ζ ζ 2 (ζ C). Now write ζ B R (ζ 1 ) as ζ = ζ 1 +Re iθ so that for θ = θ 1 the singularity C will be reached in the integral, that is C = ζ 1 +Re iθ 1, and this implies and therefore which implies the statement. ζ = ζ 1 +Re iθ = C +Re iθ 1 (e i(θ θ 1) 1) ζ J(ζ) = ζ +C ζ 2 Re iθ 1 (e i(θ θ 1) 1), Beweis (2). We have to show that Z W(Z) = 0 at the trailing edge, that is ζ = C or Z = ζ ζ 1 = C ζ 1 = Re iθ 1. Since Z W(Z) = U ( e iα R2 Z 2eiα) iγ 2πZ it follows that Z W(Z) = 0 is equivalent to die behauptete Formel. 0 = Z RU ZW(Z) = Z R e iα R Z eiα iγ 2πRU = e i(θ1 α) +e i(α θ1) iγ 2πRU = i ( 2sin(α θ 1 ) Γ ), 2πRU Die hiergemachten Überlegungen gelten in der Realität natürlich nur in einem begrenzten Bereich, da darüberhinaus die Bedingungen der Eulergleichung die Wirklichkeit verlassen. Dies gilt insbesondere für die Stationarität, die in der Regel nicht überall erfüllt ist. In ihrem Gültigkeitsbereich sind die gemachten Aussagen jedoch überzeugend.

229 IV.3 Euler Gleichungen 229 Abb. 10: Trailing vortices: (a) definition sketch for application of Stoke s theorem; (b) view from some distance ahead of the aircraft; aus Acheson [1, Fig ]. The 2D-method described here cannot treat the flow at the end of a wing, see Abb. 10 and Abb. 11, which is a 3D-phenomenon and important for the flight of aircrafts. But for a flight of a full size glider (de: Segelflugzeug) with very long wings the 2D considerations are usefull. Abb. 11: Flow over a low aspect ratio wing aus [20, Lifting Line Theory].

230 IV.4 Schallausbreitung Schallausbreitung Der Schall ist für uns allgegenwärtig, wir hören ihn mit unseren Ohren, er wird von allen uns umgebenden Maschinen erzeugt, insbesondere durch Reibung und Stöße, sowie Explosionen. Der Schall wird aber auch durch die Natur erzeugt wie das Vogelzwitschern und das Waldesrauschen, sowie der Donner. Er wird übertragen durch das uns umgebende Gas, d.h. die Luft. Er ist eine Störung der Dichte dieses Gases. Abb. 12: Aus Buch von [Helmholtz] Wir modellieren den Schall durch die Massen-Impuls-Energie-Erhaltung, d.h. im allgemeinen berücksichtigen wir Zähigkeit und Wärmeleitfähigkeit. Das Differentialgleichungssystem ist also t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +Π) = f, t (ε+ 2 v 2 )+div((ε+ 2 v 2 )v +Π T v +q) = f v, Π = pid S, ε innere Energie, Wir betrachten in diesem Abschnitt Lösungen der Form 0 + v = v 0 +v, θ θ 0 +θ wobei ( 0,v 0,θ 0 ) eine Lösung ist und (,v,θ ) eine kleine Störung, deren Wellencharakter wir ggf. noch herleiten.

231 IV.4 Schallausbreitung 231 Referenzen: Landau&Lifschitz [9, Kapitel VIII Der Schall]. Ausbreitung ohne Dämpfung: Landau&Lifschitz [9, VIII 63 Schallwellen], Hutter [7, 7.2 Ausbreitung kleiner Störungen in einem Gas], Müller [8, 10.4 Schall], Acheson [1, 3.6 Sound waves]. In Bearbeitung

232 IV.5 Nichtlineare Elastizität Nichtlineare Elastizität Wir kommen zurück auf das Beispiel aus der Elastizitätstheorie, siehe Abschnitt I.6. Wir hatten in I.6.2 gezeigt, dass wir die Erhaltungssätze auch in den Referenzkoordinaten schreiben können (wir hatten dort J = 0 gesetzt). Mit der nun zusätzlichen Energiegleichung haben wir in physikalischen Koordinaten das System t +div( v) = r, t ( v)+div( vv T +Π) = f, t e+div(ev +Π T v +q) = g (IV5.1) zu betrachten, wobei die physikalischen Größen der Massen- und Impulserhaltung wie in (I6.4), insbesondere ist v eine abhängige Variable, und die Größen der Energieerhaltung in der Aussage 5.1 definiert sind. Wir wollen nun zeigen, dass dieses System in Referenzkoordinaten äquivalent ist zu Masse-Impuls-Energie: t = r, t ( V) = divp + f, t e+div( P T V +q) = g,, r, V, P, f wie in (I6.4), e := J (e τ), q := JF 1 (q τ), g := J ( g τ). (IV5.2) und zwar gilt Folgendes. 5.1 Lemma. In Analogie zu I.6.2 und mit den dortigen Bezeichnungen zeigen wir, dass (IV5.1) äquivalent ist zu (IV5.2). Beweis (Erste Version). Wir starten mit den Gleichungen (IV5.1) (welche identisch zu (III2.1) sind, wenn wir die Identitäten (III2.4) mit J = 0 berücksichtigen), und schreiben sie mit q := ev +Π T v +q in der Form t v + n e i=1 xi v i v i v +(Π ki ) k q i r = f. g Analog zum ersten Beweis in I.6.2 wenden wir die Transformationsregeln in (I5.11) an auf dieses System (es ist N = n+2, Z = Id, Y = τ, X = ϕ) und

233 IV.5 Nichtlineare Elastizität 233 erhalten für die transformierten Größen (für die Größen der Massen- und der Impulsgleichung siehe den Beweis von I.6.2), dass e τ = 1 Je, J := detf > 0, q i τ = 1 J (V i e+ ) j F ij q j, (IV5.3) g τ = 1 J g. Die Gleichung für den Fluss ist wegen v τ = V äquivalent (modulo der anderen Gleichungen) zu J ( q i ev i ) τ = j F ij q j oder J (Π T v +q) τ = J ( q ev) τ = F q. Wegen J (Π T v) τ = FP T V ist dies F q = FP T V +J q τ und damit q = P T V +JF 1 (q τ) = P T V +q. Daher gilt die Differentialgleichung t e+div( P T V +q) = g. Beweis (Zweite Version). Analog zum zweiten Beweis in I.6.2. Die Energiegleichung in (IV5.1) ist für Testfunktionen η C0 (Ω;R) ( t η e+ η (ev +Π T v +q)+η g ) dl n+1 = 0. Ω Wenn wir η(t,x) := η(t,x) für x = ϕ(t,x) definieren, ist dies t2 ( t η J(e τ)+j (Dϕ T η) (Π τ T V +q τ) t 1 B + η (Jg τ) ) dl n dl 1 = 0. Da J (Dϕ T η ) ( ) (Π τ) T V +q τ ( ) = J η Dϕ 1 (Π τ) T V +Dϕ 1 (q τ) ( ) = J η ((Π τ)dϕ T ) T V +Dϕ 1 (q τ) folgt die Behauptung. = η ( P T V +q ),

234 IV.5 Nichtlineare Elastizität 234 So wie in III.2.3 eine Gleichung für ε folgte, folgt nun 5.2 Lemma. Die letzte Gleichung in (IV5.2) ist modulo der übrigen beiden Gleichungen äquivalent zu t ε+divq = DV P +g, wobei die innere Energie in Referenzkoordinaten ε und g in Referenzkoordinaten gegeben ist durch e = ε+ 1 2 V 2, g = V f 1 2 V 2 r+g. Beweis. Die Gleichung (IV5.2) lautet t e+div( P T V +q) = g. Nun gilt t e = t ε+ 1 2 t( V 2 ) = t ε+ 1 2 V 2 t +V ( t V) = t ε 1 2 V 2 t +V t ( V) = t ε 1 2 V 2 r+v divp +V f. Es folgt g = t e+divq +div( P T V) = t ε+divq 1 2 V 2 r+v f +V divp +div( P T V) = t ε+divq 1 2 V 2 r+v f (DV) P, da div(p T V) = V divp +(DV) P. Wir verlangen nun das Entropieprinzip im physikalischen Raum. 5.3 Theorem. Wir fordern das Entropieprinzip σ := t η +divψ 0 für alle Lösungen des Elastizitätsproblems (IV5.1) (oder dazu äquivalent (IV5.2)) und definieren σ := J σ τ, η := J η τ, ψ := J F 1 (ψ ηv) τ.

235 IV.5 Nichtlineare Elastizität 235 Das Prinzip ist erfüllt, falls gilt η = η(x,,ε,f), η F FT symmetrisch, ψ = 1 θ q, und wenn die Entropieungleichung θσ = θη r+(p +θη F ) DV +θ ( 1 θ ) q +g 0 gilt. Hierbei ist vorausgesetzt, dass 1 θ = η ε > 0. (IV5.4) Hinweis: Es ist θ = θ τ und g = g V f V 2 r. Bemerkung: Die Funktion η ist objektiv unter der Voraussetzung, dass η F FT symmetrisch ist. Dass η von x abhängt, ist eine objektive Eigenschaft (siehe die Bemerkung in II.4.11) und produziert keinen Extraterm in σ. Ist r = 0, so lautet die Massenerhaltung t = 0. Also folgt = (x) und daher kann dann η von unabhängig gewählt werden. Beweis der Bemerkung. Die Objektivität von η verlangt (diese konstitutive Funktion ist dieselbe für alle Beobachter), dass η(x,,ε,qf) = η(x,,ε,f) ist für alle orthonormalen Q mit positiver Determinante. Im Folgenden schreiben wir nicht die Argumente (x,, ε) hin, also der Einfachheit halber η(qf) = η(f). (IV5.5) Setzen wir Q = exp(sa) mit einer antisymmetrischen Matrix A, so folgt 2 0 = d ds ( η(f)) = d ds ( η(exp(sa)f)) = η F (exp(sa)f) d ds (exp(sa)f) = η F (exp(sa)f) (Aexp(sA)F), und deshalb für s = 0 0 = η F (F) (AF) 2 The dot product is usually denoted by a double dot and is defined as the inner product in the space of matrices.

236 IV.5 Nichtlineare Elastizität 236 oder Das heißt 0 = ij η A F ik F kj = A ik η F ij F kj. ik j ij k ( ) η F F kj ij j ik = η F FT ist symmetrisch. Falls η F FT symmetrisch ist, folgt (IV5.5) für Q = exp(a) mit der obigen Berechnung für s exp(sa), s [0,1]: d ds ( η(exp(sa)f)) = η F (exp(sa)f) d ds (exp(sa)f) = η (exp(sa)f) (Aexp(sA)F) = 0, F (IV5.6) und damit η(exp(a)f) = η(f). Dann folgt dieses für jedes orthonormale Q mit positiver Determinante (siehe Übungsaufgabe REF??). Beweis zum Entropieprinzip. Es ist und daraus folgt σ = t η +divψ = ( t η +div(ηv))+div(ψ ηv) σ = t η +divψ = t η +div(η ε q). Beweis des Theorems. Wegen η = η(x,,ε,f) ist t η = η t +η ε tε+η F tf. Da unter Benutzung von 5.2 t = r, t ε+divq = DV P +g, folgt g := g V f V 2 r, ( ) t F = ( t xj ϕ i )ij = xj ( t ϕ i ) ( )ij = xj V i = DV, ij σ = η t +η ε tε+η F tf +div(η ε q) = η r+η ε( P DV divq +g ) +η F DV +div(η ε q) = η r+(η ε P +η F ) DV + η ε q +η ε g. Die Definition von θ ergibt nun die Behauptung.

237 IV.5 Nichtlineare Elastizität Freie Energie. Es gelte(iv5.4). Definiere die innere freien Energie in Referenzkoordinaten durch die Gleichung f = f(x,,θ,f), f F FT symmetrisch, f = ε θη für θ = 1 η ε Dann ist die Entropieungleichung in 5.3 gleich > 0. θσ = f r+(p f F ) DV +θ ( 1 θ ) q +g 0. Hinweis: Es ist g = 0, falls g = V f, was sofort aus der Gleichung 5.2 folgt. Beweis. By Theorem 5.3 the residual equation is θσ = θη r+(p +θη F ) DV +θ ( 1 θ ) q +g 0. We show (these are the same formulas which we had in the physical coordinates) f θ = η, f = θη, f F = θη F. Now the formula f = ε θη means in detail f(x,,θ(x,,ε,f),f) = ε θ(x,,ε,f)η(x,,ε,f), hence differentiating we obtain ε : f θ θ ε = 1 θη ε } {{ } = 0 : f +f θ θ = 0 θ η θη θ εη = f θ = η, = f = θη, F : f F +f θ θ F = 0 θ Fη θη F = f F = θη F. (Siehe auch Übungsaufgabe III.4.3.) Referenzen: Zum Entropieprinzip bei elastischen Körpern siehe Marsden & Hughes [30, CH.2 Theorem 5.5]), sowie für die Anwendung in der Biologie des Knochenwachstums Mar sík & Klika & Chlup [31]. Classical elasticity

238 IV.5 Nichtlineare Elastizität 238 Wir geben zwei verschiedene Realisationen der Entropieungleichung. Die Erste ist die klassische Realisation der Elastizitätstheorie, in dieser Version bleibt die Masse immer die Gleiche, und die Zweite findet sich im nächsten Abschnitt 6 über das Wachstum in der Biologie. 5.5 Elastizitätstheorie. Sei r = 0 und g = V f. Nimm an, dass mit einer inneren freien Energie (wie in 5.4) f = f(x,,θ,f), f F FT symmetric, und das Folgende für Terme in den Differentialgleichungen gilt P = f F, ε = f θf θ. (IV5.7) Dann ist das Differentialgleichungssystem (IV5.2) äquivalent ist zu t = 0, t ( V) = divp +f, t ε+divq = DV P, (IV5.8) und die Entropieungleichung für dieses System ist erfüllt, falls gilt ( 1 σ = q 0. θ) Bemerkung: Es ist V = t ϕ und F = Dϕ, sowie f = f +rv. Bemerkung: Die Tatsache, dass P = f in der Entropieungleichung F gewählt wurde hat zur Konsequenz dass (es ist P = FS) S =F 1 P =F 1 f F =F 1 (f F FT )F T symmetrisch ist (denn f F FT ist es). Damit ist auch Π symmetrisch. Bemerkung: Die Massenerhaltung t = 0 liefert = (x). Daher ist bei der freien Energie f eine Abhängigkeit von überflüssig, sie ist in der Abhängigkeit von x schon ausgedrückt. Beweis. Since r = 0 and P = f the first two terms in the residual entropy F inequality are zero. Hence it remains ( 1 θσ = θ q 0. θ) Bemerkung: Also muß der Wärmefluß q so gewählt werden, dass diese Ungleichung gilt, etwa ( 1 q = c θ) mit c 0. To be continued

239 IV.6 Wachstum fester Körper Wachstum fester Körper Wir nehmen Bezug auf das System in 5.4, wobei wir jetzt zu einer nichttrivialen Rate r übergehen, die wir als Wachstumsrate des Körpers bezeichnen. Allerdings wird hier ein ganzes Bündel von gegeneinander reagierenden Substanzen zugrunde gelegt. Das heißt, wir haben in physikalischen, also Euler-Koordinaten ein System von Massenerhaltungen mit Index α, und für die Gesamtmasse eine Impulserhaltung, und zusätzlich noch die Energieerhaltung. Wir modellieren hiermit ein wärmebedingtes Wachstum, eine System mit der freien Energieerhaltung findet sich in REF!!. Das System in Eulerkoordinaten ist t α +div( αv) = r α für α = 1,...,m, = α α die Gesamtmasse, r = α r α die Gesamtrate, t ( v)+div( vv T +Π) = rv +f, (IV6.1) t e+div(ev +Π T v +q) = r 2 v 2 +v f +g e = ε+ 2 v 2 die Gesamtenergie. Die Gleichung für die Gesamtmasse ist die Summe über die Gleichungen der Einzelmassen, t +div( v) = r, also keine unabhängige Gleichung. Wir zeigen 6.1 Lemma. System (IV6.1) ist äquivalent zu (IV6.2).

240 IV.6 Wachstum fester Körper 240 Wachstum eines Körpers: t α = r α für α = 1,...,m, t ( V) = divp +f, t e+div( P T V +q) = g = J α τ, = die Gesamtreferenzmasse, α α α r α die Rate der α-komponenete, e = ε+ 2 V 2 die Gesamtenergie, V die Gesamtgeschwindigkeit, ε wird ggf. durch θ ersetzt, r α, P, q sind zu bestimmende Materialgrößen, f eine äußere Kraft, g meistens = 0. (IV6.2) Beweis. Die Massengleichungen ergeben sich für jedes α wie in I.6.2, die Gleichung für die gesamte Masse und den gesamten Impuls dann wie in I.6.2. Die Energiegleichung ergibt sich aus Theorem. Das Entropieprinzip für System (IV6.1) (und damit für (IV6.2)) ist erfüllt mit f = f(x, 1,..., m,θ,f), f F FT symmetrisch, ε = f θf θ, f θθ < 0, V = t ϕ, F = Dϕ, und wenn die Entropieungleichung (mit Clausius-Duhem Fluß) θσ = α ( 1 ) f r α +(P f α F ) DV +θ q +g 0 θ gilt. Beweis. Der Unterschied zum Beweis von 5.3 ist nur, dass die Entropie von den Dichten 1 bis m statt von der Gesamtdichte abhängt. Das heißt, wir haben hier η r durch η αr α α

241 IV.6 Wachstum fester Körper 241 zu ersetzen. Wir definieren die Entropie in Referenzkoordinaten durch η(x, 1,..., m,ε,f) := f,θ,f) θ (x, 1,..., m für ε = f(x, 1,..., m,θ,f) θf,θ,f). θ (x, 1,..., m Es ist dann t η = α η α t α +η ε tε+η F tf. = r α Wir erhalten mit dem Entropiefluss ψ = η q für die Entropieproduktion ε θσ = θ α ( 1 η r α +(P +θη α F ) DV +θ θ ) q +g 0. Wegen f = θη α α Behauptung. und f F = θη F (siehe Übung III.4.3) folgt die Wir werden jetzt P = P el + P dis wählen und so die Entropieungleichung erfüllen. 6.3 Theorem. Sei g = 0 und nimm an, dass in 6.2 gilt V = t ϕ, F = Dϕ P = P el +P dis, P el = f F, P dis = pid, A α := f. α Darüberhinaus gelte für p und r α, α = 1,...,m, p = l 00 divv + β l 0β A β, r α = l α0 divv + β l αβ A β. Dann ist die Entropieungleichung für das System (IV6.2) erfüllt, falls gilt σ = 1 ( 1 ) θ A LA+ q 0, θ wobei A := divv A 1. A m, L := l 00 l 01 l 0m l 10 l 11 l 1m.. l m0 l m1 l mm. Bemerkung: Ein antisymmetrischer Anteil der Matrix L produziert keine zusätzliche Entropie. Dies macht einen solchen Wachstumsprozess wahrscheinlicher. Es kann also (l αβ ) α 1,β 1 durchaus symmetrisch sein, aber der Fall l 0α = l α0 für α 1 erscheint als der wahrscheinlichste (siehe dazu die Referenzen unten).

242 IV.6 Wachstum fester Körper 242 Das System (IV6.2) lautet also t α = l α0 divv l αβ f β β } {{ } (α = 1,...,m) wie bei chem. Reaktionen t ( V) = divp +f t (f θf θ ) = div(c θ)+dv P V = t ϕ der Geschwindigkeit, F = Dϕ dem Deformationsgradienten, f = f(x, 1,..., m,θ,f) der freien Energie, = der Gesamtmasse, α α ( P = l 00 divv ) l 0β f β Id+f F, β (IV6.3) (l kl ) k,l=0,...,m 0, c 0. Beweis. Die Entropieungleichung ist nach 6.2, wenn A α := f α, gleich θσ = α r α A α +(P f F ) DV +θ ( 1 θ ) q 0. Wir zerlegen P in einen elastischen Teil P el und einen dissipativen Teil P dis, d.h. P = P el +P dis = f F +pid. Daraus folgt r α A α +(P f F ) DV = pdivv + α α r α A α. Wenn also die unbekannten Funktionen p und r α erfüllen p = l 00 divv + β l 0β A β, r α = l α0 divv + β l αβ A β, so folgt pdivv + α r α A α = divv A 1. A m l 00 l 01 l 0m l 10 l 11 l 1m.. l m0 l m1 l mm divv A 1. A m.

243 IV.6 Wachstum fester Körper 243 Dann lautet die Formel für die Entropieproduktion θσ = divv A 1. A m l 00 l 01 l 0m l 10 l 11 l 1m.. l m0 l m1 l mm divv A 1. A m ( 1 ) +θ q 0, θ also z.b., wenn L positiv semidefinit und q = c θ mit c 0 ist. Hier sind also zwei Terme der Residualungeichung, die unabhängig voneinander schienen, miteinander kombiniert worden. Referenzen: Für die Anwendung in der Biologie des Knochenwachstums siehe Mar sík & Klika & Chlup [31]. Dort wird die Aussage 6.3 dargestellt mit p = l 00 divv + l 0β A β, β r α = l α0 divv +l αα A α, also mit l αβ = 0 für α β. Es wird auch Bezug genommen auf Onsager s Prinzip, was aber nicht nötig ist. Einen etwas anderen Zugang findet man in Ambrosi & Guillou [15]. Abb. 13: Aus Marsik&Klika&Chlup [31] Es folgt eine Realisation des Systems von Massengleichungen in Abb Definition. Es sei α die Massendichte der Phase α. Die Gesamtmasse ist dann := α. α

244 IV.6 Wachstum fester Körper 244 Es ist c α := α die Konzentration der Phase α, N α die Molardichte der Phase α, α N α = N, α c α = 1, M α die molare Masse zur Phase α, N α M α = α, n α = N α N. (See also 2.4, 8.1.) Mit Mol bezeichnet man die Stoffmenge (bei chemischen Reaktionen), d.h. die Menge der Einzelteilchen (Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen, Photonen) [Wikipedia: Mol].

245 IV.7 Navier-Stokes Gleichung Navier-Stokes Gleichung In diesem Abschnitt betrachten wir zähe Flüssigkeiten, die im kompressiblen Fall in der Physik mit der generellen Bezeichnung Navier-Stokes Gleichung versehen sind. Wir werden in diesem Abschnitt sehen, wie wir aus diesen kompressiblen Gleichungen die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen herleiten. Wir betrachten in diesem Abschnitt nur die isotherme Situation, dass die Temperatur θ = const ist konstant. Wir haben es also mit der Masse-Impuls-Erhaltung für eine kompressible Flüssigkeit t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +Π) = f (IV7.1) zu tun, wobei wir die freie Energieungleichung voraussetzen. Dies ist die Version des Entropieprinzips im isothermen Fall (siehe III.3) und sie bestimmt den Tensor Π im System. In other words: Since θ = const is assumed, there is no heat flux and therefore also no energy equation. Instead the entropy inequality becomes an inequality for the free energy, and this inequality is derived from the entropy principle, see section III Freie Energieungleichung. Diese Ungleichung lautet nach III.3.5 σ f := t f tot +divϕ tot g tot 0. Wenn wir im Differentialgleichungssystem (IV7.1) setzen Π = pid S, p = f f, f = f( ), so ist die freie Energieungleichung äquivalent zu f tot = f + 2 v 2, ϕ tot = f tot v +Π T v, g tot = v f, σ f = Dv S 0. Bemerkung: Es ist σ f = θσ die Produktion der (totalen) freien Energie, siehe Abschnitt III.3, was aber die Angabe der konstanten Temperatur θ erfordert. Beweis. Obwohl dies aus vorigen Schlüssen folgt, hier der Beweis. Es folgt aus (IV7.1) die Gleichung für die kinetische Energie (siehe III.2.2) ( ( ) t 2 v 2) +div 2 v 2 v +Π T v = v f +Dv Π. (IV7.2)

246 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 246 Subtrahieren wir diese Gleichung von der freien Energie, so erhalten wir σ f := t f tot +divϕ tot g tot ( = t f + ( 2 v 2) +div (f + ) 2 v 2 )v +Π T v v f = t f +div(fv)+dv Π = ( t +v )f +Dv (fid+π) = f ( t +v ) } {{ } = divv +Dv (fid+π) = Dv ((f f )Id+Π) = Dv S, wenn S := (f f )Id Π oder Π = pid S und p = f f. Also haben wir das folgende System (Kompressible) Navier-Stokes Gleichung: t +div( v) = 0 t ( v)+div( vv T +pid S) = f p = f f Druck, S objektiver Tensor f = f( ) freie Energie σ f = Dv S 0 Residualungleichung (IV7.3) Es ist p + f = f die Gibbs Relation (siehe III.1.4, nur hier im isothermen Fall), und diese Gleichung hat diegleiche Struktur wie (III1.8) für die Temperatur, nur ist hier die Variable statt ε. Also können wir die duale Variable zu bestimmen, welche das chemische Potential µ ist. 7.2 Druck als Funktion des chemischen Potentials. Sei f = f( ). Betrachte die Gibbs-Gleichung p+f = f und definiere das chemische Potential durch µ := f ( ). (IV7.4) Setzen wir voraus, dass die freie Energie f eine konvexe Funktion von ist, also f > 0, so wird das -Intervall ]0, [ mit der Definition (IV7.4) auf ein µ-intervall ]µ,µ + [ abgebildet, und wir können definieren p = p(µ) := f ( ) f( ) für µ = f ( ).

247 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 247 Es folgt p µ = für µ = f ( ). Beweis. Folgt aus der generellen Gibbs-Gleichung (betrachte die Legendre- Fenchel Transformation). Es ist nämlich, wenn µ = f ( ) ist, und daher ist die Ableitung nach und durch Kürzen von f ( ) folgt p(f ( )) = p(µ) = f ( ) f( ) p µ(f ( ))f ( ) = f ( ) p µ(µ) = für µ = f ( ). 7.3 Beispiel. If 0 > 0 is given and the free energy is f = f( ) = 1 2δ 0 2, δ > 0, then µ = f = 0 δ p = f f = µ 1 2δ 0 2, = µ 1 2 ( 0)µ = 1 2 ( + 0)µ, hence p = p(µ) := 1 2 (δµ+2 0)µ = ( δµ ) µ. Now consider the limit δ 0 (or consider the limit 0) one obtains in the limit = 0, p = 0µ. where now and µ are independent of each other. See the section 8 for more about the chemical potential. Remark: Zum incompressiblen Limes siehe I. Müller [51, Incompressibility]: It follows that a vanishing compressibility implies that there is no thermal expansion.

248 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 248 Lassen wir also jetzt 0 = const > 0 streben (this is not based on sharp estimates), so ist p als Funktion von µ eine unabhängige Funktion. Dies erlaubt es uns, die Differentialgleichungen in µ zu schreiben und den Fall = const zu betrachten. Falls p eine monotone Funktion von µ ist, kann man auch p als unabhängige Variable nehmen. Wir erhalten also die Inkompressible Navier-Stokes Gleichung: divv = 0, t ( 0v)+div( 0vv T +pid S) = f. S = Ŝ(p,(Dv)S ) objektiver Tensor, S (Dv) S 0 nach Entropieprinzip, = 0 = const, v und p unabhängige Variable. (IV7.5) Es wird meistens angenommen, dass gilt also S = 2a(Dv) S = a(dv +(Dv) T ), a = â(p,(dv) S ), S ij = a( j v i + i v j ) für i,j = 1,...,n. Ist der skalare Koeffizient a = const konstant (siehe dazu die Aussage in II.4.15 über die Objektivität), so folgt divs = a v +a i ( i divv)e i = a v. Da div(pid) = p, haben wir dann folgendes System: Spezielle Navier-Stokes Gleichung: divv = 0, 0( t v +(v )v)+ p a v = f mit 0 = const > 0 und a = const > 0 (IV7.6) Es ist f die (klassische) Kraft. Es folgt a 0 aus dem Entropyprinzip (d.h. die freie Energieungleichung). (Oft wird für a auch µ, ν, oder η geschrieben.) Die inkompressible Navier-Stokes Gleichung wird normalerweise bei gegebenem 0 > 0 für (v,p) unter der Voraussetzung gelöst, dass f = f(t, x) eine gegebene Funktion ist. Aus der Beobachterunabhängigkeit folgt jedoch (siehe (II3.16)), dass f eine lineare Funktion von 0 und 0v enthält.

249 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 249 Dirichlet Problem Das Gebiet Ω R n ist dabei zeitunabhängig und es wird die Dirichlet- Bedingung v = 0 auf Ω genommen. Diese Bedingung auf dem Rand des Gebietes Ω R n ist zum Beispiel für ein festes Medium R n \Ω die richtige Wahl der Randbedingung. Mathematik: Es sei bemerkt, dass die Regularität der Lösung für n = 3 gerade im Grenzbereich liegt (für n = 2 und n = 1 kann sie gezeigt werden). Eine Alternative ist jedoch, die Gleichung t ( 0v)+div( 0vv T +pid S) = f mit einem objektiven Tensor S = Ŝ((Dv)S ) zu nehmen, wobei (siehe [22] und die physikalische Argumentation in diesem Paper) nach Ladyzhenskaya gesetzt wird S = 2a(Dv) S, a = ν 0 +ν 1 (Dv) S r mit r > 0 (in [22] wird r 1 5 angenommen) mit ν 0 > 0 and ν 1 > Problem. Sei Ω R n offen und beschränkt. Dann lautet das Dirichlet- Problem v = 0 auf R Ω, divv = 0 in R Ω, t ( 0v)+div( 0vv T +pid S) = f in R Ω. Bemerkung: Hier wird das Zeitintervall der Einfachheit halber mit ganz R bezeichnet. Dieses Problem wird mathematisch gelöst im Raum der divergenzfreien Felder. 7.5 Lemma. Das Problem in 7.4 ist äquivalent zu divv = 0 in R Ω und v = 0 auf R Ω, ( t ζ k 0v k + ) xi ζ k ( 0v k v i S ki )+ζ k f k dxdt = 0 i R Ω k für alle ζ C 0 (R Ω;R n ) mit divζ = 0 in R Ω, und zu der Tatsache, dass daraus die Existenz des Druckes p folgt, d.h. k [p] = f k := [f k] t [ 0v k ] i xi [ 0v k v i S ki ] im Raum der Distributionen D (Ω;R n ) gilt.

250 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 250 Beweis. Die Existenz von v in der Behauptung impliziert, dass (beachte, dass f k Distributionen sind) k ζ k, f k D(R Ω) = 0 für alle ζ C0 (R Ω;Rn ) mit divζ = 0. Dies ergibt natürlich, dass l fk = kfl in D (Ω;R) für alle k und l, indem man ζ = l ξe k k ξe l mit reellwertigem ξ C0 (R Ω;R) setzt. Dies erlaubt es außerdem p zu definieren (was in diesem schwachen Sinne nichttrivial ist, siehe [Roger Temam, Navier-Stokes Equations, North-Holland 1977, Proposition I.1.1 and I.1.2], was Resultate in Deny & Lions [J. Deny and J.L. Lions, Les espaces du type de BEPPO LEVI, Ann. Inst. Fourier 5, pp , 1954] sowie Nečas [J. Nečas, Equation aux dérivées partielles, Presses de luniversité de Montréal, 1965] voraussetzt.). Beides zusammen ergibt 7.4. Ist umgekehrt 7.4 erfüllt, so gilt ( t ζ k 0v k + ) xi ζ k ( 0v k v i +pδ k,i S ki )+ζ k f k dxdt = 0 i R Ω k für alle ζ mit ζ = 0 auf R Ω. Daraus folgen die beiden behaupteten Aussagen. Soweit die Darstellung des Dirichlet-Problems. Neumann Problem Interessanter ist das Problem mit variabler Flüssigkeitsmenge (die Bezeichnung Ω ist hier verschieden von dem vorigen Text), d.h. es ist Ω = {(t,x); x Ω t } mit beschränkten Gebieten Ω t, wobei wir dann Neumann-Bedingungen auf dem Rande verlangen. Hierbei ist also auch das von der Flüssigkeit okkupierte Gebiet Ω R R n gesucht. In der distributionellen Version heißt dies Folgendes. 7.6 Problem. Bestimme Ω = {(t,x) ; x Ω t } und die Geschwindigkeit v:ω R n sowie den Druck p:ω R so dass t [ 0X Ω ]+ xi [ 0v i X Ω ] = 0, i t [ 0v k X Ω ]+ xi [( 0v k v i +pδ ki S ki )X Ω ]+[f k X Ω ] = 0 i (IV7.7) für k = 1,...,n in D (R R n ).

251 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 251 Wenn wir diese Formulierung ausschreiben, erhalten wir R R ( t ξ 0 + ξ ( 0v) ) dxdt = 0 für ξ C0 (R R n ), Ω t ( t ζ k 0v k + xi ζ k ( 0v k v i +pδ ki S ki ) i Ω t k +ζ k f k ) dxdt = 0 für ζ C 0 (R R n ;R n ). (IV7.8) Zu dieser schwachen Version können wir natürlich auch die starke Version aufschreiben. 7.7 Starke Version. Das Problem in 7.6 lautet in der starken Version: (v v Γ ) ν Ω = 0 auf Ω t, divv = 0 in Ω t, t ( 0v)+div( 0vv T +pid S) = f in Ω t, τ Sν Ω = 0 für alle Tangentialfelder τ an Ω t, p = ν Ω Sν Ω auf Ω t. Definition: Dabei ist ν Ω R n die äußere Normale an Ω t, und v Γ spanν Ω die Geschwindigkeit, mit der sich t Ω t in Normalenrichtung ±ν Ω ausbreitet. 3 Beweis. Die distributionelle Massenerhaltung ergibt zunächst die Differentialgleichung t 0 +div( 0v) = 0 in Ω. Auf Ω ergibt sich (siehe das Skript [13]) ( 0, 0v) ( v Γ ν Ω,ν Ω ) = 0, (IV7.9) d.h. das ist die Tatsache, dass v tangential (in Zeit und Raum) auf Ω ist, d.h. (v v Γ ) ν Ω = 0. Analog ist die distributionelle Impulserhaltung äquivalent zu der Differentialgleichung t ( 0v)+div( 0vv T +pid S) = f in Ω und zu der Randbedingung ( 0v k, ) ( 0v k v i +pδ ki S ki )e i ( vγ ν Ω,ν Ω ) = 0, i k auf Ω, was äquivalent ist zu pν Ω Sν Ω = 0. Dies kann auch geschrieben werden als die beiden Randbedingungen in der Behauptung. 3 Siehe dazu das Skript [13]

252 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 252 Mathematik: There is a pioneering work of Solonnikov, see the paper of Shibata & Shimizu [33]. It is based on the identity L 2 (Ω;R n ) = J 0 (Ω) G(Ω). This is stated in a paper of Ladyzhenskaya& Solonnikov [61, (1.8)]. Another identity, mentioned in [33], is given in (IV7.10) and reads L 2 (Ω;R n ) = J(Ω) G 0 (Ω). This allows us to write the problem in the space of solenoidal vector fields. 7.8 Lemma. The distributional equations (IV7.7) are equivalent to divv = 0 in Ω, 0 = R Ω t k ( t ζk 0v k + i for ζ with div ζ = 0 in Ω, xi ζk ( 0v k v i S ki )+ ζ k f k )dxdt pν Ω = Sν Ω on Ω t, ( ξ ( p+divs)+ξ 0 xk v i xi v k )dxdt = 0 R Ω t for ξ with ξ = 0 on Ω t. These statements are not independent. The two weak equations for v and p are of variational structure. Hinweis: According the f terms see 7.9. The term divdivs is zero for the linear case of S. Beweis. The problem in (IV7.8) consists of the mass equation ( t ξ 0 + ξ ( 0v) ) dxdt = 0 R Ω t for ξ C0 (R Rn ) and the momentum equation ( t ζ k 0v k + ) xi ζ k ( 0v k v i +pδ ki S ki )+ζ k f k dxdt = 0 i R Ω t k for ζ C 0 (R Rn ;R n ). The mass equation is equivalent to ki divv = 0 in Ω and v ν Ω = v Γ ν Ω, where Γ t := Ω t. That is, the domain occupied by the fluid is defined by the velocity v. Thus v has no constraint on Γ. We

253 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 253 therefore use the identity L 2 (Ω t ;R n ) = J(Ω t ) G 0 (Ω t ), J(Ω t ) := {ζ; divζ = 0}, G 0 (Ω t ) := { ξ; ξ W 1,2 0 (Ω t )} (IV7.10) to obtain variational formulations for v and p. In the momentum equation we replace ζ(t,x) by ζ(t,x) = ζ(t,x)+ ξ(t,x), ζ(t, ) J(Ω t ), ξ(t, ) G 0 (Ω t ), and obtain 0 = R Ω t k + i ( t ( ζ k + xk ξ) 0v k xi ( ζ k + xk ξ)( 0v k v i +pδ ki S ki ) +( ζ k + xk ξ)f k )dxdt. Since we can choose ξ = 0 while ζ is arbitrarily, and ζ = 0 while ξ is arbitrarily, the momentum equation results in two identities ( 0 = t ζk 0v k + xi ζk ( 0v k v i +pδ ki S ki ) R Ω t k i (IV7.11) + ζ k f k )dxdt for ζ(t, ) J(Ω t ) and 0 = R Ω t k ( t xk ξ 0v k + i xi xk ξ( 0v k v i +pδ ki S ki ) + xk ξf k )dxdt (IV7.12) for ξ with ξ(t, ) G 0 (Ω t ). In equation (IV7.11) we have xi ζk pδ ki dxdt = xk ζk pdxdt R = Ω t ki R Ω t div ζ pdxdt = 0 R Ω t k therefore this equation reduces to ( 0 = t ζk 0v k + i R Ω t k xi ζk ( 0v k v i S ki )+ ζ k f k )dxdt.

254 IV.7 Navier-Stokes Gleichung 254 In the equation (IV7.12) we compute xi xk ξ pδ ki dxdt = and R = = R R R = Ω t ki Ω t ki Ω t ki R ξ pdxdt+ Ω t xi xk ξ S ki dxdt xk ξ xi S ki dxdt ξ divsdxdt Ω t R R R R Ω t ξ pdxdt Γ t ξ (pν Ω )dh n 1 (x)dt, Γ t k xk ξ i Γ t ξ (Sν Ω )dh n 1 xdt, S ki ν Ω e i dh n 1 (x)dt and since (v v Γ ) ν Ω = 0 (siehe (IV7.9)) ( t xk ξ( 0v k )+ xi xk ξ( 0v k v i ) ) dxdt R Ω t k i = xk ξ ( t ( 0v k )+ xi ( 0v k v i ) ) dxdt R Ω t k i = 0 xk ξ ( t v k + ) v i xi v k +v k divv }{{} dxdt R Ω t k i =0 = 0ξ xk v i xi v k dxdt. R Ω t ki Here we have used that ξ = 0 on Ω. Altogether equation (IV7.12) becomes ( ξ ( p+divs)+ξ 0 xk v i xi v k )dxdt R Ω t ki + ξ (pν Ω Sν Ω )dh n 1 (x)dt = 0. R Γ t This is equivalent to the boundary condition pν Ω = Sν Ω and R Ω t ( ξ ( p+divs)+ξ 0 xk v i xi v k )dxdt = 0. ki The force term has the following property.

255 IV.7 Navier-Stokes Gleichung Remark. If we write f with respect to one of the identities as and in the same way we compute in 7.5 resp. 7.8 ζ f dxdt = Ω t L 2 (Ω t ;R n ) = J 0 (Ω t ) G(Ω t ), L 2 (Ω t ;R n ) = J(Ω t ) G 0 (Ω t ) f = f + ϕ ζ = ζ + ξ ζ f dxdt+ ξ ϕdxdt. Ω t Ω t Please keep in mind that f as well as ϕ depends on the decomposition, therefore are different functions in each case. Ist die Kraft gegeben durch Rotation und Schwere, ergibt sich ein weites Feld von Anwendungen, siehe etwa die Existenz einer Lösung in [35]. Für weiteres Studium siehe den Abschnitt 14.

256 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen Reaktions-Diffusionsgleichungen Wir betrachten ein System von Massen mit Massendichten α (mit α = 1,...,m), für die wir die Massenbilanz t α +div( αv +J α ) = r α für α = 1,...,m (IV8.1) fordern. Dies heißt, dass die einzelnen Massen miteinander reagieren (mit Rate r α ), und dass sie räumlich expandieren, also diffundieren (mit Fluss J α ). Gleichzeitig werden sie mit (nur) einer Geschwindigkeit v transportiert, und es ist die Frage, was die Geschwindigkeit v ist. Im Allgemeinen haben wir für v je nach Materialkomposition die folgenden Optionen. Abb. 14: Links: Bewegung einer Mischung. Rechts: Diffusion 8.1 Verschiedene Geschwindigkeitsmittel. Ist die Dichte α überall positiv, so schreibt man die Massenerhaltung der Spezies α, d.h. (IV8.1), auch als t α +div( αv α ) = r α, da dann für den Flussterm gilt J α = α(v α v), αv α = αv +J α. Hierbei sind v α und v Geschwindigkeiten und J α objektive Vektoren. (1) Barizentrische Geschwindigkeit. Mit den Konzentrationen (oder Massenanteilen, Massenfraktionen, en: mass fractions) c α := α wobei := α α > 0 die Gesamtmasse ist v = α c α v α.

257 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 257 (2) Mittlere Molargeschwindigkeit. Mit den Volumenanteilen (oder Molarfraktionen, en: molar fractions) n α := N α N mit N := α N α > 0, α = M α N α, wobei M α = const der Volumenanteil (die Molarmasse, en: molar mass) der Spezies α ist, ist v = n α v α. α (3) Geschwindigkeit einer dominierenden Komponente. Es ist β die dominierende Spezies und v = α δ α,β v α = v β. Bemerkung: Dies erhält man etwa im Limes α β 0 für α β. Abb. 15: Aus DeGroot & Mazur [5, Chap. XI 2] Beweis. Wir haben in allen Fällen v = α a α v α mit a α = 1. α (IV8.2)

258 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 258 Bei den Gleichungen t α +divq α = r α handelt es sich um Massengleichungen, sie werden wie skalare Gleichungen behandelt (siehe II.3.2). Also ist dies nach (II3.7) der Fall, falls α Y = α, q α Y = αẋ +Qq α, r α Y = r α. Es sind α objektive Skalare, und da q α = αv α, ist v α Y = Ẋ +Qv α, also v α eine Geschwindigkeit. Also ist dann, wenn (IV8.2) erfüllt ist, (IV8.3) v Y = α a α Y v α Y. Machen wir nun die Voraussetzung, dass a α objektive Skalare sind, d.h. a α Y = a α, (IV8.4) so wird v Y = α a α(ẋ +Qv α) = Ẋ +Q α a αv α = Ẋ +Qv, d.h. v ist ebenfalls eine Geschwindigkeit. Aus dieser Tatsache folgt nun, dass J α ein objektiver Vektor ist. Die Gleichung (IV8.4) ist in allen Beispielen erfüllt. Referenzen: Landau & Lifschitz [9, Kapitel VI Diffusion], DeGroot & Mazur[5, Chap. XI Heat Conduction, Diffusion and Cross-Effects], I. Müller [51, Phenomenological equations]. Und aus der mathematischen Literatur mit vielen Beispielen B. Perthame [53] und G.R. Gavalas [25, Chap. 2 Distributed Chemical Reaction Systems]. Welche Geschwindigkeitsmittelung wesentlich ist, hängt von den speziellen Materialien ab, die man beschreiben will. Wir gehen hier nicht weiter darauf ein, sondern werden im Folgenden einmal von einem baryzentrischen Mittel v ausgehen (siehe 8.1(1)) und zum anderen den Fall einer dominierenden Komponente (siehe 8.1(3)) betrachten. Wir postulieren, dass wenn die Gesamtmasse ist, eine einzelne Impulserhaltung für v ausreicht, d.h. man erhält ein System von m+2 Gleichungen bestehend aus den m Erhaltungsgleichungen für die Massen und der gemeinsamen Impulserhaltung und Energieerhaltung. (Eine andere Möglichkeit wird in der Mischungstheorie im

259 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 259 Abschnitt 15 dargestellt.) Wir erhalten also ein Allgemeines Diffusionssystem: t α +div( αv +J α ) = r α für α = 1,...,m, t ( v)+div( vv T +vj T +Π) = f, t e+div(ev v 2 J+Π T v +q) = g, := α Gesamtmasse, α (IV8.5) Π symmetrischer Drucktensor (siehe weiter unten), e = ε+ 2 v 2 Energie, zu J, r, f, g siehe (IV8.6) und (IV8.7). Die rechten Seiten f und g erfüllen (II3.27), also f = (r+j )v +f, f a force (see II.3.9), g = r 2 v 2 +v DvJ+v f +g, g an objective scalar, (IV8.6) und J und r sind die aufsummierten Größen J := α J α, r := α r α. (IV8.7) Es sei bemerkt, dass die Massenerhaltung für die Gesamtmasse lautet t +div( v +J) = r, was durch Aufsummieren der Gleichungen für die Partialmassen folgt. Hier ist die Energiebilanz aufgeführt, was einen Grund hat, nämlich dass die Temperatur bei Reaktionen teilweise eine wesentliche Rolle spielt, so etwa bei der Flammenausbreitung. Aber auch das Zusammenschütten zweier Substanzen, die dann reagieren, geschieht in der Regel mit einer Temperaturänderung. Die Massen- und Impulsgleichung für die Gesamtmasse und die Energiegleichung transformieren sich wie das Masse-Impuls-Energie- System in III.2.1 bzw. in II Das bestimmt die vorhandenen Größen Π als objektiven Tensor und q als objektiven Vektor. Als Gleichungen haben wir den abhängigen Erhaltungssatz für die Gesamtmasse (es bleiben dann noch m 1 unabhängige Gleichungen für die einzelnen Komponenten) und die folgende Version der Impulserhaltung und die Energieerhaltung für die innere Energie ε (siehe III.2.3): t +div( v +J) = r, Gesamtmasse, ( t v +v v)+divπ = f, Π symmetrisch, t ε+div(εv +q) = Dv Π+g, ε innere Energie. (IV8.8)

260 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 260 Geschwindigkeit einer dominierenden Komponente Die Geschwindigkeit wird als die einer dominierenden Größe v in 8.1(3) gewählt, wenn es sich bei dieser Komponente zum Beispiel um einen festen Körper der Dichte s handelt. Wenn dann dazu noch eine Flüssigkeit oder ein Gas mit variabler Dichte g vorhanden ist, so lauten die Diffusionsgleichungen (mit m = 2, 1 = g die Dichte des Gases, 2 = s die Dichte des festen Körpers) t g +div( gv +J g ) = 0, t s +div( sv) = 0, ( t v +v v)+divπ = f, t ε+div(εv +q) = Dv Π+g, (IV8.9) wobei f die klassische Kraft und g die Energieproduktion ist sowie = s + g. Wenn wir nun davon ausgehen, dass wir einen starren Körper haben, also s = constist, unddassderbeobachtervomdiesemkörperausdiediffusion beobachtet, also v = 0 ist, dann lauten die Gleichungen für das Gas t g +divj g = 0, t ε+divq = g. (IV8.10) Eine spezielle Lösung für die Gasgleichung wurde von Barenblatt [57] angegeben. Die Lösung ist von der Gestalt g = u und J g = a(u, u), also gilt die Massenerhaltung t u diva(u, u) = 0. (IV8.11) Dies wird in 8.3 gezeigt. Der Beweis benutzt 8.2 Ähnlichkeitslösungen. Wir suchen Lösungen (t, x) u(t, x), so dass u(t, ) für alle t dieselbe Gestalt hat, d.h. es gibt Funktionen t s(t) und t r(t) > 0, so dass u(t,x) = s(t)ũ ( r(t)x ) mit einer Funktion y ũ(y). Gilt dann für ein λ die Differentialgleichung div y ( a(ũ, y ũ)+λũy ) = 0, und hat ũ eine Abklingverhalten im Unendlichen, und ist die Gesamtmasse M := R n ũ(t,y)dy > 0, so folgt die Differentialgleichung (IV8.11) für u, wenn es für (w,p) a(w,p) ein m > 0 und ein l > 0 gibt mit a(σw,στq) = σ m τ l a(w,q) für alle σ > 0, τ > 0, u R, q R n,

261 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 261 und wenn s und r gegeben sind durch r(t) = c 0 t 1 α, s(t) = c1 r(t) n, α = n(m 1)+l+1, λαc α 0c m 1 1 = 1. Bemerkung: Für r = const ist dies die Separation in den Variablen t und x. Beweis. Wir betrachten Testfunktionen ζ(t,x) = r(t) n ζ(t,y) for y = r(t)x. Dann gilt (ohne Argumente) u = sũ, u = rs ũ, a(u, u) = s m r l a(ũ, ũ), ζ = r n ζ, ζ = r n+1 ζ, t ζ = r n 1( nr ζ +r t ζ +r y ζ ), und daher ζ, t u diva(u, u) D (R R n ) ( = t ζu+ ζ a(u, u) ) dxdt R R n ( = s nr ζ +r t ζ +r R R r( y ζ ) ) ũ+r l+1 s m ζ a(ũ, ũ) dydt n = ( ζ(s sn r r )ũ+ ζ (r l+1 s m a(ũ, ũ) s ũy)) r r dydt, R R n and writing ζ(t,y) = ξ(t)η(y) this is ( = ξ(t) s sn R r r, s r r,r l+1 s m) dt ( ) ηũ, η (ũy), η a(ũ, ũ) dy. Hence if R n ξ(t) (s sn r r, s r r,r l+1 s m) (IV8.12) varies in a onedimensional line and ( ) ηũ, η (ũy), η a(ũ, ũ) dy R n lies in the orthogonal hyperplane, it follows that the expression in (IV8.12) vanishes and therefore t u diva(u, u) = 0.

262 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 262 Therefore we consider the case that for constants λ and µ ( s sn r r, s r r,r l+1 s m) {ξ (µ,λ,1); ξ R} (IV8.13) for all t and that ( ηµũ+ η ( a(ũ, ũ)+λũy )) dy = 0. R n (IV8.14) Ifoneconsidersthelastequationforanη closetox BR (0), R > 0, oneobtains, if ũ decays fast enough at infinity, µm = lim µ ũdl n ( ) = lim a(ũ, ũ)+λũy dh n 1 = 0, R R B R (0) B R (0) and hence we conclude µ = 0 since M > 0. Therefore (IV8.14) reads R n η ( a(ũ, ũ)+λũy ) dy = 0, that is div y ( a(ũ, y ũ)+λũy ) = 0. Hence we have to consider the conditions on s and r. Since µ = 0, condition (IV8.13) can be written as s sn r r = 0, s r r = λr l+1 s m, The first equation says s = c 1 r n, c 1 a constant, and than the second implies, if c 1 0, r = λc m 1 1 r α+1, α = n(m 1)+l+1, that is (r α ) = αλc m 1 1 and therefore r(t) = c 0 t 1 α, with time shifted so that 0 becomes the singularity. Here c 0 is as in the formulation of the statement. The elliptic term is now chosen so that a(u, u) := d(u) u. Hence the condition in 8.2 it satisfied if l = 1, and if { 1 for m = 1, d(u) := mu m 1 for m > 1. It is u = r n ũ(rx), where ũ is by 8.2 the solution of div y ( d(ũ) y ũ+λũy ) = 0. If m = 1 (and as above d = 1) the differential equation is the linear diffusion equation t u div u = 0. It is u = sũ(rx), where r(t) = c 0 t 1 2, s(t) = c 1 t n 2, and 2λc 2 0 = 1, and where ũ(y) = exp( λ 2 y 2), hence u(t,x) = c 1 t n 2 ( exp x 2 2 ), (IV8.15) t

263 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 263 wich is, up to the constant c 1, the fundamental solution of the heat operator. (The heat equation is the second equation of system (IV8.10). If ε = c V sθ, see the ideal fluid in 2.5, and q = θ, the equation is identical to the heat equation c V s t θ div θ = g.) If m > 1 (and as above d(u) = mu m 1 ) the differential equation is a nonlinear equation t u div (u m ) = 0. There is the Barenblatt solution, which has compact support and in certain cases is a distributional solution. 8.3 Barenblatt Lösung. Sei m R und m > 1. Eine Lösung von ist gegeben für {(t,x); t > 0} durch t u u m = 0 in R R n ( ) u(t,x) = Ct n 1 α max 0,w(t,x) w(t,x) = R 2 x 2, t 1 α m 1, where C R and R > 0 are constants. The solution is radially symmetric and has compact support in space. For m 2 it is a distributional solution. Beweis in {u > 0}. It is m > 1 and d(u) = mu m 1. By 8.2 we have the equation for ũ div y ( y ũ m +λũy) = 0, which is satisfied, if λũy = y ũ m. This is true for ũ(y) := ( a b y 2) 1 m 1 for a b y 2 > 0 where a,b R, if λ = 2mb m 1. Indeed, ũ(y)m = ( a b y 2) m m 1 and y ũ m = m ( a b y 2 ) 1 m 1 1 2by m 1 = 2bm 2mb = λũ(y)y if λ = m 1ũ(y)y m 1. And r(t) = c 0 t α, 1 s(t) = c 1 t n α (if the time is shifted) with αλc1 m 1 c α+1 0 = 1 imply that ( x u(t,x) = r(t)ũ(s(t)x) = c 1 t n α a b c 0 2 ) 1 m 1 ( = c 1 t n α a bc 2 0 x 2 ) 1 m 1 t 1 α ( = (c 1 (bc 2 0) 1 m 1 )t n a α bc 2 0 ( = Ct n α R 2 x 2 ) 1 m 1 t 1 α x 2 ) 1 m 1 t 1 α t 1 α

264 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 264 with ( C = c 1 (bc 2 0) 1 m 1 a )1 2, R = bc 2 0 b = (m 1)λ 2m, αλcm 1 1 c α+1 0 = 1. Here C, R, and λ are three independent constants. Beweis im ganzen Raum. Auf jeden Fall ist die Lösung u stetig im ganzen 1 Raum. Für m < 2, d.h. m 1 > 1, ist die Lösung am Rande von D := {(t,x) ; x < Rtα} 1 stetig differenzierbar, also eine klassische Lösung in R R n. Im allgemeinen ist u m = C m ( t nm α R 2 x 2) m m 1 in D und daher in D u m = C m 1 t nm α = C m 1 t nm+2 α t 1 α m ( R 2 m 1 x t 1 α 2) 1 2 m 1 x t 2 α m t n α m 2x = Cm m 1 C m 1 2ux, das heißt, u m ist stetig auf D, und daher eine Distribution. Wir zeigen nun noch, dass das negative Vorzeichen in J g = m m 1 g g und q = θ eine direkte Folge des Entropieprinzips ist. 8.4 Entropieprinzip (im festen Körper). Für das System (IV8.9) mit s = const und = s gilt das Entropieprinzip, falls für die Entropie und den Entropiefluss η = η( g,ε), ψ = ηv +η gj g +η εq, wenn in der Impuls- und Energiegleichung (IV8.9) Π = pid, p = θ(η gη g) ε, q = θ, g = 0, und wenn die Residualungleichung σ = η g J g + η ε q 0 erfüllt ist. Bemerkung: Istetwa η( g,ε) = c V slogε c P glog g, sowirdwegenθ = 1 η ε 1 ( 1 σ = c P g J g + q. θ) g

265 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 265 Beweis. Die erste Massengleichung und die Energiegleichung im System (IV8.9) können geschrieben werden als g + gdivv = divj g = 0, ε+εdivv = Dv Π divq +g, und wir haben s = const und = s. Da η = η( g,ε) sagt das Entropieprinzip, dass 0 σ = t η +divψ = η +ηdivv +div(ψ ηv) = η g g +η ε ε+ηdivv +div(ψ ηv) = (η gη g εη ε)divv η εdv Π η gdivj g η εdivq +η εg +div(ψ ηv) ( ) = Dv (η gη g εη ε)id η επ + η g J g + η ε q +η εg +div(ψ ηv η gj g η εq). The representation of Π and ψ in the statement give that the first term and the last term vanish. Also g = 0 (this is called the energy principle). Thus σ = η g J g + η ε q. This is true under a special limit in the equations. In a general setting the entropy production will look different and therefore also the consequences. Baryzentrische Geschwindigkeit Beim baryzentrischen Mittel in 8.1(1) werden die Konzentrationen der einzelnen Phasen c α := α für die Phase α, mit α c α = 1, (IV8.16) betrachtet. Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen. 8.5 Lemma. Die Massenbilanzen sind äquivalent zu ( t c α +v c α )+divj α c α divj = r α c α r für α = 1,...,m und der Gasamtmassenbilanz in (IV8.8). Dabei sind J and r wie in (IV8.7) definiert. Häufiger Standardfall: Sind die Gesamtgrößen J = 0 und r = 0, so gelten

266 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 266 für die Konzentration c α ( t c α +v c α )+divj α = r α. (IV8.17) Beweis. Die Massenerhaltung für die Phase α ist r α = t ( c α )+div( c α v +J α ) = ( t c α +v c α )+divj α +c α ( t +div( v) ), = r divj which is the assertion. Remember that the m equations for the concentrations are m 1 independent equations. Schließlich postulieren wir das Entropieprinzip σ := t η +divψ 0 (IV8.18) für Lösungen des Systems (IV8.5), wobei η die Entropie und ψ der Entropiefluss ist, beides sind Größen, die wir noch zu bestimmen haben. Wichtig bei der Berechnung von σ wird folgende Definition sein. 8.6 Definition (Erste Variation). Es sei g ein Funktional abhängig von Funktionen = ( α) α und u = (u k ) k in U R N, also g = g(, u). Dann existiert die erste Variation δg δg δ von g nach, falls δ eine L1 - Funktion ist, für die für ζ = (ζ α ) α mit ζ α D(U) gilt lim δ 0 U Es gelten die folgenden Aussagen: 1( ) g( +δζ, u) g(, u) dl N = ζ δg δ U δ dln. (1) Ist g eine konstitutive Funktion y g(, u)(y) = ĝ( (y), u(y)), so gilt δg δ α = ĝ α. (2) Ist g eine konstitutive Funktion y g(, u)(y) = ĝ( (y), (y), u(y)), so gilt δg = ĝ α δ α divĝ α.

267 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 267 Hinweis: Die Darstellung in (1) bedeutet g(, u) = ĝ( ( ), u( )), also eine lokale Abhängigkeit, in (2) ensprechend g(, u) = ĝ( ( ), ( ), u( )). Beweis (1). ζ δg 1( ) U δ dln = lim g( +δζ, u) g(, u) dl N δ 0 U δ 1 ) = lim (ĝ( +δζ, u) ĝ(, u) dl N δ 0 U δ 1 = lim ( δ 0 ĝ)( +sδζ, u) ζdsdl N = ( ĝ)(, u) ζdl N. U 0 Dies gilt für alle Testfunktionen ζ, also δg δ = g = g. U Beweis (2). Wir nehmen an, dass g(, u) = ĝ ( ( β ) β 1, u ). ζ δg 1( ) U δ dln = lim g( +δζ, u) g(, u) dl N δ 0 U δ 1 ( ( ) ( )) = lim ĝ ( β +δ β ζ) δ 0 U δ β 1, u ĝ ( β ) β 1, u dl N 1 ( ) = lim ĝ α ( β +sδ β ζ) β 1, u α ζdsdl N δ 0 U 0 α: α 1 ( = ( β ) β 1, u ) α ζdl N = ĝ α U α: α 1 U α: α 1 ( 1) α α( ĝ α ( ( β ) β 1, u )) ζdl N. Dies gilt für alle Testfunktionen ζ, also ist δg δ = ( 1) α α( ĝ ( α ( β ) β 1, u )) = g divg. α: α 1 Dass die Gleichungen in 8.6(2) eine Bedeutung haben, werden wir bei der Allen-Cahn und der Cahn-Hilliard Gleichung sehen, in der Mathematik sind die Euler-Lagrange Gleichungen ein Beispiel. Wir benutzen die erste Variation zur Definition des 8.7 Chemisches Potential. Sei η die Entropie und f = ε θη, θ = 1 η ε,

268 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 268 wobei f die innere freie Energie, ε die innere Energie und θ die Temperatur ist. Dann ist das chemische Potential bzgl. der Komponente α einerseits definiert durch die Entropie η µ s α := θ δη δ α und andererseits durch die innere freie Energie µ f α := δf, δ α was im Allgemeinen ein anderes Potential ist. (1) ImFalledassη = η(,ε), entsprechendf = f(,θ), gilt, sinddiechemischen Potentiale µ α := µ s α = µ f α gleich, also µ α := θη α = f α. (2) Gilt η = η(,,ε), entsprechend f = f(,,θ), so ist µ f α = f α divf α, µ s α = θη α +θdivη α, und die Differenz zwischen µ f α und µ s α ist µ f α µ s α = η α θ. Bemerkung: Eine einheitliche Definition von µ α findet sich auch in 9.2. (3) Ist θ = const, so ist nur f definiert und falls f = f(,,θ) gilt µ α := µ f α = f α divf α. Historie: Zur Definition des chemischen Potentials µ α = θη α siehe I. Müller [51, (6.47) S. 185]. Es sei bemerkt, dass der Begriff chemisches Potential von Gibbs stammt, siehe [Wikipedia: Chemical potential History]. Referenzen: Es sei auf I. Müller [51, Chemical potentials] verwiesen. Siehe auch [Wikipedia: Chemical potential], wo chemische Potentiale bzgl. der N α (siehe 8.1(2)) betrachtet werden. In diesem Zusammenhang sei auch auf die Stetigkeit des chemischen Potentials in 9.4 Bezug genommen.

269 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 269 Beweis. Es ist, wenn wir die Funktionen als Funktionale schreiben, f(,θ) = ε θη(,ε), θη ε(,ε) = 1. Wenn wir nun konstitutive Funktionen annehmen, ist, zum Beispiel, η(,ε) = η ( ( β ) β 1,ε ), f(,θ) = f ( ( β ) β 1,θ ), und somit wegen 1 θ = η ε θ = θ ( ( β ) β 1,ε ). Dann können wir die Gleichung f = ε θη schreiben als f ( ( β ) β 1, θ ( ( β ) β 1,ε )) = ε θ ( ( β ) β 1,ε ) η ( ( β ) β 1,ε ). Die Ableitung nach ε ist gleich (wir unterdrücken Argumente) f θθ ε = 1 θη ε θ εη, = 0 also f θ = η. Und die Ableitung nach α, α 0, ist gleich f α +f θθ α = θη α θ α η. Da schon f θ = η gezeigt war, ist also f α θη α. Wir haben also Also ist θ δη δ = θ α: α 1 f θ = η, f α = θη α für α 1. ( 1) α α (η α ) = θ α: α 1 ( 1) α α( 1 θ f α ). Beweis. Es ist wegen θη α = f α und θη α = f α µ f α µ s α = f α +θη α divf α θdivη α = div(θη α) θdivη α = η α θ.

270 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 270 Isothermer Fall Häufig werden Reaktions-Diffusionsgleichungen in der isothermen Situation θ = θ 0 = const behandelt, wobei wir hier der Einfachheit halber nur den Fall r = α r α = 0, J = α J α = 0 (IV8.19) betrachten. In dieser Situation ist das Entropieprinzip durch die freie Energiegleichung zu ersetzen, siehe dazu Abschnitt III.3. Das System der Erhaltungsgleichungen besteht in diesem Fall nur aus den Massenerhaltungen und der gemeinsamen Impulserhaltung (die Kraft ist die klassische Kraft, da r = 0 und J = 0 ist) Isothermes Reaktions-Diffusions-System: t α +div( αv +J α ) = r α für α = 1,...,m, t ( v)+div( vv T +Π) = f, := α Gesamtmasse, r α = 0, α α Π symmetrischer Drucktensor, J α = 0, f klassische Kraft (siehe II.3.9). α (IV8.20) Es wird die freie Energieungleichung (siehe z.b. 7.1) gefordert, also mit σ f := t f tot +divϕ tot v f 0 f tot = f + 2 v 2, f die innere freie Energie, ergeben sich folgenden Gleichungen. 8.8 Lemma. Für die kinetische Energie f kin := 2 v 2 gilt t f kin +div ( f kin v +Π T v ) = v f +Dv Π. Für die freie Energieproduktion gilt σ f = t f +div(fv +ϕ)+dv Π, wenn f tot = f +f kin, ϕ tot = f tot v +Π T v +ϕ. (IV8.21) Hinweis: Im Allgemeinen muss σ f = t f tot + divϕ tot + g tot als objektiver Skalar gewählt werden, also etwa g tot = v 2 2 r v DvJ v f.

271 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 271 Beweis. Die Gleichung für die Gesamtmasse und den Impuls ist t +div( v) = 0, ( t v +(v )v)+divπ = f. Dann ist (vgl. III.2.2) ( ( ) t 2 v 2) +div 2 v 2 v = v 2 2 ( t +div( v))+ v ( t v +(v )v) (wegen v 2 ) 2 = v (Dv)T = (v )v = v (f divπ) = div(π T v)+v f +Dv Π. Das ist die erste Gleichung und sie weist das gleiche Transformationsverhalten wie die Energiegleichung auf. Die zweite Gleichung folgt wegen σ f = t f tot +divϕ tot v f = t (f +f kin )+div(fv +f kin v +Π T v +ϕ) v f = t f +div(fv +ϕ)+dv Π. Es ist ϕ eine objektiver Vektor. Somit lautet die freie Energieungleichung dann 0 σ f = t f +div(fv +ϕ)+dv Π. (IV8.22) Wir können die folgenden Fälle unterscheiden. 8.9 Spezialfälle. Wirnehmenan, dass(iv8.21)giltunddassmitπ = P S der Spannungstensor S Dv S 0, S = Ŝ(,(Dv)S ), Ŝ(,0) = 0 erfüllt und symmetrisch ist. In allen drei Fällen gilt σ f = Dv S + (µ α r α + µ α J α ), α wobei in den Fällen folgende Voraussetzungen gelten: (1) Reaktions-Diffusions-Modelle. Es ist f = f( ), also µ α = f α. Es sind J α die Diffusionsterme und r α die Reaktionsraten. Die Massenerhaltungen lauten t α +div( αv +J α ) = r α für α = 1,...,m.

272 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 272 Die Energieungleichung ist erfüllt, wenn (es ist ϕ = α µ αj α ) P = ( αf α f ) ( ) Id und µα J α +µ α r α 0. α Wähle die Diffusionstereme J α = Ĵα(, ) und die Reaktionsraten r α = r α ( ) so, dass die Ungleichung ( (f α( )) Ĵα(, )+f α( ) r α ( ) ) 0 erfüllt ist. α (2) Allen-Cahn Gleichung. Es ist f = f(, ) und es ist J α = 0 für alle α. Dann ist µ α = δf δ α und die Massengleichungen lauten t α +div( αv) = r α für α = 1,...,m. Die freie Energieungleichung ist erfüllt, wenn (es ist ϕ = α αf α) P = ( αµ α f ) Id+ α(f α) T und µ α r α 0. α α Also wähle etwa r α = r α (,(µ β ) β ) mit der Ungleichung µ α r α (,(µ β ) β ) 0. α Beispiel: r α = β c αβ( )µ β mit (c αβ ( )) α,β positiv semidefinit. (3) Cahn-Hilliard Gleichung. Es ist f = f(, ) und es ist r α = 0 für alle α. Also sind µ α = δf δ α und die Massengleichungen lauten t α +div( αv +J α ) = 0 für α = 1,...,m. Die freie Energieungleichung ist erfüllt, wenn (ϕ = α µ αj α α αf α) P = ( αµ α f ) Id+ α(f α) T und µ α J α 0. α α Also wähle etwa J α = Ĵα(, µ,( µ β ) β ), wobei µ := (µ β ) β, mit der Ungleichung µ α Ĵα(, µ,( µ β ) β ) 0. α Beispiel: J α = β c αβ(, µ) µ β mit (c αβ (, µ)) α,β positiv semidefinit. Man muss hierbei die Nebenbedingung (IV8.19) und die Energieungleichung berüchsichtigen. Man kann diese Gleichungen natürlich auch in den Konzentrationen schreiben. Oft werden diese Gleichungen auch mit = α α = const und auch, falls die Impulsgleichung dies erlaubt, mit Beobachter betrachtet, für die v = 0 ist. α α α

273 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 273 Beweis (1). Es ist f = f( ), also µ α = f α und f = α f α α = α µ α α, α + αdivv = r α divj α. Damit folgt mit (IV8.22) σ f = f +fdivv +divϕ+dv Π = f α α +fdivv +Dv Π+divϕ α = ( f ) αf α divv +Dv Π+ µ α (r α divj α )+divϕ α α ( (f ) ) = Dv αf α Id+Π + (µ α r α + µ α J α ), α α wenn ϕ = α µ αj α gesetzt wird. Wenn wir nun S so wählen, dass Π = ( α αf α f ) Id S, bleibt also σ f = Dv S + (µ α r α + µ α J α ) α übrig. Hier Dv S 0 aus den allgemeinen Voraussetzungen. Beweis (2) und (3). Es ist f = f(, ), wobei dies ein objektiver Skalar sein soll. Daher ist Wir haben jetzt µ α = δf δ α = f α divf α. f = α f α α + α f α ( α), wobei für die totale Zeitableitung von α gilt ( α) = α Dv T α, (IV8.23) was sich aus der folgenden Rechnung ergibt: ( i α) = t ( i α)+(v )( i α) n = t i α + v j j i α j=1 i t i j = i t α + n ( i (v j j α) ( i v j )( ) j α) j=1 = i ( t α + n j=1 = i α ( Dv T α v j j α ) n ( i v j )( j α) ) i. j=1

274 IV.8 Reaktions-Diffusionsgleichungen 274 Damit ist f = α f α α + α f α α α f α Dv T α = α ( µ α α +div α ) αf α Dv = Dv ( α(f α) T ) ( α(f α) T). α Also folgt wegen α = αdivv +r α divj α Wenn nun σ f = f +fdivv +divϕ+dv Π = ( f ) αµ α divv + µ α (r α divj α ) α α ( +div ϕ+ ) ( αf α +Dv Π α(f α) T) α α ( = Dv Π αµ α f ) ) Id α + α α(f α) T ( α ( (µ α r α + µ α J α )+div ϕ+ α αf α α µ α J α ). Π = ( α αµ α f ) Id+ α α(f α) T S, ϕ = α µ α J α α αf α gesetzt wird, erhalten wir σ f = Dv S + (µ α r α + µ α J α ). α Hier Dv S 0 aus den allgemeinen Voraussetzungen. Wir haben also verschiedenen Arten dieser Gleichungen kennengelernt und natürlich ist die temperaturabhängige Version dieser Diffusionsgleichungen von besonderem Interesse.

275 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion Temperaturabhängige Diffusion Wir behandeln nun Diffusionsgleichungen mit thermischer Ausdehnung, was eine wesentliche Eigenschaft bei Reaktionen ist. Wir betrachten hier der Einfachheit halber wieder nur den Fall (IV8.19). Das Differentialgleichungssystem ist dann Reaktions-Diffusions-System: t α +div( αv +J α ) = r α für α = 1,...,m, t ( v)+div( vv T +Π) = f, t e+div(ev +Π T v +q) = v f +g, := α Gesamtmasse, r α = 0 α α Π symmetrischer Drucktensor, J α = 0 e = ε+ 2 v 2 Energie, α (IV9.1) Das Entropieprinzip besagt das Folgende, falls die Entropie nicht von Ableitungen abhängt: 9.1 Entropieprinzip. Wenn für die Entropie und den Entropiefluss gilt η = η(( α) α,ε), ψ = ηv + 1 θ qh + α µ η αj α, so ist das Entropieprinzip erfüllt, falls in den Gleichungen (IV8.5) (bzw. in (IV8.1) und (IV8.8)) gilt Π = pid S, p = ( α αf α) f, q = q h + α µ h αj α, µ α = µ h α θµ η α, g = 0 und die Residualungleichung 0 σ = 1 θ Dv S + ( 1 θ ) q h α erfüllt ist, wobei f = f(( α) α,θ) und 1 θ µ αr α + α µ α = θη α = f α. ( µ η α 1 ) θ µh α J α Definition: Die Gleichung µ α = µ h α θµ η α zerlegt das chemische Potential in einen Energieanteil µ h α und einen Entropieanteil µ η α.

276 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 276 Man kann also zum Beispiel µ h α = µ α setzen, so dass dann µ η α = 0, also hat der Entropiefluss die Darstellung wie bei Clausius-Duhem, oder man setzt µ η α = 1 θ µ α = η α und dann µ h α = 0. In diesem Falle besteht der Energiefluss q nur aus dem Wärmeanteil, dafür hat der Entropiefluss zusätzliche J α -Terme. (Diese Alternative wurde zuerst in Alt & Pawlow [H.W. Alt, I. Pawlow: On the entropy principle of phase transition models with a conserved order parameter. AMSA 6, pp , 1996] benutzt, und zwar in dem Fall, der in 9.3 behandelt wird.) Beweis. Wir wiederholen den Beweis von III.2.4, wobei jetzt für die Entropie gilt η = η(( α) α,ε), also ist die Entropie nun eine Funktion von jeder Massendichte α der Mischung. Definiere h = t h+v h für jede Funktion h. Dann ist η = α η α α +η εε wobei α und ε durch die Differentialgleichungen der Mischung ausgedrückt werden können (wir setzen Π = pid S, ohne Bezug auf die Bedeutung der Terme): α + αdivv = r α divj α, Daher ε+(ε+p)divv +divq = Dv S +g. 0 σ = t η +divψ = η +ηdivv +div(ψ ηv) = α η α α +η ε ε+ηdivv +div(ψ ηv). (IV9.2) Es folgt α = α η α α +η ε ε+ηdivv η α( αdivv +r α divj α ) +η ε( (ε+p)divv divq +Dv S +g)+ηdivv = divv (η α αη α (ε+p)η ε) +η εdv S + α η α(r α divj α )+η ε(g divq). Gehe jetzt zum Beweis des klassischen Falles oder zum Beweis des allgemeinen Falles über.

277 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 277 Beweis (klassisch). Wir nehmen an, dass wir r α divj α wie Raten behandeln können (womit also der Fall abgedeckt ist, dass die Flüsse J α verschwinden). Dann ist η α(r α divj α )+η ε(g divq) α = α η α(r α divj α )+η εg η εdivq (IV9.3) = α η α(r α divj α )+η εg + η ε q +div( η εq), wobei die letzte Gleichung die Standardmanipulation η εdivq = div(η εq) η ε q darstellt. Also ergibt dies den Term η εq im Entropiefluss, der schon in der Clausius-Duhem Gleichung auftrat. Gehe jetzt zur Fortführung des Beweises. Beweis (allgemein). Für allgemeine J α erhalten wir, wenn wir q = q h +J h schreiben, η α(r α divj α )+η ε(g divq) α = η αr α +η εg η εdivq h α α η αdivj α η εdivj h. Den q h -Term formen wir wie bei Clausius-Duhem um η εdivq h = div(η εq h ) η ε q h und die restlichen Flussterme sind, wenn wir setzen J h = α µ h αj α, J η := α µ η αj α, gleich α η αdivj α η εdivj h = ( η αdivj α η εdiv(µ h αj α )+div(µ η αj α )) divj η α = ( η α η εµ h α +µ η α)divj α divj η α + ( η ε µ h α + µ η α) J α, α

278 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 278 somit η α(r α divj α )+η ε(g divq) α = η αr α +η εg div(η εq h +J η )+ η ε q h α + ( η α η εµ h α +µ η α)divj α α + ( η ε µ h α + µ η α) J α. α (IV9.4) Gehe jetzt zur Fortführung des Beweises. Beweis (Fortführung). Also erhalten wir(mit den rechten Seiten von(iv9.3) bzw. (IV9.4)) 0 σ = div(ψ ηv η εq) +divv (η α αη α (ε+p)η ε) +η εdv S + η α(r α divj α )+η εg + η ε q α = div ( ψ ηv η εq h µ η ) αj α α +divv (η α αη αs (ε+p)η ε) +η εdv S + α η αr α +η εg + η ε q h + ( η ε µ h α + µ η α) J α α + ( η α η εµ h α +µ η α)divj α. α Setzen wir nun die vier Gleichungen ψ ηv η εq h α µ η αj α = 0 (Entropiefluss), η α g = 0 αη α (ε+p)η ε = 0 (Gibbs-Relation), (Energieerhaltung), η α η εµ h α +µ η α = 0 (Verteilung der µ α -Terme), voraus, so folgt ( η αr α +( µ η α η ε µ h α) J α ), 0 σ = η εdv S + η ε q h + α was äquivalent zur behaupteten Residualungleichung ist. Beweis (Innere freie Energie). Wir führen die innere freie Energie ein f(( α) α,θ) := ε θη(( α) α,ε) mit θ = θ(( α) 1 α,ε) := η ε(( α) α,ε),

279 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 279 und berechnen die Ableitung nach ε f θθ ε = 1 θη ε θ εη = θ εη, also f θ = η, und α f α +f θθ α = θη α θ αη, also f α = θη α. Es gilt somit f θ = η und f α = θη α. Also ist 0 = θ ( η α ) αη α (ε+p)η ε = θη α αθη α ε p = α αf α f p, und 0 = θ ( η α η εµ h α +µ η ) α = µ α µ h α +θµ η α, und daher wird die Entropieproduktion zu 0 σ = 1 ( 1 ) θ Dv S + q h 1 θ α θ f αr α + α ( µ η α 1 ) θ µh α J α. Das Reaktion-Diffusions-System schreibt sich also unter der Annahme, dass (IV8.19) erfüllt ist, mit den Konzentrationen wie folgt Reaktions-Diffusions-System: t ( c α )+div( c α v +J α ) = r α für α = 1,...,m, t ( v)+div( vv T +pid S) = f, t e+div((e+p)v Sv +q h + µ h αj α ) = v f, α e = ε+ 2 v 2, p = ( αf α) f, α µ α = µ h α θµ η α, r α = 0, J α = 0, α α (IV9.5) wobei S, q h, r α, and J α die Residualungleichung erfüllen müssen. Hierbei sind die Entropie und der Entropiefluss wie in 9.1 gewählt. Siehe jetzt insbesondere den Abschnitt 11, wo temperaturabhängige Anwendungsprobleme behandelt werden.

280 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 280 Abhängigkeit vom Gradienten Wir leiten nun noch das Entropieprinzip her, falls die frei Energie auch von den Gradienten der Dichten abhängt. Dafür ist die folgende Definition wichtig. 9.2 Chemisches Potential (Gradientenabhängigkeit). Es gelte η = η(,,ε) bzw. f = f(,,θ). Seien Vektorfelder h ε α and h η α gegeben mit und definiere so dass also gilt η α = h η α + 1 θ h ε α (IV9.6) µ α := δf θ ( δη ( 1 h η α = θ + δ α δ α θ) ) h ε α, µ α = f α +θdiv h η α +div h ε α = θ ( η α div h η α η εdiv h ε α). Speziell: Es gilt θ δη = µ s α wenn h ε α = 0, δ α µ α = δf = µ f α wenn h η α = 0. δ α Außerdem, wenn h η α = 0 und h ε α = 0, also η und f vom Gradienten unabhängig, so gilt die alte Definition µ α = θη α = f α in 8.7. Beweis. Es gilt (immer mit den richtigen Argumenten) f α = θη α, also ist (IV9.6) äquivalent zu f α = θη α = θ h η α h ε α, (IV9.7) also ist δf θ h η α = f α +θdiv h η α +div h ε α δ α = θ ( η α div h η α η εdiv h ε ) α ( δη ( 1 = θ + δ α θ) ) h ε α.

281 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion Entropieprinzip (Gradientenabhängigkeit). Wenn für die Entropie und den Entropiefluss gilt, dass η = η(( α) α,( α) α,ε) ein objektiver Skalar ist, ψ = ηv + 1 θ qε (µ η αj α + α h η α ), α so ist das Entropieprinzip erfüllt, falls in den Gleichungen Π = P S, ( P = θ(η εη ε)+ α αµ α ) Id θ α q = q ε + (µ ε αj α + α h ε α ), g = 0 α gilt und die Residualungleichung 0 σ = 1 θ Dv S + ( 1 θ ) q ε α 1 θ µ αr α α erfüllt ist, wobei f = f(( α) α,( α) α,θ) und α η α, ( µ η α + 1 ) θ µε α J α µ α = µ ε α +θµ η α, η α = h η α + 1 θ h ε α. (IV9.8) Hierbei ist das chemische Potential µ α wie oben in 9.2 definiert. Bemerkung: Die Zerlegung der Terme in (IV9.8) bestimmt, welcher Anteil in den Gleichungen der physikalischen Prozesse auftreten. Beweis. Wir beginnen wie im klassischen Fall III.2.4, wobei jetzt für die Entropie η = η(,,ε) gilt, weshalb 0 σ = t η +divψ = η +ηdivv +div(ψ ηv) = α (η α α +η α ( α) )+η ε ε+ηdivv +div(ψ ηv), wobei wir hier α und ε durch die Gleichungen α + αdivv = r α divj α, ε+εdivv +divq = Dv Π+g (IV9.9) ersetzen wollen, also bleibt ( α) zu betrachten. Die totale Zeitableitung ( α) erfüllt: ( α) = α Dv T α, (IV9.10)

282 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 282 was sich aus der folgenden Rechnung ergibt: ( i α) = t ( i α)+(v )( i α) n = t i α + v j j i α j=1 i t i j = i t α + n ( i (v j j α) ( i v j )( ) j α) j=1 = i ( t α + n j=1 = i α ( Dv T α v j j α ) n ( i v j )( j α) ) i. Indem wir nun (IV9.10) benutzen und ε von (IV9.9) einsetzen, erhalten wir j=1 0 σ = div(ψ ηv)+ηdivv + α η α α + α η α α α η α (Dv T α) εη εdivv +Dv ( η επ) η εdivq +η εg ( = div(ψ ηv)+dv (η εη ε)id ) α(η α) T η επ α + α η α α + α η α α η εdivq +η εg. In der letzten Zeile nutze nun aus, um zu erhalten α = α η α α + α η α η α = h η α +η ε h ε α, q = q ε + α µ ε αj α + α α h ε α η α α η εdivq +η εg α + ( h η α +η ε h ε α ) α α α = α η εdiv( α h ε α +µ ε αj α ) η εdivq ε +η εg div( α h η α ) η εdivq ε +η εg + (η α div h η α η εdiv h ε α) α α α η εdiv(µ ε αj α ). Indem in der letzten Zeile η εµ α = η α div h η α η εdiv h ε α

283 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 283 ausgenutzt wird, wird dies, wenn wir von (IV9.9) einsetzen, = α div( α h η α ) η εdivq ε +η εg α η εµ α α α η εdiv(µ ε αj α ) = α α div( α h η α ) η εdivq ε +η εg η εµ α ( αdivv +r α divj α ) α η εdiv(µ ε αj α ) ( = div α ( +Dv α α h η α + α ) αη εµ α Id α µ η αj α ) η εdivq ε +η εg η εµ α r α + α η εµ α divj α α div(µ η αj α ) α η εdiv(µ ε αj α ). And since η εµ α µ η α η εµ ε α = 0 we see that the last line is ( µ η α +η ε µ ε α)j α. α Altogether 0 σ = div(ψ ηv) ( +Dv (η εη ε)id α ) α(η α) T η επ ( +div α ( +Dv α This proves the assertion. α h η α + α ) αη εµ α Id α ( µ η α +η ε µ ε α)j α. α µ η αj α ) η εdivq ε +η εg η εµ α r α Stetigkeit des chemischen Potentials Wir vergegenwärtigen uns nocheinmal die Definition der Temperatur und die Definition des chemischen Potentials 1 δη := θ δε = η ε, µ α δη ( ) := = η α, θ δ α wobei in Klammern der Fall angegeben ist, in dem η = η(( α) α,ε) ist (also von den Gradienten der Dichten nicht abhängt). Wir sehen also, dass es sich sowohl bei der Temperatur als auch beim chemischen Potential um erste

284 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 284 Ableitungen der Entropie handelt. In III.2.6 hatten wir schon gezeigt, dass daraus an der Grenze zwischen zwei Medien die Stetigkeit der Temperatur folgt. Wir zeigen nun, dass das chemische Potential am Grenzübergang stetig ist. Voraussetzung dafür ist, dass es keinen Produktionsterm auf der Grenze gibt. 9.4 Stetigkeit des chemischen Potentials. Es gelten die Massen-, Impuls- und die Energieerhaltung im Distributionssinn in U R R n, wobei (für einen Beobachter) U t = D (1) Γ D (2), Γ eine glatte Fläche, sei und U t := {x; (t,x) U}. Dann folgt für die chemischen Potentiale µ (1) = µ (2) auf Γ. Die Differentialgleichungen mit freiem Rand erhält man auch durch eine Phasenfeldapproximation (siehe [13]). Beweis. Wir fassen die Erhaltungsgleichungen auf als Distributionsgleichungen, wobei das für die Massenerhaltungen besagt, dass mit t [ ]+div[ v +J] = [r] in D (U) = (1) in D (1), = (2) in D (2), entsprechend für v, J, r, v (1) ν = 0, v (2) ν = 0 auf Γ, wobei ν eine Einheitsnormale auf Γ ist. Für Testfunktionen ζ D(U) heißt dies ( 0 = t ζ + ζ ( v +J)+ζr ) d(t,x) U = ( t ζ (k) + ζ ( (k) v (k) +J (k) )+ζr (k)) dxdt k R D (k) = ζ ( t (k) div( (k) v (k) +J (k) )+r (k)) dxdt k R D (k) + ζν ( (2) v (2) +J (2) (1) v (1) J (1) )dh n 1 (x)dt, R Γ wobei ν = ν D (2) = ν D (1). Daraus folgt t (k) div( (k) v (k) +J (k) )+r (k) = 0 in R D (k), das heißt die Differentialgleichung in den einzelnen Phasen, und am Grenzübergang Γ J (2) ν = J (1) ν.

285 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 285 Entsprechend folgt aus der distributionellen Impulserhaltung neben den Differentialgleichungen in D (k) Π (2) ν = Π (1) ν auf Γ und die distributionelle Energieerhaltung ergibt q (2) ν = q (1) ν auf Γ. Jetzt schauen wir uns noch die Entropieungleichung an, die in der distributionellen Version lautet mit t [η]+div[ψ] 0 in D (U) η = η (1) in D (1), η = η (2) in D (2), und entsprechend für ψ, das heißt, wir nehmen an, es treten keine distributionellen Terme auf Γ auf. Die Entropieungleichung sagt für nichtnegative Testfunktionen ζ ( 0 t ζ η + ζ ψ ) d(t,x) U = ( t ζ η (k) + ζ ψ (k)) dxdt k R D (k) = ζ ( t η (k) divψ (k)) dxdt k R D (k) + ζν (ψ (2) ψ (1) )dh n 1 (x)dt. k R Γ Die Entropieungleichung in U enthält nun einerseits 0 t η (k) divψ (k) in D (k), die Entropieungleichung in D (k), und zum anderen 0 ν (ψ (2) ψ (1) ). Da der Entropiefluss ψ (k) in D (k) erfüllt ist ψ (k) η (k) v (k) = 1 θ (k)q(k)h +µ (k)η J (k) ( es ist µ (k) = µ (k)h θ (k) µ (k)η) = 1 θ (k) ( q (k)h +µ (k)hj(k)) µ(k) θ (k)j(k) = 1 θ (k)q(k) µ(k) θ (k)j(k), 0 ν (ψ (2) ψ (1) ) = ( 1 θ (2) 1 ) ( µ (2) ) µ(1) θ (1) ν q θ (2) θ (1) ν J,

286 IV.9 Temperaturabhängige Diffusion 286 wobei q = q (1) = q (2) und J = J (1) = J (2), wie oben gezeigt. Da ν q und ν J beliebige Werte haben können, folgt 1 θ (2) = 1 θ (1), µ (2) θ θ (1). (2) = µ(1)

287 IV.10 Biologische Reaktionen Biologische Reaktionen Wir geben hier einige Beispiele für die Reaktionsterme r α in (IV8.5) an, wie sie in der Biologie auftreten. Wir betrachten den isothermen Fall und gehen von einer freien Energie aus, die eine konstitutive Funktion der Dichten α ist: f = f(( α) α ), = ( α) α, so dass nach 8.7 für das chemische Potential gilt µ α = f α( ). Das Differentialgleichungssystem der Massenerhaltungen lautet wobei wir voraussetzen, dass t α +div( αv +J α ) = r α für α = 1,...,m, := α α, J := α J α = 0, r := α r α = 0, (IV10.1) Referenzen: See the examples in [H.W. Alt & W.Alt: Fluid mixtures and applications to biological systems. In M. Griebel: Singular Phenomena and Scaling in Mathematical Models (SFB 611), pp Springer 2014]. Also visit [Wikipedia: Lotka-Volterra equation]. We refer also to [55, Chap. 14 F Applications to the Equations of Mathematical Ecology]. We treat here only the case, that the masses α are spatially homogeneous (hence J α = 0) and that v = 0 (this is mainly done for simplicity). Then the reaction equations become α = r α für alle α Remark. In this situation the entropy principle becomes f = α µ α r α 0. Beweis. This is also true because f = α f α α = α µ α r α. There is one example, a gradient flow, for which the r α are proportinal to µ α, say, α = λµ α, where λ = λ( ) > 0. In this case the entropy inequality is trivially satisfied. As first example we consider cyclic reactions, which are important cases and often the basis for biological processes.

288 IV.10 Biologische Reaktionen Cyclic processes. The system is α = r α ( ) for α = 1,...,N, r α ( ) := η α+1 α+1 η α α, (IV10.2) with cyclic repetition, N+1 := 1, η N+1 := η 1. Here = ( α) α and η α are positive constants. This system satisfies the entropy inequality in 10.1, if f = f( ) = f 0 ( )+b( ) N η α 2α, α=1 where = N α=1 α and with a positive functions b( ) > 0. The stationary solutions, if they exist, are values s = ( sα) α with η α+1 sα+1 = η α sα =: η s. This s R N is a unique point, if the value of s = N α=1 sα is considered to be given. For general solutions is rotating around the stationary line and converging to a value s, what can be seen from the free energy. We mention that the sum in the free energy can be written as η α 2α = η α ( α sα) 2 +2η s η α ( sα) 2. α α α Moreover, we obtain overall mass conservation, that is r = α r α = 0 and therefore = 0. Beweis. We take a free energy with b α R, so that f = f( ) = 1 2 α b α 2α µ α = f α = b α α. Then, with b α = η α bα and assuming b α > 0, µ α r α = b α α(η α+1 α+1 η α α) α α = ( bα (η α+1 α+1 )(η α α) b α (η α α) 2) α = ( ) bα ξ α+1 ξ α ξα 2, α bα+1 where ξ α := η α α bα. Letting c α := bα bα+1

289 IV.10 Biologische Reaktionen 289 and using ξ α ξ α (ξ2 α +ξα+1 2 ), this is that is = α = α ( cα ξ α+1 ξ α ξ 2 α) (c α 1 2 α (c α 2 ξ2 α+1 + c α 2 ξ2 α ξα 2 ) + c α 2 1) ξ 2 α = 0 if c α = 1 for all α, b = b α = b α+1 > 0 for all α, or b α = η α b. This shows the theorem in this special case. If we take a free energy f = f(, ) as in the assertion, the derivative with respectto hasnoeffect, sincethetotalmassproductionriszero. Therefore the theorem is proved. As next example we treat the case which you will find in the literature, its a system consisting of the second and third equation below, the classical Lotka-Volterra system Lotka-Volterra system. For the predator-prey model (de: Räuber- Beute Modell) we let x > 0 be the number of prey (de: Beute) and y > 0 the number of predator (de: Räuber) and consider the system ḃ = λx, ẋ = x (α βy), ẏ = y (γ δx), ż = ηxy, d = κy. The additional variables are a the quantities b, d, and z. They are modelled by ḃ proportional to birth of prey, d proportional to death of predator, and ż proportional to interactions between predator and prey. This system satisfies the inequality in 10.1, which reduces to if the free energy is given by ελx+ζκy +ξηxy 0, f = f(b,x,y,z,d) = γlogx αlogy +δx+βy +εb ζd ξz, which is a convex function for constants γ > 0 and α > 0. The inequality in 10.1 holds, if in addition the constants ε, ζ, η, λ, κ and ξ satisfy ελ > 0, ζκ > 0, and ξη > 0. The remaining quantities β and δ are positive because of biological reasons.

290 IV.10 Biologische Reaktionen 290 The variables transform into (bio)mass densities by b = bm b, x = xm x, y = ym y, d = dm d, z = zm z with positive mass constants satisfying λ = αm x m b, κ = γm y m d, η = βm x δm y m z, (IV10.3) which implies that the sum of the mass production terms are 0. The parameter η is positive if and only if biomass is lost during transfer from prey to predator. Beweis. It is f = f(b,x,y,z,d) = logk +εb ζd ξz with K K(x,y) = xγ y α e δx e βy andonecomputesforsolutionsofthesystemthat K = 0, thatis, thisconvex part of f is constant for solutions, and moreover, we see that solutions rotate around the equilibrium x = γ δ, y = α β. This is the basis for the entire result: For the mass densities the system is b = r b = m b r b, r b := λx, x = r x = m x r x, r x = x (α βy), y = r y = m y r y, r y = y (γ δx), z = r z = m z r z, r z := ηxy, d = r d = m d r d, r d := κy, and, using the identities (IV10.3), that is βm x = δm y +ηm z, λm b = αm x, κm d = γm y, (IV10.4) we obtain r b = τ b, τ b := λm b x, r x = τ b τ xy, τ xy := cxy, c := βm x, r y = τ d +(1 ω)τ xy, ω := ηm z, ( c ) r z = ωτxy, ωc = ηmz, (1 ω)c = δm y r d = τ d, τ d := κm d y,

291 IV.10 Biologische Reaktionen 291 hence r = 0. Then one easily computes r x f x +r y f y = 1 K (r xk x +r yk y) = 1 K (ẋk x +ẏk y) = 1 K K = 0, and therefore r β µ β = r b f b +r x f x +r y f y +r z f z +r d f d β = r b f b +r z f z +r d f d = ελx ζκy ξηxy 0. Jetzt noch einige Beispiele aus dem Buch von [55, 14 C]. Diese Beispiele sind für die Konzentrationen c k geschrieben, die Gleichungen lauten ċ k +divj k = r K für alle k, wobei (IV10.1) gelte. Es werden hier nur die zwei wesentlichen Gleichungen aufgeführt. Ähnlich wie bei 10.3 hat man dies noch zu einem vollständigen System (biologisch abgeschlossen) zu erweitern, so dass dann die Entropieungleichung gilt. Es ist auch noch nicht klar, wie die zugehörige freie Energie aussieht. Es ist v = Ökologische Interaktionen. Es werden Differentialgleichungen von der Form ( ) t c k div a kl (c) c l = g k (c) für k = 1,2, behandelt. l g k (c) = c k h k (c), (1) Räuber-Beute-Modell (Predator-Prey). c 1 Räuber, c 2 Beute, 1 h 2 < 0 (mehr Räuber erniedrigt Beute-Wachstumsrate), 2 h 1 > 0 (mehr Beute erhöht Räuber-Wachstumsrate). Das Standardbeispiel ist g 1 (c) := c 1 ( λ+νc 2 ) g 2 (c) := c 2 (µ νc 1 ) (µ > 0 Geburtenrate Beute), (λ > 0 Todesrate Räuber), (ν > 0 Fressrate).

292 IV.10 Biologische Reaktionen 292 (2) Rivalisierende Spezies (Competing species). 2 h 1 < 0, 1 h 2 < 0. (3) Symbiose. 2 h 1 > 0, 1 h 2 > 0.

293 IV.10 Biologische Reaktionen 293 Text wird fortgesetzt

294 IV.11 Chemische Reaktionen Chemische Reaktionen Wir geben hier einige Beispiele für die Reaktionsterme r α in (IV8.5) an, wie sie in der physikalischen Chemie auftreten. Wir gehen von einer freien Energie aus, die eine konstitutive Funktion der Dichten α ist: f = f(( α) α,θ), = ( α) α. (IV11.1) Bei chemischen Reaktionen ist von dem Einfluss der Temperatur θ auszugehen. Wir kommen darauf zurück und konstatieren zunächst nur, dass für jede Masse der Reaktion der Erhaltungssatz t α +div( αv +J α ) = r α. (IV11.2) gilt. In diesem Abschnitt betrachten wir die Konzentrationen Dichten α, = ( α) α, = α α, Konzentrationen c α := α, c = (c α) α, α c α = 1. Also kann die Massenerhaltung (IV11.2) auch geschrieben werden als t ( c α )+div( c α v +J α ) = g α, g α := 1 rα. (IV11.3) 11.1 Spezifische freie Energie und chemisches Potential. In 8.7 waren die chemischen Potentiale µ α schon eingeführt. Die freie Energie f habe die Eigenschaft wie in (IV11.1) und Entsprechendes gelte für die Entropie. Es gilt dann nach 8.7 Die spezifische freie Energie ist µ α = θη α(,θ) = f α(,θ). f sp := 1 f. (IV11.4) (1) Ist f sp = f sp (,θ) so gilt, wenn = c, µ α = f α(,θ) = c α ( fsp ( c,θ) ). (IV11.5) (2) Ist f sp = f sp ( c,,θ) so gilt µ α = f α = f sp c α ( c,,θ)+const( c,,θ). (IV11.6)

295 IV.11 Chemische Reaktionen 295 (3) Mit f sp wie in (2) ist f sp c α = f sp τ α +f sp ν, wobei τ α := β:β α 1 N (e α e β ) Tangentialvektoren an die Bedingung an c sind und wobei ein Normalenvektor durch ν := 1 N (1,...,1) gegeben ist. Alsoauchwennf sp für c, welchenichtdienebenbedingungerfüllt, gebraucht wird, ändern sich dadurch die chemischen Potentiale f sp nur durch eine α konstante Funktion, d.h. durch einen von α unabhängigen Term. Beweis (1). ( f sp ( c,θ) ) c α = ( 1 f( c,θ) ) c α = 1 ( f( c,θ) ) c α = f α( c,θ) = µ α. Die Nebenbedingung α c α = 1 für die Konzentrationen wird hier nicht benutzt. Beweis (2). Es ist f(,θ) = f sp (,,θ) mit = α α, also µ α = f α = f sp + α = f sp + f sp sp + f c α β f sp = f sp + f sp + c β fsp c β = β f sp c α +const( c,,θ) f sp (δ β,α c β β) 2 mit const( c,,θ) = f sp + f sp β c βf sp c β. Beweis (3). Es ist e α = τ α +ν und e α e β sind Tangentialvektoren Definition. Eine Mischung heißt einfache Mischung (en: simple mixture), wenn für die spezifische freie Energie gilt f sp = α f sp α (c α,θ). Dies ist z.b. erfüllt für die freie Energie von Mischungen idealer Gase. Für Flüssigkeiten ist dies im Allgemeinen nicht erfüllt. Referenzen: Siehe DeGroot & Mazur [5, Ch. X 3 Coupled Chemical Reactions] und I. Müller [51, Seite 68, 6.5 Seite 196 Chemical Equilibrium], und das mathematische Buch von G.R. Gavalas [25, Nonlinear Differential Equations of Chemically Reacting Systems]. Schließlich siehe auch [Wikipedia: Chemical reaction] und die Referenzen weiter unten.

296 IV.11 Chemische Reaktionen 296 Stöchiometrie Betrachte Moleküle M k, k = 1,...,N, in einer Mischung mit J Reaktionen, und zwar für j = 1,...,J, welche wir schreiben als Stöchiometrische Gleichungen: ν j k M k ν j k M k k k M k Partikel (Molekül, Atom, Ion, Elektron,...) ν j k, νj k N {0}, γ j k := νj k νj k stöchiometrische Koeffizienten, (stoichos = Ordnung, metron = Maß). (IV11.7) Als Beispiel geben wir die Bildung von Wasser an Beispiel: Bildung von Wasser (N = 6, J = 4). (Nach I. Müller [51, ]) (1) Die Reaktion lautet vereinfacht 2H 2 +O 2 2H2 O. (IV11.8) Allerdings hat man dabei die Reaktion von 3 Molekülen, nämlich H 2, H 2 und O 2, was ein seltenes Ereignis darstellt. (2) Genauer haben wir die folgenden Reaktionen. Es sind die beteiligten Molekülarten H, O, OH, H 2, O 2, H 2 O und die Reaktionen schreiben sich als H+O OH H 2 2H O 2 2O H+OH H 2 O Die stöchiometrische Matrix ist γ := (γ j k ) kj = (IV11.9) Es ist rankγ = J = 4, d.h. die Reaktionen sind unabhängig voneinander.

297 IV.11 Chemische Reaktionen 297 Addiert man die einzelnen Reaktionen in (IV11.9), so erhält man (IV11.8). Beweis (2). Es sind ν := (ν j k ) kj = , ν := ( ν j k ) kj = , also hat γ = ν ν die angegebenen Einträge. Abb. 16: As seen from the equation..., a coefficient of 2 must be placed beforetheoxygengasonthereactantssideandbeforethewaterontheproducts side in order for, as per the law of conservation of mass, the quantity of each element does not change during the reaction von Wikipedia 11.4 Ansatz für Reaktionsraten. Mit den stöchiometrischen Gleichungen in (IV11.7) machen wir für die Reaktionsrate des k-ten Moleküls den Ansatz g k := j γ j k λj, wobei λ j die chemische Reaktionsrate der j-ten Reaktion ist. Die Reaktionsrate λ j ist eine Funktion der chemischen Potentiale µ k, und wie folgt gegeben. Definiere λ j = λ j( c,,θ, ν j k µ k k, ν j k µ k k ). =: ξ j =: ξ j

298 IV.11 Chemische Reaktionen 298 Dann ist also g k ( c,,θ) = j γ j k λj ( c,,θ,ξ j, ξ j ). Mit den so definierten Reaktionsraten gilt µ k r k = µ k g k = µ k γ j k kj k k λ j ( c,,θ,ξ j, ξ j ) ( = ( ν j k νj k )µ k j = j k = ξ j ξ j ( ξ j ξ j )λ j ( c,,θ,ξ j, ξ j ) = ν j k νj k ) λ j ( c,,θ,ξ j, ξ j ) 0 nach der Voraussetzung 0, also hat dieser Teil der Entropieproduktion das richtige Vorzeichen Voraussetzung. Für jedes j gilt, dass λ j :R N+2 R R R, (ξ ξ)λ j (z,ξ, ξ) 0 für alle z,ξ, ξ. Wir verlangen darüberhinaus noch eine Nichttrivialität, die besagt (ξ ξ)λ j (z,ξ, ξ) > 0 für ξ ξ. (IV11.10) Es folgt dann, wenn λ j stetig ist, λ j (z,ξ,ξ) = 0 für alle z und ξ. Kehrt man eine chemische Reaktion um, so vertauschen sich ν j k mit νj k (d.h. γ j wird durch γ j ersetzt) also vertauscht sich auch ξ j mit ξ j. Die Bedingung (IV11.10) ist invariant bzgl. dieser Vertauschung Chemische Reaktionsraten. Ein allgemeines Modell ist λ j ( c,,θ,ξ, ξ) ( ξ ) ( ξ ) ) := σ j ( c,,θ) (exp exp (IV11.11) Kθ Kθ aus der statistischen Mechanik für Gase. Es ist hierbei σ j > 0 und K > 0. Bemerkung: Ein lineares Modell nahe dem Equilibuium ist λ j ( c,,θ,ξ, ξ) := σ j ( c,,θ) (ξ ξ) mit σ j > 0. Die spezifische freie Energie für eine Mischung aus idealen Gasen ist die Folgende (mit K = k B Boltzmann-Konstante) f sp ( c,θ) = Kθ k c k (logc k 1)+ k a k (θ) c k +b(θ). (IV11.12)

299 IV.11 Chemische Reaktionen 299 Dann folgt für das chemische Potential (nach (IV11.6) nach Ausrechnen der Konstanten) µ k = f sp c k ( c,θ)+b(θ) Kθ l c l = f sp c k +b(θ) Kθ, somit also 1 Kθ µ k = 1 Kθ (fsp c k ( c,θ)+b(θ)) 1 = logc k + a k(θ)+b(θ) 1, Kθ 1 Kθ ξj = k ν j µ k k ν j k Kθ = k = ( logc νj k k + ν j ak (θ)+b(θ) k k k Kθ ( ) mit α j (θ) := exp νkãk(θ) j ( logc k + a k(θ)+b(θ) Kθ Entsprechendes folgt für ξ j und damit gilt k ) 1 = log ( k ) 1, ã k (θ) := a k(θ)+b(θ) Kθ ) c νj k k +logα j (θ) Lemma. Falls die freie Energie wie in (IV11.12) gegeben ist, lautet die Annahme (IV11.11), dass ( λ j = σ j ( c,,θ) α j (θ) k c νj k k ᾱj (θ) k ) c νj k k. (IV11.13) 11.8 Stationäre Lösungen. Es mögen die Voraussetzungen in 11.5 erfüllt sein. Wir führen nur die Abhängigkeit von den Konzentrationen c := c an und definieren g := (g k ) k, entsprechend µ. Dann gilt: (1) Falls (IV11.10): g(c) 0 µ(c) g(c) < 0. (2) Falls (IV11.10): g(c) = 0 Für alle j = 1,...,J gilt γ j k µ k(c) = 0 (Allgemeines Massenwirkungsgesetz). k (3) Falls (IV11.13): g(c) = 0 Für alle j = 1,...,J gilt k c γj k k = αj (θ) ᾱ j (θ) (Massenwirkungsgesetz), wobei α j (θ) ( ᾱ j (θ) = exp k ) γkãk(θ) j.

300 IV.11 Chemische Reaktionen 300 Englisch: Das Massenwirkungsgesetz heißt im Englischen mass action law. Ein c mit g(c) = 0 ist eine stationäre Lösung der Differentialgleichungen ċ k = g k (c) für alle k, bzw. ist eine ortsunabhängige stationäre Lösung der Differentialgleichungen in (IV11.3) (mit J k = 0, r := k r k = 0). Beweis (1). Unter der Voraussetzung (IV11.10) gilt nach der obigen Identität µ(c) g(c) = k µ k g k = j (ξ j (c) ξ j (c))λ j (c,ξ j (c), ξ j (c)) 0 und = 0 genau dann,wenn ξ j (c) = ξ j (c) für alle j. Ist also µ(c) g(c) = 0, so folgt ξ j = ξ j für alle j, also λ j (c,ξ j, ξ j ) = 0 und daher g(c) = 0. Damit ist (1) bewiesen. Beweis (2). Es ist g(c) = 0 nach (1) äquivalent dazu, dass ξ j = ξ j für alle j, was nach 11.4 bedeutet, dass γ j k µ k(c) = 0 für alle j. k Beweis (3). Wegen ξ j = ξ j für alle j ist nach (IV11.11) λ j = 0 für alle j, also α j k c νj k k = ᾱj k c νj k k, das heißt k c γj k k = αj ᾱ j = exp ( k ) γkãk(θ) j. Wir behandeln nun konkrete Beispiele Wasser. (Nach I. Müller [51, ], siehe 11.3) Für die Reaktion von Wasser in 11.3 ist J = 4, N = 6 und c 1 c H γ j 1 c 2 c O γ j 2 c = c 3 c 4 = c OH c H2, γ j γ j 3 := γ j. c 5 c O2 4 γ j 5 c 6 c H2 O γ j 6

301 IV.11 Chemische Reaktionen 301 Dann lauten die gewöhnlichen Differentialgleichungen mit c = J λ j γ j j=1 λ 1 = α 1 c 1 c 2 ᾱ 1 c 3, λ 2 = α 2 c 4 ᾱ 2 c 2 1, λ 3 = α 3 c 5 ᾱ 3 c 2 2, λ 4 = α 4 c 1 c 3 ᾱ 4 c 6, γ 1 = +1 0, γ 2 = 0 1, γ 3 = 0 0, γ 4 = Haber-Bosch-Syntese. (Nach I. Müller [51, Seite 198].) Bildung von Ammoniak aus Stickstoff und Wasserstoff. Die Reaktion lautet N 2 +3H 2 2NH3 mit (es ist J = 1, N = 3) c 1 c N c = c 2 = c H2, ν = 3, ν = 0, γ = 3 c 3 c NH Das ideale Gas-Modell nach (IV11.13) ist daher (wenn σ := 1) mit α > 0 und ᾱ > 0 λ = α(θ)c 1 c 3 2 ᾱ(θ)c 2 3. Also ist t c(t) eine ortsunabhängige Lösung der Differentialgleichung (IV11.3) (mit = const, J α = 0), falls Löse das Gleichungssystem. Beweis. Es ist ċ 1 = λ, ċ 2 = 3λ, ċ 3 = 2λ. Es folgt c 1 + c 3 2 = const =: c 10 und c c 3 2 = const =: c ċ 3 = 2(αc 1 c 2 2 ᾱc 2 3) ( = 2 α(c 10 c 3 2 )(c 20 3c ) 3 2 )3 ᾱc 2 3.

302 IV.11 Chemische Reaktionen 302 Also ist c 3 eine Lösung dieser Gleichung 4.Ordnung. (Siehe Lösungsformel in I.Müller [51, Seite 199].) Saha-Formel. (Nach I. Müller [51, Seite 199]) Dies ist wichtig in der Astrophysik, siehe [Oskar von der Lühe: Einführung in die Astronomie und Astrophysik, 2.9 Physik der Sternatmosphären]. Spektroskopische Messungen eines Sternenlichtes erlaubt Berechnung der Oberflächentemperatur.) Wir betrachten hier nur den Fall, dass eine Atom ein Elektron verliert. Die Reaktion ist Na Na + +e. Sei (es ist J = 1, N = 3) c 1 c Na c = c 2 = c Na +, ν = 0, ν = 1, γ = 1 c 3 c e Nach (IV11.13) ist daher (wenn σ := 1) λ = α(θ)c 1 ᾱ(θ)c 2 c 3, also ist t c(t) eine ortsunabhängige Lösung der Differentialgleichung, falls ċ 1 = α(θ)c 1 +ᾱ(θ)c 2 c 3, ċ 2 = +α(θ)c 1 ᾱ(θ)c 2 c 3, ċ 3 = +α(θ)c 1 ᾱ(θ)c 2 c 3 Der stationäre Punkt erfüllt somit αc 1 = ᾱc 2 c 3, d.h. αc Na = ᾱc Na + c e, oder c Na + c Na c e = α(θ) ᾱ(θ) (Saha-Gleichung). (IV11.14) Die allgemeine Saha-Gleichung gilt für ein Atom, welches mehrere Elektronen freisetzen kann.

303 IV.11 Chemische Reaktionen 303 Temperaturabhängige Reaktionen Solche Phänomene treten insbesondere bei der mathematischen Behandlung von Verbrennungsvorgängen (en: Combustion) auf. Referenzen: Für das folgende Beispiel ist [B. Larrouturou: Modelisation Physique, Numerique et Mathematique des Phenomenes de Propagation de Flammes. In: B. Larrouturou: Recent Advances in Combustion Modelling, pp ] benutzt worden. Als Beispiel betrachten wir eine simple exotherme Reaktion R P und dazu nach dem Massenwirkungsgesetz die Funktion λ = σ(θ)(α 1 (θ)c 1 α 2 (θ)c 2 ), c 1 = c, c 2 = 1 c, h 0 ) α 1 (θ) := exp( R h 0 ), α 2 (θ) := exp( P. Rθ Rθ Mit dieser Reaktion gilt das Folgende. (IV11.15) Beispiel (Nach B. Larrouturou). Betrachte für die Dichte und die Konzentration c das Differentialgleichungssystem t ( c)+div( cv D c) = λ, t +div( v) = 0, t ( v)+div( vv T +pid) = f, t e+div((e+p)v a θ QD c) = v f. Hierbei sind D und Q und a positive Konstanten, und λ ist in (IV11.15) gegeben. Dieses Problem erfüllt das Entropieprinzip in 9.1. Die Energie und der Druck sind gegeben durch e = c(h 0 R +C v θ)+ (1 c)(h 0 P +C v θ)+ 2 v 2, p = R θ. Daraus bestimmen sich innere freie Energie und die Entropie und es folgt, dass Q = h 0 R h 0 P. Wenn Q = h 0 R h0 P > 0 ist, ist die Reaktion R P wie behauptet exotherm. Es sei bemerkt, dass wenn h 0 P, dann konvergiert α 2(θ) 0, also λ σ(θ)α 1 (θ)c, d.h. im Limes ist c = 0 die stationäre Lösung.

304 IV.11 Chemische Reaktionen 304 Beweis freie Energie. Es sind zwei Phasen der Gesamtmasse vorhanden, c 1 := c und c 2 := 1 c, c 1 +c 2 = 1, k := c k, = 1 + 2, = ( 1, 2). Die innere Energie ist gegeben durch ε = c(h 0 R +C v θ)+ (1 c)(h 0 P +C v θ) = 1(h 0 R +C v θ)+ 2(h 0 P +C v θ). Wir sehen dass daraus die freie Energie berechnet werden kann. Es gilt nämlich f = ε θη, und da f θ = η ist, folgt f θf θ = ε, wobei sowohl f als auch ε Funktionen von (,θ) sind. Also ist ( f ) θ = f θf θ θ ) + 2 = 1(h 0 R θ 2 + C v θ = 1h 0 R + 2h 0 P θ 2 und daher mit einer Funktion g 0 ( ) oder Daraus ergibt sich die Entropie als θ 2 = ε θ 2 + C v θ. (h 0 P θ 2 + C v θ f θ = g 0( ) 1h 0 R + 2h0 P + C v logθ θ f = g 0 ( )θ + 1h 0 R + 2h 0 P C v θlogθ. η = f θ = g 0 ( )+ C v (logθ +1), und für den Druck p = R θ (vgl. 2.4) erhält man ) p = α αf α f = ( α αg 0 α g 0 ) θ, und damit αg 0 α g 0 = R. α Eine Lösung dieser Gleichung ist (siehe Übungsaufgabe 16.1) g 0 ( ) = g sp 0 ( c), gsp 0 ( c) = R k c k (logc k 1).

305 IV.11 Chemische Reaktionen 305 Also haben wir f = f sp mit f sp ( c) = Rθ k c k (logc k 1)+c 1 h 0 R +c 2 h 0 P C v θlogθ. Daraus folgt für die chemischen Potentiale, nach (IV11.6) erhält man durch Ausrechnen µ k = f sp c k d(θ) mit d(θ) = Rθ +C v θlogθ, µ 1 = f sp c 1 d(θ) = Rθlogc 1 +h 0 R d(θ), µ 2 = f sp c 2 d(θ) = Rθlogc 2 +h 0 P d(θ). Beweis Entropieprinzip. Die beiden Massenerhaltungen sind äquivalent zu (die zweite Gleichung ist die Gleichung für die gesamte Masse minus der Gleichung für den ersten Massenanteil) also ist t 1 +div( 1v D c) = λ, t 2 +div( 2v + D c) = + λ, J 1 = D c, J 2 = + D c, J 1 +J 2 = 0, r 1 = λ, r 2 = + λ, r 1 +r 2 = 0. Die Impulsbilanz hat den Drucktensor Π = pid, und die Energiegleichung den Fluss q = q h +J h, q h := a θ, J h := QD c = µ h 1J 1 +µ h 2J 2, µ h 1 µ h 2 = Q. Wir müssen noch die Entropieungleichung verifizieren. Für den Entropiefluss setzen wir ψ = ηv+ 1 θ qh +J η an, wobei wir gemäß der Entropieungleichung in 9.1 für den zuzätzlichen Fluss J η = k µη k J k annehmen. Die Entropieungleichung lautet dann (es ist S = 0) ( 1 0 σ = q θ) h α 1 θ µ αr α + ( µ η k 1 k θ µh k ) J k. Es werden in diesem Fall alle drei Terme nichtpositiv sein. Nun gilt für den Wärmefluss q h ( 1 q θ) h = 1 θ 2 θ qh = + a θ 2 θ 2 0 wenn a > 0. Wegen µ k = µ h k θµη k µ k = f sp c k d(θ) = Rθ(logc k 1)+h 0 k C vθlogθ,

306 IV.11 Chemische Reaktionen 306 wobei h 0 1 = h0 R und h0 2 = h0 P, können wir setzen oder Also ist µ h k = h0 k und µ η k = R(logc k 1)+C v logθ µ h k = h0 k C vθlogθ und µ η k = R(logc k 1). Q = µ h 1 µ h 2 = h 0 R h 0 P. Aus diesen Darstellungen folgt für den letzten Term der Entropieproduktion, da h 0 R = const und h0 P = const konstant sind, k = k ( µ η k 1 θ µh k) Jk ( (µ η 2 µη 1 ) 1 θ (µh 2 µ h 1) ) ( D c) = (µ η 2 µη 1 ) ( D c) = R (logc 1 logc 2 ) ( D c) k ( 1 = DR + 1 ) c 2 0 wenn D > 0. c 1 c 2 Es bleibt der zweite Term der Entropieproduktion zu behandeln. Beweis Massenwirkungsgesetz. Die Reaktion R P ergibt [ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] ν1 1 [ ν1 0 γ1 1 =, =, =. 0 ν 2 1 γ 2 1 ν 2 Dem Massenwirkungsgesetz folgend haben wir in (IV11.13) für die Reaktionsrate λ angesetzt λ = σ (α k c ν k k ᾱ k c ν ) k k = σ (αc1 ᾱc 2 ) = σ ((α+ᾱ)c ᾱ). Das Massenwirkungsgesetz besagt also c = ᾱ α+ᾱ. Dass der Reaktionsterm einen nichtnegativen Anteil der Entropieproduktion ergibt, folgt aus der allgemeinen Theorie.

307 IV.12 Prandtl sche Grenzschicht Prandtl sche Grenzschicht In diesem Abschnitt betrachten wir Flüssigkeiten mit geringer Zähigkeit oder hoher Geschwindigkeit in einem Gebiet Ω, für die die Randbedingung v = 0 auf Ω gegeben ist. In dem Falle, dass dabei sehr hohe Geschwindigkeiten in der Flüssigkeit auftreten, ist der Übergang zur Nullgeschwindigkeit am Rande nur auf einem schmalen Randstreifen (einem Rand-Layer, engl.: boundary layer ) realisiert, ein Bereich, der auch so schmal sein kann, dass er durch einen Flächenterm auf Ω sehr gut approximiert wird. Es sind dann also nicht mehr die stationären inkompressiblen Poiseuille Strömungen I.3.7 die physikalische Lösungen, sondern in vielen Fällen stellt sich eine wie auch immer geartete instationäre Lösung ein. Der Übergang von laminarem Fluß zur turbulenten Strömung kann dabei sehr schnell passieren (siehe dazu die Oberseite des Flügels in Abb. 17). Abb. 17: Left: Laminar flow. Right: Turbulent flow. Wir wollen nun diese Grenzschicht in einem Modell für Flüssigkeiten in einem offenen Gebiet Ω R 3 mit Rand Γ := Ω betrachten (der Beobachter sitze auf Ω, weswegen Ω zeitunabhängig ist). Wir nehmen dazu die inkompressible Navier-Stokes Gleichung in Ω div x v = 0, t ( 0v)+div x ( 0vv T +Π) = f, Π = pid S, S = 2a(Dv) S, v = v(t,x), p = p(t,x), (IV12.1) und betrachten R 3 \Ωals festen Körper, d.h. wir nehmen alsrandbedingung v = 0 auf Γ (IV12.2) (andere nichttrivialen Randbedingungen von der Massen- und Impulserhaltung sind hier nicht gefragt). Wir führen nun die Grenzschicht in einem ebenen dreidimensionalen Modell ein und verwenden die Bezeichnungen der Asymptotischen Entwicklung

308 IV.12 Prandtl sche Grenzschicht 308 [Wikipedia: Matched asymptotic expansion]. Es sei Ω := {x R 3 ; x 3 > 0}, Γ := Ω = {x R 3 ; x 3 = 0}. Für x Ω führen wir die Variablen y nahe der Grenze Γ ein durch y 1 = x 1, y 2 = x 2, y 3 = x 3 δ mit δ > 0, (IV12.3) und definieren zu einer Größe (t,x) u(t,x) eine Größe (t,y) U(t,y) durch die Beziehung U(t,y) = u(t,x), wenn x und y wie in (IV12.3) zusammenhängen. Wir bezeichnen nun R 2 ]ε δ, [ das äußere Gebiet, R 2 [0,2ε δ [ das innere Gebiet, wobei ε δ 0 und ε δ δ für δ 0. Zum Beispiel ist ε δ := δ. Wir stellen uns vor, dass im äußeren Gebiet die Funktion (t,x) u(t,x) relevant ist und im inneren Gebiet die Funktion (t,y) U(t,y). Dort wo das äußere Gebiet mit dem inneren Gebiet zusammenfällt betrachten wir insbesondere die Gleichung U(t,y 1,y 2,y 3 ) = u(t,y 1,y 2,δy 3 ) für ε δ δ y 3 2ε δ δ, (IV12.4) also der Zusammenheng zwischen der ursprünglichen Funktion u zu der neu definierten Funktion U. Wir fragen nun nach der Konvergenz u u (0) C 0 für δ 0, 0 (Kδ a) Ka δ := Ka (R + R 2 ]ε δ, [), U U (0) C 0 für δ 0, 0 (Kδ i) Ki δ := ( K i (R + R 2 ) ) [0,2ε δ [ für kompakte Mengen K a R R 3. Gilt diese Konvergenz, so sprechen wir von einer inneren Lösung U (0) und einer äußeren Lösung u (0), wobei der Zusammenheng durch Matching-Bedingungen gegeben wird, die sich aus (IV12.4) herleiten. Die Funktion u ist hier nur eine Beispielfunktionen, in Wirklichkeit, d.h. für die inkompressiblen Navier-Stokes Geichung, muss dafür aber die Geschwindigkeit und der Druck genommen werden. Usually the expansion for the inner solution U is U = U (0) +δu (1) +... with different matching conditions for the higher terms.

309 IV.12 Prandtl sche Grenzschicht 309 Prandtl sche Grenzschicht-Gleichung Wir wenden diese Konvergenz an auf die Strömung mit geringer Zähigkeit, also mit sehr kleinem Lamé-Koeffizienten(siehe zum Beispiel die Darstellung in Abb. 18) a = δ 2. Die Strömungsgleichungen mit Randbedingung sind dann } div x v = 0, in R Ω, 0( t v +(v x )v) = x p+δ 2 x v +f v = 0 Es sei nun (v,p) eine Lösung sowie auf R Γ. (IV12.5) V(t,y 1,y 2,y 3 ) = v(t,y 1,y 2,δy 3 ), P(t,y 1,y 2,y 3 ) = p(t,y 1,y 2,δy 3 ). (IV12.6) Dann erhalten wir die folgenden Aussagen, falls δ gegen 0 konvergiert. Abb. 18: Flow through a pipe Auf dem Teilintervall R + R 2 [ε δ, [. Falls v v (0), p p (0) (wir nehmen an, dass f nicht von δ abhängt) erhalten wir die Grenzgleichung div x v (0) = 0, 0( t v (0) +(v (0) x )v (0)) = x p (0) +f (IV12.7) in R + R 2 ]0, [. 4 4 Diese Gleichungen bezeichnet man manchmal als inkompressible isotherme Euler Gleichungen.

310 IV.12 Prandtl sche Grenzschicht 310 Auf dem Teilintervall R + R 2 [ε δ,2ε δ ]. Wir haben die Randbedingung } V(t,y 1,y 2,y 3 ) = v(t,y 1,y 2,δy 3 ) für ε δ P(t,y 1,y 2,y 3 ) = p(t,y 1,y 2,δy 3 ) δ y 3 2ε δ δ. Wenn wir ε δ := δ setzen und wenn erhalten wir für δ 0 V (0) (t,y 1,y 2, ) V(t,y 1,y 2, P (0) (t,y 1,y 2, ) P(t,y 1,y 2, y 3 = ε δ δ = 1 δ, δy 3 0, 1 δ ) = v(t,y 1,y 2, δ) v (0) (t,y 1,y 2,0), 1 δ ) = p(t,y 1,y 2, δ) p (0) (t,y 1,y 2,0), wobei v v (0), p p (0) und V V (0), P P (0) vorausgesetzt wurde. Also haben wir die Matching-Bedingungen V (0) (t,y 1,y 2, ) = v (0) (t,y 1,y 2,0), P (0) (t,y 1,y 2, ) = p (0) (t,y 1,y 2,0). (IV12.8) Auf dem Teilintervall R + R 2 [0,2ε δ [. Die Randbedingung v = 0 führt wegen V(t,y 1,y 2,y 3 ) = v(t,y 1,y 2,δy 3 ) (IV12.9) und V V (0) zur Randbedingung V (0) (t,y 1,y 2,0) = 0. (IV12.10) Die Gleichung (IV12.9) ergibt auch die folgenden Formeln t v = t V, xi v = yi V, x 2 i v = y 2 i V für i = 1,2, x3 v = 1 δ y 3 V, x 2 3 v = 1 δ 2 2 y 3 V, xi p = yi P für i = 1,2, x3 p = 1 δ y 3 P. Da sich die Navier-Stokes Gleichungen (IV12.1) schreiben als x1 v 1 + x2 v 2 + x3 v 3 = 0, 0 t v i + 0(v 1 x1 +v 2 x2 +v 3 x3 )v i = xi p +δ 2 ( x 2 1 v i + x 2 2 v i + x 2 3 v i )+f i für i = 1,2, 0 t v 3 + 0(v 1 x1 +v 2 x2 +v 3 x3 )v 3 = x3 p +δ 2 ( x 2 1 v 3 + x 2 2 v 3 + x 2 3 v 3 )+f 3,

311 IV.12 Prandtl sche Grenzschicht 311 werden sie in (V,P) transformiert zu Gilt nun y1 V 1 + y2 V δ y 3 V 3 = 0, 0 t V i + 0(V 1 y1 +V 2 y2 + 1 δ V 3 y3 )V i = yi P +δ 2 ( 2 y 1 V i + 2 y 2 V i )+ 2 y 3 V i +f i für i = 1,2, 0 t V 3 + 0(V 1 y1 +V 2 y2 + 1 δ V 3 y3 )V 3 = 1 δ y 3 P so wird die Massenerhaltung zu und daher folgt +δ 2 ( 2 y 1 V y 2 V 3 )+ 2 y 3 V 3 +f 3. V = V (0) +δv (1) +O(δ 2 ), P = P (0) +δp (1) +O(δ 2 ), y1 V (0) 1 + y2 V (0) δ y 3 V (0) 3 + y3 V (1) 3 = O(δ), y3 V (0) 3 = 0, y1 V (0) 1 + y2 V (0) 2 + y3 V (1) 3 = 0. Die erste Gleichung sagt, dass V (0) 3 eine Funktion von (t,y 1,y 2 ) ist, wegen der Randbedingung V (0) (t,y 1,y 2,0) = 0 also V (0) 3 = 0, und damit wegen der Matching-Bedingung V (0) (t,y 1,y 2, ) = v (0) (t,y 1,y 2,0) v (0) 3 (t,y 1,y 2,0) = 0. Also reduziert sich die Entwicklung von (V,P) zu und die Impulserhaltung wird zu V i = V (0) i +O(δ) für i = 1,2, 1 δ V 3 = V (1) 3 +O(δ), P = P (0) +δp (1) +O(δ 2 ), 0 t V (0) i + 0(V (0) 1 y1 +V (0) 2 y2 +V (1) 3 y3 )V (0) i = yi P (0) 0 = 1 δ y 3 P (0) y3 P (1) +f 3 +O(δ). + 2 y 3 V (0) i +f i +O(δ) für i = 1,2,

312 IV.12 Prandtl sche Grenzschicht 312 Also ergibt dies die Gleichungen 0 t V (0) i + 0(V (0) 1 y1 +V (0) 2 y2 +V (1) 3 y3 )V (0) i = yi P (0) + y 2 3 V (0) i +f (0) i für i = 1,2, 0 = y3 P (0), (IV12.11) 0 = y3 P (1) f (0) 3. Hier haben wir benutzt, dass f(t,y 1,y 2,δy 3 ) = f(t,y 1,y 2,0) } {{ } =: f (0) (t,y 1,y 2 ) +O(δ). Resultat auf R + R 2 [0, [. Definieren wir jetzt noch die Funktionen (nicht zu verwechseln mit den anfänglichen Funktionen) so folgt v := v (0), V i := V (0) i für i = 1,2, V 3 := V (1) 3, P := P (0), 12.1 Prandtl sche Grenzschicht. Es gelten die folgenden Gleichungen in (t,x) div x v = 0, 0( t v +(v x )v ) = x p+f, (IV12.12) v 3 (t,x 1,x 2,0) = 0, und die folgenden Gleichungen in (t, y) y1 V 1 + y2 V 2 + y3 V 3 = 0, 0 t V i + 0(V 1 y1 +V 2 y2 +V 3 y3 )V i = yi P + 2 y 3 V i +f (0) i für i = 1,2, 0 = y3 P, (IV12.13) V(t,y 1,y 2,0) = 0, mit den Matching-Bedingungen V i (t,y 1,y 2,+ ) = v i (t,y 1,y 2,0) für i = 1,2, P(t,y 1,y 2,+ ) = p(t,y 1,y 2,0). (IV12.14) Referenz: Zur Prandtl schen Grenzschichttheorie siehe Stemmer [36] und White [39, 4-2 Laminar boundary layer equations].

313 IV.12 Prandtl sche Grenzschicht 313 Abb. 19: Turbulent flow Die einzigen Gleichungen, die für (V,P) zu lösen sind, sind die Impulserhaltung für i = 1,2 mit den Matching-Randbedingungen für V 1, V 2, da und P(t,y 1,y 2,y 3 ) = P(t,y 1,y 2, ) = p(t,y 1,y 2,0) V 3 (t,y 1,y 2,y 3 ) = y3 was die Randbedingung für V 3 enthält. 0 ( y1 V 1 + y2 V 2 )(t,y 1,y 2,s)ds, Die einzige Randbedingung, die die Grenzschicht an den übrigen Fluß stellt istv 3 (t,x 1,x 2,0) = 0. EsläßtsichleichteineVerallgemeinerungdurchführen für Randmengen Γ, die nicht planar sind. den kompressiblen Fall. Die Konvergenzen der asymptotischen Entwicklung sind natürlich restriktiv, sie lassen die Strömung am Staupunkt [Wikipedia: Staupunkt] (en: stagnation point) nicht zu.

314 IV.13 Wirbel Wirbel Wir betrachten in diesem Abschnitt einfachste Wirbel, das sind solche Lösungen für die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen, deren Singularität eine eindimensionale Kurve ist. Oder noch einfacher, wir betrachten Situationen, bei denen sich der Kern der Singularität auf einer Geraden befindet, d.h. wir betrachten Strömungen um eine Achse, die wir als die x 3 -Achse nehmen. Die Geschwindigkeit wird hierbei nahe der Achse sehr groß, so dass sich die Strömumg sicherlich auch durch den kompressiblen Fall beschreiben lässt oder beschrieben werden müsste. Dies werden wir hier jedoch nicht untersuchen. Abb. 20: Ein vom Flugzeug aufgenommener Tornado Wir sind an wesentlichen Eigenschaften interessiert, die sich schon durch inkompressible Strömungen beschreiben lassen. Diese Lösungen betrachten wir als Limes der komplizierteren physikalischen Lösungen, die aber wesentliche Phänomene schon sehr gut beschreiben. Wir werden hier zunächst die Strömung zwischen zwei Zylindern betrachten(siehe 13.1). Den Radius des inneren Zylinders werden wir gegen 0 gehen lassen. Dann werden wir eine explizite Lösung kennenlernen, die einen Hurrikan bzw. einen Taifun darstellt (siehe 13.3). Der Hurrikan wird im Wesentlichen in der Nähe des Auftreffpunktes realistisch beschrieben Couette-Strömung. Betrachte zwei konzentrische Zylinder Z R, Z R,

315 IV.13 Wirbel 315 wobei Z r = {x R 3 ; x 2 1 +x 2 2 < r 2 } für r > 0, und in Zwischenraum Z R \Z R eine Flüssigkeit, die stationär ist und mit der inkompressiblen Navier-Stokes Gleichung mit konstantem Lamé Koeffizienten und mit Kraft f = 0 modelliert werde (siehe (IV7.6)). Wir definieren noch eine stationäre Geschwindigkeit durch We show the following. v(x) = v θ (r)e θ, r = x 2 1 +x2 2, x 1 rcosθ x = x 2 =, e θ := x 3 rsinθ x 3 sinθ cosθ. 0 (1) Es ist (v, p) mit v wie oben eine Lösung der stationären inkompressiblen Navier-Stokes Gleichung (wie gerade definiert), wenn v θ (r) = Ar + B r, A,B R, r p(r) = 0 r v θ(r) 2, p = p(r). (2) Hat die Flüssigkeit Dirichlet-Randbedingung und rotiert Z R mit Winkelgeschwindigkeit ω und Z R mit Winkelgeschwindigkeit ω, so gilt A = ωr2 ω R 2 R 2 R 2 (Siehe Hutter [7, 4.3.1]), B = ω ω 1 1 = R2R 2 (ω ω) R 2 R R 2 R 2. 2 In Abb. 21 wird im linken Bild eine Strömung gezeigt, wie sie hier behandelt wird, siehe dazu auch die Mitte des Bildes. Hier nicht behandelt wird der für große Werte von ω ω auftretende Fall im rechten Bild. Beweis (1). Die zu lösenden Differentialgleichungen sind (IV7.6), also in unserem Fall divv = 0 und 0(v )v + p a v = 0 (IV13.1) mit a = const > 0. Für die Einheitsvektoren cosθ sinθ e r := sinθ, e θ := cosθ 0 0

316 IV.13 Wirbel 316 Abb. 21: Center: ω 1 = ω, ω 2 = ω, a = R, b = R. Left: Couette flow (see [Wikipedia: Couette flow]). Right: Not considered here the Taylor-Couette flow (see [Wikipedia: Taylor-Couette flow]). gilt (nach I.1.3), wenn sie als Funktionen von x betrachtet werden, er e r = 0, eθ e r = 1 r e θ, er e θ = 0, eθ e θ = 1 r e r, oder, wenn sie als Funktionen von (r,θ,x 3 ) betrachtet werden, r e r = 0, θ e r = e θ, r e θ = 0, θ e θ = e r, also hat unsere Geschwindigkeit die Divergenz divv = e r er v +e θ eθ v = e r r v + 1 r e θ θ v = v θ e r e θ v θ r e θ e r = 0, d.h. die erste Differentialgleichung ist erfüllt. Die zweite Differentialgleichung (IV13.1) lösen wir nacheinander für v und p. Und zwar v = 0, v = v θ e θ, p = 0(v )v. Wie wir sehen werden ist, mit der speziellen Lösung v, die zweite Gleichung für p lösbar, also ist diese Zerlegung konsistent mit der Zerlegung in 7.5.

317 IV.13 Wirbel 317 Der Laplace-Operator ist und die allgemeine Lösung von v = 2 rv + 1 r rv + 1 r 2 2 θ v = v θ e θ + 1 r v θ e θ + v θ r 2 θ θ e θ }{{} = e r } {{ } = e θ = ( v θ + 1 r v θ 1 r 2v θ) eθ, v θ + 1 r v θ 1 r 2v θ = 0 ist v θ (r) = Ar + B r. Und die Gleichung für den Druck ist und kann gelöst werden durch p = 0(v )v = 0v θ (e θ )(v θ e θ ) = 0v 2 θ e θ e θ = 0 r v2 θ e r, Damit sind die Aussagen bewiesen. p = p(r), r p(r) = 0 r v θ(r) 2. Beweis (2). Die Voraussetzung besagt, dass wir folgende Dirichlet- Bedingungen haben Einsetzen in (1) ergibt v θ (R) = ωr, v θ (R ) = ω R. AR+ B R = ωr, AR + B R = ω R, was äquivalent zu den angegebenen Formeln für A und B ist. Entartet der innere Zylinder Z R, d.h. geht R 0, so konvergiert bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ω der Koeffizient B 0, so dass für v θ nur die lineare Geschwindigkeit v θ = ωr

318 IV.13 Wirbel 318 übrigbleibt. Konvergiert allerdings ω, wenn R 0, also etwa R 2 ω C mit C R, so gilt B = A = 1 1 R 2 R R 2 R 2 ( R 2 ω R 2 ω ) C ( ω ω R 2 R 2 ) ω C R 2 und die Lösung (v, p) konvergiert gegen für R 0, v θ (r) = (ω C R 2)r + C r, r p(r) = 0 v θ (r) 2. r (IV13.2) Die Impulsbilanz zu diesem Limes kann man auch erhalten, indem man sie für das System aufschreibt, das aus der Flüssigkeit und einem starren Körper Z R besteht, der sehr schnell mit der Winkelgeschwindigkeit ω = C + O(1) R 2 rotiert. Man muss dann zum Limes R 0 übergehen. Strömungen mit dieser Eigenschaft bezeichnet man auch als vr- Wirbel, denn die Geschwindigkeit v geht in der Singularität gegen unendlich, während man ein beschränktes Vektorfeld erhält, wenn man die Geschwindigkeit v mit dem Abstand r von der Singularität multipliziert. Also bleibt in obigem Beispiel v θ (r) r beschränkt. Der Wirbel in 13.1 wird dann auch freier vr-wirbel genannt. Man kann nun Folgendes zeigen: 13.2 Theorem. Für die Lösung des freien vr-wirbels in (IV13.2) gilt in D (R 3 ) div ( vµ R 3 \W) = 0, div ( lim εց0 M(v)µ R 3 \B ε(w) Nµ W ) = 0, wobei der Grenzwert in D (R 3 ) existiert. Hierbei ist M(v) := 0vv T +pid 2a(Dv) S in R 3 \W, N := Cπ C 0 4a 0 4a C 0 0, mit der Singularität W := {(0,0,x 3 ); x 3 R}. Es ist µ R 3 \W bzw. µ R 3 \B ε(w) das Lebesguemaß L 3 auf R 3 \W bzw. R 3 \B ε (W), wobei L 3 (W) = 0, sowie

319 IV.13 Wirbel 319 µ W das Hausdorffmaß H 1 auf W. Hinweis: Die angegebenen Funktionen in R 3 \ W sind nicht im Wirbel W erklärt, so ist Dv nur in der offenen Menge R 3 \ W als Ableitung von v definiert. Bemerkung: The matrix N is the mutiplication with Cπ ( ) 2 C 0 4ai, a complex number in directions orthogonal to W. Das Theorem sagt aus, dass die Massen- und Impulserhaltung im ganzen Raum erfüllt sind, und zwar im Distributionssinne, wobei der hier beschriebene Cauchy-Limes eine Distribution ist. (Zu diesem Cauchy- Hauptwert siehe [40, 6 Cauchy s principal value] und aus der älteren Literatur [45, (for n = 1)]). Es sei bemerkt, dass wir hier auf die ursprüngliche Form der Impulserhaltung zurückgreifen, d.h. wir verwenden den Term div S mit dem Stresstensor S = a(dv) S und nicht a v. Außerhalb der Singularität W erfüllt die Lösung die stationären inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen divv = 0, divm(v) = 0. Übrigens ist es ein offenes Problem, den Wirbel durch Lösungen der kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen zu approximieren. Beweis (Massenerhaltung). Es ist mit à := ω C R 2 v = v θ e θ = C ) (Ãr + e θ = v θ r r x 2 x 1 C ) = (Ã+ r 0 2 x 2 x 1, (IV13.3) 0 was von der Ordnung 1 r nahe W ist, und daher ist v im R3 integrierbar. Es gilt divv = 0 in R 3 \W und für ζ D(R 3 ;R) gilt ζ, div(vµr 3 \B ε(w)) D(R 3 ) = ζ, vµ R 3 \B ε(w)) D(R 3 ) = ζ vdl 3 = ζν Bε(0) vdh 1 dl 1 R 3 \B ε(w) = R(Ãε+ C ) ε B ε(0) R B ε(0) ζ ν Bε(0) e θ } {{ } = e r } {{ } = 0 also auch ζ, div(vµ R 3 \W) D(R 3 ) = 0. dh 1 dl 1 = 0,

320 IV.13 Wirbel 320 Beweis (Impulserhaltung). Die Lösung von (IV13.3) ergibt in R 3 \W ( Dv = D (Ã+ C x 2 r 2) x 1 ) 0 = (Ã+ C ( x 2 r 2)D x 1 ) x 2 ( + C ) x 1 D r = (Ã+ C r 2) C x 2 r x 1 [x 1 x 2 0], 0 } {{ } = r 2 T e θ e r somit (Dv) S = 1 2( Dv +(Dv) T ) = C r 2(e θe r T +e r e θ T ). Also ist in R 3 \W somit M(v) := 0vv T +pid 2a(Dv) S = 0v 2 θ e θe θ T +pid+ 2aC r 2 (e θe r T +e r e θ T ), falls also divm(v) = (e r er +e θ eθ )M(v) = ( er M(v))e r +( eθ M(v))e θ = 0 r (vθ 2 ) (e θe T θ )e } {{ } r + 0vθ 2 e θ (e θ e T θ )e θ + r p(r)e r = 0 ( 2aC ) + r r 2 (e θ e T r +e r e T θ )e r + 2aC r 2 e θ (e θ e T r +e r e T θ )e θ = } {{ } = 2aC ( r 2 2 ) r e θ +e θ ( eθ e r )e θ + eθ e r = 0 ) ( 0v 2 θ r woraus folgt + r p(r) e r = 0, r p(r) = 0v θ (r) 2, v θ (r) = r Ãr + C r, r p(r) = 0Ã 2 r + 2 0ÃC r + 0C 2 r 3, p(r) = 0C 2 +O( logr ) für r 0, (IV13.4) 2r2

321 IV.13 Wirbel 321 somit is p über R 3 \W nicht lokal integrierbar. Nun ist für ζ D(R 3 ;R 3 ) ζ, div(m(v)µr 3 \B ε(w)) D(R 3 ) = Dζ, M(v)µ R 3 \B ε(w)) D(R 3 ) = R = ij = = R R 3 \B ε(w) R B ε(0) B ε(0) ζ B ε(0) Offensichtlich ist und da j ζ i M ij (v)dl 3 ij (ν Bε(0) e j )ζ i M ij (v)dh 1 dl 1 ζ (M(v)e r )dh 1 dl 1 ( p(r)e r + 2aC ) r 2 e θ dh 1 dl 1 = ( ). B ε(0) ζ(x 1,x 2,x 3 ) = ζ(0,x 3 )+ R ( p(r)e r + 2aC ) r 2 e θ dh 1 dl 1 = 0, = ζ(0,x 3 )+r j=1,2 j=1,2,3 x j j ζ(0,x 3 )+O(r 2 ) (e r ) j j ζ(0,x 3 )+O(r 2 ), erhalten wir wegen (IV13.4) 1 ζ(x 1,x 2,x 3 ) ζ(0,x 3 ) ( ) = ( 0C 2 ) ε ε 2 e r +2aCe θ B ε(0) = j ζ i (0,x 3 ) ij R 1 ε = Dζ(0,x 3 ) R B ε(0) Damit folgt im Limes ε 0 Dζ, M(v)µR 3 \B ε(w) lim εց0 dh 1 (x 1,x 2 )dl 1 (x 3 )+O(1) ( 0C 2 ) (e r ) j 2 e r 2aCe θ i dh1 dl 1 (x 3 )+O(1) ( 0C 2 B 1 (0) 2 e re T r 2aCe θ e T r )dh 1 } {{ } =: N D(R 3 ) = Dζ, Nµ W D(R 3 ). dl 1 (x 3 )+O(1). Die behauptete Darstellung von N folgt, wenn man e r e T r dh 1 = π 0 1 0, e θ e T r dh 1 = π 1 0 0, B 1 (0) B 1 (0) berücksichtigt.

322 IV.13 Wirbel 322 Beweis (Existenz des Limes). Wir haben noch zu zeigen, dass ζ, M(v)µR 3 \B ε(w) lim εց0 D(R 3 ) für alle ζ D(R 3 ;R 3 3 ) existiert. (Bisher ist dies nur für ζ = Dη mit η D(R 3 ;R 3 ) gezeigt.) Es gilt M(v) = 0vv T +pid 2a(Dv) S = 0C 2 r 2 e θ e T θ 0C 2 2aC Id+ 2r2 r 2 (e θe T r +e r e T θ ) } {{ } =: M 0 (r,θ) +O( logr ). All three terms of M 0 are not integrable near W, and M 0 (r,θ) = 0C 2 sin 2 θ sinθcosθ 0 r 2 sinθcosθ cos 2 θ 0 0C r aC sinθcosθ cos 2 θ sin 2 θ 0 r 2 cos 2 θ sin 2 θ sinθcosθ Now we compute M 0 dl 2 B 1 (0)\B ε(0) 1 2π = ε 0 1 = 2π ε = 0. ( 0C 2 sin 2 θ sinθcosθ 0 sinθcosθ cos 2 θ 0 0C r 2r aC sinθcosθ cos 2 θ sin 2 θ 0 cos 2 θ sin 2 θ sinθcosθ 0 ) dθdrdx 3 r C C aC ) drdx ( r From this it follows that ζ M 0 dl 3 = R B 1 (0)\B ε(0) R B 1 (0)\B ε(0) (ζ ζ(0,x 3 )) M 0 dl 3 (x)

323 IV.13 Wirbel 323 and because ζ ζ(0,x 3 ) = O(r) the function is integrable and therefore the limit ζ M 0 dl 3 = lim εց0 exists. R B 1 (0)\B ε(0) (ζ ζ(0,x 3 )) M 0 = O( 1 r ) R B 1 (0)\{0} (ζ ζ(0,x 3 )) M 0 dl 3 (x)

324 IV.13 Wirbel 324 The Swirling Vortex Wir geben jetzt das Beispiel eines Wirbels mit Bodenkontakt. Es wird die Randbedingung v = 0 am Boden gestellt, der Gravitationsterm wird (berechtigterweise) vernachlässigt, ebenso Fliehkräfte für den im Zentrum aufgestellten Beobachter. Beachte, dass wir jetzt Polarkoordinaten im R 3 benutzen, welche definiert sind durch x 1 rsinαcosθ x = x 2 = rsinαsinθ, x 3 rcos α e r = r > 0, 0 < α < π 2, θ R, und sinαcosθ cosαcosθ sinαsinθ, e α = cosαsinθ, e θ = cosα sinα sinθ cosθ, 0 (IV13.5) also ist {e r,e α,e θ } das zugehörige Orthnormalsystem bezüglich dieser Polarkoordinaten. Das Strömungsgebiet ist {x R 3 ; x 3 > 0}. Abb. 22: Page from Serrin [34] Es gilt für jede Funktion g, wenn τ die Abbildung der Polarkoordinaten ist, e r g = r(g τ), eα g = 1 r α(g τ), e θ g = 1 rsinθ θ(g τ).