Lösungen zu den Aufgaben zur Multivariaten Statistik Teil 2: Aufgaben zur Faktorenanalyse

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1 Prof. Dr. Reinhold Kosfeld Fchbereich Wirtschftswissenschften Universität Kssel Lösungen zu den Aufgben zur Multivriten Sttistik Teil : Aufgben zur Fktorennlyse. Worin besteht der Unterschied zwischen einer Huptkomponentennlyse und der Fktorennlyse im engeren Sinne? Die Huptkomponentenmethode ist ein vereinfchtes Verfhren der Fktorenextrktion uf der Bsis eines fktorennlytischen Modells, ds von einer Kommunlitätenschätzung bsieht. Sie setzt bei der Fktorenextrktion n der Korreltionsmtrix R n, obwohl in den Einsen uf ihrer Huptdigonle die merkmlsspezifischen Vrinzen enthlten sind, die nicht durch die gemeinsmen Fktoren erklärt werden können. Die Fktorennlyse im engeren Sinne (z.b. Huptchsen-Fktorennlyse) berücksichtigt bei der Fktorenextrktion dgegen ds Vorhndensein merkmlsspezifischer Vrinzen durch eine Kommunlitätenschätzung. Die Einsen uf der Huptdigonle der Korreltionsmtrix R werden bei diesem Verfhren durch die geschätzten Kommunlitäten ersetzt. Die Korreltionsmtrix R geht ddurch in die reduzierte Korreltionsmtrix R h über, us der die gemeinsmen Fktoren extrhiert werden.. Ws geben Eigenwerte in einer Fktorennlyse wieder? In der Fktorennlyse gibt der Eigenwert eines Fktors den Teil der Gesmtvrinz der mnifesten Vriblen n, der durch ihn erklärt wird. Er muss der Summe seiner qudrierten Ldungen uf den beobchtbren Vriblen entsprechen. Dividiert mn die Eigenwerte durch m ( Gesmtvrinz bei stndrdisierten Vriblen), erhält mn die durch die jeweiligen gemeinsmen Fktoren erklärten Anteile der Gesmtvrinz der Vriblen. 3. Ws spiegeln Kommunlitäten wider? Die Kommunlitäten spiegeln die Vrinznteile der Vriblen wider, die durch lle gemeinsmen Fktoren erklärt werden. Mn erhält sie, in dem mn die Summe der qudrierten Ldungen der jeweiligen Vriblen uf llen gemeinsmen Fktoren bildet.

2 4. Ws drückt ds Fundmentltheorem der Fktorennlyse us? Ds Fundmentltheorem der Fktorennlyse besgt, dss sich die Korreltionsmtrix R in einen durch die gemeinsmen Fktoren erklärten Teil und in einen durch sog. Einzelrestfktoren (merkmlsspezifische Fktoren) erklärten Teil zerlegen lässt. Der uf die gemeinsmen Fktoren zurückzuführende Teil der Korreltionsmtrix, der durch ds Produkt der Fktormtrix A und ihrer Trnsponierten A gegeben ist, enthält Kommunlitäten und die substnziellen Korreltionen zwischen den Vriblen. Der uf die Einzelrestfktoren zurückführbre Teil wird ls Restkorreltionsmtrix R Rest bezeichnet. Hierin befinden sich bgesehen von unbedeutenden Restkorreltionen ( 0) die merkmlsspezifischen Vrinzen. 5. Worin besteht ds Kommunlitätenproblem? Bei der Fktorennlyse im engeren Sinne werden die gemeinsmen Fktoren us der reduzierten Korreltionsmtrix R h extrhiert, die sich us der Korreltionsmtrix R ergibt, wenn mn die Einsen uf der Huptdigonle um die merkmlsspezifischen Vrinzen vermindert. Auf der Huptdigonle von R h stehen die Kommunlitäten, d.h. die Vrinznteile der stndrdisierten Vriblen, die uf die gemeinsmen Fktoren zurückgeführt werden können. Die Kommunlitäten sind im Allgemeinen jedoch priori unbeknnt und ergeben sich erst nch der Fktorenextrktion us der Fktormtrix (Mtrix der Fktorldungen). Ds Kommunlitätenproblem besteht drin, dss mn die Kommunlitäten bereits für die Fktorenextrktion benötigt, obgleich sie sich erst nchher us den ermittelten Fktorldungen berechnen lssen. 6. Ws ist in der Fktorennlyse mit einer Einfchstruktur gemeint? Die gemeinsmen Fktoren werden so us der Korreltionsmtrix extrhiert, dss der erste Fktor ein Mximum der Vriblenvrinz erklärt, der zweite Fktor ein Mximum der durch den Fktor noch nicht erklärten Vrinz etc. Die Extrktion von Fktoren, die sukzessive mximle Vrinznteile der verbleibenden Vriblenstreuung erklären, führt im Allgemeinen noch nicht zu einer bestmöglichen Interprettion. Vor llem mittlere Ldungen verwischen ds Fktormuster, ds deutlicher hervortreten würde, wenn die Fktorldungen in Richtung 0 (kein Zusmmenhng zwischen einer Vriblen und einem Fktor) oder ± (perfekter Zusmmenhng zwischen einer Vriblen und einem Fktor) tendieren würden. Ein solches Fktormuster bezeichnet mn ls Einfchstruktur.

3 3 7. Ws versteht mn unter dem Rottionsproblem? In einem Koordintensystem, dessen Achsen durch die gemeinsmen Fktoren gebildet werden (Fktorrum), werden die Vriblen durch die Vriblenvektoren (Zeilen der Fktormtrix) bgebildet, deren Längen durch die Wurzeln der Kommunlitäten gegeben sind. Dreht mn ds Koordintensystem (Fktorrum) um einen Winkel α, ändern sich zwr die Koordinten (Fktorldungen), jedoch bleiben die Kommunlitäten unverändert. Bei gleichem Erklärungsgehlt der Fktoren knn der Fktorrum dher so gedreht ( rotiert ) werden, dss seine Achsen möglichst durch die Vriblencluster verlufen. Auf diese Weise führt mn die Fktorldungen näher n 0 oder ±, d.h. n die Werte einer Einfchstruktur, hern. Ds Rottionsproblem besteht drin, festzulegen, um welchen Winkel ds Koordintensystem gedreht ( rotiert ) werden soll, um eine Lösung zu erhlten, die möglichst nhe n eine Einfchstruktur hernkommt und dmit bestmöglich interpretierbr ist. 8. Auf welche Art führt die Vrimx-Methode zu einer Einfchstruktur? Mit der Vrimx-Methode wird der Rottionswinkel α so bestimmt, dss die Streuung der qudrierten Ldungen der Fktoren um ihre Mittelwerte (spltenweise Mittelwerte der Ldungsqudrte) mximiert wird. Die Anzhl der Vriblen mit einer hohen Ldung uf einem Fktor wird hierdurch minimiert. Auf diese Weise zielt die Vrimx-Methode uf eine Einfchstruktur b, in der möglichst wenige Vriblen, dfür ber hoch, uf den einzelnen Fktoren lden. 9. Welche Vorussetzung im Hinblick uf ds Sklenniveu wird hier bei der Durchführung einer Fktorennlyse gemcht? Die Anwendung der Fktorennlyse setzt ein metrisches Sklenniveu vorus. Werden Merkmle herngezogen, die uf einer sog. Rtingskl (z.b. von sehr wichtig oder vollständige Zustimmung bis 7 völlig unwichtig oder vollständige Ablehnung) gemessen werden, muss unterstellt werden können, dss die Abstände zwischen den Rtingwerten inhltlich ls gleich groß interpretierbr sind.

4 4 0. Gegeben sind die us den Testergebnissen (Punkte) von 0 Schülern in sechs Schulfächern ermittelten Korreltionen: deutsch mthe englisch frnz physik Korreltion nch Person Signifiknz (-seitig) N Korreltion nch Person Signifiknz (-seitig) N Korreltion nch Person Signifiknz (-seitig) N Korreltion nch Person Signifiknz (-seitig) N Korreltion nch Person Signifiknz (-seitig) N Korreltion nch Person Signifiknz (-seitig) N Korreltionen **. Die Korreltion ist uf dem Niveu von 0,0 (-seitig) signifiknt. *. Die Korreltion ist uf dem Niveu von 0,05 (-seitig) signifiknt. deutsch mthe englisch frnz physik -.580**.794** ** ** -.49*.77** -.56*.546* ** -.49* ** ** *.59** ** -.56*.857** -.477* * ** ) Welche Anhltspunkte für die Durchführung einer Fktorennlyse liefert die Korreltionsmtrix? Aus der Korreltionsmtrix geht hervor, dss die Testleistungen in den sechs Schulfächern nicht unbhängig voneinnder sind. Vielmehr lässt sich us der Reihe signifiknter Korreltionen uf substnzielle Zusmmenhänge zwischen den Testleistungen schließen. So ist z.b. die Korreltion zwischen frnz und englisch mit 0,857 beträchtlich. Der Korreltionskoeffizient zwischen deutsch und mthe von 0,580 zeigt dgegen einen negtiven Zusmmenhng zwischen diesen Schulfächern n. Aufgrund der vorhndenen substnzieller Korreltionen ist die Fktorennlyse ist geeignet, die hinter den Testleistungen stehenden gemeinsmen Dimensionen (Fktoren oder Supervriblen ) us der Korreltionsmtrix zu extrhieren. b) Testen Sie den Korreltionskoeffizienten der Mthemtik und Englischpunkte uf Signifiknz (α0,05)! Prüfgröße: t -,398; Kritischer Wert: t 8;0,975,0; Testentscheidung: H 0 blehnen

5 5. Bei einer Fktorennlyse der Punkte in Schulfächern (Korreltionsmtrix s. Aufg. 0) unter Verwendung der Huptkomponentenmethode gibt SPSS die folgende Tbelle Erklärte Vrinz us: Erklärte Gesmtvrinz Summen von qudrierten Fktorldungen Anfängliche Eigenwerte für Extrktion Komponente Gesmt % der Vrinz Kumulierte % Gesmt % der Vrinz Kumulierte % Extrktionsmethode: Huptkomponentennlyse. Erläutern Sie nhnd der SPSS-Tbelle Erklärte Gesmtvrinz ds Kiser- Kriterium! Welches kumulierte Vrinzkriterium würde hier zum selben Ergebnis im Hinblick uf die Fktorenextrktion führen? Kiser-Kriterium: Nch dem Kiser-Kriterium sind diejenigen Fktoren zu extrhieren, deren Eigenwert größer ls ist. Die Rtio dieses Kriteriums besteht drin, dss die extrhierten Fktoren ( Supervriblen ) einen größeren Erklärungsbeitrg leisten sollten ls die beobchtbren Vriblen, d mit ihnen sonst keine Informtionsverdichtung einhergehen würde. Der Schwellenwert von ergibt sich drus, dss die Vrinz jeder Vriblen bei einer Stndrdisierung gleich ist. Gemeinsme Fktoren werden nch dem Kiser-Kriterium somit nur dnn extrhiert, wenn sie einen größeren Teil der Gesmtvrinz ls eine mnifeste Vrible erklären. In der SPSS-Tbelle Erklärte Gesmtvrinz sind die Eigenwerte der ersten beiden Fktoren >, während die Eigenwerte vom dritten Fktor b < sind. Nch dem Kiser-Kriterium sind dher gemeinsme Fktoren zu extrhieren. Kumultives Vrinzkriterium: Ds hierzu komptible kumultive Vrinzkriterium würde die Forderung enthlten, dss durch die extrhierten Fktoren mindestens 80% der Gesmtvrinz der mnifesten Vriblen erklärt werden sollten.

6 6. Gegeben ist die von SPSS usgewiesene Fktormtrix (Komponentenmtrix): ) Wie lssen sich die beiden größten Eigenwerte us der nchstehenden Tbelle der Fktorldungen (Komponentenldungen) reproduzieren? Eigenwert λ : Summe der qudrierten Ldungen der. Splte der Fktormtrix (Komponentenmtrix): m 6 λ j 0,804 + ( 0,838) + 0,88 + ( 0,736) + 0,835 + ( 0,586) 3,67 j Eigenwert λ : Summe der qudrierten Ldungen der. Splte der Fktormtrix (Komponentenmtrix): m 6 deutsch mthe englisch frnz physik Komponentenmtrix Komponente Extrktionsmethode: Huptkomponentennlyse.. Komponenten extrhiert λ j 0,39 + 0,34 + 0, ,53 + 0,37 + 0,60,79 j b) Wie lssen sich die beiden extrhierten Fktoren (Komponenten) us der in Teil b) ngegebenen Fktormtrix (Komponentenmtrix) interpretieren? Fktor : Gegenpol sprchliche vs. nturwissenschftlich-mthemtische Begbung Fktor : Nturwissenschftliche Begbung Anmerkung: Die beiden Fktoren treten nch einer Rottion der Fktormtrix deutlicher hervor ( Aufg. 4).

7 7 3. Welche nfänglichen Werte für die Kommunlitäten sind bei der Fktorenextrktion mit der Huptkomponentenmethode und Huptchsen-Fktorennlyse verwendet worden? Inverse Korreltionsmtrix deutsch mthe englisch frnz physik deutsch mthe englisch frnz physik Kommunlitäten Anfänglich Extrktion deutsch?.800 mthe?.807 englisch?.93?.85 frnz?.836 physik?.75 Extrktionsmethode: Huptkomponentennlyse. Kommunlitäten Anfänglich Extrktion deutsch?.659 mthe?.774 englisch?.999?.834 frnz?.73 physik?.43 Extrktionsmethode: Huptchsen-Fktorennlyse. - Huptkomponentenmethode: Bei der Huptkomponentenmethode wird keine Kommunlitätenschätzung durchgeführt. Die nfänglichen Kommunlitäten entsprechen dher den Huptdigonlelementen der Korreltionsmtrix R, die lle gleich sind. - Huptchsen-Fktorennlyse: SPSS verwendet bei der Huptchsen-Fktorennlyse (Fktorennlyse i.e.s.) die multiplen Determintionskoeffizienten der Vriblen ls nfängliche Kommunlitäten, die sich durch /r jj (r jj : j-tes Huptdigonlelement der inversen Korreltionsmtrix R - ) berechnen lssen. Anfängliche Kommunlitäten: h 0,706; h 0,73; h3 0,86; 3,396 3,73 5,75 h 4 0,76; h5 0,785; h6 0,39; 3,54 4,66,646

8 8 4. Bei Durchführung einer Fktorennlyse i. e. S. (Huptchsen-Fktorennlyse) gibt SPSS im Beispiel der Punktnoten in Schulfächern (Korreltionsmtrix s. Aufg. 0) die nchfolgende Tbelle Erklärte Gesmtvrinz us: Fktor Erklärte Gesmtvrinz Summen von qudrierten Fktorldungen Anfängliche Eigenwerte für Extrktion Rotierte Summe der qudrierten Ldungen Gesmt % der Vrinz Kumulierte % Gesmt % der Vrinz Kumulierte % Gesmt % der Vrinz Kumulierte % Extrktionsmethode: Huptchsen-Fktorennlyse. ) Wrum unterscheiden sich die Werte in der Splte Kumulierte % vor und nch der Extrktion? Die Splte Kumulierte % vor der Extrktion bezieht sich uf die Korreltionsmtrix R, während sich die Angben in dieser Spte nch der Extrktion uf die reduzierte Korreltionsmtrix R h bezieht. b) Vergleichen Sie die Kommunlitäten der unrotierten und rotierten Fktormtrix miteinnder! Erläutern Sie den Befund! Fktorenmtrix Fktor deutsch mthe englisch frnz physik Extrktionsmethode: Huptchsen-Fktorennlyse.. Es wurde versucht, Fktoren zu extrhieren. Es werden mehr ls 3 Itertionen benötigt. (Konvergenz 00). Die Extrktion wurde bgebrochen. deutsch mthe englisch frnz physik Rotierte Fktorenmtrix Fktor Extrktionsmethode: Huptchsen-Fktorennlyse. Rottionsmethode: Vrimx mit Kiser-Normlisierung.. Die Rottion ist in 3 Itertionen konvergiert. p Kommunlität der Vriblen X ( deutsch ): h k 0, ,93 0,659 h k 0,770 + ( 0,57) 0,659 k k Wenn Sie die Kommunlitäten der übrigen Vriblen berechnen, stellen Sie fest, dss es hierbei keinen Unterschied zwischen der unrotierten und rotierten Lösung gibt (bitte überprüfen!). Der durch die beiden extrhierten Fktoren erklärte Teil der Vrinz einer mnifesten Vriblen (Kommunlität) ändert sich nicht durch eine Rottion der Fktormtrix. p

9 9 c) Interpretieren Sie ds in Teil b) durch die rotierte Fktormtrix wiedergegebene Fktormuster! Die Vriblen deutsch, englisch und frnz lden uf dem ersten Fktor hoch. Es liegt nhe, Fktor ls Sprchliche Begbung zu interpretieren. Dgegen lden die Vriblen mthe, und physik substnziell uf dem zweiten Fktor, der deshlb ls Mthemtisch-nturwissenschftliche Begbung interpretiert werden knn. 5. Welche Informtionen können Sie der Trnsformtionsmtrix entnehmen? Fktor-Trnsformtionsmtrix Fktor Extrktionsmethode: Huptchsen-Fktorennlyse. Rottionsmethode: Vrimx mit Kiser-Normlisierung. Die Trnsformtionsmtrix enthält die Sinus- und Kosinus-Funktionen des Drehwinkels, d.h. des Winkels, mit dem der Fktorrum gedreht ( rotiert ) wird, um eine Einfchstuktur zu erhlten. Die beiden Huptdigonlelemente geben den Wert der Kosinusfunktion 0,770 für den Drehwinkel α n. Mn erhält den Drehwinkel α us der Arcus-Kosinus-Funktion (inverse Kosinusfunktion): rccos(0,770) 39,6. Die beiden Nicht-Huptdigonlelemente geben den Wert der Sinusfunktion 0,638 bzw. negtiven Sinusfunktion -0,638 n. Hiermit lässt sich ebenflls der Drehwinkel bestimmen α bestimmen: rcsin(0,638) 39,6. 6. Interpretieren Sie die Koeffizientenmtrix der Fktorwerte: Koeffizientenmtrix der Fktorwerte deutsch mthe englisch frnz physik Fktor Extrktionsmethode: Huptchsen-Fktorennlyse. Rottionsmethode: Vrimx mit Kiser-Normlisierung. Methode für Fktorwerte: Regression. ) Worus besteht die Koeffizientenmtrix der Fktorwerte? Wie erhält mn hiermit die Mtrix der Fktorwerte?

10 0 Bei Whl der Regressionsmethode zur Schätzung der Fktorwertemtrix F in der Huptchsen-Fktorennlyse besteht die Koeffizientenmtrix der Fktorwerte us dem Produkt der trnsponierten Fktormtrix, A, und der inversen Korreltionsmtrix R -. Mn erhält die trnsponierte Fktorwertemtrix F nch Multipliktion der Koeffizientenmtrix A R - mit der trnsponierten stndrdisierten Beobchtungsmtrix Z. SPSS gibt die Koeffizientenmtrix in der Form (A R - ) R - A us. b) Für drei usgewählte Schüler sind folgende Fktorwerte ermittelt worden: Fktor Fktor Schüler -0,708-0,64 Schüler 4 0,890,4 Schüler 0,96 0,08 Hinweis: Die hier neu usgewiesenen Fktorwerte ergeben sich nch Rottion der Fktormtrix. Interpretieren Sie die Fktorwerte! Schüler : f -0,708; f -0,64 Sowohl die sprchliche Begbung (Fktor ) ls uch die mthemtisch-nturwissenschftliche Begbung (Fktor ) sind beim Schüler unterdurchschnittlich usgeprägt. Schüler 4: f 4 0,890; f 4,4 Der Schüler 4 ht eine überdurchschnittliche sprchliche und mthemtisch-nturwissenschftliche Begbung. Schüler 0: f 0,,96; f 0, 0,08 Der Schüler 0 ht eine hohe sprchliche Begbung (Fktor ), ber nur eine durchschnittliche mthemtisch-nturwissenschftliche Begbung (Fktor ). c) Der Schüler ht in den 6 Fächern folgende Punktwerte erzielt: deutsch mthe englisch frnz physik -0,67 0,087-0,48-0,638 0,5 -,57 Reproduzieren Sie die für diesen Schüler in Teil b) usgewiesenen Fktorwerte! Fktorwert f -0,708 Splte der Koeffizientenmtrix der Fktorwerte x Vektor der stndrdisierten Beobchtungswerte des. Schülers:

11 0,067 0,087 0,48 0,638 0,5,57 [ 0,09 0,048,4 0,30 0,075 0,076] (-0,09) (-0,67) + (-0,048) 0,087 +,4 (-0,48) + 0,30 (-0,638) + (-0,075) 0,5 + 0,076 (,57) -0,708 Fktorwert f -0,64 0,067 0,087 0,48 0,638 0,5,57 [ 0,08 0,30 0,3 0,65 0,003 0,6] (-0,08) (-0,67) + (0,30 0, ,3 (-0,48) + 0,65 (-0,638) + 0,003 0,5 + 0,6 (,57) -0,64 7. Gegeben ist die Korreltionsmtrix R 0,8 0,8 der beiden Vriblen X und X, us der zwei Fktoren nch der Huptkomponentenmethode zu extrhieren sind. ) Welche Eigenwerte ht die Korreltionsmtrix? Chrkteristische Gleichung: R λι R λι λ 0,8 0,8 λ 0 ( λ) 0,8 λ + λ 0, 64 λ { λ + 0,36 { 0 b

12 λ / ± λ ± 0,36 ±,8 b ± und λ 0,64 ± 0,8 0, b) Bestimmen Sie den ersten Fktorvektor! Gleichungssystem mit. Eigenwert ( λ,8) : ( R λ Ι),8 0,8 oder 0,8 0,8 0 0,8,8 + 0,8 0, Für eine vorläufige Lösung (, ) 0,36 setzt mn dher eine der beiden Unbeknnten fest, z.b.. Mn knn dnn die zweite Unbeknnte us einer der beiden Gleichungen bestimmen. Mit der ersten Gleichung erhält mn: 0,8 ( ) + 0,8 0 0,8 0,8 Als zusätzliche Gleichung wählt mn: + + Normierter. Eigenvektor (uf Länge ): n * n * / / 0,707, / / 0, 707 n n 0,707 n 0,707 Erster Fktorvektor: Beide Gleichungen sind nicht liner unbhängig, d sich die. Gleichung durch Multipliktion mit (-) in die. Gleichung überführen lässt. 0,949 0,949 n n λ λ 0,707 0,707,8 0,949,8 0,949 ' + Anmerkung : Es gilt (,8 ) + (,8 ),8 +,8 (,8 ),8 λ

13 3 c) Bestimmen Sie den zweiten Fktorvektor! Gleichungssystem mit. Eigenwert ( λ 0, ): ( R λ Ι) 0 0, 0,8 oder 0,8 0, 0 0 0,8 + 0,8 0 Beide Gleichungen sind identisch 0,8 + 0,8 0 Vorläufige 0,8 0,8 ( ) ( gesetzt) + 0,8 0,8 0 Als zusätzliche Gleichung erhält mn: + ( ) + Normierter. Eigenvektor (uf Länge ): n * n * / / 0,707, / / 0, 707 n n 0,707 n 0,707 Zweiter Fktorvektor: 0,36 0,36 n n λ λ 0,707 0, 0,36 0,707 0, 0,36 Anmerkung : Es gilt ( 0, ) + ( 0, ) ' + 0, + 0, 0, 0, λ

14 4 d) Zeigen Sie, dss die beiden extrhierten Fktoren orthogonl sind! Im Flle orthogonler Fktoren (unbhängiger Fktoren) ist ds Sklrprodukt der Fktorvektoren und gleich 0: ' + (,8 ) ( 0, ) + (,8 ) ( 0, ),8 0,,8 0, 0 8. Der Preis eines Produktes A sei durch die Einflussgrößen Produktivität (X ), Lohn (X ) und Nchfrge (X 3 ) bestimmt). Mit den Vriblenwerten von 30 Unternehmen, die ds Produkt A nbieten, ergibt sich die Korrreltionsmtrix der 3 Einflussgrößen: 0,7 0,3 R 0,7 0. 0,3 0 ) Ermitteln Sie die Eigenwerte der Korreltionsmtrix! Lösen der chrkteristischen Gleichung z.b. unter Anwendung der Srrusschen Regel: λ,76; λ ; λ 3 0,38 b) Geben Sie die Anzhl der zu extrhierenden Fktoren nch dem kumulierten Vrinzkriterium von 90% n! Durch die Fktoren erklärte Vrinznteile: λ m,76 λ 0,587 ; λ 0, ,38 ; 0, m 3 m 3 λ λ + 0, ,333 0,90 m m (ˆ 9,0%) Fktoren extrhieren c) Bestimmen Sie die Fktormtrix (Mtrix der Fktorldungen) für ds in Teil b) ngegebene kumultive Vrinzkriterium nch der Huptkomponentenmethode! Fktor Fktor 0,939 0 Fktormtrix A 0,863 0,394 0,370 0,99 Pr oduktivität (X Lohn (X ) Nchfrge (X 3 ) )

15 5 d) Wie lssen sich die extrhierten Fktoren (Huptkomponenten) interpretieren? Fktor : lädt hoch uf den Vriblen Produktivität (X ) und Lohn (X ), d.h. uf ngebotsseitig determinierte Vriblen Angebotsfktor Fktor : lädt hoch uf der Vriblen Nchfrge (X 3 ) Nchfrgefktor