Das Polaron in Pfadintegral-Darstellung. Daniel Wigger

Transkript

1 Das Polaron in Pfadintgral-Darstllung Danil Wiggr

2 1 Einlitung Das Polaron ist in Quasitilchn in dr Fstkörprphysik. Es bstht aus inm Elktron, das sich durch inn Kristall mit ionischm Bindungsantil bwgt und dabi in Polarisation ds Gittrs mit sich trägt. Das Elktron ist also von inr Phonon-Wolk umgbn, hirbi handlt s sich im wsntlichn um optisch Phononn, bi dnn vrschidn Atom ggnphasig schwingn, dnn di positiv gladnn Gittratom wrdn vom Elktron angzogn, di ngativ gladnn daggn wrdn abgstoßn. Abbildung 1: Schmatisch Darstllung ins Polarons: Das Elktron trägt in Vrzrrung dr Gittrs mit sich. Jds Gittratom inzln btrachtt führt, nachdm s nicht mhr untr dm dirktn Einfluss ds Elktrons stht, harmonisch Schwingungn aus. Btrachtt man di Disprsionsrlation dr optischn Phononn, so ist dis für klin Wllnlängn ω annährnd konstant und s richt aus, nur in Phononmod zu btrachtn. In dr Fockdarstllung ist dr Hamiltonoprator für di Kopplung zwischn Elktron und Phonon ggbn als: H p = k,q α k,q c + k+q ( ) bq + b + q ck H p = k,q [ αk,q c + k+q b qc k + α k,qc + k b+ q c k+q ] Dabi sind c, c + di Vrnichtr und Erzugr dr Elktronn und b, b + di dr Phononn, ( α k,q = ω LO 1 1 ) ε 0 ε ε s 1

3 stllt das Fröhlich-Kopplungslmnt dar. Diss lässt sich im Wsntlichn aus dr statischn ε s und dr Hochfrqunz-Dilktrizitätskonstant ε brchnn. Aus dr zwitn Glichung kann man nun dirkt ablsn, wlch Prozss bi dr Elktron-Phonon- Wchslwirkung in disr Btrachtung möglich sind. Abbildung : Schmatisch Darstllung dr Elktron-Phonon-Wchslwirkung: Ein Elktron kann in Phonon absorbirn und dssn Impuls aufnhmn, odr in Phonon anrgn und dabi an Impuls vrlirn. Zum inn kann in Elktron in Phonon absorbirn und dabi dssn Impuls aufnhmn, zum andrn kann das Elktron spontan in Phonon anrgn und muss dabi dn Impuls ds rzugtn Phonons vrlirn. Bim Polaron findn nun bid Prozss nachinandr statt, was durch folgnds Bild vranschaulicht wird: Abbildung 3: Schmatisch Darstllung ds Polaron-Prozsss: Ein Elktron in Phonon an, an das s slbst widr kopplt.

4 1.1 Motivation ds Kopplungstrms Di vom Elktron rzugtn Gittrschwingungn rzugn in Polarisation ds Mdiums, an di das Elktron widr rückwirknd koppln kann. Das Elktron bwgt sich damit in inm Potntial, wlchs durch di Laplac-Glichung mit dr Polarisation P ds Kristalls wi folgt vrknüpft ist: V (x) = P (x) Dabi ist di Polarisation ggbn als Fourirntwicklung: ( ) ( ) 1/ P 5 ω 3 1/4 d 3 k 3 (x) = πα [a m (π) 3 i ( k) i k x i + a i ( ] k) i k x i Wobi di Fourirkoffizintn a i und a i nach dr Quantisirung in di Vrnichtungs- und Erzugungsopratorn b und b + dr Phononn übrghn. Di Polarisationsvktorn i bildn in Orthonormalbasis. Um nun das Potntial zu bstimmn muss di Polarisation abglitt wrdn, was Trm k i rgibt. Dis sind nur für Vktorn k i von Null vrschidn. Dadurch blibn von dr Summ ldiglich di longitudinaln Phononmodn übrig. Aus dr Laplac-Glichung rgibt sich dann: V (x) P k [a i ( k) i k x i a i ( ] k) i k x i V 1 [a k i ( k) i k x i + a i ( ] k) i k x i Damit rhält man dn von Fröhlich ingführtn Hamiltonoprator für das gsamt Elktron- Phonon-Systm: H = p + k i=1 a + k a k + i ( πα ) 1/ 1 [ ] b + L 3 k k i k x + b k i k x Dabi wurd angnommn, dass = m = ω = 1 sind. Ght man nun auch für di Phononn zu Ortskoordinatn übr, indm man di Dfinitionn dr c, c +, b, b + instzt, so rhält man folgnd Lagrangfunktion: L = 1 ẋ + }{{} d 3 k 1 (π) 3 ( q k + qk) + }{{} ph x - Ort Elktron k πα 1 k q k i k x } {{ } p q - Ort Phonon Si bstht aus inm rinn Elktronn-Antil (), inm rinn Phononn-Antil (ph) und dm zuvor motivirtn Wchslwirkunsantil (p) Nach inm Übrgang ins Kontinuirlich findt man dann für di Wirkung: S = dt [ 1 r (t) + d 3 k (π) 3 ( 1 ( q (t, k) + q (t, k) ) + πα 1 )] k q(t, k)i k x(t) Dr Antil dr Phononn ntspricht inm gtribnn Oszillator, spätr wird di Lösung diss Systms ohn witr Brchnung anggbn und witr vrwndt. 3

5 Fynman Variationsprinzip Das Pfadintgral lässt sich mit t = iτ als uklidischs Pfadintgral wi folgt darstlln: Dx(τ) S = Sp( Hτ ) Dis folgt aus Btrachtungn von Erwartungswrtn bi großn Zitn und tifn Tmpraturn. Wir btrachtn di Amplitud: x, τ A y, τ = x H τ A H τ y = x n n A m m y En τ τ E m n,m Stzt man hir y = x und intgrirt übr x, so rgibt sich im Lims großr Zitn: Sp ( Hτ A ) = E0τ 0 A 0 { 1 + O ( cτ)} ( Hτ A ) 0 A 0 = lim τ Sp Sp ( Hτ ) An disr Stll rknnt man, dass sich dr Einfluss dr Randbdingungn aus dm Bruch hrauskürzt. Wählt man nun A = Hτ, so rgibt sich in Ausdruck für das Pfadintgral in dr Form: ( 0 Hτ Sp ) Hτ 0 = lim τ Sp ( Hτ ) = lim Sp ( Hτ) τ Dabi wurd folgndr Ausdruck mit A = 1 vrwndt: lim Sp ( Hτ 1 ) = E 0τ 1 τ Also rgibt sich di gwünscht Form für das Pfadintgral: Dx(τ) S = Sp( Hτ ) = E 0τ 4

6 .1 Das Variationsprinzip Nun wolln wir das Fynmansch Variationsprinzip inführn um in obr Schrank für di Grundzustandsnrgi zu brchnn. Dazu zunächst folgndr Trick: Dx(τ) Dx(τ) S (S ) S = Dx(τ) S Dx(τ) (S S ) Dx(τ) S Dabi stllt in Tstwirkung dar, di Paramtr nthält, di spätr zur Minimirung dinn. Im nächstn Schritt vrwndn wir di Jnsnsch Unglichung: x x Dis ist durch vollständig Induktion bwisbar odr durch folgnds Bild licht rsichtlich: Durch di konkav Krümmung dr Exponntialfunktion ligt dr Massrschwr- Abbildung 4: Vranschaulichung dr Jnsnschn Unglichung: Di Krümmung ds Graphn bwirkt, dass dr Massnschwrpunkt obrhalb ds Graphn ligt. punkt dr Punkt auf dr Kurv obrhalb disr, wo hinggn dr Funktionswrt ds x-mittlwrts natürlich auf dr Kurv ligt (sih Abb..1). Wndt man nun dis Unglichung auf dn Erwartungswrt in dm Pfadintgral an, so rgibt sich: Dx(τ) S S S Dx(τ) S mit S Dx(τ) (S ) S Dx(τ) 5

7 Wir hattn zuvor für groß Zitn τ in infach Darstllung ds Pfadintgrals hrglitt, di jtzt Vrwndung findt: Dx(τ) S = E 0τ S S Dx(τ) S ( ) E 0 τ S + ln Dx(τ) S E 0 E + 1 τ S S (1) ( ) mit: E 1 lim τ τ ln Dx(τ) S Damit habn wir inn Ausdruck für in obr Schrank für di Grundzustandsnrgi gfundn. Zil ist s jtzt di rcht Sit von Glichung (1) zu minimirn, sodass di Enrgi ds Grundzustands möglichst gnau angnährt wird. Nun muss in gignt Wahl für di Tstwirkuung gtroffn wrdn. Di Wahl ist abhängig von dr Kopplungsstärk α. Wir btrachtt hir inn Brich 1 α 6, da vil ral Kristall in disn Brich falln: Matrial α GaAs 0,068 CdS 0,53 AgGr 1,53 TlBr,55 KCl 3,44 Man kann zign, dass das Fynmansch Prinzip für groß Kopplungn äquivalnt zum Ritzschn Variationsprinzip ist. Für klin Kopplungsstärkn ist s jdoch sinnvoll di Enrgin mit Hilf dr Störungsrchnung zu bstimmn. Dis Brchnung lifrt in. Ordnung in Grundzustandsnrgi von ( α E 0 α 1, 6 10) 3 Brchnung dr Grundzustandsnrgi Als Pfadintgral ligt nun, mit dm Ergbnis ds gtribnn harmonischn Oszillators wi folgt: { Dx(τ) S = Dx(τ) xp 1 dτẋ (τ) } d 3 k 1 πα dτds (π) 3 k ik(x(τ) x(s)) τ s }{{} F Dabi binhaltt F di Fouritransformation von 1/k, dis ist 1/ x, also: F = α τ s dτds 8 x(τ) x(s) 6

8 Damit rgibt sich dann für di Wirkung: S = 1 dτẋ (τ) α 8 τ s dτds x(τ) x(s) Wir wähln nun folgnd Tstwirkung = 1 dτ ẋ (τ) + C dτds (x(τ) x(s)) W τ s Mit Koffizintn C und W, di so angpasst wrdn müssn, dass minimal wird. Dis Wahl von hat folgnd Gründ: Si ist dr Wirkung S shr ähnlich, damit S licht klin wird Si ist quadratisch in x und sollt dadurch intgrirt wrdn könnn Si nthält dn rtardirtn Charaktr dr Kopplung Wir bginnn mit dr Brchnung ds Erwartungswrts S. Dr Trm lautt nun xplizit: 1 τ S S = α τ s dτds 8τ x(τ) x(s) C dτds (x(τ) x(s)) W τ s τ A + B Di Exponntialfunktionn könnn aus dm Erwartungswrt gzogn wrdn, da dis nicht xplizit vom Wg abhängn. Zunächst zu Trm A: Dr Bruch ist bkannt und kann widr als Fourir-Transformation dargstllt wrdn: Also wrtn wir 1 x(τ) x(s) = ik(x(τ ) x(s )) = d 3 k π k ik(x(τ) x(s)) I {}}{ Dx(τ) ik(x(τ ) x(s )) S Dx(τ) () witr aus. Das Intgral im Zählr hat di Form: [ I = Dx(τ) xp 1 dτ ẋ (τ) C W τ s dτds (x(τ) x(s)) } {{ } mit: f(τ) = ik(δ(τ τ ) δ(τ s )) + dτ f(τ)x(τ) ] 7

9 Jtzt wird in Substitution vorgnommn analog zu dr bim harmonischn Oszillator: x(τ) = x (τ) + y(τ). Dabi ist für x (τ) dr Exponnt maximal und y(τ) wird zur Intgrationsvariabl. Es ist dann möglich y als quadratischn Faktor abzusparirn, dr nicht mhr von f(τ) abhängt. Dis Intgration gibt dann inn Bitrag, dr nur von T abhängt und sich spätr aus dm Bruch in Gl. () hrauskürzn lässt. Dahr wird r nicht witr btrachtt. Di Endpunkt für x könnn nun blibig gwählt wrdn, also aus Bqumlichkit zu x (0) = x (T ) = 0. Damit blibt von dm Erwartungswrt auch nur noch dr Zählr I = xp [ 1 dτẋ (τ) C dτds(x (τ) x (s)) W τ s + ] dτf(τ)x (τ) J zu brchnn. Für x soll nun I minimal wrdn, dis führt übr di Eulr-Lagrang-Glichung zu dr Diffrntialglichung: d x (τ) dτ = C (x (τ) x (s)) W τ s ds f(τ) (3) Damit lässt sich dr Exponnt in I vrinfachn. Wir btrachtn zunächst: dτ ẋẋ = [ẋx] T 0 dτ d x }{{} dτ x =0 J = 1 dτẋ (τ) C dτds(x (τ) x (s)) W τ s + dτf(τ)x (τ) = 1 dτ d x dτ x C dτds(x (τ) x (s)) W τ s + dτf(τ)x (τ) = C dτds(x (τ) x (s))x(τ) W τ s C dτds(x (τ) x (s)) W τ s 1 dτf(τ)x (τ) + dτf(τ)x (τ) = C mit: C dτds(x (τ) x (s))x(τ) W τ s + C = C dτds(x (τ) x W τ s (s))x(τ) dτds(x (s) x W τ s (τ))x(s) dτds(x (τ) x (s)) W τ s ] I = xp [ 1 f(τ)x (τ)dτ 8

10 Es blibt nun noch (3) zu lösn, dazu dfinirn wir: z(τ) = W W τ s x (s)ds dz(τ) dτ d z(τ) dτ = W = W [z(τ) x (τ)] W τ s ε(τ s)x (s)ds mit: ε(u) = 1, u < 0 0, u = 0 1, x > 0 Also folgt für (3): d x (τ) = C x (τ) W τ s ds x (s) W τ s ds f(τ) dτ ( t T ) = C x (τ) W (τ s) ds + x (τ) W (τ s) ds 4C z(τ) f(τ) W 0 für groß T : = C W x (τ) C 1 W x (τ) W t 4C z(τ) f(τ) }{{} W 0 d x (τ) = 4C dτ W [x (τ) z(τ)] f(τ) Di bidn Diffrntial-Glichungn könnn licht sparirt und glöst wrdn. Damit rgibt sich dann für dn Erwartungswrt: ik(x(τ ) x(s )) = I = xp[ik(x(τ ) x(s )] = xp [ Ck UW (1 U τ s ) W ] U k τ s (4) t mit: U W + 4C W Abschlißnd rgibt sich für A nach inr infachn Gauß-Intgration übr k und inr Intgration übr s: A = 1 αu [W τ + U ] W (1 Uτ ) W τ dτ π W U 0 Um nun auch B zu bstimmn muss x(t) x(s) bstimmt wrdn, dazu ntwicklt man bid Sitn von Glichung (4) nach k bis zur Ordnung k, dabi fällt di rst Ordnung dr linkn Sit wg, da dis in Sattlpunktntwiklung ist. x(τ ) x(s ) = d dk ik(x(τ) x(s) = B = 3C UW 4C U 3 W (1 3 W τ σ ) + W τ σ U 9

11 Wir brchnn abschlißnd di Enrgi E mit Hilf ins Tricks, wir bstimmn: de (C) dc = lim 1 d T T dc ln Dx(τ) S 1 1 d = lim Dx(τ) S T T Dx(τ) dc = 1 d T dc S = 1 1 T dτds x(τ) x(s) W τ s T Disr Mittlwrt wurd brits zuvor brchnt. Man findt damit: 1 T dτds x(τ) x(s) W τ s = 6T 0 S UW Also rgibt sich für di Ablitung: 0 de (C) dc = 3 UW Und damit für di Enrgi E : E 3 = dc W W + 4C/W = 3 W + 4C/W + D Di Intgrationskonstant D muss grad so gwählt wrdn, dass für C = 0 di Enrgi E auch Null wird, da dann auch kin Wirkung vorligt, also: 3 W + 4C/W + D = 0 C=0 Mit E + B = 3 4U (U W ) folgt dann: D = 3 W E = 3 (U W ) E 0 3 4U (U W ) + A 10

12 4 Ergbniss Es müssn also W und U (bzw. C) nun so angpasst wrdn, dass di rcht Sit dr Unglichung minimal wird. Man findt für di vrschidnn Brich von α untrschidlich Lösungn: Für klin Wrt von α findt mal folgnd Paramtr: W = 3 U = 3 [ 1 + α 3W ( 1 W Und damit für di Grundzustands-Enrgi: ( α E α 1, 3 10) [ 1 W 1 ] )] Diss Ergbnis ist vrglichbar mit dm Bfund aus dr Störungsrchnung für klin α: ( α E α 1, 6 10) Für groß α findt man als bst Paramtr: W = 1 U = (ln() 4α pπ ) E Dabi ist E = 0, di Eulr-Konstant. Dis führt zu dr Enrgi: E α π 3 ( ln() + E) 3 ( ) O α 5 Litratur R. P. Fynman, A. R. Hibbs: Quantum Mchanics and Path Intgrals G. Münstr: Quantnthori M. Chaichian, A. Damichv: Path Intgrals in Physics Vol. 1 & L. S. Schulmann: Tchniqus and Applications of Path Intgration T. Kuhn: Skript zur Vorlsung: Einführung in di Fstkörprthori G. Czycholl: Thortisch Fstkörprphysik J. T. Dvrs: Polarons. In: Encyclopdia of Physics, R.G. Lrnr and G.L. Trigg (ds.)