Optik geladener Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern

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Oswalda Knopp
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1 Oti gladnr Tilchn in ltrischn und magntischn Fldrn von Andras Moosr Di Oti gladnr Tilchn ist in wsntlichr Bstandtil dr Bschlunigrhsi. Dabi ist s rfordrlich, di divrgntn Tilchnstrahln immr widr auf di Soll- bzw. Idalbahn zu foussirn, wobi dis divrgntn Tilchnstrahln in Folg dr Mawll-Vrtilung in dr Tilchnqull und dr Coulomb Abstoßung zwischn dn Tilchn sind. Ebnfalls ist s rfordrlich, di zumist grümmt Sollbahn fstzulgn. Di Foussirung und di Fstlgung dr grümmtn Bahn wird mit Hilf von ionnotischn Baulmntn ralisirt. Dr Ursrung und di Eignschaftn disr Baulmnt wrdn im folgndn bschribn. Strahlführungsmagnt In dr Umgbung dr Sollbahn ann man untr Brücsichtigung von horizontaln Tilchnbwgungn und transvrsaln Magntfldomonntn das magntisch Fld wi folgt ntwicln: B ( ) B + db + d + m +...! Man rhält Trm, di onstant sind, bzw. Trm, di linar odr quadratisch vom Abstand abhängn. Dr onstant Trm wird dabi als Diol, dr linar Trm als Quadruol und dr quadratisch Trm als Stuol bzichnt. In dr alität vrsucht man stts dis idaln Fldr zu rzugn.! d d B +... Figur : Diol Figur : Quadruol Wi man an Figur rnnn ann, lässt sich in Diol ralisirn, indm man zwi bn Polschuh untrschidlichn Potntials aralll ggnübrstllt. Das sich hiraus rgbnd magntisch Fld ist onstant. Ein gladns Tilchn, das sich in dr horizontaln Ebn (in Strahlrichtung) durch dn Diolmagntn bwgt, rfährt in onstant, horizontal Kraft ntsrchnd dr Flugrichtung, dr Polung ds Magntn, sinr Gschwindigit und sinr Ladung. Dahr wirt dr Diolmagnt wi in Ablnmagnt in dr horizontaln Ebn, währnd di Tilchnignschaftn in dr vrtialn Ebn unvrändrt blibn. Um inn linarn magntischn Fldvrlauf zu rzugn bnötigt man Potntial, wi si in Figur dargstllt sind. Bwgt sich hir in Tilchn in di Zichnbn hinin, so rfährt s in -ichtung in Kraft zur Idalbahn hin und in ichtung in Kraft von dr Idalbahn wg. Für in Tilchn, das sich auf dr Idalbahn (otischn Achs) bwgt, wirt in Kraft, da hir das magntisch Potntial vrschwindt. Sin Bwgungsrichtung blibt rhaltn. Dahr wirt in dism szilln Fall dr Quadruol für Tilchn mit inr ndlichn Abwichung von dr Idalbahn in horizontalr ichtung foussirnd und in vrtialr ichtung dfoussirnd.

2 Polt man di Magnt um, so rhält man inn radial foussirndn und vrtial dfoussirndn Quadruol. Gomtrisch Oti In dr gomtrischn Oti lassn sich otisch Baulmnt, wi z.b. Linsn, durch Matrizn darstlln. Di Transformation ds Phasnvtors folgt dann durch di Multiliation ds Phasnvtors vor dm Baulmnt auf di ntsrchnd Transfrmatri ds Baulmnts. Damit rhält man dn Phasnvtor nach dm Baulmnt. Für di Transfrmatrizn dr Baulmnt gltn folgnd wichtign Bzihungn, di bi dr Bschribung dr Ionnoti von Nutzn sin wrdn: / f M B / G b / g Man ann dahr das Matrilmnt (,) mit Brchungsind und das Matrilmnt (,) mit dm Abbildungsmaßstab in Vrbindung bringn. Bstht in Sstm aus mhrrn Baulmntn, so rgibt sich di Transfrmatri, wlch das gsamt Sstm bschribt, aus dr Matrimultiliation dr inzlnn Elmnt zu: gsamt... N 3 Hirbi ist di Matri (), di Transfrmatri ds. Baulmnts, ntsrchnd (N) di Transfrmatri ds ltztn Baulmnts. Bwgungsglichungn im magntischn Fld Stllt man nun lizit di Bwgungsglichungn für dis Baulmnt auf, so rgbn sich homogn bzw. inhomogn Diffrnzialglichungn, ähnlich ds harmonischn Oszillators: Diffrnzialglichung für Diolmagnt: " " hδ,, h ρ ρ Diffrnzialglichung für Quadruolmagnt: " " + gq gq B + B ( Bρ) ( Bρ) Di allgmin Lösung rgibt sich dann aus sinus- und osinusähnlichn Funtionn wi folgt: ( c ( + s( + δd ( Dabi ntsricht c( dn osinusähnlichn Funtionn, s( dn sinusähnlichn Funtionn und d( dr Disrsionsfuntion. Di onrtn Paramtr für dn Quadruol- bzw. dn Diolmagntn önn in Andi I gfundn wrdn. Di Smmtri disr Lösung lässt rahnn, dass s zwcmäßig ist, inn Matriformalismus inzuführn. Für dn Fall ntoltr horizontalr und vrtialr Komonntn, mit ntsrchndn Abbildungsbdingungn, lässt sich folgnd allgmin Matri formulirn:

3 Es rgbn sich di in Andi I anggbnn Transfrmatrizn für di ionnotischn Baulmnt, in wlchn di ntsrchndn Matrilmnt als Brchräft aufgfasst wrdn önnn. Da dis Matrizn zur Brchnung ionnotischr Sstm zu oml sind, führt man zur Vrinfachung di Nährung dr dünnn Lins in. Si ist für dn Quadruol ggbn durch: f f f sin L L f sinh L L ± / f ± Im folgndn wrdn, analog zur gomtrischn Oti, foussirnd Quadruol als Sammllinsn und dfoussirnd Quadruol als Zrstruungslinsn dargstllt. Oft bnutzt ionnotisch Baulmnt sind das Quadruoldubltt, um dn Tilchnstrahl in bid transvrsaln ichtungn zu foussirn und das tlsoisch Sstm, bi wlchm vrlangt wird, dass si zum inn in di Eignschaftn inr Punt-zu-Punt Abbildung und zum andrn di Eignschaftn inr Paralll-zu-Paralll Abbildung bsitzt. L Figur 3: Quadruoldubll Figur 4: Tlsoischs Sstm Figur 4 zigt das infachst Sstm zur alisirung inr tlsoischn Abbildung. Hirbi wurdn zwi Quadruolmagnt hintrinandr so aufgbaut, dass ihr Brnnwitn ininandr falln. Als Transfrmatri rgibt sich di ngativ Einhitsmatri. Hat man in Sstm, wlchs sowohl in dr radialn, als auch in dr vrtialn ichtung, di Eignschaftn ins tlsoischn Sstms bsitz, so sricht man von inm doltlsoischn Sstm. In Figur 3 ist das Quadruoldubltt dargstllt. Für diss ionnotich Sstm rgibt sich, untr dr Annahm dass di Brnnwitn dr bidn Quadruol dn glichn Btrag habn, folgnd Transfrmatri: d / f d / f + d / f Wi man an dr Transfrmatri rnnn ann, rgibt sich für das Sstm insgsamt in foussirnd Wirung. d Phasnllis Um in dr Ionnoti dn gsamtn Tilchnstrahl zu bschribn, grift man auf di Phasnraumllis zurüc. Di Phasnllis in radialr ichtung wird durch folgnd Matri bschribn:, mit 3

4 Si rgibt sich durch Projtion dr 6-dimnsionaln Phasnraumllis auf dn - dimnsionaln Untrraum in radialr ichtung. Wi dr Nam schon sagt handlt s sich hirbi um in Ellis di dn größtn Til ds Strahls im Phasnraum umrandt. Um vor dm Bau ds Bschlunigrs thortisch Vorhrsagn übr dn Strahlgang zu gwinnn, nimmt man in gutr Nährung in Gaußvrtilung dr Tilchn innrhalb dr Phasnraumllis an. Allgmin hat di Phasnraumllis folgnd Eignschaftn: E πε π dt π E (hir in radialr ichtung) wird di Emittanz dr Phasnllis gnannt und bschribt di vom Phasnraum ds Tilchnstrahls ingnommn Fläch. Si ist in Maß für di Güt dr Strahlqualität. Umso linr si ist, dsto bssr ist di Bündlung ds Strahls. Dis hat zur Folg, dass di Aaraturradin dr Baulmnt linr gwählt wrdn önnn und di Orts-, Imuls-, Winl- und Zitauflösung vrbssrt wrdn. Dr Paramtr r wird Korrlationsaramtr gnannt. Mit ihm ann man Vorraussagn, ob dr Tilchnstrahl foussirnd odr dfoussirnd vrläuft. Ist disr ositiv, so handlt s sich um inn foussirndn Strahl und umghrt. Da di mathmatischn Bschribung dr Phasnraumllis in Matri ist, folgt di Transformation disr folgndr Vorschrift: T ( ( () ( r Transvrsal Bahndnami Btrachtt man di transvrsal Bahndnami in inm Krisbschlunigr, so rhält man in Diffrnzialglichung vom Hill schn T '' + K( mit K( s + C) K(,mit K( inm riodischn Koffizintn. Si hat folgnd Lösung: ε β ( cos[ ψ ( + ψ ] ( Hirbi ist ε di Emittanz dr Phasnllis und β di variabl Btafuntion, wlch di Schwingung dr Tilchn um di Sollbahn bschribt. Ein wichtig Größ, di sich in disn Zusammnhang rgibt, ist dr Phasnvorschub ro Umlauf, wlchr wi folgt dfinirt ist: s + C ds ds µ s β ( β ( s ) Mit Hilf dr Lösung dr Hill schn Diffrnzialglichung lässt sich nun in allgmin Transfrmatri (Twiss-Matri) für inn Umlauf angbn. Man rhält: cos µ + α sin µ β sin µ M γ sin µ cos µ α sin µ α β cos µ + sin µ 3 γ α 443 I J + α ²( β '( mit: γ und α(. β ( 4

5 Btrachtt man di Transfrmatri nach N Umläufn so rgibt sich: M N I cos Nµ + J sin Nµ Wi man anhand disr Glichung rnnn ann, darf µ nicht imaginär wrdn. Wär dis dr Fall, so önnt dr cos als in cosh dargstllt wrdn und man hätt in Trajtori, wlch ggn unndlich strbn würd. Di Bahn dr Tilchn würd damit instabil wrdn. Es lassn sich dahr folgnd Stabilitätsritrin ablitn: Für di FODO-Strutur, wlch aus inm foussirndn Quadruol gfolgt von inr Driftstrc, inm dfoussirndn Quadruol und inr witrn Driftstrc bstht, rgbn sich di folgndn Vorausstzungn für di Brnnwitn dr bidn Quadruol. Figur 5 Wi man aus Figur 5 rnnn ann, dürfn di Brchräft nicht blibig untrschidlich gwählt wrdn. Konrt müssn in dism Fall di Brnnwitn dr bidn Quadruol größr als dr halb Abstand dr bidn Quadruol sin. Andi I: Driftstrc: Diol: Quadruol: 5

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