Zinsprognose anhand der Zinsstruktur

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1 GERHARD-FÜRS-PREIS Dipl-Volkswi Chisian Pigosch Zinspognose anhand de Zinssuku Die Vosellung de im Rahmen des Gehad-Füs-Peises des Saisischen Bundesames pämieen Abeien wid mi de Diplomabei von Dipl-Volkswi Chisian Pigosch fogesez Sie wude in de Abeilung Diplom-/ Magiseabeien mi dem Gehad-Füs-Peis ausgezeichne Im Folgenden weden die zenalen Aspeke de Abei duch den Auo vogesell Einleiung De Zins is eine de zenalen Peise eine Volkswischaf So beeinflussen zukünfige Ewaungen übe die Enwicklung von Zinssäzen Invesiionsenscheidungen sowohl in de Realwischaf als auch bei Finanzinvesiionen De Zinspognose komm dahe eine enscheidende Bedeuung im gesam- und einzelwischaflichen Beeich zu Die esen Zinspognosen efolgen anhand sukuelle Makomodelle welche Kausalbeziehungen zwischen ealwischaflichen Deeminanen und dem Kapialmak unesellen und des Weieen von eine zeilichen Konsanz diese Kausalbeziehungen ausgingen Aufgund de bekannen Lucas-Kiik und de empiisch geingen Pognosegüe diese Modelle enwickelen sich in de Folge Zinspognosemodelle die auf die Ewaungsweheoie zuückgehen und sich dahe pimä auf die Zinsewaungen de Makeilnehme süzen Duch die zeiliche Fälligkeissuku alenaive Anlagen am Anleihemak is die Zinssuku besondes geeigne diese Ewaungen widezuspiegeln Es wid dahe im Rahmen diese Abei auf sukuelle Modelle veziche und ausschließlich die Pognosegüe de Zinssuku unesuch Dabei lassen sich die beacheen ewaungsbasieen Zinspognosemodelle in zwei Klassen uneeilen So basie die Zinspognose zunächs auf de adiionellen Ewaungswehypohese Dabei weden Fowadzinsmodelle mi veschiedenen Spezifikaionen de Risikopämie sowie mulivaiae Zinssukumodelle beücksichig Danach wid die wenige bekanne und neuee Klasse de Fakomodelle de Zinssuku heoeisch dagesell sowie anschließend fü die Pognose vewende In diesen Modellen wid die zeiliche Enwicklung de Zinssuku duch eine uneschiedliche Anzahl an Fakoen beschieben Ausgehend von diese Dynamik wid duch das Konzep de Abiagefeihei 3 die Queschnisdimension also die eigenliche Zinssuku hegeleie Die uspüngliche Moivaion diese Modelle lieg in de Beweung von Zinsdeivaen und Zinsisiken wie sie fü ein Risikomanagemen benöig weden Es wenige neue Sudien unesuchen die Mein besondee Dank gil Pof Sefan Minik PhD Univesiä München und D hosen Neumann Deka Invesmen fü die kiische und aufmeksame Beeuung meine Diplomabei welche die Gundlage fü diesen Aikel dasell Des Weieen danke ich Dipl-Volkswiin Ua Keschme Univesiä Bonn fü anegende Diskussionen bei de Ensehung des Aikels Die Kenaussage de Lucas-Kiik laue dass ökonomeisch geschäze Beziehungen zwischen Vaiablen nich nowendigeweise fundamenale Vehalensbeziehungen sind sonden das gemeinsame Egebnis aus dem Vehalen de Wischafssubjeke und de gelenden Wischafspoliik Diese Beziehungen veänden sich dahe bei eine Veändeung de Wischafspoliik Die geschäzen Beziehungen sind dahe ungeeigne die Wikungen geändee Wischafspoliik vohezusagen Anmekung de Redakion 3 Das heiß es daf nich die Möglichkei besehen duch gleichzeiige Kauf- und Vekaufsäigkeien einen isikolosen Gewinn ewischafen zu können 548 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3

2 GERHARD-FÜRS-PREIS Pognosegüe diese Modelle fü den Anleihemak de Veeinigen Saaen Es soll dahe im Rahmen de voliegenden Abei die Pognosefähigkei de Fakomodelle de Zinssuku fü den deuschen Renenmak evaluie weden Dabei weden ses monaliche Daen de Zinssuku 4 von Janua 97 bis Juni 999 beache und fü eine schiweise Ou-of-Sample-Einmonaspognose des zehnjähigen Zinses 5 vewende Die Wahl dieses Zinses egib sich aus de Übelegung dass langfisige Zinsen pimä von Zinsewaungen besimm weden wohingegen kuzfisige Zinssäze geziel beeinfluss weden können und somi nich pognosizieba von de Zenalbank abhängen Pognose une Beücksichigung des Infomaionsgehales von Fowadzinsen Ausgangspunk is die Zinssuku (τ R_ τ De Zins (τ gib die duchschniliche seige Vezinsung eine Anlage am Kapialmak wiede bei de de Gläubige nach τ Peioden mi Sichehei eine Auszahlung in Höhe eine Einhei ehäl Koespondieend und infomaionsäquivalen kann auch die Diskonfunkion τ beache weden Sie gib den Peis eines solchen Wepapies wiede das heiß: ( log( exp( ( ( Diese so genanne Spoae enspich de Vezinsung die nowendig is um den heuigen We des Wepapies duch infiniesimal kuze Anlagen mi diesem Zins auf den We eins zum Laufzeiende zu enwickeln Besiz die Anleihe eine infiniesimal kuze Reslaufzei so egib sich die zeipunkbezogene Spoae die auch Kuzfiszins bzw isikolose Zins genann wid: ( log( τ ( : lim ( τ lim τ τ τ Ausgehend von de definioischen Beziehung ( und dem Weebeeich de Diskonfunkion 6 is de Zins (τ mi beliebige Reslaufzei τ imme posiiv Ein weiees Konzep zu Dasellung von Infomaionen in Peisen von Diskonpapieen sell die Fowadae da De Fowadzins wid im Folgenden mi ƒ (τ τ bezeichne und kann wie folg veanschaulich weden: De Kauf zum Zeipunk eines Bonds 7 mi Reslaufzei τ wid finanzie duch den aneiligen Vekauf eine Null-Kupon-Anleihe 8 in Höhe τ von mi Reslaufzei τ τ wobei τ < τ sodass zum Zeipunk keine Vemögensveändeung eingeeen is Es nach τ Peioden is de Anlege in eine (Neo- Anlagesiuaion da e die vekaufe Anleihe bedienen muss Die Fowadae egib sich dahe übe die definioische Beziehung ( une de Beücksichigung dass die τ Anleihe mi de Reslaufzei τ im Umfang von Einheien vekauf wude und de (Neo-Anlagezeiaum τ τ τ Peioden beäg als: 9 (3 τ log τ f ( τ τ τ τ Ähnlich wie de Kuzfiszins ( im Konzep de Spoae ha auch bei de Fowadae de Zins mi eine infiniesimal kuzen Anlagepeiode eine besondee Bedeuung Im Gegensaz zum Kuzfiszins ( gib es fü jeden Anlagezeipunk in de Zukunf einen deaigen Zins sodass die Gafik diese zeipunkbezogenen Fowadaen unmielba Auskunf übe den heue ewaeen Kuzfiszins eines zukünfigen Zeipunkes geben kann: (4 f ( τ lim f ( τ τ Des Weieen egib sich die zeipunkbezogene Fowadae als negaive Seigung de logaihmieen Peisfunkion: (5 log( τ f ( τ τ τ τ exp( f ( s ds Gundlage von Abeien die sich mi de Pognoseeigenschaf von Fowadaen beschäfigen sell die Unbiased Ewaungswehypohese (U-EH da Die Unbiased Ewaungswehypohese posulie die Gleichhei von ewaeen zukünfigen Spoaen und heue zu beobachenden Fowadaen und kann dahe une Vewendung de zeidiskeen Äquivalene de zuvo dagesellen seigen Konzepe de Zinssuku definie weden als: τ τ (6 E[ ( τ ] 4 Von de Deuschen Bundesbank geneiee Peise von Saasanleihen mi eine Reslaufzei von meh als einem Vieeljah Anmekung de Redakion 5 Zins fü Anleihen mi eine Reslaufzei von zehn Jahen 6 Aufgund de asache dass in τ Peioden eine sichee Auszahlung in Höhe eine Einhei efolg is τ imme kleine als eins da als Alenaive eine Nichanlage möglich wäe Zusäzlich gil fü jeden Zeipunk : τ < τ > d h die Diskonfunkion is zu jedem Zeipunk seng monoon fallend Dies folg aus einfachen Abiageübelegungen 7 Schuldvescheibung mi fese Vezinsung 8 Anleihen mi nu eine Auszahlung in Höhe eine Einhei am Ende ihe Laufzei 9 Die Fowadae gib somi die Spoae zum Zeipunk τ fü eine Anlage in eine Anleihe mi Reslaufzeiende τ wiede Siehe Buse SA/Kaolyi AG/Sandes AB: Adjused fowad aes as pedicos of fuue spo aes he Jounal of Fixed Income 996 S 9 ff; Chiang C/Kahl DR: Foecasing he easuy bill ae: A ime-vaying coefficien appoach he Jounal of Financial Reseach Vol 3(4 99 S 37 ff sowie Fama EF: Inflaion unceainy and expeced euns on easuy bills Jounal of Poliical Economy Vol 84(3 976 S 47 ff des: he infomaion in he em sucue Jounal of Financial Economics Vol S 59 ff In vielen Abeien übe die Zinssuku wid von de einen Ewaungswehypohese ausgegangen Dies is alledings nich möglich wie esmals Cox JC/Ingesoll JE/Ross SA: A e-examinaion of adiional hypoheses abou he em sucue of inees aes he Jounal of Finance Vol 36(4 98 S 769 ff zeigen siehe hiezu auch Fishe M/Gilles C: Aound and aound: he expecaion hypohesis he Jounal of Finance Vol 53( 998 S 365 ff sowie Consaninides G/Ingesoll JE: Opimal bond ading wih pesonal axes Jounal of Financial Economics Vol S 99 ff So unescheiden Cox e al die lokale Ewaungswehypohese die Yield-o-Mauiy Ewaungswehypohese sowie die Reun-o-Mauiy Ewaungswehypohese Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 549

3 GERHARD-FÜRS-PREIS Aus de ekusiven Anwendung von (6 folg: (7 ( ( E[ ( ] E[ ( τ ] τ Ausgehend von Gleichung (7 mi den spezifischen Reslaufzeien von einem Mona (m und Jahen (a egib sich: (8 m ( ( sowie als Quoien: (9 a ( ( E a m E [ ( m ] E[ ( a ] [ ( m ] E[ ( a ] welche den Peis eines Wepapies widespiegel das beginnend im nächsen Mona in Jahen fällig wid Die duchschnilich ewaee Vezinsung beechne sich somi une Vewendung von ( als: a log m a ( E [ ( m a ] f ( m a Une de Annahme aionale Ewaungen de Anlege folg des Weieen die Beziehung: ( ( m a f ( m a u Diese Dasellung wid in de Lieau auch eine Ewaungswehypohese bzw eine Unbiased Ewaungswehypohese genann da sie keine Risikopämie (em pemia in Fom eine Konsanen beücksichig Wid eine poenziell zeivaiable em pemia in Fom von zeivaiablen Paameen beache gelang man zu folgende Schäzgleichung: ( ( ma β f ( m a u α Die Schäzung solche Modelle efode im weieen Vogehen zusäzliche Resikionen bzw Annahmen übe die Bewegung de Koeffizienen α und ß In diese Abei weden dazu folgende dei Mehoden beache: die Moving-Window- Kleins-Quadae-Mehode die Zusandsaum-Modelle und die Flexible-Kleins-Quadae-Mehode Die Moving-Window-Kleins-Quadae-Mehode is eine einfache Kleins-Quada-Schäzung mi wandendem und vom Umfang he konsanem Süzzeiaum De Umfang des Süzzeiaumes auch Fensegöße genann is ein wesenliche Fako fü die Flexibiliä de Koeffizienen und finde sein Minimum duch die Anzahl de zu besimmenden Modellpaamee Das Maximum egib sich aus de Anzahl de Beobachungen vo de esen Pognose Zeivaiieende Koeffizienen können außedem duch eine explizie Modellieung de Koeffizienenbewegung imple-menie weden Dies efolg im Allgemeinen duch ein Zusandsaum-Modell in dem die Beobachungsgleichung duch die nomale Modellgleichung ( dagesell wid und die Bewegungsgleichung die Koeffizienenbewegung modellie Bewegungsgleichungen in de allgemeinsen Fom sind vekoauoegessive Pozesse beliebige Länge 3 Engegen diese heoeischen Möglichkei sind in de Lieau esingiee Pozesse mi einem Lag zu finden deen dei Haupveee wie folg definie sind: 4 das Reun-o-Nomalcy-Modell: (3 ( ξ ξ Φ ( ξ ξ ε ε ~ N( Ψ das Random-Walk-Modell: (4 ξ ξ ε ε ~ N( Ψ das Hildeh-Houck-Modell: (5 ξ ξ ε ε ~ N( Ψ Wie duch folgende Umfomung de Dasellung (3 zu ekennen is: (6 ξ ( I Φ ξ Φξ ε ε ~ N( Ψ sind die Modelle (4 und (5 Spezialfälle des Reun-o- Nomalcy-Modells die sich duch Resikionen bezüglich Φ egeben (Φ I und Φ Um die Eigenschafen de Paamee α und ß zu ehalen wid zunächs ein allgemeines Modell (3 geschäz welches dann in einem zweien Schi esingie wid In diese Abei wid auch ein zeivaiables ß beache obwohl dies nich duch eine zeivaiable em pemia gegeben sein muss Siehe z B Havey A: Foecasing Sucual ime Seies and he Kalman File Cambidge 99; Moyson M: esing fo Random Walk Coefficiens in Regession and Sae Space Models Das Poblem in de Schäzung solche Pozesse beseh im Wesenlichen in de Konvegenz nummeische Opimieungsalgoihmen die duch die Subsiuionsbeziehungen de Paamee beding is 4 De Paameeveko ζ beinhale modellabhängig enwede α und ß ode einen de beiden Paamee Mi ζ wid de Mielwe des Paameevekos ζ dagesell 55 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3

4 GERHARD-FÜRS-PREIS Die Maximum-Likelihood-Schäzung eines Reun-o-Nomalcy-Modells mi Hilfe des Kalman-Files übe den gesamen Zeiaum liefe folgende Paamee: 5 (7 Φ 6 78 Die beiden Seigungspaamee vehalen sich offensichlich seh uneschiedlich Wähend de Einfluss de Fowadae im gesamen Zeiaum fas unsysemaisch um einen konsanen We 6 schwank kann de Einfluss de Risikopämie am ehesen duch ein Random-Walk-Modell modellie weden Dies enspich genau den a pioi Übelegungen de zeivaiieenden Ewaungswehypohese welche die Fowadae um eine zeivaiieende Komponene die em pemia beeinig Da im weieen Velauf die nummeische Konvegenz des allgemeinen Reun-o- Nomalcy-Modells nich gewähleise weden kann wid une Nuzung de bishe gewonnenen Egebnisse die Φ- Maix enspechend esingie: (8 Φ sodass sich fü die em pemia ein Random Walk und fü den Seigungspaamee ß eine Spezifikaion nach Hildeh- Houck egib Die Egebnisse dieses eilmodells sind in abelle dagesell Aufgund de elaiv schlechen Pognoseegebnisse wid des Weieen ein Modell geschäz in dem beide Paamee mi Hilfe eines Random Walks modellie weden das heiß Φ I Die Egebnisse sind ebenso in abelle wiedegegeben Es is offensichlich dass die Pognosegüemaße engegen den Ewaungen elaiv schlech im Gegensaz zu Moving- Window-Kleins-Quadae-Schäzung sind Eine deaillieee Unesuchung egib dass duch den quasi unendlich goßen Zusandsaum des Modells welche duch die Random Walks de Koeffizienen gegeben is die gesamen Sögößen in den Paameebewegungen zu finden sind und die Vaianz de Messgleichung gegen null geh Dies ha zu Folge dass die Pognosen im Wesenlichen duch die Random Walks besimm weden Dieses Poblem könne duch eine a pioi Einschänkung des Zusandsaums umgangen weden Eine Möglichkei besünde in de Modellieung mi Hilfe von Makov-Swiching-Modellen 7 Die nächse Mehode äg den obigen Beobachungen Rechnung indem sie das Vehälnis de beiden Söeme u sowie ε und dami de Vaianzen aus einem Pognosekalkül opimie Die Flexible-Kleins-Quadae-Mehode (FKQ egib sich duch eine spezifische Inepeaion des Random-Walk- Modells (4 nach Kalaba und esfasion 8 indem die explizien Veeilungsannahmen de beiden Söeme in de Mess- sowie de Bewegungsgleichung aufgehoben weden und folgende Kosenfunkion (9 C( ξ ξ ; λ D u λ ε Dε übe λ minimie wid Fü D gib es in de Lieau zwei übliche Spezifikaionen Eineseis kann D als Einheismaix modellie weden was jedoch bei uneschiedlichen Niveaus de Regessoen dazu fühen kann dass die Vaiaionen de Paamee unabhängig sind von dem Vehälnis de Regessoen Dahe wid die Maix D auch häufig so gewähl dass die Regessoen nomie weden: i i i ( D x Aufgund diese Spezifikaionen besizen die Paamee mi einem hohen Basisniveau de Regessoen ein säkees Gewich in de Opimieungsfunkion und weden so ehe minimie als ein Paamee mi wenige Gewich (in absoluen Ween Da die beiden Regessoen von α und ß ein gundsäzlich uneschiedliches Niveau haben wid diese Spezifikaion von D hie zugunde geleg De opimale We fü λ wid duch den minimalen Roo Mean Squae Foecas Eo in einem Beobachungen umfassenden Pe-Sample emiel 9 Je göße λ is deso höhees Gewich ehäl de em de Koeffizienenbewegung sodass das Modell mi λ gegen eine einfache Kleins-Quadae-Schäzung mi konsanen Koeffizienen konvegie Als andees Exem mi λ weden die Modellkoeffizienen so flexibel geschäz dass eine genaue Anpassung von ŷ an y efolg Genau jene ade-off welche in den Zusandsaum-Modellen zu Schwieigkeien fühe wid in diesem Modellahmen duch eine opimale Ein-Schi Pognose in einem Pe-Sample besimm und solle dahe zu besseen Egebnissen fühen Die Egebnisse de veschiedenen eilsyseme sind in abelle dagesell Ausgehend von den schon vohandenen Resulaen des Reun-o-Nomalcy-Modells scheinen die Pognoseegebnisse de Flexiblen Kleins-Quadae-Mehode die Dasellung de em pemia als zeiabhängig und die des Seigungspaamees als zeiunabhängig zu besäigen Das Modell mi zeivaiable Konsane und einem auf eins esingieen Einfluss de Fowadae liefe die besen Pognosen ähnlich wie schon im Fall de Moving-Window-Schäzung Beginnend mi de Unbiased Ewaungswehypohese nach Cox welche die Fowadae als unvezeen Schä- 5 In diese Schäzung wuden die Nichdiagonalelemene de Maizen Φ und Ψ auf null esingie Sandadfehle weden hie nich dagesell können abe wie alle andeen hie nich päsenieen Egebnisse vom Auo (pigosch@sauni-muenchende bezogen weden 6 Diese We beäg 97 7 Siehe z B Ahens R: Makbasiee Zinspognosen mi Regime-Swiching-Modellen Band 69 de Schifeneihe Unesuchungen übe das Spa- Gio- und Kediwesen Belin sowie Kim C-J/Nelson CR: Sae-Space Models wih Regime Swiching: Classical and Gibbs-Sampling Appoaches wih Applicaions MI Cambidge Siehe Kalaba R/esfasion L: ime vaying linea egession via flexible leas squaes Compues and Mahemaics wih Applicaion Vol 7 (8/9 989 S 5 ff 9 Eine sändige ekusive Schäzung von λ bache wide Ewaen schlechee Egebnisse Siehe Fußnoe Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 55

5 GERHARD-FÜRS-PREIS f abelle : Güemaße de Pognose mi Hilfe von Fowadzinsen Modell RMSFE MAE end 3 Weg ßf ßf f MW:8 MW:8 ß f MW :8 ß f MW:8 f MW : MW : ß f MW: ß f MW : f RW HH ß f RW RW ß f RW ß f RW f FKQ FKQ ß f FKQ ß f FKQ f Roo mean squae foecas eo Mean absolue foecas eo 3 Relaive Aneil de ichigen Richungspognosen 4 Relaive Aneil de ichigen Pognosen gewiche mi de Diffeenz ze de zukünfigen Spoae dasell füh das Hinzufügen eine konsanen em pemia zu keine wesenlichen Vebesseung Es duch die Beücksichigung eine zeivaiieenden em pemia weden die Pognosegüemaße besse insbesondee in den Modellen mi einem auf eins esingieen und somi konsanen Einfluss de Fowadae Diese Divegenz in dem Vehalen de beiden Koeffizienen wid auch in de Abei von Moyson besäig Weiehin fäll auf dass eine allgemeinee Modellsuku nich unbeding zu besseen Egebnissen füh Dies gil im Fall de jeweiligen Modellspezifikaionen in denen die Modelle mi esingieem ß meis bessee Pognosen liefen als Modelle mi zwei feien Paameen als auch beim Vegleich de einzelnen Modellklassen uneeinande So is die Pognoseleisung de Zusandsaum-Modelle welche in Simulaionssudien seh gu den zugunde liegenden daengeneieenden Pozess nachbilden können enäuschend Dies kann une andeem daduch begünde sein dass sämliche Unsichehei duch die Paamee abgebilde wid und die Vaianz de Messgleichung gegen null geh Neuee Abeien beücksichigen diese asache indem a pioi die Anzahl de Zusände esingie wid 3 Mulivaiae Modelle Im Rahmen de Pognose de zehnjähigen Spoae mi Hilfe von mulivaiaen Modellen sell ebenso wie bei den Fowadae-Modellen die Unbiased Ewaungswehypohese nach (7 die Gundlage da Sie egib sich hie jedoch nich aus de exaken Fom sonden duch folgende appoximaive Dasellung: ( ( ( E τ τ log log( E τ s [ ( ] E[ ( τ ] [ ( s ] log( τ τ ( τ log( E τ τ s [ ( s ] φ( τ wobei φ eine Lineaisieungspämie dasell Des Weieen wid die empiische asache beücksichig dass die Spoaen als I( Vaiablen beache weden können 4 De in ( aufgezeige Zusammenhang bedeue dass die heue beobachee Spoae dem aihmeischen Miel de ewaeen zukünfigen isikolosen Zinsen enspich Ausgehend Siehe Fußnoe Siehe Neumann : ime-vaying coefficien models: A compaison of alenaive esimaion saegies Woking Pape 4 Chisian-Albechs-Univesiä Kiel Insiu fü Saisik und Ökonomeie Siehe Fußnoe 7 4 Alle Saionaiäsess von epäsenaiven Reslaufzeien konnen die I( Eigenschaf de Zinsen nich vewefen 55 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3

6 GERHARD-FÜRS-PREIS von dem appoximaiven Zusammenhang ( sowie de Saionaiäseigenschaf von diffeenzieen I( Vaiablen egib sich nach Subakion von ( und anschließende Umfomung die Saionaiä de Zinsspeads: ( τ ( τ ( E τ s τ E τ s [ ( s ( ] φ( τ [ ( s ]( τ s φ( τ Diese Gleichung zeig explizi nu die Saionaiä des Zinsspeads zum isikolosen Zins ( jedoch läss sich jede beliebige Spead zwischen zwei Spoaen duch die Diffeenz zum isikolosen Zins dasellen: (3 ( τ ( τ ( ( τ ( ( ( τ ( sodass die Addiion de saionäen Speads auf de echen Seie auch einen saionäen Spead zwischen den Spoaen beliebige Laufzeien auf de linken Seie ezeug Diese heoeische Heleiung de Saionaiäseigenschaf des Zinsspeads läss sich auch empiisch zwischen de zehnjähigen Spoae und Zinsen mi andeen Laufzeien beobachen die aus dem heoeischen Koinegaionsveko ß [ ] aus Gleichung (3 folgen 5 Diese Eigenschaf de Zinssuku leg es nahe gemäß Johansen 6 ein Fehlekoeku-Modell (VECM folgende Fom zu schäzen: (4 ( a ( a ( a ( τ ( τ ( τ αβ Γ( L u ( τ n ( τ n ( τ n wobei sich die Maix de Koinegaionsvekoen ß aus de heoeischen Beachung egib als: 7 (5 β Das bedeue dass die lineaisiee Ewaungsweheoie nu einen sochasischen Fako unesell de die gesame Zinssuku (im Niveau eib und dass Abweichungen zwischen den uneschiedlichen Spoaen langfisig wiede angeglichen weden Die im weieen Velauf noch dagelegen Fakomodelle weden explizi duch Fakoen modellie und elauben im Einklang mi de heoie die Beücksichigung eine höheen Anzahl diese sochasischen Fakoen Daduch kann nich nu das Niveau sonden auch die Seigung und Kümmung modellie weden die in diesem einfachen Modell nu Abweichungen von einem langfisigen Gleichgewich dasellen Das Modell (4 kann im Wesenlichen duch zwei Modelldimensionen spezifizie weden Eineseis muss die Mächigkei des Vekos das heiß die Anzahl de Zinsen die zusäzlich zum Zehnjähigen Zins im Modell beücksichig weden sollen fesgeleg weden Da im vohegehenden Abschni die Pognosen mi elaiv saken a pioi Resikionen am besen waen wid im weieen Velauf nu ein bivaiaes Fehlekoeku-Modell beache das heiß n Eine ivaiae Beachung fühe zudem ewaungsgemäß zu keinen Pognosevebesseungen Des Weieen muss die Laglänge de Diffeenzen das heiß die Maix Γ(L besimm weden Bei de Spezifizieung diese beiden Modellpaamee muss zudem die sowohl mi de Mächigkei als auch mi de Laglänge wachsende Anzahl de zu besimmenden Paamee beücksichig weden Zusäzlich zum bivaiaen Fehlekoeku-Modell wid auch jeweils ein Vekoauoegessives Modell (VAR in Niveaus und in Diffeenzen beache Das Vekoauoegessive Modell in Diffeenzen egib sich bei Venachlässigung de Koinegaionsbeziehungen aus dem Fehlekoeku-Modell das heiß sind die zusäzlichen Infomaionen aus den Koinegaionsbeziehungen fü die Pognose nich hilfeich so solle das Vekoauoegessive Modell in Diffeenzen bessee Pognoseegebnisse aufweisen als das Fehlekoeku-Modell Die Schäzung eines Vekoauoegessiven Modells in Niveaus begünde sich aus Simulaionssudien siehe zum Beispiel Engle und Yoo sowie Lin und say 8 die zeigen dass Kuzfispognosen eines Vekoauoegessiven Modells in Niveaus besse sind als die explizie Fomulieung duch ein Fehlekoeku-Modell Außedem kann gezeig weden dass ein Vekoauoegessives Modell in Niveaus bei auseichende Laglänge implizi die Koinegaionsbeziehungen beücksichig 9 Des Weieen is es möglich in de Spezifikaion des Fehlekoeku-Modells und de uneschiedlichen Vekoauoegessiven Modelle eine Konsane zu beücksichigen Abeien die den Einfluss eine Konsane auf die Pognoseegebnisse unesuchen 3 kommen jedoch zu dem eindeuigen Schluss dass Syseme ohne Konsane wesenlich bessee Resulae aufweisen als solche mi Konsane Dies zeig insbesondee die Abei von Hassle und Woles welche die Pognosefähigkei de Ewaungswehypohese fü den deuschen Geldmak das heiß τ m unesuch So pognosizie kein eilsysem mi eine Konsanen bes- 5 Die Egebnisse de Saionaiäsess weden aufgund de Übesichlichkei hie nich päsenie 6 Siehe Johansen S: Saisical Analysis of coinegaion vecos Jounal of Economic Dynamics and Conol Vol 988 S 3 ff 7 In de Dasellung de Koinegaionsbeziehungen in (5 wid explizi de Zins mi eine Reslaufzei von zehn Jahen als Basis alle Speads dagesell da e im Mielpunk diese Abei seh Gundsäzlich is es abe auch möglich jeden andeen Zins zu wählen was keinen signifikanen Einfluss auf die Egebnisse haben solle 8 Engle R/Yoo B: Foecasing and esing in coinegaed sysems Jounal of Economeics Vol S 43 ff; Lin J/say R: Coinegaion consains and foecasing foecasing: An empiical examinaion Jounal of Applied Economeics Vol 996 S 59 ff 9 Siehe Lükepohl H: Inoducion o Muliple ime Seies Analysis Belin 993; Pak J/Phillips P: Saisical Infeence in egession wih inegaed pocesses: Pa Economeic heoy Vol S 95 ff; Sims C/Sock J/Wason M: Infeence in linea ime seies models wih uni oos Economeica Vol S 3 ff 3 Siehe z B Clemens M/Hendy D: Foecasing in coinegaed sysems Jounal of Applied Economeics Vol 995 S 7 ff sowie Hassle U/Woles J: Foecasing money make aes in he unified Gemany Volkswischafliche Reihe 4 Feie Univesiä Belin 999 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 553

7 GERHARD-FÜRS-PREIS Schaubild Pognosegüekonzepe veschiedene Spezifikaionen des Vekoauoegessiven Modells (VAR bei eine Laglänge von dei Fehlekoekumodell VECM VARinNiveau Mean absolue foecas eo VAR in Diffeenzen beses Egebnis eines ivaiaen Modells end Weg Reslaufzeien π des zweien Zinses in Jahen Saisisches Bundesam se als ohne eine Konsane Basieend auf diesen Egebnissen wid dahe auch hie auf eine Konsane veziche 3 Aufgund de eichlich vohandenen Spezifikaionsmöglichkeien wie Anzahl de vewendeen Zeieihen Laglänge sowie mögliche Dasellungen als Vekoauoegessives Modell in Niveaus Diffeenzen bzw als Fehlekoeku- Modell is es zunächs hilfeich die Egebnisse gafisch aufzubeeien Schaubild zeig die Pognosekennzahlen in Abhängigkei von de Reslaufzei des zweien Zinses in einem bivaiaen Vekoauoegessiven Modell mi Laglänge dei Des Weieen is die jeweils bese Pognosekennzahl eines ivaiaen Vekoauoegessiven Modells abgeagen Die Gafik veanschaulich zum einen dass ein bivaiaes Sysem in fas allen Fällen mindesens genauso gue Egebnisse liefe wie ein ivaiaes Sysem Zudem is ekennba dass de Zins fü Anleihen mi eine Reslaufzei zwischen fünf und ach Jahen zusäzlichen Ekläungsgehal fü die zukünfige Enwicklung des zehnjähigen Zinses ha Um den Einfluss de Laglänge zu beachen wid eine alenaive Dasellung gewähl Schaubild zeig die Pognosekennzahl Weg in Abhängigkei von de gewählen Laglänge eines Vekoauoegessiven Modells in Niveaus Diffeenzen bzw als Fehlekoeku-Modell mi alenaiven Zinssäzen deen Reslaufzei zwischen fünf und 7 / Jahen liegen 3 oz diese Egebnisse wuden alle Syseme auch mi eine Konsanen geschäz Wie zu ewaen wa zeigen diese Modelle eindeuig schlechee Resulae auf sodass diese im Folgenden im Ineesse de Übesichlichkei nich dagesell weden 554 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3

8 GERHARD-FÜRS-PREIS Schaubild Das Pognosegüemaß Weg in Abhängigkei von veschiedenen Spezifikaionen des Vekoauoegessiven Modells (VAR und Laglängen Zins fü Anleihen mi eine Reslaufzei von 5Jahen 6Jahen 7Jahen 8Jahen 9Jahen Weg beim Fehlekoekumodell VECM gen übewieg den Nacheil von evenuell mulikollineaen Regessoen Diese Effek de Mulikollineaiä schein im Vekoauoegessiven Modell in Diffeenzen mi seigende Laganzahl zu dominieen Dies is nachvollziehba da evenuell vohandene Koinegaionsbeziehungen duch Diffeenzenbildung eliminie weden Die Fehlekoeku-Modell-Spezifikaion welche sowohl heoeisch als auch empiisch duch die Nichsaionaiä de Spoaen empfohlen wid liefe das Modell mi den besen Pognoseegebnissen Es schein dahe eineseis die guen Eigenschafen des Vekoauoegessiven Modells in Diffeenzen zu übenehmen indem es gue Pognosen mi eine geingen Laganzahl geneie andeseis diejenigen des Vekoauoegessiven Modells in Niveaus da es nun aufgund de explizien Beücksichigung de Koinegaionsbeziehungen die guen Pognoseegebnisse bis zu einem Lag von vie aufech ehäl Weg beim VAR in Diffeenzen Weg beim VAR in Niveaus Anzahl de beücksichigen Lags Saisisches Bundesam Fakomodelle de Zinssuku Fakomodelle ensammen den Beweungsmodellen von Deivaen und sellen ein elaiv junges Gebie in de Zinssukuheoie da Die gundsäzliche Idee diese Zinssukumodelle beseh dain jede Null-Kupon-Anleihe als Deiva auf ein ode mehee absake Fakoen anzusehen (z B auf den Kuzfiszins und auf Gundlage diese Abhängigkei mi Hilfe de Iô-Fomel wie im Fall eines Akiendeivaes einen faien We zu besimmen Im Uneschied zu den Beweungsmodellen von Akiendeivaen is nun jedoch de Kuzfiszins sochasisch nich meh deeminisisch und die Fakoen sind nich meh beobachba Eine spezielle Klasse diese Zinssukumodelle sind die exponeniell affinen Modelle nach Duffie und Kan 3 welche im Wesenlichen den Rahmen bilden fü alle bekannen Zinssukumodelle Diese Modellklasse wid dahe im Folgenden ausfühliche dagesell Anschließend weden veschiedene affine Fakomodelle vogesell und fü die Pognose des zehnjähigen Zinses in Deuschland vewende Une de seh allgemeinen Fomulieung de Bewegungsgleichung des Kuzfiszinses in Fom eines Iô-Pozesses: (6 d( µ ( ( d ( ( Zwei Effeke sind elaiv eindeuig aus de Gafik zu ekennen Das Vekoauoegessive Modell in Niveauspezifikaion in de uneen eilgafik des Schaubildes zeig ein endenzielles Anseigen des Güemaßes wähend das Vekoauoegessive Modell in Diffeenzen einen fallenden Velauf aufweis Die Vebesseung des Güemaßes des Vekoauoegessiven Modells in Niveaus eschein plausibel in Anbeach de asache dass bei eine auseichend goßen Laganzahl diese Spezifikaion implizi vohandene Koinegaionsbeziehungen beücksichig weden De zusäzliche Infomaionsgewinn aus den Koinegaionsbeziehun- is es im Allgemeinen schwe ein geschlossenes Bondbeweungsfunkional bzw die Diskonfunkion τ zu finden und gleichfalls Schäzungen diese Modelle duchzufühen 33 Das Bondbeweungsfunkional egib sich als Lösung de fundamenalen paiellen Diffeenialgleichung: (7 τ ( τ ( ( µ ( ( λ( ( ( ( τ ( ( ( ( ( τ ( ( 3 Siehe Duffie D/Kan R: A yield-faco model of inees aes Mahemaical Finance Vol 6(4 996 S 379 ff 33 Die Poblemaik de Schäzung von Zinssukumodellen wid im Folgenden noch behandel Es sei hie nu daauf hingewiesen dass eine Schäzung de Modelle nich nowendigeweise ein geschlossenes Bondbeweungsfunkional benöig Mi Hilfe nummeische Vefahen (nummeische Inegaion is es möglich eine appoximaive Lösung zu ehalen siehe Seydel R: Einfühung in die numeische Beechnung von Finanz-Deivaen Belin do insbesondee Kapiel 3 fü einfache Diffeenialgleichungen und Kapiel 4 5 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 555

9 GERHARD-FÜRS-PREIS Diese analyisch aufwändige paielle Diffeenialgleichung kann im Rahmen de exponeniell affinen Zinssukumodelle veeinfach weden indem (7 in n analyisch handhabbae einfache Diffeenialgleichungen ansfomie wid wobei n die Anzahl de Fakoen dasell Dabei weden die exponeniell affinen Zinssukumodelle allgemein duch folgende Dynamik de Fakoen bezüglich des äquivalenen Maingalmaßes: ~ ~ D (8 dx K( Θ X d ( X ~ mi de Diagonalmaix: (9 D ( X α β X n n α β X und eine vollbesezen Maix Σ spezifizie Une de weieen Annahme dass die Fakoisiken popoional zu Maix D (X modellie weden: (3 λ ( D ( X λ egib sich die Dynamik bezüglich des empiischen Wahscheinlichkeismaßes gleichfalls als affine Funkionen: D (3 dx K( Θ X d ( X Dieses Vogehen gil auch umgekeh das heiß ausgehend von einem affinen Modell bezüglich des empiischen Maßes (3 und de Modellieung de Maix D (X nach (9 kann das Modell bezüglich des isikoneualen Maßes als (8 dagesell weden Ausgehend von de Fomulieung (3 mi (3 und (9 kann gezeig weden dass sich das Bondbeweungsfunkional egib als: 34 (3 τ exp( A( τ B( τ X wobei die Funkionen A(τ und B(τ auch Duaionsfakoen genann das folgende Sysem von einfachen Diffeenialgleichungen lösen: (33 mi B da( τ n B( τ KΘ dτ i db( τ n K B( τ dτ i B( τ lim τ τ n [ B( τ ] λ α [ B( τ ] i k n [ B( τ ] λ β [ B( τ ] β B k i i i i i k k k α k Nun kann analog zu bekannen Opionsbeweungsheoie vefahen weden indem die Dynamik bezüglich des empiischen Wahscheinlichkeismaßes modellie wid (3 und dann Aussagen bezüglich des beweungselevanen Maingalmaßes (3 mi (33 hegeleie weden Bevo jedoch dieses allgemeine Vefahen zu Modellieung de exponeniell affinen Zinssukumodelle anhand einzelne spezifische Fakomodelle konkeisie wid soll zunächs ebenso in veallgemeinee Fom die Schäzmehode de Modelle skizzie weden Die Schäzung von affinen Zinssukumodellen efolg in de Lieau uneschiedlich Dabei weden im Wesenlichen dei Zweige uneschieden welche sich aus dem panelaigen Chaake de Zinssukumodelle egeben Duch die Zinsen fü Anleihen mi uneschiedlichen Reslaufzeien zum gleichen Zeipunk die eigenliche Zinssuku is eine Queschnisdimension gegeben welche duch den Zusammenhang zwischen den Wahscheinlichkeismaßen mi de Dynamik de Fakoen de Längsschnidimension des Modells vebunden is Wid nu die Queschnisdimension das heiß uneschiedliche Spoaen zum gleichen Zeipunk beache so können übe eine geeignee Auswahl von Zinsen die Paamee bezüglich des isikoneualen Wahscheinlichkeismaßes duch die beobachee Zinssuku übe das Bondbeweungsfunkional (3 gewonnen weden Diese A de Paameeschäzung wid Kalibieung genann Dabei is es jedoch nu möglich Aussagen übe die Paamee bezüglich des Maingalmaßes zu effen Diese einseiige Idenifikaion de isikoneualen Paamee füh dazu dass mi diese Mehode keine Pognose möglich is Wesenliche Voeil diese Mehode is jedoch die flexible Anpassung de geschäzen an die beobachee Zinssuku welche vowiegend bei de Beweung von Zinsdeivaen eingesez wid da in diesem Fall keine Aussage bezüglich des empiischen Wahscheinlichkeismaßes nowendig is Eine zweie Möglichkei de Schäzung affine Zinssukumodelle beseh in de alleinigen Beücksichigung de Längsschnidimension die duch das Sysem von Diffeenialgleichungen (3 gegeben is Um die zeiseige Dasellung auf die zeidiskeen Beobachungen anzupassen weden die Diffeenialgleichungen diskeisie 35 Die Schäzung efolg dann mi Hilfe von GARCH-Pozessen 36 ode GMM-Mehoden 37 Bei diese Schäzung is es nowendig eine beobachbae Zeieihe als Poxyvaiable fü den nich beobachbaen Zins von Anleihen mi eine Reslaufzei von null zu vewenden Häufig weden diese Mehoden auch auf Zinsen von Anleihen mi seh lange Reslaufzei angewand um so die Schäzung de gesamen Zinssuku zu umgehen 38 Diese Einzelschäzung de Dynamik von uneschiedlichen Zinsen beücksichig dabei nich die Ve- 34 Eine ausfühliche Dasellung dieses Beweises befinde sich in de diesem Aikel zugunde liegenden Diplomabei und kann vom Auo bezogen weden 35 Die Vefahen zu Diskeisieung sind dabei uneschiedlich Wähend z B Chan K/Kaolyi G/Longsaff F/Sandes AB: An empiical compaison of alenaive models of he shoem inees ae he Jounal of Finance Vol 47(3 99 S 9 ff eine elaiv einfache Vaiane benuzen indem die Diffeenialopeaoen duch Diffeenzenopeaoen esez weden beache z B Nowman KB: Gaussian esimaion of single-faco coninuous ime models of he em sucue of inees aes he Jounal of Finance Vol 5(4 997 S 695 ff eine exake Lösung 36 Wie z B Balduzzi P/Das SR/Foesi S/Sundaam R: A simple appoach o hee-faco affine em sucue models he Jounal of Fixed Income Vol S 43 ff 37 Siehe Chan K e al Fußnoe Siehe Byes SL/Nowman KB: Foecasing UK and US inees aes using coninuous ime em sucue models Inenaional Review of Financial analysis Vol 7(3 998 S 9 ff 556 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3

10 GERHARD-FÜRS-PREIS bindung de Zinsen uneeinande was jedoch die eigenliche Aufgabe eines Zinssukumodells sein solle Wid bei de Schäzung sowohl die Längs- als auch die Queschnidimension beache so kann dies duch eine Inepeaion des Zinssukumodells als Zusandsaummodell efolgen Dabei egib sich die Bewegungsgleichung als Bescheibung de Dynamik de Fakoen duch die Spezifikaion des (diskeisieen Sysems von Diffeenialgleichungen (3 Demenspechend folg die Messgleichung aus dem exponeniell affinen Bondbeweungsfunkional (3 welches ausgehend von den Zusänden de Fakoen eine abiagefeie Beweung jede Null-Kupon-Anleihe mi beliebige Reslaufzei liefe Diese Schäzmehode wude wesenlich von Babbs und Nowman 39 Duan und Simonao 4 Geye und Pichle 4 sowie Lund 4 moivie Duch die Dasellung als Zusandsaummodell können fü die Schäzung des Modells bekanne Vefahen wie de lineae Kalman-File ode de Quasi-Maximum-Likelihood-Kalman-File angewand weden Diese Schäzmehode wid aufgund de aufgezeigen Voeile auch hie fü die Schäzung und Pognose vewende Dabei weden die Bewegungs- und die Messgleichung des Modells wie folg spezifizie Die Beobachungsgleichung des Zusandsaummodells egib sich duch die spezifische exponeniell affine Fom des Bondbeweungsfunkionals (3 und die Anwendung des definioischen Zusammenhangs zwischen den Peisen von Null-Kupon-Anleihen und de Spoae eine Null- Kupon-Anleihe in Gleichung ( als: (34 A( τ B( τ ( τ X τ τ Da die Spoaen fü alle Mauiäen beobachba sind und die Funkionen A(τ und B(τ sich aus de Lösung des Sysems de Diffeenialgleichungen (33 egeben sind alle eme in de Messgleichung besimm Diese affine Zusammenhang (34 soll fü alle Spoaen beliebige Reslaufzei gelen Aufgund de Schäzmehode solle jedoch nu eine endliche Anzahl an Spoaen vewende weden Hie wid dahe in allen Modellen ein Süzveko besimme Reslaufzeien als Basis dienen: τ [ 4 8 ] (in Jahen Da also sechs Spoaen mi uneschiedlichen Reslaufzeien beache weden und diese duch höchsens dei Fakoen (im Deifakomodell eklä weden is es im Allgemeinen nich möglich diese exak zu bescheiben 43 Die so ensehenden unsysemaischen Fehle in de Messgleichung können duch Bid-Ask- Speads ode Messfehle aufeen sodass Gleichung (34 nich exak gil Um dies zu beücksichigen wid eine addiive unabhängig mulivaia-nomalveeile Sökomponene ε eingefüh Die Modellieung de symmeischen (6 x6 Vaianz- Kovaianz-Maix von ε VAR[ε ] Ω [:97 6:999] efolg in de Lieau anhand uneschiedliche Ansäze Dem echnisch koeken Ansaz die vollbeseze Maix Ω in eine Diagonalmaix D und eine unee Deiecksmaix L mi Einsen auf de Haupdiagonalen zu zelegen und diese n(n Paamee fei zu schäzen sodass sich Ω LDL egib und ses aufgund de Konsukion posiiv definie is seh engegen dass sich bei sechs beobacheen Spoaen beeis 5 zusäzliche Paamee egeben was zu Konvegenzpoblemen des Schäzalgoihmus fühen kann So füh die pakische Implemenieung diese Modellieung in de Schäzung des einfachen Vasicek-Modells wie ewae zu Konvegenzpoblemen sodass eine alenaive Paameisieung vogezogen wid Dabei wid nich eine vollbeseze Vaianz-Kovaianz-Maix angenommen sonden eine Diagonalmaix deen Elemene auf die posiiven eellen Zahlen beschänk wid Eine weiee Veeinfachung unesell eine Diagonalmaix mi gleichen Elemenen: Ω ε I 6 Somi egib sich die Messgleichung des Zusandsaummodells als: 44 A( τ τ 6 B( τ τ 6 n (35 [ ( τ ] 6 [ ] [ ] X n ε 6 mi: (36 ε ~ N( I ε 6 Die Gewinnung de Bewegungsgleichung des Zusandsaummodells is im Gegensaz zu Dasellung de Messgleichung (35 ein nich meh iviales Poblem denn ausgehend von de zeiseigen Spezifikaion duch das Sysem de Diffeenialgleichungen bezüglich des empiischen Wahscheinlichkeismaßes (3 muss nun fü diese Bewegung ein äquivalenes Komplemen in diskee Dasellung gefunden weden Ausgangspunk sell hiebei die Niveaudasellung da: 45 (37 s X exp( K( s X exp( K( s ν KΘdν s s D exp( K( s ν ( X ν ν 39 Siehe Babbs SH/Nowman KB: An applicaion of genealized Vasicek em sucue models o he UK gil-edged make: a Kalman fileing analysis Applied Financial Economics Vol S 637 ff 4 Siehe Duan J-C/Simonao J-G: Esimaing and esing exponenial-affine em sucue models by Kalman file Review of Quaniaive Finance and Accouning Vol S ff 4 Siehe Geye AL/Pichle S: A sae-space appoach o esimae and es mulifaco Cox-Ingesoll-Ross models of he em sucue he Jounal of Financial Reseach Vol ( 999 S 7 ff 4 Siehe Lund J: Economeic analysis of coninuous-ime abiage-fee models of he em sucue of inees aes Woking Pape he Aahus School of Business Wüde man K n Zinsen beücksichigen so gäbe es keine Sögößen und das Modell könne mi Hilfe de Fakoen exak kalibie weden Bei diese Mehode hängen die ezielen Egebnisse abe exem von de Wahl de dei epäsenaiven Zinsen ab da angenommen wid dass diese Zinsen ohne Messfehle beobache wuden weshalb diese Mehode hie nich gewähl wid 44 Die Maixgöße wid dabei als Subscip am jeweiligen em gekennzeichne 45 Wie z B bei Lund siehe Fußnoe 4 Im weieen Velauf de Abei wid mi exp angedeue dass es sich um die Maixexponenialfunkion handel welche sich wie folg definie: k exp( A ( A k k Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 557

11 GERHARD-FÜRS-PREIS Fü die Implemenieung des lineaen und Quasi-Maximum-Likelihood-Kalman-Files müssen die beiden esen bedingen Momene mi Hilfe de Niveaudasellung abgeleie weden 46 De Ewaungswe E [X S X ] egib sich une Beachung de Eigenschaf des Ewaungswees eines Iô-Inegals das heiß aus E s D exp ( K( s ν ( X ν ν folg: (38 E X s X exp( K( s X exp( K( s X s exp( K( s ν KΘdν ( I n exp( K( s Θ Une de Annahme äquidisane Beobachungen gil s sodass de bedinge Ewaungswe wie folg in diskee Fom dagesell weden kann: (39 E X X exp( K X ( I exp( K Θ n Fü die Implemenieung im Kalman-File biee sich eine Bewegungsgleichung ohne Konsane an Somi egib sich Gleichung (39 als: (4 E X Θ X exp( K ( X Θ Die bedinge Vaianz-Kovaianz-Maix folg aus de Beachung des sochasischen ems exp( K( s ν ( X s D als: (4 s D VARX X E ( exp( ( ( s K s ν X ν ν s D ( exp( K( s ν ( X X ] ν ν Duch Umfomungen und une Beücksichigung de Eigenschafen sochasische Inegale zeig Lund 47 dass gil: (4 mi: (43 s VARX X D exp( K( s ν E ( X X s ν exp( K ( s ν dν D E ( X X α β E X X ν i i i i ν Diese Kovaianzmaix (4 is im Allgemeinen nich zusandsunabhängig das heiß ß i i { n} sodass die Bewegungsgleichung des Zusandsaumsysems nich duch einen nomalveeilen Vekoauoegessiven(-Pozess beschieben weden kann was jedoch fü die Anwendung des lineaen Kalman-Files benöig wid Dahe wid ν ν de Quasi-Maximum-Likelihood-Kalman-File benuz de anselle de konsanen Kovaianzmaix die zusandsabhängige Kovaianzmaix vewende welche nach jedem Fileschi akualisie wid Wid die Volailiä als eigensändige Fako in das Zusandsaummodell implemenie so sind gundsäzlich negaive Realisaionen dieses Fakos nich auszuschließen Um dies zu vemeiden wid eine negaive Realisaion de Fakoen nich beücksichig und auf null gesez In allen andeen Deails des Files enspich das Vogehen beim Quasi-Maximum-Likelihood-Kalman-File exak dem beim lineaen Kalman-File In den folgenden Abschnien efolg eine kuze Dasellung de bekannesen Fakomodelle Dabei wid mi dem Einfakomodell nach Vasicek begonnen und dieses anschließend veallgemeine Bei den daauf folgenden Zweifakomodellen wid jeweils eine sochasische Volailiä und eine sochasische cenal endency beücksichig Im Deifakomodell weden die Zweifakomodelle zusammengefüh und simulan eine sochasische Volailiä und eine sochasische cenal endency beache Das Einfakomodell nach Vasicek Ausgangspunk fü dieses Modell is die Spezifizieung de Zusandsvaiable X in Fom des Kuzfiszinses duch einen Onsein-Uhlenbeck-Pozess bezüglich des empiischen Wahscheinlichkeismaßes de Fom: (44 d ( d De Koeffizien 48 is als langfisiges Gleichgewichsniveau des Kuzfiszinses zu inepeieen welches in Abhängigkei von mi eine besimmen Geschwindigkei eeich wid is die konsane Volailiä Duch die Zelegung de Vaianz-Kovaianz Maix bei exponeniell affinen Zinssukumodellen in eine Diagonal- und eine vollbeseze Maix D (X bzw Σ kann das Modell duch (44 noch nich eindeuig idenifizie weden Sowohl Σ als auch α sind mögliche Lösungen Es duch die Spezifikaion de Fakoisiken kann das Modell eindeuig beschieben weden Wid ein konsane Makpeis des Risikos angenommen so unesell Gleichung (9 dass die Diagonalmaix D (X als Einheismaix dagesell weden kann und sich somi α und Σ egeben: (45 λ( ; λ Die geschlossene Lösung des Bondbeweungsfunkionales folg dann aus de Lösung des Sysems de einfachen Diffe- 46 Wähend sich die Nomalveeilung beeis duch ihe beiden esen Momene eindeuig bescheiben läss is es fü die Quasi-Maximum-Likelihood-Mehode auseichend nu diese Momene zu beücksichigen 47 Siehe Fußnoe 4 S 9 48 In de englischspachigen Lieau wid diese Koeffizien auch cenal endency genann 558 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3

12 GERHARD-FÜRS-PREIS enialgleichungen (33 welche im Vasicek-Modell folgende Spezifikaion aufweisen: (46 da( τ B( τ B( τ B( τ λ dτ db( τ B( τ dτ mi den Ranebedingungen A ( B ( Die Duaionsfunkionen egeben sich als Lösung des Sysems (46 und lauen 49 : (47 4 ( exp( τ τ α(3 exp( τ 4exp( τ A( τ 3 4 α(4 λτ ( 4λ 4exp( τ λ τ 3 4 exp( τ B( τ Duch Einsezen in das Bondbeweungsfunkional und anschließende Veeinfachung ehäl man fü den Bondpeis folgende funkionale Fom: (48 ( ( ( exp λ λ P τ τ ( exp( τ 3 exp( exp τ ( exp( τ 3 4 Mi de Spezifizieung des Bondbeweungsfunkionales in Gleichung (48 is die Messgleichung des Zusandsaummodells besimm Die Paamee haben folgende inuiive Bedeuung: Je göße is deso schnelle beweg sich de Kuzfiszins in Richung seines langfisigen Gleichgewichs Diese schnellee Abbau des Ungleichgewichs zeig sich daduch auch in de Seigung de Zinssukukuve: Je höhe umso seile veläuf die Zinssuku als langfisiges Gleichgewich des Kuzfiszinses beeinfluss ebenfalls die gesame Zinssuku denn duch ein höhees Nomalniveau des Kuzfiszinses veschieb sich die gesame Zinssukukuve nach oben Die Zinssukukuve eagie bei Vaiaionen von und λ ähnlich Je göße diese Wee sind umso seile is die Zinssuku das heiß deso höhee Rendiezuschläge ehäl de Anlege Die Zusandsvaiable beeinfluss als einzige sochasische Pozess die Zinssukukuve in de Längsschnidimension Da die Pognosevaiable de zehnjähige Zins jedoch endenziell am langen Ende de Zinssuku einzuglieden is eschein es aus a pioi Übelegungen nich unbeding sinnvoll diesen duch den Zins mi eine infiniesimalen Reslaufzei zu ekläen Ausgehend von de spezifischen Bewegungsgleichung des Vasicek-Modells in (44 und de allgemeinen Dasellung de beiden esen bedingen Momene de exponeniell affinen Zinssukumodelle in (39 und (4 egib sich im Vasicek-Modell: E exp( ( exp( VAR exp( ( exp( ( ν ν dν (49 exp( ( ν dν exp( Mi Hilfe diese beiden bedingen Momene (49 kann nun das Zusandsaummodell genau spezifizie weden Eine schäzechnische Veeinfachung kann duch die Eliminieung de Konsanen im Ewaungswe eziel weden: 5 (5 E ( exp( ( Aufgund de Zusandsunabhängigkei de Vaianz-Kovaianz-Maix kann de lineae Kalman-File zu Schäzung vewende weden Die Pognose efolg bei allen Fakomodellen wie bei den Modellen de adiionellen U-EH als schiweise Ou-of-Sample-Pognose abelle sell die üblichen Pognosekennzahlen da Auf den esen Blick sind die Egebnisse übeaschend schlech Wid jedoch beache dass die Dynamik de gesamen Zinssuku duch einen Fako beschieben wid so escheinen die Egebnisse nachvollziehba Da diese einzige Fako de Zins mi eine infiniesimalen kuzen Reslaufzei is nimm wie zuvo eläue de elaive Einfluss des Fakos am längeen Ende de Zinssuku ab woduch die schlechen Pognosen elaivie weden da diese Zinsen dann pimä duch eine Konsane eklä weden abelle : Güemaße de Pognose mi Hilfe von Fakomodellen Modell RMSFE MAE end 3 Weg 4 Einfakomodell nach Vasicek Allgemeines affines Einfakomodell Zweifakomodell mi sochasischem Langfiszins Zweifakomodell mi sochasische Volailiä Deifakomodell Roo mean squae foecas eo Mean absolue foecas eo 3 Relaive Aneil de ichigen Richungspognosen 4 Relaive Aneil de ichigen Pognosen gewiche mi de Diffeenz oz diese Schwächen des esen Einfakomodells wid im nächsen Schi ein weiees Modell mi nu einem sochasischen Fako beache Dieses Modell is nun duch eine 49 Die Lösung des allgemeinen Diffeenialgleichungssysems (33 efolg in diese Abei mi Hilfe des symbolischen Mahemaikpogamms MAHEMAICA 4 Wähend sich das Vasicek- Modell noch elaiv leich von Hand lösen läss ließen sich insbesondee die Zweifakomodelle und das Deifakomodell nu schwe auf diese Weise lösen 5 Die Veeinfachung egib sich im Wesenlichen duch die Dasellung de Bewegungsgleichung im Kalman-File als ein vekoauoegessive Pozess Schäzechnisch is diese Umfomung abe nich nowendig Es müsse lediglich bei den Kalman-Pozeduen eine Konsane beücksichig weden Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 559

13 GERHARD-FÜRS-PREIS zusandsabhängige und somi nich meh konsane Volailiä sowie duch einen zu Volailiä popoionalen Makpeis des Risikos gekennzeichne Ein allgemeines affines Einfakomodell Die Spezifikaion efolg möglichs flexibel und basie auf de allgemeinen Bewegungsgleichung exponeniell affine Zinssukumodelle in (3 und de Zelegung de Volailiäskomponene (9: (5 d ( d α β Es is offensichlich dass das Vasicek-Modell ein Spezialfall dieses Modells mi den Paameeesikionen α und ß is Eine Vielzahl andee Einfakomodelle sind ebenfalls duch diese Dynamik des Kuzfiszinses und evenuelle Paameeesikionen enhalen abelle 3 5 gib einen allgemeinen Übeblick übe bekanne Einfakomodelle welche eilweise Sondefälle des allgemeinen affinen Einfakomodells sind Die Einfühung eine zusandsabhängigen Volailiä duch den em α β emöglich eine flexiblee Dasellung de Volailiä des Kuzfiszinses Duch die poenzielle Abhängigkei de Volailiä von de Höhe des Kuzfiszinses können heeoskedasische Sögößen modellie weden Die Spezifikaion des Makpeises des Fakoisikos efolg wie im allgemeinen affinen Fall (3 als: (5 λ λ α β ( und somi uneschiedlich zum Vasicek-Modell Um Konvegenzpoblemen zu begegnen muss zusäzlich auf den We eins esingie weden Meon Vasicek Dohan Dami is das Sysem de Diffeenialgleichungen (33 im allgemeinen affinen Einfakomodell dasellba als: (53 Modell Consaninides und Ingesoll Cox e al abelle 3: Bekanne Einfakomodelle da( τ B( τ α B( τ B( τ αλ dτ da( τ B( τ B( τ λβ B( τ β dτ Bewegungsgleichung d d d ( d d 3 d d ( d mi den schon bekannen Ranebedingungen A( und B( 5 Zu Heleiung de Bewegungsgleichung müssen nun wiede die beiden esen bedingen Momene abgeleie weden De Ewaungswe egib sich genau wie im voangegangenen Modell siehe (49 bzw mielwebeeinig als (5 Die Dasellung de bedingen Vaianz-Kovaianz-Maix is im Gegensaz zum Vasicek-Modell nich meh einfach da de bedinge Ewaungswe im Inegal eschein was duch die Zusandsabhängigkei de Volailiä begünde is: (54 VAR exp( ( ν ( α β E dν ν Die Lösung des Inegals laue nach Subsiuion von (38 in (54: (55 VAR exp( (exp( ( α β β exp( ( α β Diese Gleichung veanschaulich die explizie Abhängigkei de bedingen Vaianz-Kovaianz-Maix von de Höhe de Zusandsvaiablen Die schäzechnische Implemenieung efolg mi Hilfe des Quasi-Maximum-Likelihood- Kalman-Files wobei nun jedoch eine schiweise Ou-of- Sample-Pognose nich meh möglich is Es weden dahe die Sukupaamee α ß und λ jeweils mi dem Infomaionsgehal de gesamen Sichpobe emiel und anschließend eine schiweise Pognose duchgefüh abelle sell die Pognoseegebnisse da Es is offensichlich dass die Einfakomodelle hinsichlich de Pognosefähigkei nich auseichen um zufieden sellende Egebnisse zu liefen Sowohl das einfache Vasicek-Modell als auch das allgemeine Modell ezielen keine Egebnisse welche denjenigen de adiionellen heoien übelegen sind Eine andee Abei die sich ebenfalls mi de Pognosefähigkei von Einfakomodellen beschäfig is die von Byes und Nowman 53 Im Gegensaz zu diese Abei wid do nu die Längsschnidimension eines Zinses beache sodass die Pognosen schwe zu vegleichen sind Des Weieen wid in de Abei de biische Anleihemak beache was nich nowendigeweise Rückschlüsse auf den deuschen Mak zuläss Es schein dahe nowendig zu sein einen weieen sochasischen Fako zu beachen Wid die weiee Analyse auf sukuelle das heiß inepeiebae Fakoen beschänk so kann zum einen eine Sochasisieung des langfisigen Gleichgewichszinses ode eine Sochasisieung de Volailiäskomponene efolgen Die Sochasisieung des langfisigen Gleichgewichszinses könne dazu fühen dass zum Beispiel die Dynamik de beiden Fakoen 5 Siehe Meon R: A dynamic geneal equilibium model of asse makes and is applicaion o he picing of he capial sucue of he fims echnical epo MI 97; Vasicek O: An equilibium chaaceizaion of he em sucue Jounal of Financial Economics Vol S 77 ff; Dohan L: On he em sucue of inees aes Jounal of Financial Economics Vol S 59 ff; Cox JC/Ingesoll JE/Ross S A: An ineempoal geneal equilibium model of asse pices Economeica Vol 53 ( 985 S 363 ff dies: A heoy of he em sucue of inees aes ebenda S 385 ff 5 Auf die Dasellung de analyischen Lösung diese beiden Gleichungen sowie de Fomeln fü das geschlossene Bondbeweungsfunkional alle weieen Modelle wid hie veziche Sie können jedoch auf Nachfage vom Auo bezogen weden 53 Siehe Fußnoe Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3

14 GERHARD-FÜRS-PREIS sich gleichmäßig übe das Reslaufzeienspekum veeil sodass pinzipiell bessee Pognosen des Zinses fü Anleihen mi eine Reslaufzei von zehn Jahen möglich sind Eine Sochasisieung de Volailiäskomponene könne duch die Modellieung von Volailiäsclusen zu eine besseen Bescheibung de zugunde liegenden Daen fühen und so mögliche Vezeungen de Paamee beseiigen Es sollen hie beide Möglichkeien beache weden Mi Hilfe des zweien Fakos sollen dahe nu bessee Pognosen vo allem fü den Zins fü Anleihen mi eine Reslaufzei von zehn Jahen als mi den Einfakomodellen eziel weden Um jedoch das Modell schäzen zu können müssen die beiden esen bedingen Momene spezifizie weden De bedinge Ewaungswe egib sich als: Das Zweifakomodell mi sochasischem Langfiszins Die Sochasisieung des langfisigen Gleichgewichszinses duch einen Onsein-Uhlenbeck-Pozess geh im Wesenlichen auf Beaglehole und enney 54 zuück und füh zu einem Sysem von sochasischen Diffeenialgleichungen folgende Fom: (59 E (exp( exp( exp( exp( (56 d ( d d ( d Das bedinge zweie Momen egib sich nach (4 is abe aus Günden de Übesichlichkei hie nich dagesell mi sandadisieen und unkoelieen Bownschen Bewegungen Wie leich zu ekennen is kann auch dieses Modell in eine allgemeinen Mean-Revesion -Noaion (3 fomulie weden: (57 d d d Wie im Vasicek-Modell wid auch hie von jeweils konsanen Peisen fü die Makisiken de Fakoen ausgegangen: (58 λ ( λ λ ( λ sodass nun die Volailiäsmaix zeleg weden kann So egib sich nach (3 D (X analog zum Vasicek-Modell als Einheismaix das heiß α α sowie ß ß [ ] und Σ als Diagonalmaix mi den Elemenen und Daaus folg das Sysem de Diffeenialgleichungen (33 mi den Lösungen A(τ B (τ B (τ Das Bondbeweungsfunkional egib sich wie im allgemeinen affinen Fall als τ exp (A(τ B (τ B (τ Eine Beachung de nomieen Duaionsfunkionen B (τ/τ und B (τ/τ besäig die eingangs fomuliee Vemuung dass sich die beiden sochasischen Fakoen das Reslaufzeienspekum aufeilen De Kuzfiszins beeinfluss wie schon im Einfakomodell vowiegend das kuze Ende de Zinssuku wähend de sochasische Gleichgewichszins vowiegend lange Reslaufzeien beeinfluss Basieend auf diesen beiden bedingen Momenen kann das Modell mi Hilfe des lineaen Kalman-Files geschäz und pognosizie weden Wie schon im voangegangenen allgemeinen affinen Einfakomodell is es nich meh möglich eine schiweise Schäzung und Pognose duchzufühen Die Sukupaamee wuden mi den Infomaionen de gesamen Beobachungen emiel und anschließend wude beginnend in de Beobachung eine schiweise Pognose duchgefüh abelle sell die Egebnisse da Engegen den Ewaungen i keine Vebesseung de Pognosen ein Waum pognosizie das Modell so schlech? Neuee Unesuchungen 55 bescheiben genau das gleiche Vesagen de exponeniell affinen Zinssukumodelle in de Pognose und kommen eilweise zu dem Schluss dass de Pozess de Fakoisiken λ ( X in Gleichung (3 zu esikiv is und duch einen auonomen affinen Pozess esez weden kann oz diese Beschänkungen sollen noch zwei weiee Modelle unesuch weden De nächse Abschni beache ein Zweifakomodell mi sochasische Volailiä Das Zweifakomodell mi sochasische Volailiä Die Sochasisieung de Volailiä mi Hilfe eines eigensändigen Fakos geh im Wesenlichen auf die Abei von Longsaff und Schwaz 56 sowie Ball und oous 57 zuück Wähend jedoch in diesen Aikeln das Zinssukumodell aus einem allgemeinen Gleichgewichsmodell abgeleie wude wid hie analog zu den bishe beacheen Model- 54 Siehe Beaglehole DR/enney WN: Geneal soluions of some inees ae-coningen claim picing equaions he Jounal of Fixed Income Vol 99 S 69 ff 55 Siehe z B Dai Q/Singleon KJ: Specificaion analysis of affine em sucue models he Jounal of Finance Vol 55(5 S 943 ff; Duffee GR: em pemia and inees ae foecass in affine models Woking pape Univesiy of Califonia Haas School of Business Bekeley 56 Longsaff FA/Schwaz ES: Inees ae volailiy and he em sucue: A wofaco geneal equilibium model he Jounal of Finance Vol 47(4 99 S 59 ff 57 Ball CA/oous WN: he sochasic volailiy of sho-em inees aes: Some inenaional evidence he Jounal of Finance Vol 54(6 999 S 339 ff Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 56

15 GERHARD-FÜRS-PREIS 56 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 len vefahen und das Modell duch die affinen Zinssukumodelle dagesell Die Sochasisieung de Volailiä füh somi zu folgendem Sysem von Iô-Pozessen: (6 ( ( d d d d welche sich in Maixnoaion egeben als: (6 d d d Im Gegensaz zu den voangegangenen Modellen können nun nich meh veschiedene Spezifikaionen de Fakoisiken implemenie weden denn duch die Beücksichigung eines Fakos in de Volailiäsmaix egib sich nach (9: (6 [ ] und somi nach (3: (63 λ λ λ λ λ X ( das heiß [ ] α β α und [ ] β sowie Σ als Diagonalmaix mi Σ und Σ Mi diese Modifikaion kann nun das Sysem de Diffeenialgleichungen (33 spezifizie weden und man ehäl die hie nich dagesellen Funkionen A(τ B (τ B (τ Wie auch schon im Zweifakomodell mi sochasischem Langfiszins eilen sich die beiden Fakoen die Dynamik dahingehend dass de Kuzfiszins vowiegend das kuze Ende de Zinssuku bescheib und die Volailiä das lange Ende Wa diese Aufeilung im voangehenden Zweifakomodell duch die Spezifikaion des zweien Fakos im Pinzip exogen vogegeben so is diese Aufeilung in diesem Modell eilweise übeaschend Die Schäzung efolg in diesem Modell mi Hilfe des Quasi- Maximum-Likelihood-Kalman-Files da die Zusandsvaiable als eigensändige Fako die Volailiä modellie und somi nich meh zusandsunabhängig is Die esen beiden bedingen Momene egeben sich jeweils nach (39 und (4 als: (64 exp( exp( E sowie VAR[X X ] als Diagonalmaix mi den Elemenen: (65 (exp( ( exp( ( exp( ( exp( X X VAR X X VAR Die Pognose auf Basis dieses Modells eziel ähnliche Egebnisse wie diejenige im Zweifakomodell mi sochasischem Langfiszins Die Pognosegüemaße sind abelle zu ennehmen Auch in diesem Zweifakomodell is die Pognose nich gu was duch ähnliche Günde wie im andeen Zweifakomodell beding sein kann Im nächsen Modell weden beide Zweifakomodelle in einem Deifakomodell zusammengefass um so eine möglichs goße Flexibiliä in de Dasellung von Zinssukuauspägungen zu ehalen Des Weieen kann duch dei Fakoen eine noch feinee Unegliedeung de Dynamik des Reslaufzeienspekums eeich weden Ein Deifakomodell Als Rahmen de beiden Zweifakomodelle beache das Deifakomodell de Zinssuku die Enwicklung des Kuzfiszinses mi sochasischem Gleichgewichszins und sochasische Volailiä Das Sysem de Iô-Pozesse egib sich dabei als Zusammenfassung von (56 und (6: (66 3 ( ( ( d d d d d d welches sich in Maixnoaion egib als: (67 3 d d d d Ese Deifakomodelle sind in de Lieau duch Chen und Balduzzi eingefüh woden 58 Aufgund de Zusammensezung des Modells duch die Zweifakomodelle egeben sich die Makpeise de Fakoisiken analog: 58 Siehe Chen L: Inees Rae Dynamics Deivaives Picing and Risk Managemen Lecue Noes in Economics and Mahemaical Sysems Vol sowie Fußnoe 36

16 GERHARD-FÜRS-PREIS (68 und Σ: λ( X λ λ λ In Anbeach de Ensehungsgeschiche und des Haupeinsazgebiees diese Modelle wid deulich dass sie pimä dazu vewende weden um Peise fü Zinsdeivae feszusezen ode Risikomanagemen im Zinsbeeich duchzufühen Die Pognose mi diesen Modellen is nu ein peiphees Einsazgebie Die voliegende Abei zeig dass es evenuelle Modifikaionen bedaf um die Modelle fü den Einsaz bei Pognosen effizien nuzen zu können (69 Aus diesen Spezifikaionen folg das Sysem de Diffeenialgleichungen (33 Wie zu ewaen egib sich duch die Modellieung eines Deifakomodells eine noch speziellee Unegliedeung de Einflussbeeiche de jeweiligen Fakoen Wid zum Beispiel die Aufeilung de nomieen Duaionsfunkionen beache so ekenn man die uneschiedlichen Einflussbeeiche Zinsen mi kuzen Reslaufzeien weden besondes duch die Zusandsvaiable des isikolosen Kuzfiszinses beeinfluss wähend milee Spoaen τ 4 besondes duch die Volailiä beweg weden und lange Laufzeien sensiiv auf Veändeungen de dien Zusandsvaiablen des sochasischen Gleichgewichszinses eagieen Um die Pognosegüe des Modells unesuchen zu können müssen die esen beiden bedingen Momene dagesell weden Dabei egib sich de bedinge Ewaungswe nach de Spezifikaion (39 mi: (7 (exp( exp( exp( exp( K exp( exp( Die bedinge Vaianz-Kovaianz-Maix is aus Günden de Übesichlichkei hie nich dagesell Die Schäzung und Pognose dieses Modells efolg übe die Implemenieung im Quasi-Maximum-Likelihood-Kalman-File Die Pognoseegebnisse sind ebenfalls in abelle wiedegegeben Wie schon bei allen andeen Modellen is die Pognosegüe de exponeniell affinen Zinssukumodelle enäuschend Selbs ein Deifakomodell kann keine zufiedensellenden Egebnisse voweisen Aufgund diese asache is das Vesagen de Modelle nich duch eine zu geinge Flexibiliä zu begünden Andee Sudien die ebenfalls die schleche Pognoseeigenschaf de affinen Zinssukumodelle fü andee Renenmäke unesuchen kommen zu dem Egebnis dass die Spezifikaion de Makpeise de Fakoisiken zu esikiv is Eine Modifikaion dieses Pozesses schein Pognosevebesseungen mi sich zu bingen siehe Duffee 59 Schlussfolgeungen Im Rahmen diese Abei wude die Pognosefähigkei de deuschen Zinssuku fü den Zins fü Anleihen mi eine Reslaufzei von zehn Jahen unesuch Dabei wuden sowohl Modelle de adiionellen Ewaungsweheoie als auch die neueen Fakomodelle de Zinssuku beache Die Analyse de adiionellen Ewaungswehypohese duch Fowadzinsmodelle besäig beeis besehende empiische Egebnisse dahingehend dass die Beücksichigung eine zeivaiieenden Risikopämie zu wesenlichen Vebesseungen de Pognose füh Dies bedeue dass de Fowadzins nich als unvezee Pediko de zukünfigen Spoae inepeie weden kann Bei de zeivaiieenden Schäzung is zudem besondes auffallend dass die Modellieung de Koeffizienenbewegung einen elevanen Einfluss auf die Pognosegüe ha So liefen flexiblee Modelle nich nowendigeweise bessee Pognosen was anhand de übelegenen Pognosegüemaße de Flexiblen- Kleins-Quadae-Mehode im Vegleich zu Random-Walk- Spezifikaion de Koeffizienenbewegungsgleichung im Zusandsaum-Modell ekennba is Wid die Ewaungsweheoie in einem mulivaiaen Konex angewand so posulie sie unesüz duch die Zeieiheneigenschaf de Zinsen ein koinegiees Sysem welches duch einen gemeinsamen Fako geieben wid Es zeig sich dass die Beücksichigung dieses Sysems mi Hilfe eines mulivaiaen Fehlekoekumodells zu geingfügig besseen Pognoseegebnissen füh als ein unesingiees Vekoauoegessives Modell in Niveaus bzw Diffeenzen In eine weieen Sudie des Auos zeige sich dass sich duch eine bayesianische Inepeaion de mulivaiaen Modelle eine weiee Vebesseung de Egebnisse einsell Im Gegensaz zu analyisch einfachen Ewaungswehypohese bedienen sich die Fakomodelle eilweise fogeschiene mahemaische Mehoden Dennoch besizen sie eine geingee Pognosefähigkei als die Modelle de adiionellen Ewaungsweheoie Dies könne duch eine zu esikive Modellieung de Makpeise de Fakoisiken beding sein Eine de wenigen Sudien die sich mi de Pognosefähigkei de Fakomodelle de Zinssuku beschäfigen deue fü den Anleihemak in den Veeinigen Saaen in die gleiche Richung Des Weieen zeig sich fü den deuschen Renenmak übeaschendeweise dass 59 Siehe Fußnoe 55 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3 563

17 GERHARD-FÜRS-PREIS die Anzahl de Fakoen keinen wesenlichen Einfluss auf die Pognosegüe diese Modelle ha Als Egebnis diese Abei läss sich feshalen dass die neueen Fakomodelle de Zinssuku nich nowendigeweise fü die Zinspognose geeigne sind Eine mulivaiae Inepeaion de modifizieen Ewaungswehypohese eziel hie die besen Pognoseegebnisse 564 Saisisches Bundesam Wischaf und Saisik 6/3

18 Auszug aus Wischaf und Saisik Saisisches Bundesam Wiesbaden 3 Vevielfäligung und Vebeiung auch auszugsweise mi Quellenangabe gesae Heausgebe: Saisisches Bundesam Wiesbaden Schifleiung: N N Veanwolich fü den Inhal: Bigie Reimann 658 Wiesbaden elefon: 49 ( 6 / wischaf-und-saisik@desaisde Veiebspane: SFG Sevicecene Fachvelage Pa of he Elsevie Goup Posfach Reulingen elefon: 49 ( 7 7/ elefax: 49 ( 7 7/ desais@s-f-gcom Escheinungsfolge: monalich i Allgemeine Infomaionen übe das Saisische Bundesam und sein Daenangebo ehalen Sie: im Inene: wwwdesaisde ode bei unseem Infomaionssevice 658 Wiesbaden elefon: 49 ( 6 / elefax: 49 ( 6 / wwwdesaisde/konak