n p + q = 1 Zahl der Wahrschein- Zahl der Um- Anordnung n k n-k Kombina- lichket stellungen der Treffer R

Transkript

1 Bi- ud Polyomischer Satz Biomischer Satz Die umultative Biomialverteilug geht auf de Biomische Satz zurüc. [], [] ORIGIN! ( a + b) a b ab + a b + a b +... ab!( )! Biomialoeffiziet! combi(, ) MathCad-Sytax!( )! Für die wahrscheilicheitstheoretische Deutug des Biomische Satzes werde die Variable a ud b als Wahrscheilicheit p ud q zweier sich gegeseitig ausschließede Elemetarereigisse aufgefasst. ( p + q) p q pq + pq + pq +... pq p + q Mit Hilfe der "Abzählmethode" wird der Biomische Satz auf das Ureexperimet (Gedaeexperimet) agewadt, wobei bei jedem Versuch ei Elemet etomme, begutachtet ud wieder zurücgelegt wird.. Die folgede Tabelle zeigt eie Beroulli-Versuch vo bis Ziehuge ud das bis zu mal. Die ombiatorische Umstellug der erzielte Treffer (rote Kugel: R) ud Niete (weiße Kugel: W) ist icht im Eizele agegebe. Aber die Zahl der Umstelluge (Kombiatioe) ist i der Tabelle aufgeführt. Die Wahrscheilicheit als Elemetarereigis eie weiße Kugel zu ziehe ist p, eie rote zu etehme q. Auswertug des Experimets Azahl der Versuche Zufallsvariable Zahl der Wahrschei- Zahl der Um- Aordug - Kombia- lichet stelluge der Treffer R toe ud Niete W q W p R q WW p q RW p RR q WWW p q RWW p q RRW p RRR q WWWW p q RWWW p q RRWW p q RRRW p RRRR q WWWWW p q RWWWW p q RRWWW p q RRRWW p q RRRRW p RRRRR q WWWWWW p q RWWWWW p q RRWWWW p q RRRWWW p q RRRRWW p q RRRRRW p RRRRRR 9.. Polyom.mcd

2 Bi- ud Polyomischer Satz Biomialoeffiziete oder Zahl der Umstelluge (Kombiatioe) der Treffer- ud Nietefolge ( p + q) pq ( p + q) pq q + pq + pq + pq + pq + pq + p Kombiatorische Azahl : :.. combi(, ) : :.. combi(, ) Wahrscheilicheite : 9 q :. p :.7 :.. Q biom (, ) : combi(, ) p Q biom : Q biom : :.. combi, combi(, ) : :.. combi(, ) ( ) p q q Biomialoeffiziet : :..! combi(, ) MathCad-Sytax!( )! combi(, ) : :.. combi(, ) Q biom (, ) combi(, ) Polyom.mcd

3 Bi- ud Polyomischer Satz : q :. p :.7 :.. Q biom (, ) : combi(, ) p q Q biom : Q biom combi, ( ) p q : q :. p :.7 :.. Q biom (, ).. Q biom (, ) : combi(, ) p q Q biom : combi, ( ) p q Q biom (, ).. Q biom : q :. p :.7 :.. Q biom (, ) : combi(, ) p q Q biom : Q biom combi, ( ) p q : q :. p :.7 :.. Q biom (, ) : combi(, ) p q Q biom (, ) Q biom : combi, ( ) p q Q biom (, ).7.89 Q biom.. : q :. p :.7 :.. Q biom (, ) : combi(, ) p q Q biom (, ) Polyom.mcd

4 Bi- ud Polyomischer Satz Q biom : combi, ( ) p q Q biom : q :. p :.7 :.. Q biom (, ) : combi(, ) p Q biom : combi, ( ) p q q Q biom Q biom (, )..7 Polyomischer Satz ( a a... a ) a a... a s + + s s ,,... s s Die Summatio ist über alle s-tupel der atürliche Zahle,,... s zu erstrece. Zu beachte: s s s s i ,,... s i (... )... a + a + a a a a Polyomialoeffiziet s...!...,,... s!!...! i i Die s-tupel,,... s werde durch die atürliche gaze Zahle,... realisiert, wobei der Expoet des Polyoms ist. Das folgede Beispiel zeigt, wie dieses Realisatio mit Hilfe eies Kugel-Kaste-Modells zu verstehe ist. Für die wahrscheilicheitstheoretische Deutug des Polyomische Satzes muss gemäß der Wahrscheilicheitsaxiomati der Wert des Polyoms gleich sei, wie auch die umulative Wahrscheilicheitsverteilug im Edeffet diese Wert hat. Die Summatio muss sich dabei über de gesamte Ereigisraum erstrece. Die Variable a bis a s werde bei dieser Deutug als Wahrscheilicheite p, q, ud r vo sich gegeseitig ausschließede Elemetarereigisse aufgefasst. Bei diesem Beispiel hadelt es sich also um drei Elemetarereigisse, auf dee die Wahrscheilicheitsberechug beruht. ( p + q+ r) p q r p+ q+ r + +,, Azahl der Tupel Die Berechug der Azahl der Tupel,,... s a mit Hilfe des Kugel-Kaste-Modells, das z.b. i der Thermodyami agewedet wird, aschaulich gemacht werde. N gleiche Kugel werde restlos auf Käste immer wieder so verteilt, dass alle mögliche Fülluge durchgespielt werde öe. Jeder Kaste ist so groß, dass er uter Umstäde alle verfügbare Kugel fasse a. Die Azahl der Möglicheite, die Kugel auf die Käste zu verteile, beträgt P Kugel N + N + N PKugel combi N N combi N ( +, ) ( +, ) MathCad-Sytax I der folgede Darstellug ist gezeigt, auf wie viele Arte sich N Kugel i Käste eifülle lasse. 9.. Polyom.mcd

5 Bi- ud Polyomischer Satz Verteilug vo N gleichartige Kugel auf Käste mit Möglicheite der Umstellug Vorratsbehälter für N Kugel Rechebeispiele N Kugel solle i uterschiedliche Atioe auf,, oder Käste verteilt werde. Parameter, Variable ud Auswertug N : Azahl der Kugel Azahl der Käste : P Kugel : combi( N +, N) P Kugel : P Kugel : combi( N +, N) P Kugel : P Kugel : combi( N +, N) P Kugel : P Kugel : combi( N +, N) P Kugel We die Azahl der Kugel ud die Azahl der Käste gleich ist, gilt N. Die Formel zur Berechug der Azahl Tupel lautet da : P Tupel : combi(, ) P Tupel Zusammestellug der Tupel für : : P Tupel : combi(, ) P Tupel : combi(, ) P Tupel P Tupel Tupel Polyomischer Satz für ( p + q+ r) p + q + r + pq + pq + pr + pr +,,,,,,,,,,,,,, qr + qr + pqr,,,,,, 9.. Polyom.mcd

6 Bi- ud Polyomischer Satz Berechug der Polyomialoeffiziete,,!!!!,,!!!!,,!!!!,,!!!!,,!!!!,,!!!!,,!!!!,,!!!!,,!!!!,,!!!! Azahl der Tupel ( p + q+ r) p + q + r + pq+ pq + pr+ pr + qr + qr + pqr : P Tupel : combi(, ) P Tupel Der Polyomische Satz i wahrscheilicheitstheoretischer Deutug Vo eier Bevölerugsgruppe wird i drei voeiader uabhägige Umfrage die Meiug über Maßahme zur Bewältigug bestimmter gesellschaftspotitischer Probleme ermittelt. Dabei wird über die relative Häufigeit die Wahrscheilicheit festgestellt, ob die eizele Mesche die vorgeschlagee Maßahme bejahe, vereie oder sich eier Etscheidug ethalte. Das Ergebis dieser drei Befraguge bezüglich der ermittelte Wahrscheilicheit der Elemetarereigisse p, q ud r ist p, q,r r, Bejahug Vereiug Ethaltug p + q + r. We aus der befragte Bevölerugsgruppe drei Mesche ausgewählt werde, da beträgt die Wahrscheilicheit, dass beispielsweise ei Befragter die Maßahme bejaht, der zweite Befragte die Maßahme vereit ud der Dritte sich eier Etscheidug ethält pqr. (p +q+r ) p + q + r + p q +pq + p r+ pr + q r+ q r + pq r Ja Nei Ethaltug (p +q+r ),,,,,,,,,,8 (p +q+r ), 9.. Polyom.mcd