Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
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- Karlheinz Hauer
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1 _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - /. Feie, ungedäpfte Schwingung (De honische Oszito) Bewegung eine tägen Msse u eine stbie Ruhege, wobei die ückteibende Kft de ineen Kftgesetz gehocht... Fedepende stbie Ruhege D Bei Ausenkung us de Ruhege titt eine ückteibende Kft uf, die bei keinen Ausenkungen de Hookschen Gesetz fogt: F Rück F Rück D D = Fedekonstnte Annhe: Reibungsfeie Untege und sseose Fede Die Anwendung des Newtonschen Aktionspinzips (. Newton Gesetz) füht uf die Bewegungsgeichung de feien, ungedäpften Schwingung. ( t) Fng. ( t) D D Bewegungsgeichung (Diffeentigeichung) de honischen Schwingung hoogene, inee DGL. Odnung it konstnten Koeffizienten - hoogen: DGL wid Nu, wenn Vibe ode ihe Abeitungen Nu sind - ine: keine Podukte ode Potenzen von, d/dt usw. -. Odnung: höchste Abeitung ist die. Abeitung - konstnte Koeffizienten: Koeffizienten (, D) sind konstnt Lösung de DGL: Lösungsnstz: viefch duch Rten und Auspobieen ( t) ˆ sin( t ) ( t) ˆ cos( t ) ( t) ˆ sin( t ) Einsetzen in DGL: D ( ) ˆ sin( t ) D Keisfequenz de feien ungedäpften Schwingung ist unbhängig von de Apitude (wesentiches Kennzeichen de honischen Schwingung)
2 _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - / Ds eg-zeitgesetz utet so: ( t) ˆ sin( t ) Die Lösung enthät noch zwei feie Pete, ˆ und! Den Nuphsenwinke und die Apitude ˆ ehät n us zwei zusätzichen Infotionen, den sog. Anfngsbedingungen ode Anegungsbedingungen (t = ) = und v(t = ) = v. Beispie: Msse wid us de Ruhege usgeenkt und zu Zeit t = ngestoßen. (Dbei wid de Syste entiee und kinetische Enegie zugefüht). Anegungsbedingung: ( t ). Anegungsbedingung: ( t ) v ( ) ˆ sin( ) t) v ˆ cos( ) ( sin ( ) ˆ v ( ˆ ) cos ( ) tn( ) v ˆ v ( ) Andee Dsteung de Schwingung ( t) ˆ sin( t ) t) ˆ sin( t) cos ˆ cos( t) ( v ( t) cos( t) sin( t) Entwickung fü t : v ( t) t sin (t) t Fge: ) eche Apitude egibt sich fü v(t = ) = - v? b) ie goß sind die zugefühten Enegien? Die Messung de Fedekonstnte duch Messung de Schwingungsdue bzw. Fequenz des entspechenden Fedependes ist vie genue s die sttische Kft-Messethode (F = D). Diese Methode ist uch i toen Beeich nwendb. Zu Einneung: Tyoentwickung - Potenzeihenentwickung f ( ) f f f ( ) ( ) ( ) f! ( )...!
3 _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - / Phsenu Kennzeichnend fü ein Syste zu jede Zeitpunkt sind Ausenkung (t) und Geschwindigkeit d/dt. Eine Dsteung von Ausenkung und Geschwindigkeit s vegeeinete Koodinten in eine zweidiensionen Dsteung bezeichnet n s Phsenu ode Zustndsu. (t), v(t) v(t) t (t) ( t) ˆ sin( t) v t) ˆ cos( ) ( t Übung: Bestien Sie ds Phsenudig eine Deieckschwingung (Sägezhnschwingung)... Mthetisches Pende (Fdenpende) Punktföige Msse ist n eine sseosen Fden de Länge ufgehängt. Bei Ausenkungen us de Ruhege entsteht eine ückteibende Kft. Rückteibende Kft (schwee Msse): FRück S g sin Newton (täge Msse): T S g sin g sin g sin Nichtinee DGL! F Rück F d Lineisieung fü keine Ausenkungen: sin = F = g g g ode T g Schwingungsdue ist unbhängig von de Msse! T g Sekundenpende: T = s =,994 4
4 .. Dehpende _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - 4/ Bei Dehpende äuft die Dehchse A duch den Mssenittepunkt eines sten Köpes. Die Ruhege wid duch eine n de Dehchse befestigte Fede definiet. Rückteibendes Moent: M Rück D* D* = inkeichtgöße ückteibendesmoent D* Dehwinke Dynisches Gundgesetz de Rottion J M Rück J D* A Ruhege D* J D* J Anogie: Tnstion - Rottion J F M D D* Anwendung des Tosionspendes (Pktikusvesuch): Bestiung des Tägheitsoents von sten Köpen. ) Syetische sten Köpe it beknnte J wid in Dehschwingungen vesetzt. T wid geessen (D* bestib). D* J T Dht D* J b) Ste Köpe it unbeknnte J wid Dht ufgehängt und schwingt u Schwepunktschse. T wid geessen D* J T Division de beiden Geichungen egibt: J T T J J J T T D* SP J
5 ..4 Physisches Pende Ein physisches Pende ist ein beiebig gefote Köpe, de u eine ufeste Achse A schwingen knn. Rückteibendes Moent ( M F ): M Rück gssin ( M Rück D* ) Dynisches Gundgesetz de Rottion J A M Rück A s SP J A gs sin Lineisieung fü keine Ausenkwinke und J A = J S + s (Steinesche Stz) g gs Bewegungsgeichung des physischen Pendes J s S _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - 5/ T Ph J S s gs J gs S s Reduziete Pendeänge Ein entspechendes Fdenpende it de geichen Schwingungsdue uss eine Fdenänge von hben. T M g J S s Reduziete Pendeänge s Revesionspende (siehe uch Pktikusvesuch) Eine Schwingung u eine zu A pee Achse A, i senkechten Abstnd, besitzt die geiche Schwingungsdue wie die Schwingung u die Achse A. De Punkt i Abstnd von A (duch den Schwepunkt SP) heißt Schwingungsittepunkt ode Stoßittepunkt. s ' s T ' Ph J A ' gs' J S s' gs' J S g( J s ( S s J s S s s) s) T PH Mit de Revesionspende ässt sich die Gvittionskonstnte g seh genu bestien (g = 9,879 in München) A s SP - s A
6 _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - 6/. Enegie des honischen Oszitos Eine einfche Ufoung de Bewegungsgeichung des Fedependes füht uf den Enegiestz. d D dt dv D Mutipiktion it v iefet dt dv d v D dt dt d d D d D v ode v dt dt dt Die etzte Geichung ist geichbedeutend it de Enegieehtungsstz Die Sue us kinetische Enegie und entiee Enegie ist konstnt D ges v const Fedepende: ( t) ˆ sin( t) v( t) ˆ cos( t) kin ges D D D ( ) ˆ t sin ( t) ˆ sin D v ( t) ˆ cos ( t) ˆ cos vˆ D ˆ const ( t) ( t) Ein schwingungsfähiges Syste wndet peiodisch kinetische Enegie in entiee Enegie u und ugekeht. (t) kin, t t Die obige Abeitung de Enegieehtung zeigt uch: In nchen Fäen ist es einfche, die Bewegungsgeichung nicht it de Newtonschen Aktionspinzip ufzusteen, sonden duch Abeitung des Enegiestzes. (Theo. Mechnik Lgngegeichungen)
7 Beispie: Beechnen Sie die Fequenz, it de eine Kuge (Msse, Rdius ) in eine kugeföigen Sche (Rdius R+ ) hin- und heot. (keine Ausenkungen) ges ges gh s kin, SP J ( t) kin, ot Kuge R _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - 7/ s iedehoung: Potentiee Enegie, Kftfed und Fedkft In eine konsevtiven Kftfed de Mechnik bestehen fogende Zusenhänge zwischen Abeit, entiee Enegie, Kftfed G, Fedkft F und Potenti : Fd ( ) ( ) ( ) Fd fü ( ) = (Nuniveu NN) = NN Ukehung ögich? F gd G gd F? Beispie: Potentitopf des Fedependes D ( ) Fd Dd F NN D F() ges Beeich de Bewegung
8 _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - 8/ Beispie: Potenti de echsewikung zwischen zwei Atoen in eine Moekü. Die Anziehung ist eektische Ntu. Die Abstoßung beuht uf de Puischen Ausschießungspinzip. (Mode fü ein zweitoiges Moekü; nhonische Potentitopf; M >> ) b ( ) (nziehend) (bstoßend) 5 M = Ruhege = Dissozitionsenegie F Beispie: C-H Schwingung f 4 Hz µ (IR-Bnde) Entwickung: ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! s = - ) Honische Schwingung (Entwickung bis zu. Odnung s oke Näheung fü keine Ausenkungen) F ( ).. Dit ehät n fogende Bewegungsgeichung d F dt ( ).. Setzt n: s = - ; ds = d egibt sich weite... d s dt s Aus de Kenntnis des Potentis bzw. de. Enegie ässt sich die Fequenz bestien. Die Küung Geichgewichtspunkt entspicht de Fedekonstnte. b) Nichthonische Schwingung (Entwickung bis zu. Odnung und höhe; fü zunehend gößee Ausenkungen) D ( s) () s kds.. F( s) D( s ks ) s
9 _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - 9/ d s D( s ks dt ) s Ds Dks Nichtinee DGL! ( Schs fgen) Näheungsösung - Anstz: s( t) sˆ[cos( t) Acos(t )] B Die Pete A und B sind zu bestien Fü ka << egibt sich eine Lösung it (k = Botznnkonstnte) ; A ksˆ ; B k s ˆ 6 Inteessnt ist de zeitiche Mittewet s t) sˆ[ cos( t) A cos( t) ] B B ( Aufgbe: Ekäen Sie it diese Egebnis, die Popotionität de theischen Ausdehnung it de Tepetu. Aufgbe: Beechnen Sie die Fequenz in de honischen Näheung (keine Ausenkungen) fü ds oben ngegebene Potenti it () = -b/ + / 5. 5/ 6b b ( ) 5
10 .4 eitee Beispiee fü einfche honische Oszitoen ) Fedepende i Schweefed Auße de ückteibenden Fedekft -D geift n de Msse noch die Gewichtskft n: D g D g (inhoogene DGL) D _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - / Lösungsnstz: g ( t) ˆ sin( t ) D Eine konstnte Kft füht nu zu eine Veschiebung de Ruhege. b) Peschtung von Feden Rückteibende Kft: F F F F D D D D ) D' D ( D D D D D D Die zusengesetzte Fede ist häte. c) Seienschtung von Feden Rückteibende Kft: F D F F F D F (Aktio = Rektio) F F ( ) F D D D D F D' D D D' D D D' DD D D Die zusengesetzte Fede ist weiche. D
11 d) Msse zwischen zwei Feden (ongitudine Schwingung) (späte fü die inee Kette wichtig) _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - / Feden entspnnt D D Feden it Vospnnung Rückteibende Käfte bei Ausenkung D( z ) F inks F echts D( z ) F F ges ges D z ) D( z ) ( D( z ) D = z - Newton II: D D unbhängig von de Vospnnung de Fede e) Msse zwischen zwei Feden (tnsvese Schwingung) Feden entspnnt D D Feden it Vospnnung Rückteibende Kft in Richtung de Ausenkung F D( )sin F D( ) F D( ) Rückteibende Kft ist nichtine! Die Msse iegt dbei in de Ebene, d.h. die Schwekft uf die Msse wid nicht beücksichtigt
12 _Schwingungen_Fei_Ungedepft_BA.doc - / Diskussion: ) stk vogespnnte Fede: <<, F D D entspicht de ongitudinen F ) keine Ausenkungen bei vogespnnte Fede: F D( ) D ( ) Fequenz ist niedige s i ongitudinen F ) Fede nicht vogespnnt: =. F D( ) ( ) ( ) ( ) ( [..] F D Kft ist nichtine - besitzt nicht ein einen ineen Antei! Ds Fedepende zeigt ein vöig nichtinees Vehten. Die Peiodendue ist z.b. von de Apitude bhängig.
Einführung in die Physik I. Dynamik des Massenpunkts (4)
Einfühung in die Physik I Dynmik des Mssenpunkts (4) O. von de Lühe und U. Lndgf Gvittion Die Gvittionswechselwikung ist eine de fundmentlen Käfte in de Physik m 1 m Sie wikt zwischen zwei Mssen m 1 und
Kapitel 2. Schwerpunkt
Kpitel Schwepunkt Schwepunkt Volumenschwepunkt Fü einen Köpe mit dem Volumen V emittelt mn die Koodinten des Schwepunktes S (Volumenmittelpunkt) us S dv dv z S S z S dv dv z dv dv z S S S Flächenschwepunkt
Inhalt der Vorlesung A1
PHYSIK A S 03/4 Inhalt de Volesung A. Einfühung Methode de Physik Physikalische Gößen Übesicht übe die vogesehenen Theenbeeiche. Teilchen A. Einzelne Teilchen Bescheibung von Teilchenbewegung Kineatik:
Die Lagrangepunkte im System Erde-Mond
Die Lgngepunkte i Syste Ede-ond tthis Bochdt Tnnenbusch-ynsiu Bonn bochdt.tthis@t-online.de Einleitung: Welche Käfte spüt eine Rusonde, die sich ntiebslos in de Nähe von Ede und ond ufhält? Zunächst sind
Einführung in die Physik I. Dynamik des Massenpunkts (2) O. von der Lühe und U. Landgraf
Einfühung in die Physik I Dynaik des Massenpunkts () O. von de Lühe und U. Landgaf Abeit Käfte können aufgeteilt ode ugefot weden duch (z. B.) Hebel Flaschenzüge De Weg, übe welchen eine eduziete Kaft
Kapitel 9 Integralrechnung für Funktionen einer Veränderlichen 9.6 Volumen von Rotationskörpern
Wolte/Dhn: Anlsis Individuell c Spinge 75 Kpitel 9 Integlechnung fü Funktionen eine Veändelichen 9.6 Volumen von Rottionsköpen Wi wenden uns jetzt de Bestimmung des Volumens eines sogennnten Rottionsköpes
5 Rigorose Behandlung des Kontaktproblems Hertzscher Kontakt
5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt In diesem Kpitel weden Methoden u exkten Lösung von Kontktpoblemen im Rhmen de "Hlbumnäheung" eläutet. Wi behndeln dbei usfühlich ds klssische Kontktpoblem
{ } e r. v dv C 1. g R. dr dt. dv dr. dv dr v. dv dt G M. 2 v 2. F (r) r 2 e r. r 2. (g nicht const.)
Otsabhängige Käfte Bsp.: akete i Gavitationsfeld (g nicht const.) F () Nu -Kop. G M 2 e (späte eh) a v dv a d v dv v dv d v dv 1 G M 2 v2 C 1 1 2 v (Abschuss vo Pol) d G M 2 C 1 d 2 G M dv d v 1 2 v 2
3b) Energie. Wenn Arbeit W von außen geleistet wird: W = E gesamt = E pot + E kin + EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler
3b) Enegie (Fotsetzung) Eines de wichtigsten Natugesetze Die Gesamtenegie eines abgeschlossenen Systems ist ehalten, also zeitlich konstant. Enegie kann nu von eine Fom in eine andee vewandelt weden kann
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2012 Physik 12 Technik - Aufgabe II - Lösung
athphys-online Abschlusspüfung Beufliche Obeschule 0 Physik Technik - Aufgabe II - Lösung Teilaufgabe.0 Die Raustation ISS ist das zuzeit gößte künstliche Flugobjekt i Edobit. Ihe ittlee Flughöhe übe de
4.2 Allgemeine ebene Bewegung. Lösungen
4. Allgemeine ebene Bewegung Lösungen Aufgabe 1: a) Massentägheitsmoment: Fü das Massentägheitsmoment eine homogenen Kugel gilt: J= 5 m Zahlenwet: J= 5 8 kg 0,115 m =0,0405 kgm b) Gleitstecke: Schwepunktsatz:
Wichtige Begriffe dieser Vorlesung:
Wichtige Begiffe diese Volesung: Impuls Abeit, Enegie, kinetische Enegie Ehaltungssätze: - Impulsehaltung - Enegieehaltung Die Newtonschen Gundgesetze 1. Newtonsches Axiom (Tägheitspinzip) Ein Köpe, de
Abitupüfung Mthemtik Bden-Wüttembeg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgben Aufgbe : ( VP) Bilden Sie die este Ableitung de Funktion f mit f() ( ) e weit wie möglich. und veeinfchen Sie so Aufgbe : ( VP) Beechnen
Mit s = l ϕ bekommt man dann aus der Newtonschen Gleichung (Beschleunigung a hat entgegengesetzte Richtung wie die Auslenkung s):
S1 Matheatisches und physikaisches Pende Stoffgebiet: Versuchszie: Literatur: Schwingungen ageein, atheatisches Pende, physikaisches Pende, Steinerscher Satz Matheatische Behandung von Schwingungsvorgängen
Übungen: Extremwertaufgaben
Übungen: Extemwetufgben.0 Eine Stenwte ht meist die Fom eines Zylindes (Rdius, Höhe h) mit eine oben ufgesetzten Hlbkugel (siehe z. B. die im Bild unten gezeigte Fitz-Weiths-Stenwte in Neumkt). Die gesmte
6.Vorlesung 6. Vorlesung EP b) Energie (Fortsetzung): Energie- und Impulserhaltung c) Stöße 4. Starre Körper a) Drehmoment b) Schwerpunkt Versuche:
6. Volesung EP I) Mechanik. Kinematik. Dynamik 3. a) Abeit b) Enegie (Fotsetzung): Enegie- und Impulsehaltung c) Stöße 4. Stae Köpe a) Dehmoment b) Schwepunkt 6.Volesung Vesuche: Hüpfende Stahlkugel Veküztes
Blatt 9. Bewegung starrer Körper- Lösungsvorschlag
Fkultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhnov Übungen zu Klssischer Mechnik (T) im SoSe 0 Bltt 9. Bewegung strrer Körper- Lösungsvorschlg Aufgbe 9.. Trägheitstensor
Arbeit in Kraftfeldern
Abeit in Kaftfelden In einem Kaftfeld F ( ) ist F( )d die vom Feld bei Bewegung eines Köps entlang dem Weg geleistete Abeit. Achtung: Vozeichenwechsel bzgl. voheigen Beispielen Konsevative Kaftfelde Ein
1.2.2 Gravitationsgesetz
VAK 5.04.900, WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.. Gavitationsgesetz Heleitung aus Planetenbewegung Keplesche Gesetze 1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen. De von Sonne zum Planeten gezogene
ρ ε 1 d div r r r d d d r r d d Elektrizität und Magnetismus
ektizität und Magnetismus ektizität: Mit eektischen Ladungen und eektischen Stömen veknüpfte ffekte und Phänomene. Maxwe ekannte: ektische und magnetische scheinungen hängen zusammen. Theoie des ektomagnetismus:
0.6.4) Lineare Regression Wenn wir fliegen könnten und den Greifvögeln ähnlich
VAK 5.04.900, WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 0.6.4) Linee Regession Wenn wi fliegen könnten und den Geifvögeln ähnlich Msse m [kg] Spnnweite s [m] Bussd 1 1,3 Fischdle,0 1,6 S n ( y i 1
Zur Erinnerung. Winkelmaße: Radiant und Steradiant. Stichworte aus der 3. Vorlesung:
Zu inneung Stichwote aus de 3. Volesung: inkelaße: Radiant und Steadiant die (gleichföige) Keisbewegung als beschleunigte Bewegung (Richtungsändeung von v) Dastellung de kineatischen Gößen duch die inheitsvektoen
Versiera der Agnesi INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL. Text Nr Stand
Vesie de Agnesi Tet N. 5455 Stnd 5.. FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.de 5455 Vesie de Agnesi Vowot Die Vesie de Agnesi ist eine lgebische Kuve. Gdes, die mn uf eine
6. Vorlesung EP. EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler
6. Volesung EP I) Mechanik. Kinematik. Dynamik 3. a) Abeit b) Enegie (Fotsetzung) c) Stöße 4. Stae Köpe a) Dehmoment Vesuche: Hüpfende Stahlkugel Veküztes Pendel Impulsausbeitung in Kugelkette elastische
5. Gravitation Drehimpuls und Drehmoment. Mechanik Gravitation
Mechanik Gavitation 5. Gavitation 5.1. Dehipuls und Dehoent De Dehipuls titt bei Dehbewegungen an die Stelle des Ipulses. Wi betachten zunächst den Dehipuls eines Teilchens (späte weden wi den Dehipuls
Aufgabe 3.1. Aufgabe 3.2. Aufgabe 3.3. Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik. Technische Mechanik IV
ZÜ 3. Aufgabe 3. Ein Wagen Masse M) kann eibungsfei auf eine waagechten Bahn fahen. An eine Achse uch seinen Schwepunkt S que zu Fahtichtung hängt eibungsfei gelaget ein Massenpenel Masse, Länge l, Stab
Lösen einer Gleichung 3. Grades
Lösen eine Gleichung Gdes We sich uf dieses Abenteue einlssen will, bucht einige Kenntnisse übe komlee Zhlen Es eicht be, wenn mn folgende Schvehlte kennt und kochezettig (mn nehme) nwenden knn: Es gibt
Übungsaufgaben zum Thema Kreisbewegung Lösungen
Übungsaufgaben zum Thema Keisbewegung Lösungen 1. Ein Käfe (m = 1 g) otiet windgeschützt auf de Flügelspitze eine Windkaftanlage. Die Rotoen de Anlage haben einen Duchmesse von 30 m und benötigen fü eine
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I)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik
3. Volesung EP I) Mechanik 1.Kinematik Fotsetzung 2.Dynamik Anfang Vesuche: 1. Feie Fall im evakuieten Falloh 2.Funkenflug (zu Keisbewegung) 3. Affenschuss (Übelageung von Geschwindigkeiten) 4. Luftkissen
1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise
. Stegreifufgbe us der Physik Lösungshinweise Gruppe A Aufgbe Ds.Newtonsche Gesetz lässt sich zum Beispiel so formulieren: Wirkt uf einen Körper keine Krft (oder ist die Summe ller Kräfte null) so bleibt
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Elektronische Bandstruktur und elektrische Leitfähigkeit
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Aufgbe D1 H11 Nchdem seine Mschinen gestoppt werden, verringert ein Continerschiff seine nfängliche eschwindigkeit v 0 lleine durch Reibung im Wsser. Für die Beschleunigung soll ngenommen werden, dss diese
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11 Der Satz von Picard-Lindelöf
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{ } v = v r. v dv = G M. a dr = v dv. 1 2 v2 = G M + C 1. = 1 2 v 02 g R. e r. F (r) = G m M r 2. a = dv dt. = dv dr dr. dr v G M.
Otsabhängige Käfte Bsp.: Rakete im Gavitationsfeld (g nicht const.) F () = G m M 2 Nu -Komp. a = dv dt e v = v = dv d d dt a d = v dv v dv = G M 1 2 v2 = G M C 1 = 1 2 v 0 (späte meh) (Abschuss vom Pol)