Geometrische Abbildungen mit Matrizen

Transkript

1 Geomerishe Ailungen mi Mrien A Gegeen sei ein Punk P ; un eine, Ailungsmri A. Ereug wir er Bilpunk P ; miels er Mrimuliplikion + æ ö æ ö æ ö æ ö = = ç ç ç ç + è ø è ø è ø è ø w. in Zeilenvekorshreiweise [ ; ] = [ ; ] æ ö ç è ø = [ + ; + ] Rehenvorshrif siehe frlihe Vernshulihung : - Bei Muliplikion von A mi einem Splenvekor muss ieser um 9 um seinen Mielpunk gereh un nn üer ie Zeilen er Mri A geleg weren. Anshließen Sklrprouk usrehnen! - Bei Muliplikion eines Zeilenvekors mi A müssen ie Splen von A um 9 um ihren Mielpunk gereh un nn üer en Zeilenvekor er Mri A geleg weren. Anshließen Sklrprouk usrehnen! Beispiele für ie Splenvekormehoe: Hier wir ; geile uf ; -. Es hnel sih her um eine Spiegelung n er -Ahse! Es lieg hier eine Spiegelung n er -Ahse vor. Punkspiegelung m Ursprung Zenrishe Srekung mi k = un Z = ; Mi einem Zeilenvekor wir folgenermßen gerehne : [ ; ] = [ ; ] = [+ ; +] = [ ; ]

2 Komplees Beispiel : Ds Dreiek PQR mi P/, Q/, R/ soll urh ie jeweilige Mri A geile weren: A A A A,,,, Anmerkung: D wegen er Pl sprenen Simulnerehnung Zeilenvekoren verwene weren, seen wir hier gegenüer einer Rehnung mi Splenvekoren ie rnsponieren Ailungsmrien A T s A ein! Simulnerehnung uner Verwenung von Zeilenvekoren [ ; ]: Mri A Mri A Mri A Mri A - -,, - -, -, P - - -,- -+, Q , -,+ R , -,+ Die Fren eiehen sih uf folgene Ailungen : shwr ro Originlfigur PQR A -Ahsen-Spiegelung grün A Spiegelung n = viole A Drehung um ; mi helllu A Drehung um ; mi

3 Drehungen mi Mrien Drehungen um en Ursprung mi em Drehwinkel erhäl mn mi folgener Vorshrif : os os D ;; Beweis ieser Beiehung: Der Punk P wir um uf P gereh. Es gelen nn: = r os = r = r os+ = r + Mi en Aiionsheoremen folg nun: = r osos- = r os+os Se mn ie oigen Beiehungen für un ein, so folg: = os - un = + os Dies läss sih er in Mrishreiweise formulieren: os os q.e.. Allgemeine Drehungen um s Drehenrum M m ; m erhäl mn so : m m m m os os Hier wir lso uers s Drehenrum in en Ursprung vershoen, nn gereh un nshließen s Zenrum wieer urük vershoen. Beispiele: Es seien M = ;, = un ie Punke P/, Q;, R; gegeen Für P ergi sih 6,99,99 os os os Für Q ergi sih 8,9,9 os 6 6os os os Für R ergi sih 8,9,9 os 8 8os os os

4 Üersih üer einige Ailungsmrien: Vorusseung is jeweils: æ ö æ ö æ ö = ç ç ç è ø è ø è ø. Vorsih: Wir mi Zeilenvekoren gereie, so muss ie Ailungsmri æ ö ç è ø verwene weren! Spiegelung n er -Ahse Spiegelung n er -Ahse Punkspiegelung n ; Punkspiegelung n ; Spiegelung n = Spiegelung n = + Sherung in Rihung er -Ahse Sherung in Rihung er -Ahse Aile Srekung Sklierung in -Rihung w. -Rihung k k Zenrishe Srekung mi Srekenrum ; un Srekfkor k k k Zenrishe Srekung mi Srekenrum ; un Srekfkor k os os Drehung um s Drehenrum Z ; mi Drehwinkel æ ö ç - - è ø Sohsishe, - Mri mi,

5 Weiere Ailungseispiele: Sherung Fkor, gl. er -Ahse,, Die Höhe lei lso immer erhlen, er wir geile uf +,! Zenrishe Srekung S Z;k mi Zenrum Z; un Srekfkor k = Es weren lso eie Koorinen uf ihrer Größe verkleiner.

6 Ailungen von Relionen Eine Relion is urh un gegeen. Zumeis gil: [;]. Erse mn en Punk P/ urh eine Vielhl von Punken P = /, so knn mn ie Menge ller Orsvekoren : u iesen Punken ilen mihilfe er folgenen Vorshrif : Beispiel: Ailen es Kreises mi M/ un r = urh A =,8,,6,. Die oige Vorshrif liefer,,6 os,8, os os,8,,6, für [;]. Es enseh hier eine um en Ursprung gerehe Ellipse, ws mi einem CAS-Rehner leih üerprüf weren knn PARAMETRIC-Einsellung. Vergleihe uh mi er Aufge in en nshließenen Üungsufgen!

7 Üungsufgen u en Ailungen mi Mrien:,, Gegeen sei ie Ailungsmri A = sowie ein Dreiek PQR mi,, P/, Q/, R6/. Berehne miels Mrienmuliplikion mi Splenvekoren ie Koorinen es Bilreieks P Q R un eihne Originl un Bil in ein gemeinsmes Koorinenssem. Welhe geomerishe Ailung vermues u? Begrüne mi en Kennnissen us er Mielsufe. Durh welhe Mri B könne mn iese Ailung rükgängig mhen.h. us em Bil s Originl ereugen? Löse mi Ans un Rehnung! Ermile rehnerish ie Fipunke er Ailung. Welher Ans is u erforerlih?,,6 Gegeen sei ie Ailungsmri A = sowie ein Kreis mi r = m Mielpunk im,,8 Ursprung. Selle ie Prmeerform mi, für iesen Kreis uf un shreie ies ls Splenvekor so uf :. speielle Kreisprmeer hier einseen! Berehne en Bilvekor A un eihne Originl un Bil in ein Koorinenssem. Berehne A un eihne s Bil von A. Selle eine Vermuung rüer uf, wie sih s Bil veräner, wenn mn A n s A ls Ailungsmri verwene. Zeihne ie Ursprungsgere mi =, in ein KOS. Spiegele s Dreiek us Aufg. n ieser Geren. Welhe Ailungsmri könne mn für iese Spiegelung ngeen? Mi Rehnung Ermile rehnerish ie Fipunke. Löse ie Aufgensellungen uh mi er Spiegelhse = -. Eenso mi er Spiegelhse = - +. Vorsih: Bei nih urh en Ursprung verlufenen Geren.B.: = gil ie folgene Ailungsgleihung: A, woei er -Ahsenshni is!

8 Lösungen u en Aufgen: Zu P / Q / R / Es hnel sih um eine Drehung um O mi Drehwinkel. Begrünung: Die Mielsenkrehen er Verinungssreken PP gehen lle urh O. Also is O s Drehenrum. Nhmessen liefer einen Winkel von. Rükgängig mhen knn mn ie Ailung urh B = A I, weil us A folg: A I A I A = E = Ans: Für B gil :,, BA = E =,, Es ergi sih s LGS :, +, = -, +, = Lösung: =, =, = -, =,, +, =,, Also B = A I = -, +, =,, Fipunke ermieln: Ans: A =,,,, = Es ergi sih s LGS,,,,,,,, I, II, I, II,,,,, mi er leih u erkennenen Lösung = = Dher is / er einige Fipunk, ws ei einer Drehung um O nih verwuner!

9 os Zu Prmeerform:.,,6,,6 os os Mi A = erhäl mn für A :,,8,,8 os Sowohl ls uh knn mn mi Prmeri eim CAS-Rehner rsellen: Kreis un Ailung es Kreises mi A, A, A os Kreis mi M/ un r = Durh ie folgenen Ailungen weren Ellipsen ereug:, A =,,6,8 os os,8 A =,,,6, os,6, os,8,6 A =,8,,,8os,, os,6 Zuornung: shwr ro grün lu Originl Kreis. Ailung Ellipse. Ailung Ellipse. Ailung Ellipse Vermuung: Verwene mn A n ls Ailungsmri, so wir ie Ellipse noh särker gesuh un weier nh rehs gereh!

10 Zu Ermilung er Ailungsmri: Bei ieser Ailung gelen.b. / / un /- -/. Dies führ u folgenen Gleihungen: = un = Es folg s LGS : + = + = = - = Lösung es LGS: = / = / = / = -/ Also is A = Fipunke: Ans: =. Es folg nh Rehnung =, Ursprungsgere Für = - ergi sih folgenes: Ermilung er Ailungsmri: Bei ieser Ailung gelen.b. /- /- un / -/-. Dies führ u folgenen Gleihungen: = un = Es folg s LGS: - = - = - + = - + = - Lösung es LGS: = -/ = -/ = -/ = /, lso is A = Fipunke: Ans: =. Es folg nh Rehnung = - Ursprungsgere

11 Bei llgemeinen Geren is Vorsih geoen!!! Hier gil ie Ailungsgleihung A nih! S essen muss unähs eine Vershieung er Geren in en Ursprung vorgenommen weren. Dnn wir gespiegel mi er Mri A, nshließen wieer urük vershoen. Es genüg ei, eine -Ahsenvershieung um vorunehmen. Die Ailungsgleihung lue folgenermßen : w. vereinfh : Für s Beispiel = gil emnh : Anhn er grfishen Drsellung knn mn Ailungseispiele erhen,.b.: / -/ un /- -/-. Die Mri-Vekorrsellungen nn : sowie Ds LGS is - = + - = + - = - = Lösung: = -,8 = -,6 = -,6 =,8 Die Ailungsgleihung für ie Ahsenspiegelung n = lue lso: Für ie Fipunke eeue s : Umgeform: D ie Gleihungen äquivlen, ergi sih ls Lösung für ie Fipunke ie Ahse mi =!

12 Erweierungshem: Aonomerishe Ailung es Rumes uf ie Zeiheneene Diese Ailung wir.b. ei Compuergrfiken verwene, um D-Geile uf em D-Bilshirm rusellen. Gegeen ein D-KOS mi Ursprung U = UD.B. Compuerilshirm sowie ein D-Ursprung O = UD in iesem D-KOS. Jeer uilene Punk P;; es Rumes läss sih nn urh eine Trnsformions-vorshrif uf en D-Bilshirm ringen. Der geilee Punk Bilpunk sei P. Beispiel: Wir verwenen einen vereinfhen 6 ml Compuerilshirm un legen fes: U = UD = ; D-Ursprung m linken uneren Rn es Bilshirms Anmerkung: Die ompuerinerne Regelung mi em Ursprung links oen leie unähs ußen vor. O = UD = ; D-Ursprung in er Mie es Bilshirms A = is eine möglihe Ailungsmri, nvoll gewähl Die Ailungsvorshrif is nn: UP e e OP e w. Die Splen er Mri A nn ie Bsisvekoren Einheisvekoren es D-Ssems s.grfik!. Die folgene Grfik eig, wie ein Punk A-/-/ in em oen efinieren Ssem geile wir. Außerem ie Einheisvekoren sowie ie Einheien uf en D-Ahsen u erkennen. Die eien Einheisvekoren e un e sollen shräg nh hinen in ie Bleene hineingehen!

13 Aufgen: Für lle Aufgeneile von gele ie Ailungsgleihung Zeihne in ie oige Grfik folgene D-Punke ein: B//- C// D//- E// F//- G//-. Ws fäll uf? Konrolliere uh urh Ausrehnen er Koorinen nhn er Ailungsvorshrif. Nimm n, ss er Compuerilshirm elieig viele Piels = Piure elemens h un erehne uf er Grunlge er oen ngegeenen Ailungsgleihung iejenigen D-Punke, ie sih us folgenen D-Punken ergeen: P// Q8/-/ R-/-/- S/-/- Ws pssier mi rionlen D-Koorinen Kommhlen? Unersuhe, welhe D-Punke uf em D-Punk / liegen. Zeihne ein D-Ssem un innerhl essen s D-Ssem für folgene Vorshrif: UP OP Es soll hier nih nowenigerweise ein Bilshirm ls D-Ssem verwene weren, sonern ein ülihes Koorinenssem mi Qurnen. Die Größe ieses Ssems soll so gewähl weren, ss sowohl ie Einheisvekoren ls uh s gesme D-Ssem üersihlih ersheinen. Auf einem Compuerilshirm 8 ml 6 Piels soll s ülihe D-Ssem geile weren: -Ahse nh oen, -Ahse nh rehs, -Ahse nh vorne, links im -Winkel. Ursprung genu in er Bilshirmmie. Die -Ahse soll uf 8 Pieln genu 6 Einheien erhlen, lso Piels pro -Einhei. Die -Ahse soll ie gleihe Eineilung ekommen wie ie -Ahse. Auf er -Ahse soll ie Eineilung s / - fhe er -Eineilung sein. Lege eine Zeihnung n un ermile ie Ailungsvorshrif in Mrishreiweise.

14 Lösungen un Lösungshinweise Zu. Es fäll uf, ss F un G uf em Compuerilshirm usmmenfllen. Zu. P// P -/ Q8/-/ Q /6 R-/-/- R /-8 S/-/- S /-9 Bei rionlen D-Koorinen müssen ie Piel-Koorinen in er Regel gerune weren! Ans UP. Umformung liefer:. Lös mn s LGS, so erhäl mn: Dher gi es für s Prolem unenlih viele Lösungen.B. : Für = : P/-/ Für = : P//- Für = : P//- usw. Die Punke liegen her uf er Geren mi er Gleihung k

15 Zu. In er Grfik wure fesgeleg: [-6 ; 6 ] [-8 ; 8 ] [-6 ; 6 ] Der -Bereih könne sogr noh eulih vergrößer weren, ew [-9 ; 9]. Mn erkenn, ss ie Einheisvekoren iese ienish mi en Splenvekoren er Mri A folgenermßen eshrieen weren können : e e e Somi is ie Ailungsmri A = Die Ailungsvorshrif läss sih nun leih ufshreien : Dmi lssen sih lle Trnsformionen usführen! Beispiele: // / /6/ / // / // / /,/-, /