1 Lineare Paneldatenmodelle

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1 Lneare Paneldatenmodelle. Quellen und Arten von Paneldaten.. Haushaltspanels In der Bundesrepublk gbt es nzwschen ene Rehe bedeutender Paneldatensätze, von denen das Sozo-ökonomsche Panel prvater Haushalte (SOEP) der bekannteste st. Im SOEP werden nsbesondere de Lebensbedngungen, d.h. de Erwerbs- und Enkommensstuaton, m Längsschntt erfaßt. Enmal m Jahr werden deselben Haushalteund Haushaltsmtgleder befragt. Haushalte werden neu n das SOEP aufgenommen, wenn bestehende Haushaltsmtgleder den Haushalt wechseln oder enen neuen Haushalt gründen. as SOEP st 984 m Rahmen des Sonderforschungsberechs 3 Mkroanalytsche Grundlagen der Gesellschaftspoltk der Unverstäten Frankfurt und Mannhem entstanden und wrd nzwschen am eutschen Insttut für Wrtschaftsforschung (IW) n Berln m Rahmen ener egenständgen Projektgruppe wetergeführt. e Befragung selbst wrd von nfratest Sozalforschung n München durchgeführt. Set 990 st das SOEP auf das Gebet der neuen Bundesländer erwetert. as SOEP-West begann 984 mt.90 Personen n 5.9 Haushalten. 998 waren es noch 8.45 Personen n Haushalten. as SOEP-Ost startete 990 mt Personen n.79 Haushalten und führt nun Personen n.86 Haushalten Im W Rahmen des SOEP snd also für enen Querschntt von ca. = bzw. W =.700 Personen über enen Zetraum = 5 bzw. = 9 Wellen Beobachtungen verfügbar. ypscherwese st n Paneldaten also de Querschnttsdmenson relatv groß und de Zetdmenson relatv klen. e anonymserten Mkrodatensätzen werden wssenschaftlchen Forschungsenrchtungen gegen Abschluß enes utzungsvertrages und ene gernge utzungsgebühr m SPSS-, SAA-, SAS-, A- und ASCII-Format zur Verfügung gestellt. Über 400 Forschergruppen m In- und Ausland nutzen bsher das SOEP. e wesentlchen Informatonen snd auch drekt auf der SOEP-Homepage unter erhältlch.

2 .. Unternehmens- und Betrebspanels Andere als Panel konzperte Erhebungen bezehen sch auf de Befragung von Unternehmen bzw. Betreben als el von Unternehmen. Obwohl Unternehmensbefragungen n eutschland nsbesondere ank des fo Insttuts für Wrtschaftsforschung n München ene lange radton haben (vgl. Oppenländer und Poser, 989), snd se zu wssenschaftlchen Zwecken wetaus wenger genutzt worden als das SOEP. as fo führt m wesentlchen dre als Panel konzperte Unternehmensbefragungen durch: set 949 den fo-konjunkturtest (vgl. Lndlbauer, 989), set 955 den fo- Investtonstest (vgl. eumann, 989) und set 979 den fo-innovatonstest (vgl. Scholz, 989). Am Investtonstest nehmen durchschnttlch ca Unternehmen tel. e Erhebung des Konjunktur- und des Innovatonstests erfolgt auf der Ebene von Produktgruppen bzw. Geschäftsberechen von Unternehmen. Am Konjunkturtest partzperen ca und am Innovatonstest ca..600 so defnerte Enheten. An der Unverstät Konstanz st aus den 3 getrennten Unternehmensbefragungen das fo- Unternehmenspanel entstanden (vgl. Schneewes und Smolny, 996), n dem für knapp.000 Unternehmen Beobachtungen von 980 bs 99 vorlegen. as fo- Unternehmenspanel st bsher ncht öffentlch zugänglch. e aten des fo- Konjunkturtests snd n Enzelfällen zu wssenschaftlchen Zwecken an unverstäre Forschungsenrchtungen wetergegeben worden. Über umfangreche Unternehmensdatensätze verfügt auch das Zentrum für Europäsche Wrtschaftsforschung (ZEW) n Mannhem. Zu nennen snd nsbesondere das Mannhemer Innovatonspanel und das ZEW-Gründungspanel. Im Rahmen des Mannhemer Innovatonspanel (MIP) werden set 993 m Verarbetenden Gewerbe und set 995 auch m enstlestungssektor Unternehmen zu hren Innovatonsaktvtäten befragt (vgl. Harhoff und Lcht, 993; Lcht et al., 997 sowe Janz und Lcht, 999). An beden Erhebungen nehmen jewels knapp.500 Unternehmen tel. e anonymserten Mkrodaten werden wssenschaftlchen Forschungsenrchtungen gegen Abschluß enes atennutzungsvertrages kostenlos zu wssenschaftlchen Zwecken zur Verfügung gestellt (Kontakt: Sandra Gottschalk, Emal: gottschalk@zew.de). arüber hnaus besteht de Möglchket, am ZEW mt den ncht anonymserten Orgnaldaten zu arbeten. Etwa 30 Forschergruppen m In- und Ausland nutzen bsher das MIP. as ZEW-Gründungspanel

3 st n Zusammenarbet mt der Kredtauskunfte CREIREFORM entstanden und enthält de wesentlchen Strukturgrößen aller set 990 n eutschland neu gegründeten Unternehmen (vgl. Harhoff und Stel, 997). as Gründungspanel-West enthält Informatonen zu ungefähr,6 Mllonen Unternehmen. as Gründungspanel-Ost umfaßt ca Unternehmen und entsprcht dem Bestand aller set der Wederverengung jemals n Ostdeutschland exsterenden Unternehmen, sofern se von CREIREFORM recherchert worden snd. Ene anonymserte Verson des ZEW-Gründungspanels st n Planung. Am Insttut für Arbetsmarkt- und Berufsforschung (IAB) der Bundesanstalt für Arbet n ürnberg st n jüngster Zet das IAB-Betrebspanel entstanden (vgl. Bellmann, 997). as IAB-Betrebspanel hat als Grundgesamthet alle Betrebe mt mndestens enem sozalverscherungspflchtgen Beschäftgten und enthelt n der ersten Welle 993 knapp Betrebe aus dem Westen eutschlands. Set der 4. Welle m Jahr 996 snd zusätzlch ostdeutsche Betrebe enthalten. Momentan wrd am IAB an enem anonymserten publc use fle gearbetet, der kürzlch zu estzwecken m SPSS-Format an verscheden Wssenschaftler versandt worden st. Für Auswertungen des IAB-Panels st ene sogenannte Schalterstelle (Kontakt: r. Arnd Köllng, Emal: arnd.koellng@ab.de) engerchtet worden, an de Programme n SPSS, SAA, SP oder GAUSS geschckt werden können, de vorher mt dem publc use fle getestet worden snd. Weter zu nennen st das eher sozalwssenschaftlch-technsch orenterte IFA-Panel (IFA = eue Informatonstechnologen und flexble Arbetssysteme) an der Ruhr- Unverstät Bochum, n dem von 99 bs 997 durchschnttlch.500 klenere und mttlere Maschnenbaubetrebe zur Entwcklung von Produktonstechnologen befragt werden (vgl. Wdmaer und Hauptmann, 997). Auch das IFA-Panel wrd n anonymserter Form gegen Abschluß enes utzungsvertrages an externe Wssenschaftler wetergegeben. er Überlassungsvertrag kann drekt über das Internet beantragt werden ( In der Regel verbetet es sch für enen enzelnen Forscher aus Geldmangel, solche aufwendgen atenerhebungen über längere Zet selbst durchzuführen. e Verfügbarket deser aten hat aber n den letzten Jahren de Bedeutung der Panelmodelle deutlch 3

4 erhöht. Zudem lassen sch aus bestehenden Blanz- bzw. Jahresabschlußdatenbanken Paneldatensätze konstrueren. Über de bedeutendste Jahresabschlußdatenbank verfügt zwefelsohne de eutsche Bundesbank n Frankfurt. e Bundesbank verfügt über de Jahresabschlüsse von allen Unternehmen, de jemals enen Wechsel zum Redskont engerecht haben (vgl. Frderchs und Sauvé, 999). Verwertbar snd de Jahresabschlüsse von jährlch etwa Unternehmen. An ener möglchen wssenschaftlchen utzung wrd momentan gearbetet. Weter zu nennen st de m Rahmen der eutschen Fnanzdatenbank entstandene Jahresabschlußdatenbank Aachen (vgl. Bühler et. al., 993), de n Enzelfällen und nur n Auszügen für wssenschaftlche Zwecke zur Verfügung gestellt worden st...3 Wetere Paneldatensätze Gegenstand von Panelanalysen können aber auch Regonaldaten sen, de sowohl ene Analyse der Entwcklung verschedener Regonen der Bundesrepublk als auch ene Analyse über verschedene Staaten hnweg ermöglchen. Man kann zum Bespel de volkswrtschaftlche Gesamtrechnung der wchtgsten Europäschen Länder als en Panel verstehen, be dem allerdngs de Anzahl der Länder eher gerng und de Anzahl der Beobachtungszetpunkte, zumndest be verteljährlchen Beobachtungen, relatv groß st. es wäre en Gegenbespel zur obgen Aussage über de relatve Größe von und.. as enfache lneare Modell In den folgenden Abschntten werden Schätzverfahren für lneare Paneldatenmodelle dskutert. Inzwschen behandeln auch ene Rehe von Lehrbücher und Monographen Schätzverfahren für Paneldatenmodelle. Als erstes zu nennen snd de Monographe von Hsao (986) und das etwas neuere Lehrbuch von Baltag (995). er aktuelle Stunde der Wssenschaft st am umfassendsten m Sammelband von Mátyás und Sevestre (996) dokumentert. Ene Enführung beten aber de mesten neueren Lehrbücher zur Ökonometre we bespelswese Greene (993) n Kaptel 4. Paneldaten snd wederholte Beobachtungen dentscher statstscher Enheten we Unternehmen, Haushalte oder Personen über de Zet. Mt y t bezechnen wr de ab- 4

5 hängge Varable und mt k X t de k-te unabhängge Varable der Enhet zum Zetpunkt t mt =,,, t =,, und k =,, K. e skusson der Methoden bezeht sch zunächst auf balancerte Panel, d.h. für jedes Indvduum legt de gleche Anzahl von Beobachtungen über den glechen Zetraum vor, so daß de Gesamtzahl der Beobachtungen st. Wenn = und > st, haben wr de üblchen Zetrehendaten. Alternatv haben wr für = und > enen Querschntt. Paneldatenmethoden behandeln daher den Fall > und >. In der Regel wrd angenommen, daß groß st während relatv klen st. e asymptotsche heore wrd daher über de beobachteten Indvduen gehen und wrd als endlch und gegeben betrachten. Wr können dese aten für jedes Indvduum we folgt n Vektorund Matrxform darstellen: (.) y y X X X ε K y X X X ε K K y X X X ; X ε = = ; ε = =,,, εt snd de Störgrößen des Modells. Wenn wr de enzelnen Vektoren und Matrzen der Indvduen wederum n Vektoren gemäß Glechung (.) zusammenfassen, (.) y X ε y X ε y= ; X = ; ε = y X ε so läßt sch das Panelmodell n der üblchen Wese als lneares Regressonsmodell mt K Regressoren gemäß (.3) darstellen: (.3) y = Xβ + ε mt β = ( β, βk ). Für den Fall zweer Indvduen läßt sch deses Modell we n (.4) schreben: 5

6 (.4) K y X X ε β K y X X ε β = +. K y X X ε β K K y X X ε Man erkennt her den entschedenden Untersched zu den n Ökonometre II behandelten Modell mt schenbar unkorrelerten Glechungen (SURE), nämlch de Annahme glecher Koeffzenten für alle Indvduen. Im Verglech dazu lautete das SUR-Modell we folgt: (.5) y X 0 β ε y = + 0 X β ε bzw. K y X X 0 0 ε β K y X X 0 0 ε β K = + β K y 0 0 X X ε β K K y 0 0 X X ε Im Rahmen des enfachen lneare Paneldatenmodells geht es zunächst um ene Schätzung des Modells (.3). abe werden nsbesondere unterschedlche Annahmen bzgl. der Parameter getroffen. Wr unterscheden Modelle mt glechen Parametern für alle Indvduen und Modelle, und Modelle deren Parameter über de Zet oder über Indvduen vareren. e enfachste Methode der Schätzung von Glechung (.3) gnorert den Panelcharakter der aten vollständg und schätzt (.3) gepoolt nach der Klenstquadratmethode: (.6) β = ( X X) X y em legt de Annahme zu Grunde, daß de Störgrößen unabhängg und dentsch vertelt snd mt Mttelwert 0 und konstanter Varanz σ für alle Indvduen und Zetpunkte t. as heßt, es besteht weder ene zetlche Korrelaton noch ene Korrelaton über 6

7 Indvduen und de Störgrößen snd sowohl über de Zet als auch über de Indvduen homoskedastsch..3 as lneare Modell mt festen ndvduellen Effekten as allgemene lneare Panelmodell mt ndvduellen Effekten lautet: (.7) yt = Xtβ + Zδ + ε t mt ε = α + η t t mt X t als Matrx erklärender Varablen, de sowohl über de Indvduen als auch über de Zet vareren und Z als Matrx erklärender Varablen, de ausschleßlch über de Indvduen vareren, aber über de Zet konstant snd, we bespelswese das Geschlecht oder de Größe ener Person oder der Wrtschaftszweg enes Unternehmens. e Störgrößen bestehen nun aus zwe Komponenten: ener allgemenen Komponente ηt und ener ndvduellen Komponente α, de ebenfalls über de Zet konstant st. e Annahmen bzgl. deser Störgrößen lauten: (.8) σ für = jt, = s η E[ ηt] = 0 E ηη t js = 0 sonst σα für = j E[ α] = 0 E αα j = 0 sonst [ αη ] E t = 0 E xtη js = 0 abe st es durchaus zulässg, daß de Indvdualeffekte α mt den unabhänggen Varablen X t korreleren, d.h. m allgemenen glt: t (.9) E( X α ) 0. Wr wollen zunächst annehmen, daß n Modell (.7) δ = 0 st, d.h. ndvduelle Effekte nur n der Störgröße α enthalten snd. Im enfachsten Fall des Modells werden de Indvdualeffekte α als über de Zet für jedes Indvduum konstant angesehen. Se snd also kene Zufallsvarablen. e Annahme des Modells lautet, daß zwe Beobachtungen des glechen Indvduums zu verschedenen Zetpunkten enander ähnlcher snd als zwe Beobachtungen unterschedlcher Indvduen zum glechen Zetpunkt. e Indvdualeffekte werden dann als feste Effekte (fxed effects) modellert (vgl. Hsao, 986, Kaptel 7

8 3.). Wr schreben deses Modell mt Hlfe der 0,-Varablen t als Spalten ener Matrx. ese -Matrx hat n der Spalte für das jewels -te Indvduum den Wert und für alle anderen Indvduen den Wert 0. (.0) = as lneare Modell mt festen Effekten lautet dann (.) y = Xβ + α + η. er Klenstquadratschätzer der Koeffzenten (ohne konstantes Gled) β der Glechung (.) läßt sch als KQ-Schätzer des transformerten Modells (.) M y = M Xβ + η darstellen, d.h. ˆβ (.3) = [( M X ) ( M X )] ( M X) ( M y) mt M = I ( ) W M st ene (dempotente) Projektonsmatrx, de alle Beobachtungen um den ndvduellen Mttelwert über de Zet berengt. Man bezechnet desen Schätzer auch als Wthn-Schätzer. Für gegebenen Schätzer β w lassen sch dann de Indvdualeffekte we üblch als α = y X β schätzen, wobe y und w Beobachtungen des Indvduums snd. X arthmetsche Mttel über de Glechung (.3) ergbt sch auf Grund des Frsch-Waugh-heorems (vgl. avdson und MacKnnon, 993, Kaptel.4) als zwestufger Schätzer, nämlch zunächst werden de Varablen y und X auf de ummy-varablen regressert: 8

9 (.4) y = b ˆ + yˆ und X = Bˆ + Xˆ. In enem zweten Schrtt werden de Resduen deser beden Glechungen, de her mt yˆ und Xˆ bezechnet snd, aufenander regressert: (.5) y = X β + ε. *Bewes: Man erhält deses Ergebns we folgt aus dem Frsch-Waugh-heorem: Zunächst werden de ormalglechungen für α durch Multplkaton von (.) mt gebldet (.6) y = Xβ + α + ε. = 0 anach wrd der Schätzer von α aus desen Glechungen ( ) y ( ) Xβ αˆ = n das Modell (.) engesetzt. Es ergbt sch dann: (.7) y ( ) y = Xβ ( ) Xβ + ε mt yˆ y ( ) = y = I ( ) y = I I I ιι y I I y = ιι, wobe ι en Ens-Vektor der Länge st, d.h. ι = (,,,). Glechung (.6) entsprcht enem lneare Modell mt Varablen, de n Abwechung von dem ndvduellen Mttel gemessen snd: (.8) yt y. = ( X t X. ) β + η Es st offenschtlch, daß de Parameter Ende des Beweses α nur für sehr großes ( ) konsstent geschätzt werden können. Geht man hngegen von enem gegebenen klenen und großer Anzahl der Indvduen ( ) aus, so nmmt mt auch de Anzahl der Parameter α zu. Snd de stochastschen Fehler η t ncht mt den unabhänggen Varablen 9

10 t t t X korrelert, d.h. glt E( X η ) = 0, so snd de Schätzer für β we m klassschen Regressonsmodell unverzerrte und beste lneare Schätzer (BLUE)..4 as lneare Modell mt zufällgen ndvduellen Effekten as lneare Modell mt zufällgen Effekten (Random-Effects-Model) der Glechungen (.9) und (.0) (.9) y = X β + ε t t t (.0) εt = α + ηt unterstellt m Gegensatz zum Modell mt festen Effekte, daß de Indvdualeffekte α zwar stochastsch, jedoch mt den erklärenden Varablen X t unkorrelert snd, d.h. es glt: t (.) E( X α ) = 0 e beden Zufallsvarablen α und η t genügen außerdem den berets oben n (.8) aufgezählten Bedngungen. Zusätzlch nmmt man häufg de ormalvertelung der beden Störgrößen an: (.) α σ η σ ~ V(0, α) und ~ V(0, η I) e Glechungen (.8) und (.) mplzeren, daß de Indvdualeffekte α ene konstante Vertelung über de Indvduen mt Mttelwert 0 und Varanz σ α bestzen und daß dese stochastschen α weder mt den allgemenen Modellfehlern η t noch mt den erklärenden Varablen X t korreleren. e Modellfehler η snd, we gewohnt, weßes Rauschen. Aus desen beden Annahmen läßt sch de Kovaranz-Matrx Σ der Fehler ε gemäß Glechung (.3) ermtteln η α α α σα ση σα σα E εε σηi σιι + = = + α = (.3) [ ] σ + σ σ σ σ σ σ + σ α α η α. 0

11 abe st ι weder en -dmensonaler Ens-Vektor, d.h. ι = (,, ). In Matrxschrebwese läßt sch das Modell (.3) als (.4) y = Xβ + ε mt Kovaranzstruktur gemäß (.5) schreben: Ω = E εε = I = (.5) [ ] abe st = E[ ] ε ε de -Matrx der Glechung (.3). Man erkennt an (.5) de blockdagonale Struktur von Ω, de es erlechtert de Inverse Ω = I zu berechnen. ach engen Umformungen fndet man für de Cholesky-Zerlegung von Σ, d.h. für Σ de Glechung: (.6) / θ = I ιι σ η mt θ = σ ση α + ση In (.6) st der Parameter θ, der de Antele von σ η an der Streuung der ndvduellen und allgemenen Fehler angbt, zu bestmmen. Für gegebene Schätzer von θ erhalten wr mttels der verallgemenerten Klenstquadratmethode ene effzente Schätzung des Random-Effekt-Modells: (.7) β = ( X Ω X) X Ω y bzw. de Klenstquadrateschätzung des mt transformerten Modells : (.8) y X β ε = + Ene andere arstellung geht auf Wansbeek und Kapteyn (98, 983) zurück. abe wrd Ω we folgt zerlegt (vgl. Baltag, 995): (.9) Ω= ( σα + ση) I ιι' + ση I I ιι ' = σ P + σ M mt σ = σ + σ η α η

12 ( ) M = I bezechnet de berets oben engeführte Projektonsmatrx, de um de ndvduellen Mttelwerte über de Zet berengt, und ( ) P = I M =, de dazu orthogonale Projektonsmatrx, de de ndvduellen Mttelwerte erzeugt. araus folgt wegen der Idempotenz von P und z.b. P P = P ): Ω = P + M σ bzw. / Ω = P + M. σ σ η σ η M (d.h. er verallgemenerte KQ-Schätzer ergbt sch durch ransformaton des Modells mt σ Ω = M + ( σ / σ ) P η / η und anschleßender KQ-Schätzung (Fuller and Battese, / 973). es läuft auf folgende atentransformaton hnaus: y* = σ η Ω y enthält de Elemente y t ( θ ) y. Ene alternatve arstellung (Baltag, 995) geht von den folgenden alternatven ransformatonen des Modells aus, de als ene Glechung zusammengefaßt werden: (.30) M y M X M = Py + PX ε β Pε mt P = I ιι ιι = P ιι und ι als -dmensonalem Ensvektor. e transformerte Störgröße hat Mttelwert null und Kovaranzmatrx Ω = σ η M 0 0. σ P er verallgemenerte KQ-Schätzer läßt sch dann als (.3) βˆ = σ η X M X + σ X PX ση X M y + σ X Py bzw. als gewogener urchschntt des Wthn- und des Between-Schätzers schreben: ˆ = XM ˆ ˆ X + XPX XM X w + XM X + XPX XPX B (.3) ( ) ( ) β θ β θ β abe st das Streuungsverhältns θ = σ / σ. er GLS-Schätzer enthält für θ = 0 den η Wthn-Schätzer und für θ den Between-Schätzer als Spezalfall. er Wthn- Schätzer berengt um de ndvduellen Mttelwerte, d.h. berückschtgt wrd nur de Var-

13 aton nnerhalb enes Indvduums über de Zet, ncht aber de Varaton zwschen den Indvduen. er Between-Schätzer hngegen basert nur auf der Varaton der ndvduellen Mttelwerte zwschen den Indvduen. Wr betrachten m folgenden zunächst den Schätzer des über alle Peroden t gemttelten Modells der Glechung (.9): (.33) y. = X. β mt y. = y und X. = X t t t= t= In Matrxschrebwese können wr dese Mttlung mt Hlfe der oben bem Fxed-Effekt- Modell defnerten ummy-varablen-matrx we folgt schreben: (.34) Py PX P P I ιι = + ε mt = ( ) = a P dempotent st, d.h. es glt P P = P, st der Klenstquadratschätzer deser Glechung (.34) der Between-Schätzer: (.35) βˆ = ( XPX ) XPy B Man erkennt an der Struktur des Between-Schätzers, daß es sch um enen zwestufgen Klenstquadratschätzer mt den ummy-varablen für de Indvduen als Instrumentvarablen handelt. Für großes st deser Schätzer relatv robust gegenüber Meßfehlern n den X - Varablen, solange für de Instrumentvarablen de Orthogonaltätsbedngungen erfüllt snd. Während der Between-Schätzer deses über alle Peroden gemttelte Modell schätzt, schätzt der Wthn-Schätzer des Fxed-Effekt-Modells gerade das Modell der Abwechung der enzelnen Beobachtungen von desen Mttelwerten. Insofern vernachlässgt der Between-Schätzer gerade de Informaton der aten, de der Wthn-Schätzer benutzt. es kommt formal n den ransformatonsmatrzen P und M zum Ausdruck, denn es glt M + P = I. er KQ-Schätzer (.6) läßt sch ebenfalls als gewogene Summe des Between- und des Wthn-Schätzers darstellen: (.36) βˆ ( ) = XX Xy = + ( XX) ( XM y XPy ) = ( XX ) XM X βˆ + ( XX ) XPX βˆ w B 3

14 mt βˆ w = ( X M X ) X M y und βˆ B = ( X P X ) X P y eser Schätzer wrd n der Paneldatenökonometre als gepoolter Klenstquadratschätzer bezechnet. as Problem deses gepoolten Klenstquadratschätzers st, daß alle Beobachtungen das gleche Gewcht erhalten. eses Verfahren st ncht generell optmal, wel ene zusätzlche Beobachtung für ene Person, de berets n der Stchprobe enthalten st, vermutlch wenger Informaton hnzufügt als ene zusätzlche Person. Um enen optmalen Schätzer m Snne des Atken-Schätzers zu erhalten, muß man daher de unterschedlche Gewchtung (Heteroskedaste) der Beobachtungen gemäß der verallgemenerten Klenstquadrateschätzung berückschtgen. Bezechnen wr mt û w de Resduen der Wthn-Schätzung und mt û B de Resduen der Between-Schätzung, so ergeben sch folgende (neffzenten) Schätzer für de Resduen- Varanzen σ η und, de für de zwestufge verallgemenerte KQ-Schätzung benötgt σ B werden (vgl. Hsao, 986): (.37) uu ˆ ˆ = K w w σˆ η und û û σ B B σˆ B = sowe σ σ η α = B K Hnwes: In der Schätzung der Resduen-Varanz σ η wrd berückschtgt, daß de Anzahl der geschätzten Parameter ncht nur de Anzahl der Spalten n der Matrx der erklärenden Varablen X st, sondern daß ebenfalls de Indvdualeffekte als feste Parameter geschätzt wurden. as Programm ener Klenstquadrateschätzung west demgegenüber enen Schätzfehler aus, der de Schätzung der Indvdualeffekte n der Berechnung der Frehetsgrade ncht berückschtgt we n folgender Formel u u K w w σ computer = Man muß daher um de korrekte Anzahl der Frehetsgrade zu berückschtgen, de folgende ransformaton verwenden: σ K σ K η = computer Mt Hlfe der dre Schätzungen der Resduen-Varanzen gemäß (.37) kann θ gemäß Glechung (.6) geschätzt und dann de verallgemenerte Klenstquadrateschätzung durchgeführt werden. 4

15 Ende des Hnweses. ese verallgemenerte Klenstquadrateschätzung läuft darauf hnaus, daß man de Beobachtungen von y t und X t jewels mt dem Gewcht θ mal Mttelwert der Varablen für das jewelge Indvduum transformert gemäß den Glechungen (.38) ~ y = y y + θ y t t.. (.39) ~ X = X X + θ X. t t.. as so transformerte Modell kann mt Hlfe der Klenstquadratmethode geschätzt werden. Wetere Schätzverfahren für Modelle mt zufällgen Effekten fndet man n Hsao (986), Kaptel as allgemene Modell mt festen Effekten Wr betrachten nochmals das Modell (.7), n dem neben dem ndvduellen Effekt α andere ndvduelle Effekte Regressoren n Glechung (.7) Wt [ Xt Z ] (.40) E[ W t t ] ε 0 Z δ auftreten. Bezechnen wr mt W t de Matrx der =, so wrd de Annahme getroffen. Insbesondere wrd angenommen, daß de ndvduellen unabhänggen Varablen Z mt α korreleren. e Verletzung deser Orthogonaltätsbedngung hat wchtge Konsequenzen. Hätten wr nur ene Beobachtungsperode, daß heßt ene Querschnttsregresson gemäß Glechung (.4) y = X β + Z δ + ε, so folgt aus der Annahme(.40), daß de Klenstquadrateschätzung verzerrt st. e Höhe der Verzerrung hängt m wesentlchen davon ab, we hoch de α mt den Regresssoren W t gemäß Glechung (.4) korreleren (.4) α = W π + error. Man kann zegen, daß der Probablty-Lmt der Koeffzenten β um den entsprechenden Koeffzenten des Vektors π verzerrt st d.h. 5

16 (.43) plm β ˆ = β + π Man kann dese Korrelaton der Resduen mt den erklärenden Varablen dadurch elmneren, daß man erste fferenzen für alle Varablen bldet: (.44) y y = ( X X ) β + ( Z Z ) δ + ( ε ε ) y = Xβ + Zδ + ε urch dese zetlchen fferenzen entfallen de ndvduellen Effekte Z und α, so daß das Modell der Glechung (.45) glt: (.45) y = Xβ + η Für dese Glechung snd de Orthogonaltätsbedngungen der Klenstquadratmethode gemäß Glechung (.46) (.46) E [ X η] = 0 erfüllt..6 Feste versus zufällge Effekte Zu ähnlchen Resultaten kommt man, wenn man m allgemene Random-Effekt-Modell ene Korrelaton der erklärenden Varablen mt den ndvduellen Effekten zuläßt, d.h. wenn de Annahme (.47) E( X α ) 0 t glt. Mundlak (978) hat gezegt, daß n desem Fall der Random-Effekt-Schätzer nkonsstent wrd, während der Fxed-Effekt-Schätzer weterhn sene Konsstenz behält. aher wrd n der neueren Paneldatenlteratur ene Modell mt zufällgen Effekten und Korrelaton zwschen den Effekte und den erklärenden Varablen gemäß Glechung (.47) auch als Modell mt fxen Effekten bezechnet. er wesentlche Untersched zwschen dem Fxed- und dem Random-Effekt-Modell ergbt sch daher aus den unterschedlchen Annahmen bzgl. der Korrelaton zwschen den zetnvaranten Indvdualeffekten und den Resduen bzw. den erklärenden Varablen und den Indvdualeffekten. Wenn man davon ausgeht, daß das Random-Effekt-Modell rchtg st, so wrd der Fxed-Effekt-Schätzer für de Parameter der zetvarablen Regresso- 6

17 ren trotzdem konsstente Schätzer lefern. Insofern schent es, als ob der Fxed-Effekt- Schätzer vorzuzehen se. Vele emprsche Forscher fnden de Fxed-Effekt-Schätzer überzeugender als de Random-Effekt-Schätzer. ese fferenz schent de Konsequenz der vernünftgen Überzeugung zu sen, daß es unwahrschenlch st, daß de Indvdualeffekte ncht mt den Regressoren X t korreleren. Während vermutlch de Random-Effekt-Schätzer postv verzerrt snd, gbt es gewsse Argumente dafür, daß de Fxed-Effekt-Schätzer negatv verzerrt snd. es ergbt sch nsbesondere dann, wenn gernge Meßfehler n ener der ndvduellen Statusvarablen Z enen großen Enfluß auf das Varanz-Verhältns θ haben. a der Random-Effekt-Schätzer für β en Maxmum- Lkelhood-Schätzer st, st er konsstent und effzent, wenn de ndvduellen Effekte ncht mt den unabhänggen Varablen X t korreleren. er Fxed-Effekt-Schätzer für β st n desem Fall zwar konsstent, aber ncht effzent, da er de Informaton des Between-Schätzers vernachlässgt. Korreleren de ndvduellen Effekte mt den unabhänggen Varablen, st der Fxed-Effekt-Schätzer konsstent und effzent und der Random- Effekt-Schätzer nkonsstent..6. er Hausman-Wu-est auf Random versus Fxed Effects Ene Frage, de sch aus der bshergen Analyse ergbt, lautet: Snd de beden Schätzverfahren sgnfkant verscheden für ene gegebene Anwendung? Ene enfache Möglchket des zu testen, st der Hausman-Wu-est, der auf der fferenz der beden Schätzer gemäß Glechung (.48) beruht: (.48) ˆ ˆ H = ( β β ) ( Σ Σ ) ( βˆ βˆ ) RE FE FE RE RE ΣFE Σ RE bezechnet dabe de fferenzmatrx der Kovaranzmatrzen des Fxed-Effectund des Random-Effect-Schätzers. Asymptotsch st dese Statstk χ vertelt mt K Frehetsgraden ( K = Anzahl der Spalten n der Matrx X t), wenn de ullhypothese lautet, daß das Random-Effekt-Modell korrekt st, d.h. daß de ndvduellen Effekte ncht mt den unabhänggen Varablen korreleren. er Hausman-Wu-est beruht auf dem Verglech enes unter der ullhypothese konsstenten und effzenten, aber unter der Gegenhypothese nkonsstenten Schätzers, mt enem unter der ull- und Gegenhypo- FE 7

18 these konsstenten Schätzer. Man kann desen Hausman-est numersch durch ene enfache Regresson gemäß Glechung (.49) y = X β+ X γ + error und enen F-est auf Sgnfkanz der Parameter γ n Glechung (.49) durchführen. abe bezechnen ~ y und ~ X de transformerten Varablen des Random-Effekt-Modells gemäß Glechung (.38) und (.39) und ~ X de transformerten Varablen des Fxed- Effect-Modells mt ~ X t = X t X. Es wrd also de Hypothese getestet, ob de Vernachlässgung der Fxed-Effects ( γ = 0 ) n dem Random-Effekt-Modell enen Enfluß auf de Konsstenz der Random-Effekt- Schätzer hat. e Annahme der ullhypothese γ = 0 bedeutet aber ncht, daß das Random-Effekt-Modell vorzuzehen st, sondern ledglch, daß bede Verfahren sch ncht sgnfkant unterscheden. es mag daran legen, daß ncht genug Varatonen n den X- Varablen vorlegen, um zwschen beden Modellen zu dskrmneren. Praktsche Probleme treten auf, wenn de Mttelwerte von zwe Indvduen sch über de Zet ncht unterscheden. In desem Fall st de fferenzmatrx der Kovaranzmatrzen Σ Σ sngulär. er Hausman-est läßt sch jedoch ohne weteres anwenden, wenn man n der eststatstk statt der nversen Matrx de Verallgemenerte Inverse verwendet. e Anzahl der Frehetsgrade K entsprcht n desem Fall dem Rang der fferenzmatrx. FE RE.6. est auf fxe Effekte We m klassschen Regressonsmodell kann man auf Sgnfkanz aller Fxed Effekte, d.h. H 0:α = α = = α = 0 mt Hlfe enes F-ests testen. e Statstk (.50) F = ( u R u R u u ) / ( ) u u / ( K) st unter der ullhypothese, daß kene Effekte vorhanden snd, F(-,. --K)-vertelt. abe snd u Ru R de Resduen ener OLS-Schätzung unter H 0 : α = 0 für alle und u u de Resduen der Wthn-Schätzung (mt α 0). 8

19 .7 Heteroskedaste-konsstente Schätzer der Standardfehler m Fxed- Effekt-Modell Arellano (987) hat n Anlehnung an Whte (980) empfohlen, de Standardfehler des Fxed-Effect-Schätzers mt ener geschätzten Kovaranzmatrx zu berechnen, de auch konsstent st, wenn de Fehlergrößen heteroskedastsch snd, um de strenge Annahme der Homoskedastztät aufzuwechen. Wenn ~ ~ y und X de transformerten aten des Wthn-Schätzers und u ~ de zugehörgen geschätzten Resduen snd, ~ ~ ~ u = y X β mt =,,, so st w (.5) ~ ~ ~ ~ ~ V = X u u X = ene konsstente Schätzung der Kovaranzmatrx der Momente, de de Orthogonaltätsrestrktonen blden, ohne daß de Kovaranzmatrx der Störgrößen η ~ der Wthn- Regresson selbst geschätzt wrd. In Anlehnung an den KQ-Schätzer des lnearen Wthn-Modells glt (.5) ~ ~ y = X β + η (.53) ( ~ ~ ~ β β = X X) X η ~ und (.54) ˆ ˆ E( β β)( β β) ( XX) = E( X ηη X )( XX ) mt ~ ~ X X = ~ X ~ X. = Statt E( ηη ~ ~ ) = σ I anzunehmen, wrd E( X ~ ~ ~ ~ ~ η η X ) durch V geschätzt. e heteroskedaste-konsstenten Schätzfehler, de n der Lteratur häufg fälschlcherwese als robuste Schätzfehler bezechnet werden, lauten dann (.55) E( )( ) ( X ~ X ~ ~ ) X u ~ u ~ ~ ~ ~ β β β β = X ( X X ) = 9

20 .8 Bespel zur Schätzung von Modellen mt festen und zufällge Effekten Wr verwenden das aus der SUR-Schätzung (sehe Ökonometre II) bekannte Bespel der Investtonsfunkton jetzt aber für nsgesamt 0 Frmen: (.56) It = α + βft + βct + ut ; =,,0 t = 935,,954 I t = reale Bruttonvestton der Frma n Perode t F t = realer Börsenwert der Frma n Perode t C t = realer Kaptalstock der Frma n Perode t Es ergeben sch folgende Schätzungen (Standardfehler n Klammern): abelle.: Verglech der Schätzer für das enfache lneare Modell Methode β β θ OLS ( ) Between (0.0875) Wthn 0.0 (0.086) GLS (0.0049) (0.0548) (0.9084) (0.0735) (0.078) Man seht, daß de Schätzung von θ näher an θ = als an θ = 0 legt, d.h. der GLS- Schätzer legt näher am Wthn-Schätzer. es wrkt sch her nsbesondere auf den Schätzer des Parameters β aus..9 as Modell mt ndvduellen und zetlchen Effekten Wallace und Hussan (969), sowe erlove (97) haben de Störgrößenstruktur des obge Modells we folgt verallgemenert: (.57) u = α + λ + η ; =,,, t =,,. t t t 0

21 abe st λ t ene über de Indvduen nvarante Fehlerkomponente, de nur über de Zet varert. λ t könnte z.b. zetlche Besonderheten we Streks, Ölembargos etc. erfassen. In Matrxschrebwese lauten de Störgrößen: (.58) u = α + Zλ + η mt = J und Z = I. Es glt: ZZ = J I Z ( Z Z) und Z = J I. e Projektonsmatrx ( J I ) mttelt zu jedem Zetpunkt über de Indvduen, d.h. u. u. ( J I ) u = u. = = = u u t / /.9. Fxed-Effect-Schätzung as Fxed-Effekt-Modell betrachtet α und λ t als zu schätzende Parameter. Wallace und Hussan (969) haben gezegt, daß folgende Wthn -ransformaton sowohl auch λ t elmnert. Mttlung zu enem Zetpunkt über de Indvduen ergbt (.59) y. t = X. tβ + λt + η. t mt α = 0. = Mttlung für en Indvduum über de Peroden ergbt (.60) y. = X. β + α + η. mt λ t= 0. Bede Mttlungen zusammen ergeben (.6) ( y y y + y ) = ( X X X + X ) β + ( η η η + ) t t.. t.. t.. t.. t.. t η.. α als Ene KQ-Schätzung von (.6) gbt den Wthn-Schätzer deses zwefachen Fehlerkomponenten-Modells, wobe sch α und λ ˆt we folgt ergeben: (.6) α = y y ( X X ) β......

22 (.63) λˆ = y y ( X ) βˆ t. t... t X.. er achtel deses Fxed-Effect-Modells legt n der großen Zahl von ( ) + ( ) ummy-varablen, de de Zahl der Frehetsgrade drastsch reduzeren..9. est auf feste Effekte Ähnlch we n dem enfachen Fehlerkomponenten-Modell läßt sch de Hypothese H 0:α = = α = 0 und λ = = λ = 0 testen. Man muß ledglch de Frehetsgrade der F-Statstk anpassen. Man kann aber auch de bedngten Hypothesen H :α = = α = 0 gegeben λ t 0 bzw. H 3:λ = = λ = 0 gegeben α 0 testen. e u Ru R der F-Statstk für den est von H basert auf der Regresson (.64) y y = ( X X ) β + ( u u ). t. t t. t t. t Für den est von H 3 ergbt sch u u R R aus der Wthn-Regresson (.65) yt y. = β( Xt X. ) β + ( ut u. )..0 ynamsche Paneldatenmodelle Paneldaten snd besonders geegnet, de dynamschen Anpassungsprozesse m ökonomschen Verhalten der Wrtschaftssubjekte zu analyseren. Auf der anderen Sete bereten de Indvdualeffekte des Panel-Modells besondere Probleme be der Schätzung dynamscher Glechungen. eses Problem wrd dadurch gelöst, daß man de Indvdualeffekte durch Flterung der Glechung elmnert. as typsche dynamsche Panel- Modell st n Glechung gegeben (.66) y = y + x + + ε mt =,, und t =,,. t δ t tβ α εt; εt ~ (0, σ ) abe snd de Indvdualeffekte α Zufallsvarablen, de entweder mt den unabhänggen Varablen xt korreleren (Fxed-Effekt-Modell) oder ncht (Random-Effekt-Mo-

23 dell). Se haben ene konstante Varanz σ α, d.h. α st.d.r. normalvertelt mt Mttelwert 0 und Varanz σ α. e Vektoren x t enthalten zunächst de exogenen Varablen, so daß E( x t ε t ) = 0 st. Aufgrund der Annahme enes weßes Rauschens für de Störgröße ε t glt dann entsprechend de Unabhänggket zwschen den verzögerten endogenen Varablen und ε t, d.h. E( y t ε t ) = 0. Als Fxed-Effekt-Modell können wr Glechung (.66) wederum n Form ener Matrxdarstellung gemäß Glechung (.67) schreben, wobe de Indvdualeffekte über ummy- Varablen n der Matrx dargestellt werden. (.67) y = y δ + X β + α + ε mt y y y y y= und y = y y ; X X x X x = mt X = X x y y, y0 y y y y, = und y, =,, I α α. α = mt = und α =.0. fferenzenflterung und Instrumentvarablen-Schätzer Anderson und Hsao (98,98) haben vorgeschlagen, n Modell (.66) bzw. (.67)de ndvduellen Effekte α durch Bldung erster fferenzen zu elmneren. ese Flterung der Indvdualeffekte läßt sch mt Hlfe von Glechung (.68) darstellen wobe F de fferenzenfltermatrx bezechnet. (.68) Fy = Fy δ + FX β + F ε 3

24 mt F = I F und F 0 = abe st F ene ( ) -dmensonale Matrx. Für dese efnton von F glt de Bezehung F = 0, d.h. de Indvdualeffekte werden durch de Fltermatrx elmnert. Allerdngs muß für de Elmnerung der Indvdualeffekte en Pres n Form ener Movng Average-Struktur der Störgrößen F ε gezahlt werden. Ene konsstente und effzente Schätzung muß daher dese Fehlerstruktur berückschtgen. Wr bezechnen de Schätzer der Glechung (3) mt F als fferenzenoperator als fferenzenschätzer. Ene wetere Konsequenz der Flterung ergbt sch daraus, daß F y = y y, t, t mt F ε t = ε t ε korrelert, wel t y t von ε t abhängt. Anderson und Hsao (98) empfehlen daher y t als Instrumentvarable be der Schätzung von Glechung (.68) zu verwenden. Arellano und Bond (99) empfehlen verallgemenernd de Verwendung der folgenden blockdagonalen Instrumentvarablen Matrx W, de alle Orthogonaltätsrestrktonen nutzt: (.69) W [ y0, x,, x ] [ y y x,, x ] 0 [ y0 y, x,, x ] 0, = Um ene effzente Schätzung von Glechung (.67) zu gewährlesten, wrd Glechung (.68) zunächst mt der Matrx W gemäß Glechung (.70) multplzert (.70) W Fy = W FX + W Fε mt W = W, W ], X = ( y X ) und γ = ( δ, ). [ β e Struktur der Störgrößen n Glechung (.70) wrd jetzt über enen verallgemenerten Instrumentvarablenschätzer gemäß Glechung (6) berückschtgt ( ) [ ] (.7) γ [ ] ˆ = XFWW ( I F F ) W WFX XFW W ( I F F ) W WFy. 4

25 e verallgemenerte Instrumentvarablenschätzung gemäß Glechung (.7) st ncht endeutg, da de Wahl der Instrumentvarablen gemäß Glechung (.69) ncht endeutg st. Wählt man andere Instrumente verändert sch der Schätzer. Wenn man be der Schätzung der Glechung (.67) auf de Verwendung von Instrumenten verzchtet, d.h. W durch ene -dmensonale Enhetsmatrx ersetzt W = I, so st der verallgemenerte Instrumentvarablenschätzer dentsch mt enem Atkenschätzer der Glechung (.67) und damt auch dentsch mt ener Klenstquadrateschätzung der Glechung: (.7) y = [ y X ] δ β + ε x wel [ ( )] F I F F F = I glt. Mt anderen Worten: e Berückschtgung der nversen Kovaranzstruktur n Glechung (.7) macht gerade de Movng-Average-Struktur der Störgrößen n Glechung (.70) rückgängg, de dort durch Anwendung der Fltermatrx F entstanden st. Glechung (.7) und Glechung (.67) unterscheden sch nun aber dadurch, daß n Glechung (.7) de Indvdualeffekte elmnert snd. e Glechung (.7) st n desem Snne fehlspezfzert, d.h. man fltert zunächst de Indvdualeffekte heraus und verwendet dann ene Varablentransformaton, de de Effekte der Flterung auf de Störgröße elmnert, ohne daß de Indvdualeffekte n deser neuen Glechung weder auftauchen. Es st de Frage, ob deses en vernünftges Vorgehen für de Schätzung von Glechung (.67) st. Ene Alternatve zu der Instrumentvarablenschätzung (.7) besteht darn, daß man ncht von weßem Rauschen ausgeht, sondern de Kovaranzstruktur der Störgröße ε t n Glechung (.67) offenläßt. Man muß dann n Glechung (.7) de mt den Instrumentvarablen gewchtete Kovaranzstruktur n anderer Wese bestmmen. En gängges Verfahren geht auf Whte zurück, der den Ausdruck n eckgen Klammern n Glechung (.7) durch folgenden erm ersetzt: ' (.73) W F εˆ εˆ F W = 5

26 εˆ snd dabe de Resduen der ersten Stufe der Schätzung, n der we vorher beschreben vorgegangen wurde. En verallgemenerter Instrumentvarablenschätzer der de Fehlergrößenstruktur berückschtgt entsprcht den lnearen Fall enes Verallgemenerten Momentenschätzers bzw. GMM-Schätzers von Hansen (98) der von Arellano und Bond (99) auf Paneldatenmodelle übertragen worden st. er Schätzer (.7) st nach Arellano und Bond (99) en enstufger GMM-Schätzer und der Schätzer, der allgemenere Strukturen der Fehlergrößen gemäß (.73) zuläßt en zwestufger GMM-Schätzer. Wchtg st, daß de Schätzfehler des zwestufgen GMM-Schätzers de wahren Schätzfehler unterschätzen. aher sollten mmer zusätzlch de Schätzfehler des enstufgen GMM-Schätzers ausgewesen werden. e Berechnung der Schätzfehler kann man lecht n Arellano und Bond (99) oder Janz (997) nachlesen..0. fferenzenschätzer versus Wthn-Schätzer fferenzen- und Wthn-Schätzer unterscheden sch m wesentlchen darn, we de Indvdualeffekte α geschätzt werden. er Wthn-Schätzer schätzt n Glechung (.67) de Indvdualeffekte durch Mttlung über alle Beobachtungen für das Indvduum gemäß Glechung (.74) und substtuert α n Glechung (.66) bzw. (.67). Bretung und Meyer (994) haben enen fferenzenschätzer gemäß Glechung (.75) vorgeschlagen, der de erste Beobachtung benutzt, um α zu schätzen: (.74) y = y δ + X β + α + ε, (.75) y = y δ + X β + α + ε,, 0, Herbe handelt es sch um ene Enpunktschätzung der Indvdualeffekte. Glechung (.67) läßt sch dann mt Hlfe der Fltermatrx F B we n Glechung (.68) schreben: (.76) Fy = B Fy + B FX B β + FBε mt F = B

27 e fferenzerung n Glechung (.68) gemäß Anderson und Hsao (98, 98) ergbt sch n enfacher Wese aus Glechung (.76), ndem wr n Glechung (.76) erste fferenzen blden. adurch wrd deutlch, daß de mplzte Schätzung der Indvdualeffekte n Glechung (.68) ebenfalls ene Enpunktschätzung st, d.h. es werden be der Schätzung der Indvdualeffekte ncht alle Beobachtungen we bem Wthn-Schätzer, sondern nur jewels ene Beobachtung verwendet. es st der Pres, den man dafür zu zahlen hat, daß es genügend Instrumente be der Schätzung der übrgen Parameter des Modells gbt. er Wthn-Schätzer wrft demgegenüber en anderes Problem auf, nämlch de Inkonsstenz der Schätzung von β. Zur Illustraton se en enfaches autoregressves Modell ohne exogene Varablen betrachtet: (.77) y = βy, + α + ε mt t =,, t t t Als KQ-Schätzer ergbt sch (.78) ( )(, ) β = = t = yt y y t y ( y y ) = t =, t 0 0. er erm y t, t y st mt y y 0 auch dann korrelert, wenn β = 0 glt, da bede erme mt t= y t ene gemensame Komponente enthalten. Für β = 0 und konvergert der um erweterte Zähler n (.78) gegen (.79) E t= ε t j= ε j ε, t j= 0 ε j ( ) = σ ε und der enner gegen (.80) E ε, ε t j = ( ) σε. t= j= 0 araus ergbt sch de asymptotsche Verzerrung von. Für belebge Werte von β hat ckel (98) gezegt, daß für de asymptotsche Verzerrung der KQ-Schätzung glt 7

28 (.8) ˆ + β β β β plm ( β β ) = ( ) ( )( ) ( ) β β β. Man bezechnet de asymptotsche Verzerrung gemäß (.8) n der Lteratur auch als ckel-bas. er autoregressve Parameter wrd systematsch mt der Ordnung O( ) unterschätzt. Für große Werte von kann de Verzerrung mt ) ( ( + β ) approxmert werden (vgl. ckell 98). Rdder und Wansbeck (990) leten de Verzerrung auf ene andere Wese her und geben auch de Formel für de asymptotsche Verzerrung n enem dynamschen Modell mt exogenen Varablen an. ese Ergebnsse snd jedoch nur anwendbar, wenn de Störgrößen ε t statonär snd. es mplzert, daß der Prozeß berets unendlch lange unter unveränderten Bedngungen läuft. Sevestre und rognon (985) leten de asymptotschen Verzerrungen darüber hnaus für nchtstatonäre Intalbedngungen ab. In abelle.3 snd für ausgewählte Werte von und β de Grenzwerte wedergegeben, gegen de de Schätzung gemäß (.8) für konvergert. emnach wesen de Schätzungen für β ene erheblche negatve Verzerrung auf, de für klene und mttlere Werte von ncht vernachlässgt werden darf. So wrd z.b. n ener Stude von Hübler (990) mt Hlfe der Schätzfunkton (.78) der Autokorrelatonskoeffzent der Resduen mt geschätzt. In desem Bespel st = 3, so daß zu deser Schätzung en Wert von etwa β = 0. 3 zugeordnet werden kann, der wetaus plausbler st als ene negatve Korrelaton (vgl. Hübler (990, S. 90). In ener weteren Arbet (Hübler 99, S.86) wurde für = 3 en Autokorrelatonskoeffzent von 0.07 gefunden, womt en Wert von etwa β = 0.7 korrespondert. araus wrd deutlch, daß de Schätzung der Autokorrelaton für wenge Zetpunkte so stark verzerrt sen kann, daß ene verhältnsmäßg große Korrelaton der Störgrößen nahezu vollständg verdeckt wrd. 8

29 abelle.3 Asymptotsche Werte für b nach dem ckel-bas β =3 =4 =6 =0 =5 = Im Ergebns läßt sch festhalten, daß bede Verfahren der Elmnerung der Indvdualeffekte besondere Probleme m dynamschen Panelmodell erzeugen..0.3 est auf Spezfkatonsfehler m dynamschen Panelmodell Im allgemenen verfährt man n der Ökonometre so, daß man das Modell nach der Schätzung mehreren Spezfkatonstests unterzeht. abe überprüft man nsbesondere de Annahmen über de Fehlergrößen, d.h. Autokorrelatons-, Homoskedastztäts- und Vertelungsegenschaften. Ener der wesentlchen Vortele des Verallgemenerten Momentenschätzers (GMM) gegenüber alternatven Schätzverfahren, nsbesondere dem Maxmum-Lkelhood-Verfahren, besteht darn, daß er mt sehr wengen Annahmen über de Fehlergrößen auskommt. Möglche Vertelungsegenschaften manfesteren sch m Rahmen der GMM-Schätzung enzg und allen n der Wahl ener effzenten Gewchtungsmatrx und haben kenen Enfluß auf Konsstenz und Vertelungsegenschaften des Schätzers. Allerdngs stehen und fallen de Egenschaften des GMM-Schätzers mt der Gültgket der be der Bldung der Instrumentmatrzen unterstellten Orthogonaltätsbedngungen. Ene Interpretaton der Schätzergebnsse sollte daher ne erfolgen, ohne de Valdtät (d.h. de Orthogonaltät) der Instrumente zu testen. Im folgenden werden daher zwe ests vorgestellt, de de Gültgket der theoretschen Momentrestrktonen überprüfen. Bede wurden berets von Arellano, Bond (99) n hrer grundlegenden Arbet zur GMM-Schätzung m Panel dskutert. er erste est, der 9

30 sogenannte J-est von Hansen (98), testet gegen allgemene Verletzungen der Momentbedngungen und wrd bswelen auch als est der Hypothese ratonaler Erwartungen verwendet (Hansen und Sngleton, 99). er zwete est, von Arellano und Bond (99), testet Verletzungen der Momentrestrktonen, de durch Autokorrelaton n den allgemenen Fehlergrößen ε t entstehen est auf überdentfzerende Restrktonen e stochastschen Egenschaften des GMM-Schätzers hängen entschedend von der Gültgket der Momentrestrktonen E{ W F ε } = 0 ab. e Momentrestrktonen snd verletzt, wenn de gewählten Instrumente W n rgendener Form mt den geflterten Fehlergrößen F ε korreleren. En est auf Valdtät der Instrumente st m Rahmen des GMM-Ansatzes daher unerläßlch (vgl. auch avdson und MacKnnon (993), Kap. 7). e Velzahl der Gründe, de zu ener Korrelaton zwschen Instrumenten und Fehlergrößen führen kann, erfordert enen est, der gegen ene allgemene Verletzung der Momentrestrktonen testet. es lestet der von Sargan (958) für den verallgemenerten IV-Schätzer (GIVE) entwckelte und von Hansen (98) für den GMM-Schätzer erweterte J-est. e zu testenden Hypothesen lauten (.8) H : E{ W F } vs. H : E{ W F } ε = 0 ε 0. 0 Unter der Hypothese H 0 und asymptotsch normalvertelter β * st (.83) ( β β σ y X *) F W [ W ( I ( F F )) W ] W F ( y X *) mt F = I F mt dem GMM-Schätzer β *, asymptotsch χ ( M K) -vertelt (Hansen, 98, Arellano und Bond, 99). M K bezechnet de fferenz zwschen der Anzahl der verwendeten Instrumentvarablen, de unter der ull-hypothese asymptotsch de ullrestrkton erfüllen, und der Anzahl der zu schätzenden Parameter. Zur Identfkaton der K Koeffzenten genügen K Momentrestrktonen, so daß de restlchen M K Restrktonen überdentfzerend snd, d.h. es exsteren M K lnear unabhängge Momente, de durch das Schätzverfahren ncht ull gesetzt werden. er est prüft daher, ob de M berdentfzerenden ullrestrktonen erfüllt snd. K ü- 30

31 Für den enstufgen GMM-Schätzer ergbt sch als eststatstk (Arellano und Bond, 99) (.84) J = ( y X * ) F W ( W ( I ( F F )) W ) W F ( y X * β β ) mt F = I F.. σ ε Be Gültgket der unabhänggen ormalvertelung von ε = (0, σ ) bezechnet σ ε den konsstenten Schätzer der Varanz des allgemenen Fehlerterms. (.85) σ ε = ( ) = F ε ε F. Im Rahmen des enstufgen GMM-Schätzers st der J-est nur vorschtg anzuwenden, da er nur gültg st, wenn de strengen Vertelungsannahmen über de Fehlergrößen erfüllt snd. e eststatstk für den zwestufgen GMM-Schätzer mt allgemener Kovaranzmatrx ε lautet analog (Arellano und Bond, 99) (.86) J mt = ( y X β * ) F WA * W F ( y X β * ) (.87) A * W F F W = ( ) ; F = I F ε und hängt über de Schätzung der optmalen Gewchtungsmatrx der zweten Stufe A * von den Annahmen über de Fehlergrößen ab. Läßt man Autokorrelaton und ntertemporale Heteroskedastztät zu, lautet de Gewchtungsmatrx (.88) A K* = ( W ( I F F ) W ) ε. Erlaubt man zusätzlch nterndvduelle Heteroskedastztät lautet A * (.89) A A* ( W = εε W ). = A A * lefert ene konsstente Schätzung von W ' Σ W ohne Σ selbst konsstent zu schätzen. e ull-hypothese wrd verworfen, wenn der Wert der eststatstk Joder J den 3

32 gewählten Prozentpunkt der χ -Vertelung mt M Fehlerwahrschenlchket überstegt. K Frehetsgraden be vorgegebener.0.3. Autokorrelatonstests Fehlende Valdtät der Instrumente kann auf falschen Annahmen über de stochastschen Egenschaften der Fehlergrößen beruhen. er fferenzenflter F mplzert, daß de geflterten Fehlergrößen enem MA()-Prozeß folgen. Arellano und Bond (99) haben daher enen est entwckelt, der de Hypothese des MA()-Prozesses der geflterten Fehlergrößen gegen allgemenere Formen der Autokorrelaton, nsbesondere MA- Prozessen höherer Ordnung testet. Folgen de geflterten Fehlergrößen enem MA()- Prozeß, so korreleren se mt hren egenen Verzögerungen Fεt, snd aber unkorrelert mt Fεt, d.h. εt εt und εt εt korreleren, aber εt εt und εt εt 3 korreleren ncht, so daß deser est be MA()-Störgrößen aufgrund des fferenzenflters kene Autokorrelaton anzegen sollte. Arellano und Bond (99) testen daher de Hypothese, daß de geflterten Fehlergrößen m Mttel über de Indvduen mt hren zwefachen Verzögerungen ε, unkorrelert snd: (.90) H0: E{ ( Fε ) ( F ε, )} vs. H: E{ ( F ε ) ( F ε, )} = 0 0. Bezechnet man zur Verenfachung de Elemente des Vektors der dfferenzerten Resduen mt ε t, so lautet de eststatstk (.9) m ε = ε + m.,,,,, 3 εˆ = ( εˆ,, εˆ ) mt εˆ = ( εˆ,, εˆ ) bezechnet den Vektor der zwefach verzögerten dfferenzerten Resduen, d.h. der jewels ersten 3 Realsatonen für jedes Indvduum, und εˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + = ( ε, +,, ε, ) + mt ε, + = ( ε,3,, ε, ) den Vektor der dfferenzerten Resduen mt zwefachem Vorlauf (Lead), d.h. den Vektor der jewels letzten 3 Realsatonen für jedes Unternehmen. Unter der ull-hypothese st de eststatstk m asymptotsch (0,)-vertelt. 3

33 * Hnwes: m setzt sch komplzert aus den Kreuzmomenten der zwefach verzögerten Resduen und der gewchteten GMM-Momente zusammen. Für den enstufgen GMM-Schätzer glt (.9) m = σ ε ( F F ) ε t =, +, σ ε ( FX) ( X F W( W ( I F F ) W) W FX ) ε + X F W( W ( I F F ) W) W H ε, + ( ) ( * ε FX V β )( FX) ε = + + und für den zwestufgen GMM-Schätzer,,,, = (.93) m = ε ε + ε + ε ++ ( ) ( * ) * ε ε ε FX X F WA W FX X F WA W ε + + ( ) ( * ε β )( ) ε FX V FX. + + =, +, ( FX ) + bezechnet analog zu ε + de Matrx der jewels letzten 3 der Beobachtungen der geflterten erklärenden Varablen, H ++ ene ncht symmetrsche Matrx ( ), de vom (-)-dmensonalen Spaltenvektor (0,,,,0,,0) begnnt (statt FF ++ we ene symmetrsche Matrx mt (,,0, 0)' ) we F F. V ( β ) und V ( β ) bezechnen jewels de konsstent geschätzte Kovaranzmatrx des enstufgen bzw. zwestufgen GMM-Schätzers. Ende des Hnweses. Analog haben Arellano und Bond (99) auch enen est vorgeschlagen, der de Hypothese der Frehet von Autokorrelaton der geflterten Fehlergrößen gegen allgemene Formen der Autokorrelaton, nsbesondere MA()-Prozessen, testet. a de geflterten Fehlergrößen be Anwendung des fferenzenflters m Fall normalvertelter ε enem * * 33

34 MA()-Prozeß folgen, sollte der est de Hypothese der Frehet von Autokorrelaton be Anwendung des fferenzenflters verwerfen. e Hypothesen des ests lauten analog (.94) H0: E{ ( Fε ) ( F ε, ) } vs. H: E{ ( Fε ) ( F ε, ) } = 0 0. e eststatstk m st unter der Hypothese H 0 ebenfalls asymptotsch (0,)-vertelt und lautet analog zu (.9) (.95) m ε = ε + m εˆ = ( εˆ,, εˆ ) und εˆ = ( εˆ,, εˆ ) sowe mt,,,,, εˆ = ( εˆ,, εˆ ) und εˆ = ( εˆ,, εˆ ). +,, +, +,, Be MA()-Resduen sollte deser est aufgrund der Flterung Autokorrelaton anzegen. * Hnwes: m bldet sch analog zu m. Für den enstufgen GMM-Schätzer glt für m de Formel (.9) und für den zwestufgen GMM-Schätzer für m de Formel (.93) entsprechend, wenn man ε durch ε, ε durch, ( FX ) durch ( FX ) +, entsprechend defnert und ( F F ) + + ε + + durch ene -dmensonale Enhetsmatrx sowe H durch ++ ene ( ) ( ) -dmensonale Matrx, de aus ener ( ) -dmensonalen Enhetsmatrx besteht, de von oben durch enen ( ) -dmensonalen Zelenvektor von ullen gerändert st, ersetzt. Ende des Hnweses..0.4 est lnearer Hypothesen eben den m vorgen Abschntt erörterten ests der Instrumentvaldtät snd ests der Sgnfkanz von Parametern und Parametergruppen von Interesse, de sch als Spezalfälle von allgemenen ests lnearer Hypothesen darstellen lassen. Lneare Hypothesen über de Parameter des ökonometrschen Modells lassen sch m allgemenen als (.96) H0: Rβ r = 0 vs. H: Rβ r 0 34