DistFracEx3D. Interaktive Visualisierung von Mandelbrotmengen als fraktale Landschaften Teil 1

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1 DtFracE3D Interakte Vualerung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Fachhochchule Fulda Fachberech Angewandte Informatk und Mathematk Lehrerantaltung Graphkprogrammerung und Parallelerarbetung Engerecht on: Tmo Götzelmann Sturmutrae Fulda Fulda 3. März 4

2 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: Inhalterzechn Vorwort 3. Struktur de Programm 4. Genererung der Fraktale 4 3. Genererung der Fraktallandchaft 5 3. Umwandlung n en 3D-Landchaftmodell Umwandlung Koordnaten Wahl der Prmte GL_QUADS. GL_QUAD_STRIP Betrachtung der Specherkompletät Krtche Betrachtung 7 3. Logarthmerung Normalerung der Daten Glättung der Fraktallandchaft Mttelungflter Medanflter 4. Teturerzeugung 4. Landchafttetur 4.. Entelung der Ebenenregonen 4.. Snthee der Telteturen 4..3 Spannen ncht erlaubt 3 4. Hmmeltetur Genererung mttel Fourerrehe Genererung mttel Zufallwerten 5 5. Optmerungen 7 5. Vernachlägen der Rücketen 7 5. Beetgen de Flackern Nebeleffekt Anpaung der Schtwete Mamal möglche Schtwete Optmerungen der Schtwete 9 Tmo Götzelmann

3 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 5.5 Tetur-Detaltufen 5.6 Teturüberlagerung 5.7 Bäume 6 Aublck und möglche Erweterungen 3 Quellenerzechn 5 Anhang A Stemorauetzungen 6 B Benutzerdokumentaon 7 B. Grundlegende Interaktonmöglchketen 7 B. Änderung der Aulöung/ de Anzegemodu 8 B.3 Zuatzoptonen mttel Maumenü 8 C Intallaton der MPI-Implementerung MPICH..5 unter Wndow NT 3 D Quellenangaben für Teturen 33 Tmo Götzelmann

4 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 3 Vorwort Im Rahmen ener Studenarbet der Verantaltung Stemprogrammerung habe ch e mr al Aufgabe gemacht Mandelbrotmengen al 3D-Fraktallandchaft möglcht anchaulch darzutellen. De weteren oll de Fraktallandchaft nterakt unter OpenGL teuerbar en wa Echtzetberechnungen bedngt. Anchaulch bedeutet da ch durch enge Manpulatonen an den fraktalen Daten ene möglcht große Ähnlchket zu ener realen Landchaft hertelle. De ertößt zwar gegen da Epretätkrterum (gl. [Schu /]) d.h. e bedeutet ene Verfälchung der Augangdaten jedoch laen ch de Daten zum größten Tel zu den Augangdaten rückführen d.h. de Manpulatonen nd reerbel und damt ncht erheerend. De weteren nd dee Manpulatonen m dargelegten Anwendungkontet unbedngt notwendg um de Daten auch anchaulch und landchaftähnlch darzutellen. De entprcht dem Grundatz der Effekttät on Vualerungen (gl. [Schu /]). Aufgrund der Bechränkung de mamalen Umfang der Dokumentaton nd her nur de wchtgten Apekte zu fnden. Wetere Informatonen lefert jedoch de Dokumentaton de Quellcode. Al möglche Anwendung habe ch bepelwee den Tag der offenen Türen an der Fachhochchule Fulda geehen. De entwckelte Löung tellt ene anchaulche geradezu pelerche Enführung n de Thematk der Mathematk und Informatk dar welche Brücken zwchen erchedenen Themenberechen we Algorthmen Graphche Datenerarbetung Parallelerarbetung und den damt erbundenen Netzwerken chlägt. E t denkbar da e möglch t be Informatk-Intereerten wetere Interee an enem Studum an der FH Fulda zu wecken. Tmo Götzelmann

5 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 4. Struktur de Programm Landchaft - Fraktal - Berechnung Tetur - Fraktal - Berechnung Daten - aufberetung Tetur - Ebenen Laden 3D- Drahtgtter ertellen Teturen mchen und blenden Mappng und Ertellung Dplalte 4 Hmmel - Drahtgtter berechnen Hmmel - Tetur berechnen Mappng und Ertellung Dplalte Szene rendern Interakton Benutzer Waerfläche ertellen Mappng und Ertellung Dplalte W aertetur laden Vertelung der Grünflächen Baumtetur laden Baum - Prmte ertellen Tranparenz- Tetur ertellen Mappng und Ertellung Dplalte. Genererung der Fraktale De entwckelte Löung bechränkt ch auf Mandelbrotmengen und Julamengen. Auf den mathematchen Hntergrund wll ch an deer Stelle ncht engehen herzu fndet man n jeder größeren Bblothek rechhaltg Lteratur. Tmo Götzelmann

6 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 5 E t dem Benutzer überlaen we er ene Fraktale berechnen laen wll. Entweder auf nur enem Prozeor oder mttel de Meage- Pang- Interface (MPI) auf mehreren Prozeoren lokal oder aber auch auf jewel mehreren Prozeoren auf mehreren Rechnern. Clent Teldaten De Berechnung on Mandelbrotmengen und Julamengen t en ma parallele Problem und daher unter Verwendung de MPI deal zu ertelen. De Berechnung erfolgt nach Übergabe der Parameter und lefert zwedmenonale Daten zurück. De gecheht derart da der MPI- Serer da Problem aufbrcht n n Telprobleme dee n ene Wartechlange enreht und auf de m Rechner ertelt. Herbe hält der MPI-Serer fet welcher MPI-Clent gerade welche Telproblem bearbetet. Sobald de Anzahl der erblebenden Telprobleme klener t al de Anzahl der erblebenden Rechner alo n Ret < m glt chckt der MPI-Serer de retlchen Telprobleme ebenfall an de Rechner de gerade ncht bechäftgt nd. Somt wrd glechzetg durch enfache Wee ene Latertelung und ene Mnmerung der Berechungzet errecht. Fraktal- Modul Daten Serer Ergebne Clent n Teldaten Fraktal- Modul 3. Genererung der Fraktallandchaft De folgenden Algorthmen nd mtunter ehr rechenaufwändg jedoch werden dee orab augeführt und beenfluen damt de Auführunggechwndgket während der Smulatonphae ncht. 3. Umwandlung n en 3D-Landchaftmodell 3.. Umwandlung Koordnaten Tmo Götzelmann

7 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 6 De zwedmenonalen Daten werden n en dredmenonale Bezugtem überführt ndem de - und -Koordnaten auf en regelmäßge Gtter übertragen werden und der jewelge Farbwert der enzelnen Bldpunkte al z-koordnate dent. Man kann aber ncht on dredmenonalen Daten prechen da de enzelnen Datenfelder m dredmenonalen Bezugtem kenen Wert enthalten oder betenfall enen unären. Ebeno etert pro - bezehungwee -Koordnate n jedem Fall höchten en z-wert. Zwar wrd m päteren Verlauf ene Tetur auf dee Felder gemappt oda man agen könnte dee Felder m dredmenonalen Bezugtem enthalten enen Wert jedoch t deer Wert endeutg om z-wert abhängg. 3.. Wahl der Prmte 3... GL_QUADS. GL_QUAD_STRIP Für den Aufbau der Drahtgtter habe ch den Tp GL_QUAD_STRIP erwendet da hermt Specherplatz für de Vertce gepart werden kann welche ch entchedend auf de Auführunggechwndgket auwrken kann. Bepel: Defnert man da Drahtgtter mttel GL_QUADS mu man de angrenzenden Eckpunkte der enzelnen Prmte mt den glechen Koordnaten erehen. In deem Fall wären da de Vertce und 4 bzw. 3 und 5. Theoretch dürfte kene Lücke zwchen den beden Prmten eteren. Jedoch t e mplementerungabhängg ob de auch praktch der Fall t. 3 Abbldung Be GL_QUAD_STRIP enttehen prnzpell kene Lücken zwchen zwe aufenander folgenden Prmten. Deer Datentp ermndert de Anzahl der defnerten Vertce (ehe herzu auch...) und part damt Specherplatz. Deer Specherplatz wrkt ch ebeno auf de Auführunggechwndgket au da wenger Daten m Specher erchoben werden müen. Da wr aber en zwedmenonale Abbldung Drahtgtter erwenden werden doch noch Lücken zwchen den wobe glt n m. 3 d.h. e glt R R 3 bepelwee durch enen ungenauen Tefenpuffer oder Rundungfehler. Tmo Götzelmann

8 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 7 enzelnen Zelen der anenander gefügten Quadrate auftreten allerdng gelngt e un mttel deer Technk de Anzahl der möglchen Lücken auf de Hälfte zu reduzeren ndem wr Zelen on Quadraten erzeugen Betrachtung der Specher-Kompletät: Defnert man enen Strefen (; Auwetung n ene Dmenon ) we n unerem Bepel o mu man alo - Quadrate defneren d.h. 4(-) Vertce. Ohne Verbndung der enzelnen Vertce an den Ecken der Quadrate (alo mttel GL_QUAD_STRIP) nd ledglch Quadrate nötg und damt 4 Vertce. Demnach wären alo be ener Audehnung n ene Rchtung be großen nahezu de doppelte Anzahl Vertce notwendg. Genauer: f ( ) VertceMtVerbnden 4( ) lm lm. ( ) f VertceMtVerbnden 4 Ferner mu man be enem Drahtgtter mt Audehnung n ene Dmenon we auch n ene Dmenon folglch (- )(-) Quadrate und omt 4(- )(- ) Vertce defneren. Wäre de Möglchket gegeben dee Verbnden der Polgone we e be GL_QUAD_STRIP der Fall t n ene Dmenon we auch n ene Dmenon anzuwenden wären ledglch Quadrate notwendg und damt 4 Vertce. Demnach würde de be groß gewählten und ene Erparn on benahe Faktor 4 für de Anzahl der benötgten Vertce dartellen. Genauer: g lm g VertceOhneVerbnden VertceMtVerbnden ( ) ( ) 4 lm 4 ( )( ) 4. Wäre e alo möglch enen Prmten-Tp mt zwe nebenenander legenden Strp-Flächen zu entwckeln könnte man noch enmal da Doppelte an Specherbedarf gegenüber den bepelwee mt der Bezechnung GL_QUAD_DOUBLE_STRIP oder GL_TRIANGLE_DOUBLE_STRIP. Tmo Götzelmann

9 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 8 Prmten-Tpen mt ener Strp-Fläche enparen. Dee Tpen wären deal Drahtgtter zu defneren Krtche Betrachtung Be Verwendung ene Dreeckdrahtgtter - antatt ene Vereckdrahtgtter - hätte man zwar mehr Dreecke benötgt jedoch wäre de eentuell trotzdem chneller denn heutge 3D- Bechleunger nd auf Dreecke optmert da dee zwangläufg planar und kone nd. De t zwar be unerer Anwendung mt Verecken auch der Fall jedoch könnten dee ntern automatch n jewel Dreecke umgewandelt werden wa zwar ehr chnell hardwareetg umgeetzt wrd jedoch dennoch be etremer Aurezung der Hardware n Gewcht fallen kann. 3. Logarthmerung Be Betrachtung realer Gebrge fällt auf da en ncht lnearer Anteg gegeben t. Velmehr ähnelt de Gebrgkontur enem eponentellen Anteg. Zwar ertößt dee und de folgenden Operatonen gegen da Epretätkrterum doch tragen eben dee erheblch zur Effekttät der Vualerung be. 3.3 Normalerung der Daten De Höhendaten werden anchleßend mt dem Kehrwert de Mamalwerte multplzert. D.h. für alle Höhenwerte glt: wobe : ma * ma ma. Dadurch t chergetellt da ene mamale Höhe der Gebrgformatonen ne überchrtten werden kann. Somt beteht kene Bechränkung mehr für de Engabedaten wetere Arten on Augangdaten und damt wetere Anwendungen der Graphkengne nd denkbar. 3.4 Glättung der Fraktallandchaft Sehe auch Vorwort. Sofern de Dartellung on Daten al 3D-Landchaft Snn macht. Tmo Götzelmann

10 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 9 De Punkte de Drahtgtter enthalten noch ehr prunghafte Werte oda de ncht ehr el Ähnlchket mt realen Landchaften aufwet. Reale Landchaften nd Verwtterungprozeen augeetzt welche durch erchedene Algorthmen zur Kantenglättung nachgebldet werden. Dee erzelen je nach Bechaffenhet der Landchaft mehr oder wenger realtche Ergebne. Enge wetere Verfahren zur Glättung der Landchaft bepelwee mttel Fourertranformaton bzw. Bnomnalfltern nd unter anderem n [Leh 97] und [Jäh ] bechreben Mttelungflter Der Mttelungflter glättet de enzelnen Höhenwerte ndem er den Mttelwert der benachbarten Höhenwerte antelg (oder nach Gewchtung) mt dem aktuellen Höhenwert errechnet. Für enen Flter der * benachbarte Höhenwerte errechnen oll t genauo ene * Gewchtungmatr notwendg. Im Fraktaleplorer wrd ene 3*3 Matr we folgt erwendet:. Abbldung 3 De Berechnung der enzelnen Höhenwerte erfolgt m allgemenen Fall ( : Ζ ) Gewchtungmatr: G G G G G G G G G L L M M M L L M M M L L Formel: G G wobe Summe der Gewchte:. G G Tmo Götzelmann

11 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: Für uneren konkreten Fall ener 3*3-Mttelungmatr we n Abbldung 3 glt der Sonderfall da ämtlche Gewchte betragen o da man agen kann G : Summe der Gewchte: G omt glt für jeden der Höhenwerte: ( ). 9 9 De Wahl der geegneten Gewchtungmatr kann da Ergebn maßgeblch beenfluen o kann man auch durch ene geegnete Wahl der Werte der Matr den gegentelgen Effekt ene Schärfung der Konturen de Höhenfelde errechen. Genauere dazu n [Burdck 97] ene Erklärung an deer Stelle würde den Rahmen deer Arbet prengen Medanflter Ene wetere Fltertechnk erchen für den Fraktaleplorer ntereant zu en wel e de (Berg-) Sptzen der Höhenkarte ncht o glechmäßg glättet we der Mttelwert-Algorthmu. Ebeno wrd de Fraktallandchaft hermt anfter geglättet d.h. ehr große Schwankungen der Höhenwerte beenfluen ncht de Landchaft. Der Medanflter behält durch de Wahl der mttleren Werte n enem betmmten Umkre und de aktuellen Höhenwerte de Konturen der urprünglchen Höhenkarte wetgehend be. Somt werden de enzelnen Höhenwerte jewel we folgt berechnet ( : Ζ ) Flterfenter. Höhe de Flterfenter Brete de wobe ~ X In deer Anwendung t de en 3*3-Medanflter oda her glt ( 3 ): ( ). ~ ~ X X Tmo Götzelmann

12 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 4. Tetur-Erzeugung Al erte mu de fraktale Landchaft n erchedene Höhenebenen engetelt werden. D.h. e wrd für jede Quadrat ermttelt ob e ch dabe um ene Talregon ene der beden Mttelchchten oder ene Gebrgregon handelt. Zur Genererung der Geamttetur werden zufallwee pro Höhenchcht klene Teturen anenandergereht. De 4 Telteturen werden au Dateen augeleen und nd omt enfach auzutauchen. Mehrere Teturtufen wären ohne großen Aufwand machbar jedoch ncht unbedngt notwendg. 4. Landchafttetur 4.. Entelung der Ebenenregonen Herzu wrd durch ene enfache Htogramm-Funkton gewährletet da de Vertelung der Teturen gemäß den orab defnerten Antelen glechmäßg und damt ncht abhängg t on der durchchnttlchen Höhe der Landchaft. Vorlauf: a) Defnton der Antele der enzelnen Teturen T n z.b.: T.5 T.5 T 3. T 4.5 wobe ( T n ). b) Anzahl_Höhenwerte Höhenlandchaft DmX * Höhenlandchaft DmY ) Sammle alle Werte m Feld Höhenlandchaft[][] n Feld Höhenwerte[] ) ortere Feld Höhenwerte[] (bepelwee mt Quckort) 3) Anteln ( Tn )* Anzahl _ Höhenwerte 4) Grenzwert n Höhenwerte Antel n wobe glt: für n Teturebenen gbt e (n-) Grenzwerte Kompletät de Algorthmu Koten der Sorterfunkton mndeten jedoch O(n) Tmo Götzelmann

13 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 4.. Snthee der Telteturen Herbe werden den unterchedlchen Höhenwerten der Fraktallandchaft de zugehörge Tetur (ehe 3..) zugeween und omt de Landchafttetur erzeugt. Herbe wrd en Fehler berechnet um zwchen den Telteturen überzublenden: foreach der Landchafttetur do foreach der Landchafttetur do f Hoehe [][] <grenze ebene : f ele f Hoehe [][] <grenze ebene : fehler : (Hoehe [][] - grenze ) / (grenze - grenze ) f ele f Hoehe [][] <grenze 3 ebene : fehler : (Hoehe [][] grenze ) / (grenze 3 grenze ) f ele ebene : 3 fehler : (Hoehe [][] grenze 3 ) / (Hoehe ma grenze 3 ) ele Blende Teturen mttel ebene und fehler od od Nun kennzechnet ebene de zu wählende Tetur und fehler den Faktor zur Überblendung on der Tetur ebene zur Tetur ebene-. foreach farbe der aktuellen Pel do f ebene > TeturPel Tetur[ebene-] * (-fehler) Tetur[ebene] * fehler f ele TeturPel Tetur[ebene] ele od De Zet- Kompletät de Algorthmu zur Teturnthee beträgt O(n ). De enzelnen Ebenenteturen werden n enem Feld Tetur AnzahlEbenen gehalten. Tmo Götzelmann

14 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: Spannen ncht erlaubt Durch da Enparen der Prmte (ehe...) erlegt man lecht dem Irrglauben de Tetur nur über de orhandenen Prmte pannen zu müen d.h. we be GL_QUADS zu erfahren mt dem Unterched da ledglch Lücken zwchen den enzelnen Polgonen betehen. De führt jedoch zu ener Verzerrung der Tetur an den Stellen der Lücken und t be unerer Anwendung natürlch ncht erwüncht. Bepel: Al Tetur oll zur Demontraton ene Weltkarte denen und al Polgon-Tp GL_QUAD_STRIP. Um de Anzahl der Polgone zu errngern erucht man alo de Koordnaten der Vertce und 4 bzw. 3 und 5 (gemäß Abbldung ) o zu defneren da e enen gewen Abtand haben oda man en komplette Quadrat (und damt n unerem Bepel 4 Vertce) enparen kann. We bechreben wrkt ch de pot auf de Auführunggechwndgket au. Vertelt man jedoch de Tetur we be GL_QUADS führt de ncht zu dem gewünchten Ergebn we Abbldung 44 zegt. Abbldung 4 Man kann her gut erkennen da zwchen den beden außen legenden Quadraten ene Streckung der Tetur beteht. Um alo GL_QUAD_STRIP zu erwenden t e notwendg da man de Teturkoordnaten defnert al ob kene Lücken zwchen den defnerten Vertce orhanden wären. 4. Hmmeltetur: 4.. Genererung mttel Fourerrehe Her habe ch ene on [Gard 84] entwckelte Formel benutzt: Tmo Götzelmann

15 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 4 ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]. n n : wobe n n n n f c g g f f f q g p T q g c T p f c k T π π Hernach habe ch enen Algorthmu zu Berechnung der Wolkentruktur gechreben. Da deer jedoch ehr ele Wederholungen und erkennbare Muter auwe mute ch enge Erweterungen ornehmen damt be jedem Start de Programm ene neue Wolkendecke entteht. Gardner Formel habe ch we folgt erwetert: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ). * * n * * n : glt wobe * * n * * n Off Off n Off n Off f c g g f f zoom z f q zoom z g p T q zoom g c T p zoom f c k T π π Wobe für de Parameter glt: Der Faktor c t zur Steuerung de Kontrate denlch. Wr erwenden enen Kontratfaktor on. welcher n unerer Anwendung am realtchten erchent. Der on Gardner gegebene Faktor k letet ähnlche nur eben auf de Summe der beden Telummen und t omt al en Tmo Götzelmann

16 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 5 Hellgketfaktor zu ertehen. Da c n deer Anwendung den Wert. betzt könnte er alo enfach entfallen. De on Gardner gegebene Varable T t ähnlch we k für de Hellgket zutändg allerdng al en Offet. In deer Anwendung ergab der Wert -.45 de beten Reultate. De Veränderung der Startwerte für f bzw. g treckt bzw. taucht de überlagerten Snuwellen n -Rchtung (für f) bzw. -Rchtung (für g). In deer Anwendung haben bede den Wert.7 welcher ehr realtche Wolken ergab. Für de Anzahl der Iteratonen n habe ch gewählt da de enen guten Komprom zwchen Rechenaufwand und Berechnungqualtät dartellt. Zu bemerken t da man be Änderung der Anzahl der Iteratonen auch de Kontrat- und Hellgketfaktoren anpaen mu damt de beden Telummen weder akzeptable Werte ergeben. Her wäre be ener erneuten Erweterung der Formel ene automatche Steuerung betreff der Iteratonenzahl gegenüber dem Kontratwert c bzw. dem Hellgketoffet T denkbar. De würde aber den Rahmen deer Auarbetung prengen. Off und Off haben be deer Anwendung Zufallwerte m Berech on [..]. Se areren den Auchntt der Berechnung um erkennbare Wederholungen und Muter zu ermeden. Ähnlch nd z und z Zufallfaktoren m Werteberech zwchen [..] und chern omt de Genererung mmer neuer Wolkengeblde. De Varable zoom defnert nwewet n de Berechnung hnengezoomt wrd. Große Zoomfaktoren ergeben wecher erlaufende Wolkenteturen klene Zoomfaktoren härtere. Be weterem Interee zu deer Formel erwee ch auf den on mr entwckelten Gardner- Eplorer. De t ene on mr entwckelte OpenGL Applkaton mt welcher ch ämtlche Varablen on Gardner Formel areren laen und de drekten Auwrkungen auf da Ergebn ofort erchtlch werden. Auf Anfrage gebe ch gerne deen Quellcode fre. 4.. Genererung mttel Zufallwerten Nach Genererung on Zufallwerten erfolgt ene Mehrfachanwendung de o genannten Damond-Square - Algorthmu um ene Mttelung der Werte herbezuführen. Damond-Square Algorthmu: Tmo Götzelmann

17 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 6 Deer urprünglch on [Ml 86] zur Genererung on fraktalen Landchaften durch Zufallwerte entwckelte Algorthmu kann ebeno zur Genererung on fraktalen Wolken angewendet werden. Deer Algorthmu t n elen Blderarbetungprogrammen we bepelwee Photohop mplementert. De Größe der Btmap hat mmer n zu en. De er Eckpunkte werden mt Zufallwerten ntalert. Her zur Veranchaulchung n der lnken der 55 Matrzen. Anchleßend wrd der Damond - Schrtt augeführt (Mtte). Dazu wrd der Mttelwert der er Punkte errechnet und deer n da Pel n der Mtte der er Punkte gechreben. Nun wrd m Square - Schrtt deer Mttelwert jewel mt ener Zufallfunkton errechnet und n de Punkte zwchen den er Eckpunkten gechreben. Deer Schrtt wrd nun mt reduzerter Kantenlänge für jede Telquadrat wederholt. Herbe wrd dann auch de fraktale Selbtähnlchket erchtlch. Deer Algorthmu kann ncht ohne Schedulng- Algorthmu rekur mplementert werden. E mu unbedngt Ebene für Ebene terert werden da ont fehlerhafte Werte berechnet werden. Betrachtung der Specher- Kompletät: Tmo Götzelmann

18 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 7 Be enfacher Anwendung de Algorthmu kommt e zu ener Vererfachung der Vertce: ( ) ( ) VertceUnquared ( )( ) fvertcedamondsquared lm lm. f Allgemen lät ch alo agen da be n-facher Anwendung dee Algorthmu be m Dmenonen ene Specherkompletät on O( n*m ) Vertce ergbt. 5. Optmerungen In deem Abchntt nd enge der wchtgten Optmerungen n Bezug auf Realmu der Szene und Auführunggechwndgket näher erläutert. 5. Vernachlägung der Rücketen Zur Gechwndgketoptmerung wrd ene Technk namen Back Face Cullng angewendet welche de Tetur ledglch n ener Rchtung auf de Prmte mappt. Schleßlch t e be deer Anwendung ncht nötg auch auf de Rückete der genererten Landchaft zu blcken. De herfür benutzten Befehle: - glenable(gl_cull_face); Um da Back Face Cullng anzuchalten - glfrontface(gl_cw); Um de chtbare Sete der Tetur fetzulegen 5. Beetgen de Flackern Wegen der Velzahl on Vertce und dem zetraubenden Mappng der Tetur habe ch mr da o genannte Double-Bufferng zunutze gemacht um en Flackern zu ermeden. Herzu werden zwe Puffer erwendet ener zum Anzegen der aktuellen Szene und ener zum Zechnen der nächten Szene. Ert wenn da Zechnen der nächten Szene abgechloen t wrd dee auch durch en Umchalten der beden Puffer angezegt. Tmo Götzelmann

19 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 8 Herzu benutzte Befehle: - glutintdplamode(glut_double) Um de Untertützung on Double- Bufferng anzuchalten. - glutswapbuffer(); Zum Umchalten der beden Puffer 5.3 Nebeleffekt Der erwendete Nebel t eponenteller Nebel und hat zuglech zwe Funktonen. Zum enen gbt er der Szene mehr Realmu und zum anderen wrd er dafür benötgt um ene Schwäche de Tefenpuffer (ehe auch 5.4) auzuglechen. Für noch mehr Realmu hätte o ene wetere OpenGL Etenon o genannter Volumetrc Fog georgt. Deer t ab der OpenGL Veron.3 erfügbar. Man hätte damt Nebel n den tefen Regonen der fraktalen Landchaft erzeugen können. Dee Säumen der Täler mt Nebel belatet jedoch erheblch de GPU wa ncht m Verhältn mt der optchen Effekt tand. 5.4 Anpaung der Schtwete 5.4. Mamal möglche Schtwete Mt dem Befehl gluperpecte wrd unter anderem de mnmale und mamale Schtwete engetellt. De mnmale Schtwete wählt man ehr klen damt man möglcht nahe an de Oberfläche der Landchaft heran flegen kann. Da de chtbare Szene je nach Blckpunkt ehr wetläufg en kann mu man normalerwee auch ene große mamale Schtwete entellen. De mamalen Schtdtanzen betragen n unerem Fall für z 35. In unerem Fall wäre de der Dtanzektor der Szene: Dtanz z ma In unerem Fall glt zwar nur m alo zwe Dmenonen jedoch t e durchau denkbar den Algorthmu für Tmo Götzelmann

20 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: Optmerung der Schtwete Normalerwee tellt ene we n 5.4. berechnete Schtwete ken Problem dar. Jedoch enthält de Szene durch de Verwendung ener Waeroberfläche mehrere coplanare oder zumndet nahezu coplanare Polgone m Uferberech. Be großen Dfferenzen m Vewng-Volumen zwchen dem Near- und Far-Wert kommt e zu Ungenaugketen m Tefenpuffer on OpenGL welche beonder n der Ferne zu erheblchen Renderng-Fehlern führt. Dee Fehler laen ch auch ncht mt enem Tefentet auf GL_LEQUAL oder GL_EQUAL beetgen. E gbt Möglchketen um dee Problem zu beetgen: - De Verrngerung der Dfferenz zwchen Dtanz mn und Dtanz ma - Der Gebrauch der Polgon Offet Etenon. Da ch we n Punkt 5.3 bechreben eponentellen Nebel zum Depth-Cueng enetze habe ch mch für de erte Alternate entcheden da ab ener betmmten Dtanz der Nebel für da Auge de Benutzer undurchdrngbar dcht t. Da ch de Nebelfarbe al rene weß defnert habe habe ch auch al Hntergrundfarbe de Farbe weß gewählt damt man kenen Unterched zwchen Nebel und den Polgonen de außerhalb de Vewng-Volumen nd fettellen kann. Normalerwee t e für da menchlche Auge unmöglch Hellgketunterchede on enem Prozent zu dfferenzeren [Schu /]. Allerdng lät ch deer Wert ehr on pchologchen Gechtpunkten beenfluen und glt nur unter optmalen Bedngungen. Tatächlch t be der on mr entwckelten Anwendung be enem Hellgketunterched on % zwchen Wolken und weßem Hntergrund mt dem Auge unter Normalbedngungen ken Unterched auzumachen. Deer eponentelle Nebel entprcht der Formel: e ( Nebeldchte* D tanz). m> zu erwetern. En Bepel herfür wäre de Genererung on dredmenonalen Wolken. Tmo Götzelmann

21 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: De Nebeldchte d on.5 eht n unerer Szene realtch au. Wenn man nun fordert de Dtanz z o zu wählen da ene Schtbarket on höchten Prozent gegeben t beor man ncht mehr zwchen Nebel und weßem Hntergrund untercheden kann kommt man zu folgender Glechung: e ( ) ( d* z ) ma log d* z. ma Mt ener Nebeldchte.5 und ma. % Lchtdurchla ergbt de ln.5* z.3.5* z z 9.4. Somt t be enem Abtand on 9 Enheten tatächlch ken Unterched zu dem orhergen Abtand on ~6974 Enheten fetzutellen. En poter Nebeneffekt deer Optmerung t de Reduzerung der Anzahl der zu rendernden Polgone und der damt erbundene Gechwndgketzuwach. 5.5 Tetur- Detaltufen Ohne de Technk de Blden o genannter Mp-Map kommt e unter Umtänden be Verklenerungen on Teeln (n der Ferne) zu Farbwertprüngen und Mutern welche man n ener Anmaton al törend empfndet. Teturen haben unter OpenGL mmer n Pel pro Dmenon (abgeehen on enem möglchen Rand on Peln). Man berechnet nun alo orab für de Teturen de n Betracht kommen alle Detaltufen n- pro Dmenon mt n. Dabe werden be jedem Durchgang Pel zu enem Pel durch Mttelwertbldung zuammengefat. Zur Laufzet wrd nun alo fall mehrere Teel enem Pel zugeordnet werden da Mttelwert- Pel der jewelgen Detaltufe benutzt. Durch de Vorberechnung gbt e her kene D.h. da höchten % de Retlcht durch den Nebel chtbar t. Pel ener Tetur. Tmo Götzelmann

22 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: Gechwndgketenbußen jedoch lät ch zegen da nahezu der doppelte Specheraufwand anfällt. 5.6 Teturüberlagerung Her habe ch mr ene OpenGL Erweterung namen Multteturng (OpenGL Standart.) zu Nutze gemacht. Dee erlaubt e zwe oder mehrere Teturen zu überlagern. Dee Funkton t n modernen Graphkkarten hardwaretechnch untertützt womt ch kenerle Gechwndgketnachtel ergbt. Durch dee Technk t e möglch de ene Tetur über ene Velzahl on Polgonen zu pannen (n deem Falle de orab berechnete Fraktal-/Landchaft-Tetur ) während de zwete Tetur über de Szene gekachelt wrd. Der Vortel deer Technk t da be Vergrößerungen ene Teel der Fraktal-/Landchaft- Tetur (m Nahberech) de zwete Tetur al Detaltetur wrkt und omt für mehr Realmu orgt. 5.7 Bäume Um de Szene noch mehr an en Landchaftbld ernnern zu laen habe ch zuätzlch n ener gewen Höhenlage Bäume geetzt. De urprünglche Tetur t en normale Btmap welche durch en Programm Xfrog on Oler Deuen (ehe [Deuen 97]) erzeugt wurde. Dee Programm erzeugt fraktale botanche Gewäche o genannte L-Steme ehr realtch. Dee Date habe ch derart modfzert da ch ähnlch we be GIF -Dateen ene enhetlche Farbe al tranparente Farbe defnert habe und dee dann al normale BMP -Date abgepechert habe. Dee Date habe ch dann mt menem normalen Btmap-Lader n en Feld engeleen und n enem zweten Schrtt n en Feld mt enem Alpha-Wert übertragen. Sehe Punkt 4.. D.h. mehrere Pel nd enem Teel zugeordnet. Tmo Götzelmann

23 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: Herbe habe ch dann untercheden ob ch de Farbe um de orher defnerte tranparente Farbe handelt oder ncht und habe omt ene Tetur mt Alpha-Wert erzeugen können. Mttel der Alpha-Funkton konnte ch damt de Bäume mt Zwegen und Blättern dartellen ohne da chtbar wurde da de Tetur egentlche auf en Quadrat gepannt wurde denn dort wo de Tetur al tranparent defnert war war e auch komplett durchchtg. Um zu erhndern da de Bäume on der Sete geehen ncht chtbar nd habe ch pro Baum zwe gekreuzte Quadrate erwendet. Anmerkung: De Genererung der Orenterungpfel-Tetur erfolgt nach der glechen Technk nur wrd dee zuätzlch mt der Blend-Funkton on OpenGL teltranparent dargetellt. Tmo Götzelmann

24 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 3 6. Aublck und möglche Erweterungen: E t m Rahmen deer Studenarbet gelungen den Gedanken der anchaulchen Vualerung on Mandelbrotmengen al Fraktallandchaft umzuetzen. Da e aber o gut we mmer etwa zu erbeern gbt oraugeetzt man hat genügend Zet wll ch enge mener Gedanken zu den Verbeerungmöglchketen chldern. Ene Optmerung welche man bepelwee UnTeelate nennen könnte wäre denkbar. De würde unter Berückchtgung ene zulägen Fehler de enzelnen Verecke de Drahtgtter derart zuammenfaen da en Drahtgtter mt wenger Prmten entteht ohne da de Qualtät darunter merklch ledet (dazu u.a. [Strot /]). De hätte aber enen komplett neuen Algorthmu zur Ertellung der anenander gehängten Polgone zur Folge. Eentuell würde e ncht möglch en zuammenhängende Polgone zu defneren oda der pote Effekt aufgehoben werden würde. Ene gute Löung wäre ene Aufwandchätzungfunkton welche Fall für Fall entchedet welche Verfahren angewendet wrd. Ebeno denkbar wäre ene Kombnaton mt ener Leel-of-Detal Logk welche enen weteren Gechwndgketzuwach zur Folge hätte. Ene wetere ntereante Verbeerung wäre de Entwcklung ene enfachen Algorthmu der de Teturen über de Polgone derart ertelt da e be unterchedlcher Stegung zu kener Streckung der Teturen kommt. Dadurch würden de Teturen auf dem regelmäßgen Gtter auch be großen Stegungen ncht oder zumndet wenger erzerrt werden wa ch pot auf den Realmu auwrken würde. Da e ch um ene Fraktallandchaft handelt de zur beeren Optk auch Bäume enthält wäre e deal wenn auch de Teturen für de Bäume durch Fraktale erzeugt würden. Sehe dazu auch [Strot /] und [Deuen 97]. E wäre wrklch ntereant all dee Verbeerungen zu erwrklchen jedoch würden e be Wetem den Rahmen deer Arbet n Zet und Umfang prengen. o genannte Lndenmaer-Steme. Tmo Götzelmann

25 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 4 E nd durchau Anwendungen denkbar n denen de entwckelte Graphkengne ohne größere Veränderung glechdmenonale Daten anderer Herkunft ebeno al Landchaft dartellen kann oraugeetzt e macht Snn de zu tun. Tmo Götzelmann

26 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 5 Quellenerzechn: [Burdck 97] Howard E. Burdck; Dgtal Imagng;. Edton; Computng McGraw- Hll; ISBN ; 997; S.4 [Deuen 97] O. Deuen B. Lntermann; Erzeugung kompleer botancher Objekte n der Computergraphk Informatk Spektrum /4; Sprnger-Verlag; ISSN 7-6 [Gard 84] Fole an Dam Fener Hughe; Computer Graphc: Prncple and Practce. Edton; Addon Wele; ISBN ---7; 993 [Jäh ] Bernd Jähne; Dgtale Blderarbetung; 5. Auflage; Sprnger-Verlag; ISBN ; S. 37 [Leh 97] T. Lehmann W. Oberchelp Erch Pelkan Rudolf Repge; Blderarbetung n der Medzn; Sprnger Verlag; ISBN ; 997; S.346 [Ml 86] Gan S. P. Mller; The defnton and renderng of terran map; ACM SIGGRAPH Computer Graphc; ACM Pre New York; ISBN: ;986; S [Schu /] H. Schumann W. Müller; Vualerung: Grundlagen und allgemene Methoden; Sprnger Verlag; ISBN ; S. 9-3 [Schu /] H. Schumann W. Müller; Vualerung: Grundlagen und allgemene Methoden; Sprnger Verlag; ISBN ; S. 85 [Strot /] T. Strothotte S. Schlechtweg; Non-realtc Computer Graphc; Morgan Kaufmann Publher; ISBN ; S.9 33 [Strot /] T. Strothotte S. Schlechtweg; Non-realtc Computer Graphc; Morgan Kaufmann Publher; ISBN ; S.3 35 Tmo Götzelmann

27 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 6 Anhang A. Stemoretzungen Getetete Betrebteme: - Wndow NT - Wndow - Wndow XP - Solar Sparc 9. - Solar X Lnu 8. / 9. Notwendg: - Graphkkarte - mndeten 3 MB Specher - OpenGL- Untertützung ab Veron. - Graphktreber mt OpenGL Untertützung al Schntttelle - chneller Prozeor (>.5 GHz) - freer Fetplattenpecher - Intallaton MBte - zur Laufzet je nach Auflöung: - nedrg 4 MBte - mttel 6 MBte - hoch 64 MBte - Mau Optonal: - be Mehrprozeorbetreb: - MPI Implementerung für jewelge Betrebtem - fregegebener Ordner für da Programm - unter Wndow-Stemen: - Temporär- Verzechn c:\tmp Tmo Götzelmann

28 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 7 B. Benutzerdokumentaon B. Grundlegende Interaktonmöglchketen De Benutzung der Anwendung t erdenklch enfach. Mttel der Taten bzw. - erhöht bezehungwee errngert man de Bewegunggechwndgket n de Blckrchtung. Man teuert de Kamera mttel der Mau n de gewünchte Rchtung ndem man de lnke Mautate zur Rchtungänderung gedrückt hält. Ene Kollonabfrage erhndert da man ch zu wet on der Szene entfernt we auch da man ncht mt der fraktalen Landchaft kolldert oder aber durch e hndurch flegt. Für de beere Orenterung geben zwe Anzegen über Poton und Blckrchtung Aukunft: Karte Poton (weßer Punkt) Rchtungpfel Tmo Götzelmann

29 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 8 B. Änderung der Auflöung/ de Anzegemodu Mttel der Funktontaten kann man owet om Computer untertützt de Auflöung erändern bezehungwee zwchen Fenter- und Vollbldmodu wecheln. Funktontate: F: Vollbld- Modu: 6448 Pel F: Vollbld- Modu: 86 Pel F3: Vollbld- Modu: 4768 Pel F4: Vollbld- Modu: 84 Pel F5: Vollbld- Modu: 6 Pel F: Fenter- Modu: 6448 Pel F: Fenter- Modu: 86 Pel F: Fenter- Modu: 4768 Pel Achtung: der Wechel zwchen den Auflöungen bewrkt erneute Intalerung der Szene und omt ene Verzögerung. B.3 Zuatzoptonen mttel Maumenü (nur Fentermodu) Befndet man ch m Fenter-Modu kann man zuätzlch mt der rechten Mautate ene Zuatzopton au dem Maumenü auwählen. Maumenü werden m Vollbldmodu ncht on OpenGL untertützt. Tmo Götzelmann

30 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 9 Im Fltermenü kann man ch de Orgnallandchaft wederhertellen laen. Daraufhn kann man o oft man wll teten we ch de beden Flter auf de Landchaft auwrken oder aber enfach de zerklüftete Orgnallandchaft erkunden. De Opton Regen ermöglcht den Regeneffekt zur Laufzet an und au zu tellen. Wählt man Drahtgtter kann man ch de Landchaft al en olche anzegen laen und omt etwa über den Aufbau der Szene erfahren. Beenden lät ch de Anwendung entweder durch Drücken der Ecape-Tate oder durch den entprechenden Entrag m Maumenü. Tmo Götzelmann

31 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 3 C. Intallaton der MPI- Implementerung MPICH..5 unter Wndow NT. Herunterladen der aktuellen Veron: Intallaton mt Admntrator-Rechten Bepelwee unter C:\Programme\MPICH Enrchten der Umgebung - Auführen de Konfguraton-Programm Start -> Programme -> MPICH -> mpd -> MPICH Confguraton tool - Unter Punkt. alle Rechnernamen (z.b. CAE) entragen. - Unter Punkt. fall notwendg beondere Entellungen ornehmen. - Anchleßend unter Punkt. APPLY Änderungen übernehmen. - Fall Fehler auftreten: - Rechnernamen überprüfen. - Unter Punkt. SELECT auwählen und Fehlermeldungen beachten. - Jeder Benutzer kann nun unter [Intallaton-Verzechn]/mpd/bn/ MPIRegter.ee enen Benutzernamen und Pawort erchlüelt n der Regtr abpechern laen (Nur notwendg für komfortablere Arbetwee mt dem Kommandozelen-Programm mprun.ee). Tmo Götzelmann

32 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 3 4. Kompleren on MPI- Programmen unter C - Folgende Dateen müen zu den Programmen gebunden werden wock3.dll (unter DEV C lbwock3.a ) mpch.dll ([Intallaton-Verzechn]/SDK/Lb) Eentuell zuätzlch mpchd.dll ([Intallaton-Verzechn]/SDK/Lb) mpe.lb ([Intallaton-Verzechn]/SDK/Lb) mped.lb ([Intallaton-Verzechn]/SDK/Lb) - Folgende Include- Dateen müen m Quellcode engebunden werden wnock.h mp.h ([Intallaton-Verzechn]/SDK/Include) - In Wndow- Stemen notwendg Am Programmenprungpunkt (man(...)- Routne) WSADATA wadata; f ( WSAStartup( &wadata) ) { prntf("kann leder ncht WnSock- Bblothek ntaleren.\n"); et(); } 5. Starten de Programm - mttel MPIRUN.EXE - on Kommandozele we unter Solar/ Lnu - zuätzlche Optonen: -localonl : nur auf lokalem Rechner (bp. zwe Prozeoren) -logon : Erzwngt Engabe on Benutzer/Pawort Tmo Götzelmann

33 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 3 - mttel graphchem Tool gumpirun.ee - Start -> Programme -> MPICH -> mpd -> MPIRun oder [Intallaton-Verzechn]/mpd/bn/ gumpirun.ee - Anwendung auwählen - Zu benutzende Rechner auwählen - Anzahl Prozee auwählen - eentuell erweterte Optonen wählen Bepelwee: Alwa prompt for paword (we logon ) - Starten mt Run - ACHTUNG: de zu tartende Date mu ch n enem Netzlaufwerk bezehungwee fregebenen Verzechn befnden 6. Beondere Hnwee zum Debuggen - Fall anhand on Tetaugaben debuggt wrd t e pezell unter Wndow wchtg den Augabepuffer nach ener Tetaugabe zu leeren da ont unter Umtänden de Augabe m Datennrana endet. Alo: ffluh(tdout) nach prntf! Tmo Götzelmann

34 Interakte Dartellung on Mandelbrotmengen al fraktale Landchaften Tel Sete: 33 D. Quellenangaben für Teturen Landchaftebenen: Ebene.bmp : Nachbearbetet mt Photohop 7. Ebene.bmp : teture.ap?ctgra Nachbearbetet mt Photohop 7. Ebene.bmp : Nachbearbetet mt Photohop 7. Ebene3.bmp : Nachbearbetet mt Photohop 7. Detaltetur: Detal.bmp : Nachbearbetet mt Photohop 7. Waer: Waer.bmp : Nachbearbetet mt Photohop 7. Baum: Baum.bmp : Nachbearbetet mt Photohop 7. Dee Tetur t mt Photohop 7. ertellt: - CockptPfel.bmp Sämtlche weteren Teturen und graphchen Effekte werden egentändg berechnet. Tmo Götzelmann