Elektrotechnik Grundlagen

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1 Hochschule fü Technik und Achitektu Ben Abteilung Elektotechnik und Elektonik BFH Beeich Elekto- und Kommunikationstechnik Elektotechnik Gundlagen Kapitel 81 Elektisches Feld 003 Kut Steudle (/ET_8.doc)

2 STR ING Elektotechnik 81 - Inhaltsvezeichnis 81 Elektisches Feld Ladung und elektische Feldgössen Die elektische Ladung und ihe Wikung Die elektischen Feldgössen Äquipotentialflächen Gadient eines Feldes Veschiebungsfluss, Flächenladungsdichte Elektische Influenz. Ladungstennung Elektische Feldkonstante und Dielektizitätszahl Piezoelektische Effekt Ausgewählte Felde Feld de geladenen Kugel Lange geade Leite Das Genzschichtpoblem Die Kapazität C Plattenkondensato Kugelkondensato Zylindekondensato Enegie und Kaft im elektostatischen Feld Kaftwikung am Plattenkondensato Enegiedichte Coulomb und das Mass fü die Kapazität Das elektische Stömungsfeld Feldgössen im Stömungsfeld Leistung im Stömungsfeld... Kut Steudle 81 - st

3 STR ING Elektotechnik 81-3 Liteatuvezeichnis und Softwae L 81-1 Feynman Richad P., Leighton Robet B., Sands Matthew, The Feynman Lectues on Physics, mainly electomagnetism and matte, Addison-Wesley Publishing Company, Reading (Massachusetts), Palo Alto, London. L 81- Fohne Heinich, Löchee Kal-Heinz und Mülle Hans, Gundlagen de Elektotechnik, Velag B.G. Teubne, Stuttgat Leipzig, 1996, ISBN L 81-3 Gen Joachim und Kause Joachim, Metzle Physik, Velag Schoedel, Hannove, 1998, ISBN L 81-4 Hagmann Get, Gundlagen de Elektotechnik, AULA Velag Wiesbaden, Auflage 3, ISBN L 81-5 Lüsche Edga, Expeimentalphysik II, Hochschultaschenbüche BI 115/115a, Bibliogaphisches Institut, Mannheim. L 81-6 MATHCAD 000. Mathematiksoftwae, die sich fü numeische Rechnungen und Laboauswetungen eignet. L 81-7 Meinke H., Gundlach Fiedich Wilhelm, Taschenbuch de Hochfequenztechnik, Studienausgabe in 3 Bänden, Spinge Velag Belin Heidelbeg New Yok, 1986, 4. Auflage, ISBN L 81-8 Schilt Heinz, Elektizitätslehe, Bikhäuse Velag, Basel, L 81-9 Tabellenbuch Infomations- und Telekommunikationstechnik, Velag D. Max Gehlen, Bad Hombug vo de Höhe, 1998, ISBN x. Figuenvezeichnis Fig Elektoskop (Aus [L 81-3])... 4 Fig. 81- Elektisches Feld zwischen zwei metallischen Platten... 5 Fig Elektische Felde. (Aus [L 81-3])... 6 Fig Spannung im elektischen Feld (Aus [L 81-4])... 7 Fig Äquipotentialflächen... 7 Fig Infinitesimales Volumenelement Fig Influenz. Ladungstennung Fig Piezoelektische Effekt. (Aus [L 81-3]) Fig Feld eine Kugelladung Fig Lange geade Leite Fig Elektisches Feld an eine Genzschicht Fig Plattenkondensato Fig Kugelkondensato Fig Zylindekondensato Fig Vesuchsanodnung von Coulomb Fig Stömungsfeld in Metallplatte. (Aus [L 81-4])... 1 Fig Infinitesimales Volumenelement im Stömungsfeld... 1 Tabellenvezeichnis Tabelle 81-1 Dielektizitätszahlen, Pemittivitätszahlen Kut Steudle 81-3 st

4 STR ING Elektotechnik Elektisches Feld Das elektische Feld bescheibt Escheinungen, die duch geladene Mateie bewikt weden. Mateie setzt sich aus kleinsten Einheiten, aus Atomen zusammen. Atome bestehen aus Potonen, Neutonen und Elektonen (einfaches Atommodell) und wiken in de Regel ladungsneutal. 1 Potonen tagen die positive, Elektonen die negative Elementaladung e = 1, As = 1, C Ladung und elektische Feldgössen Die elektische Ladung und ihe Wikung Sobald sich in einem Mateial die Zahl de Potonen von de Zahl de Elektonen untescheidet, escheint eine nach aussen wikende Ladung. Die Ladungsmenge egibt sich aus de Diffeenz de Anzahl Potonen und Elektonen und kann positiv (Elektonenmangel) ode negativ (Elektonenübeschuss) sein. Fig Elektoskop (Aus [L 81-3]) Weden die beiden unteschiedlich geladenen Kugeln leitend vebunden, geht de Ausschlag de beiden Elektoskope 3 zuück. Elektische Ladungen üben gegenseitig Käfte aufeinande aus. Usache diese Käfte ist ein besondee, duch die Ladung geschaffene Raumzustand, den wi elektisches Feld nennen. Wid das elektische Feld von uhende Ladung ezeugt, spechen wi von einem elektostatischen Feld. 4 Elektische Felde sind geichtete Felde, das heisst Vektofelde. 1 BOHR sches Atommodell. BOHR Niels, , dänische Physike, Atommodell 1913, Nobelpeis 19. Vgl. auch Kapitel. 3 Elektoskop ode statisches Voltmete. Gündet zu Anzeige auf den Käften zwischen Ladungen. Festes und bewegliches Metallplättchen sind elektische vebunden. 4 Statische Felde sind zeitunabhängige Felde. Kut Steudle 81-4 st

5 STR ING Elektotechnik uelle E d _ E - Fig. 81- Elektisches Feld zwischen zwei metallischen Platten Die uelle U bewikt eine Ladungstennung. Die obee Metallplatte weist einen Elektonenmangel, die untee einen Elektonenübeschuss, auf. De Zustand bleibt ehalten, wenn die uelle entfent wid. Die beiden Metallplatten zeigen sich dann als unteschiedlich geladene Köpe. Die Anodnung speichet Ladung (Ladungsspeiche). Elektische Ladungen teten paaweise auf. Eine positiven Ladung steht eine negative Ladung gegenübe. Escheint eine Einzelladung, dann ist ihe Gegenladung seh weit entfent. Eine Anodnung nach Fig. 81- nennen wi Kondensato. 5 De Isolato zwischen den beiden metallischen Platten (hie Luft ode Vakuum) heisst Dielektikum. 6 (Vgl. Kapitel 81.3 und ) Die elektischen Feldgössen Auf eine kleine Menge Ladung, eine Pobeladung, in einem elektischen Feld wikt eine Kaft F, die sich popotional zu Ladungsmenge vehält. Mit F ~ lässt sich mit de Popotionalitätskonstante E auch scheiben F = E. Die Popotionalitätskonstante E macht eine Aussage übe die Stäke des elektischen Feldes und wid dahe elektische Feldstäke genannt. Allgemein ist die Kaft F eine geichtete Gösse, ein Vekto. Die Ladung stellt sich als skalae Gösse da. Damit muss die elektische Feldstäke E eine geichtete Gösse, ein Vekto, sein. 7 F = E ode E = F (81-1) Feldstäke E und Kaft F haben bei positive Pobeladung + die gleiche und bei 5 lat.: condensus; seh dicht, dicht gedängt, Vedichte. De Kondensato ist ein Ladungsspeiche. 6 Bezeichnung fü eine Substanz, die Elektizität nicht ode nu seh wenig leitet, abe duch Reibung ode Ladung selbe elekt. eegt weden kann (z.b. Benstein, uaz, Glimme). Ein absolute Nichtleite ist das Vakuum. 7 Die Dimension de elektischen Feldstäke E egibt sich aus NC -1 zu Vm -1. Kut Steudle 81-5 st

6 STR ING Elektotechnik 81-6 negative Pobeladung - entgegengesetzte Richtung. Das elektische Feld wid oft in Feldlinien dagestellt. Feldlinien geben an, in welche Richtung die Kaft auf eine positive Pobeladung wikt. Fig Elektische Felde. (Aus [L 81-3]) In de Anodnung nach Fig. 81- velaufen alle Feldlinien paallel. Das elektische Feld im Plattenkondensato ist homogen. 8 Bewegen wi in Fig. 81- eine positive Pobeladung von de unteen Platte zu obeen Platte, wikt auf sie die Kaft F = E ; dabei sei d de Abstand de beiden metallischen Platten. Es ist die Enegie W = F d = E d aufzuwenden, um die Pobeladung von de einen zu andeen Platte zu bingen. Es gilt auch W = U I t = U und duch gleichsetzen wid E d = U. Fü das homogene Feld gilt: U E = (81-) d Entlang eines seh kuzen Wegstückes gilt U = E l. Fü ein inhomogenes E - Vektofeld lässt sich veallgemeinet sagen: n U1, = E l i= 1 8 Die Randzone wid dabei nicht betachtet. Kut Steudle 81-6 st

7 STR ING Elektotechnik 81-7 = E d l Entlang eines infinitesimal kuzen Wegstückes gilt du. Damit lässt sich die vohe gegebene Fomel scheiben als U 1, 1 = E d l (81-3) Fig Spannung im elektischen Feld (Aus [L 81-4]) Umgekeht egibt sich das Feld de Feldstäke aus dem Potenzialfeld U(x,y,z) zu E = U = gadu (81-4) Entlang eines geschlossenen Weges veschwindet die Spannung, das heisst es gilt Äquipotentialflächen E d l = 0 (81-5) Im elektischen Feld finden sich Flächen mit gleichbleibendem Potential ϕ k, sogenannte Äquipotentialflächen. Die Spannungsdiffeenz U 1, lässt sich auch ausdücken als Diffeenz zwischen den Potentialen zweie Äquipotentialflächen ϕ 1 und ϕ. U 1, = ϕ 1 - ϕ (81-6) E + uelle _ ϕ U 1, ϕ 1 E - Fig Äquipotentialflächen Kut Steudle 81-7 st

8 STR ING Elektotechnik Gadient eines Feldes Bestimmen Sie gafisch den Gadienten im Punkt P Kut Steudle 81-8 st

9 STR ING Elektotechnik 81-9 Lösung Kut Steudle 81-9 st

10 STR ING Elektotechnik Veschiebungsfluss, Flächenladungsdichte Die Feldlinien zwischen den Platten eines Kondensatos lassen sich als Flusslinien auffassen. Im elektostatischen Feld beginnen diese Flusslinien bei de positiven Ladung (obee Platte, uelle) und enden bei de negativen Ladung (untee Platte, Senke). Die Gesamtheit diese Flusslinien chaakteisieen den angenommenen Fluss ψ. De elektische Fluss ψ wid auch Veschiebungsfluss ode Eegungsfluss genannt. De Veschiebungsfluss ψ ist so goss, wie die Ladung, die ihn ezeugt. Es gilt ψ =. Die Feldstäke E ist de feldezeugenden Ladung popotional. Weden zwei Platten in eine Anodnung nach Fig. 81- beziehungsweise Fig in unteschiedlichen Abstand d gebacht und die zu E = U/d gehöende feldezeugende Ladung gemessen, lässt sich E ~ emitteln. Das heisst die elektische Feldstäke E vehält sich popotional zu Ladung. Wid de Vesuch mit Platten unteschiedliche Fläche A wiedeholt, lässt sich feststellen, dass sich de uotient /E popotional zu Fläche A vehält. Aus /E ~ A egibt sich, dass E ~ /A. Fü das homogene Feld zwischen zwei Platten egibt sich mit de Popotionalitätskonstanten ε 0 : = ε0 E = D (81-7) A De uotient /A = D heisst Flächenladungsdichte 9 und ε 0 ist die elektische Feldkonstante mit ε 0 = 8, As/Vm. 10 In einem beliebigen elektischen Feld gelten folgende Übelegungen aus einem infinitesimal kleinen Volumenelement innehalb des Feldes: Fig Infinitesimales Volumenelement In das Volumenelement, begenzt duch zwei Äquipotenzialflächen und vie Feldlinien teten insgesamt gleich viele Feldlinien ein wie aus. Unte Flächenladungs- 9 Die Flächenladungsdichte wid auch Veschiebungsdichte, Veschiebungsflussdichte ode elektische Flussdichte genannt. D ist wie E eine vektoielle Gösse. 10 Die elektische Feldkonstante wid auch Dielektizitätskonstante des Vakuums genannt. Kut Steudle st

11 STR ING Elektotechnik dichte D vestehen wi daaus das Vehältnis d dψ D = = da da d = D da ode (81-8) Bildet die Fläche A eine Hülle und befindet sich in diese Hülle eine Ladung, dann gilt Ψ = = D da (81-9) Die Flächenladungsdichte D ist eine vektoielle Gösse. D und E stimmen in ihe Richtung übeein Elektische Influenz. Ladungstennung Wid ein Leite in ein elektostatisches Feld gelegt, dann weden sich die in ihm befindenden feien Elektonen aufgund de Käfte, die auf die Ladungen wiken, innehalb des Leites veschoben. Die Elektonen wanden auf jene Seite des Leites, die dem positiven Potential zugewandt ist. Wi nennen diesen Vogang Influenz. 11 uelle E Metallische Pobeplättchen + + Fig Influenz. Ladungstennung Es weden zwei aneinande liegende metallische Plättchen in das elektische Feld E 11 lat.: influee, einfliessen; influo, hineinfliessen, unvemekt eindingen, sich einschleichen. Influenza: Gippe. Influenzmaschine: Elektisiemaschine (Ladungstennung). Kut Steudle st

12 STR ING Elektotechnik 81-1 gebacht und dot getennt. Zwischen den Plättchen entsteht ein feldfeie Raum. 1 In die beiden metallischen Plättchen mit de Fläche A dingen, solange diese sich im Feld befinden, gleich viele Feldlinien ein und wiede aus. Duch die Influenz wandeten die Elektonen in de Pobefläche A auf die de + - Platte zugewandte Seite. Nehmen wi die Plättchen getennt aus dem Feld, bleibt die Ladung ehalten. Es wude die Ladung influenziet und zwischen den beiden Pobeflächen besteht ein umgekeht geichtetes Feld E, das gleich goss ist wie das äussee Feld E=U/d. Es gilt D E A = = ε 0 (81-10) De so gefundene Zusammenhang gilt auch im inhomogenen Feld, wenn die Pobeplatten genügend klein sind. In eine seh kleinen Umgebung kann das Feld als angenähet homogen angesehen weden Elektische Feldkonstante und Dielektizitätszahl Die Menge de influenzieten Ladung ist abhängig vom Dielektikum, das heisst vom Mateial im Feldaum. In den meisten Dielektika (nichtleitende Stoffe) ist D ~ E, 13 das heisst es gilt D = ε E = ε ε E (81-11) 0 Die Popotionalitätskonstante ε heisst Dielektizitätskonstante. 14 ε setzt sich zusammen aus eine Konstanten ε 0, de Dielektizitätskonstanten des Vakuums (elektische Feldkonstante) und eine mateialabhängigen Gösse ε, de elativen Dielektizitätskonstanten. 15 ε 0 = 8, C(Vm) -1 Dielektizitätskonstante, = 8, As/Vm des Vakuums = 8,854 pfm -1 elektische Feldkonstante, Pemittivität ε elative Dielektizitätskonstante, Dielektizitätszahl, elative Pemittivität, Pemittivitätszahl 1 Eine Anodnung, in de innehalb eines Feldes ein feldfeie Raum vohanden ist, wid Faaday Käfig genannt. 13 Bei den Dielektika weden polae und unpolae Stoffe unteschieden. 14 Die Dielektizitätskonstante ist bei einigen Stoffen, zum Beispiel Baiumtitanat, nicht konstant, sonden vom angelegten E - Feld abhängig. 15 Bekannt ist auch die elektische Suszeptibilität χ. Es gilt χ = ε - 1 ode ε = 1 +χ Kut Steudle 81-1 st

13 STR ING Elektotechnik Dielektizitätszahlen ε einige Stoffe: 16 Anilinhaz Azeton Asphalt Bakelit Baiumtitanat Basalt Benzol Benstein Diamant Ebonit Eis bei 0 C Epoxihaz Glas, gewöhnlich Glimme Gummi Tabelle 81-1 Stoff ε Stoff ε Stoff ε ,5,7 5 >1000 9,5,8 16,5,6 16 3, ,7 Hatgummi Hatpapie Hazöl Hölze Kautschuk Luft Mamo Papie Paaffin Petinax Petoleum Phenolhaz Plexiglas Polyethylen PE Polypopylen PP Dielektizitätszahlen, Pemittivitätszahlen, ,4 1,0006 8,3 1,333,1.., 4,8, ,..,3 Polystyol PS Polyvinylchloid,hat = PVC, weich Pozellan Teflon, PTFE 17 uaz uazglas Rizinusöl Schellack Tepentinöl Toluol Tansfomatoenöl Wasse (destilliet) Zellulose, ,..3, ,5 6,1 18 3, ,..4,4 4,6 3,1,3,35,3 81 6,6 Als Dielektikum bezeichnen wi ein nichtleitendes Mateial (nichtleitende Stoffe), das von einem elektischen Feld duchsetzt wid. Da sich die Ladungstäge in einem nichtleitenden Mateial nicht fei bewegen können ist kein Stomfluss möglich. Dagegen kommt es zu elastischen Ladungsveschiebungen de Ladungstäge innehalb de Moleküle. Dabei weden polae und unpolae Stoffe unteschieden. Bei den unpolaen Stoffen weden die Ladungstäge entspechend dem Feld veschoben. Die Atome weden defomiet und bilden Dipole. Bei den polaen Stoffen sind die Atome ode Moleküle von Natu aus Dipole. Diese Dipole sind ungeodnet und stellen sich im Feld in de Feldichtung ein. Zudem weden die Atome ebenfalls defomiet. Man bezeichnet diese Escheinung bei unpolaen und polaen Stoffen als dielektische Polaisation. Eine Sättigung wid nicht eeicht. Die Polaisation veschwindet, sobald das Feld veschwindet. Die Polaisation hat zu Folge, dass sich dem äusseen Feld ein innees elektisches Feld übelaget. Ein Dielektikum aus eine Wachsplatte, die unte elektische Spannung gehätet wude, bewaht seine Polaisation übe Jahe hinweg. Ein solches Dielektikum wid als Elektet bezeichnet. 16 ε Vakuum =1, ε Luft = 1, PTFE: Polytetafluoethylen, Teflon 18,0..,1 Kut Steudle st

14 STR ING Elektotechnik Piezoelektische Effekt Das Vohandensein elektische Ladungen in einem Isolato ist duch den im Jahe 1880 von den Büden Jacques und Piee CURIE 19 entdeckten piezoelektischen Effekt nachweisba. 0 Bei Kistallen wie uaz, Tumalin, Seignettesalz, Zinkblende, Natium-Kalium- Tatat und Ethylendiamintatat (Tatate sind Salze de Weinsäue) und so weite titt duch mechanischen Duck auf die zu eine polaen Achse senkechten Flächen eine elektische Spannung auf. De Effekt wid duch die Veschiebung von Ionen in Kistallen mit nichtsymmetischen Einheitszellen veusacht. Fig Piezoelektische Effekt. (Aus [L 81-3]) Die Abbildung zeigt, wie sich beim uaz duch Veschiebung de Ionen die Schwepunkte de positiven und negativen Ladung velagen. An den Genzflächen teten entgegengesetzte Ladungen auf, die man übe eine Spannung zwischen den Flächen nachweist. De Effekt wid duch die Veschiebung von Ionen in Kistallen mit nichtsymmetischen Einheitszellen veusacht. Beim Zusammenpessen veschieben sich die Ionen in jede Einheitszelle und veusachen damit die elektische Polaisation. (Vgl. auch Kapitel ) Es sind piezoelektische Stoffe (Piezoxide) entwickelt, bei denen man duch einen Duck von einigen MPa (MNm - ) Spannungen von meheen kv ezeugen kann. Angewendet wid de piezoelektische Effekt, bei dem aus mechanische Defomation elektische Spannung ezeugt wid: Kistallaufnehme fü Plattenspiele, Gasanzünde, Mikofone, Ultaschallempfänge, Kaftsensoen, fühlende Finge von Roboten, Rastekaftmikoskop, Rastetunnelmikoskop, Mikofon und so weite. 19 Piee Cuie, Ehemann von Maie, wude am 15. Mai 1859 in Pais geboen und studiete an de Sobonne Physik beobachtete e gemeinsam mit seinem Bude Jacques, dass ein elektisches Potential entsteht, wenn man einen uazkistall mechanisch defomiet. Die Büde nannten das Phänomen Piezoelektizität. Piee Cuie entdeckte fene, dass magnetische Substanzen bei bestimmten Tempeatuen (dem Cuie-Punkt) ihen Magnetismus velieen. 0 piezein, πιεζω, giech.: dücken Kut Steudle st

15 STR ING Elektotechnik Technisch wichtig ist auch de umgekehte Effekt (Elektostiktion): Duch ein elektisches Feld wid de Piezokistall mechanisch defomiet. Anwendungen: Tintenstahlducke, Ultaschallgeneatoen, Hochtonlautspeche und so weite. Bei konstante Tempeatu ist die Eigenfequenz von uaz (Schwingquaz) nahezu konstant. De Schwingquaz ist dahe ein gut geeignetes Fequenznomal. 81. Ausgewählte Felde Feld de geladenen Kugel 0 Eine Metallkugel mit dem Radius 0 tage die positive Ladung. Die Gegenladung (-) befinde sich auf eine Hohlkugel mit seh gossem Radius ( ). Die elektischen Feldlinien laufen dahe adial nach aussen und sind gleichmässig veteilt. Fig Feld eine Kugelladung Äquipotenzialflächen sind die Obeflächen konzentische Kugeln mit beliebigem Radius. De von de Ladung ausgehende Veschiebungsfluss egibt auf jede Äquipotenzialfläche die Flächenladungsdichte D = /A. Daaus wid E = 4π εε E = 4π ε ε (81-1) 81.. Lange geade Leite 0 Ein l lange, geade Leite mit dem Radius 0 tage die positive Ladung. Die Gegenladung (-) befinde sich auf einem konzentischen Zylinde mit seh gossem Radius ( ). Die elektischen Feldlinien laufen dahe adial nach aussen und sind gleichmässig veteilt. Fig Lange geade Leite Äquipotenzialflächen sind die Obeflächen konzentische Zylinde mit beliebigem Radius. De von de Ladung ausgehende Veschiebungsfluss egibt auf jede Äquipotenzialfläche die Flächenladungsdichte D = /A. Daaus wid Kut Steudle st

16 STR ING Elektotechnik E = π εε0 E = π ε ε 0 l l (81-13) Das Genzschichtpoblem Teffen die elektische Feldstäke E und die Veschiebungsdichte (elektische Ladungsdichte) D schäg auf die tennende Fläche (Genzschicht) zwischen zwei Isoliestoffen mit unteschiedlichem ε auf, efolgt eine Bechung. Fig Elektisches Feld an eine Genzschicht Zu Beechnung de Bechung weden die Veschiebungsdichte D und die Feldstäke E je aufgeteilt in ihe Nomalkomponente D 1n und E 1n zu Genzschicht und in ihe Tangentialkomponente D 1t und E 1t zu Genzschicht. Die Nomalkomponente de Veschiebungsdichte D 1n und die Tangentialkomponente de Feldstäke E t1 bleiben nach de Genzschicht ehalten. Es gelten D 1 n Dn = und E 1 t = Et (81-14) Die Tangentialkomponenten de Veschiebungsdichte D 1t und D t vo de Genzschicht im Isoliestoff 1 mit ε 1 und nach de Genzschicht im Isoliestoff mit ε vehalten sich zueinande wie die elativen Pemitivitäten ε 1 und ε. Die Veschiebungsdichte D und die Feldstäke E zeigen sich vo und nach de Genzschicht als gleichgeichtete Vektoen. Dahe egibt sich fü die Nomalkomponente de Feldstäke die folgende Aussage. Die Nomalkomponenten de Feldstäke E 1n und E n vo de Genzschicht im Isoliestoff 1 mit ε 1 und nach de Genzschicht im Isoliestoff mit ε vehalten sich zueinande umgekeht popotional zu den elativen Pemitivitäten ε 1 und ε. Damit gelten fü D t und E n Kut Steudle st

17 STR ING Elektotechnik D1t = Dt ε1 ε und E 1n = En ε ε1 (81-15) 81.3 Die Kapazität C Plattenkondensato Zwei gegenübeliegende Metallplatten stellen einen Ladungsspeiche da. Solche Ladungsspeiche nennen wi Kondensato (hie Plattenkondensato). Zwischen den Platten befindet sich das Dielektikum. 5, 6 + uelle E d Dielektikum mit ε _ E - Fig Plattenkondensato Die Ladung auf den beiden Platten ist popotional abhängig von de angelegten Spannung U: ~ U. Es gilt: ~ U ode = C U (81-16) Die Popotionalitätskonstante C nennen wi Kapazität. Die Kapazität ist ein Mass fü die Speichefähigkeit des feldezeugenden Plattenpaaes. Die Gösse von C ist abhängig von den geometischen Abmessungen eineseits und vom eingebachten Dielektikum andeeseits. Im homogenen Feld gilt D A =. Dain stellt A die Fläche eine metallischen Kondensatoplatte da. Zudem sind D = ε E und U = E d. Zusammengestellt wid ε A C ε0 1, = (81-17) d Die Beziehung = I t = C U muss in jedem Augenblick efüllt sein. Dies gilt auch, wenn U = u(t) und I = i(t), wenn sich Spannung und Stom in de Zeit änden. 1 Aus de Fomel egibt sich die Dimension de Kapazität C zu [C] = AsV -1 = F Faad. Zu Ehen von Michael FARADAY, , bit. Physike und Chemike, entdeckt das Benzol, die Gesetze de elektomagn.induktion, den F' schen Käfig und so weite. Kut Steudle st

18 STR ING Elektotechnik Mit i(t) dt = C du(t) weden dahe i(t) = C du(t) dt und u(t) = 1 C i(t) dt 3 (81-18) Kugelkondensato 1 Gegeben seien zwei konzentische Kugeln mit den Radien 1 und. Das Feld zwischen den beiden Kugeln ist E = und es wid 4π ε ε 0 Fig Kugelkondensato 1 1 U = E d = d = 1 π ε ε π εε damit wid 1 C = = 4π ε ε0 (81-19) U Wid de Radius de äusseen Kugel seh goss ( ) gemacht, ehalten wi die Kapazität eine Kugel zum RaumC = 4π εε Zylindekondensato 1 Gegeben seien zwei konzentische Zylinde mit den Radien 1 und und de Länge l. 1 Das Feld zwischen den beiden Zylinden ist E = π ε ε 0 und es wid l Fig Zylindekondensato U = E d = π ε ε damit wid d = l π ε ε l 1 ln 1 3 Vgl. auch Kapitel 5. Kut Steudle st

19 STR ING Elektotechnik π ε ε = = 0 l C (81-0) U ln 1 Bei Koaxialkabeln wid die Kapazität nomaleweise po Längeneinheit (m ode km) ausgedückt. Wi spechen dann von einem Belag, dem Kapazitätsbelag C Enegie und Kaft im elektostatischen Feld Im Feld eines geladenen Kondensatos ist Enegie gespeichet. Diese Abeit lässt sich bestimmen. Die po Zeiteinheit zugefügte Enegie egibt sich zu dw = u(t) i(t) dt = u(t) C du(t) (81-1) Damit wid die dem Kondensato insgesamt zugefühte Enegie W dw = C U 0 C U u du = = (81-) Kaftwikung am Plattenkondensato Die beiden Platten ziehen sich mit de Kaft F an. F egibt sich zu εε0 = W C U A U F = = (81-3) d d d Enegiedichte Beim betachteten Kondensato ist die Enegie im Feld gespeichet. In vielen Fällen inteessiet die Enegiedichte w in elektischen Felden. Betachten wi ein kleines Volumenelement dv und die dain enthaltene Enegie dw, egibt sich die Enegiedichte w aus dem Vehältnis von dw zu dv. dw w = (81-4) dv Im homogenen Feld ist die Enegiedichte übeall gleich goss. Im betachteten Plattenkondensato wid daum die Enegiedichte w zu w W ε E D E D = = = = (81-5) V ε Kut Steudle st

20 STR ING Elektotechnik Coulomb und das Mass fü die Kapazität Chales Auguste COULOMB ( ) bescheibt 1785 in de esten seine sieben gossen Abhandlungen übe die Elektizität und den Magnetismus das in de Geschichte este Gesetz im Gebiet de Elektotechnik. De fanzösische Natuwissenschafte findet: Aus den obigen Untesuchungen egibt sich: 1. Dass sowohl die abstossenden wie die anziehenden Wikungen zweie elektisiete Kugeln und folglich zweie elektische Moleküle im geaden Vehältnis de Dichtigkeiten des elektischen Fluidums de beiden elektisieten Moleküle und im umgekehten Vehältnis des uadates de Entfenung steht Dass die anziehende und abstossende Kaft des magnetischen Fluidums genauso wie beim elektischen Fluidum in geadem Vehältnis zu den Dichtigkeiten und im umgekehten Vehältnis des uadates de Entfenungen steht. Die Existenz unteschiedliche, das heisst positive und negative Ladung hat Chales Fançois du FAY ( ) beeits 1733 in den Mémoies su l'électicité dagestellt. Du Fay unteschied die glasige und die hazige Elektizität. Ein Mass fü die Ladung findet Cal Fiedich GAUSS ( ) als Podukt aus Stom und Zeit. Fig Vesuchsanodnung von Coulomb. Als Speiche fü die Ladung gilt die Kapazität mit dem Symbol C. Lange Zeit wa 1cm das Gundmass fü die Gösse eines Ladungsspeiches. Das cm als Kapazitätseinheit geht zuück auf Abeiten von Heny CAVENDISH ( ), die est um 1875 von James Clek MAXWELL ( ) gesichtet weden. Das Mass sagt aus, welche Kapazität eine Kugel von 1 inch Duchmesse (,54 cm) und späte von 1 cm Radius aufweist (Vgl. Kapitel 81.3.). Kut Steudle 81-0 st

21 STR ING Elektotechnik 81-1 Als Einheit fü die Kapazität gilt im SI - System das Faad, dies zu Ehen von Michael FARADAY ( ). 1 cm entspicht 1,113 pf Das elektische Stömungsfeld Feldgössen im Stömungsfeld Das Stömungsfeld ist eine Bescheibung de Ladungsbewegung in elektischen Leiten. Gegeben sei eine Metallplatte, die in zwei Punkten mit eine Ladungsquelle vebunden ist: Fig Stömungsfeld in Metallplatte. (Aus [L 81-4]) Die Feldlinien von + zu sind Stömungslinien. Punkte mit gleichbleibendem Potential zu + ode bilden Äquipotenziallinien. Die Äquipotenziallinien velaufen nomal zu den Stömungslinien. Fü die weitee Betachtung wid dem Stömungsfeld ein infinitesimal kleines Volumenelement entnommen. du di da dl Fig Infinitesimales Volumenelement im Stömungsfeld Nach dem Gesetz von OHM besteht am Volumenelement die Beziehung du = Kut Steudle 81-1 st

22 STR ING Elektotechnik 81 - dl R di. R ist de Widestand mit R = ρ. da Weite gilt im elektostatischen Feld du = E dl. Mit de Stomdichte J wid di = J da. Zusammengefüht egibt sich ρ dl du = E dl = R di = J da da E = ρ J E = ρ J (81-6) Damit ist das OHM sche Gesetz des Stömungsfeldes gefunden. Es gilt U 1, 1 auch im Stömungsfeld und zudem ist = E d l (81-7) = J da A I (81-8) Leistung im Stömungsfeld Im Volumenelement nach Fig mit dv = da dl betägt die Leistung dp = du di. Diese Leistung wid im leitenden Mateial in Wäme umgesetzt. Damit wid dp dv du di E dl J da = = da dl da dl dp dv = E J = E J (81-9) Die po Volumenelement umgesetzte Leistung ist gleich dem Podukt aus elektische Feldstäke und Stomdichte. Fü einen leitenden Köpe wid P = P = V E J dv V E J dv (81-30) Kut Steudle 81 - st