Grundlagen der Informatik 2. Grundlagen der Digitaltechnik. 2. Digitale Schaltfunktionen und Normalformtheorie
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- Lothar Junge
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1 Grudlage der Iformatk Grudlage der Dgtaltechk. Dgtale Schaltfuktoe ud Normalformtheore Prof. Dr.-Ig. Jürge Tech Dr.-Ig. Chrsta Haubelt Lehrstuhl für Hardware-Software Software-Co-Desg Grudlage der Dgtaltechk
2 Vo der Fukto zur Schaltug... Fuktoeller Zusammehag f Wchtge Frage: We beschrebt ma logsche Schaltuge? We aalsert ma logsche Schaltuge? We realsert ud optmert ma logsche Schaltuge? Techsche Iformatk I
3 Vo der Fukto zur Schaltug Fuktoeller? Zusammehag Dgtale Schaltug f Atwort: Beschrebug der Schaltug durch ee Schaltfukto f: (,,, > Implemeterug der Schaltfukto durch logsche Gatter Techsche Iformatk I
4 Vo der Fukto zur Schaltug Bespel: Adderer für zwe Bärzahle S=A+B mt S=(s, s, s, s, s, A=(a, a, a, a ud B=(b, b, b, b A B Fuktoaler Zusammehag f S + c a a b a b c c c a b b a a b s s s s s s VA c s a VA c b s a VA c b s a VA b c s Techsche Iformatk I
5 Vo der Fukto zur Schaltug Bespel: Addto zweer Bärzahle S = A+B Aufbau eer Volladdererzelle (VA c - a b VA Beschrebug des fuktoale Zusammehags der Volladdererzelle durch ee Fuktostabelle s c c - a b s c Techsche Iformatk I 5
6 Vo der Fukto zur Schaltug Bespel: Addto zweer Bärzahle S = A+B Aufbau eer Volladdererzelle c - a b s c a b c - s c Techsche Iformatk I 7
7 Frage Gbt es ee Sstematk zur Abbldug vo Fuktostabelle auf logsche Schaltuge (kaosche Forme? Wevele Gatter bestzt de kleste Schaltug, de dese Fukto realsert (Logkmmerug? Welche elemetare Gatter(fuktoe gbt es? Ist es mmer möglch, de kleste Schaltug zu fde? Techsche Iformatk I 8
8 Atworte Schaltalgebra: Spezelle Iterpretato der Boolesche Algebra Bass für de formale Etwcklug bärer Dgtalschaltuge Schaltfukto: Zuorduge f ( Belegug, f zugeordeter Fuktoswert Begrffe: Nullstellemege N, Esstellemege E, Redudazmege R Techsche Iformatk I 9
9 Fuktosbegrff Defto eer Schaltfukto (s st das Argumet, t der Fuktoswert: Agabe aller Paare (s, t mt s {, } (= Belegug ud t {, } X = (,...,, {, }... Fuktoeller Zusammehag f {, } Techsche Iformatk I
10 Fuktosdefto Abbldugsvorschrft: f (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (a a a Fuktosdarstellug: a a a Techsche Iformatk I 6
11 Klasse vo Schaltfuktoe häufg glt: cht alle Beleguge ka/muss e Fuktoswert zugeordet werde solche Zuorduge: -> Redudaz- oder Frestelle der Fukto -> Kezechug: - (sogeates do t care -> Stelle ka wahlwese mt oder belegt werde Also: Telmege vo Beleguge: - Nullstellemege N = { } - Esstellemege E = { } - Redudazmege R = { -} Bespel: Fukto mt Frestelle -> Fukto für BCD Zahle, wobe Egagskombatoe, de Pseudotetrade etspreche, mt Frestelle belegt werde Techsche Iformatk I 7
12 Techsche Iformatk I 8 Klasse vo Schaltfuktoe Klasse vo Schaltfuktoe Pseudotetrade a a a a Zffer
13 Klasse vo Schaltfuktoe Reale techsche Aweduge - Frestelle überwege häufg gegeüber - / -Stelle - Ma defert daher zwe Hauptklasse vo Fuktoe: - ee vollstädg deferte Schaltfukto ordet alle Beleguge ee Fuktoswert aus f {, } zu - ee uvollstädg deferte Schaltfukto ordet mdestes eer Belegug kee Fuktoswert aus f {, } zu -Wege {, } = glt: Be uvollstädge Schaltfuktoe lässt sch aus ewels zwe Telmege de fehlede drtte Telmege bestmme Techsche Iformatk I 9
14 Graphsche Darstellug vo Fuktoe Nebe tabellarscher Darstellug: es estere graphsch oreterte Darstelluge Tafelmethode (sogeate KV-Dagramme vor über Jahre vo Karaugh ud Vetch vorgeschlage Nachtele vo KV-Dagramme be Werte > (uüberschtlche Darstellug! Techsche Iformatk I
15 Graphsche Darstellug vo Fuktoe Bespel: Darstellug der Schaltfukto = f(a,a,a,a (durch telbare BCD-Zahl mttels Smmetredagramm a a a a Techsche Iformatk I
16 Smmetredagramme V eu = alt + V V H H eu = alt + V H eu = alt + 5 Etwcklug ees Smmetredagramms 5 5 eu = alt + 5 H = eu alt H V V 5 = = = = eu = alt + 6 = =5 = H 6 6 Techsche Iformatk I
17 Graphsche Darstellug vo Fuktoe Spezfkato / Schaltfuktoe: Fuktostabelle stellt be große Werte vo kee besoders effzete Darstellugstechk dar, da de Spaltezahl mt, de Zelezahl edoch mt wächst -> Es estere wetere Möglchkete zur Darstellug vo Schaltfuktoe Form spezeller Graphe z.b. Bar Decso Dagrams (BDDs Techsche Iformatk I
18 Graphsche Darstellug vo Fuktoe Bespel für de Darstellug mttels BDD: a b b a c a bede Darstelluge repräsetere de gleche Fukto a b c a b = Techsche Iformatk I
19 Graphsche Darstellug vo Fuktoe Bar Decso Dagrams (BDDs - Fuktoe lasse sch kaosch (edeutg darstelle Dese Egeschaft vo BDDs lässt für Äquvalezprüfuge vo Fuktoe ausutze -> Isomorpe-Test - darüber haus: es estere ee Rehe vo Verfahre, welche de rechergestützte Verarbetug vo BDD-Form dargestellte Fuktoe effzet ermöglche Techsche Iformatk I 5
20 Schaltfuktoe Egeschaft: Mt der Azahl vo bäre Varable wächst de Azahl möglcher Schaltfuktoe (MF eplososartg! Gesucht: Grudsätzlche Kostruktosvorschrft für Schaltfuktoe (uabhägg vo? Zel: Hardware-Realserug vo Schaltfuktoe Bespele: = MF = = MF = = MF = 6 = MF = 56. = MF = 8 Techsche Iformatk I 6
21 Möglche Schaltfuktoe be = = : MF = 6 = f(, eg. Dsukto (eg. Implkato eg. Implkato Atvalez eg. Koukto Koukto Äquvalez Implkato (Implkato Dsukto Techsche Iformatk I 7
22 Möglche Schaltfuktoe be = Egee Smbole ud Name: :, Koukto, UND-Verküpfug, AND 6 : +, V Dsukto, ODER-Verküpfug, OR 7 :,~ eg. Koukto, eg. UND-Verküpfug, NAND (NOT AND : V,~V eg. Dsukto, eg. ODER-Verküpfug, NOR (NOT OR 6 :,~ Atvalez XOR : Äquvalez : Implkato, mplzert, (aalog: 5 : mplzert, Techsche Iformatk I 8
23 Herletug der Normalformtheoreme Besodere Fuktoe: Koukto ud Dsukto Null- ud Esstellemege tele sch etrem auf, ewels : zu - Beleguge Koukto: (,, sost Dsukto: (,, sost etspreche de Operatore der sog. Schaltalgebra, eer spezelle Varate der Boolesche Algebra Techsche Iformatk I 9
24 Herletug der Normalformtheoreme Smmetredagramme: = = = V = = = V V Techsche Iformatk I
25 Herletug der Normalformtheoreme Gesucht: Grudsätzlche Kostruktosvorschrft für Schaltfuktoe (uabhägg vo? Bauprzp Alehug a de Reheetwcklug der Mathematk geegete (z.b. orthogoale Bassfuktoe b k ( ud Koeffzete A k = f( = A N b ( + A b ( + K+ A b ( = A b ( N N k k k= Frage: Gbt es Bassfuktoe ud geegete Koeffzete für belebge Schaltfuktoe? Techsche Iformatk I
26 Herletug der Normalformtheoreme Notwedg: Koukto / Dsukto -> Fuktoswert ( belebger Belegug zuorde köe Bespel: = Koukto: = Belebge Esstelle: =? Modfkato der Koukto Abbldug der Belegug = Techsche Iformatk I
27 Herletug der Normalformtheoreme Bespel: = Dsukto: = + + Belebge Nullstelle: =? Modfkato der Koukto Abbldug der Belegug = + + Techsche Iformatk I
28 Herletug der Normalformtheoreme Ergebs: Belegugsabbldug -> belebge Es- / Nullstelle für ede Belegug -> Mterm- ud Matermfuktoe Allgeme glt für = belebg: = = K K = = für für für für Bespel : = m m = =,, m m = =, m M m = = m k K K = M M k Mterm(fukto Materm(fukto = k,, k m m = = m m = M M = M m = m M = Techsche Iformatk I
29 Techsche Iformatk I 5 Herletug Herletug der der Normalformtheoreme Normalformtheoreme Gesucht: Grudsätzlche Kostruktosvorschrft für Schaltfuktoe (uabhägg vo : Verwedug orthogoaler Mterm- ud Matermbassfuktoe möglch? Möglche Fukto: Dsukto aller Mterme = m v m v m v m v m v m 5 v m 6 v m 7
30 Herletug der Normalformtheoreme Erweterug: Eführug vo Koeffzete A für Mterm- ud Matermbassfuktoe. Dadurch: Darstellug belebger Fuktoe möglch Reheetwcklug: Gewchtug der Bassfuktoe m mt A {, } = A m v A m v A m v A m v A m v A 5 m 5 v A 6 m 6 v A 7 m 7 A A A A A A A A A A A 5 A 5 5 A 6 A 6 6 A 7 7 A 7 Techsche Iformatk I 6
31 Bespel: Volladderer c - a b DNF: VA s c c - a b s c s = (c a b (c a b (c a b (c a b c = (c a b (c a b (c a b (c a b Techsche Iformatk I 7
32 Bespel: Volladderer c - a b KNF: VA s c c - a b s c s = (c a b (c a b (c a b (c a b c = (c a b (c a b (c a b (c a b Techsche Iformatk I 8
33 Normalformtheoreme Normalforme eer Schaltfukto -> kaosche Forme Dsuktve Normalform (DNF: = (f m (f m K (f m (f m oder kürzer = V = (f m Kouktve Normalform (KNF: = (f oder kürzer M (f = = (f M M K (f M (f Ergebs: Alle mt de Grudverküpfuge (Operatore Koukto, Dsukto ud Negato st es möglch, ede belebge Schaltfukto darzustelle. Ma sagt: [, V, _ ] st e Basssstem der Schaltalgebra M Techsche Iformatk I 9
34 Normalformtheoreme Hauptsatz der Schaltalgebra: Jede belebge vollstädg deferte Schaltfukto = f (,..., lässt sch als Dsukto vo Mterme <Koukto vo Materme> edeutg darstelle. I der Dsukto <Koukto> trete geau deege Mterme <Materme> auf, de zu de Esstelle <Nullstelle> der Schaltfukto gehöre. Techsche Iformatk I
35 Techsche Iformatk I Der Der Hauptsatz Hauptsatz der der Schaltalgebra Schaltalgebra Bespel: = f(,,, =, we de etsprechede Oktalzahl durch telbar st ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( : = KNF ( ( ( ( ( : = DNF
36 Bezehuge zwsche de Begrffe = = = K Bsp. : Ide (, K,, =, we, we = = Bsp. : m = = = Mterm K K m = M X Bsp. : Belegug = (, K,, (, K,, M = m Bsp. : M = V = = Materm K K DNF f = V (f m = Vm = f = Fuktostabelle {( X,f f f( X } f : = f = = (f KNF M = M f = Techsche Iformatk I
37 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Notwedg: für ede Operatortp ee passede techsche Realserug Mdestes Schaltgleder (Gatter für Koukto, Dsukto ud Negato otwedg. Defto: Schaltetz (ageleht a DIN IEC 78 E Schaltetz st ee Dgtalschaltug, der es für ede möglche Kombato vo dgtale Sgale a de Egäge ee - ud ur ee - Kombato vo dgtale Sgale a de Ausgäge gbt. X SN F Y Techsche Iformatk I
38 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Gattersmbole ach DIN-Norm (DIN 9: a b c d UND-Gled : (Zum Verglech alte Norm a = a b c d b c d ODER-Gled : a b = a v b v c v d c d : Negatosgled a = a a bc d a a = a a Techsche Iformatk I
39 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Gattersmbole (teratoale Norm: Fukto Smbol Smbol (DIN AND OR XOR = NAND NOR XNOR = Treber Negato Techsche Iformatk I 5
40 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Abletug eer Schaltug aus der DNF am Bespel Volladderer: c - a b VA s c s = (c a b (c a b (c a b (c a b Techsche Iformatk I 6
41 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Abletug eer Schaltug aus der KNF am Bespel Volladderer: c - a b VA s c s = (c a b (c a b (c a b (c a b Techsche Iformatk I 7
42 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Normalformoreterte Strukture: DNF als Bespel UND-Gleder der. Stufe ud e bzw. mehrere ODER-Gleder der Stufe Bespel : ULA (Uversal Logc Arra Mtermfuktoe m DNF UND- Matr (fest m m ODER- Matr (fest Y = f(x Techsche Iformatk I 8
43 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Bespel: = m v m v m 5 v m 6 v m 7 (Esstellemege (Nullstellemege X m m m 5 m 6 m 7 V = f(x Persoalserug (Programmerug: Möglch bem Blde der Mterme der. Stufe ud/oder Auswähle der Mterme der. Stufe. Techsche Iformatk I 9
44 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Normalformoreterte Strukture: Bespel : ROM (Read Ol Memor Mtermfuktoe UND- Matr (fest m m m ODER- Matr (progr. DNF Y = f(x Techsche Iformatk I 5
45 Normalformtheoreme: Praktsche Awedug Bespel: = m v m v m 5 v m 6 v m 7 X m m m 5 m 6 m 7 V = f(x Persoalserug erfolgt her der. Stufe Techsche Iformatk I 5
46 Logkoptmerug Bespel Volladderer: Drekte DNF-Realserug c - a b VA s c s c Gesamtkompletät: Gatter mt bs zu Egäge (Iverter och cht emal mtberückschtgt! Techsche Iformatk I 5
47 Logkoptmerug Bespel Volladderer: Optmerte Schaltug c - a b VA s c a b c - s c Gesamtkompletät: 5 Gatter mt mamal Egäge c Techsche Iformatk I 5
Grundlagen der Informatik 2. Grundlagen der Digitaltechnik. 3. Entwicklungssatz der Schaltalgebra
Grudlage der Iormatk Grudlage der Dgtaltechk 3. Etwcklugssatz der Schaltalgebra Pro. Dr.-Ig. Jürge Tech Dr.-Ig. Chrsta Haubelt Lehrstuhl ür Hardware-Sotware Sotware-Co-Desg Grudlage der Dgtaltechk Etwcklugssatz
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen
IT Zahlesysteme Zahledarstellug eem Stellewertcode (jede Stelle hat ee bestmmte Wert) Def. Code: Edeutge Abbldugsvorschrft für de Abbldug ees Zeche-Vorrates eem adere Zechevorrat. Dezmalsystem De Bass
für j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
Pro. Dr. Fredel Bolle LS ür Volkswrtschatslehre sb. Wrtschatstheore (Mkroökoome) Vorlesug Mathematk - WS 008/009 4. Deretalrechug reeller Fuktoe IR IR (Karma, S. 00 06, dort glech ür IR IR m ) 4. Partelle
Statistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 7, Wintersemester vom 21. Januar 2006
Prof. E.-W. Zk Isttut für Matheatk Huboldt-Uverstät zu Berl Eleete der Algebra ud Zahletheore Musterlösug, Sere 7, Wterseester 2005-06 vo 21. Jauar 2006 1. Se = 2 p 1 Mersee-Zahl, d.h. p P 1. a) Zege:
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Statistik. ist die Kunst, Daten zu gewinnen, darzustellen, zu analysieren und zu interpretieren um zu neuem Wissen zu gelangen.
Statstk st de Kust, Date zu gewe, darzustelle, zu aalysere ud zu terpretere um zu euem Wsse zu gelage. Sachs (984) Aufgabe De Statstk hat also folgede Aufgabe: Zusammefassug vo Date Darstellug vo Date
Definitionen und Aussagen zu Potenzreihen
Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto,
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
Korrelations- und Assoziationsmaße
k m χ : j l r +. Zusammehagsmaße ( o e ) jl jl e jl Korrelatos- ud Assozatosmaße e jl 5 Merkmal Y Summe X b b m a H (a,b) H (a,b). a H (a,b) H (a,b). Summe.. Zusammehagsmaße Eführug Sche- ud Noses-Korrelato
Der Approximationssatz von Weierstraß
Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert
Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung
8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher
Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks
Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz 0.02.2005 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft
Regressionsrechnung und Korrelationsrechnung
Regressosrechug ud Korrelatosrechug Beschrebede Statstk Modul : Probleme be der Abhäggketsaalyse Problem : Es gbt mest cht ur ee Eflussfaktor (Probleme sd selte mookausal ) A Ursache() Wrkug B C - efache
Kapitel 6: Regression
udwg-maxmlas-uverstät Müche Isttut für Iformatk ehr- ud Forschugsehet für Datebaksysteme Skrpt zur Vorlesug Kowledge Dscovery Databases m Sommersemester 05 Kaptel 6: Regresso Vorlesug: PD Dr. Arthur Zmek
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
Definitionen und Aussagen zu Ringen
Deftoe ud Aussage zu Rge Mchael Hortma, 1142002 Währed wr es be Gruppe mt ur eer Operato zu tu habe, kee wr zb vo de gaze Zahle das Zusammespel zweer Operatoe, Addto ud Multplkato, wobe charakterstsch
8. Differentialrechnung von Funktionen in mehreren Variablen
8 Dfferetalrechug vo Fuktoe mehrere Varable 7 8. Dfferetalrechug vo Fuktoe mehrere Varable 8. Fuktoe mehrere Varable I desem Abschtt werde reelle Fuktoe Varable betrachtet, d.s. Fuktoe f: D mt D, welche
5 Reproduktions- und Grenzwertsätze
Reproduktos- ud Grezwertsätze Reproduktos- ud Grezwertsätze. Reproduktossätze Bespel 0: Der Aufzug eer Frma st zugelasse für Persoe bzw. 000 kg. Das Durchschttsgewcht der Agestellte der Frma st µ = 80
Hochschule Darmstadt Fachbereich MK Prof. Dr. Fritz Bierbaum Mathematik I Wintersemester 2017 / 2018 Kapitel 1, Übungen, Seite 1/7
Hohshule Darmstadt Fahbereh K Prof Dr Frtz Berbaum athematk I Wtersemester 0 / 08 Kaptel, Übuge, Sete / Aufgabe We es x Lter auf de Quadratmeter reget, we hoh steht da das Wasser m Aufgabe Gegebe sd utershedlhe
Korrelations- und Regressionsanalyse
Kaptel VI Korrelatos- ud Regressosaalse B 6 (Gegestad der Korrelatos- ud Regressosaalse) Währed de Korrelatosaalse de Estez, de Stärke ud de Rchtug des Zusammehags zwsche zwe oder mehrere statstsche Varable
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion
AG Kstrut KONTRUKTION Plaetegetrebe (Umlaufgetrebe) rpt TU Berl, AG Kstrut Plaetegetrebe Vrtele Plaetegetrebe: e Achsversatz z.t. sehr grße Über-/Utersetzuge möglch grße Tragraft guter Wrugsgrad Rhlff
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,
Prinzip "Proportional Reduction of Error" (PRE)
Dr. Reate Prust: Eführug quattatve Forschugsmethode Bvarate Maße: Przp "Proportoal Reducto of Error" (PRE) E 1 - E Fehler be Regel 1 - Fehler be Regel = E 1 Fehler be Regel 1 Regel 1: Vorhersageregel ur
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Konzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
Arithmetische Schaltkreise
Kptel Arthmetsche Schltkrese. Adderer. Sutrherer Multplzerer ALU Berd Becker Techsche Iformtk I Wederholug: Se -... ee Folge vo Zffer, {,} Bärdrstellug: Zweerkomplemet: [ -... ] Recheregel: mt [ ] [
Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten
Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
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3.7 Support Vector Maches Motvato: Leare Separato Vektore R d repräsetere Objekte. Objekte gehöre zu geau eer vo je 2 Klasse Klassfkato durch leare Separato: Suche Hperebee de bede Klasse mamal stabl voeader
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Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:
Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen (1)
Mehrdmesoale Häufgketsverteluge () - De Begrffe uvarat ud bvarat - Vo uvarate (edmesoale) statstsche Aalyse sprcht ma, we pro Perso ur e Merkmal tabellarsche oder grafsche Häufgketsverteluge oder be der
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E paar efache -Aaloga des bosche Lehrsatzes Joha Cgler Sowet r beat st, gbt es ee allgeee Utersuchuge darüber, we sch das Reurrezverhalte vo Boalsue ädert, we a de Boaloeffzete durch ersetzt U ee erste
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche
Vl. Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3: Diskrete Verteilungen
Vl. Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Übug 3: Dsrete Verteluge Prof. Dr. B. Grabows Zur Lösug der folgede Aufgabe öe Se auch de begefügte Tabelle der dsrete Verteluge m Ahag verwede.
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Satz vo Bayes ud totale
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
1. StatischeSpielemit vollständiger Information
Dr. Jeaette Brosg, Vorlesug Speltheore. StatscheSpelemt vollstädger Iformato Das Allmede-Problem Hard (968): The Tragedy of the Commos The ratoal herdsma cocludes that the oly sesble course for hm to pursue
Mathematik für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig ( ) ( ) ( ) n f. bestimmt m Funktionen. durch die Festlegung f (,,
Matheatk ür VIW - Pro. Dr. M. Ludwg 8. Deretato reeller Fuktoe ehrerer Varabler 8. Skalare Felder Vektorelder Koordatesystee Bsher wurde reelle Fuktoe ür ee Varable utersucht: : D t der egeührte Schrebwese
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statst für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Mermal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgetstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap.5: Kombinatorik. Referenzen zum Nacharbeiten:
FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole Dsrete athemat Sebasta Iwaows FH Wedel ap.5: ombator Refereze zum Nacharbete: Lag 5. 5. 7. (Bsp. 4) Beutelspacher 4 (außer Fxpute vo Permutatoe) eel 8 Hacheberger
2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
Taylor-Entwicklung der exakten Lösung und Verfahrensfehler
Lösug ud Verfaresfeler Ngaleu Poutceu Paul Fracs Fracsc@upb.de 8.6.4 Semar Numerk 1 Lösug ud Verfaresfeler Beobactug, Defto ud Notato Beobactug Notato Taylor-Etwcklug Defto ud Bespele Satz ud Bewes Verfaresfeler
2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
Vorkurs, Teil 1. (3) Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten (Lehrbuch Kap )
Vorkurs, Tel Lehrbuch: Sydsaeter / Hammod, Mathematk für Wrtschaftswsseschaftler, Pearso Studum, ISBN 978-3-873-73-9 Skrpt vo Sevtap Kestel Ihalt () Eführug: Zahle, Fuktoe Potezfukto, Expoetalfukto (Lehrbuch
Statistik. (Inferenzstatistik)
Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)
Lohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
Klausur Wrtschaftsstatstk. [ Pukte] E Uterehme hat folgede Date ermttelt: Moat Gelestete Arbetsstude Lohkoste pro Arbetsstude Jauar 86.400 0,06 Februar 75.000 3,0 März 756.000 4,47 Aprl 768.000,53 Ma 638.400
( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen
Prof. Dr. Fredel Bolle 3. rgäzuge zur Haushaltstheore, sbesodere Dualtät ud Aweduge (Btte wederhole Se zuächst emal de Haushaltstheore aus Mkro I!!!) komme gegebe errechbare Idfferezkurve festgelegt Güterprese
Lineare Algebra Formelsammlung
ee Algeb Fomelsmmlug vo Gábo Zogg Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg. ee Glechugsssteme. Ds Guss'sche Elmtosvefhe Defto: Σ Sstem vo m Glechuge ud Ubekte Opetoe: - Vetusche vo Glechuge - Addee/Subthee ees Velfche
Histogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
Kapitel III. Lagemaße. die beobachteten Werte eines Merkmals X mit Ausprägungen a 1
aptel III Lagemaße D (Artmetsces Mttel) See,,, de beobactete Werte ees Merkmals X mt Auspräguge a, a,, a k Als artmetsces Mttel (für ctgrupperte Date) bezecet ma: = = (efaces) k = a H ( a ) (gewogees)
Einführung 2. Teil: Fehleranalyse
Phskalsch-chesches Praktku I Modul Eführug. Tel: Fehleraalse Ja Helbg, 7.09.08 Uterlage: htt://www.che.uzh.ch/stud/old/docuets/ear/che3.htl Fehlerrechug Gesucht: wahrer Wert eer Grösse Aber: Sere vo Messuge
Gegeben sei eine BOOLEsche Funktion in einer beliebigen Schreibweise, gesucht ein funktionsgleiches Gatternetz aus vorgegebenen Gattern.
56 Techche Realerug vo Gatteretze Gegebe e ee BLEche Fukto eer belebge Schrebwee, geucht e fuktogleche Gatteretz au vorgegebee Gatter 56 Gatteretze au NANDGatter Schrtt Umwael er gegebee Schrebwee ee (vorzugwee
Interpolationspolynome
Iterpolatospolyome Ac Gegebe sd +1 Stützstelle x 0 bs x zusamme mt hre Stützwerte y 0 bs y. Durch de Pukte ( x / y ) soll e Polyom p(x) -te Grades gelegt werde : p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + + a x = Das
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
Lösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ).
- rudlage der Elektrotechk - 60 22..04 4 Der komplzertere elektrsche lechstromkres 4. Kombato vo Verbraucher 4.. Sere- oder eheschaltug vo Wderstäde We ma mehrere Verbraucher ehe schaltet, so werde alle
Innovative Information Retrieval Verfahren
Thomas Madl Iovatve Iformato Retreval Verfahre Hauptsemar Wtersemester 004/005 Überblc Formales Vortrag Ausarbetug Scheerwerb Termplaug Kurzvorstellug Theme Themevergabe Wederholug Grudlage Gewchtug ud
Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse
Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Verso.5 Deutsche Börse AG Verso.5 Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Page Allgemee Iformato Um de hohe Qualtät der vo der Deutsche Börse AG berechete
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54
Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 54 3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme
Allgemeine Prinzipien
Allgemee Przpe Es estere sebe Grudehete der Physk; alle adere physkalsche Größe ka ma darauf zurückführe. Dese Grudehete sd: Läge [m] Masse [kg] Zet [s] Elektrsche Stromstärke [A] Temperatur [K], Stoffmege
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
3. Das Messergebnis. Was ist ein Messergebnis?
. Das Messergebs Was st e Messergebs? Wederholug der Messug Wahrer Wert? Mehrere Eflussgröße Fehlerbetrachtug Messergebs Vorgeheswese für Messergebs. Bestmmug des bekate systematsche Fehlers 2. Aufahme
Probleme mit mehreren Zielen. Probleme mit mehreren Zielen. Probleme mit mehreren Zielen
Probleme mt mehrere Zele Bespel (Dkelbach) E Reseder muss sch vor Ort vo ver Hotels für ees etschede. Dabe verfolgt er folgede Zele: - Bestmöglche Ruhe - Qualtät des Frühstücks - Sauberes Bad - Scherer
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y. Er ist durch folgende Formel charakterisiert:
Korrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet st e Maß für de leare Zusammehag zwsche zwe Varable X ud Y. Er st durch folgede Formel charaktersert: r xy corr XY ( x x)( y y) ( ) x x ( y y) x x y x ( ) ( )
Fehlerrechnung im Praktikum
Fehlerrechug m Pratum Pratum Phsalsche Cheme (A. Dael Boese) I chts zegt sch der Magel a mathematscher Bldug mehr, als eer überbertrebe geaue Rechug. Carl Fredrch Gauß, 777-855 Themegebete Utertelug vo
6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)
Problemstellug: Bsher: Gesucht: 6. Zusammehagsmaße (Kovaraz ud Korrelato) Ee Varable pro Merkmalsträger, Stchprobe x1,, x Maße für Durchschtt, Streuug, usw. Bespel: Kurse zweer Akte ud a 9 aufeader folgede
Rekurrenz. Algorithmen rufen sich selbst (rekursiv) auf.
Rekurrez Rekurso: Algorthme rue sch selst rekursv u. Rekurrez: Ds Luzetverhlte zw. der Specherpltzedr vo rekursve Algorthme k der Regel durch ee Rekursosormel recurrece, RF eschree werde. Rekurrez Bespel:
Erinnerung: Funktionslernen. 5.6 Support Vector Maschines (SVM) Beispiel: Funktionenlernen. Reale Beispiele
Ererug: Fuktoslere 5.6 Support Vector Masches (SVM) überomme vo Stefa Rüpg, Kathara Mork Uverstät Dortmud Vorlesug Maschelles Lere ud Data Mg WS 2002/03 Gegebe: Bespele X LE de ahad eer Wahrschelchketsvertelug
Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.
Teil II. Analysis in der Ökonomie
Tel II Aalyss der Ökoome D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se N ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt ( Vorschrft f ee reelle Zahl z f (,,, D( f durch ee =,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge Varable,,,
6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)
6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe
Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
Carl Friedrich Gauß (Deutscher Mathematiker, 1777 bis 1855) formulierte die folgende Formel n
mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Vertefug des Itegrlegrffs De Itegrlrechug ht ds Zel, de Flächehlt krummlg egrezter Flächestücke zu ereche. Be der äherugswese Berechug der Fläche uter Polyomfuktoe
Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit
Bespelklausur BWLB TelMarketg 45MuteBearbetugszet BWLBBespelklausurTelMarketg Sete WchtgeHwese:. VOLLSTÄNDIGKEIT: PrüfeSeuverzüglch,obIhreKlausurvollstädgst(Aufgabe).. ABGABE: EsstdegesamteKlausurabzugebe.
Schiefe-, Wölbungs- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe-, Wölbugs- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse
Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare
Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 5.2. Eigenschaften von Zufallsvariablen
Vorlesugscharts Vorlesug 5. Egeschafte vo Zufallsvarable Reproduktvtät Approxmatoe Zetraler Grezwertsatz Sete vo Chart : Uabhäggket vo Zufallsvarable Zwe Zufallsvarable X ud Y mt hre Realsatoe { x, x,...,
Universitätslehrgang Sports Physiotherapy Einführung in die Statistik
Departmet of Sport Scece ad Kesolog Uverstätslehrgag Sports Phsotherap Eführug de Statstk Gerda Strutzeberger Block I Block Mttwoch 5..0 3:00 bs 4:50 Grudlage, Skaleveau 5:05 bs 7:00 Gütekrtere, Hpothese,
Die Methode des 2.Moments
De Methode des 2.Momets Chrstoph Schmdt July 13, 2004 1 Eletug De Varaz eer Zufallsvarable st hre mttlere quadratsche Abwechug vo hrem Erwartugswert. V ar[x] = E[(X EX) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 Der Term E[X
Statistische Kennzahlen für die Streuung
Statstsche Kezahle für de Streuug Ordale Date,..., W X,,..., WX {(j) j,..., J} () < () < < (J) {(),...,(J)} (3) () 3 () Geordete Lste k X (k) () () 3 () Smpso s D ud H() sd awedbar, allerdgs wrd Iformato