Übungsaufgaben. Technischen Mechanik

Transkript

1 Otto-von-Gueike-Univesität Mdeu Institut fü Mehnik Üunsufen zu Tehnishen Mehnik - Dynik - use 010

2

3 Otto-von-Gueike-Univesität Mdeu Fkultät fü Mshinenu Institut fü Mehnik Üunsufen zu Tehnishen Mehnik - Dynik - zu Geuh in den Üunen Zusenestellt von I. Dnket

4 Inhlt: eite 1. Kinetik des Punktes 3. Kinetik de eenen Beweun des sten Köpes 8 3. Kinetik de eenen Beweun von Punktssen und sten Köpen 1 4. Eneieeziehunen 1 5. hwinunen 6 6. toßvoäne Deidiensionle Beweun des sten Köpes 39

5

6 3 1. Kinetik des Punktes 1.1 Eine Punktsse ht zu Zeit t 0 Ot x 0 die Geshwindikeit v x0. Vo Zeitpunkt t 0 n efäht die Punktsse eine konstnte Beshleuniun x. Ge.: t 0 = 0, x 0 = 6, v x0 = -5 /s x = /s Ges.: 1. Wo efindet sih die Punktsse zu Zeit t 1 = 3 s?. Welhe Geshwindikeit v x1 ht sie dot? 3. Wo liet de Ukehpunkt x de Beweun? 1. Bei Notesen wid ein it de Geshwindikeit v fhende Zu innehl de teke s zu tehen eht. Ge.: v = 90 k/h, s = 60 Ges.: 1. Wie oß ist die konstnte Beseshleuniun x?. tellen ie den Veluf de Beweun i x(t)-, v x (t)- und x (t)-di d! 1.3 Die folenden Teilufen sind zu lösen: N. Geeen nfnsedinunen Gesuht 1 s = t 3 v(t), (t), (s) v = t 3 t = 0: s = 0 s(t), (t), v(s) 3 = dt 3 t = 0: s = 0, v = 0 v(t), s(t) 4 v = es t = 0: s = s 0 t(s), s(t), (s), (t) 5 = fs t = 0: s = s 0, v = v 0 v(s), t(s) nu Inteldstellun 6 = hv t = 0: s = s 0, v = v 0 t(v), v(t), s(v),,d,e,f,,h - Konstnten 1.4 Duh We-Zeit-Messunen soll de Beshleuniunsveluf eine Fhzeueweun estit weden. Die Geshwindikeit etu zu Zeit t = 0 Null. Es een sih folende Wete: s [] 0 6,5 5 56, t [s] Ges.: 1. Mn zeihne die Funktion s = s(t) uf und nähee sie shnittsweise duh Polynoe n.. Wie lutet die Beshleuniun (t) in den einzelnen shnitten?

7 Ein Fhzeu fäht nh de eeenen Beshleuniuns-Zeit- Di (0 t t 1 polish, t t 1 line) n. Beehnen ie die Geshwindikeit v und den zuükeleten We s zu Zeit t! t 1 t t Ge.: t = 0: v 0 = 0, s 0 = 0; t 1 = 10 s, t = 0 s, 1 = 1 /s, = 3 /s 1.6 Ein Fhe fäht uf ede teke us de Ruhe heus it konstnte Bhneshleuniun so lne n, is e die xile Geshwindikeit v eeiht ht, it de e seine Fht fotsetzt. uf de letzten Teil de Geststeke est e dnn it konstnte Bhneshleuniun B is zu tillstnd. Ge.: = 0,8 /s, v = 16 /s, B = -1,0 /s, s = 58 Ges.: 1. Zeit fü den esten Fhvon. Gfishe Dstellun de 6 kinetishen Gundößen s = s(t), v = v(t), = (t), v = v(s), = (s), = (v) ) ) (Fü die Dstellun wähle n die Mßstäe: We: 1 = 00, Geshw.: 1 = 4 /s, Beshl.: 1 = ) 0,5 /s, Zeit: 1 = ) 0 s) Pel line t 0 t 1 t t 3 t Fü den Beweunsluf eines Mshinenteils ist ds Beshleuniuns-Zeit-Di eeen. Beehnen ie die Beshleuniun, die Geshwindikeit und den We ls Funktion de Zeit, wenn folende nfnsedinunen eeen sind: t 0 = 0: v 0 = 0, s 0 = 0, 0 = 0. Ge.: 1 = 1 /s, t 1 = 1 s, t = s, t 3 = 3 s Ges.: (t), v(t), s(t) 1.8 Fü den nluf des hlittens eine Lnhoelshine nh de Beweunsukeh ist de x Beshleuniunsveluf && x(x) = 0 (1 ) eeen. Ge.: 0,, nfnsedinunen t = 0: x = 0, x& = 0; Ges.: Mn eehne und skizziee die Funktionen xt (),&( xt),&&(),&( xx) undtx ( ) 1.9 Ein Gütezu duhfäht zu Zeit t = 0 uf eine Neenleis it konstnte Geshwindikeit v G einen Bhnhof, ls ede ein Pesonenzu in leihe Rihtun fäht. Die Beshleuniun des Pesonenzues nit is zu Zeit t 1 line it de Zeit von p0 uf p1. Dnn fäht uh e it de konstnten Geshwindikeit v p1 = v p (t 1 ) weite und üeholt den Gütezu. Ge.: v G = 54 k/h, t 1 = 50 s, p0 = 0,8 /s, p1 = 0 /s Ges.: 1. Zu welhe Zeit t fäht de Pesonenzu Gütezu voei?. In welhe Entfenun s vo Bhnhof eshieht ds? 3. Wie oß ist die Reltiveshwindikeit v ei Üeholen? 4. kizzieen ie ds s(t)-, v(t)- und (t)-di eide Beweunen!

8 Ein PKW-Fhe nähet sih it eine Geshwindikeit v 0 v 0 eine pel. Bei eine Entfenun l des Fhes von de pel spint sie uf Rot. Die Zeitdue fü die Rotund Gelphse etät t *. De Fhe öhte die pel x ede dnn pssieen, wenn sie wiede uf Gün wehselt. Ge.: v 0 = 50 k/h, = 100, t * = 10 s Ges.: 1. Mit welhe konstnten Beshleuniun 0 uß de Fhe esen?. Welhe Geshwindikeit v 1 ht e n de pel? 3. Mn zeihne die Die (t), v(t) und x(t) x 0 / t e t () In eine Bllshine weden Tennisälle üe die Läne us de Ruhele is zu Endeshwindikeit v e eshleunit. Ge.: Die destellten Beshleuniunsveläufe (), () und ( ) Ges.: Mn estie jeweils die Endeshwindikeit v e! / x 0 / v v e () () 1.1 Ein Punkt ewet sih uf eine Keishn vo Rdius 0. Ge.: 0 = 1, Winkeleshleuniun = 10 s -, nfnsedinunen: t = 0: ω = ω 0 = s -1, ϕ = 0 Ges.: 1. Wie oß ist die Dehzhl zu Zeit t = 0?. Zu welhe Zeit t 1 wid die Dehzhl n 1 = 1500 in -1 eeiht? 3. Welhe Beshleuniun ht de Punkt zu Zeit t = 0? 1.13 v 0I v 0II ϕ B B Von usehend eween sih zwei Punkte I und II it leihe nfnseshwindikeit v 0. Punkt I wid it t leihäßi eshleunit, Punkt II it t leihäßi vezöet. Die eiden Punkte teffen sih in B. Ge.:, ϕ B ; t = 0: v 0I = v 0II = v 0, s 0I = s 0II = 0 Ges.: 1. Zeit t B, zu de sih eide Punkte in B teffen. Beshleuniun t 3. Bei welhe Winkel ϕ 0 veshwindet die Geshwindikeit des Punktes II?

9 E I v I R B II C D v II Zwei Fluzeue I und II flieen einnde enteen. Ds Fluzeu I ht eine konstnte Geshwindikeit v I, ds Fluzeu II ht in B die Geshwindikeit v II und eshleunit konstnt it II. In welhe Entfenun 3 vo Punkt uß ds Fluzeu I in eine Keishn it de Rdius R einieen, wenn ds Fluzeu I in D einen stnd vo Fluzeu II in C hen soll, und nh welhe Zeit wid diese Le eeiht? Ge.: v I, v II (in B), II, 1,, R Ges.: t, Ein Zu ewet sih it konstnte Vezöeun uf eine Keisoen vo Rdius R und let eine teke s zuük. eine nfnseshwindikeit etät v 0, seine Endeshwindikeit v E. Es ist die Gesteshleuniun de Bete nh nfn und Ende des Keisoens sowie die Beweunszeit uf de Boen zu estien. Ge.: R = 800, s = 800, v 0 = 15 /s, v E = 5 /s Ges.: t, 0, E 1.16 s(t) 1 e x(t) Fü ein yste it den Punktssen 1 und ist die Beweun x(t) voeeen. Fü eine eknnte eilläne sind fü den Mssenpunkt 1 s(t), s &( t ) und &&s () t zu eehnen. Ge.: e,, x(t) 1.17 t = 0 v v B H t = 0 Ein hiff nähet sih eine Hfen H it de konstnten Geshwindikeit v, wähend ein zweites diesen it de konstnten Geshwindikeit v B veläßt. Die Kuse de hiffe sind edlini und shließen den Winkel ein. Zu Zeitpunkt t = 0 ht ds hiff vo Hfen den stnd. Ge.: v, v B,, Ges.: 1. Wnn hen die hiffe den einsten stnd voneinnde?. Welhe Hfenentfenunen hen die hiffe dnn und wie vehlten sih diese zueinnde? 1.18 ω 0 v 0 uf eine heie, die sih it de konstnten Winkeleshwindikeit ω 0 deht, ewet sih eine Punktsse it de konstnten Reltiveshwindikeit v 0 nh ußen. Ge.: ω 0, v 0 Ges.: solute Geshwindikeits- und Beshleuniunsvehältnisse in hänikeit von.

10 ϕ ψ M Eine Punktsse ewet sih uf eine Keishn it de Rdius uf eine heie. Die heie selst otiet u den Punkt M. Ge.:, ψ&, ψ&&, ϕ&, ϕ && Ges.: soluteshleuniun de Punktsse ϕ B Ein t 0 deht sih it konstnte Winkeleshleuniun 0 u den Punkt 0. uf de t leitet ein Mssenpunkt B eiunsfei it konstnte Beshleuniun 0 dil nh innen. Ge.: = 1, 0 = 0,3 s -, 0 = 5 /s nfnsedinunen: t = 0: ϕ(0) = 0 (0) = ϕ& ( 0) = 0 &( 0) = 0 Ges.: Fü ϕ = 30 eittle n soluteshwindikeit und -eshleuniun des Gleitsteines B. 1.1 ϕˆ uf eine shwinenden t ewet sih ein Punkt it konstnte Geshwindikeit v 0 dil nh ußen. v 0 ϕ Ge.: v 0, ϕ = ϕˆ sin Ωt, Ω, ϕˆ Ges.: solute Geshwindikeits- und Beshleuniunsvehältnisse in hänikeit von 1. L 0 R ϕ In eine Tu sitzt in eine Mus, i Mittelpunkt 0 eine Ktze. Die Mus ennt it konstnte Geshwindikeit v M entln de Tuue, u ds ettende Loh L zu eeihen. Die Ktze vefolt die Mus uf eine Bhn, die duh eine ϕ hiedishe pile ( ϕ) = R eshieen weden knn. π ϕ Ge.: R, v M, ( ϕ) = R π Ges.: 1. Wie oß uß die konstnte Bhneshwindikeit v K de Ktze sein, dit sie die Mus Loh ewisht?. Nh welhe Zeit T eeiht die Ktze die Mus?

11 8. Kinetik de eenen Beweun des sten Köpes.1 Moto Winde D Eine Lstwinde ht einen Moto it de Dehzhl n M. Die Toel de Winde ht den Duhesse D. Die eiden Zhndpe sollen us fetiunstehnishen Günden leih sein. Welhes Zähnezhlvehältnis i uß ewählt weden, dit die Lst it eine Geshwindikeit v ehoen wid? Ge.: n M = 980 in -1, D = 450, v = 45 /in Ges.: i d 1 1. d 3 ω d 3 Die Tieäde eine elektishen Lokootive weden vo Moto us ittels des Zhndes (1) (Motoitzel) und des Zhndes () netieen. Ds Zhnd () ist it de Tied (3) fest veunden. Wie oß sind die Winkeleshwindikeit und die Dehzhl des Motos ei eine Fheshwindikeit von v? Ge.: v = 10 k/h, d 1 = 340, d = 910, d 3 = 150 Ges.: ω Mot, n Mot.3 ϕ 1 ϕ ϕ Fü ds skizziete Plnetenetiee ee n die Zwnsedinunen zwishen den Koodinten ϕ 1, ϕ und ϕ 3 n. Ge.: 1,.4 h Es ist ds tößeletiee eine Weehtstoßshine zu untesuhen. β 1 Ge.: = 150, 1 = 900, = 600 Dehzhl de Kuel n = 5 in -1 Ges.: 1. Winkel, Winkel β. tößelhu h 3. Mxile eitshueshwindikeit v x 4. Mxile Rüklufeshwindikeit v Rx

12 9.5 v (k) d v (st) De tößelntie eines utoten efolt duh einen senkeht eweten Keil, de sih it de ittleen Geshwindikeit v k ewet. Die ittlee tößeleshwindikeit etät v st, de Rollenduhesse d. Ge.: v k = 0,35 /s, v st = 0,0 /s, d = 50 Ges.: 1. ittlee Winkeleshwindikeit de Rolle,. ittlee Reltiveshwindikeit de Rolle uf de shiefen Eene, 3. Winkel.6 ϕ x Es ist eine zentishe hukuel zu untesuhen. Ge.: = λ, ϕ = ωt (ω = konst.), x(ϕ = 0) = 0 Ges.: 1. Exkte Foeln fü x x& && x,, ω ω. Einfhe Näheunsfoeln fü x x& && x,, ω ω fü kleine λ, die us den exkten Foeln duh eohene Reihenentwiklunen ewonnen weden und λ nu is zu 1. Potenz enthlten sollen..7 Ein Keisexzente it de Mittelpunkt M und de Dehpunkt 0 ezeut eine Tnsltionseweun des tößels, de duh eine Fede ständi een den Exzente edükt wid. 0 ϕ M Ge.:,, = λ, ϕ = ϕ( t), ϕ& = konst Ges.: We, Geshwindikeit und Beshleuniun de it de tößel veundenen Msse ls Funktion von ϕ(t)..8 D ϕ Die hse eines ollenden Rdes wid it us de Ruhele heus eshleunit. De Rdduhesse etät D. Mn ee in hänikeit vo Dehwinkel ϕ die Beshleuniun des Punktes Ufn n, de zu Beinn de Beweun die Untele eüht. Mn zeihne den Beshleuniunsveluf fü eine Udehun uf. eines Rollen Ge.: = 1 /s, D =.9

13 10 P R ω 1 3 y R ϕ(t) x P P 4 Kette e R P 3 Ein Kettenfhzeu fäht it de Geshwindikeit v(t), seine Beshleuniun sei (t). Es sind die Betäe de Geshwindikeiten und Beshleuniunen de Punkte P 1, P, P 3 und P 4 zu eitteln. Ge.: v,, R Ges.: v 1 = v 1 (v) 1 = 1 (,v) v = v (v) = (,v) v 3 = v 3 (v) 3 = 3 (,v) v 4 = v 4 (v) 4 = 4 (,v) Eine Hlsheie vo Rdius 0 ollt uf eine eenen Untele. Ge.: 0, ϕ(t) Ges.: 1. hwepunkt de Hlsheie. Fü die Beweun des hwepunktes:.1 Bhnkoodinten x (ϕ), y (ϕ). Geshwindikeitskoponenten x& ( ), & ϕ y( ϕ).3 Beshleuniunskoponenten && x ( ), && ϕ y( ϕ) 3. Mn he sih die Geshwindikeits- und Beshleuniunsvehältnisse it Vektoen kl! Bei eine Teil eines Heewekes sind dei Räde üe ollende vetikle eile veunden. Ge.: R,, ω 1 Ges.: Wie oß sind die Geshwindikeiten de Mittelpunkte de Rollen () und (3), wenn sih die Rolle (1) it de Winkeleshwindikeit ω 1 deht?.1 s M v 0 F W s 1 F 1 F 0 s Ein Pfhl de Msse wid duh einen R-Bä de Msse M senkeht in die Ede et. Bä und Pfhl hen die nfnseshwindikeit v 0. Die Widestndskft F W des Bodens entspiht de ufezeiten Funktion, dei sind F 1, F 0, s 1 expeientell estite Wete ((M+)<F 0 ) Ge.:, M, v 0 F 1, F 0, s 1 Edeshleuniun Ges.: Eindintiefe s E des Pfhles in den Boden.13 Welhe Leistun uß de Rdfhe von ufe 3.7 een, u it de Geshwindikeit v E ei eine Geenwind von v W uf ede hoizontle teke zu fhen? Welhe Leistun uß de Rdfhe duh den Geenwind eh ufinen? Ge.: v E = 40 k/h v W = 4 /s

14 11.14 Mn estie die Mssentäheitsoente folende hooene Köpe (Msse, Dihte ρ) N. Köpe Geeen Gesuht 1 dünne t,, ρ J, J,ρ dünne heie,,, ρ J, J,ρ P P i P i 3 Kuel d,, ρ J,ρ d 4 Zylinde,ρ,,,, J, J, J P i P P i 5 Qude,,,, J, J,ρ ρ

15 1 3. Kinetik de eenen Beweun von Punktssen und sten Köpen 3.1 t = 0 P v 0 v 0 t = t 1 Welhen eoetishen Ot ilden lle Mssenpunkte zu Zeit t=t 1, die zu Zeit t=0 it de Geshwindikeit v 0 unte veshiedenen Winkeln zu Hoizontlen von eine Punkt P us ewofen weden? lle Wufhnen lieen in eine Eene und de Luftwidestnd sei venhlässi. Ge.: t 1, v 0, 3. y F Ein Punktsse wid duh die Kft F uf hoizontle Eene eiunsfei ewet. x Ge.:, F = F $ osωt, Ω, B.: t = 0: x = 0, y = 0, x& = v, y& 0 = 0 Ges.: 1. Gleihun de Bhnkuve y = y(t) fü die Punktsse y Ωx. kizze de diensionslosen Bhnkuve = f F$ / Ω v it ne de Le de Extewete Ein Rütteltish ewet sih nh de Gesetz y= y$sinω t. uf de Tish liet ein Köpe de Msse. Bei welhe Keisfequenz Ω het de Köpe? Ge.: ŷ = 1, = 9,81 /s Ges.: Ω 3.4 F 3.5 μ Ein Köpe de Msse liet uf eine hoizontlen uhen Flähe. Ge.: = 100 k, = 30, μ = 0,5 Ges.: Welhe Kft F it de Köpe eine Beshleuniun von = 30 /s nh ehts? 1 v 1 v H 0 Eine Punktsse 1 fliet it konstnte Geshwindikeit v 1 hoizontl in de Höhe H 0. Eine Punktsse wid it de Geshwindikeit v unte de Winkel in de uenlik eshossen, in de 1 enu üe ist. Die Punktsse soll die Punktsse 1 teffen. De Luftwidestnd soll venhlässit weden. Ge.: v 1 = 600 k/h, H 0 = 1000, = 60, = 9,81 /s Ges.: 1. Notwendie Geshwindikeit v. Zeit t 1 fü ds Zusenteffen.

16 v 0 Eine Punktsse wid von de Höhe h us it de Geshwindikeit v 0 unte eine Winkel ewofen. Ge.: v 0, h, Edeshleuniun h Ges.: 1. so, dß die Wufweite x xil wid. Göße von x x x 3. x x und fü die Zhlenwete: v 0 = 10 /s, h =, = 9,81 /s (Kuelstoßen) 3.7 Ein Rdfhe eeiht uf eine Be it 14% teiun ei Heollen die konstnte Geshwindikeit v 0. Die Gestsse von Fhd und Fhe ist. Unte Venhlässiun des Rollwidestndes und nnhe eines Luftwidestndes, de qudtish von de Geshwindikeit hänt [ FW = kv sn(v)], ist die Geshwindikeit zu eehnen, die eeiht wid, wenn de Rdfhe eine 8 % teiun hinollt. Ge.: v 0 = 60 k/h, = 90 k 3.8 Mn estie die xil ölihe Beshleuniun eines Be zw. uf weehte Eene nfhenden Fhzeues. d Ge.: hwepunktle d==,reiwet (Reifen-tße) μ 0 =0,5 Neiun: tn 1 = 0, tn = 0, Ges.: Mxil ölihe Beshleuniun fü 1. Fontntie,. Hekntie 3. lldntie Hinweis: Mn ethte ds nze Fhzeu ls sten Köpe und n venhlässie Rollund Luftwidestnd des Fhzeues sowie die Dehtäheit de Räde Bei de Beshleuniun eines Wens knn es zu Rutshen de Lst koen. F Ge.: 1 = 600 k, = 100 k, = 9,81 /s, μ 0 = 0,5 μ = 0,15 (Hft- zw. Gleiteiunszhl) Ges.: 1. Beshleuniun des Wens ( 1 ) und de Ldun ( ), wenn die Kft F = 000 N etät.. Welhen Wet F* df F höhstens nnehen, ohne dß die Ldun leitet?

17 14 C E ω β B Ein shlnke hooene t B ist in it eine vetiklen hse DE elenki veunden und wid duh ein eil CB in seine Position ehlten. Ds yste otiet it de konstnten Winkel-eshwindikeit ω u die hse DE. Ge.: =,5, = 0 k, ω = 15 1/s, β = 60 Ges.: Eitteln ie die eilkft i eil CB D 3.11 Ein Fluzeu füht einen senkehten tuzflu us und eeiht dei die Geshwindikeit v. Bei Heusziehen des Fluzeues us de Vetiklle esheit es einen Keisoen vo Rdius. Wie oß ist ei konstnt leiende Geshwindikeit die Höhstkft, die den Fluzeufühe de Msse uf den itz dükt? Ge.: v = 1000 k/h, = 600, = 80 k 3.1 Die Lstwinde von ufe.1 eeiht ei konstnte Beshleuniun in t 1 ekunden die Hueshwindikeit v 1. Die Windentoel ht die Msse T und den Duhesse D. Fü die Beehnun des Täheitsoentes knn it de nnhe eines dünnen Rines eeitet weden. Zu Beüksihtiun de Toelne und de e setze n J Tv = 0,9J R. Die Lst ht die Msse L. Ge.: t 1 = s, v 1 = 45 /in, D = 450, T = 00 k, L = 3 t, = 9,81 /s Ges.: Unte Venhlässiun de Msse des Getiees sind zu eehnen: 1. Mxiles n de Motowelle uftetendes Dehoent. Dehoent wähend des Hues it konstnte Lsteshwindikeit 3.13 D e d M 0 n de Welle des Rotos eine xilkolenpupe it den eeenen essunen eift ein konstntes Moent M 0 n. Wie oß uß M 0 sein, dit de Roto us de Ruhezustnd nh t 1 ekunden eine Winkeleshwindikeit ω 1 eeiht? Welhe Dehzhl n 1 wid nh t 1 ekunden eeiht? Ge.: = 0, = 15, D = 1, d =,5, e = 3,5, ρ = 7,5 / 3, ω 1 = 30 s -1, t 1 = s Ges.: M 0, n

18 15 J Ein Roto wid duh ds Dehoent M(t) (siehe fishe Dstellun) netieen. Zu Zeit t = 0 steht de Roto still. M(t) M(t) Ge: M 1, t 1, J Ges.: Dehzhl n zu Zeit t = t 1 M 1 t 1 t 3.15 Die dil efühten Fliehköpe eines Reles weden ei teieun de Dehzhl u die zu Zeiheneene senkehte hse een die Feden edükt. De hwepunktsstnd de Fliehköpe von de Dehhse etät i tillstnd x 0, woei die Feden it de Kft F 0 voespnnt sind. Ge.: x 0 = 40, F 0 = 40 N, =,5 k, = 90 N/ Ges.: 1. Bei welhe Dehzhl einnt de Rele zu eiten?. Wie oß ist de hwepunktsstnd x ei x n 1 = 50 in -1, n = 355 in -1 und n 3 = 450 in -1? 3. Die Funktion x = x (n) ist fish dzustellen , J Die Tü eines Fhzeues steht offen. De hwepunkt de Tü ht den stnd von den eiunsfeien neln. Ge.:, J,, 0 Ges.: Mit welhe Winkeleshwindikeit &ϕ = ω fällt die Tü ins hloß, wenn ds Fhzeu it de konstnten Beshleuniun 0 nfäht? 3.17 ω 0, d, d 1 Eine esetzte Welle otiee zu Zeit t = 0 it de Winkeleshwindikeit ω 0. Wähend de Zeitdue von t = 0 is t = t 1 soll die Welle duh die konstnte Kft F is zu Ruhe eest weden. μ F F Ge.: ω 0, t 1, ρ,, d 1, d, μ Ges.: F 3.18 μ, p M ϕ1, ϕ& ϕ, ϕ& 1 J 1 J Eine Reikupplun, die ds Moent M üeten soll, esteht us zwei heien (J 1, J ) it de Duhesse, die zu Zeit t = 0 it de Duk p eeneinndeepeßt weden. Zu leihen Zeit ilt ϕ& = ϕ&, ϕ = 0, ϕ& = 0, ϕ = Ge.: M = 100 N, J 1 = 0,3 k, J = 3 k, = 10,

19 16 p = 0 N/, μ = 0,3; ϕ& 10 = 300 s 1 Ges.: 1. Zeit t k, nh de kein Rutshen de heien eeneinnde eh stttfindet (Kuppelzeit). Veläufe von ϕ&&, &&, &, & 1 ϕ ϕ1 ϕ, ϕ1, ϕwähend des Kuppelns (kizze) 3. Welhe Beziehun uß p enüen, dit Kuppeln ölih ist? 4. Eneievelust ei Kuppeln ω 0 Eine it de Winkeleshwindikeit ω 0 u die vetikle hse otieende Keissheie wid uf eine uhe hoizontle Eene ufesetzt μ Ge.: ω 0,, 0, μ, Ges.: 1. Nh welhe Zeit T kot die heie zu Ruhe, wenn die Flähenpessun ls konstnt nenoen wid?. Wieviel Udehunen füht sie dei us?, J Fü ds eeene yste ist die Beshleuniun des Mssenpunktes 1 zu estien J 0 Ge.: 1,, J, 3,, Edeshleuniun Ges.: Mn stelle die Beweunsleihunen 1. nh d leet. nh Lne.t uf. Geeen ist eine ei 0 deh elete Doppelsheie. uf sie sind sselose dehnste eile ewikelt, die n ihen feien Enden die Mssen 1 und ten. Mn estie die Beshleuniun diese Mssen, wenn die etieun elöst wid. 1 Ge.: 1,, J 0, 1,, Ges.: Beshleuniunen de Mssen 3. J 1 1, J Eine Rolle wid von eine Winde uf eine shiefen Eene hohezoen. ie ewet sih ollend, ohne zu leiten, us de Ruhe heus. 3.3 M 3 Ge.: J 1, J,,, 1 =, 3, Ges.: 1. Kleinstes ntiesoent M in fü die ufwätseweun. We s = s(t) und Geshwindikeit s& = s &() s des Rollenittelpunktes, wenn M = M in

20 17 M J R R h, J 1 C F 3 d B Eine Födeeinihtun wid duh einen Moto it konstnte ntiesoent netieen. Zwishen Behälte ( 3 ) und shiefe Eene titt Reiun uf. Die Mssen des eiles und de sten Veindun von 3 und de losen Rolle seien venhlässi klein. 1 μ Ge.: M, 3,, J 1, J =, 1,,, μ, de Msse 3 fü die nfnsedinunen: t = 0: s = 0, v = 0 Ges.: (t), v(t), s(t) Eine hnuolle de Msse wid it konstnte Kft F üe einen Fden, de den Winkel zu Hoizontlen ildet, ezoen. Ge.: R,, F,,, J Ges.: Wie oß ist die Beshleuniun de Rolle, wenn eines Rollen vousesetzt wid? (Mn üepüfe qulittiv die Eenisse n eine selstefetiten Modell!) 3 d Ein hooenes dünnes pistishes Bett ollt üe zwei eiunsfei elete hooene Vollwlzen. Zu Beinn de Beweun liet ds Bett ohne nfnseshwindikeit ede ehts uf. Ge.:,, h, < < l,, 1,, 3,, eines Rollen Ges.: 1. Geshwindikeit v E und Zeit t E, wenn ds linke Ende des Bettes üe die linke Rolle läuft ( 3 = = ).. Beweunsleihunen nh.) d leet.) Lne. t Hooene heien, B, die konzentish fest iteinnde veunden sind, ollen ohne zu leiten uf eine weehten Untele. uf den Köpe B ist ein ieeshlffes, undehnes eil ufewikelt. Die sselose Rolle C ist eiunsfei elet. Ge.: 1,, R,, d,, Ges.: Beshleuniun de Msse R 1 R 1 J 3 J 1 Ein ufzu nh kizze wid duh ein konstntes Motodehoent netieen. Wie oß ist die Beshleuniun de Mssen 1 und? Ge.: M, J 1, J, J 3, R, 1,, 1,, Ges.: Beshleuniun J M =konst.

21 Ds skizziete yste (dünnwndie Hohlzylinde und hooene Vollzylinde, duh sselosen sten t ekoppelt) ollt eine shiefe Eene hinunte. Es wid eines Rollen vousesetzt. Ge.:,,, Ges.: 1. Beshleuniun des ystes. tkft F De ufhänepunkt eines thetishen Pendels ewet sih it de konstnten Beshleuniun 0 nh ehts. Ge.:,, 0 Ges.: 1. Die Beweunsleihun des ystes. Die Kft i sselosen t F J n eine esetzten Rolle ist üe zwei sselose, dehnste eile jeweils eine Msse efestit. Die Rolle ist in eiunsfei deh elet. 1 Ge.: 1,, J, 1, Ges.: 1. Winkeleshleuniun &&ϕ de Rolle. eilkäfte in den eilen 3. Wie oß uß ds Mssentäheitsoent J de Rolle indestens sein, dit ei wikeln keines de eile shlff wid? 3.31 J J J 3 Die Msse wid ittels eine Winde ehoen. Die Beweun efolt eiunsfei us de Ruhe heus. M =konst. 3.3 Ge.:, J 1, J, J 3,, 1,, 3 Ges.: 1. Kleinstes ntiesoent M in, ds zu Heen de Lst efodelih ist. We s = s(t) de Msse, flls M = M in 3. Geshwindikeit v = v(s) de Msse, flls M = M in

22 19 =0 M 3.33 B +M M+ De Fden B vehindet in eine uslnieten Welken die Beweun. Rolle, Welken und eil seien sselos, ds eil ieeshlff. Es ist keine Reiun vohnden. Ge.: M,,, Ges.: Nh Duhtennen des Fdens: 1. Beshleuniunen de dei Mssen. eilkäfte 3. Winkeleshleuniun des Welkens Ein Zylinde de Msse 1 ist duh eine sselose tne n den Qude ekoppelt. 1 F Ge.: 1,,, μ 1, μ,, μ 1 μ Ges.: Beshleuniun des ystes und die tkft F fü 1. eines Rollen des Zylindes. Rollen und Gleiten des Zylindes ,J 4,J 4 Ein eil, ds u eine hooene Keissheie de Msse ewikelt und üe eine Rolle de Msse 4 efüht wid, tät ein Gewiht de Msse 3. Die Rollen sind eiunsfei elet. Die Leun it de Msse 1 knn leiten. μ 3 Ge.: 1 = = 3 = 4 =, J = J 4 = 1,, μ=0,05, Ges.: Beshleuniunen de Mssen 1 und Ein ei einehäntes undehnes eil läuft eiunsfei üe eine lose Rolle und eine feste Rolle. Ds eil sei sselos. feien Ende des eiles ist die Msse 1, n de losen Rolle die Msse neht. Ge.: 1,, J 3, 4, J 4,, Ges.: Beshleuniunen de Mssen und eilkäfte nh Lösen de etieun 3.36 J J , J Fü ds eeene yste sind die Rollen eiunsfei elet. Beehnen ie fü dieses yste die Beshleuniun de Msse 1! Ge.: 1 =, 3 = 4 = 6 =, = 3 = 5 =, J = J3 = J5 = J =, 4

23 B B n eine t de Msse 0, de in eiunsfei elet ist, sind dei hooene heien konstnte Dike efestit. uf de heie 1 de Msse 1, die it de t st veunden ist, ist ein ieeshlffes eil ufewikelt, ds Ende die Msse 3 tät. Ge.:, 0, 1,, 3, Ges.: Beshleuniun de Msse 3 1. wenn sih die eiden äußeen heien eiunsfei u B dehen können. wenn die eiden äußeen heien duh einen tift it de t st veunden sind 3. Lösun it den speziellen Weten: 0 = 1 = = 3 =, = 9,81 /s 3.38 M Welle 1 Welle 3 Moto J J De Moto eine eitsshine entwikelt ein konstntes ntiesoent und soll die Welle 3 is zu Zeit t 0 us de tillstnd uf die Dehzhl n 3 eshleunien. Beehnen ie die Motoleistun zu Zeit t 0. 4 Ge.: 1 = = 3 =, n 3 = 100 in -1, t 0 = 10s 3 J J1 = = J = 100k Ges.: M, P x 3.39 II M 1 I Zwei Zhnäde I und II stehen iteinnde i Einiff. Wie oß uß unte Venhlässiun des ehnishen Wikunsdes ds ntiesoent M sein, wenn zu Zeit t 1 ds Zhnd II die Dehzhl n II eeiht hen soll? Ge.: ρ = 7,5-3, Zhneite 1 = =0, 1 =150, =50 t 1 = 10s, n II = 1000 in -1, B: t = 0: ϕ II = 0, ω II = 0. Die Zhnäde sind ls zylindishe Köpe zu idelisieen B Qude 1 dünne t, Fü ds destellte yste ist die uflekft F unittel nh de Duhshneiden des Hlteseiles B zu eehnen. 3 Ge.: 1,, 1,, 3, Ges.: F (Resultieende)

24 Fü die destellte hooene heie de Msse ist die uflekft F 0 kuz nh Duhshneiden des eiles esuht. 0 Ge.:,, Ges.: F 0 (Resultieende)

25 1 4. Eneieeziehunen 4.1 L Ein Lstkhn K wid in eine Knl von eine Lokootive L eteidelt. I Zuseil wikt unte de Winkel die Kft F. Ge.: = 30, F = 10 kn, s = 3 k, v = 9 kh -1 K Ges.: 1. Die eit fü den We s,. Die Zuleistun fü eine Fheshwindikeit von v. 4. v=0 v(ϕ) ϕ 0 ϕ F (ϕ) Poe Bei eine Pendelshlwek zu Keshlpüfun wid in de skizzieten Ruhele die etieun des Hes elöst. Mn estie unte Venhlässiun de tsse v(ϕ) und F (ϕ). Ge.: = 0 k, = 1, ϕ 0 = 30, = 9,81 s - Ges.: v(ϕ), F (ϕ) sowie v(π) und F (π). 4.3 B B Welhe nfnseshwindikeit v 0 uß eine Msse indestens hen, dit sie von de nfnsle us die Le B eeiht, wenn sie.) uf eine Keishn eiunsfei leitet,.) duh einen sten sselosen t efüht wid?.).) Ge.:,, = μ Eine Msse ewet sih zwishen zwei sselosen, in de sttishen Ruhele niht voespnnten Feden (eine Dukfeden) it Reiun uf eine eenen Untele. ie wid zu Beinn u 1 us de sttishen Ruhele uselenkt. Ge.: 1 = N -1, = 5 N -1, 1 = 10, μ = 0,1, = k = 981 s - Ges.: 1. Geshwindikeit v 1 de Msse, wenn eide Dukfeden ds este Ml ohne pnnun sind.. Mxile Zusendükun de Fede. 3. Wie oß ist die xile Zusendükun * de Fede unte Venhlässiun de Reiun?

26 4.5 1 v 1 Zwishen zwei duh eine etieun veundene Mssenpunkte de Mssen 1 und wid eine Fede einesetzt. U welhen Bet w uß die Fede zusenedükt sein, dit 1 nh Lösen de etieun die Geshwindikeit v 1 ehält? Wie oß ist dnn v de Msse? Die Beweunen velufen eiunsfei. Ge.: 1,, v 1, M Ein elenki elete hooene ste t it eine Punktsse Ende des tes fällt ohne nfnseshwindikeit von de usnsle ϕ 0 uf zwei Feden. ϕ 0 1 Ge.:,, M, 1,, ϕ 0, Edeshleuniun Ges.: 1. Winkeleshwindikeit &ϕ 1 des tes ei ufteffen uf die Feden (hoizontle Le).. Mxilwinkel ϕ, u den sih de t unte die Hoizontle deht (Voussetzun: ϕ << ϕ 0 ) v = 0 Ein in deh elete sselose Blken tät Ende eine Punktsse. E shwint us de hoizontlen Ruhele nh unten und stößt uf eine Fede. Ge.:, 1,, Ges.: 1. Winkeleshwindikeit ω 1 des Pendels vo uf- Pll uf die Fede.. Mxile Fedewe, woei nzunehen ist, dß ei zusenedükte Fede die uslenkun ϕ eenüe de vetiklen Le klein ist. 4.8 D n L h =, h = 0.5, U die Gefählihkeit eines uslufenden elektishen Rsenähes zu deonstieen, soll die entspehende Fllhöhe H eines Hushlteiles (Msse B ) eehnet weden. De Rsenähe esteht us eine Elektooto it senkehte Welle, uf de diekt ds Messe in Fo eines Flhsthles sitzt. De nke soll ls Eisenvollzylinde nenoen weden. Mn nehe n, dß de eshltete Moto i ethteten uenlik noh eine Dehzhl von n ht. Ge.: D = 8, L = 1, = 36, -3-1 ρ Fe = 7,86, B = 500, n = 300 in Ges.: H

27 3 4.9 I ,J 0 β 0 ϕ β 1 h II w 1 Unte de Wikun eine Fede () ewet sih eine Rolle (,J,) von de Le I us ohne nfnseshwindikeit uf eine shiefen Eene. Ge.:, J,,,,,, Läne de unesp. Fede l 0 Ges.: 1. Geshwindikeit de Rolle in II.. Fedekonstnte * so, dß II ede noh eeiht wid. Voussetzun: Reines Rollen, Fede stets uf Zu enspuht. P U welhe teke uß die Fede eines Ktpultes espnnt weden, wenn die Kuel nh Velssen des Rohes den Punkt P uf de hoizontlen Eene eeihen soll? Ge.: = N -1, = 30, h = 30, w = 00 = 981 s - Ges.: 1. teke. Wie oß ist die Geshwindikeit v 0 de Kuel ei Velssen des Rohes? Ein Mssenpunkt ewet sih eiunsfei von 0 us it eine nfnseshwindikeit v 0 uf eine Keishn in de vetiklen Eene. Wie oß ist die Geshwindikeit v(ϕ) uf de Bhn zwishen 0 und 1? Bei welhe Winkel β 1 het de Punkt von de Bhn? Ge.: = 1,,, und.) v 0 = 0 s -1 it β 0 = 0 zw. β 0 = 15 ) v 0 = s -1 it β 0 = 0 zw. β 0 = 15 Ges.: v(ϕ), β 1 h us welhe Höhe h uß eine Punktsse ohne nfnseshwindikeit esttet weden, dit sie nh lösen von de Keishn duh den Mittelpunkt des Keises fällt? Die Beweun uf de Bhn efolt eiunsfei. Ge.: Ges.: h 4.13 w h Ein Gütewen de Msse ollt eiunsfei eine shiefe Eene hin und duhfäht nshließend eine Kuve vo Rdius in de hoizontlen Eene. Die puweite etät w. Ge.: = 0 t, = 100, = 100, w = 1,0, = 5 Ges.: Welhe Üehöhun h uß de hienenstn ehlten, dit die hienen ei Duhfhen de Kuve keine seitlihen Käfte ufnehe?

28 Eine Punktsse, die die nfnseshwindikeit v 1 ht, ewet sih ohne Reiun läns de ezeihneten Bhn. h v 1 v 1 h 3 Ge.: h s -1, = 9,81 s - 1 =, h 3 = 1, v 1 = 3 Ges.: 1. Geshwindikeit v n de telle. Rdius, dit sih die Punktsse niht von de Bhn löst. Eine Msse tifft uf einen Puffe, de die Fedesteifikeit esitzt. Wie oß ist die xile Zusendükun de Fede, wenn die Beweun eiunsfei efolt? Ge.: =150 k, = 1500 N -1, = 1, v 1 = 3 s -1, = d J uf eine Windento el it de Duhesse d ist ein eil de Läne ufewikel t. Die Einheitssse des eiles etät q. Ds Mssentäheitsoent de Toel ohne eil etät J. Ge.: d,, q, J, Ges.: Dehzhl de Toel, wenn ds este eil i feien Fll von de Toel ollt (ohne Reiun) Ein zweiie sselose Heel ist ei deh elet und tät n seinen Enden die Punktssen 1 und. De Heel wede zunähst weeht ehlten und dnn loselssen. Wie oß ist die Geshwindikeit v de Msse ei Duhn duh die senkehte Le? Ge.: 1,, 1,, Ges.: v 4.18 f 1 1 h Ein Gleitstein (Msse ) ewet sih eiunsfei uf eine vetiklen Fühun und ist it eine Fede it konstnte Fedesteifikeit veunden. Die Fede ht i entspnnten Zustnd die Läne f 0. Fü den Beweunseinn us de Position 1 soll die nfnseshwindikeit v 1 = 0 nenoen weden. Ge.: = 10 k, f 0 = 10, f 1 = 0, h = 15, = 6 N -1 Ges.: Eitteln ie die Geshwindikeit v des Gleitsteines in Position!

29 B Ein shlnke hooene t de Läne 5 ist in 0 deh elet. In ist de t uf eine Fede estützt. In de ezeihneten hoizontlen Le wid die Fede u kopiiet und de Blken in diese Le ehlten. Lee- 4.0 Ge.: = 30, = 3, = 3600 N -1, = 15 k = 9,81 s - Ges.: 1. Eitteln ie die Winkeleshwindikeit des Blkens, nhde n ihn us de ezeihneten Le efeit ht, fü die vetikle Le.. Wie oß sind in de vetiklen Le die ktionen in 0? Ein Zylindeollenle esteht us eine dünnwndien ußenin (Msse ) und sehs hooenen Zylinden (jeweils Msse ). uf de ußenin ist ein sseloses dehnstes eil ufewikelt, n dessen Ende ein Gewiht (Msse ) hänt. Z R Ge.:, R, Z Ges.: Die Beshleuniun des Gewihtes n de Msse 1, die eiunsfei leitet, ist ein thetishes Pendel de Msse efestit. Ge.: 1,, Ges.: Die Beweunsleihunen des ystes 4. μ 1 Ü k Eine Punktsse utsht von de telle 1 us ohne nfnseshwindikeit uf eine shiefen, nshließend uf eine hoizontlen Eene und kot n de telle wiede zu Ruhe. Ge.:,,, μ (Gleiteiunskoeffizient) Ges.: 1. Entfenun k. Zeit t * fü den Beweunsvon nleitun: De Üensoen Ü ist zu venhlässien (stoßfei).

30 6 5. hwinunen 5.1.).).) M 3M 3M M sttishe Ruhele de hwine,, Ein hooene ste t de Msse 3M it eine Punktsse M n seine Ende füht hwinunen kleine plitude in de Eene us. Ge.: M,,, Ges.: Mn eittle fü die Fälle, und 1. die hwinunsdiffeentilleihun,. die hwinunsdue. 3M M 5..).) Zwei Wellen und eine heie sind uf zwei veshiedene ten koiniet. Die Wellensse sei venhlässi klein. 1 d 1 1 d 1 J d J d Ge.: 1,, d 1, d, J, Gleitodul: G 1, G Ges.: Mn eittle fü die ystee und 1. die Tosionseienfequenzen,. die hwinunsdue E, Ein ufzu fäht it konstnte Geshwindikeit v wäts. Plötzlih wid ds Getiee n de eiltoel ei de eilläne lokiet (tillstnd de eiltoel!). Ge.: = 40, = 1 t, E = N -, =, v = s -1,, eil sei sselos Ges.: Mxile eilkft F x nekun: Mn löse die ufe.) ls honishe hwinun it nfnsedinunen.) it de Eneiestz ϕ 0 1 Ein physiklishes Pendel shwint us de usnsle ϕ 0 ohne nfnseshwindikeit. Ge.: ϕ 0,, 1,, Ges.: 1. Lekft F = F (ϕ). Eienkeisfequenz ω 0 fü kleine usshläe

31 7 5.5,J d 1 EI, Geeen ist eine shiefe Eene, uf de sih eine heie de Msse ollend eween knn. Diese heie ist duh ein sseloses stes eil it eine Fedesyste veunden, dessen Msse venhlässit wid. Dieses Fedesyste esteht us eine huen- und eine Blttfede. Die heie wid nestoßen und einnt zu shwinen Ge.:, J, d,, EI,, 1, Ges.: hwinunsdue T Geeen ist ds destellte shwinunsfähie yste. Die hooene, qudtishe heie de Msse ht die Kntenläne und eine konstnte Dike. Es ist die hwinunsdue fü kleine usshläe zu estien, woei sätlihe Reiunseinflüsse zu venhlässien sind. Ge.:,, Ges.: T 1 1 Ein hooene dünne t hänt n zwei Feden und ist in eiunsfei deh elet. I Ruhezustnd efindet sih de t in hoizontle Le. Eitteln ie fü kleine usshläe die Eienkeisfequenz, die hwinunsdue und die Eienfequenz des ystes. Ge.:, 1,, 1, Ges.: ω 0, T, f B Eine hooene heie (Msse, Rdius ) ist üe ein dehnstes, ieeshlffes eil in ezeihnete Weise ufehänt. Ein Ende des eiles ist in B üe eine Fede efestit. Ge.:,, Ges.: Eienkeisfequenz, Eienfequenz und hwinunsdue des ystes 5.9

32 8 Eine hooene Keissheie de Msse M hänt n eine Fede. Üe die heie ist ein dehnstes eil elet, welhes n eine Ende efestit ist und ndeen Ende die Msse tät. Ge.: M,,,, v 0 Ges.: 1. Die Beweunsleihun fü die Msse, M. die Lösun de Beweunsleihun, wenn us de sttishen Ruhele duh einen toß (nfnseshwindikeit v 0 ) in Beweun esetzt wid.

33 B Bei eine Pleuel vo Gewiht weden die hwinunsduen T und T fü die ufhänunen in den Punkten zw. B eessen. Ge.:,,, T, T Ges.: 1. Le des hwepunktes,. ds Täheitsoent J.,V 5.11 Ein vetikl eiunsfei efühte Zylinde it de Msse und de Gundflähe tuht in eine Flüssikeit it de Dihte ρ Fl ein. Ge.:,,, ρ Fl (ρ Fl > V, V Fl>>V) ρ Fl V Fl Ges.: 1. hwinunsdiffeentilleihun fü die vetiklen hwinunen des Köpes in de Flüssikeit.) nh d leet.) nh Lne. t. hwinunsdue T nekun: Venhlässiun von Rei- und töunswideständen R x,j Ds hwinunssyste wid us de sttishen Ruhele u x 0 uselenkt. Ge.:,,,, J =, eines Rollen B: t = 0: x = x 0, x& = 0 Zhlenwete: =1 k, = 6 N -1, =10, x 0 =1 Ges.: 1. hwinunsdue T. xile Geshwindikeit x& x 3. xile Beshleuniun && x x Üe einen eiunsfei eleten hooenen Vollzylinde (Msse, Rdius R) läuft ein sseloses, ieses, dehnstes eil ohne hlupf, ds ehts eine Msse 1 tät und links üe eine Fede (Konstnte ) it de Boden veunden ist x 1 Ge.:, 1,, R, Ges.: 1. Eienkeisfequenz, Eienfequenz, hwinunsdue. x(t) fü die nfnsedinunen t = 0: x = x 0, &x = v 0 Ein dünne hooene t füht Pendelshwinunen uf de Keissheie us. Ge.:,,, Ges.: hwinunsdue T fü kleine usshläe 5.15

34 30, x,j Ds hwinunssyste wid us de sttishen Ruhele u x 0 uselenkt und loselssen. Ge.:, J =,,,, eines Rollen B: t = 0: x = x 0, &x = 0 Zhlenwete: =10 k, =15 N -1, =10, x 0 =1 = 30 Ges.: 1. hwinunsdue T. xile Geshwindikeit x& x 3. xile Beshleuniun && x x sselos B M 1 De skizziete hwine ist in B elenki elet. E esteht us eine hooenen Qude de Msse 1, eine sselosen t, eine Punktsse und eine Fede it de Fedekonstnten. Ge.:, 1,,, Ges.: Fü kleine usshläe 1. hwinuns-dl. nh d leet. hwinuns-dl. nh Lne. t 3. hwinunsdue T Fü ds eeene hwinunssyste ist die hwinunsdue fü kleine hwinunsusshläe esuht. Ge.:, M, 1,, 3,, Ges.: T z,j Ein hwinunssyste (die ezeihnete Le ist die Ruhele) esteht us eine sselosen t, eine sselosen Fede it de teifikeit und eine Zhnd (Msse, Täheitsoent J ), ds in de hweehse deh t efestit ist und i Zhnseent z kät. lle Le sind fei von Reiun. 1 1 Ge.:,,,, =, =, J = 4 5 Ges.: hwinunsdue fü kleine usshläe, wenn.) ds Zhnd i Zhnseent z kät,.) z niht vohnden ist.

35 Ds eeene yste, estehend us Fede, Msse und Däpfe, füht shwh edäpfte hwinunen us. Ge.: = 1000k, = 1, N -1, = 3,5Ns -1 Ges.: 1. Nh welhe Zeit ist die plitude eine feien hwinun uf 10% des nfnswetes eklunen?. Wieviel hwinunen weden in diese Zeit usefüht? x n den Enden eines ei 0 eiunsfei deh eleten sselosen Heels sind eine Fede zw. eine Msse neht. Die Msse tuht vollständi in einen Flüssikeitsehälte ein. In de ezeihneten hoizontlen Le des Heels heshe Gleihewiht. Ge.: = 10k, = 100N -1, = 1Ns -1, = 9,81s - Ges.: Mn estie ei nnhe kleine usshläe 1. die Beweun x(t) de Msse fü die nfnsedinunen t = 0: x = x 0, v = 0,. die hwinunsdue T des ystes. 5.1 J EI Ge.: J,,, EI, Ges.: 1. ω fü kleine usshläe des Rottionsköpes u. hwinunsdue T Hinweis: ist de hwepunkt des Köpes, die Mssen de Blttfede und de sten täe seien venhlässi. 5. M Ende eines sten tes de Msse und de Läne ist eine Punktsse M efestit. Die hwinunen des ystes weden duh einen eshwindikeitspopotionlen Däpfe edäpft. In titte sind zwei Feden neht. Ge.:,, M,,,, v 0 Ges.: Es sind fü kleine usshläe zu estien: 1. hwinunsdue,. Mxilusshl fü die nfnsedinunen t = 0: v0 ϕ = 0, ϕ & =.

36 3 5.3 Ein vetikl eiunsfei efühte Zylinde de Msse,V und de Gundflähe tuht in eine Flüssikeit it de Dihte ρ Fl ein. us eine usshwinvesuh wid die ρ Fl,V Fl hwinunszeit T eessen. Ge.:,, ρ Fl,, T, ( ρ Fl, Fl ) V V V nekun: Venhlässiun Ges.:1.hwinunsdiffeentilleihun fü die vetiklen von Rei- und töuns- hwinunen des Köpes in de Flüssikeit wideständen..mn estie den Däpfunsd ϑ ,J Fü den skizzieten hwine ist die Däpfunskonstnte fü kleine hwinunen und einen optilen Däpfunsd ϑ = 0,7 zu estien. Ge.: = 100 N -1, = 1 k, J = 100 k, 1 = 15, = 1, = 9,81 s -, ϑ = 0,7 Ges.: 5.5 M = M ) sin Ωt R J.) η= Ein hwinunssyste wid duh ds Eeeoent M ußehl de Resonnz zu hwinunen kleine plituden neet. Ge.: M ),, R, η = Ω ω 0 Ges.: Mxilusshl ϕ x fü den sttionäen Betie ei.) η = 0,5 Zhlenwete: ) N M = 10N, = 10, R = ) Fsin Ωt 1 Eine Mshine de Msse 1 it eine in y-rihtun wikende Eeekft Fsin ) Ω t n ds Fundent. Ds Fundent ist een den sten Boden elstish elet. y ) Ge.: 1 = 000 k, F = 1000 N, Betiesdehzhl n = 3000 in -1 F F Ges.: und = 4 F so, dß nu 3% de Unwuhtkft uf den Boden üeten weden und die hwinunsplitude niht eh ls μ etät.

37 M(t) Ein shwinunsfähies yste esteht us zwei sten heien und eine Tosionsfede. uf heie 1 wikt ein honishes Tosionsoent Mt ()= M ) sinωt. 5.8 J 1 J h n Ge.: Täheitsoente J 1, J, Dehfedekonstnte Ges.: 1. Mn stelle die Beweunsleihunen uf.. Mn eittle die soluten plituden de einzelnen heien sowie die eltive plitude i sttionäen Betie. 3. Mn estie die Eienfequenz des ystes. 4. Mn skizziee die Resonnzkuve fü die Reltiv- plitude in hänikeit von Ω. ω 0 Duh einen Kueltie wid die Msse üe einen sten Heel in hwinunen vesetzt. -1 Ge.: n = 150 in, = 1,5, = 10 k, = 1 Ges.: Fedekonstnte, so dß die plitude de ezwunenen hwinun leih de sttishen uslenkun de Fede ist. (Es sei << h) 5.9 ϕ 5.30 sselos, st ) st ()= s sinω t Ein eiunsfei deh elete sselose Heel tät n seine Ende die Punktsse. E wid üe die Fede zu hwinunen neet. Die ezeihnete Le sei die Gleihewihtsle. Mn estie ei nnhe kleine usshläe die Eienkeisfequenz des hwines sowie Beweun und plitude de sttionäen ezwunenen hwinunen. Ge.:,,, ) s, Ω Ges.: ω, 0 ϕ ( t ), ) ϕ Ein Elektooto it de Gestsse ist uf den feien Enden zweie pllele, hoizontle, fest einespnnte Täe ontiet. De nke des Motos ht die Msse und die Dehzhl n, sein hwepunkt ht von de Wellenhse den stnd. De Elstizitätsodul des Täeteils sei E. Mn estie ds Flähentäheitsoent de Täe so, dß die p litude de ezwunenen hwinunen den eeenen )y Wet niht üesheitet. Die Msse de Täe sei venhlässi. Ge.: = 100 k, = 00 k, = 1,5, n = 1500 in -1

38 34 = 0,05, E = N -, Ges.: Flähentäheitsoent I 5.31 ) y = 0,5 x st ()= ) ssinω t Ein in de senkehten Rihtun efühtes Einssensyste wid duh die Beweun de tütze zu hwinunen neet. Ge.: = 1 k, ) s = 1,, Eeefequenz f E. = 5 Hz Ges.: Fü den sttionäen Betie sind zu eitteln: ) 1. plitu de x, wenn die Fedekonstnte 1 = 1000N -1 etät, ). Fedekonstnte, wenn die plitude x ) s = etät, 3 3. Bet de xilen Fedekft fü 1. und. 5.3 n Eine elstish elete Mshine läuft it de konstnten ) Dehzhl n und wid duh die Unwuhtkft F zu hwinunen eet. Ge.: = 10 k, n = 1500 in -1, F ) = 100 N Ges.: Fü den sttionäen Betie sind zu eitteln: 1. plitude x ), wenn die Fedekonstnte = N -1 etät,. Fedekonstnte, wenn nu 1/8 de Unwuhtkft uf ds ste Fundent üeten weden df, 3. Bet de xilen Fedekft fü 1. und Eine Punktsse, die duh eine sselose Blttfede it eine eweten Fundent veunden ist, wid zu hwinunen eet. Ge.: Eienkeisfequenz ω 0 des ystes Fede-Msse (ei fess= ) ssinω t te Fundent) ohne Däpfun, Keisfequenz und plitude de Fundenteweun Ω, ) s De Luftwidestnd (uhende Ueun) soll veeinfht ls eshwindikeitspopotionle Däpfunskft F d =. &y (y = solutusshl de Msse ) eüksihtit weden. Ges.: 1. Reltivusshl de Msse. Phsenwinkel ϕ* zwishen s und y 5.34 ϕ = ϕ ) sinωt M R uf de skizzieten sselosen Welle ist eine dünne, hooene heie efestit. Ds yste wid honish eet. d d 1 Ge.: d 1 =, d = 3, = 50, M = 100 k, R = 0 G = N - Ges.: Fü den sttionäen Betie sind zu eitteln: 1. Eienkeisfequenz. Winkelplitude de soluteweun de heie ei

39 35 Eeun it Ω = 50 s -1 i sttionäen Fll 3. kizze de Veößeunsfunktion it ne des Betieszustndes F(t) n de Msse des skizzieten hwinunssystes it eshwindikeitspopotionle Däpfun eift eine honishe Eeekft Ft ()= F ) sinωt n. Mn estie fü die sttionäe ezwunene Beweun diejenie Eeefequenz Ω 1, fü die die plitude ein Mxiu wid. Wie oß uß dnn die Fedekonstnte sein, dit ) die Mxilplitude xx etät? 5.36 ) ) Ge.: = 0 k, F = 00 N,xx = 10, Ges.: Ω 1, = 50 Ns -1 M 5.37 ϕ Mt ()= M ) sinωt Ende eines sten tes de Msse und de Läne ist eine Punktsse M efestit. Die hwinunen des ystes weden duh ein honishes Moent eet und duh einen eshwindikeitspopotionlen Däpfe edäpft. In titte sind zwei Feden neht. ) Ge.:,, M,,,, M, Ω Ges.: hwinunsusshl ϕ ) fü kleine usshläe 1,J 1 Eine nihtotieende sselose Welle, die eine heie und eine Punktsse tät, füht Bieeshwinunen us. Ge.: 1 = =, J 1,, EI = konst. Ges.: 1. Koeffizientendeteinnte zu Bestiun de Eienkeisfequenzen. Eienfequenzen ei Venhlässiun von J 1 3. plitudenvehältnisse und kizze de hwinunsfoen (J 1 = 0) 5.38 y ϕ 1 F(t) Ft () = F ) os Ω t,j Die in senkehte Rihtun wikenden Feden eines eenen Fundents weden i unelsteten Zustnd eineut. Ge.:, J,,,, ) F, Ω, 1, Ges.: Wie weit entfent sih de Punkt in senkehte Rihtun i Betie vo Einuzustnd?.) fü 1.) fü 1 = =

40 Ein hooene Zylinde (Msse, Mssentäheitsoent J) knn sih in eine senkehten Fühun eiunsfei eween.,j Ge.:,,, 1 =, =, J Ges.: Eienkeisfequenzen = 5.40 = x Ds skizziete hwinunssyste ewet sih eiunsfei. Bei x = 0 ist die Fede entspnnt (eine Dukfede). Ge.: 1 = 10 N -1, = 1 k nfnsedinunen: t = 0: x = 1, &x = 0 Ges.: 1. hwinunsdue. xile Geshwindikeit 3. Bet de Beshleuniun in de ehten Endle 4. Bet de Beshleuniun in de linken Endle ) ϕ Fü ds skizziete Pendel sind zu eehnen: 1. hwinunsdue T fü kleine usshläe,. plitude ϕ ), wenn ds Pendel u den Winkel us de Ruhele uselenkt wid. Ge.:,,, 5.4 J 1 J 1 Tosionsshwinunssyste Ge.: 1 = =, J 1 = J = J Ges.: 1. Eienfequenzen. Eienshwinunsfoen 5.43

41 37 1 J 1 J J 3 Zhleneispiel: Tosionsshwinunssyste Ge.: J 1, J, J 3, 1, nfnsed. heie 1: t = 0: ϕ ( 0) = ϕ, ϕ& ( 0) = Ges.: 1. Diffeentilleihunen nh Lne. t. Eienfequenzen 3. lleeine Lösunen ϕ i (t) 4. lleeine Lösunen ϕ i (t) fü ds Zhleneispiel J 4 J Welhe nfnsedinunen üssen fü die heie efüllt sein, dit ei den eeenen nfnsedinunen de heie 1 ds yste nu in de Gundshwinunsfo shwint?

42 36 6. toßvoäne v 1 v 1 μ v μ Zwei Fhzeue stoßen it den Geshwindikeiten v 1 und v fontl zusen. Nh de vollkoen plstishen toß utshen eide Fhzeue it lokieten Räden die teke s nh ehts. Ge.: 1,, v, s, μ Ges.: Mn eittle die Geshwindikeit v 1 des Fhzeues unittel vo de Zusenstoß! 0 Ein Wen stößt it de Geshwindikeit v 1 idel-plstish een einen stehenden Wen, de eenflls eiunsfei ollen knn und üe eine Fede n einen Klotz ekoppelt ist. De Klotz liet uf eine uhen Untele. 6.3 Ge.: 1,, 3, v 1,, μ 0 Ges.: 1. Die Geshwindikeit des zweiten Wens nh de toß,. Wie oß df v 1 höhstens sein, dit de Klotz niht utsht? Eine Kuel pllt idel-elstish uf eine n eine Fden hänende zweite Kuel. De Fden knn xil die Kft F sx ufnehen. Ge.: 1,,, F sx Ges.: Bei welhe ufplleshwindikeit v 0 eißt de Fden? 1 v h 1 Ein n eine Fden hänende Mssenpunkt 1 wid in de Höhe h 1 ohne nfnseshwindikeit loselssen und stößt in uf eine uhende Msse. Ge.: 1, = 1, h 1, k = 0,8 (toßzhl) Ges.: 1. uf welhe Höhe h shwint die Msse 1 zuük?. Die Geshwindikeit de Msse nh de toß.

43 s s 1 v 0 1,μ 1,μ 1 Ein PKW shleudet uf nsse Fhhn und leit que stehen. Totz Vollesun de Entfenun s 1 pllt de nhfolende Wen 1 so stk uf, dß de Wen die teke s weiteutsht. Ge.: 1 =, μ 1 = μ = 1/3, k = 0, (toßzhl), s 1 = 50, s = 10 Ges.: Wie oß w die Geshwindikeit v 0 des Wens 1 vo de Besen? v 1 v uf eine Keuzun stoßen zwei Fhzeue it den Geshwindikeiten v 1 und v zusen. nnhe: De toß sei plstish Ge.: 1,, v 1, v, Ges.: 1. Bet und Rihtun de Geshwindikeit unittel nh de toß,. de Eneievelust ei toß. 6.7 h 0 Zu Bestiun de toßzhl k wid eine Kuel us de Höhe h 0 ohne nfnseshwindikeit fllenelssen. Nh n-lie ufpllen uf die ste eene Untele steit die Kuel nu noh uf ds -fhe de usnshöhe h 0 ( < 1). h n =. h 0 Ge.: h 0, n, Ges.: Wie oß ist die toßzhl k? v 1 Eine Punktsse 1 stößt it de Geshwindikeit v 1 exzentish een einen uf eine ltten Eene uhenden hooenen t de Msse. Ge.: 1,, v 1, = 1, = 4 Ges.: Fü einen ein elstishen toß estie n die Beweunen de Punktsse und des tes.

44 h Die Msse 1 fällt us eine Höhe h uf eine duh eine Fede estützte Msse. Ge.: 1 = 50 k, = 5 k, = 400 N -1, h = Ges.: Mxile Zusendükun de Fede ei vollkoen plstishe toß! 6.10 h 1 μ Δl Eine Fede de teifikeit wid u Δl zusenedükt und ktpultiet dnn eine Msse 1 (nfnseshwindikeit = 0) uf eine uhen Untele (Reikoeffizient μ) een ein Pendel, ds us eine Punktsse und eine st-en, sselosen t de Läne h esteht. De toß sei elstish. Ge.:, h, 1 =, =,,, μ, Δl Ges.: 1.Wie oß ist ei eeene Δl die Geshwindikeit von 1 unittel vo de toß?. Wie oß ist die Geshwindikeit von unittel nh de toß? 3. Wie oß uß Δl = Δl in indestens sein, dit sih ds Pendel üeshlät? 6.11 M 1 1 ϕ Ein in eletes Pendel wid ohne nfnseshwindikeit us de hoizontlen Le esttet und stößt in de vetiklen Le een einen in B deh eleten hooenen t. Ge.: 1,, 1,, M,, toßzhl k Ges.: Winkeleshwindikeit &ψ des tes ei Duhn duh die vetikle Le ( ψ = 180 ). ψ B

45 39 7. Deidiensionle Beweun des sten Köpes 7.1 ω z y x De destellte äulihe Rhen esteht us dei täen leihe Läne und leihe Msse. ie sind othoonl iteinnde veshweißt und in deh elet. De Rhen deht sih u die hse B it de konstnten Winkeleshwindikeit ω. B Ge.:,, ω Ges.: 1.De Täheitstenso ezülih fü ds köpefeste Koodintensyste x, y, z.. Ds Moent in fü den sih dehenden Rhen. 7. M 0 Ein hooene ewinkelte t de Msse ist n eine sselosen Welle efestit. Diese wid duh ein Moent M 0 netieen. Ge.:,, M 0 Ges.: 1. Die Beweunsleihun,. die Leektionen in und B. B 7.3 x z y ϕ 3 Ein hooene Zylinde knn eiunsfei u einen sselosen t otieen. De t ist in u die z-hse eiunsfei deh elet. Zu Zeit t = 0 ht de t eine nfnsuslenkun ϕ 0 (ϕ 0 <<1), seine Winkeleshwindikeit sei Null. De Zylinde otiet zu diese Zeit it de Winkeleshwindikeit Ω 0 eltiv zu t. Ge.:,, ; nfnsed.: t = 0: ϕ& =, ϕ = ϕ, Ω= Ω Ges.: 1. Die Winkeleshwindikeit Ω(t) des Zylindes,. die uslenkun ϕ(t) des tes, 3. ds uf ds Le wikende Moent C D h B ω Eine hooene dünne Rehteksheie de Msse otiet it de konstnten Winkeleshwindikeit ω u eine feste hse. Ge.:,,, h, ω Ges.: Wie oß sind die Leektionen in und B?

46 e e x e y e z d B ω o Eine sttish estit elete, ste, sselose Welle tät einen shief und exzentish neodneten hooenen, keiszylindishen Köpe und otiet it de konstnten Winkeleshwindikeit ω 0 (siehe kizze). 3 Ge.:, d, ω 0, e,, = d Ges.: Leektionen ei und B (ohne Eienewiht) Hinweis: Fü ds einezeihnete Koodintensyste ilt: 1 J + 1 yy = J zz.