Leitidee Messen Basiswissen. 8 Miss die notwendigen Größen. Ergänze die

Transkript

1 Leitidee Messen Komplexe ufgen O y ) Füge einen Punkt hinzu, sodss ds Dreieck den Flächeninhlt von 20 Kästchen ht. estimme die Koordinten von. c) estimme, ohne zu zeichnen, einen nderen Punkt D, sodss ds Dreieck D einen Flächeninhlt von 20 Kästchen ht. Erläutere deine Üerlegungen. ) + ) + x eut? egründe. 14 m 60 m 14 m 5 Ein sechseckiger Pflnzküel ht folgende Innenmße: Länge der Seiten 20 cm; Höhe 35 cm. ) Zeichne ds regelmäßige Sechseck im Mßst 1 : 10. ) estimme ds Volumen des Pflnzküels. Drücke ds Ergenis in Liter us. 30 m ) ) c) d) Umfng Å8 cm 20 dm Höhe 35 mm 25 cm 2 rundfläche 36 cm 5,8 m2 Å2 cm2 Mntel 2Å6 cm2 Å8 dm² Oerfläche 94 cm 2 Volumen 8, 3 Å0 ø Flächeninhlt 8 cm 2. Wie groß sind Umfng und Flächeninhlt eines Rechtecks, dessen Seiten um ) 100 % länger ) 100 % kürzer c) 50 % länger d) 50 % kürzer sind ls die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Zeichne. Erläutere deine ntwort. c = 80. ) Zeichne ein zweites Dreieck mit den gleichen Winkelmßen und mit vierfchem Flächeninhlt. c) Erläutere, wie du ei ) vorgegngen ist. Trpezes mit der Vrilen us. ) 3 ) 3 22 Inhltsezogene Kompetenzen Inhltsezogene Kompetenzen zwei treppenförmige Prismen zerlegt. erechne ds Volumen der eiden entstndenen Prismen. 5 4 Leitidee Messen rundfertigkeiten 1 erechne die fehlenden rößen für ein Prllelogrmm. Trge die Ergenisse ein. 8 cm 3,2 m 25,2 cm h 5,2 m 2å,9 cm h å cm å,2 cm u 28 cm Å9,2 m Å8Å,4 cm 2 Trge die Ergenisse ein. c 32 cm h c 4å m Å56 cm 2 å20 cm Å3,63 5,46 m2 Trge die Ergenisse ein. 2,5 m Å,8 m c 5,4 cm Å40 cm h 2,8 m 3,5 cm 2 4,å6 m 22,05 cm2 496 dm² ) 7,1 cm ) 17,4 cm flächen Trpeze und Dreiecke sind, nennt mn Wlmdch. Ds Dch muss neu eingedeckt werden. Der Qudrtmeter Dchdeckung kostet 32,50. Wie hoch werden die Kosten usfllen? d 3,6 cm 3,9 cm 3,80 3,95 6,90 h 3,55 h c c h c h 10,20 5,20 7,4 cm 11,45 50 % 50 % 50 % 25 % 25 % 25 % i die Zwischenschritte deiner erechnung n. ) 1,2 m ) 2,0 m 0,8 m 0,2 m 0,8 m 0,8 m 2,4 m 1,2 m 0,6 m Zeichnung und trge die Mße ein. erechne Umfng und Flächeninhlt des Sieenecks. 24 Inhltsezogene Kompetenzen Inhltsezogene Kompetenzen 25 mit dem Rdius von 2 cm. Zerlege ds Viereck geschickt, miss die notwendigen rößen und erechne den Flächeninhlt. F D E 10 Zur Fütterung des Wildes werden meist Futtertröge verwendet, die die folgende Form hen. 30 cm 25 cm 40 cm Wie viel Futter fsst der Trog, wenn er is zum Rnd gefüllt ist? Schutzfre gestrichen werden. Wie groß ist die zu streichende Fläche? 3 cm 25 cm 30 cm 12 Ein würfelförmiger ehälter mit 10 cm Kntenlänge fsst 1 ø. Wie hoch müsste ein quderförmiger ehälter sein, wenn er eenflls 1 ø fssen soll und folgende rundflächenmße ht: 10 cm lng und 5 cm reit? egründe. 4 cm Leitidee Messen siswissen Umfng und Fläche für Vierecke und Dreiecke Rechteck und Qudrt Der Umfng eines Rechtecks ist die Summe us der zweifchen Länge und der zweifchen reite: Es gilt u = 2 ( + ) Der Flächeninhlt eines Rechtecks ist ds Produkt us den Mßzhlen der Länge und der reite: Es gilt = eim Qudrt sind Länge und reite gleich. Prllelogrmm und Der Umfng eines Prllelogrmms ist die Rute Summe us der zweifchen Länge und der zweifchen reite: Es gilt u = 2 ( + ) Der Flächeninhlt eines Prllelogrmms knn us dem Produkt einer Seitenlänge und der zugehörigen Höhe erechnet werden: Es gilt = h = h ei der Rute sind lle Seiten gleich lng. Dreieck Der Umfng eines Dreiecks ist die Summe us den Längen der Seiten: Es gilt u = + + c Der Flächeninhlt eines Dreiecks knn us dem hlen Produkt einer Seitenlänge und der zugehörigen Höhe erechnet werden: Es gilt 1 2 h 1 2 h 1 2 c h c Trpez Drchen Vieleck = 13 cm = 6 cm h = 4 cm = 8 cm c = 15 cm Für ds rechtwinklige Dreieck (c = 90 ) ergit sich: 1 2 Der Umfng eines Trpezes ist die Summe us c = 5 cm den Längen der Seiten: Es gilt u = + + c + d h = 4 cm Der Flächeninhlt eines Trpezes knn us den d = 5 cm Längen seiner eiden prllelen Seiten und der Höhe erechnet werden: Es gilt 1 2 ( + c) h oder = m h = 10 cm Der Flächeninhlt eines Drchens knn us dem hlen Produkt der Längen der eiden Digonlen erechnet werden: Es gilt 1 2 e f Für den Umfng gilt u = 2 ( + ) Der Flächeninhlt eines Vielecks knn us der Summe der Flächeninhlte seiner Teilflächen erechnet werden: Es gilt = n Für den Umfng gilt u = m f = 4 cm e = 6 cm = 4 cm hc = 3,2 cm m = 2,8 cm = 4,5 cm 6 4 = 5 cm = 4 cm = 4,5 cm Oerfläche und Volumen von Körpern Quder und Würfel Ein Quder mit den Kntenlängen, und c ht ds Volumen V = c und die Oerfläche O = 2 ( + c + c ). Ein Würfel ist ein Quder mit drei gleichen Kntenlängen = = c. Er ht ds Volumen V = 3 und die Oerfläche O = 6 2. Prism Ein Prism wird egrenzt von der rundfläche, der Deckfläche und dem Mntel. rundfläche und Deckfläche sind kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke, Vierecke usw. Die Mntelfläche esteht us Rechtecken. Die Oerfläche O ist die Summe us dem Doppelten der rundfläche und der Mntelfläche M: O = 2 + M Die Mntelfläche M ist ds Produkt us dem Umfng u der rundfläche mit der Körperhöhe h: M = u h Ds Volumen eines Prisms lässt sich ls Produkt us rundfläche und Körperhöhe erechnen: V = h zusmmengesetzte Werden zwei Körper mit den Volumin V 1 und V 2 Körper zusmmengesetzt, so ht der zusmmengesetzte Körper ds Volumen V = V 1 + V 2. Die Oerfläche eines zusmmengesetzten Körpers lässt sich ls Summe von Einzelflächen erechnen. Drstellung von Flächen und Körpern Mßst Der Mßst git n, mit welchem Fktor mn eine Länge in der ildung multiplizieren muss, um die Länge in der Wirklichkeit zu erhlten. eim Mßst 1 : 200 ( 1 zu 200 ) entspricht 1 cm uf der ildung 1 cm200 = 200 cm = 2 m in der Wirklichkeit. Umgekehrt muss mn die ursprüngliche Länge durch 200 dividieren, wenn mn im Mßst 1 : 200 zeichnen will: Eine Strecke, die in Wirklichkeit 2 m lng ist, misst dnn in der ildung 1 cm. Schrägild In einem Schrägild werden Strecken, die prllel zur Zeicheneene verlufen, in Länge und Richtung unverändert gezeichnet, die senkrecht zur Zeicheneene verlufen, unter einem Winkel von 45 und uf die Hälfte verkürzt gezeichnet, die weder prllel noch senkrecht zur Zeicheneene verlufen, nhnd von Hilfslinien gezeichnet. 26 Inhltsezogene Kompetenzen Inhltsezogene Kompetenzen 27 c c c 5 m E 2 m c 6 m Zimmer 2 m D H 45 c 3 m Mßst 1:200 Trpezprism: Die rundfläche wird ufgezeichnet und mit Hilfslinien gekippt. Druf wird ds Prism gezeichnet. DO Kompetenz2645.indd :55:28 F Vorwort Liee Schülerin, lieer Schüler, ld wird die Vergleichsreit geschrieen, mit der dein Wissen und deine Fertigkeiten im Hinlick uf die erlernten Inhlte erfsst werden. VER 8 Kompetenztest Mthemtik möchte dich in der Vorereitung uf die nstehende Vergleichsreit unterstützen: Der Proeluf uf den Seiten 4 is 9 zeigt dir, ws du noch gut knnst und wo Lücken geschlossen werden müssen. In den Lösungen des Proelufs findest du Verweise uf die Üungsseiten, mit denen du dich ei Prolemen noch eschäftigen solltest. Für die ereitung des Proelufs solltest du ürigens nicht mehr ls 90 Minuten ruchen! Zum ufu der Üungsseiten: Zu eginn des Üungsteils findest du zwölf Seiten zu llgemeinen mthemtischen Kompetenzen, der zweite Teil enthält 30 Seiten zu den mthemtisch inhltsezogenen Kompetenzen. Im letzten Teil findest du die Lösungen ller ufgen. Die llgemeinen mthemtischen Kompetenzen umfssen die drei Kompetenzereiche rgumentieren, Prolemlösen und Modellieren. uf jeweils einer Doppelseite findest du eine Smmlung von ufgen, die gelöst werden sollen. Wenn du dmit Schwierigkeiten hst, knnst du uf den druf folgenden siswissenseiten noch einml nchlesen, wie mn solche ufgen ngeht. Die inhltsezogenen Kompetenzen sind unterteilt in die Leitideen Zhl, Messen, Rum und Form, Funktionler Zusmmenhng und Dten und Zufll. Jede Leitidee wird uf jeweils drei Doppelseiten ehndelt. Die erste Doppelseite ietet komplexe ufgen, mit denen du dich zuerst eschäftigen solltest. Wenn du mit diesen ufgen noch nicht zurechtkommst, knnst du deine Rechenfertigkeiten uf der nächsten Doppelseite (rundfertigkeiten) trinieren. Und wenn du uch hier nicht weiterkommst, wird dir die folgende siswissenseite weiterhelfen. Von dort us knnst du dich dnn schrittweise wieder zurück reiten zu den komplexen ufgen. Die folgende rfik vernschulicht die optimle Vorgehensweise ei der reit in diesem Heftteil: komplexe ufgen rundfertigkeiten siswissen 1 Hen die eiden Figuren gleiche Flächeninhlte? egründe. 2 ) Zeichne die Punkte (1 1) und (5 1). 3 Wie groß ist ei den Qudrten mit der Seitenlänge + der Inhlt der nicht gefärten Fläche? 4 Wie viel Prozent der gesmten rundfläche sind 6 Trge die fehlenden rößen des Prisms ein. 7 Ein Rechteck ht den Umfng 12 cm und den 8 ) Zeichne ein Dreieck mit = 35 ; = 65 ; uf der hinteren Umschlgseite findest du eine Umrechnungstelle der nötigen Mßeinheiten. Wichtiger Hinweis: Möglicherweise hst du noch gr nicht lle Themen im Unterricht geht, die in diesem Heft ehndelt werden. m esten frgst du deswegen deinen Lehrer oder deine Lehrerin, evor du mit den ufgen nfängst. Dnn knnst du dich uf die Teile konzentrieren, die du für die Prüfungen ttsächlich ruchst. uf den ufgenseiten findest du Krogitter und Schreilinien, in die du deine Lösungen eintrgen knnst. Wenn der Pltz für deine Rechnungen und Zeichnungen nicht usreicht, knnst du dein eigenes Heft enutzen. Nun wünschen wir dir viel Spß eim Erinnern, Rechnen und Lösen und vor llem viel Erfolg für die nstehende Vergleichsreit! Dein Redktionstem 9 Drücke den Flächeninhlt und den Umfng des 10 Ein Würfel mit der Kntenlänge 5 cm wird in 2 erechne die fehlenden rößen für ein Dreieck. 3 erechne die fehlenden rößen für ein Trpez. 4 erechne die Flächeninhlte. 6,4 cm 5 Ein Dch, dessen Seiten- 4,0 cm 5,2 cm 5,2 cm 6 Ergänze die Flächen uf 100 %. 7 erechne ds esmtvolumen der Möelstücke. 8 Miss die notwendigen rößen. Ergänze die 9 Zeichne ein regelmäßiges Viereck in einem Kreis 60 cm 11 Ein 5 m lnger Eisenträger soll vollständig mit Vorwort 3

2 Proeluf VER 8 ufgen 1 Wndle um. 5 kg 625 g = g 7 kg 80 g = kg 2 Wndle um. 75 s = min s s = 2 min 15 s 128 min = h min min = 3 h 18 min 3 Setze ds jeweils richtige Zeichen ein: <, > oder =. 45 cm 45 mm 3 kg 3000 g 4 ø 4 dm 3 0,8 g 1000 mg 5,3 mm 0,5 cm 10 dm 1 m 4 us einem Drht mit einer Länge von 50 cm wird ein Prllelogrmm hergestellt. Eine Seitenlänge ist 10 cm. Wie lng ist die ndere Seite? Kreuze n. º 10 cm º 12 cm º 15 cm º 40 cm 5 Ein Prllelogrmm ht die Seitenlänge = 5 cm und die Höhe h = 4 cm. Wie groß ist sein Flächeninhlt? Kreuze n. º 9 cm 2 º 10 cm 2 º 10 cm º 20 cm º 9 cm º 20 cm 2 = 5 cm h = 4 cm 6 Welche Figur ht den größten Flächeninhlt? Kreuze n. º º º º 7 In einem stumpfwinkligen Dreieck, dessen Winkelmße lle gnzzhlig sind, ist = 86. Wie groß können die eiden nderen Winkel sein? Kreuze die richtigen ntworten n. º eide 47 º 91 und 3 º 92 und 2 º 93 und 1 º ist nicht möglich 8 Ds Kofferrumvolumen eines PKW ist 540 dm 3. Wie viele Milchkrtons (1 ø) pssen hinein? Es pssen 9 45 = 5,4 cm Krtons in den Kofferrum. c = 5,4 cm = 3,8 cm egründe, wrum es kein Dreieck mit diesen Mßen geen knn ei einem Rechteck ist eine Seite 50 cm die ndere Seite 60 cm lng. erechne den Umfng und kreuze die richtige ntwort n. º 110 cm º 110 cm 2 º 150 cm º 170 cm º 220 cm º 300 cm 11 Hier siehst du einen Fhrplnusschnitt für die Strecke von chen nch Mönchengldch Wie lnge fährt der RE von Herzogenrth nch Erkelenz? 11.2 Welche Fhrt duert mit der R länger, Kohlscheid Herrth oder chen Hf rchelen? 11.3 Wie lnge fährt der RE von chen West nch Mönchengldch? 11.4 Herr Wlter kommt um 7:30 Uhr in Kohlscheid uf dem hnhof n. Wnn knn er in Reydt sein? 12 ) Wie luten die Koordinten? ( ) M ( ) P ( ) R ( ) S ( ) O M R S ) Trge die Koordinten für den Zoo Z (14 10) ein. 13 Welches Netz gehört zu welcher npckung? Ordne zu. ) ) c) P D E F 14 Welche Zeichnung zeigt lle Symmetriechsen eines Drchens? Kreuze n. º º º º 15 Welche dieser ussgen, die für lle Drchen gelten sollen, sind flsch? Kreuze n. º Die Digonlen hlieren sich gegenseitig. º egenüerliegende Seiten sind gleich lng. º egenüerliegende Winkel sind gleich groß. º Es git genu eine Spiegelchse. º Die Digonlen stehen senkrecht zueinnder. 4 Proeluf VER 8 Proeluf VER 8 5

3 Mthemtisch rgumentieren ufgen 1 Richtig oder flsch? egründe. ) Prismen esitzen mindestens zwei zueinnder prllele Flächen. ) Prismen esitzen mindestens zwei zueinnder prllele Seitenflächen. c) In jedem Prism müssen sämtliche Seitenflächen deckungsgleich (kongruent) sein. d) In einem Prism können sämtliche Seitenflächen deckungsgleich (kongruent) sein. 2 Florin denkt, dss die Terme 3 ( + ) und 3 + gleich sind. Zeige, dss dies nicht whr sein knn, indem du ) geeignete Zhlen für die Vrilen einsetzt. ) llgemein (d. h. ohne Zhlen einzusetzen) mithilfe der Rechengesetze rgumentierst. 3 ) Üerlege dir eine Definition für Viereck, sodss ein eilde wie D uch ein Viereck ist. ) i eine Definition für Viereck n, sodss ein eilde wie D kein Viereck ist. 4 Ergänze die folgenden Definitionen: ) Wenn ein Rechteck dnn nennt mn es ein Qudrt. ) Wenn eine Rute dnn heißt sie Qudrt. c) Wenn ein Drchen dnn nennt mn ihn ein Qudrt. 5 nn meint, dss die Terme 2 x + 3 y und 5 x y gleich sind. D sie sich nicht sicher ist, will sie ihre Vermutung testen. nn setzt x = 3 und y = 0,5 in die Terme ein. Sie erhält Folgendes: 2 x + 3 y = ,5 = 6 + 1,5 = 7,5 und 5 x y = 530,5 = 150,5 = 7,5. Der Test estätigt nns Vermutung. Knn sie nun sicher sein, dss ihre Vermutung zutreffend ist? Erläutere usführlich. 6 Wie muss mn vorgehen, um ds linke Dreieck mit drei Strecken, wie im Schuild, in drei deckungsgleiche (kongruente) Trpeze zu zerlegen? eschreie die Methode möglichst genu.,,, 7 nj will zeigen, dss näher n 1 liegt ls Sie will jedoch dei nicht rechnen. Wie knn sie ds tun? Der nfng ist gemcht worden. Führe njs ednkengng pssend weiter. nj: Ich stelle mir eine Torte vor. Ich stelle mir vor, ich teile sie in 10 gleiche Teile. Dvon ehlte ich 9 für mich leit ürig. Nun stelle ich mir eine weitere Torte vor, die so groß ist wie die erste 8 ) Setzt mn ntürliche Zhlen in 4 n + 1 ein, so erhält mn stets ungerde Zhlen. Üerprüfe diese ehuptung durch zwei eispiele. ) Mn knn, ohne ein einziges eispiel zu untersuchen, eweisen, dss der Term 4 n + 1 nur ungerde Werte hen knn. Wie? c) Nicht jede ungerde Zhl lässt sich mithilfe des Terms 4 n + 1 drstellen. Stimmt ds? Worn liegt es? d) i vier weitere Terme n, die nur ungerde Werte hen. Du ruchst keine egründung zu geen. ) Erfinde eine ähnliche ufge für Vierecke. Du musst deine ufge nicht lösen. 10 In einem Zeitungstext konnte mn 1994 Folgendes lesen: Tüingen Jeder neunte Deutsche (90,2 Prozent) ist mit dem 1993 Erreichten zufrieden. Ds ist ds Ergenis einer Wickert-Umfrge. Seit der ründung 1951 hen die Wickert-Institute noch nie so viel Zufriedenheit ermittelt. Ws stimmt hier nicht? Erläutere usführlich. 11 Die folgende Telle eschreit eine Funktion: x 0 Å å 8 y 2 Å 4 Å0 Å6 Å9 22 ) Fülle die leeren Kästchen us. ) Erkläre, wrum diese Funktion keine proportionle Funktion ist. c) i den Funktionsterm dieser Funktion n. D 9 ) Dirk ht ein Dreieck gezeichnet und die Seitenlängen gemessen: = 3 cm; = 5 cm; c = 9 cm. Mn erkennt sofort, dss diese Zhlen nicht stimmen können. Erkläre Dirk seinen Fehler und woruf er künftig chten sollte. d) Drücke den Funktionsterm in Worten us. 10 llgemeine Kompetenzen llgemeine Kompetenzen 11

4 Mthemtisch rgumentieren siswissen Leitidee Zhl Komplexe ufgen Informtionen us Digrmmen, Tellen und Texten entnehmen, deuten und vorteilhft nutzen Die ildung zeigt die Schulwege von Ndine und inc. Entfernung ) Wer geht früher von zu Huse los und um wie viele Minuten? ) Ws mcht Ndine zwischen 7:40 und 7:45 Uhr? Schule c) Ws geschieht um 7:55 Uhr? d) Wie weit ist die Schule von Ndines Wohnung entfernt? Lösung ) Ndine geht 10 Minuten früher los. ) Ndine leit n einer Stelle stehen. c) 7:55 Uhr läuft inc schneller ls Ndine. d) Diese Frge knn nicht eindeutig entwortet werden. eim Lösen von ufgen dieser rt ist es wichtig, die Digrmme genu zu etrchten und möglichst viele Informtionen zu erkennen. Dei sollte mn Folgendes echten. Mnche Informtionen sind sofort sichtr. ndere können versteckt sein. Mnche Informtionen sind notwendig, um die ufge zu lösen, ndere sind üerflüssig. Es ist wichtig zu erkennen, welche Informtionen ein Digrmm nicht liefert, siehe Teilufge d). eim Lösen einer solchen ufge ist es nicht unedingt notwendig, egründungen zu liefern. Einen Fehler finden, seine Urschen präzise in Worte fssen Die folgenden Termumformungen sind flsch. Wie könnten diese Fehler zustnde gekommen sein? Welche Rechenregeln wurden dei verletzt? Lösung ) Hier wurde die 1. inomische Formel ( + ) 2 = enutzt. Es wurde er ußer cht gelssen, dss dei die gesmten Terme, die und usmchen, qudriert werden müssen und nicht loß die Vrilen. Mn hätte lso (2 s) 2 = 4 s 2 und (4 t) 2 = 16 t 2 rechnen müssen. ) Es git unterschiedliche Wege, die zu diesem Fehler führen können. Jemnd könnte eispielsweise wie folgt gerechnet hen: x (x + 7) = x 2 7x und 4 (x + 7) = 4x Hier wurde üersehen, dss ein Minuszeichen vor einer Klmmer eim uflösen lle Vorzeichen ändert. ei der ereitung einer solchen ufge steht die rechnerische Lösung nicht im Vordergrund. ei der oigen ufge wäre es nicht genug, die richtige ntwort nzugeen. Denn hier kommt es vor llem Ndine inc Schuleginn ) (2 s + 4 t) 2 = 2 s s t + 4 t 2 ) ( x 4) (x + 7) = x (x + 7) 4 (x + 7) = x 2 7 x 4 x + 28 = x 2 11 x + 28 Uhrzeit Mn muss lediglich die wichtigen Informtionen erkennen und vorteilhft nutzen. ei der oigen ufge ist sofort sichtr, dss Ndine um 7:30 Uhr von zu Huse losgeht. Es ist jedoch nicht offensichtlich, wo der Zeitpunkt 7:45 Uhr zu finden ist. Um ds zu klären, muss mn verschiedene Informtionen erkennen und kominieren. Mn erkennt, dss der schnitt zwischen 7:40 und 7:50 Uhr in vier gleiche Teile eingeteilt ist. lso entsprechen zwei Kästchen einer Zeitspnne von 5 Min., d. h. 7:55 Uhr ist der Mittelpunkt der Strecke, die die Zeitpunkte 7:40 und 7:50 Uhr trennt. uf zwei Dinge n: Erstens soll mn den Fehler genu identifizieren und in Worte fssen. Zweitens soll mn sich ewusst mchen, welche Rechenregeln verletzt wurden. Eine gegeene egründung üerprüfen und mithilfe eines geeigneten egeneispiels widerlegen nn: Ich he herusgefunden, dss Dreiecke, die in drei ihrer ngen üereinstimmen, kongruent sind. Tim: Ds stimmt nur für estimmte ngen: SSS, SWS und WSW. Wenn du deine ngen flsch wählst, dnn sind die Dreiecke nicht kongruent. Wie knn Tim nn dvon üerzeugen, dss sie sich irrt? Lösung nn ehuptet, dss zwei Dreiecke immer dnn kongruent sind, wenn sie in drei ihrer ngen üereinstimmen. Um zu zeigen, dss sie sich irrt, muss mn ein egeneispiel finden. Es reicht us, zwei gleichseitige Dreiecke zu finden, die unterschiedlich groß sind. Diese zwei Dreiecke stimmen (wie von nn gefordert) in drei ihrer ngen üerein: lle drei Winkel etrgen 60. Die Dreiecke sind dennoch offenr nicht kongruent. Ds zeigt, dss nns Vermutung nicht stimmte. 1 Setze Klmmern so, dss ds Ergenis stimmt. ) : 7 = 7 ) ( 2) = 48 c) ( 2)14 45 = ) Fülle die Telle us. x y x 2 2 x y + y 2 (x y) 2 (x + y) ,5 0,5 1,5 0,5 ) Ws fällt dir uf? Ist ds üerrschend? Erkläre. 3 Eine Privtnk wirt mit dieser nzeige: ) Wie viel Prozent Zinsen fllen ei diesem ngeot in einem Mont n? ) erechne die Jhreszinsen und estimme den dzugehörigen Zinsstz. c) nken müssen ei Krediten immer den Jhreszinsstz ngeen. Wrum wohl? 4 erechne und vereinfche. ) 3 x4 y + 2 x(5 y) ) 4 (3 7 ) 7 (4 3 ) + 3 (7 4 ) c) 72 x y 2 (4 y (7 y 6 x)) ( 12 x) 5 Jo ehuptet: Wenn ich die Zhl der 10-ent- Stücke, die ich ei mir he, verdopple und drei Münzen hinzufüge, he ich 15 eldstücke. ) Notiere einen Term, der zu Jos eschichte psst. ) enutze diesen Term, um heruszufinden, wie viele Münzen Jo ht. 6 Ein Rechteck ist 4 cm länger ls reit. Der Umfng des Rechtecks eträgt 21 cm. ) Skizziere ds Rechteck und eschrifte die Seiten. ) Schreie einen Term uf, der den Umfng dieses Rechtecks usdrückt. c) erechne die Länge und die reite des Rechtecks. 12 llgemeine Kompetenzen 22 Inhltsezogene Kompetenzen

5 Leitidee Zhl rundfertigkeiten Leitidee Zhl siswissen 1 Welche Zhlen sind flsch eingetrgen? Korrigiere. ) +1, ) 2,5 1,3 0,9 4,77 4,76 4,65 4,69 4,8 4,7 4,6 2 Welche Zhlen sind gekennzeichnet? eschrifte. ) ) ,8 5,7 5,6 3 erechne. ) 21,9 + ( 13,7 ( 15,1 + 10,6)) 8,7 ) 7,8 ( 44,4 ( 11,9 8,7)) 18 4 Fülle us. Zhl x egenzhl von x Kehrruch von x Rechne us. ) (12 40)( 4) + (6 ( )) ) ( 130) : (( ) 37) 16 6 Schreie ls Produkt. ) (x 3) + (x 3) ) x x + y y c) y 2 + y z + z y + z 2 d) 16 x 2 25 y 2 7 estimme die fehlende röße und fülle us: rundwert 50 Å250 Prozentstz 25 % 55 % Prozentwert Å25 Å25 8 Herr Puli möchte montlich 1500 Zinsen hen. Wie viel eld müsste er ei einem Zinsstz von 7 3 % nlegen? egründe. 4 9 Ein Pr Schuhe zum Preis von 120 wird zweiml hintereinnder um jeweils 25 % ermäßigt. Wie teuer sind dnch die Schuhe? 10 Fsse so weit wie möglich zusmmen. ) ) 11 4 g h g h c) 36 c d 54 c d x Zhlen, Terme und Rechenopertionen ntürliche Zhlen Die Zhlen 0; 1; 2; 3; 4; heißen ntürliche Zhlen. Sie lssen sich uf dem Zhlenstrhl drstellen. gnze Zhlen rtionle Zhlen reelle Zhlen Rechenusdrücke (Terme) Potenz, sis, Exponent, Wurzeln qudrtische Wurzeln Rechengesetze Klmmern zuerst, Potenz vor Punkt, Punkt vor Strich Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) ssozitivgesetz (Verindungsgesetz) Distriutivgesetz (Verteilungsgesetz) Die Zhlen 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; heißen gnze Zhlen. Zu jeder gnzen Zhl git es eine egenzhl. 3 ist die egenzhl von 3 und 3 ist die egenzhl von 3. Eine rtionle Zhl drückt ds rößenverhältnis zweier gnzer Zhlen us. Jede rtionle Zhl lässt sich ls ruch, ls rechende oder ls periodische Dezimlzhl schreien. Fügt mn zu den rtionlen noch die irrtionlen Zhlen hinzu, so erhält mn die reellen Zhlen. Irrtionle Zhlen drücken nicht ds Verhältnis von gnzen Zhlen us. Sie lssen sich nicht ls rechende oder periodische Dezimlzhlen schreien. Mn erhält sie eispielsweise ls Lösungen von qudrtischen leichungen: Die leichung x 2 = 2 ht die irrtionlen Zhlen 2 und 2 ls Lösungen. usdrücke, die us mehreren Zhlen, Opertionszeichen, Klmmern und möglicherweise uchsten (Vrilen) estehen, heißen Rechenusdrücke oder Terme. Potenzen schreit mn in der Form Potenz = sis Exponent Der Exponent (Hochzhl) zeigt, wie oft die sis mit sich selst multipliziert werden muss. n = n Fktoren n ist eine ntürliche Zhl; eine reelle Zhl. eim Rechnen mit Potenzen muss mn e stimmte Regeln echten. Die qudrtische Wurzel einer positiven Zhl ist eine positive Zhl, die mit sich selst multipliziert ergit. Mn ezeichnet sie mit. In Termen müssen Klmmern zuerst erechnet werden. Die innere muss vor der äußeren Klmmer erechnet werden. Es folgen Potenzen und Wurzeln, nschließend die Punktrechenrten und zuletzt die Strichrechenrten. eim ddieren und Multiplizieren können die Summnden und Fktoren vertuscht werden. Ds Ergenis verändert sich ddurch nicht. In Summen und Produkten dürfen Klmmern elieig gesetzt werden. Ds Ergenis ändert sich ddurch nicht rechende Dezimlzhlen: 3 4 = 0,75 Periodische Dezimlzhlen: 2 3 = 0,6666 = 0, 6 Irrtionle, nichtrechende, nichtperiodische Dezimlzhlen sind z.. p = 3, oder 2 = 1, x = = 64 Die sis ist 2, der Exponent ist = = : 2 3 = = 2 2 = 4 (3 2 ) 3 = 3 23 = 3 6 = = (23) 4 = 6 4 = =, 0, =, 0 =,, 0 =, 0, > 0 Ds Distriutivgesetz erlut es, Produkte in Summen oder Differenzen umzuwndeln. Es erlut uch, Klmmern zu eseitigen. Ds Vielfche der Summe (Differenz) ist die Summe (Differenz) der Vielfchen. (64 (130 36)) 52 3 = (64 94) 52 3 = = = = 70 1,5 + 0,5 = 0,5 + 1,5 + = + 1,52 = 21,5 = (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) ( + ) + c = + ( + c) (23)4 = 2(34) ( ) c = ( c) 3 (4 + 6) = ( + c) = + c 3 (4 6) = ( c) = c 24 Inhltsezogene Kompetenzen 26 Inhltsezogene Kompetenzen

6 Lösungen Lösungen des Proelufs 1 (S )* 5625 g 7,08 kg 2 (S ) 1 min 15 s 135 s 2 h 8 min 198 min 14 (S ) Der dritte Drche muss ngekreuzt werden. 15 (S ) Flsch sind folgende ussgen: Die Digonlen hlieren sich gegenseitig. egenüerliegende Seiten sind gleich lng. egenüerliegende Winkel sind gleich groß. 3 (S ) 45 cm > 45 mm 3 kg = 3000 g 4 ø = 4 dm 3 0,8 g < 1000 mg 5,3 mm > 0,5 cm 10 dm = 1 m 4 (S ) u = 2 ( + ) = 2 (10 cm + ) = 50 cm; = 15 cm Die ndere Seitenlänge ist lso 15 cm lng. 5 (S ) = h = 5 4 cm 2 = 20 cm 2 6 (S ) Figur 3 ht den größten Flächeninhlt. 7 (S ) D ein Winkel größer ls 90 sein muss, sind folgende Lösungen richtig: 91 und 3 ; 92 und 2 und oder 93 und 1. 8 (S ) Es pssen 540 Milchkrtons in den Kofferrum. 9 (S ) Ds Dreieck ht die eiden Innenwinkel von 45. Dher ist ds Dreieck gleichschenklig: Die Seiten und c müssen gleich lng sein. 10 (S ) u = 2 ( + ) = 2 (50 cm + 60 cm) = 220 cm 11 (S ) in 11.2 Die Fhrt Kohlscheid Herrth duert 3in und dmit länger ls die Fhrt chen Hf rchelen (32 min) min 11.4 Er knn um 8:32 Uhr in Rheydt sein, wenn er mit der R fährt. 16 (S ), und F gehören zu einem Körper; eenso gehören, D und E zusmmen. Es sind lso zwei verschiedene Körper. 17 (S ) Würfelnetze sind die Körper,, E und F. 18 (S ) w; w; f; f; f 19 (S ) egenüer von H liegt der uchste O. 20 (S ) 21 (S ) g 22 (S ) Die Winkel hen die röße 60 und (S ) ) (10 2); M (1 5); P (9 7); R (4 11); S (6 1) ) Der Zoo efindet sich im rechten oeren Eck. 13 (S ) ) zu ) zu F c) zu E 23 (S ) Iselle ht 3 Stunden gereitet, nnette 1,5 Stunden und nnegret 1 Stunde dies sind zusmmen 5,5 Stunden. Der Stundenlohn eträgt somit 50 : 5,5 = 9,09. Dmit lässt sich die gerechte Verteilung estimmen. Iselle (3 h): 27,27 ; nnette (1,5 h): 13,64 ; nnegret (1 h): 9,09 52 Lösungen * Die Seitennge in Klmmern verweist uf die Seiten, uf denen du pssendes Üungsmteril findest.