U berblick. Knoten und Zo pfe. Knoten sind u berall in unserer 3-dimensionalen Welt. Knoten finden sich auch in den Naturwissenschaften

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1 U berblick Knoten und Zo pfe 1 Motivierende Frgen Spin Jonglge hirlit t 2 Zo pfe Wie modelliert mn Zo pfe? Wie rechnet mn mit Zo pfen? nwendung uf Dirc Zo pfe 3 Knoten Wie modelliert mn Knoten? Wie rechnet mn mit Knoten? Gibt es inverse Knoten? Michel Eisermnn 22. September 2012 Mthetg fu r Schu ler n der Universit t Stuttgrt 2/34 1/34 Knoten sind u berll in unserer 3-dimensionlen Welt Knoten finden sich uch in den Nturwissenschften () iologie 3/34 (c) theoretische Physik (b) hemie (d) Mthemtik 4/34

2 Vorl ufer im 19. Jhrhundert Knotentbellen von Tit Little Kirkmn rl Friedrich Guß ( ) Willim Thomson Lord Kelvin ( ) deutscher Mthemtiker Physiker stronom Professor in Go ttingen englischer Physiker und Ingenieur Professor in Glsgow 5/34 Erstes Experiment: Spin und Dirc Zo pfe L sst sich der folgende Zopf entwirren? eine volle Drehung L sst sich der folgende doppelt so komplizierte Zopf entwirren? Knotentbellen von Tit Little Kirkmn /34 zwei volle Drehungen Frgen pr zisieren und pssende Werkzeuge erstellen: Ws ist ein Zopf? Welche ewegungen sind erlubt? Ws ist ein Dirc Zopf? Welche ewegungen sind erlubt? Welche Hindernisse gibt es bei mo glichen Umformungen? 7/ /34

3 Zweites Experiment: Topologische Jonglge Drittes Experiment: hirlit t Ist die Kleeblttschlinge quivlent zu ihrem Spiegelbild? Knn mn ein Seil verknoten mit nur einer Hnd??? die Kleeblttschlinge Knn mn ein Seil ebenso entknoten? ihr Spiegelbild?? geschlossen Frgen pr zisieren und pssende Werkzeuge erstellen: Ws ist ein Knoten? Welche ewegungen sind erlubt? Wie knn mn Knoten miteinnder verknu pfen? Gibt es inverse Knoten sozusgen nti-knoten? Spiegelbild Ist der chterknoten quivlent zu seinem Spiegelbild??? der chterknoten? sein Spiegelbild?? geschlossen Spiegelbild 9/ Wie modelliert mn Zo pfe? 10/34 Wie modelliert mn Zo pfe? Die L nge ist unwesentlich: Die Str nge sind flexibel sie du rfen sich bewegen. Erstes Modell: Schlechte Nchricht: In diesem ersten Modell sind lle Zo pfe gleich. Elementre ewegungen: 2.1 esseres Modell: Wir fixieren die Enden links und rechts. Nur in der Mitte du rfen sich die Str nge bewegen.. Stz (Emil rtin 1925) Diese ewegungen reichen bereits us. 11/ /34

4 Wir können Zöpfe verknüpfen! Die Verknüpfung von Zöpfen Zöpfe uf n Strängen erluben eine Verknüpfung: : Welche Rechenregeln gelten hier? 1 Ist diese Verknüpfung ssozitiv? ( b) c (b c) 2 Ist diese Verknüpfung kommuttiv? b b 3 Gibt es ein neutrles Element? 1 und 1 4 Gibt es zu jedem Zopf einen inversen Zopf? 1 1 und 1 1 Ist sie ssozitiv? J! ( ) b c b c b c ( ) b c b c b c Ist sie kommuttiv? Nein! b b b b / /34 Die Verknüpfung von Zöpfen Die Verknüpfung von Zöpfen: Zusmmenfssung Gibt es ein neutrles Element? J! 1 1 Gibt es zu jedem Zopf einen inversen Zopf? J! Wir können mit Zöpfen rechnen wie mit Zhlen! Die Verknüpfung von Zöpfen ist ssozitiv: ( b) c (b c) Es gibt ein neutrles Element 1 nämlich den trivilen Zopf: 1 1 Zu jedem Zopf gibt es einen inversen Zopf 1 sein Spiegelbild: Definition Eine Verknüpfung mit diesen Eigenschften heißt Gruppe. 1 Stz (Emil rtin 1925) Die Verknüpfung von Zöpfen uf n Strängen ist eine Gruppe ( n ) / /34

5 Wie knn mn diese Gruppen verstehen? Der Drll ist eine Invrinte n 1: n 2:... uf nur einem Strng ist jeder Zopf trivil: Zöpfe uf zwei Strängen verstehen wir uch noch gut: Die nzhl der Kreuzungen knn sich bei ewegung ändern. eispiel: Ws zählt ist der Drll v : ( 2 ) (Z +). v +1 v 1 v( b) v() + v(b). Korollr (Folgerung us dem Stz von rtin) Zöpfe uf zwei Strängen werden durch ihren Drll klssifiziert Der Drll ist eine bbildung v : ( n ) (Z +) mit v +1 v 1 v( b) v() + v(b). Zum eispiel gilt / /34 Dirc Zöpfe (Theorie des Elektrons Nobel Preis 1933) v Nchweis der Invrinz: v v v v Ds Phänomen des Spin v v. Wir ersetzen die rechte Wnd durch ein kleineres. Ist der folgende Dirc Zopf z äquivlent zum trivilen Zopf? eweis? eine volle Drehung Die Stränge können sich nun um ds herum bewegen: Der Schlüssel ist folgende eobchtung: v v 4 ein Zopf ein Zopf ein Zopf ein Zopf Ist der Dirc Zopf z 2 äquivlent zum trivilen Zopf? eweis? Dirc Zöpfe verhlten sich genuso wie rtin Zöpfe. Einzige Neuerung: Dirc Zöpfe erluben diese zusätzliche ewegung. zwei volle Drehungen / /34

6 Topologische Jonglge Wie modelliert mn Knoten? eobchtung In einem llzu niven Modell sind lle Knoten gleich: Knn mn ein Seil verknoten mit nur einer Hnd? Knn mn ein Seil ebenso entknoten? Zwei Modelle sind mo glich (und erweisen sich ls gleichwertig): lng/offen Komplement re Strtegien: Um zu beweisen dss etws mo glich ist genu gt es es zu tun. Mthemtiker nennen dies einen konstruktiven eweis. Um zu beweisen dss etws unmo glich ist genu gt es nicht zu scheitern. In diesem Fll mu ssen wir ds Hindernis verstehen... geschlossen Wie zuvor drf sich der Strng bewegen. 21/ /34 Reidemeister Zu ge Wir ko nnen Knoten verknu pfen! Die folgenden Zu ge ndern ds Digrmm nicht ber den Knoten: uch Knoten erluben eine Verknu pfung: : Ist sie ssozitiv? ( ) ( )? J klr! Gibt es ein neutrles Element? 1 und 1? J klr! Stz (Kurt Reidemeister 1926) 1 Diese ewegungen reichen bereits us / /34

7 Die Verknüpfung von Knoten Ist sie kommuttiv?? Gibt es Inverse? 1 1 und 1 1?? Dreifärbungen (Rlph Fox 1971) Wir betrchten ein Knotendigrmm und färben es blu rot und grün. Dbei verlngen wir folgende Regeln: 1 n jeder Kreuzung treffen entweder lle drei Frben zusmmen oder nur eine einzige. (Wir verbieten zweifrbige Kreuzungen.) 2 Der Eingng ist blu; der usgng wird es dnn uch sein. T T T? Ds präzisiert unsere Frge zur topologischen Jonglge! Für jedes Knotendigrmm D sei col(d) die nzhl der Dreifärbungen. Wir finden zum eispiel col() 3 ber col(t ) col(t ) / /34 Dreifärbungen sind invrint! Gibt es inverse Knoten? Stz (Fox 1971) us D D folgt col(d) col(d ). eweis. Reidemeister Züge trnsportieren die Färbungen: Ds ist keine Dreifärbung. Die Kleeblttschlinge erlubt genu 3 Dreifärbungen: Drus folgt dss die Kleeblttschlinge nicht trivil ist: col()3 col(t )1 esser noch: Wir finden col( ) col() col(). Umgekehrt gilt dher: us col(d) col(d ) folgt D D. us 1 folgt demnch col() col() 1. Ds ist unmöglich! Stz Zur Kleeblttschlinge gibt es keinen inversen Knoten / /34 Ds löst unsere ursprüngliche Frge zur topologischen Jonglge!

8 Zusmmenfssung Wir können mit Zöpfen rechnen wie mit Zhlen. Gruppe. Der Drll vernschulicht ds Phänomen des Spin. Invrinte. Ein topologischer Zubertrick Ein Zuberer hält ein unverknotetes Seil n beiden Enden. Er behuptet ohne loszulssen ds Seil verknoten zu können. uch mit Knoten können wir rechnen. Hier fehlen ber die Inversen. Zur Kleeblttschlinge existiert kein nti-knoten. Invrinte. Vielen Dnk für Eure ufmerksmkeit! #Mthetg2012 Ist dieses Kunststück uf ehrliche Weise möglich? / /34 Ein mthemtischer Zuber Trick Ist der Mzur Trick ein eweis oder ein Schwindel? Stz Für lle Knoten und gilt: us 1 folgt 1. Diese schöne Rechnung gibt es uch für Zhlen. eweis-idee (nch rry Mzur 1962) Wir wissen 1. Knoten unendliche Knoten Knoten / / (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) Ds drf doch nicht whr sein! ber wo liegt der Fehler?

9 Zerlegung von Knoten In Donlds Luftschluch sind einige Knoten. Wie viele sind es? Primfktorzerlegung von Knoten Ein Knoten heißt prim oder uch unzerlegbr wenn us jeder Zerlegung stets entweder 1 oder 1 folgt. Z.. ist die Kleeblttschlinge prim. Es gibt unendlich viele weitere. Stz (Schubert 1949) Jeder Knoten lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primknoten zerlegen. Frgen präzisieren und pssende Werkzeuge erstellen: Wie lässt sich ein Knoten in Teilknoten zerlegen? Gibt es unzerlegbre Knoten? Wie erkennt mn diese? Ist die Zerlegung in unzerlegbre Knoten eindeutig? Die ntürlichen Zhlen (N ) erfreuen sich derselben Eigenschft! Korollr Die Verknüpfung von Knoten entspricht der Multipliktion ntürlicher Zhlen. Produkt von Zhlen Verknüpfung von Knoten Einselement triviler Knoten Primzhlen Primknoten / /34