Geometrische Grundlagen zu Einsteins Astrophysik für Nichtphysiker

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1 Geometrishe Grundlgen zu Einsteins Astrophysik für Nihtphysiker Mrkus Pössel Oktoer 2015 Angesihts der Vielflt der Hintergründe und des Vorwissens unter den Hörern von Einsteins Astrophysik für Nihtphysiker und nh den Erfhrungen des letzten Jhres möhte ih zur Vorlesung n geeigneten Stellen Ergänzungen nieten: Niht llzu lnge Texte, die vor der Vorlesung durhgereitet werden sollten und (hoffentlih!) siherstellen, dss der Hörer zw. die Hörerin die in der Vorlesung geruhten mthemtishen Grundwerkzeuge uh verstehen. Für mih sind Ausflüge zu den Grundlgen der Mthemtik so, ls wenn ih ein uh erneut zur Hnd nehme, ds ih zuletzt vor vielen Jhren ls Kind gelesen htte. Mn sieht die Dinge us einer nderen Perspektive, ht Assozitionen, die mn früher gr niht geht htte, und merkt erst, n welhe Formeln und eziehungen mn sih längst so gewöhnt ht, dss mn sie gr niht mehr hinterfrgt. Es würde mih freuen, wenn Sie die folgenden Seiten in diesem Geiste lesen, lten eknnten freundlih zuniken, einiges vielleiht doh noh uffrishen. Wie weit geht mn zurük? Wie weit unten fängt mn n? Ds ist keine einfhe Frge und hängt sehr vom wissenshftlihen Temperment. Wir könnten zu den reellen, vermutlih sogr zu den ntürlihen Zhlen zurükgehen und dort offene Frgen finden. Wem ds liegt, der wird Mthemtiker, vielleiht sogr Zhlentheoretiker. Wir mhen es stttdessen wie die Physiker: Für uns ist Mthemtik ein hüshes und interessntes Werkzeug. Exkte eweise liefere ih nur d, wo es niht zu ufwändig wird. Dort, wo sih etws us der Anshulihkeit herus verstehen lässt, werde ih meist niht nhohren zw. eweisen. Wer uf Euklids Spuren die eweise nhvollziehen möhte, sei hier uf die shöne interktive Version von Dvid Joye (lrk University verwiesen. Viel von dem, ws hier esprohen wird, lässt sih - uh z.. m Tlet - mit Geoger virtuell und interktiv nhuen. Ansonsten git es n shönen ühern den Klssiker von Hilert zur modernen Axiomtisierung der Geometrie (Grundlgen der Geometrie, 1899; zhlreihe Neuusgen). 1 Punkte, Gerden, Astände Fngen wir mit den einfhsten Ojekten n. Ds sind shliht die Punkte, die wir uf eine Eene setzen können einen Ausshnitt von der Eene lässt sih uf einem ltt Ppier wie diesem hier ilden. Punkte sind per Definition unendlih klein und hen dmit nur einen einzigen Ort. In Aildungen wären die Punkte dmit ntürlih 1

2 unsihtr; insofern ist sinnvoll, dss Punkte uf Aildungen durh (kleine, gefüllte) Kreise repräsentiert werden wie hier die Punkte A, und : Nur dort, wo es wihtig wird, müssen wir uns drn erinnern, dss diese Kreissheihen eigentlih unendlih kleine Geilde sind. Kommen wir zu Gerden, Streken, Aständen etws detillierter htte ih vor einigen Jhren in dem logeitrg Einstein verstehen Teil I etws dzu geshrieen; hier fsse ih mih kurz: Je zwei Punkte können wir mit einer Gerde verinden; ws es heißt, dss ein Punkt uf solher Gerde zwishen zwei nderen liege, möge sih estimmen lssen; die Länge zweier Gerdenshnitte sollen sih vergleihen lssen (Ashnitte mit gleiher Länge heißen kongruent ). Mthemtiker enötigen dzu ein System von Axiomen; für uns soll die Alltgserfhrung usreihen, mithilfe von Linelen und gerden Knten gerde Verindung zwishen gegeenen Punkten zu zeihnen. Entlng solh eines Gerdenshnitts knn ih mein Linel nlegen und in der ülihen Weise nämlih durh den Vergleih mit der Linel-Gesmtlänge zw. deren regelmäßigen Unterteilungen die Länge der Streke estimmen. Im folgenden ild he ih ds für die Streke zwishen Punkt und Punkt gemht, die in der folgenden Skizze gennnt wird: A Die mthemtishe Kurzshreiweise für den Astnd der Punkte und lutet, in unserem Flle lso =. Die Streke selst wird geshrieen. Verlängere ih die Streke n eiden Enden unendlih weit in diesele Rihtung, erhlte ih die per Definition unendlih lnge Gerde durh und. Entsprehend ist die Streke nur ein (kleiner!) Ashnitt dieser Gerden. Soweit, so elementr. A 2 Winkel Wo immer sih Gerden oder Streken shneiden, lässt sih ngeen, wie sih ihre Rihtungen zueinnder verhlten: Gehen eide in diesele Rihtung (prllel), nhezu, oder stehen sie senkreht ufeinnder? In diesem Kontext werden erstmls Winkel eingeführt. (In fortgeshrittenem Kontext knn mn dnn uh Winkel zwishen elieigen Kurven einführen; zoomt mn hinreihend diht n die Shnittstelle hern, lssen sih jene Kurven nhe der Shnittstellen gut durh Gerdenshnitte nnähern.) 2

3 Im Hilert shen Axiomensystem sind die Winkel durh die zwei Hlstrhlen definiert, die sie egrenzen, sprih: Vom Nullpunkt 0 gehen zwei Linien ins Unendlihe, und diese eiden Linien definieren den zwishen ihnen liegenden Winkel. Wir verwenden die ülihe Nottion, die einen Kreisogenshnitt zwishen die eiden Linien zeihnet und dhinein oder dvor ds Symol setzt, zumeist einen griehishen uhsten, hier α, welhes den Winkel ezeihnet: 0 α Dss es Sinn ergit, Winkel zu vergleihen und dvon zu reden, ein Winkel sei gleih (unter Mthemtikern: kongruent zu ) einem zweiten oder een niht, wird wiederum durh Axiome geregelt. etrhtet mn sttt zweier Hlstrhlen zwei sih shneidende Gerden, ht mn es sogr mit vier Winkeln zu tun, von denen jeweils zwei gleih sind, wie die folgende Skizze nzeigt. In der nhfolgenden Skizze heißen die eiden Winkel α und β. Als Winkel, unter dem sih die eiden Gerden shneiden, git mn meist den kleineren dieser eiden Winkel n, in dem unten gezeihneten Flle wäre ds β. β α α β Sind die eiden Winkel gleih, α = β, dnn stehen die eiden Linien per Definition senkreht ufeinnder, und der entsprehende Winkel heißt rehter Winkel. Üer Verfhren, Winkel zu ddieren oder uh zu hlieren knn mn Winkel uh quntittiv zueinnder in eziehung setzen. In der ei uns ülihen Nottion, die uf den ylonishen Kulturkreis zurükgeht, entspriht ein Vollkreis einem Winkel von 360, ein rehter Winkel lso 90. Gerde in der Astronomie sind uh Unterteilungen von Winkelgerden wihtig. Anlog dzu, wie wir Stunden unterteilen, entsprehen 60 ogenminuten, gekürzt 60, einem Winkelgrd, und 60 ogensekunden, kurz 60, einer ogenminute. 3 Dreieke Zwei Punkte definieren eine Gerde, und ihr Astnd voneinnder lässt sih estimmen. Ds wr s dnn freilih uh shon.nimmt mn noh einen weiteren Punkt hinzu, wird die Lge shon interessnter. Dnn hen wir drei interessnte Astände und zusätzlih noh die Winkel, unter denen sih die drei Verindungsgerden n den Punkten, A, zw. shneiden. Shon sind wir mitten in der Dreieksrehnung, der Trigonometrie ngelngt. Die in der folgenden Aildung gewählte ezeihnungsweise für Streken und Winkel ist weit verreitet, er ntürlih reine Konvention. Je nh 3

4 den Erfordernissen können wir den Winkeln, Streken und Punkten ndere Nmen geen. Hier ist jedenflls ds vollständige Dreiek: β γ α A Die dort eingetrgenen Winkel lssen sih uh mithilfe der Punkte eshreien; der Winkel, unter dem die Streken A und ei zusmmentreffen, hier β gennnt, knn uh direkt ls A (in nderer Shreiweise: A oder A) notiert werden. Nun sollte uf den ersten lik klr sein, dss die in ds gezeigte Dreiek eingetrgenen Größen,, zw. α, β, γ unmöglih lle unhängig voneinnder sein können. Am direktesten sieht mn ds, wenn mn sih vorstellt, ws pssiert, wenn ih ds oen gezeihnete Dreiek verändere. Ih lsse eispielsweise und konstnt und mhe den Winkel α kontinuierlih kleiner. Dnn klppen die Shenkel der Länge und ufeinnder zu, und wird zwngläufig kleiner; die Winkel β und γ werden dgegen größer. (Wer Shwierigkeiten mit dem räumlihen Vorstellungsvermögen ht Menshen hen j untershiedlihe Stärken und Shwähen, der möge sih zwei [m esten niht gleihlnge] Stifte oder ndere länglihe Gegenstände esorgen, sie n einem Ende zusmmenhlten und den Winkel zwishen vriieren. Dei sieht mn j direkt, wie sih der Astnd zwishen den äußeren Enden der Stifte zwngsläufig verändert. Auh mit der kostenlosen Softwre Geoger knn mn shön interktiv herumproieren und sih dei Seitenlängen und Winkelwerte live nzeigen lssen.) Die Mthemtiker enötigen uh hierzu wieder ein Axiom, nämlih dss ei zwei Dreieken, ei denen je zwei der drei Seiten dieselen Längen hen und der zwishen diesen eiden Seiten liegende Winkel gleih ist, uh lle nderen Größen (die zwei restlihen Winkel und die Länge der dritten Seite) gleih sind. (In der Sprhe der Mthemtik sind die Dreieke kongruent, sprih: lssen sih durh Vershieen, Drehen und Spiegeln üereinnder pltzieren und zur Dekung ringen.) Auf zumindest einige weitere Möglihkeiten, us drei der Größen die nderen zu erehnen, gehe ih unten noh näher ein. Die ülihe Whl der geometrishen Axiome ht zur Folge, dss lleine shon die Winkel α, β, γ niht unhängig voneinnder sind. Ds knn mn vernshulihen, indem mn im Geiste (oder in Geoger, oder... ) zwei der Winkel immer größer werden lässt. Der Dreiekspunkt, n dem der dritte Winkel gemessen wird, rükt dmit immer weiter in die Ferne, und der entsprehende Winkel wird immer kleiner. Ttsählih lässt sih eweisen, dss für Eene Dreieke die Winkelsumme konstnt ist, und zwr gilt immer α + β + γ = 180. (1) Sold wir in der Vorlesung Dreieke uf gekrümmten Flähen etrhten insesondere uf der Kugel und uf Sttelflähen wird diese Gleihung niht mehr gelten. 4

5 4 Flähen Fälle ih von einem der Dreiekspunkte ds Lot uf die gegenüerliegende Seite des Dreieks, dnn wird die sih ergeende Streke eine Höhe des Dreieks gennnt. Im nähsten ild ist die Höhe h = AF A (Lot vom Punkt A us) eingezeihnet. A h F A Die Flähe eines solhen Dreieks wird definiert ls F( A) 1 2 h. (2) Ist diese Definition üerhupt eindeutig? Sprih: Hängt sie niht so, wie sie d steht, dvon, welhe der drei Möglihkeiten für die Höhe ih wähle? Ttsählih führt jede Whl zu demselen Ergenis. In der folgenden Aildung ist eine zweite Höhe eingezeihnet, nämlih jene, die zum Punkt gehört: F h A h F A In diesem Flle hen wir es mit einem Shnittpunkt zu tun, der ußerhl des ursprünglihen Dreieks liegt; uh ds knn vorkommen. Wihtig ist jetzt, dss die Dreieke F und AF A die gleihen drei Winkel hen, nämlih einen gemeinsmen Winkel ei, einen rehten Winkel (ei F zw. F A ), und d die Summe der drei Winkel j gemäß (1) 180 etrgen muss, sind uh die jeweils dritten Winkel gleih groß. Solhe Dreieke heißen ähnlih. Zwei ähnlihe Dreieke untersheiden sih nur durh einen Fktor, mit dem sämtlihe Seitenlängen des ersten Dreieks skliert werden müssen, um dnn die Längen der korrespondierenden Seiten des zweiten Dreieks zu erhlten. Dmit sind er insesondere die Verhältnisse korrespondierender Seiten gleih, insesondere h / = h /. Letzteres heißt er h = h, mit nderen Worten: die Höhe ml die Länge der Seite, uf welher die Höhe senkreht steht, ht in eiden Fällen den gleihen Wert. Unsere Definition der Dreieksflähe ist dmit unhängig dvon, welhe der drei Höhen wir hernziehen. Aus der Definition der Dreieksflähe folgt direkt die eknnte Formel für die Flähe eines Rehteks mit Seitenlängen und. Um ds zu sehen müssen wir lediglih eine Digonle einziehen und hen dnn zwei gleihe rehtwinklige Dreieke. Ds ist in der folgenden Aildung gezeigt. 5

6 A D Die eingezeihneten rehtwinkligen Dreieke drin sind AD und D. Die Seite ist gleihzeitig die Höhe des Dreieks AD vom Punkt D uf die Grundlinie A, die ihrerseits die Länge ht. Also ist die Flähe dieses Dreieks gerde 1/2, nämlih die Hälfte des Produkts Höhe ml entsprehender Grundlinie, und die Flähe des zweiten Dreieks ht denselen Wert. Für ds Rehtek insgesmt erhlten wir dmit wie erwrtet F = =. Die Flähen komplizierterer Mehreke knn mn erehnen, indem mn diese Ojekte in Dreieke unterteilt und dnn deren Flähen zusmmenrehnet. 5 Stz des Pythgors Einer der shönsten Zusmmenhänge im ereih der Flähen ist der Stz des Pythgors. Jeder Mthemtiker ht vermutlih seinen eigenen Lielingseweis. Meiner ist der folgende, ei dem mn Flähen von Dreieken und Rehteken geeignet umrrngiert. Wir etrhten ein rehtwinkliges Dreiek mit Seitenlängen,, : A Die Seiten und, die n den rehten Winkel ei grenzen, heißen Ktheten, die gegenüerliegende Seite heißt Hypothenuse. Der Stz des Pythgors verknüpft die drei Seitenlängen in der lleknnten Form miteinnder ls = 2, (3) in Worten: Ds Qudrt üer der Hypothenuse ht diesele Flähe wie die Summe der Flähen der Qudrte üer den eiden Ktheten. Wir werden in der Vorlesung noh sehen, dss ds so etws wie die Grundlge der gesmten herkömmlihen Geometrie der Eene ist. In dieser Astndseziehung stekt ereits, dss wir uns in einer euklidishen, flhen Flähe efinden, niht etw uf der Oerflähe einer Kugel oder uf einer Sttelflähe. 6

7 Dss wir hier üer Flähen reden, ergit sih ereits us den Qudrten. Ttsählih ist 2 j die Flähe eines Qudrts mit Seitenlänge, und nlog verhält es sih mit 2 und 2. Die Flähe des Dreieks selst ergit sih der oigen Formel (2) nh zu 1 2. Jetzt konstruieren wir eine Unterteilung des Qudrts mit Seitenlänge + : Offenr ht ds große Qudrt die Gesmtflähe (+) 2, und diese lässt sih shreien ls Summe des eingeshrieenen Qudrts und der vier Kopien unseres Dreieks, ( + ) 2 = = = 2. 6 Kreise und ogenmß Sold es Punkte und Astände git, lssen sih uh Kreise definieren. Der Kreis mit Rdius r und Mittelpunkt M ist die Gesmtheit ll jener Punkte, deren Astnd vom Punkt M gerde den Wert r ht: r M 7

8 Skliert mn einen Kreis, vergrößert lso lle Aständen und Längen um denselen Fktor, dnn sollte sih uh der Kreisumfng um denselen Fktor verlängern. Anders gesgt: Ds Verhältnis von Kreisumfng und Rdius leit eim Sklieren konstnt (weil sih een eide um denselen Fktor ändern). Gehe ih von r zu r = r üer und vom ursprünglihen Umfngswert U zu U = U, mit demselen konstnten Sklenfktor, dnn leit ds Verhältnis nun einml gleih, U /r = (U)/(r) = U/r. Dieses universelle, für jeden Kreis gleihe Verhältnis definiert die Kreiszhl Pi, geshrieen π. Die ist ursprünglih für ds Verhältnis von Umfng zu Durhmesser definiert, π = U/d, und d der Rdius gerde der Hälfte des Durhmessers entspriht, hen wir entsprehend U/r = 2π. etrhten wir im folgenden zunähst den Einheitskreis, lso den Kreis mit Rdius r = 1. (Wrum müssen Mthemtiker hierzu keine Längeneinheit wählen, sondern können Längen zw. Astände mit Zhlen ezeihnen? Weil ihre ehuptungen und eweise nur die Verhältnisse vershiedener Astände zw. Längen zueinnder etreffen und somit unhängig von der Längeneinheit gültig sind. Implizit hen die Mthemtiker so etws wie eine Einheitslänge definiert, sold sie den Aständen Zhlenwerte zuordnen. Aer den expliziten Verweis uf diese Längeneinheit wegzulssen führt ufgrund der eshränkung uf Verhältnisse zu keinem Widerspruh.) Der Einheitskreis ht den Umfng 2π. Je zwei der eingezeihneten rdilen Streken zu zwei Kreispunkten definieren einen Winkel (nämlih den Winkel zwishen diesen m Kreismittelpunkt zusmmentreffenden Streken zw. genuer zwishen den Hlstrhlen, die mn erhält, wenn mn jede der eiden Streken vom Mittelpunkt kommend ins Unendlihe fortsetzt). Je zwei eingezeihnete rdile Streken definieren er uh einen Ashnitt des Kreisogens, nämlih den kürzeren der eiden Kreisogenshnitte, in die jene eiden rdilen Streken den Kreis teilen. Auh die Länge dieses Kreisogens knn mn ls Winkelmß wählen, gennnt ogenmß. Der Gesmtkreis entspriht einem Winkel von 360 entspriht dem vollen Kreisogen der Länge 2π; teile ih den Kreis in zwei Hälften, ht jeder der Hlögen die Länge π und entspriht dem Winkel 180 ; die Längen der Teil-Kreisögen ddieren sih genu so wie die Winkel, und durh Addition und durh weitere Hälftelungen ekommt mn shließlih gnz llgemein eine Korrespondenz, dss nämlih der ls Kreisogen, synonym in Rdin gemessene Winkel mit dem in Grd gemessenen Winkel zusmmenhängt wie Winkel zum Kreisogen x entspriht Winkel von x 180 π Grd. Solh einem Winkel die Einheit dhinterzushreien, lso von einem Winkel von π/2 rd (gesprohen Pi-hle Rdin ) zu reden, finde ih eher verwirrend. Die Kreisogenlänge ht diesele Längeneinheit wie jede ndere Länge oder jeder ndere Astnd in meiner Eene. ei rein geometrishen etrhtungen verwende ih, wie die Mthemtiker, einheitenlose Längen, und uh mein Winkel im ogenmß ist dnn eine Zhl. Üertrge ih die Geometrie uf eine physiklishe Sitution, dnn rehne ih zur Ange des ogenmßes nh wie vor uf den Einheitskreis um (für einen Kreis des Rdius 2 m ist der Winkel im ogenmß een die in Metern gemessene ogenlänge des Kreisshnitts, geteilt durh 2 Meter und dmit dimensionslos). 8

9 7 Winkelfunktionen etrhten wir wieder den Einheitskreis, den Kreis mit Rdius r = 1. Angenommen, ih zeihne einen Kreisrdius ein, etw die Verindungsstreke zwishen dem Kreismittelpunkt M und dem uf dem Kreis liegenden Punkt P. Dnn knn ih für jeden weiteren Kreisrdius, der den Mittelpunkt M mit einem Punkt Q verindet, die Senkrehte von Q uf MP fällen, die den Rdius MP im Punkt R shneiden möge. Hier ist diese Sitution drgestellt; ih he den Kreis dei im gnzen so gedreht, dss der erste Punkt P der Üersihtlihkeit uf gleiher Höhe, lso direkt horizontl neen M liegt: Q M α R P Wenn wir α vriieren, dnn vriiert uh MR, und zwr offenr stetig (sprih: wenn wir α nur ein kleines isshen verändert, dnn verändert sih uh MR nur sehr wenig). Mthemtish gesprohen heißt ds: MR ist eine stetige Funktion von α. Diese Funktion heißt Kosinus, und zwr ist mit den hier verwendeten ezeihnungen im Einheitskreis os(α) MR. Ds ist eine gute Definition, solnge mn Aständen wie MR keine Längeneinheit eifügt. D wir uns im Einheitskreis efinden, mht es in solher Sitution keinen Untershied, wenn wir uf der rehten Seite durh den Rdius, lso durh 1 = MQ teilen, os(α) MR MQ. Es ht er den Vorteil, dss wir uns üer Einheiten keine Sorgen mhen müssen; die rehte Seite ist hier ein Verhältnis von Längen und dmit gnz klr dimensionslos. Auh QR zw. ls Längenverhältnis geshrieen QR/MQ ist eine stetige Funktion, gennnt Sinus, sin(α) QR MQ. Eine esonderheit ei der Shreiweise kennen Sie vermutlih ereits: ei diesen Funktionen lässt mn dort, wo es keine Missverständnisse hervorrufen knn, oft die Funktionsklmmern weg, z.. sin(α) sin α, und eim Qudrieren oder nderen Potenzieren rükt mn die Potenz n den Funktionsnmen hern, (sin α) 2 sin 2 α. 9

10 Aus der Definition lässt sih lesen, dss Kosinus und Sinus periodishe Funktionen sind, nämlih dss sin(α ) = sin(α) und os(α ) = os(α). Aus dem Stz des Pythgors (3), ngewndt uf ds rehtwinklige Dreiek MRQ, ergit sih ürigens direkt die eziehung sin 2 α + os 2 α = 1. (4) etrhten wir niht ein rehtwinkliges Dreiek im Einheitskreis, sondern ds entsprehende Dreiek in einem Kreis mit Rdius, dnn müssen wir lle Längen, die in der oigen Skizze vorkommen, mit dem gemeinsmen Fktor sklieren. Hier lohnt es sih, dss wir Kosinus und Sinus in der zweiten Version ls Längenverhältnis geshrieen hen. Ein Längenverhältnis leit unverändert, wenn wir lle Längen mit dem gleihen Fktor sklieren. Entsprehend leien uh Kosinus- und Sinusdefinitionen ei einer Neusklierung unverändert, uh für einen Niht-Einheitskreis, os(α) MR MQ und sin(α) QR MQ. Die Winkelfunktionen erluen es uns, nützlihe Reheneziehungen zwishen Winkeln und Seiten llgemeiner Dreieke ufzustellen. Eine dvon ist der Kosinusstz, der sih uf ds folgende llgemeine Dreiek ezieht: h D α A Neen dem Dreiek A selst ist die Höhe h eingezeihnet, gefällt von uf die Seite ; der Endpunkt, n dem die Höhe uf die Seite trifft, heißt hier D. Für ds rehtwinklige Teildreiek DA gilt der Stz des Pythgors; mit der Akürzung p = AD hen wir 2 = h 2 + p2. (5) Anlog gilt für ds linke Teildreiek D, dss 2 = h 2 + ( p)2. (6) Indem wir Gleihung (5) von Gleihung (6) ziehen, erhlten wir die Gleihung 2 = p + p 2 p 2 = p. (7) in der h niht mehr vorkommt. Nh der Definition des Kosinus ist p er gerde p = os α, und so hen wir endlih 2 = os α. (8) Ds ist der Kosinusstz für den Winkel α. D sih α in keiner Weise vor den nderen eiden Winkeln uszeihnet, gelten entsprehende Ausdrüke uh für os β und os γ. 10

11 8 Krtesishe Koordinten islng hen wir nur mit einzelnen Punkten operiert, die jeweils einen Eigennmen wie P oder Q oder A oder ekommen hen. Wie finden wir eine Möglihkeit, im Prinzip lle Punkte in der Eene so zu eshreien, dss sih mit ihnen rehnen lässt? Ds ist die Motivtion für die Einführung von Koordinten. Wenn wir in der Vorlesung üer die geometrishe Version von Invrinz und Reltivität reden, dnn wird dieser Anspruh, nämlih lle Punkte in unserer Koordintensprhe einheitlih eshreien zu können, ds Kriterium der Universlität sein, ds ei unseren verllgemeinerten Üerlegungen eine wihtige Rolle spielt. Um Koordinten festzulegen, ruhen wir zwingend Hilfskonstruktionen. Wir eginnen mit den sogennnten krtesishen Koordinten. Wir führen uf unserer Eene zwei Gerden ein, die wir x-ahse und y-ahse nennen. eide liegen rehtwinklig zueinnder; ihren Shnittpunkt nennen wir Nullpunkt und mrkieren ihn mit einer Null. Unendlih lnge Gerden sind uf relem Ppier (uh in der virtuellen omputerversion!) niht zu zeihnen; wir folgen den ülihen Konventionen und zeihnen nur einen endlihen Ausshnitt, der für die gnze Ahse steht. Unsere Ahsen sollen eine Rihtung hen; diese wird üliherweise durh eine Pfeilspitze ngezeigt. Hier die Ihnen siher wohleknnte Drstellung eines solhen Koordintenkreuzes us x- und y-ahse: y 0 x Koordinten sind so etws wie ein generisher, systemtish estimmrer Nme für jeden Punkt der Eene. Um sie für einen Punkt P zu estimmen, gehen wir wie folgt vor: 11

12 y P y P 0 P x x Wir fällen von P us ds Lot uf die x-ahse; ds Lot shneidet die x-ahse im Punkt P x, der oen eingezeihnet ist. Eenso fällen wir ds Lot von P us uf die y-ahse; ds Lot shneidet die y-ahse im Punkt P y. Dnn nennen wir x ɛ x PP y den x- und y ɛ y PP x den y-koordintenwert des Punkts. Die zusätzlihen Fktoren ɛ x und ɛ y trgen lediglih ein Vorzeihen ei, und zwr wie folgt: efindet sih P x vom Nullpunkt 0 us gesehen uf demjenigen Hlstrhl der x-ahse, die in unserer Aildung den Pfeil trägt ( positive Hlhse ), dnn gilt ɛ x = +1. efindet sih P x uf dem nderen Hlstrhl, gilt ɛ x = 1. Anlog wird der Wert von ɛ y = ±1 estimmt. In Koordintenshreiweise trägt unser Punkt P dnn den Nmen (x, y), woei für x und y die gennnten Astndswerte zur x- zw. y-ahse eingesetzt sind. Sofern wir üer die gesmte Eene reden, knn sowohl x ls uh y elieige reelle Werte nnehmen. Dss wir zwei Werte enötigen, um einen Punkt zu eshreien, hängt direkt dmit zusmmen, dss die Eene ein zweidimensionles Geilde ist. Die Koordintenwert-Klmmer-Pre, Mthemtiker nennen sie Tupel, hen gleih drei Funktionen. Zum einen sind sie ttsählih so etws wie eindeutige Nmen jedem Punkt ist ein eindeutiges Zhlenpr (x, y) zugeordnet; zu jedem reellen Zhlenpr (x, y) gehört ein Punkt der Eene. Zweite Funktion ist, dss die Pre so etws wie Nähe usdrüken können. Wenn sih sowohl die x- ls uh die y-koordinte eines Punkts P nur sehr wenig von den entsprehenden Koordintenwerten eines nderen Punkts P untersheiden, dnn liegen die Punkte nhe eieinnder. Die Zweidimensionlität mht es etws shwierig, diesen Untershied llein nhnd der Koordinten zu fssen, er insesondere gilt: Hen drei Punkte P 1 = (x 1, y), P 2 = (x 2, y) und P 3 = (x 3, y) jeweils denselen y- Koordintenwert und gilt x 1 < x 2 < x 3, dnn liegt der Punkt P 2 in der Eene zwishen den Punkten P 1 und P 2. Die mthemtishe Version solher Nähe-eziehungen nennt sih Topologie. Dritte Funktion von Koordinten ist die estimmung von Entfernungen. Ds ist ei den krtesishen Koordinten esonders einfh, wie mn in der nhfolgenden Aildung für die zwei Punkte P = (x 1, y 1 ) und Q = (x 2, y 2 ) sieht. 12

13 y Q y Q y P y P x 0 P x Q x x Dort nämlih ist der Astnd d PQ die Hypothenuse eines rehtwinkligen Dreieks, dessen zwei Ktheten die Längen x = x 2 x 1 und y = y 2 y 1 hen. Mithilfe des Stzes des Pythgors (3) können wir den Astnd dher direkt us den Koordintenwertdifferenzen erehnen, und zwr gilt d 2 = x 2 + y 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (9) oder, wenn wir uf eiden Seiten die Wurzel ziehen, d = (x 1 x 2 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. (10) Eine solhe Funktion, die es erlut, us Koordintendifferenzen Astände zu erehnen, heißt Metrik und wird in unseren Üerlegungen zur Allgemeinen Reltivitätstheorie eine Shlüsselrolle spielen. 9 Rumkoordinten islng hen wir der Einfhheit hler nur die zweidimensionle Eene etrhtet. Krtesishe Koordinten lssen sih er eenso gut im dreidimensionlen Rum einführen. Dort git uns der (kleinste) Astnd eines Punktes von der yz-eene den x- Koordintenwert des Punktes, der kleinste Astnd des Punktes von der xz-eene den y-koordintenwert und der kleinste Astnd von der xy-eene den z-koordintenwert. Dfür, wie mn den Astnd d zweier Punkte P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) und P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) us den Koordintendifferenzen estimmt, gilt eine dreidimensionle Verllgemeinerung des Stzes des Pythgors, d = (x 1 x 2 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. (11) 10 Rumzeitkoordinten Nhdem wir islng herkömmlihe eene Koordinten etrhtet htten, nun ein pr Worte zu Rumzeitkoordinten. Rumzeit klingt erst einml fremd und nh Reltivitätstheorie, ist er zunähst einml nihts llzu esonderes. Angenommen, wir 13

14 hen eine Zeitkoordinte definiert, sprih: jedem kurzen Ereignis können wir einen Zeitwert zuordnen. Ein Ereignis ist dei etws, ds sowohl einen Ort esitzt, n dem es stttfindet, ls uh einen Zeitpunkt zu dem es stttfindet. eide müssen wir ngeen, um ds Ereignis festzulegen. Mit moderter Präzision mhen wir ds im Alltg wenn wir sgen, ein Vortrg im Hus der Astronomie eginne m 18. Oktoer 2015 um 11 Uhr, wenn wir uns mit Freunden m um 14:15 Uhr in einem estimmten fé verreden oder wenn wir festhlten, eine estimmte E-Mil von einem estimmten omputer zu einer estimmten Uhrzeit geshikt zu hen. Ein Ojekt efindet sih zu jeder gegeenen Zeit niht nur n einem einzigen Ort, sondern üerdekt ein estimmtes Volumen (und dmit viele nhe eieinnder liegende, er durhus voneinnder vershiedene Orte). In der Physik sprehen wir oft trotzdem näherungsweise von einem eigenen Ort, etw jenem des Shwerpunkts des Ojekts ds ist für viele Anwendungen eine vollkommen usreihende Näherung. Eenso duern wirklihe Ereignisse in der Regel eine gewisse Zeitspnne. Selst der Shlg einer Uhr findet niht um, sgen wir, Punkt 12 Uhr sttt, sondern von 12 Uhr is 12 Uhr plus einige Hundertstelsekunden. Auh dort reden wir der Einfhheit hler trotzdem dvon, der Uhrenshlg he um 12 Uhr stttgefunden. Ein Punktereignis oder Elementrereignis ist ein Ereignis, ds genu n einem Ort und zu einem einzigen Zeitpunkt stttfindet. Oft können wir vereinfht mithilfe solher Elementrereignisse eshreien, ws pssiert Liht etw, ds n einem estimmten Ort zu einer estimmten Zeit gestrhlt wird und zu einer estimmten späteren Zeit n einem nderen Ort nkommt; ein Plnet im Sonnensystem, der zu jeder Zeit einen estimmten Ort reltiv zur Sonne und reltiv zu den nderen Plneten esitzt; zwei Elementrteilhen, die n einem estimmten Ort zu einer estimmten Zeit zusmmentreffen. Wenn wir im weiteren (zw. in der Vorlesung) von Ereignissen reden, werden dmit in der Regel Elementrereignisse gemeint sein. Auh die Gesmtheit ller möglihen Ereignisse lässt sih grfish drstellen. Anlog dzu, wie die Gesmtheit ller Punkte einer Eene die (zweidimensionle) Eene definiert und die Gesmtheit ller Punkte im (dreidimensionlen) Rum den Rum usmht ildet die Gesmtheit der Ereignisse ein vierdimensionles Geilde: die Rumzeit. etrhten wir vereinfht nur eine einzige Rumdimension z.. Ereignisse uf der x-ahse und die Zeitdimension. Jedes Ereignis uf der x-ahse lässt sih dnn in ein zweidimensionles Rumzeitdigrmm eintrgen. Ds Digrmm git die Rumkoordinte x und die Zeitkoordinte t grfish wieder. Dzu zeihnen wir zunähst einml zwei Ahsen ein: 14

15 t 0 x Die Zeit t zählen wir in solhen Fällen niht so kompliziert wie im Alltg, mit Tgen, Stunden und deren Vielfhen und Unterteilungen. Wir wählen eine einheitlihe Zeiteinheit, typisherweise Sekunden (ls die Zeiteinheit des Système Interntionl, SI), und ls Zeitnullpunkt einen (willkürlih gewählten) estimmten Zeitnullpunkt z.. den Mittg des , Ortszeit von erlin. Ih shreie dies dnn ziemlih genu zur Zeit t = Sekunden. Sold wir einem Ereignis einen Zeitpunkt und einen Ort zugeordnet hen, können wir es in ds Rumzeitdigrmm eintrgen. t E t E 0 E x x Ds geht nlog dzu, wie wir Punkte in ein zweidimensionles Koordintensystem eingetrgen hen: Wir lufen vom Ereignis E us prllel zur x-ahse, is wir uf die Zeithse stoßen. Der Astnd des Shnittpunkts E t vom Nullpunkt ergit den Zeitkoordintenwert des Ereignisses. Lufen wir stttdessen prllel zur Zeithse is zur x-ahse zeigt uns der dortige Shnittpunkt E x, wie weit E vom Rumnullpunkt entfernt ist. Zeitdifferenzen und Astände in x-rihtung lssen sih in solh einem Digrmm direkt ls Koordintendifferenzen lesen. Ws es mit dem Astnd zweier Punkte uf sih ht, ist etws shwieriger. Druf werden wir in der Vorlesung noh eingehen. Eine so einfhe Deutung wie im Flle der eenen Geometrie ht der Astnd zweier Ereignisse jedenflls niht. 15