Mathematik 1 für Bauingenieure (Winkler) Musteraufgaben zur Prüfungsvorbereitung

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1 Mthemtik 1 für Buingenieure (Winkler) Musterufgben zur Prüfungsvorbereitung Zusmmenfssung Von den folgenden Aufgben wurden die ersten 17 schon im Dezember 213 usgegeben. Dmit sollte eine Idee vermittelt werden, wie Prüfungsfrgen ussehen können. Mittlerweile liegen die Angben mehrerer ttsächlicher Prüfungen vor und sind im Internet unter verfügbr. Trotzdem können uch die nchfolgenden Aufgben weiterhin zur Prüfungsvorbereitung empfohlen werden. Sie wurden ergänzt durch Aufgben, die uch Neuerungen bei der Vorlesung im Wintersemester 214/15 berücksichtigen (b Aufgbe 18) und bei den früheren Prüfungsterminen (bis Dezember 214) noch kum eine Entsprechung fnden. Empfohlen wird, neben den bisherigen Prüfungen und den Musterufgben uch die neuen Unterlgen zur Vorlesung Mthemtik 1 für Buingenieure durchzurbeiten, ds im Wesentlichen den ktuellen Prüfungsstoff wiedergibt und ebenflls unter der oben gennnten Adresse verfügbr ist. Längere Beweise werden nicht geprüft. Deshlb muss uch nicht ds gesmte Skriptum ktiv beherrscht werden. Sehr wohl sollte mn ber in der Lge sein, die Gednkengänge nchzuvollziehen (ber ohne sich n einzelnen eventuell unklren Stellen ewig zu verbeißen; Nchfrgen ist erlubt und knn eventuell viel Zeit spren) und in den großen Linien verständlich zu reproduzieren. Kürzere Argumenttionsketten, besonders wenn sie wiederholt uftreten, sollte mn uch ktiv beherrschen und uf konkrete Situtionen nwenden können. Ht mn sich diese Fähigkeiten errbeitet, ist mn für die Prüfung gut vorbereitet. Generell knn nicht genug betont werden: In der Mthemtik herrscht sehr hohe Präzision. Auch wenn diese mthemtische Spielrt von Präzision in der Prxis des Ingenieurberufs, wo sehr viele ußermthemtische Gesichtspunkte zu berücksichtigen sind, nicht immer primär ist, so müssen doch mthemtische Texte sehr genu verstnden werden. Denn scheinbr geringfügige Missverständnisse können oft schwerwiegende Fehler nch sich ziehen. Deshlb wird bei der Prüfung großer Wert uf genues Textverständnis gelegt. Erfhrungsgemäß mcht ds vielen Anfängern beträchtliche Schwierigkeiten. Seien Sie lso möglichst selbstkritisch, wenn es drum geht einzuschätzen, ob Sie diesbezüglich für die bevorstehende Mthemtikprüfung schon hinreichend sorgfältig vorbereitet sind. 1. Geben Sie für jede der fünf Zhlenmengen M = N, Z, Q, R, C n, ob sie die folgende Eigenschft E(M) ht: Für lle Teilmengen T M mit T gilt die Impliktion ( n : n T n + 1 T ) T = M. 2. Beweisen Sie mit Induktion die Formel n 3 k = 3 2 (1 3 (n+1) ) k= für lle n N. Geben Sie in Ihrer Ausrbeitung folgende Teile explizit n: () Induktionsnfng (b) Induktionsnnhme (c) Induktionsbehuptung (d) Induktionsschritt 3. () Beknntlich konvergiert jede monotone und beschränkte Folge c R. Im Beweis dieses Stzes tritt eine Zerlegung R = A B uf. Dbei besteht A us jenen x R mit x n für wenigstens ein n N. Ds Komplement B besteht entsprechend us jenen x R mit n < x für lle n N. Welche Eigenschft von R (Nme und Formulierung dieser Eigenschft) liefert eine Zhl x R, welche sich sehr leicht ls der gesuchte Grenzwert x = lim n n erweist? 1

2 (b) Wir betrchten die Funktion f : R R, f(x) := x 3 2. Sei nun A = {x R : f(x) < } und B = {x R : f(x) }. Die Eigenschft von R, nch der in Teilfrge () gefrgt wurde, grntiert in nloger Weise wie dort die Existenz einer gewissen reellen Zhl x. Um welche Zhl hndelt es sich bei vorliegendem f? 4. Wir betrchten reelle Funktionen (Trnsformtionen) T : R R. Zu jedem R induziert T eine rekursive Folge mit n+1 = T ( n ) für lle n. () Angenommen es gibt einen Grenzwert x = lim n n. Unter einer häufig uftretenden Vorussetzung V n T lässt sich mit Hilfe der Rechnung T (x) = T ( lim n n) = lim n T ( n) = lim n n+1 = lim n n = x schließen, dss x ein Fixpunkt von T ist, d.h. T (x) = x. Wie lutet diese Vorussetzung V und in welchem Schritt obiger Gleichungskette wurde sie verwendet? (b) Skizzieren Sie die Sitution us () nhnd eines geeigneten T. Geben Sie dieses T uch durch eine Formel n. Anleitung: Lssen Sie sich von Teil (c) inspirieren. (c) Sei = und n+1 = n Bestimmen Sie lim n n (Hinweis: Skizze!). 5. Gegeben seien die reellen Zhlen 1, 2, 2,..., die wir ls Glieder einer Reihe uffssen. () Definieren Sie für jedes n N die n-te Prtilsumme s n. (b) Wnn nennt mn generell eine Folge reeller Zhlen x n, n N, konvergent gegen den Grenzwert x? (c) Wnn nennt mn die Reihe n=1 n konvergent mit Wert s = n=1 n R? (d) Sei n = 1 n+5. Finden Sie zu einer beliebig vorgegebenen reellen Zhl C ein n mit s n C. (e) Ist die Reihe mit den Gliedern us (d) konvergent oder divergent? (Begründung) 6. () Wir schreiben [r, ϕ] für die komplexe Zhl z mit Betrg z = r und Argument (Winkel) ϕ. Für ds Produkt z = z 1 z 2 mit z j = [r j, ϕ j ] für j = 1, 2 gelte z = [r, ϕ]. Wie lssen sich die reellen Zhlen r und ϕ durch die Zhlen r 1, ϕ 1, r 2, ϕ 2 usdrücken? (b) Mchen Sie eine Skizze der dritten komplexen Wurzeln α 1, α 2, α 3 von 2 in der komplexen Zhlenebene. Beschriften Sie insbesondere die relevnten Abstände und Winkel. 7. Beknntlich heißt eine reelle Funktion f : D R stetig im Punkt x D, wenn es zu jedem ε > ein δ > gibt derrt, dss für lle x D mit x x < δ uch f(x) f(x ) < ε gilt. Folgenstetigkeit im Punkt x hingegen bedeutet definitionsgemäß, dss für jede Folge mit Gliedern n D us lim n n = x uch lim n f( n ) = f(x ) folgt. () Stetigkeit impliziert Folgenstetigkeit. Unter der Vorussetzung lim n n = x knn mn zu vorgegebenem ε > nämlich einen Index n finden drrt, dss für lle n n n x < δ gilt mit einem δ wie in der Stetigkeitsdefinition. Vervollständigen Sie die Argumenttion. (b) Will mn beweisen, dss umgekehrt uch us der Folgenstetigkeit die Stetigkeit von f (jeweils in x ) folgt, nimmt mn indirekt n, es gebe ein ε >, welches die Stetigkeitsdefinition verletzt. Dnn gibt es zu jedem δ = 1 n, n = 1, 2,..., ein n D mit n x < 1 n ber f( n) f(x ) ε. Wrum steht dies im Widerspruch zur Folgenstetigkeit von f in x? (c) Sei f(x) = kx + d mit gewissen reellen Zhlen k, d. Begründen Sie, wrum f stetig (in einem beliebigen Punkt x ) ist, indem Sie zu einem beliebig vorgegebenen ε > ein δ wie in der Definition ngeben. 8. Zu berechnen sind Ableitungen f i folgender reeller Funktionen f i, i = 1, 2, 3. 2

3 () f 1 (x) = x 2 g(x), wobei g und g ls beknnt ngenommen werden dürfen. (b) In der Sitution von Teil () gebe es ein c R mit g(x) c für lle x R. Dnn ist f 1() unbhängig von g. Bestimmen Sie diesen Wert. (c) f 2 (x) = x x für x > (d) f 3 (x) = x xx für x > 9. Gegeben Sei die gebrochen rtionle Funktion f(x) = x3 +x+2 x 2 +x 2. () Zeigen Sie, dss die ngegebene Drstellung von f gekürzt ist, dss lso Zähler- und Nennerpolynom nur Konstnte ls gemeinsme Teiler hben. (b) Es gibt eine Drstellung von f ls Summe f = p+r 1 +r 2 eines Polynoms p und gebrochen rtionler Funktionen r 1 = p1 q 1 und r 2 = p2 q 2 mit irreduziblen Nennerpolynomen q 1, q 2 und Zählern p 1, p 2 minimlen Grdes. Geben Sie q 1 und q 2 n, ohne die Drstellung von f der ngegebenen Form explizit uszurechnen, und erklären Sie den llgemeinen Schverhlt, uf den Sie sich dbei stützen. (c) Geben Sie die Grde von p, p 1 und p 2 us (b) n, ohne diese drei Polynome explizit uszurechnen, und erklären Sie den llgemeinen Schverhlt, uf den Sie sich dbei stützen. (d) Berechnen Sie nun p, p 1, q 1, p 2 und q 2 us (b) explizit. (e) Geben Sie eine linere Funktion l(x) = kx + d n mit der Eigenschft lim x (f(x) l(x)) =. (f) Skizzieren Sie f und l. (g) Ermitteln Sie eine Stmmfunktion F von f. (h) Angenommen F ist eine Stmmfunktion von f. Welche Burt ht dnn die Menge M ller Stmmfunktionen von f? 1. Gegeben sei eine reelle Funktion f mit f (x) = 1 1+x 2 für lle x R. () Für x < 1 lässt sich f (x) ls Grenzwert einer geometrischen Reihe n= qn drstellen. Welchen Wert ht mn für q zu nehmen? (b) Es gelte die Potenzreihendrstellung f(x) = n= nx n. Welche n sind durch die bisherigen Angben eindeutig bestimmt, welche nicht? Geben Sie die Werte der eindeutig bestimmten n uch n. (c) Wie lssen sich die Funktionen tn (Tngens) und rctn (Arcustngens) mit Hilfe von Sinus und Cosinus definieren, und ws ist ihr Definitionsbereich? (d) Skizzieren Sie sin, cos und tn m Einheitskreis. (e) Skizzieren Sie die Grphen von sin, cos, tn und rctn. (f) Berechnen Sie tn und rctn. Verwenden dürfen Sie dfür ihre Definition us (c), die Beziehung sin 2 + cos 2 = 1, ußerdem die Differentitionsregeln sin = cos, cos = sin, die Quotientenregel und die llgemeine Regel für die Ableitung von Umkehrfunktionen. Mrkieren Sie überll, welche dieser Regeln einfließt. (g) Wie lutet die Potenzreihendrstellung des Arcustngens? 11. Die Exponentilfunktion exp : R R zur Bsis > lässt sich eindeutig ddurch definieren, dss mn von ihr eine geeignete nlytische Eigenschft E fordert und ußerdem eine sogennnte Funktionlgleichung F, die einem wohlbeknnten Rechengesetz für Produkte von Potenzen mit gleicher Bsis entspricht. Die Umkehrfunktion von exp (uf einem geeigneten Bereich) sei mit g bezeichnet. () Ws knn mn ls E nehmen und ws ls F? 3

4 (b) Welcher Nme ist für die Umkehrfunktion g von exp gebräuchlich? (c) Für welche x R ist g(x) definiert? (d) Wie lutet g (x)? 12. Sei f : R R eine unendlich oft differenzierbre Funktion. Auf dem Intervll [ 1, 1] seien die Beträge ller Ableitungen f (n) durch reelle Zhlen c n beschränkt, d.h. f (n) (x) c n für lle x [ 1, 1] und lle n N. () Sei c n = c R für lle n N. Erklären Sie, wie dnn us dem Stz von Tylor folgt, dss f uf dem Intervll [ 1, 1] eine Drstellung ls Potenzreihe f(x) = n= nx n ht. (b) Die Aussge us Teil () gilt sogr, wenn die Vorussetzung n die c n bgeschwächt wird zu c n Cq n mit geeigneten (ber festen, von n unbhängigen) reellen Zhlen q, C > und für lle n N. Geben Sie ein Beispiel einer Folge von c n, die für n derrt rsch wchsen, dss keine Potenzreihendrstellung von f mehr grntiert werden knn. 13. Lokle Extrem einer differenzierbren reellen Funktion f : D R und Nullstellen der Ableitung f stehen in einem engen Zusmmenhng, sind ber keineswegs dsselbe. () Geben Sie eine Definition für ein lokles Mximum von f in x D, die uch für nicht differenzierbres f sinnvoll ist. (b) Geben Sie ein f : R R n, welches bei 5 ein lokles Mximum ht und f (5) = erfüllt. Dieses f soll ußerdem uf keinem Intervll positiver Länge konstnt sein. 14. Die Funktion f : [, 1] R sei durch folgende Forderungen definiert. Und zwr nehme f nur die Werte und 1 n, f() =, und für x > sei n N so gewählt, dss 2 n 1 < x 2 n. Ist n gerde, so sei f(x) = 1, ndernflls sei f(x) =. () Skizzieren Sie f. (b) An welchen Stellen ist f unstetig? (c) Trotz der unendlich vielen Unstetigkeitsstellen ist f Riemnn-integrierbr. Um ds zu zeigen, ist zu beliebig vorgegebenem ε > eine Zerlegung Z = { = x x 1 x 2... x n = 1} des Intervlls [, 1] zu wählen derrt, dss für die zugehörige Obersumme O(f, Z) und Untersumme U(f, Z) gilt O(f, Z) U(f, Z) < ε. Geben Sie so ein Z für ε = 1 1 n. (d) Bestimmen Sie 1 f(x) dx. 15. Gesucht sind Stmmfunktionen F i der Funktionen f i, i = 1, 2, 3. () Sei >. Geben Sie eine Stmmfunktion F 1 von f 1 (x) = 1 x 2 + n. (b) Es gelte f 2 (x) = 1 für x > und f 2 (x) = 1 für x <. Ist es möglich, f 2 () so festzulegen, dss f 2 eine Stmmfunktion F 2 besitzt? Wenn j, gebe mn f 2 () und F 2 n, ndernflls begründe mn es. (Anleitung: Mn stelle folgende Überlegungen n. Ht F 2 die gewünschten Eigenschften, so gibt es ein c 1 R mit F 2 (x) = x + c 1 für lle x >, nlog F 2 (x) = x + c 2 für lle x <. F 2 ist ls Stmmfunktion differenzierbr, lso uch stetig, folglich gilt c 1 = F 2 () = c 2. Nun studiere mn die Sitution n der Stelle x =.) (c) Ht die Funktion f 3 (x) = x eine Stmmfunktion F 3? (Begründung) 16. Die Funktion f : R R sei stetig mit f(x) := sin x x für x. () Geben Sie den Wert f() n. (b) Die Funktion ht eine Potenzreihendrstellung n der Stelle. Wie lutet diese? 4

5 (c) Als stetige Funktion besitzt f eine Stmmfunktion F : R R. Allerdings lässt sich F nicht mit Hilfe elementrer Funktionen usdrücken. Verwenden Sie die Trpezregel um ds Integrl 1 f(x)dx uf eine Dezimlstelle nch dem Komm genu zu berechnen. Dbei hben Sie Funktionswerte von f n Zwischenstellen hinreichend genu zu berechnen. Tun Sie ds mit Hilfe von (b). (d) Aus (b) lässt sich eine Potenzreihendrstellung für ein F wie in (c) gewinnen. Verwenden Sie eine solche, um ds Integrl 1 f(x)dx uf zwei Dezimlstellen nch dem Komm genu zu berechnen. 17. Die Bogenlänge der Prbel y = f(x) = x 2 im Bereich x lässt sich durch ein Integrl usdrücken. () Geben Sie dieses Integrl n. (b) Berechnen Sie dieses Integrl für = 2. (Achtung, der rechnerische Aufwnd übersteigt jenen von ttsächlichen Prüfungsufgben. Zur Übung genügt es, wenn Sie sich überlegen, welche Integrtionsmethoden zum Ziel führen.) 18. Die Definition ε > n N n n : n < ε für lim n n = lässt sich in der folgenden Weise mengentheoretisch umschreiben. Und zwr bezeichne M(ε, n, ) (ε >, n N, R) die Menge ller reellen Folgen = ( k ) k N mit n < ε. Eine Folge konvergiert genu dnn gegen, wenn M(ε, n, ). ε> n n n N () Wie lässt sich umgekehrt die etws ndere Aussge M(ε, n, ) ε> n n n N zu einer äquivlenten quntorenlogischen Formel umschreiben? (b) Ws bedeutet die Formel us () inhltlich, d.h. ws ist in Bezug uf die Folge? (c) Sei s := lim sup n n und gelte ε > n N n n : n < + ε. Ws lässt sich über die Beziehung von s und ussgen? (d) Anlog wie (c), sttt der dortigen Bedingung jedoch mit ε > n N n n : n > ε. 19. Für die Funktion f ist nzugeben, welche der Zhlenbereiche M {N, Z, Q, R, C} die Inklusion f(m) M erfüllen. (Ausnhmsweise sollen in dieser Aufgbe uch komplexe Wurzeln ls Funktionen interpretiert werden, die eine von mehreren Lösungen uswählen.) () f(x) := x2 +3x+1 x 2 +3 (b) f(x) := x 2 + x (c) f(x) := x 2 + 3x + 1 (d) f(x) := x 2 3x 1 (e) f(x) := x 2 x 2 5 5

6 2. Beknntlich ist jede Reltion R definitionsgemäß Teilmenge eines krtesischen Produktes A B. Unter bestimmten Zustzbedingungen ist eine Reltion sogr eine Funktion f : D B mit D A. Skizzieren Sie die folgenden Reltionen R R R ls Teilmengen der Zeichenebene und geben Sie n, ob es sich bei R um eine Funktion f : D R hndelt. Wenn nein, so ist dies zu begründen; wenn j, so sind die Mengen D und f(d) möglichst explizit zu beschreiben, ein möglichst einfcher Funktionsterm für f nzugeben sowie zu entscheiden, ob f injektiv ist. () R := {(x 3, x 6 ) : x R} (b) R := {(x 6, x 3 ) : x R} (c) R := {(x, y) R 2 : x 2 + 2y 2 = 1} (d) R := {(x, y) R 2 : x 2 + 2y 2 = } (e) R := {(x, y) R 2 : x 2 + 2y 2 = 1} (f) R := {(x, x ) : x R} (g) R := {( x, x) : x R} (h) R := {(x 2, x 2 + 1) : x R} (i) R := {(x 2 + 1, x 2 ) : x R} 21. In den folgenden Teilufgben werden jeweils einige Prmeter vorgegeben, von denen eine Teilmenge M von R 2 oder R 3 bhängt. Beschreiben Sie die Menge M verbl und eventuell mittels Skizze. Treffen Sie dbei geeignete Fllunterscheidungen (wie beispielsweise ob gewisse Prmeter = oder sind), sofern ds für die Erklärungen nützlich ist. () M := {(x, y) R 2 : x + by = c}; vorgegebene Prmeter:, b, c R (b) M := {(x, y, z) R 3 : x + by + cz = d}; vorgegebene Prmeter:, b, c, d R (c) M := {x + tx : t R}; vorgegebene Prmeter: x, x R 2 (d) M := {x + t 1 x 1 + t 2 x 2 : t 1, t 2 R}; vorgegebene Prmeter: x, x 1, x 2 R 3 (e) M := {x + t 1 x 1 + t 2 x 2 + t 3 x 3 : t 1, t 2, t 3 R}; vorgegebene Prmeter: x, x 1, x 2, x 3 R 3 (f) M := {x R 2 : xy = c} vorgegebene Prmeter: y R 2, c R (g) M := {x R 2 : xy c} vorgegebener Prmeter: y R 2, c R (h) M := {(x, y, z) R 3 : x b, x 2 + y 2 4}; vorgegebene Prmeter:, b R (i) M := {(x, y, z) R 3 x : 2 + y2 2 b + z2 2 c 1}; vorgegebene Prmeter:, b, c R Zwei kombintorische Frgen: () Wieviele ntürliche Zhlen n mit 1 n 1 sind weder durch 2, 3, 5 noch durch 7 teilbr? Hinweis: Bezeichnet T ( N) die Menge ller durch teilbren n, so gilt für teilerfremde, b die Beziehung T T b = T b, ußerdem ist T {1, 2,..., 1} für > der uf die nächste gnze Zhl bgerundete Bruch 1. Verwenden Sie ds Inklusions-Exklusionsprinzip. (b) Eine Gruppe von n = 1 Personen soll mit Obst versorgt werden. Und zwr soll jede Person ein Stück bekommen. Zur Verfügung stehen = 2 Birnen, b = 3 Bnnen und c = 5 Äpfel. Wieviele Möglichkeiten gibt es, ds vorhndene Obst ufzuteilen? Dbei sind lle Äpfel untereinnder ls gleichrtig zu betrchten, nlog lle Bnnen und die beiden Birnen. Geben Sie uch eine llgemeine Formel für ndere Werte von n,, b, c mit + b + c = n n. 6

7 23. Polynome und ihre Nullstellen: () Geben Sie die Koeffizienten,..., 4 R eines Polynoms p(x) = 4 x x x x +, i =, 1, 2, 3, 4, n mit i. keiner reellen Nullstelle. ii. genu einer reellen Nullstelle. iii. genu zwei reellen Nullstellen. iv. genu drei reellen Nullstellen. v. genu vier reellen Nullstellen. (b) Finden Sie sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms p(x) := x 4 x Finden Sie ohne Tschenrechner oder sonstige technische Hilfsmittel eine rtionle Zhl r = p q, p, q N, mit r 3 < 1 1. Je kleiner q, desto besser. Hinweis: Newton-Verfhren. 25. Sei f(x) := sin x x (x ). Wir interessieren uns für Integrle von f sowohl im Riemnnschen 2 ls uch im Lebesgueschen Sinn. Die Teilfrgen müssen nicht unbedingt in der ngegebenen Reihenfolge behndelt werden. () Für welche, b R existiert ds Riemnnintegrl b f(x) dx? (Begründung für positive wie uch negtive Fälle) (b) Wie steht es mit den uneigentlichen Riemnnintegrlen b f(x) dx mit b > und f(x) dx. (c) Über welche zusmmenhängenden Teilmengen M R ist f im Lebesgueschen Sinn integrierbr? (d) Behndeln Sie speziell ds Lebesguesche Integrl f dλ. Ist es definiert? Ht es gr [π, ) einen endlichen Wert I? Wenn j, ermitteln Sie eine gnze Zhl k Z mit I k 1. 7