Grundmodell zur integrierten Risk-/Return- Optimierung des Gesamtbank-Portfolios

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1 Grundmodell zur ntegrerten Rsk-/Return- Optmerung des Gesamtbank-Portfolos Dr. Ursula-A. Theler Rsk Tranng Carl-Zess-Str. D Bruckmühl Tel./ Fax: 08062/ E-mal: erschenen n: Buhl, H. U., Kreyer, N., Steck, W. (Hrsg.), e-fnance - Innovatve Problemlösungen für Informatonssytseme n der Fnanzwrtschaft, Berln usw Vortrag m Rahmen der 3. Konferenz Informatonssysteme n der Fnanzwrtschaft, 9. September 200, Unverstät/Messe Augsburg

2 2 Grundmodell zur ntegrerten Rsk-/Return- Optmerung des Gesamtbank-Portfolos Ursula-A. Theler Rsk Tranng Zusammenfassung: Zel des Betrags st es, en Grundmodell zur Portfolo-Optmerung darzustellen, das en Rsk-/Return-optmales Gesamt-Portfolo unter Annahme belebger Portfolo-Wertvertelungen bestmmt, ndem der erwartete Portfolo-Return unter Enhaltung enes vorgegebenen Rskonveaus maxmert wrd. Das Grundmodell erlaubt ene ntegrerte Betrachtung von Marktpres- und Kredtrsken und kann auf en Gesamtbank-Portfolo angewendet werden. Das Optmerungsmodell basert auf dem Rskomaß des Condtonal Value at Rsk, enem konvexen und kohärenten Rskomaß. De Optmerungsaufgabe lässt sch mt ener Erwartungsnutzen-Maxmerung enes rskoaversen Investors verenbaren und lefert damt auch aus verallgemenerter portfolotheoretscher Scht funderte Aussagen. Für das optmale Portfolo werden Rsk-/Return-Kennzffern auf Portfolo- und Enzelpostons-Ebene ermttelt. Zur Berechnung der Rskobeträge der Enzelpostonen wrd das Euler-Prnzp angewendet, das ene effzente Kaptalallokaton m Portfolo scherstellt. Es werden Ensatzmöglchketen des Grundmodells n der Gesamtbank-Steuerung aufgezegt. Schlüsselworte: Bankportfolo, Condtonal Value at Rsk, Euler-Prnzp, Gesamtbanksteuerung, Integrerte Rsk-/Return-Steuerung, Kaptalallokaton, Portfolooptmerung, quantlsabhängge Rskomaße, Rskomanagement, RORAC. Problemstellung und Vorgehenswese Im Rskomanagement der Banken gewnnt ene ntegrerte Steuerung der verschedenen Rskoarten, nsbesondere der Marktpres- und Kredtrsken, zunehmend an Bedeutung. Neben ener enhetlchen Rskomessung und Rskobegrenzung resultert heraus für de Banken de Notwendgket, Rsko- und Rentabltätsmanagement enger zu verzahnen und ene Rsk-/Return-orenterte

3 Gesamtbank-Portfolo-Steuerung auf der Grundlage enhetlcher Rsko- und Performancemaße umzusetzen. In desem Betrag wrd en Grundmodell zur ntegrerten Rsk-/Return-Steuerung enes Gesamtbank-Portfolos, m Folgenden verkürzt als RRS-Grundmodell bezechnet, dargestellt, welches das Gesamtbank-Portfolo optmert, ndem der erwartete Portfolo-Return unter Enhaltung enes vorgegebenen Rskonveaus maxmert wrd. Das Optmerungsmodell lässt belebge Vertelungen der Portfolo-Returns zu und egnet sch damt als Grundmodell für de Optmerung des Gesamtbank-Portfolos. Für das optmale Portfolo werden effzente Rsk- /Return-Kennzahlen auf Ebene des Gesamt-Portfolos und der Enzelkomponenten ermttelt. De Berechnung der Rskobeträge der Enzelpostonen erfolgt nach dem Euler-Prnzp, das ene effzente Kaptalallokaton auf Portfoloebene scherstellt und auftretende Dversfkatonseffekte den enzelnen Postonen verursachungsgerecht zuordnet. Als Voraussetzung der Portfolooptmerung wrd n Kaptel 2 zunächst en Rskomaß festgelegt, das sch für ene Rskomessung und -aggregaton des Gesamtbank-Portfolos egnet. Anschleßend wrd en Optmerungsmodell erarbetet, das ene Rsk-/Return-Optmerung für en Portfolo mt belebger Wertvertelung durchführt und damt nsbesondere auf das Gesamtbank-Portfolo, aber bespelswese auch auf belebge Optons- oder rene Kredtportfolos anwendbar st. Gegenstand des Kaptels 3 st de Lösung des Optmerungsproblems. Für das optmale Portfolo werden Rsk-/Return- Kennzahlen sowohl auf Portfoloebene als auch auf Ebene der Enzelkomponenten berechnet. Im Kaptel 4 werden Aspekte der Anwendung des RRS-Grundmodells n der Gesamtbank-Steuerung betrachtet. Es werden erforderlche Modellannahmen und wesentlche Ensatzmöglchketen aufgezegt. Der Betrag schleßt mt ener Bewertung des dargestellten RRS-Grundmodells m Kaptel 5. Das RRS-Grundmodell basert auf ener Modularserung der Fragestellungen der ntegrerten Rskomessung und -steuerung [vgl. z. B. CuH0]. Das RRS- Grundmodell setzt voraus, dass Markt- und Kredtrsken n enem ntegrerten Ansatz gemessen und Marktprese aller betrachteten Postonen zum Beobachtungshorzont geschätzt werden. Dese Prognosen werden als Input-Daten verwendet. De Fragestellung der ntegrerten Rsk-/Return-orenterten Portfolosteuerung wrd damt unabhängg von den angewandten Verfahren der ntegrerten Rskomessung gelöst [herzu z. B. Isco99; Barn00]. Das RRS- Grundmodell west nsofern den Charakter enes EDV-bezogenen Fachkonzepts auf. Aspekte der technschen Umsetzung, nsbesondere der Beschaffung der erforderlchen Input-Daten, behandelt es ncht. 3

4 4 2 Erarbetung des RRS-Grundmodells 2. Festlegung des Rskomaßes An das Rskomaß, das sowohl ener ntegrerten Rskomessung als auch der her betrachteten ntegrerten Rskosteuerung zu Grunde legt, snd verschedene Anforderungen zu stellen. Es muss ene ntegrerte Messung von Marktpres- und Kredtrsken erlauben. Bede Rskoarten müssen sch glechartg bewerten und zu ener Gesamtrskokennzahl aggregeren lassen. Es st scherzustellen, dass das Rskomaß ene konsstente Rsko-Aggregaton m Portfolo erlaubt. Des lässt sch durch de Kohärenz-Egenschaft des Rskomaßes scherstellen. Unter dem Begrff der Kohärenz haben [ArDe99] ver Egenschaften für Rskomaße axomatsch begründet, de ene konsstente Rskomessung m Portfoloverbund garanteren. En kohärentes Rskomaß erfüllt de Egenschaften der Homogentät, Subaddtvtät, Translatonsnvaranz und Monotone und erlaubt de für ene Portfolo-Steuerung entschedende Rsko-Aggregaton verschedener Telportfolos über mehrere Herarchestufen und berückschtgt dabe alle Rskoabhänggketen m Portfoloverbund. Grundvoraussetzung für de Lösbarket des Rsk-/Return-Optmerungsproblems st de Konvextät des verwendeten Rskomaßes, de aus der oben dargestellten Kohärenz-Egenschaft folgt [Tasc0, S. 2]. De Konvextät mplzert, dass de Optmerung über ener konvexen Menge zulässger Portfolos lösbar st und de resulterende Effzenzlne n dem zugehörgen Rsko-Ertrags-Dagramm ene streng konkave und wachsende Gestalt hat, d. h., dass zu jedem Rskonveau ene endeutge optmale Rsko-Ertrags-Kombnaton exstert. De Aufgabe, en Rsk-/Return-optmales Portfolo zu bestmmen, das den erwarteten Return maxmert und dabe ene Obergrenze für das Rskopotenzal enhält, stellt en verallgemenertes Entschedungsproblem der Portfolo Selekton dar. De Schwergket gegenüber der klassschen Portfolotheore legt darn, dass en Gesamtbank-Portfolo zum großen Tel aus Kredtrsko-abhänggen Postonen besteht. Damt kann kenesfalls von ener multvaraten Normalvertelung des Portfolowertes ausgegangen werden. Daraus folgt, dass weder klasssche (µ,σ)-, noch neuere (µ,value at Rsk)-Optmerungsansätze aussagekräftge Ergebnsse lefern. Ene wchtge Voraussetzung für de Optmerung des Gesamtbank-Portfolos besteht n der Auswahl enes geegneten Rskomaßes für de Rsk-/Returnorenterte Gesamtbank-Steuerung. Aus ökonomscher Scht wrd Rsko häufg als Gefahr der ensetgen negatven Abwechung des realserten von enem erwarteten Ergebns defnert [Büsc98, S. 865]. Im Enklang mt deser Rskodefnton stehen Downsde-Rskomaße. Im Weteren werden daher als Vertreter deser Klasse von Rskokennzahlen de Quantls-abhänggen Maße des Value at Rsk und des

5 Condtonal Value at Rsk, verkürzend als VaR und CVaR bezechnet, näher betrachtet. Während der VaR den Verlust msst, der mt ener gegebenen Konfdenz-Wahrschenlchket am Ende enes bestmmten Zetntervalls ncht überschrtten wrd [z. B. Meye99, S. 2], gbt der CVaR, der auch als Tal Value at Rsk oder Expected Shortfall bezechnet wrd, den Verlust an, mt dem be Überschretung des VaR zu rechnen st, das heßt, der jensets des VaR m Vertelungsende erwartet wrd [vgl. z. B. Bert00, S. 8]. Werden belebge Portfolo-Vertelungen zugelassen und de Normalvertelungsannahme des Portfolowertes aufgehoben, so st der VaR ncht mehr subaddtv [ArDe99, S. 3]. Daraus folgt, dass der VaR n desem allgemenen Kontext de wchtge Voraussetzung der Konvextäts-Egenschaft ncht erfüllt auch ken kohärentes Rskomaß st. Ene (µ,var)-optmerung des Gesamtbank-Portfolos st damt ncht unbedngt lösbar, und der VaR st ncht zur ntegrerten Rskosteuerung des Gesamtbank-Portfolos geegnet. Dagegen lässt sch zegen, dass der CVaR en kohärentes und damt auch konvexes Rskomaß st [Tasc00; Bert00] und de genannten Anforderungen enes Rskomaßes für de Gesamtbanksteuerung erfüllt. Aus der Konvextät des CVaR folgt, dass de Optmerungsaufgabe der Maxmerung der erwarteten Returns unter Enhaltung ener Obergrenze für das Rsko über ener konvexen und ncht leeren Menge stets lösbar st. Weterhn lässt sch zegen, dass en (µ,cvar)-optmales Portfolo ener Erwartungsnutzen-Maxmerung rskoaverser Investoren entsprcht [Bert00, S. 7] und damt auch aus verallgemenerter portfolotheoretscher Scht funderte Ergebnsse lefert. Daher wrd der CVaR dem RRS-Grundmodell als Rskomaß zu Grunde gelegt. Da der CVaR den erwarteten Verlust jensets des VaR msst, bldet er ene obere Schranke für den VaR und stellt m Verglech zum VaR en konservatveres Rskomaß dar. Denn wrd für de (µ,cvar)-optmerung ene Rskoobergrenze ω vorgegeben, so beträgt der CVaR des optmalen Portfolos höchstens ω. Der VaR des optmalen Portfolos st defntonsgemäß klener oder glech dem der CVaR des Portfolos und hält damt de Rskoobergrenze ω auf jeden Fall auch en Modellannahmen für das RRS-Grundmodell Im RRS-Grundmodell wrd von den folgenden Modellannahmen ausgegangen: En Portfolo wrd als Vektor x der Nomnalvolumna der n Enzelpostonen x des Portfolos, x=(x,...,x n ) dargestellt. Dabe bedeuten m Folgenden fett gedruckte Buchstaben Vektoren. Zufallsabhängge Größen snd de Marktprese der enzelnen Postonen y zum Prognosehorzont. Jeder Poston x st der Marktpres y zugeordnet. De Marktprese werden m Vektor y=(y,...,y n ) zusammengefasst. Dabe wrd von enem lnearen Zusammenhang zwschen den Marktpresen und den enzelnen Portfolopostonen ausgegangen, das heßt, der Wert der -ten Portfolokomponente berechnet sch als y x und der Marktwert des Portfolos y x als

6 6 = n = y' x y x. () Weterhn se ene Verlustfunkton f(x,y) gegeben, de den Portfoloverlust n Abhänggket von der Entwcklung der Marktprese als negatve Abwechung des realserten von dem erwarteten Portfolowert msst. Se entsprcht damt dem her verwendeten Rskobegrff und wrd defnert als n f ( x, y) = E[ y]' x y'x = (E[ y] y) ' x = (E[y ] y ) x. (2) Dabe bezechne E[y] den Erwartungsvektor der Marktprese zum Prognosehorzont. En Verlust entsteht, wenn de Funkton f(x,y) größer als null st, d. h., wenn der realserte Portfolowert gernger als der erwartete st. West de Funkton f(x,y) dagegen enen negatven Wert auf, entsteht en Gewnn, da der realserte Wert größer als der erwartete st. = Im Folgenden wrd von enem Konfdenz-Nveau der Höhe, z. B. = 95% oder = 99%, ausgegangen. Der VaR und CVaR der Verlustfunkton f(x,y) zum Konfdenz-Nveau, de als VaR (x) und CVaR (x) bezechnet werden, lauten dann: VaR ( x ) = nf{z R P((f ( x, y)) z) }, (3) CVaR ( x ) = f ( x, y)p( y)dy. f ( x,y ) > VaR ( x) Dabe wrd verenfachend davon ausgegangen, dass de Dchtefunkton p(y) des Zufallsvektors y bekannt st. Dese Voraussetzung st für de rechnersche Umsetzung des RRS-Grundmodells kene notwendge Bedngung. Velmehr wrd dazu ene gemensame Stchprobe der Marktprese benötgt. De folgende Abbldung zegt de Verlustfunkton f(x,y) und de zugehörgen Rskomaße des VaR und des CVaR zum Konfdenz-Nveau :

7 7 Wahrschenlchketsdchte der Verlustfunkton f(x,y) Wahrschenlchket - 0 VaR (x) CVaR (x) Verlustfunkton f(x,y) Abbldung : Wahrschenlchketsdchte der Verlustfunkton f(x,y) der Portfoloverluste und zugehörge Quantls-abhängge Rskomaße VaR und CVaR 2.3 Formulerung des (µ,cvar)-optmerungsproblems Das (µ,cvar)-optmerungsproblem des Gesamt-Portfolos wrd n dre Schrtten entwckelt. Zunächst wrd m Schrtt das Ausgangsproblem der Optmerung auf Bass des CVaR formulert. Im Schrtt 2 wrd de CVaR-Nebenbedngung verenfacht und n Schrtt 3 das rechnersch umzusetzende Optmerungsproblem erarbetet. Schrtt : Formulerung des Ausgangsproblems En allgemenes Optmerungsproblem (P) zur Bestmmung enes (µ,cvar)- optmalen Portfolos lässt sch we folgt formuleren: (P) Maxmerung des erwarteten Portfolo-Return unter den Nebenbedngungen: Rskopotenzal des CVaR Rsko-Obergrenze, Betrachtung ausschleßlch zulässger Portfolos. Grundsätzlch lassen sch Rsko- und Return-Kennzahlen als absolute oder als relatve Größen zum Ausgangswert des Portfolos ausdrücken. Zur enhetlchen und endeutgen Darstellung wrd m Folgenden davon ausgegangen, dass sämtlche Rsko- und Erfolgsbeträge n absoluten Enheten gemessen werden. Der erwartete Portfolo-Return µ(x) wrd als lneare Funkton formulert, de jeder Enzelposton hren erwarteten Enzel-Return zum Prognosehorzont zuordnet. Ist

8 8 µ=(µ,...,µ n ) der Vektor der erwarteten Enzel-Returns µ, so lässt sch µ(x) darstellen als n µ ( x ) = µ' x = µ x. (4) = Dabe wrd angenommen, dass der Vektor µ als Inputgröße gegeben st, ndem bespelswese Schätzgrößen für de erwarteten Enzel-Returns vorlegen. In der allgemenen Form lässt sch das Optmerungsproblem (P) we folgt formuleren [UrPa99, S. 0]: (P) (5) Maxmere: µ(x) Unter den Nebenbedngungen: () () CVaR ( ) = x f (, )p( )d x y y y f ( x, y) > VaR ( x) x ω, X. Dabe bezechnet ω de Obergrenze für das Rskopotenzal und X de Menge der zulässgen Portfolos. Generell st vorauszusetzen, dass n de Optmerung nur zulässge Portfolos enbezogen werden, de durch de Menge X vorgegeben werden. Wrd dese nur durch lneare Nebenbedngungen gebldet, de sch bespelswese aus der Vorgabe von Volumenunter- und -obergrenzen für de enzelnen Portfolo-Komponenten ergeben, dann stellt X ene konvexe Menge, genauer en konvexes Polyeder, dar [z. B. Kall76, S. 28]. De Voraussetzung st wchtg dafür, dass das Optmerungsproblem lösbar st und wrd m Folgenden als gültg angenommen. Schrtt 2: Verenfachung des Optmerungsproblems mt ener Hlfsfunkton Zur Lösung der Optmerungsaufgabe wrd das Optmerungsproblem schrttwese verenfacht. Dazu wrd de folgende Hlfsfunkton F (x,α) verwendet: F ( x, α) = α + (f ( x,y) α)p( y)dy. (6) f ( x,y ) >α Dabe st α ene belebge reelle Zahl. Der Integrand wrd nur für postve Dfferenzen betrachtet, das heßt, wenn f(x,y) größer st als α. Für de Funkton F (x,α) lassen sch de folgenden Zusammenhänge zegen [Urya00, S. 2]: () F (x,α) st konvex n α. (2) Der Value at Rsk VaR (x) st Mnmumstelle von F (x,α) n α.

9 (3) Ene Mnmerung von F (x,α) nach α lefert den Wert CVaR (x). Daher glt: CVaR ( x) = mn F ( x, α) F ( x, VaR ( x)). (7) = α Das heßt, dass man den CVaR enes Portfolos x berechnen kann, ndem man de Funkton F (x,α) über alle reellen Zahlen α mnmert. Der Wert der Funkton st m Optmum glech dem CVaR, und deses Optmum wrd an der Stelle des VaR des Portfolos x zum selben Konfdenz-Nveau angenommen. De Lösbarket der Mnmerung st dadurch schergestellt, dass de Funkton F (x,α) konvex sowohl n α als auch n x st, wenn de Verlustfunkton f(x,y) konvex st. Des st her der Fall, da f(x,y) als lneare und damt auch als ene konvexe Funkton defnert wurde. Mnmert man nun de Funkton F (x,α) über alle α R und glechzetg über alle zulässgen Portfolopostonen x, so erhält man en Portfolo x mt mnmalem CVaR und glechzetg als Wert α den zugehörgen Value at Rsk [Urya00, S. 3]: mn CVaR ( x) = mn F ( x, α) = F(x, α ) = F ( x, VaR ( x )). (8) x X ( x, α) X R Der Vortel der Funkton F (x,α) legt also darn, dass nur en enzger Optmerungsvorgang erforderlch st, um zu gegebenem Rskonveau das Portfolo mt dem mnmalen CVaR und glechzetg den zugehörgen VaR zu ermtteln. Mt Hlfe der Funkton F (x,α) lässt sch das folgende Optmerungsproblem (P2) formuleren: (P2) Maxmere: µ(x) (9) Unter den Nebenbedngungen: 9 () () () F ( x, α) = α + f ( x, y) >α (f ( x, y) α)p( y)dy x α ω, X, R. Es lässt sch zegen, dass das Optmerungsproblem (P2) äquvalent zu (P) st: Wenn (x, α ) das Optmum von (P2) st, dann st x optmale Lösung von (P) und α entsprcht dem zugehörgen VaR des (µ,cvar)-optmalen Portfolos. Schrtt 3: Rechnersche Umsetzung des Optmerungsproblems Da de Dchtefunkton des Marktpresvektors y n der Regel ncht bekannt st [UrPa99, S. 8 f.], st es das Zel des Schrtt 3, de Funkton F (x,α) durch ene Schätzfunkton darzustellen und ene Lösung des Problems (P2) zu approxmeren.

10 0 Um dabe de rechnersche Umsetzung zu erlechtern, wrd das Problem n en lneares Optmerungsproblem (P3) überführt. Zunächst wrd de Funkton F (x,α) durch enen Schätzer ersetzt, der glechzetg den Verzcht auf de Annahme ener analytschen Dchtefunkton der zu Grunde legenden Portfolovertelung erlaubt. Voraussetzung deser Approxmaton st, dass ene Stchprobe y,...,y J vom Umfang J für den Marktpresvektor y vorlegt. An deser Stelle geht de m Kaptel getroffene Modularserungs-Annahme en. Auf Bass der Zufallsstchprobe lässt sch de Funkton F (x,α) relatv enfach ~ durch ene Summenfunkton F (, α x ) approxmeren. Aus den J Stchprobenwerten werden zunächst de zugehörgen Verlustrealsatonen f(x,y ),...,f(x,y J ) berechnet. ~ De Summenfunkton F (, α x ) wrd we folgt defnert: ~ F J( ) J + ( x, α) = α + (f ( x, y j ) α). (0) j= Dabe bedeutet b + ~ =max{0;b}. F (, α x ) entsprcht der Summe aus α und dem gewchteten Durchschntt der Verlustrealserungen jensets des Wertes α, das heßt, aller postven Dfferenzen f(x,y) mnus α. Unter Verwendung der Näherung ~ F (, α x ) ergbt sch das folgende Optmerungsproblem (P2 ) als Näherung des Optmerungsproblems (P2): (P2 ) () Maxmere: µ(x) Unter den Nebenbedngungen: () () () ~ F (, α) = α + x J( ) J j= (f ( x, y ) α) j + x α ω, X, R. Das Problem (P2 ) wrd nun n en lneares Optmerungsproblem transformert, ~ ndem de Funkton F (, α x ) durch en System lnearer Nebenbedngungen ersetzt wrd. Dazu werden J Hlfsvarablen z,...,z J defnert: z f ( x, y ) α, z 0, j,...,j. (2) j j j = Für de j-te Stchprobenrealsaton glt, dass z j größer oder glech dem Ausdruck f(x,y j )-α und glechzetg größer oder glech 0 st, also n jedem Fall größer oder glech dem j-ten Summand (f(x,y j )-α) + ~ n dem Schätzer F (, α x ). Daher ergbt sch für de Summe

11 α + J( ) J z j j=, (3) ~ dass dese stets größer oder glech dem Schätzer F (, α) x st und für desen ene obere Schranke bldet: ~ F ( x, α) = α + J( ) j α + J( ) J = J (f ( x, y ) α) j= z. j j Unter Verwendung der Hlfsvarablen z j, j=,...,j lässt sch damt das folgende Optmerungsproblem (P3) formuleren, dessen Lösung auf Grund der vorhergehenden Überlegungen auch Lösung von (P2 ) st: + (4) (P3) Maxmere µ(x) (5) Unter den Nebenbedngungen: () () () (v) (v) α + J z j ( ) J j= f ( x, y j ) α z j x α ω, z j, 0, X, R. j =,...,J, j =,...,J, Deses Optmerungsproblem besteht nur aus lnearen Nebenbedngungen und ener lnearen Zelfunkton, stellt also nsgesamt en lneares Optmerungsproblem dar. 3 Lösung des Optmerungsproblems 3. Lösungsverfahren für das Optmerungsproblem Lneare Programme lassen sch mt dem Smplex-Algorthmus lösen, der auf der Grunddee beruht, dass das Optmum auch n ener Ecke des Polyeders der zulässgen Lösungen angenommen wrd [z. B. Kall76]. Im Smplex-Verfahren wrd ene Folge zulässger Basslösungen, das heßt, Ecken des Polyeders X, betrachtet. Es wrd geprüft, ob sch der Wert der Zelfunkton bem Übergang von ener Ecke zu ener benachbarten verbessern lässt. Sofern das Optmerungsproblem lösbar

12 2 und de Zelfunkton über der Menge der zulässgen Punkte beschränkt st, termnert das Verfahren, wenn der Wert n kener anderen Basslösung mehr verbessert werden kann. Dann st das Optmum errecht. Das her vorlegende Optmerungsproblem der Form (P3) west de folgende Struktur auf: Es besteht aus - n Entschedungsvarablen für en Portfolo aus n Enzelpostonen, - ener Nebenbedngung für de Verlustrsko-Begrenzung, - J Hlfsvarablen z j, j=,...,j, - 2J Nebenbedngungen für de Hlfsvarablen z j, j=,...,j, - ener freen Varable α, - weteren Nebenbedngungen für de Volumenrestrktonen x X; wrd bespelswese für jede Komponente ene Ober- und ene Untergrenze formulert, so kommen 2n Nebenbedngungen hnzu. In desem Fall besteht das Optmerungsproblem somt aus nsgesamt n Entschedungsvarablen, J+ freen Varablen und +2J+2n Nebenbedngungen. De Struktur des Optmerungsproblems hängt damt m Wesentlchen vom Stchprobenumfang J der Szenarosmulaton und von der Anzahl der Portfolokomponenten n ab. Uryasev wählt n verschedenen Untersuchungen enen Stchprobenumfang von Szenaren und zegt, dass sch de optmale Lösung mt weng Rechenaufwand berechnen lässt [Urya00]. So benötgt en Problem der Form (P3) mt.000 Portfolopostonen und Szenarosmulatonen unter Anwendung des CPLEX LP Solver auf enem 300 MHz PC wenger als ene Mnute Rechenzet. 3.2 Rsk-/Return-Kennzahlen für das optmale Portfolo a) Rsk-/Return-Kennzahlen auf Portfoloebene Das Optmerungsproblem (P3) lefert ene optmale Lösung x =(x,...,x n ). Das bedeutet, dass das Portfolo x den erwarteten Portfolo-Return maxmert, dabe de Rsko-Nebenbedngungen enhält und dass x m zulässgen Berech x X legt. x stellt ene Approxmaton des (µ,cvar)-optmalen Portfolos des Ausgangsproblems (P) dar. Für das Portfolo x lassen sch de folgenden Rsk- /Return-Kennzahlen schätzen: Erwarteter Return (x n ) = µ( x ) = µ' x = µ x CVaR (x ) RORAC(x ) α + ( ) J = J j= z j n µ x µ ( x ) = = J CVaR ( x ) α + ( ) J j= z j Tabelle : Rsk-/Return-Kennzahlen des Rsk-/Return-optmalen Portfolos

13 b) Rsk-/Return-Kennzahlen auf Ebene der Enzelpostonen Weterhn lassen sch aus dem optmalen Gesamt-Portfolo Rsk/Return- Kennzahlen der enzelnen Komponenten berechnen. Der erwartete Return der -ten Portfoloposton entsprcht dem -ten Summand des Portfolo-Return und st glech µ x. Problematscher st de Berechnung des Rskobetrags der -ten Portfoloposton. De Schwergket legt darn, den Enzelpostonen Portfolo- Dversfkatonseffekte verursachungsgerecht zuzurechnen. Der Rskobetrag der Enzelposton muss den Antel aller Portfoloeffekte berückschtgen, der auf de jewelge Enzelposton zurückzuführen st. Da sämtlche Rskobeträge zur Verlustrskodeckung mt Rskokaptal zu unterlegen snd, st de Problematk Berechnung der Rskobeträge glechbedeutend mt der Frage der Allokaton von Rskokaptal auf de Enzelpostonen. Es st folglch en Allokatonsverfahren für das ökonomsche Kaptal festzulegen, das ene rskoadjusterte Kaptalallokaton m Gesamt-Portfolo scherstellt. Sowohl [Tasc99, S. 9 ff.] als auch [DeDe00] zegen, dass nur ene Kaptalallokaton nach dem Euler-Prnzp zu ener rskoadjusterten und effzenten Kaptalallokaton m Gesamt-Portfolo führt. Das Euler-Prnzp beruht auf der Eulerschen Relaton, enem allgemenen analytschen Zusammenhang homogener Funktonen, deren partelle Abletungen exsteren. Im Folgenden wrd das Euler-Prnzp auf en homogenes Rskomaß ρ(x) vom Grad angewendet und lautet: n ρ( x) ρ( x ) = x. (6) = x De Voraussetzung der Homogentät des Rskomaßes vom Grad ens besagt dabe, dass sch, wenn de Poston x um t vervelfacht wrd, auch deren Rsko um t vergrößern muss. Aus der Glechung (6) geht hervor, dass sch das Gesamtrsko enes Portfolos als Summe der Enzelrsken darstellen lässt. De enzelnen Summanden snd gerade de Rskobeträge der Enzelpostonen, de sch aus den Enzelvolumna, gewchtet mt den Abletungen des Portfolo-Rskos nach der jewelgen Portfolo-Komponente ergeben. Ene wchtge Egenschaft des Euler- Prnzps legt damt darn, dass es ene addtve Auftelung des Gesamtrskos auf de enzelnen Portfolo-Komponenten ermöglcht und dabe alle auftretenden Portfolo-Effekte berückschtgt. Weterhn zegt Glechung (6), dass de Rskobeträge der Enzelpostonen von der Zusammenseztung des Portfolos abhängen. Verändert sch der Portfolovektor x, so ergeben sch auch neue Rskobeträge der Enzelpostonen. Es lässt sch zegen, dass das Rskomaß des CVaR de Voraussetzungen für ene Anwendung des Eulerprnzps erfüllt [Tasc99]. De partelle Abletung des CVaR nach der -ten Komponente berechnet sch als Abwechung des bedngten Erwartungswerts der -ten Komponente vom Erwartungswert der -ten Komponente: 3

14 4 CVaR ( ) x = E[y ] E[y f ( x,y) VaR ( x)]. (7) x Der Ausdruck E[y ] kann als Durchschntt aller Stchprobenwerte der -ten Komponente, der bedngte Erwartungswert E[y f(x,y) VaR (x)] als Durchschntt der Stchprobenwerte der -ten Komponente m Vertelungsende geschätzt werden. Der CVaR bestzt damt de wetere wünschenswerte Egenschaft, dass sch de partellen Abletungen aus der als Input gegebenen Stchprobe y,..,y J enfach schätzen lassen. Insgesamt lassen sch damt de folgenden Rsk-/Return-Kennzahlen für de -te Portfolo-Komponente berechnen: Erwarteter Return (x ) = µ x Rskobetrag (x ) = x { } = E[y ] E[y f ( x, y) VaR ( x )] x RORAC (x ) Tabelle 2: CVar ( x ) x µ x = CVaR ( x ) x x µ = E[y ] E[y f ( x,y) VaR ( x )] Rsk-/Return-Kennzahlen der -ten Poston des optmalen Portfolos Betrachtet man en Gesamtbank-Portfolo, so können de Rsk-/Return-Kennzahlen der Proft Center auf enfache Wese berechnet werden, ndem de Erfolgs- bzw. Rskobeträge der zu enem Proft Center gehörenden Enzelpostonen addert werden. Das Rsk-/Return-Grundmodell lefert nsofern enfache Algorthmen zur Berechnung konsstenter Rsk-/Return-Planvorgaben für de Proft Center, de optmale Rsk-/Return-Strukturen auf allen Steuerungsebenen scherstellen und sch zum Gesamtbank-Planportfolo aggregeren lassen. Insbesondere entstehen durch de Anwendung des Euler-Prnzps Rskokaptal-Beträge, de sch zum Gesamtrskokaptal adderen lassen und dabe sämtlchen Portfolo-Effekten Rechnung tragen. 4 Anwendung des RRS-Grundmodells auf das Gesamtbank-Portfolo Im Folgenden werden Aspekte der Anwendung des RRS-Grundmodells auf en Gesamtbank-Portfolo skzzert, de n [The0] ausführlch dargestellt werden. Zunächst werden elementare Modellannahmen und anschleßend

15 Ensatzmöglchketen für ene Anwendung des RRS-Grundmodells n der Gesamtbank-Steuerung aufgezegt Modellannahmen für de Anwendung des RRS- Grundmodells auf das Gesamtbank-Portfolo Das Gesamtbank-Portfolo wrd als Vektor der Nomnalvolumna der Enzelgeschäfte abgebldet, de nach verschedenen Merkmalen aggregert werden, de zur Ergebns- und Rskobewertung notwendg snd, bespelwese nach Restlaufzeten, Währungsarten, Ratng-Klassen und nach der Proft Center- Zugehörgket. Dabe st letztere für de Aggregaton der Rsk-/ Return-Kennzahlen auf Proft Center-Ebene erforderlch. Als Entschedungsvarable enes Optmerungsmodells für das Gesamtbank-Portfolo wrd das Neugeschäft des betrachteten Prognosezetraumes modellert. Für das Neugeschäft können dabe sowohl postve als auch negatve Werte zugelassen werden, d. h., dass Geschäftszuwachs und -abschmelzung berückschtgt werden. Das Bankergebns wrd durch verschedene Größen beenflusst. Enersets snd de erwarteten Margen, das heßt, de erwarteten Deckungsbeträge, anderersets de erwarteten Wertveränderungen zu berückschtgen. De Return-Funkton leße sch bespelswese we folgt defneren: Maxmere de Summe der Marktwertänderungen des gesamten Portfolos und der erwarteten Ergebnsbeträge des Neugeschäfts. Jede Enzelgeschäftsart wrd hnschtlch hrer Wertveränderungen auf Grund sowohl der Marktpres- als auch der Bontätsveränderungen solert berückschtgt. Des kann dadurch errecht werden, dass jede Enzelgeschäftsart doppelt dargestellt wrd, nämlch jewels enmal pro betrachteter Rskoart. Der Portfolo-Vektor der Gesamtbank verdoppelt sch dadurch gegenüber sener ursprünglchen Länge. Damt erhalten der Entschedungsvektor x und der Marktpresvektor y de folgende Gestalt: x... x n x = x n... x + 2n = x = x n Nomnalvolumna x,...,x n Nomnalvolumna x,...,x n MR y... MR y n y = KR y... KR y n Marktrskoabhängge Prese Kredtrskoabhängge Prese Abbldung 2: Marktpres- und Kredtrsko-Komponenten m Gesamtbank-Portfolo- Optmerungsmodell

16 6 Damt ergbt sch, dass n der Verlustfunkton f(x,y)=e[y] x-y x n den ersten n Summanden de Verluste auf Grund von Marktpresveränderungen, n den zweten n Summanden de Verluste auf Grund von Bontätsveränderungen berechnet werden und sch auf dese Wese Marktpres- und Kredtrskoeffekte soleren lassen. Entsprechend st der Margenvektor µ = (µ,...,µ 2n ) der Return-Funkton zu modelleren. Gemäß dem Prnzp der Marktznsmethode snd n den ersten n Komponenten de erwarteten Strukturbeträge, de der Treasury-Enhet zugerechnet werden, n den zweten n Komponenten de erwarteten Kondtonsbeträge zu berückschtgen, de den Proft Centern zugeordnet werden [Sch97, S. 72 ff.; The0, S. 53 ff.]. Im RRS-Grundmodell werden aufschtsrechtlche und nterne Verlustrskorestrktonen und dadurch bede Kaptalressourcen, das ökonomsche und das regulatorsche Kaptal, glechzetg berückschtgt. Dazu snd de Rskobegrenzungsregeln des Grundsatzes I als Nebenbedngungen des Optmerungsmodells abzublden. De Egenkaptalunterlegung der Rskoaktva kann durch ene lneare Nebenbedngung dargestellt werden. Wrd en nternes Modell für de Rskobegrenzung des allgemenen Marktrskos verwendet, kommt ene CVaR-Nebenbedngung für das Marktrsko der Handelsbuchpostonen hnzu. Be Verwendung des Standardverfahrens ergbt sch ene wetere lneare Nebenbedngung für de Handelsbuch-Postonen. Das allgemene Marktrsko, das Kontrahenten- und das spezfsches Rsko werden n der Summe durch de freen Drttrangmttel begrenzt, de durch ene vorgegebene Relaton zum freen Kernund Ergänzungskaptal beschränkt werden [Büsc98, S. 06 ff.]. 4.2 Anwendungsmöglchketen des RRS-Grundmodells n der Gesamtbanksteuerung Im Folgenden soll an enem stark verenfachten Bespel gezegt werden, we das RRS-Grundmodell als Planungsnstrument engesetzt werden kann, um für das nächstfolgende Geschäftsjahr en Rsk-/Return-optmales Planportfolo zu bestmmen, welches das erwartete Bankergebns maxmert und dabe de vorhandenen Kaptalressourcen des ökonomschen und des regulatorschen Kaptals bestmöglch nutzt. In [The0] wrd dazu en Anwendungsbespel betrachtet. Ene Bespel-Bank führt ver Kredtpostonen unterschedlcher Ratngs und Korrelatonen sowe ene Handelsposton. De für de Planung zuständge Abtelung erhält von der Geschäftsführung de Aufgabe, en Rsk-/Returnoptmales Portfolo für das folgende Geschäftsjahr zu berechnen, das den erwarteten Unternehmenserfolg maxmert und dabe de derzet verfügbaren Egenmttel- und Rskokaptal-Ressourcen bestmöglch nutzt. Es stehen m Planungszetraum nsgesamt aufschtsrechtlche Egenmttel von 32,00 E zur Verfügung, de derzet nahezu maxmal ausgelastet snd. Für den Ensatz des

17 Rskokaptals zur nternen Rskosteuerung snd bslang ncht publzerte stlle Reserven verfügbar. Das aktuelle Rskonveau der nternen Rskosteuerung legt be 76,9 E. Das nterne Rskonveau könnte bs auf 99,00 E ausgewetet werden. Der Vorstand der Bespel-Bank wünscht ene Empfehlung, n welcher Höhe m Planungszetraum Rskokaptal zur Rskosteuerung engesetzt werden soll, um möglchst hohe Rsk-/Return-Relatonen und ene Mndest-Rskorentabltät von 4,00% zu errechen. De Planungsabtelung wendet das RRS-Grundmodell zur Berechnung alternatver Rsk-/Return-optmaler Planportfolos an, ndem se de Obergrenze ω für das nterne Rskonveau des CVaR varert. Se führt Optmerungen m Intervall der CVaR-Rskonveaus von 60,06 E, das dem Volumen-mnmalen Portfolo entsprcht, bs 99,40 E, das dem Volumen-maxmalen Portfolo entsprcht, durch und untersucht de durch de verschedenen Rskonveaus entstehenden Effzenzlnen und de RORAC-Relatonen n dem Beobachtungsntervall. Um de Auswrkungen der aufschtsrechtlchen Rsko-Nebenbedngungen schtbar zu machen, werden de Optmerungen m Fall A ohne, m Fall B mt Berückschtgung der aufschtsrechtlchen Rsko-Restrktonen durchgeführt. Es ergeben sch de folgenden Effzenzlnen [vgl. The0, S. 27]: 7 Erwartetes Ergebns (absolut) 3,00 2,00,00 0,00 9,00 Ausgangsportfolo 8,00 P P2 60,00 70,00 80,00 90,00 00,00 CVaR (absolut) Fall A Fall B P: CVaR=73,03 E P2: CVaR=87,23 E Abbldung 3: Effzenzlnen des Bespelportfolos De beden Effzenzlnen der Optmerungen n den Fällen A und B wesen bs zu dem Punkt P, der dem Rskonveau von 73,03 E entsprcht, enen dentschen Verlauf auf. Rechts deses Rskonveaus wrd de Egenmttel-Restrkton wrksam. Auf Grund der zusätzlchen Rsko-Nebenbedngung kommt es m Fall B zu ener Ergebnsreduzerung gegenüber den Optmerungen m Fall A. Ab dem Rskonveau P2 blebt de Auslastung der CVaR-Bedngung m Fall B konstant. Das bedeutet, dass das ökonomsche Kaptal ab dem Punkt P2 auf Grund der aufschtsrechtlchen Nebenbedngung ncht vollständg genutzt werden kann. Das

18 8 erwarte Portfolo-Ergebns blebt ab dem Rskonveau P2 konstant, während es m Fall A bs auf 3,5 E am rechten Intervallrand stegt. Das bedeutet, dass be der fest vorgegebenen Egenmttelhöhe das gewählte Rskonveau der nternen Rskosteuerung de maxmale Auslastung des ökonomschen und des aufschtsrechtlchen Kaptals und das maxmal errechbare Ergebns bestmmt. Wrd das nterne Rskonveau zu nedrg festgelegt, wrd das regulatorsche Kaptal ncht vollständg genutzt. Wrd es zu hoch gewählt, kann es auf Grund der aufschtsrechtlchen Rsko-Nebenbedngungen ncht vollständg genutzt werden. Nur m Berech zwschen den Rskonveaus P und P2 werden bede Kaptalressourcen maxmal genutzt. Zusätzlche Analysen der Rsk-/Return-Relatonen zegen, dass de Rsk-/Return- Rentabltät des Gesamtbank-Portfolos ncht unbedngt durch ene Erhöhung des engesetzten Rskokaptals erhöht werden kann. Maxmale RORAC-Größen ergeben sch m Berech nterner Rskonveaus von 68,97 E bs 7,00 E, und de unternehmenswet geforderte Mndest-Rskorentabltät von 4,00% kann m Intervall des mnmalen Rskonveaus von 60,06 E bs zur Höhe ener CVaR- Obergrenze von 83,00 E errecht werden. De Volumen-Entwcklungen und Rsk-/Return-Relatonen der Enzelpostonen lassen darüber hnaus erkennen, dass de Rangfolge der Rsk-/Return-Relatonen bezüglch der jewels knappen Kaptalressource de Zusammensetzung der optmalen Lösung bestmmt. Ist de nterne Rsko-Nebenbedngung aktv, bestmmt de RORAC-Rangordnung der Enzelpostonen de Zusammensetzung der optmalen Portfolos. Ist de aufschtsrechtlche Rsko-Nebenbedngung aktv, so beenflussen zusätzlch de RoE-Rangfolgen der Enzelpostonen de Zusammensetzungen des optmalen Portfolos. Dabe bedeutet RoE der Return on Equty, d. h. den Erfolgsbetrag je ener Enhet gebundener Egenmttel. Auf Grund der Beobachtungen aus den Anwendungen des RRS-Grundmodells lefert de Planungsabtelung dem Vorstand de folgenden Informatonen. In dem Berech nterner Rskonveaus zwschen P und P2, d. h. m Intervall enzusetzenden Rskokaptals von 73,03 E und 87,23 E, können bede Ressourcen des regulatorschen und des ökonomschen Kaptals vollständg genutzt werden. De höchsten Rsk-/Return-Relatonen ergeben sch m lnken Berech deses Intervalls. Da ene Reduzerung des derzetges Rskonveaus von 76,9 E mt enem Rückgang des absoluten Ergebnsses verbunden wäre, empfehlt de Planungsabtelung, das derzetge Rskonveau auch m kommenden Geschäftsjahr bezubehalten. Durch de Optmerung der Geschäftsstruktur zu dem aktuellen Rsko-Nveau kann das erwartete Ergebns gegenüber dem derzetgen Portfolo von 0,65 E auf 0,96 E gestegert und nsgesamt ene Rsk-/Return-Rentabltät von 4,39% errecht werden, welche de geforderte Mndest-Rentabltät von 4,00% übertrfft. Weterhn werden als Planvorgaben de Ergebns-Zele und de Rskokaptal-Lmte für de Proft Center ermttelt, ndem de Rsk-/Return-

19 Kennzahlen auf Enzelpostons-Ebene entsprechend der Tabelle 2 berechnet und auf Proft Center-Ebene aggregert werden. 9 5 Bewertung des RRS-Grundmodells und Fazt Das dargestellte Grundmodell erlaubt ene Rsk-/Return-orenterte Portfolo- Optmerung und kann zu enem Optmerungsmodell für das Gesamtbank- Portfolo erwetert werden. Für das optmale Portfolo lassen sch Rsk-/Return- Kennzffern auf Portfolo- und Enzelpostons-Ebene berechnen. Das Optmerungsmodell basert auf dem Rskomaß des CVaR, enem konvexen und kohärenten Rskomaß. Damt wrd de Exstenz und Endeutgket der Lösung der (µ,cvar)-optmerungsaufgabe geschert, de n Enklang mt der Erwartungsnutzen-Maxmerung enes rskoaversen Investors steht und sch damt aus portfolotheoretscher Scht funderen lässt. De Kaptalallokaton basert auf dem Euler-Prnzp, wodurch ene rskoadjusterte und Rsk-/Return-effzente Vertelung des Rskokaptals errecht wrd. Aus den Rskobeträgen der Enzelpostonen lassen sch Rskokaptal-Beträge der Telportfolos bzw. Proft Center durch enfache Addton ermtteln. Das RRS-Grundmodell hat den Charakter enes EDV-bezogenen Fachkonzepts. Es defnert ene Schnttstelle zwschen der ntegrerten Rskomessung und -steuerung und löst de Frage der ntegrerten Rsk-/Return-Steuerung unabhängg von den Problemen der ntegrerten Messung der Markt- und Kredtrsken. Es stellt aus rechnerscher Scht kene weteren Anforderungen an de Beschaffenhet der Input- Daten und de Abbldung der betrachteten Geschäftsarten. Enzge Voraussetzung st jedoch, dass für jede betrachtete Enzelposton Marktprese ermttelbar sen müssen. Dadurch wrd ene wesentlche Schwergket der praktschen Anwendung des RRS-Verfahrens, de Beschaffung der Input-Daten, ncht gelöst. Es ergbt sch jedoch der Vortel, dass das RRS-Verfahren n der Praxs unabhängg von den jewels mplementerten Rskomessverfahren umgesetzt werden kann. Das RRS-Verfahren wrd ganz bewusst als Grundmodell bezechnet. Es west de Struktur enes völlg neuen Modelltyps auf, dessen spezfsche Lestungsfähgket anhand von Bespelrechnungen demonstrert wurde. Bevor es m Planungsprozess ener Bank praktsch angewandt werden kann, snd aber noch erheblche Vorarbeten zu lesten, nsbesondere de Genererung der erforderlchen Input- Daten. Es wrd dann de Durchführung verschedener Gesamtbank-Portfolo- Optmerungen unter alternatven Rahmenbedngungen ermöglchen, auf deren Grundlage sch de berechneten Planportfolos verglechen und de resulterenden Rsk-/Return-Strukturen sowohl auf Gesamtbank- als auch auf Proft Center- und Enzelpostons-Ebene analyseren lassen. Es können Bereche nterner Rskonveaus festgestellt werden, de maxmale Rsk-/Return-Relatonen m Portfolo bzw. bestmöglche Kaptalausnutzungen des ökonomschen und des

20 20 regulatorschen Kaptals erlauben. Weterhn können de Auswrkungen der Egenmttel-Restrktonen auf de nterne Rsk-/Return-Steuerung transparent gemacht werden. Das RRS-Verfahren lefert damt funderte Entschedungsempfehlungen für ene Rsk-/Return-orenterte Gesamtbank- Steuerung. Lteraturverzechns [ArDe99] Artzner, Ph.; Delbaen, F.; Eber, J.-M.; Heath, D., Coherent Measures of Rsk, n: Mathematcal Fnance,Vol. 9, No. 3 (July 999), S [Barn00] Barnhll, Theodore; Panagots, Papanagotou; Schumacher, Llana, Measurng Integrated Market and Credt Rsks n Bank Portfolos: An Applcaton to a Set of Hypothetcal Banks Operatng n South Afrca, Internatonal Monetary Fund (Hrsg.): IMF Workng Paper WP/00/2, December [Bert00] Bertsmas, Dmtrs; Lauprete, Geoffrey J.; Samarov, Alexander, Shortfall as a rsk measure: propertes, optmzaton and applcatons, Workng Paper, Sloan School of Management and Operatons Research, Massachusetts Intsttute of Technology, Cambrdge, MA, October [Büsc98] Büschgen, Hans E., Bankbetrebslehre: Bankgeschäfte und Bankmanagement, 5. Auflage, Wesbaden 998. [CuH0] Cummng, Chrstne M.; Hrtle, Beverly J., The Challenges of Rsk Management n Dversfed Fnancal Companes, Federal Bank of New York (Hrsg.), Economc Polcy Revew, March 200, S. -7. [DeDe00] Delbaen, Freddy; Denault, Mchel, Coherent allocaton of rsk captal, RskLab, Swss Federal Insttute of Technology, Zürch (Hrsg.), Workng Paper, Revson, August [Isco99] Iscoe Ian; Krenn Alex; Rosen, Dan, An Integrated Market and Credt Rsk Portfolo Model, Algo Research Quarterly, Vol. 2, No. 3 September 999, S [JPMo97] J. P. Morgan - Morgan Guaranty Trust Company, Rsk Management Research (Hrsg.): CredtMetrcs TM The benchmark for understandng credt rsk, New York, Aprl 997. [Kall76] Kall, Peter, Mathematsche Methoden des Operatons Research - Ene Enführung, n: Görtler, H. (Hrsg.), Letfäden der angewandten Mathematk und Mechank LAMM, Band 27, Stuttgart, 976. [Meye99] Meyer, Chrstoph, Value at Rsk für Kredtnsttute: Erfassung des aggregerten Marktrskopotentals, Wesbaden 999. [Sch97] Scherenbeck, Henner, Ertragsorentertes Bankmanagement: Band : Grundlagen, Marktznsmethode und Rentabltäts-Controllng, 5. Auflage, Wesbaden 997.

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