( 1) k z 2k+1 (2k +1)! ln(1+z) = ( 1) k+1zk. k=1. (ix) 2k (2k +1)! = cos(x)+isin(x).

Transkript

1 Kapitel 3 Holomorphe Fuktioe 3. Exkurs: Kovergez vo Reihe Im vorige Paragraphe wurde gezeigt, dass jede holomorphe Fuktio beliebig oft komplex differezierbar ist. Aber es gilt sogar och mehr, ma ka eie holomorphe Fuktio ämlich lokal immer i eie komplexe Taylorreihe etwickel. Hier zuächst eiige Beispiele, auf die wir später och zurückkomme werde. 3.. Beispiele Die Reiheetwickluge der komplexe Expoetialfuktio ud der komplexe trigoometrische Fuktioe laute wie im Reelle auch für z C: e z = z k k!, si(z) = ( ) k z 2k+ (2k +)! cos(z) = ( ) k z2k (2k)!. Die Logarithmusreihe kovergiert, falls z < ist. l(+z) = ( ) k+zk k Setze wir i die Expoetialreihe für z eie rei imagiäre Zahl ix (x R) ei, so bestätigt sich wieder die Eulersche Formel e ix = cos(x)+isi(x), de: e ix = (ix) k k! = (ix) 2k (2k)! + (ix) 2k+ (2k +)! = cos(x)+isi(x). Bevor wir die Taylorreihe geauer aschaue, sollte wir och eimal die wichtigste Aussage im Zusammehag mit Kovergez vo reelle Reihe rekapituliere ud dabei is Komplexe übertrage Defiitio Sei (a k ) k N eie Folge komplexer Zahle. We die Folge der Teilsumme s := a k (für N) gege eie Zahl s C kovergiert, so sagt ma, die uedliche Reihe mit de Summade a k kovergiere gege s ud schreibt dafür: a k = lim a k = s. DieNotatio bezeicheteierseitsdieteilsummefolge,adererseitsaberauch de Grezwert, falls er existiert. Die Summatio ka auch scho bei k = 0 oder erst bei k = k 0 (für ei k 0 N) begie.

2 40 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe 3..3 Beispiele Diegeometrische Reihefüreie Zahlq C mit q < kovergiert gege folgede Grezwert: q k = q. Promiet ist auch die sogeate Teleskopreihe, die gege kovergiert: k=2 k(k ) = lim ( k=2 k k ) = lim ( ) =. Die harmoische Reihe dagege kovergiert icht. Sie ist diverget, de k die Folge der Teilsumme wächst ubeschräkt. Eie otwedige Bedigug für Kovergez ist folgede: 3..4 Satz Ist die Reihe a k koverget, so ist die Folge der Summade a k eie Nullfolge: lim k a k = 0. Beweis. Nehme wir a, die Reihe kovergiere gege de Grezwert s. Sei ǫ > 0 vorgegebe. Da gibt es ei N N, so dass für alle Teilsumme s mit N gilt s s < ǫ. Daraus folgt 2 a + = s + s s + s + s s < ǫ für alle N. Also kovergiert die Folge der a wie behauptet gege Null. q.e.d. Diese Beobachtug ka ma verwede um zu schliesse, dass gewisse Reihe icht kovergiere Beispiel Istz Cmit z =,sokovergiertdiegeometrischereihe zk icht. De i diesem Fall ist a k = z k ud a k = z k = für alle k. Die Folge (a k ) ka also keie Nullfolge sei. Eie besoders robuste Form vo Kovergez ist die sogeate absolute Kovergez, bei der sogar Umorduge der Reihe ichts am Grezwertverhalte äder Satz Sei(a k ) k N eiefolgekomplexer Zahle.KovergiertdieReihe,gebildet aus de Absolutbeträge a k, so kovergiert auch die ursprügliche Reihe a k. I diesem Fall spricht ma vo absoluter Kovergez Beispiel Die geometrische Reihe ( 2 )k mit dem Grezwert 2 ist absolut koverget, de die aus de Absolutbeträge gebildete Reihe ist wiederum 3 geometrisch ud kovergiert gege 2.

3 3.. Exkurs: Kovergez vo Reihe 4 Beweis. (vo Satz 3..6) Zerlege wir die komplexe Summade jeweils i Realud Imagiärteil, so erhalte wir zwei reelle Reihe, die wir separat betrachte köe. Es reicht also aus, die Behauptug für eie Folge reeller Zahle (a k ) k N zu zeige. Wir setze jetzt s := j= a j ud s := lim s. Da die Folge der Teilsumme s gege s kovergiert, gibt es zu jedem ǫ > 0 ei N, so dass gilt: s s = j=+ a j < ǫ. Also köe wir zu jedem k N eie Idex k N fide, so dass j= k + a j < 2 k. Daraus folgt für die Teilsumme s m := m j= a j, falls m k : s m s k = m j= k + a j j= k + a j < 2 k. Das bedeutet s k 2 k < s m < s k + 2 k. Wir kostruiere u eie Folge vo Itervalle I I 2 I 3..., die fast alle Teilsumme der Reihe bis auf edlich viele Ausahme ethalte ud dere Breite gege Null geht. Geauer wähle wir [ I := s 2,s + ] 2 ud da rekursiv I k := I k [s k 2 k,s k + 2 ] k für k N, k >. Das Itervall I k ethält die Teilsumme s m für alle m k. Ausserdem ist ach Kostruktio die Breite des Itervalls I k sicher. Also bilde die utere 2 k Itervallgreze eie mooto steigede Folge, ud die obere Itervallgreze eie mooto fallede Folge, die beide gege deselbe Grezwert s kovergiere. Diese Zahl s muss auch der Grezwert der Teilsummefolge (s m ) m N sei. q.e.d. Aber icht jede kovergete Reihe kovergiert auch absolut. Dazu ei Beispiel: ist koverget, de wir köe sie fol Beispiel Die Reihe ( )k+ k gedermasse abschätze: ( ) k+ k = ( 2 )+( 3 4 )+ = = (2 )2 < = (+) =.

4 42 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe Also kovergiert die eigags erwähte Reiheetwicklug vo l( + z) auch für z = ud zwar gege l(2). Aber die Reihe kovergiert icht absolut. De geht ma über zu de Absolutbeträge, erhält ma die harmoische Reihe, die bekatermasse divergiert. Das wichtigste Kovergezkriterium ist das sogeate Majoratekriterium Satz Sei (a k ) k N eie Folge komplexer ud (b k ) k N eie Folge reeller, ichtegativer Zahle. Sei weiter die Reihe b k koverget. Gilt u a k b k für alle k N, k k 0, ud ei k 0 N, so kovergiert auch die Reihe a k, ud zwar sogar absolut. Beweis. Die Folge der Teilsumme s := a k ist mooto wachsed ud ach obe beschräkt, de s k 0 a k = k=k 0 a k Also hat die Teilsummefolge eie Grezwert. k=k 0 b k b k <. q.e.d Beispiel Ma ka dies Kriterium zum Beispiel auf die Reihe k 2 awede. De offebar ist =: b k 2 k(k ) k für alle k N, k >, ud wie bereits erwäht, b k =. Also kovergiert auch die Reihe ma zeige, dass alle Reihe der Form Ei weiteres ützliches Kriterium ist das Wurzelkriterium:. Etspreched ka k 2 (für s N, s 2) kovergiere. k s 3.. Satz Sei (a k ) k N eie Folge komplexer Zahle. We gilt lim sup a < oder a c für ei c > 0 ud fast alle, da ist die Reihe a k absolut koverget. Ud we gilt lim sup a > oder a für uedlich viele, da ist die Reihe a k diverget. Beweis. Die erste Aussage folgt aus dem Majoratekriterium durch Vergleich mit der geometrische Reihe ck. Die zweite Aussage folgt aus Satz De ist a ud damit a für uedlich viele, da ka a keie Nullfolge sei. q.e.d. Eie absolut kovergete Reihe hat die Eigeschaft, dass auch jede Umordug der Reihe wieder kovergiert ud zwar gege deselbe Grezwert. Kovergiert eie Reihe aber icht absolut, so ist die Situatio eie völlig adere. Der grosse Umordugssatz vo Riema besagt folgedes:

5 3.. Exkurs: Kovergez vo Reihe Satz Sei a k eie reelle Reihe mit Grezwert a, die icht absolut kovergiert, ud sei b eie beliebig gewählte reelle Zahl, verschiede vo a. Da gibt es eie Permutatio π der atürliche Zahle mit der Eigeschaft, dass die etsprechede Umordug der Reihe gege b kovergiert. a π(k) Beweis. Weil die Reihe icht absolut kovergiert, müsse uedlich viele der Summade a positiv ud uedlich viele egativ sei. Bezeiche wir die positive Summade mit b k (k N) ud die egative Summade mit c k (k N). Weil es sich um Teilfolge der Folge a hadelt, gilt Ausserdem muss gelte lim b k = 0 = lim c k. k k b k = = c k. De ageomme, es gäbe eie Zahl M so dass c k M für alle N. Da folgte a k a k 2 c k 2M, ud daraus a k a+2m. Da wäre die Reihe doch absolut koverget, im Widerspruch zur Voraussetzug. Etsprechedes gilt auch für die Reihe, gebildet aus de b k. Sei jetzt b 0 vorgegebe. Wir addiere zuächst soviele positive Summade auf, bis die Schrake b übertroffe wird. Das ist möglich, weil die Summe der positive Summade ubeschräkt wächst. Da füge wir egative Summade hizu, bis die Summe uter die Schrake b fällt, usw. Auf diese Weise etsteht eie Reihe, dere Teilsumme um de gewüschte Grezwert oszilliere. Geauer kostruiere wir die Umordug der Reihe rekursiv folgedermasse: Wir wähle miimal mit s = b + +b > b, ud m miimal mit s = s (c + +c m ) < b. Sid s j ud s j defiiert, wähle wir j+ miimal mit s j+ = s j +(b j + + +b j+ ) > b ud m j+ miimal mit s j+ = s j+ (c mj + + +c mj+ ) < b. Wege der Miimalität der Zahle j,m j ist s j b < b j ud s j b < c m j für alle j. Daraus folgt lim s j = lim s j = b. j j

6 44 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe Für eie egative Grezwert muss ma die Rolle der positive ud egative Summade vertausche. q.e.d. Ohe Beweis sei hier och zur Ergäzug agegebe, wie es sich bei komplexe Reihe verhält Satz Sei a k eie Reihe gebildet aus komplexe Summade a k, die icht absolut kovergiert. Da tritt geau eier der drei folgede Fälle ei:. Jede Umordug der Reihe divergiert. 2. Zujeder Zahlc Cgibt es eieumordug der Reihe, diegegeckovergiert. 3. Die durch Umordug der Reihe realisierbare Grezwerte bilde eie reelle Gerade i der komplexe Ebee. Hierzu eiige Beispiele: 3..4 Beispiele Die Reihe =! ist vom erste Typ. Die Reihe = a, für a 2 = ( )+ ud a 2 = ( )+ i für N, ist vom zweite Typ.

7 3.2. Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Wede wir us u de Reiheetwickluge vo Fuktioe zu Defiitio Uter eier Potezreihe um de Pukt z 0 C versteht maeie Reihe der Form a (z z 0 ) wobei (a ) N eie Folge komplexer Zahle ud z eie komplexe Variable ist. Ma sagt, die Potezreihe kovergiere a der Stelle z C, falls wir durch Eisetze vo z = z eie kovergete Reihe erhalte. Es zeigt sich, dass der Kovergezbereich eier Potezreihe stets die Form eier Kreisscheibe i der komplexe Ebee hat. Das ergibt sich als Kosequez aus dem folgede Lemma: Lemma Die Potezreihe a (z z 0 ) kovergiere a der Stelle z C, z z 0. Sei r eie reelle Zahl mit 0 < r < z z 0. Dakovergiert die Potezreihe auch für alle z C mit z z 0 r, ud zwar sogar absolut. Beweis. Nach Voraussetzug kovergiert die Reihe a (z z 0 ). Also bilde die Summade a (z z 0 ) eie Nullfolge ud sid daher beschräkt, etwa durch die Zahl M R. Das heisst, es gilt Setze wir ausserdem a (z z 0 ) M für alle N 0. q := so erhalte wir für z K r (z 0 ): a (z z 0 ) = z z 0 z z 0 r z z 0 < a (z z 0 ) M q. Da q <, ist die geometrische Reihe q koverget, ud damit auch die Reihe M q. Also liefert das Majoratekriterium die Behauptug. q.e.d Defiitio Der Kovergezradius R der Potezreihe a (z z 0 ) ist folgedermasse defiiert: R := sup{r = z z 0 Die Potezreihe kovergiert a der Stelle z C.} Satz Sei a (z z 0 ) eie Potezreihe mit Kovergezradius R. Da gibt es geau drei Möglichkeite: R = 0, die Reihe kovergiert also ur im Pukt z = z 0.

8 46 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe R =, das heisst die Reihe kovergiert a jeder Stelle z C. 0 < R <. I diesem Fall kovergiert die Potezreihe a jeder Stelle im Iere der Kreisscheibe K R (z 0 ) ud divergiert a jeder Stelle ausserhalb der abgeschlossee Kreisscheibe. Was aber auf dem Rad der Kreisscheibe passiert, hägt vo der kokret gegebee Reihe ab Beispiele Die Reihe!z hat de Kovergezradius 0. De lim! z = für alle z 0. Also ka i diesem Fall die Folge der Summade keie Nullfolge sei. Die Expoetialreihe hat de Kovergezradius, sie kovergiert für alle z C. Die Begrüdug dafür wird gleich achgeliefert. Diegeometrische Reihe z hat de Kovergezradius R =. Wie bereits bemerkt, divergiert sie für alle z C mit z =. ( ) + Die Potezreihe = z hat de Kovergezradius R =. Sie kovergiert für alle z C mit z < ud divergiert für alle z C mit z >. A der Stelle z = liegt Kovergez ud a der Stelle z = liegt Divergez vor. Geauer kovergiert die Reihe a jeder Stelle z auf dem Eiheitskreis. Die folgede ützliche Kriterie zur Bestimmug des Kovergezradius lasse sich aus dem Majoratekriterium bzw. aus dem Wurzelkriterium herleite Bemerkug Sei (a ) N0 eie Folge komplexer Zahle.. Ist a 0 ud lim a + a = s, wobei s R oder s =, da hat die Potezreihe a z de Kovergezradius R = s. 2. Ist limsup a = s, wobei s R oder s =, da hat die Potezreihe a z de Kovergezradius R = s. Hier verabrede wir jeweils 0 = ud = 0. Betrachte wir jetzt die durch eie Potezreihe auf ihrem Kovergezbereich defiierte Fuktio geauer Bemerkug Sei a (z z 0 ) eie Potezreihe um de Pukt z 0 mit Kovergezradius R > 0,udsei r R >0 mit r < R.DawirddurchdieVorschrift f(z) := a (z z 0 ) eie Fuktio f auf dem Iere U der Kreisscheibe K R (z 0 ) defiiert. Die Folge der Fuktioe f (z) := a k (z z 0 ) k (z U) kovergiert auf K := K r (z 0 ) gleichmässig gege f. Das heisst, zu jedem ǫ > 0 existiert ei 0 N mit f (z) f(z) < ǫ für alle z K ud alle 0.

9 3.2. Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug 47 Die Folge der Teilsumme kovergiert also für alle z im Bereich K vergleichbar schell. Beweis. Für z K kovergiert f (z) für gege f ud es gilt f (z) f(z) = k=+ a k (z z 0 ) k k=+ a k r k. Wege der absolute Kovergez der Potezreihe a der Stelle z = z 0 +r U ka ma zu ǫ eie Idex 0 N fide, so dass k= 0 + a k r k < ǫ. Daraus folgt die Behauptug. q.e.d. Die wichtigste Aussage im Zusammehag mit gleichmässiger Kovergez sid im folgede Satz zusammegefasst Satz Sei f :G C eie Folge stetiger komplexer Fuktioe, die auf der kompakte Teilmege K G gleichmässig gege die Fuktio f kovergiere. Da folgt:. Die Fuktio f ist auf K stetig. 2. Ist γ ei glatter Weg i K, so ist f(z)dz = lim f (z)dz. γ γ 3. Sid die Fuktioe f auf G holomorph ud kovergiere die Ableituge f auf K gleichmässig gege g, so ist auch f holomorph ud f = g. Beweis. Zu 2.: Es gilt (f (z) f(z))dz max f (z) f(z) L(γ). z K γ Lässt ma jetzt gehe, folgt die Behauptug. Zu 3.: Ohe Eischräkug köe wir aehme, dass K eie abgeschlossee Kreisscheibe ist. Für jede Weg γ vo z 0 ach z i K gilt ach dem Hauptsatz: f (z)dz = f (z) f (z 0 ). γ Aus. ud 2. folgt u: g(z)dz = lim(f (z) f (z 0 )) = f(z) f(z 0 ). γ Das bedeutet, dass f eie Stammfuktio vo g ist. q.e.d. Mithilfe dieser Aussage köe wir zeige, dass jede Potezreihe auf ihrem Kovergezbereich eie holomorphe Fuktio defiiert. Geauer gilt folgedes.

10 48 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe Satz Sei wie ebe a (z z 0 ) eie Potezreihe um de Pukt z 0 mit Kovergezradius R > 0, ud bezeiche U das Iere der Kreisscheibe K R (z 0 ). Die Fuktio f:u C, defiiert durch f(z) = a (z z 0 ), ist holomorph, ud die Ableitug vo f lässt sich auch durch eie Potezreihe um z 0 darstelle, die wiederum de Kovergezradius R hat, ämlich f (z) = a (z z 0 ) für z U. = Beweis. Zu eiem gegebee Pukt z U köe wir eie abgeschlossee Kreisscheibe K = K r (z 0 ) U auswähle, die z ethält. Wie ebe bemerkt, kovergiert die Folge der Fuktioe f (z) = a k(z z 0 ) k für z K ud N auf K gleichmässig gege f. Alle f sid stetig, also gilt dasselbe für de Grezwert f. Die Fuktioef sidjeweilskomplexdifferezierbar,udf (z) = a kk(z z 0 ) k. Ma ka zeige, dass die Potezreihe a k k(z z 0 ) k deselbe Kovergezradius hat wie die ursprügliche Reihe. Nehme wir ämlich a, dass limsup k k a k = s ist, da hat die Potezreihe de Kovergezradius R = /s. Ud für die Reihe, die durch summadeweise Ableitug etsteht, fide wir ebefalls: lim sup k k ak k = (limsup k k ak )(lim k k) = s. k Also kovergiert auch die Folge der Ableituge f auf K gleichmässig, ud zwar gege f. q.e.d Beispiel Durch die Vorschrift f(z) := ( )k+zk für z < wird eie k holomorphe Fuktio auf dem Iere der Eiheitskreisscheibe defiiert, weil die etsprechede Potezreihe de Kovergezradius hat (siehe obe). Durch summadeweises Ableite der Potezreihe erhalte wir eie geometrische Reihe, die ebefalls de Kovergezradius hat, ud für alle z C mit z < gilt: f (z) = ( ) k+ z k = ( z) k = +z. DieFuktiof istalsoeiestammfuktioderfuktiog(z) = +z,udtatsächlich ist f(z) = l( + z) für alle z < (wobei l de Hauptzweig des Logarithmus bezeichet).

11 3.2. Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Folgerug Auch jede Stammfuktio g vo f lässt sich durch eie Potezreihe um z 0 mit Kovergezradius R darstelle, ud zwar ist g(z) = g(z 0 )+ a + (z z 0) + für z U. Umgekehrt lässt sich jede holomorphe Fuktio lokal i eie Potezreihe etwickel. Ma sagt, die Fuktio sei komplex-aalytisch Satz Ist f:g C holomorph ud ist das Iere U der Kreisscheibe K R (z 0 ) gaz ethalte i G, so gibt es eie auf U kovergete Potezreihe um z 0, mit der f auf U übereistimmt. Dabei hadelt es sich um die komplexe Tayloretwicklug vo f um de Pukt z 0, ämlich f(z) = f () (z 0 ) (z z 0 ).! Beweis. Zu z U sei r > 0 so gewählt, dass z z 0 < r ud dass die abgeschlossee Kreisscheibe K r (z 0 ) U. Die Cauchysche Itegralformel für die Kreisscheibe K := K r (z 0 ) lautet: f(z) = 2πi γ f(ζ) ζ z dζ, wobei γ die auf übliche Art parametrisierte Kreisliie K r (z 0 ) bezeichet. Es gilt: De: ζ z = (z z 0 ) (ζ z 0 ). + (z z 0 ) (ζ z 0 ) = + ζ z 0 ( ) z z0. ζ z 0 Diese geometrische Reihe kovergiert, weil z z 0 ζ z 0 = z z 0 < ist. Also folgt: r (z z 0 ) (ζ z 0 ) = + (ζ z 0 ) ζ z 0 ) = (ζ z 0 ) (z z 0 ) = ζ z. ( z z 0 Setze wir dies i die Cauchyformel ei, so erhalte wir: f(z) = (z z 0 ) f(ζ) 2πi (ζ z 0 ) +dζ. γ Weil die Folge der Teilsumme i der hier auftretede Reihe auch bezüglich ζ auf dem Rad vo K gleichmässig kovergiert, dürfe wir Itegral ud Summatio miteiader vertausche ud bekomme heraus: f(z) = ( 2πi γ f(ζ) (ζ z 0 ) +dζ ) (z z 0 ).

12 50 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe Damit ist f a der Stelle z als Potezreihe um z 0 dargestellt. Die Koeffiziete dieser Potezreihe stimme gerade mit f() (z 0 ) überei, wie ei Vergleich mit der! Cauchyformel für die höhere Ableituge vo f zeigt. q.e.d Beispiele Die zu Afag agegebee Reiheetwickluge für Sius ud Cosius ud für die komplexe Expoetialfuktio werde jetzt im achhiei gerechtfertigt. De wie ma direkt achreche ka, sid es gerade die komplexe Tayloretwickluge der jeweilige Fuktioe um de Pukt z 0 = 0. Betrachte wir jetzt die komplexe Logarithmusfuktio auf der geschlitzte Ebee G := {re iϕ r > 0, π < ϕ < π}, gegebe durch l(re iϕ ) = l(r)+iϕ, ud wähle wir als Etwicklugspukt z 0 =. Die grösste offee Kreisscheibe um z 0, die i G ethalte ist, hat Radius. Die höhere Ableituge der Logarithmusfuktio laute, wie ma durch Iduktio zeigt: d dz l(z) = ( ) ( )!z für N. Also erhalte wir folgede Reiheetwicklug: l(z) = ( ) (z ) für z <. = Diese Reihe hat de Kovergezradius, was der Tatsache etspricht, dass die komplexe Logarithmusfuktio i de Nullpukt icht fortgesetzt werde ka. Aalog zu reelle Poteze setze wir für α C ud z C mit z < f(z) = (+z) α := e αl(+z). Auf diese Weise erhalte wir eie holomorphe Fuktio f auf U := {z C z < }. Für die Ableitug gilt: De ach der Ketteregel ist d dz (+z)α = α (+z) α. d dz eαl(+z) = α +z eαl(+z) = α e l(+z) e αl(+z) = α e (α )l(+z). Durch Iduktio folgt für N: d dz (+z)α = α(α )...(α +)(+z) α.

13 3.2. Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug 5 Ma defiiert ausserdem für N: ( ) α := α(α )...(α +)! Mit dieser Kovetio erhält die Tayloretwicklug der Fuktio f um de Pukt z 0 = 0 die folgede Form: ( ) α f(z) = (+z) α = z für z <. Wähle wir im vorige Beispiel α =, erhalte wir eie Tayloretwicklug 2 für eie Zweig der Quadratwurzelfuktio, ämlich (für z < ): ( ) +z = 2 z = ( 3 2k 2k ). z = + 2 z 8 z2 + 6 z3... Wird eie komplexe Fuktio f:g C auf dem Iere U der Kreisscheibe K R (z 0 ) G durch eie Potezreihe mit Kovergezradius R dargestellt, so muss diese Potezreihe bereits mit der Taylorreihe vo f übereistimme. Geligt es, eie passede Reiheetwicklug zu fide, so ka ma die höhere Ableituge a der Stelle z 0 also bereits a der Reihe ablese Beispiele Die Fuktio f(z) = (für z ±i) wird auf dem +z 2 Bereich z < durch eie geometrische Reihe dargestellt, ämlich f(z) = ( ) z 2. Diese Reihe hat de Kovergezradius, wie wir bereits bemerkt hatte. Weil die Reihe auf jeder abgeschlossee Kreisscheibe im Eiheitskreis gleichmässig kovergiert, köe wir eie Stammfuktio g vo f auf dem Iere des Eiheitskreises duch summadeweises Itegriere bestimme. Wir erhalte g(z) = ( ) z2+ für z <. 2+ Für reelle z ist dies gerade die Tayloretwicklug der Arcustagesfuktio. Also ist g eie komplexe Fortsetzug des Arcustages auf das Iere des Eiheitskreises. Die Fuktio f(z) = z 2 für z <, wobei ei passeder Zweig der komplexe Quadratwurzelfuktio ist, hat folgede Potezreiheetwicklug (siehe vorhergehedes Beispiel für α = ): 2 ( ) f(z) = ( z 2 ) 2 = 2 ( ) z 2 für z <. Durch summadeweises Itegriere wird daraus ( ( g(z) = 2 )( ) z2+ 2+ = 2k 2k ) z für z <.

14 52 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe Dies ist für reelle z die Tayloretwicklug der Fuktio Arkussius. Also ist g eie komplexe Fortsetzug des Arkussius. Hier zur Ergäzug och eiige weitere Beispiele für die Bestimmug vo Tayloretwickluge Beispiele Die Tayloretwicklug der Fuktio f(z) = (z 0) z um de Pukt z 0 = köe wir am schellste fide, idem wir sie als geometrische Reihe umschreibe: f(z) = (z )+ = ( ) k (z ) k. Der Kovergezradius dieser Reihe ist R =. Die Fuktio h(z) = z 2 (z 0) stimmt (bis auf das Vorzeiche) mit der Ableitug vo f überei. Also ergibt sich die Taylorreihe vo h um de Pukt z 0 = aus derjeige vo f durch summadeweise Ableitug: h(z) = f (z) = ( ) k+ k(z ) k für z <. Etspreched erhalte wir die Taylorreihe der Stammfuktio l(z) aus derjeige vo f durch summadeweises Itegriere: l(z) = ( ) k(z )k+ k + für z <. Betrachte wir jetzt die Fuktio g(z) = l(z) (für z < ). Wir habe die z beide Faktore, aus dee g gebildet ist, bereits als Potezreihe dargestellt. ) l(z) ((z z = (z )2 (z )3 ) + ( (z )+(z ) ) Wege der absolute Kovergez dürfe wir diese Reihe ausmultipliziere ud umorde ud erhalte so die Tayloretwicklug vo g um de Pukt z 0 = : g(z) = ( ) k+ ( k )(z )k.