Ein stochastisches Modell zur Ertragsoptimierung bei Versicherungen

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1 En stochastsches Modell zur Ertragsoptmerung be Verscherungen Clauda Garschhammer und Rud Zagst Clauda Garschhammer Bahnhofstr. 34, 8340 aufen Tel: 0868 / 548, c.garschhammer@web.de Prof. Dr. Rud Zagst, Drektor HVB-Stftungsnsttut für Fnanzmathematk Zentrum Mathematk, TU München Boltzmannstr. 3, Garchng be München Tel.: 089 / , zagst@ma.tum.de Zusammenfassung: Zugrunde gelegt wrd en stochastsches Modell, das verschedene verscherungsspezfsche Rsken abbldet. Zel st es, das Verscherungsportfolo bestehend aus dem gezechneten Rsko, dem Verlust aus der bwcklung der Spätschäden und der Kaptalanlage bezüglch der Rückverscherungsquote und der rskobehafteten nlagemöglchket zu optmeren. Schlüsselworte: Rsko, Ertrag, Rückverscherung, Spätschadenreserve, Erwartungsnutzen- Optmerung Enletung Unternehmersche Entschedungen snd mt Rsken verbunden, da de uswrkungen deser Entschedungen n der Regel ncht vorhergesagt werden können. Rsken werden jedoch n Kauf genommen, um Chancen wahrzunehmen und um Erfolge zu erzelen. Für ene erfolgsorenterte Unternehmensführung st daher ene zelorenterte, bewusste und systematsche usenandersetzung mt den Chancen und Rsken hrer Entschedungen unerlässlch. De Rsken mt denen en Verscherungsunternehmen konfrontert st, lassen sch m wesentlchen n ver Rskokategoren entelen. Marktrsken snd n aller Regel getreben von Kursänderungen an den kten-, Zns-, Devsen- oder Immoblenmärkten und betreffen de Betelgungen an börsengehandelten Unternehmen, rskante nlagen der Verscherungsreserven, abgegebene Garanten für Verscherungsprodukte oder

2 egene Handelsrsken. ktuarelle Rsken entstehen durch den Entrtt von Schadensfällen, Katastrophen oder auch anglebgket und betreffen das gesamte Verscherungsgeschäft. Kredtrsken entstehen durch Ratngänderungen von Unternehmen oder Zahlungsausfälle. Des betrfft vor allem Unternehmensanlehen, Darlehen oder Kredtverscherungen. Operatonale Rsken snd typsche Rsken des operatven Geschäfts we z.b. en bsturz des IT-Systems, Betrug oder anstehende Prozesse. Dese rbet konzentrert sch auf de ersten beden Kategoren und deckt dabe enen bedeutenden Prozentsatz der be enem Verscherer auftretenden Rsken ab. Trotz augenschenlcher Ähnlchket von Verscherungsrsken und Kaptalrsken gbt es enen grundsätzlchen Untersched: Kaptalrsken können aufgrund gerngerer Transaktonskosten, lechterer Dversfkaton und Möglchketen der bscherung durch Dervate.a. enfacher gehandhabt werden als Verscherungsrsken. Dversfkaton auf der Sete der Verscherungstechnk benhaltet Zechnungs- und Produktpoltk, m Extremfall auch den Kauf enes anderen Verscherungsunternehmens oder den Verkauf von Telen des Portfolos. Bestmmte Verscherungsrsken, we Schadenreserven n schwergen Haftungsklassen oder bestmmten Katastrophenrsken können u.u. gar ncht rückverscherbar sen. Ene rechtzetge Planung unter Enbezug der möglchen zukünftgen Entwcklungen st daher unumgänglch. Neben der Enrchtung entsprechender Frühwarnsysteme, de entstehende Rsken rechtzetg aufzegen und der Enführung adäquater Rskomanagementprozesse und Gudelnes sollte de komplette Kaptalallokaton enes Unternehmens anhand enes ausgewogenen bzw. optmerten Chancen-Rskoprofls erfolgen. Zel sollte es dabe sen, den Wert des Unternehmens zu stegern, ohne jedoch dabe zu hohe Rsken enzugehen. De Entwcklung enes mathematschen Modells zur Beschrebung und Umsetzung deses Unternehmenszeles wrd m Folgenden erläutert. Grundlage deses rtkels st en von René Schneper n [Schneper(997)] veröffentlchtes Modell, n dem der Zusammenhang zwschen dem Gewnn enes Verscherungsunternehmens und senen Kaptalbedürfnssen untersucht wrd. Wr nehmen jedoch an, dass das Unternehmenskaptal gewssen Unscherheten we z.b. Pres- oder Znsänderungen unterlegt und dass es das Zel des Unternehmens st, senen rskoadjusterten Ertrag zu maxmeren. In bschntt führen wr das herzu verwendete stochastsche Modell n sener allgemenen Form en. Bevor deses jedoch engehend untersucht wrd, behandeln wr en verenfachtes Modell, das berets wesentlche Strukturaussagen enthält, allerdngs z.b. noch kene rskobehaftete Kaptalanlage oder de Berückschtgung der Spätschadenreserve erlaubt. Im Rahmen deses Modells wrd ene für das Unternehmen optmale Rückverscherungsquote bestmmt und deren bhänggket von verschedenen Enflussfaktoren untersucht. bschntt 4 behandelt de Schätzung der Spätschadensreserve, welche am Fall enes bespelhaften Verscherungsunternehmens llustrert wrd, das uns durch alle bschntte begletet. bschntt 5 lefert schleßlch ene ösung für de optmale Struktur des Unternehmensportfolos m allgemenen Modell und gbt de zu wählende nlage-

3 und Rückverscherungspoltk explzt an. bschleßend werden de Ergebnsse des verenfachten und des vollständgen Modells theoretsch und anhand unseres Bespelunternehmens verglchen. Das allgemene stochastsche Modell Wr betrachten en allgemenes Verscherungsunternehmen unter ren fnanz- und rskotheoretschen Geschtspunkten, d.h. es erfolgt weder ene Betrachtung der Marktstratege noch der Qualtät des Managements. De Prese der Verscherungsprodukte ergeben sch durch das makroökonomsche Glechgewcht zwschen ngebot und Nachfrage und werden somt ncht durch das Unternehmen selbst beenflusst. Im Hnblck auf de Unternehmensblanz wrd auf der Passvsete de aktuelle Znsstruktur angewendet und de Bewertung der Kaptalanlagen erfolgt zu Marktpresen. Kosten und Dvdenden fnden kene Berückschtgung. De Unternehmenskonten baseren auf enem bestmmten Schadenjahr. Nach klenen Änderungen kann allerdngs auch jede andere gebräuchlche Bass, we z.b. das Jahr des Vertragsbegnns, verwendet werden. Mt der engenommenen Präme, de sch aus dem erwarteten Schaden des betrachteten Jahres E[ S ] und dem Scherhets- bzw. Schwankungszuschlag b zusammensetzt und der Spätschadenreserve soll der Gesamtschaden S des betrachteten Jahres beglchen werden. Der Gewnn, den das Unternehmen durch de nlage des verfügbaren Kaptals erzelt, wrd m Modell durch repräsentert. Damt lässt sch de Veränderung des gesamten Unternehmenskaptals U folgendermaßen beschreben: U = E[ S] + b S +. () ls Rendte des Unternehmens bezechnen wr das Verhältns der Änderung des Unternehmenskaptals m laufenden Geschäftsjahr zum Unternehmenskaptal zu Begnn des Geschäftsjahres, d.h. U R :=. U u Bldet man den Erwartungswert der eben defnerten Größe, so sprechen wr vom Ertrag µ des Unternehmens. De Standardabwechung der Rendte wrd als Rsko σ bezechnet: E[ U ] σ ( U ) µ := E[ R ] = und σ := σ ( R ) =. U U u u Es wrd unterstellt, dass Entschedungen zur Ertragsoptmerung des Unternehmens enzg auf Bass der Parameter Ertrag und Rsko getroffen werden.

4 Be bekannter Rsko-Ertrags-Präferenz möchte man enersets enen möglchst hohen Ertrag erzelen, anderersets soll das Rsko möglchst gerng gehalten werden. Der funktonale Zusammenhang zwschen Ertrag und Rsko se gegeben durch de her als Erwartungsnutzen bezechnete Funkton ν ( µ, σ ) mt ν ( µ σ ) θ [ ] [ ] θ µ σ, := E R Var R =. U U lle Paare ( σ, µ ), de den glechen Wert ν annehmen, befnden sch auf derselben Indfferenzkurve. Der enzge Parameter θ beschrebt den Trade-Off zwschen Ertrag und Rsko gemessen mt dem (ndvduellen) Grad an Rskoaverson m Rsko-Ertrags-Raum ( σ, µ ) und wrd nach [Uhlr(994), Sete 45] als Rsko-Ertrags-Präferenz-Parameter bezechnet. Das Unternehmen fordert für ene zusätzlche Rsko- bzw. Varanzenhet das θ -fache an Ertrag. We der Rsko-Ertrags-Präferenz-Parameter ermttelt werden kann, wrd z.b. n [Spremann(996), Sete 50] erläutert. Bespel: Zur Illustraton der enzelnen Ergebnsse soll uns en Unternehmen begleten, dessen Verscherungsportfolo sch aus folgenden dre Sparten zusammensetzt: Kraftfahrzeug-Haftpflchtverscherung mt v H = verscherten H Rsken: S sonstge Kraftfahrtverscherung ( Fahrzeugvollverscherung, Fahrzeug- telverscherung und Kraftfahrtunfallverscherung ) mt v K =5.000 Rsken: K S Feuer- und Sachverscherung ( z.b. Sturmverscherung, verbundene Hausratverscherung, Technsche Verscherungen, Transport- verscherung ) mt v F = Rsken: Somt ergbt sch en Gesamtschaden von F S H K F H K F S = S + S + S = S + S + S. = = = Der erwartete Gesamtschaden wrd auf E[ S ] = Euro und de De Bezechnung von ν als Erwartungsnutzen rührt daher, dass Funktonen deser Struktur be der Maxmerung des Erwartungsnutzens entstehen, wenn z.b. de Nutzenfunkton des Unternehmens gegeben st durch N ( R ) = θ R ( R µ ) oder m sogenannten hybrden Modell, d.h., wenn R U U U U R normalvertelt st und de Nutzenfunkton de U Struktur N ( R ) = θ e θ bestzt (vergleche z.b. [Spremann(996), Sete 50] ). U

5 Standardabwechung auf σ ( S) = Euro geschätzt. Dabe gehen wr m Rahmen der Bespelrechnungen davon aus, dass de enzelnen Sparten unkorrelert snd. Weter legen wr unseren Modellrechnungen zu Grunde, dass n unserem Unternehmen zu Begnn des Jahres en Kaptal n Höhe von u = Mllonen Euro vorhanden st und sch de Rendte der rskolosen nlage auf r = 4, 5% beläuft. Der Scherhetszuschlag b se mt 5, 5 Mllonen Euro gegeben. 3 Das verenfachte Modell Vorberetend werden n ener verenfachten Verson des eben engeführten Modells wetere spezfsche nnahmen getroffen. Dabe gehen wr zum Enen davon aus, dass de enzgen nlageerträge von der rskolosen nlage des Egenkaptals mt Rendte r stammen. D.h. es glt: = r u. Implzt wrd damt auch unterstellt, dass das gesamte Unternehmenskaptal u für de Kaptalanlage zur Verfügung steht. Des weteren berückschtgen wr zunächst kene Spätschadenreserve: = 0. Statt () erhält man nun das verenfachte Modell: U = E[ S] + b S + r u () mt Ertrag E[ U ] b σ ( U ) σ ( S) µ = = + r und Rsko σ = =. u u u u Durch Ensetzen ergbt sch damt de Glechung µ r b µ r = k σ mt k := =. σ σ ( S) Der Ertrag µ und das Rsko σ legen auf ener Geraden mt Stegung k und chsenabschntt r. De Gerade gbt somt de Menge der errechbaren Rsko- Ertrags-Paarungen ( σ, µ ) für verschedene Kaptalnveaus an. Man kann de Dfferenz µ r als Rskopräme nterpreteren, de den Kaptalgebern de Übernahme des Rskos σ vergütet.

6 3. Quoten-Rückverscherung m verenfachten Modell Bezechnen S, S,, S de Rsken der verschedenen Verscherungsportfolos I =,, I und S = I = S den Gesamtschaden des Unternehmens. Unter der nnahme ener geegneten Gesamtschadenvertelung, kann man z.b. durch de Formel b = Q ε σ den Scherhetszuschlag b des Gesamtrskos bestmmen. Dabe bezechnet Q ε das (-ε )-Quantl der standardserten Gesamtschadenvertelung. Der Scherhetszuschlag lässt sch dann gemäß dem Kovaranzprnzp 3 durch de Größen Cov[ S, S] b = b Var[ S] auf de Enzelrsken S, =,, I, auftelen. Snd S und S S unabhängg, so glt das Varanzprnzp Var[ S ] b = b. Var[ S] b bezechnet m Folgenden den für Rsko gegebenen Scherhetszuschlag und σ dessen Varanz, =,, I. Es wrd angenommen, dass das Unternehmen ncht das volle Zechnungsrsko S allene trägt, sondern für jedes Enzelrsko S enen Tel α selbst behält und den verblebenden Tel α an senen Rückverscherer abtrtt (Quoten-Rückverscherung 4 ). Für den Erstverscherer bleben damt folgende durch den Index EV gekennzechnete Größen erhalten: We z.b. Gamma-, ognormal- oder Inverse Gaußvertelung. 3 Vergleche [Mack(997)] oder [Garschhammer, Sete 8]. Cov bezechnet dabe de Kovaranz und Var de Varanz der n der Klammer noterten Zufallsvarablen. 4 Vergleche [Mack(997)] oder [Garschhammer, Sete 6].

7 S = = E[ S ] = α E[ S ] I EV I EV = I b = α b = α b EV = α S I S Var[ S ] = Var α S = α Σ α EV = mt α := ( α,, α ), b := ( b,, b ) S und Σ := ( Cov[ S, S ]) I I j, j =,, sowe I σ := Var[ S ]. Folglch erhält man nach Rückverscherung statt () de Glechung U = E[ S ] + b S + r u. EV EV EV Das Rückverscherungsunternehmen wrd ohne Rückscht auf de Größe enes Rskos mt enem bestmmten enhetlchen Prozentsatz an allen gezechneten Rsken ener Sparte betelgt und erhält als Kompensaton enen entsprechenden Tel der vom Erstverscherer verennahmten Präme. Der Betrag ( α ) E[ S ] + ( α ) b geht somt für jedes Enzelrsko S, =,, I, n de Gewnn- und Verlustrechnung des Erstverscherers als ufwand en. 3. Ermttlung der optmalen Rückverscherungsquote Durch Wetergabe enes Tels der Rsken n Form ener Rückverscherung kann der rskoadjusterte Ertrag be gegebenen Scherhetszuschlägen b der Enzelrsken S, =,, I, beenflusst werden. Im Folgenden wrd gezegt, we de optmalen Selbstbehaltquoten α, =,, I, zu bestmmen snd, de das Verhältns zwschen Ertrag und Rsko be gegebenem Rsko-Ertrags-Präferenz- Parameter θ maxmeren. Satz 3. 5 Beschrebe S, S,, S de Schäden der Telportfolos =,, I, I S = I = S den 5 Der Bewes zu desem Satz sowe alle weteren fehlenden Bewese können gerne be Herrn Prof. Zagst (zagst@ma.tum.de) angefragt werden.

8 Gesamtschaden und de Kovaranzmatrx Σ S se postv defnt. Dann snd de optmalen Selbstbehaltquoten, de de Funkton α ν µ α, σ α = θ µ α σ α, θ, a ( EV ( ) EV ( )) EV ( ) EV ( ) 0 maxmeren, gegeben durch 6 VM S α = θu ( Σ ) b. (3) Je klener der Rsko-Ertrags-Präferenz-Parameter θ, desto mehr Ertrag wrd benötgt, um be gegebenem Rsko das gleche Nutzennveau zu halten. Des bedeutet, dass das Unternehmen rskoaverser st und folglch enen größeren ntel der Rsken abgbt. De Selbstbehaltquote α snkt daher mt fallendem θ. Ene wetere Interpretaton erhält man mt Hlfe des folgenden Korollars, das sch drekt aus Satz 3. ergbt. Korollar 3. Snd de Schäden S, S,, S der Telportfolos aus Satz 3. unkorrelert, so snd I de optmalen Selbstbehaltquoten VM α gegeben durch θu b α = für =,, I. σ Je klener also das Rsko σ, desto größer de Selbstbehaltquote α des Erstverscherers. Ebenso stegt de Selbstbehaltquote mt stegendem Scherhetszuschlag b und stegendem Unternehmenskaptal u. + Bespel (Fortsetzung): Mt S, S und S werden weder de Gesamtschäden der dre Sparten Kfz- H K F Haftpflcht, sonstge Kfz- und Feuer-/Sachverscherung bezechnet. Wr nehmen an, dass de Schäden der dre Sparten durch de Vertelungen 6 Das Optmerungsproblem wurde ohne Nebenbedngungen gelöst. Verletzt obge ösung (3) de Restrkton 0 α, so st dese Nebenbedngung n das Optmerungsproblem aufzunehmen. Dabe st 0 α komponentenwese zu lesen. De ösung des neuen Problems kann dann mt Hlfe enes konvexen Optmerungsproblems berechnet werden (vergleche [Fletcher(98), Sete 5] oder [Garschhammer, Sete 44 und 64]).

9 Kfz-Haftpflcht: ( ) sonstge Kfz: ( ) Feuer/Sach: ( ) S H H H Γ v 0, 00466; 57. 9, 37, v = S K K K Γ v 0, 00990; 5. 75, 8, v = S F F F Γ v 0, 0006; 0. 90, 08, v = bestmmt snd. Erwartungswert und Varanz der Gammavertelung mt Parametern q und λ berechnen sch durch j j q q j [ ] = j j j E S und Var[ S ] =, j = { H, K, F} λ λ j und somt ergeben sch für de enzelnen Sparten folgende Werte E[ S ] = v 0, , 37 = = H σ H H =,., =. v H E[ S ] = v 0, , 8 = = K σ K K =,., =. v K E[ S ] = v 0, , 08 = = F F σ F = v F 0, , 08 = j ufgrund der nnahme, dass de dre Sparten unkorrelert snd, können wr den Scherhetszuschlag b = nach dem Varanzprnzp we folgt auftelen: b b b H K F = = = = =.. = Da de Standardabwechungen der verschedenen Sparten nur auf geschätzten Parametern und de Standardabwechung der Gesamtschadenvertelung auf ener an smulerte Daten angepassten Vertelung basert, ergbt de Summe der Scherhetszuschläge der dre Sparten ncht exakt den Gesamtscherhetszuschlag des Unternehmens. Deshalb orenteren wr uns nur am Varanzprnzp und telen den Scherhetszuschlag folgendermaßen auf: b = , b = und b = H K F.

10 In Korollar 3. st für den Spezalfall unkorrelerter Telrsken de optmale Selbstbehaltquote α * für = H,K,F angegeben. Für enen Rsko-Ertrags Präferenz-Parameter n Höhe von θ = 0, ergbt sch: * 0, α H = = 66,56% * 0, α K = = 73, % * 0, α F = = 66,60% Nach Rückverscherung bleben für unser Unternehmen also de Größen E[ S ] = 0, , , EV b EV = = 0, , , = σ ( S ) = 0, , , EV = erhalten. De Präme E[ S] + b des Erstverscherers snkt von auf Euro, be ener gerngeren Standardabwechung von statt Euro. 4 De Spätschadenreserve Wr wollen nun das verenfachte Modell erwetern. Dabe werden auch RBNSund IBNR-Schäden 7 berückschtgt. Des bedeutet, dass de nnahme = 0 ncht mehr zutreffend st. De Berechnung der benötgten Spätschadenreserve erfolgt mt Hlfe enes sogenannten bwcklungsdreecks. 7 RBNS-Schäden: reported but not settled, IBNR-Schäden: ncurred but not reported. Bede rten von Schäden snd zwar n der betrachteten Perode nduzert, werden aber erst später realsert. Deshalb müssen dese Schäden geschätzt und n Form ener Spätschadenreserve zurückgestellt werden (vergleche [Mack(997)] oder [Garschhammer, Sete 7]).

11 4. Das bwcklungsdreeck Jeder Schaden hat ene ndvduelle Hstore 8. Er entsteht n enem nfalljahr und wrd dem Verscherungsunternehmen gemeldet. Das Verscherungsunternehmen lestet ene erste Zahlung und bldet für eventuell erforderlche wetere Zahlungen ene Enzelschadenreserve. De Regulerung enes enzelnen Schadens und damt erst recht de Regulerung aller Schäden aus enem nfalljahr, kann sch über mehrere bwcklungsjahre erstrecken. Grundlage für de Bestmmung von Spätschadenreserven st das sogenannte bwcklungsdreeck n dem für jedes nfalljahr und jedes bwcklungsjahr de gelesteten Zahlungen aufgeführt snd (sehe Tabelle ). Dabe betrachten wr w nfalljahre und nehmen an, dass jeder Schaden entweder m nfalljahr selbst oder n enem der w folgenden Kalenderjahre abschleßend regulert wrd. Das laufende Kalenderjahr wrd mt w + bezechnet. Es st ncht m bwcklungsdreeck enthalten, da für deses Jahr noch kene Zahlungen gelestet wurden. bwcklungsjahr t nfalljahr s w Z Z Z 3 Z 4... Z w Z Z.... Z,w- 3 Z w -. Z w-, w Z w Tabelle : bwcklungsdreeck: ufgeführt snd alle Zahlungen, de berets gelestet wurden. Wr betrachten also ene Famle { Z s, t } s, t {,, w von Zufallsvarablen, wobe Z } s, t den m bwcklungsjahr t aufgewendeten Betrag für m nfalljahr s engetretene Schäden bezechnet. ls nfall-, Eregns- oder Vertragsjahr wrd dabe dasjenge Jahr bezechnet, n dem der Schaden engetreten bzw. dem er buchhaltersch zuzurechnen st. Das. bwcklungsjahr (t = ) st das nfalljahr selbst, das. bwcklungsjahr (t = ) st das dem nfalljahr folgende Kalenderjahr, usw. Das Jahr der Rskoübernahme wrd mt t = 0 bezechnet. De Zahlung Z wrd somt m (relatven) Kalenderjahr s + t gelestet. Folglch s, t werden de auf ener Dagonalen stehenden Beträge für Schäden aus den verscheden nfalljahren m glechen Jahr bezahlt. Da wr uns am Ende von 8 Vergleche z.b. [Schmdt(00), Kaptel ].

12 Kalenderjahr w befnden, snd de Zahlungen Z für s + t w schon s, t gelestet. Vom jüngsten nfalljahr s = w snd ledglch de Schäden bekannt, de m aufe deses Jahres engetreten snd und gemeldet wurden. Vom am längsten zurücklegenden nfalljahr s = snd t = w bwcklungsjahre bekannt. De Zahlungen, de das abgelaufene Kalenderjahr betreffen (Z w,z w,,,z w ), stehen somt auf der Hypotenuse des bwcklungsdreecks und snd gegenüber der entsprechenden Stuaton vor enem Jahr neu hnzugekommen. Für de rchtge Modellbldung st her festzuhalten, dass für jedes nfalljahr s de Beträge Z s, t mt wachsendem t tendenzell abnehmen (evtl. nach enem kurzen nsteg zu Begnn) und schleßlch, nach spätestens w Jahren, glech Null werden. Be zunehmender bwcklungsdauer wrd es nämlch mmer unwahrschenlcher, dass sch noch Änderungen m Schadenstand ergeben. Ergänzt man das bwcklungsdreeck aus Tabelle zu enem Quadrat, so erhält man de noch ausstehenden Zahlungen, für de ene Reserve gebldet werden muss. In Tabelle snd dese Zahlungen aufgeführt. Für ene realstsche Modellbldung stellt sch nun de Frage, we de zukünftgen Zahlungen geegnet geschätzt werden können. bwcklungsjahr t nfalljahr s w Z,w 3. Z 3,w w -. Z w-,w w Z w, Z w,3... Z w,w- Z w,w Tabelle : Zahlungen, für de ene Spätschadenreserve gebldet werden muss. 4. Schätzung der Spätschadenreserve De n der Spätschadenreserve enthaltenen noch ausstehenden Zahlungen Z mt s, t s + t > w müssen für das Modell auf enen enhetlchen Bewertungszetpunkt, her Jahr w der letzten Gewnn- und Verlustrechnung, abgeznst werden. Dazu bezechnen wr den Barwert zum Zetpunkt w ener zum Zetpunkt w + j ( j > 0) bezahlten Geldenhet mt P( w, w + j ). Des bedeutet, dass man zum Zetpunkt w den Betrag P( w, w + j ) bezahlt, um zum Zetpunkt w + j > w enen Euro zurückzubekommen. Ene ausführlchere Darstellung der stochastschen Modellerung deser sogenannten Zero-Coupon-Bondprese fndet man z.b. n

13 [Zagst(00), Kaptel 4.]. Das vom Verscherungsunternehmen m Zetpunkt w übernommene Rsko S (fällt frühestens m Jahr w + an) setzt sch aus den abgeznsten zufällgen Zahlungen der folgenden bwcklungsjahre zusammen und beträgt somt m Betrachtungsjahr w + := = w w (, + ). w+, j j = S S P w w j Z (4) Da jeder Schaden über w Jahre abgewckelt wrd, nteresseren uns für de Reservenbldung am Ende des Kalenderjahres w (Zetpunkt der letzten Gewnn- s und Verlustrechnung) nur de Schäden S mt s =,, w. Davor angefallene Schäden snd schon abgewckelt und für n der Zukunft anfallende Schäden braucht noch kene Reserve gebldet werden. Veranschaulcht wrd deser Sachverhalt n bbldung. De gestrchelte ne markert den Zetpunkt der letzten Gewnn- und Verlustrechnung w. lle Zahlungen lnks der gestrchelten ne wurden n der Vergangenhet schon gelestet, de Zahlungen Z, s, w s+ s =,, w, auf der gestrchelten ne wurden m abgelaufenen Jahr w beglchen und alle Zahlungen rechts der gestrchelten ne müssen durch de am Ende des Jahres w geschätzte Spätschadenreserve gedeckt werden. bbldung : bwcklung der Schäden s =,, w w S,, S aus den nfalljahren

14 Kommen wr nun zurück zu der Frage, we de noch ausstehenden Zahlungen geegnet geschätzt werden können. Im vorlegenden Modell werden se auf Bass der m Jahr w verfügbaren Informaton bzw. Hstore über den Schaden und über den Zns, modellert durch entsprechende σ -lgebren, geschätzt. Der Erwartungswert der Zahlungen wrd deshalb bzgl. der klensten aus den beden Z σ lgebren H (Schadenshstore) und s, w s+ P H (Znshstore) erzeugten σ - w Z lgebra (, P σ H H ) bedngt. Dabe gehen wr davon aus, dass de Schadenss, w s+ w und Znshstore bzw. de entsprechenden σ -lgebren unabhängg snd (vergleche z.b. [Wllams(99), Sete 9]). We berets erwähnt befnden wr uns ohne Beschränkung der llgemenhet am Ende des Jahres w. Für de Schäden s S, s =,, w wrd ene Spätschadenreserve gebldet und de Schäden w+ S werden von der Verscherung m laufenden Jahr übernommen. Zur Verenfachung werden se auch weterhn mt S bezechnet. Se := ( ) ( ), + w Z P E P w, s + j Z σ H, H, =,, s w s s, j s, w s+ w s w (5) j = w s+ s de am Ende des Betrachtungsjahres w für das Rsko S geschätzte Spätschadenreserve des Unternehmens. Des bedeutet, dass de noch ausstehenden Zahlungen für de Schäden auf das Jahr w abgeznst und auf Bass der bs dahn verfügbaren Informaton geschätzt werden. Für das m Jahr w gezechnete Rsko S (nfalljahr s = w + ) glt: = E[ S ]. (6) w+, 0 E[ S ] st Tel der Präme E[ S] + b. Da E[ S ] somt schon m Modell enthalten st, wrd ncht mehr n de Spätschadenreserve engerechnet. Ist der Schaden w+, 0 schon abgewckelt, d.h. s =, braucht kene Spätschadenreserve mehr gebldet zu werden. De geschätzte Spätschadenreserve des Unternehmens bzgl. des Schadenjahres s =,..., w am Ende des Betrachtungs-Vorjahres w st = ( ) ( ), w Z P E P w, s + j Z σ H, H. (7) s w s s, j s, w s w j = w s+ De Spätschadenreserve muss de am Ende des Vorjahres noch s, w s ausstehenden Zahlungen decken. Der produzerte Verlust aus der bwcklung des Spätschadens von s S m Geschäftsjahr w st demnach gegeben durch

15 = + Z, s =,, w. (8) s, w s+ s, w s+ s, w s+ s, w s Des bedeutet, dass dem Unternehmen m Jahr w für de bwcklung der Spätschadenreserve der Betrag, der m Vorjahr berechnet wurde, zur s, w s Verfügung steht. Das Unternehmen lestet m Betrachtungsjahr de Zahlung Z und schätzt de für de Zukunft benötgte Spätschadenreserve auf den s, w s+ Betrag. Der Verlust aus der bwcklung des Spätschadens von s, w s+ sch folgendermaßen berechnen:, + w Z Z s w s s, j s, w s+ s, j s, w s j = w s+ = P( w, s + j) ( E[ Z H ] E[ Z H ]) w j = w s+ Z + E[ Z H ] ( P( w, s + j) P( w, s + j )) s, j s, w s, s, w s+, s, w s+ s S lässt =: +. (9) Der Verlust n Perode w aus der bwcklung der Spätschäden aus den nfalljahren s =,, w st folglch gegeben durch w :=. s= s, w s+ w = + Z = + Z E[ S ] wrd ncht be der Änderung der w, w, w, w, 0 w, w, w Spätschadenreserve berückschtgt, da E[ S ] kene Spätschadenreserve darstellt, sondern m Vorjahr als Präme n de Gewnn- und Verlustrechnung engegangen st. Den Verlust aus der bwcklung der Spätschäden kann man analog zum Verlust aus der bwcklung der Spätschäden aus den verschedenen bwcklungsjahren zerlegen. Se = + mt w = für =,. (0) s=, s, w s+ Dann bezechnet den Verlust aus der renen bwcklung der Spätschäden und den Verlust aus der Verznsung der Spätschäden. Satz 4. Der erwartete Verlust aus der renen bwcklung der Spätschäden st Null, d.h. E[ ] = 0. ()

16 Für den Verlust aus der Verznsung der Spätschäden glt: w w = K P( w, w + t) K P( w, w + t) t t t = 0 t = =: ( w) =: ( w ) ( w) ( w ) ( w ) = R l. ( w ) 3 = 4443 =: R =: l () mt ener zum Zetpunkt w bekannten Größe l und ener Zufallsvarable R. + Bespel (Fortsetzung): Nun wrd de Änderung der Spätschadenreserve unseres Bespelunternehmens berechnet. Dazu nehmen wr an, dass jeder Schaden nach spätestens w = 4 Jahren abgewckelt st. Wr verwenden für unsere Berechnungen das n Tabelle 3 dargestellte bwcklungsdreeck. bwcklungsjahr t nfalljahr s Tabelle 3: bwcklungsdreeck De Änderung der Spätschadenreserve wrd n den Verlust aus der renen bwcklung der Spätschäden und den Verlust aus der Verznsung der Spätschäden aufgetelt. Dese beden Größen werden zuerst für jedes nfalljahr berechnet. We eben erläutert, verursacht der Schaden S s enen Verlust aus der renen bwcklung der Spätschäden von w Σ Z Z ( ) = P(w, s + j) E Z H E Z H,s,w s+ s, j s,w s+ s, j s,w s j= w s+ (3) und der Verlust aus der Verznsung der Spätschäden beläuft sch auf w Z,s,w s+ Σ s, j s,w s j= w s+ (4) = E Z H P w,s + j P w,s + j. ( ( ) ( ))

17 Um dese Größen berechnen zu können, benötgt man a) de Schätzung der noch ausstehenden Zahlungen auf Bass des heutgen Informatonsstandes [ ] Z E Z H, s, j s, w - s + b) de Schätzung der noch ausstehenden Zahlungen auf Bass des heutgen Z Informatonsstandes E[ Z H ], s, j s,w s c) den Zns zur Berechnung des Barwertes ener Geldenhet P(w, s + j). zu a): Schätzung der noch ausstehenden Zahlungen De noch ausstehenden Zahlungen sollen auf Bass der Informaton, de zum heutgen Zetpunkt über de Zahlungen verfügbar st, geschätzt werden. Des wrd Z durch den bedngten Erwartungswert E[ Z H ] ausgedrückt. Ene Methode s, j s, w - s + dese Zahlungen zu berechnen, st das Chan-adder-Verfahren 8. ngewendet auf obges bwcklungsdreeck erhalten wr de n Tabelle 4 kursv dargestellten Zahlungen 9. bwcklungsjahr t nfalljahr s Tabelle 4: Ergänztes bwcklungsdreeck zu b): Schätzung auf Bass des vergangenen Jahres Betrachtet man das für das vergangene Jahr relevante bwcklungsdreeck, so st das nfalljahr 4 aus Tabelle 3 für de Bldung ener Spätschadenreserve noch ncht von Bedeutung. Statt dessen wrd der Schaden aus dem nfalljahr s = 0 m Betrachtungsvorjahr abschleßend regulert und st somt m bwcklungsdreeck enthalten. Des weteren wurden de Zahlungen Z 4 Z 3 und Z 3 noch ncht gelestet und snd folglch n der Tabelle 5 kursv dargestellt. Zur Berechnung der noch ausstehenden Zahlungen wrd weder das Chan-adder-Verfahren angewendet. ls Ergebns erhält man das n Tabelle 5 dargestellte bwcklungsdreeck. 8 Für ene ausführlche Darstellung se auf [Mack(997), Sete 43 ff] verwesen. 9 De genauen Berechnungen können n [Garschhammer, Sete 88] nachgelesen werden.

18 bwcklungsjahr t nfalljahr s Tabelle 5: bwcklungsdreeck des Vorjahres zu c): Berechnung des Barwertes ener Geldenhet Zur Berechnung des Barwertes zum Zetpunkt w ener zum Zetpunkt w + j ( j > 0) bezahlten Geldenhet nehmen wr verenfachend an, dass der Znssatz pro Zetenhet konstant r st, d.h. P( w, w + j) = ( + r) j. Der Znssatz beträgt n desem Bespel r = 4, 5%. Den Barwert zum Zetpunkt w ener zum Zetpunkt w + j bezahlten Geldenhet entnmmt man aus Tabelle 6. j 0 3 P(w,w + j) 0,96 0,9 0,88 Tabelle 6: Barwert ener Geldenhet für r = 4,5% Nun kann man mt (3) und (4) den Verlust aus der bwcklung bzw. der Verznsung der Spätschäden aus den verschedenen nfalljahren berechnen (Tabelle 7). s,s,5 s,s,5 - s Tabelle 7: Verlust aus der bwcklung bzw. der Verznsung der Spätschäden für de enzelnen nfalljahre Mt Formel (0) erhält man aus der bwcklung bzw. Verznsung der Spätschäden = bzw. = De Änderung der Spätschadenreserve st folglch = + =

19 Der Verlust aus der Verznsung der Spätschäden kann nach () auch folgendermaßen dargestellt werden: = R l. Dese Darstellung verenfacht später de Berechnung des allgemenen Modells. Zur Berechnung von und der Rendte w ( ) t ( ) l = w = K P w, w + t = K P(3, 4 + t) R t= 0 t= 0 (w) (w ) = = (w ) t t = 0 t = 0 t K P(4, 4 + t) K P(3, 4 + t) t = 0 K P(3, 4 + t) benötgt man de uszahlungen K t, de am Ende der Jahre w + t, t = 0,,, fällg werden: w Z [ ] K = E Z H. t s,t+ w s+ s,w s s= t+ Mt den entsprechenden Werten aus Tabelle 5 erhält man K 0 = , K = und K = Zur Berechnung der Größen l und R lest man de Barwerte P(w,w + j) ener Geldenhet aus Tabelle 6 ab und erhält letztendlch t t l = , ( w) = K P(4, 4 + t) = und t = 0 t R = = 4, 5%. Mt () ergbt sch für weder: = R l = 4, 5% = Das vollständge Modell Bsher wurde angenommen, dass das verfügbare Kaptal nur zum rskolosen Zns r angelegt werden kann. In desem bschntt wrd das verenfachte Modell durch de Spätschadenreserve und ene rskobehaftete nlagemöglchket ergänzt. Mt

20 der eben engeführten ufspaltung der Änderung der Spätschadenreserve n den Verlust aus der renen bwcklung von Spätschäden und n den Verlust aus der Verznsung der Spätschäden, d.h. = +, st de usgangsglechung des allgemenen Modells (vergleche ()) gegeben durch U = E S + b S R l + (5) [ ] 5. Quoten-Rückverscherung m vollständgen Modell Wr telen den Gewnn aus der Zechnung des Rskos S ( S := E[S] - S) und den Verlust aus der renen bwcklung der Spätschäden n n Enzelrsken auf. Dabe wrd weder angenommen, dass das Unternehmen nur enen Tel des Zechnungsrskos selbst trägt und den Rest an senen Rückverscherer abtrtt. Des weteren treffen wr de nnahme, dass kene Rückverscherung des Portfolos der Spätschadenreserve erfolgt. Folglch snd l und Bezechnungen R unabhängg von α. Mt den X : Verlust aus der Zechnung der Rsken oder aus der bwcklung der Spätschäden des Telportfolos =,,n X S : Verlust aus der Zechnung des Rskos des Telportfolos =,...,I X : Verlust aus der bwcklung der Spätschäden = I +,,n b : Scherhetszuschlag für das gezechnete Rsko S, =,, I α : ntel am Telrsko S, =,, I, den das Unternehmen selbst behält S S S sowe X = ( X,, X ) I, X = ( X,, X ), glt nach Rückverscherung für I + n das betrachtete Verscherungsunternehmen statt (5) nun U = S + b R l + (6) EV EV mt

21 I I S = E[ S ] S = α ( E[ S ] S ) = α X EV EV EV = n = I + X n I n S X = X + X = = = I + n I n EV S X α X X = +. = = = I + = = S Des Weteren glt: S E[ X ] = E[ S ] E[ E[ S ]] = 0 und E[ X ] = 0. Somt st auch E[X ] = 0, da X entweder den Verlust aus der Zechnung von Rsken oder den Verlust aus der bwcklung der Spätschäden bezechnet. Um nun ene rskobehaftete nlagemöglchket ns Modell aufzunehmen, gehen wr davon aus, dass das Verscherungsunternehmen n ene rskante nlage nvesteren kann. Wr beschränken uns auf ene enzge rskobehaftete nlagemöglchket, de aber auch enen ganzen Markt abblden kann. Das Modell kann jedoch ohne größere Schwergketen auf mehrere rskobehaftete ssets erwetert werden. Im Folgenden bezechnet a den Betrag, der n das rskobehaftete sset nvestert wrd, R de zugehörge Rendte und µ := E[R ] de erwartete Rendte. Es wrd angenommen, dass de dskonterten Verbndlchketen l m Unternehmen als Kaptal vorhanden snd. Im Glechgewcht von Vermögen und Verbndlchketen kann das Unternehmen folglch den Betrag l + u a zum rskolosen Znssatz r anlegen, d.h. = R a + r ( l + u a). () Glechung (6) spezfzert sch nun mt = (,, ) zu U = S + b R l + R a + ( l + u a) r EV EV S = α b α X X ( R r) l + ( R r) a + r u. (7) 5. Ermttlung des optmalen Unternehmensportfolos Mt Hlfe von Glechung (7) soll nun das Verscherungsportfolo bestehend aus dem gezechneten Rsko, dem Verlust aus der bwcklung der Spätschäden und

22 der Kaptalanlage bezüglch der Rückverscherungsquote und der rskobehafteten nlagemöglchket optmert werden. Dazu bezechne der Zufallsgrößen X und Y mt R σ := Σ = Var[ R ] sowe R X XX Σ := Σ, XY Σ de Kovaranzmatrx R σ := Σ = Var[ R ], R χ := ( Σ ) ( Σ ) Σ SR SR S SR (8) und C θuδ l θub l R R R S SR S SR := + Σ + Σ + ( Σ Σ ) ( Σ ) Σ. (9) Für den Ertrag und das Rsko des Unternehmens erhalten wr damt E[ U ] µ = = EV ( α b ( µ r ) l + δ a ) + r und u u σ EV Var[ U ] = u S ( α α l σ a σ R R α S l α = Σ + Σ Σ + Σ u SR R R R R a α Σ + l Σ a Σ al Σ ). SR Satz 5. Es gelte σ R SR χ > 0 und de Matrx optmale rsko-behaftete nlagebetrag a α des Erstverscherers, de de Funkton maxmeren, gegeben durch S Σ se postv defnt. Dann snd der und de optmalen Selbstbehaltquoten a, α ν a, α = θ µ a, α σ a, α, θ, ( ) a ( ) ( ) ( ) 0 EV EV a C = SR ( σ χ ) R α S SR S SR ( ) ( = Σ Σ + θ Σ Σ ) a ub l VM S SR S SR ( ) ( ) = α + Σ a Σ Σ l Σ. +

23 Bemerkungen: Wrd für den nlagebetrag 0 a l + u gefordert, so st de optmale ösung für den Fall, dass der optmale nlagebetrag aus Satz klener als 0 st gegeben durch a α = 0 VM S S SR = α ( Σ ) ( Σ + l Σ ). Für den Fall, dass der optmale nlagebetrag aus Satz 5. größer als l + u st, st de optmale ösung ( a, α ) gegeben durch a = l + u VM S ( ) (( ) SR S SR l u l ) α = α + Σ + Σ Σ Σ. In der vorhergehenden Bemerkung wurden nur Restrktonen an den Parameter a berückschtgt. Ergänzt man das Optmerungsproblem durch de Nebenbedngung 0 α, so lässt sch de ösung ncht mehr geschlossen darstellen. Se kann jedoch über en konvexes Optmerungsproblem numersch bestmmt werden. Bsher wurde m Portfolo der Spätschadenreserve kene Rückverscherung beachtet. Nmmt man jedoch an, dass de Spätschadenreserve ebenfalls durch ene Quoten- Rückverscherung abgeschert wrd, so hat des uswrkungen auf de Größen = α X, R = R ( α ) und l = l( α ). n = m+ Folglch bleben Σ, Σ R R und Σ be der Optmerung erhalten und es wäre zu berückschtgen, dass de Rückverscherungsquote α auch de Höhe der dskonterten Verbndlchketen l = l( α ) beenflusst. + ls drekte Folgerung aus Satz 5. ergbt sch das folgende Korollar.

24 Korollar 5. Snd de Verluste aus der Zechnung der Rsken der Telportfolos =,, I und SR de Rendte der Kaptalanlage unkorrelert, d.h. glt Σ = 0, so ergbt sch der optmale rskobehaftete nlagebetrag a und de optmale Selbstbehaltquote α des Erstverscherers zu a α R θu δ Σ + l Σ = + σ σ R R R R VM S S SR = α ( Σ ) ( Σ + l Σ ). Snd de gezechneten Rsken der verschedenen Verscherungssparten unkorrelert zur Rendte der rskobehafteten nlage, so erhalten wr de folgenden nteressanten Strukturaussagen: Je rskoaverser das Unternehmen, d.h. je klener der Rsko-Ertrags- Präferenz-Parameter θ, umso gernger de Höhe der rskobehafteten Kaptalanlage. Der ntel des Investments n de rskobehaftete Kaptalanlage st umso höher, je höher de Überschussrendte aus der rskobehafteten Kaptalanlage st und stegt mt dem Unternehmenskaptal an. ufgrund hres negatven Betrags auf das Gesamtrsko des Unternehmens erhöhen postve Korrelatonen zwschen der rskobehafteten Kaptalanlage und dem Verlust aus der bwcklung bzw. der Verznsung der Spätschäden das Investment n de rskobehaftete Kaptalanlage. De optmale Selbstbehaltquote st unabhängg von der Höhe der rskobehafteten Kaptalanlage und setzt sch zusammen aus der optmale Selbstbehaltquote m verenfachten Modell und enem bschlag, der proportonal zu den Korrelatonen zwschen den gezechneten Rsken der verschedenen Verscherungssparten und dem Verlust aus der bwcklung bzw. der Verznsung der Spätschäden st. ufgrund hres postven Betrags auf das Gesamtrsko des Unternehmens wrken postve Korrelatonen zwschen den gezechneten Rsken der verschedenen Verscherungssparten und dem Verlust aus der bwcklung bzw. der Verznsung der Spätschäden reduzerend auf de Selbstbehaltquote. Bespel (Fortsetzung): Wr nehmen nun an, dass das Unternehmen entweder n de rskolose nlage mt

25 Rendte r = 4, 5% oder n en rskobehaftetes sset mt Rendte R nvesteren kann. Erwartungswert und Standardabwechung der Rendten R und R seen durch µ = %, σ = 5%, µ = 7% und σ = 4 gegeben. We berets R R % R erwähnt gehen wr davon aus, dass de dre Sparten Kfz-Haftpflcht, sonstge Kfz- Verscherung und Feuer-/Sachverscherung unkorrelert snd. Weter sollen dese auch kene Korrelatonen zum Kaptalmarkt, d.h. zu R und R, aufwesen SR ( SR Σ 0 und Σ 0). Für den Verlust aus der bwcklung der Spätschäden wählen wr n := I + bzw. X := und setzen de Korrelaton zwschen I + und der Rendte des rskobehafteten ssets R ebenfalls glech Null R ( Σ 0). Nach Smulaton verschedener Znssätze r zur Berechnung des Barwertes P( w, w + j) und der Größen R und wurde auf Bass enes emprschen Korrelatonskoeffzenten von 0, 999 ene Korrelaton von Ens sowe R Σ = und Σ = 35 angenommen. Über de Korrelatonen zwschen S und H, S und K, S und F sowe R und R konnte aufgrund fehlender Informaton kene emprsche ussage getroffen werden. Im Folgenden werden deshalb de Korrelatonen zwschen und glech Ens und dejenge zwschen S und H, R und S und K sowe S F R glech Null gesetzt R R ( Σ = 0). ufgrund der gemachten nnahmen erhalten wr zunächst: und sowe S Σ = S Σ = C = θ u ( µ r ) = 0, (% 4, 5 %) = Mt Korollar 5. folgt damt de optmale ösung (a, α ) mt

26 a C = = = σ (5%) R 66, 56% 0, 56% 66, 00%. VM S S α = α ( Σ ) Σ = 73, %, 83% = 7, 39% 66, 60% 0, % 66, 38% VM Verglecht man den optmalen Selbstbehalt α des verenfachten Modells mt dem des vollständgen Modells, so erkennt man den reduzerenden Enfluss der Spätschadenreserve auf den optmalen Selbstbehalt. Deser st darauf zurückzuführen, dass durch Berückschtgung der Spätschadenreserve en weterer Unscherhetsfaktor n das Modell aufgenommen wurde. Durch Verrngerung des Selbstbehalts und folglcher Erhöhung der Rückverscherungsquote kann das Unternehmen enen Tel des zusätzlchen Rskos an den Rückverscherer wetergeben. teratur [Fletcher(98)] [Garschhammer] [Greene(993)] Fletcher, R.: Practcal Methods of Optmzaton, Band, Constraned Optmzaton. John Wley, 98. Garschhammer, Clauda: En stochastsches Modell zur Ertragsoptmerung enes Sachverscherers. Dplomarbet TU München, Jul 003. Greene, Wllam H.: Econometrc nalyss. Prentce Hall, Englewood Clffs, nd edton, 993. [Mack(997)] Mack, Thomas: Schadensverscherungsmathematk, Heft 8. Schrftenrehe ngewandte Verscherungsmathematk. Verlag Verscherungswrtschaft e. V., Karlsruhe, 997. [Schneper(997)] [Schmdt(00)] Schneper, René: Captal llocaton and Solvency Testng. Score Notes, Seten 49 04, January 997. Schmdt, Klaus: Verscherungsmathematk. Sprnger Verlag, 00. [Spremann(996)] Spremann, Klaus: Wrtschaft, Investton und Fnanzerung. Internatonal Management and Fnance.

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