Fortgeschrittenen-Praktikum (FP oder PIII): Institut für Angewandte Physik

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1 -Übergag Vorbereitug: Iformiere Sie sich a Had der Uterlage i der Vorbereitugsmae über das Bädermodell, die Dotierug, de -Übergag ud seie Strom-Saugskeliie, eischließlich der Zeerdiode. Zeiche Sie schematisch de Badverlauf aalog Fig. 8 obe der Vorbereitugsuterlage, aber für eie agelegte Saug, eimal i Serrrichtug ud eimal i Durchlassrichtug. Was assiert i diesem Fall mit dem Fermi-Niveau? Bereche Sie die Kaazität eies symmetrische -Übergags i Abhägigkeit vo der Serrsaug i Ergäzug zur Formel (34) der Vorbereitugsuterlage. Brige Sie zum Versuch eie USB-Stick oder eie Diskette mit. Aufgabe: 1. Messe Sie uktweise die Strom-Saugskeliie eies Se-Gleichrichters, eier Ge-Diode ud eier Si-Diode. Als Stromquelle diet der verstärkte Ausgag der LabView-PC-Karte im Comuter (LabView-Programm -Übergag ). Gemesse wird mit Multimeter. Achte Sie dabei auf strom- bzw. saugsrichtige Messug. Zum Schutz der Diode ist ei Vorwiderstad vo Ohm zwische Saugsquelle ud Diode zu schalte. Folgede Grezwerte dürfe icht überschritte werde: I Durchlass U Serr = max max = Se-Gleichrichter* 5 ma 1 V Ge-Diode 15 ma 1 V Si-Diode 5 ma 1 V * befidet sich i der Brückeschaltug Trage Sie die Keliie i liearem Maßstab auf, die Durchlasskeliie auch logarithmisch (log(i) gege U). Diskutiere Sie Abweichuge vo der erwartete Keliie gemäß Formel (31) der Vorbereitug. Diskutiere Sie de Fortschritt der Techologie vo Se über Ge zu Si. Hiweis: Der Se-Gleichrichter ist ei eher historisch wichtiges Bauelemet ud folgedermaße aufgebaut: A der Greze zwische Se ud dem SCd Kotakt bildet sich eie düe CdSe- Schicht. Der -Übergag ist somit ei Halbleiter-Heteroübergag zwische dem - leitede Se ud dem -leitede CdSe. 1

2 . Messe Sie ach Rücksrache mit dem Betreuer die Durchlass-, Serr- ud Durchbruchskeliie vo drei Zeerdiode (ZD 39; ZD 6; ZD 8). Die Zeerdiode befide sich i eiem Kuferblock, der geheizt werde ka. Messe Sie die Keliie bei Raumtemeratur, 4 C, 6 C, 8 C ud 1 C. Beutze Sie dabei de eigebaute Vorwiderstad vo Ω, um die Diode- Ströme auf 5 ma zu begreze. Zeitabstad: ms. Date sid abseicherbar. Hiweise zur Temeraturmessug: Y-Achse mit rechter Maustaste aklicke ud Autoscale aktiviere. Bei Raumtemeratur aktuelle Raumtemeratur eigebe. Währed der Strom-Saugsmessug stot die Temeraturmessug. Der heizbare Kuferblock wird mit dem Netzgerät über die gelbe Baaebuchse geseist. Plotte Sie die Keliie für alle drei Z-Diode. Plotte Sie für eie feste Durchbruchstrom die Durchbruchsaug als Fuktio der Temeratur, U DB (T), ud bestimme Sie die jeweilige Temeraturkoeffiziete du DB /dt i mv/k. Diskutiere Sie die Temeraturabhägigkeit der Durchbruchskeliie. 3. Zeerdiode diee zur Saugsstabilisierug. Messe Sie die Keliie U out = f(u i ) für 1 uterschiedliche Lastwiderstäde im Bereich U i =..15 V für die beide Schaltuge zur Saugsstabilisierug. Plotte Sie die Keliieschar für jede Schaltug. Plotte Sie die Ausgagssaug als Fuktio des Lastwiderstads für eie Eigagssaug vo U i = 1 V. Diskutiere Sie die Uterschiede i der Wirkugsweise der beide Schaltuge. 4. Messe Sie die Kaazität des Se-Gleichrichters i eier Brückeschaltug i Abhägigkeit vo der Serrsaug. Der Se-Gleichrichter wird Grud seier große Fläche (A = 13 mm ) verwedet, da die Serrschichtkaazität hierdurch groß ist ud sich i der Brückeschaltug gut messe lässt. Zum Aufbau kurze Kabel verwede. Erkläre Sie die Wirkugsweise der Brückeschaltug. Warum ist der Vorwiderstad zwische Serrsaugsquelle ud Se-Gleichrichter hier hochohmig gewählt? Elimiiere Sie durch eie geeigete Auftragug die Kaazität der Schaltug aus de gemessee Date (C gege 1/Wurzel(U serr )). Bestimme Sie da aus C diode = f(u serr ) de Wert vo U diff ud die Dotierkozetratio uter der Aahme eies symmetrische -Übergags ud vollstädiger Ioisatio der Doatore ud Akzetore (ε = 6.6). Wähle Sie dazu wieder eie geschickte Auftragug. Wo ist die Serrschichtkaazität sivoll eisetzbar, wo ist sie eher störed? 5. Wie würde Sie eie Si-Diode aufbaue, die - eie möglichst große Durchbruchsaug i Serrrichtug hat? - eie möglichst kleie Serrschichtkaazität hat? - eie möglichst große Serrschichtkaazität hat? - Wie köte ma erreiche, dass die Serrschichtkaazität icht wurzelförmig mit zuehmeder Serrsaug abimmt, soder liear?

3 Fortgeschrittee-Praktikum (FP oder PIII): Istitut für Agewadte Physik Versuch: Übergag Vorbemerkug: Mehrere der Versuche im FP des Istituts für Agewadte Physik ziele auf das Verstädis verschiedeer Effekte ud Phäomee aus dem Bereich Halbleiterhysik i Übereistimmug mit der Hautarbeitsrichtug des Istituts ud der Awedug i der Idustrie, wie z.b. die Versuche -Übergag, Solarzelle, Halleffekt, Lumieszezsektroskoie, Photoleitfähigkeit oder Halbleitersektroskoie. Die Mehrzahl der Studierede führt die Versuche zum FP im 5. oder 6. Semester durch. Das ist im Hiblick auf die Dauer des Studiums sivoll, hat aber das Problem, dass die Festkörerhysik (Physik V) oft erst im gleiche Semester gehört wird, sodass isbesodere zu Begi dieses Semesters och kaum Festkörerketisse vorliege. Dieses Problem solle die achfolgede Ausführuge behebe. Der Aufbau ist folgedermaße: Die zur Vorbereitug dieede Iformatioe zu de Halbleiterhysik-Versuche sid modular aufgebaut. Zuächst werde Grudlage des Bädermodells eigeführt. Diese sid für alle obe geate Versuche idetisch. Da folge weiterführede Abschitte, die für die jeweilige Versuche sezifisch sid, z.b. Übergag ud Zeereffekt für de Versuch -Übergag, elektrische Leitfähigkeit ud Halleffekt für de Versuch Halleffekt oder otische Eigeschafte ud Excitoe für de Versuch Halbleitersektroskoie. Die Ketis der hier dargestellte Grudlage ist Voraussetzug für die sivolle Durchführug des Versuchs ud wird i der Besrechug vor Versuchsbegi mit dem Assistete überrüft. Der Text der Vorbereitug soll selbst verfasst sei, kurz auf die Grudlage ud auf die zu Begi des Aufgabeblattes gestellte Frage eigehe. Es ist icht ötig, de gaze Text aus der Vorbereitugsmae abzuschreibe oder zu koiere. Es ist verbote, Vorbereitugstexte alter Meister aus dem Netz auszudrucke, da der Lereffekt dieses Verfahres Null ist ud die Texte im Netz erfahrugsgemäß mit Fehler behaftet sid. Da die hier agegebee Darstelluge sehr elemetar ud ka sid ud i.a. ohe Beweise erfolge, soder mit dem Ziel, de Si ud Zweck der Versuche achvollziehe zu köe, ersetze sie icht die Teilahme a der Vorlesug Physik V ud eie itesive weitere Beschäftigug mit der Festkörerhysik. Weiterführede Literatur zu de Versuche ist am Ede der Aufgabeblätter agegebe ud etweder mit beigeheftet oder i der Fakultätsbibliothek verfügbar. 1. Kristallstruktur Wir betrachte, soweit icht aders vermerkt, kristallie Festkörer, die sich durch eie räumlich eriodische Aordug der Atome auszeiche. Die (rimitive) Eiheitszelle wird aufgesat durch drei icht kolaare Basisvektore a r i. Eie Traslatio, die de Kristall i sich selbst überführt, lässt sich schreibe als R r = 3 i= 1 i a r i mit i =, ±1, ±, (1) Die a r i sae ei abstraktes Puktgitter im Ortsraum auf, das sog. Kristallgitter. Die Kristallstruktur besteht aus diesem abstrakte Puktgitter ud der sog. Basis, die agibt, a welche Plätze i der Eiheitszelle die eizele Atome sitze. Es köe uterschiedliche 3

4 Kristallstrukture für das gleiche Puktgitter auftrete, so habe z.b. Diamat, Zikblede oder Kochsalz ei kubisch flächezetriertes Puktgitter, aber durchaus uterschiedliche Kristallstrukture. Nebe dem abstrakte Puktgitter im Ortsraum defiiert ma ei Puktgitter im reziroke Raum, das sog. reziroke Gitter, aufgesat durch die Vektore b r i mit b r 1 = π r r a a3 ud zyklisch () VEZ sodass gilt: r r ai b j = πδij. (3) Dabei ist V EZ das Volume der Eiheitszelle im Ortsraum. Ei Traslatiosvektor G r im reziroke Gitter schreibt sich somit r G = 3 i= 1 r h i b i mit h i =,±1,±, (4) Ma defiiert im reziroke Gitter sogeate Brilloui Zoe (BZ). Die erste Zoe besteht aus alle Pukte des reziroke Raumes, die dem Ursrug (dem sog. Γ-Pukt) äher liege als alle adere Pukte G r. Für eie eifache kubische Kristallstruktur mit der Gitterkostate a erstreckt sich die erste BZ i alle drei Richtuge des reziroke Raumes vo π a ki π a i=x,y,z (5). Die Zustäde der Elektroe im Festkörer.1 Das Potetialtofmodell Die eifachste Vorstellug des Elektroesystems i eiem Festkörer ist das Sommerfeldoder Potetialtofmodell. Hier geht ma davo aus, dass der Kristall eie Potetialtof mit eier Tiefe - V darstellt, desse Zustäde ( bei T = K ) bis zur Fermieergie E F aufgefüllt sid. Fig. 1: Das Potetialtofmodell für eifache Metalle Der Abstad vo E F zum Vakuum-Niveau ist die Austrittsarbeit der Elektroe Ø. 4

5 Mit diesem Modell lasse sich eiige Eigeschafte eifacher Metalle erkläre, wie ihre sezifische Wärme, ihre elektrische Leitfähigkeit oder ihr Paramagetismus. I diesem Modell ist aber die Existez vo Halbleiter oder Isolatore icht erklärbar. Dazu bedarf es des achfolged erläuterte Bädermodells.. Das Bädermodell Das Auftrete vo Eergiebäder, die vo sog. verbotee Zoe oder Eergielücke getret sid (eglisch ga ), i dee keie statioäre, roagierede Elektroezustäde existiere (Fig.), lässt sich verstehe ausgehed vo freie Elektroe ud vo de Orbitale der Atome, aus dee der Kristall aufgebaut ist. Die zugehörige Methode der Badstrukturrechug sid bekat uter Name wie NFE (early free r electros), OPW (orthogoalized lae waves), APW (augmeted lae waves) ud k r (ach dem Produkt aus Wellevektor k r ud Imulsoerator r ) bzw. LCAO (liear combiatio of atomic orbitals) oder tight bidig aroach. Wir begie mit freie Elektroe. We sich diese über eiem kostate Potetial V bewege, habe sie (ichtrelativistisch) die Eergiedisersio r r h k E( k ) = E + (6) m e mit ebee Welle als Eigefuktioe r r 1 r ikr Ψr ( ) = e. (7) k Ω Dabei sid 1/ Ω der Normierugsfaktor ud k r der Wellevektor mit k = π / λ Siehe die gestrichelte Liie i Fig. a. Fig. : Etwicklug des reduzierte Zoeschemas (b), ausgehed vo freie Elektroe i eiem schwache eriodische Potetial (a) oder vo Atomorbitale (d, c). h Die ebee Welle ist gleichzeitig Eigefuktio des Imulsoerators grad mit dem i Imulseigewert h k r. Dies etsricht dem Modell uter.1. 5

6 Wir betrachte jetzt ei schwaches eriodisches Potetial lägs der x-achse (Fig. 3) ud lasse eie ebee Welle auf dieses Potetial auftreffe. Fig. 3: Ei schwaches eidimesioales eriodisches Potetial V(x) ud die Aufethaltswahrscheilichkeit der beide Lösuge Da wird a jedem Potetial die ebee Welle etwas gestreut. Die Streuwelle iterferiere für eie allgemeie Wert vo k x weitgehed destruktiv, d.h. für ei solches k werde Eigeeergie ud Eigefuktio (6) ud (7) icht wesetlich verädert. Es gibt aber bestimmte k x -Werte, für die sich die rückgestreute Welle kostruktiv überlager. Diese sid für user Beisiel gegebe durch λ = a (8) oder k x π = mit = ±1, ±. (9) a Das sid gerade die Greze der 1 ud der höhere BZ i eiem eifach kubische Gitter (5). Der reziroke Raum ist also der Raum, i dem die k r -Vektore aufgetrage werde. Die Überlagerug der eifallede mit der rücklaufede Welle führt zu eier stehede Welle. Diese hat für gleiches λ bzw. k zwei Lösuge, die si k x x ud die cos k x x Lösug. Bei k r h gleicher kietischer Eergie ist die otetielle Eergie der Zustäde mit großer m Aufethaltswahrscheilichkeit im Bereich der Potetialmiima kleier als die der adere Lösug. Deshalb bilde sich a de Räder der Brilloui Zoe zwei Lösuge uterschiedlicher Gesamteergie ud damit Eergielücke aus (durchgezogee Liie i Fig. a). Da sich ei Welleaket, aufgebaut aus stehede Welle, auch icht bewegt ud damit die Grue Geschwidigkeit v g ull wird, d.h. v g 1 E = h k x =, (1) muss die Disersioskurve mit waagrechter Tagete auf de Zoerad zulaufe. 6

7 Geht ma statt vo freie Elektroe vo Atomorbitale aus, so hat ma zuächst bei großem Abstad zwische de Atome die scharf defiierte δ-förmige Eergieterme (Fig. d). Mit abehmedem Abstad fage die Atomorbitale a zu überlae. Diese Wechselwirkug führt zu eier Aufsaltug i Bäder (Fig.c). Die Badbreite wächst mit weiter abehmedem Abstad, da da die beteiligte Wellefuktioe zuehmed überlae. Die geauere Utersuchug ergibt das sog. (Ewald-)Bloch Theorem: I eiem eriodische Potetial sid die Wellefuktioe der Elektroe sog. Blochwelle r r 1 r ikr r Ψ r ( ) = e u r ( ), (11) k k Ω r r r dabei ist u r ( + R) = u r ( ), d.h. gittereriodisch. (1) k k r I u r k (r ) steckt die Iformatio über die durch chemische Bidug ud Wechselwirkug veräderte Atomorbitale, währed die Exoetialfuktio de Charakter der ebee Welle reräsetiert. I der Blochwelle sid somit beide obige Asätze vereit. Für die Eergieeigewerte gilt: r r r E( k ) = E( k + G). (13) Das erlaubt eierseits, die Disersio vo Fig. a eriodisch fortzusetze oder alle Äste mit geeigete Vektore G r des reziroke Gitters i die erste Brilloui Zoe zu schiebe. Das liefert das sog. reduzierte Zoeschema vo Fig. b, das ma offebar sowohl vo dem Asatz ach Fig. a als auch d erreicht. Das Bädermodell lässt sich im k r oder reziroke Raum darstelle oder im Ortsraum. (Fig. 4) Fig. 4: Darstellug der Badstruktur im k r - ud im Ortsraum. Je ach Problemstellug wählt ma die eie oder adere Darstellug. Wir besetze u für T=K die Zustäde gemäß Fermi-Dirac Statistik mit de im Kristall vorhadee Elektroe. Dieser Auffüllrozess ka so ausgehe, dass ma eie Reihe vollstädig gefüllter Bäder erhält ud darüber ei (oder mehrere) teilweise gefüllte Bäder. Solche Substaze sid Metalle. Sie habe für T eie edliche (oder bei Suraleiter eie uedliche) elektrische Leitfähigkeit ud E F liegt im dem Bad. Grud: I eiem teilweise besetzte Bad ka ei Elektro uter beliebig kleier Eergiezufuhr a der Greze zwische besetzte ud ubesetzte Zustäde vo eiem Ort a eie adere Ort 7

8 trasortiert werde. Da das Bad im Sommerfeldmodell immer ur teilweise besetzt ist, lasse sich damit, wie scho erwäht, ur Metalle beschreibe. Gibt es ach Auffülle aller Zustäde bei T= ur vollstädig gefüllte Bäder, da eie Eergielücke ud darüber vollstädig leere Bäder, so hat das Material für T die elektrische Leitfähigkeit σ=, da vollstädig leere Bäder trivialerweise icht zur elektrische Leitfähigkeit beitrage köe, vollstädig besetzte ebefalls icht aufgrud des Paulirizis. Die öfters ud auch i mache Lehrbücher vertretee Auffassug, dass Elektroe i Leitugsbad frei beweglich sid, Elektroe i Valezbäder dagege fest a die Atome gebude seie, ist falsch. Da dürfte es ämlich auch keie Löcher- oder - Leitug gebe (siehe ute). Hier gleich ei Hiweis zur Nomeklatur: alle bei T= vollstädig besetzte Bäder heiße Valezbäder, alle teilweise besetzte oder leere Bäder heiße Leitugsbäder. Beträgt die Lücke E g zwische dem höchste gefüllte Valezbad (VB) ud dem iedrigste leere Leitugsbad (LB) < E g 4eV, (14) so hadelt es sich um eie Halbleiter () ud für E g 4eV (15) um eie Isolator. Die Greze zwische ud Isolator ist fließed. So ist Diamat mit E g 5.5eV och ei tyischer Halbleiter. Die selbst werde och eigeteilt i schmallückige (arrow ga semicoductors) für < E g, 5eV, (16) i ormale für,5ev Eg ev (17) ud i breitlückige (wide ga semicoductors) E g > ev, (18) die besoders i de letzte Jahre wieder vo verstärktem wisseschaftliche Iteresse sid. Berühre sich VB ud LB, d.h. ist E g =, so sricht ma vo Halbmetalle. 8

9 Fig. 5: Tyische Badstruktur vo Halbleiter mit tetraedrischer Koordiatio mit Details (ach O. Madelug) I Fig. 5 ist eie tyische Badstruktur vo kubische Halbleiter mit tetraedrischer Koordiatio dargestellt. Die Komlexität der Badstruktur rührt ebe dem eriodische Potetial im Wesetliche vo der Rückfaltug der arabolische Disersio ach (13) i die erste BZ her. Es sid eiige Details gezeigt. Liege die globale Extrema vo VB ud LB beim gleiche k r -Vektor i der 1 BZ (meist aber icht immer bei k r = ), so sricht ma vo eiem direkte oder eiem mit direkter Lücke, da der otische Übergag zwische de Badextrema direkt mit eiem Photo ( k r ) möglich ist (z.b. GaAs). Liege die Extrema bei uterschiedliche k r -Werte, so ist der idirekt, da zusätzlich zu dem Photo och ei Phoo zur (Quasi-)Imuls oder ħ k r -Erhaltug ötig ist (z.b. Si oder Ge). 3. Dotierug, Elektroe ud Löcher Wir verlasse u de Fall T= ud überlege, wie ma eie edliche Azahl vo Elektroe im LB oder vo ubesetzte Zustäde im VB erzeuge ka, wie also im eie edliche Leitfähigkeit erzeugt werde ka. Dazu führe wir zuächst de Begriff des Lochs ei. Ei vollbesetztes VB ethält ca. 1 3 Elektroe/cm 3. Etfere wir daraus ei Elektro, so köe wir etweder die (1 3-1) verbleibede Elektroe betrachte oder de eie ubesetzte Platz. Letzteres ist offesichtlich eifacher ud führt zum Kozet der Defektelektroe oder Löcher. Ei Loch ist ei ubesetzter Zustad i eiem asoste fast vollstädig gefüllte Bad. Elektrische Ladug, Si ud Imuls sid etgegegesetzt zu dee des fehlede Elektros, da diese Werte für ei gefülltes Bad isgesamt Null sid. Das Loch hat somit eie ositive Ladug ud trägt zum Stromtrasort bei (Löcherleitug). Zusammefassed köe wir folgedes festhalte: Elektroe ud Löcher im (-) Kristall sid sog. Quasiteilche, die ur im Kristall existiere. Sie sid charakterisiert durch ihre Disersiosrelatio E( k r ) durch ihre Quasiimuls h k r. Quasiimuls deshalb, weil hk r ur modulo der b r i erhalte ist ud weil Blochwelle keie Eigefuktioe des Imulsoerators 9

10 sid. Deoch gilt z.b. i Streurozesse im Kristall ei Erhaltugssatz für die Summe aller r r h k i ( ± G). Weiter werde Elektroe ud Löcher durch ihre effektive Masse charakterisiert. Die effektive Masse wird durch folgede Überlegug eigeführt: Für Trasorteigeschafte bildet ma durch die Überlagerug vo Bloch-Welle Welleakete. Diese bewege sich mit ihrer Gruegeschwidigkeit. v g = 1 h E k ω = k (19) Siehe auch (1). Eie äußere Kraft (z.b. äußeres E r oder B r -Feld) ädert vg gemäß vg 1 E 1 E k 1 E hk a = = = =. () t h k t h k t h k t hk Dabei ist a die Beschleuigug, die Imulsäderug gibt die Kraft F r. t Vergleich mit 1 a = F (1) m führt zum Kozet der effektive Masse vo Elektroe ud Löcher, mit der sie auf eie äußere Kraft reagiere ud die gegebe ist durch r r 1 1 E( k ) 1 E( k ) = =. () m h k h k k e, h i j Die allgemeiere Schreibweise i () zeigt, dass es sich um eie Tesorgröße hadel ka. Die effektive Masse sid also umso kleier, je größer die Badkrümmug ist. Das ist ei sehr sivolles Kozet, de wir hatte weiter obe festgestellt, dass die Breite der Bäder ud damit ihre Krümmug umso größer wird, je größer der Überla beachbarter Wellefuktioe ist. Adererseits ka sich ei Elektro oder Loch umso leichter durch de Kristall bewege, je größer dieser Überla ist. Wir betrachte och eimal Fig. 4 a). I kubische Halbleiter fidet ma oft, dass das Valezbad bei k= durch die Si-Bah Wechselwirkug Δ SO i zwei Teilbäder aufgesalte ist. Das obere ist bei k= vierfach etartet (J=L+S= 3 h ) ud saltet für k i zwei je zweifach etartete Bäder auf. Da diese uterschiedliche Krümmug besitze, werde sie als schweres ud leichtes Lochbad (hh ud lh) bezeichet. Das Si-Bah abgesaltee Bad (J=L+S= ½ ) ist ur zweifach etartet. I eiachsige Kristalle wie GaN, ZO, CdS, CdSe, ist die vierfache Etartug des obere Bades durch das hexagoale Kristallfeld scho bei k= aufgehobe. Ma hat daher bei k= drei zweifach etartete Valezbäder, die vo obe ach ute üblicherweise als A, B ud C Valezbad bezeichet werde. Für tiefe Atomorbitale (z.b. 1s) geht der Überla gege Null ud die effektive Masse gege. Für solche (ud ur für solche) Elektroe ka ma sage, dass sie fest a ei Atom gebude sid. Die Effekte, die us im Folgede iteressiere, siele sich gaz überwieged im Maximum des oberste VB ud im Miimum des tiefste LB ab. I diese Bereiche ist die Disersio arabolisch ud damit die effektive Masse kostat. Dies führt zur effektive Masse 1

11 Näherug, i der Elektroe ud Löcher als freie Teilche mit Ladug ±e, Quasiimuls hk r ud kostater effektiver Masse m e,h betrachtet werde. Elektroe ud Löcher sid Eiteilchezustäde oder die Lösuge des N±1 Teilcheroblems i folgedem Sie: Brigt ma i eie Kristall mit eiem mit N Elektroe voll besetzte Valezbad ei weiteres (das N+1. Teilche), so stehe für dieses gerade die LB Zustäde zur Verfügug. Etfert ma ei Elektro (N-1 Teilche), so kommt dieses gerade aus de VB Zustäde. Es gibt verschiedee Möglichkeite, i eiem Halbleiter Elektroe ud/oder Löcher zu erzeuge. - Thermische Aregug. Bei edlicher Temeratur wird ei geriger Teil der Elektroe thermisch vo VB is LB ageregt ud lässt dort Löcher zurück. Es gilt damit für die Elektroe- ud Löcherkozetratio ud = = i (T). (3) Dabei ist i (T) die sogeate itrisische Elektroekozetratio. I tyische ist i bei Raumtemeratur (RT) sehr klei, wie eie Betrachtug des Boltzmafaktors zeigt. I diesem Fall liegt das Fermi-Niveau oder chemische Potetial der Elektroe etwa i der Mitte der Badlücke. Die Begriffe Fermieergie E F oder (Elektro-) chemisches Potetial μ werde i der -Physik i.a. syoym gebraucht. E F gibt die Eergie, bei der die Besetzugswahrscheilichkeit de Wert.5 hat, uabhägig davo, ob bei dieser Eergie Zustäde existiere oder icht. Im Allgemeie liegt E F im i der Eergielücke. - Dotierug. Im thermische Gleichgewicht ka die Kozetratio eier Ladugsträgersorte zu Laste der adere stark durch Dotierug erhöht werde. Uter Dotierug versteht ma de gezielte Eibau vo Fremdatome. Doatore (z.b. Grue V Elemete i Si) habe ei lokalisiertes ud schwach gebudees Elektro, das bei RT thermisch leicht is LB ageregt werde ka gemäß D D + + e, (4) währed Akzetore eie ubesetzte Zustad ka über dem VB abiete, der aus diesem ei Elektro aufehme bzw. ei Loch is VB abgebe ka gemäß A A + h. (5) Im thermodyamische Gleichgewicht gilt stets i T = ( ), (6) d.h. ma ka etweder oder erhöhe (sog. Majoritätsladugsträger) zu Laste der adere Ladugsträgersorte (Mioritätsladugsträger). Dotierug mit Doatore ud Akzetore führt über Elektro-Loch Rekombitatio zur Komesatio. - Otische Aregug oder Ladugsträgerijektio. Die Ladugsträgerkozetratio ka auch durch otische Aregug erhöht werde ( Photoleitfähigkeit, Solarzelle) oder durch Ijektio i eie Übergag ( Gleichrichter, Solarzelle, 11

12 Lumieszez). I diese Fälle etfert ma sich vom thermodyamische Gleichgewicht ud (6) gilt icht mehr. Fig. 6: Die schematische Ladugsträgerverteilug i eiem oder dotierte I Fig. 6 zeige wir schematisch die Ladugsträgerverteilug i eiem ud i eie dotierte. Das Fermi-Niveau (oder chemische Potetial) liegt bei tiefe Temerature zwische dem Bad ud dem Dotier-Niveau ud bewegt sich mit zuehmeder Temeratur i Richtug Mitte der Badlücke. (Siehe Fig. 7) Fig. 7: Die Lage des Fermi-Niveaus i Abhägigkeit vo T für eie uterschiedlich stark oder dotierte Si-Kristall. Beachte die leichte Abahme der Badlücke mit zuehmeder Temeratur. Nach Schaumberg, Halbleiter. Die Lage vo E F ist festgelegt durch die absolute Temeratur des ud die Elektroekozetratio z.b. i LB gemäß 1

13 E g ( FD, B F ) = D E) f ( E, E, T de, (7) dabei sid D(E) die Zustadsdichte ud f die Besetzugswahrscheilichkeit. Für Elektroe gilt 1 f = f FD =. (8) ( E EF ) / kb e T + 1 Soweit E F i der Badlücke liegt, lässt sich (8) für die Verteilug der Ladugsträger i de Bäder durch die Boltzmastatistik ersetze. f B ( E EF ) / kbt = e (9) Die Löcherkozetratio ist da gegebe durch = D E)(1 f FD B ( E, EF, T )) de, (3) (, wobei im thermodyamische Gleichgewicht E F für Elektroe, Löcher ud die Besetzug der Dotier-Niveau i der Lücke das Gleiche ist. Der Eergieullukt wurde i (7-9) abweiched vo Fig. 7 a die Oberkate des Valezbades gelegt. 4. Der Übergag Brige wir u eie -ud eie -dotierte Halbleiter i Kotakt, so wird Teilcheaustausch möglich, d.h. es diffudiere auf Grud des Kozetratiosgradiete Elektroe aus dem - i das -Gebiet ud rekombiiere dort mit Löcher ud umgekehrt. Dadurch etsteht eie a Ladugsträger verarmte Zoe. Da die ioisierte Doatore ud Akzetore (D + ud A - ) zurückbleibe, etsteht eie elektrische Diolschicht, i der ei elektrisches Feld herrscht. Dieses elektrische Feld erzeugt eie Potetialstufe der Höhe U diff, die die Diffusiosströme der Majoritätsträger (d.h. der Elektroe vom - is - Gebiet ud der Löcher vom - is -Gebiet) reduziert, da ur och Ladugsträger diffudiere köe, dere thermische Eergie k B T ausreicht, um U diff zu überwide. Das Fermi-Niveau stellt sich bei Teilcheaustausch im thermodyamische Gleichgewicht räumlich kostat ei. Alle obe agesrochee Größe sid i Fig. 8 schematisch dargestellt. 13

14 Fig. 8: Die Badverbiegug i eiem -Übergag (a), die Raumladuge ρ (b), die elektrische Feldstärke E x (c), das elektrostatische Potetialφ (d) ud die Ladugsträgerkozetratioe i der Verarmugszoe ohe agelegte Saug i log. ud iearer Darstellug (e,f). Die Diffusiosströme heiße auch Rekombiatiosströme, da die jeweilige Majoritätsladugsträger (z.b. die Elektroe im -Gebiet), die auf die adere Seite diffudiere, dort schell mit de viele Ladugsträger der adere Sorte (i diesem Beisiel Löcher im -Gebiet) rekombiiere. Die sog. Diffusios- (oder Rekombiatios-)ströme der Majoritätsträger addiere sich. Beide Diffusiosströme werde jeweils für sich komesiert durch die Feld- (Drift- oder Geeratios-)ströme, die vo de Mioritätsträger herrühre, die i das elektrische Feld der Verarmugszoe diffudiere ud dort beschleuigt werde, oder die thermisch i der Verarmugszoe durch Bad-Bad Aregug erzeugt werde. Die Feldströme sid auch bekat uter dem Name Driftströme oder Geeratiosströme, da die vom elektrische Feld des -Übergags abgezogee Mioritätsträger durch thermische Geeratio vo Elektro-Loch Paare wieder achgeliefert werde müsse. Der Zusammehag der Fig. 8(b) bis (d) folgt aus de Gleichuge div E r r = ρ /εε ud E = grad Φ. 14

15 Fig. 8 (e) zeigt die Abahme der Majoritätsladugsträgerkozetratioe im -Übergag i logarithmischem Maßstab. Der symmetrische Kurveverlauf etsricht der Beziehug = i i der Verarmugszoe. A eier Stelle wird = = i erreicht. I Fig. 8f sid die Ladugsträgerkozetratioe schematisch i liearem Maßstab aufgetrage. Der Begriff (Ladugsträger-)Verarmugszoe für de -Übergagsbereich wird hier besoders augefällig. Legt ma u eie Saug i Durchlassrichtug a ( Pol a -Gebiet, +Pol a -Gebiet), werde Elektroe ud Löcher i die Verarmugszoe getriebe. Diese wird dadurch schmäler ud iederohmiger, die Diode leitet besser. Die Potetialstufe vo Fig. 8a wird um die agelegte Saug eriedrigt, die Diffusiosströme wachse äherugsweise exoetiell (Boltzmastatistik), die Feldströme bleibe äherugsweise kostat. Legt ma eie Saug i Serrrichtug a (+Pol a -Gebiet, Pol a -Gebiet), werde och mehr Elektroe aus der Verarmugszoe abgezoge, die dadurch breiter ud och hochohmiger wird. Die Diode serrt. Die Potetialstufe wird um die agelegte Serrsaug erhöht, die Diffusiosströme ehme exoetiell ab, die Feldströme bleibe äherugsweise kostat. Damit ergibt sich i diesem Modell eie Strom- ud Saugskeliie eu / kbt I = I ( e 1). (31) S Siehe Fig. 9. I S ist der Sättigugsserrstrom. Dieser wird umso kleier, je größer die Badlücke des Halbleiters ist. Für hohe Durchlasssauge wird der Widerstad der Verarmugszoe so klei, dass die exoetielle Keliie ach (31) i eie lieare Verlauf übergeht, der durch die Ohmische Widerstäde der - ud -Gebiete bestimmt ist. Eie ähliche Keliie wie (31) erhält ma auch a mache -Metallkotakte. Das sid die sog. Schottky-Diode. Legt ma eie Saug a de -Übergag, so befidet er sich icht mehr im thermodyamische Gleichgewicht. Die Verteiluge für Elektroe ud Löcher i der Verarmugszoe köe icht mehr mit eiem gemeisame Fermi-Niveau für beide e h Ladugsträgersorte beschriebe werde, soder ma führt Quasi-Fermi-Niveaus E, F, jeweils für Elektroe ud Löcher ei, die die Verteilug der Ladugsträger i de jeweilige Bäder beschreibe. Wird der -Übergag i Durchlassrichtug geolt, liege die Quasi- Fermi-Niveaus i der Verarmugszoe äher a de jeweilige Bäder als im thermodyamische Gleichgewicht, bei Polug i Serrrichtug sid sie weiter davo etfert. Der eergetische Abstad der Quasi-Fermi-Niveaus wird als chemisches Potetial e h des Elektro-Loch Paarsystems bezeichet, d.h. μ eh = EF EF. Im thermodyamische Gleichgewicht ist μ eh =. 5. Zeerdiode Alle Diode zeige bei hireiched hoher Serrsaug ei Durchbruchverhalte wie i Fig. 9 dargestellt. 15

16 Fig. 9: Diodekeliie mit Durchbruch Währed die meiste Diode bei Erreiche der Durchbruchsaug sehr schell (thermisch) zerstört werde, sid Zeer (Z-) Diode so ausgeführt, dass der Z-Durchbruch bis zu Ströme im (zeh) ma Bereich reversibel durchfahre werde ka. Dazu muss der Durchbruch auf der gaze Fläche des -Übergags gleichmäßig erfolge ud für eie gute Wärmeabfuhr über das Gehäuse gesorgt sei. Für de Zeerdurchbruch sid im Wesetliche zwei Effekte veratwortlich. Für sehr hoch dotierte -Übergäge ist die Verarmugszoe dü ud die elektrische Feldstärke groß. Durch Alege eier Serrsaug wird die Breite der Tuelbarriere weiter verrigert. Siehe Fig. 1a. Fig. 1: Z-Durchbruch durch Tuel (schematisch) (a) ud durch Stoßioisatio (schematisch) (b). 16

17 We die Barriere hireiched dü wird, köe Elektroe aus de fast voll besetzte VB is fast leere LB tuel. Dieser Tuelstrom addiert sich zu dem Serrstrom I S i (31) ud wächst exoetiell mit abehmeder Breite der Tuelbarriere, d.h. mit zuehmeder Serrsaug. Da i de meiste die Badlücke mit zuehmeder Temeratur abimmt, sikt i diesem Fall die Zeersaug mit zuehmeder Temeratur. Bei schwächer dotierte -Übergäge bleibt die Barriere so breit, dass Tuel keie Rolle sielt. Hier ka ei Z-Durchbruch durch Stoß-Ioisatio auftrete (der sog. Lawiedurchbruch). Siehe Fig. 1b. Ei Mioritätsladugsträger (i Fig. 1b ei Elektro aus dem -Gebiet) ka bei hireiched großer freier Wegstrecke im elektrische Feld der Verarmugszoe so stark beschleuigt werde, dass er durch Stoßioisatio ei Elektroe-Loch Paar erzeugt. Diese zusätzliche Ladugsträger i der Verarmugszoe köe ihrerseits wieder weitere Elektroe-Loch Paare erzeuge usw. Dies führt zum sog. Lawiedurchbruch. Da die freie Flugstrecke der Ladugsträger zwische zwei Stöße mit zuehmeder Temeratur i.a. abimmt, steigt hier die Zeersaug mit zuehmeder Temeratur. Durch die uterschiedliche T- Abhägigkeite lasse sich beide Effekte uterscheide Saugsstabilisierug mit Z-Diode: Eifache Schaltug Der Vorwiderstad ud die i Serrrichtug betriebee Z-Diode bilde eie Saugsteiler: Die Ausgagssaug U a etsricht dem Saugsabfall über der Z- Diode, U Z, die im Durchbruchsgebiet aäherd kostat ist, U Z U Z, (Zeersaug). Sei der Lastwiderstad R L groß, d.h. der Ausgagsstrom I a klei, ud damit der Saugsteiler im Pukt A ubelastet. Für Eigagssauge U e < U Z, fällt U e weitgehed über der Z-Diode ab (großer Serrwiderstad der Diode): Die Ausgagssaug steigt liear mit der Eigagssaug U a ~ U e. Für Eigagssauge U e > U Z, (+U V ) befidet sich die Z-Diode im Durchbruch ud es fällt ur och die Zeersaug U Z, über ihr ab, uabhägig vom durchfließede Strom. Der Rest der Eigagssaug fällt über de Vorwiderstad R V ab. Damit gilt: U a = U Z,, d.h. die Ausgagssaug bleibt uabhägig vo der Eigagssaug U e auf U Z, stabilisiert. Ist der Lastwiderstad R L icht groß im Vergleich zum Widerstad R Z der Diode, so bricht der R V /R Z -Saugsteiler ei. Die Saug im Pukt A wird da zuehmed durch die Saugsteiler R V / R L bestimmt, da der Eigagsstrom mehr über die Last abfließt als über die Z-Diode. Eie Stabilisierug setzt erst ei, we der Eigagsstrom ud damit der 17

18 Ausgagsstrom I a so hoch wird, dass der Saugsabfall über R L die Zeersaug U Z, erreicht. 5.. Saugsstabilisierug mit Z-Diode ud Trasistor Eie gute Saugsstabilisierug auch für kleiere Lastwiderstäde wird mit eiem Trasistor lägs zur Z-Diode erreicht. Der Trasistor befidet sich dabei i Kollektorschaltug. Er fugiert da als Imedazwadler mit iederohmigem Ausgag ud mit (differetiell) hochohmigem Eigag. Ei Imedazwadler überträgt die Eigagssaug uverstärkt, ka aber hohe Ausgagsströme liefer. A de hochohmige Basis-Emitter-Eigag des Trasistors wird die Ausgagssaug der Z-Diode U Z gelegt. Am Verzweigugsukt A wird da ei ur kleier Strom i Richtug zur Last, d.h. arallel zur Z-Diode, etomme. Nu ist der Emitterstrom = Trasistor-Ausgagsstrom um die Stromverstärkug β größer als der Basisstrom = Trasistor-Eigagsstrom. β beträgt etwa 1. Äderuge des Ausgagsstroms durch Äderuge vo R L schlage daher ur mit 1/β 1/1 auf de Trasistor-Eigagsstrom durch. Der am Verzweigugsukt A etommee Strom ist also icht ur klei, er hägt auch ur gerigfügig vom Lastwiderstad R L ab. Die Saug im Pukt A wird daher raktisch uabhägig vom Lastwiderstad. Der otwedige Ausgagsstrom (Laststrom) = Emitterstrom wird vom Trasistor zum allergrößte Teil über seie Kollektoraschluss gezoge, ur ei Ateil 1/β stammt vom Basis-Aschluss. Die Saugsverstärkug der Kollektorschaltug ist ahezu 1. Die Emitter- Ausgagssaug ist gleich der Basis-Eigagssaug mius de Saugsabfall über die Basis-Emitter-Strecke für Durchlassolug, U BE,7 V (Silizium-Trasistor). Die Eigagssaug wird also uabhägig vom Ausgagsstrom auf de Ausgag übertrage. Da am Eigag die hochstabile Z-Diode-Saug aliegt, ist auch die Trasistor- Ausgagssaug hochstabil: U A = U Z, -U BE. Der Widerstad R E diet der Gleichsaugs-Gegekolug (Reduktio des Eiflusses eier thermisch bedigte Äderug vo U BE ) ud der Stabilisierug der Ausgagssaug bei offeem Ausgag. 18

19 6. Die Radschichtdicke des -Übergags i Schottky-Näherug Wir frage ach der Dicke der Verarmugsradschichte im - ud -Gebiet, die sich bei gegebeem Halbleiter ud gegebeer Dotierug am -Übergag eistelle. Durch Dotierug ud Halbleiter vorgegebe ist die Differez der Fermiiveaus tief im - ud -Gebiet ud damit die Höhe der Potetialstufe U diff. Dieser Stufe muss das elektrische Potetial Φ(x) etlag des Übergags geüge. Eie aalytische Lösug der Poisso-Gleichug Φ( x) x ρ( x) = ε ε ρ(x) = Ladugsdichte, ε = Dieelektrititätszahl des Halbleiters ist im Fall der sogeate Schottky-Näherug möglich, die folgede Aahme macht: (i) die Fermi-Aufweichug der Ladugsträgerdichte am Übergag vom verarmte zum ichtverarmte Bereich wird durch eie Stufe ersetzt, (ii) der Beitrag der freie Ladugsträger zum Potetial ist verachlässigbar, (iii) die Akzetore ud Doatore sid vollstädig ioisiert. Mit diese Aahme wird die Raumladugsdichte stufeartig mit Stufehöhe gegebe durch die Dotierkozetratioe N A ud N D ud Stufegreze etsreched de Radschichtdicke d ud d. ρ( x) = en en A D d x d x x d d x ( d ositive ist eie Zahl) Die stückweise kostate Raumladugsdichte ρ(x) lässt sich sofort itegriere. Für das -Gebiet folgt die Poisso-Gleichug Φ x ( x) = en ε D ε mit dem Itegral Φ ( x) en D = x x ε ε + ud der Itegratioskostate K 1. Diese folgt aus der Radbedigug, dass das elektrische Φ ( x) Feld E ( x) am Rad bei x = d verschwide muss, zu x K 1 d.h. K 1 = en D d ε ε, Φ ( x) x en D = ε ε en D x + ε ε d 19

20 mit dem elektrische Feld en D E ( x) = ( x d ε ε ). Die zweite Itegratio liefert Φ en en ( K D D x) = x + d x + ε ε ε ε Wir wähle de Nullukt vo Φ (x ) bei x =, so dass die Itegratioskostate K verschwidet. Das gesuchte Potetial lautet da. Φ en D ( x) = ε ε x en D + ε ε d x Das Potetial am Rad bei Damit lässt sich Φ (x) x = d ist: ausdrücke als en Φ. D ( x = d ) = d ε ε Φ en D ( x ) = ( x d ) + Φ ( x = d ε ε ). Das Potetial etsricht also eier ach ute geöffete Parabel, die um verschobee ist sowie um Φ x = d ) ach obe. ( x = d ach rechts Die aaloge Rechug für das -Gebiet liefert mit der gleiche Radbedigug verschwidede E-Felds bei x = d ud mit Stetigkeit bei x = Φ ( x) = en A ε ε x en A + ε ε d x ud das Radotetial en Φ. A ( x = d ) = d ε ε Φ (x) lässt sich ausdrücke als Φ ( x) = en A ( x + d ε ε ) + Φ ( x = d ) ud etsricht damit eier ach obe geöffete, um d ach liks verschobeee Parabel.

21 Die Differez der Radotetiale vo - ud -Gebiet etsricht der Potetialstufe U diff : U diff en en = Φ. (3) D A ( x = d ) Φ ( x = d ) = d + d ε ε ε ε Die Forderug ach Stetigkeit des E-Felds bei x =, d.h. E ( x) x= = E ( x) x= en ε d D A ε ε ε, führt auf: en = d. (33) Diese Bedigug ist idetisch mit der Forderug ach isgesamter Ladugseutralität. Mit Hilfe vo (33) lässt sich (3) ach de Radschichtdicke d ud d auflöse d = ε U e diff N D N ( N D A + N A, ) d = ε U e diff N A N ( N D D + N A. ) Liegt eie äußere Saug U am -Übergag a, so fällt diese zusätzlich zum iere Potetial U diff über de -Übergag ab: Φ Φ = U diff U. Das Vorzeiche vo U etsricht dabei eiem ositive Saugswert i Flussrichtug ud eiem egative Saugswert i Serrrichtug. U diff i (3) ist also durch U diff U zu ersetze. Damit werde d ud d abhägig vo der äußere Saug. Es folgt: d = ε ( U diff e U ) N D N ( N D A + N A ) d = ε ( U diff e U ) N A N ( N D D + N A ) 1

22 7. Die Kaazität der Serrschicht Die hochohmige, aber geladee Verarmugszoe zwische de - ud -dotierte Bereiche etsricht eiem Plattekodesator mit eiem Dielektrikum ε. Das Feld ist allerdigs icht homoge, so dass die Formel C = εa/d icht gültig ist. Die Kaazität C muss daher berechet werde. Beutze wir die Defiitio: Q C =, U Kodesator so ist Q die Ladug eier Platte, also z.b. die der -Verarmugszoe U Kodesator die gesamte über de -Übergag abfallede (iere ud äußere) Saug U diff U S ( = U diff + U S für Serrrichtug). Die Ladug Q ergibt sich aus der Dichte der Raumladug ud dem (saugsabhägige!) Volume der betrachtete Verarmugszoe, d.h. der Querschittsfläche A des -Übergags ud der Dicke d oder d der Verarmugszoe. Die Kaazität ka alterativ aus der Äderug der Ladug mit der äußere Saug berechet werde: dqges C = du Da ist Saug. Q Ges die gesamte, im -Übergag geseicherte Raumladug ud U die äußere Im Fall der Schottky-Näherug (d ud d siehe vorige Seite) ud im Fall eies symmetrische -Übergags, d.h. N D = N A, ist die Berechug vo C uschwierig. Das Resultat besitzt die Form mit B( N D,ε ) 1 C( U ) = B, U U diff B = ud U = äußere Saug. Beachtet ma, dass U für Serrsauge egativ ist, erhält ma für die Serrrichtug 1 C( U S ) = B, (34) U + U diff S 1 Die Auftragug vo C über U S liefert somit die Dotierkozetratio N D aus der Steigug 1 B ud die Diffusiossaug U diff aus dem y-achseabschitt U diff B.