Das Inertialsystem Erde
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- David Armbruster
- vor 7 Jahren
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1 Ds Inertilsystem Erde Ds geogrphische Koordintensystem Die Erde wird mit dem ruhenden Kugelintertil umgeben. Aus dem Kugelkoordintennetz wird ds geogrphische Koordintennetz weiter entwickelt, welches im folgenden erläutert werden soll. Soll ein Ort uf der Erdoberfläche definiert werden, bedrf es zweier Bezugslinien, uf die mn die Lge des Ortes oder eines Punktes bezieht. Der erste Bezugskreis ist der Grundkreis. Er wird ls Äqutor (lt. Gleicher) bezeichnet und teilt die Erdkugel in eine nördliche und eine südliche Hlbkugel. Die Großkreise des Kugelskoordintensystems schneiden den Äqutor senkrecht. Diese Großkreise werden ls Meridine (lt. circulus meridinus, Mittgskreis). bezeichnet. Von llen Meridinen ist der Nullmeridin ls ein usgezeichneter Großkreis hervorgehoben, der zusmmen mit dem 180 Meridin die zweite Bezugsebene der Zählung des Richtungswinkels bildet. Auf diesen beiden Großkreisen but sich ds geogrphische Koordintensystem uf. Die Breitenkreise verlufen ls Kleinkreise prllel zum Äqutor (00 ) und nehmen um den Kosinus der Breite zu den Polen hin b, so dß sie n den Polen (90 ) ls Punkt erscheinen. Zum Nordpol hin spricht von nördlichen Breiten (N). und zum Südpol hin von südlichen Breiten (S). Die Meridine oder Mittgskreise verbinden die Pole. Diese ls Länge bezeichneten Großkreise zählen von 000 (Greenwicher Meridin) über 180 Ost (Ost) (engl. Est) und bis 180 (West) oder in der rechtsorientierten Vollkreiszählung von 000 über 090, 180, 70 bis 360. Der 180 Meridin wird gleichzeitig uch ls Dtumsgrenze bezeichnet. Die geogrphische Koordinten (lt. Zugeordnete) eines Ortes bzw. eines Punktes P sind somit immer ein Längen- und ein Breitengrd. Ds Grd in der 360 Einteilung ist ls einzige Angbe von Koordinten jedoch zu ungenu. Hier besteht die Teilung des Grdes zu 1 = 60 (nutische Minuten); 1 = 60 (nutische Sekunden) bzw. 1 zu 60 (Meridintertien), wobei 1 uch einer (nutischen) Seemeile (185 m) entspricht. Somit knn mn jeden Ort der Erde einer genuen Koordinte zuordnen. Die zwischen zwei Orten A und B gegebenenflls vorhndene Differenz ist erstens der Breitenunterschied ( ϕ), ls ds Bogenstück eines Meridins zwischen den Breitenprllelen dieser Orte ( ϕ = ϕ B ϕ A ) und zweitens der Längenunterschied ( λ) zwischen diesen Orten, ls ds Bogenstück des Äqutors oder der sphärische Winkel m Pol zwischen den Meridinen dieser Orte ( λ = λ B λ A ). Der Breitenunterschied erhält seine Bezeichnung Nord oder Süd nch der Richtung vom Abfhrtsort (A) (P 1 im ruhenden Kugelintertil) zum Bestimmungsort (B) (P im ruhenden Kugelintertil). Der Längenunterschied erhält seine Bezeichnung Ost oder West ebenflls nch der Richtung vom Abfhrtsort (A) zum Bestimmungsort (B). Im Lufe der Geschichte der Nvigtion und der Erdvermessung wurde durch die Mthemtik die metrische Länge eines Grdes uf der Erdoberfläche festgelegt. Die Bogenminute stellt hierbei ds Grundmß dr. Allgemein wird die Länge einer Bogenminute für einen größten Kreis (Meridine und Äqutor) der Erdkugel definiert. Es ergibt sich dnn die einfche Beziehung, dß sie der Teil des Erdumfngs ist. Dmit wird beim Fhren uf einem Meridin oder dem Äqutor mit jeder Seemeile ein Breiten- bzw. Längenunterschied von 1 zurückgelegt. Auf Grund von in den einzelnen Ländern unterschiedlich durchgeführten hydrogrphischen Vermessungen der Erde hben sich uch unterschiedliche Längen für eine Seemeile ergeben. zum Beispiel: Jpn mit 1853,18 m Dänemrk mit 1851,85 m
2 Portugl mit 1850,00 m Zur Vereinheitlichung und für Vergleichszwecke wurde deshlb im Jhre 198 vom Interntionlen Hydrogrphischen Büro (Sitz in Pris) vorgeschlgen, die Länge einer Seemeile uf 185,00 m zu setzen. D die Breitenprllele mit wchsender geogrphischer Breite ihren Umfng verringern, ist uf ihnen die Bogenminute nicht gleich lng. Dieser Unterschied wird durch den Begriff der Abweitung () berücksichtigt. Die Abweitung () ist ds zu einem Längenunterschied gehörende Bogenstück eines Breitenprllels, usgedrückt in Seemeilen (sm). = l cos ϕ (18) l = : cos ϕ (19) Der Breitenprllelbogen und Äqutorbogen verhlten sich zueinnder wie ihre Rdien. Die folgende Tbelle gibt n, wieviel Seemeilen einem Längenunterschied von 1 (60 ) uf einem Breitenprllel entsprechen. Breitenprllel in Grd 1 Längenunterschied in sm 90 0,0 sm 80 10,4 sm 70 0,5 sm 60 9,9 sm 50 38,5 sm 40 45,8 sm 30 31,8 sm 0 56,3 sm 10 58,9 sm 0 60,0 sm Die in geogrphischen Koordinten usgedrückten Punkte eines beliebigen sphärischen Dreiecks A, B, C nehmen im geogrphischen Koordintesystem folgende Entsprechungen ein: Punkt A Abfhrtsort in Koordinten des geogrphischen Koordintesystems Punkt B Bestimmungsort in Koordinten des geogrphischen Koordintesystems Punkt C Nord- oder Südpol des geogrphischen Koordintesystems
3 Folgende Größen kennzeichnen somit ds Inertilsystem Erde Nordpol Richtung der Erdrottion Greenwicher Meridin λ Ortsmeridin Ortsbreitenprrllel Erdchse geogr. Breite ϕ Erdmittelpunkt (M) λ ϕ geogrphischer Ort ϕ = 54 0,5 N λ = ,8 E geogrph. Länge λ Äqutor Leitpunkt Südpol Bild 1 Drstellung der Erdkugel mit den geogrphischen Koordinten Leitpunkt: Schnittpunkt der Grundkreise (des Greenwicher Meridins mit dem Äqutor) und der Lotrechten ( r ) zum Erdmittelpunkt Ds Inertilsystem Erde ist somit ein räumliches krtesisches Koordintensystem, der Übergng zu einem Polrkoordintensystem wird gewährleistet, wenn der Koordintenursprung im Erdmittelpunkt oder uf einem Pol bezogen wird. Als Rummß für dieses Koordintensystem gilt die interntionl vereinbrte Länge der Seemeile mit 185 Meter. So folgen diesem Mß nchfolgenden Entsprechungen: 1 Meridintertie ( ) = 0,5144 Meter 1 Bogensekunde ( ) = 30,867 Meter 1 Bogenminute ( ) = 185,00 Meter 1 Grd ( ) = 11110,00 Meter Erdumfng von 360 = ,00 Meter D der Rdius der volumengleichen Erdkugel 6371,1 km und demzufolge der Umfng 40031,56 km beträgt, ds Mß der Seemeile jedoch einheitlich mit 40003,00 Meter festgelegt ist, ergibt sich ein Unterschied von 8,36 km. D die Größenwerte der volumengleichen Kugel, genuso wie die Werte der uf der vereinbrten Seemeile festgelegten Werte nicht die ttsächlichen Größe der Erde widerspiegeln, mcht es keinen Unterschied und entspricht es hinreichender Genuigkeit den einml interntionl festgelegten Wert von 185 Meter ls einheitliches Rummß zu nutzen, wenn von der Erde ls ngenommene Kugel usgegngen wird.
4 Der Erdellipsoid Sollen erhöhte Genuigkeitsnsprüche in der Nvigtion zum Trgen kommen, muß die ngenommene Kugelgestlt durch eine wirklichkeitsgetreuere Form ersetzt werden. Durch Vermessungen der Erde wurden Abweichungen des Erddrehkörpers von der Kugelform festgestellt. Benutzt mn ls idele Oberfläche der Erde den ungestörten Meeresspiegel, ergibt sich der Erdkörper ls ellipsoide Form. Eine genue Erfssung ist zwr mit der heutigen Stellitentechnik us dem erdnhen Kosmos herus für die gesmte Erdoberfläche gegeben, knn jedoch ufgrund der ungleichen Dichte und Form der Erdkruste nicht ls gesmtes, sondern nur in Teilen ls ttsächliches Modell vereinheitlicht werden. Es muß somit ein Hilfskörper gegeben sein, der m nächsten diesem Geoid kommt. Die beste Approximierung erfolgt durch ein n den Erdpolen bgeplttetes Ellipsoid, der so konstruiert ist, dß ds Zentrum des Erdellipsoids gleichzeitig der Mssemittelpunkt der Erde ist und ds Volumen dieses Erdellisoids dem Volumen der Erde entspricht. Die physische Erdchse soll dbei mit der ellipsoiden Achse zusmmenfllen. Die Gesetze der Ellipse gesttten genuere Koordintenberechnungen, ls dies durch die mthemtischen Beziehungen für die Kugel gegeben ist. So gilt für die Berechnung der numerischen Exentrizität ε einer Ellipse mit der hlben Huptchse (Äqutorrdius) und der hlben Nebenchse b (hlbe Erdchse) die b Beziehung: ε =. Die Differenz zur Kugel wird durch die linere Abplttung α ' = b und die numerische b Abplttung α = usgedrückt. Anlog dzu muß zwischen der lineren Exzentrizität ' b e = b und der numerischen Exzentrizität e = unterschieden werden. Zwischen e und besteht die Beziehung: e = α. Nun tritt n der Oberfläche eines ellipsoiden Körpers der Umstnd uf, dß diese verschieden gekrümmt ist. So ist eine meridinle Krümmung und eine Querkrümmung ls Krümmungshuptrichtung bennnt. Während der Krümmunghlbmesser einer Kugel wegen der Kugelsymetrie überll gleich ist, ändert sich der Meridinkrümmungshlbmesser (M) mit der geogrphischen Breite. Der Erdellipsoid ist n den Polen flch und in der Äqutorgegend m stärksten gekrümmt. Ds kommt in der Werten der Abplttung zur Geltung.
5 Greenwicher Meridin Nordpol Richtung der Erdrottion Großkreis mit der sphärischen Distnz d und der sphärische Richtung α von A nch B A geogr. Ort A ϕ = 54 0,5 N λ = ,8 E Äqutor geogr. Ort B ϕ = 51 56,9 S λ = W B Leitpunkt Südpol C Bild Drstellung eines Großkreises uf dem Erdellipsoid Die z-achse im geogrphischen Koordintensystem ist der Erdrdius der volumengleichen Kugel, jedoch mit der prktischen Einschränkung, dß die metrischen Angben von Wsserständen oder von Höhen und Tiefenwerten des Wssers oder nderer Objekte entsprechend dem verzeichneten Seekrtennull entsprechen und somit nicht uf den Erdmittelpunkt, sondern uf den Meeresgrund oder uf ds Krtenniveu einer Seekrte bezogen sind. (Siehe Seevermessung und Gebruch von Seekrten) Die Größe der Erde nch dem interntionlen Referenzellipsoid Erdrdius äqutoril... = 6378,168 km Erdrdius polr... b = 6356,777 km Abplttung... c = ( b) : = 1 : 97 1 in Länge ,418 km cos ϕ 0,094 km cos 3ϕ 1 in Breite ,137 km 0,56 km cos ϕ Rdius der volumengleichen Kugel ,1 km Volumen , km 3 Oberfläche , km Soll der Krümmungshlbmesser berechnet werden, so muß der Rdius des entsprechenden Punktes uf der Ellipsenoberfläche ls Kreispunkt gesehen werden. Für den Krümmungshlbmesser der Meridinellipse M gilt: M = ( 1 e ) 3 ( 1 e sin ϕ ) und für den Querkrümmungshlbmesser N gilt: N = 1 ( 1 e sin ϕ ) Die Berechnung ergibt entsprechend der unterschiedlichen Krümmung uch unterschiedliche lnge Rdiusstücke, die lle lotrecht zur Ellipsenoberfläche stehen. Die Krümmungshlbmesser M und N stehen senkrecht ufeinnder, womit die Krümmungen uf dem Ellipsenkörper erfßt sind. M steht senkrecht uf seinem entsprechenden Meridinstück,
6 und N steht senkrecht zu der Meridinrichtung vom M. Ds verhältnis von N und M ist eins. wenn der Körper eine Kugel ist. An den Erdpolen ist dieses Verhältnis eins. Wird ein usgewähltes gebiet der Erde berechnet, so wird mit dem mitteren Krümmungshlbmesser R gerechnet. Um R zu erhlten, gilt: R = MN. Entsprechend den verschiedenen Referenzellipsoiden der Gebiete der Erde gelten nun uch verschiedene Krümmungshlbmesser. M b b N Äqutor Äqutor Meridinkrümmungshlbmesser und Querkrümmungshlbmesser Die Meridine uf der ls Kugel ngenommenden Erde werden hier zu Hlbellipsen, während sich die Form der Breitenprllele nicht ändert. Entsprechend der Richtung des Rdius des Krümmungshlbmessers gehen die Lotrechten nicht mehr durch den Erdmittelpunkt, sondern schneiden die Erdrottionschse unterhlb oder oberhlb des Äqutors. Demzufolge definiert sich die geozentrische Länge nlog der geogrphischen Länge, für die Definition der geozentrischen Breite ϕ kommt eine Differenz, die sich in der Breitenreduktion r = ϕ ϕ usdrückt, zum Trgen. Diese wird in Bogensekunden durch die Formel r = α sin ϕ rc1" bestimmt. Wird die Länge einer Seemeile nsttt uf die Erdkugel uf ds gültige Erdellipsoid bezogen, errechnet sich die Länge einer Bogenminute in Anwendung der Bogenmßgleichung ( 1 e ) rc1' uf dem elliptischen Meridin 1 zu: 1' = 3 = 185 9,4 cos ϕ. ( 1 e sin ϕ ) Insgesmt ergeben sich folgende Werte für ds interntionle Refenzellepisoid: 1 in Länge 111,418 km cos ϕ 0,094 km cos 3ϕ 1 in Breite 111,137 km 0,56 km cos ϕ D die Länge einer Bogenminute somit uf einem Erdellipsoid nicht einheitlich sein knn, n den Polen beträgt sie c. 184,9 m und m Äqutor c. 1861,6 m, wird die Seemeile entsprechender interntionler Vereinbrung mit 185 m ngewndt.
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