Erwartungswert und Varianz bei Verteilungen und Glücksspielen

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1 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite vo 7 Wilfried Rohm Erwartugswert ud Variaz bei Verteiluge ud Glücksspiele Mathematische / Fachliche Ihalte i Stichworte: Erwartugswerte ud Variaz (Stadardabweichug) vo diskrete ud stetige Verteiluge, Erwartugswert ud Variaz bei Glücksspielee Kurzzusammefassug * Begriffsdefiitioe (Erwartugswert, Variaz, Stadardabweichug) * Berechug vo Erwartugswert ud Variaz bei diskrete Verteiluge (Biomialverteilug, Hypergeometrische Verteilug, Poissoverteilug) * Berechug vo Erwartugswert ud Variaz bei stetige Verteiluge (Normalverteilug, Chiquadratverteilug) * Berechug des Erwartugswertes (= durchschittliche Lebesdauer) bei Weibullverteilug ud Expoetialverteilug * Berechug vo Erwartugswerte ud Variaz bei Glücksspiele (Chuck a Luck, Roulette) Didaktische Überleguge I de erste eile werde die Fähigkeite vo Computeralgebrasysteme ausgelotet ud eiige sost i der Schule icht berechebare Ergebisse ermittelt. Beim hema Glücksspiele geht es letztlich auch darum, aufzuzeige, dass etwa beim Roulette die Gewierwartug egativ ist, die Variaz aber die Attraktivität (aber auch die fiazielle Gefahre!) der Setzvariate wesetlich mitbestimmt. Lehrplabezug (bzw. Gegestad / Abteilug / Jahrgag): Agewadte Mathematik, 4./5.Jahrgag, alle Abteiluge Mathcad-Versio: Mathcad (darauf zugeschitte, Berechuge teilweise versiosabhägig!) Literaturagabe: Roulette ) Zur Motivatio dieses Artikels ) Begriffsdefiitioe 3) Erwartugswert ud Variaz vo diskrete Verteilugstype 4) Erwartugswert ud Variaz bei stetige Verteiluge 5) Erwartugswert (=mittlere Lebesdauer) bei der Weibullverteilug 6) Erwartugswert ud Variaz bei Glücksspiele (Pascal, Chuck a Luck, Roulette) Wilfried Rohm 5

2 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite vo 7 ) Zur Motivatio dieses Artikels zum Meü "Erwartugswert" ud "Variaz" sid heme im Schuluterricht, die ma zwar icht umgehe ka (we ma Fragestelluge der Wahrscheilichkeitsrechug ud Statistik behadelt), die aber fast immer auf das absolut otwedige Miimum beschräkt bleibe. Es gibt aber auch für de Schuluterricht iteressate Aküpfugspukte. Ich persölich bi i dreierlei Hisicht auf diese Begriffe gestoße ud möchte geau diese 3 Aspekte i diesem Artikel weitergebe: ) Die Berechug vo Erwartugswerte bzw. Variaz verschiedeer Verteiluge ist eie besodere Spielwiese bei der Awedug vo Computeralgebrasysteme. Jeder, der (so wie ich bei eiem etsprechede Prosemiar als Studet!) eimal selbstädig "zu Fuß" derartige Berechuge durchgeführt hat, erstarrt i gewisser Ehrfurcht vor de Möglichkeite moderer Computeralgebrasysteme i dieser Hisicht. Auf der adere Seite zeige diese Berechuge aber auch gleichzeitig (durchaus uterschiedliche!) Greze vo Computeralgebrasysteme auf. Auch Mathcad verhält sich teilweise eigeartig: Mache Berechuge (aber icht alle!) sid symbolisch möglich, mache Berechuge sid mit Zahlewerte symbolisch möglich (aber icht allgemei!), mache Berechuge (isbesodere bei ueigetliche Itegrale) gelige symbolisch mit Zahle, aber icht umerisch! Dies ist zum eil sogar vo de Zahlewerte abhägig! Jedefalls loht es sich, gegebeefalls auch eie Vergleich zwische verschiedee Computeralgebrasysteme durchzuführe, die sich (wohl auf Grud uterschiedlicher Vorgagsweise bei symbolische Berechuge) recht uterschiedlich verhalte. Im Fall vo Mathcad kote ich auch starke Uterschiede zwische eizele Versioe beobachte - aus diesem Grud ist dieser Artikel auch ur für eie Versio (Versio ) geschriebe! ) We auch Pukt ) vielleicht etwas zu "akademisch" für de Schuluterricht wirkt, gibt es eie spezielle Fall bei de Verteiluge, der vo besoderem praktischem Iteresse ist: Das ist der Erwartugswert der Lebesdauerverteiluge (Expoetialverteilug, Weibullverteilug), wo dieser Begriff als "mittlere Lebesdauer" auch vo besoderer aschaulicher Bedeutug ist. Als Parameter der Lebesdauerverteilug kommt aber ei Wert vor ("charakteristische Lebesdauer"), der "zum eil" (aber ebe ur "zum eil", geauer gesagt: im Falle der Expoetialverteilug) mit der "mittlere Lebesdauer" idetisch ist, im Falle der (praktisch wichtigere) Weibullverteilug jedoch davo abweicht. Es schie mir persölich eie Herausforderug, diese wichtige Zusammehag mit Hilfe vo Mathcad im Schuluterricht aschaulich darstelle zu köe. 3) Ich habe mich eiige Zeit lag (ausgehed vom Casiospiel BLACK JACK) mit Glücksspiele ud etsprechede Strategie beschäftigt ud bi i diesem Zusammehag Herr Dr.Ferdiad Österreicher (Uiversität Salzburg) für Motivatio ud Zusammearbeit sehr dakbar. Um verschiedee Strategie (etwa beim ROULEE) ud ihre uterschiedliche Beliebtheit miteiader vergleiche zu köe, muss ma für jede dieser Strategie de zu erwartede Gewi (meistes wohl eher VERLUS!) ud auch die Variaz bzw. Stadardabweichug bereche. Das ist ei hema, das icht ur gut akommt im Uterricht, soder das mir auch recht wichtig erscheit, um de Schüler das Wese kommerzieller "Glücksspiele" vor Auge zu führe. Die sogeate "Spielsucht" ist eie icht zu uterschätzede Gefahr, die durchaus auch krakhafte Züge bekomme ka ud leider auch gar icht so selte tragisch ede ka (fiazieller ud persölicher Rui, machmal sogar Selbstmord). So wie ma leideschaftliche Raucher icht vor dem Weiterrauche mit Bilder vo Raucherluge ud ählichem abhalte ka, wird es auch icht gelige, mit derartige Berechuge leideschaftliche Spieler zu "heile". Aber: So wie es gelige ka, mit dem Bild eier Raucherluge eie juge Mesche vom Rauche ferzuhalte, ka ich mir vorstelle, dass derartige Berechuge ud eie etsprechede Reflexio bzw. Diskussio der Ergebisse im Uterricht de eie oder adere scho im Vorfeld vor der Gefahr der Spielsucht ware ud evetuell auch bewahre ka! Wilfried Rohm 5

3 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 3 vo 7 ) Begriffsdefiitioe : zum Meü Wir gehe aus vo der geläufige Defiitio für de arithmetische Mittelwert aus: N x = x i = x N + x + x x N i = x wird als Schätzwert für de "Erwartugswert" µ betrachtet, sozusage de Mittelwert der Grudgesamtheit. Beispiel: Berechug des Durchschittsgewichtes der Schüler eier Schule mit 35 Schüler: ( ) x = 35 Mit Hilfe der relative Häufigkeite köte diese Formel umgeschriebe werde, etwa so: 7 x = allgemei: x = ( ) x h + x h x h ( ) = x i h i mit i = i = i Worte: Der Mittelwert wird berechet, idem die eizele Werte mit ihre relative Häufigkeite gewichtet werde (auch: "gewichteter Mittelwert"). h i = Strukturell gleich ist u die Formel für de Erwartugswert µ=e(x) eier diskrete Zufallsgröße defiiert µ = i = ( ( )) x i gx i mit i = gx ( i ) = ud ( ) = px ( = x i ) gx i i Worte: Der Erwartugswert wird berechet, idem die mögliche Ausgäge eies Zufallsexperimetes mit de jeweilige Wahrscheilichkeite g(x i ) gewichtet werde! Eigetlich hadelt es sich beim Erwartugswert um eie Verallgemeierug des arithmetische Mittelwertes. Der Erwartugswert eier stetig verteilte Zufallsgröße wird daher zu: µ = x g( x) mit der Dichtefuktio g(x). Amerkug : Für die x-koordiate des Schwerpuktes eier i der (x,y)-ebee liegede ebee Figur gilt: x S = x da = A A A x y( x) Da für eie Dichtefuktio g(x) gelte muß: gx ( ) = ist hier A= ud damit µ die Schwerpuktskoordiate i x-richtug, was eie etsprechede aschauliche Deutug des Erwartugswertes (wie auch des arithmetische Mittelwertes) erlaubt! Wilfried Rohm 5

4 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 4 vo 7 Uter Variaz eier Zufallsgröße X versteht ma de Erwartugswert der quadratische Abweichug vom Erwartugswert µ, also: VX ( ) = σ = E ( X µ ) Für eie diskrete Zufallsvariable ergibt sich daher: σ = i = ( x i µ ) gx i ( ) i Worte: die quadrierte Abweichuge werde mit der jeweilige Auftreteswahrscheilichkeit g(x i ) gewichtet. Aalog zu obe gilt für stetige Zufallsvariable mit Dichtefuktio g(x) σ = ( x µ ) gx ( ) Aus Dimesiosgrüde zieht ma die Wurzel aus der Variaz ud erhält damit die Stadardabweichug σ σ = VX ( ) = σ 3) Erwartugswert ud Variaz vo diskrete Verteilugstype zum Meü Hiweis : Die i Mathcad eigebaute Fuktioe für die Verteilugsfuktioe arbeite ur umerisch. Für eie symbolische Berechug müsse daher die Wahrscheilichkeitsfuktioe ud auch die Kombiatioe geeiget selbst defiiert werde! Biomialverteilug: Zuächst wird die Kombiatio für die symbolische Rechug selbst defiiert comb(, k)! k! ( k)! g bi ( x,, p) comb(, x) p x ( p) ( x) E bi (, p) x = ( x g bi ( x,, p) ) E bi (, p) vereifache p Wahrscheilichkeitsfuktio der Biomialverteilug E bi (,.) = Die symbolische Rechug geligt! V bi (, p) x = ( x p) g bi ( x,, p) V bi (,.) =.96 Vergleich mit der Formel V(x)=*p*(-p):..98 =.96 V bi (, p) vereifache p ( ) p Die symbolische Rechug geligt, allerdigs weiss Mathcad icht, dass eie atürliche Zahl ist ud daher (-) = ist, sodass wir das Ergebis och vereifache köe zu der übliche Formel: V bi (, p) = p ( p) Wilfried Rohm 5

5 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 5 vo 7 Hypergeometrische Verteilug: g hyp ( x, N, d, ) comb( d, x) comb( N d, x) comb( N, ) Wahrscheilichkeitsfuktio der hypergeometrische Verteilug E hyp ( N, d, ) x = ( x g hyp ( x, N, d, ) ) E hyp ( N, d, ) vereifache d Hiweis : Beim Übergag zum Modell der Biomialverteilug setzt ma p = N Daher ergibt sich da: d N µ bi = p Die symbolische Rechug geligt! i Übereistimmug mit obe! V hyp ( N, d, ) x = V hyp ( N, d, ) vereifache x d N g hyp ( x, N, d, ) d N Γ ( N d + ) Γ ( N d + ) Γ ( N + ) Γ ( N + ) Wie ma sieht, geligt hier NICH die symbolische Berechug! Offebar wird der Ausdruck zum Vereifache zu kompliziert, was jeder achvolziehe ka, der dies scho eimal selbstr durchgerechet hat! Das Ergebis wäre: V hyp ( N, d, ) d N d N N N Numerisch köe wir die Gleichheit der beide Formel verifiziere: V hyp ( 45, 6, 6) = V hyp ( 45, 6, 6) = V hyp ( 45, 6, 6) =.65 Das Beispiel zeigt, dass die Berechug mit spezielle Zahle sowohl symbolisch als auch umerisch möglich ist! Hiweis : Der letzte Ausdruck i der obige Formel ka folgedermasse vereifacht werde N N ugefähr zu N N = N heisst auch "Auswahlsatz" ud wird im Allgemeie als verachlässigbar N agesehe, we N > *. d I diesem Fall erhält ma mit p = die Formel für die Variaz der N Biomialverteilug! Wilfried Rohm 5

6 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 6 vo 7 Poissoverteilug g po ( x, µ ) µ x x! e µ Wahrscheilichkeitsfuktio der Poissoverteilug E po ( µ ) V po ( µ ) x = x = ( x g po ( x, µ )) ( x µ ) g po ( x, µ ) E po ( µ ) vereifache µ V po ( µ ) vereifache µ Im Falle der Poissoverteilug gelige also die symbolische Berechuge vo Erwartugswert ud Variaz. Dies erscheit im Vergelich zur hypergeometrische Verteilug auf Grud der rechetechisch wesetlich eifachere Defiitio (keie Fakultäte bzw. Kombiatioe!) verstädlich! 3) Erwartugswert ud Variaz vo stetige Verteilugstype zum Meü Hiweis : Die eigebaute Fuktioe für die Verteilugsfuktioe arbeite ur umerisch. Für eie symbolische Berechug müsse daher die Dichtefuktioe selbst defiiert werde! Normalverteilug: g v ( x, µ, σ) π σ e ( x µ ) σ Dichtefuktio der Normalverteilug E v ( µ, σ) x g v ( x, µ, σ) E v ( µ, σ) vereifache x π σ exp ( x µ ) σ E v (, ) E v (, ) E v (, ) = E v (, ) = richtig! umerisch falsch! V v ( µ, σ) ( x µ ) g v ( x, µ, σ) V v ( µ, σ) ( x µ ) π σ exp ( x µ ) σ Wilfried Rohm 5

7 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 7 vo 7 V v (, ) V v (, ) V v (, ) = V v (, ) = richtig! umerisch falsch! Resümee: Die symbolische Berechug geligt icht allgemei, jedoch uter Eisetze bestimmter Zahle! Die umerische Rechug des ueigetliche Itegrals ist teilweise falsch!! Iteressat ist i diesem Zusammehag, dass Mathcad dies i der Versio 6 ud 7 allerdigs sehr wohl kote! Bekatlich wurde die symbolische Berechug beim Übergag zur Versio 8 i Mathcad iter stark verädert (euer Kerel). Jedefalls gilt: E v ( µ, σ) = µ V v ( µ, σ) = σ Chiquadratverteilug: Die χ - Verteilug ist als liks-schiefe Verteilug bezüglich des Erwartugswertes besoders iteressat. Er uterscheidet sich - im Gegesatz zur Normalverteilug - sowohl gegeüber dem MODUS (=Maximum) als auch gegeüber dem MEDIAN (=5%-Wert). Dies wird hier sowohl rechersich als auch graphisch gezeigt. Für das (ituitive) Verstädis bzw. überschlagsweise Ermittlug vo Ergebisse der Statistuik ist ausserdem vo Bedeutug, dass der Erwartugswert der ormierte Chiquadratverteilug gleich dem Freiheitsgrad der Verteilug ist. Dieses Ergebis wird hier verifiziert. Es ist ituitiv verstädlich, we ma a das Versuchsmodell dekt, das zur χ - Verteilug führt (siehe der Artikel "Prüfverteiluge" vom gleiche Autor auf ( ) f Es gilt: χ s = ( ) = f s ud daher : E χ σ σ = = g chi ( x, f) f x x e f f Γ Dichtefuktio der χ - Verteilug. G chi ( x, f) x g chi ( y, f) dy Verteilugsfuktio der χ - Verteilug (wird ute zur Berechug des Medias beötigt!) E chi () f x g chi ( x, f) E chi ( f) vereifache f x exp x f Γ f Wilfried Rohm 5

8 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 8 vo 7 E chi ( 9) 9 E chi ( ) E chi ( 9) = 9 E chi ( ) = E chi ( 99) 99 E chi ( 99) = 99 f 9 Resümee: Die Berechug geligt symbolisch UND umerisch mit spezielle Zahle, aber icht allgemei! Recherischer ud graphischer Vergleich: Numerische Berechug des Medias m am Beispiel f=9 (also =; ka atürlich variiert werde!): f m wurzelg chi ( x, f).5, x,, f m = Numerische Berechug des Modalwertes am Beispiel f=9 (also =): modalw wurzel d g chi ( x, f), x f,, f modalw = 7 Veraschaulichug (m = Media; f = Erwartugswert ; blauer Strich: Modalwert) x,....5 f m f g chi ( xf, ). g chi ( modalwert, f) x, modalw Wilfried Rohm 5

9 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 9 vo 7 4 ) Erwartugswert (=mittlere Lebesdauer) bei der Weibullverteilug zum Meü Die Weibullverteilug ist jeer Verteilugstyp, der meist für die Beschreibug des Lebesdauerverhaltes techischer Systeme (Glühbire, elektroische Baugruppe,...) verwedet wird. Die Formel für die Überlebeswahrscheilichkeit (reliability) lautet: Rt (,, b) e b t Die Bedeutug der Parameter ist: b... Ausfallssteilheit (i praktische Fälle meist im Bereich,5-5,5) für b= liegt der Spezialfall der Expoetialverteilug vor.... sogeate "charakteristische Lebesdauer" Die charakteristische Lebesdauer ist jee Zeit, welche = % der Lampe überlebe. Dies erhält e ma, we ma i der Formel für die Überlebeswahrscheilichkeit t= eisetzt: t Rt () = e b wird zu R ( ) = e Iteressater Weise hat die charakteristische Lebesdauer eie Wert, der UNABHÄNGIG vo der Ausfallssteilheit b ist, wie ma auch aus dem folgede Diagramm sieht. tt,.. 3 Rtt (,, ) Rtt (,, ) Rtt (,, 5) Rtt (,,.6).5 e tt Die mittlere oder durchschittliche Lebesdauer higege etspricht dem ERWARUNGSWER der etsprechede Weibullverteilug ud wird daher folgedermaße berechet: G weibull ( t,, b) e t b Verteilugsfuktio der Weibullverteilug = - R(t) Wir beötige die Dichtefuktio der Weibullverteilug (=Ableitug der Verteilugsfuktio): Wilfried Rohm 5

10 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite vo 7 d g weibull ( t,, b) G weibull ( t,, b) dt µ (, b) t g weibull ( t,, b) dt g weibull ( t,, b) t Erwartugswert = mittlere Lebesdauer eier Weibullverteilug mit de Parameter b ud. b b exp t t b Aschaulich etspricht die mittlere Lebesdauer atürlich wiederum dem Schwerpukt der Abszisse der Dichtefuktio! Die mittlere Lebesdauer µ ud die charakteristische Lebesdauer köe über eie relativ kompliziert zu berechede Faktor a(b) miteiader i Beziehug gesetzt werde (siehe weiter ute) µ = ab ( ) Der Faktor a(b) ist für b> (also für Elemete mit Verschleisserscheiuge = Phase III der Badewaekurve) stets kleier als - also ist i diesem Fall die mittlere Lebesdauer stets kleier als die charakteristische Lebesdauer. Der Faktor a(b) ist b< (also für sogeate "Frühausfälle" = Phase I der Badewaekurve) stets größer als - also ist i diesem Fall die mittlere Lebesdauer stets größer als die charakteristische Lebesdauer Nur für de Fall b= (kostate Ausfallrate; Expoetialverteilug) ist mittlere Lebesdauer gleich der charakteristische Lebesdauer. Dies wird i de achfolgede Berechugsbeispiele ud der Grafik verifiziert: ab ( ) µ (, b) µ (, ) = µ (,.5) =.93 µ (, ) =.886 µ (,.8) =.33 µ (,.5) = tt,.. 3 µ (, 3) =.893 µ (, 5) = Dichte der Weibullverteilug mit b= Dichte der Weibullverteilug mit b= Dichte der Weibullverteilug mit b=.6 Erwartugswert für b=.6 Erwartugswert für b= Erwartugswert für b= Wilfried Rohm 5

11 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite vo 7 Hiweis : Der Faktor a(b) ist mathematisch exakt über die Euler sche Gammafuktio defiiert ab ( ) Ma köte daher auch defiiere: a3 ( ) =.893 ab ( ) Γ + b = b! = Γ + b Wie das folgede Berechugsbeispiel zeigt, erhält ma mit obiger Berechugsformel ud über die Gammafuktio die gleiche Werte! Γ + 3 =.893 Mit Hilfe dieser Defiitio wird u och eie Aimatiostool defiiert, das de im obige Diagramm gezeigte Zusammehag zwische charakteristischer ud durchschittlicher Lebesdauer och deutlicher zeigt: b.5 + FRAME Aimatio mit FRAME vo bis 5, b bei.5 starte!!!!! µ (, b) a( b) t,.. 5 my µ (, b) b =.5 Dichtefuktio my my.5 e 3 g_weibull(t,,b) 3 R_weibull(t,,b) Iterpretatio : Die Aimatio (sie ka extra herutergelade werde) zeigt eie aschauliche Vergleich zwische der durchschittliche Lebesdauer (das ist die Abszisse-Koordiate des Flächeschwerpukte der Dichtefuktio) ud der charakteristische Lebesdauer, bei der die Überlebeswahrscheilichkeit kostat bei ca. % liegt (/e). Ma sieht auch schö, dass die Verteilug (Dichtefuktio!) für größer werdedes b immer äher der Normalverteilug wird. Dies ist auch der Grud, dass für größer werdedes b oftmals die logarithmische Normalverteilug bzw. die Normalverteilug (als Näherug) als Lebesdauerverteilug verwedet wird. Wilfried Rohm 5

12 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite vo 7 5 ) Erwartugswert ud Variaz bei Glücksspiele Ei historisches Beispiel (654: Chevalier de Mere: Afrage a Blaise Pascal) Chuck a Luck Roulette (Vergleich verschiedeer Setzvaraite) zum Meü Ei historisches Beispiel (654: Chevalier de Mere: Afrage a Blaise Pascal) Eie Müze wird wiederholt geworfe. Für jede "" erhält A eie Pukt ud für jede "" erhält B eie Pukt. Wer zuerst 5 Pukte erreicht hat, gewit de Eisatz. Nach 7 Würfe hat A 4 Pukte erreicht ud B 3 Pukte. Das Spiel wird abgebroche. Welche ist eie gerechte Aufteilug des Eisatzes: Nach Maßgabe der gewoee Spiele (also: 4:3) oder ach Maßgabe der auf de Sieg och fehlede Spiele (also: :)? Lösug : Keie der beide zur Auswahl gestellte Variate zur Aufteilug des Eisatzes ist richtig. Pascal atwortete, dass die Aufteilug im Verhältis der Gewichace erfolge sollte, d.h. auf Grud der Erwartugswerte für die beide Spieler A ud B (Amerkug: dabei blieb uberücksichtigt, woher der Eisatz stammte - d.h. der "Verlierer" hatte keie Verlust, bloß "keie Gewi") Im Folgede ist u der Spielbaum gezeichet, der alle mögliche Ausgäge berücksichtigt. (Ute wird eie ähliche Vorgagsweise beim Roulette gewählt) A gewit Uetschiede (4:4) A gewit B gewit Die Gewierwartug für die beide Spieler ergibt sich daher zu: E A E A 4 E B + E B 4 Da die Gewierwartug für Spieler A dreimal so groß ist wie für Spieler B, schlägt Pascal eie Aufteilug im Verhältis 3: vor! Wilfried Rohm 5

13 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 3 vo 7 CHUCK A LUCK Das Spiel "Chuck a Luck" ("Versuche Dei Glück") wird vor allem i de USA u.a. bei Spielautomate gere gespielt. Gespielt wird mit 3 Würfel. Der Spieler setzt auf eie beliebige Zahl z ( z =...6). Die Auszahlug erfolgt ach folgedem Schema: * kommt z icht vor: VERLUS des Eisatzes * kommt z -mal vor GEWINN des Eisatzes * kommt z -mal vor GEWINN des DOPPELEN Eisatzes * kommt z 3-mal vor GEWINN des DREIFACHEN Eisatzes. Ist das Spiel fair? Lösug : Ei faires Spiel wird i der Spieltheorie ei Spiel geat, für das der erwartete Gewi ist. Wir bereche daher die Gewierwartug des Spiels. Die Eizelwahrscheilichkeite köe mit Hilfe der Biomialverteilug berechet werde: g bi ( x,, p) dbiom( x,, p) Gemäß der obige Defiitio für de Erwartugswert ergibt sich: E X g bi, 3, 6 E X =.79 +, 6 + g bi, 3, 6 + g bi3, 3, 6 3 ( ) g bi, 3 Ergebis : Das Spiel ist NICH FAIR, weil es für de Spieler eie egative Gewierwartug hat. Im Schitt gehe pro Spiel kapp 8% verlore ROULEE - Utersuchug verschiedeer Setzvariate Grudsätzlich ist Roulette ei Zufallsspiel, bei dem gleich wahrscheiliche Zahle auftrete köe. Diese Zahle sid vo bis 36 durchummeriert. Die Hälfte der Zahle ist "schwarz", die adere Hälfte "rot" - wobei die "" keier Farbe zugeordet wird.. Grudsätzlich ka auf bestimmte Zahle bzw. Kombiatioe "gesetzt" werde, wobei die eizele "Setzuge" zu uterschiedliche Auszahluge im Falle des Gewies führe. Auf diese Weise ka der Spieler seie Gewierwartug ud auch die Variaz beeiflusse. Im folgede werde Gewierwartug ud Variaz verschiedeer Setzsysteme berechet ud aschließed diskutiert. Wilfried Rohm 5

14 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 4 vo 7 Variate : Setze auf eie bestimmte Zahl (Plei) Kommt diese Zahl, so wird das 35-fache des Eisatzes ausbezahlt, aderfalls verliert ma de Eisatz. µ ( ) 36 µ µ =.7 Z kommt (+35) Z kommt icht (-) V x ( 35 µ ) ( µ ) 36 + σ V x V x = σ = Variate : Setze auf bestimmte Farbe, z.b. RO (sogeate eifache Chace) Alterativ ka (bei gleiche Chace) auch auf SCHWARZ, GERADE, UNGERADE,... gesetzt werde. Kommt die Farbe RO, so gewit ma de Eisatz, kommt Schwarz, so verliert ma de Eisatz. Eie Soderfall stellt u die Zahl dar: Kommt diese, so bleibt der Eisatz so lage stehe, bis etweder die gesetzte Farbe (RO) oder ebe Schwarz kommt. Bei RO verliert ma ichts (aber auch keie Auszahlug!), bei Schwarz geht der Eisatz verlore. Es ergibt sich daher der ebestehede Spielbaum. (Dabei ist zu berücksichtige, dass ei wiederholtes Auftrete der zu ichts führt - irgedwa wird (jeweils mit Wahrscheilichkeit /) etweder rot oder schwarz komme! RO () 8 RO (+) 8 SCHWARZ (-) SCHWARZ (-) µ ( ) + + ( ) µ 74 µ =.4 V x ( µ ) 8 ( µ ) 8 + ( µ ) + ( µ ) + V x =.986 σ V x σ =.993 Im Vergleich zur Setzugsvariate (Plei) ist die Gewierwartug aus der Sicht des Spielers besser (verdoppelt!), jedoch zeigt die gerige Variaz (Stadardabweichug), dass dieses Spiel für "Draufgägertype" icht geeiget sei wird, weil eifach pro Spiel auch icht viel gewoe werde ka. Wilfried Rohm 5

15 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 5 vo 7 Variate 3: Eisatz auf "Dutzed", etwa -, 3-4, oder Kommt eie Zahl aus dem Bereich des gesetzte Dutzeds, so wird das zweifache des Eisatzes ausbezahlt, aderfalls geht der Eisatz verlore. µ 5 + ( ) Dutzed (+) 5 Nicht Dutzed (-) µ µ =.7 V x ( µ ) ( µ ) 5 + σ V x V x =.97 σ =.44 Wir erhalte - was auch ituitiv klar ist - die gleiche Gewierwartug wie bei Plei, allerdigs (was ebefalls ituitiv verstädlich ist) eie deutlich kleiere Variaz (Stadardabweichug), die aber größer als bei de eifache Chace ist. Variate 4: Gewierwartug, we ma 3-mal hitereiader auf "das mittlere Dutzed" setzt? Hier liegt eie Biomialverteilug vor mit µ ( 3) g bi, 3, + g bi, 3, + 3 g bi, 3, + 6 g bi 3, 3, µ =.8 p = ud = 3 Das Ergebis ist für "Spielertype" eher uverstädlich, weil sich die Gewierwartug recht dramatisch verschlechtert hat. Mathematisch gesehe ist es klar: Wir hätte auf Grud der Additivität des Erwartugswertes ud der Uabhägigkeit der eizele Spiele uter Verwedug der obige Ergebisse gleich sage köe: µ 3 (.7) µ =.8 Variate 4: ypisches Progressiosspiel - Verdoppel auf "eifache Chace" (z.b.ro) Die Idee ist zuächst besteched: Ma setzt auf eie bestimmte Farbe (etwa RO). Kommt diese, hat ma seie Eisatz atürlich gewoe. Kommt RO icht, so verdoppelt ma seie Eisatz. Im Falle eies Gewies hat ma u isgesamt wieder seie Eisatz gewoe. Aderfalls verdoppelt ma wieder (u der 4-fache ursprügliche Eisatz)... usw. Das Spiel wird solage fortgesetzt, bis RO kommt. Da dies mit Wahrscheilichkeit = % irgedwa eimal der Fall sei wird, wird ma "sicher" seie Eisatz gewie. Soweit die heorie. Leider erlaube aber die Casio-Spielregel maximal -mal eie Verdoppelug. So uglaublich es auf de erste Blick erscheit, ist es doch so, dass dies ausreicht, um die Gewierwartug egativ werde zu lasse! Dies zeigt die achfolgede Rechug: Wilfried Rohm 5

16 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 6 vo 7 Hiweis: I der achfolgede Rechug wird die Soderregel beim Auftrete der Null "vereifacht" berücksichtigt: Der Fall "" selbst bleibt im Baumdiagramm uberücksichtigt, weil das Spiel hier so aufgefaßt wird, dass der Eisatz da "stehebleibt", so als we gar kei Spiel stattgefude hätte. Deswege hat "Schwarz" die Wahrscheilichkeit 8 8, 5 + =, 5 Das Auftrete der mit aschließed "Rot" hat die Auftreteswahrscheilichkeit = (siehe auch obe bei der Setzvariate ). Dieser Fall bleibt wege der bessere Übersicht im Spielbaum uberücksichtigt (richtiger Weise müsste ma eie kleie Schleife mit dieser Wahrscheilichkeit beschrifte) 8 8,5 RO (+) SCHWARZ (-) 8 8,5 RO (+) SCHWARZ (-3) 8 8,5 RO (+) SCHWARZ (-7) USW. µ 8 i ( ) i = i = i 8.5 µ =.7 Erklärug Gewi tritt auf, we etweder das.mal "rot" kommt ODER das.mal "schwarz" UND da "rot", ODER -mal hitereiader "schwarz" UND da "rot" ODER 3-mal hitereiader "schwarz" UND da "rot"... ODER -mal hitereiader "schwarz ud da "rot". Wilfried Rohm 5

17 HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite 7 vo 7 Verlust tritt auf, we -mal hitereiader "schwarz" kommt. Da verliert ma allerdigs das 47-fache des Eisatzes, de i = i = 47 V x ( µ ) i ( ) i µ i = i = 8.5 V x =.47 3 σ V x σ = Überraschedes Resümee: Die Gewierwartug ist die Gleiche wie bei Plei (siehe Variate ), die Variaz bzw. Stadardabweichug ist aber och wesetlich größer. Das hägt damit zusamme, dass ma zwar meist gewie wird (seie Eisatz), jedoch "im Falle des Falles" ebe das 47-fache (!!!) seies Eisatzes verliert. Zusammefassug: Beim Roulette gibt es keie Gewisysteme! Ma hat mit jedem Roulettesystem, das icht ausschließlich auf Eifache Chace spielt, eie durchschittliche Gewierwartug vo -,7%, also gaz geau die gleiche Gewierwartug wie jeder Spieler, der ohe System spielt. Mit Roulettesysteme, die ausschließlich auf Eifache Chace spiele, erhält ma bestefalls eie durchschittliche Gewierwartug vo -,35%. Auch hier erreicht ma ohe Roulettesystem geau die gleiche Gewierwartug (vorausgesetzt, ma spielt immer ur auf Eifache Chace). Progressiosspiele werde "oftmals" kleie Gewie brige, die Gewierwartug ist trotzdem egativ! Variate, "früher" aufzuhöre, um damit drohede große Verluste zu vermeide, köe diese zwar vermeide, führe aber ur och zu eier och deutlichere egative Gewierwartug (weil ma öfter verliert). Jeder Spieler, der jemals mit eiem»roulettesystem«(wirklich) gewoe hat, hätte garatiert auch gewoe, we er ohe System gespielt hätte! Es zahlt sich daher icht aus, für ageblich "wirksame ud erprobte" Gewisysteme auch och Geld zu bezahle!! Roulette-Variate (z.b. America-Roulette, Roulette bei Spielautomate) habe gleiche oder (aus Spielersicht) schlechtere Gewierwartuge. zum Meü Wilfried Rohm 5