Die Grundfigur der Trigonometrie ist das rechtwinklige Dreieck. Mit ihm fangen wir an.

Transkript

1 TRIGONOMETRIE [ J. Möller, WS Üerlingen] TRIGON = Dreieck Die Trigonometrie ist der Zweig der Mtemtik, der sic mit der Berecnung von Seiten und Winkeln in rectwinkligen und llgemeinen Dreiecken efsst. Die Grundfigur der Trigonometrie ist ds rectwinklige Dreieck. Mit im fngen wir n. Alle Dreiecke sind änlic, d.. ire Form ist gleic. Die Dreiecke stimmen üerein in llen Winkeln llen Seitenverältnissen. Für die Berecnung der Seitenverältnissen ist es egl, welces der Dreiecke mn etrctet. - -

2 ZEICHNE EIN BELIEBIGES DREIECK mit α = 30. Hypotenuse Gegenktete α = 30 Anktete HYPOTENUSE = LÄNGSTE SEITE, LIEGT GEGENÜBER VOM RECHTEN WINKEL GEGENKATHETE = DEM WINKEL GEGENÜBERLIEGENDE KATHETE ANKATHETE = AM WINKEL ANLIEGENDE KATHETE BESTIMME DIE SEITENVERHÄLTNISSE IM DREIECK Dzu werden zunäcst die die drei Seiten gemessen: Gegenktete: 5,8 cm Anktete: 9,9 cm Hypotenuse:,5 cm Es ergeen sic folgende Seitenverältnisse: Gegenktete Anktete 5,8 0,58... genuer Wert 0, ,9 Gegenktete 5,8 0, Hypotenuse,5 genuer Wert 0,5000 Anktete 9,9 0,86... Hypotenuse,5 genuer Wert 0,

3 MERKE Gegenktete Gegenktete Anktete Tngens Sinus Cosinus Anktete Hypotenuse Hypotenuse BESTIMMUNG SPEZIELLER WERTE DURCH RECHNUNG tn 30 0, sin 30 0, cos 30 0, us demselen Dreieck erält mn 3 tn 60, sin 60 0, cos 60 0, tn 45,000 sin 45 0, cos 45 0, α tn 0 0 und tn sin 0 0 und sin cos 0 0 und cos

4 ZUSAMMENFASSUNG UND ÜBERSICHT tn sin cos ,5773, ,5 0,707 0, ,8660 0, 707 0,5 0 Alle nderen Werte entnimmt mn dem TR. AUFGABE Jemnd siet ein Hus im Astnd von 8,0 m unter einem Höenwinkel von 35. Wie oc ist ds Hus, wenn die Augenöe des Betrcters =,70 m eträgt? SKIZZE RECHNUNG G A tn e Gl. umstellen etn eknnte Werte einsetzen 8, tn 35 5,74 m H 5, 74 m, 70 m 7,44 m - 4 -

5 AUFGABE Eine Kirce ist 54 m oc. Jemnd siet den Turm unter einem Höenwinkel 5, seine Augenöe eträgt =,60 m. Wie weit ist er von der Kirce entfernt? SKIZZE Voretrctung H 54 m,60 m 5,4 m RECHNUNG G tn A e Gl. umstellen e tn e tn eknnte Werte einsetzen 5,4 e,37 m tn 5 AUFGABE 3 α =? e = 5 m = m G tn A tn 5 tn Winkel,8 0, 4 tn [sift / tn] - 5 -

6 MUSTERAUFGABEN Skizze c TANGENS gegeen G tn A gesuct ) 7 m, 35 =? ) m, 7, =? 3) = m, = 3m?.. SINUS G sin H 4) c3,3 m, 48 =? 5) 55 m, 6 c =? 6) = 5 m, c= 55m?.. COSINUS cos A H 7) c5 m, 77 =? 8) m, c =? 9) = 09 m, c= 44m?.. SATZ des PYTHAGORAS ² ² c² 0) m, 6m c? ) 4 m, c 7m? 7 m, c 0m?. 3) Herert siet einen Kircturm unter dem Höenwinkel 7,3. Seine wgerecte Entfernung zum Turm eträgt m. Wie oc ist der Kircturm, wenn die Augenöe =,70 m eträgt? - 6 -

7 LÖSUNGEN TANGENS gesuct ANSÄTZE ERGEBNISSE ) 7 m, 35 =? tn tn = 4,90 m ) m, 7, =? tn = 35,53 m tn 3) = m, = 3m? tn 7,55 tn.. SINUS 4) c3,3 m, 48 =? sin c c sin = 9,88 m 5) 55 m, 6 c =? sin c = 99,54 m c sin 6) = 5 m, c= 55m? sin 5,83 sin c.. COSINUS 7) c5 m, 77 =? cos c c cos = 5,6 m 8) m, c =? cos c = 4,50m c cos 9) = 09 m, c= 44m? cos 40,80 cos c.. SATZ des PYTHAGORAS 0) m, 6m c? c ² ² = 9,4 m ) 4 m, c 7m? c² ² = 3,09 m 7 m, c 0m? c² ² = 0,54 m. 3) Herert siet einen Kircturm unter dem Höenwinkel 7,3. Seine wgerecte Entfernung zum Turm eträgt m. Wie oc ist der Kircturm, wenn die Augenöe =,70 m eträgt? H = 64,5 m - 7 -

8 ÜBUNGEN B G G G sin cos tn H H A c. A C ) = 3,7 cm / c = 5,9 cm erecne jeweils den Winkel ) = 0, cm / = 7,8 cm c) =, cm / c = 7,0 cm d) = 9,3 cm / =,7 cm Berecne jeweils und dnc : ) α = 35 / c = 7,0 cm ) c = 6,0 cm / β = 68 c) c = 5,7 cm / γ = Eine Leiter mit der Länge l = 7,0 m lent n einer Huswnd. Die Leiter ildet mit der Huswnd oen einen Winkel von 0. Wie groß ist der wgerecte Astnd des unteren Leiterendes von der Huswnd? 4. Ein stiles Brett soll für eine Ldermpe mit der Höe =,60 m ergestellt werden. Dei soll der Neigungswinkel α öcstens 7 etrgen.wie lng muss ds Brett sein? - 8 -

9 5. Gegeen = cm, c = 5 cm Gesuct,,, Dreiecksfläce ERGEBNISSE. 38,83, 5,3, 49,3, 36,5. ) 4,0 cm, 5,73 cm ) 6, 0 cm, 4,85 cm c) 4,90 cm, 5,96 cm 3., 46 m 4. c 3,5 m 5. 7, 73 cm, 5,64, 90 64,36 g A cm - 9 -

10 KLÄRUNG VERSCHIEDENER BEZEICHNUNGEN 0 Höenwinkel Ereungswinkel Steigungswinkel Tiefenwinkel Senkungswinkel Neigungswinkel Sewinkel Augenöe Steigungsdreieck Gegenktete Steigung tn Anktete 6 BEISPIELE 6% 0,6 tn 9,09 00 tn0, 5, 5%,

11 DIE ZAHNRADBAHN Eine Znrdn t eine Steigung von 7% uf einer Frstrecke von,8 km. Wie groß ist der Steigungswinkel? Wie groß ist der Höenunterscied? Wie groß ist die wgerecte Entfernung? s tn 7% 0,7 00 5, sin s ssin 800sin5, 469, m cos s s cos 800cos5, 737,8 m ( ufgerundet) - -

12 DER BLICK AUS DEM FENSTER Jemnd scut us einem Fenster, ds = 9,0 m üer dem Boden liegt. Von dort us siet er den Fuß eines Frikscornsteines unter dem Tiefenwinkel = 5,6, die Spitze unter dem Höenwinkel = 54,3. Wie weit ist der Scornstein vom Fenster (wgerect) entfernt? Wie oc ist der Scornstein? SKIZZE H PLAN H RECHNUNG 9, tn 3,95 m tn tn5,6 tn tn 3,95tn 54,3 45,86 m H 9, 0 m45,86 m 55, 06 m PRÜFEN Ds Ergenis prüfen, flls mßstgetreu gezeicnet wurde. - -

13 VERALLGEMEINERUNG H tn einsetzen H tn tn einsetzen H tn usklmmern tn FORMEL H tn tn ANWENDUNG H tn 54,3 9, 55,06 m tn5, 6-3 -

14 BESTIMMUNG EINER KIRCHTURMHÖHE Gegeen: Stndlinie s = 70 m Augenöe =,70 m Höenwinkel 5 und 9 Gesuct: Kircturmöe H =? Es wird zunäcst eine Hilfsgröße x eingefürt, die er später in der Recnung wieder eseitigt werden muss. Anstz: [Gleicungssystem mit Uneknnten und x] großes Dreieck tn xs x s tn kleines Dreieck tn x ( ) x tn s tn tn usklmmern Formel: s s tn tn s tn tn 70 Recnung: 36,3 m tn tn tn5 tn 9 H 36,3 m, 7 m 38 m nc umstellen - 4 -

15 DER EIBSEE Ein Beispiel us der Lndvermessung zeigt, ws der Tngens noc lles knn. Vom Punkt U m Ufer des Eisees (980 m üer NN) siet mn einen Berggipfel unter einem Neigungswinkel =,3. Vom gegenüerliegenden Uferpunkt G us misst mn den Neigungswinkel = 8,8. Wie oc liegt der Gipfel üer NN, wenn die Messpunkte eine Stndlinie von UG = 50 m Länge festlegen? (NN ist die Akürzung für Normlnull, ds ist der Meeresspiegel.) RECHNUNG d m 0 0 tn tn tn, 3 tn 8,8 H 98 m 980 m 96 m üer NN - 5 -

16 BLICK AUF DEN FLUSS β α Fluss x Von einem Turm us, der die Höe = 45 m t, wird ein Flussett etrctet, ds unter dem Sewinkel 3 ersceint. Der Turm ist vom Flussufer = 4 m entfernt. Bestimme die Breite des Flusses. PLAN x ( Flussreite) RECHNUNG 4 tn tn 0, ,07 8,073 4,07 tn 4,07 tn 4,0745tn 4,0739, m x 5, m ANTWORT Der Fluss ist circ 5 m reit

17 BLICK AUF DEN SEE β α β α SEE x Von einem Turm us, der die Höe = 6 m t, ersceinen die Ufer eines Sees unter dem Tiefenwinkeln 7 und 7. Wie reit ist der See? PLAN x RECHNUNG 6 tn 9,7 m tn tn7 6 tn,00 m tn tn7 x 9, 7 m, 00 m 98, 7 m ANTWORT Der See ist circ 99 m reit

18 BESTIMMUNG EINES PYRAMIDEN-NEIGUNGSWINKELS PYRAMIDE 8, cm cm α x QUADRAT d RECHNUNG d 8, 8, 3,,46 cm d,46 x 5, 73 cm tn, 094 tn x 5,73 64,47-8 -

19 ERGÄNZUNGEN Volumen V Pyr G 8, 48, 6,44cm Knte s x 5, 73 3,3 cm ZIRKEL MITBRINGEN - 9 -

20 DER ÜBERGANG VOM RECHTWINKLIGEN ZUM ALLGEMEINEN DREIECK HERLEITUNG DES SINUSSATZES [Der ZENTRIWINKELSATZ esgt, dss ein Zentriwinkel ist immer doppelt so groß ist wie der entsprecende Periperiewinkel.] C r γ Umkreis Mittelpunkt r β γ α r A α c β B.... ds Dreieck mit seinem Mittelpunkt impfen... MERKE Den Mittelpunkt des Umkreises findet mn ls Scnittpunkt der Mittellote. Jedes Dreieck knn in rectwinklige Teildreiecke untergliedert werden, indem mn die Mittellote und die Umkreisrdien einzeicnet. Mit Hilfe der Figur knn der SINUSSATZ ergeleitet werden

21 Der Sinus für die Teildreiecke lutet: sin sin sin r r c r r r c r Durc Umstellen nc r ergit sic: r sin r sin c r sin Durc Gleicsetzen erält mn den SINUSSATZ c r oder sin sin sin sin sin sin c MERKE Der Sinusstz findet immer dnn Anwendung, wenn zu einer Seite uc der gegenüerliegende Winkel gegeen ist. Es muss immer ein WINKEL-SEITE-PÄRCHEN eknnt sein. Folgende Fälle sind möglic: und und c und oder und und und und und und c und und c und Bei llen nderen Fällen findet der Sinusstz keine Anwendung. - -

22 VORWÄRTSEINSCHNEIDEN Vor der Küste liegt ein Sciff S vor Anker. Um die Entfernung des Sciffes zum Ufer zu estimmen, legt mn m Ufer eine Stndlinie AB = s = 4m fest. Von dort us misst mn die Winkel α = SAB = 38, und β = SBA = 47,. Berecne die eiden Entfernungen AS = und BS =. SKIZZE PLAN RECHNUNG ,47,94,7 s sin sin sin ssin 4sin38, 70,7 m sin sin 94,7 s sin sin sin ssin 4sin47, 83,8 m sin sin 94,7 - -

23 ENTFERNUNGSBESTIMMUNG Bestimme die Entfernung PB =. PLAN PB RECHNUNG sin sin s sin 54sin8 sin 0,60 sin s 78 37,6 80 4,4 sin sin s ssin 78sin4,4 08, 7 m sin sin8-3 -

24 WOLKENHÖHE UND SPIEGELUNG AM WASSER WOLKE γ TURM α x H β c β δ β WASSER Von einem 80 m oen Turm us siet mn eine Wolke unter dem Höenwinkel α = 40 und ir Spiegelild im See unter dem Tiefenwinkel β = 5. Wie oc scwet die Wolke üer dem See? ALLE WINKEL BERECHNEN sin c 0,5 m c sin sin5 x c csin( ) 0,5sin9 x 487,97 m sin ( ) sin sin sin H sin H x sin 487,97 sin 5 384,5 m x - 4 -

25 BERGHÖHENBESTIMMUNG Auf einem Berggipfel efindet sic ein Turm. Mn will erus finden, wie viel öer dieser ls der eigene Stndort liegt Welce Messungen müssen durcgefürt werden? SKIZZE Gemessen werden die Horizontlwinkel α = 6 und β = 73, die Länge der orizontlen Stndlinie s = 35m und der Höenwinkel δ = 6,7. Berecne. Den Höenwinkel könnte mn uc von B us messen, woei sic für δ ein nderer Wert ergeen würde. PLAN ACB RECHNUNG sin s sin ssin 35sin73 466,6 m sin sin 46 tn tn 466, 6tn6, 7 34, 69 m - 5 -

26 HÖHENMESSUNG C δ x =? A γ s α B β D MESSWERTE s = AB = 67m α = 6,57 β = 59 γ = 47,9 Bestimme die Höe. RECHNUNG Winkel CAB 47, 96,570,7 Winkel ABC ,575947,57 Winkel 5947, 9, 7 x s ssin47,57 67sin47,57 x 77,96 m sin47,57 sin sin sin, 7 sin x sin 77,96 sin 6,57 30, 76 m x - 6 -

27 AUFGABE AUS DEM LEBEN JUNGER HERR TRIFFT DAME SEINES HERZENS Augenöe des Herrn Augenöe der Dme Blkonöe =,8 m =,6 m = 8,0 m FRAGEN ) Zunäcst ist der Herr 0m von dem Hus entfernt. Unter welcem Sewinkel α siet er die Dme, die uf dem Blkon stet? ) Auf welcer Linie müsste sic der Herr ewegen, wenn er die Dme stets unter demselen Sewinkel erlicken wollte? Konstruiere diese Linie. c) Nun ewegt sic der Herr uf einer gerden Linie uf die Dme zu. Bei welcem Astnd x zum Hus siet er die Dme unter dem größten Sewinkel? Wie knn mn ds Prolem durc Konstruktion lösen? d) Wie groß ist der mximle Sewinkel β? Berecne den Astnd x, der zu dem mximlen Sewinkel β geört

28 LÖSUNGSBLATT - 8 -

29 - 9 -

30 BEWEIS DES ZENTRIWINKELSATZES C γ = + M γ A B Der Zentriwinkel (γ) ist immer doppelt so groß wie der entsprecende Periperiewinkel γ. Der Beweis ergit sic us der Gleicscenkligkeit der Teildreiecke und us der Ttsce, dss ein Außenwinkel immer so groß wie die Summe der eiden nict nliegenden Innenwinkel ist. [Wiederolung us der Unterstufe]

31 Proleme, die nict mit dem Sinusstz lösr sind: () Seite-Seite-eingesclossener Winkel gegeen, gegenüerliegende Seite gesuct () Drei Seiten gegeen, Winkel gesuct WIEDERHOLUNG SATZ DES PYTHAGORAS ² C ² A E B c² c BEWEIS DURCH FLÄCHENVERWANDLUNG Scerung Dreung Scerung Recteck Prllelogrmm Prllelogrmm Qudrt - 3 -

32 DER SATZ DES PYTHAGORAS FÜR SPITZWINKLIGE DREIECKE y ² D C H ² A α c E B c c² x PRINZIP Ds Dreieck wird mit dem Höenscnittpunkt geimpft. Ddurc entstet eine uf dreifce Weise usgewogene Figur. Die Fläcen lten sic ds Gleicgewict

33 VORBETRACHTUNG x us AEC folgt : cos x cos y us ABD folgt : cos y c cos c oere grüne Fläce y c cos untere grüne Fläce c x c cos die Fläcen sind gleic groß. HERLEITUNG DES COSINUSSATZES c grüne Fläcen c c cos ist der von den Seiten und c eingesclossene Winkel oder c c cos ist der von den Seiten und c eingesclossene Winkel oder c cos ist der von den Seiten und eingesclossene Winkel ANWENDUNG FÜR Seite C A Winkel gegenüerliegende Seite gesuct Seite B

34 BEISPIEL C = 374 m SEE =? A α = 67 c = 47 m B MESSUNGEN 374 m c47 m 67 Bestimme die Entfernung BC =. RECHNUNG c c cos cos , m WINKEL sin sin sin sin 5,8 80 6,9-34 -

35 UMKEHRUNG DES COSINUSSATZES Flls ein Winkel gesuct wird, muss der Cosinus-Stz umgestellt werden. ccos c :( c) cos c ( c) oder cos c ( c) oder cos c ( ) ANWENDUNG FÜR Seite C A Winkel gesuct Seite Seite B

36 BEISPIEL C DACHSTUHL A α =? c β =? B Breite: c = 9m, Sprrenlängen: = 0,m und = 7,5m Bestimme die eiden Bsiswinkel. Bestimme die Höe. Bestimme die Fläce des Dreieckes. RECHNUNG cos c 7,5 9 0, ( c ) (7,59) 0, 460 cos 75, 76 sin sin sin 7,5sin 75,56 sin 0,706 45, 40 0, 80 58,84 HÖHE sin sin 7,5sin 75, 76 7, 7 m FLÄCHE A c c 3,7 m

37 FORMEL ZUR BERECHNUNG VON DREIECKSFLÄCHEN C A α c B Grundseite Höe Dreiecksfläce c A A c c csin sin sin einsetzen c oder oder A c sin Seite Seite Sinus ( eingescl. Winkel) A csin A sin RECHENBEISPIELE = 6 cm, c = 7 cm, α = 43 A csin 67 sin 43 4,3 cm Flls drei Seiten gegeen sind, muss zuerst mit dem Cosinus-Stz ein Winkel estimmt werden: = 7,8 cm, = 9, cm, c =,4 cm 4,86 A 35, 67 cm

38 VORWÄRTSEINSCHNEIDEN NACH ZWEI PUNKTEN Es soll die Entfernung zwiscen zwei unzugänglicen Punkten P und Q estimmt werden. Dzu legt mn im Gelände eine wgerecte Stndlinie AB fest, von der us die eiden Punkte P und Q ngepeilt werden. Um die Strecke PQ = x erecnen zu können, muss mn vier Winkel und die Länge der Stndlinie messen. Folgende Werte werden gemessen: AB = s = 489,4m, α = 8,4 und α = 89,7, β = 36, und β = 6,8 Wie groß ist die Strecke PQ = x? PLAN γ Winkelsumme γ Winkelsumme Sinusstz Sinusstz δ Winkeldifferenz x Cosinusstz

39 RECHNUNG 80 5,5 80 7,5 s s sin 69,84 m sin sin sin s s sin 94,68 m sin sin sin 6,3 COSINUSSATZ x cos x 6,5 m

40 EINHEITSKREIS α + - Die Sinuskurve und die Cosinuskurve sin α cos α Der Winkel wird getrgen in Bogenmß, d.. der Kreisumfng 360 π r 360 r = 3 cm 6 π 360 π 3 8 cm 360 :,5 cm 30 [siee Zeicnung] α

41 MERKE Zu einem positiven Sinus-Wert geören im Bereic zwiscen 0 und 80 immer zwei Winkel, die diesen Wert erfüllen. BEISPIELE 30 sin 0, ,3 sin 0,8 6,87 Allgemein gilt sin sin (80 ) AUFGABE Gegeen ist ein Dreieck mit c = 6 cm, = 4 cm und α = 5. Wie groß ist der Winkel β? Zuerst konstruiere, dnn recne. C KONSTRUKTION A α c = 6 cm β' B RECHNUNG c ccos 8,93cm sin sin sin sin 4,5 804,538,5 ÜBUNGEN [Konstruiere und recne.]. c = 5 cm, = 8 cm, α = 40, gesuct β. [0,3 ]. = 0 cm, c = 7,5 cm, β = 30, gesuct α. [03 ] 3. = 4, cm, = 5 cm, c = 8 cm, gesuct γ. [0,57 ] 4. gleicscenkliges Dreieck mit = = 7 cm, c = 5 cm, =? [6,54cm] 5. Quder mit l = 5 cm, = 4 cm, = cm. Wie groß ist der Winkel, den die Rumdigonle mit der Grundfläce ildet? [7,34 ] - 4 -

42 - 4 -

43 PYRAMIDE Höe = 0 m Gesuct sind die Winkel α, β und γ. DACH Gegeen = m, = 8,8m, l = 5,4m, = 4,8m Gesuct sind die Neigungswinkel für ) die Seitenfläcen ) die Vorderfläcen c) die Knten

44 WÜRFEL Bestimme eim Würfel den Winkel zwiscen Rumesdigonle und Würfelfläce. Außerdem estimme den Winkel zwiscen Würfelknte und Rumesdigonle. β D α d RECHNUNG Fläcendigonle d Rumesdigonle D 3 tn 0, , 6 und 54, 74 d

45 OKTAEDER Welcen Winkel ilden eim Oktederl zwei gegenüerliegende Fläcen miteinnder? Welcen Winkel ilden zwei encrte Fläcen miteinnder? γ x α RECHNUNG d x tn 54,74 09, 47 x 90 35, 6 70,

46 PYRAMIDE Ein Turmdc t die Gestlt einer senkrecten qudrtiscen Pyrmide mit der Grundknte = 6m und der scrägen Seitenknte s = 9m. Bestimme durc Zeicnung und Recnung: ) den Neigungswinkel einer Seitenknte, ) den Neigungswinkel einer Seitenfläce, c) den Winkel zwiscen zwei encrten Dcfläcen, d) die Größe des Pyrmidenvolumens. e) Ds Dc soll mit Ziegeln gedeckt werden. Wie groß sind lle Dcfläcen zusmmen? S s E z δ D z α C F β y M x A B

47 LÖSUNGEN ) x ² ² 8,48 x 4, 4 cm x cos s cos s 6,87 s² x² 7,94m x α ) tn y 69,3 tn β c) S y = = 3 cm s z s δ E D z C d A B MERKE Suct mn den Winkel, den zwei Fläcen miteinnder ilden, so muss sic dzu eine Eene denken, die uf der Scnittgerden der eiden Fläcen senkrect stet

48 Gegeen s9 m / 6m S Gesuct und z 3 cos cos s 9 3 s s = 9 70,53 z E z sin z sin 5,66 m B = 3 γ C E x cos z cos 97,8 z δ δ z D ERGEBNIS Der Winkel zwiscen zwei encrten Dcfläcen eträgt 97,8. x B d) e) V Pyr G 95,8 m g 4A gfs ,84 m

49 KUGEL UND EBENE Eine Kugel rollt eine Eene inunter (siee Zeicnung). Trifft die Kugel die Würfelecke? Wie siet die Flllinie us? Welcen Winkel ildet die scräge Eene mit der Horizontleene? Bestimme zunäcst die Winkel, und. z 4 3 Kugel 3 4 4,5 y 3 A 4 9 x

50 LÖSUNGEN tn 3 8,43 tn 3 33,69 tn ,6 Winkel zwiscen Horizontleene und scräger Eene Ds Prolem wird us der Vogelperspektive etrctet, woei die Kugel die wgerecte Linie senkrect trifft. Mn muss lso die Größe estimmen. 4,5 tn 9 6,565 sin 9 9sin 6,565 4,05 9 4,5 A F y 3 tn 4,05 36,7 x Ergenis: ist noc größer ls und ist dmit der größtmöglice Winkel

51 TRIGONOMETRIE-FORMELSAMMLUNG Winkelfunktionen m rectwinkligen Dreieck sin G cos A tn G Steigung H H A H G Stz des Pytgors c ² ² c² ² c² ² A esondere Werte der Winkelfunktionen Winkel sinus cosinus tngens Die Sinuskurve und die Cosinuskurve EINHEITSKREIS + sin α cos α α α Berecnungen m llgemeinen Dreieck C Sinusstz c r sin sin sin oder sin sin sin c MERKE ein Pärcen muss eknnt sein r r M r Cosinusstz A c B ² ² c² ccos ² ² c² ccos c² ² ² cos s-w-s, Seite gesuct ² ² ² ² ² ² ² ² ² cos c oder cos c oder cos c s-s-s, Winkel gesuct c c Fläceninlt eines Dreieckes g A c sin oder A c sin oder A sin oder A - 5 -

52 FORMELSAMMLUNG FÜR FLÄCHEN Qudrt A ² U 4 Recteck A U Dreieck g A g Grundseite Höe g Prllelogrmm A g g e f Rute oder Romus Drcen e f A e und f Digonlen e f c Trpez c A und c Grundseiten r r r Kreis A r² U d r 3,4 d Durcmesser r Rdius - 5 -