Vortrag im Seminar: Ausgewählte höhere Kurven

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1 Vortrg im Seminr: Ausgewählte höhere Kurven Julin Rusch 8. Dezember 016 Inhltsverzeichnis 1 Konchoide des Nikomedes 1.1 Nmensherkunft Eine Kissoide? Kurvengleichung Polrdrstellung Krtesische Koordinten Auswertung der Kurvengleichung Symmetrie Asymptotik Zugehörigkeit des O-Punktes Verwendung zur Winkeldreiteilung Konstruktion Beweis Einschiebung nch Pppos Verwendung zur Würfelverdopplung Konstruktion eines 60 Winkels Konstruktion Beweis Allgemeine Konchoide 10 3 Krdioide Krdioide ls Kreiskonchoide Kurvengleichungen Polrdrstellung Krtesische Koordinten Auswertung der Kurvengleichung Symmetrie

2 3.3. Die weitesten links gelegenen Punkte Krdioide ls Epizykloide Beweis: Tngentenkonstruktion Theorie des ugenblicklichen Drehpunktes Tngentenkonstruktion nhnd der Krdioide ls Epizykloide Qudrtion der Krdioide Krdioide ls Kustik eines Kreises Konchoide des Nikomedes Im Folgenden möchten wir die sogennnte Konchoide des Nikomedes betrchten. 1.1 Nmensherkunft Nmengeber dieser Kurve ist Nikomedes 80 v. Chr v. Chr.), ein griechischer Mthemtiker. Er führte die von ihm wegen ihrer Ähnlichkeit mit einer Muschel griech. κòγχoς = Muschel) ls Konchoide bezeichnete Kurve zur geometrischen Lösung des Problems der Winkeldreiteilung und Würfelvolumenverdopplung ein. Definition: Die Eigentliche Konchoide oder Konchoide des Nikomedes ist der geometrische Ort der Punkte P, dessen Verbindungslinie OP mit einem festen Punkt O Pol) durch eine feste Gerde C Bsis) so geschnitten werden, dss P einen gegebenen Abstnd K zu diesem Schnittpunkt besitzt. Konstruktion: Zur Konstruktion sind der Punkt O Pol), die Gerde C Bsis) und die Länge K vorgegeben. Drehe eine Gerde in O so, dss sie die Gerde C in Q schneidet. Schlge dnn einen Kreis mit Rdius K um Q. Die Menge ller uf diese Weise entstehenden Schnittpunkte P 1 und P mit der Gerde durch O und Q ergeben die Konchoide des Nikomedes. 1. Eine Kissoide? Behuptung: Betrchten wir den Fll einer Kissoide in der die erste Kurve f ein Kreis mit Rdius K um den Punkt P ist und die zweite Kurve g eine Gerde ist, so erhlten

3 wir die Konchoide des Nikomedes. In nderen Worten: Bei der Konchoide des Nikomedes hndelt es sich um eine Kissoide. Beweis: Sei F der Punkt in dem die Gerde durch P den Kreis f schneidet. Sei G der Punkt in dem die Gerde durch P die Gerde g schneidet und C der Punkt uf der Gerden durch P der uf der Kurve liegt. Nch Konstruktion der llgemeinen Kissoide gilt: P C = P G P F = F G Es gilt P F = K, d f ein Kreis um P ist mit Rdius K ist, dmit folgt CG = P G P C = P G P G P F ) = P F = K 1.3 Kurvengleichung Anhnd der nun beknnten Eigenschften und Konstruktionsvorschriften für die Konchoide des Nikomedes lässt sich eine llgemeine Kurvengleichung herleiten. Diese möchten wir in Polrdrstellung und in krtesischen Koordinten drstellen Polrdrstellung Nun sei der Abstnd der Gerde C zum Pol O. An der obigen Abbildung und der Konstruktion erkennbr werden jedem Winkel ϕ zwei Punkte und dmit zwei Rdien in der Polrdrstellung zugeordnet. P 1 : r = P : r = +K oder r cos ϕ K oder cos ϕ r cos ϕ cos ϕ ) K = 0 ) +K = 0 Drus ergibt sich eine Gleichung in Polrkoordinten, die in qudrtischer Form beide Rdien einem Winkel ϕ zuweist. r ) = K 1) cos ϕ 1.3. Krtesische Koordinten Zum Erhlten einer Drstellung in krtesischen Koordinten ersetzen wir die Polrkoordinten uf folgende Weise: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = x + y 3

4 1 D = r gilt, ergibt sich drus: cos ϕ x r r ) = K x r r x + r x = K r x xr + r = K x r x x + ) = K x r x ) = K x Dmit ergibt sich die gesuchte Gleichung für die Drstellung in krtesischen Koordinten: x + y ) x ) = K x ) 1.4 Auswertung der Kurvengleichung Nun sollen die nhnd der verschiedenen Drstellungsformen erkennbren Eigenschften der Kurve ufgeführt und bewiesen werden Symmetrie Die Kurve ist erkennbr symmetrisch zur x-achse, denn y tritt nur in gerder Potenz in der Kurvengleichung uf. x + y ) x ) = x + y) ) x ) 1.4. Asymptotik Ist x =, so knn die Kurvengleichung nur existieren, wenn uch x ± gilt, d.h. die Bsisgerde C ist Asymptote der Kurve. Wir stellen zum Nchweis die Kurvengleichung nch y um. y x ) = K x x x ) Für x folgt somit für y: ) K y x = lim x x ) x y = K x x ) x ) K x = lim x x ) = Ds bedeutet x = knn nur dnn gelten, wenn y = ± gilt. 4

5 1.4.3 Zugehörigkeit des O-Punktes Der O-Punkt gehört für jedes K und jedes der Kurve des Nikomedes n. Dies scheint bei erstem Betrchten im Flle K < nicht der Fll zu sein, dher werden wir dies für die drei Beziehungen von K und nchweisen. Beweis: Der uf der Seite des O-Punkt liegende Kurvenzweig ht die Polrgleichung r = cos ϕ K Dmit dieser Punkt uf dem O-Punkt liegt muss r = 0 gelten: Drus ergibt sich die Bedingungsgleichung cos ϕ = K cos ϕ = K 3) 1. Fll > K Dmit ist > 1 und wir finden keinen Winkel ϕ, der Bedingungsgleichung 3 löst. K Dennoch gehört der O-Punkt ls isolierter Punkt der Kurve n. Dzu betrchten wir die Kurvengleichung, welche für x = 0, y = 0 erfüllt ist. Somit gehört der O-Punkt der Kurve n.. Fll = K Für ϕ = 0 gilt cos ϕ = 1 =. Somit ist die Bedingungsgleichung 3 für ϕ = 0 K erfüllt und der O-Punkt gehört der Kurve n. 3. Fll < K In diesem Fll ht die Bedinungsgleichung 3 zwei entgegengesetzte Werte ϕ und ϕ = 360 ϕ, welche sie lösen. D nun der cos ϕ irgendwo zwischen 0 und 1 liegt und diese Werte für 0 < ϕ < 360 zweiml nnimmt. 1.5 Verwendung zur Winkeldreiteilung Die Konchoide des Nikomedes findet ebenso wie die Trisektix von McLurin eine Anwendung in der Winkeldreiteilung. Im Gegenstz zur Trisektix bruchen wir ber für jeden Winkel eine eigens konstruierte Konchoide Konstruktion Spnne einen Winkel α in einem Punkt O uf. Bilde den Lotfußpunkt C vom Punkt B uf einem der Schenkel uf die Gerde des nderen Schenkel. 5

6 Zeichne eine Konchoide mit = OC und K = OB mit O ls Pol und Gerde durch B und C ls Bsis. Ziehe nun durch B eine prllele Gerde zu OC, welche den rechten Ast der Konchoide in E schneidet. Der Winkel COE ist der gedrittelte Ausgngswinkel α Beweis Wir nennen den gesuchten Winkel COD := x. Nch Wechselwinkel, gilt uch BEF = x. Zeichne den Mittelpunkt F von DE ein. Somit gilt DF = F E = K. Außerdem gilt nch Stz des Thles, d DBE = 90, dss B uf dem Kreis um F mit Rdius K liegt. Somit gilt uch BF = K. Drus ergibt sich, dss BEF und OBF gleichschenklige Dreiecke sind. Dmit ergibt sich F BE = BEF = x BOF = BF O = 180 BF E = F BE + BEF )) = x 1.6 Einschiebung nch Pppos Pppus von Alexndri griechisch Pppos oder ltinisiert Pppus Alexndrinus), wr ein griechischer Mthemtiker und Astronom des 4. Jhrhunderts us Alexndri. Sein 6

7 Huptwerk sind die Mthemtischen Smmlungen, welche eine kommentierte und durch eigene Erkenntnisse ergänzte Smmlung bereits beknnter mthemtischer Ergebnisse drstellt. Ds nun folgende Vorgehen zur Winkeldreiteilung nch Pppos entstmmt in ähnlicher Art eben dieser Mthemtischen Smmlung. Konstruktion Sei ein zu drittelnder Winkel 3 α in Punkt A gegeben Sei B ein beliebiger Punkt uf einem der Schenkel Sei C der Lotfußpunkt von B uf dem nderen Schenkel Ziehe nun durch B eine prllele Gerde zu AC Lege nun in A ds Linel so n, dss es BC in D schneidet und die Prllele zu AC in E schneidet, so dss gilt DE = AB Dmit entsteht in DAC = 1 CAB der gesuchte Winkel Verwendung zur Würfelverdopplung Neben der Winkeldreiteilung ist mit der Konchoide des Nikomedes uch die Verdopplung eines Würfelvolumens möglich. Somit ist es im Gegenstz zur Trisektix von McLurin mit der Konchoide des Nikomedes möglich, beide Probleme zu lösen Konstruktion eines 60 Winkels Zeichne von Punkt A mit einem Schenkel. Ziehe einen Kreis mit beliebigen ber festem Rdius r Ziehe einen weiteren Kreis mit Rdius r um den Schnittpunkt des nderen Kreises mit der Gerden. 7

8 Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist ein Punkt uf dem zweiten Schenkel des 60 Winkels. Begründung: D hierdurch ein gleichseitiges Dreieck konstruiert wird, sind die entstehenden Winkel Konstruktion Zeichne eine Konchoide mit = K = gegebene Würfelkntenlänge. Mit O ls Pol und Gerde C ls Bsis. Ziehe durch den Punkt U uf der Bsis C der Konchoide im 60 Winkel zum Pol eine Gerde, die den rechten Zweig der Kurve in S schneidet. Der Schnittpunkt der Bsis C und der Gerde durch O und S sei T. Somit ist OT die Würfelkntenlänge eines Würfels mit doppeltem Volumen. 8

9 1.7.3 Beweis Wir hben nun zu beweisen, dss gilt OT = 3 OU. Im folgenden bezeichnen wir OT mit x, OU mit der gegebenen Würfelkntenlänge und SU mit y. Außerdem sei L der Lotfußpunkt von O uf V S. Zuerst füllen und begründen wir die benötigten Längen innerhlb der Abbildung. UV = cos 60 = 0, 5 = UL = cos 60 OU = 1 Des weiteren gilt ST = nch Konstruktion der Konchoide. Anhnd der nun errechneten und beschriebenen Längen können wir den Beweis beginnen: Nch Strhlenstz innerhlb der Dreiecke ST U und SOV gilt: x = y = xy 4) Innerhlb von OSL gilt x + ) = OL + y + ) und innerhlb von OLU gilt: = 4 + OL Durch bziehen der beiden Gleichungen voneinnder ergibt sich: x + ) = Setze nun Gleichung 4 in Gleichung 5 ein: y + ) 4 x + x = y + y 5) x + x y = y + y x + y) = y + y) 9

10 Allgemeine Konchoide x = y Setzten wir dieses Ergebnis in Gleichung 5 ein folgt: Qudrieren wir nun Gleichung 4 ergibt sich Setzten wir hier nun Gleichung 6 ein folgt: Somit ist die Konstruktion bewiesen. Allgemeine Konchoide x + x = y + x y = x 6) 4 = x y y x = 4 4 x 3 = 4 4 x 3 = 3 x = 3 Wollen wir unsere Definition der Konchoide des Nikomedes noch weiter verllgemeinern bietet sich die Möglichkeit die Gerde C durch eine beliebige Kurve C zu ersetzten ws zu folgender llgemeineren Definition führt: Definition: Die llgemeine Konchoide ist eine Kurve, für welche jeder Punkt P der Kurve den gleichen Abstnd K zum Schnittpunkt der Gerde durch P und einen festen Punkt O mit einer festen Kurve C ht. 3 Krdioide Wir nutzen unsere llgemeinere Definition nun, um die Bsiskurve ls Kreis zu wählen und kommen uf eine neue spezielle llgemeine Konchoide mit folgender Erzeugungsweise. 3.1 Krdioide ls Kreiskonchoide Gegeben sei ein Kreis um Mittelpunkt M mit Durchmesser K und ein O-Punkt uf diesem Kreis. Mn ziehe eine Sehne OQ. Mn trge nch beiden Seiten uf ihrer Verlängerung QP 1 = QP = K b. Mn drehe die Sehne um O-Punkt, dnn beschreiben P 1 und P die Krdioide. 10

11 3 Krdioide 3. Kurvengleichungen Wir leiten nun nhnd dieser Konstruktionsbeschreibung llgemeine Kurvengleichungen in Polrkoordinten und krtesischen Koordinten her. Dzu sei ϕ der Drehwinkel der Sehne Polrdrstellung Wir stellen nun Polrkoordinten für die beiden Punkte P 1 und P uf. P 1 : r = K + K cos ϕ P : r = K K cos ϕ Jedoch lässt sich P durch eine Drehung um ϕ + π erzeugen. Somit ist die Gleichung P bereits in der Gleichung von P 1 enthlten und ndersherum. Wir wählen hier die Gleichung zu P 1 ls Polrdrstellung: ϕ ) r = K 1 + cos ϕ) = cos 7) 3.. Krtesische Koordinten Zum Erhlten einer Drstellung in krtesischen Koordinten ersetzen wir wie in Abschnitt Dmit ergibt sich us Gleichung 7 nch ein pr Rechenschritten die Polrdrstellung: ) x x + y = 1 + x + y x + y = + x x + y x + y = x + y + x x + y = x + y x x + y ) = x + y x ) 8) 3.3 Auswertung der Kurvengleichung Wir können erneut nhnd der ufgeführten Drstellungsformen und der Konstruktionsvorschrift Eigenschften der Krdioide erkennen Symmetrie Die Kurve ist symmetrisch zur x-achse, beziehungsweise zur Gerde durch den O-Punkt und den Mittelpunkt M des festen Kreises, d in der Kurvengleichung y nur in gerden Potenzen uftritt. siehe Gleichung 8) x + y ) x + y x ) = x + y) ) x + y) x ) 11

12 3 Krdioide 3.3. Die weitesten links gelegenen Punkte Am Bild der Krdioide erkennbr besitzt sich für ein x eine Doppeltngente uf der linken Seite der Kurve. Ds bedeutet eine Tngente, welche die Kurve n zwei Stellen berührt. Zur Berrechnung dieser Doppeltngente suchen wir diese Gerde mithilfe der Gerdengleichung x = d. Einsetzen in die krtesische Drstellungsform us Gleichung 8 ergibt: d + y ) = d + y d ) Worus sich für y folgendes ergibt: d + y = d 4 + y 4 + d + d y dy d 3 y 4 dy + d y y + d 4 d 3 = 0 y 4 + y d d ) + d 4 d 3) = 0 d ) y = d d d ± d 4 d 3 ) y = + d d ± d + d d3 + 3 d d d 4 + d 3 y = + d 4 d ± d y = + d d ± 1 + 4d y = ± 1 + d d ± + 4d Somit ergeben sich, wenn für die Diskriminnte + 4d = 0 gilt, zwei reelle Schnittpunkte für d = 4 y = ± 1 8 ± = ± = ±3 16 = ± 3 4 Somit berührt die Doppeltngente die Kurve in 3.4 Krdioide ls Epizykloide ) und ). Definition: Wird ein Kreis von Rdius uf einer Leitkurve von bgerollt, so beschreibt ein Punkt uf dem bgerollten Kreisumfng eine Zykloide. Definition: Wird ein Kreis von Rdius ußen uf einem Kreis von Rdius b bgerollt, so beschreibt ein Punkt uf dem bgerollten Kreisumfng eine Epizykloide. Dies ist ein Spezilfll der Zykloide. Wählen wir die beiden Kreise zur Beschreibung einer Epizykloide mit gleichem Rdius b, so entsteht eine Krdioide, lso insbesondere eine Konchoide. 1

13 3 Krdioide Beweis: Wir legen den 0-Punkt in den Punkt des Kreises uf dem bgerollt wird, in welchem mit dem brollen des äußeren Kreises begonnen wird. Dzu führen wir ϕ und r ls Polrkoordinten zum Punkt P uf der Kurve ein. Außerdem wählen wir die Kreisrdien mit b =. Des weiteren sei A der Schnittpunkt der Gerde durch P und N mit der Gerde durch O und M, die sich ls x-achse identifizieren lässt. B sei der Berührpunkt der beiden Kreise im Abrollungsprozess. Durch den Abrollungsprozess, der im O- Punkt strtet ist gegeben, dss die bgerollten Strecken lso die Bögen durch P B und OB gleich sind. Dmit gilt uch für die zu den Kreissegmenten gehörigen Winkel P NB = BMO. Somit ist AMN gleichschenklig. Dmit ist die Strecke AB senkrecht uf NM und OP MN ist. Somit gilt ls Stufenwinkel BMO = P OA = 180 ϕ. Somit gilt im rechtwinkligen Dreieck ABM: cos 180 ϕ) = AM = AM cos 180 ϕ) Nch Strhlenstz in den Dreiecken AOP und AN M gilt. r r = P O NM = AO AM AM OM = AM cos180 ϕ) cos180 ϕ) r = cos 180 ϕ) cos 180 ϕ) r = 1 cos 180 ϕ) r = 1 + cos ϕ) cos 180 ϕ) Somit sind wir zur Polrdrstellung Vgl. Gleichung 7) der Krdioide gelngt und die Konstruktion erzeugt dmit eine Krdioide. 13

14 3 Krdioide 3.5 Tngentenkonstruktion Theorie des ugenblicklichen Drehpunktes Stz: Die Kurvennormle in jedem Punkt P einer Kurve, welche durch die Bewegung eines strren Systems erzeugt werden knn, geht durch Punkt P und den ugenblicklichen Drehpunkt. Die Tngentenkonstruktion mithilfe des ugenblicklichen Drehpunktes wurde vorllem durch Torricelli und Robervl begründet. Diese Theorie lässt sich bei llen Kurven nwenden, welche durch Bewegung eines strren Systems erzeugt werden können. Grundgednke dbei ist, dss die Richtung der Tngente in einem bestimmten Kurvenpunkt mit der Bewegungsrichtung dieses Punktes ls Punkt des bewegten Systems im Augenblick ht. Diese momentne Bewegung ist eine Drehbewegung um einen bestimmten Punkt, den ugenblicklichen Drehpunkt. Verbindet mn nun den Punkt und den ugenblicklichen Drehpunkt stellt diese Verbindung den Rdius des Kreises dr, uf dem der Kurvenpunkt sich gerde bewegt und ist somit Kurvennormle. Folgerung: Die Senkrechte zu dieser Kurvennormlen ist die Kurventngente Tngentenkonstruktion nhnd der Krdioide ls Epizykloide Mithilfe der Theorie zum ugenblicken Drehpunkt lässt sich durch die in Abschnitt 3.1 vorgestellten Erzeugungsweise ls Epizykloide sehr schnell die Kurventngente bestimmen. Innerhlb des Drehvorgngs ist der Berührpunkt B der beiden Kreise der ugenblickliche Drehpunkt des Kurvenpunktes P, womit P D die Kurvennormle ist. Somit lässt sich die Kurventngente einfch ls senkrechte zu P D durch den Kurvenpunkt P konstruieren. 3.6 Qudrtion der Krdioide Die gnze Kurve besitzt den Flächeninhlt F = 3 π lso sechsml so groß, wie der des Kreises, us dem die Kurve durch Abrollen entstnden ist.des weiteren erhlten wir für den Umfng der gnzen Kurve U = 8. Die Krdiode ist somit sechzehnml so lng wie der Rdius des Kreises, durch dessen Abrollen sie entsteht. 3.7 Krdioide ls Kustik eines Kreises Sei eine punktuelle Lichtquelle uf dem Kreis, dessen Strhlen m Kreis reflektiert werden, so umhüllen diese reflektierten Strhlen eine Krdioide. 14